青岛版7年级下册角的类型

三角形啊，其实在小学里面我们也接触过三角形，三个内角和一百八十度，两边之隔大于第三边，这都是一个复习啊，都是复习，我们都知道。 好了，接下来我们会更新一个知识，就是在原来基础上增加一个新的知识，就是角平分线问题，中线和高线问题啊，什么意思？好，比如说我画一个三角形， 好，再看角平分线什么意思呢？就是这是一个角吧，好，我把这个角如果画一个它的角，把这个角平均分两两份一模一样的角啊，然后呢，我就连下来，连到哪就是哪，那么这条线 l 线啊，就是 三角形。角平分线，那么这个角我也把它平分啊，画一条线啊，让让这两个角都相等啊，相等的情况下画出来的这个线我连到哪就是哪，那么它就叫做角平分线，比如 l 二是 l 一， 那么这个角呢？我也把它平分一下啊，平分，分的这两个角一模一样大，那么那么也就是一个三角形里面有三个角，角我都可以哈 化为三个角平分线，对角平分线，把角啊，三个内角是平分了嘛的线，简称角平分线。那么什么叫中线呢？ 中线是什么意思呢？那么中线就是针对边来说的啊，比如说啊，这三个边，比如说这个 ab 边， ab 边，我取了个中点，这个线段的中点我标到这了， 对吧？我标到这，然后我连接对面的这个顶点，哎，那么这条线，我比如说你一个 l 四啊，那这个 l 四就是中线，它就是中线，明白没有啊？叫做中线， 那同样道理，举一反三， a c 的 中线，大家会画了吧？哎，中点，然后对面连线，哎，中中线啊，这道线就行，然后这边的，哎中点，然后我连线， 那么它就是中线啊，大家知道一下就行了，那高线就更容易了啊，高线就更容易。高线就是比如说一个三角形可以画出三个高来，是不是？比如说给这画一个垂线 啊，我一定是九十度的啊，他叫高线，那么这条啊，我划过去，我用用直尺啊，到时候要量啊，量个九十度，量过去他就是高线，那么用个尺子过来，量下来啊，量下来，直直的垂下来，那么他叫高线啊，这叫做高线，他的高嘛， 明白了没啊？叫高线好了，分别啊，讲完了，角，平分线，中线，高线啊，大家知道了以后，然后初一的下册我还学到全等三角形。全等三角形是什么意思呢？就是复制啊，说白了就是对这个三角形完完整整完全的一个复制。 不止啊，一模一样的意思。就说他俩呢，我画的不太标准啊，他俩呢？能够完全怎么样？重叠，能够完全重合，一模一样大，一模一样大啊，一样一模一样，一模一样全等吗？就是完全相等就全等， 明白没有？那叫全等三角形，那么全等三角形对应的边和对应的角都相等啊，也就说比如说这个角他一定跟这个角相等啊，我画的不标准，但意思就这意思啊，他等于他，他等于他， 明白没有啊？在这个章节里面，学到前，等三角形里会首先概念，你懂了以后他就会让你学这个，哎，判定定理就是给你一个三角形，对吧？又给了你一个三角形，然后给了你说，哎，这两个边 哎，他等于他，他也等于他，他也等于他啊。那么问他俩是否全等，那肯定是，或者说告诉你这两个，然后你又算出来这两个也相等，那么你就可以判定为他俩全等啊， 明白没有？全等符号啊，大家明白一下，来给大家画一下，就是一个倒的 s， 写个等号叫全等，就是只要只要你知道它俩相等，并且你还能得出它俩也相等，那么它必然就是全等三角形，也就是所谓的边边边啊，如果它俩的三条边对应都相等，那么叫全等三角形。 如果说它两个三角形有两个角相等，等于，并且另外一个边也等于另外一个边，那叫做角边角，那这两个三角形也一样是全等三角形。用来证明的啊，这个是用来判定的，判定的一个原理啊，判定判断用的， 判定啊，判定用的，比如说，哎，那个三角形，两个三角形的两条边相等，并且呢，它俩中间的一个角边，那么这两个三角形也一定全等。 如果说这两个三角形两条边相等，并且任意一个角也啊，他俩的任意一个角啊，就其中一个角，他的角和他的这个其中的一个角相等，那么叫边边角啊，问看能不能全等，注意，这种是不能的啊，不能的，只有边边边 角边角角角边和边角边相等这样子的。这四个情况，大家背过去是全等啊，这个经常是个陷阱，大家记一下就行，好了吧。 好，那么接下来我们还会学到一个尺规作图啊，尺规作图 就是利用全等来判定这个三角形，这个呢，给大家看一下文字性的东西，大家理解一下，然后对着作图的方法啊，来记一下就 ok 了，操作一下就行了，就就知道了啊， 这个也是啊，大家截屏一下，然后跟着根据这个做法啊，做一下就 ok 了，这个也是啊，根据这个做法做一下就行了啊，大家来截个屏啊。 好，我们再看下一个知识点，就是我们会涉及到第五张的生活中的轴对称 轴对称问题呢，其实在小学里面我们已经初步啊，已经给大家学习过，讲过，那么在初中他会涉及哪些进步啊，深挖的一些知识呢？就是 区分轴对称图形啊，一个图形和成轴对称图形，两个图形啊，其实这就是复习呢，对吧？比如说一个正三角形，那么这个正三角形一样一定是个轴对称图形，那么如果是两个正三角形，我们就说这两个正三角形成轴对称 好，那轴对称它的性质是什么呢？对应的点所连的线段被对称轴垂直平分啊，这个很容易理解，比如说我现在画一个正三角形画的不是很标准啊， 那你大概理解一下就行啊，那么如果它这是它的轴对应的点，这个点和这个点对应的话，那么它连接起来，那么这个对称轴一定是把它俩垂直并并且平分了， 明白吧？就这意思啊，所有的点连线都会被这个啊对称轴啊平分并且垂直，听懂没有啊？注意它的性质，大家也能理解啊， 而且说垂直平分线上的点，好，给大家再延伸一个知识点，就是这个中垂线，我们可以认为这个轴轴啊，这个轴对称轴的，这个轴其实就是垂直平分线啊，它其实就是 垂直平分线啊，他其实就是垂直平分线。什么是什么意思呢？就又垂直又平分啊，你看是不是不又垂，然后又平分啊？也叫中垂线啊，我们也也可以把他叫做中垂线， 那么它就叫做它其实就是对称轴，就这个图形的对称轴啊，一回事，这就是我们初中啊进步延伸给大家讲的一些原理，懂了吧？也很好理解啊。 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，什么意思呢？比如说我画一个线段，对吧？然后画一个中点，这个线段的中点我，然后我做个垂线下来，那么这个中垂线啊，画的不是很直啊，那么它上面的所有点点啊，它上面所有点点连到这个线段的两端 啊，连到线段的两端，画的不是很标准，大家理解意思啊， 画到这个点点线的两端啊，他都是相等的，相等的，你也能理解啊，很容易理解，所以，所以有一个定律，就是中垂线上的所有点到线段两端点距离相等，还有就是这个角，他说角平分线上的点到角两边距离相等，什么意思呢啊？来给大家画一个角， 来把这个角平均分了啊。哦，什么意思？这个角平分线上的所有点到这个线段的距离 相等啊，你也能理解是吧？就像一个鱼刺一样的，它等于它，它等于它啊，就这意思， 很容易理解吧。好了，又学一个原理，就是等腰三角形啊，等腰三角形，等边对等角，三线合一啊，这些性质。还有等边三角形的性质 啊，什么意思呢啊？给大家提一下，等于二三角形啊，他有一个性质是什么意思呢？就是其实小学应该也接触过啊，两个底角是相等的， 然后中垂线三线合一啊，画的不是很标准啊，你说他的高，就是他的中线里面的底边的中线， 又是高又是中线又是中垂线啊，也是高又是垂线，而且还是角平分线，这个角，这个角的角平分线， 所以呢，我们叫三线合一啊，三线合一，中线角平分线，高线啊，三线合一，在等腰三角形里面啊，这条线三线合一， 又是他又是他又是他，一回事啊，就这意思，那么对，等边三角形也是一回事啊，三线合一谁呢？就是等腰三角形啊，他有这个三线合一的这个性质， 那么等边三角形是特殊的等腰三角形，那么它也具备这个性质。记一下啊，好，理解下，我们再看一下，利用轴对称来进行设计啊，好，大家把这个截屏一下啊，看一下 啊，把这个截屏一下，看一下就 ok 了啊，又是个，其实就是垂直平分啊，把这个也截屏一下，记一下。 好，接下来我们出一下测，最后一张就是概率初步啊，概率初步这个问题呢，很简单啊，大家记着，只要记住这个公式就 ok 了 啊，记住这个公式就非常简单了，就是说如果说我在一个大量重复的实验中啊， 这个频率啊，稳定于概率，那么求概率怎么求呢？就是你要想，你要求，比如说，哎，发芽，发芽的这个概率是不是？那你首先要把种子，所有种子的数量哎，写到这多少，那么发芽的 啊，消除除下来的结果就是概率，明白没有？也就这个公式啊，大家把这个公式记一下，所以在学概率这块呢，大家只要记住这个公式啊，并且理解这个公式就行了，没有啥难度啊， 也就是主要套这个公式来解析的啊。好，那关于这一章呢，会涉及到哎，面积、长度相关的概率转盘问题啊，比如说会涉及到这个这个这个这个问题啊，然后我们看一下啊，给大家准备了几个例题，大家看一下，比如说转盘问题，对吧？ 看下这个解析，把一个转盘分成八个等分的扇形，其中红色区域占三个，蓝色区域占两个，红色区域两个，然后绿色占一个啊，转动这个转盘时针停止后指向某一区域，那么问你啊，求时针指向红色区域的概率， 那很简单是不是？那你红色区域一共有几个区域？三个，那我的分子是不是就是三？是不是也就是事件啊的结果数啊？这个确定这个事件的结果数是不是一共有三次机会？ 有三个机会，那么所有的，那我在转这一瞬间，除了黄红色区域是不是还有其他颜色区域？其他颜色区域加上这个红色区域一共有几种可能？三加二加二加一， 是不是？而且呢八个等分是不是也就是八个呀？一共总总的可能是八个呀，所以呢，红色的概率就是八分之三，那意思里头如果蓝色蓝色区域的概率多少？八分之二是不是黄色区域八分之二，绿色区域的概率呢？就是八分之一，就这么回事啊， 明白没？还是套那个公式啊，套这个公式就行了。好，我们再看下地板砖的问题，大家把这个题来可以截屏一下啊，然后看下解析，还是套用的那个公式 啊，确定事件和所有可能事件作为分母，确定事件啊，它的它的它的所有可能占为分子啊，求出来的好，大家把这个截个屏啊，截个屏看一下，到了高中的概率会更难一点啊，初中的就这么简单，说白了就是套公式 好，关于长度的概率啊，大家把这个也截屏一下，看一下，非常容易。 好了，北师版七年级下册的数学咱们就全部讲完了，手机前的同学们，还有热心孩子学习的家长朋友们，你们是否有收获呢？如果江英老师的讲解对你有帮助，欢迎你关注，长按点赞、转发、收藏、评论，感谢你的善举！ 好了，把江英老师关注好，平时有什么学习上的棘手的难题，还有无处下手的学习方法，都可以随时跟江英老师交流。关注江英老师的好处二呢，使后期你还会第一时间收到江英老师更新的更多有用的免费知识， 让孩子的学习从此变得更加简单有效。优秀，关注佳莹老师，收看更多精彩合集与有用的知识！

七年级下册不考这道题，你来答我看题如图，已知 b e 垂直 a c f g 垂直 a c 好， 我们做一下图，做一个垂直标，标志在这里。好，角一等于角二，你能判断角 a d e 这个角哈， abc 之间的关系吗？这两个角好，做。这种题啊，我们一般先用右眼来判断这两个角之间的关系。首先我们来看一下这个 d e 哈，它是不是应该平行于 bc 的， 对吧？那既然 d e 平行于 dc， 所以 你这个角 a d e 是不是应该等于角 abc 啊？啊，这两个角是同位角对吧？两直线平行，同位角相等，没有毛病吧？啊，好，那我们来推一下，看能不能通过题目去推出来。 ok 啊，我们看一下这个第一个条件， b e 垂直 a c f g 垂直 a c 将这两个角垂直，是不是说明这两个角都是九十度？而且这两个角是什么角啊？同位角，对吧？好，写一下哈，因为 b e 垂直 a c 啊， f g 垂直 a c 好， 所以呢，可以得到角 b f 啊， b e c 等于角 f g c 啊， 好，那这两个角相等，是不可以推出 b e 垂直 f g 啊？所以 b e 垂直 f g。 好， 既然 b e 垂直 f g， 我 们通过结合图形来看，是不是可以在图形中可以又得到一些数量关系啊？它这里给了你一个角三， 他肯定是要让你通过这个角三去推出一些数量关系，对吧？我们来观察一下，角三跟角二是什么？是什么角关系啊？ 是不是两个角三跟角二是一个同位角啊？你既然 b e 垂直于 f g， 那 么角三是不是应该等于角二啊， 对吧？好，角三等于角二，你回到题目这里来啊，题目这里还有个角一等于角二，角一等于角二，你来看一下， 是不是应该让我们去通过这两条关系去得到一些数量关系，对吧？好，因为角一等于角二。好，这两条通过这两条我们可以得到什么关系啊？是不是应该写角三等于角一啊， 对吧？啊，好，角三等于角一，这个角等于这个角，我们来看一下哈，角一跟角三是什么角啊？ 啊？是不是应该是内错角，对吧？内错角相等什么？两直线平行啊？内错角相等，两直线平行。是不是直接可以推出 d e 平行于 b、 c， 对 不好？所以 d e 一定是平行于 b、 c 的。 好，接下来 d e 平行于 b、 c， 不 就可以推出这个 a， d e 跟这个 a、 b、 c 相等吗？这两个角是不是一个同位角，对吧？这两个角是同位角关系吧？ 啊，对，不好，所以哈，角 a， d e 等于角 a、 b、 c 啊，这种题型还是得要多练啊。同学啊，考到回来跟我讲一声哦，下课。

我们一起来看一下这一道七年级下册关于利用平行线的判定和性质说明角的关系的题目。如图一、杠九杠五已知 ab 平行于 c、 d， 角 a、 d、 c 等于角 a、 b、 c 是 说明角一和角 f 是 相等的。首先，角一和角 f， 它们是内错角，要证明内错角相等，我们就要证明两条直线平行， 题目上面告诉我们 ab 平行于 c、 d， 那 么我们就可以得到角 abc 就 等于角 d、 c、 f。 而题目上面又告诉我们角 a、 d、 c 等于角 a、 b、 c， 所以 角 d、 c、 f 就 等于角 a、 d、 c。 这个角和这个角是相等的。从这里到这里，我们用的等量代换 角 d、 c、 f 和角 a、 d、 c， 它们是一组内错角，所以我们就可以得到 d、 e 是 平行于 b、 f 的 两只线平行，我们又可以得到内错角相等，所以角一就等于角 f。 我 们一起来学一下解析过程证明，因为 a、 b 平行于 c、 d， 所以 角 a、 b、 c 就 等于角 d、 c、 f。 因为角 a、 d、 c 等于角 a、 b、 c， 所以 角 a、 d、 c、 f 就 等于角 d、 c、 f， 所以 就得到这个跟这个平行，所以 e 就 平行于 b、 f。 两直线平行，内错角相等，所以角一等于角 f。 这就是这道题的解析思路和解析过程，大家学会了吗？关注小朱老师，我们下期再见！

你下册学不好三线八角，那初中数学别学了。来看一下三线八角，直线 a 和直线 b 被直线 l 所截，形成了八个角，这就是三线八角。三线八角当中的 八个角，按照他们的位置关系可以分为同位角、内错角和同旁内角。看一下同位角，什么是同位角呢？同位角，那就是位置相同，像角一和角五，他们的位置相同。怎么说的相同呢？他们在两条背接直线的 同侧，并且在截线的同侧，在截线的同侧， 那这样的角就是什么？同位角，角一和角五是同位角，角二和角六是同位角，角四和角八是同位角，角三和角七是同位角，那同位角。我们来看一下角三和角七，像不像一个 f 型？哎，就是这样的 f 型啊，同位角。 再看一下内错角，那内错角，我们来看一下什么是内错角？它是在两条背接直线之间， 两个背接之间，这是不是两侧之间，并且在结线的两侧？结线的两侧，那只有角二和角八，角二和角八，它们就是内错角， 同样角三和角五也是内错角，那内错角它的结构像什么呢？我们来看一下角二和角八，角二和角八像不像是锐角形，那角三和角五呢？是反锐角形， 反 z 就 行，也说是 z 就 行吧啊，反 z 就 行。再说说同旁内角，那同旁内角，什么是同旁内角呢？它是在结线的同一旁， 在结线的同一旁。你看角二和角五在结线同一旁，角三和角八也在结线的同一旁。并且在什么？在两条背接直线的啊之间，两条背接直线之间，那角二和角五就是同旁内角，角三和角八呢？也是同旁内角。 那同旁内角像什么？你看像不像一个围绕的一个 u 字？哎，这像一个 u 字。好，那同内角、内错角和同旁内角，他们都是两个角之间的关系大家一定要分清。

小武哥还在写语文真卷，这是他今天写的数学课外的题， 最近一直在学习几何模型，对于初学者来说问题还是比较多的，经常会有步骤不清晰、因果关系不成立或者跳步骤的情况， 学校老师也一直在加强巩固练习，周末再找一些题加强训练。

大家好，我是兰心清香，今天继续和大家分享七年级数学下册的有关平行线的一个易错题，或者是易考题压轴题 啊，因为其实每套卷纸里面呢，基础分呢，能够占了百分之八十，那这个百分之二十呢，就是一种题， 升华和拔高。那么但是在百分之八十的这题里面呢，现在给大家多多分享一些，希望大家看了这个视频以后呢，能够点赞、关注，转发给有需要的人啊，收藏以后呢，获得事半功倍的效果。我们来看一下今天这个题面，如图，直线 a， c、 e、 f 相交于点， o o d 是 角 a o b 的 平分线，那也就是这两个角相等， d e 在 角 b o c 内， d e 在 角 b o c 内，角 o b。 角 b o e 等于二分之一的角 e o c。 也就是说角 b o e 是 它的一半， 那 e、 o c 就是 它的两倍呗。角 d o e 等于七十二度，角 d o e 等于七十二。求角 a o f。 求这个角的度数。 我们刚一拿上这道题的时候，我们先来看一下它，既然告诉我们了这个呃 boe 和这个 bo 和这个 bo， c， eoc 之间的关系，那么我们可不可以把它设出来以后呢？求出来这个 boe。 既然知道 d o e 是 七十二度，我们把 b o e 先求出来，求出来之后呢，我们可以看一下，因为 a o f 其实就是和 e、 o c 是 一样的，为啥？因为对顶角相等，当我们能求出来 e、 o c 的 时候呢，也就等于求出来了 a o f。 所以 我们知道这个题的思路以后，我们来看一下解。 我们射角 b o e 等于 x， 则角 b a e o c。 角 e o c 等于二 x e o c 等于二 x， 嗯，这是 x， 这是个二 x， 也就说这两个是不是三 x？ 呃，因为角 a o b 加角 b o c 等于一百八十度，嗯， a o b 加角 b o c 等于一百八十度。那么我们来看一下 e o c e o c 是 不是二 x？ 那 在这里面，角 b o c， 角 b o c 是 不是就等于 角 a o b a o b。 角 a o b 是不是就等于一百八十度减去三 x？ 角 b o c 咋能等于三 x 呢？这个是个 x， e o c 是 个二 x， b o c 是 不是等于 b o e 加 e o c， 所以 是不是一百八十度减去三 x？ 那 d e 呢？就是 o d 是 角 a o b 的 平分线，角 a o b 的 平分线，角平分线。 因为 o d 是 它的平分线，所以角 a o d 就 等于角 a o d 就 等于角 d o b。 角 d o b 等于二分之一的角 a o b。 二分之一的角 a o b 这个很好理解，它是它的，它俩相等，然后呢，它其中一个角就等于这个大角的一半，这个很好理解。那么等于二分之一角 aob， aob 是 不是等于一百八十度减三 x？ 那 么我把这个代入是不就等于，呃，这个二分之 一百八十度，一百八十度减去三 x 除以二。因为 aob 我 们用一百八十度减三 x 代替了。那既然是二分之一角 aob 是 不是就用一百八十度减三 x 除以二就 ok 了？那么又因为角 d o e 等于七十二度，这个是已知的原体给的一个条件，所以角 d o b 加它也等于七十二度，所以角，嗯，角 d o e， 所以 角 d o e b o e 也等于七十二度， 嗯，也等于七十二度，那我们知道这样有关系后，是不是就可以把它带进去？ d o b d o b 呃 d o e b o e b o e 是 x， b o e 是 x， 那 就是 x d o b d o b 是 不是二分之在这里？ d o b 我 们是不刚才算出来了，那就是用把它代入就行了，一百八十度减去三 x 除以二，加上 x， 是 不等于七十二度 啊？去分母，去分母，那就是一百八十度，就剩下运算就行了，一百八十度减去三 x 加上二 x 等于一百四十四度， 那是不是 x 算起来就是等于三十六度？ x 是 谁？ x？ 是 不是这个 boe boe 因为 x 等于角 b o e 等于三十六度，而所以角 e o c， 所以 角 e o c 等于角 a f o a f a a o f 等于二 x 等于七十二度。 所以我们再来简单回顾一下这道题。也我们知道了，就是先根据这个 b o e 给的这样一个它和它 e o c 之间的关系，然后我们求出来这个它们这个是 x， 这个是二 x。 然后又因为 a o b 加角 b o c 是 一百八十度，所以是不就 a o b 就 等于一百八十度减去三 x？ 知道了 a o b 以后，因为 o d 又是它的平分线，所以这个角一就等于角二，角一又等于角二，而角 d o b d o e 是 不是就是用 d o b 加角 b o e 是 不是就等于七十二度？我们根据这样一个关系，然后依次把它们带进去以后，因为 呃 d o b， 呃 d o b 等于二分之一百八十度，减三 x b o e， 我 们设为 x， 把它直接代入 x 等于七十二度， 等于七十二度。我们用数学算出来说， x 等于三十六度，也就是角 b o e 是 三十六度，那么 e o c， 呃，是不是它的二倍？三十六度，二倍就是七十二度。然后 e o c 又和 a o f 是 对顶角，所以 a o f， 也就是 g 角 a o f 为七十二度。好，今天的分享就到这里，谢谢大家的收看，下个视频再见。

大家好，这节课我们来学习角的比角。首先我们来看学习目标， 学习目标一共有三个，一、掌握角的大小的比较的方法。二、掌握角的和差倍分概念和做法， 灵活运用角平分线的数学表达式处理问题。我们说角的平分线有多种表达式。 三、培养类比联想的思维能力和对知识的迁移能力。好，这是学习目标。下面呢我们来看一下重点和难点， 重点是角的比较方法，角的和差倍分的做法。 角的平分线定义难点呢？是角平分线定义中的各种数学表达式，其实就是一个灵活选择的问题。好，我们来看第一个知识点，关于用叠合法比较两角的大小。 怎样用叠合法比较两个角大小呢？这有两个角，一个角是 a o b， 一个角是 e c d， 这两个角的大小怎样来比较呢？以前我们学过用量角器来量，那现在如果没有量角器的话，我们怎样比较呢？大家来看，我们就用叠合法来比较， 具体操作怎么办呢？首先我们来看，第一，将两个角的顶点和一条边重合，就是说将角的顶点 c 和 o 点重 重合，然后把其中的一条边再中和。我们习惯上 cd 和 ob 重合，重合以后怎么办呢？ 两个角的另一条边落在重合一边的同侧，就是说让 cd 和 ob 重合以后， oa 和 ce 再重合边的同一侧。 然后我们来看有两个角的另一边的位置，我们来确定两个角的大小。 具体怎样来确定呢？我们来看先重合到一块，大家看顶点重合，一条边重合，然后我们看剩余的另外两条边再重合边的同一侧。 但是你会发现，相对于 o a 来讲， o a 来讲， o e 里头边呢，应 应该在角 a、 o、 b 的外侧，外部这算内部，这算外部。所以呢，我们就继承角 e、 c、 d， e、 c、 d 就大于角 a o b。 就是说如果一条边落在了外部，我们就说这个角要比这个角要大。 同样道理，我们再来看一下。好，我们接着往下看角 e、 c、 d 和角 a、 o、 b 的关系， 我们仍然采用叠合法，我们让顶点 c 和 o 重合， cd 和 ob 重合。这次我们来看 c 一边落在了角 aob 的什么位置，大家看 好，大家看 c e 这条边落在了角 a、 o、 b 的内部， 这个时候我们就说角 e、 c、 d 要小于角 a、 o、 b。 同样的方法，我们再看下面的 e、 c、 d 和 a o b 的关系。 我们会发现 c e 这条边和 o a 这条边是完全重合的， 落在了边上，重合了，第一个在外部是大于，第二个在内部是小于第三个重合了。那这个时候我们说这两个角是相等的关系。好， 这样一来，我们就用叠合法得出了角的大小的关系。好，这个问题说到这里，我们接着 往下看，说若角 a o b， 大家看 a o b 和角 a o e 这两个角，如果这两个角，这两个角要相等的话，我们会得到一些表达式，大家看， 第一就是角 b o e 会等于二倍的角 a o b， 当然它也等于二倍的角 a o e。 反过来就是说 b b o a 这个角等于二分之一，这个角 b o e。 当然我们可以说角 a、 o e 呢，等于二分之一角 b o、 e。 这个时候我们引进一个名词，就是它涉嫌 o a 呢，就叫做角 b、 o、 e 的角的平分线，因为它能够让这两个角相等。好，严格定义，我们来看 一条射线，把一个角分成两个相等的角，则这条射线呢，就叫做角的平分线。注意，这里边我们给出了角的平分线的概念。好， 他的符号语言怎样叙述呢？假如说角一等于角三，或者说角二，角二等于二倍的角一，或者是角二等于二倍的角三， 如果有这个条件的话，我们就说射线 oc 就平分角 aob， 或者说射线 oc 就是角平分线，直接说就可以有 前面得后面。反之，如果告诉我们了 o、 c 是角平分线，我们也可以推出这个结论来，大家看， 比如说射线 oc， 如果能够平分角 aob， 那么角一就等于角三，或者说角二就等于二倍的角一，或者角二等于二倍的角三， 这些结论都会出现。好了，关于角的平分线，希望大家注意它的不同的表达式，实际表示的含义是相同的。 好，我们来看一下。例一，如图，在角 a、 o、 c 的内部划射线 o b a、 o c 的内部划射线 o、 b， 在角 a、 o c 的外部划射线 o d、 o d 是它外部一条射线 a、 o、 c 是哪两 两个角的和 a、 o、 c， 大家看，从图上看，应该是这两个角的和，是哪两个角的差， a、 o、 c 是哪两个角的差，应该是这个大角减掉角 c、 o d， 得到了 角 b、 o、 d 是哪两个角的和，是哪两个角的差。再有，当角 a o b， a o b 等于角 c、 o、 d 的时候，你能找出其他相等的角吗？ 好，我们逐一来分析。第一个问题来看说角 a o c a o c 是哪两个角的和，哪两个角的差，很明显应该是这两个角的和，就是 a o b 和 b o c 的和，也是角 a o d 和 c o d 的差。我们写出来看一看， 角 a o b a o c 是 a o b 和 b o c 的和， a o d 与 c o d 的差，那我们具体的用等式表示一下，就是这样， a o c 等于 a o b 加 b o c a o c 呢？还等于 a o d 减 c o d。 好，这是第一问，那么 b o d 呢？大家看 b o d 是哪两个角的和呢？很明显就是 b o c 和 c o d 的和差呢？就应该是整个这个角减掉角 a o b 写出来大家看。就这样 再看，当角 a o b a o b 等于角 c o d 的时候，这两个角相等，还能找出哪些相等的角来，大家看看啊。 角 c o d 和角 a o b 相等，中间这个角 b o c 是没有变化的。那大家想 boc 加 aob 和 boc 加 cod 应该是相等的关系，所以呢，由前面相等，我们能推出角 bod 和 aoc 应该是相等的关系，写出来 就是当角 a o b 等于角 c o d 时， a o c 和 b o d 是相等的关系。 好，这里面对于例一来说，只要我们能读懂题意，结合图像去找角就可以了。好，这个题我们就说到这里。好，我们来看一下例二，如图， o b 是角 a o c 的平分线，大家注意，平分线出现了和角 c o d 是等于二倍的角 a o b 是说明 oc 是哪一个角的平分线。大家想， oc 要是角的平分线的话，我们得找到它两边的角应该是对应相等的， 我们来看这里边 ob 是角平分线的话，大家想这两个角 aob 和 boc 应该是相等的关系， 而这里边呢， c o d 这个角等于二倍的角 a o b 很明显就说明角 c o d 和角 a o c 应该是相等的关系，这样一来， o c 就应该是角 d o a 的角 平分线。好，我们写下过程。大家看 o b 是角平分线，所以呢， a o c 这个角就等于二倍的角 a o b 就说这个角等于它的二倍，而这里边呢，它也等于它的二倍， 所以呢，这两个角就是 a o c 和角 d o c 是相等的，既然这两个角相等，那就说明 o c 就是角 a o d 的角平分线。 好，这个题目我们就说到这里，下面我们来看一下。第三说下面式子中不能表示 oc 视角 aob 的角平分线的是哪一个？我们来看第一个， 如果 oc 是角平分线，大家应该想到他要是角平分线的话，他有多种的灵活的表演形式，我们看他本质是不能说明这两个角相等。好，我们看角，第一个角 aoc 等于角 boc， 这两个角向灯很明显 oc 就是角平行线， a 选项没有问题，我们来看 b 选项， b 选项是说角 aoc 这个角等于 aob 的一半，大家想他如果等于整个角的一半的话，那这两个角就是相等的关系，所以 oc 就是角平分线，没有问题。 好，我们来看第三个角 a o b 等于二倍的角 b o c， 再看整个这个角是这个角的二倍的话，很明显他这两个角是相等的，没问题。那看第四个说角 aoc 加角 boc 等于角 aob， 大家想从图上看，这个等式肯定是成立的，这两个角之和等于 aob 没有问题， 但是我们说我们要的是说明 l、 c 是角平分线，或者说我们想说明这两个角相等，这里边并没有体现出来，所以这个题的答案应该选择 d。 好，我们看一下过程， 一是角平分线一半的话，也说明是角平分线，另外整个这个角等于其中一个 角的二倍的话，也说明是角平分线。 d 选项等式成立没有问题，但是不能说明 oc 是角平分线。 好，关于角 ppt 的问题，我们就说到这里，希望大家对他有个比较准确的把握，清楚的一个认识。好，我们来看一下 这道中考题，比角两个角的大小有以下两种方法，一、用量角器度量两个角的大小， 用度数表示，则角度大的角大，这是一种方法。二、构造图形，如果一个角包含另一个角，则这 角大。对于如图给定的角 a、 b、 c 和角 d、 e、 f， 用以上两种方法分解，分别比较他们的大小，注意构造图形是要保留草图即可。好，我们来看一下， 这是两个图形，如果用量角器测量的话，我们直接让量角器放到这来，刻度对应起来就可以，我们可以测出角来。大家看 用量角器测量量角可知角 a、 b、 c 是五十度， d、 e、 f 呢，是七十度，很显然七十度是大于五十度的，所以我们说角 a、 b、 c， 它就要小于角 d、 e、 f， 这是一种用量角器来测量 的方法。另外一种方法就是结合法，我们可以让顶点重合 b、 c 边和 e、 f 边重合，我们来看 d、 e 和 a、 b 的关系就可以了。来看， 如果我们把角掰下来重合以后，大家会发现 a、 b 这条边， a、 b 这条边应该在角 d、 e、 f 的内部， 这样一来就说明了 a、 b、 c 要小于 d、 e、 f。 好，我们写一下。如图，点 b 和 e 重合， 顶点重合射线 e、 f 和 b、 c 重合，射线 e、 d 和 b a 在 e、 f 的同侧。由图可知， a、 b、 c 这个角在 在三角形，在角 d、 e、 f 的内部，所以角 a、 b、 c 要小于角 d、 e、 f。 这样我们就证明了刚才的这个结论。很显然，这两个结论是一致的， 方法不一样，一个是用两脚的测脚器来测，另外一种方法就是结合法好这个问题。说到这里好，我们总结一下这几个学的内容，一是用叠合法比较两个脚的大小， 另外呢，就是角的和差倍分以及角平分线的概念。首先我们来看， 关于用叠合法比较角的大小，我们首先要需要做的工作是将两个角的顶点及一边重合，另外呢，两个角的另一边落在 同和边的同侧。再有就是由两个角的另一边的位置确定两个角的大小。这种方法呢，是用几何的方法来比较的大小比较形象直观。具体结论是这样的， 如果落在外部的话，我们说这个脚要比里边的脚大，如果在内部的话，脚要小。如果重合的话，我们说两个脚是相等的关系。 对于角的和差倍分及角的平分线的概念，我们需要注意的是，这样理解角的和差倍分及角的平分线概念， 灵活表达平分线的意义有多种，表现形式明确，角平分线是一条射线，他不是直线，也不是线段，是一条射线，从 角的顶点出发的射线。另外，等式两边都乘以或除以同一个数，所得的结果仍然是等式。这个基本性质呢？对于含线段或角的等式来说， 等式的两个基本，等式的两个基本性质呢，仍然是成立的。好好，这节课就到这里，谢谢大家。

同学你好，这节课我们来学习角的分类，小朋友你来看一下这一幅主题图，图中有四辆挖掘机正在工作，那么根据图中的信息，你能提出什么问题？我们一起来看一看。 上节课我们学过角的认识，知道从一个端点引出的两条射线所组成的图形就是角，所以角是有一个顶点和两条边。 那么观察一下图中的这四辆挖掘机，你会发现挖掘机的铲斗臂在工作中可以形成一个角， 那么我们可以问铲斗币在工作中可以形成什么样的角？我们来看第一辆挖掘机的铲斗币形成的是这样的一个角，第二辆挖掘机的铲斗币形成的是这样的一个角， 第三辆挖掘机的铲斗臂形成的是这样的角，而第四辆挖掘机的铲斗臂形成的是这样的角，这四个角都是不同的， 那么这些角都是什么样的角呢？接下来就让我们一起来探究一下。我们将铲斗币所形成的角画出来之后，你来观察一下这四种角的大小都是不一样的， 那么这些都是什么角呢？我们做个活动角，研究旋转活动角的一条边，把形成的角画下来，那么接下来我们就一起来试一试。 当我们去转动活动角的一条边，那么现在就会形成这样的一个角， 我们可以标为角一，这个角一是什么角呢？我用两角器测量一下角度， 将两角器的零刻度线与角的一条边重合，两角器的中心点与角的顶点重合， 去看角的另一条边对应的两角器上的刻度，你会发现对应的是九十度，所以我们知道角一是等于九十度，而九十度的角就是直角， 这是我们转动活动角所形成的一个直角。我们继续来转动活动角的一条边， 当转动的幅度小一点，就可以形成这样的一个角，这一个角我们可以标为角二。同样用两角器来测量一下，将两角器的内圈的零刻度线与角的一条边成合， 两角器的中心点与角的顶点成合。我们去看角的另一条边，对应的两角器的内圈刻度钉的是五十度，所以可知道角二是五十度， 而小于九十度的角就是锐角，所以角二就是一个锐角。那么我们继续来转动活动角的一条边， 这样又可以形成一个不同的角，这一个角我们标为角三。用两角去去测量它的度数。 将角的一条边与两角器的内圈的零刻度线成和，角的顶点与两角器的中心点成和。 看一下角的另一条边，对应的两角器上内圈的刻度是一百二十度，所以角三就是一百二十度，而大于九十度，小于一百八十度的角是钝角，所以角三就是一个钝角。 现在我们通过活动角转出了直角，锐角还有钝角，那么我们继续来看， 当活动角的一条边这样转动时，形成的是这样的一个角， 那么小朋友你来想一想，这一个角又是什么角呢？我们将这个角标为角四，我们用量角器去测量之后，你会发现 角四与量角器的半圆度数相同，所以角四是一百八十度。 一条射线让他的端点旋转半周形成的角叫做平角，所以这一个角四就是一个平角，平角是一百八十度， 这是我们将活动角的一条边旋转半周所形成的平角。那么小朋友你来想一想，如果我们将活动角的一条边这样去旋转一周之后形成的这一个角又是什么角呢？ 我们将这个角标为角五。角五是活动边绕固定端点旋转成了一个圆，相当于旋转了两个一百八十度。 所以角五就是按三角一条射线绕它的端点旋转一周形成的角叫做周角， 所以角五就是一个周角，而周角是三百六十度。 聪明的小朋友通过我们做了活动角旋转，活动角的一条边可以形成五种角， 直角、锐角、钝角、平角，还有周角。那么接下来你来想一想这五种角之间有怎样的关系？ 我们知道直角是九十度，平角是一百八十度，而周角是三百六十度，所以一个平角就等于两个直角， 而一个周角就等于两个平角。所以你会发现在这里锐角最小，它要小于直角，小于钝角，小于平角，小于周角，所以周角是最大的。 那么方便同学们去记忆，老师教你们一个顺口溜，一周二，平四直角关系密切不得了。 钝角介于直平间，锐角不大比直角，也就是一个周角等于两个平角，等于四个直角， 而钝角是在直角与平角之间，因为钝角是大于九十度，小于一百八十度，锐角是比直角小。 相信现在小朋友们肯定学会了怎样去区分这五种角，那么通过这节课的学习，你有什么收获？ 角分为锐角、直角、钝角、平角和周角，一条射线绕他的端点旋转半周形成的角叫做平角。平角是一百八十度， 一条射线绕它的端点旋转一周形成的角叫做周角。周角是三百六十度。 五种角之间的大小关系，锐角小于直角，小于钝角小于平角小于周角。一周角等于二直角，一周角等于四直角。

如图，直线 a， b c， d 相交于点 o o e 平分角 a o c。 角 b o c 减去角 b o d 等于二十度，求角 b o e 的 度数。 那么这呢是一个典型的几何计算题，我们之前有说过，在几何计算当中，换元法呢，是一个非常有效并且快速的一个解决方法，那么今天这道题我们依旧可以采用换元法。那么首先我们来分析一下这个题目，题目告诉我们的第一个结论是 o e 平分角 a o c， 那 我们通过 o e 平分角 a o c， 我 们可以得到的是我们的角 a o e 呢？它是等于角 e o c， 也就是等于二分之一的角 a o c 的， 那么这是我们的第一个条件。然后呢，题目又告诉我们了角 b o c 和角 d o b 的 差是二十度，求角 b o 的 度数，那么只有这两个条件，我们就可以以此为我们的等量关系条件去建立方程。那么首先我们来先设，我们之前有说过， 一般设圆的话，我们设小不设大，所以在这里面，那么已知条件当中，我们能得到的是角 a o e 和我们的角 c o e 是 相等的，所以我们可以去设这两个角啊，为 x， 那 么然后我们知道这两个角我们设了 x 后，我们要求的 b o e， 我 们观察，那么 b o e 呢，是我们这个角 e o c 和角 b o c 的 和，也就说我们想要求出我们的 b o e 是 多少的话，那我们得求出我们的 x， 也要求出我们的 b o c， 那 么求出这两个角，我们就知道我们所要求的 b o e 是 多少度了。然后我们来发现，那我们刚才已经设了角 e o c 是 x， 那 角 a o e 它也是 x， 那 么我们观察，我们发现在这里面角 d o b 呢和角 a o c 是 对顶角，这是一个题目的隐含条件啊，同学注意不到这个点，所以导致题目没有办法往下做，一定要注意。 然后那我们通过这里面我们发现，那么角 b o d 呢？和角 a o c 是 对等角的话，那角 b o d 呢？是不就是二 x？ 然后呢，那么这里面还有一个隐含条件，就是 a o c 和 b o c， 它俩是邻补角关系，那么 a o c 呢是二 x， 那 么 b o c 和它是邻补角关系的话，那 b o c 是 不是就可以表示成一百八十度减二 x？ 好了，那么现在我们看 b o c， 我 们用 x 表出来，而 b o d 也用 x 表示了，那么这个方程是不是就建立起来了？建立方程以后，我们直接去求出 x 的 值，再代入到我们要求的 b o e 当中，是不是就知道 b o e 是 多少度了？ ok， 这是我们的思路，那么下来我们一起来写下过程。首先呢啊，因为 o e 平分角 a o c， 那 么所以呢，我们是不是得到了角 a o c 等于二分之一的角 a o c 的， 然后呢，我们去设啊，设角 a o e 呢，等于角 e o c 等于 x， 那 么角 a o c 呢，是不是就等于二 x？ 然后呢，我们的角 d o b 呢，它是不是就等于二 x？ 然后呢，我们又知道角 a o c 呢，加上角 b o c 呢，是等于一百八十度的，所以呢啊，所以呢，那么在这里面，角 b o c 是不是就等于一百八十度减去角 a o c 也就是等于一百八十度，减去二 x， ok， 那 么又加上题目告诉我们的是角 b o c 呢？减去角 b o d 呢，是等于二十度的，所以呢，我们是不是可以得到一百八十度？减去二 x， 再减去我们的二 x 等于二十度， 然后呢，负四 x 等于二十度，减去一百八十度，然后呢， x 是 不是就等于一百六十度？除以四，也就是四十度？ ok， 我 们求出 x 是 四十度呢，我们知道在这里面我们要求的 b o e， 我 们观察一下，那么 b o e 呢，它是由我们的 b o c 加上我们的 e o c 得来的，也就是一百八十度。减二 x 也就是一百八十度，减去 x 也就是一百八十度，减去四十度。所以呢，是不是等于一百四十度？那么 b o、 c 的 度数是不就是一百四十度了？

同学们好，欢迎来到七年级下册数学经典例题讲解。本视频包含人教版七年级下册六个章节的经典例题，包括相交线与平行线、实数、平面直角、坐标系、二元一次方程组、不等式与不等式组 以及数据的收集、整理与描述。让我们一起来学习吧！第五章，相交线与平行线这一章我们学习了对顶角、邻补角、平行线的性质等重要知识点，下面通过经典例题来巩固。 第五张例题一，如图，两条直线相交，已知角一等于四十度，求角二、角三、角四的度数。解题时要用到对顶角相等和邻不角互补这两个性质。 解，角三与角一是对顶角，对顶角相等，所以角三等于角一等于四十度。角二与角一是邻补角，邻补角互补，所以角二等于一百八十减四十等于一百四十度。 角四与角二是对顶角，所以角四等于角二等于一百四十度。例题二，已知 a 平行于 b， 角一等于七十度，求角二的度数。这道题关键是判断角一和角二的位置关系。 解，如果角一与角二是同位角，两直线平行，同位角相等，角二等于七十度。 如果是内错，角也相等，角二等于七十度。如果是同旁内角两直线平行，同旁内角互补，角二等于一百八十减七十等于一百一十度。关键是先判断角的位置关系。 第六章，实数这一章我们学习了平方根、算数、平方根、立方根和五理数等概念。来看，经典例题 第六张例题一，求下列个数的平方根。第一小题，八十一，第二小题零点二五。注意，正数有两个平方根，它们互为相反数。 解，第一小题，因为九的平方等于八十一，负九的平方也等于八十一，所以八十一的平方根是正负九。第二小题，因为零点五的平方等于零点二五，所以零点二五的平方根是正负零点五， 注意不要漏掉负的平方根。例题二，估算根号五十的整数部分，方法是找两个相邻的完全平方数，把五十夹在中间。 解，因为七的平方等于四十九，八的平方等于六十四，四十九小于五十小于六十四，所以七小于根号五十的整数部分是七， 由于五十更接近四十九，所以根号五十大约等于七点零七。第七章平面直角坐标系这一章我们学习了坐标系的建立，点的坐标以及对称点的坐标规律。 第七章例题，点 a 坐标为三逗号负二，求关于 x 轴对称的点 b 的 坐标以及关于 y 轴对称的点 c 的 坐标 解，关于 x 轴对称， x 坐标不变， y 变号，所以 b 的 坐标是三逗号。二、 关于 y 轴对称， x 变号， y 不 变，所以 c 的 坐标是负三逗号负二。补充一下，关于原点对称的话， x 和 y 都变号，就是负三逗号。二、 第八章二元一次方程组这一章学习了代入消元法和加减消元法。来看两道经典例题。 第八章例题一，解方程组， x 加 y 等于五，二 x 减 y 等于一。观察发现 y 的 系数互为相反数，可以用加减消元法 解。第一步，方程一，加方程二， x 加 y 加二， x 减 y 等于五，加一化简得三， x 等于六，所以 x 等于二。第二步，把 x 等于二，代入方程一，二加 y 等于五， y 等于三， 验证。把 x 等于二， y 等于三，代入方程二，二乘二减三等于一，正确。 例题二，经典的鸡兔同笼问题，共有头三十五个角九十四只，求鸡和兔各多少只。射击 x 之兔， y 指来列方程组 解涉及 x 之 two， y 之头的方程。 x 加 y 等于三十五角的方程二， x 加四， y 等于九十四把角的方程两边除以二得 x 加二， y 等于四十七。两式相减得 y 等于十二， 代入得 x 等于二十三。答，鸡二十三只，兔十二只。验证二十三加十二等于三十五个头，四十六加四十八等于九十四只脚，正确。 第九章不等式与不等式组这一章学习了不等式的性质和解法以及不等式组的解集。 第九章例题，一，解不等式三， x 减一大于二， x 加三。方法和解方程类似，一项合并同类项，注意一项要变号 解一项。三， x 减二， x 大 于三加一。注意，一，过去要变号减一，移到右边变成加一，二 x 移到左边变成减二， x 合并同类项。 x 大 于四，解集式 x 大 于四，在数轴上四的位置画空心圆点，向右画射线。 例题，二解不等式组，第一个二 x 加一大于五，第二个三 x 减二小于等于十。方法是分别解每个不等式，再取公共部分 解，先解第一个不等式，二， x 大 于四， x 大 于二，再解第二个三， x 小 于等于十二， x 小 于等于四，取交集 x 大 于二，且 x 小 于等于四， 解集是二小于 x 小 于等于四。在数轴上二处画空心圆点，四处画实心圆点，中间连线。 第十张，数据的收集、整理与描述这一张学习了全面调查与抽样调查以及频率的计算。 第十张例题，某教队两百名学生做调查，喜欢篮球六十人，足球五十人，乒乓球四十五人，其他四十五人球。喜欢篮球的频率 节频率等于喜欢篮球的人数除以总人数等于六十，除以两百等于零点三，即百分之三十。可以验证，所有频率之合应该等于一。 篮球零点三加足球零点二五加，乒乓球零点二，二五加其他零点二，二五等于一正确。 最后总结一下六章的核心方法。第五章，记住对顶角相等邻补角互补。第六章，正数有正负两个平方根第七章，对称点坐标变号规律第八章，消元法解方程组 第九章，不等式一项要变号，不等式组取交集第十章频率等于次数除以总次数。 七年级下册数学经典例题讲解到此结束，同学们一定要多做练习，举一反三，掌握好这些经典题型，考试一定能取得好成绩，加油！

好，上一个视频呢，我们有提到过同位角的识别，接下来我们来看一下其他的几类角内错和同旁内角的识别，它们的想法呢，非常相近。第一步呢是描边，跟我们上一个视频讲到的方法相同，比如说角一，角一呢，它的顶点在这里，它 它是由这个边和这个边所夹，然后角二呢，它是由这个边和这个边所夹。 有的同学呢，可能会画的稍短啊，你可以画长一点，因为角的边长的是射线，它是可以无限延长的，所以可以给它连起来。然后你会发现角一和角二构成图像，类似于这样， 它很明显是 f、 z、 u 当中的哪一个呀？对了，是 f 型，对不对？所以角一和角二呢，它就是同位角了。那么如果你画出来两个角，它是 z 字形的，比如说就是这样， 那它就应该是内错角，如果你画出来的是 u 字形，像这样，那它就是同旁内角。当然同旁内角它也可以这样分叉， 这个也是啊，好，那么 a 选项他说角一和角二互为内错角，不是的，我们刚刚说的他是同位角，对的。然后 b 选项呢，他说角三和角四互为内错角。我们用相同的办法来看一下，角三呢，是由这个边和这个边所夹， 角四呢，它是由这个边和这个边所夹。这个蓝色部分，它并非是 f、 z、 u， 所以 角三和角四它没有名字，它没有什么互，为什么角啊？ 所以二 b 选项不对，再看 c 选项， c 选项说角一和角三互为同旁内角。我们再继续，角一呢，我们刚划过，是由这两个边所夹， 角三呢，是由这样个边所夹它们两个，你看，即使边长无限延伸，它们两个也没有办法组成像 f、 z、 u 这样的字母或，所以它们就不是同胞内角最后一个角二和角四 啊，那只能选它了是吧？角二呢，它是由这两个边数夹看黄色啊。角四呢，它是由这两个边数夹黄色部分的字看清楚啊。它确实很像一个 f 型， 所以它属于 f 类那个级那一类别，所以它是同位角，然后它说是同位角，所以没问题啊。所以这道题的答案选的是四 d， 你 选对了吗？

呃，这个练习当中的第三题涉及到角的计算，我们来看一下。看这个题也蛮感慨的，就是你看他，我们随着年纪越来越高，学的知识点越来越多，那这个题目呢，他就会变得越来越复杂，他会把这个知识点融合在一块考。我们比如说这个 第三题，如图，直线 abcd 相交于点 o 啊，到这我们都能看懂，后面说角 aoc aoc， 那 就是这个角，然后角 b o d， 呃， b o c b o c， 那 是这个角，那说这两个角的比是二比七，你看这个就涉及到比例了，那我就想到以前带过一个同学，就是他比例就没有学明白，所以就导致后面再出现，不管是 随着年纪的升高还是题目，这在练习的过程当中，但凡涉及到这个比例的时候，他就不会计算，就不理解这个到底是怎么回事，应该怎么来利用这个信息，所以就会一直在这上面丢分吃亏。所以我们数学学习呢，一定要 稳扎稳打的，一步一个脚印的，把这些基础的概念，基础的知识要给他理理清楚。然后呢，你要知道你怎么利用这个信息来做题。那好，那我写了两种解法，我们分别来看一下，他就让我们求这两个角的具体度数嘛。 首先我们看这个两条线相交，然后呢，这两个角运用我们前面学过的知识点，会发现它们有一个共同的边，就是 o c， 然后另外一条边 o a 和 o b 属于反向延长线，互为反向延长线。那么满足这两个条件，我们知道它属于邻补角啊，所以这两个角是邻补角，那邻补角一定是补角，它们呢相加等于一百八十度，所以这是我们得到的第一个信息。 那第二个信息就是你看它们两个的比例是二比七，我们可以怎么理解这个二比七，你可以想象一下，就是把这个角给它怎么样呢？把这个这个平角，我们可以说这个 a、 o、 b 啊，它是一个大平角，其实把这个大平角给它分成了几分儿？九份儿吗？啊？二加七，这不是得九吗？一共分成了九份儿，那这个小一点的 a、 o、 c， 它占了其中的两份儿， 而这个大一点的 b、 o、 c， 它占了这个七份。所以你看那一共把这个大平角给它分成了九份，那九份的度数是一百八十度，那一份的度数是多少呢？就 一百八十度，除以九嘛，所以一份的度数就是二十度。好，那你占了两份啊，那就是二乘二十，所以就是四十度。那这个小一点的 a、 o、 c， 它就是四十度，那大一点，这个它占七份啊，那就一份是二十，那七份是多少呢？那就是七乘二十，所以这个是一百 四十度，你看就把它给算出来了。然后第二种减法，就我下面写的这个还是就是一共是有九分，那它占了其中的两分，那就是九分之二。一百八乘以九分之二四十度， 那另外一个是占了九份当中的七份，所以就是九分之七，那再乘一百八，一百四十度。好，那我算完了，我对不对呢？我这种思路对不对呢？我再来验证一下，那也就是四十比上一百四十，你最终一化简，把零一去掉，再一除二，它是二，它是七，等于二 比七就说明，哎，我们往回推又能推到条件，它是完全是成立的，那就说明咱们这个计算是准确的，就可以往上填答案了啊。