比和比例六年级下册练习十七

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例的反比例。前面我们学习了什么叫正比例的量， 什么叫正比例关系，还记得吗？两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。只要两个量的比值一定，并且是相关联的，那么这样的两个量就是成正比例的量，它们的关系叫正比例关系。 那如果用式子表示正比例关系， y 比 x 等于 k， k 一定就证明这两个量的比值一定，所以成正比例关系。既然有正比例，那一定就有 反比例。那什么叫做反比例的量和反比例关系呢？一起来看。例二，把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器。容器的底面积与水的高度的变化情况如下表， 容器的底面积是十平方厘米，水的高度是三十厘米，容器的底面积十五平方厘米，水的高度二十厘米，底面积二十高十五。底面积三十高十，底面积六十高五。 你们发现了什么？对，随着底面积的增大，我们发现水的高度在逐渐的变小。那好，请根据上表回答下面的问题。第一，表中有哪两种量呢？对，一个是容器的底面积，另一个量是水的高度。 那么水的高度是怎样随着容器底面积的大小变化而变化的呢？大家观察表格，在体积不变的情况下，底面积越来越大，而水的高度却是越来 越小，所以我们得到水的高度随着容器的底面积变大而不断变小， 计算相对应的容器的底面积与水的高度的乘积分别是多少？我们一起来看，底面积是十，高度是三十，体积三百，底面积十五，高度二十，体积三百，底面积二十，高度十五， 体积三百，三十乘十三百，六十乘五三百。孩子们，你们发现了什么？我们发现他们的乘积都是三百， 那这个三百他表示的是什么意思呢？对，实际上就是倒入容器的水的体积，体积不变，那么用式子表示他们的关系就是底面积，乘高度等于体积， 体积一定，底面积不断的增大，水的高度逐渐的减少，但是他们两个的乘积一定。像这样 两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做乘反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 判断两个量是不是成反比例关系，我们要看什么？对这两个量的乘积一定，那么这两种量就是成反比例的量，他们的关系就叫反比例关系。在上表中，高度和底面积这两个量就是成反比例的量， 高度与底面积之间的关系就成反比例关系。那如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的乘积，乘积一定反比例关系，那我们就可以用这样的式子来表示， x 乘 y 等于 k， k 一定，乘积一定，就证明这两个量成反比例关系。那根据反比例的意义，孩子们，你能举出生活中乘反比例关系的例子吗？ 来看，小梅举了，如果长方形的面积一定，长与宽乘反比例关系是这样的吗？我们知道，长乘宽等于长方形的面积， 面积一定，那就是长和宽的乘积一定，所以长和宽乘反比例关系。小兵举出例子，如果总价一定，价价与数量乘反比例关系正确吗？因为单价乘数量等于总价， 总价一定，那就是单价和数量的乘积一定，所以单价和数量成反比例关系。孩子们，你还能举出生活中哪些成反比例关系的例子呢？ 好了，孩子们，我们学习了正比例关系和反比例关系，那么他们之间有什么相同点和不同点呢？接下来我们来比较一下， 不管是正比例关系还是反比例关系，他们的相同点都是都有两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化，那他们的不同点呢？ 正比例关系，两种量中相对应的两个数的什么一定对比值一定，而反比例关系呢？两种量中相对应的两个数的乘积一定。正比例关系用字母来表示就是 y 比 x 等于 k， k 一定，就是比值一定。 反比例关系用字母表示就是 x 乘 y 等于 k， k 一定。两个量的乘积一定。所以两个相关联的量， 判断他们是成正比例关系还是成反比例关系，关键看什么对，是比值一定还是乘积一定？ 好了，孩子们来总结一下，通过这节课的学习，你有哪些收获呢？首先，我们理解了反比例的意义和反比例关系。另外会判断两种量是否成反比例关系。两个条件，第一， 两种量相关联，第二，两个量的乘积一定。接着我们还根据反比例关系能够解决生活中的实际问题，大家继续思考。正比例关系的图像还记得吗？是从原点零零发出的一条射线， 那么反比例的关系图像会是什么样子呢？请孩子们阅读课本第四十六页，你知道吗？这一部分内容相信你一定会有新的收获。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例。第一课是比例的意义。六年级上册我们已经认识过比，什么叫比？比？各部分的名称又是什么呢？ 对两个数的比表示两个数相除，那么在一个比中，比号前面的数 叫做比的前项，这个符号叫比号，比号后面的数叫做比的后项，它们所得的商叫做比值。那怎么求比值呢？前项除以后项所得的商叫做比值。比如以这道题为例， 三十六比七十二，那就表示三十六除以七十二，结果商等于零点五，那么零点五就叫比值。那么从这里我们看到比值可以是分数， 可以是小数，也可以是整数。比例它和比有关系吗？今天这节课我们就一起来研究 国旗啊！孩子们是我们中华人民共和国的象征，图中的国旗分别是天安门广场的国旗、学校操场的国旗以及教室内的国旗。看到下面不同场景的国旗，你有什么发现？ 很多孩子会发现他们国旗的大小是不同的，但是他们的形状相同吗？你怎么来证明他的形状相同或者不相同呢？我们以天安门广场和校园操场两面国旗为例， 用你想到的方法说明两面国旗的形状是否相同。对，我们可以分别求出两面国旗长与宽的比值。 怎么求比值呢？长比宽就是五，比三分之十，比值二分之三，二点四比一点六等于二分之三。那我们发现这两个比的比值相等 说明什么呢？对两面国旗长都是宽的二分之三倍，两个比的比值相等，那我们就可以把这两个比用等号连接起来。除了求两面国旗长与宽的比， 还可以求出什么呢？对，两面国旗的宽与长的比值相等吗？是的，长与宽的比是三比二，那么宽与长的比就是二比三。通过比值相等，都可以说明他们的形状相同。 那除了这种方法，还有别的方法证明他们的形状相同吗？对，有的同学想到了两面国旗长与长的比，那就是 五比二点四等于十二分之二十五。再求出两面国旗宽与宽的比，那就是三分之十比，一点六，比值是十二分之二十五。比值相等 也可以说明这两面国旗的形状相同，所以这两个比就可以用等号来连接起来。大家继续思考，教室里的国旗与它们的形状相同吗？ 怎么说明呢？根据天安门广场，这面国旗长与宽的比值是二分之三。那我们也可以求出教室内国旗长与宽的比，它的比值也是二分之三。那大家在思考，教室内国旗长和宽的单位是厘米， 他们的单位是米，有关系吗？对，虽然长与宽的单位都是厘米，但他们的比值表示的是长和宽的倍数关系， 他们的倍数关系相同，也可以证明他们的形状相同。根据他们的比值相等，所以这两个比也可以用等号来连接。我们用不同的方法比较了任意两面国旗长与宽的比， 或者比较长与长的比，宽与宽的比，都说明两面国旗的形状相同。继续观察这三面国旗长与宽的比， 它们的比值你有什么发现？通过观察发现比值相等，那也就是国旗长与宽的比都是三比二吗？ 是的，国旗的制作它是有规定的。我国国旗的旗面为红色 长方形七，长与高为三与二之比。旗面左上方准黄色五角星 五颗，长与高为三比二之比，那也就是长与宽的比是三比二。 正因为有了这样的规定，不可随意改变，才显着我们的国旗更加庄重与威严。来观察刚才得到的这些式子，两个比的比值相等， 都可以用等号连接，像这样表示两个比相等的式子叫做比例，那么这两个比相等组成的这个式子 就是一个比例，那这个式子也叫比例。比例，它由几个比组成，对两个比，并且这两个比的比值相等。像这种比例呀，我们还可以把它写成分数的形式， 二点四比一点六等于六十比四十。虽然写成分数的形式，但是我们读的时候仍然读作比。大家思考比和比例相同吗？有什么区别？ 是的，形式不同。比它是由四个数组成，两个比四个数， 另外他们的意义不同。比表示两个数相处，比例呢，表示两个比相等的式子。根据比例的意义，我们可以判断两个比能否组成比例。比如这道题 下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来，这里给出了两个比，六比十和九比十五， 这两个比能组成比例吗？我们可以求出它们的比值，六比十等于零点六，九比十五等于零点六，比值相等，所以这两个比可以组成比例。再看第二小题，二十比五和一比四能组成比例吗？ 分别求出它们的比值，二十比五等于四一比四等于零点二五，它们的比值不等，所以不能组成比例。那王老师，这里还有两道题，孩子们，请你按下暂停键，快来判断一下吧！来，孩子们总结一下， 通过这节课的学习，你有了哪些新的收获呢？对，我们知道了表示两个比相等的式子 叫做比例，也就是比例的意义。我们还知道了，判断两个比能否组成比例，我们要看这两个比的比值是否相等。最后，在生活中其实还有很多比例，相信你一定是一个勤于思考，善于观察的孩子。

六下数学最难的比例，就这十大题型练完稳进班级前三，可打印六年级下册数学比例重难点应用题类型一，圭一问题类型二，物高于隐藏问题类型三，行程问题类型四，间隔问题 类型五，分数相关问题类型六，相遇追急问题类型七，规章问题类型八，铺地砖问题类型九，齿轮问题类型十，比例尺问题以上就用 excel。

哈喽，大家好，我是向向老师预习第十六天我们学比例的基本性质，在数学书第三十九页列一。昨天我们学会了如何判断两个比能否组成比例，就是算他们的比值， 笔直要计算半天，万一数字很大很复杂呢？又该怎么办呢？今天教给大家一个快速判断的方法，一眼就能看穿比例的真假。这里有一个比例，我们先认识比例的家庭成员，它是由四个数字组成，这四个数字每一个数字就叫做，像 在外面的这两个数字就是二点四和四十，它叫做外项，而在里面的这两个数字就是挨着等号的这两个数字，它是我们的内项。 外向是在等号的两边，是在外面，而内向是挨着等号的两个数字，在里面一定要记住这个位置。接下来要发生神奇的事情了，我们来做乘法， 外面这两个数字也就是二点四和四十，我把它两个相乘，结果等于九十六， 而内向这两个数字一点六于六十，我也相乘，发现结果也等于九十六。是不是我们就可以得出一个结论，是不是外向之积就等于内向之积呢？我们可以打一个问号，这是不是巧合呢？我们随便找个比例来计算一下， 二比三于四比六，你看二和六是外项，把它相乘就是二乘上六等于十二，而内项三和四是内项，三乘上四也等于十二，你看外项之积也等于内项之积。我们可以再找一个， 五比十于一比二，是不是也是一样的呢？他的两个外向，五和二是外向，十和一是内向， 那外向是二乘五等于十，内向也是一乘十也等于十，发现也是相等的。所以我们在比例当中，外向之积就等于内向之积，这一个就是比例的基本性质，一定把它记牢了。 我们知道比例我们有几种写法，用字母表示， a 比上 b 就 等于 c 比上 d， 那 a 和 d 是 外项， b 和 c 是 内项，所以说我们是不是就可以得出的是 b 乘 c 的 积，也就等于 a 乘上 d 的 积，这是第一种写法。 还有一种写法，比例也可以写成分数的形式，也就变成了是 d 分 之 a， 也就等于 d 分 之 c。 那 写成分数的形式，哪两个数字是外向呢？也就是 a 和 d 是 外向， 他两个是外向，对吧？而内向是 b 和 c， 这两个是内向，你看他们的位置是交叉的对不对？所以我们写成分数的形式的话，是不是就是 b 乘上 c 与 a 乘上 d， 它们是相等的？写成分数的形式其实就是什么，是不是交叉相乘相等？ 现在我们来看一道例题，六比三与八比五能否组成比例？我们就按照今天学的方法，看它的内向之基与外向之基是否相等。 我们可以先写出六比三等于八比五，先这样子写出，我们要打一个问号，那么它的外向是不是五和六，内向就是三和八，它的是外向就是六乘五等于三十，而内向之积的话，是三乘八等于二十四。 我们发现二十四并不等于三十，所以它能不能组成比例，肯定是不能组成比例的，你学会了吗？评论区有练习题，请把答案打在评论区，关注我，二十一天系统预习！

这个题目如果用算数法非常简单，但是题干的要求是用比例知识解答。一起来看，一辆客车从甲地开往乙地，四小时，共行了一百六十千米， 按同样的速度又行驶了六小时才到达乙地，要求的是甲乙两地相距多少千米。用比例知识解答时呢，一定要先扣关键词，找到定值，关键词在哪里啊？按同样的速度，那么就说明呢，在这个体干当中，速度是一定的， 那速度是等于什么呢？速度它等于路程，除以时间，用路程除以时间就等于速度。那写成这样一个模型，那就可以看出，当速度一定时，路程与时间是成正比例关系的。那这个题目呢，就可用正比例关系来解答。 首先设未知数，减设甲乙两地相距 x 千米。注意，在列比例时，一定要找到对应关系啊。四小时共行驶了一百六十千米，用路程比时间一百六十千米，对应的时间呢是四小时，一定要把对应关系找出来。 那甲乙两地我们是设为 x 千米的，那这个 x 千米的路程，它对应的时间应该是什么呢？在这里一定要注意，千万不要看成六了啊，因为 x 指的是甲乙两地的距离，指的是全程，那全程对应的时间是不得是总时间呀， 刚开始是行驶了六四小时，然后又行驶了六小时，所以 x 千米对应的时间不是六小时，而是十小时。 好，左边呢，是用路程比时间得到速度，右边呢，也是用对应的路程比对应的时间得到速度，那么速度是一定的，用等号来连接，再来减比例，交叉相乘， 把含有 x 的 写在左边，那四 x 就 等于一百六十，乘十是一千六百，再把左右两边同时除以四，得到 x 等于四百。 注意，做这类题时一定要会扣关键词来找到定值，按同样的速度说明，在这里啊，速度是一定的，也就是说路程与时间的比值一定。那么就说明啊，路程与时间是成正比例关系的，那这个题目他考察的到的就是用正比例关系解决问题。

今天我们来说一下比例的应用。比例在生活中啊很常见，比如说一个人的双臂伸开的长度与他的身高的比大概是一比一，一个人的脚丫子长与他的身高的比大约是一比七等等。 知道这些，生活中很多问题都可以解决。松鼠君化身侦探，在案发现场发现犯的脚印是二十五厘米，并由此推断出了这个人的身高。你能像松鼠君一样机智的判断出来吗？ 因为脚长与身高的比是一比七，也就是如果脚丫子的长度是一份，那身高就是七份。罪犯的脚印是二十五厘米，那二十五厘米就对应一份量，身高就是七个二十五厘米，也就是一百七十五厘米。 除了这种分数法，还可以用比例来解答解设犯的身高是 x 厘米，因为较长和身高比是一比七，写成比例就是一比七等于二十五比 x。 根据前几天讲的比例的基本性质，知道其中三项就可以求出未知项是多少。 在比例一比七等于二十五比 x 中， x 就是 未知项，求 x 的 过程就叫做解比例。 根据比例的基本性质，外向一乘 x 就 等于内向七乘以二十五， x 等于七乘以二十五，所以 x 等于一百七十五。也可以推断出罪犯的身高是一百七十五厘米。学以直用，再整一个比例练一练， 这是一个分数形式的比例。根据比例的基本性质，先把比例改写成两个内向的乘积，乘以两个外向的乘积的形式就是，二点四 x 等于六，乘以一点五，二点四 x 等于九， x 等于九，除以二点四 x 等于四分之十五。 做完后，别忘了把 x 等于四分之五带回到原比例中，验算一下，看等式是否成立。 左边二点四比一点五等于五分之八，右边六比四分之十五也等于五分之八，左边等于右边。所以 x 等于四分之十五就是比例的减。再看一个例子，用二、四、八和 x 组成比例， x 是 多少？ 用这四个数组成比例啊， x 和其中任何一个数都可以组成比例的内向或者外向。当二和 x 同时成为外向时，任写一个比例，二比四等于八比 x。 结二， x 等于四乘以八，二 x 等于三十二， x 等于十六。 当四和 x 同时成为外向时，也任写一个比例。四比二等于八比 x 截四， x 等于二乘八，四， x 等于十六， x 等于四。 当八和 x 同时成为外项时，还可以任写出一个比例。八比二等于四比 x 解八， x 等于二乘以四，八， x 等于八， x 等于一。所以啊， x 一 共有三个不同的解。所以在解决类似问题的时候啊，一定要考虑所有的可能。好啦，下课！

这节课我们来一起看课本四单元历期试一试。同学们在上节课呢，老师已经把历期讲解完毕了，我们来一起看试一试。 医院在明华小学的正北方向，他们之间的距离是二百四十米，先算出明华小学到医院的图上距离，再在上图中表示出医院的位置。 根据提议，我们知道，要想求明华小学到医院的图上距离，我们是不是得知道他的实际距离和比例尺呢？ 实际距离是二百四十米，比例尺是一比八千。在这里老师有几种方法进行解答。首先看老师的第一种方法，列比例知识。解答， 根据图上距离比，实际距离等于比例尺。因为图上距离是未知的，所以老师解释，明华小学到医院的图上距离为 x 厘米， 我们要列比例了。这里老师要强调的是，我能用 x 直接比二百四十吗？ 不可以，因为在列比例的时候要把单位进行统一，再去列比例，所以老师要把实际距离的单位米变成图上距离的厘米。 二百四十米等于两万四千厘米，这个时候我们才可以列比例。图上距离 x 比实际距离等于比例 x 比两万四千等于一比八千。及比例 内向乘内向，外向乘外向，未知数写在等于号的左边，所以是八加 x 等于一乘两万四千 八千， x 等于两万四千，最后 x 算下来等于三。答，明华小学到医院的图上距离为三厘米。 方法二，根据图上距离比，实际距离等于比例尺。我们的图上距离是未知的， 所以可以转化成图上距离等于实际距离乘比例尺。在这里老师又问了，我们能不能用直接用二百四十去乘八千分之一呀？是不可以的。 老师在这里强调，比例尺后面虽然不能带单位名称，但是求比例尺的时候，单位要进行统一，统一成图上距离的单位。所以在这里我们要把实际距离的单位转化成图上距离的单位。 二百四十米等于两万四千厘米，我们用实际距离乘比例尺两万四千乘八千分之一，这样一约分，最后算下来是三厘米，求出了我的图上距离 方法。三，根据比例尺一比八千，我们是不是就可以知道图上一厘米表示实际距离八千厘米呢？ 那我们的实际距离单位是米，所以我把这个实际距离的八千厘米转换成八十米， 那我一厘米表示实际距离八十米。那我，那我的二百四十米是几厘米呢？用二百四十除以八十等于三厘米是最后答案。我们最后算出来是明华小学到医院的图上距离是三厘米， 我们一起来看列一列。下面是梅镇汽车站附近的平面图。问题一，分别量出汽车站到镇政府和敬老院的图上距离，再算出实际距离各是多少米。 在这里老师已经把图上距离量出来了，我们汽车站到镇政府的图上距离是三厘米，汽车站到敬老院的图上距离是三点五厘米。现在我们来根据图上距离分别求出它们的实际距离。 根据图上距离比，实际距离等于比例尺。要想求实际距离，我们可以转化成图上距离除以比例尺等于实际距离往前带图上距离 三厘米，比例尺是一比两万，也就是两万分之一，所以三除以两万分之一等于六万厘米，再把六万厘米转换为六百米，所以我们汽车站到镇政府的实际距离是六百米。 紧接着我们来算一下敬老院的，我们敬老汽车站到敬老院的图上距离是三点五厘米， 图上距离除以比例尺等于实际距离，所以三点五除以两万分之一等于七万厘米，再把七万厘米转换为七百米。答，我们汽车站到敬老院的实际距离是七百米，这是我们的第一问。 问题二，幼儿园在正西方向四百米处，你能在上图中表示出幼儿园的位置吗？ 同学们想，我们要想在上图中表示出幼儿园的位置，是不得求出我们幼儿园到汽车站的图上距离呢？ 根据图上距离比实际距离等于比例尺，要想求出图上距离，我们可以转化成实际距离乘比例尺等于图上距离。 在这里老师强调，不管是求图上距离也好，实际距离也好，还是比利时也好，把他们的单位一定要统一成图上距离的单位。所以我们的四百米先得转换成四万厘米，根据 实际距离乘比利时等于图上距离，所以往前带四万乘两万分之一， 最后算下来是二厘米。所以我们幼儿园到汽车站的图上距离是两厘米， 在正西方向。在这里老师已经画出来了，这是我们幼儿园的位置。所以今天这节课是我们比利时的应用一些题型。

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师，今天我们一起来学习用比例解决问题。在上新课之前，我们先来回忆一下我们之前学的正比例 看问题。判断两种相关联的量是不是成正比例关系的关键是什么呢？ 对两种相关联的量的比值一定的时候，这两种量就成正比例关系。那在生活中你们都见过哪些成正比例关系的量呢？我们来看， 当速度一定时，路程与时间就成正比例关系。当单价一定的时候，总价和数量就成正比例关系。当工作效率一定时，工作总量和工作时间就成正比例关系。 当然除了这些还有很多很多，今天我们就利用这些关系来解决一些问题。我们来看树上的立物， 题目中说张阿姨家上个月用了八吨水，水费是四十元，李奶奶家上个月用了十吨水，李奶奶家上个月的水费是多少？ 我们先来分析一下题目，题目中给了张阿姨家的水费和用水量，以及张奶奶家的用水量问题是求李奶奶家上个月的水费是多少。算这道题的时候，我们应该清楚的是，水的单价不变， 所以我们要先求出每吨水的价钱，再算出十吨水多少钱。通过张阿姨家的水费和用水量，可以算出每吨水的价钱是四十除以八等于五元 水的单价。求出来了，那李奶奶家的用水量是十吨，所以李奶奶家的水费就是五乘十等于五十元。 除了这种方法，还有其他方法吗？我们能不能运用比例的知识来求这道题呢？ 我们来看这种解法，他是用解比例的方式把这道题解答出来的，那他是怎么想的呢？思路是什么？我们一步一步来分析。 首先，他设的是李奶奶家上个月的水费是 x 元，其次，方程的左边他写的是四十除以八， 也就是水费除以用水量，水费除以用水量等于水的单价。方程的右边是 x 除以十，同样也是水的单价， 因为水的单价不变，所以它们之间是相等的关系，由此也就把方程给列出来了，再运用解比例的知识把 x 求出来，求出来是五十元， 那这个运用了什么知识呢？我们来看，在这个表格中，相关联的两种量是水费和用水量。 这里的水的单价是一定的，水的单价又等于水费除以用水量，也就是说水费和用水量这两个相关联的量比值不变。当比值不变的时候，我们就可以说水费和用水量成正比例关系， 用关系式表示，就是水费除以用水量等于水的单价。好了，我们用两种方法把这道题给解出来了，我们来看一下它们之间的区别。这两种方法，一种是算术法，一种是比例法。 算术法是先求出水的单价，再求十吨水是多少钱，而比例法是根据水的单价不变来列出比例的。 好了，将这道题延伸一下，你还会做出来吗？我们来看王爷爷家上个月的水费是六十元，他家上个月用了多少吨水。 同样，这道题我们也可以用水的单价不变，把比例列出来。我们先设王爷爷家上个月用了 x 吨水，再根据等量关系把方程列出来， 因为水的单价等于水费除以用电量，如果用张阿姨家的来算的话，就是八分之四十等于 x 分 之六十。接着用解比例的方式把 x 求出来，是十二， 所以就可以求出王爷爷家上个月用了十二吨水。好了，用正比例知识解决问题，我们讲的差不多了，接下来我们一起来总结一下解题步骤。第一步，我们要根据不变量判断题中哪两种相关联的量成正比例， 然后我们要找出两组相对应的数，并设出未知数，然后列出比例。第三步，我们就用解比例的知识把未知数给求出来， 还有最重要的一步就是检验并写出答语，我们一定要学会从后往前推，把答案求出来之后再带入题中算一遍，看我们算出的答案是否正确。接下来我们一起找几道题练习一下。先来看练习十一的第三题， 题中说小兰的身高是一点五米，他的隐藏是二点四米，如果同一时间同一地点测得一棵树的隐藏是四米，这棵树有多高呢？ 这道题中有两个相关联的量，一个是隐藏，一个是真实高度，这两个成正比例关系，所以我们可以设这棵树高 x 米，根据这个正比例关系把方程列出来， 也就是一点五分之二点四等于 x 分 之四。接着用解比例的方法把 x 求出来，结果是二点五，所以这棵树高二点五米。再来看下一道题， 中国空间站在太空中绕地球运行六周，大约需要九小时，运行十五周大约要用多长时间呢？ 这道题中两个相关联的量是地球的周数和时间。中国空间站绕地球一周的时间应该是不变的，绕地球一周的时间就是总时间，除以周数。 接着我们设未知数，我们可以设运行十五周，大约要用 x 小 时，再根据我们刚刚分析出来的等量关系列出方程，也就是九比六等于 x 比十五， 最后求出 x 等于二十二点五，所以运行十五周大约要用二十二点五小时。好了，今天的知识我们就学到这里，小朋友们，你们学会了吗？

掌握知识点，左题右方向。大家好，我是小鹿老师，今天我们接着来学习用比例解决问题。上课之前，我们先来回忆一下之前学的正比例和反比例的知识。 来看这道题，请你判断下面个题中的两种量成什么比例关系？我们在之前学过，当两个相关联的量的比值一定的时候，他们就成正比例关系。 当两个相关离的量的乘积一定的时候，他们就成反比例关系。我们来看第一题，速度一定时，路程和时间成什么比例关系？ 因为速度等于路程除以时间，速度不变，那路程除以时间的比值就不变，所以他们成正比例关系。再来看第二道题， 路程一定时，速度和时间成什么关系？因为路程等于速度成时间，路程一定，那速度和时间的乘积就不变，所以它们成反比例关系。 第三题，总价一定买水果的数量和单价成什么关系？因为总价等于数量成单价，所以它们两个成反比例关系。 第四题，运货的总量一定汽车的载重量和运的次数成什么关系？ 总量等于载重量成次数，所以它们也成反比例关系。旧知识我们就复习到这里，我们来看课本的例六， 题目中说，某办公楼原来平均每天照明用电一百千瓦时，改用节能灯以后平均每天只用电二十五千瓦时。问，原来五天的用电量现在可以用多少天？ 我们来看，根据这个问题，我们列出了一个表格。我们先来分析一下，这道题中到底是谁不变呢？对，总用电量不变，所以我们可以先求出总用电量，再求出现在的用电天数。 因为原来的平均每天照明用电和天数都有，所以我们可以根据原来的求出总用电量，也就是一百乘五等于五百千瓦时。 又因为天数等于总用电量除以平均每天照明用电，所以现在的天数就是五百除以二十五等于二十天， 这个是算数的方法，那能不能用比例的方法来求一求呢？我们先来分析题目中相关联的两种量，是平均每天用电量和用电天数。刚刚我们说总用电量不变， 总用电量又等于平均每天用电量乘用电天数，所以平均每天用电量和用电天数就成反比例关系，用关系式表示就是平均每天用电量乘用电天数等于总用电量。 根据这个关系，我们列出来两个方程，你能看出来谁是正确的，谁是错误的吗？ 对，第一个是错的，第二个是对的。那第一个错在哪了呢？第一个方程列的是比值不变， 比值不变的时候是正比例关系，而他们两个乘反比例关系应该是乘积不变，所以第一个是错误的，我们应该用第二种方法乘积不变。用平均每天用电量乘用电天数来列方程。 现在的总用电量是二十五乘 x， 原来的总用电量是一百乘五， 所以方程就是二十五。 x 等于一百乘五，求出 x 等于二十，所以原来的五天的用电量现在可以用二十天。那这个答案符合实际吗？我们应该怎样来检验呢？我们可以把二十代入进去， 现在的总用电量就是二十乘二十五等于五百千瓦时，原来的总用电量是一百乘五等于五百千瓦时，现在和原来的总用电量相同， 所以我们求出的天数是正确的。好了，我们一起来比较一下这两种方法有什么区别呢？第一种是算数法，他先求的是总用电量。 第二个是比例法，比例也是根据总用电量不变的关系来解决问题的。 接下来我们把这道题变形一下，把问题改成现在三十天的用电量，原来只够用几天，你还会做吗？我们一起用比例的方法来解决这个问题。 这个问题中还是总用电量不变，所以我们用总用电量来列方程。设，现在三十天的用电量原来只够用 x 天， 那现在的总用电量就是二十五乘三十，原来的总用电量就是一百 x， 两个是相等的关系， 所以一百 x 就 等于二十五乘以七点五， 答案也就出来了，现在三十天的用电量原来只够用七点五天。最后我们来总结一下解析步骤，正比例和反比例的解析步骤是一样的， 第一步都是根据不变量判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系，然后找出两组相对应的数，并设出未知数， 列出相应的等式。第三步是解方程，最后要检验写出答语。好了，我们找道题练习一下，来看书上做一做。第二题，题目中说小商店有两种圆柱笔， 小明带的钱刚好可以买四只单价是一点五的圆珠笔，如果他只买单价是两元的圆珠笔，可以买多少只呢？我们先来分析题目中两种相关联的量，一个是数量，一个是单价， 数量乘单价等于总价，总价不变，所以数量和单价乘反比例关系，我们根据这个关系来列方程。首先我们可以设，如果它只买单价是两元的圆珠笔，可以买 x， 只 那两元钢笔求出来的总价是二 x， 一 点五元的圆珠笔，求出来的总价是四乘一点五，两个是相等的关系，方程也就列出来了，就是二 x 等于四乘一点五， 求出来 x 等于三，所以可以买三只。好啦，今天的内容我们就讲到这里，小朋友们你们听懂了吗？

hi， 大家好，我是你们的大学老师，本周微课给大家带来一道六年级下学期的笔核比例这个章节的提高题，很多学校笔核比例已经上完了啊，元和上钱也上的七七八八了 啊。那这道题目呢，是一个学生问的，本质上讲，这道题目的话，是在九年级的时候，你们还会遇到，这是关于比例的限制里面的等比限制，但是呢，这里面不能用等比限制去做，那怎么去处理它呢？好，我们来分析一下啊。那么 已知 x 等于 b 加 c 分 之 a 等于 c 加 a 分 之 b 等于 a 加 b 分 之 c。 在 我们六年级的时候，一旦出现了这种连等符号，就是两个等号连在一起啊，基本上用设 k 法，那这里面没必要设 k 了，因为 x 已经给你设出来了，所以说呢，我们 就直接用 x 用就好了。那么由 t 一 知，那么你会发现， a 等于多少？ b 加 c 乘以 x， 对 吧？ b 等于多少？ c 加 a 乘以 x， c 等于多少？ a 加 b 乘以 x。 那 么接下来这三个式子，把左边相加，变成 a 加 b 加 c， 右边也相加，你会得到一个二 x 也有个 a 加 b 加 c， 对 吧？二 a 加二， b 加二 c 嘛，然后把二提出来。那么到这步的时候，好多同学犯了一个错误，说 a 加 b 加 c， 直接抵消掉 x 等于二分之一，那么这样的话，你只能得了一个答案，因为我们数学是非常有逻辑性的，每一步都有道理，比如说我刚才 从这步到这步，利用的是等式的限制，左右两边同时加减一个数，这个等式还成立的，对吧？那么接下来你把 a 加 b 加 c 约掉，你利用了什么限制呢？有同学说，老师我也利用了等式的限制呀，啊，叫 两边同时乘除一个相同的数，这个等式成立的，但是这里面有个前提条件，就同时乘除一个不为零的数，这个等式成立，不然的话就没有意义了，对吧？所以说到这里的时候就要分类，干嘛分类讨论了， 这就是我们学数学的非常关键的一地方啊，就是学数学就是通过这个学科呢，提高你的逻辑思维能力，特别是那种比较重要的思维，向这个分类讨论。好，那么当 a 加 b 加 c 不 等于零时，这时候可以利用等式的形式，对吧？约掉 x 等于多少？ x 等于二分之一，没什么好说的。那么第二个，但 a 加 b 加 c 等于零时，你会发现也是成立的呀。 啊，这个时候 a 加 b 加 c 不 约零等于零，那这时候有说有同学说 x 就是 任意解，那也不对，那么 x 还有满足前面这个条件啊，对吧？那这时候 x 等于什么？ b 加 c， b 加 c 可以 写成负 a 啊， 上面是多少 a 呀，就会等于负一啊。有同学老师啊，为什么带到第一个试试？带到第二个试试行不行？也可以啊， c 加 a 等于负 b 啊，负 b 换成 b 也是等于负一啊。好，大家听懂了没？如果没听懂可以继续问我啊。好，更多解析技巧，关注大学老师的课堂 see you， 拜拜。

接下来训练一、第一题，求下列各个比的比值。第一个，一点二，比上零点六四，那写成分数的形式应该是零点六四分之一点二，先把它换成整数， 同时扩大一百倍。六十四分之一百二十，然后进行约分，那约掉八之后，最后变成八分之十五。 第二个，三分之一小时，比上一百六十秒，先把小时化成秒，应该是三分之一，乘以三千六百，等于一千二百秒，所以它就变成是一百八十分之 一千二百，所以化解下来应该是三分之二十，同时约掉六十。第二个，化解下列个比，第一个，八分之一，比上二分之一，比上十五分之一， 那首先找到八十二和十五，它的最小公倍数应该是一百二十，同时乘以一百二十。 八分之一，乘以一百二十，是十五，比上六十，再比上八。第二个，四百五十克，比上四分之三千克，比上零点零六吨，我先把它化成克的形式，所以应该是四百五十。比上 四分之三化成克，应该是四分之三去乘以一千，那约下来是二百五十，乘以三是七百五十克，再比上零点零六吨化成克，首先化成千克，那对应的是六十 千克，那六十千克化成克的话，应该是六万，那同时除以一百五十，所以约完之后，应该是三比上五，比上四百。 第三个，已知 a 是 b 的 七分之一，也就是 a 等于七分之一 b， 那现在问 b 比上 a 是 多少，那同时乘以七的话，七， a 等于 b。 现在 b 比上 a， b 乘以的是一， a 乘以的是七，说明根据内向之积等于外向之积，那说明 a 对 应的这应该是七， b 对 应的应该是一，所以应该。

这节课呢，我们来一起学习比例尺的应用。四单元例七，如下图，明华小学到少年宫的图上距离是五厘米，实际距离是多少米？我们来看 它的比例尺是一比八千。根据我们的已知条件，我们可以知道，我们明华小学到少年宫的图上距离是已知的五厘米， 比利尺是一比八千，求实际距离是多少米，我们可以有很多种方法进行计算。方法一，我们来看比利尺，一比八千指的是图上距离一厘米表示实际距离八千厘米， 那我们现在图上距离五厘米呢？一厘米表示八千厘米，那五厘米是表示的是五个八千呢，也就是五乘八千等于四万厘米。 紧接着我们知道一米等于一百厘米，小单位变大单位要除以净率，所以四万去除以一百等于四百米，所以我的实际距离是四百米。 方法二，我们还是去看比例尺，我们的比例尺是一比八千。我们在方法一的时候可以理解为图上距离一厘米表示实际距离八千厘米， 那我的实际距离是八千厘米，我们还可以把八千厘米转换成实际距离的米，所以八千厘米就可以等于八十米，因为一米等于一百厘米，反过来，小单位变大单位要除以净率 八千除以一百等于八十米，那我们就知道了。哦，原来图上距离一厘米表示实际距离八十米， 那我几厘米呢？图上距离对我有五厘米，五厘米是五个八十，所以五乘八十等于四百米，所以我们的实际距离是四百米。 方法三，我们还可以根据图上距离比实际距离等于比利尺列比例的方法进行解答。 因为我们少年宫、明华小学到少年宫的实际距离是未知的，所以我们解设明华小学到少年宫的实际距离是 x 厘米， 图上距离是五厘米，实际距离我设为 x。 在这里我们进行解设的时候啊，要把我们的实际距离设为 x 厘米，跟我们图上距离的单位要统一，这里强调 这是一个重点。统一单位之后，我们来进行求比例尺，图上距离是五厘米，实际距离是 x 厘米等于比例尺，一比八千， 所以列比例为五比 x 等于一比八千。紧接着解比例，内向乘内向，外向乘外向。这个时候我是不是就写成了一 x 等于五乘八千了呢？ 因为一 x， 我 们的一 x 解写要写成 x， 最后是 x 等于五乘八千， x 算下来是四万，我们解方程也好还是解比例也好，我们后面是不能带单位名称的， 那这是四万厘米，还得把四万厘米转换成四百米。 或者是啊，我们来看数学书，这个他列成了我们的分数形式，实际距离分之图上距离等于比例尺，所以实际距离分之图上距离等于比例尺。紧接着交叉法进行相乘， x 等于五乘八万，最后 x 等于四万。还是同理，我们这个四万单位是厘米，还得把厘米转化为米。答，明华小学到少年宫的实际距离是四百米。 方法四，同学们，我们来看，根据图上距离比实际距离等于比利尺。我们知道我们可以把比号是不可以看成除号呀，也就是说图上距离除以实际距离等于比利尺。我们想 除法，那就是被除数，除以除数等于商除数。不知道的情况下，我用的是被除数，除以商是不等于除数呢？ 所以我们利用转化把图上距离除以实际距离等于比利时等于实际距离。 我们来根据这个公式往前带。图上距离是五，比例尺是一比八千，那就是八千分之一， 五除以八千分之一等于五乘八千。最后算下来是四万厘米。这里老师要强调啊，是个重点，我们单位为什么是厘米啊？因为图上一厘米表示实际距离八千厘米， 所以我们的单位求出来是厘米，再把厘米转换成实际距离单位米，四万厘米等于四百米，所以答明华小学到少年宫的实际距离是四百米，同学们学会了吗？

六、年级比和比例问题。甲乙两数的比是三比五，乙数比甲数多十六，求甲乙两数各是多少？像这样的题目，我们可以借助线段来解析。 甲乙两数的比是三比五，也就是相同的线段。甲有三份，一段，两段，三段，那乙呢？就有五段， 一二三四五，也就是乙比甲多了这两段，乙比甲多十六，那多出来的这两段就是十六， 两段是十六，那一段呢？十六除以二等于八，也就是每段都是八， 甲的每段也是八。现在来看，甲是多少？ 甲有三个八，那也就是三八二十四，乙呢？乙有五个八，那就是五乘以八等于四十。记得关注我呦！

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例，第三个章节的第一课是比利时的意义。 今天呢，王老师给大家带来一个有趣的问题，一起来看。北京到上海的距离大约是一千二百千米，坐高铁大约需要五个小时，可是一只蚂蚁从北京到上海只用了五秒， 这是为什么呢？你们知道吗？对，因为蚂蚁呀，他爬的是北京到上海的途上距离，而一千二百千米，这是北京到上海的实际距离。 那什么地方要用到图上距离和实际距离呢？在绘制地图和平面图的时候，有时需要把实际距离按一定的比缩小或放大， 再画在图纸上，这时就要确定图上距离和相对应的实际距离的比。像这样 一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。那么比例尺这里指的就是一个比，谁与谁的比呢？图上距离和实际距离的比 就是比例尺。比例尺我们用式子来表示，就是图上距离比，实际距离等于比例尺。当然我们也可以把它写成这种分数的形式， 图上距离比，实际距离等于比例尺。例如一幅中国地图的比例尺是一比一亿，这个数比较大，不方便读，我们给它分集四位一集， 所以这个数是一比一亿，那么这就叫数值比例尺，有时也可以写成一比一亿， 那这个数值比例尺一比一亿，它表示什么意思呢？这个一，它表示的就是图上距离，一厘米代表的是实际距离一亿厘米，那这个数值比例尺还表示 实际距离是图上距离的一亿倍，那图上距离就是实际距离的一亿分之一。除了这种数值比例尺，还有一种比例尺。 又如一幅北京地图的比例尺是这样表示的，这是线段比例尺，它就表示地图上一厘米的距离，相当于地面上五十千米的实际距离。所以这条线段的长度是一厘米， 代表的就是实际距离五十千米。那数值比例尺和线段比例尺，它们两者之间有什么样的关系呢？你能把线段比例尺改写成数值比例尺吗？孩子们，请你按下暂停键，快来试一试吧！ 这里是两位同学改写的情况，我们一起来看线段比例尺。图上一厘米代表实际距离五十千米。根据比例尺的意义，图上距离比实际距离，那就等于图上一厘米代表实际距离五十千米，等于一比五十。 第二个同学是这么做的，图上距离比实际距离等于一厘米，比五十千米，发现他们的单位名称不一致， 所以我们先给他换算单位名称。首先把五十千米它等于五万米，因为一米等于一百厘米，再扩大一百倍， 所以在后面再添上两个零，就把它换算成厘米，所以五十千米就换算成了五百万厘米，它的比就是一比五百万。 你们认为哪个改写是正确的呢？第一种方法，图上距离和实际距离的单位名称不一致，不能直接比，所以这种改写是错误的。那么第二种方法是正确的。从这里我们发现呐，图上距离与实际距离的比 必须怎么样呢？对单位要统一把线段比例尺改写成数值比例尺的关键是比的前向和后向单位要统一， 并且这个比例尺呀，它表示的是一个比，所以比例尺最后是不带单位的。我们以这个比例尺为例，一比五百万，它表示什么意思呢？这个一就表示图上距离，五百万表示实际距离，所以它表示 图上距离与实际距离的比是一比五百万，那图上距离就是实际距离的五百万分之一，那实际距离是图上距离的五百万倍。 图上一厘米相当于实际距离五百万厘米，那把它转化成千米，先除以一百 转化成米，再除以一千转化成千米，所以结果是五十千米。线段比例尺会转化成数值比例尺，那如果给一个数值比例尺，你能用线段比例尺表示吗？一幅地图的数值比例尺是一比三千万， 那你能用线段比例尺表示出来吗？孩子们，请你按下暂停键，快来试一试吧！这里是三位同学的表示方法，我们来看 图上一厘米代表实际距离三千万厘米。第二种方法，把三千万厘米转化成米，除以一百，所以结果等于三十万米。 涂上一厘米代表实际距离三十万米。第三种方法是把厘米转化成了千米，所以涂上一厘米代表实际距离三百千米。你喜欢哪种方法呢？对，我们发现第三种方法更加简洁， 所以我们把数值比例尺转化成线段比例尺的时候，如果数目较大，我们一般改为铅笔作单位。除了我们刚才学习的这类的比例尺，你还见过别的比例尺吗？比如 在绘制比较精细的零件图时，经常需要把零件的尺寸按一定的比放大。 比如一幅零件图纸的比例尺是二比一，你知道它表示什么意思吗？根据比例尺的意义，比的前向二，它表示图上距离， 比的后向一表示的是实际距离，所以二比一它表示的是图上距离，是实际距离的二倍， 那也可以说实际距离是图上距离的二分之一。所以像这类的比例尺，我们把它叫做放大比例尺。那刚刚我们前边学习的呢，叫缩小比例尺，特别是实际物体比较小， 不方便研究，这时候我们画在图纸上给它放大。为了方便研究，一般呢要把比例尺写成 前项或者后项是一的形式。理解了比例尺的意义，那怎么样求比例尺呢？我们来看例一，两地之间的实际距离是一百二十千米， 在一幅地图上量得两地的图上距离是二点四厘米，这幅地图的比例尺是多少？根据比例尺的意义，用图上距离比实际距离。 当我们发现实际距离和图上距离的单位不统一，所以第一步我们要换算单位。首先我们把实际距离一百二十千米转化成厘米，先乘一千转化成米，再乘一百转化成厘米， 其实就是在一百二十的后面添上五个零，所以一百二十千米等于一千二百万厘米。接下来我们再根据比例尺的意义，图上距离比实际距离等于比例尺，所以用二点四厘米比一千二百万厘米。注意， 最后结果一定要化成最减整数比，所以等于一比五百万。答，这幅地图的比例尺是一比五百万，除了我们刚刚讲到的比例尺，其实呀，孩子们在生活中我们经常用到比例尺，比如我们制作沙盘， 还有我们房屋平面图的设计，以及我们的电子导航。看来呀，比利时在生活中应用还是非常广泛的。好了，孩子们来总结一下，通过今天这节课的学习，你有什么收获呢？ 首先我们理解了什么是比利时图上距离比，实际距离就是比利时 比例尺，它是一个比。另外我们还知道比例尺分为数值比例尺和线段比例尺，并且会它们两者之间互相转化，我们会计算一幅图的比例尺。孩子们，今天这节课你学的怎么样呢？

学透支点，才会举一反三。大家好，我是佳佳老师。今天我们来学习解比例。我们先看例题， 长征五号运在火箭，总长约为五十七米。有一个长征五号运在火箭的模型，它的总长与火箭总长的比是一比十， 这个模型总长约为多少米？这道题如果用我们前面学过的方法，我们会按比分配，已知火箭总长是五十七米，他占了十份，可以用五十七除以十，先求出一份的量， 让我们求模型的总长。模型总长刚好占一份，就可以直接得到结果了。那现在我们学了比例，可以用一种新的方法来求解。根据提上这个条件，我们可以列出一个比例，模型总长比火箭总长等于一比十， 已知火箭总长是五十七米，让我们求模型总长。我们可以设模型总长为 x 米，列出比例，求出 x 的 值，那这个比例就是 x 比五十七等于一比十，求比例中的未知项就叫做解比例。 在这个比例中， x 是 未知项，我们求 x 的 值就叫做解比例。我们来写一下过程解，设这个模型总长约为 x 米，根据条件列出比例， x 比五十七等于一比十，然后开始解比例。如何求解呢？我们依据的是比例的基本性质，外向基等于内向基， 外向是 x 和十，内向是五十七和一，我们可以得到十 x 等于五十七乘一 十， x 等于五十七，求出 x 等于五十七，除以十五点七。 最后答一下，这是用解比例的方法来解决问题。我们先根据已知条件列出比例，找到比例中的未知项，设为 x， 再进行解比例依据的是比例的基本性质，外向基等于内向基。再进行求解， 我们来看一道练习题。黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为零点六一八。 这个比例被公认为是最美的比例。如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度 符合黄金比，这个人的身材比较好看。如图，点 c 是 线段 ab 的 黄金分割点， ac 大 于 bc。 第一小题根据上面的线段写出一个比例， 我们要理解这里的黄金分割点，点 c 是 线段 ab 的 黄金分割点。那什么是黄金分割点呢？上面已经解释了什么叫黄金分割， 它是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值。那根据这个条件，我们能不能列出一个比例 较大部分与整体的比值，也就是较大部分比整体，较小部分与较大部分的比值，也就是较小部分比较大部分，他们的比值是相等的，所以用等号连接，这样就可以列出比例。那现在我们要用这个线段来表示比例， 找出现段中的较大部分与整体， ac 大 于 bc， 所以 较大部分就是 ac， 整体就是 ab， 较少部分是 bc 比较大部分就是 ac。 这样比例就出来了， ac 比 ab 等于 bc 比 ac。 我 们可以把答案写上去，再看第二小题。一个参加空姐选拔活动的选手，身高一百六十五厘米， 其肚脐以上部分长六十五厘米，为了显得更好看一些，他应该穿多少厘米高的鞋子，结果保留整数。要解决这个问题，我们需要分析提上这个条件， 一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合。黄金比什么意思？这个黄金比的比值约为零点六一八， 那也就是肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比就等于零点六一八。我们可以列出这个式子，已知肚脐以上的高度长六十五厘米，那肚脐以下的高度呢？ 身高是一百六十五厘米，用身高先减去肚脐以上的高度，一百六十五减六十五。但是他还需要穿高跟鞋，所以需要加鞋的高度， 这是肚脐以下的高度。现在斜高不知道，我们可以设斜高为 x 厘米，列出这个方程解设， 他应该穿 x 厘米高的鞋子。六十五比括号一百六十五减六十五的叉加 x 等于零点六一八，这是肚脐以上的高度，这是肚脐以下的高度，它们的比值等于零点六一八。 我们来解一下，先把括号里面这一部分进行化简，六十五比括号一百加 x 的 和等于零点六一八。被先求出比的后项， 一百加 x 的 和等于六十五，除以零点六一八，这里除不尽。题上说保留整数，我们可以在这里直接保留整数，约等于一百零五 求出 x 的 值，一百零五减一百约等于五。最后答一下，他应该穿五厘米高的鞋子。做这种题型要学会分析条件，找到题目中的等量关系再进行解答。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

这道题是比例的变形题，很经典，看看你会不会做？我们一起读下题， 有一堆书籍，其中故事书占百分之四十五，再放入十六本科技书后，故事书就变成了百分之二十五。问这堆书籍当中原有的故事书有多少本？ 我们一起来分析一下条件。他说故事书占了百分之四十五，那这个百分之四十五，我是不是可以用分数来表示啊？其实他就等于二十分之九， 同理，这个百分之二十五，我可以把它变成四分之一。 那我们来看一下，故事书占了二十分之九，是不是相当于全部的书籍有二十份，那故事书占了九份啊？那我可以把它写成比例关系了，我们可以这样写。原来呀， 这个故事书比上全部的书，它的比值就是九比二十。 那现在呢？我们看一下故事书比上全部的书变成了一比四，我是不是把百分数的题给它转变成比例问题了， 并且是我们之前讲的辨别问题。那我们的辨别问题，我们的解析思路是啥呀？是不是找到不变量呀？那在这道题里边，你知道不变量是啥吗？ 我们来看一下，他说后来又加入了十六本科技书， 是不是没有加故事书，所以故事书的数量是没有发生变化的。那我们也就知道了，故事书的数量就是不变量， 那我们找到了不变量第二步就是统一不变量的份数。我们来看一下故事书，原来是九份，那现在的故事书呢？是一份， 那我们就要把这个一份都统一成九分，那一份我们给他乘以九，是不是就变成九分了？ 那根据笔的性质，为了让这个笔呀保持不变，你一乘以九了，你四也要需要乘以九啊。所以我再给四乘以九，他就变成了九比三十六。那我们把这个再给他写一写。 那我们来看一下，因为故事书是不变量，所以我们把故事书原来和现在的分数都变成九了。 那我们再来看一下全部书的分数，原来是二十分，现在是三十六分，是不是多了十六分啊？也就是三十六减二十，他就等于十六分。 那为什么多了十六分？因为后来又加入了十六本科技书啊。 那你能算出一份表示的量来吗？多买了十六本书，所以增加了十六份。那一份是不是就相当于是一本书啊？ 那我们再来看问题，问的是原来故事书有多少本？那我就用一份表示一本乘以故事书原来的分数就可以了呀。 注意了，我们要用统一后的分数。那原来故事书是九份，那用一乘以九，所以原来的故事书就是九本书。那这道题你学会了吗？

今天我们讲写比例，用二十四的因素组成一个比例是多少？这道题目里面它的知识点是什么？第一，找因素， 第二，写比例。 我们先来找二十四的因素，二十四的因素，我们在五年级学过最方便的方法，最快捷不遗漏的方法，一对一对。从小到大来，一乘二十四，二乘十二， 三乘八，四乘六，这样我们就找到了二十四的因素，有八个，有四对，并且都写成了乘积为二十四的形式，这样写有什么好处？你等下就知道了。第二，写比例。 我们先搞清楚什么叫比例啊？表示两个比相等的式子，那就说明比例要几个数，要四个数，有四项，两个比相等， 这样的式子叫比例。那么写比例的时候，我们刚才有找因素的这个方法，它符合我们什么呢？符合我们比例的基本性质。在比例里，两万向的积等于两内向的积， 外向在哪里？远离等号的这两个数叫外向，它的乘积等于两内向是靠近 等号的这两个数，这个叫 y， 这个叫内。那么我们根据外向的积等于内向的积， 我们在找因数的时候，是不是都是一对一对的积等于二十四，那么任选两对，填在这个括号里面，就可以写出比例来。我们选第一对一乘二十四，我们用它做外项，那一外项，二十四也外项， 然后再选一对二乘十二，那二做内向，十二也做内向， 那我们就符合呢？内向肌是二十四，外向肌也是二十四，这就是写因素。这样一对一对的写，在那写比例的时候就非常的快捷方便。 哎，这样的答案只有这一个吗？没有，还可以怎么写？你还可以选三 和八，那选四和六来等号，比号写好，三比四等于六比八，这样的答案不为一，有很多种， 这是我们用比例的基本性质来写的，实际上他还有没有别的方式来写？还可以根据比例的意义来写，那两个比相等，两个比相等就是比值相等， 那我们根据比值相等，我们在这八个因素里面找我们可以怎样呢？ 我们从最简单的来一和二，我们写成二比一，它的比值是多少？是二，那么在这里面比值是二的数，那就有很多了，可不可以写成八比四？ 我们二比一还可以写成六比三，这样的可以写多少？也可以写很多。 所以这种题目我们可以根据两种方式来写，第一，根据基不变来写，第二，根据比值相等来写。 不管哪两种方式，我们都要先找到二十四的因素，你明白了吗？

学透知识点，才会举一反三。大家好，我是佳佳老师。今天我们来认识比例，我们先来复习一下比， 这是一个长方形，长十五厘米，宽十厘米。可以用比表示长和宽的关系吗？也就是让我们求长比宽等于多少？长是十五厘米，宽是十厘米，那长比宽就等于十五比十。 复习一下各部分的名称。十五是比的前项，这两个点是比号，十是比的后项。那比的意义是什么呢？两个数的比表示两个数相处， 所以十五比十就等于十五除以十，结果是二分之三，那这里的二分之三就叫做比值。那如何求比值呢？用比的前项除以比的后项就等于比值。 最后是比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数，零除外，比值不变。我们可以根据比的基本性质来化简比，比如十五比十， 把它化成最简整数比。根据比的基本性质，前项和后项可以同时除以五 除以他们两个的最大共因数就等于三比二，这就是最减整数比。那我们今天来认识一下什么是比例。这里给了三张图片，里面含有三面国旗，第一面是在天安门前， 国旗长五米，宽三分之十米。第二面国旗是在操场上，国旗长二点四米，宽一点六米。第三面国旗是在教室里，国旗长六十厘米，宽四十厘米。我们先看第一，问 上图中操场上和教室里的两面国旗长和宽的比值有什么关系？让我们求长和宽的比值， 那我们分别计算一下。先看操场上的国旗，长二点四米，宽一点六米，那长比宽就是二点四，比一点六，求比值等于二点四，除以一点六，比值可以写成分数形式， 一点六分之二点四，分子分母同时乘十十六分之二十四，再来约分，同时除以八等于二分之三，比值是二分之三。再看教室里的国旗，长六十厘米，宽四十厘米， 长比宽等于六十比四十，求比值等于六十除以四十。四十分之六十，同时除以十四分之六，再同时除以二等于二分之三。那他们的比值有什么关系呢？ 我们发现他们的比值是相等的，那这两个比我们可以用等号连接起来， 也就是二点四比一点六等于六十比四十，因为这两个比的比值是相等的。当然也可以写成分数的形式，二点四比一点六等于六十比四十。 像这样的式子，我们称它为比例。看一下比例的意义，表示两个比相等的式子叫做比例。首先是两个比，它们的比值相等，那我们用等号把这两个比连接起来，这个式子就叫做比例。 写成这种形式或者是分数的形式，读作二点四比一点六等于六十比四十。那我们来看第二问，在上面三面国旗的尺寸中，还有哪些比可以组成比例？ 我们再来回顾一下，我们是怎样组成比例的。先求出这两面国旗长和宽的比值，发现它们的比值是相等的。 我们将这两个比用等号连接组成了比例。所以要判断哪些比可以组成比例，需要求出这些比的比值， 如果相等了，就可以组成比例，如果不相等就不能组成比例。那我们来研究一下，这是三面国旗的尺寸，我们刚才求的是长和宽的比，那现在呢？把这三面国旗长和宽的比都列出来。 天安门前的国旗长五米，宽三分之十米，长比宽也就是五比三分之十， 需要求出它的比值，五除以三分之十等于二分之三。操场上的国旗长二点四米，宽一点六米，长比宽 二点四，比一点六。刚才已经算过比值了，等于二点四除以一点六，比值是二分之三。教室里的国旗长六十厘米，宽四十厘米，长比宽 六十，比四十，比值是六十除以四十等于二分之三。我们发现这三个比，他们的比值都是二分之三。那怎样组成比例呢？比值相等的两个比，用等号连接可以组成比例。那看一下有几种情况。这两个比 可以组成一个比例，五比三分之十等于二点四，比一点六。第二个和第三个比也可以组成比例，二点四比一点六等于六十，比四十。 还有第一个和第三个比可以组成比例，五比三分之十等于六十，比四十，可以组成三个比例。这是我们研究了长和宽的比， 那还可以研究谁跟谁的比呢？我们可以反过来研究宽和长的比，分别求出宽和长的比值，再进行比较，看是否能组成比例。天安门前宽比长三分之十比五，再求出比值 等于三分之十除以五等于三分之二。操场上宽一点六比长二点四求比值，一点六除以二点四也是三分之二。教室里的国旗宽比长是四十，比六十 求比值，四十除以六十等于三分之二。我们发现这三个比比值也相等，也可以组成比例。前两个比组成的比例是三分之十比五等于一点六，比二点四。 后两个比组成的比例是一点六，比二点四等于四十，比六十。第一个和第三个比也可以组成比例。三分之十比五等于四十，比六十可以组成三个比例。我们刚才研究了长和宽的比，宽和长的比， 那还可以研究谁跟谁的比呢？可以研究长和长的比，宽和宽的比，看能否组成比例。这是第三种情况。我们先看前两面国旗，长和长的比五比二点四， 求比值等于五除以二点四，可以写成分数形式。二点四，分之五同时乘十二十四分之五十同时除以二。分子是二十五，分母是十二等于十二分之二十五。 宽和宽的比三分之十比一点六，求比值等于三分之十除以一点六。先把一点六化成最减分数。十分之十六，约分同时除以二五分之八， 也就是三分之十除以五分之八等于三分之十，乘八分之五八和十，约分同时除以二 四五等于十二分之二十五。这两个比比值相等，可以组成比例。五比二点四等于三分之十，比一点六。 再看后两面国旗，长和长的比是二点四米，比六十厘米。注意这里单位是不同的，需要转化单位。 二点四米比六十厘米，我们可以把米化成厘米，进率是一百二百四十厘米，比六十厘米等于二百四十，除以六十 等于四。宽与宽的比是一点六米比四十厘米。把米化成厘米，一百六十厘米比四十厘米等于一百六十除以四十等于四， 这两个比比值也相等，可以组成比例。二点四米比，六十厘米等于一点六米比四十厘米。最后还有一组第一面和第三面国旗，长和长的比，宽和宽的比能否组成比例，你下去可以自己研究一下。 我们可以总结一下判断是否能组成比例的方法。如果两个比的比值相等， 就能组成比例，如果两个比的比值不相等，就不能组成比例。所以关键是求两个比的比值，看它是否相等。那我们来看两道练习题，先看第一题，下面哪组中的两个比可以组成比例。把组成的比例写出来， 我们的判断方法就是求比值，如果比值相等，就可以组成比例。先看第一个， 分别求出这两个比的比值。六比十等于六除以十等于十分之六，化简之后是五分之三。九比十五等于九除以十五， 十五分之九，化简之后是五分之三。比值相等，说明这两个比可以组成比例。我们用等号连接就可以了，六比十等于九比十五。 再看第二个，同样求出这两个比的比值，二十比五等于二十除以五，比值是四。一比四等于一除以四，比值是四分之一，比值不相等，说明不能组成比例。第三组 也是分别求比值，二分之一比三分之一等于二分之一除以三分之一等于二分之三。六比四 等于六除以四，比值也是二分之三。比值相等，说明可以组成比例。用等号连接，二分之一比三分之一等于六比四。第四组求比值，零点六比零点二等于零点六除以零点二，比值是三。 四分之三比四分之一等于四分之三除以四分之一，比值也是三。比值相等，说明可以组成比例等号连接。零点六比零点二 等于四分之三比四分之一。我们来看第二题，用图中的四个数据可以组成哪些比例？我们先来观察这四个数据，这里能看到两个三角形， 如果四厘米是大三角形的底，那三厘米就是大三角形的高，两厘米是小三角形的底，一点五厘米是小三角形的高。我们要组成比例，需要求出比值。 那要研究谁和谁的比呢？可以研究两个三角形底和高的比。大三角形底是四厘米，高是三厘米，四比三求比值， 四除以三，比值是三分之四。再看小三角形底和高的比，底是两厘米，高是一点五厘米。二比一点五求比值， 二除以一点五，比值也是三分之四。所以这两个比可以组成比例，四比三等于二比一点五。我们也可以反过来，二比一点五等于四比三，这是他们底和高的比。那还可以研究谁和谁的比呢？ 可以反过来研究他们高和底的比。先看大三角形，高是三厘米，底是四厘米，三比四 求比值，三除以四，比值是四分之三。再看小三角形，高一点五厘米抵两厘米，一点五比二等于一点五除以二，比值也是四分之三。比值相等可以组成比例， 三比四等于一点五比二，也可以交换位置，一点五比二等于三比四。 还可以研究谁和谁的比呢？我们可以研究这两个三角形高和高的比，底和底的比。 我们先把大三角形放在前面，小三角形放在后面，大三角形高三厘米，小三角形高一点五厘米。三比一点五，比值三除以一点五，比值是二 底和底，大三角形底是四厘米，小三角形底是两厘米。四比二，求比值等于四除以二，比值也是二，可以组成比例。三比一点五等于四比二，也可以交换位置， 四比二等于三比一点五。这是大三角形在前，小三角形在后。我们也可以让小三角形在前，大三角形在后。小三角形的高比大三角形的高等于一点五比三，求比值，一点五除以三，比值是零点五。 小三角形底比大三角形的底是二比四，求比值，二除以四，比值也是零点五，可以组成比例。一点五比三等于二比四，也可以交换位置，二比四等于一点五比三。 我们看一下一共写出了几个比例，我们一共写出了八个比例，我们再来总结一下，我们今天主要讲了比例的意义，表示两个比相等的式子可以组成比例。那如何判断是否能组成比例呢？ 我们需要求比值，如果两个比的比值相等，就可以组成比例。如果两个比的比值不相等，就不能组成比例。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

这三道题是对比例基本性质的灵活应用，我们一块来看一下。先看第一题，一个比例的两个内向分别是零点六和一点五，两个比的比值都是九分之四，你能写出这个比例吗？ 我们先把这个比例用横线来表示，然后根据已知条件往里面填数。已知两个内向分别是零点六和一点五，这是两个内向，这里填零点六， 这里填一点五。那这两个内向也可以交换位置，左边填一点五，右边填零点六。 所以有这两种情况可以列出两个比例。还有一个条件，两个比的比值都是九分之四，那我们先看第一种情况， 它的比值等于九分之四，也就是一个数比零点六等于九分之四，让我们求比的前项 如何求它呢？我们可以用比值乘比的后项，九分之四乘零点六等于九分之四，乘五分之三等于十五分之四，所以这个比的前项就是十五分之四。 同样的，这个比的比值是九分之四，我们可以得到一点五比后项等于九分之四。让我们求比的后项，用前项除以比值等于一点五，除以九分之四，把小数化成分数， 二分之三除以九分之四，就等于乘四分之九，最后结果是八分之二十七， 所以这个比的后项就是八分之二十七。那第一个比例我们就写出来了，可以验证一下是不是内向肌等于外向肌，内向肌是零点六乘一点五等于零点九，外向肌十五分之四乘八分之二十七，交叉约分， 同时除以三，这里是五，这里是九，等于十分之九。内向肌等于外向肌，说明这个比例是正确的。同样的方法来看，第二种情况， 同样满足两个比的比值是九分之四，也就是这个比，他的比值等于九分之四。我们要求比的前项等于比值，乘比的后项 九分之四乘一点五等于九分之四乘二分之三等于三分之二， 这里填三分之二。再看后面这个比，它的比值也是九分之四，我们可以得到零点六比后项等于九分之四，要求比的后项等于前项除以比值， 零点六除以九分之四等于五分之三乘四分之九等于二十分之二十七，这里就是二十分之二十七。可以验证一下内向机是否等于外向机，内向机是一点五乘零点六还是零点九。 外向积三分之二乘二十分之二十七，交叉约分等于十分之九，说明这个比例是正确的。所以这道题根据已知条件，我们可以写出两个比例。 首先根据条件先把内向写上去，内向可以交换位置，再根据比值求出外向，把比例补充完整。我们来看第二题下面哪组中的四个数可以组成比例，把组成的比例写出来。 这道题是给了我们四个数，看能否组成比例，依据的还是比例的基本性质。内向基等于外向基，但是有一定的方法。我们以第三题为例， 首先将这四个数按从小到大的顺序排列，最小是一点六，然后是二，接着是五，最后是六点四。如果这四个数中，最小数与最大数的乘积等于另外两个数的乘积，那他一定可以组成比例。 那这道题我们计算一下，最小数一点六乘，最大数六点四，另外两个数的乘积二乘五等于十 不相等，所以这四个数不能组成比例。那再看第一组数，这四个数刚好是按从小到大的顺序排列，那我们就计算最大数与最小数的乘积 与另外两个数的乘积，最小数四乘，最大数十五等于六十，另外两个数的乘积五乘十二也等于六十。乘积相等，说明这四个数可以组成比例，也就是四乘十五等于五乘十二。 那我们可以理解为内向积等于外向积，可以组成几个比例呢？一共能组成八个比例。 第一种情况，四和十五是外向，五和十二是内向。我们可以先写出一个比例，把四和十五放在外向的位置，五和十二放在内向的位置， 四比五等于十二比十五。然后可以交换两个外向的位置，内向不变，十五比五等于十二比四。 再根据这两个比例，我们交换内向的位置，外向不变。又可以写出两个比例，这里交换内向的位置，四比十二等于五比十五，这里也交换内向的位置， 十五比十二等于五比四。这是第一种情况，我们可以列出四个。第二种情况，也可以列出四个，四和十五是内向，五和十二是外向。可以先写出一个 五和十二是外向，写在外面，四和十五是内向，写在里面，五比四等于十五比十二。剩下的三个跟那边方法是一样的，我们可以先内向不变，交换外向位置，十二比四等于十五比五。 再根据这两个比例，我们交换内向位置，外向不变。根据第一个交换内向位置，五比十五等于四比十二，再由第二个交换内向位置外向不变， 十二比十五等于四比五。又写出了四个比例，所以一共能写出八个比例。我们先来总结一下做题方法，再看剩下的两道题，判断四个数能否组成比例。 第一步，我们需要将这四个数按从小到大排序。第二步，如果最大数乘最小数 等于另外两个数的乘积，那这四个数就可以组成比例。如果乘积不相等，就不能组成比例， 那我们来看第二组数，二、三、四、五，这个是按从小到大的顺序排列，最大数与最小数的乘积二乘五等于十，另外两个数的乘积三乘四，十二乘积不相等，那这四个数不能组成比例。 最后来看第四组数，先从小到大排序，六分之一最小，接着是四分之一，然后是三分之一，最大的是二分之一。计算最大数与最小数的乘积，还有另外两个数的乘积，我们发现乘积都是十二分之一，说明可以组成比例。 六分之一乘二分之一等于四分之一乘三分之一。根据这个式子，我们可以写出八个比例。第一种情况，六分之一和二分之一是外向，四分之一和三分之一是内向，六分之一比四分之一 等于三分之一比二分之一。交换两个外向位置，内向不变，二分之一比四分之一 等于三分之一比六分之一。再分别交换他们的内向，六分之一比三分之一等于四分之一比二分之一。这边也是交换内向，二分之一比三分之一等于四分之一，比六分之一。第二种情况， 六分之一和二分之一是内。向四分之一和三分之一是外。向四分之一比六分之一等于二分之一，比三分之一。先交换外向位置，内向不变，三分之一，比六分之一等于二分之一，比四分之一。 再分别交换内向位置，外向不变，四分之一比二分之一等于六分之一。比四分之一。 一共能写出八个比例，我们来看最后一道题，如果这四个数可以组成比例，那么 x 最大是多少？最小是多少？ 用到的就是这种方法。首先我们将这四个数按从小到大排序，让我们求 x 最大是多少，那这里的 x 就是 这四个数中的最大数，四最小，然后是八 十六，最后是 x， 可以 组成比例，说明满足这个条件，最大数乘最小数等于另外两个数的乘积，最大数乘最小数，也就是四。 x 等于八乘十六，这样我们可以求出 x 的 值， x 等于 八乘十六，再除以四，四和八可以约分，这里商一，这里商二。求出 x 等于三十二， 所以最大是三十二。再看最小是多少，说明这四个数中 x 最小。我们从小到大排序， x 最小，然后是四，八 十六，同样满足这个条件，最大数与最小数的乘积等于另外两个数的乘积十六， x 等于四乘八十六， x 等于三十二，我们可以求出 x 等于二，所以最小是二。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？