数学思维训练技巧

这个题无论哪个版本必考，看题分，苹果每人八个则多七个，每人十个则少五个，共有几人？这是一个经典的盈亏问题， 我今天给大家一个口诀，以后遇到同类的问题就可以轻松解决了。口诀是 多多少少，先相加除以分配来求差。每人分八个的时候多了七个，每人分十个的时候少了五个。多多少少先相加 除也分配，一次分十一次分八除也分配来求差。这样就得到了六人。那为什么是这样？ 我们画图来分析，第一次每人分八个，这样就多了七个，每人分十个就少了五个。我们来看一下， 第一次分的是八个，第二次分的是十个，我们可以想成是在第一次的基础上再进行第二次分配。 那哪来的数来进行第二次分配呢？这里不是多了七个吗？那多的这七个来进行第二次分配够吗？不够，少了五个，那就去借五个，借五个和这七个合在一起是十二个来进行第二次分配。 第二次分配每人再分两个，所以十二里面有六个二，所以是六个人在分苹果，懂了吧？ 点个小红心收藏起来多看几遍，不然这么好的方法想用时找不到了，想学更多更好的方法？关注我，每天一个题，孩子越学越轻松！

一起来看这道题， a、 b、 c、 d、 e、 f 乘上 f， 最后的结果是九九九九九。那 a、 b、 c、 d、 e、 f 分 别等于多少呢？首先数是迷首尾突破法，可以先看头， a 乘上 f 等于的是九，那它的结果呀，太多了，不可以唯一确定。那我们呢，就先看尾巴， 尾巴是 f 乘上 f 等于九。两个相同的数，相乘等于九，可以是三乘上三等于九，也可以是七乘上七等于九。那如果 f 和 f 都是三，后面的 a、 b、 c、 d、 e 也是三，这样可以吗？ 肯定不行，因为它们是不同的字母，代表着不同的数，所以啊，就只能是七七七四十九。那谁乘上七个位是五，再加上四是九呢？ 只有一种可能是五五七三十五，再加上四等于的是三十九，谁乘上七个位是六，再加上三等于是九呢？只有八七八五十六加上三是五十九。谁乘上七个位是四，再加上五是九呢？只有 二二七一十四加上一是九呢？是四四七二十八加一二十九。 最后的 a 只有一种可能了，一七得七，加上二等于九。那最后呀，这个算式就是一四二八五七乘上一个七等于的是九九九九九。 听懂了吗？如果你学会了，可以给老师点一个小爱心，顺便关注一下，以后找到老师学习啊，也很方便，记得关注再走哦！

几天不知道为什么啊，就是总是会刷到一些顶着名校的名头的老师啊，也不知道是真是假，反正这个年头老师的这个称谓跟这个叔叔阿姨一样普通了。 在那个直播间里面讲速算的技巧啊，那这个黑板上写的都是那种大数的计算啊，什么四位数乘一位数，三位数乘三位数那种很大的数，然后老师呢，就会用大大的字 在这个黑板的旁边啊，一边讲那个计算的步骤，一边写上这个速算的方法啊，什么啊，第一步头乘头啊，第二步再相加，然后你啊就算出来了啊，一会就什么尾乘尾， 哎，怎么着尾乘尾再再加什么什么我都没记住啊，还有什么减半添零就好多的这个口诀和方法， 然后那个评论区里好多人跟着算啊，那我一去看，我一看确实把我给吸引住了啊，我就仔细去看，评论期里面大家都好积极跟着去算，然后老师问算的快不快啊，大家说算的很快，然后评论区里还有说那个 你说老师这个方法教的真是好，算的就是非常快啊，我要教给那个孩子，让孩子来听啊，太有用了之类之类的。不知道这个里边有多少三到十岁的啊，小年龄段的 孩子的父母啊，家长肯定有啊，因为我就遇见过，因为我做的课程基本上就是集中到三到十岁这个年龄段的吗？啊， 我对这个这个阶段的父母呢啊，会比较的了解，就这个阶段的父母其实是很容易受到这个焦虑的影响啊，比较的影响啊，或者是会很容易去追求过高过快的一些所谓的方法和和目标的，遇到过一些孩子，嗯， 计算的很快，错的也很多，而且自己改不过来啊，你要问他说你哪哪一步算错了呀？他说我也不知道啊，我明明我每一步我都按照步骤去做了。家长的反馈呢，家长就觉得孩子粗心， 明明方法呢，他也知道，他也会算，但是呢，他就是总是出错，觉得这个孩子就是不细致啊，他就是这个这个方面的习惯没有建立好了。还有一部分家长呢，其实是很很明白自己的孩子目前所面临的问题到底是什么啊，就是他 其实只是学到了这些所谓的计算步骤，但是每一步他为什么这么算？其实他不理解，他也不知道为什么，但是知道归知道，其实父母也不太明确说。那，那既然面临这个问题了，那怎么样能够让孩子基于理解去学习这些东西啊？所以家长只能是 呃，靠这个一遍一遍的给孩子讲说为什么要这么算啊，每一步的这个计算的呃，这个技巧的原因是什么？但是呢，你就会发现你讲完这些东西，其实孩子还是 一知半解的样子。我在做小年龄段的家长引导课程的时候呢，我一直在思考一个问题，就是我现在做出来的这个课程的每一步每一步的思维启蒙啊，他是不是这个逻辑上衔接上了？ 衔接的这个逻辑是不是可以和孩子的逻辑是对等的？比如啊，如果我设定一个任务，这个任务是让孩子七块七块的去增加，就七块积木，七块积木的往上增加，然后一直增加到一百四十块 啊的时候，让孩子去找这个，你怎么样去增加是最简变的这个过程当中之算起来最轻松的。如果我设定这样这样的一个任务，那么我就要去思考孩子去研究和完成这个任务之前，他都需要 有什么样的基础。首先他得能理解数量的发展规律，那一块一块的往上增加的这个顺序，以及他们增加的这个规律，而不只是会按照这个顺序啊去去数数，去唱数，就像唱歌一样数数吗？是不理解这个里面的规律。 次呢，这个孩子还要具备一个能力呢，就是他在去面对这些积木数量的时候，得能够理解我去统计这些积木数量，那么这些积木的模型以一个什么样的状态啊？去呈现的时候，我是最容易去统计的，他要对这个，呃，这个叫什么呢？我们说的关键数字啊，他得有概念， 对，我们说的关键数字是有概念的啊，你比如说这些积木都乱七八糟的时候，我是不好统计的啊，这些积木都是一块一块呈现的时候呢，或许数量少的时候是比较容易统计的。当这些积木是比如说这个九块九块呈现的时候，八块八块呈现的时候，或者十块十块呈现，十一块十一块的呈现的时候， 它怎么样的呈现，你是最容易去统计他们。然后呢我还要再去想说，当孩子面对这些积木模型的时候，我能够有序的去思考和处理这些模型， 这些都是我们要去思考和关注孩子再去研究这个七块七块的增加，一共增加到一百四十，这个过程当中去找解面方法，他是不是所具备前面的这一些 能力啊，就是他的这个逻辑啊，是不是可以连续他的这个能力啊，一层一层的是不是可以衔接上。而我们刚才讲的这其中的每一步，他可能放在不同的 啊思维状态的孩子身上，依然有可能会出现在不同的环节里面出现卡住孩子的点。所以啊，思维启蒙这件事情一定不能吃快餐，就大家如果看到说很花里胡哨的方法，对吧，很很很速成的这个方法，就一定要有警惕心，因为我们不能用这些 看起来很很炫酷的方式去习得的这些技能啊，赚取到的这种虚荣心，而忽略掉孩子在启蒙的阶段，去感受一步一步一步一步清晰的这个步骤的思考机会。思维的启蒙阶段啊，或者是这个不管是是启蒙阶段还是培养阶段， 一定不能跳步骤，能跳逻辑，步一步的和孩子逻辑对等的啊，就是一步一个脚印，扎扎实实的，当这些基于理解的逻辑都建立起来之后，孩子后面才能快起来。当然在这些孩子里面呢，肯定也有啊，就是这种数学思维比较 直觉比较好的孩子啊，他们的反应会更快，对于他们理解范围之内的这个问题呢，哎，他们都能够很快的去解决掉，很快的想明白，但是一旦超出一点点他的理解范围， 这些孩子就会慢下来了。那通常我们再去带这一类的孩子的时候会怎么办呢？就我们会让孩子从头哎，再倒回去，把他前面快快的解决的问题，每一步的思路啊，每一步，为什么这样去思考，一环扣一环，让他描述出来，讲出来，然后呢？把这个里面他跳过去逻辑的地方单独再揪出来， 揪出来让孩子想明白了，讲明白了，再继续向下进行。那么经过这样的一个过程之后，孩子后面再遇到超出他的理解能力范围之外的问题，他们的思考就会变得有序很多。最后我们回归到今天的主题啊，就是思维的启蒙，一定 不能贪快，就是思维的启蒙一定要一步一个脚印的走，不管对于大人还是小孩子来说，最快速的方法就是保持频繁的而且深度的思考。

网传葛俊老师出题难，出题特别的变态，不是这样的，他出的题呢，不能说是难，而是活，因为他出题有个特点，他基本上不会给你出超纲的知识，他局限的是课本的知识，但是呢，他又不是那种你靠刷题你就能掌握怎么做的题目。我举一个例子，我们线下见面，他现场出的一个题目 是这样的，已知 x y 都是正数，求这样一个分式的最大值。咱们很多孩子一上来就想到能不能均值不等式，用柯基不等式，但是简单尝试之后会发现这两种方法都失效了，为什么呀？因为它的分子跟分母 不是其次的，而且说分子这里的系数一个是一，一个是二，它是不对称的，所以很多方法就失效了。那么汤少老师今天要给大家讲的方法叫做比较特殊的三角换元。 咱们同学肯定都知道，因为 cos 方 c， 它加上 cos 方 c， 它等于一，所以假如说出现这样的条件， x 方加 y 方等于一，就直接令 x 等于 cos 它， y 等于 cos 它就行了。但是 它题干中没有任何的两个数的平方和等于一，或者等于定值的条件，我们该怎么样思考三角还原呢？其实很简单，我们设 x 等于 r 倍的 cos 它， y 倍的 cos 它，这样的话我就得到了 x 平方加上 y 的 平方等于 r 方， 虽然它不是个定值，但是的话，我们因为这里出现了 x 平方加外方跟分子跟分母恰好吻合，所以我们可以直接往里头带原式就等于 r 方 加一分之 r 倍的 cosine theta， 加二倍的 cosine theta。 那 这样的话有什么好处呢？我们接着往下看，我们提一个分子，提一个 r 出来，变成了 r 倍的 cosine theta。 这个时候大家会发现， 我们通过一步散减还原，成功的把两个变量 r 跟 c 进行了分离。原本 x y 是 纠缠在一起的不独立的变量，所以它们的处理会非常的复杂，但是现在的散减还原，你通过简单的这样还原的技巧，我们就把两个变量分成了两个不相关的乘积式， 只需要分别求这两个式子的最大值就好了。那么这个问题其实大家都会的。第一个式子，我们把 r 给除下来，变成一比上 r 加二分之一，因为你的 r 肯定是正数， 为啥呀？因为 x y 都是大于零的，所以说这个式子它的最大值就是二分之一，因为它的分母可以用下均值不等式大于等于二倍根号加而乘二分之一嘛。所以说分母呢，最小值是二，整体的最大值就是二分之一了，它最大值二分之一，那它呢？是不是也一样呢？我们可以用 五角公式，它等于根号五倍的上 e， c， 它加 f。 我 这里不关心 f 具体的取值是多少，我只要知道这个式子它的最大值是根号五，是可以取到的，那么我们就写最终的结果，等于二分之一乘以根号五，它的最大值就是二分之根号五。所以这类问题的话，我们都可以采用类似于 传统的三角换元的方式进行求解。但是如果说题干中没有一个固定的 x 方加 y 方等于某个值，我们就要考虑设 x 等于 r 倍的 cosine 它 y 等于 r 倍 cosine 它我们不必把这个值给确定下来，而是让这个变量自由地动， 从而解决原本的问题。所以说你只要搞懂了这道题目，那么类似于这种分式不齐四的求最值问题你就都能掌握了。这其实就是葛军老师出题的一个活，他其实需要你真正能看透这道题他考的是什么，而不是说局限于你平常做题用到那些套路，用到那些公式。

这道题如果你会做，那你一定就是班级里的学霸，我们一起来看。四十九乘以四十六，加上四十二乘以六十三，很多孩子无从下手，直接硬算，但是硬算可不给分，他要求我们要减算。那这道题你看有乘法，有加法， 当我们遇到了加乘混合运算或者减乘混合运算的时候，真正的考点是什么？是不就是乘法分配律的逆运算，也就是说提取共因数啊？那很显然，咱们这道题是不可以构造共因数， 那如何去构造呢？一定要通过拆分，那如何去拆呀？根据我们所学过的知识点，乘法口诀是不就能拆？你会发现四十九、四十二、六十三都可以根据乘法口诀表来拆分，那所以我们先来拆分一下，把四十九拆分成为七乘以七。四十六没有办法拆分，咱们先不动， 再来加上四十二，可以拆分成为六乘以七，那么六十三呢？我们可以拆分成为七乘以九， 是不是？那你会发现前面这有一个七乘以七，后面这呢也有个七乘以七。哎，那你看后边这里，他们两个我能不能结合一下呢？ 就可以，因为咱们的乘法有交换率以及结合率，所以我把它俩可以直接运算，是不是？所以，那你看前面这，我是不是就得到了七七四十九，再来乘以个四十六，我们再来加上后边这把两个七相乘，也等于四十九，那么这再乘以多少？是不是六跟九也得结合到一起， 它等于的是五十四，那你会发现前面这有一个四十九，后面这也有个四十九。怎么样构造共因数构造成功，所以我们直接把它可以直接提取出来，那么现在就变成了四十九 乘以四十六，再加上一个五十四，四十六加五十四，你看减数的本质是凑整，那么这是刚好等于一百，所以我们得到了它就等于四十九乘以一百， 所以答案轻松搞定。四千九百，你学会了吗？关注高老师，带你学习更多更好的解析思路！

跟着文老师学速算，今天我们来学习穿衣戴帽法，来看七十二加七十三加六十六加七十五加六十七加六十九等于多少？ 两位数的速算，如果说我们要是一个一个去加，未免有点太麻烦了。那像这道题呢，我们首先先来找一下跟这几个数字比较临近的数，哎，最好呢还是整数，是谁呢？哎，跟这几个数字比较临近的整数，我们应该选谁？选谁呀？同学们，是不是七十呀？ 好，那我把他们的下面呢都给他，哎，变成七十相当于什么呀？我给他们穿了一个七十的衣服， 那我们再来看，如果说要是这个数字比七十大，那我们就加，如果说要是比七十小的话，那我们就减，相当于什么呀？我们在他的上面给他去带一个帽子。七十二比七十大，那我就加二。 好，七十三也比七十大，那我加三，六十六比七十小，我来减四，七十五比七十大加五，六十七比七十小减三，六十九比七十小来减一。 好，那我们再把这下面所有的七十给它加到一起，总共是多少呀？六个七十相加六七四十二，也就是四百二十。 好，那我们再来看一下上面，上面加三减三抵消掉了，呃，减四减一和这个加五也抵消掉了，所以上面就剩一个加二， 看到没有？好，那我们把四百二十再加上二，就等于四百二十二。这道题轻松搞定了，你学会了吗？学会的同学帮老师戳一个小红心。

一个书包姐姐买差二十二元，妹妹买差三十六元，两个人带的钱一共是九十四元，问这个书包的价格是多少元？很多同学拿到这个题，完全不知道从哪里入手，那今天大龙老师教你一招，数形结合，我们轻松秒杀，我们可以用两条线段呢，表示姐姐和妹妹他们分别带的钱啊， 是姐姐的钱，这是妹妹的钱，然后他们的钱加起来一共是九十四元，姐姐买差二十二元，我们给姐姐把这二十二元给补上，那姐姐是不是就能买一个书包了？ 妹妹买差三十六元，那我们可以给妹妹呢，给他补上三十六元，妹妹也就可以买一个书包了。 那通过图上来看呢，我们就能算出来两个书包的价钱，九十四加上二十二，加上三十六，一百五十二元，两个书包是一百五十二，那么一个书包 直接除以二就可以了，一百五十二除以二，结果就是七十六元。这道题竖形结合的方法你学会了吗？

这道题有没有可能三秒钟直接出结果呢？今天我告诉大家一个口诀，轻松搞定。口诀就是多多少少先相加除以分配来求差。多多少少，这多九个， 这少一个，这就是多多少少先相加除以分配来求差。分配怎么分配的呢？ 这每人分七个，这每人分五个分配来求差，七减五就是他们的差， 那十除以二等于五，也就是这家有五人。这道题你学会了吗？

我教你几句数学顺口溜，不用死记硬背，也不用熬夜刷题，孩子数学轻松猛涨三十分！我辅导的孩子几乎都是这样的，八岁就已经掌握了一到六年级的数学解题技巧， 全网已经帮助了十几万孩子成功逆袭。孩子学会之后不到一个月，数学成绩就有了明显的提升。所以啊，今天我把这个方法再给大家分享一次，刷到的家长一定点个小红心， 把这个视频保存起来，不然到了最后你就找不到了，那就太可惜了。其实小学数学根本不需要大量刷题，也不需要花钱补课，只需要学会画图法就足够了。比如说 二十九人会唱歌，二十四人会跳舞，十五人，两种都会问一共有多少人，很多同学就把这三个数加起来错了， 其实画两个圆圈就解决了，左边的圆圈表示会唱歌的二十九人，右边的圆圈表示会跳舞的二十四人。重叠部分就是两种都会的十五人， 二十九减十五就是只会唱歌的十四人，二十四减十五就是只会跳舞的九人。十四加十五加九，一共有三十八人。你看，以前半小时才能算出的容错问题，现在直接秒杀 你。再比如说成见必考的基础，同龄问题、年龄问题、营亏问题、喝茶问题等等，虽然他们不是同一个类型，但是只要学会画图都能轻松解决。 小学一到六年级也就二十四种画图法，都给大家整理好了，左下角分享给你。

我们来看题，一个三角形加一个方框等于十九，一个方框加一个圆，加一个三角形等于二十七，一个圆加二等于一个三角形，求三角形、方框圆分别代表数字几。 这道题看上去很复杂，但是呢，只要掌握方法就轻松搞定。我们来看三角形加方框等于十九，我们可以把它转化为一个横的等式，三角形加方框等于十九。 同样的道理，方框加圆加三角形等于二十七，方框加圆加三角形等于二十七，那么一个圆加二等于一个三角形，一个圆加二等于一个三角形，我们把它 标上，等式一，等式二，等式三，一个复杂的数字谜就变行为三道横的等式，这一步是这道题解题的关键一步，我们接下来来观察。 等式一含有三角形和方框，那么等式二正好也含有一个方框和三角形，我们把它什么 把等式一带入到等式二当中来。一个方框加一个三角形等于十九，那么等式二就变形，为什么左边变形为一个圆加十九不就是等于二十七吗？那圆等于多少？圆不就是等于八吗？ 圆求出来等于八，这道题就变得非常的简单了，八加二等于十，三角形代表十，三角形代表十，圆代表八，这里也是八。那么三角形代表十， 方框就不就是代表九吗？方框代表九，三角形代表十。我们来验证一下， 十加九等于十九，九加八，十七加十等于二十七，八加二正好等于十，显然这道数字谜是成立的。这道题你学会了吗？关注老师，跟着老师学技巧，练思维，掌握方法，做题很简单。

四下数学租船租车问题，大船县城七人，租金三十五元，所以大船人均话费五元。小船县城五人，租金三十元，所以小船人均话费六元。五小于六 说明大船更划算，所以要优先租用大船。列日表格找出最省钱方案。方案一，全部租用大船，一共四十五人，大船现成七人，四十五除以七等于六余三， 余下三人还要再租一条大船，就要租七条大船，一共可乘四十九人，空余四个座位，租金需要两百四十五元，有四个空位还需要优化方案。方案二，就租六条大船，一条小船一共可乘四十七人， 空余两个座位，租金需要两百四十元，还有两个空位就继续优化。方案三，就租五条大船，两条小船一共可乘四十五人，空余零个座位， 租金需要两百三十五元，没有空座位就不需要再优化了。对比每个方案的租金，方案三，最省钱就是租五条大船和两条小船。顺口溜记忆， 一、算单价谁最低？二，租低价尽量齐三条空位省浪费。四、比总价定最优。

一排花生三粒三粒数多两粒，四粒四粒数多三粒，问你至少有多少粒？那这样的数花生问题啊，我们来看要怎么去做呢？那这个题目当中条件非常特殊，叫三粒三粒的数多两粒啊，就是如果我们把它三粒放一堆，三粒放一堆，三粒放一堆，哎，旁边还剩下两粒， 这两粒呢，他没办法三个三个凑一组，所以啊，我们可以可以把它理解成什么呢啊，我们这个花生的总数去除以三，结果呢？啊，我们这个花生的总数之后还余下二， 所以呢，我们可以另一个算式来表示一下，比如这是花生的总数除以三，然后得到的。是啊，一个商商是谁呢？不知道，我们就用一个三角来表示，那么恰好啊，他这里的余数是几啊？余数是二。 好，同理，再来看一下第二种方法，如果我不是三粒三粒的数，我是四粒四粒的数啊，那就是这堆是四粒，这堆是四粒，这堆是四粒。好，结果发现旁边还多下来三粒，好一样的说明呢，我这个 花生的总数啊，还是这个框框，我去除以四，哎，一样的会得到一个商，这个商当然跟上面这个商不一样啊，然后呢，你会发现，哎，他最后余下几啊？余下三。好，我们来分析一下这个题啊。哎呦，这个题目呢，我们可以找到的是什么关系呢？你看啊，这里的花生，对吧？上下的这个花生总数，它是一样的，上下没有发生改变， 除此之外，别的是不是都不一样啊？好，那我们来看一下特别的来关注一下它的余数，这个是三，这个是二。好，我们看这个三和二跟咱们前面的这个除数三有什么关系？跟前面这个除数四它又有什么关系呢？哎，大家眼睛的同学啊，可以发现， 这个三和这个二相差一，哎，恰好下面这个四和这个三它也相差一。哇哦，那这个一有什么样的作用呢？好，我们来看啊，假如说我现在给他， 给他一粒啊花生，比如我来送一粒花生给他啊，那给了一粒花生之后，对吧？加上了这个一之后啊，我想问一下，这时候他还是余二吗？就不是余二了，是不是恰好加了一个一之后，他正正好也是 三个，三个一组，那这样的话，是不是刚好就可以被整除了？所以我们的花生的总数啊，但凡加了一个一，哎，那我就可以变成三的倍数了，对不对？好，同理，如果这里的啊余数他不是三吗？三，哎，他如果也来加一粒花生，那他就可以变成四一样的，是四的 倍数，可以刚好被四整除哦，所以看这一粒花生非常的重要。那我们怎么办呢？啊？我们就可以考虑一下，我们就借一粒花生，我们来啊，借一粒花生过来。好，那我们看，当你借了一粒花生过来之后哦，这个 花生的总数，他既是三的倍数，同时又是四的倍数，那我们可以判断出来，这个花生的总数啊，他应该是既是三的倍数，又是四的倍数，那这些数有什么特征呢？他最小最小不就是三乘四十二粒吗？对吧？这个是 借了一个花生，一粒花生之后啊，这样的结果，那他肯定还有比十二粒更大的他的啊，既是三的倍数又是四倍，我还可以继续把十二扩倍，把十二扩两倍，二十四，他也是三四的 倍数啊，再来乘上三，同样道理，它也是三四的倍数。好，这里呢，我们只要求什么呀？至少，所以呢，我们就选择一个最小的。那这道题目答案就是十二粒吗？当然不是了，为什么呢？因为我们刚刚是借了一粒花生，它才变成十二的， 那最后我还得要用这个十二，再把那个花生借来的花生给它还回去，那就是十一粒。所以你看啊，这样的一个 分配问题，分花生的问题啊，几个几个的数多几，几个几的数多几。那我们可以发现啊，有个非常重要的啊，结论就是，这里的除数三和四恰好跟这里的余数二和三相差一， 当它差一的时候，那我们就可以从外面借来一个啊，借来一个，给它补成三的倍数和四的倍数。好，这道题目大家学会了吗？朱晓婷老师点关注吧。

小学、初中、高中数学啊，这三个阶段他的数学思维有什么样的区别啊？咱们今天用一个视频来给大家讲明白，看黑板上这个题啊，其实黑板上这个题呢，咱们小学生也能勉强做一做啊，初中生是考的最多的，高中也考啊。那首先我们先来给大家讲讲，如果在小学阶段，我们将会用什么样的方式去做这个题。 x 平方加 y 的 平方等于十八，求 x 加 y 的 最大值。那有人会说，老师小的时候没学过这个平方啊，对不对？其实你知道平方是什么含义就可以了。那平方啥意思啊？ x 的 平方是 x 乘 x 对 吧？ y 的 平方就 y 乘 y 呗。那我们在小学阶段，当你看到两个相同的数相乘的时候，我们第一时间数形结合，你能想到什么？图形？ 正方形，对吧？说明他现在是两个未知的正方形。这两个未知的正方形呢？就面积加在一块啊，比如说有个大有个小的吧，对吧？有个边长是 x 的， 有个边长是 y 的 正方形，这两个加在一块，他的什么之合是十八 面积之合，然后问这个 x 加 y 的 最大值，那在小阶段里面呢，我们做这个题就可以用数学中的一个极限思维。什么叫极限思维呢？你可以先想其中有一个 x 或者有一个 y 特别小，我们把其中的一个正方形给它画到无限小，小到只剩一个点，那么另外一个正方形的面积就非常大了，是多少啊？十八，对吧？那也说，呃，一个正方形的面积是十八，那边长是多少呢？大致算一下啊，小学的时候我们算不了很精准，但是你可以估算大约是在几到几之间， 四四十六、五五二十五，也就是它大概是个四点几的一个数，对不对？也就说 x 是 零，边长是零，然后 y 呢？是四点几，这个和是不是最大的呢？ 显然不一定啊，因为我们极端思想就要考虑两种极端，一种极端就是一个特别小，一个特别大，另外一个极端是什么呢？想一想另外一个极端，有的人说，老师，那就另外一个特别大，这个特别小，对吧？另外一种极端就是这两个图形的面积趋于一样，对吧？就一样大，比如说 两个一模一样的正方形，哎，你看啊，两个大小一样的正方形，面积是十八的话，那每个面积是几九 九，那面积是九的话，边长是几三三得九嘛，对不对？你看啊，也就说这两个正方形的边长都是三，那这个时候 x 加 y 是 多少？三加三等于几六六啊，那比这个四点几是不是要怎么着啊？要大，所以我们在小阶段里面，你用这种极限思维啊，你是可以把它给大致的，把这个答案给猜出来的，应该是几， 应该是六，所以咱们就求说这个最大值啊，就是六。好，那如果到了初中啊，初中数学就相对来说比较严谨一点了啊，咱们就可以用一些我们所学的什么平方公式啊，给它来推导一下。首先我们在初中里面有一个这样的公式，就是 x 减 y 的 平方，它应该是大于等于几的任何数的平方， x 减 y 的 平方，一个数的平方一定是大于等于零的吧，这比零大的吧，对不对？所以我们可以得出什么呢？你看啊，就因为它要求的是 x 加 y 的 这个最大值，你想求它的最大值呢？你得先研究加 y 的 平方的最大值啊，因为这里给的是这个平方嘛，你肯定第一时间要想到这个完全平方公式。那这个完全平方公式里面它有个什么东西呢？它有一个 x 方加 y 方， 再加二 x y， 把它拆开，对不对？你看这个数，我们是已知的是多少？十八，也就是说你相当于是要研究这个的最大值， 二 x y 的 最大值。那二 x y 的 最大值，这个怎么研究呢？你就用这个公式就好了啊，因为 x 减 y 的 平方大于等于零，因为任何数的平方不都大于等于零吗？对不对？那把它拆分一下，也就是 x 方加 y 方 减什么？减二 x y 大 于等于零，那我们能得出什么结论呢？就是二 x y 是 小于等于 x 方加 y 方的啊，当然，这个地方我给你稍微移移了个方向，能不能跟得上？你可以把这个减二 x y 移到这边嘛，对吧？ 也就是 x 方加 y 方是大于等于二 x y， 那 反过来，就这个不是小于等于它嘛。好，那我们把它替换一下，也就是二 x y 小 于等于几呢？这题目已知的信息啊，十八，所以你看这个数，它是小于等于十八的， 那说明什么呢？说明 x 加 y 的 平方，它等于 x 方加 y 方，再加二 x y 这个数，它小于等于十八，这个是等于几等于十八，这个小于等于十八，所以它们合在一起就是小于等于 十八加八是几？三十六，哎，就说明这个的平方小于等于三十六，那你说它最大是几，它是不是小于等于几啊？ 小于等于六是不是证明出来了，所以他最大值就是六啊？当然这个还没做完啊，就我们在初中阶段，你要你要验证这个情况，他是否成立啊？他成立的条件是这两个数的乘积的两倍，是等于十八的时候，他在成立，对吧？也就是两个数乘积等于十八，那也就说 x y 是 等于几啊？二、 x y 等于十八， x y 等于几？ 九九，然后我们又得出这个 x y 的 最大值是六，来看看成不成立，成立吗？口算一下， x y 等于几，相乘等于九，相加等于六。三 不小学生都会的吗？不两个都是三嘛，对吧？三加三嘛，对吧？三乘三嘛。所以你看，这就跟我们前面的对应上了啊，小学的时候，其实我们通过这种极限思想，也能把这个东西大致的给它编出来啊。当然这种题到了高中啊，咱们做起来就更加的严谨了啊，你甚至都中间不需要去验证， 就我们可以直接把这个答案给它算出来。为什么呢？因为我们到了高中阶段，我们会学到一个方程，就这个 x 方加 y 方等于十八，它其实是一个几何图形的一个方程。是什么方程呢？是圆的方程 啊，就我们学到圆锥曲线的时候，我们会学到椭圆呐，还有圆呐，像这个它 x 方加 y 方等于十八，它其实是一个圆的一个方程。 为什么这么说呢？比如说我在这个平面直角坐标器里面随便点一个点啊，随便点一个点，然后你看啊，把这个点的坐标设成 x y， 哎，那你发现啊，这个 x 的 平方，它的横坐标是不是 x， 然后它的纵坐标是不是相当于就是 y， 哎，那 x 的 平方加 y 的 平方等于 斜边的平方，这斜边的平方是个是十八这个斜边的平方。假如我，我把这个斜边的平方写成一个 r 的 平方吧，这个 r 的 平方等于十八，来，你告诉我 r 等于几？开个平方吧，三倍根号二嘛，对不对？也就说你会发现这个坐标它 代表什么意思呢？就说它始终是一个斜边，长是一个固定的值，就是三倍根号二，对吧？你发现没？也就也就说这个坐标它到原点的距离 始终是一个定值，三倍根号二。所以你现在能理解这个方程，它其实是一个什么方程啊？圆的方程吧，对吧？你看 x 的 平方加 y 的 平方等于十八，就意味着它的斜边的平方是十八， 那斜边不就是三倍根号二吗？说明它到这个圆点的距离始终都是三倍根号二，对吧？所以它其实可以表示一个直角坐标系里面一个圆的一个运动轨迹的。好，那既然我们 把它当做一个圆来看的话啊，那接下来我们想研究它的最大值，那你想啊，研究最大值的话，那这两个数肯定都是正数吧，不然的话，你有负数的话，那 值就不是最大的了啊，我们就可以把它放在第一象限里面去研究。假如把这个角呢，给它设成一个 c 叉角，那你看这个 x 呢？它其实它的大小呢？咱们就可以把它表示成这个半径，半径是多少？三倍根号二，再乘什么呢？这个角是 c 叉角，也就是说 相当于是三倍根号二，乘上一个 cosine theta 吧。那这个长度呢？这个 y， 这个长度啊，它其实就相当于是这个半径，再乘上这个什么呢？这个角对应的应该是正弦值，也就是 sin theta。 那 现在我们想求它的最大值，你就直接算就行了啊，相当于是 x 加 y 呢，就是三倍根号二的这两个相加 sin theta 加上 cosine theta， 对 吧？当然我们可以再用这个三角恒等变换，把这两个给它求个和好。那这两个呢？这两个数相加，我们就可以用三角恒等变换来来把它给合起来啊，怎么合呢？这个在我们高中里面就会给大家讲一个公式，非常简单啊，就是它直接就可以转化成是根号二倍的 sin theta 加四分之 pi 啊，这些是属于三角函数里面的和差公式啊，非常基础。那么这两个合在一起，你看啊，三倍根号二乘根号二等于几呢？等于六，对吧？然后这里是 sin theta 加四分之 pi。 那 问题来了，你想求它的最大值，是不是求这个最大值就行了？那我们三角函数里面的正弦值最大是几啊？这个到高中就学了啊，初中其实我们也接触过，是最大是一，那所以整个就是六乘一，答案就是六了，最大是六。所以你看我们通过 小学、初中、高中的三种不同的证明方式，大家能不能感受到，其实数学这个学科是很有意思的啊，就你的思维，只要是好的话，其实有的题你小学的思维也能把它做出来，只是说做的没有那么严谨而已，对不对？到了初中呢，我们是开始给大家去证明了，但证明过程中呢，我们还要反过来去验证 啊。你不是说证完了就答案就做完了，对不对？你还要验证你这个情况是否成立，那说明什么？说明你这个证的过程还不算特别严谨， 如果非常严谨的话，你需不需要再去反过来验证它是否成立啊？就不需要了。但但是到了高中，你会发现一条道走到黑，直接把答案就怎么着啊？ 完完整整的算出来了，需不需要再反过来说我验证这个是否成立呢？不需要验证了，对吧？这就是数学会变得越来越严谨啊。当然这中间的这个过程如果你能感受到的话，这就是数学这个学科的美了。听明白了没？好，那我们记一下笔记。

我教你几句小学必考的顺口溜，你只要记住这个口诀，数学考试的时候就像喝水一样简单。家里面有六到十五岁的孩子，家长， 刷到这条视频的奶奶姥姥们，先点个小红心，帮咱家孩子记下来。今天晚上你就可以告诉他，我怕视频过几天就会被下架，你就找不到了，太可惜了！ 接下来你们可仔细听好了，比如这道题，嗓子绕数绕三圈多五米，绕五圈少九米。问嗓子有多长？别说孩子了，很多大人也没有思路。其实画个线段图很简单， 用这条线段表示嗓子的长度，绕三圈多五米，那绕五圈少九米，给他补上九米，是不是就可以绕五圈了？ 那两圈不就是十四米，一圈就是七米。绳子的长度呢，就是七乘三加五二十六米。以前半小时才能算出的盈亏问题， 现在直接秒杀！像这样的画图技巧，小学一共有四十二种，都给大家整理好了，你就算一个星期学一个知识点，一个学期也能够全部掌握。评论区留下画图法，为你家宝贝安排一套吧！

一根绳子减去一半多四米，再减去余下的一半，还剩下四十三米。就问你，那这根绳子原来有多长哇？减来减去都把我给减乱了。减绳子的问题呢， 他问这根绳子原来有多长，然后他告诉你的条件是还剩下四十三米，所以这道题目呢，他需要我们去倒推，在你倒推的之前，你得要把整个减的过程 这个图啊给它画出来。好，老师来教大家怎么样去画这种题目呢？图，首先绳子啊长度原有多长呢？就假设这个呢，就是绳子原来的长度啊。来，我们是减去一半多四米啊，那我们可以把它的一半给它标出来，这是一半，那这一半啊，我们给它标记一下，这是一半。好吧，然后旁边这个呢，它也是一半， 这时候呢，我们看啊，减去的一半，还有再多四米，所以这一半啊，再加上四米，给它上去啊，这个是四米。 好了，所以第一次啊，剪的时候我们给他标记一个小一，这是第一次剪的，第一次是剪了一半，再多四米。好，下面第二次呢，剪的是余下的一半。那这里呢，我们要注意一下他余下的部分是哪一部分呢？就是我们剪完之后剩下这一部分。 那这一部分我建议大家怎么画呢？我们把它从上往下平移下来，这样的话会非常清晰。好，我们把它平移下来之后，我们来画一下啊，这段就是剩下的那个部分。好，他说再减去他的一半，注意匀称的一半啊，好，我们就给他一分为二。好，这里的我们用另外一种颜色笔来表示一下， 给他分成一半啊，好，这里呢是一半，这里呢也是一半啊。好，他说减去一半之后还剩下四十三米，那前面这一部分被剪掉了，那剩的部分，哎呀，就这，这里是多少呢？告诉你，这里是四十三米。 好，就问你能不能求出这个原来的绳子一共是多长？那前面啊，我们来标一下，这个部分是被第二次捡到的啊，这是第二次捡到的。好，那你看，由于这里有一个四十三米，而且恰好太巧了， 这是一半，这不是一半吗？所以这道题目真的是非常妙啊，所以你从下往上，你去看的时候，去倒推的时候，你会发现这道题目好简单呀， 所以啊，一道题目有的时候你只要能够把图画出来，你会发现它非常的简单。好，来看啊，四十三，这不是刚说的一半。好，两个一模一样的四十三。那这个部分是多少？不就是四十三乘二吗？好，来，我们给他四十三乘上一个二啊，等于八十六米。好，这八十六米是哪部分？注意是这一部分啊，那这个八十六，其实在一开始的时候，我们给他 来标记一下啊，这个地方是八十六米。哦，这里是八十六，那你别忘记了，旁边还有个四米，所以那我就可以求出来这个部分他是多少了。这个部分八十六加上一个四吗？这多少呢？很简单，等于九十米。 所以说啊，我们可以发现，咱们可以很快的把八十六去加上一个四，等于九十米。好，这个九十米呢，其实说白了就是这个部分， 这谁呀？这不一半吗？整个的一半就是九十啊，所以你要求整根绳子的圆有多长？很简单，咱只要把这个九十去干什么？乘上一个二，等于一百八十， 所以这道题目的答案就是一百八十米。你看，通过一幅线段图再倒推，这道题目如此简单，既然就做出来了。好，这道题目大家学会了没？朱雨婷老师点关注吧！