七下数学浙教第一章几何证明难题

这道题太难了，期下第一次月考的解答题，咱们百分之八十的同学全都全军覆没了啊！那这道证明题其实他给你的条件比较隐晦，你需要有一个技能，就是从 浮在上面的条件找到他背后的隐藏款条件，再来层层递进去深挖，找到最终的答案，真相只有一个，那有关于平行线这里啊， 几何的证明题，大家一定是要重点来进行学习的，那这个假期，老师也给大家把平行线性质判定这里近三年必考的易错真题做了一个总结，大家可以打印出来，每天两到三道题，把对应的几何证明过程书写的规范性，把它分数拿到手啊。 下面呢，我带着大家一起分析一下这道题。写证明题不是要看老师的答案，而是要看老师怎么分析的，这样的话，你听完我今天的这个视频以后去自己做题，也可以按照我相同的方法去进行分析，对不对？ 来，下面咱一起看这两道题啊！说已知角一加角二等于一百八，角一在这呢，角二在这呢，来，碰见这种八竿子都打不着的角，我们该怎么办？对了，两个字叫做转化，还记得吗？ 把它转化成有关系的角，什么同位角、内错角、同旁内角、互补的角等等，对不对？而在这里你会发现，角一加角二等于一百八，虽然用不上，但是我们可以找到与角一互补的角，角三呢，对不对？ 所以由第一个条件，角一加上角二等于一百八十度，而角一加上角三也等于一百八十度，咱们就可以推出角二其实是等于角三的，这就叫做隐藏款的条件。 那角二等于角三，角二、角三什么关系啊？它俩居然是一组内错角，对不对？所以角二等于角三，立马推出我们两线平行的关系， a、 b 是 平行于 e、 f 的。 你来看这道题，我才读了一个条件， 我就得到了这么多的条件，这个叫做深挖挖它背后的隐藏款的条件。继续咱们来看第二个条件。 第二个条件我往下写啊，角三等于角 b， 那 角三等于角 b 有 什么关系呢？三在这呢， b 在 这，他俩也没啥关系啊。八竿子打不着的角，还是这俩字转化，怎么转呢？因为这两线平行，角三和这里的角四是相等的对不对？ 所以由平行咱们得到角三等于角四，而又由角三等于角 b， 咱们就可以综合等量代换推出角四是等于角 b 的。 哎，这条件不就能用得上了吗？角四在这，角 b 在 这，它俩正好是一对 同位角，所以同位角相等，两直线平行，我们有 d、 e 平行于 bc。 好了，我们第一平行 bc 了，下面让我们想要证明的是， a、 e、 d 等于角 c， 是 不是证明这俩角相等容不容易？两线平行，同位角相等，直接就可以证出最终的答案， a、 e、 d 等于角 c 了。 所以大家来看一下我整个分析的思路。我分析的思路叫做从条件深挖，找到隐藏款的条件后，层层递进， 把没有关系八竿子打不着的角转化成有关系的角，进而进行推导，这个叫做我们数学当中的正向思考。下个视频我将用一道题给大家再解释一下，同样的证明题，我们该如何从要求证的这个问题出发，用内向思维的方式推出正确答案？

来五步法教会咱们写出平行线性质判定的这种综合证明。大体有很多，孩子啊，现在证明题过程写不规范，这漏一句那漏一句，导致你满分拿不到手。 其实证明过程这咱们是要从底层就要培养的，老师已经给大家把平行线性质判定这里面历年的预测证明真题都给大家总结了出来。如果孩子现在证明题写不清楚过程的啊，一定要逐个题型把它刷透，这个能力，这个习惯必须在这一学期掌握， 否则到初二，知识点难了，几何题变得复杂了，咱们就很难去完整的书写好一道题的过程了啊。下面呢，我就带着大家看一看这道题。这里说了， a、 b 平行于 c、 d， 我 用红色的线把平行的这两条线先标记出来， 高光出来啊，角一等于角二，这两个角相等，角三等于角四，这两个角相等，貌似啊，这里面能看到的角一等于角二，那这个大角等于这个大角公共角。但是角三等于角四没用啊，因为角三角四他俩没关系，八竿子打不着。 所以这道题的解析思路是，如果题目当中给了我八竿子打不着的角，那怎么才能转化呢？ 你会发现这有一个平行的条件没用呢，对不对？而对应两线平行，同位角相等哦，这个角四和这个角 b、 a、 e 是 相等的，对不对？所以由平行咱们得到角四等于角 b、 a、 e， 而又由于角三等于角四，它俩放在一起就可以实现条件的转化了，得到什么呢？哎，是不是得到角三等于角 b、 a、 e 啊？ 而角三和角 b、 a、 e 能够扯上联系，角三在这呢，对不对？哎，角 b、 a、 e 是 不是在这呢？对不对？ 哎，那这两个角相等，那么对应它就和角二也相等呗。哎，这不就是一个内错角吗？所以在这里啊，你会发现我通过题干，角一等于角二得到谁呢？哎，角 b、 a、 e 等于角 c、 a、 d。 哎，做了一步转化，所以由它俩，咱们是不是又可以得到角三等于角 c、 a、 d 啊？ 那我们这一对内错角不就出来了吗？角三等于角 c、 a、 d， 这不就直接证明出相应的平行了吗？因为内错角相等，上下两线平行啊，你看这个思路咱们现在啊就分析出来了， 所以咱们分析出思路，下一步就可以自己去写解析过程了，对不对？来，我给带着大家写一写证明。先分析这些条件啊，因为我们对应的角一等于角二， 这标一下吧，这个角就是角三，所以咱们就有对应的角一加上角三等于角二，加上角三 a 极，我们角 b、 a、 e 等于角 c、 a、 d。 放在这这块就推完了。接下来找这的引含条件，又因为 a、 b 平行于 c、 d， 所以在这里面我们就有角四等于角 b、 a、 e 了，对吧？这个条件，这个条件都分析出来了。接下来，哎，又因为我们对应的角三等于角四，所以角三等于角 b、 a、 e， b、 a、 e 等于角 c、 a、 d， 所以 我们角三就等于角 c、 a、 d。 而角三和角 c、 a、 d 是 内错角，所以用内错角相等，直接下结论，两线平行， a、 d 平行于 e、 b， 咱们就正完了。所以几何证明题，它就是一个思路分析再重现的过程，当你把思路哎都给它分析出来，那么写证明过程也就不难了。

是不是咱们孩子几何证明题过程还写不清楚，这扣两分，那扣三分，拿不到满分。如果咱们孩子有这个问题，那有关平行线性质判定这种基础证明题，一定要在这个寒假多花一点时间把它搞定， 因为这里对计算过程要求比较高，任何一步逻辑不对都是不得分的。今天我一个视频带着大家把这种证明题，从分析问题的思路，再到写证明过程的思路，一一给大家拆分透彻。 那有关于平行线性质判定，这里老师也给大家总结了证明题必刷的三十题，全是基础证明，非常典型。家长们可以帮孩子在这个假期打印出来，逐个题目的过过程，按照我的证明模板来规范孩子的书写。 下面呢，咱们就来一起看一下这道题哈，如图，这里告诉你了，角一等于角 eab， eab 在 哪呢？在这呢？ 那这两个角有什么关系呢？这个条件给我们，它有什么样的引寒条件在背后呢？我们要挖出这个冰山后面的。哎，这个更大的真相，看这两个角相等，描出角的两边，我们发现这两个角是一对儿同位角， 所以我们由角一等于角 e、 a、 b 是 可以推出什么呢？哦，推出 a、 e 平行于 c、 d 的， 这两线是平行的。继续我们来看第二个条件啊，第二个条件说角 e 呀，加上角二等于一百八十度，角 e 在 这呢，角二在这呢，他俩八竿子都打不着，那他俩这个关系有什么用啊？ 哦，我们说了，题目当中出现八竿子打不着角的时候，我要想办法把它们往一起靠去应用。你看啊，在这里虽然角一等于角二直接用不上，但是我上一个问得出了平行的条件，而有两直线平行，咱们可以得到角二等于哪个角， 是不是角二会等于这里面的这个小角角三呢？所以由平行我们知道角二等于角三，而我们角一加角二等于一百八十度，进行等量替换，就是角一加上角三等于一百八十度，对不对？ 而角一和角三什么关系啊？它俩是一对，同旁内角，同旁内角互补，是不是？继续推两直线平行，也就是 e f 平行于 a c。 所以 你发现了吗？这道题我只是分析了一下题中的条件，每一个条件背后的隐藏款条件，我把它找到了， 其实证明过程是非常顺的，对不对？所以你再把我们刚才分析的过程，哎，逐次写成数学语言，写成过程，保证你这道题证明过程满分拿到手。

平行线证明过程的书写是很多同学丢分的重灾区，明明觉得自己写的很对，但总是这里扣一分，那里扣两分。今天我们就拆解这种证明题的书写过程。那针对这类题型，我整理了一份证明题的分梯度训练，总共四种题型，循序渐进，可以打印出来，让孩子分类巩固。 我们看一下这道题，他说已知角 d 等于角一，这是角 d， 这是角一。角二加角 abc 等于一百八十度。角二在这个地方，角 abc 呢，它是这样一个角，它们俩加起来是等于一百八十度。 b、 d 平分 a、 b、 c、 b、 d 是 一个角平分线，那就说明这两部分相等。题目让我们证明 e、 f 平行于它。到这一步呢，我们可以先整理一下条件，那这三个角相等你是知道的，这两个角呢，你发现它们是一组内错角，内错角相等了，那这两条直线就平行了。 那得到他俩平行之后呢，你还可以再利用两直线平行，同旁内角互补，这样你这个角 abc 加上这个角 a 也是等于一百八的。那又因为题目里告诉你 abc 加上角二也是一百八，所以到这一步呢，你可以等量代换一下， 角二和角 a， 他 应该都是相等关系，所以他们俩相等了，那这是一组同位角啊，同位角相等了，所以两直线平行。 那我们理清思路之后，再看一下这个过程怎么写。首先因为这是一个角平分线，所以呢，这两个角就相等，角一等于角 d、 b、 c。 如果让你写这一步的依据，他就是角平分线的定义，得到他俩相等之后，那下一步，因为角 d 等于角一，这是题目给的已知条件， 所以下一步，根据这两个式子呢，他们都跟这个角一相等，所以这个角呢，就等于这个角 d， 那 就是这个，它的依据就是等量代换， 得到这两个角相等。你在图里看一下，它就是这一组内错角相等，那内错角相等的两直线就平行了，所以这个 a、 d 它就平行于 bc 了。你的依据就是内错角相等，两直线平行， 那得到了这一组平行线之后，根据两直线平行，同旁内角互补，那这两个角加起来应该是等于一百八十度的，这里用的就是平行线的性质， 两直线平行，同旁内角互补，得到这两个角互补之后呢，题目还有个已知条件，那就是这个，所以这个就是已知条件。再根据这两个式子，同角的补角相等，它们加上这个 a、 b、 c 都等于一百八， 所以这两个角就是相等关系。这里的依据你可以写等量代换，你也可以写同角的补角相等，得到这一个角 a 等于这个角二，他们刚好是一组同位角，那同位角相等了，所以两直线就平行，这里用的是平行线的判定。所以这道题的证明过程，他就是这样一个过程， 一定是一行写，因为另外一行写，所以如果你以后熟练了，他让你填上依据，你一定要写依据。

孙老师一讲，豁然开朗，上个视频，我们学会了连接或者延长的辅助线基本模型，这个视频看我如何通过旋转加套个壳达到迷人眼的效果。 好，第二题，看起来线更多了啊，不要被误导，如图， d 和 g 分 别是这个三角形的两边上的点啊。来了，第一，垂直 bc， 第一个垂直 g f 也垂直 bc。 你 很明显 d e 和 g f 是 平行的啊，但是你可别这样写啊，因为 d e 垂直 bc， g f 垂直 bc， 所以 d e 平行于 g f， 这不行，扣分了啊！你还自己造了个定律，叫垂直于同一支线的两支线互相平行，没有这个东西了。我再解释一次，我这支黑色的笔， 然后我两支铅笔都和它垂直，但你能说这两支铅笔平行吗？所以我们课本上没有给这样的定义啊，哪怕你说老师我限定一下在同一平面内啊，也不行，因为以定律为主啊。那这怎么办呢？你需要补一步，所以角 d e c 等于角 g， f c 等于九十度，你把这两个同位角九十度写出来，就能得到平行啊。 好，为了方便大家看，我还是用红线描了啊，你自己可以打这样的短线做标记啊。下一个条件， e h 和 a c 平行。又来了一组平行线，让我们证明角一和角二相等。你从图上看很像相等啊，怎么证？当你想用红色的平行的时候，你就发现， 哎，没有三线八角对吧？你全是九十度的，跟我的一和二没关系。当你想用蓝色这个斜平行的时候，你发现也缺三线八角。 他虽然有一堆啊，这边有一大堆，但是跟我的一和二，尤其跟我的二又没有关系，所以我们就识别出来了问题，缺少和角一角二相关的三线八角。那我第一考虑辅助线选连接， 连谁呢？绝对有人想连 df， 因为很舒服嘛。啊，你看他们俩相等 x x， 然后你就发现还是不行，因为你这两个 x 跟我一和二还是没关系，当然不排除有人伪装。老师， 这两个看的好像啊，那个角二，那不也是 x 吗？ d e 和 a c 平行，请问有这个条件吗？没有啊啊，他说 e h 和 d f 也像平行，这也是 x， 这不就正出来了吗，多舒服， 可惜不行伪证了啊。所以关键的问题在于，你的这个连接必须要和我的一和二产生关系。现在不行，连错地方，角一顶在一这个点，角二顶在 g 这个点，所以应该是连接 eg 然后红色平行吗？那不就是 x x， 对 吧？这两个内错角还有一个蓝色斜平行，这两个大角，那不也相等？我标个 y y， 那 从图上看，角二那不就是 y 减 x 吗？角一也是 y 减 x， 一下就挣出来了， ok？ 所以 为什么要做辅助线，就是因为缺少和我一二相关的三线八角，所以我选连接，连接的时候也尽量把这一和二放进我的三线八角里边去。第二种方向可以连接，往往就可以延长啊。 延长对很多同学来说，他不知道往哪个方向走，因为线太多了。你看我以红色线为例啊，我把它抽出来， 这个时候你看一下，这是角一，你正常来说这两根线，对吧？你角一应该延长下来，是不能构造三线八角二，对吧？所以在这个图上我延长谁呢？ h 一 交 g f， 比如说于 m 吧。然后你看， 由于 d 一 和 g f 平行，我这是延长的，那 x 这同位角也是 x， 同时 h 一 我也是延长的，没有改变它们平行的属性，那 x 和角二也是内错角 a 也出来了啊， 所以延长了辅助线，图上可能做起来麻烦一些，因为你是两条线嘛，但是倒角啊，非常快啊。这样呢，也行，只是要做个角度差。同样的，你可以处理角一，你也可以处理角二，我再把图画一下， 还是两个竖着线，你看角二在这，哎，正常来说，我只要把它搞上去，对吧？这是不就关于角二有一个同位角，三线八角，所以我也可以延长谁呢？延长 ca 到这来， 和我的这个竖着的平行线相交，交点记为 n， 这时候你看红色平行角 n 是 x， 那 角一这也是 x， 也可以证明啊。然后辅助线我就不写了，我就直接说一下，这个方向是延长 h 一， 注意你的方向，不要写反。你别说延长 e h 了啊，延长 h 一 g f 交于点 m， 剩下的就用你的平行去倒角了。最后再次总结， 为什么我们想要去做辅助线，就是因为缺少和我的目标角相关的三线八角。所以不管是连接还是延长，我都要尽量把我的这个目标角 放进我的三线八角里边去，就迎刃而解了啊。关注，梳理黑板，现在下课！

这道题对于我们期下的孩子来说太难了，因为他对应每一步证明都需要挖掘内部的隐含条件，才能层层递进进行推导。今天啊，老师就教大家五步法，轻松搞定这种平行线性质判定证明题的申写过程。 如果啊，咱们孩子证明过程还经常跳步，写不清楚扣分。家长们可以把我这一块平行线性质判定易错的真题三十道打印出来，每一道题都特别的经典，带着孩子趁着这个假期就把卧床这一块刷透学会。 下面呢，咱就来一起分析一下这道题，我来教大家如何根据题干当中的隐藏引含这个条件，挖出对应内部的信息再来推了。 好了，来一起读题。角一加角二等于一百八十度，角一在这呢，角二在这呢，这两个角八杆子都打不着，一百八十度有啥用呢？ 没用。所以我们有一个思想叫做转化的思想，我们要把它转化到能用的角上去来进行使用，谁能用呢？我们发现这还一个角是一百八，假设我标记成小五， 也就是角一加上角二是一百八十度，而角一加上角五还是一百八十度，咱们是不是由它俩就可以导出角二等于角五啊？对不对？而这个引含条件等角二等于角五是什么角啊？ 是一组内错角，所以内错角相等，可以推两直线，平行 a， b 平行于 h， 那 也就是说这两线是平行的了， 哎，太高兴了，有了平行线，这道题就更好做了。来看第二个条件啊，这是第一个条件，第二个条件说了，角三等于角 b， 来看，角三在这呢，角 b 在 这呢，仍然是八竿子打不着的角，咱怎么用呢？ 因为上一个问已经有平行线的条件了，对不对？两线平行，你会发现角三是不是就和这里的角六是相等呀， 对不对？所以由平行可以得角三等于角六，而这里面角三又等于角 b， 他 俩综合在一起，是不是又碰撞出新的火花了，对不对？也就是角 b 就 等于角六了，这两个角是相等的，看没看见 好了，那这两个角相等它有用啊？因为这两个角正好是一组同位角，所以同位角相等可以推的直线平行 d e 平行于 b c。 好了，他让你证明的是角 c 四等于角 c， 这两个角是什么关系啊？正好角四和角 c 是 这一组平行线所夹的同位角位，所以两直线平行，正好推出角四等于角 c， 你 看整个的卧上不就顺下来了吗？

今天我们来讲三线八角模型，那什么是三线八角呢？嗯，三线八角就是有三条线， 就像这样，然后一共有八个角。然后我们来看这道题是讲三线八角的计数的，那我们可以先知道这个三线八角它是有，呃，有多少个？那个，嗯，同位角多少个？内错角多少个对，多少对，应该是那同位角 那，呃，这个三线八角，同位角我们该怎么数呢？嗯，我们换个不同的颜色， 嗯，同位角是就是 f 型的，那就是这一列一对、一对、两对、三对、四对，那同位角它是有四对的， 然后，呃，然后呃内错角， 那内错角我们来数一下，也换个颜色，角是 a 字型，所以，呃，那就这里一对两对，然后就没了。所以内错角， 所以内错角它是有两对的。接下来我们再来看同旁内角， 同旁内角，那同旁内角是 u 字形的，就是这里一对两对，那它也是只有两对的，所以同旁内角， 那我们找到三线八角它的就是呃这个计数的这个，嗯，规律。之后我们再来看这个图形， 那他也是求呃这个同位角，内错角，同胞内这个图形中他有三个。像这样的三线八角模型，那所以同位角有四乘以三对，内错角是二乘以三对，然后同旁内角也是二乘以三对，然后这个是十二，然后这是六，这个是六。所以这道题同位角有十二对，内错角有六对，同旁内角共有六对。 那我们下面来看这个便是探救一，那我们我们知道三线八角它是这样的一个角，那我们观察一下这个图，那这个图应该是有两个这个，然后还有一个，两个，哪个两个这个，然后还有一个圆形的，是吧？ 嗯，然后还有一个，嗯，还有一个图形组成的。那我们先来看这个图形，那这个图形我们刚才求出来，同位角有十二对，内错角有六对，同旁内角有六对。那我们这这个在这个图形里可以发现有两个，第一个是在这里的，然后第二个 e、 h、 e、 f、 c d 吧大的哦，然后然后下一个是在这个下面，这个就这个这个这个大一点的，那就是有这两个这个的话，那我们就知道那同位角肯定是，呃，二乘以十二， 那嗯，内错角就是六乘以二，同旁内角也是六乘以二，那这里有二十四，十二十二。那我们，呃，接下来来看除了这两个图形还有什么图形呢？我发现除了这两个图形还有一个很奇， 就是也是是一个三线八角的模型，那就在这这也是个三线八角的模型。那然后，嗯，呃，我们原来原本这这这里有，嗯， 我们再在这里添上一条线，就是不看这个，这里这个角的话，反正就两组嘛。对，对，那这就是两组三线八角的模型，那一组三线八角模型是，呃，六，是，是那个 呃四就是四三三的，然后嗯，那四二二的，那他就是四乘以二，然后二乘以二，二乘以二， 然后八四四，然后把这一行的数字和这一行的数字这样加起来，就是同位角有多少个，内错角有多少个，同方内角角有多少对，那我们这样求出来，同位角有三十二对， 对的，哦，对，同位角有三十二对，内错角有十六对，同方内角也有十六对。

孙老师，那些平行证明的辅助线题目到底是怎么被设计出来的？不用慌，这个系列视频我们就来揭秘辅助线背后的底层逻辑。 给你一组水平平行线，再来一组斜的平行线，让你证明角一等于角二，你肯定会做根据，斜平行得到三等于四，水平平行得到五等于六，所以五减三就等于六减四， 轻松拿捏。但如果我把这根线去掉呢？请问你怎么挣角一等于角二？如果你体会到前后两个粒子的对比，恭喜你学会了辅助线的第一种方法，连接 另一种相似的情形，一组水平平行，一组斜平行，让你挣一等于二， 非常简单呢，水平平行得到一等于三，斜平行得到三等于二，所以角一等于角二。但是如果把两条边缩短呢？请你证明角一等于角二。如果你体会到两个图的差别，恭喜你学会了辅助线的第二种方法， 延长。好，我们以第一题为例，来体会连接和延长的辅助线到底怎么做啊？ 如图， e 和 f 分 别在 abbc 上。好，第一组平行线来了啊， ab 和 cd 平行，为了方便大家看，我去把它描线，你自己做题的时候，你可以这样去标记啊，我就直接用红线标记了。第二组平行线， eg 和 df 也平行。 好，没条件了，就让我们证明角一和角二相等。图形上看起来很简单，但是陷入什么麻烦？你看你这个红色的 a、 b 和 c、 d 平行，有没有三线八角呢？有这个。第三条截线是 bc， 但是这个截的 bc 出来是这两个角， 它们俩是同旁一角互补，跟我这一和二没关系。 e、 t 和 df 呢？也有一根截线是 ef， 但是是这两个角同旁一角互补， 跟一和二也没关系，就怎么着你这两组平行都无法和一二直接产生关系。所以现在问题就在于 没有合适的三线八角。那三线八角我们说关键是要那根截线，现在就是缺这根截线，所以我可以自己做，那这个截线我可以是两个点连出来的，我也可以是延长的，比如说我们就先连接， 连接嘛，有些同学的想法就开始发散，我称为叫喷射啊，他说连嘛，我连 b、 d， 哎，他连了，还有连这个 ec 的， 甚至还有人连 a、 c 到处连一堆。我先说第一个啊，比如说连 b d， 连 b d 不 行，为什么？连了 b、 d 之后，这两个角是同位角，但是跟我的角一没关系，这两个同旁内角和我一二仍然是没关系，所以还是不行连 a、 c 一 样的问题，甚至说这个题其实 a 不 存在 啥意思呢？它只是表示一个方向，它并不真的在这。你连了 a、 c 之后， 你这个内错角在这，跟我的一和二仍然是没关系。所以这又衍生出一个关键问题，就是我要去连接，我的核心目的是构造三线八角，而且这个三线八角 要和我要正的一和二产生关系。我就发现角一的顶点是谁一呀？角二顶点在 d， 所以 连接一 d， 你 看啊，就怎么把这个条件和我所要的结合起来。 这时候我就发现，由于 a、 b 和 c、 d 是 平行的，那这个大的内错角没问题啊，我就标一个大的 x 吧， x ok， 然后我就发现连了 e、 t 有 什么好处呢？ e t 和 d f 也是平行哎，我把第二个内侧角也标上去，我再标个 y y， 那 你看，这不就出来了吗？大是 x， 那 这个角就是 x 减 y， 角二吗？角一呢？那也是 x 减 y， 所以 结束。这我就不再详细写格式了，我只写一个关键的步骤，这个辅助线你一定要交代出来啊， 怎么写？很简单，就是连接 e、 d， 因为这两个点是真实存在的，所以直接连就行。下面你就是因为平行倒了两次内错角就够了。 好，我们再试一下延长的方法。延长对很多同学来说会更难一些，因为连接是基于现有的图和点而延长，就有点延伸到宇宙之外那种感觉了，他不敢化。好，我们看一下，比如说我要以 a、 b、 c、 d 为切入， 对吧？他缺什么呢？缺结线，而且那个第三条结线啊，必须要跟我的一和二产生关系。哎，我就发现我这个 e g 啊，就有点像啥，像个断头的，就啃了一半，你看我画在这，你比如说这两个线是平行 ab 和 cd 嘛？你这个 e g， 这不是角 e 吗？ 正常来说，我要用三线八角，是不是给他延长过去就行了？所以，但是你看现在他被掉了一部分，所以我干嘛呢？我把 e g 延长到这来，而且我要把 c、 d 也要延长，因为你这个要构造三线八角，它需要和平线相交， 好出到这来。这个点我命名要 h， 然后你就发现活了啊，我把这个地方标个 x 吧。 那由于 ab 和 cd 是 平行的，我延长啊，我并没有改变方向，仍然是平行，那这个内错角也是 x， 而且 eg 和 f d 它们俩也是平行的，因为我也是延长，并不改变它的平行关系。那这是 x， 同位角也是 x。 哎，这个延长它证明格式快多了啊。一次内错角，两个角相等， 一次同位角两个角相等，还有没有其他的延长方向呢？有，你看啊，刚才我是围绕角一这个一半的这个边 e g 去延长它。那我还可以围绕角二啊，我在旁边画个图，你看一下， 这是两个平行的，然后角二在这。哎，你看，确实是这个边不够长，正常人如果够长的话，他不就 内错角过来了吗？所以我把谁延长，把 d f 延长下来，同时我的 a、 b 也是延长过来，相交这个点标 m 吧。哎，你会发现这是 x， 它们俩平行，这个内错角也是 x， 而且 f d 和 e t 仍然是平行，这 x 这儿也是 x， 所以 也能正， ok。 所以 你看， 当你把图形抽象出来之后，你就体会到所谓的延长也还是在构造三线八角， 而且这个三线八角要尽量和我的目标角一或者是角二要产生关系。你一旦体会到这个构造的这个策略，这种题就很简单了啊。当然这格式啊，我就只写一个关键的格式，就是辅助线，怎么说啊。至于后面的平行倒内错角同位角就很简单的啊，他的辅助线叫 延长， eg 和 cd 相交于点 h 啊，正是由于我是延长的，所以我并没有改变红色的平行和蓝色的这个平行的属性啊。好，最后两句话总结，为什么要做辅助线，就是因为缺少合适的三线八角 而连接和延长，目的就是围绕我的目标角去构造三线八角，关注梳理黑板，现在下课。

期末预考选择的最后一道题，很多同学都做不出来，看到这个图稍微有一点半变化就没有思路了。其实啊，这不就是我们之前说的平行线十三大拐点模型的复合型吗？如果我之前的结论你都记住的话，这道题分分钟直接可以秒啊！ 那有关于平行线拐点模型，老师也得给大家做一个细致的总结，三大家族十三大类，每一个类别都给你分析推导的清清楚楚，建议大家逐个模型打印出来，去练习去做啊。下面呢，咱们来一起看一看这道题。 这里说呀， ab 平行于 c， d 两直线平行，这是垂直的 b f h 哦，告诉你，这个小角呢，是三十度， e g h e g h， 这个小角也是对应的三十度， 现在告诉你，角 h 等于五十度，想要求角 f e g 啊，想要求这个大角的度数还是一样，这种题目直接上来干嘛？识别模型，然后再提炼模型，你能看到什么模型啊？是不是一眨眼就看到了对应的这个什么呀？ 小猪蹄呀，对不对？来，一眨眼就看到这里还有一个什么瘦猪蹄呀，刚才是胖猪蹄，这是瘦猪蹄对不对？所以在蓝色的瘦猪蹄当中，我们有蹄尖尖之合等于蹄丫丫。猪蹄形模型的结论就知道，这是五十，这是三十，这个角一定是二十度。 在这个红色的胖猪蹄当中，我们有蹄尖尖等于蹄丫丫，所以角 e 就 一定等于哎，这两个角的和对不对哎，也就是角 b f e， 再加上对应这个角，也就是再加上五十度， 而角 b f e 这个角，人题中知道啊，这是垂直，这是九十度啊，所以不就是九十度再加上五十度，也就是一百四十度吗？所以这道题的答案也就直接出来了。 所以以后遇到这种题，选填不需要过拐点，做平行识别模型，提炼模型应用结论，我们就可以化繁为简，快速地秒出档。

期下开始数学拉开差距的就是几何题，家长一定要给孩子准备这本模型图，了解初中几何。他汇总了初中三年所有的几何模型。结论，像猪蹄模型，你就记住 b 平行于 c， d， e 是 平行线间的内凹拐点 得到角 e 等于角 b 加角 c。 遇到八字模型，你就做 a， c 与 b、 d 相交于点， o 连接 a、 b、 c、 d 得到角加角 b 等于角 c 加角 d。 考试遇到相似模型，直接套用模型。结论，做题又快又准，每个模型不仅有公式速记， 还教给你辅助线怎么画，就连模型怎么证明也讲得清清楚楚。重点是还精选了典型例题进行剖析，解析思路特别清晰。不会的还可以看视频讲解，学完再去用对应的练习片做真题练习，学练结合，初一到初三都能用，赶紧让孩子学起来吧！

他俩合起来是五 x， 嗯，对，这个不需要再画辅助线了啊，我告诉你啊，一个辅助线我都不需要了，对不对啊？一个辅助线都不需要了，对吧？ 那我们来看一下啊，对，这是什么？对，它俩是什么角呢？同位角啊，同位角对不对？那么你看我刚才第一问，我不是已经得到了这个 a c 平行与 f g 了吗？是不是 a c 平行与 f g 两直线平行， 那么同位角相等，那你说老师有没有用到第一问的结论呢？对不对？有没有用到第一问的结论啊？有还是没有？那肯定是用到了第一问的结论了，但是呢，如果你第一问你没有做出来，你直接用第一问的结论去做第二问， 还是有分的。这里老师告诉你啊，还是给你满分的好。那所以这个角的话呢，是不是也是五 x 呀？哎，这个角也是五 x， 对 吧？好，那么这个角是五 x 的 情况下呢？角 f 又是角。

七下数学一遇到平行线就懵，辅助线到底画在哪？我们平行线辅助线的压轴题来了啊，这道题是不是 a、 b， 是 不是平行于 f、 g 啊？哎，题目不是这样的，题目里得干嘛？题目里得证明这两条直线平行。来，我们在做我们期间的时候经常要做证明题，这道题啊，先把平行线给大家描出来， 哪哪两条线平行呢？ c、 d 来，这是 c、 d 平行于 e、 f， 你 看只有这两条，这两条是平行的， c、 d 平行于 e、 f， 你 看 c、 d 平行 e、 f， 然后呢，告诉你什么呢？角 c 加角 f 等于 abc， 也就是说角 c 就是 我们的角一， 角 f 是 我们的角就是角二，加角一等于多少呢？等于 abc 等于上面这个角的好。好，那么这个时候这道题呢？这道题是一样的速度啊，速度是一样的，你看这个平行线，它只是 e、 f、 c、 d， 我 要过哪个拐点做平行？其实这道题好过点 e 过点 e， 是 不是这个点标为 h 点的话，好把它都延长，是不是好延长，你看得清楚一点，是不是我们先这样做？其实这道题的解法有很多种，我们有一题多解嘛。哎，那我们先思考一下，咱们题目要求的是我们先来倒，我们先来倒推一下啊，题目要求什么呢？要求的是 我们用个红色表示啊，题目要求的是什么？这条直线和这条直线平行？来，大家思考一下，这个是角一，如果把这个角变为角三的话，来问有没有大家，我们根据平行线的判定，我们根据平行的，你看 这个是角一，这个是角三。来，我们现在倒推一下，我们要证明 ab 平行于 f g， 那 么我们是不是要干，要怎么做？我们要。 如果，假如说角一等于角三的话，你看是不是两三条直线相交？在我们三线八角里面，我们有做过很多类型的题，同位角相等的话，是不是两直线平行啊？你看同位角相等，如果能证明角一等于角三， 同位角相等是不能证明 ab 平行 c g， 也是说我们要证明什么？是要，要得，我们下一步要证明角一跟角三是相等的，是不是？好来，同学们，这个是我们的角三，我们怎么证明 来，怎么证明角三？他的对顶角来，同学们怎么做角三的对顶角，我们把这个地方啊，把它标为角四，这是他的对顶角，因为是不这是一个是吧？对顶角，以角四来。同学们告诉老师，角三和角四什么关系？ 角三和角四是什么关系？来我们这个地方叫同位角，因为角三和角四它是什么？对顶角一定是相等的嘛。那么这道题目中我们是不是要慢慢要，要推，也也就说我们实际上要推什么？需要推出什么呢？ 这个我们只要得到什么？我们这个题目中如果我们带进去的话，来，我们利用我们的已知条件，是不是就很好求解了？ 所以说我们现在我们要推出这个角等于这个角，因为这个角等于这个角，我们只要推出角一和角四，我们就要求角一，如果是等于角四的话，我们只要证明角一和角四相等的话，我们是可以得到下面一系的关系。那么角一和角四相等的话，来这道题目中， 你看啊，出现了我们的什么模型？出现了我们什么模型？我们上节课如果有听过老师讲的这里叫什么模型，不知道大家有没有看到脚，你看脚二，脚臂、脚四，什么模型已经出来了，是不是？ 有没有同学看到非常好是不是？你看啊，我们给大家描一描，这个模型是不是就已经出来？当然呢，我们也可以这样描了，如果说来，我们现在我们把它这样描吧。哦，绿色的这个叫什么模型啊？还记不记得？哎？你看 我们因为我们角二、角四，角 b， 是 满足这个叫什么？是满足我们的，哎，当有些，有些，我们可以构造铅笔头模型，但是实际上这道题最好的方式是不是我们只要满足我们猪蹄模型啊？是不是猪蹄非常好，我们提鸭子模型好，那么猪蹄模型怎么证明呢？实际上这个地方我们的答案不就已经出来了吗？ 我们直接干嘛？过点 c， 我 们来做一条平行线，是不是就出来了？你看因为什么？因为角二，你看这个是角二，那么这个呢？也是角二， 两个角相等嘛？然后呢？这个是角四，所以说这个角是不是也是角四？那么也就是说角 b 是 不等于角二加角四啊？角 b 是 不等于角二加角四，你看这样的话，我们是不是倒推出来了？ 所以说我们当这道题呢，我们证明过程，其实其实给这么写啊，我们把那个过辅助线就不写了，我直接标，你看因为因为什么？因为这个， 比如说标为 h 吧，过点过点 b 做 b， h 平行于 c d， 因为 c d 平行于 d h， 又因为 c d 平行于我们这个 e、 f， 所以 说我们这个这个 e， 这个 b、 h 是 平行，我们 e、 f 的 这三条线平行，所以我们就可以直接写，因为什么呢？ 我们把这个角标为标为角三吧。比如说我们要写证明过程的话，可能是标为角三会好写一点啊。因为 c、 d 平行于 b h， 所以 这个角二等于角三，是吧？然后呢？因为这个 b h 平行于 e、 f， 所以 这个角四，我们把这个角标为角五的话，我们为了写证明过程等于角五，是吧？然后这个所以这个角 b 呢？ 又因为角 b 等于角三加角五，所以这个角 b 是 不等于角二加角四啊？好，角 b 等于角二加角四。那题目是不是椅子？ 又因为你看这个角 c 就是 我们的角，又因为题目椅子角二加上我们的这个角一， 这个角就是角一吗？是等于我们角 b 的， 那么你看我们等量代换是不是就出来了？所以说我们角一是不是等于角四啊？我们就得到角一等于角四，角一等于角四，是不满足什么我们内错角相等，两直线平行啊。那这道题是不是就证明出来了？所以 这个 ab 就 平行于 c、 f， 两直线平行，内错角相等吗？好，这道题我们就求解出来了，记得点赞关注哦！

出一几何证明题，过程不会的看过来。好，各位同学们，咱们今天看一看我们在这个七年级下册第一单元平行线里边啊，必须要掌握的一种答题方法啊，那么这种题型呃，我们考的非常多， 那我们先看一下题目啊，已知条件是 a、 d 和 e、 f 都平行于 bc， 垂足分别是 d 和 f， 其中角二加角三等于一百八十度，让我们去证明角 g、 d、 c 等于角 b。 好，我们先标一下啊，我看一下，角 b 是 这个角，那么角 d、 d、 c 呢？是这个角，很明显，我们标完之后我们会发现呢，这两个角是一对同位角对吧？也就是 如果 ab 来往这边标一下 ab 和这个 g、 d， 我 标红的这两条线段平行，那么这两个角就相等了，对不对？所以我们做这种题之前啊，我们不要着急，先去写过程，我们把这个思路啊给它 捋一捋，我们可以在旁边怎么样？我们可以在旁边画一个草图，写一个框架，然后呢，对应的再把这个框架去给它啊，完整的往上面添砖加瓦，那么我们整个过程就写出来了。 来，我们刚刚说的，我们最后只要有 a、 b 平行于 g、 d， 那 么我们就可以得到 我们要正的角 g、 d、 c 等于角 b， 那 么我们再看这两条线平行，怎么去正呢？ 哎，其实我们也不难发现，这个角一啊，和这个角三如果说相等的， 我们是不是就能得到 ab 和 g、 d 互相平行呢？为什么呀？因为角一和角三是跟 ab 和 g d 相关的一对内错角对吧？所以说我们再看一下能不能找到角一等于 角三，同样角一等于角三就能得到 ab 平行于基地，那么我们看一下题目里边给到我们什么信息了来，题目里边给到角二加角三等于 一百八十度，哎呀，那我们想一想，角二加角三是一百八十度， 如果说角二加角一也是一百八十度，那么我们把这两个条件结合起来，是不是就能得到角一和角三相等了？为什么？因为角一和角三都是角二的补角，对吧？ 那么相同的角，它的补角是相等的，那么我们再看一下， 我们怎么样能使角二加角一等于一百八十度呢？我们观察一下来，角二在这个地方，角一在这个地方，哎呀，角二和角一怎么样？很明显同旁内角，那么如果两直线平行，我们就会得到同旁内角互补，也就是谁啊？ e f 和 a d 假如平行的话，我们就能得到角二和角一相加等于一百八十度。来，我们再给它写出来，如果 e f 平行于 a d 好， 那么我们就能得到这个条件，对不对？我们再看 e f 平行于 a d 吗？我们根据题目的条件看一下能不能找到，很明显是可以的，为什么？因为题目里边说的 e f 垂直于 bc， a d 也垂直于 bc， 那 么两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线之间肯定是一个互相平行的关系，对吧？好，那么到这个地方，其实我们这道题啊，它的框架我们就给它 建立完成了，剩下的我们只需要干什么呀？我们只需要写过程，往上边添砖加瓦，添什么呀？比如说这个因为所以的符号啊， 以及我们后边的这个括号里边的这个依据啊，都是我们需要添砖加瓦的这些部分，那么我们把这些部分给它整完之后，这道题我们就能怎么样完美的交卷了。那我们再回到这个题当中，我们看一下条件啊。 题目里面首先给了一个，因为 a、 d 平行于 b、 c、 e、 f 也垂直于 b、 c， 所以 角 a、 d、 b 和角 e、 f、 b 等于九十度。那么这个地方我们应该填什么呀？我们根据垂直得到直角，所以说这个地方肯定是填垂直的 定义，对吧？啊，没问题。紧接着我们看一下，我们根据角 a、 d、 b 和角 e、 f、 b 相等得到 e、 f 平行于 a、 d， 我们看一下 a、 d、 b 是 这个角刚刚标出来的，那么 e、 f、 b 呢？ a 是 这边这个角，它们两个是什么呀？同位角相等，所以吧，所以说我们根据同位角相等得到两直线平行，那么这个地方我们就写 同位角相等，两直线 平行来，接着往下看，我们根据 e、 f 平行于 a、 d 之后，又能得到谁加谁等于一百八十度。刚刚说的是不是角一加角二啊？所以说这个地方是角一加角二等于一百八十度。那么这个地方填什么呀？依据是两直线平行同旁内角互补 好，直线平行好，我就不详细的写了。然后呢，同 好内角互补来，接着往后看，又因为题目里面告诉我们角二和角三 也是补角，对吧？互为补角，所以我们得到角一等于角三好，那么这个地方的依据我们应该填什么呢？很多同学说，老师我填等量代换可以吗？其实这个地方啊，我们准确的来说应该填什么呀？ 同角的补角相等啊，为什么呀？因为角一和角三都是角二的补角。 好，我们再根据角一等于角三，又得到 a、 b 和 g d 平行的，那么这个时候我们的依据就是 内错角相等，然后呢，两直线 平行，对吧？最后我们再根据 ab 平行于 g d， 得到角 g d、 c 和角 b 相等，那么我们刚刚说的它们两个是同位角啊，所以这个地方的一句是 两直线平行，同位角 相等，对不对？那么呃，我们在做这个题的过程当中啊，我就会发现，很多同学刚开始学这个平行线的性质，以及平行线的判定这个内容，很容易把这块的依据给它写反了， 我们看一下我们怎么去保证我们不写反。比如说我们最开始在这个地方有角相等，得到线平行，那么很明显这个地方怎么样？你的角相等在前，线平行在后，所以这个地方我们应该填的是 平行线的一个判定方法，对吧？好，我们接着往后看，我们这个地方怎么填呢？首先你是根据 这两条线平行得到这两个角互补，对吧？所以说这个地方你应该是两条直线平行在前，同旁内角互补在后，那么这个也就是平行线的一个性质了。 好，我们接着趁热打铁啊，看一下另外的一道气体啊，我把这个给它去掉。 来，我们再看一下对应的这一道题型，我们应该怎么去做，同样，我们跟刚刚一样，还是把框架先给它找出来。那我们先看题啊，如图，直线 c、 d 和 e、 f 交于点 o， 其中 a o 垂直于 b o。 好， 这个地方它有一个直角啊，标的不是很清楚，我们再给它标一下，并且题目里面告诉我们，角一和角二相加等于九十度。 现在我们看第一问啊，让我们求证 ab 和 cd 平行，我们看一下 ab 和 cd 上下两条线，让我们去正平行， 那么我们知道我们平行线的这个判定方法，总体来说就是三个，对吧？啊？同位角相等，内错角相等，或者是同旁内角互补，所以说我们看一下这里边啊，我们有什么呀？角一 和这个角 a、 o、 c， 它俩是一对内错角，如果说角一和这个角 a、 o、 c 相等呢？来，如果说角一等于角 a、 o、 c， 那 么我们就能得到 ab 平行于 cd， 对 吧？或者是 a， 这个角 a、 b o 和这个角二相等，我们也写出来，或者 角 a、 b o 等于角二也能得到这个 a b 平行于 c d， 对 吧？ 那么现在看一下，我们能根据题目里边的条件和信息得到这两个条件当中的一个吗？ 来看一下，题目里边告诉我们这有一个直角，并且我们看 aob 是 一个三角形，那么它是一个含有直角的三角形，所以说 角一加上这个角 abo 是 不是就是等于九十度了？我们再结合 题目里面给的我们这个角一加角二等于九十度，来再结合这个条件，我们在这上面写出来啊，角一加上角 a、 b、 o 等于九十度， 我们看一下我们把它俩结合起来之后，是不是就能得到角 a、 b、 o 和角二相等的啊？所以说这个条件怎么样我们可以得到，因此这个题的框架我们就给它整理完成了。好，那我们接着看一下，我们如果要写详细的过程怎么写？我们在下边写啊， 那么我们写证明题第一步干什么呀？肯定要写一个证明对不对？好，写完证明之后来，首先因为 a、 o 垂直于 b o， 所以 我们得到角 a、 o、 b 等于九十度。好，那么这个地方如果我们括号里边要写一个你的依据怎么写？跟刚刚一样，写一个垂 值的定义就可以了。那接着我们看啊，我们这个时候就可以得到角一加上角 a、 b、 o 等于 九十度的。好，紧接着又因为题目里边告诉我们角一加角二也等于九十度，所以啊，我们就能得到角 a、 b、 o 和角二相等。同样，如果说这个地方我们要写一个判定方法，怎么写啊？ 是不是同角的与角 相等啊？也就是他们两个都是角一的余角。好，那么这个时候我们根据角 a、 b、 o 和角二相等，我们就能得到 a、 b 平行于 c、 d 了。那么我们这个地方的依据就是什么呀？ 内错角相等啊，后边两直线平行。好，我就不写了。好，这是我们的第一问的一个 过程，对吧？我们接着看一下第二问啊，第二问告诉我们 o、 b 平分角 d、 o、 e 啊，并且角二比角三等于二比五，让我们求角 a、 o、 f 的 度数。那首先我们看一下 ob 平分角 d、 o、 e 之后，我们会得到来我画圈的这个角和这个角二画圈的这个角，它俩相等，对吧？ 那么现在题目里边告诉我们，角二比角三是二比五来，角二在这，角三在这，那么我们把上边画圈的这个角也给他加进去，那么他们三个的比是不是就是二比二比五的？ 来，我在这个地方假设加上一个角四，可以吧？也就是我们会得到角四比角二比角三等于二比五， 我们再来观察一下，他们三个相加是不是等于一百八十度啊？那么这个时候啊，我们可以用小学学过的一个知识点叫做按比例分配，把他们三个角的度数给它求出来。 那么同样我们也可以用方程思想设他们三个角的度数，分别是二 x、 二 x 和五 x 啊，列方程也可以求出来，那么求出来之后对应的角的度数就知道了 啊。我们最后要求的是角 a o f 的 度数，我们看一下这个角 a o f 它等于什么呀？它是不等于一百八十度减去这个角 a o e 啊？啊？我们给他写一下，等于一百八十度减去角 a o e， 那 么我们只要把这个角四这个地方的度数给他求出来了，那么角 a o e 我 们就知道了，为什么？因为 a o b 这个地方是一个直角， 对吧？啊？所以说这个题啊，总体来说难度不是特别大，那么我们需要注意的点就是我们要把这个过程给他写好，写完整的啊，一定不能出错， nice。

期下开始数学拉开差距的就是几何题，家长一定要给孩子准备这本学而思的几何模型大全。他汇总了初中三年所有的几何模型。结论，像猪蹄模型，你就记住 a、 b 平行于 c、 d 点 o 式平行线间的内凹拐点得到角 b、 o、 c 等于 角 b 加角 c。 遇到八字模型，你就做 a、 c 与 b、 d 相交于点 o 连接 a、 b、 c、 d 得到角 a 加角 b 等于角 c 加角 d。 考试遇到相似模型，直接套用模型。结论，做题又快又准，每个模型不仅有公式速记，还教给你辅助线怎么画， 就连模型怎么证明也讲得清清楚楚。重点是还精选了典型例题进行剖析，不会的还可以看视频讲解，学完再去做后面的真题练习，学练结合，初一到初三都能用，赶紧让孩子学起来吧！

七年级下册数学最难最容易丢分的是哪一张？没错，就是相交线与平行线！很多同学刚学就蒙，做题全靠猜对，顶角零补角分不清同位角内错觉同旁内角找不准平行线的判定和性质， 一做题就搞反考试，一考就错，填空选择全是坑。其实这一张一点都不难，只要把概念模型、易错点练透，几何入门直接稳了，后面学三角形、四边形都轻松， 最怕的就是课听懂了，题不会做，越学越没信心。今天给大家整理了七年级下册相交线与平行线专项训练，从基础概念到角度计算，再到平行线证明题、常考题型、 易错陷阱、答题思路全都练到位，一道题对应一个考点，做会一类通一片。每天练十分钟几何，不再靠感觉做题有思路！点击左下角小黄车！