八年级下册数学37页画图怎么画

底边上的高，那相当于是过 b 点做 a、 c 的 直线呐。 第一步就是以 b 为圆心 a 句，然后作为断符，跟 a、 c 有 两个焦点呢。 a 句跟 a、 c 有 两个焦点呢？ 这有两个焦点，再以这两个焦点 分别作为圆心，取超过这两个交点一半的长度一半就行。把两段分，如果没有交上去，要交上去， 那么连接这个点跟 b 点就是所做的高了。 ok， 没有这第一条。 第二个做 b、 c 边上的高， b、 c 边上的高就是一个蹬脚，那 b、 c 边上的高就在三角形外面。第一步先延长 b、 c 当老命。下一步就跟做 b 引 a、 c 缺陷一样，过 a 引 b、 c 的 缺陷也是以 a 做圆心，画一段弧，以 b、 c 有 两个焦点来 两个焦点，再以这两个焦点为作为圆心，去超过这两个焦点一半的长度，来一半就行了，超过一半就行。画脸半红一半 两段，你这有个焦点。二二，连接 a 点跟这个焦点微摇而过这一条，这一条 a、 d 就是 b、 c 边上的杠，这个 b e 啊， b e 就是 a、 c 边上的杠。

陪你一起预习课本八年级数学下册的第三十七页纸第一题如图，已知三角形 a、 b、 c， 完成下面的耻归做图。第一个做 a、 c 边上的高 a、 c， 在 这里他说叫我们耻归做图， 那就是过点 b 做 a b 的 这个垂线，以点 b 为中心，以 b 到这个 到这个什么到这个线段的距离还短的为半径，那么再以这两个点为圆心，以大于二分之一两点的长度为半径做弧，两弧加入 两个点。现在注意啊，做这个高，我们只是把这么多做出来，那么我们借助这里的 呃，三点贡献，其实大家做加一个点也可以加两个点更好啊，看得更清楚一点，好，那么 a、 c 边上的高，呃，就是比如说 b、 d 是 吧？那么做第二个 b， c 边上的高，那我们 b、 c 边的高呢？我们就要把这个延长 c b 好 到哪里来了呢？我们就要把这个延长 c、 b 好， 再以点 a 五菱形， 以它大。呃，这个距离稍微还长一点为半径，就说一定要能够找到有两个焦点，再分别以这两个点为中心，以大于二分之一两点的长度为半径作弧，两弧，你可以加入两个焦点， 可以加入一个加点，因为本来这里也有个点 a， 但多加一个点可能准确一点，你看到这个有的没加好，可能点不大准确。好，那我们来看到这个 a e， 那 么这里我们要写个结果 b d 啊，叫线段 b d 啊，这个 a e 为 a c， 如啊 a c， 比如说顿号 b c 边上的高，对吧？最后要用文字再写一遍啊， 好，这里很多人不会做的，那么这做图都不会做的话，那后面题目就没法做了， 我们看到下面这个 a、 b 等于 a、 c 加 b c 等于一百二十度。第一个用尺规做 a、 b 的 垂直平分线，好，我们以点 a、 点 b 为圆心，以大于二分之 a、 b 的 长为半径作弧。 这里要注意大于二分之 a、 b 这句话什么意思？就说能找到两个加减的 好，做 a、 b 的 垂直平分线。好，这条直线就是 a、 b 的 垂直平分线，分别加 a、 b、 b、 c 如 e、 f a b 好 如 e、 a、 c 好 在这里。嗯，那个 b、 c、 b、 c、 f 呃，在上头的呢？连接 a、 f 好， 把 a、 f 连起来。那么由于刚才做的是 a、 b 的 重叠性，所以 f、 b 等于 f e， 那 么角 b 等于角 b a、 f。 由于已知条件， a、 b 等于 c， 加 b a、 c 一 百二十度， 一百二十度，所以这两个角就都相等。一百八十减一百二十除以二，那就六十除以二等于三十度，这角三十度，这角也是三十度，那么现在这个角也是三十度，那么这个角那就是九十度了 啊。一百二十减三十，求角 afc， 那 么角 afc 呢？那就是六十度了。 我们看到第二题，在三题 a、 b、 c 中， a、 b 的 a、 c， a、 b 大 于 b、 c。 第一个做 a、 c 变得高， a、 c 变得高呢？ 那我们以点 b 为圆心，以 b， 能够找到这里的焦点的。 好啊，这里可以找到两个焦点啊，有，这个看的不太标准啊，可以等一会画的时候，可能说不定画的不那么好。好，那么由于 b 已经成了一个点，本来大家这边要找了一个焦点也可以啊。好，那我们看到过 b， 好，这里我们就不做了，那个叫什么？叫 b d 好 b d 好 b d 就是 a c 变得高。第二个做三角形， a c e 是 三角形， a c e 前面 abd a b d a c e 实际这个 e 啊，也就是这个 ab 变成的高。 那，那我们就再过点 c 做 ab 变的高，其实你也可以不做 ab 变的高啊，你做这个 a e 等于 ad 也可以。所以每个人的做法，哎呀，不一定是一样的 啊，每个人的做法不一定是每个人做题目的方法不一定是一样的。那么这里呢？我还坐这个车车，哎呦，这没找到家底是吧？那我们就再画一下。刚才我说啊，大家实际上可以做什么呢？ 哎，你看，这是一，刚才我说实际上我们可以做这个，做这什么，做这个在这里这样做啊，做这个这个这样做，这样做也是可以的啊，每个人的做法是不一定不一定是一样的。 下面第三题说在以 a b 为底边的所有等腰三线中，它的顶点的位置，嗯，我就不作画了啊，比如说这个是一个底边，它的顶点在哪呢？顶点应该在它的重力线上，所以顶点在哪里呢？顶点应该在 这个 a b 的 中垂线上啊，顶点因为它是等腰三角形，那这个要把它记清楚。我们看到第四题， 它说 b c 等于二，然后角 b c 大 于九十度， a b 的 垂直平分线， a b 的 垂直线，那么 e a 就 等于 e b。 呃，连问 a c 的 乘差性呢？加 f a 就 等于 f c， 对 吧？问 a e f 的 周长就是 a e 加 e f 加 a f 就是 b e 加 e f 加 f c 就是 b c b c 等于二，所以这个周长那就是二了。记得点赞关注哦！

我们先一起来回顾两个旧知识，第一，勾股定律的内容是什么？谁能举手说一说？第二，我们之前学过哪些三角形全等的判定方法？ 在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 当时我们是通过画图叠合，直观感受得到的，并没有进行严格的数学证明。今天这节课我们就带着刚学到的勾股定律来完成这个证明。 同时我们还要解决一个新问题，我们知道任何实数都能用数轴上的点来表示，那像根号十三、根号十七这样的五理数又该怎么在数轴上精准画出来呢？ 今天就让我们一起走进勾股定律的应用世界，用代数的工具解决几何的问题，用图形的直观感受数的奥秘。

陪你一起预习课本八年级数学下册的第三十四页纸。 我们前面用尺规做出了满足一定条件的直角三角形，那么现在问你能用尺规做满足一定条件的等腰三角形吗？ 我们看到如果说已知三角形的一条边以及这边的高，能不能做满足条件的三角形？我们看到如果说这一条边是这么多，那么他的高，你比如说等于一个比他等于两厘米吧， 那我们怎么做呢？嗯，我们做他的高两厘米，比如说这高两厘米，这顶顶在这，这顶顶在这，还这顶顶在这里呢，那么这些三角形，比如说这高两厘米大概在这， 哎，那么是不是这个三角形呢？也不一定是吧，比如说是这个三角形吗？所以那么这样呢？它高的位置是不确定的，所以这呢我们说不能唯一做出啊，就是做出来的图形呢？哎，他是， 嗯，不是确定的一个三角形啊，那么如果我们要做唯一确定的三角形， 我们看下面第二个问题，已知等腰三角形的底边以及底边上的高啊，如果他的底边以及底边上的高，知道我们能不能做出满足要求的这样的三角形呢？能做出几个呢？刚才应该说这种情况是能做无限多个啊，不能唯一做出 啊，叫不能唯一做出，那么要做呢，可以做无数个，而这里已知现在这个是底边，底边上的高， 那么是能做几个呢？我们来看到这里的图形啊，如果说已知线的 a h 用直角作图，等腰三角形，底边 b c 等于 a 高， a d 等于 h。 好， 我们看到我们怎么做？ 我们先做 b， c 等于 a， 好， 我们先做个 b， c 等于 a， 那 我们随便做一条射线，好，然后我们比一下这个 a 这么的长，好，以这点 为半径，那么这个是 b， c， 好， 就等于 a 这么的长。 好，现在我们来看呢，我们要是做他的这个高呢，是底边上的这个高啊，等腰三就行， 那么等腰三底边的高啊，呃，应该在底边的中垂线上，所以我们现在以这点啊，点 c 和点 b 为中心，以大于二分之 b、 c 的 长。又，我刚才就以 b、 c 的 长，是吧？ 大于二分之 b， c 的 长，那就可以，只要能找到加点就可以了啊。好，那么做 b、 c 的 垂直平分线，我们说这个叫 l 啊，这个叫 l 好， 在 l 上截取 a、 d 的 h， 好， 刚才这个 h 这么的长，好，现在我们再来做一下，这个是 d， 呦， a 在 这，刚才我这个线可以画长一点啊，好，这一点是 a， 这个车轴是 d， 对吧？现在连接 a、 b， a、 c， 好， 那么这个时候我们说这个三角形呢，就是唯一可做的啊，这个不管多少个同学，你只要按照这个方法来做，你们用剪刀把它剪下来，它都是全等的啊，就是唯一做出 啊。好，下面我们看过直线上一点 p 做 a 的 垂线， 我们刚才其实在前面已经做过了，比如说这是，嗯，做什么啊？直线好，比如说这就是一条直线过点 a 做垂线，怎么做呢？以点为中心， 以任意长为半径做弧，对吧？再分别以这两点为半径做弧， 对吧？两弧加入两个点，好，其实这里有三个点了，这里也是个点，对吧？这样就做啊，这个垂线就出来了啊，但是题目上说过一点 p， 那 我刚才写 a 是 吧？ 好，我们看下面的这问题过，只写 l、 y 的 一点 p， 用指标做它的这个垂线，那么如果说过这点做垂线，咱们怎么做呢？ 嗯，咱们以这个点 p 为圆心，以大，呃， p 到 这个 l 的 距离为半径。呃，但是我们后面下一页说啊，说在这个 l 的 另外一侧找一点 q 啊，我那个就找近一点的啊，这点 q， 然后呢，以点 p 圆心以 p q 为半径。 好，那么它加 l 两点，再分别以这两个点为圆心，以大于二分之一两点的长度为半径，大于二分之一两点的长度为半径。 好做弧，加入两个点好，过这两个点做一条直线。 好，当然也就是经过点 p 的， 那么这条直线呢？那么就是过点 p 的 a 的 垂线。好，刚才这里的图形呢，我就做到那边去了啊，有时间有的就不多说了。 好，我们看到这里的 a、 b 的 垂直平分线与 b、 c 的 垂直平分线交于点 p， 三角形两边的中垂线交于点，那么两边的中垂线交于点呢？在这点呢，到点 a 的 距离 等于到点 b 的 距离，因为线的中垂线上的点到线的两段距离相等，那么如果说这个 p 也是 bc 的 中垂线上点，那么它也就等于 pc 了， 那么这个 p a 等于 pc 的 时候呢， p 也就在 a、 c 的 中垂线上。所以我们就说三边的垂直线加入一点，三零三边的垂直平行线加入一点。 呃，这点以后呢，我们把它叫做外星啊，并且这一点到三个顶点的距离相等，这个呢，要把它背下来，记得点赞关注哦。

同学们，大家来看楼高二十米电梯。

同学们，生活里藏着好多数学知识呢！看王师傅家新做了一个门框，他想知道这个门框的角是不是标准的直角，可他手里只有一把卷尺，你们能帮他想想办法吗？ 同学们，我这新做的门框总觉得不太值，可我只有一把卷尺，你快教教我咋检查。 大家回忆一下我们学过的勾股定律，逆定律是什么？如果一个三角形的三边满足两边平方和等于第三边平方，那它就是直角三角形。 那我们能不能用这个原理帮王师傅设计一个检测方案呢？谁来说说我们需要量出哪些边的长度哦，量三边就行。我量了 ab 是 八十厘米， bc 是 一百七十厘米， 你能帮我判断一下角 b 是 不是直角吗？对了，只要量出门框的两条邻边和对角线的长度，就能判断是不是直角啦！ 那如果我的卷尺只有一米长，量不完整，门框的边还能检查吗？对了，我们可以在边上各量一小段，用小三角形来验证大角是不是直角。这就是数学里以小见大的智慧。懂了，就是在 a、 b 边上量八十厘米， b、 c 边上量六十厘米。在量这两个点之间的距离要是刚好一百厘米，就说明大角是直角，这筐子真省事儿。 同学们，大家有没有注意到两艘轮船的航行路线在空间中形成了一个什么样的几何图形？ 如果我们要判断这两艘轮船的航行路线是否垂直，也就是航线形成的夹角是否为直角，大家可以回忆一下我们学过的哪些数学知识可以帮助我们解决这个问题呢？

陪你一起预习课本八年级数学下册第二十八页纸。我们看到课本的 两边分别相等，且其中一组等角的对边。相等的两个三角形是不一定全等的啊，以前咱们说过了，不一定全等，两边分别相等，且其中一组等角的对边。 那么这个呢，我们简单的回顾一遍， 呃，我们曾经说，比如说这是个三角形 abc， 好， 另外也有个三角形，我们说角 a 等于角 a 一 撇，呃，这里的 a、 b 呢？ 等于 a 一 撇， b 一 撇，好，这两个相等，然后 b c 呢？ b c 等于 b 一 撇， c 一 撇， b， c 这么长啊，那我们看到 b c， 哎，这里这么长啊，这个 b c。 刚才您看到我用圆规做的，这么长，好， b 一 撇， c 一 撇， 就是说这个 b c 一 撇，如果 c 在 这里的话，这两个三，你还真是全能的，哎，但你看，你看，这个 b、 c 的是 b 一 撇， c 一 撇，对吧？两边两边记一边的对角对应下的两个三角形是不一定全能的 啊，这个不一定行的，这里是一个反例啊，以前讲过了的。现在我们这问题说啊，这两边这里这个相等的有一个相等的那个角啊。如果是说一组等边的对角是直角，就是如果这这角也是直角的话， 哎，那叫我们画一画啊。那这个时候我们说直角的时候，我们来探讨一下，就是如果说，呃，这是直角，那这边就是斜边了，对吧？斜边回到直角边对应下的那两个直角三角形 是不是全整的呢？哎，我们现在创个画图，由于时间关系啊，已知，二 d 三点 a， b c 角 c 角 c 点九十度。呃，告诉了这个两边 a， b， b， c 哎，角 c 所对的边呢？是 ab ab 的 c， c 呢？是个长边。好，我们现在看到这里的画图，好，跟我一起来画图啊，他叫我们先做一条射线 c n。 好， 比如在这，咱们先随便做一条射线 c n 好过点 c 做射线 c n 的 垂线啊，比着这个 c n 过点 c 做 c n 的 垂线，叫 c m 啊，要做 c n 的 垂线呢，我们要把这个 c n 做 c n 的 反向延长线，然后以这个 点 c 为圆心，以任意长为半径作弧，加如两点，再分别以这两点为圆心，以大于二分之一两点的长度为半径作弧。 好，那么这样呢，我们就可以找到过点 c 的 这个垂线。 好，我就做上面这么多，下面没有划出来啊。好过点 c 做射线 c n 的 垂线哈，这里做完了，表明这直角 在 c m 上截取， c， b 等 c， b 等 a 啊 a 在 这里 c， b 等 a。 好， 这么长， c， b 等 a。 好，好，这里是 b b 字母。好，这么的长等于 a。 然后呢，以 b 为圆心，以 c 为半径啊， c 这么长为半径作弧，加 c n 锐点 a， 好， 这么长是 c 啊，用圆规啊，咱们比一下。好，这么长是 c。 好， 以点必有人心，以这个为帮你啊，这个作弧看清楚啊。好，那这么长的，那就是 c。 本来呢，我们要还有其他的表示，由于时间的关系，就没办法慢慢跟他说啊。 好，那么这个是做 a b 等于 c c 呢？我们看到这个做了一个三角形，呃，告诉这是直角，这边等于 a， 这边等于 c。 好， 如果同学们，你按照这个方法，你再重新做一遍，我们说所有的同学所做的这些图形呢，是一模一样的啊，你把它只给它剪下来，它是全等的，叠在一起是重合的啊，连接 a、 b， 则三角 a、 b、 c 是 所做的直角三角形， 就是按照这样的方法所做的三角形呢，一定是直角三角形，为什么是直角三角形呢？好，我们下面来看到这里的证明，也就说如果你做的两个三角形， 第一他一个直角，第二这个斜边是相等的，第三有一条直角边是相等的。好，我们看到这是一个记号，这是两个记号，这是三个记号。 我们说两边和一边的对角对应相的两个三角形是不一定切等的，但有时切等，比如说直角三角形的时候， 那我们看了，因为这里是直角，这里是直角，所以那么这个 b、 c 的 平方是等于 ab 的 平方，是等于 a 一 撇 b 一 撇的平方。减去 a 一 撇 c 一 撇的平方， 那么又是 ab 等于 a 一 撇 b 一 撇， ac 等于 a 一 撇 c 一 撇，所以 ab 的 平方减 a 四的平方等于 a 一 撇 b 一 撇的平方，减 a 一 撇 c 一 撇的平方，那于是就是 bc 的 平方，等于 b 一 撇 c 一 撇的平方。因为 bc 和 b 一 撇 c 一 撇，都取正值 啊，都取正值。这里有个问题啊，它们都取正值，所以呢，呃，线段取正值。我们在前一个节课呢就讲了 啊，所以这样我们就要这个 bc 啊，等于 b 一 撇 c 一 撇啊， bc 的 b 一 撇 c 一 撇。好，那么得到这边的这边之后，我们现在可以根据边边边啊这个公里来证明两个三角形呢， 所以说有斜边，回忆到直角三角形，我们可以变出三边对应相等了啊。根据勾股定律，那么我们把这个呢叫做 h l 啊，斜边回到直角边对应向的那两个直角三角形能我们既作为 h l 斜，也也可以用中文斜边直角边通常用 h l 更习惯。记得点赞关注哦！

八年级数学下册的小册的第四页纸，我们看到，呃，它如果用八个大小相等的含四十五度角的这个等腰直角三一二三四五六七八，就拼出这样的一个环形的图案，如图一。 呃，如果咱们用六十度角的直角三角尺拼成环形的图案啊，这个是直角六十度角，那么他说还需要多少个？这里有了三个，那我们呢，这里从哪来看呢？我们看这六十度，这注意啊，这直角，这六十度，这个角就是三十度， 那么这三十度应该是个外角啊，那么他的外角三十度，他总共外角会是三百六十度， 如果除以三十度的话，就等于一十二，就是还，这总共需要一十二个，这样的啊，三角形才能围的出来。已经有了三个，所以注意，这个词叫还还需要九个，所以这里我们应该选择 c， 总共是一十二个，注意，他是问还需要多少个，这里画了三个啊，所以你要把它总共一十二个和还需要九个，把它搞清楚。第一题应该是写的 c 一， 我们来第二题。 第二题呢，说左边是一个古代的建筑的冰裂纹图案 啊，有时间不多念了。图案呢，这是解起来的一个其中的一个五边形啊，加一加二加三加四加五，五边形的外角和啊，六边形的外角和，所有外角和都是等三百六十度，这就不讲了。 好，这里应该选择 b 啊，所以有的讲的结论呢，要把它记住。我们看到第三题，呃，如果一个多边形的内角和外角和的和是二千一百六十度 啊，如果说这个多边形呢？一个正多边形内角和啊，它的内角是 n 减二乘以一百八十度，而它的外角和是三百六十度，对吧？合起来是二千一百六十度。 那我们看到这个 n 减二乘以一百八十度的话，那就等于二一六零减三六零等于一八零零度，所以 n 减二等于十， n 等于一十二。 好，那么这个就应该是一十二边形了。这个一十二边形，从它一个顶点做底到这条线呢？我们说做 n 减三条对角线，一十二减三等于九啊，把这公式记清楚。第四题， 如图，正六平行 a、 b、 c、 d， e。 啊，六平行的每个内角是一百二十度，它的外角是六十度。 呃，正五边形的每个内角呢，是一百零八度，它的外角是七十二度。 所以这个角 d， e、 g， d e， g 多少呢？角 d e g， 那 这是个三角形，就等于一百八十度减六十度，再减去七十二度，对吧？等于一百八的减多少呢？七了一百三，一百三十二度，就等于四十八度， 对吧？一百八十减一百三十四十八度。我们碰到第五题， 如果一个多边形的一个外角哦，每每个外角都相等，对吧？啊，一个内角如一个外角的比，是二比一，一是外角啊，所以这个外角为 x 度，那么这个内角呢，就是二 x 度， 对吧？那么二 x 加 x 就 应该等于一百八十，为什么呢？因为一个外角，一个内角合起来是平角，三 x 等于一百八， x 等于六十， x 等于六十。而多边形的外角和是三百六十度，三百六度除以六十等于六。啊，那有几边呢？六边 啊，它是个六边形，对吧？也就是边数为六啊，边数为六，有时间我的过程可能就是写的不够清楚啊。 我们第六题，以这个多边形的边数是 n， 若这个多边形的内角和是外角和的三倍，那么内角和是 n 减二乘以一百八十度，是外角和外角和是三百六十度，它的三倍乘以三。 好，我们看到两面除以一百八十二，三得六， n 减二得六， n 得八， 那么所以这个就是八边形呢？第二个过一个顶点的对角线有八条，一个顶点呢，就是 n 减三等于八， 过一个顶点有 n 减三的，对，所以 n 等于一十一，也就这是一十一边形，那么所以这个总的条数对角线总的条数，那就应该等于 n 乘以 n 减三除以二， 对吧？每一个单位 n 减三的 m 边形，然后有重复的除以二，所以等于二分之一。十一乘以一十一减三，一十一减三等于八，二分之八等于四，所以最后等于四十四条。记得点赞关注哦！

你会做吗？八年级数学下册练习册的第二页纸，我们看到 e， 如图点 c 是 角 a、 o、 b 的 o， a 这条边上， 如果 c、 d 垂直于 o， b 垂直于 d， d 平行 o、 a。 如果角 e、 d、 b 等于四十度，角 e、 d、 b 在 哪里？这个角角 e、 d、 b 等于四十度， 嗯，那么刚才说 d 平行 o、 e， 所以 这个角 o， 也就是四十度，两直线平行，同位角相等，所以这个角 a、 c、 d， 这个角等于多少呢？就等于这两个不相邻的，那角的和等于九十加四十等于一百三十度。所以第一题我们选择 c、 e， 第二题他说这个斗空竹，嗯，这里的 e 为斗空竹的，这个第二个是它的形象的图形，关键有一个 a、 b 平行 c、 d 两直线平行，那我们有什么同位角，同旁 内角之类的？所以我们把这个 a、 b 跟 c、 d 啊，这里的啊延长 d、 c 加这里有一点，比如说我们说 f 吧， 那么这个角 e、 a、 b 等于七十度，这个角等于七十度，那就是说这个角 e、 f、 c、 e， 这角也是七十度，对吧？角 e、 c、 d 在 哪里呢？ e、 c、 d 在 这里，这个角是等于一百一十度， 一百一度则和它不相邻的两个内角的弧，这七十加四十啊，所以角 e 就 应该等于四十度 啊。当然你把这个角 e、 c、 f 的 这个七十度求出来也可以，对吧？然后一百八十减七十，再减这个七十，这样当然也行。好，我们看到第三题， 第三的角 b、 c 等于角 b、 c。 这个角等于三倍的角 a、 b、 c 等于三倍的角 a、 c、 b。 好， 咱们设角 a、 b、 c 等于 x 度，那么 这个角是 x 度，这个角也等于 x 度，这个角那就等于多少度？三 x 度，所以三 x 度加 x 度加 x 度，五 x 度等于一百八十度， 对吧？那么 x 就 等于三十六， x 等于三十六，这个是三十六度，这个三十六度，那么这个角就等于七十二度，所以这个角 a、 c、 d， 嗯，那就等于一十八度， 因为这里是直角，题目上说这里高啊，这里说了高，那么就是角 a、 d、 c 的 九十度。 好，这个奇差都是三题，外角等于和它不相邻的两个内角的和啊，然后这个角就是直角，三角的两个锐角互如。好，第四题就比较难了 啊，这个相反人题，其视域图如图所示啊。这些由时间关系文字我们就不多说，我们要来看它主要的，这里有一个叫始终平行， a、 b、 g、 h、 m、 n 始终平行，这是一个关键的词。 好，哎，刚才这里是如图一，是图二啊，图二，图一是个相反问题，图二呢，是它的几何变化图形，所以现在我们就来看到这个图案。 现在题目说角 e、 f、 h 等于五十六度， e、 f、 h 在 哪里呢？这个角啊，这是五十六度， b、 c， b、 c 在 这里跟 e、 f 是 平行的。哎呀，然后求角 a、 b、 c 求这个角，你看这两个平行呢，咱们要求这两个角布在一起呀，所以咱们想办法把它作辅的线弄在一起来，对吧？ 咱们可以做这个，把这个平行线呢，与第三条直线 好，比如说我们这个 a、 b、 c、 d， e、 f、 g、 h、 m、 n。 好， 这里比如说我们加一个 p， 延长 c、 b 与 h f 交入一点 p， 由于 e、 f 平行于 b、 c， 就是 e、 f 平行于 c、 p 两直角明同位角下呢？这五十六度，所以这个角就是五十六度。 哎，已知，刚才说 a、 b g h m n a b g h g h 就是 这个 p h， 对 吧？好，这两直角梯内侧角相等，所以这个角 a、 b、 p， 也就是这个角多少度呢？五十六度， 所以角 a、 b、 c 是 多少度呢？因此第一个这个角 a、 b、 c 就 等于一百八十度，对吧？减去五十六度等于一百二十四度， 对吧？这是五六，这就一百二十四度。一百五十六，加啊，一百二十四加五十六等于一百八十度。这里我们要想办法做这个辅助线。好，我们看到第二小题， 为了参加另一项高空救援的工作进行调整。嗯，现在有一个垂直，什么垂直 bc 跟 e f 所在的直线垂直啊，然后角 e、 f、 h 等于七十度，还是求角 abc 啊？现在图形在这里，现在有个什么呢？叫 bc， 如 e f， bc 在 哪里？ bc 在 这儿 跟 e f， e f 在 哪里？ e f 在 这儿，所在的直线是垂直。 哎，这，这里是直角，但图上没有画出来啊。但是题目又有一个，刚才这里所说的这个平行 a、 b， g h m n 是 平行的，所以我们来看了这个 a b， 你 看 a b， 好， 我们把这里一直做到这来。嗯，比如说这个是 p， 这个是 q， 也就是 a b 平行，介值就是 a q 平行 f h， 对 吧？好，刚才这个角，这题目上说，这里是多少度呢？这里是七十度啊，七十度，好，这个七十度，那这个角也就是七十度， 好，这个角就是二十度，为什么呢？因为这是直角啊，所以角 abc 就 应该等于一百六十度， 对吧？ abc， 呃，就一百八十减二十等于一百六十度，好，那么这个关键呢？是我们要把这个角之间的关系，把这个辅助线，把它给它做出来，记得点赞关注哦。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第三十六页练习 啊，这页的练习呢，主要就是，呃，练习勾股定律的逆定律啊，那勾股定律逆定律是什么呢？来我们看一下，他说如果三角形的三边长为 a、 b、 c 方，那么这个三角形是直角三角形， 那么这个是勾股定律的逆定律。那么如果要想判断这个三角形是不是直角三角形，我只要来看这三条边满不满足这个 关系是不就可以了？那我们看利益，看它的这个格式啊，说判断线段 a、 b、 c 组成三角形，是不是直角三角形啊？他说 a 等于八， b 等于十五， c 等于十七， 然后呢，你看他这个解说，因为八方加十五方等于六十四，加二百二十五等于二百八十七，二百八十九，然后十七方也等于二百八十九，所以呢，这 呃两个数的平方和等于第三个数的平方，那我们说这个三条边，三条线段围成的三角形是直角三角形 啊。那么在做这样的题的时候呢，你首先你要听好一句话啊，第一呢，咱先将这三个数进行排列大小， 你得分出哪个是最长的边，哪个是最短的边。咱们说了勾股定律是不应该是两条直角边的平方和等于斜边的平方，那斜边不是最长的吗？所以呢，我们拿过这一题的时候，我们可以先比较大小 啊，那现在呢，我们看一下这个练习啊，练习题呢，咱们就用刚才我说的方法，咱先比较大小啊啊，第一题扣二一 啊， a 等于四， b 等于五， c 等于六，是吧？然后你写，因为这个 a 等于四， b 等于五， c 等于六啊，且 a 小 于 b 小 于 c 啊，或者是写四小于五小于六啊。所以呢，你的 a 方加 b 方， 那六不是最长的吗？对不对？ a 方加 b 方就等于四的平方，加五的平方等于四十一，十六，二十五，四十一，对吗？ 嗯，十六加二十五，四十一哈，然后你再算算， c 方， c 方等于六的平方等于三十六啊。然后呢，因为四十一是不等于三十六的，所以，所以线段 abc 啊，组成的三角形 啊，不是直角三角形， 这是括号一。那我们来看括号二，同样呢，我们也是先给它比较一下大小啊，因为你的 a 等于二点五， b 等于零点七， c 等于二点四，并且呢，你的 a 大 于 c 大 于谁？大于 b， 说明你的 a 是 最大的啊。所以呢，你的 b 方加 c 方就应该等于零点七的平方，加上二点四的平方等于。 咱们来比算一下，零点七是零点四九，二点四是二点五，六十六九八， 嗯，等于五百七十六。那完了，前面有一道题写错了，前面那道题我口算的是， 口算的是，哎呀，这块应该是多少五百七十六，写个七，二百五十六啊，他应该得二十四，这个位置写错了啊， 然后这个呢，他就应该等于再加上零点四七，零点四九五，这个是二，这是六，六点二五。 然后你的 a 方呢，等于二点五的平方也等于多少六点二五啊？因为六点二五等于六点二五，所以线段 你这个位置也可以这么写，你可以写这个地方，或者这么写啊，说， b 方加 c 方等于谁了？等于 a 方了啊，然后线段 abc 组成 得三角形啊，是直角三角形。 然后第三个小题啊，因为你的 a 等于五分之一， b 呢，等于四分之一， c 等于三分之一啊，并且呢，你的 a 是小于 b 小 于 c 的 啊，分子相同，分母越小，分数越大，是不是？然后，所以呢， c 是 最大的，那就是 a 方加 b 方，它等于五分之一的平方， 加上四分之一的平方等于五五二十五分之一，四四一十六分之一，这应该是四百分之乘以十六，再加四百分之二十五， 所以等于四百分之四十一，四百分之四十一。然后呢，你的 c 方呢，是等于三分之一，括号的平方等于九分之一， 这明显他俩怎么的不相等吧啊，然后你写，因为 a 方加 b 方不等于谁， c 方，对，你可以这样写啊，所以线段 abc 组成的三角形 不，不是直角三角形 啊，这是括号三来呢，括号四，因为 a 等于一， b 等于根号二， c 等于根号三， 然后，并且呢，是 a 小 于 b 小 于 c， 是 不？ c 是 最大的。然后呢，写，所以 a 方加 b 方就等于一的平方，加根号二的平方就等于 三，然后呢，你的 c 方是等于根号三的平方，也等于几三，所以 a 方加 b 方等于谁？ c 方？那么线段 abc 组成的三角形是直角三角形 啊，这是第一题的四个，那么第二小题说如图啊，啊，以三角形 a、 b、 c 的 三边为直径，这是直径啊，这三个都是直径，分别画出了三个半圆，然后这三个半圆的面积是 s 一， s 二， s 三， 如果那个 s 一 加 s 二等于 s 三的话，那么判断三角形 a、 b、 c 是 不是直角三角形，并说明理由。那么首先我们答它，是啊，第二题，嗯，三角形 a、 b、 c 是 直角三角形， 那理由如下， 写在哪呢？就在这小空里挤啊。 嗯，我们先来求一下。 s 一 就是把你的 s 一 表示出来， s 二表示出来， s 三表示出来，然后带入这个已知的这个算式里，然后化简一下啊。那么第一个 s 一， 它的面积应该是以 ab 为半径是吧？ ab 为直径是吧，它除以二乘的平方派乘以二分之一等于八分之一派谁啊？ ab 方。 那么 s 二呢？应该等于啊，以 bc 为直径除以二的平方派乘以个二分之一，这就是以 bc 为 s 二的面积等于八分之一派 bc 方。 然后 s 三呢，是以 a、 c 为直径除以二的平方派乘以二分之一等于八分之一派谁啊？ a c 方 啊。然后呢，我们就套入已知的这个公式里， s 一 加 s 二是等于 s 三，所以呢， s 一 等于八分之一派谁？ ab 方 加上 s 二是八分之一派 bc 方， s 三是八分之一派 ac 方。那三面同时除以八分之一派 啊，我们就会得到 ab 方加 bc 方等于谁？ ac 方。所以三角形 abc 是 直角三角形 啊，它是直角三角形。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第二十五页练习。嗯，这页练习呢，讲的是勾股定律啊，那什么叫做勾股定律呢？ 勾股定律就是在这里啊，说，如果直角三角形的两条直角边分别为 c， 那 么 a 方加 b 方等于 c 方， 那也就说，第一前提得是直角三角形啊，得是直角三角形二呢，得是三边的关系啊，两条直角边的平方和等于斜边的平方，然后 表明直角三角形三边之间的关系的，我国就把它称之。为什么勾股定律啊。所以说呢，你的三角形三边关系就是两条直角边的平方和等于斜边的平方。那如果我要求这个斜边 c， 那 它就等于根号下 啊， a 方加 b 方，那我要求 a 呢，先移向 a 方减 b 方，那么在开平方就等于根号下 c 方减 b 方 啊，那我要求 b， 也就是先移向 c 方减 a 方，然后 b 就 等于根号下 c 方减 a 方啊，所以说你得知道这个小公式，然后呢？嗯，这三条边，你知道两条就能求第三条 啊。那我们看一下题型。第一题设直角三角形的两条直角边长为 a 和 b， 斜边为 c， 那 你看，这不就满足了？呃，这个两个条件，第一， 它是直角三角形二呢，考察的就是三边关系，那么你的三边不就是 a 方加 b 方等于什么 c 方，对吧？那第一小题他说已知 a 等于六， c 等于十，那么 b 等于几？那么 b 不 就应该等于根号下 c 方减 a 方吗？是不这么个意思啊，然后就等于根号下把数往里带呗，十的平方减六的平方等于几啊？ 一百减三十六等于六十四等于八啊，那第二个呢？求的是 c， 那 c 就 应该等于根号下 a 方加 b 方 就等于根号下五方加十二方等于二十五，加一百四十四的一百六十九，一百六十九是十三的平方，这个平方数必须得熟啊。然后第三个呢，要求 a， a 就 应该等于根号下 c 方减 b 方就等于根号下 c 方是二十五的平方，减去十五的平方等于 啊，那你说这个怎么算呢？你可以啊，这个一个一个算，就是二十五方等于六百二十五， 然后十五方等于二百二十五，最后呢，等于四百四百是二十的平方，所以最后等于二十 啊，你也可以用平方差啊，二十五加十五乘一个，二十五减十五，他等于四十，他等于十，这不得四百吗？四百就是二十的平方啊，所以呢，用平方差公式也能做 啊。这是第一小题，那我们看第二小题，他说如图啊，图中所有的三角形都是直角三角形啊，哪一个是直角三角形啊？你看这小空白的这个，这都是直角三角形啊，四边形都是正方形，你看 abcd， 这都是正方形， 所以知啊，正方形 abcd 他 们的边长啊，这个地方要知道边长为十二十六、九十二， 那么求最大正方形 e 它的面积。那这个呢，实际上考察的是什么呢？考察的叫勾股数啊，哪个数呢？是大数的数， 那这个勾股数，你首先你要明白它的基本的，基本的一个道理就是，呃，在一个直角三角形， 直角三角形啊，它的直角两条直角边为边长啊，为边长， 向外做两个正方形，然后再斜边为边长，向外也做一个正方形。那我们知道你的直角三角形三边关系是 a 方加 b 方等于 c 方，对不对？那我这 a 方实际上就是这个 正方形的面积，我的 b 方就是啊，长斜边外面这个正方形面积， c 方就是斜边 外面这个正方形的面积。所以说呢，我们就会得到啊，这个标号来，这是一号、二号、三号，也就是一的正方形面积加上二的正方形面积，应该等于三的正方形面积。 这个呢就是勾股定律啊，所以说你这个勾股数呢，就是无非就是在这外面啊，又多画了很多层，你现在这个呢，就两层，看见了吗？这是一个基本的，然后这有一个，这有一个 啊，那你其实这个题，你还可以在外面这再画直角三角形，再画然后呢一层一层往外扩，它就形成了一个大数的形状啊，那现在呢，我们知道啊， a 这个正方形，它的边长为十二，我为啥把边长圈上 啊？我们勾股定律是不是 a 方 a 方就是正方形面积了，而我我们题里给的这十二是边长啊，然后你这十六呢，是 b 这个正方形的边长， 然后 c 是 这个九，是这个小正方形 c 的 边长，然后你 d 呢是十二的边长。所以说你看啊，也就是 a 的 面积加上 b 的 面积，应该等于这个正方形，我们把它设成 m 吧，这个设成 n 啊，也就是 m 的 面积等于 a 的 面积加 b 的 面积，然后 n 的 面积是 c 的 面积加 d 的 面积。那我这个 m 和 n 呢，又是这个直角三角形，两条直角边外面的两个小正方形，所以它俩也就是 m 加 n， 它的面积应该等面积和应该等于 e， 这么一层一层推下来之后，我们就会有一个等量关系啊， 一个导量关系是什么呢？就是 s a 加 s b 应该等于 sm 啊，然后 s c 加上 s d 应该等于 sn， 这个能道理懂，懂吧？然后你的 s m 加 sn 又等于谁？等于 se， 所以你的 se 这个面积实际上就是 s， a 加 s， b 加 s， c 加 sd， 能看懂吧？啊？等量代换进去吗？所以你的 a 这个面积是十二方， b 的 面积是十六方， c 的 面积是九方， d 的 面积是十二方，那我们计算一下， 你就能求出你 e 的 面积了，那我们计算一下啊，嗯，十二的平方一百四十四，两个一百四十四，二百八十八，十六的平方是二百五十六，嗯， 十九的平方是八十一，十四、十五，十六，十七，二十二，然后这个是六六百二十五，所以你的这个 e 的 面积是六百二十五 啊，这就是第二题。然后第三题呢，他说如图，在平面直角坐标系中啊，有两个点， a 五斗零， b 零斗四，求这两点间的距离， 你求这两点间的距离，不就是求 ab 的 差吗？那我们平面直角坐标系本身这就是什么垂直的，直角的，说明你的 o、 a、 b 是 一个直角三角形的话，那我们用勾股定律 是吗？勾股定律是不就能求出啊，就能求出你的这个 ab 的 长了， 这话能理解吧？所以来第三题写到这里啊，因为你的 a 点坐标是五斗零，然后 b 点坐标是零斗四，然后又因为你的 o b 是 垂直于 o a 的， 所以 o b 应该等于四。 o a 应该等于五啊，且角 a o b 等于多少度？九十度。那在 r t 三角形 a o b 中 啊。然后你的 a b 是 不是斜边？它应该等于根号下四方加五方等于根号多少？十六加二十五等于四十一，四十一最减了啊。所以最后两点间的距离， 两点间的距离 为根号四十一啊。这一题就完成了。

你会做吗？八年级数学 下册的小册第三页纸，我们看到第一题，下列说法正确的是第一个，多边形的边数每增加一，它的内角和则增加一百八十度，这个是正确的啊。三角形内角和一百八十度，四边形的内角和呢，是三百六十度，五边形的内角五百四十度，对吧？所以这个 现在 a， 我 们看到多边形的边数每增加一内角和增加三百六十度，这个是错误的啊，它是正确的。我们，呃，每个角都相等的多边形是正多边形，每个角都相等的，我们来看到它的反例就是矩形， 哎，也就是小七所说长方形，你看长方形的四个角都是九十度，他不是正多边形，因为他们的边不一定相等，那么每条边都相等的多边形是正多边形的，这个也是错误的啊，那么他的反例就是什么呢？菱形， 菱形的每条边都相等，但是呢，它的每个角都不一定相等，所以 b、 c、 d 啊，都是错误的。我们看到第二题，这个角是直角，所以这两个加起来都是九十度， 那么这个角一加加二呢？这是一个平角一百八，这个平角一百八，对吧？三百六十度减九十度等于二百七十度啊，角一加加二等于二百七十度。当然呢，你也可以有其他的计算方法。 好，我们来第三题，六平行 a、 b、 c、 d、 e、 f 是 正六平行，正六平行就说明这个角是一百二十度，正六平行的每个内角是一百二十度。直线 a， 直线 b 啊，如图所示，记到 a 平行于 b， 如果角一等于五十四度， 那么角一等于五十四度，那么这个角呢，那就应该这两个角的和等于这个角。我们在以前学过啊，那么这个角就等于六十六度，那么这样角二呢，那就等于一百一十四度 啊，当然呢，你也可以，你也可以这样来做啊，哎，怎么做呢？我们过点，第一做平行线， 对吧？这个角以五十四度，所以这个角就是五十四度，然后这个角就得一百二十度减五十四度等于六十六度，然后这个角就得一百八十度减去六十六度。两只起名同名的就互补啊，但是每个人的做法是不一样的，只要结果正确就可以了。我们看到第四题， 在五边形 a， b， c， d， e 中， a p 平分，角 e， a， b， a p 平行于 d， e， 呃，现在角 c 呢，是等于一百度，角 d 等于七十五度，角 e 等于一百三十五度， 这里有个平分啊，那我们看到这里两直线平行的时候呢，那这个角也是七十五度， 对吧？那现在我们这里，哎，我们这里刚才两这边这个地方呢，那就是四十五度了，有两这一名这个同班的角互补，但这两个角下呢，这也是四十五度。好，于是我们就看这个角 b， 那就等于这个四面形内角和三百六十度。三百六十度减去这个一百度， 再减去这七十五度，减去这四十五度。三百六十度减一百度就两百六十度，两百六十度，这个七十一是一百二十度，两百六十度减去一百二十度，就等于一百四十度啊，所以角 b 等于一百四十度。 好，我们看到第五题，小东我把一个多边内角和啊求出了，是一百一十度，小兰说多边内角和不可能是一百一十度啊，你一定是不是多加了一个锐角呢？ 好，那我们说这个八边形的内角和是一千零八十度啊，八边形的内角和。 呃，七边形的那角和是九百度，对吧？六边形的那角七、八二十度，这些最好都要背下来啊。那么这样的一千零八十度，那肯定是多加了个二十度的角啊，你多加六角的度数是二十度，而你所求的本应该是八边形的那角和啊， 如果这个多边形是正多边，正八边形的话，正八边形的每个外角呢，是四十五度，所以它的每个内角是一百三十五度。当然了，你也可以把它的嗯内角和给它求出来啊。对，内角和 n 减二乘一百八十度。 呃，这个有时间我们就不多说了啊，这个很简单啊。啊，这个每个内角八边形的正八边，每个内角是一百三十五度啊，他的每个外角是四十五度，你可以从外角往内角来找，当然你也可以直接去找内角。 小灯。将一个正六平行，如果正八平行，而如图所示，放置 a、 b、 c、 d 在 同一条直线上，那么我们说正六平行，这个是一百二十度的角，那么这个角是六十度，那么正八平行，这个是一百三十五度。对，我刚才说要背下来，这是四十五度 啊，六十度加四十五度是一百零五度，因此这个角呢，这就是七十五度，这个角叫做 b、 f、 c 就是 七十五度，当然这个角也是一百二十度，这个角呢，也是一百三十五度啊，比较小。 嗯，大家没看清楚，所以角 e、 f、 g、 e 就 应该等于整个三百六十度，减去一百二十度 啊，减去一百三十五度，再减去这个七十五度，三百二十减一百二十九，两百四十。 嗯，这个一百三十五加七是二百一十，两百四十减两百一十，就是三十度。所以角 e、 f、 d 呢？是等三十度。记得点赞关注哦！

你记住啊，八年级是成绩变化的关键时期，从今天开始我们讲八年级数学下册，北极大版的 下册共六章，我们今天开始讲第一章三角形的证明及其应用。 第一张，三角形的证明及其应用。本学期的时间特别短，所以我们在这里理一些重点的跟大家讲，大家自己做好预习。第一节三角形内角和定力在前面已经学过了这一些， 我们第一个我们就要探索三角形的内角和的它的度数，我们看到这里三角形， 对于这里一个三角形呢？我们怎么探讨他的内角和。 我们在前面已经知道三角形的内角和是等于一百八十度的，那么于是我们就怎么想呢？我们想我们在哪里学过有一百八十度的？比如说我们学过了一个平角是一百八十度，所以我们可以把三个角变成一个平角。 当然我们也学了两直线平行，同旁内角互补，也就是在两直线平行的时候，如果他出现了有同旁内角的话，把三个角变成两个角啊，两个同旁内角平行当中的同旁内角。 那么在这个地方呢，你看到我们这书本上的这个三角形 a 比 c， 我 们可以把这个角 a 啊放在这里了，放在角一的位置把它撕下来。你比如说我现在这里有一张这个三角形的纸片，好，我们把这个纸片撕下来，你们看我们放到这里来， 对吧？当这个内侧角相等的时候，这边和这边就平行了，你看我现在这指这边和这边平行，那么这个角 b 就 等于补充了这里有空缺的这个角， 对吧？那么这样的角 a 加角 b 加角 c， 那 就刚好拼成一个平角。好，我们看到这里的图形，我们可以先做角一，等于角 a， 我 们也可以先做这个平行线，都是可以的。 好，有时间我们直接看到我们这里书本上这个证明过程。呃，书本的证明过程呢，是在这里先做 c， e 平行于 a， b 做 c， e 平行于 b， 则这个角 a 等于角一， 角 b 就 等于这里的角二，也就是做 b c 的 延长线啊，那么角 b 等于角二，由于角 a、 c， b 加角一，加角二呢，刚好是一个平角一百八十度， 于是就是角 a 加角 b， 加角 a， c， b 就 等于一百八十度。那么这样我们就可以证出来三角形的三个内角的和等于一百八十度。 当然我们也可以换一种探讨的方法。好，我们看到这里， 比如说我们过点 a 做 p， q 平行于 b、 c， 那 么则这样角啊，过做 p p， q 平行于 b、 c， 两只线平行，则内侧角相等，所以这个角 p a、 b 等于角 b， 角 q， a， c 等于角 c， 所以 原来的角 a、 b、 c。 现在我们有三个字母啊，就是角 b a、 c 加角 b， 加角 c 就 等于角 b a， c 加角 p a， b 加角 q， a， c 就 等于一百八十度，因为它是个平角， 对吧？角 p a、 q， 平角一百八十度，一个平角等于一百八十度。当然呢，我们不同的同学还有很多不同的方法，因为时间的关系，我们这里只说一些主要的方法， 所以在这里我们首先要学会探讨三角形的内角和的一百八十度。当然这里涉及了有一个叫做辅助线，辅助线是为了证明的需要 啊，这里我呢，这里也手插了一部分的我们的一些笔记啊，我们探讨三菱的内角和辅则线，为了证明你需要在原来的图形上填画的线，叫做辅则线，辅则线呢，用虚线来表示， 好，这里我们用虚线啊，就是这中间呢，就是断断续续的，不是连起来了，那么这个 a、 b， 我 们叫做实线，对吧？中间没有控制空的，那么这个呢，叫做虚线，为了证明的需要，在原来的途径上添花的线叫做辅助线啊，为了证明的需要， 好，辅的线，我们要了解，我们用虚线来表示啊，要记住，那么这样呢，我们说三零的内角和呢，等于一百八十度，要把它背下来啊，背下来之后呢，我们看到这个例题，如果角 b 等于三十八度， 角 c 等于六十二度，我们学会跟我一起啊，学会在图上标出来六十、三十、九十，这就是一百度，三年呢，也获得一百八十度，所以这个角 b、 a、 c， 呃，一百度，那就等于八十度，对吧？而 a、 d 是 角 b、 a、 c 的 平分线， 对吧？那么于是这个角 b、 a、 d 等于角 d， a、 c 啊，那就都等于八十度的一半，等于四十度，大家学我一样在图上标出来，所以这个角 a、 d、 b 等于多少呢？一百八十度，也减去这两个角， 对吧？这个四十，这个三十八就七十八，一百八十减七十八等于一百零二度。好，这个角就等于一百零二度。当然呢，我们通过后面我们所讲的三角的和它不相邻，两个内角的和啊，我们在后面所讲到的， 嗯，也是可以的，因为时间的关系，这里我们就不多说， 对于我们要记住两边两角分别相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形呢，这个呢，原来我们老课本把它叫做一个推论，这里写定力，定力其实也是一个推啊，也就是一个啊，通过证明是真命题 啊，这些都要记住啊，还有前两三年的性质，前两三年的对应边向的，对应角向的。那么当然在这里我们也要把这个八个基本事实要把它记清楚。两点，确定掉这些两点之间线的最短， 同一平面内过一点，尤其只有一条直线与已知直线垂直过直线外一点，尤其只有一条直线与已知直线平行同外角相等。两直线平行两边及其夹角分别相等的两个三角缺等。两角及其加边分别相等的两个三角缺等。三边分别相等的两个三角缺等。 红笔呢，就是有的暂时还没学的啊，两条直线被一组平行所截的对应线的乘比利，这个在九年级去学，刚才我们要记住的 a、 a、 s， 还有熟练的掌握前的三年级的对应边形的对应角相同，记得点赞关注哦！

在很久很久以前，没有量角器，也没有直角尺，古人却能精准地画出直角柱，起笔直的城墙，铺出平整的道路， 他们靠的竟是一根打了结的长绳。这位老工匠把长绳等距打上十三个结，像这样分别取三段、四段、五段的长度，用木桩固定成一个三角形。这个三角形里竟稳稳地出现了一个直角。 三、四、五这三个简单的数字藏着怎样的秘密？今天，我们就从这根古老的绳子出发，一起探索勾股定律的另一面，它的逆定律，看看平方和相等的三角形是否真的都是直角三角形。 由勾股定律可以知道，直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。 反过来，如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？

帮助你加深理解八年级数学下册练习本上的第十页纸，我们看到第一题，如图，在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中角 b 等于九十度。 好，我们做个记号，垂直点 e 在 a、 b 上， d， e 等于 c， d， e 在 这里， d， e， d 在 这啊，等于 c， d 好， 大家做记号， d、 f 拆出 a、 c 做记号，垂直，大家一定要跟着我一起做记号，不然有的看不清啊。下面是 b， e 等于 c， f， b， e 在 这里，等于 c， f， c、 f 在 这。 好，现在这两个三角形呢，都有直角，说明是直角三角形，斜边相等，短直角边相等。那么根据 h、 l、 h、 l 两个直角三角形等，那么我们就得到它的长直角边。 b、 d 等于 d， f 好， 这里的 b、 d 等于四， 它写个四 df， 那 也就等于四。现在三角形 a、 b、 c 的 面积呢？说已知是等于五十四，求 a、 c 的 长好，那么这个求 a、 c 的 长呢？我们可以根据 s 三角形 a、 b、 c 啊， 它可以等于 s 三角形 a、 b、 d 加 s 三角形 a、 c， d 好， s 三角 a、 b、 d 二分之一乘以 ab 乘以 b， d， a， b 呢是一十二， b， d 呢？十四加上二分之一乘以底，底呢？ a、 c 高是多少呢？高是四 啊，我们可以打底，乘以四等于多少呢？五十四，好，这二跟这个约分二，这就是二十四。嗯，这二分之四就是二， a、 c 好， 等于五十四， 那么二十四加三十二， a， c 等于四， a、 c 就 等于一十五。 那么这样呢？第一题我们就选择 b。 好， 我们看到第二题， 第二题告诉我们， a、 c 等于 bc， a、 e 等于 cd， a、 e 在 哪里呢？ a、 e 在 这里， cd 在 这里。 由于这里， a、 e 垂直于 cd， b， d， e 垂直于 cd a、 e， 这是直角，这是直角。你看斜边相等，长直角边相等。根据 h、 l 两个直角，三角形， 三角形 a、 c、 e 切等于三呢。 c、 e、 b、 d 两个三角形的时候， b、 d 就 等于 c、 e。 现在 b、 d 等于二， b， d 等于二， c、 e 呢，也就等于二。呃，那么 a， e 等于七，就是 c， d 等于七， c， d 等于二， d 等于七，减二， d 等于五。 我们看到第三题第三的文字比较多，学了角平行线之后呢，有个小红啊，准备重新来思考角平行线的问题， 有时间呢，我们就说简单一点，小红在这个 o a 上取了一点 e， 并过 e 做了 o a 的 垂线。好，这里是小红已经做好了的，现在题目需要我们怎么呢？请您用尺规作图做 好，我们来看呢，我们先在 o b 上接起 o f 的 o e 好， o f 好，我们以 o 为圆心，以 o e 为半径，坐在这里， o f 等于这个 o e 好。 然后呢，过点 f 做 o b 的 垂线啊。于小红所做的这个垂线，加入点 p， 然后做设计 o p， o p 就是 所求做的角平分线，不写做法，保留很紧。 好，我们这里现在我们来过点 f 做 o b 的 垂线。好，我们以这个点 f 圆心，以任意差为半径作弧。 好，加，这里为两点。再分别以这两点为圆心，以大如二分之一两点的长度为半径作弧。 注意啊，以大如二分之一，这两点的长度因为短了，他找不到。加点。好过这两个点，我们做一条直线， 好，那么这个呢，就是这个垂线了，好，这个垂线呢，加，刚才这里于一点 p， 好， 现在我们做射线 o p 好， 做射线 o p 好， 那么这样呢？这个角平分线我们就做完了。 好，现在第二个问题就是利用刚才的这个，我们来完成小红的猜想，因为 p e 设置 o e， p f 设置于 o b， 所以角 o e p 等于角 o f p 等于九十度，所以 r t 三角形 o e p 切等 r t 三角形 o f p h l 好， 这里写什么呢？斜边，直角边好，这里斜边是 o p 是 公共边，直角边呢？ o e 等于 o f， 对吧？所以这里是 o p 等于 o p， o e 等于 o f， 对 吧？好，我们看到这样，那么这个，这里刚才我们做的是垂直，这里我们做的是垂直，对吧？这两个直角三角形，斜边是公共边 长这边我们是我们所做的相等的两个三角形的。之后呢，那么这两个角就相等了，所以角 poe 等于角 po f， 所以 角 poe 等于角 po f， 对 吧？所以 o p 平分角 a o b 啊，根据 h l， 我 们看到第四题，如图， a， d， b， c 交于点 o 啊，这个呢，要求角那个 c o 的 c a d， c， d 的 c， d 在 这啊，求这个角的度数。 我们看到，因为，因为什么，因为角 c 等于角 d 等于九十度，所以三角形 a、 c、 b 与三角形 a、 b、 d 都是 r t 三角形，对吧？都是直角三角形。那么在 r t 三角形 a、 b、 c 于 r t 三角形，我们看到 a， b c， a， b 是 公共边 a b 然后呢，这里的告诉了 a、 b、 c 的 什么呢？ b c 好， bc 好 a， b， c 对 应的是 b a、 d， 所以 注意字母的对应啊。 b a、 d 中 a， b 等于 b a 啊，注意对应的写法。那么 a， b， c 等于 a， d 好， b， c 等于 a d 啊，那么所以 r t 三角形 a b c 前等 r t 三角形 b a d r t 三角形我们写 r t 用 h l 来证明的时候，我们要写的这个， 所以这个角 a， b， c 等于三十五度，那么这个角也就是角 b a， d 等于角 a， b c 等于三十五度。 又因为角 b a c 这里是这角，这个角啊，是等于九十度减去角 a， b， c 等于五十五度 哎，所以角 cad 就 等于五十五度减三十五度等于二十度啊。由于时间中间有的我没写完，记得点赞关注哦。

陪你一起预习课本八年级数学下册的第三十三页纸！线段的垂直平分线这节啊非常重要啊，考试是一定要考到的。 线段的垂直平分线呢，我们首先要知道线段的垂直平分线是怎么做的。好，这里是已知一条线段 a b， 我 们怎么做线段的垂直平分线呢？我们以点 a， 点 b 为圆心， 以大于二分之 a b 的 长为半径。注意啊，以大于二分之一长度的为半径 作弧，两弧交入两个点，过这两个点做一条直线。比如这两个夹点是 m n， 那 么 m n 就是 ab 的 垂直平分线。 我们来跟它说明一遍，咱们连接 am am b m b m 那 么有刚才的作图，我们就知道 am d m d a n d b m 呃，另外这个 m n 呢，是公分边，所以三角形 a m n 和三角形 b m n 两个三角形呢，是全等的。 那么三角形 a m n 前等于三角形 b m n 这两个三角形等呢？所以我们就可以得到，得什么呢？得到这里的角一等于这里的角二，对吧？呃，同样得到这里的角三等于角四， 那么对于角一等于角二，对于这个三角形 a m b 来讲，哎，我们又可以给你等腰三角形顶角的平分线是底边的中线，也是底边的高线， 所以也就说这个 m n 呢，是 ab 的 垂线，也是过终点的。我们把垂直于一条线段且平分这条线段的直线呢，叫做线段的垂直平分线。好，我们看到 刚才我们做了中垂线啊，现在中垂线呢，我们是不是要大家记住的是这条性质线呢？垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 已知我们的直线 m n 垂直 ab， ac 等于 bc 啊，这个如果说已知这是垂又中，对吧？垂直平分线又垂直又平分， 那么这样呢？很显然我们可以得到两个三角形切等，对吧？这是个 p c 公共边， a c 等于 b c， 对 吧？这个垂直，这都是直角啊，跟你边角边两个三角形，所以 pa 等于 pb， 所以 这里的证明呢，是很简单的。 嗯，大家把这句话记住，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。反过来，如果先知道到一条线段两个端点距离相等，那么这个点呢？在线段的垂直平分线上。 好，我们看到这里是一条线的 ab， 如果说有一个点，比如说有一个点啊，这是点 p 到 ab， 两个端点的距离相等， p a 等于 p b， 那 么我们说这个点呢，就在它的中垂线上，为什么呢？因为 p a 等于 p b 的 时候，咱们如果说过这里坐车直 做 p d 垂直 ab， 那 么 p d 就是 ab 的 垂线了。哎，我们根据三线合一等幺三的底边的中线，也是底边的高线， 对吧？也是顶点的平行线，所以这个时候如果你做的这个垂线，那说明这也是终点了啊，这个 d 是 ab 的 中点了，所以呢，就说这点，呃，在 ab 的 垂线上，也在 ab 的 这个中线上啊，这里书上没有写证明，那直接大家把它背下来 啊，到线段两个断点距离相等的点在线上的垂直平分线上。我们看到这个例题啊， a b 等于 a c， o b 等于 o c， 求证， a o 是 垂直平分 b c 的， 这里我们怎么证明呢？因为 o b 等于 o c， 所以 o 在 b c 的 中垂线上， 又因为 a b 的 为 c， 所以 a a 也在 b c 的 中垂线上。那么根据两点确定一条直线，而这个 o a 是 两个不同的点，所以说，呃，直线 a o 啊，是 b c 的 中垂线 啊，这个就比较简单了，这个书上都是文字的系数。 呃，做垂直平分线呢？刚才我们在一开始跟大家讲了，就不说了啊，这里如图， ab 是 c 的 垂直平分线， ab 是 c 的 垂直平分线。那就说这个这个，这个没写字母是吧？我们看题目问什么， 呃，是 e f 是 上面的两个点，确定角 e c f 等于角 e d f， 那 么 ab 是 它的重置线 ab 重置线的任何一点大线段的两段距离相等，所以 e c 是 等于 e d 的， 那么这个 f c 呢，也是等于 f d 的， 对吧？所以那么根据等边对边角，这个角 e c d 等于角 e d c f， 角 f c d 等于角 f d c， 所以 这合起来也等于这合起来了。好，比较简单的我们就不说，大家自己看，记得点赞关注哦！