钝角三角形的三边垂直平分线怎么画

这节课我们来看三角形三边的垂直平分线和作图。某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 abc 之间修建一个食堂，那么问这个食堂屁应建在哪个地方，才能使他到每个宿舍楼的距离相等， 那么我们就可以把这三个宿舍 abc 看成是三角形的三个顶点，那么就做出一个三角形， 在三角形 a、 b、 c 中找到一点 p， 使它到三角形三个顶点的距离相等。那么想要找到这个点 p， 我 们首先要让它和三角形其中两个顶点距离相等，那么就转化成这个点和其中一条边的关系。 我们现在看已知三角形的一条边 a 和这条边上的高，画出三角形 abc， 使 bc 等于 abc 边上的高为 h， 那 么我们先做一条边 bc， 然后使 bc 等于 a， 在 这条 bc 边上任取一个点做高是 h， 那 么像这样的三角形我们能做出无数个， 但是他们之间并不全等。大家看已知等腰三角形的底以及地边的高。用尺规作图，满足条件的等腰三角形，我们发现只有一个， 因为底是确定，高也是确定，并且还是等腰三角形，所以这两条边相等，那么这样的等腰三角形只有一个。我们来看作图步骤，已知线段 a 和 h， 用尺规做三角形 abc 是 ab 等于 ac， 那 么也就是等腰三角形 bc 等于 a 高， ad 等于 h。 第一步我们做线段，使 bc 等于 a。 第二步做线段 bc 的 垂直平分线交 bc 于点 d。 第三，在 l 上做线段 d a， 使 d a 等于 h 连接 abac， 那么三角形 a、 b、 c 就是 所要做的三角形。那么我们来回顾一下用尺规过直线 l 上一点 p 做 l 的 垂线的方法。第一步，我们取任意长为半径，以 p 点为圆心，画弧，交 l 于 ab 两点。 第二步，以大于 ab 的 长为半径，以 a 和 b 分 别为圆心画弧， 交于 m n， 两点连接 m n， 那 么就能做出 l 的 垂线。 那么如果点 p 在 直线 l y 垂线的做法。第一步，我们任取一点 q， 使点 q 和点 p 在 直线 l 的 两旁。第二步，以点 p 为圆心，以 p q 的 长为半径作图，交直线 l 于 ab。 第三步，做线段 ab 的 垂直平分线 m， 那 么线段 m 就是 所要做的直线，那么这里用到的原理就是 pa 和 pb 相等，都等于 p q， 所以 点 p 在 ab 的 垂直平分线上 来看。第一，过点 a 做三角形 bc 边上的高 ad。 那 么和刚才的做法一样， 我们可以取 ab 为半径画弧，交 bc 于两点 e f 以 e 点和 f 点分别为圆心画弧，交于 q 点，那么连接 a q 就 能做出它的垂线，也就是 b c 边上的高 a d。 那 么再回到这节课开始的问题，学校食堂 p 应建在哪个地方，才能使它到宿舍楼的距离相等？ 第一个问题，点 p 到 a 和点 p 到 b 的 距离相等，那么点 p 所在的直线 应该是线段 a b 的 垂直平分线。第二个问题，点 p 到 a 和点 p 到 c 的 距离相等，那么点 p 所在的直线同样也是 a c 的 垂直平分线。 那么根据这两个问题，我们画出 a b 和 a c 的 垂直平分线，我们发现交于一点 p， 那 么这个 p 就是 abacbc 三条线段的垂直平分线的交点。 那么既然 p 是 每条线段的垂直平分线上的点，所以它到每条边的端点，也就是三角形的顶点距离相等，那么也就是 pa 等于 pc 等于 pb 来看。第二，如图，在三角形 abc 中，边 ab 的 垂直平分线 pd 和边 bc 的 垂直平分线 pe 相交于点 p， 让我们求证边 a、 c 的 垂直平分线经过点 p， 那 么我们要证明点 p 在 a、 c 的 垂直平分线上，我们需要的条件是 pa 等于 pc， 那么已知两条垂直平分线相交于点 p， 所以 我们能得到的结论是， pa 等于 pb 以及 pb 等于 pc， 那 么我们将它进行连立， 我们就得到 pa 等于 pc， 所以 点 p 在 a、 c 的 垂直平分线上。那我们来写证明过程 连接 pa pbpc， 因为点 p 在 ab 的 垂直平分线上，所以 pa 等于 pb。 同理， pb 等于 pc， 所以 pa 等于 pb， 所以 点 p 在 bc 的 垂直平分线上， 也就是边 ac 的 垂直平分线经过点 p， 那 么我们就得到一条定律，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等， 那么应用格式我们就可以写，因为点 p 为三角形 abc 三边垂直平分线的交点，所以 pa 等于 p、 c， 我 们分别做出锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线， 我们来看交点分别在什么位置。第一个，锐角三角形交点在三角形内。第二，直角三角形交点在斜边中点处。第三，钝角三角形 交点在三角形外。我们来看这一题。第一，在三角形 abc 中， ab 的 垂直平分线分别交 abac 于点 de 两点，且 ac 等于十， be 等于六，问 c e 的 长度， 那么我们由 d e 是 垂直平分线可以得到 a， e 等于六，那么因为 a c 等于十，所以 c， e 等于十，减六等于四。 第二题，某等腰三角形的顶点是一百度，其中两边的垂直平分线交于点 p， 问 p 点所在的位置，那么这里一百度应该是钝角三角形，所以点 p 应该在三角形外。 第三，在三角形 bc 中边 abac 的 垂直平分线相交于点 p， 问 papbpc 的 大小关系应该是相等。 第四，在三角形 a， b， c 中角 c 等于九十度硬直角圆规在 a c 边上做点 p， 使点 p 到 a b 的 距离相等， 那么也就是做 a b 的 垂直平分线交 a， c 与点 p， 即为所求的点。

hello， 大家好，这节课咱们来学习第一章三角形证明及其应用。一点四线段垂直平分线的第二课时， 我们先来看这样的一个情境，前面呢，我们用尺规做出了满足一定条件的直角三角形，那么你能用尺规做出满足一定条件的等腰三角形吗？ 接下来我们就要来看一下如何用尺规啊来做一个呃，等腰三角形，满足一定的长度以及角度之类的。 比如说已知三角形的一条边长是小 a， 以及这一条边上的高是 h， 那 么你能画出满足条件的一个三角形吗？ 整个呢是让我们来做一个画图，所以呢，我们需要先把这个已知还有求作给它写上， 已知条件就是三角形的一条边和这条边上的高 h， 然后让我们求作的是一个三角形 abc， 使得 bc 的 长等于小 a， bc 边上的高呢是小 h。 按照题中的这个要求啊，其实我们可以做出很多很多个这样的三角形，我们只需要先将 b、 c 的 长度画出来是比较好画的。先画一条射线，再截取一个 b， c 等于小 a。 接下来呢，我就可以做 b、 c 上的垂线， 因为过直线外可以做无数条垂线，在这条垂线上我再截取一个 长度 h， 使得它为 bc 边上的高，这样的话，咱们就能做出来无数个满足条件的三角形。比如说咱们这里边画了三个，你看先把 bc 画出来，然后呢再做它的高， 再截取出来 h 的 长度，这样的话，这个点 a 就 形成了三角形 abc 也就形成了。你看，我们可以画出很多个这样的三角形，它们呢并不是全等的， 它们并不全等就代表着我能画出无数个，如果它们是全等了，也就意味着这个三角形就是有唯一的一个了，这个就是我们如何用两个 条件来画等腰三角形，但是我们发现呢，用这两个条件并不能确定唯一的三角形，那么接下来我们来探究一下。第一个探究尺规作图， 已知等腰三角形底边及底边上的高。你能用尺规做出满足条件的等腰三角形吗？ 能做几个？与同伴进行交流，刚才我们做的并不是等腰三角形哎，就是一个三角形，那么它的高就不唯一，可以在左一点，右一点。 但是呢，我们要想等腰三角形，那就不一样了，我们画的就只能是居中了，哎，等腰三角形底边上的高一定是底边的垂直平分线对不对？ 那么底边确定了，底边的垂直平分线肯定也是确定的高，又有一个固定的长度，所以咱们在上边截取一下， 就会形成一个三角形，当然，我们是不是还可以在这个底边的下端截取一段相同的高啊，所以应该就会有两个满足条件的三角形了。来，我们看一下， 你看，我们先画到中间的线段，让他是底的长度，然后呢做他的垂直平分线， 在垂直平分线上截取要求的高的长度，但是呢，我们上面可以截取一个，下面也可以截取一个。这样的等腰三角形有两个，并且这两个呢是全等的，他们分别位于已知底边的上下两侧。 二、梳理上述做图过程，请你总结出已知底边和底边上的高，用尺规做这个等腰三角形的方法和步骤，那么咱们把它具体写成一下我们做图的一个规则啊， 如图，已知线段 a、 h， 让我们来用尺规做三角形 a， b、 c 使得 ab 等于 ac， 等腰三角形 bc 等于小 a， bc 是 底高呢， a， h 等于 a， d 等于 h。 那么接下来我们给出相应的一个作图方法，左边是做法，右边是图形。首先第一步我们要先做线段 bc， 使得 bc 等于小 a。 咱们的方法是什么呢？我们得先做一条射线， 做射线之后，再以 b 位圆心小 a 长为半径，画一个弧， 截取的这个长度就是 b c， 焦点就是点 c。 接下来根据等腰三角形三线合一，所以咱们呢就做 b、 c 的 垂直平分线。垂直平分线的方法在这里咱们就不过多的坠数了， 一定是出现了这样的两段小弧，将它连接起来，就是我们的垂直平分线。 接下来我们在直线上截取以 d 为圆心哎，去截取一个长度，使得它等于 h， 咱们是不是就把这个高给他截取出来了？ 好，接下来呢截取 h， 那 么点 a， 我 们就进行确定了，下面我们把 a、 b、 a、 c 连接起来。最后别忘了下结论，三角形 abc 就是 我们所要求做的一个等腰三角形。 呃，下面我们来思考一下这个哈说，还记得用尺规过直线上点 p 做 l 的 垂线的方法吗？也就是过直线上一点，做已知直线的垂线。 这种方法将直线的垂线问题转化成了做线段的垂直平分线的问题。咱们是用这个点向左右各画一个相同的弧，然后再做这段弧的垂直平分线，对不对？ 如果点 p 在 直线外呢？也就是如何过直线外一点做已知直线的垂线的问题了。此时还能运用这种转化的方法吗？请你试一试，跟同伴进行一下交流。 如果这个点 p 在 直线外，那么我们仍然能将它转化成做线段垂直平分线的方法来做直线的垂线的。 做图的一个基本思路就是，先以直线外这个点 p 为圆心画个弧，让这个弧一定得跟这个直线有俩交点。 然后呢，我们再做这两个焦点所在的这条线段的垂直平分线，就能够做出我们所要的垂线段了。 梳理上述作图过程，让我们写出总结出过直线外一点用尺规做已知直线的垂线的方法还有步骤，那么我们来一起总结一下啊。 如图，已知直线 l 和直线 l 外的一点 p， 让我们利用尺规做 l 的 垂线，使它经过点 p， 就是 刚才我们总结的方法啊。 接下来，我们左边做法，右边作图。第一步，先任取一点 q， 使得 q 与 p 在 直线 l 的 两旁。 哎，在直线 l 的 下侧，我们任取一个点 q， 接下来呢，以 p 为圆心 p， q 长为半径做弧。以 p 为圆心 p， q 为半径做弧。 第一步吧，其实大家不这么写也行，但是就不太好表述。我们第一步的目的是为了以 p 为圆心，某个长度为半径去作弧， 但是我们的目的是必须与 l 交在两个点上，但是这个半径就不太好表述。 所以呢，我们为了让产生两个点与 l， 所以呢，我们通常会在 l 下方取一个点 q， 这样的话，连接 p q 之后，它画出来的弧就一定会有两个焦点，如果你这个点 q 在 直线 l 的 上方，那么就没有焦点了。 如果点 q 在 直线 l 上有可能有两个交点，也有可能有一个交点，所以我们尽量就取在 l 下方。第三步，做线段 a、 b 的 垂直平分线，它就一定会过点 p 了，哎， 下结论，直线 m 就是 所要求做的一条直线了。好，下面我们对应着 看一道练习。如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 c 得 bc， 说明它是等腰三角形，角 a 等于四十度，我们马上说明角 b 也是四十度，并且上方角 a、 c、 b 就是 一百度。 观察作图痕迹可知，那做这个就是垂直平分线的三线合一角 b、 c、 g 的 度数将一百度平分，所以就是五十度。选择 c 选项， 下面我们来看一下。第二个，探求三角形三边的垂直平分线的性质。三角形三条边垂直平分线具有什么样的性质？ 分别做出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三边垂直平分线。你发现有什么规律？跟同伴进行交流来，我们分别以三种三角形来做一下，第一种是锐角三角形，我做了三边的垂直平分线， 第二个是直角，第三个是钝角。咱们观察一下，发现这三个垂直平分线，他们最大的一个特点是发生了什么样的变化呀？好像就是在焦点的位置有所不同。 锐角三角形，这个三个焦点在三角形的内部，而直角三角形它在斜边的中点上，而钝角三角形呢，在三角形的外部。通过观察咱们就能发现这一个特点， 三条垂直平分线的焦点呢？等到九年级的时候，我们会具体的再学一下，它的名字呢，叫做三角形的外心，因为它属于三角形外接圆的圆心，这个是以后我们要接触到的，现在我们只需要知道这个点在哪里就可以了啊。 下面我们来看这道例题，已知如图，在三角形 a、 b、 c 中，边 a、 b 的 垂直平分线是 p d， 它与边 b c 的 垂直平分线 p e， 这个 e 没有打出来，在下边啊， 交与点 p 到两条边的垂直平分线。求证，边 a、 c 的 垂直平分线也经过 点 p。 哎，让我们来证明 a、 c 的 垂直平分线也经过点 p。 要想证明某个点 在某条线段的垂直平分线上，我们就只需要证明这个点到这条线段两个端点的距离是相等的就可以了。所以呢，我们就一定要将 pa 跟 pa 连接起来， 而根据 p d p e 式垂直平分线，我们也一定要连接 p b pa 跟 pc， 利用垂直平分线的性质啊，所以说相对来说难度就不大了。哎，只要证明 pa 的 pc 问题就要解决了。来我们看一下 要证明 p 在 a、 c 的 垂直平分线上，我们需要什么条件。已知两线段两条垂直平分线交于点 p， 你 还记得哪些相关结论？我们肯定是要利用垂直平分线最重要的性质到连线段两端点的距离相等啊。 来看 l 是 ab 的 垂直平分线，咱们就能推出 pa 等于 pb， 而是 bc 的 垂直平分线，咱们就能推出 pb 等于 pc， 进而呢，等量再换，我们就能得出 pa 等于 pc 了啊，就能说明点 p 在 ac 的 垂直平分线上，下面我们来看一下这个过程啊。 第一步，做辅助线啊，连接 p a， p b， p c。 辅助线要用虚线表示啊。第二步，因为点 p 在 a b 的 垂直平分线上，所以 p a 就 等于 p b。 哎，同样的道理， p b 也等于 p c。 能量代换我们就能得到 p a 等于 p b 等于 p c， 所以 点 p 就 在 a c 的 垂直平分线上。 由此呢，我们可以总结出一个相应的性质，叫三角形三边垂直平分线的性质。 三角形三条边的垂直平分线，首先肯定一点，它一定交于一点，并且这点到三个顶点的距离是相等的。那么几何语言就可以描述为， 因为点 p 为三角形 a、 b、 c 三边垂直平分线的交点，所以 p a 等于 p b 等于 p c。 对 应的看一道立体练习， 三角形 a、 b、 c 的 边， abac 的 垂直平分线交于点 p， 连接 p b， p c。 如果角 a 等于七十度，则角 p b、 c 的 度数是多少？ 因为 a b、 a、 c 的 垂直平分线交于点 p， 出现垂直平分线了，我们利用性质一定要将 p a 连接起来，连接之后就形成了三个等腰三角形。 这里边告诉了我们，角 a 的 度数是七十度，相当于是将七十度分割在了两个等腰三角形当中。 在三角形 a p b 和三角形 a、 p c 当中，哎，这两个角的和是七十度，我们就能知道角 a b p 加角 a c， p 也是七十度。 然后呢，我们再看一下三角形 abc 的 一个内角和一百八十度，就能知道剩下的角 p b、 c 加上角 pcb 的 度数就应该等于一百八十度，减去两个七十度，所以呢，角 pbc 加角 pcb 就 应该等于四十度， 然后呢， p b 又等于 p c， 所以 每个角也就是角 p b、 c 就 等于二十度啊，就等于二十度了，其实就是一个等腰三角形在里边来回转化的一个问题啊，下面呢，我们来对应，看两道例题分析。第一个 如图，三角形 abc 中 ab 等于 ac 啊，没说等于 ac 啊， abac 的 垂直平分线分别交 bc 于点 d 跟点 e。 好， 这是第一个非常重要的条件。垂直平分线， 大家记住一点，今后无论你在什么时候，什么地点遇到垂直平分线，那么它最最主要的作用就是向我们交代 垂直平分线上的点到线段，两个端点的距离相等，如果没有出现，你就必须做辅助线。通过图观察，我们能够看到，因为 dm 是 垂直平分线，那这个 d、 a 一定等于 d、 b 已经体现出这两条线段了，我们就不需做辅助线了，你要盯住这两条线段相等，再看右侧 e、 n 是 垂直平分线，所以 e、 a 一定等于 e、 c 啊，一定有这个相等关系了。 接下来告诉了三角形 a、 d、 e 的 周长是六，那么周长必然涉及到三条线段，刚才我们的线段相等是为了什么呢？ 百分之百是为了进行一个线段的能量转化。哎， a、 d 我 可以把它转到 b d， a， e 我 可以把它转到 e、 c， 这样 三角形 a d， e 的 周长就变成了 b， d 加 d， e 加 e， c 刚好就是 b c， 所以 它的长度就是。 哎，就这么进行了一个奇妙的转化。然后接下来我们具体看一下，梳理一下这个过程啊。我们首先是由垂直平分线进行线段关系的转化， 因为这俩是垂直平分，所以得到 a、 d 得 b， d， a、 e 得 c、 e。 然后呢，我们再分解这个周长，因为周长是六，所以原周长的三条线段等于六，再进行等量，再换 b、 d 加 d， e 加 c， e 就是 六，而它们三个的核就是 b、 c， 所以 b、 c 的 长就是六了。哎，这也是一个非常典型的线段垂直平分线的使用方法啊。 下面我们再来看一下第二个例题，如图所示，三角形 a、 b、 c 中 a、 b 得 a、 c， 说明这是个等腰三角形。角 a 等于四十度，那么两个底角角 b、 角 c 就 分别是一百八减四十除二七十度。 第一步，做线段 a、 b 的 垂直平分线，保留痕迹，不写做法，稍微解释一下吧， 叫做 ab 的 垂直平分线。那么我们就首先以 ab 为圆心大于而以 ab 为圆心啊，大于 ab 长度的一半长度为半径做弧，但是这个弧啊，上下都得做两弧，交于 m n， 连接 m n， 就 能得到这个垂直平分线了。当然，我们这里边不需要写作图，方法，只是我们再表述一遍，加深大家的学习印象。这是第一步，做完了这个垂直平分线。第二步，在一所做的图中， 若 m、 n 交 a、 c 于点 d， 那 么咱们就把这个点 d 给它标注出来，再连接 b、 d， 求角 d、 b、 c 的 度数，找到角 d、 b、 c。 要想求角 d、 b、 c 的 度数，那么我们就要进行一个分析，利用垂直平分线的性质， d、 a 等于 d、 b， 所以 咱们根据等边对等角，就能得到角 d、 b、 a 等于角 a 都等于四十度， 而我们刚才已经算出来角 abc 等于七十度了，所以七十减四十等于三十。七十怎么来的，我们也要说明一下。哎，根据内角和还有等腰三角形的底角相等对不对？好，下面我们来看一下过程。 因为 a、 b 是 a、 b 的 垂直平分线啊，所以 a、 d 等于 b、 d， 根据等边对等角，所以咱们就得到角 a、 b、 d 等于四十度， 然后呢，角 a、 b、 c， 因为 a、 b 得 a、 c， 根据等边对等角，所以咱们得到角 a、 b、 c 等于七十度，然后我要求的角 d、 b、 c 就 等于它们两个相减，也就是三十度。 好，这就是我们这节课所学的线段垂直平分线的第二课时的内容。主要我们介绍了尺规作图，已知等腰三角形底边及底边上高做等腰三角形，还有过直线外一点做已知直线的垂线 三角形三边垂直平分线的性质交于一点，并且呢到三个顶点的距离是相等的。后面有一些对应的练习，希望大家能够看一下啊， 这些练习的题要更多一些，大家有时间希望能多做一些练习啊，到时候你静止就好了，暂停，然后做完之后呢，再对照着一下答案啊。课堂的时间有限，讲的没有那么多，主要就是以几个典型例题为例来进行一个简单的说明啊。 好了，这节课呢，我们就上到这里，谢谢大家。

首先画任意一条直线，任取一点，画基础圆 o， 交直线于 a、 b 两点。然后过 a 做直线， a 系交圆于细点。 接下来在圆弧 a 系上任取几个点，一、二、三、四，以这几个点为顶点做三角形。 角一角、二角、三角四均为钝角，那么这些三角形都是钝角三角形。 认真观察你还会发现，基础圆的圆心 o 都在这些钝角三角形的外侧，而三角形的三条边都在直径 a、 b 的 同侧， 以此类推。再来看哪些三角形也符合这些条件呢？在弧 b、 c 上任取一点五，连接 a 五、 c 五， 此时三角形 a、 c 五也是钝角三角形。 那么与之对称的一段弧上任意一点也符合要求吗？过 c 作直径 c、 d 将记出原一地点 取弧 a、 d 上任意一点六，连接 a 六、 c 六。这时候你会发现，圆弧 b、 a、 d 上 除 a、 b、 c、 d 四点外的任意一点都能与直线 a、 c 组成钝角三角形。 刚才我们是在 u 弧上取的点。接着在列弧 b、 d 上任意取若干点， 作为三角形的顶点，依然以 a 系作为底边。用红色笔画三角形， 聪明的你可能早已经发现这些三角形的共同特征了， 它们的三条边没有在直径的同侧， 而且基础圆的圆心都在这些三角形的内部呀。 聪明的你，请将这种三角形的名称写在评论区好吗？

大家好，这里是小红书数学上一次课，我们说到了三角形中的几条重要线段，它分别是三角形的高线，三角形的中线和三角形的角平分线。 好，那么呢，我们的依次再来说一说关于我们的高线，那么对于蹬角三角形，它的高线有点特殊，特殊在什么地方呢？也就是它 最长的那条边的上的高，是在三角形内部，其他的两个三，两个啊，那么呢，也就是两条边，他的高分别就在他的这个三角形的外部。 好，所以呢，要做相应的他的边的延长线，过他的顶点，做他的垂线啊，这样子的做高就是要注意这个啊，蹬角三角形的啊，那么呢，对于我们的直角三角形， 他三条高的焦点就是我们的直角的顶点啊，直角的顶点， 因为呢，他鞋边上的高啊，也会呢啊，在什么样啊，以这个直角的顶点啊，为为端点啊，来连接的。 好，那么呢，尤其要注意高啊，对于角平分线，还有我们的中线，他在啊，三角形的内部有交点啊，都在三角形内部 啊，三条，三条线段啊，也就是三条啊，角平分线，三条什么呀，中线啊，都交于三角形的内部。 好，那么对于这啊，三个重要的线段啊，同学们有一起要注意高线的画法啊，要注意高线的画法， 还有注意啊，他们的各自的一种特征啊，例如我们的中线，他有什么样特征呢？也就是一边的中点与顶点的连线。 好，那么呢，对于角平分线啊，顾名而思义，就是将我们的内角平分的这样子的线段啊， 那么呢，他们呢，也应该是一次有三条啊，有三条。好，那么呢，着重强调了一下子这三个线段，以后在我们的几何证明中，这样子的三条线段将会频繁出现， 出击率还是很高的。好，值得同学们注意，尤其是在做这个高线的时候啊，老师在强调一下子，那呢做高线的时候一定要注意蹬脚三角形，他的高线的做法 啊。那么呢我们呢要做啊，这个延长线啊，边的延长线，再过他的顶点，做他的垂线。好，这是呢？

两分钟教大家学会一线三垂直辅助线的正确做法。比如说当我们在一条直线上遇到等腰直角三角形的时候， 我们的思路正确的思考方向就是分别过这两个点， 做这条直线的垂线，比如这个点一，这个是点 d， 大家仔细观察我构造出来这两个三角形以后，发现它们是怎么样全等的，所以不管这个 r、 t 三角形如何旋转，我们都能够得到这两， 这两个三角形是一定全等的，那么有没有不全等的情况呢？当然是有的，当我们遇到这两条边不再相等的时候，我们做辅助线，那不难发现 这两个三角形 a、 e、 b 和 c、 f、 b 不 再全等，而是怎么样相似。如果是 r、 t 三角形，不管这个点 b 怎么旋转， 构造出来的这两对三角形一定会全等。而如果当 ab 边和 bc 边不相等的时候，那么我们构造出来的这两个三角形是相似的，所以第一种情况是全等，第二种情况是相似。 那么我们来看一下这个题，它的突破口在哪里呢？它告诉了我们两个直角对不对？这个是直角，这个是直角， 那么你看 a、 c 是 等于 c、 g 的， 它是不是就是我们想要找到的等腰直角三角形？显然这个三角形 a、 d、 c 是 一个什么三角形？等腰直角三角形，那么点 c 是 不是刚好在 b、 c、 g 的 直线上？那么我们就把 b、 c 给延长， 延长以后放心大胆的过点滴做他的垂线 d、 h。 那 么你们来仔细观察一下 d、 h、 c 这个三角形和我们的 c、 b、 a 是 不是就全等了，对不对？全等了以后，我们就可以把这条边 ab 边等于二，他是不是就等于二啊？ bc 边自然等于六。那显然啊， 我们的 b、 h 边是不是刚好等于八呀？又因为这两个三角形是怎么样全等的？那么 d、 h 边是不是就刚好等我们的 h、 c 边这边等于几六？ 而我们要求的 d、 b 边是不是刚好在整一个 r t 三角形当中勾六股八弦十，显然 d b 的 长度就等于十，你学会了吗？如果没有看明白，把视频收藏起来，反复观看，我们下期再见！

如何用尺规做图做出角的角平分线，并且要证明这样是可行的。 好，现在做角平分线要有一个角，我们取它的顶点，在这个顶点上截取相等的两个边，然后这样得到的交点， 我们分别用两个交点取一个小一点的半径，这样子做弧， 注意一定要注意这两个半径是相等的，在这两个交点为圆心做弧，这两半径是相等的，然后把这个交点与顶点一连接，接下来我们要正为什么这样做可以让这两个角相等， 这里面要涉及到一个圆弧的问题。首先我们要知道我们做的这两个半径他是相等的， 你比如说现在我们刚才回到那一步，做的这个半径和这个半径发现没？我的圆规他没有变化，也就是说这两个距离他是相等的，给他做一个连结好， 然后我们再回到第一步，第一步里面是做这个大圆截取，你发现截取这个过程中，这两个边其实都是这个圆的半径， 这个大圆的半径好，又加上这两个小的半径其实也是相等的好。然后呢他们又有个公共边，这样子就是三角形，全等边边边 这个知识点，然后全等的三角形，他这两个对应的角就相等，所以说这样是可以得到角平衡线的。

练第一题，如图，在三角形 a、 b、 c 当中， a、 c 的 垂直平分线交 a、 c 于点 e 交 b、 c 于点 d。 三角形 a、 b、 d 的 周长是十二， a、 c 是 五，则三角形 a、 b、 c 的 周长。三角形 a、 b、 c 的 周长应该是 a、 b 加上 a、 c 加上 b、 c 的 长度， a、 c 已经知道它是五， b、 c 的 长度，它可以拆分成 b、 d 加上 d、 c， 而由 a、 c 的 垂直平分线，那得到这里的 a、 d 应该等于 d、 c， 所以 它应该是等于 a、 b 加上五，再加上 a、 d， 再加上 b、 d， 这三者相加，正好是三角形 a、 b、 d 的 周长，所以最终三角形 a、 b、 c 的 周长应该是等于十二，加上五等于十七厘米。 第二题，如图，在 r、 t。 三角形 a、 b、 c 当中，角 c 是 九十度，角 b 是 十五度 d、 e 垂直平分 ab 由垂直平分，那得到 b、 e 和 a、 e 是 相等的，要求的是角 a、 e、 c 的 度数，那角 a、 e、 c， 它是三角形 a、 b、 e 的 外角还应该等于角 b 加上角 b、 a、 e 由 b、 e 等于 a、 e， 那 得到角 b 和角 b、 a、 e 应该是相等的，所以角 a、 e、 c 应该是十五度，加上十五度是三十度。 第三题，如图，在锐角三角形 a、 b、 c 当中，角 b、 a、 c 是 五十度， a、 c、 b、 c 的 垂直平分线交于点 o， 则角 b、 o、 c 的 度数，这个角的度数，那首先由垂直平分线，所以我得到 o、 a 应该等于 o， c 等于 o b o、 a 等于 o、 b， 那 么得到角 b、 a、 o 应该等于角 a、 b、 o 这两个小角是相等的。同样的道理，角 o、 a、 c， 它等于角 a、 c、 o， 角 o、 c、 b 呢等于角 o、 b、 c。 通过上面这两个式子，我可以得到角 a、 b、 o 加上角 a、 c、 o 正好等于角 b、 a、 o 加上角 o、 a、 c， 这两个角相加，也就是角 b、 a、 c 等于五十度。那在三角形 a、 b、 c 当中，根据内角和是一百八十度，所以我得到角 o、 b、 c 加上角 o、 c、 b， 应该等于 一百八十度。减去角 b、 a、 c 是 五十度，再减去角 a、 b、 o， 加上角 a、 c、 o 是 五十度，所以应该等于八十度。这两个角相加是八十度，那么角 b、 o、 c 应该是一百八十度。减去八十度等于一百度。