四边形初中数学八下怎么剪

接下来我们来去讲一下三月十八号的打卡作业。第一题是中微线，这个时候不知道大家中微线有没有学啊？我们这一个题目主要牵涉到了中微线的知识，以及化零微整的数学思想。好，我们来看一下条件啊，你一看到这个中点，你既然学中微线了，你就得要考虑， 这是一个典型的在中微线里化零微整，为什么呢？你会发现条件很分散，看这个角加这个角是九十度， 可能有很多同学他延长直接就是就是往这个方向上走了，但是有一个是终点呀，就你可以可能最终会考虑，但是你没有办法将这些条件去整合。在这种情况下，你尝试完了之后，你就可以考虑再去考虑中微线。那中微线该怎么样去做？这个地方主要突破两个难点啊，这个地方还是有两个难点，第一个难点就是辅助线 啊啊，辅助线的做法啊，我们辅助线的目的主要还是为了化零为整的啊。第二个其实就是等量代换啊，因为其实角度的等量代换， 嗯，是需要你静下心来，尤其是复杂的图形，你是需要静下心来去思考的。来，我们来看一下这两个点，看大家是哪个地方卡了啊。第一个怎么样整合呢？我们要连接对角线 d b， 然后取中点，连接取中点，假如说我们记作为 o 点嘛啊，然后连接 f o 和 e o。 好， 这个就是我们的辅助线。那你的目的是为了啥呢？好，大家就可以看出来，在下面的三角形里，你就将三画菱为正到这里，然后将四画菱为正到这里。 那如何求 e f 呢？我们可能会已经猜出来，这个如果是小题目啊，我们已经猜出来角 e、 o、 f 是 个九十度了，但是证明我们还有这一个条件没有用，是吧？你看 这个角，我们是很容易被平移到这个角，就角 a 很 容易平移的，这个角我们这里面是用的整体思想啊，同时等量代换啊，我们这个角 a 很 容易就移到了角 o、 e、 b 当中，那角 b 被拆分了，看到没？角 b 一 方面被拆到这里，我画圆圈看， 猜到这里了，看嘛，它是其中这个角 e、 o、 f 的 其中一半的角了，然后另另外一半是怎么构成呢？是靠外角去构成的，因为这个角角 a 加上角 b 一 部分的角三角形啊， 然后恰好一二三，这三个角其实也等于角 a 加角 b， 然后恰好等于这个外角啊，加上角 b 啊，这个角，这个角正好是 这个角，恰好是角 a 加角 b 啊，其中这个角是拼凑过来的，看到没有？因为把角 b 打散了一半角 b， 一 部分角 b 和角 a 加在一起是外角，就这个地方比较难等它，待坏难，就在这里。嗯，然后这个时候我们就能够整合，它是九十度角，然后根据勾三 股四选五的二分之一被直接算，这个答案就出来了啊，这道题目又是一个折叠题，但这个折叠题 他是要找寻找勾股的，所以你自己要先去学会，就是在折叠的，根据折叠的这个性质，要去找到全等三角形啊，你看，如果你做的多了之后，你就会很容易的能够找到通过折叠的性质。我看你们问我题目的时候还在问，哎，这个怎么全等的呀？其实折叠的性质，你找到对应的 关系，你就能够找到全等三角形了哈，那这个时候你就很顺利的去设，我们就在最终是在三角形这个里面求勾股啊，我就提醒到这里。好，再接着我们来讲一下第三题。第三题会难一些，但是他的第一问其实是一个典型的模型，就是正方形里面的十字模型， 正方形里边的十字模型要求的就是这两个十字线段的数量关系，它是一个固定题型，我们只需要过 f 点去做垂线，很容易就能够挣全等三角形啊。我们交于就就是过 f 做垂线，交 b c 于 h 点，我们去做 h 点，大家能看出来这是个全等三角形啊。那接着第二题， 第二题是说角 e f g 等于两倍的角 c b g， 我 们也能看得出来 c b g 其实就是这个角，因为你第二第一题里面已经证过全的了，所以这俩角是两倍关系。 嗯，但是呢，我们在这个条件里面只有就只有这一个条件，那这一个条件我们是看看能够得出来什么英文全能，大家可以看到啊，所以这个边这个角 e h 是 不是和 c g 本来就相等， 那这个时候 c g 两倍的 c g 又等于 b e， 那 这个时候我们就能够表达出来 h b 是 不是和 h e 就 能够整出来是相等的？ 好，大家可以看一下啊。我这个时候去平移，那么此时这条线减去这个是不是就等于 c h， 同时也等于 d f， 同样子的这条线减去这个相等的一个小线段就能够挣出来这个边，也就是 d f 等于 d g 是 不是相等的啊？这个我们就可以挣出来了啊？这是我们这个条件能挣出来的。这样子的话，我们就能够确定三角形 d f、 g 是 等腰直角三角形，等腰直角三角形，它会自带一个四十五度角，因为这个是九十度，所以这个角 c b g c b g 其实就是 h f e 啊，和角 g f e 这俩角是不是就是四十五度角？这个是对的，这是对的，那现在主要是第二个，第二个说角 e、 f g 和这个 c、 b g 的 数量关系是两倍关系，那这个题目我们其实要用假设法去做啊，它的难点就是因为你可能会想不到，假设我假设是对的，我推出来矛盾，那它的矛盾就是跟已知条件的矛盾，这个是我们比较少见的一个。呃，解析思路，所以给大家具体的去讲一下解法。 那我们先去设角 c b g 为阿尔法，那这个角 e、 f g 是 不是就阿尔法？大家最好是写在这个标在题目上，哪个是阿尔法啊？哪个是阿尔法？是不是这个角 c b g 是 阿尔法， 这个角，呃， e、 f g 是 阿尔法，看到没有啊？那这个呢？这是什么？是不是阿尔法？ 那如果这个是 r 法，那么我们这个时候就会发现，角 d f、 e 是 不是可以表达出来是四十五度加上两个 r， 那 同时你在这个三角形里面，因为你是 r 法，大家很容易就能够表表达出来。角 b e f 等于角 d f e 等于九十度减 r， 能看出来吗？这角是九十度减 r 法，那么这个角也是九十度减 r 法，那既然都是表达的是角 d、 f、 e， 那我们就能够建立方程了吧？是不是？那这个时候我们求的阿尔法是十五度？好，阿尔的阿尔法是十五度。跟谁矛盾？跟什么矛盾？跟已知条件矛盾啊，这个是跟已知条件矛盾啊， 没有这个条件啊，所以这个是矛盾的，这样子的话我们就挣出来这个是不对的了啊。这个是我们三月十八号的题目，大家可以根据我讲解的内容，尤其是题型的这个 具体的哪个地方还没想到的去可以去消化一下啊。最主要的是咱们上一周的打卡作业也会有一些动点题啊和难点，还有折叠题。嗯，大家要回去再重新回顾，反复思考，有的有那个也可以去自己写一下步骤。好，今天的这个分享就到这里。

今天咱们这道题就是八年级下学期咱们的填空压轴题八上，咱是不是学三角形全等符号线呢？哦，那八下呢？八下，我们四边形里面考的还是 三角形全等符号线。首先在一个菱形 abcd 中啊，那菱形四条边都相等吧。哦，再接来说，我这个角等于六十一点，是中点，这小段得二，这小段得二， 然后这个角是一倍啊，这个角是两倍。最后问我们 c f 等于多长？首先第一个，我们这道题里的特征性条件就是，谁 是不是就是一个中点呐？啊，中点，八上，毕老师教大家啥了？辅助线的做法是不是有一招叫做倍长中线呢？但是到八下我要把它升级，说，我们原来讲的倍长中线呢，是这样 一个三角形啊，这个是这边上的中点，然后如果你是中线呢，连接延长一倍，是吧？啊，这样的话，我这么一连就会有八字形全等了，那他怎么升级的呢？第一个升级 就是，我们原来是不得正 s a s 全等啊，全等以后对应边相等，这两边相等了啊，全等以后对应角相等，对应角恰好是内侧角，所以这两边 平行了，是这个道理吧。现在还用正这个全等吗？不用正全等了，那写过程我们就升级了。怎么升级的呢？各位，原来叫八字形全等，现在叫什么？现在叫对角线互相平分。哎，我把这边也连上，那么对角线互相平分的四边形就叫什么四边形。 嘿，平行四边形对吧？那平行四边形对边怎么样？数量上相等位置上怎么样？平行。哎，平行且等，不用正，全等，直接就出结论。所以第一个过程上升级了， 第二个大家更重要的是什么？是我想要八字形全等，我必须有终点做倍长吗？ 不必学哎，比如说我这两条线，咱们俩是平行的，那我这个点又是这条线上的中点，平行加中点啊，那这个时候怎么办呢？这时候我自己来一条线， 哈哈，八字形就出来了吧，这个八字形怎么样？依然全等啊，这叫有中点，有平行内错角相等，还有一组边 a s a 三角形全等吧，所以 平行加终点也能出全等啊。那再来说，我八字形全等，除了这两个还有谁啊？还有平行且相等，说咱俩又平行又相等，如果我这么一连，咱就什么 八字形全等。当然啊，他的升级也来了啊，你把这边也连上一组对边平行且相等的四边形是什么？ 平行四边形作为一个平行四边形，两条对角线就有互相平分啊，所以互相平分，你是终点，我也是终点啊，这样的话，双终点我们就正出来了。以上才是咱们八年级下学期要学的正版的 八字形全能，所以八上学清楚了，到这就升级，八上没学清楚，到这毕老师都给你补齐了。好吧，那当你有这个储备的时候，各位，这道题是不是跟玩一样了？来 说我一点是终点，哎，那我菱形菱形就是特殊的平四吧，那作为平四，我这两边已经怎么样了？已经平行了吧，有中点，有平行，轻轻延长就能行，把这块延长一下，把这也延长一下。请问这个八字形什么关系？ 是不是就是全等了啊？全等之前这变长等于四，全等过来，这个变长也等于四，四跟四我就知道了。好，那再来。那接下来我想求这小段，这小段不知道 设它是 x， 可以 吗？啊，那这个是 x 了，别的怎么办呢？这个时候你要是卡住了，毕老师就提醒你一句话，请问哪个条件没用上？嗯，还一个什么特殊条件没用上， 这是两倍阿尔法吧这是一倍阿尔法吧。哦，那这个时候怎么用？你外角是两倍的阿尔法，这个内角是一倍阿尔法。哦，那我做一个三角形，这个内角等于多少？ 外角等于不相邻的两个内角和。哦，你俩加和是两倍阿尔法，你是一倍阿尔法，所以我是一倍阿尔法。你要是一倍阿尔法的话，那这个三角形就是一个什么三角形啊？ 哦，等腰三角形，毕老师说清楚了吗？作为一个等腰三角形，这个边长得 x 加四，所以这个边长还得 x 加四。哦，这小段得 x 加四了。好，那假如大家又卡住了，毕老师又要提醒大家这句话了。什么话？请问哪个条件 没用上？就剩这个六十度，我没用上了吧，对吧？那六十度作为特殊角，我们要把它装在什么里？ 直角三角形里。啊，那我现在要解这个边 x 加四，因为 x 加四，知道了 x 就 知道了，对不对？哦，那我要解这个边，我也要把这个边装在什么里？ 直角三角形里。那有没有那么一个辅助线，既能把它装直角三角里，又能把特殊角装在直角三角里呢？哎，有的啊，这么做啊，看好 延长一下，做个垂，因为你这边这个角得六十的意思就是内错角相等，这个角也得六十啊，菱形的边长都相等，这块二加二得四，这得四，这也得几 也得四，你是六十，你是九十，这角就是三十度，所以三十数对折边都一些变一半，他就是二，这边也就是二倍高三。再继续啊，菱形四条边都相等，他得四，这条边也得四，这小段是 x， 这段就是 四减 x。 哦，那么最终大家来了啊，说，我整个这个边长得几啊？二加上四减 x， 是 不是就是六减 x 啊？ 一个边长出来了啊，那么请问整个这个边长得几在这呢？ x 加四对吗？啊，请问这个边长得几？二倍杠三三边都知道了，各位就用什么 鼎鼎大名勾股定律。所以斜边 x 加四，括弧的平方等于，哎，另外两个直角边，一个是六减 x， 括弧的平方，再加上二倍根号三，整体 的平方。讲一个计算的小技巧，有时候老师，这个玩意不好算呢，特别好算。为什么我要把右边这个括号移向到左边来，那移向以后要变正负号啊，所以他从右边挪到左边，那就加号变成了 减号，是这道理吧。啊，这一部分呢？不动不动，那等号还写在这跟上了吧。那于是乎，平方减平方，什么公式？ 平方差公式，所以两项加和 x 加负 x 没了。四加六就是十十倍的两项作差 x 减负 x 还剩二 x 啊，四减六还剩负二啊。啊，那这个家伙就等于 十二呗。所以各位两边拿二约一下，那就剩啊，左边约掉二，口张开十二 x 减十吧，右边约掉二，就剩六吧。十二 x 减十等于六，十二 x 等于十六 x 就 等于 五分之八。各位毕老师讲清楚了没？老毕要提醒各位家长一下，八下是我们逆袭的 关键机会，因为之前没学明白的所有东西，到了八下咱都有最后一次机会，把它给补上，抓住这次机会，孩子在这里学习，轻松逆袭。

好，下面同学们，我们一起看一下第七题，第七题他考察了一个什么呢？哦，考察的是一个何小易问题吧，又是一个何小易，那我们一起来看题目吧，我们这份巅峰上已经遇到好多次何小易喽。 正方形，他的边长是二题目给的是不是好，紧接着连接他的对角线，现在又，哦，这个对角线一连之后，这个角是不是四十五度啊？现在还要做这个角 a c d a， c d 的 平分线，哎呀，这不就二十二点五，这不就二十二点五度吗？哦，两个都是二十二点五度，这两个是角平分线， 角平分线，我们来标一标相等，对吧？或者说我们标一下二十二点五吧，把它放大一下， 这个角是二十二点五度，同样这个角也是二十二点五度。好了，在图中先标一标再说。 好，下面他干了一件什么事情呢？在 ab 上找一个什么点？在 ab 上找一个点 f， 你 使得什么截取 a f 等于 d e， 哎呀，你看到看到没有，在这个这熟悉的感觉没有。在正方形相邻两边上取一个点，然后把它一连，把它一连，这两个三角形必然全等吧， 好理解吧。这两个三角形是不是必然全等的三角形？为什么全等？因为你这条边跟这条边相等，你这个角是直角，我也是直角哎，我的这条边也是跟跟这个边长相等，所以边角边这两三角不是全等吗？好理解吧！所以一定要熟悉一下， 在正方形相邻的边上，如果取两段相等的线段，此时此刻把它连起来，连起来构成的三角形，它一定是全的，这其实立刻就能得到我们那个十字架啊，这个一定是个垂直吧，但是这个垂直能不能用到不一定，再看题目吧。好了，那我们接着往下看。哦 哦，这时候他说有个点屁啊。哦，这还有连接，把它连起来，与 c e 交于点 g， 与 a c 交于点 h。 哦，那其其实可见这个 g 和 h 它是固定点吧。 哎，他是个固定的不动的点吗？啊，现在有一个点 p p 是 线段 c g 上一个动点哦，有一个动点出现了， 现在过点 p 呢，做 p q 垂直于 a c， 再连接 p h， 那 现在随着 p 点的运动，问这两条线段的和什么时候最小？ 哦，还有一个要求， d e d e， 这个就送分了，一会再说。我们先看这两条线段的和什么时候最小哦，要求和的最小值。首先这两条线段必须在动点轨迹的预测吧，这是个动点， 嗯，要在这个动点轨迹的一侧，他他在同侧啊，那现在我要把这条线呢给他对称过去，或者把这条线呢对称过去，把谁对称过去更合适呢？哦，你看这角平分线，你还没用吧？角平分线，哎，这有个垂直 角平分线，你看它垂直想到什么？垂两边，对不对？所以我们立刻就想到了，我把它垂过去。哎，此时此刻我要求的，比如说这个点叫 m 点 p q 是 不是瞬间就变成了 pm？ 哦，那这个题目你看，求 p h 加 p q 哦， p h 加 p q 简不简单？是不是就求 p h 加 pm？ 哦， p h 加 p m h 是 个固定点，三点共线且垂线的最短短的时候。其实这题目求的什么？就是 h 点到我们 cd 的 距离嘛。那这个简单不 啊？肯定是简单的，不难啊，那么看，还有前面有一个拦路虎是什么呢？求第一的长度，这是二十二点五度，求第一的长度。哎呀，这个，这个我们应该做过很多遍了吧，二十二点五度的角处理技巧怎么做的嘞？ 我们怎么做的嘞？我先把这个角第一小问的那个简单的障碍先清扫一下吧。来，二十二点五度角我们是怎么处理的？我们直接，哎呀，这个烟型号不对哎，这是对的， 取一个点，比如说这个点给它取名叫 n 点，那此时此刻呢？要保证这个角等于四十五度，可以吧，也就是说这边取一个 d h 哦， d n 等于 d e 没错吧？那题目要求 d e， 我 不妨设 d e 为 x， 那 这个是不是也是 x， 那 这个 没问题吧？好，所以 e n 是 不是根号二 x 啊？好嘞，你根据题目，这是四十五，这是二十二点五，这个角是不是也是二十二点五角的处理技巧吧？这个技巧我们见过很多了，在 那个什么十五度角里面是不是也是一样的？这十五度，这个什么七十五度，我们的处理技巧是不是也是一模一样的啊？这边画个三十度出来， 看得懂吗？这两个就相等了吧。啊，所以这个是不是也是根号二 x 啊？哎，你看这两个为什么相等？哎呀，很好判断，四十五，这是二十二点五 三角形，一个外角等于它不相邻，两个内角和，这是四十五，所以这个角加起来也是四十五，这已经是二十二点五了，所以他也是二十二点五吧， 所以瞬间就有这个跟这个相等，所以这段长度也是根号二 x， 所以 从而我们的 d、 c 的 长度是不是就是 x 加上根号二 x 啊？而题目告诉我们 d、 c 等于几边长，是二吗？那么解这个 x 那 不是超级送分吗？ 那 x 等于什么？二除以一加根号二，二除以一加根号二，化简一下就应该等于二根号二减二吧，二根号二减二，这个计算你就自己算了啊，太过于简单了。所以第一小问的答案，我们轻飘飘的给它填上二根二减二送分。 好，下面我们看一下这个地方，我把它擦掉吧。擦掉，那么接下来我们要求的是不是就是这个 h 点到它的距离啊？这是个屁哦，这，哦，屁，在这说错了，这个点呢，给它取名叫 m 点，刚才那个我就擦掉了啊， 那么我们看这段长要怎么求呢？哎，刚才我们求的二杠二减二这个数据有没有什么作用啊？你看看有没有什么作用？当然有作用哦，在这个题目中， a、 f 的 长度跟我们 d、 e 是 不是相等，也是二杠二减二啊，因为刚才一开始我们就能挣到这两个三角全等了， 那么紧接着还有一个非常重要的东西是什么？就是由全等，我们能不能知道这个角也是二十二点五啊，而这个角是四十五度，那你能告诉我这个角是多少度吗？ 是不是四十五度啊？哎呀，惊喜不惊喜？很快发现有一个就错了，不是四十五度，这是六十七点五度， 惊不惊喜？特别惊喜吧，所以瞬间发现这是个什么三角形啊，是不等腰三角形啊。哦，竟然是等腰哎，所以 af 的 长度就有了呀？ af 的 长度是二根号，所以 a h 不 就是也是二根号二减二吗？能得到吗？ 哦，原来他是二根二减二啊。好嘞，他是二根二减二。那咱题目要求的这个跟我们的 h m 有 什么用？有什么关系呢？你看这是个什么三角形，是不是等腰直角三角形啊？我要求他的直角边，我先求斜边，可以不？哦？根据题目，我们题目中的 c h 求起来是不是很简单？哎， c h 怎么求？ c h 是 不是等于 c a 减去 a h 啊？而 c a 我 们知道不？哦， c a 是 二，根号二减去 a h， a h 是 二根二减二，所以很快就能够舍到 c h 是 二吧？ c h 是 二，一个等腰直角三角形，斜边是二，所以它的直角边不就是根号二吗？一比一比根号二的关系吗？对不对？根号二份是二，所以一份不就是根号二吗？所以立刻就有了。此时我们的 h m h m h m 就 等于根号二，而 h m 此时此刻就是什么？就是我们 p h 加 p q 的 最小值吧，刚刚我们已经证明过了，是不是？哎，因为我们知道，根据 角平分线点到角，两边相等，所以 p m 就 等于 p q。 本来题目要求的是 p q 加 p h， 瞬间就变成了 pm 加 p h 是吧？ pm 加 ph 什么时候最小？三点共线，并且垂线段最短，所以做了个垂直，做了个垂直。完事，我们要解决这个问题就好了呀。那么对于这个题目，最后我们来总结一下吧。首先， 他这个题目中，他在正方形的背景之下，考察的依然是我们以前所学的一个和小易就是在三角形里面考的最多的一个和小易的一个知识点吧，其实就是换了个马甲。那么在正方形背景下呢，一定要注意，一个在正方形的两条边上取一条相等的线段，一年之后一定会出现全等三角形， 那么全等三角形出现之后呢？立刻就有什么这一个什么，有一个东西叫垂直，也就是我们常见的实质下，尽管这道题没有用到啊，没有用到，那紧接着下面他要求线段和的最小值，看到和最小值，你立刻想到 e 侧，那么 p h 和 p q 这两个两条线呢？必须在动点 p 的 轨迹，动点 p 是 不是在这上面？这个 e 侧，但题目中给的正好是在同侧，那接下来我们的目标很明确，就是把其中一条线段变成另外一侧去， 那变哪个比较合理呢？很明显是变 p q， 为什么是 p q？ 因为是角平分线啊，角平分线的对称性好变啊，但你变 p h 是 不是不太知，不太知道 h 点的对称点是哪个？当然我们其实是知道的啊， 哎，怎么知道？有人说，老师我怎么知道？其实我们是可以知道的，因为其实 h 它的对称点其实就是什么？就是我们的 d 点啊，也就是说，其实在这个题目中，我们知道 p d 是 等于 p h 的， 那么言外之意，我们来证明一下，为什么这个对称过去就是它呢？ 因为这是角平分线，我们只要挣到 c d 等于 c h， 根据三线合一我们就知道了 h 和 d 是 关于 c e 对 称的吧，那么看能不能挣到呢？肯定是可以的呀，你看这是四十五度，这个是二十二点五，这个是六十七点五啊，这个我们刚刚也挣到这对顶角线六十七点五，哎呀，这不就明显的等腰吗？ 能不能看得懂这意思啊？所以通过这个题目啊，我们还有一个新的知识是什么？如果在一个正方形的对角线连完之后，他要平分什么？ 一旦平分，我们四十五度角的角平面出现二十二点五度角，一旦这个二十二点五度角一旦出现的时候啊，你要特别特别小心，那这个时候一定，如果在这个地方我也割一个二十二点五度角，出来之后出现的是两个等腰，这个三角形和这个三角形它一定是等腰， 也就是说对角线被分割成了这一段，跟这一段相等，这个图形你要把它记住一下，如果能记住更好， 记不住的话至少有个印象，下次再看到类似于这样的图的时候，要能够反应出来他是不是等腰，你可以去验证一下是不是等腰，如果有了大致的印象，下次在考试的时候啊，可以对你有大大的帮助啊。

好，这个三月十三号的这个打卡作业主要是给大家讲第四题，第四题主要注意的几个条件就是标一下啊， 第一个角 b、 a、 d 是 一百二十度，同样同时这个角角 b、 g、 d 也是一百二啊，看好这个小角，然后有用的条件五和二，其余的你自己看一下啊。这道题目主要有几个点，大家有可能不好突破。第一个点是要去截取， 嗯，因为 b g 是 二，所以我们就是在以 d 为端点截取一个 p 点，使得 d p 等于 g b。 这第一个啊，要截取，然后连接 a a p， 大家就是很明显能看到，因为这是一个菱形，它会有隐含条件，这个边和这个边相等，所以我们要要求的是这个三角形和这个三角形是全等三角形通过截取来获得的。好，能看出来吧。好，这是第一个截取，相对而言难一点 啊。第二个点是啥呢？第二个点给大家说一下，是一个等量代换啊，一个角度的等量代换有点难度。 嗯，大家可以看一下这个怎么弄好，我来给大家把刚刚第一题的擦掉之后看一下。 好，第二题大家可以看一下，这边是一个八字图形，这个胶带一百二十度角，这个胶带一百二十度角有一个对钉角， 所以就是你挣这个三角形全等的时候。刚才不是说是全等吗？结局的目的也是为了全等，然带坏带坏的目的也是为了全等，他是一个八字模型，一个不是特别正规的，就是在复杂的图形里面的一个八字模型对顶角相等，其中其中胶带一个角相等，那么来我我画小点点的这两个角是不就相当了？ 好，我们的目的其实就是为了等量代换这两个角啊。好，再接着第三个就是一百二十度角的使用方法，特殊角包括前面六十度角，这一百二十度角，这些特殊角要注意，因为正完全等了，所以说我们知道 a g 是 不是就等于 a p 了，然后这是一个什么三角形？三角形 g a p 是 不是一个等腰三角形，且顶角是多少度？你通过代换一下，你可以知道这个顶角是一百六十度，那这个时候我们要求的是谁？ d g 软，要分开球啊，就做垂线，因为你必须得在九十度角里面，你才能够让你的特殊角发挥运用。好，这是我们这道题目要提问的要提醒的三个点，这三个点你自己看一下，你究竟是哪一个地方卡了啊， 猜的大家肯定是属于在截取，还有等量代换也是有难度的啊，这是我们这个三月十三号的。

下面我们看一下第三题，这道题呢，我们从初二的暑假，初一升初二的暑假讲到秋季，才从秋季呢，讲到寒假，再从寒假讲到这个春天。 好了，这个相当于我们讲了四轮的这个题，至少讲了四十到五十道题目了。这个题他考察的是什么呢？考察的就是我们很多同学望而生畏的一个原理，叫瓜豆原理。 那么刮豆原理呢？杨老师讲了两种方法解决这类问题啊。这个第一种方法叫找轨迹，我先把这个笔记给大家回顾一下啊，找轨迹，如果有同学学过的同学可以把后半句给我加上，叫主打顺从。 哎，讲过太多遍了啊，这字太多了，太多遍了。第二个叫什么？找替身， 如果说这个地方还不是很熟练的同学，可以来找我要之前的这个刮痘原理的一个专题视频啊。主打啊，刚才是找轨迹是主打顺从，然后找替身呢，就故来叛逆。 来，我给大家解释一下故来叛逆是啥意思，来给大家解释一下吧。好，主打顺从，什么叫主打顺从哦？在这个图形当中，我们看题目哦，在矩形 a、 b、 c、 d 当中， a、 b 的 长度是等于五，宽是五，长是六。在图中标一标， 这是宽是五，长是六，这是已知条件，在图中把它标上。好，现在告诉我们， b、 e 等于二哦，这段难度是二，那么 c、 e 的 长度不就四吗？我们在图中轻飘飘的标一下 f 点呢，是一个动点，哎呀，有一个动点出来了，那么此时这个动点 f， 我 们就叫做主动点。那么以 e、 f 为边，做了一个等边三角形，那么得到这个 g 点， g 点是不是相当于是另外一个动点，我们给他取名叫从动点，而这个 e 啊， 就是我们传说中的支点吧。那么主从支三个点有了没有？可以用数学家的一个名字叫主从支，是不是来记忆叫主从支，原理可以记住它。 好了，有了主动点，从动点和支点三个点都有了之后，同学们我们来看一下，在这个图当中，主动点 f 是 如何到达从动点记的呢？这个很重要，它是绕 e， 怎么旋转呢？看他是顺时针旋转还是逆时针旋转，往这个方向相当于是顺时针旋转吗？叫顺转 六十度，我们就到达 g 了吧。好，那这时候我们要找到 g 点的轨迹，是不是就能求出 c g 的 长度了？好，那么比如说我用第一种方法叫找轨迹，我如何去找到 g 点轨迹呢？我们说了，如果要找轨迹 主打顺从，那么后面这四个字主打顺从如何去解释呢？就是主动点阻止的是主动点轨迹上任意选一个固定点，这个固定点可以是 b， 可以 是 a， 那 随便你，你喜欢谁就选谁。 那么主打顺从是什么意思呢啊？比如说我选中的天选之子，我选的是 b， 那 顺从你就什么意思？我顺从。刚才你的主动点 f 是 绕点一，顺时针旋转六十度。好了，那我现在找到这个点 b 啊， 我也一样的，我说点 b 要干一件事情，他干嘛呢？他也绕 e， 怎么的？顺时针旋转六十度大概是在这个位置吧，这个点是不是就是我们顺时针 b 点绕点 e， 顺时针旋转之后的这个点啊？那这个点我给他一个取个名字啊，这个点不一定在 f g 上啊， 那这个点我给他取名叫嗯， m 吧， m 没用过。好了，那么此时我把它把 m 画出来，那么在这个图当中啊，同学们通过观察，我们发现这是不是个等边三角形， 这是不是也是个等边三角形？此时此刻他们有一个公共的顶点，你脑海里面是不是瞬间出现了三个字，叫手拉手吧，圈圈等于圈圈，杠杠等于杠杠，大家都六十度，减去中间这个空白的角，那么剩余的这个这个角， 角一跟角二是必然相等，所以这个三角形跟这个三角形是不是一定全等啊？所以接下来我要把 mg 连起来， 把 mg 连起来，那么图中的这个小黄跟小绿这两个三角形，我来涂一涂颜色，是不是必然是全等啊？注意，这个 m 不 一定在 mg 上面，我不知道在哪里，我就随便而 f 点在动嘛，它在动，随着它运动， 这个 f g 也在动的，对不对？所以我这个 m 点并不一定在上面啊，我不知道在哪里，无所谓在哪里啊，就是我们在途中很快发现小黄跟小绿这两个三角形，很明显他们是全等的，那么由于全等，所以就这个里面出现了一个新的知识，叫对应角相等吧。 好了，那这个角是九十度，这个角也是九十度。好了，那根据题目，我们很快就发现了 m 点是不是个固定点？你看 b 是 个固定点， e 是 个固定点，一个固定点绕另外一个固定点旋转，六十度，这个角度也是固定点，所以从而就有 m 是 个固定点， m 是 个固定点， e 是 个固定点，所以 m e 这条线就是固定线。 哦，那么 g g 点和这个固定点 m 的 年限和这条固定线的夹角永远是九十度，所以 g 点的轨迹出来了没有哦， g 点轨迹就是在经过点 m 并且和 m e 相互垂直的这条直线上运动吧，这就是 g 点的轨迹。那么这条直线到底是个什么直线呢？那我不妨把这个给他，哎，延长一下，你就知道是啥个直线呢？把这个 g m 延长一下， 干脆和 b c 啊，给它交于一点。为了求解，那我们把它延长一下，交于一点，这一点呢？给它取名叫 n 点， 可以吧？给它取名叫 n 点。那么此时根据题目的意思，这个角永远都是直角，而根据我们所学的知识，这个角是不是相当于是六十度啊？为什么啊？这不是就说错了，这个角是直角， 这个角是直角，这个角也是直角吧？哦，这个四边形。同学们睁大眼睛看看，这个四边形，它的对角是什么关系啊？ 是互补的关系，而这个角是六十度吧。哦，因为我们 b 是 绕一点一旋转六十度的，所以从而就知道这个角是一百二十度。这个角是一百二十度，这个角不就六十度吗？这是个垂直，所以这个角不就三十度吗？ 能得到吧？哦，原来这个角是三十度呀！好嘞，那此时此刻这个题目我们能不能轻松搞定嘞？这个是三十度的角对不对？这是一个垂直，这段长度是二，所以这个长度也是二，等于斜边的一半，所以斜边就是四，所以这个长度是二， 所以 n 和 e 其实是关于 b 对 称的，能不能看懂？好，那么这时候我们把这条线干脆把它通通延长出来。 嗯，延长出来 g， 反正在 g 的 轨迹，我们已经出来了。点 g 的 轨迹，是不是在噔噔噔在这条线上运动啊？ g 在 上面运动。那问什么时候 c g 最小？那 c g 最小不就是过点 c 做一个，比如说垂直的时候吗？当 c g 垂直于这条线的时候， g 在 这个位置的时候， c g 最小。 那么根据题目这个角，我们刚刚算出来，已经得到它是三十度了，在图中标一标，那此时的 c g 的 最小值数呢？三十角所在的角边等于斜边的一半，而斜边是八，所以它的长度等于四，所以这个题目的答案就选四选 c 吧。 哦，刚才第一种方法是我们找轨迹，但其实杨老师在课堂上讲过很多遍，如果题目只是求最小值，那我们用第二种方法找替身更快。找轨迹只适用于什么？不是只适用于找轨迹，是一种万能方法，就是下次题目，比如说变成什么当 c g 最小时，哎， c g 最小值，他要求 别的什么什么的时候，那你就必须去找轨迹，这个方法就必须做了。但这个题目他只是求 c g 长度的最小值，那我们用第二种方法更好做一点哦。来，仔细看第二种方法，他会做起来更轻松。叫找替身，故来叛逆。好，我们来找一个干净的图出来 找替身，故来叛逆，什么意思呢？比如说这个地方，我要求 c g 的 最小值，那我找一条线段，永远让他跟 c g 相等， 那这条线不就是 c g 的 替身吗？那这条线怎么来找到呢？叫故来叛逆。什么叫故来叛逆？故来叛逆的固指的是我们求的线段是谁求的线段是 c g， 这条线段里面这个 g 啊，是一个动点，但这个 c 呢，却是个固定点，所以故来叛逆指的就是这个 c 点。固定点来叛逆，什么意思？什么叫叛逆呢？你观察一下此原本我们的主动点， 来回忆一下。我们主动点，这是一个主动点，这是个从动点，这是个支点，你看清楚哦，主动点 f， 他 是怎么到达从动点记的呢？他是绕 e， 顺时针转动，顺转多少度？顺转六十度，到达从动点记的。那么故来叛逆，故是谁？故就是 c。 我 要叛逆，我怎么叛逆？我这时候跟你不一样了，我日绕 z 绕这个 e 怎么样？ 哎，你是顺时针转，我就逆转六十度，逆转六十度，能理解吗？好，那现在 c 开始转了， c， 他 要绕点 e， 哎，你如果我这么转，是不是相当于顺时针？哦，不行，我不要这么转，我反着转，能不能看懂？ 我将这个点 c 啊，绕着点 e， 逆时针旋转，这个角度是六十度，你看他旋转的方向是往这个方向的，能看得懂吗？那么此时你看两个箭头，一个往这个方向，一个往这个方向，就是叛逆。好，那在这种情况下，我把这个 c， 比如说这个点，我给他取名也叫 m 点， 把它一连。那么同学们再次观察一下，这是不是也是个等边三角形？这是不是也是等边三角形？两个等边有公共的顶点。此时你的脑海里面又出现了三个字，手拉手吧。好，那么通过观察，你发现这是圈圈等于圈圈，这是杠杠等于杠杠。哦，那此时我把 m f 一 连，这个三角形，是不是必然跟这个长形全等啊？来，我们连一下，手拉手，全等。我来标一标，小黄小绿。哪两个是哪个小黄呢？这个三角形是不是就是我们的小黄三角形啊？找找看，小黄出来了，这就是小黄。 好，另外一个三角形，我们给它取名叫小绿， 小黄，小绿这两个词全等吗？那全等之后，请问你的 c g 等于谁呢？等于 f m。 哎呀，这个 f m 不 就是我们 c g 的 替身吗？ 哦， c g 它永远都等于 f m， 哎呀，替身找到没有？找到了吧？那么因为我们的 e 是 个固定点， c 是 个固定点，那么 c 绕着点 e 虚拟时针旋转九十度得到 m 点，是不是有个固定点， m 是 个固定不动的点？好，那么 f 在 上面运动，当你 f 运动到哪里的时候， fm 最小呢？哎呀，运动到垂线段的时候， fm 最小，所以此时此刻，当 f 运动到这里的时候， fm 最小。你看这个方法是不是要比刚才的快很多啊？那这个最小值怎么求呢？那么我们要求这段长度，这一段长度怎么去求它呢？哎呀，这个做起来就 比较简单了吧。你看，我们要求这个长度，其实我们不妨把它倒影，就像摄影到下面来求我，因为这是个等边三角形嘛，你给它做个垂直下来之后 来，比如说这个叫 h， 做个垂直下来之后，我们要求的 f m 不 就等于 b h 吗？那 b h 好 不好求？哎呦，这是个等边长形，等边长边长是四四，这是二，所以很快三线合一，这个四四的话，这个也是二二，所以这段长度是四，所以这个也是四。结束，所以正确答案又出来了，这个题目选 四吧，最后我再把这个题目选四吧，最后我再把这个题目选四吧，最后我再把这个题目选四吧。 这个固定点呢？和某一个定点一连，连完了之后呢？他以这个连线为边，做一个等边三角形啊，做一个等腰直角三角形啊，做一个什么某某三角形啊。你要把它看成这个动点，绕着这个固定点 逆时针旋转，或者顺时针旋转某某度就到达虫洞点，这就是我们的主从支，先把主从支标出来，主从支标出来，下面一步最重要的这一步就是主动点如何到达虫洞点，这个过程你要找到是绕一旋转六十度到达，还是绕一逆转六十等，他是怎么到的。那接下来你的目标明确，你看是求最小值 还是当最小值时，那这个时候是有区别的。那如果说你想要求最小值，那么建议大家用找替身的方法，这个会更快一点。 当有人说，老师我两种方法确实不能够完全掌握，我只能掌握一种，那你就掌握找轨迹的方法，因为找轨迹方法是万能的，不管是求最小值还是当最小时，那么都是可以做的。那么我建议大家两种方法都掌握啊。第二种方法掌握起来，求最小值会更快一点， 那么求最小值的时候哦，找替身就故来叛逆谁是故？再说一遍，就是我们所求线段中的那个固定端点就是故，那么找轨迹主打顺从谁是主？就是主动点轨迹上面的任意一个固定点就是主。

来，同学们做一个非常有意思的游戏啊，把这个不规则的四边形，咱们经过裁剪拼接来拼成一个非常完美的长方形，大家可以自己来试一试啊，把这四个边都剪掉不就可以了？但是你这个明显啊，你比咱们这个要小了很多呀，那我把它放到打磨机里，日的一下打成糊糊不就行了？ 我把你打成糊涂，那还能怎么拼啊？我们来看神奇的一幕啊，我把这个四边形放在这里，咱们先去找他上下左右这一圈四个边的中点，然后呢，我找到中点之后，我首先先连接一下 左右两个中点，然后呢通过上下两个中点分别向中间，这我们做两个 垂线，那么这个四边形就被分成了一二三四四块，那么这四块其实就可以拼成一个完美的长方形。 那么接下来呢，咱们只需要把对应的图形给他进行一波旋转，把第一个图形，哎旋转到大概这样的一个位置，把第二个图形呢给他旋转到大概这样的一个位置，再把最后一个图形，哎，咱直接给他拼过来， 你会发现这就是一个接近于完美的长方形，这是什么原理啊？首先呢，咱们用垂直分割的方式啊，创造出四个对应的直角，然后呢咱们再创造出不同的中点，实现这些边的重合， 最后呢，通过出入相补的底层的原理，实现最终形态的一个转化，他就成了一个。

三十秒教你学会辅助线！这是一道八下四边形的题目，已知四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于 a、 d 角 b， a、 d 等于六十度， b， c、 d 等于一百二十度， a、 e 垂直， bc 垂足为点 e， 若 a、 e 等于二厘米，求该纸片的面积。先分析下题目， ab 等于 ad， 角 b， ad 等于六十度， b、 c、 d 等于一百二十度。哎，六十加一百二，是不是等于一百八十度？也就说角 b 和角 d 它是互补的，那么这个角 d 的 补角 啊，这标个 f 啊，那么 a、 d、 f 是 不是也等于六十度呢？等于角 b， 再加上题目的 a、 b 等于 a、 d， 由此我们可以知道，可以把三角形 a、 b、 e 旋转到 a、 b 边和 a、 d 重合的这个位置。那这样的话，三角形 a、 b、 e 和 a、 d、 f 是 不是正好全等 我们就可以把原来不规则的四边形变成规则的 a、 e、 c、 f。 那 现在就要求 四边形 a、 e、 c、 f 的 面积，它的面积又等于什么呢？我们再连接 a、 c 啊，因为 b、 a、 d 原来等于六十度，那么现在旋转完之后，这个 e、 a、 f 是 不是依然等于六十度呢？又因为 a、 e 和 af 又相等，所以我们连完 ac 之后会得到这是角平分线到角里面的距离相等。 那么 ec 等于三十度，再由 a、 e 等于二，我们可以用勾股定律可以算出 c、 e 的 长啊， c、 e 就 等于三分之二倍根号三，那么 s 三角形 a、 e、 c 的 面积就等于 a、 e 乘以 c、 e 就是 二，乘以三分之二倍根号三，再乘以二分之一，就等于三分之二倍根号三。 那么四边形的面积就等于两倍的 a、 c， 所以 就是等于三分之四倍根号三，你学会了吗？

hello， 大家好，我是大志老师，今天我们一起和家长来看到的课本是叫做四边形 八年级下册，那么二十一张四边形我们在小学的时候就已经接触很多了，是吧？我们现实生活中都有四边形的形象哦，那比如我们说常见的一个什么 啊？四边形呢？我们说的一个什么啊，门框呢等等，建筑啊等等，然后伸缩门呢？除窗户啊，那我们在小学学的时候，我们知道什么是四边形，而学了长方形，正方形，平行四边形，还有梯形等等， 这些图形都是有关四边形的知识，那么本章呢，我们就会进一步深入的去探讨学习一下四边形， 那么特别是在哪里呢？在他的一些呃概念之上，掌握他们之间关系，利用已有的几何知识去探索，并且去证明他们的。我们说到什么，第一个是他们的性子 还有什么性质啊？然后还有他们的一个呃性质过了之后我们要去证明，或者说我们叫做判定，证明他是什么 不行，所以性质有证明从哪里来？去找我们这里就要看清楚了啊。好，这是说到了这个，那往后看的时候，哎，平行四边形 在我们这边会涉及到哪些知识？尤其是正题到一些特殊的四边形会是什么样的图形呢？ 那么我们一起来看到第一个章节，四边形，即多边形，那么四边形和多边形，那和三角形 一样的四边形，它也是些什么？我们说它也是一种基本的几何图形， 那我们去类比三角形，去学习它的概念，并且把它推广到多边形。那么多边形首先会看到第一个四边形的顶点，四边形的边是什么？ 四边形对吧？在平面内注意我们的一个圈定的范围，现在确定在平面内有不在同一直线上的四条线段，首尾相接，依次 相接组成的图形叫做四边形。那四边形，呃，组成四边形的各条线段叫做四边形的边， 那么每相邻两条线段的公共端点叫做四边形的零点了。那么同样的，我们去看到右图 这个图写了一个四边形 a、 b、 c、 d， 我 们记住四边形 a、 b、 c、 d。 那 么往后看，下面图形该怎么去表示呢？比如说图二一点一、杠二 这些整个的图形中，我们会发现它的没有特殊说明的时候，我们所讨论的四边形都是凸，四边形有些是凹的，是吧？ 那么看到这里的时候，一它是凸的，呃，就不是，因为画出来不是凸，是边形的，画出的边 c、 d 或 bc 所在直线都不在这条直线的同一侧，都在里面去了。 那么连接四边形不相邻的两个顶点的线段交它的对角线，比如说这个 a、 c 是 它的对角线，这里 b、 d 也是它的对角线，所以它们的关系就是说对角连在一起，这个线我们知道它概念叫做对角线，那同样的和三角形类似喽，我们四边形相邻 两组，两边组成的角叫做四边形的内角内角，那么剪成四边形的角的一边，以另一边的延长线组成角，叫做四边形的外角。 外角。请注意，我们来看到下面这个图，我如果这里画出来 四边形的外角出来了，那么圆长 a、 d 四边形的外角出来了，所以在这里的时候，我们就要去想一想，去找出外角，第一时间能不能快速看出来。第二个我们思考的时候，三角形 内角和是一百八十度，长方形的内角和是三百六十度，那么任意的一个四边形内角和是多少度呢？ 首先长方形它也是个四边形，对不对？那我们是能猜一猜，哎，那么猜一猜的话，它的内角和是不是三百六十度呢？看到下面的一个小小的证明题， 由这两个三角形组成， a、 c、 abc 和 abc， 那 在这里面之中看到四边形被它分为两个三角形，那么一、 三、 b、 二、四、 d 分 别相加等于一百八十度， 那么这两个这些角， b 角、一角、二 b、 b、 d 角、一角、二角、三角四相加，就等于它的内角和四边形，那四边形内角和刚好等于两个一百八十度相加，那四边形的 内角和就等于三百六十度。在这里了。好，那么我们来看到例题一的部分， 其实这部分都是一个了解的部分呢，所以他的概念给出的也快，他的推导过程中呢，也是会相对来说简单一点的。比如说第一个四边形的外角和等于多少度呀？ 外小盒，那就把它外角都标出来，你看角 d、 a、 b 与角一，这两个角对吧？是零补角，角二和它， 角三和他，角四和他，一、二、三、四相加等于一二，里面四个红点相加，那就等于三百六十度。所以四边形得出来了，他的外角和是三百六十度了，三百六十度了。 那么在三角形这一章中，我们通过发现他的一个特征来看到三角形的一个特征是三角形具有稳定性，我在学习三角形的时候也明白了道理，那么四边形是不是也具有稳定性呢？研究一下，看到下面的 在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后去扭动它，会发现它的这个图形啊，很容易去变形，因为四边 形的四条边确定后，四个角并不确定，就说明了四边形不具有稳定性啊，再加一个木条变成两个三角形了，那他就很顽固了，所以在很多时候要注意 它的简单特性，尤其在应用中，生活中，实际中总去用啊，因为它的不稳定性可以用了做升降车，门窗，还有我们做推拉门。 那么第一章的练习就是让大家去熟悉第一个知识点，内角和是等于内角和等于三百六十度，所以这里你只管用它去求 减九十度，减啊，等于他，这两个角就是相等的，对吧？然后这里七十十二个是等于三百六，这里呢，一二三和他，他又等于什么？算出他 就可以了，三百六减一二三算出来了，所以这里的话会简单一点，我就不多说了。那么第二个，第二个小直角，那多边形及其内角和 那么多边形的生活中也很常见，窗户上蜂巢，然后我们说的这个观景台， 对吧？多条线段。那什么样的组成的图形叫多边形呢？在平面内由 n， n 是 大于三条的时候，等于三的时候，是能得出组成的首尾相接的 图形，六边形，对吧？那你看我们这图像中通过类比去找出它的特质，那么 与四边形相类似的是在多边形的，呃，图形中有的是凸的，有的不是凸多边形，那么今后我们没有特别说明，都是讨论的凸 多边形，那我们知道什么正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样正方形，这样各个角都相等的话，边相等的啊，叫做正多边形啊，正多边形 好，正多边形，这里有正三角形，正方形，正五边形，正六边形， 那么我们去看看，通过我们发现，哎，那么他有没有什么公式可以求他多边形的内角和呢？从五边形一二三四五开始，一个顶点出发可以做几条， 我们一个顶点出发几条，这条，这条线一二没了吧，两条，所以他们将五边形内角和就等于三个 三个三角形相乘，噢，那么六边形可以做三条，那么三条一二三四四个 等于四乘，它依上这个规律的时候，哎，我们就会发现，一般的从 n 边形的一个顶点出发，可以做 n 减三 条对角线，那么 n 减的分为 n 减二个三角形， n 边形的内角和会等于 n 减二的差乘以一百八十度。所以这样我们就顺理成章的去推出了多边形的内角和公式，那是什么等于 n 减二的差乘以一百八十度， 那么这个角的关系让我们去明确了，哎，可以通过对角线分三角形去推到它的特征，那么以四边形类似多边形 的每一个内角与它相邻的外角都是零角，因此 n 边形的内角和与外角的和总等于 n 乘一百八十度，外角和就会 化简出来，等于三百六十度。所以这里只需要你记住结论，多边形 的外角和等于三百六十度，这个算完之后，哎，推完之后我们就能很快的去能够拿出来应用了， 比如说立体啊这种纯考公式的，那要注意了，一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那外角和我们刚刚知道了，我们要把它记清楚了，是三百六十度，它两倍乘以 r 喽， 然后还有前面多边形内角和是 n 减 r 的 差乘一百八十度， 他们两相等，那个等啊，然后再去公分，再去月份啊，画完之后求出 n， 最后告诉我们 n 是 一个六边形， 下面练习题一样的，根据公式去套去带，千万不要带错了 啊，那我如果他有体验的就多去思考一下。这些题目基本上属于给大家温习新刚刚学过了四边形的一些基础的概念啊， 那我们这一张结就会到此结束了。了解了它的公式， n 减二的差乘一百八十度，还有它的外角和公式，外角和是三百六十度了，还有什么呀？多边形的，呃，从一个顶点 可以做它多少条对角线，可以把这多边形分成几个三角形相加的和就是 它的面积了啊，就它角的度数啊，多少个一个？一个是一百八，三个就是一百八乘以三。所以说这个时候这些基础知识需要大家去牢固一点，去想到为什么会这样画，那么学会这个 对于我们后面学是二十一点号就会很大的帮助了，所以我们今天先到这里吧，拜拜。

平行四边形三、观察下列图形， 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形， 请你仔细观察图中有几个平行四边形，最大的那个四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。 线段 e、 f 和 g、 h 把平行四边形 a、 b、 c、 d 分 成了四个小平行四边形。 你说得对，其他还有吗？线段 g、 h 把平行四边形 a、 b、 c、 d 分 成了左、右两个平行四边形。线段 e、 f 把平行四边形 a、 b、 c、 d 分 成了上、下两个平行四边形。 你们说的真好，所以图中的平行四边形共有九个，你已经学会了如何找平行四边形。那么怎样画一个平行四边形呢？ 根据平行四边形的定义，画一个平行四边形。首先回忆如何画一条直线的平行线，你还记得画平行线的三步曲吗？一靠、二推、 三画，这样就画出了一对平行线，再用同样的方法画出另一对平行线。两组对边分别平行的四边形 a、 b、 c、 d 即为平行四边形。 回顾一下平行四边形的性质，平行四边形的对边平行且相等。几何表示对角相等、菱角互补，对角线互相平分。 请按探平键仔细读题。 a、 e 等于六十厘米， b、 c 等于八十厘米，角 b 等于六十度，且 a、 e 平行于 b、 c、 a、 b、 e 平行于 c、 f。 如何求第一的长度和角的度数？解？由两组对边分别平行得到四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。根据平行四边形的对角相等，对边相等，可以求得角的度数和第一的长度。 请按暂停键仔细审题。请你观察其中有特殊的图形吗？ 因为 a、 b 平行于 d、 e、 bc 平行于 e、 f， 所以 四边形 a、 b、 c、 e 是 平行四边形，所以 a、 e 等于 b、 c。 又因为 c、 a 平行于 f、 d、 bc 平行于 e、 f， 所以 四边形 a、 f、 bc 也是平行四边形， 得到 a、 f 等于 bc。 因为 a、 e、 a、 f 都和 bc 相等，所以 a、 e 等于 a、 f 同样能判断四边形 a、 b、 d、 c 也是平行四边形， 同理可得 b、 d 等于 b、 f、 c、 d 等于 c、 e， 所以 a、 b、 c 分 别是三角形 d、 e、 f 各边的中点。 请你思考三角形 a、 b、 c 和三角形 d、 e、 f 的 内角分别相等吗？为什么刚才在图中发现了三个平行四边形？根据平行四边形的对角相等，可以得到这两个三角形的内角分别相等， 理由如下， 那么你还能得到哪些结论？你能证明吗？同样的道理，刚才在图中发现了三个平行四边形，根据平行四边形的对边相等，还能找到一些相等的线段。 理由如下， 最后轻松一下，来玩个游戏，要把第四棵树和其他三棵树组成一个平行四边形，你认为该种植在哪里？可以分别画 c、 b、 c、 a 的 平行线交于点 d。 一、 也可以分别画比 c、 b、 a 的 平行线交于点 d。 二、 还可以分别画 a、 b、 a、 c 的 平行线交于点 d。 三、 你发现竟然有三种方案！

平行特征记心中解析，一路全畅通。来看这道题，如图，平行四边形 a b c 道 e 呢？是比 c 一个洞点，然后其中是 a b 等于 a e 这个条件，然后它两个的延长线相交于点 f， 那 点 f 的 角呢？是？呃，角 f 就 等于六十二度， 然后求，现在求这个就比较大。嗯，这种题怎么做？那现在已知条件有啊， a b 等于 a e， 那 从这个点能够得出什么？角 b 等于角 a， e， b 是 不是我这标为角 e？ 看，然后再有什么呢？平它平行四边形，所以角 d 等于角 b， 所以 这一连串的等遇到这种就射 x， 所以 咱们先射角 d 为 x 度， 哎，然后角 d 为 x 度，因为什么？ abcd 四边形， abcd 是 平行四边形。 上节课，角是平行四边形的一个特征，然后平行四边形的特点来完之后，角 d 等于角 b 是 不是等于多少度？咱设的不是 x 度吗？是不是那设的 x？ 因为呢？又因为 ab 等于 a e， ab 等于 a， e 等于 a e， 那 我这里可以得出什么？角 b 等于角 e 等于角等于 x 度，是不是？那对顶角是不是这里 x 度？ 那这里有 x， 那 由于平行线的缘故，是不是这里也是 x 度？所以利用三角形 e f， c 内角和就可以求出来，是不是？然后就可以写我这个笔标为角二啊， 然后因为角一等于角二等于多少 x 度，是不是然后呢？因为 a d 平行于 b c， 那 我可以得出这里我标一个角三， 是不是然后可以角求出角 d 等于角三是不是等于多少度啊？ x 度，呜，所以在三角形谁 e f， c 中是不是内角等于等于一百八十度啊？ x 加 x 度，然后再加个呢？六十二度就等于一个一百八十度， 是不是？那咱可以看一下二 x 度就等于多少，减一下就等于一百一十八度，那 x 度就等于多少？是五十九度，是不是？那所以角的算出来没五十九度？关注王老师无脑学习。

这是一道八年级数学下册关于三角形中位线和直角三角形斜边中线上中线的一个综合运用。如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于四， b， c 等于三， f 为 c， d 的 终点， e 为矩形 a、 b、 c d y e 动点，且角 a、 e、 c 等于九十度，则线段 ef 的 最大值是多少？ ef 的 最大值是多少？那我们知道这里面 f 是 一个固定的点， f 点是 c、 d 的 中点， 那么 e 就是 一个动点了啊。但是保证角 a、 e、 c 是 九十度，让我们求 e， f 是 大值。我们这道题由 ab 等于四， bc 等于三， ab 是 四， bc 是 三，那么我很容易想到它的对角线 ac 就是 五， 所以我们就连接 i c， 那 么 i c 就 等于五，那么我们再取 i c 的 中点 o 吧。点 o 是 i c 的 中点，那么我们连接 o e， 那么因为 bc 是 三，所以 a、 d 是 三， f 是 中点， o 也是中点，所以 o e 是 中位线，所以 o e 的 长度 o f 的 长度是一点五， 然后角 a、 e、 c 是 九十度，所以我们再连接 o e， 我这里念 o e， 那 么同学们，刚才我们说了 c b 是 三， a b 是 五，那 a c 就是 c， b 是 三， a b 是 四，那么 a c 就是 五，所以 o e 的 长度 是直角三角形斜边上中线，所以 o e 就是 二点五， o f 是 一点五， o e 是 二点五，那么 f 是 不动的，不变的，那么 e 点是可以运动的， 那么 e 点的运动轨迹是不是到和 f o 在 同一条直线上的时候？也有说是 f o 和 e 共线的时候， 是不是就是 o e f 最大的时候，所以 e f 最大的时候就是一点五，加上二点五是等于四。 我们这道题如果你没有听懂的话，请多听几遍。好，这道题我们讲到这里，同学们再见。

如图，四边形 oabc 为平行四边形，其中 a 点坐标为十零，所以这个是十， o 点坐标是零零， c 点坐标是四六四逗号六，直接写出 b 点的一个坐标啊，这里的话，这个长度就是十，所以 b 点坐标应该 是四。逗号六啊，就出来了啊，十四逗号六，直接写的啊，直接写 好来继续看。第二个，已知 d 点是线段 b、 c 上的一个动点，若三角形 o a， d 为等腰，三角形 o a、 d 为等腰 啊，然后他让我们写出符合条件的地点坐标啊，那么这里第二种情况，他说为等腰三角形，我们要干嘛？分情况讨论啊。所以第一种情况啊，最好算呢？ o d 等于 a d 啊，就 d 到 o a 的 距离相等，那么地点应该在哪里？所以这种情况，地点应该在哪里？垂直平分线上， 垂直平分线上，所以 o a 是 十，所以这种情况它的地点坐标直接很好算，横坐标就是五了，因为地点必须在哪里，必须在垂直平分线上 这条线上啊，所以这个点就是五啊，五，图不画了啊，图不画了啊，所以应该是五。逗号六，中子表是六十不变的啊。好，第二种情况还有谁啊？ o d 等于 o a 啊，那么 o d 等于 o a 这种情况的话，那么这个就是十啊。那么 怎么求 d 点坐标呢？我们把它给延长出来，延长一下，这个是六，所以在这个乘法型里面 是 o d 的 o a， o d 是 十嘛，对吧？所以这条边就是八了啊，所以 d 点坐标应该是八，得号六，其实我们发现只要求横着八就行了。好，最后一个，还有一个。第三个， a， o 等于 a， d 还是一样？画个图，我们重新画一个啊，把图先擦掉了啊。这种情况下应该是怎么画的呢？大概图应该是这种情况 一点，大概这个位置就他和他像的都是十啊，然后我们这样子做一个， 然后在这个乘角形里面，这个是六，这个是八，所以这种情况 d 点坐标应该多少呢？这个是多少？这个横坐标应该是横坐标，应该是十 的号六向左移八个二的号六可以吗？不可以的，他人家说了什么线段 cd。 所以 这种情况要怎么样啊？舍取，所以 d 点就两个坐标，好吧。两个啊， 八六和五六。好。第三种，第三个他说已知直线 y 的 x 加 b， 正好将平行四边形的面积平分成面积相等的两部分。要把面积平分。怎么样才能把平行四边形面积平分？一定要过哪个点？过它的一个对称中心 o 点。呃，不是 o 点， p 点画个字母 m 点吧， p 点就 p 点吧， p 点一定要过这个 p 点，所以第三个我们先把 p 点坐标算出来。 p 点坐标怎么算？用中点公式 啊。钟点公式 o b 的 钟点应该是什么？横坐标的平均数，纵坐标的平均数就是七三啊。钟点公式一定要会啊，七三，所以现在他要把面积平分。所以这个函数要经过哪个点？经过七三，所以把七三带入 单，等于七 k 加 b 啊，所以它要写出 k 和 b 的 函数表达式啊。什么叫函数关系式？就是两个量之间的关系啊，两个量之间的关系就行了，所以把它换一下啊。 七 k 等于三减 b， k 等于七分之三减 b， 就 这个答案啊，就这个答案。 好吧？那当然你也可以把它再再拆成我们所熟悉的那种负的七分之一 b 加上七分之三。啊，拆成这样子也行也行，好吧？我们过了啊。

我是董数学董学生，董家长，董高校提分四边形压轴来到了第四个了，这一个结合了上个学期董老师跟大家 分享的关于面积开根号的这个的考点，那今天我们也全当复习，再做一次打卡，那这个考点在初二的频率比初三的频率还要多一点？前面的题目一二小问都还是中规中矩，那董老师稍微讲一下， 他说给了 o a 和 y 轴的夹角三十度，这里是三十度啊，然后给的谁是 a 呢？ o a 的 长度是 a， 那 我们是不是妥妥的有三十度？对的，直角边是斜边的一半，这里是二分之 a， 一 比二比根号三，这里是二倍根号三 a， 然后 o b 的 长度是 b， 这段长度是 b。 好， 第一个题给了你具体的长度，要你求 a 点的坐标，那不用想了， a 点的坐标是不是就等于四倍根号三， 再去乘以十二？四倍根号三，再乘根号三，是不是十二？好，第二小问，第二小问，它是要你 图在这呢，他让你求什么呢？求 b 的 去乘以 o p 啊。那这个上了董老师课的同学，董老师就知道，我一就会问，什么话， b 的是什么？ b 的 是不是高？那高用什么呢？高的话是不是一定要想等面积法？ b 的是谁的高？是 o p 的 高， 所以 b 的是 o p 的 高是哪个？三角形的面积是 s， 三角形 o p p 的 面积，那等面积法的话，我是不是找底乘以高，等于底乘以高，我这一组底还有一组底是谁？ o b， o b 是 不是知道的？那高怎么办？高是不是补上？ 那这个高我其实我早就知道了，平行线间的距离是不是处处相等的？这是四倍根号三， 这里是四倍根号三。乘以根号三，是不是就是十二？这里是十二，所以我的 b 的 乘以 o p， 每次求什么问什么，他叫什么名字，是不是就等于十五乘以十二啊？那你们自己算一下，考了等面积吧。那主要是今天要讲一下第三小问了啊。 第三小问啊，他应该是第二小问，有两个小问啊。我先把截屏出来啊。 这个是一个中考的改编啊，但是初二的小朋友也没有超纲在上面。上个学期的时候，其实董老师已经给大家过关过这个知识点了，好，给了四个三角形的面积 amp。 是 s 一 锁一下，这里是 s。 放大一点啊， a m p 是 s 一， b o m b o m 是 s 二， a o m 是 s 三，这是 s 四，典型的这个 边的一个四。呃，四边形的对角线切割的四个三角形的面积。那这个四个面积的有什么关系呢？ s 一 和 s 三共了什么？共了点点，所以他们两个的高一样，高一样，我就要把面积怎么样比起来需要过了吧。所以 s 一 比上 s 三是不就等于二分之一的高乘以 mp 比上二分之一的高乘以 om， 是 不是就等于 mp 比上 om？ 那 s 二和 s 四呢？它是不是高也是一样的？ 所以 s 四比上 s 二是不是也等于二分之一的 h 二乘以 m p 比上二分之一的 h 二乘以 o m， 所以 就是 m p 比上 o m， 那 得到的是不是 s 一 比 s 三等于 s 四比 s 二是不可以推出来 s 一 乘以 s 二等于 s 三乘以 s 四。好，这个是这个结论，有同学已经记得非常的牢了，就是任何一个四边形，因为这些面积是共了什么？共了顶点的 a o m 是 s 二， 这里是 s 三， s 一 比 s 三，我看一下， am 是 s 三啊，没有问题啊。 b o m 是 s 二，这里是 s 四，所以它们的比值是相同的。比值 比完交叉是不是变层级相同了？好，第一小问还一个条件没有更新，就是遇到根号，遇到根号怎么样？平方一次不够平方两次，所以两边同时平方啊，扩起来 平方只能扩起来平方，听到没有，不能隔着加号平方，所以董老师稍微审慎了一下，那左边就是 s 一 加 s 二加 s 三加 s 四，右边是个完全平方公式啊，是要扩起来平方， 千万不能隔着加号平方是不成立的。是不等于 s 三加 s 四，再加两倍根号 s 三乘以 s 四。好，所以这两个抵掉抵掉抵掉哦。 s 一 加 s 二是不等于两倍，根号 s 三乘 s 四， 一次不够，怎么样？平方两次？但有同学已经发现了端倪， s 三乘 s 四不就是 s 一 乘以 s 二吗？所以设两倍的根号， s 一 乘以 s 二， 再平方一次，括起来又有完全平衡公式是变成 s 一 的平方加 s 二的平方， 这里是四倍的 s 一 乘以二三，这是加两个，所以是减两倍的 s 一 乘以 s 二是不等于零，是不可以得到一个完全平方公式，所以 s 一 是等于 s 二的。 那 s 一 等于 s 二蝴蝶面积怎么办？加公共部分啊，董老师怕大家看不清图在上面。所以是不是 s 一 加 s 四就等于 s 二加上 s 四是不可以得到 s a b p 是 不等于 s？ 什么 b p、 o 这两个三角形的面积相等，那这两个三角形又等了什么？是不是等了底，所以他们两个的高就相等。什么是高？ a 到 b p 的 距离和 o 到 b p 的 距离都相等， 那我到一个线段的距离相等，说明什么？意思？是平行，所以可以得到 o a 是 平行于 p b 的。 好，这个图画的不太标准，所以我们第二小问还要求长度把它稍微画标准一点啊，平行到 把坐标系补上啊。 o a 跟它的夹角是三十度，这里是 o， a 跟它的夹角是三十度，然后我的 o p， 这里是平行。刚刚说了 o a 是 平行于 b p 的， 对吧？ b p 在 这平行， 这是底下是 b， 上面是 p， 然后把它给连起来， 正常的图应该是这样的，对吧？好，那就第一小问可以得到 o a 平行于 b p， 所以 a o、 b p 为平四，对吧？过程在上面。再总结一下， 任何四边形对角线连线的四个面积是比值是相同的，交叉之后变乘积，所以乘在一起乘积是相等的。来到第二个，如果两个蝴蝶面积相等，是为了倒等底等高倒平行线的。 倒平行线的遇到根号怎么办？平方一次不够怎么办？两次好。来到第二小问，龚老师把要求给截出来啊。第二小问，他是说 给了这个平行四边形的面积啊。第二小问是平四， 给了平行四边形的面积是六倍根号三，那三十度还是有的啊， a 还是在这里，那这里是二分之 a， 二分之根号三 a， 这里是 b， 然后还给了 o p 等于四倍根号三，这个是四倍根号三。 哦，他让你求 a 和求 b， 那 给的条件首先面积就会想到什么底乘高，底在哪？底是不是就是 b 啊？所以第一个等式我们得到的应该是 二分之根号三倍的 ab 是 不等于六倍根号三，可以得到 a 乘以 b 是 等于什么？等于十二。第二个式子呢？四倍根号三不用想 是不肯定是勾股的，谁的勾股啊？所以是二分之根号三。 a 的 平方加上二分之 a 加 b 的 平方是不等于四倍根号三的平方。好，然后把它打开， 打开的话就变成了 a 方加上 b 方加 ab 是 不等于十六乘以三等于四十八两个等式，然后让你求 ab 的 值，肯定是不需要你结二次。长得像什么 之二推二，之二推二又哪两个二？平方和 乘积是不可以格为出 a 加 b 的 平方是不等于一式加二式就是四十八加十二是不等于六十。 这二推二肯定需要 a 减 b 的 平方是不就等于一式减三倍的二式 是不是一减三倍的二，所以就等于四十八，减去 三倍等于十二减三十六吗？对吧？那我要求 a 和 b， 我 肯定不需要平方，他说了 a 是 大于 b， 而且 ab 是 长度，所以可以得到 a 加 b 是 不等于根号六十，取正的 a 减 b 是 不也取正的等于二倍根号三。根号六十的话，我们可以化简成二倍根号十五， 用值二推二减的方程。那得到了这两个式子之后，是不是可以算出来， a 就 等于根号十五加根号三， b 就 等于根号十五减根号三。 那你出现这种形式，其实后面对于做压轴题选手的来说已经不是难事了啊。值二推二，知道 平方乘积，可以知道和和差，和和差可以求出长度。那这个还行，我觉得第二小问反而没有第一小问啊，那么有套路，还是属于常规的考勾股面积， 但是第一小问的话就套路深一点，就是四边形的面积比值的关系啊。 好，那今天这里是我们四边形的压轴第四题。那四边的压轴还要持续更新，因为还有动态问题，还有存在性问题，还有正方形的问题。 那我们接着跟上，争取我们月考考到一个非常理想的分数。好，我是董数学，今天就到这里了，下一个题。

八下数学，咱们期中考和期末考的压轴题型也是几何里面的压轴平行四边形和特殊的平行四边形，这个模块最大的挑战表面上来看是他的压轴题型比较多，包括他的变换形式比较多，但实际上最本质的东西实际上还来自于这张图， 也就是从四边形到平行四边形，从平行四边形到特殊的菱形、矩形和正方形， 他的性质和判定，我们这个视频呢，带着大家一网搞定他所有的难点。你真正理解了这张图的底层逻辑，你会发现很多题目实际上是在于这张图的变形。 那么当然你听完这个视频之后，关于视变形和特殊的平行视变形，杨老师呢给大家做了一个系统的内部专题的分享， 那么一共呢二十大经典题型的汇总，家长朋友们呢，咱们也可以呢，那么在视频的最后呢给大家去分享，家长朋友们呢，咱们也可以领回去打印出来，带着孩子呢去举一反三系统练 啊。那这个图呢，我们重点来给大家梳理，从四边形到底是怎么样变成平行四边形，那从平行四边形变成菱形、矩形和正方形又需要哪些要素？ 那我们在思考这个问题的角度的时候呢，为了保证所有的我们全部都能考虑进来，我们考虑这三条，一个叫边，一个叫角，一个呢 叫对角线。实际上我们讲从四边形到平四边形，无非是边角对角线的问题，那么其他的也是一样，从边的角度上来进行入手，应该是两组对边，可以进行平行的，当然这两组对边呢，也可以进行分别相等， 那如果我们用一组对边的话呢，我们就要把这两个信息都给他加上，也就是有一组对边既平行又相等， 那这是我们从边的角度上来进行入手。那如果我们从角的角度上来进行入手呢？比如说他的两组对角分别是相等的也可以，但是这一点呢，大家注意哈，我们往往 是来进行证明的。那么第五条呢，关于两组对角啊，那么第五条关于菱角互补， 如果有两组菱角互补不一定，比如说角一和角二，角一和角三是可以的，这叫两组菱角互补，那么如果说出现了角一和角三，角二和角四，实际上这个时候呢，是不构成的，所以第五条和第四条呢，我们一般 需要单独来进行证明，你不能把它作为一个判定来直接去用。我们上面讲完了边和角，那么第六个我们来看一下对角线，对角线呢，我们讲的是互相平分啊，如果说对角线互相平分就可以构成了平行四边形，好，那么从平行四边形是怎么变成菱形的？同样呢，还是从边 角对角线的角度上来进行入手啊？那我们如果从边上来看，从平行四边形到菱形，菱形的四个边是相等的，那我们只需要呢出现菱边相等就可以了， 因为本来对边就相等，再加一个菱边相等就相等，那从角的角度上我们会发现呢，他没有特殊性，那从对角线的角度上来说，原来平行四边形呢，他的对角线是相互垂直的，所以这个里面呢，我们只需要再加上一个垂直就可以了 啊，那么从平行四边形到矩形，我们依然是从边角对角线上来说，但是大家会发现从边上来说呢，他没有特殊性，平行四边形变成矩形，他需要的是把其中一个角变成九十度，所以他更多的来说呢，从角的角度上来说，应该是出现一个角是九十度， 那边上没有角上有九十度，那对角线的角度上来说，对角线对于矩形而言是两条对角线啊相等的。首先它的前提是平行四边形啊，已经平分了，那么我们呢，再给他加上一个对角线是相等的。好，这是我们讲的边角对角线，那这里面还有一个从平行四边形直接到正方形，会出现什么情况？ 还是从边角对角线，从边的角度上来说，加上其中有一个角是九十度 啊，那么这两个要必须同时来用，也就是正方形是最特殊的，他要把边和角同时用上。那第二个呢，是从对角线的角度上来说，对角线的角度上来说，大家一定要拿出纸和笔啊，跟着我一块去思考。从对角线的角度上来说，他应该是加上原来已经有了平分了，再加上一个 相等，再加上一个垂直，要把菱形和矩形的一个垂直和一个相等全部都加上，才能变成正方形的结构。 那接下来如果从菱形变成正方形呢，依然是边角对角线的逻辑，那菱形变成正方形，其实边上已经没有 啊这个特殊性了。那从角的角度上来说，其实我们可以把菱形呢，其中有一个角九十度，它就可以变成正方形，那从对角线的角度上来说，那正方形它是最特殊的，它的对角线呢，是垂直平分且相等，那 这个菱形呢，是平分并且是垂直的，那么他还差一个相等，所以对角线只需要加一个相等，那接下来是从矩形到正方形，从边角对角上来说哈，那么从边的角度上来说，我们只需要让菱边相等，角上来说呢，他没有特殊性，那从对角线上来说呢，我们只需要补充上一个 垂直，对角线本身已经平分了，然后又相等了，然后再加上一个垂直的结构好，他就可以变成正方形。那这里面呢，还有几个比较特殊的变化，从四边形到矩形的变化，包括从四边形到正方形的变化，以及我们讲的从 四边形到菱形的变化，他是怎么直接到达的？如果从四边形到菱形上，我们可以加上一个叫四个边是相等的图形，他就是菱形，那从边的角度上达到了最大的特殊性，四个边都相等，那从角的角度上来说呢，我们发现单独的用角 是不行的哈，那从对角线的角度上来说，实际上我们可以加上一个对角线既平分，其实平分的时候，他就已经变成了平行，四边形平分，再加上一个呢， 对角线垂直，那就可以变成菱形，那同样呢，从四边形到矩形的逻辑上，我们从边上来说没有特殊性，但是从角的角度上来说呢，我们其实可以加上一个四个角都是九十度，实际上也就是三个角都是九十度， 因为剩下的那一个角呢，一定是九十度的。那么从对角线的逻辑上来讲，首先你要把这个四边形变成平四边形，所以你要加上一个， 首先是平分，那平分之后呢，矩形它是要要求对角线要相等的，所以要加上一个四边形的对角线平分并且相等的四边形，它就是属于叫矩形的。那我们直接一步到位，从 最一般的四边形到最特殊的正方形，那这里面呢，从边的角度上来说，我们没法直接加，从角的角度上来说呢，也没法直接加，一般来说我们是把边和角放在一块，比如说我们把边和角放在一块，可以说四个边都相等，四个角也相等的，那这个图形呢，是正方形 啊，或者说你说三个九十九十度也可以啊。那么还有一个呢，叫从对角线的角度上来说，应该把我们之前讲的所有的对角线的性质全部加上，对角线既平分又垂直又相等，那所有都加上，那以上这个图呢，我建议咱们所有的同学们呢，你自己在你的草稿纸上画一遍， 你把四边形的性质，平行四边形的性质，菱形、矩形、正方形的性质，自己独立梳理一遍，再把从四边形到平行四边形的判定，从平行四边形到菱形到矩形到正方形的判定，完全的自己搞定一遍， 你会发现这个流程你越来越熟练，你在做题的过程中呢，你会发现你在这些内容上呢，你是越来越熟练，你真正做压轴题的过程中呢，你的思路也是越来越多的。 那关于我们刚才给大家说的平行四边形，特殊的平行四边形这二十大经典题型的汇总呢？家长朋友们可以领回去带着孩子呢去举一反三，系统练！

这一题不会离学霸还有十万八千里，一定要听到。最后题中给了我们一个平行四边形 a、 b、 c、 d 两条零边的长度分别为十和六。对角线 a、 c 与 b、 d 相交于 o 点， a、 c 正好就垂直于 a、 d， 让我们求对角线 b、 d 的 长度。我们只要运用一下平行四边形中一种常用的几何辅助线就可以了。我们可以过两个顶点分别做对边 b、 c 的 垂线， 垂足分别为 e 点和 f 点，这样的话我们就构造出了一个矩形 a、 e、 f、 d 以及一组全等的直角三角形 a、 b、 e 与 d、 c、 f 这种辅助线的做法呢？在平行四边形当中我们也是经常用到的。在我们这道题目当中，我们就可以过 a 点和 d 点分别做对边 bc 的 垂线，注意到这个地方是垂直的，那么根据两直线平行内错角上的，我们就可以自然得出 a、 c 垂直于 bc， 那么我们只需要过 d 点做 b、 c 的 垂线就可以了，与 b、 c 的 延长线相交于一点。 有了这个垂直关系，接下来要求对角线 b、 d 的 长度就容易了，我们可以放到直角三角形 b、 d 当中，用勾股定律来计算就可以了。很显然，斜边 b、 d 的 长度 就等于根号下 b 的 平方加上一个 e、 d 的 平方。下面我们想办法求出 b 和 e、 d 的 长度就可以了。注意到 b、 c 等于 a、 d 等于六， 因为平行四边形的对边是相等的，同时四边形 a、 c、 e、 d 很 显然它是一个矩形，那么 c 的 长度自然也等于 a、 d 的 长度也等于六。而 d 的 长度我们就可以放到直角三角形 d、 c、 d 的 当中，用勾股定律来进行计算， 斜边为十一条，直角边为六，很显然， e 的 长度呢，它就等于八， b 和 e 的 长度都求出来了，那么 b 的 长度很显然就等于根号下 b 的 平方，也就是十二的平方，加上一个八的平方，就等于四，根号十三，轻松搞定。

平行四边不用愁，公式口诀记心头来看这道题，如图，平行四边形 a、 b、 c、 d， 然后对角线 b、 d 和 a、 c 相交于点 o， 然后其中这里面边是给了哈，已知是 bc， 是 给了，是七，然后 b、 d 好， 这个长的是十， 然后这个 a、 c 这个长的对角线，这个是六，然后现在让求的是 a、 o、 d 的 周长， 那求三角形的周长，那肯定是三边啊，三边求出来之后，三边相加之和就是周长。所以咱这道题有有平行四边形的性质，上节课已经讲过啊，因为这个结要写哈， 因为四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形 啊，然后，所以我可以得出什么？所以对角线，然后 a、 c 和 b、 d 相互平分，也就是 a o 等于 c o， 然后 b o 等于 d o 啊， a o 等于 c o 就 等于多少，这等于几啊？ 是不是等于二分之一？ a、 c 也就等于六，除二等于三，就是 是不是？然后 bo 等于 d， o 又 bo 等于十，也就是说就等于个多少？十除二就等于五啊， 是不是？所以它是五，也就是这一段是五，这一段是三，那因为这个平行形对边是平行，且相等是 b， c 等于 a， d， 这个是 t， 那 这个的周长有了吧？ 哎。然后还有一个就是 a、 d 等于 bc， 就 等于个七，所以在三角形 a、 o、 d 中， 那它的周长，也就是说等于个。让 a o 加 o， d 加 a d， 也就等于 a、 o 等于三，加五加七就等于个十五。关注王老师无脑学习。

江苏八下的娃看一下这个最值。问题看起来挺唬人的，但是如果你知道在坐标系内，平四他四个顶点的坐标关系， 那可以说呢，能把他秒了，那目前八下其中的压轴打卡呢？更新了十个题视频讲解呢，都在主页能看到，都选自去年的真题，如果选择填空的最后一个，有些小问题可以去练练手。那来吧，咱们来说一下平四的顶点坐标公式。先画个坐标系， 说这有个平四 a、 b、 c、 d， 它的四个顶点呢，我们都标上，那咱们就利用平四的性质，可以推出这四个顶点坐标的关系。 我们知道平四呢，它的对角线是互相平分的，这个焦点即为 o 点，那 o 点的坐标，咱就可以用终点坐标公式表示出来。比如 a、 c 的 终点， 那就是横坐标相加除以二，以及纵坐标相加除以二，这个东西怎么来的呢？你可以对比在七年级学过的竖轴上的中点坐标公式， 假设这是四，这是八，它的中点也就是八加四除以二，所以在坐标系里无非多了一个横纵轴。那接着如果从 b、 d 来看，也是表示它的中点 o 点，那就是 y b 加 y d 除以二， 而这两个都表示的 o 点，那说明他们的横坐标相等，那同乘二就没了，得到了一个 x a 加 x c 等于 x， b 加 x d， 所以 同理，纵坐标也是 y a 加 y c 等于 y b 加 y d， 这就是平四的顶点坐标公式。 那现在会了焚绝，我们来看看这个小题，说这平四的顶点 a、 c 呢？在直线， x 等于三和 x 等于九上 点 o 是 坐标原点。问对角线 o、 b 长的最小值，那这个条件翻译一下， a 点在 x 等于三上动，那不就说横坐标是三吗？纵坐标不知道， c 点也是一样，横坐标是九，那 o 点横坐标是零到，这是不是三个点的横坐标都有了？ 所以各位点 b 的 横坐标是多少？直接用这个公式吗？是不是九加三就等于零加这个点 b 的 横坐标， 所以就是十二，这意味着点 b 的 横坐标确定他就只在这条 x 等于十二的线上动，那 o 是 定点，点 b 在 动，所以最小值就是垂直的时候吗？那显然是十二。这一题就选第四个，你学会了吗？点赞收藏，练起来吧！