数学教育几何画板

今天我要分享的是反射对象，反射就是用来构造轴对称关系的。以三角形的轴对称为例，先构造一条直线，并标记为镜面。标记方法，可以选中直线，由菜单变换标记镜面。 还可以鼠标双击直线，在直线左侧会制一个三角形，选定三角形的全部， 由菜单变换反射，即可得到与之轴对称的三角形。拖动三角形的顶点，可观察动态保持的对称关系。 先绘制一个矩形 a、 b、 c、 d。 连接 a、 c、 e。 依次选定点 b、 c、 a。 构造角平分线，再构造与 a、 b 的 交点 e。 双击设限 c、 e。 标记为镜面，选定点 b， 变换反射，得到点 f。 使用有心无边框多边形工具构造图中的多边形 隐藏边 a、 b 和 bc 保留点 b。 在 多边形边界上构造一个点 h， 选定点 h， 变换了反射，得到点 i。 连接 h， i。 连接线段 e、 f、 a、 e。 在 线段 h i。 上构造一个点 p， 将点 g 合并到点 b， 选定点 h 和 p 构造轨迹。在轨迹拐点处构造点 b， 隐藏线段 h i。 线段 e f。 点 b 点 h， 这时移动点 p， 有 折叠轨迹出现， 还可以选重点 p 构造动画操作按钮。

今天我要分享的是缩放对象，缩放对象是指对象。关于标记中心，按标记笔进行位次变换。标记笔有三种，一、选定两条线段进行标记，先选中的线段长是分子，或选中的线段长是分母。 二、选定数值作为标记笔。新建一个无单位参数，由菜单变换标记笔直来标记一个笔。 三、顺序选定同一直线上的三个点，由菜单变换标记笔。 以相似三角形为例，先采用共线三点标记比作相似三角形， 再通过固定比作一次相似三角形。比值为正数，两个三角形在中心同侧， 比值为负数，两个三角形位于中心两侧。

这一节课，老梁利用几何画板来动画演绎啊，用面积变换法来证明勾股定律。 这个正法源于欧基里德先生啊，他编辑的几何原本里面的啊，这个正法。 这样来想，我们连接 e、 c 和 b、 f 啊，那显然绿色的三角形和黄色的三角形面积是相等的。 然后呢，咱们再考虑啊，矩形 a、 e、 l、 k 啊，它的面积和绿色的三角形面积的关系， 以及呢，正方形 a、 c、 g、 f 和黄色三角形的面积关系， 它是有倍数的关系，也就是 e、 l、 k， a 的 面积啊，矩形的面积是绿色的啊，这个三角形面积的两倍， 那它也是黄色三角形面积的两倍，而黄色三角形的面积的两倍就等于这个，嗯，正方形 a、 c、 g、 f 的 面积。 然后呢，同样可以证明 k、 l、 d、 b 矩形的面积等于正方形 b、 i、 h、 c 的 面积。那这样就证明得 正方形 a、 b、 d、 e 的 面积等于正方形啊， a、 c、 g、 f 的 面积加上正方形 b、 c、 h、 i 的 面积，这就证明了勾股定律啊。 那动画演绎可以这样来看，我们先看绿色三角形的面积，它与矩形 a、 e、 l、 k 有 什么关系啊？ 因为我们这里过 c 做 c、 l 平行 a、 e 的， 那这个绿色的三角形的面积啊，它是底乘以高除以二，也就是二分之 a、 e 乘以高， 那这个三角形它的高就是 e、 l 啊， e， l 也可以说是 ak 啊，对不对？ 而底边乘以高，就是 ab 乘以 e、 l 加等于矩形 a、 k、 l、 e 的 面积啊， 这就证明了啊，矩形的面积啊，等于这个对应的三角形面积的两倍。 然后咱们再利用旋转九十度来绕点 a 逆时针旋转，那这个绿的它就给了黄色的面积相等了。 进一步，咱们把黄色绿色的三角形沿着 b 句啊，因为 b 句是平行 a、 f 的， 拖动到点 c 啊，或者拖动的点距，咱们就可以看出啊，绿色三角形的面积，它是等于呢 f、 a、 c 距这个正方形的面积的一半啊， 那这样经过呢，等量代换，咱们就可以证明啊，正方形 c 距 a、 f 的 面积，它等于绿色三角形面积的两倍，也等于黄色三角形面积的两倍啊，那绿色三角形旋转的面积是不会变的，然后再变形， 那绿色三角形呢，它又等于这个啊，矩形 a、 k、 l、 e 面积的一半啊， 从而我们就可以证明呢啊，这个矩形 e、 l、 k、 a 的 面积等于矩形 a、 c、 g、 f 的 面积了， 所以我们这样来证啊，那同理可以得到啊，右边正方形 b、 c、 h、 i 的 面积等于 b、 d、 l、 k 的 面积。 然后呢，把面积加起来，嗯，就是用矩形的面积加上两两个矩形加，就得正方形了， a、 b、 d、 e 了。嗯， 这就证明了正方形 a、 b、 d、 e 的 面积等于它头顶上两个小的正方形面积之和，从而 可以证明得 a、 b 的 平方等于 a、 c 的 平方加 b、 c 的 平方。 明白了吗？想学几何画板课间制作技术的可以订购老梁自媒体号上啊，这个初中数学院上的几何画板培训的专栏就可以了， 感谢大家的支持啊，再见！

hello， hello， hello， 今天的这个视频呢，是莫老师逼着自己学习啊，并且将学习成果给大家展示的第一天。哎，我是通过这个视频号 b 站等 学习了一个什么呢？嗯，学习画一棵美丽的勾古树啊。哎，我在借鉴模仿别人之后呢，结合自己的这个理解，总结出了一个非常简单的画这个勾古树的办法啊，好的， 下面是我的分享，怎么弄出来的呢？哎，第一步啊，我们要准备一个正方形，标明 a、 b、 c、 d， 这是第一步。第二步，选中 c、 d 的 中点， 构造一个圆，构造 圆上的弧，再构造弧上的点。这样做有什么用处呢？哎，直径所对的圆周角为九十度，这样就可以保证我们的这个 角 d、 e、 c 永远是九十度。为了使画面干净呢，我们现在隐藏圆，隐藏 弧，只保留这个点 e， 这是第二步啊。第三步，我们度量出现段 a、 e 的 长度。 第四步，选中正方形的 四个点，构造一个内部，此时我们发现改变点 e 的 位置，指示线段 a、 e 的 长度发生了变化。那如何使得 这个内部颜色会发生变化呢？哎，选中内部，选中 a、 e， 在 颜色下面有个参数确定，这样我们可以惊奇地发现，随着点 e 的 变化，那正方形内部的这样一个 颜色也会相应的发生变化，这是第四步。紧接着第五步，数据上新建一个参数，取名 n， 等于一 右键属性数值百分之一，改成单位确定。现在选重点 a， 选重点 b， 选中这个参数，点变换，上面有个迭代，按 shift 键出现深度迭代， 此时就出现从 a 到粉红色的哪一个部分，我们取 e， 从 b 到哪一部分？从 b 到 c， 这样我们就可以发现啊，这个勾股数的一部分，上面这个正方形就产生了啊。紧接着第这个七步添加到新的映色，这个时候 a 原先是到 e， 现在到 d 原先是到 c， 现在呢到 e， 这样我们可发现啊，勾股数的第一个迭代 就成功了啊，让我们改变这个点， n 的 这个值，二次迭代，三次迭代，四次迭代啊，可以将这个表格隐藏起来， 这是隐藏表格啊， 比如说我们是八字叠带，哎，就这样一个形状啊，美丽的勾股术呢，就做成了啊，那如何让它动起来呢？哎，第一个办法就直接点点 e， 它就会动啊。 第二个办法呢，我们还可以怎么办呢？哎，编辑里面操作了，按按钮动画， 此时动画点 e， 这样一棵美丽的勾股树呢，就给大家做成了。哎，这就是莫老师今天学习的成果啊，欢迎大家点赞、支持、转发，谢谢大家！

这是正方形，这是长方形，这是平行四边形，这是梯形。一年级就要学习平面图形了，这就是老师推荐的钉子板教具，它是正反两面使用的正面可以教会孩子认识多种平面图形 版面，可以理解分数概念和角度知识。孩子动动小手摆一摆，把课本上抽象的知识直观的展现出来，给孩子准备一套练一练吧！

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我现在上课都离不开这个课间呢，这样太好了，都是几何画板课间这边可以选年级， 我今天要讲瓜豆模型，找到它，在这里打开， 这上面是模型解读，这三个是线形的主动点， a 在 直线上运动，我们拖着 a 动起来，可以看到 b 的 轨迹是一条直线，这条红线就是 b 的 轨迹， 这个是圆形的，纵圆得圆。这是武汉的一道中考题，主动点在圆弧上运动，我们可以看到重动点的轨迹，也是一道圆弧。我们这样演示一下，学生理解起来也快一些，教学效果也好一些。 初中的几何模型都在这里呢，扩展的、培优的、基础的都在这里。非常好的一个资料，做一个课间要花很多时间呢，花点小钱解决再好不过了。 你收到货是一本书，一本答案，一个 u 盘和一份安装说明，操作很简单的，如果你电脑上装了几盒画板， u 盘插上去就可以用了。这本书里面所有例题，所有题型都是有画板课件的。

数学钉子板教材，同步学习课本知识多种玩法，动手拼接造型同步课本单元，辅助孩子轻松学习数学，激发想象创造力，增强孩子学习兴趣，认识多种图形，有助于孩子理解知识重点。可拼接多种趣味图案， 四种颜色可选，细节圆润不伤手，可以放心使用一体式钉子，不易脱落。两侧还有收纳设计搭配说明书，还可以边学边玩。 数学钉子板教材，同步学习课本知识，多种玩法，动手拼接造型同步课本单元，辅助孩子轻松学习数学，激发想象力兴趣，认识多种图形，有助于孩子理解知识重点。可拼接多种趣味图案， 四种颜色可选，细节圆润不伤手，可以放心使用一体式钉子，不易脱落。

做对角线 a、 c。 将四边形分成两个三角形，四边形的内角和等于两个三角形。六个内角的总和，即一百八十度乘二等于三百六十度。 再做对角线 b、 d。 两条对角线交于点 p， 四边形被分成了四个三角形。移动点 p 位置，并使得点 p 在 四边形内部。 四边形都是被分成四个三角形，但相较于四边形，内角总和增加了一个以点屁为顶点的周角，同样可以得出四边形内角和为三百六十度。 再将点 p 移至为 b 边上，分成三个三角形，但内角总和增加了一个以点 p 为顶点的平角，因此，四边形的内角和为一百八十度乘三减一百八十度等于三百六十度。点 p 在 四边形外部，可以用类似方法求出四边形的内角和， 但无论是哪种情形，都是将四边形转化成三角形进行求解，体现了转化的数学思想，同学们可以仔细去体会。

各位同学好，现在老师给大家用几个画板验证一下分子定律啊，现在呢，我们先打开这个分子定律啊， p 是 三角形内的那一点，必须是内的一点， 那么 s a 是 呃 p b， c 的 面积， s b 是 p c， a 的 面积， s c 是 p a， b 的 面积，那么我们将看到分子定律，面积乘以 p a， s a 乘以 p a， 加上 s b 乘以 p b， 加上 s c 乘以 p c。 向量等于零向量治标，呃，本死定律的这个表达。那么我们现在呢，给大家验证一下这个本死定律。那么我们我们首先呢 啊，画了三角形 a， b， c， 画了三角形 a， b， c， 而且度量了它们的面积啊，把它们的面积计算成一个数字， 那么折算成一个数字的话，那么我从这个截取一个长度， 那么把它们的面积除以，除掉它们的单位，折算，折算成一个长度，我们让这个长度呢去乘这个 p b， 对 应的是呃，这个 乘 p b， 乘 p c， 也就是我们公式定律所要表达的意思，比如这个就是三角形，呃 p a， c 的 面积折算后的数据乘以 p b， 这个就是三角形 p b， c 的 面积，呃，折算成数据，乘以 p c， 然后我截取这个呃相应的长度，比如说这个 a、 b 片的长度就是三三角形 p i， c 的 面积折算的长度乘以这个 p b， 也就是我们在公式定律看到的这一项， 乘以 p b 的 这个向量。同样的道理，那么我们的这个 p a 撇儿，就是我们在泵磁定里看到的这一项， 那么另外这个向量就是 p c 撇儿，就是我们在泵磁定里看到的这一项，那么我们把这个 p b 撇儿和 p c 撇儿加起来，也就是我们把我们这个动词定理的这个这两项加起来，它应该是跟这一项应该是一个相反相等的关系。那么我们在在这个几何化把它给大家看一下。 那么 p b 撇和 p c 撇加起来就是 p f 这个向量， p f 和 p a 撇这个向量，我们从这里看这个度量值，它的长度是相等的，而它们的角度是一百八十等，就是等大反向，也就是相反的向量，也就是我我们加数的这个 p b 撇， pc 撇， pi 撇的这个和是等于零。我们来看下 p 点的这个调整没有影响到这两个的，因为很多数据在变，但是呢 包括这个三角形在变的话，呃，这个数据都没有发生任何的变化，呃，这两个向量依然等大反向，但是当这个 p 点 跑到这个三角形外侧的话，这个数据将变，角度也变，这个长度也会变，所以这个 p 点呢，只能在这个三角形内，也就是我们的奔驰定律，这个 p 点只能在三角形内部才可以成立。好了，有关用几何画板验证奔驰定律呢，就讲到这里，祝同学们学习愉快！

好，来看这一道好题，已知 e f 为等边三角形 a b c 边上的动点， 并且呢， a e 等于 c f， a b 等于六，要求 c p 的 最小值，哎，同样的呢， c 点是定点，那么要求 c p 的 最值，就是要搞清楚 p 点的运动路径，那么我们猜想 p 点 的运动路径是一条弧啊。猜想 p 点的运动路径是一条弧，并且呢，下面我来用电脑来模拟一下。当 e 点在 a、 c 上运动的时候，那么 f 点也随之运动， p 点也随之运动，显然可以看出， p 点的运动路径就是一条弧啊。当然呢，我们这个学生，在 数学上面，他是没办法用电脑来模拟的，在纸上面怎么样做呢？那我们就是通过自己作图，取不同的 e f 的 位置，然后呢，观察猜想，当然，最重要的一步就是证明 p 点的运动路径是一个圆。好，由于 a e 等于 c f， 那 么我们可以看到看出了哎，在三角形 a、 c、 f 和三角形 a、 b、 e 这两个三角形显然是全等的，全等之后又可以得到角 c a、 f 等于角 a b e 倒角之后啊，这两个三角形全等倒角之后，就可以得到钝角角 a p、 b 等于一百二十度。 对于三角形 a、 p、 b 而言， a、 b 是 定边角， a p、 b 是 定角，所以定边定角有定圆，那么 p 点的运动路径 就是这样的一个圆，不过呢，相对于定边定直角而言，这个圆的圆心和半径就相对来说难的确定一些。我们可以呢，以 a b 啊， 以 ab 为弦，以 ab 为边，在下方再来构造一个等边三角形 ab 极，那么则角 a、 g、 b 加上角 a p b 是 等于一百八十度，所以这个 a p、 b g 四点共圆，这个圆的圆心，也就是等边三角形 ab g 的 中心 o 点，那么连接 a o、 b o 角 a o b 等于两倍的角积，等于一百二十度。但是我们实际操作的时候，要找这个圆的圆心和半径，是不需要做出等边三角形 a、 b、 g 的， 只需要构造以 a、 b 为底边的顶角为一百二十度的等腰三角形 a、 o、 b 即可。那么自然呢，角 a、 g、 b 就 等于六十度了，所以为了 简单起见啊，我们来把这个哎，来把这个圆呢，把它隐藏起来， 哎，这个 o 点就是圆心 a o、 b o 就是 半径，这个时候要求 c p 的 最小值，显然呢，就是一箭穿心。那么连接啊，连接 c o、 p o 啊，我来把它 先把它搞偏一些。那么对于三角形 cop 而言， 对于三角形 cop 而言，根据三角形的三边关系定理啊，根据三角形的三边关系定理，那么 b g 的， 哎，这，这个打错了啊，这个，这个是 cp c p c p 的 这个取值范围是大于两边之差，小于两边之和，所以最后呢，我们就只需要求出 c o 和半径 o p 即可啊。来看， 在，首先看，在 等腰三角形 a、 o、 b 中，由于这个等腰三角形的顶角 a、 o、 b 是 一百二十度，哎，那我们的每个学生都要记住的就是一百二十度的等腰三角形， 底边是腰长的根号三倍，所以腰长 b o 就 等于底边 a、 b 除以根号三，等于二倍的根号三啊。那么在三角形 c、 b、 o 中 啊，在三角形 c、 b、 o 这个三角形中，那么显然这个三角形呢，角 o c b 应该是等于三十度角， c b o 等于九十度，所以它是一个三十度九十度的直角三角形。那么 c o 就 等于两倍的 b o 等于四倍的高三。最后呢，就得到 b g 的 取值范围是大于两边之差，小于两边之和，所以 b g 是 大于两边两倍的高三，小于六倍的高三。当 c p o 三点共线时， 也就是一线穿心时，那么 c p 的 取值范围就等于两啊，这个等于二倍的高三。 好，这个题目就分享到这里，关注我，带你搞清楚几何最值的底乘逻辑。

用图形变换的思想解决几何最值问题，今天我们来看下这道题。如图，正方形 a、 b， c， d 的 边长为四， e 为 b， c 上一点 f， a， a、 b 边上的一个洞点连接 e， f 向右侧做等边三角形 e、 f、 g。 问线段 c， g 的 最小值为多少？解决最值问题的核心思路之一 就是求出主动点和从动点的轨迹。这道题我们看看 a、 b、 c、 d， e 都是题目给定的定点， f 是 ab 边上的一个动点，那么它的轨迹就是线段 ab， 而我们要求的是 c g 的 最小值，就要求出 g 的 轨迹。 这时候我们如果引入图形变换的思想，发现 g 点是 f 点，绕一点顺时针旋转六十度得到的线段 ab 同样绕一点顺时针旋转六十度得到的线段 a 撇 b 撇。 知道了 g 点的轨迹是一条线段，我们就可以知道 c、 g 的 最小值就是 c 到这条线段的垂线段长度。但是这条线段和这个距离都不好求，怎么办？我们可以在逆向思考一下， 把 c 绕一点逆时针旋转六十度，我们要求的最小值也就等于 c 撇到线段 a、 b 的 距离。这时候我们能看到 e， c， c 撇是一个正三角形，取 e， c 的 中点 h 显然有 c p， h 垂直于 e， c， c 撇到 a、 b 的 距离也就等于 b， h 等于二点五。讲到这儿，你学会了吗？