圆公式大全上海市六年级沪教版

我们都知道六下第三单元有关圆柱和圆锥里面的公式非常非常多，那今天王老师这期视频啊，就来讲一讲这些公式都有哪些公式。 首先我们来看圆柱体，我们知道圆柱是由上下两个相同的底面加中间一个弯曲的侧面， 那么它的侧面积沿高展开以后是一个长方形，有的时候还可能是一个正方形，所以它的侧面积其实是由底面圆的中长乘圆柱体的高，所以 s 侧 就等于 c h， 这个 c 呢，我们还可以换成圆周率乘直径，也就是派 d h， 那 还可以换成二排二，所以侧面积啊还等于二排二 h， 这是有关圆柱体的侧面积的三个公式。 那么圆柱体的表面积表面积我们分为，当这个圆柱体有上下两个底面加中间一个侧面的时候，它的表面积公式有两个 s 表等于二派二 乘括号里的 h 加二分之 d。 那有的时候给的我们是只有一个底面和一个侧面，这个圆柱体它没有盖，所以这个时候我们叫底侧公式， 只有一个底面加一个侧面，所以底侧表面积是二派二乘括号里的 h 加二分之二对应的推导公式王老师以前的视频中你能找到，那么接下来就是圆柱体的体积公式。 我们知道圆柱体的体积是把它利用转化的思想把它转化成原来我们学过的长方体，利用长方体的体积公式，进而推导出圆柱体的体积公式。所以圆柱体的体积啊，也等于其底面积层高，所以 v 柱 等于 s h， 我 可以把这个底面积换成圆的面积，也就是 pi 二的平方 h。 如果给的是 d 和 h， 我 还可以把这个 r 呢换成二分之 d 扩起来的平方 h。 如果给的是底面圆的周长和高，我们还可以把 这个 r 呢换成 c 除以 pi 除以二，扩起来平方乘 h。 那 么圆锥体， 我们知道圆锥啊，它是只有一个底面圆和上面展开以后是一个扇形，一般在小学阶段不研究它的表面积，但是我们重点是放在它的体积上，那圆锥体的体积为锥， 我们知道等底等高的圆锥的体积是圆柱体体积的三分之一，所以为锥啊，就等于三分之一的 v 柱，那 v 柱呢，又等于来它的体积等于 s h pi r pi h 所以 那么圆锥体的体积也就是三分之一的 s h。 底面积乘高等于三分之一的派，二的平方 h 等于三分之一的派，括号里的二分之 d 括起了平方 h 啊，等于三分之一的派，括号里的 c 除以派除以二，括起了平方 h。 那 对王老师所讲的这些公式，你记住了吗？关注王老师，让数学变得 so easy！

上海六年级数学利用几分钟时间吃透一张题目，开学直接冲进班级前三。今天和大家一起看的是我们圆与扇形第一块周长部分的例题。首先第一个模块就是圆周长的一些题目，像例题一，一直到例题四，其实都是什么呀？ 直接利用圆周长公式去计算我们对应的一些题目。那我们来复习一下圆周长公式。我们说周长嘛，就是用大写的字母 c， c 可以 写成派 d， 或者写成二 pi r 的 形式。那至于到底是用直径还是用半径，其实主要就是看题目中给了什么，我们就用什么。 然后比较有意思的地方是我们的这个立体五啊，我们可以得到一些结论。首先，呃，我们得到的一个结论就是，如果我所有的半圆，它的直径之和加在一起是相等的，那我对应的一个周长之和加在一起肯定也是相等的。我们可以通过这道题一起来证明一下。 首先他说 a、 c 之间距离是六米， b、 c 之间呢？距离是四米，我们标在图里啊。然后他说蚂蚁有两种路线，那我们给他命名叫做一号路线和二号路线，我们来证明一下哪条路更近一点。 首先一号路线这个大的半圆，对吧？我们可以写成什么呀？我就管它叫做 l 一 好了，路线的长度嘛，它就是半圆，就是二分之一乘以 pi 第一 对吧？第一个直径，也就是说我把它带进去二分之一乘以 pi， 我 这里大圆的直径就是十十米，所以我最后得到结论就是五 pi 米，单位是米。 那第二条路呢？我们的 l 二好了，它相当于是什么呀？两个小的半圆的一个周长，对吧？所以我们写成两个部分啊，二分之一乘以 pi， 第三第三个圆， 那我们可以把一个二分之一派提取出来，对吧？二分之一乘派，然后呢，第二加第三，大家会发现，其实就等于什么呀，还不就等于十米，是不是跟前面的第一是一样的呀，对吧？所以就是二分之一 派乘以六加四，也就是最后的结果呢，也就是五派米。所以我们知道一号路线和二号路线他对应的一个长度是一样的。那由此我们可以衍生出新的结论，如果我里面比如说有三个半圆，四个半圆，五个半圆，对吧？可以无数个半圆， 只要我们对应的一个直径之合是一样的，那我们对应的一个什么呀？半圆的周长之合肯定也是一样的，也很好理解，无非就是把二分之一派都给他提取出来嘛，对吧？那剩下的不就是这个直径之合了？所以啊，这是我们例题五给大家的一个结论。 那第二个模块是弧与弧长的一个题目，同样的，我们也复习一下弧长公式啊， l 呢， 就会等于，还记得吧，分母是一百八十分之 n， n 就是 圆心角的一个度数啊，乘以 pi r， 这是我们的一个弧长的公式。像是例题六种题也是可以直接利用弧长公式进行计算。那例题七呢，有点像我们之前代数部分学过的一些新定义的题目啊，给了我们这样一个来路，三角形，同样的， 就不要看题目那么复杂，我们也是可以直接利用我们的一个弧长公式进行计算的，就不要害怕它就好了， 像例题八是我们的一个实记应用题，例题九呢是在这种比较复杂图形中，让我们计算阴影部分周长的题目。例题十更是有意思啊，他是把非波纳期竖列这样的一个在我们代数部分经常考察的一种，这种新定义的竖列和我们的一个弧长结合在了一起， 所以它是一个相当于是胡长这部分的一个非常有意思的综合题，大家也可以自己做一做，然后对应的一个答案呢，到时候可以问张老师来，要我们一起来看看，把几何和代数部分结合在一起，大家能不能 比较好的把它过渡衔接在一起，做一做这种综合题。那我们今天的这个例题讲解和介绍就到这里。

上海六年级数学利用几分钟学会一张知识点，开学直接冲进班级前三！今天张老师带大家一起来预习的是我们六下第六章圆与扇形第一块的部分，也就是周长的部分。首先在讲周长之前，我们得先认识圆周率 pi。 pi 是 一个无限不循环小数，但在咱们的初中范围内，我们基本上题目中都把它取三点一四这样的一个金色值。那认识了 pi 之后，我们就可以直接来得到圆周长的一个公式。 首先啊，我们是用大写的字母 c 来表示圆的周长，也就是说它的公式就可以写成 c 等于 pi 乘以直径 d， 或者是直径是半径的两倍嘛，那我们就可以写成 c 乘以两倍的 pi 乘以 r， 这是我们圆周长的一个公式。 那接下来的第二块是关于弧和弧长的一些公式。首先，弧是什么？弧是圆上两点之间的这样的一个部分，也就是说它其实本质上是一个曲线的部分，我们管它叫做弧 a、 b， 它对应的一个角度呢，我们就管它对应的圆心的角度嘛，对吧？就叫圆心角。那弧也可以分为三类。首先我们最熟悉的就应该是半圆，对吧？ 半圆其实就是一百八十度这一半的圆心角所对应的这样的一个弧，我们就管它叫做半圆。那比半圆所占据部分小的，我们就管它叫做裂弧。也就是说，像刚刚我们画给大家的这样的一个蓝色的一个部分啊，这样的一个弧，它就管它叫做一个裂弧。那 同样的，如果在一个圆中占据比例比半圆还要大，比如说我是不是也可以反方向有一个橙色的这么一圈呀？对吧？也其实算是 ab 之间的一个 部分，对吧？ ab 之间那个弧，我们管它叫做 u 弧，它就所占的一个份额啊，是比半圆要大的这样一个部分，这是我们关于弧的一个简单的划分，那需要大家注意的是半圆和半圆形的差别，也就是我们高量的部分，这个当时办理同学非常非常非常容易搞错，中间半圆就是什么一段弧， 画的好看一点啊，就是一段弧，它是圆的一半，所以我们计算半圆的一个长度的时候，其实就用等会我们会讲的这样一个弧长公式，但是半圆形可不一样，半圆形是半圆和直径所围成的这样的一个封闭的图形， 也就是说我们得计算半圆的周长的时候，不光光要算半圆的一个长度，还得算什么呀？直径的一个长度，这里需要大家做一个区分啊，非常非常的容易错，这是我们高量的部分。 接下来我们就正式来讲弧长的一个公式。首先弧长公式怎么推理出来的啊？这样的一个圆心角所对应的弧 a、 b， 其实我们可以看它在圆中所占据的一个份额， 对吧？我们圆心角除以一个圆，整个的圆周角是不是三百六十度，对吧？它一共就是三百六十度，所以我们弧长是圆周长的三百六十分之 n， n 的 话就是我们这样的一个圆心角啊，之前给大家说过的，所以这是我们弧长公式的一个推理过程。 那圆周长我们知道的圆周长是什么？二 pi r， 对 吧？那我们这个数字二和我们这个分母中的三百六给它约一下，就写成了一百八十分之 n 乘以 pi r， 所以 要记住啊，我们的弧长公式是一百八十分之 n 乘以 pi r， 原因呢？就是因为本来是三百六十分之 n 乘以二 pi r 给它约了一下，这跟我们后面要讲的这样一个面积公式，一定要把它对应的区分开来啊，它是一百八十这样的一个分母，所以这就是我们的一个弧长公式，我们可以直接把它带入题目中应用。

上海六年级数学，利用几分钟时间学会一张知识点，开学直接冲进班级前三。今天一起来和大家看的是圆与扇形第二块关于面积的一些知识点。首先，圆的面积公式这个我们其实大部分同学应该都是知道的， 面积我们是用大写的 s 来表示， s 会等于 pi 乘以半径的平方，那至于怎么推到的，我们可以一起来看一下。 我们说把圆把它等分过来，呃，就有点像切蛋糕，对吧？四等分，八等分，还有个十六等分，各种各样的， 那我们会发现，把圆等分的一个分数越多，拼成的一个图形就越接近一个长方形。长方形，那我们来看对应的一个宽度吧。先看宽比较好理解，就有点像什么呀？有点像我们圆的一个半径，我们就管它叫做 r， 那 同样的， 这样的一个长方形的长度呢？其实是半圆的一个周长，对吧？因为我相当于是整个圆的周长分为了上下 两个这样的一个长方形的长度，所以二 pi r 是 上下两个，那我们一个长，那自然就是一个 pi r。 所以 长方形的面积公式我们是知道的，就是长乘宽嘛，所以对应的一个圆面积公式其实就这么推理来的， 就是 pi r 乘以 r， 那 就是 pi r 的 平方。一定要牢记啊，我们这里半径是带平方的，之前张老师的学生自己做的时候，经常有人把这个半径给它写成就 pi r 没了，那我们其实是 pi r 的 平方啊， 那同样的，我们知道了 r 会等于二分之一的 d， 对 吧？那你把它带进去，如果我非要用直径的平方，就应该是四分之一 pi 的， 所以同样的也是要注意啊，我们这里对应的一个换算关系是四分之一啊，因为我们当时把直径和半径的转化也是给人家平方了一下的，这是我们圆的面积公式。那同样的如果是圆环呢？什么是圆环？圆环其实就是两个 这样的圆心重叠的一个圆啊，就两个同心圆这样的一个所对应的一个环状的部分，这里画的可能比较抽象啊，大家对应着理解一下，有点像那个甜甜圈的那种部分，对吧？ 所以圆环的面积也很好理解的，它就是大圆的面积减小圆的面积，但是对应的题目中可能就会有所变换，这里我们介绍一下它的面积公式。 那第二个模块呢？是关于扇形的面积，还记得我们之前推导扇形弧长的时候，对吧？这样的一个弧，我们其实是看圆心角所占一整个圆三百六十度的一个比例，那同样的我们的面积的推导也是什么呀？也是占据 圆面积的三百六十分之 n， 那 由于我们圆面积的公式大家都知道的，对吧？ s 圆 写成 pi r 的 平方，所以直接就是三百六十分之 n 乘以 pi r 的 平方，这里要注意啊，我们对应的一个分母是什么？三百六十，那我们为什么弧长对应的一个分母是一百八十？ 因为我们是一百，本来是三百六十分之 n 成了一个二 pi r 吗？对不对？这里没有二了，那自然就是什么呀，三百六十分之 n 乘以 pi r 的 平方，所以这里要注意一下区别。那其实我们可以把善心啊， 想象成一个什么呀？想象成一个对应的这个三角形面积，有点像三角形面积，如果我们把它看作一个啊，有点不规则的三角形，那我们知道了三角形就是二分之一底乘高，那对应的一个，你看如果是扇形的这个底其实就是它的一个弧长，弧 弧长是什么？弧长是不是一百八十分之 n 乘以 pi r， 对 吧？然后我们说的二分之一乘以底，那它的高是什么？高是不是就是一个 r， 对 吧？所以你会发现，如果我已知的是这个弧长 l， 那 我其实就可以直接用二分之一 l 乘以半径 r 就 可以了，那你把它带进去，发现对应的，你把这个式子给它乘出来， 发现也是什么三百六十分之 n 乘以 pi 的 平方，对吧？一样的呀。所以如果题目中直接给了你弧长，直接给了你这个 l 的 具体的长度，那你可以直接用二分之一乘以弧长乘以半径二分之一 l r 来进行计算，就省得你用三百六十分之 n 乘以 pi 的 平方还要算半径呢，对吧？ 所以我们说弧长还有这样的一个面积公式，其实是有这样的一个转转换关系的，大家如果题目中给了什么，我们就用什么，就灵活一点来选择对应的公式，这是关于面积部分的一些公式和知识点。

上海的同学本期视频十五分钟全面复习六下数学期中考试重点今天讲的是第六章元与善行， 今天张老师带大家一起来预习的是我们六下第六章元与善行第一块的部分，也就是周长的部分。首先， 在讲周长之前，我们得先认识圆周率 pi。 pi 是 一个无限不循环小数，但在咱们的初中范围内，我们基本上题目中都把它取 三点一四这样的一个近似值。那认识了 pi 之后，我们就可以直接来得到圆周长的一个公式。首先啊，我们是用大写的字母 c 来表示圆的周长，也就是说它的公式就可以写成 c 等于 pi 乘以直径 d， 或者是直径是半径的两倍嘛，那我们就可以写成 c 乘以两倍的 pi 乘以 r， 这是我们圆周长的一个公式。 接下来的第二块是关于弧和弧长的一些公式。首先，弧是什么？弧是圆上两点之间的这样的一个部分，也就是说，它其实本质上是一个曲线的部分，我们管它叫做弧 a b， 那 它对应的一个角度呢？我们就管它对应的圆心的角度嘛，对吧？就叫圆心角。那 弧也可以分为三类，首先我们最熟悉的就应该是半圆，对吧？半圆其实就是一百八十度这一半的圆心角所对应的一个弧，我们就管它叫做半圆。那 比半圆所占据部分小的，我们就管它叫做裂弧。也就是说，像刚刚我们画给大家的这样的一个蓝色的一个部分啊， a b 之间的一个弧长，呃，这样的一个弧，它就管它叫做一个裂弧。那同样的，如果在一个圆中占据比例比半圆还要大，比如说我是不是也可以反方向 有一个橙色的这么一圈呀？对吧？也其实算是 ab 之间的一个部分，对吧？ ab 之间那个弧，我们管它叫做 u 弧，它就所占的一个份额啊，是比半圆要大的这样一个部分，这是我们关于弧的一个简单的划分，那需要大家注意的是半圆和半圆形的差别，也就是我们高量的部分，这个当时班里同学非常非常非常容易搞错， 中间半圆就是什么一段弧，画的好看一点啊，就是一段弧，它是圆的一半，所以我们计算 半圆的一个长度的时候，其实就用等会我们会讲的这样一个弧长公式，但是半圆形可不一样，半圆形是半圆和直径 所围成的这样的一个封闭的图形，也就是说我们得计算半圆的周长的时候，不光光要算半圆的一个长度，还得算什么呀？直径的一个长度，这里需要大家做一个区分啊，非常非常的容易错，这是我们高量的部分。 接下来我们就正式来讲弧长的一个公式。首先弧长公式怎么推理出来的啊？这样的一个圆心角所对应的弧 a、 b， 其实我们可以看它在圆中所占据的一个份额， 对吧？我们圆心角除以一个圆，整个的圆周角是不是三百六十度，对吧？它一共就是三百六十度，所以我们弧长是圆周长的三百六十分之 n， n 的 话，就是我们这样的一个圆心角啊，之前给大家说过的，所以这是我们弧长公式的一个推理过程。 那圆周长，我们知道的圆周长是什么？二 pi r， 对 吧？那我们这个数字二和我们这个分母中的三百六给它约一下，就写成了一百八十分之 n 乘以 pi r， 所以 要记住啊，我们的弧长公式是一百八十分之 n 乘以 pi r， 原因呢，就是因为本来是三百六十分之 n 乘以二 pi r 给它约了一下，这跟我们后面要讲的这样一个面积公式，一定要把它对应的区分开来啊，它是一百八十这样的一个分母，所以这就是我们的一个弧长公式，我们可以直接把它带入题目中应用。 今天一起来和大家看的是圆与扇形第二块关于面积的一些知识点。首先，圆的面积公式这个我们其实大部分同学应该都是知道的， 面积我们是用大写的 s 来表示， s 会等于 pi 乘以半径的平方，那至于怎么推到的，我们可以一起来看一下。 我们说把圆把它等分过来，呃，就有点像切蛋糕，对吧？四等分，八等分，还有十六等分，各种各样的， 那我们会发现，把圆等分的一个分数越多，拼成的一个图形就越接近一个长方形。长方形，那我们来看对应的一个宽度吧。先看宽比较好理解，就有点像什么呀？有点像我们圆的一个半径，我们就管它叫做 r， 那 同样的 这样的一个长方形的长度呢？其实是半圆的一个周长，对吧？因为我相当于是整个圆的周长分为了上下 两个这样的一个长方形的长度，所以二派 r 是 上下两个，那我们一个长，那自然就是一个派 r， 所以 长方形的面积公式我们是知道的，就是长乘宽嘛，所以对应的一个圆面积公式其实就这么推理来的，他就是派 r 乘以 r， 那 就是派 r 的 平 方，一定要牢记啊，我们这里半径是带平方的，之前张老师的学生自己做的时候，经常有人把这个半径给他写成就派乘以二没了，那我们其实是派 r 的 平方啊， 那同样的我们知道了 r 会等于二分之一的 d， 对 吧？那你把它带进去，如果我非要用直径来表示面积，是不是相当于就是二分之一 d， 整体的平方就应该是四分之一派里的。 所以同样的也是要注意啊，我们这里对应的一个换算关系是四分之一啊，因为我们当时把直径和半径的转化也是给人家平方了一下的，这是我们圆的面积公式。那同样的如果是圆环呢？什么是圆环？圆环其实就是两个 这样的圆心重叠的一个圆啊，就两个同心圆这样的一个所对应的一个环状的部分，这里画的可能比较抽象啊，大家对应着理解一下，有点像那个甜甜圈的那种部分，对吧？ 所以圆环的面积也很好理解的，它就是大圆的面积减小圆的面积，但是对应的题目中可能就会有所变换，这里我们介绍一下它的面积公式。 那第二个模块呢？是关于扇形的面积，还记得我们之前推导扇形弧长的时候，对吧？这样的一个弧，我们其实是看圆心角所占一整个圆三百六十度的一个比例，那同样的，我们的面积的推导也是什么呀？也是占据 圆面积的三百六十分之 n， 那 由于我们圆面积的公式大家都知道的，对吧？ s 圆 写成 pi r 的 平方，所以直接就是三百六十分之 n 乘以 pi r 的 平方，这里要注意啊，我们对应的一个分母是什么？三百六十，那我们为什么弧长对应的一个分母是一百八十？ 因为我们是一百，本来是三百六十分之 n 成了一个二 pi r 吗？对不对？这里没有二了，那自然就是什么呀，三百六十分之 n 乘以 pi r 的 平方，所以这里要注意一下区别。 那后面这个是怎么来的？那其实我们可以把扇形啊，想象成一个什么呀？想象成一个对应的这个三角形面积，有点像 三角形面积，如果我们把它看作一个啊，有点不规则的三角形，那我们知道了，三角形就是二分之一底乘高，那对应的一个，你看如果是扇形的这个底，其实就它的一个弧长，弧长是什么？弧长是不是一百八十分之 n 乘以 pi r， 对吧？然后我们说的二分之一乘以底，那它的高是什么高？是不是就是一个 r， 对 吧？所以你会发现，如果我已知的是这个弧长 l， 那 我其实就可以直接用二分之一 l 乘以半径 r 就 可以了。那你把它带进去，发现对应的，你把这个式子给它乘出来， 发现也是什么三百六十分之 n 乘以 pi 的 平方，对吧？一样的呀，所以如果题目中直接给了你弧长，直接给了你这个 l 的 具体的长度，那你可以直接用二分之一乘以弧长，乘以半径二分之一 l r 来进行计算，就省得你用三百六十分之 n 乘以 pi 的 平方还要算半径呢，对吧？ 所以我们说弧长还有这样的一个面积公式，其实是有这样的一个转转换关系的，大家如果题目中给了什么，我们就用什么，就灵活一点来选择对应的公式，这是关于面积部分的一些公式和知识点。 大家好，今天带大家一起来预习我们六下第六张圆与扇形的综合部分。首先我们先来认识几种特殊的图形，也就是我们表格中出现的弓形、飞镖形和树叶形。 它们这几种图形虽然是特殊图形，但是它是可以直接利用面积公式来求出它们的面积的，也就是说我们可以把这些特殊图形转化成规则的图形。 首先第一个公形其实就是什么，就是这四分之一圆所占的一个扇形减掉三角形的面积，飞镖型就是正方形减掉四分之一圆所对应的这个扇形面积。树叶形其实有很多种求法，首先它是两倍的一个公形，也就是说我们可以把它这个左上角还有右下角给他连在一起， 相当于把我们的树叶形分割成两个公形。同样呢，它也可以写成两个扇形，减掉一个正方形的面积。也就是说它相当于是左下角这样的一个扇形，叠加上右上角这样的一个扇形， 减掉它们中间的一个正方形的一个面积，也就是它是其中的一个重叠部分面积。所以我们遇到了公形，飞镖形和树叶形都是可以直接利用公式来进行计算。第二块知识其实就是这种阴影图形求面积的基本思路， 主要的方法有两种，分别是割补法和容斥法。割补法其实就是对图形进行分割或者把它补形，像刚刚我们说的这个树叶形，它其实就是可以把它分割成两公形，把它变成对应的一个比较规则的图形面积再进行计算。 而第二种容斥法，其实刚刚我们也强调过，我们树叶形计算的第二种方法，相当于是我们先把所有对象的面积给他算出来，再把重复计算的面积排斥出去，这样子我们计算的结果就不会有遗漏，也不会有重复，所以相当于是 两个四分之一圆对应的这个扇形减掉数也行，那就剩下了一个正方形面积，无非就是把正方形还有数也行的面积给它换一下，所以我们阴影部分主要是这两个方法。当然我们下面有个例子，它出现了第三种方法， 其实也是这里的第一种方法，我们直接进行计算，因为我们一旦能算出左下角还有右上角的空白部分的面积，那我们直接用正方形面积减掉面积和就可以了，所以其实也就是相当于是利用正方形的面积减掉两个飞镖型的面积，这是直接计算的方法。 那第二种方法就是刚刚说的一个割法，把它分割成两个小公形。第三种方法就是我们刚刚说的溶质的思想，把它想象成两个扇形，减掉正方形的面积。所以一般来说我们遇到了阴影图形面积计算，我们一般都是割补法或者溶质法这样的一个思路， 今天带大家预习的是六下第六章元与扇形最后一块的内容。首先我们今天要研究的问题是什么？点和线际的轨迹问题， 那点我们都知道它移动起来是会形成一条线的，那一段线移动起来是可以形成一个面的，所以我们今天所要研究的就是这种动点和动线段的一个问题。我们可以来看到具体的这个图，首先这个点 a， 如果它是以 o 点为中心，然后以一个横定的长度为距离进行旋转得到的一个图形，当然就是这样的一段弧，大家都知道的，那如果是一个线段 o a， 他也是绕着同一个 o 点旋转，那新得到的图形就会是我们右边这个扇形阴影部分的扇形的面积。 所以我们得先认识一下点和线段的一个运动形成的一个图形。那第二块是我们今天的一个重点，也就是圆扫过的面积问题，我们可以把它分为四种情形进行简化。首先第一种情形就是圆在一整条直线上面运动的时候， 那首先我们知道圆心的一个轨迹，那自然就是一条线段。而整个的阴影部分的整体的面积其实可以分为三个部分，首先我们左边有一个半圆， 右边也有一个半圆，那这两个半圆其实我们可以把它合成一整个圆的面积，那中间这一块就是一个长方形的面积，是非常一目了然的。所以我们整个第一种情况其实是可以把它分为一个圆形 和一个长方形的面积之合的，所以还是比较简单的一种模型。那第二种模型就是圆在直折线外部运动的时候，首先还是一样和刚刚第一种形式比较相似，我们最左边有一个半圆， 最右边也有一个半圆，中间不同的地方在于出现了两个长方形。同时我们也可以注意到，当在折点部分运动的时候，首先圆心形成的其实是一段圆弧， 那我们知道了一整个圆心是圆弧，那他对应的直径所扫扫过的面积自然就是一个什么扇形，所以我们高亮的黄色这一块其实就是一个扇形， 所以我们汇总一下，我们会发现整个的阴影部分面积其实也是什么一左一右两个半圆所组成的圆形，还有两个长方形，以及最后还有一个中间的扇形，我们把这三块的面积组合加在一起就可以。 那第三种情况在折线内部运动，首先他和我们第二种情况有相似的地方，相似地方还是在于他左边有一个半圆，右边也有一个半圆，中间是有两个长方形。但区别点就在于 跟刚刚第二种情况他多出来一个扇形不同，我们在折线内部运动的时候，他其实是会有重叠的面积，所以不再是加了，而是变成什么减法。 但是一般的这种角度我们不需要掌握，因为我们没有学过对应的这个公式，我们只需要掌握特殊的假角是直角的情况就可以了。在我们后续的例题中，也会带大家去做这种特殊情况的一个题目。 第四种情况就是圆在半圆形的表面运动。首先我们先回忆一下，我们学过半圆形其实是由两块组成的，它是由半圆和直径组成的，一个什么封闭图形对不对？所以我们圆的一个运动相当于也是分为两块。 首先圆在半圆的表面运动的时候，我们可以看到这个图整个的一个阴影部分面积其实是一个什么呀？半圆环对不对？那下面下方如果是圆还是一样在折点部分 运动，那我们所直径所扫过的面积其实还是扇形，那这个扇形就比较特殊，他各自是什么呀？四分之一的圆对不对？ 最最下面在直径这一块运动的时候，我们所扫过的面积就是一个长方形的面积，所以也是一样。我们汇总一下，我们阴影部分的面积其实就是什么半圆环的一个面积，两个扇形分别是什么？四分之一圆 所对应的一个面积。最后我们最下面还有一个长方形的面积之合，所以我们整个的圆的运动面积其实就分为这么四种具体的模型。那在我们具体的生活实际的应用中，我们就是把 学过的这四种模型给它对应进去，把它拆分成一些我们能够直接计算的面积就可以了。

哈喽，大家好，今天继续来为六年级的学员们分享一下圆和扇形的第二节上一个部分呢，我们聊的主要是周长的部分，圆的周长还有弧长。那么今天我们就要来聊面积了，主要是两个部分，一个是圆的面积，第二个是扇形的面积。 ok， 那 我们就进入今天的话题吧， 那么聊到圆的面积呢？首先我们要知道一下圆的面积公式是什么？好，当然这个公式是必备的，我们来写一下等于 pi r 平方。 好，然后我们要看一下书上的一张图啊，这个圆的面积公式在数学书上是给出推导的，并且这个推导在很多的卷子上是会要求我们去掌握的， 他是把这个圆分成一块小扇形，这个小扇形呢就看成一个小的三角形，如果我把它一正一反这样叠放，就可以叠成一个近似长方形的这样图形。 一个圆把它这样子重新分割，并且重新重组，得到一个长方形的话，他们的面积其实是不会发生变化的。 而我们可以看到这个长方形的两条长边其实就是圆的一周的长度，而这个长方形的宽其实就是圆的半径， 所以我们就可以得到这条长叫做拍二，也就是半周长，这个宽也就是二，所以我们可以把这个圆的面积重新写成爱二乘上二， 也就是把它看成一个矩形。 ok， 第三个部分，他会让我们去了解一下面积和半径的比值，如果我有两个圆，他们的半径之间的关系，或者反过来，那么我们就有一个这样子的比例的公式。 我现在把两个圆的面积之比写成 s 一， 比上 s 二，那么他就可以写成 pi 二一的方比上 pi 二的方， 我们可以根据笔的性质得到，这个 pi 和 pi 是 可以消掉的，所以最终我们可以得到两圆的面积之比，其实就是两圆的半径的平方之比。 最后一个我们聊的话题是在同一个圆里面，如果他告诉我们周长，让我们去求面积，或者让我们告诉面积去求周长，那么这类题型其实很难举例啊，很多简单题和中档题都会考，那么九老师分享一个思路给大家， 无论我用面积去求周长，还是周长求面积，我不推荐大家直接去用公式的方法，有老师会去教小朋友啊，一个公式怎么样从周长去推导面积，我不建议大家去背这个公式， 而是去记这样子一个思路，因为我们的周长和面积啊，它们都跟同一个数学量有关，就是圆的半径。所以如果我要用面积去求周长，那么先求半径。 反过来，如果用周长去求面积，那么也是先去求半径，这个半径就是连接面积和周长之间的桥梁。以上聊的都是一些理论的公式化的东西，接着我们来看几种在我们的考试中会出现的圆的面积的题型。 首先和圆最相关的就是正方线，因为这两个图形啊，既是轴对称，又是中心对称，他们其实从某种程度上来说是非常接近的。举个例子，比如说在这张图上， 如果他告诉你正方形的边长，你能不能够求出阴影部分的面积呢？那么这时候我们就需要去多使用我们小学里教的一个思路，叫做割补的原理。那九老师举一个例子，比如说我问一个问题，请问阴影面积与正方形面积之比 是多少啊？我们在这里我要说一下，如果出现这种比例的问题，而且没有具体数值的话，建议大家用半径去设未知数，或者如果是填空题的话，你直接去设半径为一就可以了，这样子计算量是最小的啊。如果解答题呢，我们就可以去设圆的半径为 m， 那么如果是填充题，我就直接设圆的半径是一啊。那么阴影的面积我们首先可以知道，根据胳膊的原理啊，阴影的面积应该等于我们正方形的面积减去圆的面积， 正方形的面积它的边长应该是直径，所以就是二乘二，减去圆的面积就是 pi 二平方， pi 乘上一的平方，总的面积就应该是二乘二。好，那么我的阴影部分的面积就是四减， pi 总的面积是四， 所以最后的笔应该是四减派比上四。第二个类型的题型，如果我有两元之间，他有一个公共部分，他会利用这个公共部分让你去求两元之间的面积之比啊。那我们举个例子吧， 比如说这个阴影部分是大圆面积的啊，九分之二是小圆面积的五分之三，那么他可以来问你，大圆和小圆的面积之比是几比几啊？ 那么这个题型往往都会以文字的形式，首先你要能够写出这样子的一个数学算式啊，那当然了，周老师在这里偷了一个懒啊，直接把我们的算式给出来了， 给到这样子的一个等式了以后呢，我们就应该去利用比和比例的性质去做啊，我们可以在前面比的里面知道一个内向积等于外向积，那么我现在要去求大圆与小圆的面积去比， 那么这个是外向，九分之二就是外向，小圆的面积是内向，五分之三就是内向，然后利用交叉相乘的方法就可以得到是二十七比十。 当然了，他的这种题型往往都会以各种各样的形式来考你啊，比如说他告诉你，如果我大圆的半径是四，请问小圆的半径是多少啊？他就会以千变万化的方式去考你，你只需要把我的信息带入到这个比利时里面去解除我要的方式就行了。三个叫做圆环， 首先我们来说一下什么叫做圆环啊？如果有一个小圆，有个大圆，他们的圆心呢？在同一个点，那么在这两圆之间的部分，我们就称之为圆环啊，那么圆环的面积其实就是两个圆的面积之差。 咱们首先把这个圆环的面积写一下，等于 pi 乘以大圆的半径的平方，这也就是大圆的面积减去 pi 乘以小二的平方。好，那么现在这道题他是怎么考我们的呢？他现在说啊，就是这样子的一个图形阴影部分的面积， 他告诉我们了这个阴影部分面积等于十啊，他现在问我们，请问圆环的面积等于多少，那么这个面积是十和圆环有什么关系呢？我们可以看到这个阴影部分其实是这样子，一个正方形减去里面一个小正方形， 而大正方形的边长就是大圆的半径，小正方形的边长是小圆的半径，那么我就可以得到二方是大正方形的面积，减去小二方是小正方形的面积， 它等于十啊，那么我就可以得到环的面积，就应该等于 pi 乘上大二方减小二方，最终就等于十。 pi 聊完了圆的面积，接着我们来看本节的第二个重头戏，叫做扇形的面积。那么首先我们来了解一下到底什么是扇形。我们首先画一个圆， 然后从圆心上画两条半径啊，那么这两条半径和这一段弧之间就可以形成一个扇形的面积，这个部分这块小披萨就叫做扇形啊，我们之前学过弧长，这个弧长就是扇形的这条弧的一部分， 那我说弧长其实跟两个东西有关，一个是半径，一个是圆心角，其实扇形也是一样的，你也可以用同样的逻辑去求扇形的面积。那么首先我们来写一下扇形的面积， s 扇， 它应该等于三百六十分之 n 乘上 s 圆奥，也等于三百六十分之 n 乘上 pi 二奥。 那么我们就可以看到，如果我们后面同样去求两个扇形的面积之比，他应该跟圆心角和半径的平方成正比。那么在扇形这一节里面，我们要去记第二个公式， 有的时候啊，他还可以利用弧长去求出我们扇形的面积哦。这是一个很多同学容易忽略，容易背不出的公式，而这个公式恰恰在我们后面圆柱圆锥里面非常重要，所以一定要重点去掌握。 那么我们在之前里面其实学过五场公式，等于一百八十分之 n 派二是吧？我们把这个公式摆在这里，我们在这里面啊，去展开一个一百八十分之 n 派二， 我们会发现，我这个三百六十找一百八十出来，我是不是还有个二分之一啊？我这个 n 派二方去掉一个 n 派二，是不是还有个二？那么这个部分就是 l， 所以 我们就可以得到， 既然它是 a， 那 么这个扇形的面积也可以跟弧长和半径的乘积有关。所以第二个公式我们就出来了， 扇形的面积应该等于二分之一，弧长乘上半径。接着我们来看第三个扇形和整圆的面积是比啊，那么这里我们刚才已经提到了，扇形应该等于三百六十分之 n 的 整圆的面积 就应该等于 n 比上三百六。那我举一个例子啊，比如说他会这样子说啊，说七十二度圆心角的扇形 占整圆面积的几分之几，那么它其实就是七十二比上三百六十，答案就应该是三百六十分之七十二，整理一下就是五分之一啊。就跟之前一样一些特殊的圆心角，大家建议去背背啊，包括哪些呢？四十五度啊， 九十度啊，一百八十度啊，七十二度这些。那么我们可以去记，四十五度所对的扇形应该占整圆的面积的八分之一，这个占四分之一，这个占二分之一， 这个占五分之一。接着第四条又来考两个扇形之间的面积之比，如果我有两个扇形，我们写叫 s 扇一和 s 扇二，它们的面积之比应该等于什么呢？我们可以直接把公式摆一摆，叫做三百六十分之派乘以 n 乘以二方， 那么可以写成 n 一 二一三百六十五十拍乘上 n 二乘上二二的平方。好，那么我们可以知道这两个是常数，所以扇形的面积之比就应该是圆心角乘上半径的平方之比，我们把它重新写一下， 那么这个题型呢，也经常会考到啊，比如有一个扇形，如果我的圆心角乘上一个三，我的半径除以一个二，请问我的扇形会变成原来几分之几分，那么原来这就是一和一了，那么圆形角变成原来的三倍，成了个三， 这个半径变成原来的一半，那么就是二分之一，这样子的话，我就可以得到我原来的面积是一份，现在的面积就应该是 四分之三，比上一，也就是三比四。接着我们来看一个在圆和扇形这一节里面逃不过的一个应用题的话题啊，叫做时针扫过的面值， 那么他往往会考时针和分针在多少时间内转动过，扫过的这个面积是多少啊？那么这里我们就必须要掌握两个点， 就是时针的转速。我们知道这个时针啊，一小时是转动三十度的，一大格是三十度， 一分钟就应该是三十，除以六十就是二分之一度每分钟。而分针呢，一小时转动一整圈，也就是三百六十度，所以它每分钟应该是三百六十，除以六十就是六度每分钟。好，各位同学，这两个小的概念 呃，希望大家去记一记，如果你背不出来，你也要去知道他怎么去推导的，需要快速在考场上得以反应。那么我们来做一道小练习吧，比如说在黑板上，他说有一个时针啊，有一个分针吧，他从十二的位置走到了二的位置，过去了十分钟。 假设我告诉你我的分针的长度啊，叫做 r， 我 们要去求这一段的面积， 那么我们很简单可以看到这里的圆心角应该是两个钟，我们知道从十二点到一点，这一大格应该是三十度，所以两个钟应该是六十度， 那么我们就可以得到它的面积了，应该等于三百六十分之 n 乘上 pi r， 那 么具体的 r 等于多少呢？得根据题目的意思来告诉你，其实这个六十度也就是六分之一个圆的面积。最后我们来讲 扇形这一块里面最核心的一个考点就是求一些特别复杂的组合图形的面积啊。那么如果各位同学有兴趣，后续周老师也会去分享一些比较常见的组合图形的题型啊。今天我们就来讲几个比较常见的是弓形和针叶形啊。像这个题型啊， 其实原则上归结为一句话，就是我们前面讲的叫歌，也就是我们小学里面经常出现的这个词汇啊。假设我这个四分之一元，它的半径是一， 那么阴影部分的面积应该是多少呢？就应该是这个正方形的面积，一乘一减去一个四分之一元，四分之一的 i 乘上一的平方， 就是这样。最后答案应该等于一减去四分之派。好，我们还是去假设这个图形的半径是一，那么我们可以看到这个三角形是一个等腰直角三角形， 所以这是一个四分之一元，减去一个等腰直角三角形就应该等于四分之一，乘以 pi 乘上一的平方啊，减去二分之一乘一，最后答案应该等于四分之派，减去二分之一。 好，最后他又是一个像针叶，像叶子一样的一个四叶草一样的形状，那么这个题型他就有点小复杂了， 那么如果他考的是问这个四叶草的面积，我给他附一个纸吧。假设正方形的边长为二，就老是偷懒一点，因为这样子的话，圆的半径就是一了。请问我现在这个阴影部分的面积是多少？ 我们其实最最简单的逻辑也是，你要首先去求出总的面积，再去减去我空白的四块就可以了。好，我们空白的每一块的面积显然是一样的，而这每一块的面积我把它再分割一下， 那么就是一个这样子的图形，这个图形不就是我们第一个图的面积吗？ 所以第一个图的面积我们只要求一求，如果你没有第一个图呢？你就可以把它看成一个小正方形，减去一个四分之一元就是这块，而这块乘上一个八就是我要的这个面积。 所以最后我们写一下它的算式，整个正方形的面积应该是二乘二，等于四，减去八个这样子的小方形的面积啊，这个小方形的面积就应该是 根据我们刚刚写的，应该是一减去四分之派。好，最后答案就应该是二派减四。 ok， 那 么以上就是针对圆和扇形的面积的一些基础知识点的分享 啊，希望能够帮助到各位同学在学习新知识前做一个好好的预习。那我们今天的分享就到这里啊，我们下期再见，拜拜！

现在大家已经学到了第三单元，关于圆柱体和圆锥这一块，很多孩子对这一块不是很理解，那么今天王老师就用实物来给大家做演示，圆柱体它是由三个面组成的， 分别是由上下两个完全相同的，底面是圆，侧面是一个弯曲的面。我呢现在把这个圆柱体沿高给它剪开，展开之后大家来观察它就是一个长方形，当然还可能是正方形。通过观察我们发现 长方形的这个长刚好是圆柱体底面圆的周长，长方形的宽刚好是圆柱体的高。那么这样我们求圆柱体的侧面积公式立马就出来了，就等于底面圆的周长 乘高，所以 s 侧就等于 c h 啊，等于派 d h 等于二派二 h， 这是关于它的侧面积啊，包括他们的表面积。 那么接下来王老师啊来演示我们如何把这个圆柱体给它转化成长方形，通过长方形的体积进而推到圆柱的体积，那么现在大家看到的是圆柱。接下来王老师来给大家做演示， 大家来观察，刚才是一个圆柱体，现在我把这个圆柱体转化成了我们以前学过的长方体，转化前后，圆柱体的底面积就变成了长方形的底面积，圆柱体的高就变成了长方形的高， 所以根据体积不变，那么我们得到了圆柱体的体积也等于底面积乘高。大家发现啊，通过演示，你说一万遍，不如让孩子演示这一遍，效果可能将记一辈子。

上海六年级数学，利用几分钟学会一张知识点，开学直接冲进班级前三！大家好，今天带大家一起来预习我们六下第六张圆与扇形的综合部分。首先我们先来认识几种特殊的图形，也就是我们表格中出现的公形、飞镖形和树叶形。 它们这几种图形虽然是特殊图形，但是它是可以直接利用面积公式来求出它们的面积的，也就是说我们可以把这些特殊图形转化成规则的图形。 首先第一个弓形其实就是什么？就是这四分之一圆所占的一个扇形，减掉三角形的面积。飞镖型就是正方形减掉四分之一圆所对应的这个扇形面积。树叶形其实有很多种球法，首先它是两倍的一个弓形，也就是说我们可以把它这个左上角还有右下角给它连在一起， 相当于把我们的树叶形分割成两个公形。同样的它也可以写成两个扇形，减掉一个正方形的面积。也就是说它相当于是左下角这样的一个扇形，叠加上右上角这样的一个扇形， 减掉它们中间的一个正方形的一个面积，也就是它是其中的一个重叠部分面积。所以我们遇到了公形、飞镖形和树叶形都是可以直接利用公式来进行计算。第二块知识其实就是这种阴影图形求面积的基本思路， 主要的方法有两种，分别是割补法和容斥法。割补法其实就是对图形进行分割或者把它补形。像刚刚我们说的这个树叶形，它其实就是可以把它分割成两公形，把它变成对应的一个比较规则的图形面积再进行计算。 而第二种容斥法，其实刚刚我们也强调过，我们树叶形计算的第二种方法，相当于是我们先把所有对象的面积给他算出来，再把重复计算的面积排斥出去，这样子我们计算的结果就不会有遗漏，也不会有重复。所以相当于是 两个四分之一圆对应的这个扇形，剪掉树叶形，那就剩下了一个正方形面积，无非就是把正方形还有树叶形的面积给它换一下，所以我们阴影部分主要是这两个方法。当然我们下面有个例子，它出现了第三种方法， 其实也是这里的第一种方法，我们直接进行计算，因为我们一旦能算出左下角还有右上角的空白部分的面积，那我们直接用正方形面积减掉面积和就可以了，所以其实也就是相当于是利用正方形的面积减掉两个飞镖型的面积，这是直接计算的方法。 那第二种方法就是刚刚说的一个割法，把它分割成两个小公形。第三种方法就是我们刚刚说的容翅的思想，把它想象成两个扇形，减到正方形的面积。所以一般来说我们遇到了阴影图形面积计算，我们一般都是割补法或者容翅法这样的一个思路。

下面我们学一个新知识，就是关于圆环的一个面积。首先我们要知道什么是圆环？ 圆环其实是指两个大小不同，但是是同心圆之间的这个部分，就说有两个圆，他们两个圆心是相同的，只不过是这两个圆的半径不同，那么这两个圆之间的这个部分，就这个部分 就称之为圆环。因此一个圆环需要满足一个条件，就是必须得是一个同心圆，也就是他们的圆心必须相同， 这就是一个圆环。比如这个这个红色的圆和黑色的圆之间的这个蓝色部分就是一个圆环，而这个圆环所在的区域的大小就叫做圆环的面积了。 那么圆环的面积如何来求呢？好不好求呢？当然好求了，那么我们知道，那么我们来看这一个圆环，这个圆环是一个同心圆，并且这个大圆的半径是大，小圆的半径是小。如果我们求出这个 大圆的面积的话，是不是把整个面积都求出来了，然后再减去这一个小圆的面积， 那么他是不是就是这个圆环的面积了，对不对？是不是因为大圆那个整个区是这么大，而小圆的整个区是这么大，那么这个区大区减去这中间这个部分，是不是就剩这个圆环的部分了？ 因此我们知道了一个圆环外圆的半径和内圆的半径了之后，我们就可以求出这个圆环的面积，就等于一个派大 r 的 平方减去派小 r 的 平方就是外面这个圆的面积，而派小 r 的 平方是里面这个圆的面积，那么它两个相减，就得到了这个圆环的面积了，对不对？ 其中 r 为半外圆半径，小 r 为内圆半径，因此圆环的面积就是这样利用这样一个公式来求的。

同学们请注意我们的圆柱体表面积公式，需要火速升级，否则考试中遇到这种题你就麻烦大了。好，我们来看这个圆柱哎，底圆半径是三点二五，高呢是六点七五， 这两个数怎么那么怪啊，求这个圆柱体的表面积派取三点一四，我们来试试。圆柱体的表面积呢，分成三部分，上边的圆，下边的圆，还有这一圈侧面积。 侧面积呢，是个曲面哎，我们要化曲为直，把它展开，变成一个大大的长方形。这个长方形的长和宽呢，分别是圆柱体的高以及 底圆的周长。好，总结一下圆柱体的表面的公式，两个圆二倍的 pi r 方，再加上侧面积好，周长乘上高，底圆周长二 pi r， 再乘上高 h。 ok， 我 们就用这个原汁原味的公式先来算算看啊， 半径三点二五来代入二乘三点一四啊，乘上三点二五的平方，这个东西看着就头疼， 来继续二乘啊，三点一四乘三点二五乘六点七五。天呐，这个破算式，谁爱算谁算吧，哈哈，太复杂了， 哎，那这道题我们怎么简化一下呢？这就是刚才我说的圆柱体表面的公式，我们要升升级，怎么升级呢？同学们，大家请看这个公式两部分当中都有什么？哎，都有二 i r， 那 这样，我们来一个提取公因数，好把这个二 pi r 提出来，剩下什么呀？哎，前面剩一个 r， 后边剩一个 h， 加起来，大家请看这个式子把 r 和 h 加起来，就多了一个凑整的机会了，那解决这道题是不就非常轻松了？孩子们 好，来，二 pi r， 二乘三点一四乘三点二五再乘上，哈哈， r 加 h 等于十。嗯，这样的确可以大大的简化我们的计算过程了。我们可以呢，先把二三点二五和十乘在一起，等于六十五，最后一步去算这个六十五 乘三点一四。你可以选择列个数式，也可以选择拆开算。六十五个 pi 不 就是六十个三点一四，再加上五 个三点一四吗？哎，相信屏幕前的同学们，这两个算式你都背过吧？六派是十八点八四，那六十乘三点一四就是一百八十八点 四。好，五乘三点一四。嗯，十五点七。好，二者相加。答案出来了，二零四点一。哎，比这个算式还是要简单不少吧，学会了吗？我是大猫，在北京教数学。关注大猫水平越来越高，记得点赞关注哦！

上海六年级数学利用几分钟时间吃透一张题目，开学直接冲进班级前三！今天和大家一起来看的例题是圆与扇形第二块面积部分的一些例题。首先第一个模块就是圆的面积，那大家来看到我们这个例题一和例题二，它都是非常经典的什么， 直接根据我们圆的面积公式进行计算就好了。所以我们再回忆一下圆的面积公式， s 可以 写成 pi r 的 平方，不要忘了平方啊，非常非常重要，如果给的是直径，你可以直接用四分之一 pi d 的 平方，对吧？这就是我们圆的一个面积公式，例题一和例题二都可以直接用它，不过例题二稍微的就是转化了一下两个圆面积之合，直到 半径之比。知道其实，呃，我们可以直接用什么呀？就是把小圆和大圆的一个面积之比也给他表示出来，你想啊，半径之比是一比二，那我小圆的面积和大圆的面积之比是不是就应该是一比二，对应的平方就应该是一比四了？ 那它面积之和是二十平方厘米，那我们对应的大圆和小圆各占了多少平方厘米，是不就出来了，对吧？所以例题二的一个巧妙的思路啊，是利用我们的半径比对应的一个面积之比。 那例题三呢，相当于是把它放在一个具体的图形中，包括我们的例题四，包括我们的例题五，其实就是根据题目中的一些图形，还有题目中的信息，直接利用我们的一个面积公式，其实都可以用它解题。 然后像例题六这种，就是把圆的面积的这种公式，把它带入到我们具体的现实生活中的场景中，对吧？也是非常非常容易出的一种题型啊，就是运动场，问他啊，长度是多少，我们就可以用什么呀？弧长公式，面积是多少，我们就可以用面积公式。然后第三问求优惠的价格，我们就是把它这两个销售点对应的一个每 对应的一个价格给他都算出来，然后比较一下到底是假优惠还是已优惠，对吧？所以例题六也是非常常见的实际应用题。那第二个模块呢，是关于扇形面积的一个这个应用的一个模块，呃，那同样的我们这里的一个例题也是直接根据我们来一起复习一下啊。首先我们有一个什么呀？ s 扇形的面积， 他其实就是看三百六十度里面你的圆形角占了多少度，那我对应的一个面积呢，也是占我整个圆面积的多少，对吧？所以我们对应的这样的一个例题呢，也是可以直接用我们扇形的面积公式去进行计算，像我们的例题七 就直接计算就好了，对吧？例题八呢，就是有一些比例呀，对吧？笔直的问题，那我们对应的我们学过了对应比例之后，也可以直接利用它来做。然后例题九也是非常有意思的一个现实生活中的应用啊，就是经典的羊吃草，如果学过小奥的同学应该对这种题型非常的熟悉，包括我们的例题十也是，呃， 大家可以看到我的一二三四这几块其实是不规则的图形，那他怎么来算我们这样的一个面积之差呢？其实我们可以不着急去真正动手计算，我们可以把 s， 三和 s 对 应的一个就是表示给他，表示出来我们会发现你看二加上三， 他的一个面积是一个非常规则的，我能给他算出来的一个四分之一元的面积，然后呢，二加上四 可以利用什么？二加上四，其实就橙色这一块，相当于就是正方形的面积，减掉四分之一元的面积，那我们再把整个的上面减到整个的下面，相当于把二和二约掉嘛？那就三和四不规则，我们把它换算到对应的规则的图形里面去，对吧？所以我可以把整个上面算出来，整个下面算出来，然后直接 用上面减下面，那对应的也是三减四的一个面积，对吧？所以啊，我们例题九和例题十还是比较灵活的，大家也可以拿到这份资料，自己再去做一做关于面积部分的例题。

六下数学最难的六大必考公式全部吃透！逆袭班级前三六年级下册数学必备公式汇总一、几何图形的周长面积计算公式长方形的周长长方形的面积直径半径圆的周长二、分数加减法则三、单位换算 四、数量关系计算公式五、算数方面六、特殊问题和差问题和倍问题差倍问题，值数问题以上应用题法。

六下数学最难的圆柱与圆锥全部背熟，逆袭班级前三六下数学重点，圆柱与圆锥公式汇总知识点，一、圆柱的认识二、圆锥的认识三、圆柱的表面积四、圆柱圆锥的体积计算公式一、圆柱的表面积问题圆柱的表面积圆柱的侧面积圆柱的底面积二、圆锥的体积问题 公式应用拓展，一、与圆柱表面积有关的公式二、与圆柱体积有关的公式三、与圆锥体积有关的公式四、圆柱圆锥转化问题以上均用电子板。

同学们，今天我们复习圆柱和圆锥的表面积与体积，记住公式，圆柱表面积是二 pi 二平方加二 pi r h， 体积是 pi r 平方 h， 圆锥体积是三分之一 pi r 平方 h。 看这些典型例题，注意组合图形要分布计算，先分解再代入公式，解析更清晰。