八下四边形常见基本图形展开图

八下数学，咱们期中考和期末考的压轴题型也是几何里面的压轴平行四边形和特殊的平行四边形，这个模块最大的挑战表面上来看是他的压轴题型比较多，包括他的变换形式比较多，但实际上最本质的东西实际上还来自于这张图， 也就是从四边形到平行四边形，从平行四边形到特殊的菱形、矩形和正方形， 他的性质和判定，我们这个视频呢，带着大家一网搞定他所有的难点。你真正理解了这张图的底层逻辑，你会发现很多题目实际上是在于这张图的变形。 那么当然你听完这个视频之后，关于视变形和特殊的平行视变形，杨老师呢给大家做了一个系统的内部专题的分享， 那么一共呢二十大经典题型的汇总，家长朋友们呢，咱们也可以呢，那么在视频的最后呢给大家去分享，家长朋友们呢，咱们也可以领回去打印出来，带着孩子呢去举一反三系统练 啊。那这个图呢，我们重点来给大家梳理，从四边形到底是怎么样变成平行四边形，那从平行四边形变成菱形、矩形和正方形又需要哪些要素？ 那我们在思考这个问题的角度的时候呢，为了保证所有的我们全部都能考虑进来，我们考虑这三条，一个叫边，一个叫角，一个呢 叫对角线。实际上我们讲从四边形到平四边形，无非是边角对角线的问题，那么其他的也是一样，从边的角度上来进行入手，应该是两组对边，可以进行平行的，当然这两组对边呢，也可以进行分别相等， 那如果我们用一组对边的话呢，我们就要把这两个信息都给他加上，也就是有一组对边既平行又相等， 那这是我们从边的角度上来进行入手。那如果我们从角的角度上来进行入手呢？比如说他的两组对角分别是相等的也可以，但是这一点呢，大家注意哈，我们往往 是来进行证明的。那么第五条呢，关于两组对角啊，那么第五条关于菱角互补， 如果有两组菱角互补不一定，比如说角一和角二，角一和角三是可以的，这叫两组菱角互补，那么如果说出现了角一和角三，角二和角四，实际上这个时候呢，是不构成的，所以第五条和第四条呢，我们一般 需要单独来进行证明，你不能把它作为一个判定来直接去用。我们上面讲完了边和角，那么第六个我们来看一下对角线，对角线呢，我们讲的是互相平分啊，如果说对角线互相平分就可以构成了平行四边形，好，那么从平行四边形是怎么变成菱形的？同样呢，还是从边 角对角线的角度上来进行入手啊？那我们如果从边上来看，从平行四边形到菱形，菱形的四个边是相等的，那我们只需要呢出现菱边相等就可以了， 因为本来对边就相等，再加一个菱边相等就相等，那从角的角度上我们会发现呢，他没有特殊性，那从对角线的角度上来说，原来平行四边形呢，他的对角线是相互垂直的，所以这个里面呢，我们只需要再加上一个垂直就可以了 啊，那么从平行四边形到矩形，我们依然是从边角对角线上来说，但是大家会发现从边上来说呢，他没有特殊性，平行四边形变成矩形，他需要的是把其中一个角变成九十度，所以他更多的来说呢，从角的角度上来说，应该是出现一个角是九十度， 那边上没有角上有九十度，那对角线的角度上来说，对角线对于矩形而言是两条对角线啊相等的。首先它的前提是平行四边形啊，已经平分了，那么我们呢，再给他加上一个对角线是相等的。好，这是我们讲的边角对角线，那这里面还有一个从平行四边形直接到正方形，会出现什么情况？ 还是从边角对角线，从边的角度上来说，加上其中有一个角是九十度 啊，那么这两个要必须同时来用，也就是正方形是最特殊的，他要把边和角同时用上。那第二个呢，是从对角线的角度上来说，对角线的角度上来说，大家一定要拿出纸和笔啊，跟着我一块去思考。从对角线的角度上来说，他应该是加上原来已经有了平分了，再加上一个 相等，再加上一个垂直，要把菱形和矩形的一个垂直和一个相等全部都加上，才能变成正方形的结构。 那接下来如果从菱形变成正方形呢，依然是边角对角线的逻辑，那菱形变成正方形，其实边上已经没有 啊这个特殊性了。那从角的角度上来说，其实我们可以把菱形呢，其中有一个角九十度，它就可以变成正方形，那从对角线的角度上来说，那正方形它是最特殊的，它的对角线呢，是垂直平分且相等，那 这个菱形呢，是平分并且是垂直的，那么他还差一个相等，所以对角线只需要加一个相等，那接下来是从矩形到正方形，从边角对角上来说哈，那么从边的角度上来说，我们只需要让菱边相等，角上来说呢，他没有特殊性，那从对角线上来说呢，我们只需要补充上一个 垂直，对角线本身已经平分了，然后又相等了，然后再加上一个垂直的结构好，他就可以变成正方形。那这里面呢，还有几个比较特殊的变化，从四边形到矩形的变化，包括从四边形到正方形的变化，以及我们讲的从 四边形到菱形的变化，他是怎么直接到达的？如果从四边形到菱形上，我们可以加上一个叫四个边是相等的图形，他就是菱形，那从边的角度上达到了最大的特殊性，四个边都相等，那从角的角度上来说呢，我们发现单独的用角 是不行的哈，那从对角线的角度上来说，实际上我们可以加上一个对角线既平分，其实平分的时候，他就已经变成了平行，四边形平分，再加上一个呢， 对角线垂直，那就可以变成菱形，那同样呢，从四边形到矩形的逻辑上，我们从边上来说没有特殊性，但是从角的角度上来说呢，我们其实可以加上一个四个角都是九十度，实际上也就是三个角都是九十度， 因为剩下的那一个角呢，一定是九十度的。那么从对角线的逻辑上来讲，首先你要把这个四边形变成平四边形，所以你要加上一个， 首先是平分，那平分之后呢，矩形它是要要求对角线要相等的，所以要加上一个四边形的对角线平分并且相等的四边形，它就是属于叫矩形的。那我们直接一步到位，从 最一般的四边形到最特殊的正方形，那这里面呢，从边的角度上来说，我们没法直接加，从角的角度上来说呢，也没法直接加，一般来说我们是把边和角放在一块，比如说我们把边和角放在一块，可以说四个边都相等，四个角也相等的，那这个图形呢，是正方形 啊，或者说你说三个九十九十度也可以啊。那么还有一个呢，叫从对角线的角度上来说，应该把我们之前讲的所有的对角线的性质全部加上，对角线既平分又垂直又相等，那所有都加上，那以上这个图呢，我建议咱们所有的同学们呢，你自己在你的草稿纸上画一遍， 你把四边形的性质，平行四边形的性质，菱形、矩形、正方形的性质，自己独立梳理一遍，再把从四边形到平行四边形的判定，从平行四边形到菱形到矩形到正方形的判定，完全的自己搞定一遍， 你会发现这个流程你越来越熟练，你在做题的过程中呢，你会发现你在这些内容上呢，你是越来越熟练，你真正做压轴题的过程中呢，你的思路也是越来越多的。 那关于我们刚才给大家说的平行四边形，特殊的平行四边形这二十大经典题型的汇总呢？家长朋友们可以领回去带着孩子呢去举一反三，系统练！

hello， 大家好，我是大哲老师。现在我们继续学习二十一章第二节。 在上面的时候，我们已经把平行四边形，呃，前一个概念叫做四边形把它学完了。那在四边形这个概念中，我们说涉及到了一些，呃， 常见的，还有特殊的，还有多边形，有关它内角的一些知识，那我们看看四边形对于这一块来说，呃，更为细致的，而且是平行四边形，那我们看到它会带给我们哪一个知识点？ 对于三角形，我们学习一般上行之后又学习了等腰三角形和直角，那同样的自己类比的话，哎，我们学完了这个下一个思路来说，对四边形，我们从组成他的四条边的位置关系来看， 他的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形， 如果他只有一组对边平行这个四边形呢？他就是一个梯形，那么我们重点去学习的内容叫做 平行四边形，研究他的性质和判定，也就是说我们去 探索清楚它到底有什么样的性质，它的性质能带给我们哪一些解析的思路，还有我们该怎么去判定一个图形它是平行，是变形， 当然它的性质在很多证明题中会经常用到了，然后我们 看到的时候，哎，要想到他在学徒的时候，你还记得哪一些基础的知识点涉及到他了？我们看到这边第一个他的 平行四边形及其性质，也就是说他会问我们什么叫平行四边形，那么平行四边形是什么？这就告诉我们平行四边形是常见的几何图形， 并且我们说在很多呃，伸缩门这里也说了，伸缩门，庭院的竹篱笆等等围成的基本上都是平行四边形了。那我们知道两组对边分别平行， 分别平行的四边形叫做平行四边形，等于说两组对边，上上下左右 对 𠲎， 这两组一定是平行的，那么这两组对边分别平行，而且前提是它也是一个四边形，我把它叫做平行四边形， 那么这种产生的图形产生图形，我们就要去看图形的边和角，他的一个关系，边角对角线出发，我们一步不差，就从我们平面的角度以及它的数量关系， 位置关系去发现研究平行四边形的性质了。那我们来看看，先看他的边和角， 那么我们看这段话，我们可以去画一个，在这里的时候看到我们在右边画了一个平行四边形，那我们去猜想，那么他的对边 对吧？会不会相等，对角会不会相等，那我们猜想出来，我就一个个去证明他，看看是否是 会满足我们这些猜想，我们猜想的到底对还是错了。那么看到这里这样列涉及到线段，还有涉及到角，那我们就来证明喽。如图，连接 到这条线，好，这两个是顶点连接起来，连接完之后，因为 a、 d 和 b， c， a、 b 又和 c、 d 分 别平行，一平行 角一等于角，二是内错角，角三等于角，四也是内错角，那么这两个内错角呢？ a、 c 又是一个公共边，所以我就能够去证明 三角形它和它是全等，它全等能推边，能推角，所以我们去这么说，这里就能够得到它的性质了。当然这里还留了一个问题给我， 什么问题啊？他说请你自己证明，角 b、 a、 d 和 d、 c、 b 相等， 那我们角一等于角二，角三等，角四相加，不也就相等了吗？是吧？这就不不多说了啊。那每一说平行四边形，它的对边正完之后，平行四边形的性质， 平行四边形的对边相等，平行四边形的对角、对边、对角都相等，所以它的最基本的性质，我们下就通过先猜想 再验证的方式把它做出来了，这个要能够记得很牢固，随时都能够去记清楚他的是对边和对角都相等了，那么我们来探究。接下来探究完这个之后，我们看看他这里 两条对角线的关系，那么对角线，对角线就是对角连成的线，那么这两个对角我们都做出来了，看到它，究竟 我们把它做出来，看到啊，那做出来平行边有什么特征？首先连完之后，在平行边形中我们能证到 o a 和 o c 相等， o b 和 o d， 这个和这个和这个， 所以这个我们来去正的时候也通过三角形全等去求证了。三角形全等这哪几个？这还有对角喔，对角喔， 所以你想正哪两个边的时候，可以通过全等的方法去求证它是等的，所以又多了一条平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分， 相平分了。那么例题一的话，我们来去看看，如图，我们要求 b c 的 长度，要求 a c 的 长度，还要求 cd 的 长度，还要求 o a 的 长度， o a， c， d 和 a c， 哦，这边都要求，还有它的面积，让我们一个个来，它是平行四边形， ab 等于十，那么 cd 也等于十，第一个解决 bc 啊， ad 等于八， bc 也等于八， 所以这里又垂直喽，十八六一半就三 什么，所以都出来了，客户经理，所以我们这一算的时候，熟练的话，立马就能看到它要求的这些是什么了。然后平行四边形的面积，看到它会等于 b c 乘，这条是它的高，底层高是边形的面积公式了。 同样的道理，上面刚讲完例题，下面就要通过我们说的什么呀练习去呈现去求解，那么按照例一的方法和或者是方式进行啊， 所以是这个时候，你看我们只需要知道哪一些，另外的都能够通过它的性质去推导相等或者是其他的等量关系的时候，我们来进一步挖掘出它们之间的 区分啊。当然这些填空题可以大家好好做一做，如果不会做，翻到例题一去看它的步骤，这里我就不再多讲。相对来说，这边送分就是平时说的课后练习，一定是按照 这个前面讲过的这个例题来去，呃，改变改写的啊，改编的，所以呢 难度也不会特别大。那我们看到立体二，立体二的时候，他直愣愣的告诉我这么多条件，然后要我求的是 o e 这段和 off 的 关系，那么我们现在到 o e 和 off， 它是线段，线段我们会放在三角形中去，那么这样的形我就要求这两个小的 a o e 和 c o f 的 关系， l e c o f， 那 就是说看看有没有正三角形全等的方法去把它正出来，正完这两个上弦前的，那么所对应的 o e 和 o f 这两条边肯定也是相等的。 只是说到这个思路，那么来看看，首先因为他告诉我这是一个平行四边形，所以 a、 b 和 c、 d 的 关系是平行，它一平行，那么 e a、 o 这个角和 f、 c o 它是内错角相等， a e、 o 这个角和这个角它是， 那么内错角都是相等，那么 o a 又因为已知它的性质，对角线互相平分，所以 o a 和 o c， 所以 就出来了三角形相等，三角形相等之后，直接就能够得出线段相等， 那这相当于说会说到一个距离，距离是几何中的重要度量之一，记住了，我们去学的时候，朋友结合他的概念，对吧 性质学习两条平行线之间的距离了，那么也就说在这里的时候啊，特别注意他的概念和性质，依旧是能够帮助我们去证明和推导大部分的平行四边形中的 一些问题，应用题啊，尤其在几何中。那么我们来看到下一题，如下图二，一点二杠九 这两这几条四条线呢，分别 a 和 b 平行， c 和 d 平行，那么它们分别相交于 a、 b、 c、 d 四点，对吧？这四点由于它是平行四边形的概念和性质的，这里面是一个平行四边形， 它是平行四边形，那 ab 和 cd 相等，所以呢，也就是说两条平行线之间的任何两条平行线段都相等， 很好理解吧，在这几个都是平行的时候，这一段和这一段是相等的，任意任意的都可以啊，比如说两条平线之间的任意两条线，比如说这一条， 对吧？和这一条是，呃，他们的关系是平行的话，他们也是会相等关系呈现出来。那看到这些时候会想到一个问题，两条平行线之间的距离和点 与点之间的距离，点到之间距离有什么联系与区分呢？或者说区别呢？那我们就来看到按照他说的一些要求，我们把上面的结论对吧？看到如果两条直线是平行的，他平行，那么一条直线上 等，所有的点到另一条直线距离都相等的两条平行线中一条直线上任意一个点，比如说这里到 一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离，记住，距离这里的指的是会什么呀？垂直的啊，垂直的 垂直。那么我们来看到例题三，在线段梯 形中啊， a、 d， b、 c 平行， a、 b 等于 dc， 求证角相等， 那这两个角相等，中间的它平行，我们就肯定角相等，我们基本上会用三角形全等去求角， 那么垂足在这里时候看一下啊，在梯形中他给我们做了一个垂线， 做过 a 点、 d 点分别做 a 一 垂直 d f， a 一 垂直 d， f 垂直 b， c， 垂足为 e 和 f， 那 么这几个 a， e 和 d f 的 长分别是它 a、 d 和 bc 之间的距离，刚才也说了，那这个距离又是相等的，所以 a、 e 和 d、 f 相等， a， e 和 d， f 相等， 然后我们的什么 ab 和 dc， h、 l 三角形， 直角三角形全等，全等完之后对应的角也是这样的喽。所以在这里的时候看到我们说的，哎，他的证明和我们前面学过了一些证明的方法，基本上是我和他用什么证明，对吧？ 那我们证明的时候基本上涉及到角，还有我们说的边，我们都用什么证明啊？都用 三角形全等啊，全等，我们基本上全等能够帮助我们去证明大部分的求角求边的题目， 那么还有其他方法可以去试一试了，我们这里直观的就是说通过 h l 这个方法去求解了， 那么下面的例题基本上套上它的性质和公式，注意在标写的时候要特别注意了啊，那告诉我们这个是平行 abc， 这个是七十度， b 又平分，而 a、 d、 a、 d 相交于这个点，那 a、 d 在 这边，然后 d、 f 又平行 e、 b 对他们的关系。看清楚求角一的这个度数啊，那角一这边，对吧？求他的度数的话，呃，通过什么方式来求？ 你求好之后要注意去验算一下啊。四边形，它是平行四边形，你告诉我们呢？ abc 对 角就相等，哦，对吧？这个对角也是七十了，七十出来，那我们这里就能求出来，对吧？ 一百一，一百一，这里，这里是七十，然后这个平行这个角等于这个角啊，然后我们再说他和他的关系，我们来捋一捋吧， 看到第一题的时候，其实刚收到了他有个 abc， 七十七十的时候，我们就能够看到他的特征，对吧？他已经告诉我了，告诉我这些关系，我要求这个角移的大小的时候，我们只需要按照我们学过的步骤， 一步一步来去解决。他是七十，那么 a、 b 三十五喽， 对吧？平分了，它是平分，所以三十五， a、 b 和 e、 b、 c 这个关系，这也是三十五了， ok， 那 这也是三十五了呐，出来了吧，它是三十五，那么我们说的在这里的时候，呃，我们利用 df 和它平行的关系， d、 e 和 b、 f 又是平行的，那 d f 和它也是平行的，是吧？它的关系我们要求的时候就能够快速的求解出来啊，也就是说那么算完之后因为什么呢？呃， 这个角看到这个角是和这个角相等的，对吧？那这个角等于这个角同一角，那过去，那我们说去求解的时候，三十五度就是我们这里要求的，应该是标在这里的吧。所以啊， 二十五度我跟你讲，直线一半都用上去了，别的条件都用上去了，那么立体二把练习二的时候，它要求周长 c， d， e， 那 么我们把它 所以要换一下，那也就要求出 d， e， c， e 和 c d 的 长度喽。那么在这个时候，它这个平行告诉我了，平行四边形的周长为十六，它为十六，对角线是呃，相交，而且 这个 o e 是 垂直的，那 o e 是 垂直的 o c， 那 也就是说会有一些 特殊的来呈现喽。所以在这里的时候，如果我们直接用的话，可能去求出每一条的，就不好求喽，那么三角形要把它的周长进行转化喽。那我们看一下第二题的思考方式。 第二题的时候我们能看到 c 这里的时候，我们一步步来平行四边形的性质，对边相等 cd 和 ab， 然后 a， d 等于 b， c， 这我就不写了， o a 和 o c， 那 我们来 o u， o c， 它的周长是等于 a b 加 b c 再加 c d 再加 a b， b c 加 a d 等于十六啊，把它写出来十六， ok， 那 么 a b 和 c d 相等，所以我们就能得到两倍的 a d， 再加 c d， c d 和 a b 相等，那就等于十六，那也就是说 a d 加 c d 等于它的一半八，这个求解出来了，而且 o a 和 o e 是 相等的，那么 a 一 和这个 c、 e 也是相等的吧，为什么垂直平分线上的点到线段两边的距离相等？ a 一 会等于 c e， a， e 等于 c e， 那 我们通过三角形的这个面积，三角形 c、 d， e 的 面啊，周长会等于 c e 加上 e， d 再加 c、 d 喽，那么这些告诉我们，因为 a e 和 c e 相等，所以 c e 加 d e， 那 就会等于 a， e 加 d e， 那 就等于 a d 喽，那这些都出来了，等于 a、 d， 那 么也就说它的周长，所以它的周长 l 三角形 c、 d， e 的 话是会等于 a、 d 加上 c， d， a， d 加 c d， 那 么等于八，对，等于八，都是通过不断地通过等量代换去求减啊。那第三题相对简单一点，就不再说了。 ok， 这是说到的它第一个部分，那么涉及到性质完之后，现在要看到平行四边形的 判定，它的判定那就是说明我们要把它进行 证明推导，证明他是一个平行四边形，我们去找什么样的条件，有什么样的信息给到我们去推导他，那么我们看到 去思考这个问题的时候去证明，那我们来看看，直接看到例题一了，例题一他讲的很直白，问题也直观的问我们，他说怎么样去证明这个四边形？ a， b， c、 d 是 平行四边形， 那么证明它平行四边形有什么特征？两组对边，那么说了它的性质有哪一些？两组对边什么呀？两组对边分别怎么样？ 对角上的两组怎么样？他的一组对边，平行线上的也可以，还有对角线互相平分，所以这里的时候这三个概念可以先熟知， 在熟知完之后看清楚它的特征。哦，那我们右边已经提示了平行四边形的判定，与它定力以相应的性质，定力条件和结论刚好是互换，所以什么互为逆定律啊？ 你能看到这个证明，那就证明它是平行四边形。 o， a 这一段 o， c， o， b， o， d， 那 他已经告诉我们这么多了，直接去三角形圈的圈的完了之后，腿脚脚推完之后推平行平行，同样的方法是正另外一组对边，那么得到的一个结果就是四边形，它是平行四边形。 所以我们在证的时候会发现，哎，很多时候我们只需要记住下面三个点，那就直接能用喽。因为我们现在的证明题是直接通过三角形全等的方法去求证这个四边形。 a， b， c， d， 它是平行四边形。 那我们熟悉完之后，直接两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形，要用对角线互相平分，对角线互相平分的也是平行四边形。我们看这就说按照例题四看起来的题目很复杂，实际上 b， b， f， d， e 这个是平行四边形，我只需要去证明它的什么呀？ b， o 和 o d 相等， e， o 和 o f 相等，那就说明我用这里面的对角线互相平分去求证了它是 平行四边形。对耳线互相平分，四边形是平行四边形。那我们右边要提出了一个方法，一个问题，你还有其他证明的方法吗？那其他的无非就是上面说到的，能不能用这个去证， 思考一下对吧？或者能不能用这个去证明，那相应的第一个两组对边分别相等，那你就要找到它的两组对边 b f 和 e d， 然后 b， e 和 d f 分 别相等了。对角，那就求大角这个角， 这个叫对吧？要什么我们就求什么，求完之后我就能够去背道，去找一找关系。 平时变形这个章整个章节呢，我们看起来的时候会难，那实际上它难点是应应用在我们几何大题目中，所有的压轴题基本上都会离不开它们的身影 啊，所以下面练习大家可以根据练习上的例题进行去分析，进行去那个拆解出来啊。而且求证的时候，一定这种题目像第三题一样， 一定要抓住他的核心点，到底是哪一些条件是告诉我们的？什么条件能决定去证明我用哪一个新制定理去判定他是四边形，是平行四边形，这尤为关键啊， 你选定哪一个，那你看他条件对吧？然后我们再去根据条件去推导出来了。那么根据平行四边形定义和他的判定定律，我们就知道两组对边分别平行或相等的四边形，它是平行四边形。 那么如果只考虑四边形的一组对边，那满足什么样条件呢？就是我们刚刚说到的，哎，如果一个四边形是平行，那么他任意的注意任意的一组对边平行且相等， 进而我们就会猜想一组对边平行于相等的四边形是平行四边形。注意了，这里是我们猜想猜想，猜出来就要去求证，求证出来，证明出来之后，我们就可以把它用在我们的 证明题中，所以猜下不下去，求证不下了，那么这个证明相对来说，大家一看就能看明白，哎，他到底是存在什么样的关系？他的关系式是什么？那我们怎么去理解到这一个点？ 那么路图大家可以直接看一下再念了啊。看完这个之后，这边提醒平行浅相的一个符号，新符号出来了，所以，所以这里得到一组对边平行浅相的呢，四边形式， 平行式变形，所以我们去求证的时候，哎，这个又多了一个，我们可以养成个习惯，就是把这些判判定定理写在一起，那么我们每次去找去记的时候，就不会少了或者是漏了， 那么我们仔细一起来研读一下立体五，它立体五去求证呢？是第一，平行且相等于 b f， 那 这个意思不就是求证它是不是一个平行四边形吗？它所在的是不是一个平行四边形？如果是，那就是说明这个没问题吗？那么我们可以看看 如图， e、 f 分 别是上、中点、中点一半、一半，喏，那这当然相等喽，对吧？相等喽，四边形，那么 ab 平行线相等，这一半一半它平行，所以它一半，不影响它平行线相等， 它平行线相等，所以这个四边形是平行四边形，平行四边形，它的对边又符合这个要求，所以 推来推去还是能够快速去导出他是一个平行四边形，所以他对边存在这样的一个关系。在这里了。 好，我们来继续观看这些练习题就不多说了吧， 那么可以看一下，点一下第二题，第二题的时候要注意，他说在这类题目中哦，看清楚了，它是一个平行四边形，要求正里面这个也是平行四边形。 那我们刚刚有这么多的证明方法，在这里的时候，我们选什么方法呢？我们可以看到他判定，判定的方法的时候，我们可以通过什么，通过去求证它是一个平行四边形， 那么跟学到的平行线相等，那我找哪一条边呢？我找 a 一 对吧，这一条和 c、 f 的 关系，那我们来看看，一步一步正，那首先提供一个思路在此啊，不清楚了， 我们提供的基本上都是思路，不会说去给大家或者系统思路。第一个平行四边形的性质，我就能推角 a， b、 e 会等于角 c、 d、 f 吧？ 好，这个 a、 b、 e 这个角和 c、 d、 f 呢？就是这个角啊，两个角相等，那么我就要角相等，我的目的肯定是要求三角形 a、 b、 e 和三角形 c、 d、 f， 我 们两个要去相等。 旋转的话，我们用什么？我们已经有一角了，还有什么？还有他的垂直没用上去，所以这里又是一个直角，这里又是一个直角，所以还有一组直角，那就是 a 角 a e， b 会等于角 c， f d 六点九十度，所以在这个时候我能去证它是旋转的啊，条件我就不选了，什么条件？刚刚收到了，有角， 有两个角，有一个边 a a s a s 求完之后，对吧？就能这两个旋转，旋转完之后，那我线段 a、 e 就 能推出 a e 会等于 c f， a 等于 c f， 那 我现在有个线段相等，就还要求它平行了，因为它平行，它是直角九十度，它也是直角九十度， 所以什么 a、 e 垂直它， c f 垂直它，所以 a e 和 c f 也是平行的， 九十度垂直一出来，这就出来了，所以我们能够综合起来，因为，所以 a 平行且相等于 c f， 所以 就能推到四边形， a f 声音 为平行四边形，所以我们的思路很关键，你求的线段是用干嘛？你求的角是用干嘛的？你这些到底和呃他的关系又是什么啊？好， 就是说到了这一个，那么后面还有一个三角形中的中微线，那么这个部分呢？我们留到下一次的视频中，一起来去探讨这。

八下数学最难的平行四边形全部吃透，逆袭班级前三平行四边形一、平行四边形定义性质重要结论，平行四边形的判定 已知三点，确定平行四边形、平行四边形的面积关系两平行等腰模型中位线定义中位线定义结论，以上利用电子板。

这道八年级网格做图题，百分之九十的学生不会做，他到底运用了哪些知识点？我们来看一下。 在下列由边长为一的小正方形组成的网格中，仅用无可度的 直尺完成。下列画图， bc 与网格线交于点 d， 点在 i c 上画点 e， 在 i c 上画点 e， 使 d， e 等于 c、 d。 我们这道题非常的有意思，那么首先我们来观察一下这幅图，同学们，通过观察这幅图，你能得到哪些信息？好？首先我们最 最容易发现的就是这道题当中 a、 b 是 等于 bc 的， 你发现了没有？ a、 b 是 等于 bc 的， 那么你有两种方法，一个是看它是四个小正方形对角线，这个 b、 c 也是四个小正方形的对角线，或者用计算的方法，这是一，这是四， 所以 ab 是 等于一的平方，加上四的平方等于根号十七， bc 也是是四则是一啊，是根号十七。所以我们说 ab 是 等于 bc 的， 这是第一步，那么这个 a、 c 你 看是三三。很显然 a、 c 是 和 a、 b、 b、 c 不 相等的。那么第二步，我们再看一看 它，让我们说 d、 e 等于 c、 d， 那 么 d 恰好是 bc 的 终点， d 恰好是 bc 的 中点，同学们发现了没有？为什么我们可以正这两个小圆圈等 我们知道 d 是 bc 的 中点，那就是 b， d 是 等于 c、 d 的， 那通过以下这两点，让我们找 d， e 等于 c， d， d 等于 c、 d， 那 就说 d， e 等于 c、 d， 它要等于二分之一的 bc， 也等于二分之一 ab。 同学们想啊，是不是 d， e 等于 c d， c、 d 是 bc 的 二分之一，而 bc 是 等于 c、 d 的 b、 c 是 等于 a、 b 的， 所以它们都等于二分之一 a b， 那 么 e 是 在 i c 上的， e 是 在 i c 上，所以他们想到了，没想到 e 应该是什么？是的，由此我们可以推断出 e 应该是 i c 的 中点，这样的话， d e 就是 中位线， 那么 d e 就 等于二分之一 ab， 也就等于二分之一 bc， 从而等于 cd。 所以这道题，这道题经过我们分析完之后，那么他找的这个 e 点是 i c 的 中点，也就是这道题网格作图，其实运用的是三角形的中位线。那么下面我们怎么找 i c 的 中点？对，他们看看。 往大的看，这是一个三乘三的正方形，往小的看，这是个小正方形，所以这中点非常容易找， 我们可以连接正方形的对角线， 这焦点就是 e 的 长度 就是二分之一 ab， 因为 d e 是 三角形 abc 的 中位线。那么这道题同学们，你听懂了没有？如果没有听懂的话，请你多听几遍。好，这道题就讲到这里，同学们再见。

跟着苏老师学数学，数学就会变得无比简单。今天我们来看八下四边形这张翻折的问题。矩形 a、 b、 c、 d， a b 等于六， bc 等于八，那么 b、 d 就 等于十六八十， 将矩形纸片沿 b、 d 折叠。 注意，我们遇到折叠的问题，折痕都是垂直平分对应点的连线，比如这里的 b、 d 是 折痕，那如果我们连接 a、 e 的 话，他是垂直平分 a、 e 的 啊，为什么？因为他说点 a 落到点 e 处， 然后他说连接 c、 e 求 b、 f 的 场。这一题就非常的基础。在做这一题之前，我们要有一个前置条件， 就是平行线间有角，平分线一定有等腰三角形。有的还会问这题，哪有角平分线啊？你看，翻折前后对应边相等，对应角相等，这两个角是相等的 啊，平衡线谁呀？ a、 d 和 b c， 角一和角三是相等，所以角二等于角三啊。平衡线间有角，平分线一定有等腰三角形，这是个二级结论， 也就是说这两个角相等的话，就是 b e。 呃，第一， f 等于 b f， 那 这一题我们就可以做了，它就什么模型要求 b、 f 的 场，我们设 b f 是 x， 那 这里就是 x， 那 f c 呢？就是八减 x， 那 这是六。我们通过勾股定律也可以求解啊，八减 x 的 平方加上六的平方等于 x， 平方，解出来 x 等于四分之二十五 啊。第一问很简单，那第二问问我们 b、 e、 c、 d， 很 明显 b、 e 和 c、 d 是 相等的啊， 好，第二位。嗯，这两条边是相等的啊。刚才我们已经证明了 b、 f 和 d、 f 是 相等的，所以剩下答案这个 b、 c 和 d、 e 啊，也是相等的，为什么？因为 d e 等于 a d 啊，那这两个被圈圈的相等了之后，那剩下的两个也是相等，这两个等幺三也行，所以这两个角是相等的。那所以 b e c 平行， b d e c 平行， b d b e 又不平行， c d e 组对边平行，另一组对边不平行，而且 d c 和 b e 是 相等的，所以它是等腰梯形。 嗯，啊，好，关键是第三问， g s 啊， g h 求 g h 的 长。这里我们需要利用到前面的条件，如果你知道翻折前后对应点的连线被折痕垂直平分的话，那这一题就非常之简单。我们先来讲一个简单的问题，那什么意思？也就是说 b d 啊，翻折前后 b 跑到 d 了，它一定是被 g h 平分的啊。如果我们连接 b g 的 话，那形成这个 b h d g， 这是一个菱形， 为什么？因为 g i， 嗯， g h 是 垂直平分 b d 的 啊，所以 g 到 b 和 g 到 d 的 距离是相等的啊。这这两条边 b j 和 d j 是 相等的， b h 和 d h 相等的，那利用前面的条件，这有角平分线啊，可以证明这两条边也是啊。那相等的，为什么这两个角相等？ 角一等于角二，角一等于角三，随角二等于角三，所以这四条边向呢？所以它是啊，嗯，菱形啊，那我们就可以通过用面积来做这个菱形， b h d g， 它的面积可以等于底乘高，也就是 b h 乘啊，过点 d 做 bc 的 垂线，也就是和 c d 是 一，和 c d 是 一样长的， 嗯，和 c d 一 样长的啊，那 g h 和 b d 是 对角线，那离型的面积还等于对角线相乘？扯，再乘二分之一，也就是二分之一 b d 乘 g h 啊 b h， 我 们通过刚才的算法，利用这个算法也是一样的，和刚才算的 b f 是 一样的。那算法都一样，为什么呢啊？你设它是 x， 所以 它是 x， 这就是八减 x， 这是六，对练式子一样的，也就说 b h 应该是等于四分之二十五。 c d 呢？ c d 是 六，那二分之一 b d， b d 是 十，所以二分之一 b d， 这是五啊，所以 g h， 所以 g h。 就 啊，这个五和二。四分之二十五约掉的话，这是还剩个五，所以是四分之三十，也就是 g h 等于二分之十五，这是利用面积法做。当然了，你也可以利用两次勾股定律来算，那就比较麻烦。嗯嗯，这个方法也比较常规 啊，朋友们，你听懂了吗？今天我们就讲到这，喜欢的点赞哦。

好，我们来看第一题，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 d 平行于 b， c 角， a， d 等于九十度， a， d 等于六， b， c 等于九 p 点，从 a 点出发，以沿射线 a、 d 以每秒两个单位速度向右运动，这个就是二 t q 点，从 c 点出发，以沿 c、 b 方向，以每秒一个单位速度运动，这个就是 t。 那么 q 点到达 p 点 b 点之前啊， b 点 b 点时啊， p q 停止运动，所以总时间 t 应该要等于九九秒，是一个总时间啊。设 q 点的运动时间为 t， 在 整个过程中，他说 p d q c 为顶点的四边形，要是平行四边形， 那我们发现这条题目中 p d 啊，它永远平行于 c q 的， 所以它要是一个平行四边形，只需要什么 p d 等于 c q 就 可以了啊。所以这个时候我们把 p d 和 c q 分 别表示出来啊， p d， p d 它有两个表示，一个是六减二 t 啊， t 大 于零小于三的时候啊，还有一个是 p 点跑到第右边的时候是二 t 减六， t 大 于三小于九的时候啊， c q 呢？ c q 就 一个就是 t 啊。所以第一种情况，当 t 大 于零小于三啊， pd 等于 c q 啊， pd 要等于 c q 也就是六减二， t 等于 t， t 等于二。 第二种，当 t 大 于三小于九的时候，那么这边给个等于号，好吧，这边给个等于号，保证每个都能取到啊。 p d 等于 c q 还是一样，它要是平行四边形，就是 p d c q p d 的 话应该是六二 t 减六等于 t， t 等于六。所以最后答案一个是二，一个是六，搞定了， 那所以其实就是 p d 等于 c q， 把 p d 和 c q 都表示出来，然后相等就搞定啊，好吧。

好，我们来看第一题，如图， a、 b、 c、 a、 b、 c 中 a、 b 等于六， a、 c 等于八啊， b、 c 等于十。哎，那这个就是九十度啊，九十度，然后 a、 b、 d 和 a、 c、 e 都是和 b、 c、 f 都是等边。哎，你看那么多等边，所以一定是有什么啊？手拉手模型， 那么下面结论中，第一个 a、 b 垂直于 a、 c 啊，这很简单，各五定律，逆定律。第二个，四边形 a、 e、 f、 d 是 一个平行四边形啊，其实你看一下，应该是的，那我们来吧证明一下。第二个怎么证呢？因为三角形 c、 d、 c、 b、 f 与三角形 c、 a、 e 都是等边 啊，所以我们可以得到一个手拉手模型。全等三角形 cba 全等于三角形 cfe。 一个全等啊，一个全等，就这个三角形和这个三角形是全等的啊，这两个全等的话，我们就可以得到这个。呃， a， 这个 e、 f 啊，它应该等于 ab 的， 就这两边和 ab 相等， ab 又等于 ab 啊，所以它俩相等，对边相等，找到一个再找，再来右边这边再找一组三角形，就三角形 b、 d、 a 与三角形 b、 f、 c 啊，它俩也都是等边。哎，两个都是等边，那我们就有什么手拉手，所以有全等三角形 b、 a、 c 全等于三角形 b、 d、 f 和这个也是一个旋转的，一个全等啊，所以我们就可以得到这个 d、 f， 它就应该等于 a、 c， 它就等于 a、 e， 所以 它俩也相等。那么两组对边分别相等，所以我们最终觉得到二是对的啊，它是一个平行四边形。 好，第三个啊， d、 f、 e、 d、 f、 e 这个角呢，他就应该等于这个角，这个角等于什么？这个九十，这是六十，这是六十，所以这个角 d， f、 e 这个角啊，他应该等于角 d， a、 e 应该等于三百六减九十二百七，减去两个六十，一百二，还有一百五十度，所以第三个是错的啊。第四个 s， a， e、 f、 d 的 一个面积，这个面积怎么算呢？这个是数据表六八，这个就是六啊，所以我要求个，这个是八，我要求个高延长做个高 啊。这个角就是一个三十度，所以这个是八，这条边就是一个四，所以面积它就等于什么啊？底层高四六二十四啊，所以 d 四个错的啊。正确的选择 b 两个答案啊。好吧，这道题两个啊。

好，我们来看第一题，如图， a、 f 分 别为平行四边形上的 a、 b、 c、 d 以上的两个点， a、 f 与 d， e 交于点 p， b、 f 和 c， e 交于点 q。 若 a、 p、 d 的 一个面积为十七， b、 q、 c 的 面积是二十七，则 a 一 部分的面积。那这里的话考的是什么？考的是我们小学的一个模型啊，叫 蝴蝶模型。啊，好像是叫蝴蝶模型，是吧？把这个一连啊，把这个一连连起来之后啊，我们发现这个 s 三角形 e、 q、 f 的 面积，它就应该等于 s 三角形 b、 q、 c 的 面积啊，这两个面积相等。哎，为什么呢？啊？原因是正一下啊，原因是有两个，第一个 s 三角形 f、 c、 e 的 面积等于 s 三角形 f、 bc 的 面积，就是这个面积和这个面积相等，因为平行， 然后中间这个 s 三角形 f、 q、 c， 它又等于 s 三角形 f、 q、 c， 所以 两边一剪就可以得到这个了，所以这两个相等。同样的，这两个也是相等的，理由是这个三角形 a、 d、 f 和 e、 d、 f 是 相等的 啊，中间这一块是公共的，所以剩下两个相等，所以最后阴影部分面积，它就应该等于十七加二十七是四十四，就搞定了，好吧。

这道题啊，啊，他说平面内不共线的三个点， a、 b、 c、 d 为顶点的平行四边形，最多几个，在这里话要先标三个不共线的点，嗯， a、 b、 a、 b、 c 啊，然后你要在这个平面内找以三个顶点为顶点的这种平四边形，这里做法是固定的，那我们这里要先连接这里的话，三个顶点会有一个三角形， a、 b、 c 啊， 第一步是先把这三个顶点之间这种线段连接起来，然后第二步的话是做平线，分别以三个顶点来做平线。怎么做呢？比如说先以顶点 a 为做平线的时候，那你只能是做对边这种平线， 过顶点 a， 做了 b、 c 的 平线。这里，那然后我们再以 b 啊，以 b 啊，过点 b， 做 a、 c 的 平线， 然后再过点 c 啊，过点 c， 做 a、 b 的 平线， 那我们会发现这三这三条平行线是有交点的，刚好有三个交点，我们看是不是刚好和这三个交点是构成平行四边形的。然后注意我们这里画，你最后做平行线的时候，你要画的足够长， 你要画的足够长，如果你画的短，可能就没有三个了，可能就够不到了。比如说，呃，如果你画在这里， 你只画到，你只画到这里啊，你没画太长，这里就就没有找不到第一了，所以你这里的话要画的足够长，三条兵线， 所以这题就选 c 啊。

a、 b、 c 三角形中 a b 等于 a c， 然后等于幺三角形延长 a b 到点 d 式的 d， b 等于 a b， 这里一个中点， 然后 e 是 a、 b 的 中点，就是一个等腰三角形两个中点的条件，让你证明 c、 d 等于两倍的 c e 啊，那我们这里的话是通过这个这个要证明的东西来入手的， 不是通过这个题目给的这条件然后推的。因为这里的话它有个 c d 等于两个 c e， 那 这里画图里面看着好像没有和 c e 相等的那种线段， 但是你看到这里两倍的 c e， 然后这里 e 又是中点，我们要想到的什么？想到被长中线，如果被长中线以后，把这里因为 c e 是 中线，刚好被长中线，会有两倍的 c， e 啊，那所以这里的话被长中线主要是构造全等三角形， 那我们看一下这里啊，先把辅助线做出来， 嗯，被长中线，然后构造全等三角形 f 延长 c e 到点 f 到点 f， 使得 c e 等于 e f， 那延长完以后，我们看这里的话，这个证明就可以转化成正 c d 啊，等于 c f 了。 那如果要正 c、 d 等于 c f 啊，往往是什么这种边相等的话，要么就是等腰，要么就是什么三角形全等， 或者什么这种四边形啊，平四边形啊，矩形啊，这种菱形啊，这种对边相等也可以证明出来。那我们看下这里的话， c、 f， c、 d 正这两条边相等， 我们还有个什么等于幺三角形， a、 b 等于 a c， 那 b 又是中点，所以 d b 等于 a c， 那 可能就是这个 a c、 f 全等于 d b c 啊。所以如果我们能证出来这个三角形 a、 c、 f 和三角形 d、 b、 c 啊，如果能证明这两个全等就可以了。注意我这里写的没写这种全等符号，这，而且这里的话只是思路， 那我们看一下这里的话，除了 a、 c 等于 d、 b 还有什么条件？那这里的话，因为呃 a、 b 等于 a、 c， 然后 d、 b 等于 ab， 所以 a， c 啊，等于 d， b 啊，等量代换 a， c 等于 d， b， 我 们看一下啊，又因为 a、 e 等于 b， e， c， e 等于 e、 f， 在 这里的话说明什么？对角线互相平分啊，所以四边形 a、 c、 b、 f 这里再连接个 b， f， 连不连接也行，连接 b， f 连接 b， f 以后 a、 c， b f a c， b， f 是 呃平行四边形， 那所以这里的话 a、 f 就 等于 b、 c， 那我们就是要通过这个全等三角形来证明 c、 d 等于 c、 f 的， 那肯定你不能一利直接利用 c、 d 等于 c、 f 来证全等呀，已经知道两条，已经知道两条边了，那只能是两边及其夹角对应，相对应相等， 那这里话还要再证这两个角， 嗯，我们看一下啊，嗯，这理化，因为 因为这理化有个什么 a， c 等于 ab， 前面有个 ab 等于 ac 啊，那所以角 a、 b， c 啊，等于角 a、 c， b 啊， 那么这里的话，又因为啊，这里角 f、 f， a、 c 加角 a， c， b 等于一百八十度，因为这里证明证明数是平行边形的嘛，所以角 f， a、 c 啊， 加角 a、 b、 c 等于一百八十度。我们前面这里的话正出来了 a、 b、 c 和 a、 c、 b 相等， 那么然后那这里又因为角 d、 b、 c 啊， 加角 a、 b、 c 等于一百八十度。因为这里是平角，所以这里的话角 d、 b、 c 就 等于角 f， a、 c 啊， 那在三角形 f、 a、 c 和三角形，我们看这里的 f、 a、 c 中的这个角 a 是 和 d、 b、 c 中的角 b 是 对应的，那所以这个中间的位置要写角 b 啊， 然后 f、 a 适合那条边 bc， 所以 这里的话写个 c 啊，那就是 c a、 b， d 啊，那我们看 b、 d 是 不是刚好后面两个点 b、 d 是 和 a、 c 后面两个点是相等的，所以这里就对应了。 我们这里的话先写好。呃，后面更方便。那么 a、 f 等于 b， c， 嗯，然后角 f， a， c 等于角 d， b， c， a， c 等于 b， b， d 啊，那所以三角形 f， a、 c 全等于三角形 c， b， d 啊， s a， s， 那 全等了，所以这里的话，呃， c、 c、 d 等于 c、 f， 那 c、 f 又等于两倍的 c， e 等于两倍的 c、 e， 所以 就证出来了。 那我们看一下这个步骤，一个是要先通过要证明的这个两倍的数量关系结合，刚好 c、 e， e 是 中点， e 是 ab 的 中点，想到和 c、 d 相同的线段， 构造这两边的 c、 e 相同的线段 c、 f， 然后构造我们，因为我们被长中线主要是构造全等三角形， 那所以这里的话要连接 a、 f， 后面我们会发现这里刚好这种被长。我们以前学被长中线，会想到那时候我还没学平四边形，我们会发现其实被长中线已构造以后会有平四边形啊， 这里的话，然后平行四边形，然后那么可以用到对对边相等。 还有就是最后这里写全等的时候，你要你一定要对应啊，这个点要对应啊。

八下数学有两大压轴难点特别重要，一个是依次函数，一个就是平行四边形，平行四边形继续往下细分，还有菱形、矩形、正方形， 所以对应的性质判定太多了，足足三十条，很多同学遇到这类综合的大题都做不出来，但是其实呢，平行四边形这里解题是有技巧的，我们把平行四边形这里常见的十五个模型掌握，像很多题目咱们都是可以秒杀的啊。 今天我就带着大家一起来说一说正方形这里相关的一个模型，十字架模型。那有关于四边形这个章节，我们每一个图形，菱形、矩形、正方形对应的基础证明题，老师都给大家做了一套总结，都是历年 考试的真题，大家这个假期就可以打印出来，逐个题目逐个模型的来啊，这个学习和练习，这样的话，你把你的证明过程还有思维都固定下来以后，咱们再去拔高就容易的多了啊。 下面呢，咱们来一起看看这道题吧！说如图，正方形 a、 b、 c、 d 当中 e、 h 分 别在这个上面， a、 e 垂直于 d， h， 好 了，这是垂直的，让你求证 a、 e 等于 d、 h。 乍一看啊，我们可以发现这两个三角形，它其实就是全等的，那怎么去推全等呢？其实想要证明它相等，不就是正全等吗？ 所以四边形这里的题目和我们上一学期三角形全等三角形分不开的啊，分不开的，那咱们来一起看一下怎么去证明这是个直角，所以这是小叉，这不就是小圈吗？ 小叉加上小圈，这是不是就是九十度对不对？那我们继续来往下看啊，这是不是又是一个直角，对不对？所以在这个小的直角三角形当中，这是小叉，这不就是小圈吗？对不对？ 继续来看大的直角三角形，这是直角，这是小叉印，又是小圈，所以小叉加上小圈等于九十度，我们用沪渝大法就可以解决这道题了，对不对？所以你会发现 在这两个三角形当中，我们有一个角是九十度对应相等，有一个角是小圈对应，哎，相对应相等， 所以我们再加上一组公共边，正方形的一组边，四条边，它其实就是相等的，对不对？所以我们就可以用角角边来证明三角形全等了，所以对应我们就可以推出 a、 e 是 等于 d、 h 的， 所以在这我们就可以推出十字架模型的结论了。 在正方形当中有这么两条像奥特曼一样垂直的线，无论他在这在这还是在往后平移，他永远有。 如果这两线垂直，可以推这两线相等，如果有这两线相等，就可以推垂直的结论，用互余倒角全等就可以证明下来了。那现在这个正方形十字架模型的结论你学会了吗？

全是基础知识点，就给你一分钟，你有思路了吗？

三十秒教你学会辅助线！这是一道八下四边形的题目，已知四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于 a、 d 角 b， a、 d 等于六十度， b， c、 d 等于一百二十度， a、 e 垂直， bc 垂足为点 e， 若 a、 e 等于二厘米，求该纸片的面积。先分析下题目， ab 等于 ad， 角 b， ad 等于六十度， b、 c、 d 等于一百二十度。哎，六十加一百二，是不是等于一百八十度？也就说角 b 和角 d 它是互补的，那么这个角 d 的 补角 啊，这标个 f 啊，那么 a、 d、 f 是 不是也等于六十度呢？等于角 b， 再加上题目的 a、 b 等于 a、 d， 由此我们可以知道，可以把三角形 a、 b、 e 旋转到 a、 b 边和 a、 d 重合的这个位置。那这样的话，三角形 a、 b、 e 和 a、 d、 f 是 不是正好全等 我们就可以把原来不规则的四边形变成规则的 a、 e、 c、 f。 那 现在就要求 四边形 a、 e、 c、 f 的 面积，它的面积又等于什么呢？我们再连接 a、 c 啊，因为 b、 a、 d 原来等于六十度，那么现在旋转完之后，这个 e、 a、 f 是 不是依然等于六十度呢？又因为 a、 e 和 af 又相等，所以我们连完 ac 之后会得到这是角平分线到角里面的距离相等。 那么 ec 等于三十度，再由 a、 e 等于二，我们可以用勾股定律可以算出 c、 e 的 长啊， c、 e 就 等于三分之二倍根号三，那么 s 三角形 a、 e、 c 的 面积就等于 a、 e 乘以 c、 e 就是 二，乘以三分之二倍根号三，再乘以二分之一，就等于三分之二倍根号三。 那么四边形的面积就等于两倍的 a、 c， 所以 就是等于三分之四倍根号三，你学会了吗？

八下数学最难的平行四边形全部吃透，逆袭班级前三平行四边形判定类型一，知一组对边相等类型二知一组对边。平行类型三知一对角线中点 平行四边形的性质类型一，运用平行四边形的性质求角度。类型二，运用平行四边形的性质证明平行或相等类型四边形分类讨论类型一，顶点次序不明。类型二，角平行线位置不明类型三，高的位置不明，够中位线取中点。类型一，够单中位线类型二，够多中位线， 够中位线延长法类型一，平行线加中点够中位线。类型二，角平分线加垂线够中位线。类型三，倍长线短够中位线。以上均用连词法。

八下数学最难的平行四边形全部吃透，考试稳拿高分！平行四边形基础知识题型模板三判定四中位线定理， 特殊的平行四边形，矩形正方形完整版分享！