2026安师联盟A数学几何压轴题

这是二零二六年全国高考冲刺压轴卷一一数学试题选择题一到十一题，一到三题，集合运算复数魔长向量垂直与魔长考察基础运算与概念考察基础运算与概念。四题，百分位数与最小值综合统计，数据 处理。五题，三角图像平移与变换检验函数迁移能力。六题，指数函数与一次函数、整数点数形结合考察函数应用 题，扇形与圆追求的内接四面体综合立体几何建模。八题，锐角三角形周长范围解三角形与曲值范围综合。 九到十一题，概率计算，函数对称性与极值抛物线几何性质多选综合函数几何概率核心侧重逻辑推理。填空题，十二到十四题， 十二题，三角横等变换，考察公式灵活运用。十三题，指数与密函数零点综合函数单调性与图像。十四题，双曲线中点弦与离心率解析几何综合探讨检验几何性质应用解答题，十五到十九题， 十五题，列联表与独立性检验分层抽样与期望统计概率综合考察应用与计算。十六题，线面垂直证明面面夹角求解立体几何空间推理与运算。十七题，椭圆方程与直线方程解析几何核心综合。十八题， 切线方程不等式证明导数极值与参数范围，导数压轴综合构造与分析能力。十九题，反调数列定义判断公差范围求和证明数列创新探求检验逻辑与规划能力。

同学们好，今天我们来讲解 c。 二零二模数学几何压轴体正方形 a、 b、 c、 d 中 e、 f 分 别是边 b、 c、 c、 d 上的点 b、 e 等于 c f， b， e 等于 c、 f。 那我们读到这个条件的话，你应该要想到全等三角形啊，三角形 a、 b、 e 是 全等于三角形 b、 c、 f 的， 因为正方形嘛， ab 等于 bc， 然后还有两个直角 s， a、 s 可以 证明全等。好，继续读题。 em 是 垂直 ap 的 em 垂直 ap， 那 么这个角是直角，这个大角 b 也是直角。读到这里的话，你应该要想到四点共圆。 哪四点共圆？ a、 b、 e、 m 这四个点共圆。为什么要考虑四点共圆呢？因为在解几何题的 第一步，我们想到的应该是要倒角啊，推倒角与角之间的数量关系。好，那我们来看题目啊！第一小题，证明角 a、 g、 b 等于九十度。第一小题是一个很简单的十字架模型。好，这个我们就不讲了啊，正，这两个三角形全等。第二小题， 若 a、 e 等于 e， p 等腰三角形等边对等角，如果这个角是阿尔法，那么这个角 p 也是阿尔法。两直线平行内缩角相等， a、 b 和 b、 p 是 平行的，所以这个角也是阿尔法。 然后啊，我们刚才想到了四点共圆， a、 b、 e、 m。 四点共圆，我们根据圆珠角定义倒角 角 c、 b、 m 也可以用阿尔法来表示，因为这个角啊，角 e、 b、 m 等于角 e， a、 m 同弧所对的圆周角相等， 然后有一只三角形 a、 b、 e 全等于三角形 b、 c、 f。 所以 这个角 b、 a、 e。 我 们也可以用阿尔法来表示。 好，我们导角导到这里，我们就可以求得阿尔法等于九十度角 b， a， d 等于三，阿尔法等于九十度，所以阿尔法等于三十，阿尔法等于三十度，那么这个角 p 就 等于三十度。 角一等于角二，角一等于角二，还有三角形全等啊！三角形 b， a， e 全等于三角形 d， a， n。 根据这两个三角形全等，可以得到 e， c 等于 c n， 而让我们求的是 c p 与 ec 的 比值，那么就等于 c p 与 c n 的 比值， c p 比 c n， 那 我们先求这个 c， n 比 c p 啊，为什么呢？因为 c n 比 c p 就 等于三十度角的正切值啊，等于三分之根号三， 所以 c p 比 c， n 就 等于根号三分之三等于根号三， 那么我们就证出来了啊， c p 比 e， c 等于根号三，所以第二小题的答案是根号三。下面我们来看第三小题， 好先导角 a， b， e， m 四点共圆。刚才第二小题已经导出来了啊，这里是角平分线， a， g 平分角 b a m， 所以 有等腰三角形，三角形 a， b， m 是 等腰三角形， 等腰三角形。两个底角相等，如果这个角是 betta， 那 么这个角也是 betta， 这个角也可以用 betta 来表示。然后啊，在平行线进行倒角啊，角 a， b， m 等于角 m， f， n， m， f， n 也可以用 bet 来表示，就是个小角啊， m f， n， bet 等角对等边，所以这个 m n 是 等于 f n 的， m， n 等于 f n， 然后这个三角形 a， b， m 是 等腰三角形。结合这个条件， b， e 等于 e， c 等于二，一点是中点，那这个 f 点也是中点，对吧？ d， f 等于二， a， d 等于四， a， m 是 等于 ab 的 等腰三角形嘛， a， m 等于 ab， a， b 等于四， a， m 也等于四，那我们就可以用勾股定律了。在这个 r t 三角形 a， d， n 当中，我们先设一下啊，设 n， f 等于 x， m， n 也等于 x， 这个时候 a， n 就 等于四加 x， d， n 等于二加 x， a， d 等于四。好，直接用勾股定律建立方程，四加 x 括号的平方等于二，加 x 括号的平方，然后加上四的平方， 然后我们可以解这个方程啊，方程解出来之后， x 等于一，所以 n， f 等于一， n， f 等于 c， f 不是 等于二吗？ d， f 等于二， c， f 等于二。所以呢，可以求出 n， c 等于 一， n， c 等于一，那么 n， c 等于一的话， d， n 就 等于三，然后我们根据让我们求的是 c p 的 长度啊，我们根据这个八字形相似 这个三角形 a， d， n 和下面这个三角形 p， c， n 这两个三角形是相似的啊，相似比是一比三，所以 c p 比上 ad 就 等于一比三啊，就等于 c， n 比上 d， n， c， n 比 d， n 一 比三嘛，那么 c p 就 等于一比三，三分之一乘 a， d， a， d 等于四啊，所以 c p 等于三分之四。好，那么这一题我们就解答完成了， 实际上啊，这一题有没有难度呢？我个人认为难度是不大的啊。难度是不大的，但是呢，你前提是要想到啊，能想到这个四点共圆，用四点共圆倒角还是比较方便的啊。我看参考答案上给的是摄影地理啊，那个摄影地理的话不是很好想啊， 官方答案是用摄影地理来做的啊，它用摄影地理去证明这个 a， b 等于 a， m 有点麻烦啊，我个人感觉有点麻烦。我们根据这个引圆问题啊，引圆问题倒角还是 很方便啊，而且它步骤写起来的话也很流畅很只有两步啊，就是因为角 a、 b、 e 等于角 a、 m e 等于九十度，所以 a、 b、 e、 m 四点共圆， 进而我们就得到一个非常关键的条件，三角形 a、 b、 m 是 等腰三角形。好，这题就讲解到这里，再见。

快来看这道题，你需要几分钟？今天我们来看一道折叠问题，也是很久没有讲这种不是动点的几何题了。 题目给了我们一个菱形 a、 b、 c、 d， 其中角 b 是 四十五度的， e 点在 ab 边上， f 点在 bc 边上， 然后以 e、 f 为折痕，将三角形 e、 f、 b 反折上去，若极点刚好落在 a、 d 边的中点上。让我们求 b e 和 b f 的 比值是多少 好。首先由于折叠的关系，这个角 e、 g、 f 也是四十五度的，还有 g e 等于 b， e， g f 等于 b f， 所以 b 一 比 b f 就 等于 g 一 比 g f 了。那要想让这两条线段产生比值的关系，最直接的办法是不是构造相似三角形啊。 注意到这个角 d 也是四十五度的，所以说我们是不是可以构造一线三等角啊？ 第一步，过 f 点做 c、 d 的 平行线，那这个角 g、 h、 f 也是四十五度的。 第二步，过一点做 ab 的 垂线，那这个角也是四十五度的。这个时候三角形 e、 g、 m 和三角形 g、 f、 h 就是 相似的了，所以 g e 比 g f 就 等于 g m 比 f h， 由于 f h， 它就等于菱形的边长，所以说我们是不是只要能确定 g m 和菱形边长的关系就行了呀？这里为了方便计算，我们直接设菱形的边长为二，那 a、 g 的 长度就是一了。 然后我们再设 a 一 的长度等于二， a， 那 am 的 长度就是二倍杠二 a 了， 所以这个时候 g、 m 比 f h 就 等于二分之二倍根二 a 加一。那我们接下来是不是把这个 a 解出来就行了吧？这对大家来说是不是很简单呢？我们只要过一点向上做一个垂线就行了。 这样一 n 和 a 的 长度都是根二 a， 又因为 b 一 的长度是二减二 a， 所以 g 的 长度也是二减二 a。 现在我们是不是就能用勾股定律来形成方程了呀？这样就能把 a 解出来了。 最后我们把 a 的 值带入到上面这个式子里，算出来应该是等于七分之二加三倍根二，不知道，应该是等于七分之二加三倍根二，不知道，应该是，大家再帮我检查一下。

各位同学大家好，你点赞，来我讲题，今天呢，张老师给大家分享一下二零二零年的信息交流卷爱的这个第爱爱题啊。 我觉得这个爱爱题呢，还是挺好的啊，对于各位同学呢，正好来说呢，还是有有所启发的啊。来，我们一起来看一下，他说 ab 等于 ac， ab 等于 ac a d， 呃，是 cd 就 等于 d， e， 对 吧？说明这个是等腰三角形，对吧？ c， d， e 呢？也是等腰三角形，说明以两个等腰三角形。为什么？背景对不对？来什么来出题啊？背景来出题， 那角 abc 的 角平分线和什么？和 d， e 对 吧？ c， d， e 的 角平分线呢？交点为 f 就 没了。第一个说 b， f 对 吧？垂直于 cd， 说明这个角为多少度？垂直的啊，垂直， ok， 然后让你求 f 的 度数，可简单，我觉得挺简单的，那我们知道看一下， 这个是等幺三角形，是这两个边相等，那这垂直的话，是不是三线合一，并不是三线合一啊？来，继续走，那 c， d， e 对 吧？这两个边是什么？是相等，这个是什么？垂直的，说明这个就是什么三线合一，对不对？高角平分线，中线，对吧？ 所以这个角就是多少度？这个角就是因为角平分线嘛，对不对？这个角就是什么垂直的， ok 啊，来， 我设这个角为 x， 这个角呢？因为角平分线，这是 x， 因为这两个什么是等腰，所以说这两个底角呢，也相当于是 x， 所以呢， x， x 相加等于多少度？等于九十度，对吧？ d 小 问呢，就简单啊， x， x 这边是 x， 那 老师为什么是 x？ 因为 ab 等于 ac 啊，这两个底角一样呀，这他是 x， 说明他也是 x， 对 吧？ ok， 所以呢，在这个三角形中，那一个 x 加两个 x 等于多少？ x 等于三， x 等于几等于九十度，所以 x 等于几等于三十，对不对？ x 等于三十了，那在这个三角形中对吧？这个是三十度，这个是九十度，你说 f 等于几？九十减三十等于几，就等于 六十度，对吧？所以说第一小问比较简单，等于六十度啊，顺利，很非常，什么顺理成章的就能解出来了啊？来，继续第二小问。 第二小问的话，他说在一的基础上对不对？那 e、 h 的 平方等于 ec 乘以什么？ e、 b， 这太简单了，我们知道， 对吧？如果两个三角形相似的话，对不对？比如说这两个对不对？那 a、 b、 c、 d 对 吧？那这个三角形和这个三角形一定是相似，一定存在什么公共边对吧？公共边乘以什么？成语，哎，怎么掉了？ ok， 好， a、 b、 c、 d 对 吧？这个三角形和这个三角形相似，就公共边，就等于说 b、 c 乘以什么？ b、 d， 对 吧？ ab 的 平方就等于 b、 c 乘以 b、 d， 那 是不是类类似于这个？那在这个三角形和这个三角形一定什么相似？因为这出现了这个， 呃，条件对不对？ h、 e 的 平方等于什么？乘以 ec 乘以 e、 b 啊，说明这两个三角形相似，相似的目的给的这个条件的目的是什么呢？说明他们角是一样的，对不对？是不是？那我们这，这是 x 是 等于多少？这是三十，说明这个角也相等，也是三十，对不对？ 那这个角为三十，这个角为三十，这个角多少是六十，那这个角为多少也为三十，那三十的话，说明这个角一定是什么？一定是等幺三角形，所以呢，这两个边是相等的，对不对？好，现在就问题转化，对吧？有同学问老师 这个题，他没有给你什么，没有给你这个线段的长度，你这笔直哪来的呢？那我们就有什么，就有这个线段，就转化成什么在角，有笔直，想到什么三角 函数里面来求，对不对？很明显的哈，这里面有要已经吗？ 笔直转成什么三角，这是解决的思想，你看一下他问的是什么？ c e 比上 bc， 我 们刚已经证明了这两这个三角形，为什么？这个是多少三十度，这个是多少为为三十度。那老师为什么是三十度？我刚已经讲过了呀， 这个三角形和这个三角形干嘛呢？相似对不对？所以这个是三十度，所以说这个角也是三十度，说明这个角就是三十度，对吧？内角和吗？外角对不对？这是外角，这两个内角，对吧？是不是？ 所以我们这这是三十度，这是三十度，说明这个 h c 和 c e 就 什么就相等呀，对吧？所以就我就可以转化了呀。对，所以说嘛，所以就能转化成 c e， 对 吧？然后呢？比上什么 bc 就 等于什么？就等于它就等于它就等于 h c， 对 不对？ h c 比上什么？比上 bc 不 就行了吗？那 h c 比上 bc 不 就等于多少度？ h c 比上 bc 不 就等于多少 三 a 三十度吗？对不对？就等于多少三 a 的 等于三 a， 三十度就等于几二分之一，所以，对吧？ c e 比上什么 b c 就 等于多少二分之一，很简单，就等于二分之一，轻轻松松吧，对吧？要会转化啊，就是有笔直的关系，想到什么三角函数啊，来进行什么转化？因为这题目里面没有给你变长对吧？你要进行什么？有笔直转成角啊，来进行笔直， 这个角是在哪里面呢？想到什么要在阿奇三角形来转化啊？ ok， 第二小问结束了，接着看第三小问， 第三小问的话，他说 f g 与什么？与 d 什么相同对不对？这两个啊，与 d g 相等的话， 让你证明这个。首先笔直的形式我们经常会写成什么？哎，不是乘积的形式也写成笔直形式，那这个什么 f h， 这是什么？ b h， 对 吧？它有一个公共的地方对吧？给它转换一下对吧？ h f h 变成什么？ 憋屈啊，不好意思啊，有点咳嗽啊。然后 d e 比上什么？ d e a 一 a c 对 不对？是不是他比过来，然后 a e a c 呢？比过来，要想求出他，我们来肯定要构造什么相似三角形对不对？我们看一下 f h 比上 b h， 哦，我之前说过对不对？在一个直线上对吧？一分为二对吧？要么想到什么，要么做平行构造。平行对不对？平行线对吧？构造什么？构造的是相似性对吧？要学会构造啊，用平行这是什么型？八字形或者是什么？或者是 构造什么再写平行构造什么？这是 a 字型对不对？那我，那我能想到什么？那这个对吧？我能想到什么？构造八字型，我这样一构造对吧？出现八字型，但是这个长度我不知道对不对？是不是？那我再来想能不能构造什么？能不能构造 a 字型？这是平，这是什么？这是什么？一，呃， 这是平分一半对不对？那不是一半啊。嗯，就是分段，那我连接他，连接他的话， a 就 像不像？ a 字型像不像？有点像，对吧？好，那我们来证明一下行不行？我好连接他。人家说嘛，这一边 和这边是相等的，然后呢？这条因为这是什么？等等幺三角形对不对？等幺三角角平分线，说明存在什么？三线合一，对吧？所以说这条边和这条边也相等，这条边和这条边相等一个对顶角对不对？是不是说明这个三角形和这个三角形干嘛呢？ 全懂，全懂过后呢？这个角和这个角相同，那这个角和这个角相等了？内错角相等两只线干嘛？就平行，能听懂吗？能不能？那一平行过后存在平行线的话，你说这个三角形和这个三角形干嘛？ 相似吧？什么形？ a 字型对不对？ ok， a 字型，那问题就转化了呀，对吧？然后 a 字型的话又是在啊，在三角形，在三角形， 嗯，三角形啊，不是阿迪三角形，在三角形，对吧？ b h c 和三角形对不对？然后 f b e 中对不对？这两个三角形什么相似啊？相似， 那相似的话存在什么相似？比对不对？也就是什么 f h 比上什么，比上 b h 就 转化成了，对吧？这个啊，注意看啊， h f 比上 b h 就 等于说 c e 比上 bc， 对 不对？就等于 c e， 对 吧？比上什么 bc 对 吧？ ok， 好， 那 c e 比上 bc， 我 要这边和这边是一样的，我要出现这边对不对？那怎么办呢？贵同学，对吧？你这个 c e 比上它对吧？你这什么 a 字型吗？对吧？ ok， 我 们知道，你看 他要他要想出现什么，这个对不对？ d e 比上什么 a c， 我 想能不能证明这两个三角形相似？肯定相似，为什么？因为这个角和这个角是对顶角相等，因为又又为什么？ ab 和 bc 是 相等的，所以说这两个底一样，对不对？是不是？那这个角呢？ 说也什么等腰，说明这三这三个角都是都是多少 y y y y 对 不对？那有两个角分别相等的话，你说这两个三相相不相似？明显相似对不对？那相似的话也存在相似比啊，对不对？所以什么 c e 比上 bc 就 等于什么呢？ 就等于啊， c e c e 比上 bc 就 等于什么？就等于 c d 比上什么 ac 对 不对？ ok， 就 等于 c d 比上什么 ac， ok， 好， 我们看目前这个比较对应这个，比较对应这个没有对应，没有对应这个呢？ ac 对 应， ok， 好， 那么我们又知道三角形，这个三角形为什么？ 所以等幺三角形对不对？ c d 又等于什么？又等于 d e 对 不对？ ok 啊，那这不就出来了吗？对不对？你 c d 对 吧？等于 d e 的 话，你就把 c d 改为 d e 不 就行了吗？ ok， ok， 好， 你看一下，环环相扣，这两不就求求出来了吗？它 比上它，就这这两个就相等了，能听懂吗？所以说就迎刃而解了呀，对吧？ h b 比上嘛， b h 就 等于什么 d， e 比上什么 a c 对 不对？然后交叉相乘不就出来了吗？ ok， 所以 说嘛， 所以 b h 乘以什么 a c 对 吧？就等于什么 b h 乘以什么 d e 啊， 大家不就能求出来了吗？一模一样，好吧，好在复盘呀，就是什么就显得什么。呃， h f 比上什么 b b h 对 不对？就转换成什么 a 字形，对吧？ a 字形啊，就等于什么 c e 比上 bc， 那 c、 e 比上 bc 的 话，因为这两个三角形干嘛呢？是相似的话，就等于什么 c d 比上 ac， 对 不对？因为 ac 就 等于什么 d e， 对 吧？就转成什么 d， e 比上什么 ac。 大家不就求出来了吗？就这么简单。给张老师点点赞，点点关注，带着你们冲刺中考啊，拜拜。

安师联盟的选择题的第十题，好，你对吧？点赞，来我讲题啊，给张老师点点赞，点点关注。那今天呢，给大家分享一下安师联盟异模的选择题的第十题。那这个题主要是考察的是瓜豆原理， 对吧？瓜豆原理，很多同学看到瓜豆原理啊，因为课本上没有，但是呢，综合考 这个刮豆原理呢，他就是仿着二零二五年的选择题的第十题啊，也是考察的是刮豆原理，他的主要的核心，你要找出他的什么轨迹，对吧？动点的轨迹出来就没有问题了。来我们看一下这个题啊，这个题 他说在矩形 a， b， c， d， 这个矩形对不对？ ab 是 等于几？ ab 是 等于二， bc 是 等于四啊，然后呢， p 的 点 p 是 在从 bc 的 射线上进行，什么是个动点对不对？进行来回什么运运动， 然后连接什么 a p， 然后，然后呢？再连接什么？ p q， 对 吧？他说将什么将 p q 旋转，将 a p 对 不对？旋转九十度，顺时针旋转九十度，也就是 p 点和，也就是 a 点 和 a 撇点，对不对？这个什么？这条旋转九十度到这里，也就是说 a p 是 等于什么？ a p， p 的 没问题吧？旋转九十度 都没了，对不对？还有一个什么 q 点是他的什么是，是 a 撇到 a 的 什么中点，对吧？没了，让你求 a， b， c， d 可求，很好求，只要你能把什么轨迹找出来啊，再写一遍轨迹找出来，就能赢了 i g 了。谁的轨迹呢？动点 也就是这个是什么？主动，对吧？主动他往这边跑，那两个动点，这是动的，这是动的，对吧？他两个的轨迹是如何来变化的呢？对吧？ ok， 那 张老师的思想就是，什么叫做极限 啊？极限法，极限法就是你取一个最边口的来确定他们的轨迹，那轨迹如何来确定呢？我们这叫两点，对吧？两点干嘛呢？能够确定什么？ 确定一条什么直线，对不对？两点确定一条直线，比如说这一点，这一点一连是不是两点确定一条直线？所以说 p 点他运动的是什么？是直线，那 q 点呢？也运动的轨迹也一定是什么直线，对不对？也一定直线，那 a 点， a 片点运动的轨迹也一定是什么？也一定是直线，对吧？这基本的逻辑，底层逻辑啊。好，来看一下， 你要把 q 点的轨迹把它画出来，我们这取一个临界点，即值，那 a p， 对 吧？当 p 点来到了 b 点的时候，那是不是这样子的，对不对？因为这两个边干嘛呢？是相等 a p， 对吧？就等于什么？这个假如说来到这里行不行？而且是 ab， 是 四，那呢？这个呢？是不是也是不是二？是二，对吧？那我就连接它到这了， ok， 取它的中点吧，对不对？所以因为这个边和这个边相等，当 p 点来到 b 点的时候，所以 ap， 对 吧？就等于什么？ 因为这九十度吗？对吧？他们家角不变，所以说 a 点呢，就跑到这来了，能听懂吗？能不能好 a， a 点的轨迹就能画出来了，两点确定一条直线，对不对？好， a 点的轨迹一画，哎，正好什么 到 d 了？那老师，为什么他俩连接正好是到 d 呢？我们知道这是九十度，对吧？这是九十度 啊，你看这多少？这是四十五度，对不对？是不是？ ok 啊？然后呢？这是九十度，那这个呢？这是四十五度啊，这个呢？也是四十五度啊，为什么啊？老师，为什么这个是九十度？因为这是什么？这是爱，这是爱，这是爱，说明这是多少度？这是四十五度，这是四十五度，听懂了吗？ 能不能？所以呢？这是四十五度，这是四十五度，对不对？我们这是九十度，所以说呢，他轨迹一定什么和 d 啊？又是，这就是什么？ a 撇的什么轨迹在这场运动，能听懂了吗？ ok， 好， 来接 q 点的轨迹来，怎么找呢？我们这还是什么？两点确定一条直线，对不对？两点确定，对吧？一条一条 对吧？直线对不对？ ok， 啊，那刚刚说了，他跑到这，他跑到这，对不对？那 q 点呢？ q 点一定是什么？ a 到 a 撇的中点，那现在呢？ a 撇跑到这了，这个是动，这个是定的，对不对？这个是动的，那终点是不是在这，对不对？终点是在这这个位置，你取， 取的话什么？两点确定一条直线，你画是不是？ ok， 两点确定一条直线，你画 a， 他 终点吗？ ok， 好， 对吧？那这句话他正好什么中点和 b 什么连接上了，为什么呢？因为我们知道这个是什么？等腰直角三角形，那他的中线一定是什么？等于 前面一半，对不对？所以呢，这个反向延长一定是过什么？ b 点，没问题吧？ ok， 好， 来，这条线就是什么？就是 q 点的什么轨迹，对不对？来，你看，当你到这，当你 p 点到 b 点时候，轨迹是到这，对不对？当你在，当你在这个时候的时候，对吧？ ok， ok， 是 不是，对吧？你 q 点是在这来，再往这边走，再往这边走，对不对？有可能是在这，对不对？是不是？所以说 q 点呢，它的坐标应该什么？向这边跑，能听懂吗？这就是 q 点的坐标啊， q 点轨迹啊， q 点的轨迹啊，划一下 q 点的轨迹没问题吧？啊？ q 点呢，他就会什么向这边走，你往 p 点往这边走， a 点呢，就会往这边走， q 点呢，就会什么往这边走，这就是什么 q 点的蓝色轨迹，这就是 a 点的 a， p 点的轨迹。轨迹一划出来了，就迎刃而解了。 a 选项对吧？ d q， 你 d d q 啊，吧？ q 是 在这里，你点地点 d 到直线的距离是什么？是最小对不对？所以说什么？你连接它， ok？ 垂直距离是吗？是最小的，所以说什么？这个是什么形？明显的什么？矩形对不对？垂直对吧？垂直明显是矩形，那这等于什么？最短距离就等于它，对不对？对吧？那这个是不是它的什么 a 撇？ a 的 中点啊？这是几？这是二，这是二，这多少？ 这是多少？二倍根号几？二倍根号二对不对？然后一半是多少？就等于根号二，所以说这个长度就等于几根号二，最小值就等于几根号二，对吧？比较简单，所以第一小问呢是错的，第二小问的话， c q 对 吧？ c q 到加什么？加 d q， 我 们知道两定一动叫什么，叫将军，对吧？然后呢？引马对不对？将军引马做对称吗？来了来做这个什么对称过来，对不对？ ok 啊，将军引马做对称， ok， 好， 对吧？连接什么？再连接它， ok， 这是什么？ d 撇对不对？要想求出，对吧？假如说这 q 点跑到了 q 点跑到了这里，对不对？ ok， q 点跑到了这里，对不对？所以呢，就等于它加上它的最小值就等于什么？因为这两个边干嘛呢？是相等的啊，我画一下啊，画一下， ok 啊，这个边和是对称的，对不对？相等的，所以说什么 q d 加上 q c 就 等于什么 d 撇 q 加上什么 q c， 所以 这个 d 撇 c 吃的怎么最小值？这怎么求呢？怎么求？ ok 啊，我们在什么勾股定律里面求 啊？嗯，画一下，延长过来，延长过来， ok， 对 吧？那我们知道，嗯，这是平行的，平行的，因为这个角是多少？四十五度，对不对？然后老老师，为什么是四十五度？因为这什么？原来是等腰直角三角形中点吗？对不对？中点啊，这是什么？转，等于一半啊， 对吧？这是四十五度，这也是四十五度。那这是四十五度的话，这是多少？这是四十五度，这是多少？这是四十五度，对不对？那这都是四十五度，那这个边和这边是什么？是相等，对不对？那这是四，那这是几？这是四，这是爱，说明这也是爱，对不对？ ok， 那这个边又和这个边相等，你说这是几？这也是 i， 对 不对？ ok， 要想求出什么，它的最小值是这块用勾股定律计算多少 i 的 平方加上多少四的平方开根号就等于多少，就等于四加十六等于多少根号二十等于几？等于二倍根号五，对不对？对的吧？ ok， b 选项是对的，没问题， b 选项是对的，这样答案选 b。 那 有的同学讲第三题怎么做？太简单， a c， 你 a 点是在这上轨迹跑的，我们这点到直线的距离是什么？垂直距离是最短对不对？是不是可简单，这姐，这一半是 i 对 吧？所以说这多少根号 i？ 根号 i 对 不对？最短距离是多少？就是根号 i 太简单了，对吧？太简单了啊。 然后呢？紧接着这个对吧？你 p q 对 吧？ d q 对 不对？这是一个动的，这是一个动的，这一个定的，那没办法来确定啊。那我们就要进行什么转化，对不对？转化 如何来转化呢？现在不是，这是动的，这是定的吗？对不对？叫两动一定给它转化成什么叫两 定一动来解题就比较简单。那我们知道这是一个什么重点？动点定点，对不对？转化一下， 我们知道这条边和这条边干嘛呢？是相等对不对？所以说我他两个相加就转成什么，他两个边相加，所以说这是一个定的，这是一个定的，这是一个动，对不对？就转成什么？两定一动。 那这两个边相加的最短值是不是？ q 点是在这移动的？移动的话，如果三点共线的话，是不是干嘛 是最短啊？多少？当 q 跑到这个点的时候，就什么 a q 加什么 d q， 它的最小值是几？是四对不对？因为是什么矩形吗？对不对？是四，所以说答案是四对不对？错了，简单吧， 再复盘呀。这个题主要是找出 q 点和 a 点的什么的轨迹啊，主要是找出他们的什么轨迹，其实就是什么瓜豆原理啊。瓜豆原理寒假班的时候我已经跟我的学生全部都讲过了啊， 大家再建议做一下啊。安师联盟的 b 卷，这是 a 卷啊，这是 a 卷，大家再做 b 卷，或者是做一下二零二五年的啊，二零二五年的再做一下啊。记得给张老师点点赞，拜拜。

各位同学大家好，如何把四二零异模的啊压轴题，关于几何题给他做对呢？好，你要达到张老师这种高度来看待这些问题的话，就觉得什么相对来说还是比较简单的， ok 啊，那首先大家都知道几何是考察是相似三角形，你要知道相三有哪些模型，我们最常见最考的什么是 a 字形， 或者是什么反 s 型，对吧？而且最最最最常见的话就是什么叫子母型。子母型他有个特点叫做什么呢？比如说随便画一个什么有一个共角，有一个什么共边，对吧？比如适应定力，他也是属于什么子母型的一类， 对吧？比如说这是垂直的，对不对？这是垂直，那他有什么公共角？还有一个共边也要这个三角形，对吧？和这个三角形干嘛呢？相似 对吧？是不是你要知道这些小小的模型，你吃透的话，这就什么迎刃而解了啊？好，给大家分享一下第十题和二十二题压轴题啊，来，大家一起来看一下。好吧， 那他说阿力三角形 abc 对 不对？ abc， 这是阿力三角形，说明这个角为多少度？九十度，对吧？ ok 啊，这个角为九十度，然后呢， 嗯， b， a， c 是 九十度，没问题，这个是直径，我们要看到直径所定的圆周角一定是多少度，一定是九十度，对吧？标一下， 然后呢， o a 是 几？ o a 是 等于几，对吧？这是半径吗？对不对？这是半径，这是一，这是一，这也是一，对吧？这都是半径啊， o a， o b， o d， 对 吧？ 然后呢， o e 是 几？ a， e 是 几？是三，对不对？这是三， ok 啊，我们把所有的结论来写，这是垂直的，这是一，这是三构定理，所以说这是几，这是根号几？ 三的平方加上一就等于几，就等于根号十吧。所以说什么？所以说 o e o 啊， e o 就 等于几，就等于根号十，那这个是 o， e 是 一的话，那 e d 是 多少？ e d 就 等于根号十，干嘛减一？ ok 啊，这些结论， 那首先他说让你证明什么角 b 角 b 等于什么？ c a d， 这太简单了呀，跟我学的，大家都知道要进行什么，要进行倒角，倒角最常用的方法，看到九十度，用什么 x 加 y 等于多少？等于九十度来进行倒，这是我姐姐的思想， 对吧？我设什么？我设这什么？这是 x， 对 吧？这个呢？这是 y， x 加 y 等于多少度？等于九十度，那这也是九十度，那这个是 y 的 话呢？说明这多少？这又是 x， 那 这是 x， 这是 x， 所以 这两个角可相等，就相等了呀。进行倒角啊。设这个角为 y， a， 这个角为 x， 对 不对？ x 加 y 等于多少度？等于九十度，对吧？ x 加 y 等于九十度，那在这个三角形里面呢？这个是九十度，这个是 y， 对 不对？那这个呢？是多少？ x， 对 不对？对吧？所以说这个角也是 x， 那 这个角角 b 也是 x 角，什么 cad 也是 x， 所以 这两个角第一题很简单，特别简单，轻轻松松，对吧？利用什么 x 加 y 等于多少？等于九十度来进行什么 倒脚， ok 啊，倒脚轻轻松松上大学， ok， 来继续走。选的 b、 b 选项的话，明显是错的，很多同学由于直觉说啊，老师 c 感觉，感觉什么是 a e 的 终点，感觉 ac 就 等于什么 c e， 但是你要列出来呀，对不对？你不能凭感觉呀。好，那必想如何来证明呢？大家看，你看到这个三角形和这个三角形，什么形？有一个什么公共角？有一个什么公共边？共角，共边是什么形？什么形？子母形，对吧？子母形，来我们这， 嗯，给大家稍微举个例子啊。 ok 啊，好，子母型，其实射影定律也是子母型，对吧？我这是垂直的，对不对？这个呢，也是垂直，对吧？那这个是不是公共角， 对吧？在这个三角形中和这个三角形是什么公共角？还有一个什么公共边，对不对？那我们知道这个是什么？ a 对 不对？这个是 b， 这个呢？这个是 c？ ok 啊，如果这样写吧，这样写吧，这是 a b， 对 吧？ c d， 那 ab 的 平方一定等于多少呢？ ab 的 平方一定等于和 b 有 关啊。 b、 d 和什么？和 bc 对 不对？就等于什么 b、 d 乘以什么 bc， 这叫摄影定律，对吧？这叫公共部分啊，公共部分等于什么？他们只写相乘，所以这是一个结论啊，对不对？那你知道这个结论是什么？有一个共接啊，一个什么共边， 所以说共边是什么？是 e、 d 的 平方就等于什么？和 e 有 关的是什么？ ec 和什么？和 e a 对 不对？等于什么？等于 ec 乘以什么？ e a 对 不对？ e d 是 多少？等于根号十减去一的平方。 ec 是 我们要求的 e， a 是 几？是等于三，对吧？ ok， e a 是 等于三， 那仅减不小于等于多少？等于十，减去多少？二倍根号十加一就等于几，就等于一，就等于几，就等于三。然后这等于十一减去多少？二倍根号十，这除以几，除以三就等于几？ e c， 你 e、 c 等于多少？三分之 十一减去多少二倍根号十。如果说你这一个什么 e 是 他们的终点，说明你这应该是多少二分之三是他一半，但是你是多少三分之 十减去二倍根号十了，是不是他的终点了？明显的不是，对吧？是不是因为你这个不是多少二分之三呀？如果你是二分之三了，才是他的什么终点，对不对？明显错误，对吧？ ok 啊，好，继续分析。好， 来看，选择 c、 c 选项的话，对不对呢？应该是对的啊，来看一下，他说 a、 d 比上什么 b， d， 还有呢？还有 e、 d 比什么？比上 a、 e 这明显的。 如果说这两个存在比，是明显存在什么这两个三角形或这两个三角形相似，可相似明显不相似，为什么？因为这是垂直的，这里面三角形有没有垂直？没有垂直，要进行什么？要进行？ a 与 b 什么相似？那 b 与 c 呢？相似，所以 a 与 c 呢？ 啊？ a 与 c 呢？就相似，要连续证明什么？两个三角形干嘛相似？要连续证明什么？两个三角形？ 那我们知道刚刚已经求出来，对吧？这个三角形和这个三角形相似，相似的话，说明对不对？说明你看 e、 d 比上 a， e、 e、 d 这个三角形的什么？斜边和这个三角形的斜边，是不是 a、 e 对 不对？所以啊，在什么 r t 啊？不是 r、 t 三角形在三角形是吗？是 e、 c、 d 正相似于三角形。嗯， a， d， a， d， e 正，对不对？两个三角相似，然后 e、 d， 对 吧？比上什么？比上 a、 e 就 等于 e、 d 比上 a、 e， 就 等于说这个三角形的最小边比上什么？这个三角形的什么 大？三角形的最小边 a、 d 对 不对？就等于什么 c、 d 比什么？ a、 d 对 不对？ ok 啊，各位同学，再看下一个，那如果说作为这个，这个是作为一个桥梁的话，对吧？ 那这个三角形和这个三角形一定什么也是什么相似的，什么形？明显的什么子母形，对不对？是不是？ ok 啊？或者说因为这是直角，这也是直角，你可以用什么？ 你可以相等的角，就用弹琴，对不对？你 ab 比上什么？你这个弹琴 x， 对 吧？你弹琴 x 的 话，就等于 a、 d 比上什么？比上 b、 d， 对 不对？你这也是什么 x 弹琴也等于什么，也等于什么，也等于 c、 d 比上什么？比上 ad， 对 吧？你可以连续使用弹琴，也可以啊，另外一种方法。那我不用弹琴，我又用什么？两个三角形相似的话，哪两个三角形相似呢？就是三角形。 嗯， a、 d、 c 相似于三角形，对吧？ a、 a、 d、 b 对 吧？这两个三角形相似，对吧？这两个三角形相似，这两个三角形相似的话，你找对应比啊。那他比上他就等于什么？就等于他比上他，对不对？所以啊， c、 d cd 比上什么 ad 就 等于 ad 比上什么？比上 bd， ok？ 好， 各位同学看一下，那这一个有一个桥梁了，对不对？这两个是什么？是相等？有一个公共部分，所以这两个看什么呢？相等吧，对不对？所以 ed 比上什么 ae 就 等于什么呢？ 就等于 a、 d 比上什么？ b、 d 看符不符合 c 选项，对吧？ a、 d 比上 b、 d 是 这个对不对？然后 d、 e 比上 a、 e 是 它的，对不对？明显的对啊，就是连续证明什么它与 b 相等，那 b 与 b 与什么 c 相似啊，相似啊，相似，所以中间有一个公部分相当于什么桥梁，对不对？桥梁？然后呢？ a 与 c 就 出来了啊，你要站在一定高度来思考这个问题的话，就特别特别简单，对吧？那 d 选项的话更简单，特别简单啊， d 选项，因为角 b 之前跟我上过的，大家都知道啊，我说相等的角，他们的仨也对不对？ x， 对吧？然后 cos x， 贪停 x， 只要角相等，那他们的余弦正，正弦和正切都相等，那这个是角 b 是 x， 对 不对？那这个也是 x， 所以， 那这个呢？贪停是不是你要请角 b 的 贪停是不是？他比他对不对？ 是不是你这个 x 是 不是一样的呀？所以说 cd 比上什么 ad 对 不对？ cd 比上 ad 就 等于什么？就等于 ed 比上什么？比上什么 a、 e 能听懂吗？能不能再来啊？ a， 你 这个贪听啊，来，继续啊，贪听角 b 就 等于什么？就等于 a、 d 比上什么 b， d 对 不对？对吧？ a、 d 比上什么 a、 d 对 不对？就等于什么 c、 d 比上什么 a、 d 对 不对？又以为 c、 d 比上 a、 d 就 等于什么 d， e 比上什么 a e 对 不对？就等于，对吧？ e、 d 比上什么 a e 对 不对？ ok， 就 等于 e、 d 是 多少？是等于 根号十什么减一变减变三，慢，慢慢走，满足吧，轻轻松松跌下来， ok 啊，连续使用啊，相等的角，他们定的与弦指是相等的啊啊，正切指是相等的， ok， 来，今天看第七题。好，第七题，二十二题，二十 二题的话也比较简单，轻轻松松， ok 啊，来，快速讲一下思想啊，他说等幺三等幺等幺等幺等幺， 对吧？你要知道看到两个等腰在一起组合考察几何的话，答，一定要什么存在，什么三线合一啊，对不对？对吧？三个。呃，什么？两个边相等啊？两个角啊，对不对？ ok， 那 这垂直的话，那这垂直的话，嗯，第一，和他这个是等腰啊，看到没？这两个边是相等，这是多少？ 垂直，说明这个多少度？四十五度，对不对？这个呢？是四十五度，对不对？ ok， 因为这个，那么 d e 和这两个相同，说明这两个角相等，那这两个角相等的话，我说什么？这是 x， 可以 吗？这个大角也是 x， 对 不对？ ok， 那 这个角加上这个角是等于多少？是等于 x， 那这四十五加上这个角也等于 x， 所以 这个角和这角呢？是相等，对不对？所以说这是什么 y， 这是什么 y， 对 吧？你看四十五加 y 等于 x， 那 这个呢？四十五加 y 也等于 x， 所以 说这个是 y， 这也是 y， 能听懂吗？ ok 啊，大概的结论就在这啊。好，来，继续走。 e g 垂直于 a c 啊， e g 垂直于 a c， 说明这个角有多少度也是垂直的，对不对？垂直的对吧？说明这个角是多少？也是四十五度， ok， 所以 这个边和这个边干嘛相等？第一小问，让你证明什么？让你证明的是， 嗯， e g 和这个什么相等，那证明这两个边相等的话，我首先证明什么？这两个三角形干嘛？全等不就行了吗？来，满不满足啊？ 满足到这个角为九十度，这个角为九十度，对不对？是不是？九十度的话，然后这个是边定的，是这个边对不对？那这个边的话是定的这个三角形对不对？因为这是什么？等腰，对吧？所以说两个边相等， 那有一个腰，有，有一个角，有个角了，有个边，有个边了，还有什么？这个角是多少度挖一下，这个角，多少度挖一下，对吧？所以说什么角角边，这个呢？是什么角？ 角边对不对？所以说就满足了呀，所以说这个三角形和这三行吗？就全懂了，全懂了就什么用的，什么角角边，就证明全懂三角形。嗯， d、 g、 e， 对 吧？全等于三角形。嗯， d、 c、 b 全等过后是 a、 a， s 啊，所以说对应边相等，所以 e、 g、 e 就 等于几，就等于 c、 d， ok， 比较简单，第一小问呢，就能求出来了啊？ ok， 轻轻松松。然后第二小问的话，你求什么？ d、 b， d、 b 的 话， 我们知道这是九十度对不对？嗯， c、 f 是 i， b， f 是 i， 对 不对？我们知道这是 i， 这是 i 的 话，我们这个是九十度。我想的是用勾定理的话，就能求出来什么 b、 d 对 不对？是不是 b、 d， 那 知道了 c、 b 的 话，只要能求出什么 a、 d 不 就行了吗？ 大家同，大家能同意吗？同不同意对吧？明显的这是什么形？说，这是什么形？子母形对不对？为什么有一个公共角都是九十度？还有一个什么公共边，叫什么？叫子母形对不对？大家一定要知道啊，子母形有一个什么公共 贡边对不对？还有一个什么叫贡边啊？叫贡边，什么贡角就什么子母形。那子母形的话，大家都知道这个 c、 d 的 平方一定等于什么，等于它对不对？所以说什么？所以 c、 d 的 平方一定等于什么？ c、 f 乘以什么？乘以 c、 b 对 不对？所以 c、 d 不 就能求出来了吗？等于多少？ i 乘以几？ i 乘以四，所以 c、 d 就 等于几，等于 i 被杠上 i 对 不对？ c、 d 等于 i 分 之杠 i 了。那勾股定律的话能不能求出来？那所以说在什么？ 在 r、 t 三角形哪里面？在 r t 三角形对吧？ d c、 b 中对不对？所以 c、 d 的 平方加上什么？加上 c、 b 的 平方就等于什么 d、 b 的 平方，对不对？ 是不是？ ok？ c 的 平方等于多少？二倍根号二的平方加上 c、 b 的 平方等于几？等于四的平方就等于什么 b、 d 的 平方，所以 b、 d 不 就能求出来等于多少？这边是八，八加八加八加十六 等于二十四对不对？对，根号二十四等于几？等于二倍根号六，对吧？所以底下答案就等于几？ b、 d 就 等于几？二倍根号六，轻轻松松 对吧？ ok， 艾比根号六。哎，鼻子不下啊，艾比根号六， ok 啊，轻轻松松就能求出来了啊，再复盘一下啊，再复盘一下，就是证明这两个三角形干嘛呢？全等对吧？全等？全等后。 不是啊，这，这第一小问，第二小问的话就是我们这两个三角形干嘛？相似对不对？相似的话共角共边，用子母形。把什么 c、 d 求出来了？ c、 b 知道了， c、 d 求出来了，那勾股定律就能把什么 b、 d 求出来了啊，轻轻松松就能求出来啊， ok， 第三章文的话，很多同学不会第三章文也比较简单啊。来，根据什么？就这个这个备用图啊，来，嗯，他说我设啊。 c、 d 比上 c、 a 就 等于几，就等于看比一对吧。那 c、 a 就 等于几，就等于几，行不行？好吧，来，继续走。嗯， c a 等于几？ c d 等于几，就等于 k， 对 吧？我们这有 d 小 问的话，你这个等于 k， 这个呢，也等于几，也等于 k， 对 吧？刚刚说了，这个是垂直，这是四十五，四十五说明这个边也就多少，也是等于 k， 对 不对？ ok， 所以呢？这个呢？这个垂直的说明这多少？勾股定律， a 等于几，等于根号 i k， 对 不对？勾股定律啊，就等于根号 i k， 对 吧？ ok， 好， a c 的 a a a a 对吧？ ac 啊，等于几等于一，那 c d 呢？也等于几，也等于一，对不对？ ok 啊， c d 也是等于一，那这是一，这是一，说明这是几？ ab 等于几，等于根号 i， 对 不对？ ab 等于根号 i 的 话，所以说 ab 的 平方减去 ae 等于几，就等于。所以说这个 b e e b 就 等于根号 i 减去根号 i k， 对 不对？ ok， 好， 大家看一下。这个是垂直的，这个是垂直的，说明什么？ 那这个斯坦宁和这三个你干嘛相似对不对？相似通过呢？ a 字型对不对？也能把什么？也能把这个 e b 求出来， e b 求出来， e b 求出来，太简单了。还有这不就来了吗？对不对？那 e b 比上什么 e a 就 等于几，就等于 k？ ok， 我 把一笔已经表示出来了，就等于几，就等于看啊，根号 i 减去根号 i， k 比上多少？比上一等于几，等于根号 i k 就 等于几，就等于 k， 你 减这个方程不就行了吗？对不对？那根号 i 跟 i 约掉就等于多少？就等于一减去。 嗯，看这边的根号二约掉。看乘过来等于几？看乘过来就等于看的平方，所以看的平方，对吧？加上看减一等于几？等于零，对吧？这是解的是什么？解的是一元二次 方程啊，所以看啊，拿上来啊，看就等于看，就等于 a 分 之负， b 加减，根号下带他，对不对？所以往里面带就等于几， 就等于二分之，对吧？负一对吧，加上多少跟二加二等于几？加上根号五，对不对？还问你是多少？ k 一 k 二就等于多少，那负一减去多少根号五比上什么？因为这是一定是负的，负的一定舍去，为什么？因为现在不可能为负的，对吧？是不是？其实是就是吗？这 k 不 就出来了吗？对不对？就等于几？二分之根五减一，这个就是什么叫做黄 金，对吧？黄金啊，叫分割比，对不对？黄金比对吧，二分之什么？根五减一。 ok， 好， 今天呢就给大家分享一下这两题啊，就是什么？一个是用的什么字母型，常用的还有什么 a 字型啊，答案呢？还有摄影，摄影定律，你站在一定的高度呢，也在思考这个问题的话，还是比较简单的啊，记得给张老师点点赞，点点关注，带着大家正式中考。

刚刚考完的二零二六百项联考一二十三题，我们一起来看一下这道题。首先一开始是两个完全一样的直角三角形，如图，摆放是重合放置的三角形 a、 b、 c 啊，保持不动。三角形 a、 d、 e 绕着 a 点逆时针方向旋转。第一个是旋转到一个特殊位置， 并且顶点 b 处这个角是三十度，说明这个三角形啊， a、 c、 b 啊以及 ad 啊，它的边角的关系是确定的，并且转到 e 点落到 ab 边上，那说明这个角旋转角就是转了六十度。 把 b、 d 连起来，取了 b、 d 的 中点是 f 点，再连接 af， 让我们判断这个四边形的形状， 它的形状很明显就是一个矩形。首先旋转的话，旋转 b 处等腰，并且旋转角是六十度的话，我们可以得出来 三角形 a、 d、 b 是 个等边三角形，又取了终点，那就三线合一，所以这个位置是九十度。好，假设 a、 c 的 长是一个圈圈，那么 a 的 长是两个圈圈，以及 a、 e 是 由 a、 c 转过去的，所以这些东西都是一个圈圈。 然后等边三角形的边长是两个圈圈。三线合一之后，所以我们得出 b、 f 啊，它就等于边长的一半，所以它也是一个圈圈。所以此时这个四边形 a、 c、 b、 f、 a、 c 和 b、 f 已经是平行且相等，所以它首先是个平次，再加九十度，所以就正出来了，它是矩形。 第二个如图三，当三角形 a、 d、 e 继续绕着 a 点逆时针旋转，并且此时旋转的角是九十度的时候，把 c、 d 连起来，然后再把 b、 e 连起来，取了 b、 e 的 中点是 p 点， a、 p 和 cd 相交于 q 点，让我们判断 ap 和 cd 的 数量关系以及位置关系，其实我们可以大胆的去猜测一下，看图， cd 和 ap 感觉是垂直，这是位置关系，数量关系。这个 cd 长一点以及 p 点是个中点，所以我们大胆猜测 cd 的 长就等于两倍的 ap。 我们先把这个结论给它写出来，因为转了九十度，所以此时 a e 和 c b 它必然是平行的，平行以及 p 点是中点的话，所以这就是经典的平行线加中点模型。所以我们可以考虑把 ap 给他延长出来， 再把 c b 给他延长出来。因为有平行，所以我们这个终点的话不需要被长，只需要延长即可。这个焦点如果是 m 点 交于 m 点好，要证明 c d 是 ap 的 两倍，就接下来等价于证明 c d 啊和 am 是 相等的， ab 是 一个圈圈，它是转到了 ad 这个位置， ac 是 一杠，它是转到了 a e 这个位置。我们刚才倍长边中线或者是啊构造了平行线加中点模型的全等之后， a 的 长就是等于 bm 的 长的， 所以目标是证明 cd 和 am 相等。现在你发现 cd 和 am 所在的两个三角形已经有两条边对应相等了，所以接下来我们来找一下夹角是否相等。顶点 b 数分成两个角，一个是阿尔法，一个是北塔，阿尔法是用顶点艺术的这个阿尔法给转移过来的， 所以现在阿尔法和贝塔又属于三角形 a、 b、 e 中的两个角。所以如果我们能表达出角 cad 也是阿尔法加贝塔的话，那么我们的目标就达到了。我们来写一下角 cad， 它应该是这里面是个套角模型，两个九十度， 角 c a e 和角 d a、 b 两个九度套在一起，所以它可以写成是一百八十度。减去角 b a、 e， 而角 b a、 e 又属于三角形 b a、 e 中， 所以它可以表达为是一百八十度。减去 r 法，再减去 beta， 我 们化简之后发现正好是 r 法的 beta， 所以 我们就得出来三角形 c a、 d， 它就全等于三角形 m b a 了， 是边角边的全等。全等之后，我们就得出来 c、 d 的 长应该是等于 am 的， 而 am 是 等于两倍的 ap 的， 所以数量关系我们就可以把它正出来。 好，位置关系垂直，怎么去说明呢？假设 m 处的这个角用 c 塔来表示，这个 c 塔是由角 e ap 这个 c 塔给转移过来的，然后全等之后，顶点 m， 这个 c 塔还等于顶点 c 是 这个 c 塔， 所以此时这个三角形 a c 表示这是 n 点 ac， 它有点像射影定律的图了，两个 c 它相等的话，那其实就可以得出来顶点 q 处就是九十度。原因是来看 c 塔和旁边的这个角 c a、 p， 它俩是互余的，所以得出来另一个 c 塔和角 c a、 p 也互余了，所以得出来顶点 q 出来就是九十度。所以第二步我们就把它正拿了。 第三步我们来读一下方三角形 a、 d、 e 绕着 a 点逆时针方向还是旋转九十度图大概给我们已经画出了这个备用图。连接 b e， 把 b e 连起来， m 是 在射线 a、 c 上的一个点，标注一下，射线 a、 c 上连接 dm， 过 a 点做 dm 的 垂线， 交 b e 与 g 点。若 g 点是 b e 的 三等分点，请直接写出 am 和 ac 的 比值。关键信息是， g 点是 b， e 的 三等分点，因为转完之后， b e 的 位置已经给我们画出来了，它是三等分点，所以必然要分类讨论 一种情况， e g 的 长，它是等于三分之一倍的。 e b 的 话，我们把 a g 连起来， 题目说 m 是 在 a c 这条射线上的，所以我们也把这条线给他延长出来。此时 dm 是 垂直于 a g， 好， 大概把这个位置画出来，这个点就是 m b m 交点处是个九十度。因为有了第二个的这个铺垫之后啊，这个第三个做起来就方便多了。第二个核心 p 点是中点，现在这点变成三等分点，但是他依然是平行线，有等分点，所以 如果是中点的话，那就构造全等。如果是等分点的话，就构造一个八字形的相似，我们把 c b 给他延长出来， 然后再把 a g 给他延长出来。焦点如果是 n 点的话，那么此时上下两个三角形 a g， e 和三角形 n b g， 他 俩应该是相似的， 因为这点是三等问题，所以如果你是 x， 你 是二 x， 那 么这两个三角形相似比是一比二。 因为最终是直接写出答案，所以我们不妨假设 a c 直接是一份，那么转完之后， a、 e 就是 一份。相似之后 b、 n 就是 两份，所以我们来找 am 的 长度即可。 a b 这个圈圈是等于 a d 的，是旋转过去的，以及结合 d m 的 正反，我发现顶点 b 是 这个大角，这个大角永远等于顶点 a 是 这个大角，再根据 dm 和 a d 垂直好，顶点 n 是 这个小角，如果是 c， 它依然是由上面这个小小的 c 塔给转移过来的， 以及此时现在是垂直，那么三角形 a m q a m q 这个三角形其实就是一个摄影定律的图啊，所以这个小 c 塔就是顶点 m 时的这个 c 塔。 所以写到这你会发现，此时三角形 d， a、 m 依然是全等于三角形 b a、 n 的， 它俩此时全等的原因是啊，两个角还有一条边， 全等之后我们会得出来， a m 的 长就等于 b n 的 长，他依然是两份。所以第一种情况里面， a m 比 a c， 他 就等于二比一，结果等于二。 第二种情况道理一样，如果这点他是 b、 e 的 三等分点，此时靠近 b 的 话，首先可以正的这两个三角形是相似的。我们依然假设 a、 c 如果是一份，此时 b、 n 的 长应该是二分之一。 继续来证明这两个三角形它是全等的。全等之后，我们就可以得出来， a m 的 长是等于 b n 的， b n 是 二分之一。所以第二个答案 a m 比上 a c 应该是一比二。 总结一下，这道题依然是旋转，但是他出题人啊，有点反套路的意思，他抛开了这个对旋转角本质的理解，等腰也用的不是特别多，是旋转到九十度这样一个特殊位置下， 有平行，平行加等分点，通过构造相似来解决。关注数学张老师，这个春季我们一起攻克山西中考压轴题！

老师，这道题到底怎么做啊？别急，杜老师来教你。那么今天我们看一下平行线分线段成比例定义的综合应用。 在三角形 a、 b、 c 中， a、 e 是 角平分线， b 的是中线，它们相交于点， f、 b、 f 比 f、 d 等于三比一。让我们求出三角形 a、 b、 c 的 周长，这个里面还有一个已知条件。 首先我们来看一下三角形 a、 b、 f、 a、 d、 f 这两个三角形，它们是底，在同一条直线上，它们高是同高的，因为 s 三角形 a、 b、 f 比上 s 三角形 a、 d、 f 就 等于同高的。两个三角形的面积比就等于底。边长的比等于 b， f 比 f、 d 等于三。 一过 f 做 f， h 垂直于 a、 b、 f、 h 二垂直于 a、 c 垂足分别为 h 一、 h 二、 要因为 a、 e 是 三角形 a、 b、 c 的 角平分线，所以 f、 h 等于 f、 h 二，我们再换一个角度来看，三角形 a、 b、 f 的 面积就等于 a、 b 是 底了，高是 f、 h 一 得一半。而三角形 a 的 f、 a、 d、 f 的 面积，我们把 a、 d 看成是底，那么高是 f、 h、 r 那 么的极等于一半。这样从这个角度来看，这两个三角形面积的话，它们是等高的。所以 s 三角形 a、 d、 f 比上 s 三角形 a、 d、 f 就 等于 ab 比 ab 也要等于三点一、 d 是 终点，不是 a、 b 为 x， 那 么 d、 c 也是 x， 这样我们就可以得到 a、 b 三、 x、 d、 e 怎么来表示呢？同学们看 d、 f 比 f、 b 一 比三。那么第二个步骤，我们可以过 d 做 bc 的 平行线构造八字形， 我们可以设 dm 为 a， 则因为平行平行线分线段成比例， dm 比上 b 一 就等于 d， f 比 f、 b 等于 b 三，由此可以推得 dm 是 a， 那 么 b 一 等于三个 dm 三 a， 且因为平行，所以 dm 比 ec 就 等于 ab 比 ac 一 比二，这样我们可以推得 ec 是 dm 的 两倍 m c， 那 么 ec， 那 么 ec 就是 ab 加 b 一 等于三倍的根号三， ab 是 三 x， b 是 三 x， b 是 三 a， 所以 三倍的 x 加三， a 等于三倍根号三，所以三角形 a b c 的 周长 就等于三 x 加五， a 加二， x 等于五， x 加五， a 等于五倍的 x 加 a 就 等于五倍。跟到三，记得点赞关注哦！

我上课你点赞。好，各位同学，大家好，我是你们的八戒老师，今天讲一下关于高考的 c， 二零的啊，联盟的按摩的第二十题，那这个题的话，直接可以说，秒杀啊，秒杀， 那张老师你是不是在吹牛啊？秒杀，如果你听过我的课的话，这个题呢？五，呃，两分钟不到啊，两分钟不到就能解决这个问题啊，来我们看一下。首先呢，这是一个圆对吧？然后呢，直径锁定圆周角是多少度？ 九十度对不对？那这个角是九十度，对吧？然后呢，你看到他一定要去想到呢，同弧所对应的，或者是等弧对不对？锁定圆周角是多少？哎， 圆周角怎么办呢？相等对吧，你的意识感比较强对不对？所以说什么？这两个角是什么是相等的？为什么？它们弧相等，对吧，对不对？所以说它们什么对应的圆周角是相等的。再来用那句话看到九十度想的， x 加八等于多少度？等于九十度来进行干嘛？ 进行倒角对不对？ x 加 y 等于九十度，一定要记住我的口诀，这个是九十度，说明这多少度啊，这个就是 y， 对 不对？所以呢，在这个三角形中， x 加 y 等于多少等于九十度？这就是来了，人家说了什么呢？ 他说这是一个切线对不对？那 d， 然后呢，这个什么是切线？说我们连接他 e， 连接过后， ok， 好， 连接过后，那这个呢，就是垂直，那老师为什么垂直？因为切线呀，切线对吧？和直径或者半径的什么交？这什么 夹角是九十度， ok 啊，比较简单 d。 小 问，让我们求什么呢？求的是 a， e 与这个什么 e， d 是 垂直的对吧？九十度太简单了呀，对吧？你看这是 x， 这是 x， 对 不对？那这个呢？半径，半径说明这多少，这也是 x， 对 不对？那这也是 x 的 话来看，对吧？那这是 x， 这是什么叫内错角相等干嘛呢？ 两直线平行，那两直线平行同旁内角干嘛？互补对不对？所以说什么就求出来了，对吧？你这互补，这个就是多少度？九十度就能求出来了，太简单了呀。啊，秒吧，啊，对不对？是不是秒？ ok 啊，来，紧接着看第二题，秒不秒 来。 d 等于几？等于四，对不对？ b、 d 是 等于几？是等于五？我在想 如何来求什么 a、 c 呢？我们通常说 a、 c 的 话，它不在 r、 d 三角形里面，那通过什么相减或者相加，那 a、 c 的 话，是不是就等于 a e 减去什么 e c？ 那 e、 c 怎么求啊？啊？怎么求好来进行来转化， 那我想到什么？这一个什么同弧所对应的，对吧？等弧对不对？ ok， 圆周角相同，那他们弦相不相同也相同，对不对？所以我就想到什么连接，什么 c、 d， c、 d 一 接连接过后呢？所以说什么 c、 d 的 长度就等于什么 b、 d 的 长度就等于几？就等于五。 那根据第一问可知的话，对吧？第一问往往不可能让我们单独求的，肯定会和第二问有关系，对不对？而且呢，第一问的结论可以作为第二问的条件来使用，所以这个是垂直，这个是四，这个是五，说明这是几。勾股定律，这是几，这是三，对不对？所以 c、 e 是 等于三了。 ok， 好， c 求出来的话，我怎么来，如何求呢？我们看到啊，这个公共角对不对？还有一个什么公共边就能想到什么。这个三角形和这三角形什么 相似？什么形叫子母形？是不是直接秒了对不对？你经常听我的课是不是有这种感觉，对吧？叫什么叫共角共边，子母形直接秒。好吧，那我就设什么？ 是啊， ac 等于几？等于 x， 对 不对？所以 ac 就 等于什么？就等于 x， 就 来进行求解。那老师你怎么知道？你能不能证明一下？好呀好呀，你怎么证明这两个三角形相似的？好呀，公共角对不对？再来找一个角相等不就行了吗？你看一下啊， 这个对不对？对应的什么弧是什么？是它 c d 对 应的什么这个角对吧？对应的弧是 c d， 那 这个弧对应的是角什么是？指的是这个 x， 对 不对？所以干嘛呢？所以这是 x， 那 这个呢？也是 x， 还有一个公共角对不对？所以说什么 有两个角相等了，所以说这两个三角形干嘛呢？就相似了呀？那相似的话，我们看看公共的部分是什么是 e c， 所以 说什么 e c 的 平方就等于什么呢？ 就等于什么 e c 乘以什么？乘以 a， 对 不对？所以就所以说就等于几就等于 e c 乘以什么 e c 啊？不是平方是 e c 对 吧？是 e c 就乘以什么乘以 e a， 对 吧？就迎刃而解了呀。来看一下，多少四的平方就等于三，乘以多 e a a 就 等于几，就等于多少三加 x， 对 不对？所以说就等于几，就等于 三加 x 来求解不就行了？多少十六等于几？等于九，对吧？然后呢，加上三 x 这边移过来就等于几，就等于七，就等于几？三 x， 对 吧？是不是？所以 x 就 等于几？就等于三分之七，那 x 等于三分之七了，你说 a c 就 等于多少？就等于三分之七就迎刃而解了呀， 对吧？简单吧，没有人和绕了，这就用一个什么相似三角形对吧？子母形就出来了。好吧，我最后那句话，我讲课你点赞，咱们一起冲刺中考。评论区回复中考，对吧？加油。 ok， 好， 拜拜。

我岳云鹏讲二零二六届苏北七十二模的压轴单选择题。本题中可以认为只有点就是动点。 这里我可以通过做多组垂直验证角 p o p 正弦最小为 o p 与贝塔夹角的正弦。当然，你也可以直接用这一结论， o p 与平面贝塔夹角就是 o p 与平面贝塔内直线夹角最小值。 由此只需求出 o p 与贝塔夹角正弦，无需额外关注其点位置。现有 pm 垂直贝塔于 m 点做 p t， 垂直 o a 于点 t， 这时候可以验证角 p o m 正弦等于角 p t m 与角 p o a 正弦的乘积。 其中角 p t m 为二面角的平面角，角 p o a 为三十度，此时角 p o m 位 o p 与平面贝塔夹角，进而选 d。

同学们好，我们来看一下安徽省刚考的啊，百校联营一模数学的几何压轴题。 这一题的难度不大啊！难度不大，第一小题和第二小题，这个八分是送一分，这个最后一小问啊，最后一小问主要是考察到 同学们的一个画图作图能力啊。那我们来具体的看一下题目。 a、 b 等于 a、 c 角 b， a、 c 等于九十度 点 d 是 b、 c 延长线，然后一点连接 a、 d， 将线段 a、 d 绕点 a 逆时针旋转九十度得到线段 a、 e， 所以 角 e、 a、 d 是 九十度，这个角 b、 a、 c 也是九十度。那么这是一个手拉手模型， 判断 b、 d 与 c、 e 的 数量关系和位置关系，数量关系是相等，位置关系是垂直。 那么第一小题我们只需要证明一组全等这个分儿就可以拿到了。三角形 b、 a、 d 全等于三角形 c、 a、 e。 为什么呢？因为 b、 a 等于 c a， b、 a 等于 c a 角 b、 a、 d 等于角 c、 a、 e、 a、 e 就 等于 a d s a、 s 可以 证明全等，所以数量关系是相等，位置关系是垂直。这里面有一个八字形， 这个啊，我标红的这一个是八字形。由全等我们可以证出角一等于角二，全等的话，角一等于角二。 那么又因为角 e、 a、 d 是 九十度，所以你可以很轻松的得出角 e、 c、 d 是 九十度啊，角 e、 c、 d 是 九十度，那所以 e、 c 和 b、 d 是 垂直的。那么第一小题 的思路啊，就是这样，正全等，然后找八字形。好，我们看第二小题，延长 b、 a 交 e、 c 于点 f 连接 b、 e、 g 点是中点， g 点是中点。若 哦，当 ab 等于 ac 等于二， g、 f 垂直 g、 e 的 时候，如果这里是垂直， 让我们求线段 g、 f 的 长度，那你要这样想一下，第一小题没有无缘无故的第一小题啊，第一小题角 bce 是 等于九十度，角 bce 等于九十度。 哎，那这个时候我们就能得到中位线啊，哪一个是中位线？ g、 f 是 三角形 e、 b、 c 的 中位线啊，平行且等于二分之一 b、 c， 所以 第二小题我们把 b、 c 的 长度求出来就可以了。 ab 等于 ac 等于二，所以这个 bc 勾股定律，二倍的根号二， 那么 g、 f 就 等于二分之一乘二倍的根号二等于根号二。那么第二小题我们就解答完成了，到这里的话，我们就能拿到八分了啊，很轻松啊！ 好，我们来看最后一小题，在做最后一小题的时候，我希望大家能记得你第一小题用到了中位线啊， 所以我们像几何压轴下一问的思路，你要想一想上一问是怎么做的？好，带着这一个我们来读题过点 c 做 c、 h 平行 ab， 若三角形 a、 p、 f 与三角形 a、 c、 h 全等，求 c、 h 比 c、 d 的 值。好，我们来分析一下， 平行，那么角 c、 h、 d 角 c、 h、 d 啊，角 a、 c、 h， 角 a c、 h 等于角 b a、 c 是 等于九十度的，然后这个角 b、 c、 f 是 九十度，所以角 b、 f、 c 等于角 c、 b、 f 是 四十五度啊，角 c、 b、 f 是 等于四十五度的，这个是能证出来的啊。很简单，因为 a、 b 等于 a、 c 三角形 a、 b、 c 等腰直角三角形，所以我们可以得到角 b、 f、 c 也是等于九十度啊，也是等于四十五度， 那么等角对等边三角形 b、 c、 f 是 等腰三角形，是一个等腰直角三角形， 然后三线合一可以得到 a 是 b、 f 终点， a 是 b、 f 的 终点，又有一个终点，结合题干中告诉我们， g 点也是终点， g 点和 a 点也是终点啊。 而我们上一题用到了中位线，那么这一题需不需要用中位线呢？ g、 a 也是中位线呀， g、 a 是 三角形， b、 f、 e 的 中位线。好，我们写在这里啊， g、 a 是 三角形， b、 f、 e 的 中位线。 好，继续来思考这个题干中的这个条件，这两个变形题全等，我们还没有用上啊！其实这一小题很多同学没做出来，他认为这个 a p 是 等于 a c 的， a p 和 a c 是 对应边，是这样的吗？ 肯定不是啊，因为这一题给你的是文字型全等，文字型全等，他没有给你这个全等符号，所以 ap 和 ac 他 不是对应边。而我们刚才分析的是三角形 a、 c、 h 这个角 a、 c、 h 是 等于九十度的， 然后 ac 是 等于 af 的， 所以 ac 与 af 才应该是对应边， ac 与 af 是 对应边，那么我们就可以得到角 afp 应该等于九十度，这是一个重要的条件，角 af、 p 等于九十度，所以这一题的难点就出来了，它这个角给的很明显不是九十度。那这一题就考察到同学们的作图能力了啊，你要把这个图形给它画出来。好，那我们来画一下。 所以这个时候 g 点应该在这里啊，这里是直角，所以 p 点， p 点就要在这边了。 好，然后这个中位线啊，中位线我们也给它连上。现在中位线有什么用，我们可能还不知道。好，再来分析一下啊， a、 f、 p 与三角形 a、 c、 h 全等，那么我们就有对应边相等， a、 c 等于 角， f， a、 e 全等。三角形对应角相等， 然后还有一个 a、 d 绕点 a 旋转，所以它等于 a e 这个 s a、 s 又可以得到一组新的全等三角形。 三角形 a、 c、 d 全等于三角形 a、 f、 e 这两个三角形全等，那么我们就得到这两个三角形全等，然后啊， a p 等于 a h， a p 等于 a h， 所以 这个 pe， pe 和 h d 是 相等的，对吧？同时减去 a p 和 a h 嘛。 好，那所以 a p 与 pe 的 比值，也就是等于 a、 h 与 h d 的 比值喽，对吧？因为你根据这两个 c 形全等，那我们就可以得到这一个好用黑色的笔写啊， a p 与 pe 的 比值， a p 与 pe 的 比值等于这个 a、 p 的 对应边，我们可以替换成 a h， pe， 我 们就替换成 h， d 等于多少呢？这个时候中位线我们就用上了啊， a g 平行且等于二分之一 ef， 所以 a g 比 ef 等于一比二，所以 ap 与 pe 的 比也是一比二， 那么 a h 与 h d 的 比自然也是一比二。如果说 a h 我 们设成 t， 那 么 d h 就 可以用二 t 来表示 啊，是 a h 等于 t， 所以 这个 d h 就 等于二 t， 那 这个时候 d h 比上 d a 就 等于二比三了。 结合题目中的 c h 平行 b a 这个蓝色的小三角形和这个大三角形一个 a 字形相似啊，三角形 d， h， c 相似于三角形 d， a、 b 相似于三角形 d， a、 b。 好， 让我们求 c、 h 与 c、 d 的 比值，那么我们来设一个数吧啊，我们设 ab 等于一，那么 ac 也是等于一， bc 就 等于根号二， 这个时候 c h 就 能求出来了，对吧？ c h 就 能求出来了，我们来求一下 c h 啊， 这个时候 c h 比 ab， 对 吧？这两个三角形相似啊，这个 a 字形相似。 k 是 等于二比三的，所以 c h 比 ab 就 等于二比三， 那么 c、 h 就 可以求出来了， c h 就 等于三分之二。乘 ab、 ab 的 长度我们设为一，所以 c、 h 是 三分之二，下面再把 c、 d 求出来。 c、 d 怎么样求呢？ c、 d 比 b d， c d 比 b d， c d 比 b、 d 是 等于二比三的，我们 c、 d 用 m 来表示啊，所以 c、 d 用 m 来表示，那么 b、 d 的 话就是 m 加根号二， 它们的比值也是等于二比三。交叉相乘二， m 加二倍的根号二等于三 m， 所以 m 等于二倍的根号二， 那 cd 的 长度就知道了，所以 cd 是 等于二倍的根号二的。那么第三道题我们到这里的话就可以解出来了。 c h 等于三分之二， cd 等于二倍的根号二，所以 c h、 c h 是 比上 c、 d 就 等于 c h 是 二分之三，然后比上二倍的根号二乘二倍根号二分之一，约分二和二消掉等于三倍的根号二分之一。分布有理化， 同时乘根二，六分之根号二，所以最后一小题的答案是六分之根号二。好，这道题就讲解到这里，再见。

好，那各位同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天呢，我们来说一说这个二零二六年虹桥区九年级杰克考数学第二十四题的相关解题思路。 这个题我个人认为啊，呃，虽然说是严重的之前的那个出题的套路，但是对于二十四题来说，我觉得他的这个难度有些个偏低啊。来，咱看看这个。这道题啊， 是在坐标系当中， o 为圆点， oab 是 个等腰值，然后 oba 角是九十度啊，然后这两个边相等，然后顶点 a 的 坐标告诉我了， b 在 第一象限，然后正方形的顶点也告诉我了，然后 c 在 正半轴点， d 在 第二象限中线。 好，我们来看啊！第一问，求 b 点坐标，这个就比较容易了，对吧？因为这个点 a 坐标我知道是六六六零，所以这个点 b 的 坐标我就直接做个稍等啊，把这稍微挪一下， 点 b 直接做个垂直，因为等腰直，这就是三线合一，对吧，所以这边就是三，这边也是三， 所以 b 点坐标呢？三到三啊， d 点，我知道 e 是 负二到零，那么这个边长就是二，所以这个 d 点坐标呢？负二到二把。第一位还是比较容易啊， 那看第二位，说是把这个正方形呢，沿 x 轴向右平移，得到这个正方形新的一个 o 撇， c 撇， d 撇， e 撇，然后分别对应点，就是他们的撇啊，然后 o、 o 撇是 t， 这个长就是 t， 就是 它移动的这个距离吧，这就是 t 移动之后重叠部分即为 s。 来看圈一说，如这个图所示，当这个边这个分别与这个 o、 b 相交于 f、 g 的 时候，且正方形与三角形 o、 a、 b 的 重叠部分是五边形的时候， 各位注意啊，它的前提有两个是这个边与 o b 分 别相交的时候，且 且正方形和它的是五五边形的时候，用含有这个 t 的 式子表示 s， 并直接写出 t 的 这个曲曲式范围。为什么注意这一点？各位，因为它成五边形不止这这这个刚图二这种情况，它还有一种情况，就是当它运动到这的时候， 这也是个五边形，但是这个时候这个图形和 o b 就 没有交点，就是 f、 g 不 存在。所以运用到这个时候，我们不予考虑，只考虑图二这种情况啊。所以读题审题要审明白啊！来我们看啊，这种题我们怎么分析 我的分析方式啊？基本上是先从这个取值范围开始，咱先闹明白 t 的 取值范围再说，怎么表示，他表示并不困难。那他说是这个重叠部分是五边形的时候，什么时候能成五边形？ 他这个图长度是二，而且这边是个等腰值，那么这个位置是个四十五度，当图形刚开始运动过来的时候，当图形刚开始运动过来的时候，他成的是一个三角形的一个状态，对吧？ 那中间部分是个三角形，显示不符合题，但是用到什么时候他就开始会是一个五边形呢？就应该会经历一个四边形，但是这个图它比较特殊，就是 它最后成三角形是这个样子，就正好这个 o b 有 一部分是这个正方形的对角线，再往里边挪一点，就变成图二这个样子，所以这个位置是一个临界的位置。 这连接点好找吗？太好找了，因为这个边长是二，没有边，那底边就是二，对吧？这个时候是个啥？是个等腰直角三角形，所以 t 的 范围必须是二大，哎，才能是五边形，对吧？好，什么时候结， 什么时候结束，什么时候就不是五边形了。我们需要看啊，就是我们最佳状态是中间，这个正好是这样卡一个正方形，对吧？这是个最佳状态，那我们看有没有可能是这样的情况，这样的话就从五边形变成四边形， 对吧？好，那这是我们看啊，如果是这样的话，也就是我像这段，能不能让他等于二，甚至这块大于二都可以。对，我要说这个长比二大，那么他一定有个时刻是二，整个在里边，对吧？那可不可以我们算一下，这个边长是二，没问题吧？但这个时候这呢 也是二，这个边长是二，那这个时候这呢也是二，两边都是二，中间剩几？ o a 是 六，中间正好剩二，哎，也就是说这个图形正好卡死在中间，哎，这两个端点正好在 ob 跟 ab 上，那这个时候中间这个正方形能完完全全的进来，完完整整的进来，对吧？所以在这个时候已经不符合题，他的重叠部分就是这个正方形，所以他一定比四要小， 哎，这就是 t 的 取值范围，有了取值范围，我再去找什么，能不能取等号？就是能不能等于二，能不能等等于四，这个最后考虑就可以，能等于二吗？显然不行，因为刚才说的二的时候，这是一个等腰值，他不博题， 能等于四吗？也不行，四的时候完全进来了，正好是一个正方形，所以 t 的 范围就是二到四，大于二，小于小于四， 好，然后去找这个表达式怎么表达？这五边形很显然就是正方形减上面这个等腰直角，对吧？这五边形的面积好表示吗？太好表示了，等于四，而且这个正方形正方形面积呢？等于四，对吧？那这个五边形 g f d 撇怎么表示面积？ 这明显这是一个等腰直角三角形，对吧？所以我只需要把这个长都表示出来就完事了，对吧？那这个长怎么表示？那二减这个呗，对吧？那这个长怎么表示？那就是 o 一 撇呗。 o 一 撇怎么表示？那 o o 撇减去 o 撇一撇呗，那这个好表示吗？ o o 撇就是 t， o 撇一撇等于二就完事了呗，对吧？所以我应该看到啊，就是这个 o 一 撇，它应该等于是 t 减二， 对吧？它应该等于的是 f， 一 撇是这样子，那么 d 撇 f， 它应该等于是二减去 f， 一 撇就是 t 减二，所以它应该等于是四减 t， 哎，这块是四减 t， 那 么面积就可以表示了吧？二分之一，括号四点 t 的 平方就完事了， ok 吧？啊，这就是我们的这个第二，也就是圈圈一啊。来，我们看圈，当这个 t 在 二分之五到二分之十三时候，求求 s 的 取值范围，直接写出结果即可，那这个取值范围有一个是白给分的，是，是那啥？最大值 最大值一定是四。为什么？咱刚才说的，咱刚才分析的时候都说了，这个正方形是有可能完全进来，完全进来时候面积一定是最大，因为你无论奔哪边走，它都会缺一块，对吧？所以最大值是白给分四啊。最小值有时间你就分析，没有时间就咱，咱能算 啊。他一定是在二分之五或者二分之十三的时候取最小值，因为这面积明显是先变大后变小，对吧？那什么时候这个面积能变成最小值？我们要分析什么？各位，我们在 t 等于四的时候取的是最大值， 那这面积是先变大再变小，那就是说 t 等于二分之五和 t 等于二分之十三，谁离四近谁就大，谁离四远谁就小， 对吧？因为越远你出去就越多嘛，对吧？所以我就看二分之五跟二，二分之十三和这个四比四是啥？二分之八，对吧？这俩差多少？差二二分之三，这俩差二二分之五，显然这个远，所以在这取得最小值。 好，这个最小值你愿意找就找，不愿意找，这这真的可以空过去。这个基因密度稍微有点，但不是很大， 那明显是这个情况，对吧？我把这个五边形面积求出来就可以了，对吧？那这个时候还是拿正方形减去上面这个等腰值，对吧？上面等腰值的求法和这个一模一样，我需要把这段表示出来， 对吧？那这段是啥？是整个是六减去 o 撇，对吧？所以，所以我写在这这边了，这段长，我就我就这样写了这段长，这是六减 t， 这段 t 嘛，对吧？这段是六减 t， 那 竖着也是六减 t， 那 所以这段呢？就是二减去六减 t， 它等于 t 减四， 于是上面这个面积就应该等于二分之一 t 减四的平方，然后把二分之十三带入，你就不用展开带入，求出那个值，就是面积的最小值就完事了 啊，之所以说他的这个难度略低一些，因为第三问这个实在是太有套路了，他的最最大最小时有一个其实是送分啊，然后中间这个你只要审明白题，他这个就是还是一个比较典型的之前的二十四期的出题的方案。 好了，那这是我们对于二十四问题的一个思路的一个分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，或者到我的微信公众号，这里的数学不一样，咱们进行进一步的沟通和交流。那好了，那这个二十四题先和大伙说到这了。

好，我们来看一下这样一道题，这个题是咱们二零二六届的安庆二，那么这套试卷的话，呃，我整体做了一下，感觉它的难度是比较贴近高考的 啊，希望同学们有时间可以去做一下。我们来看单选的第七道题啊， 这个三棱锥的底面为边长为一的等边三角形，三个侧面三角形中至少有两个啊，至少有两个是等腰直角三角形，那么三棱锥的体积不可能的是哪一个？ 那么拿到这种题目的话，咱们一定要动手做起来啊，我们不要啊，就是看着这题目去冥想，你冥想的话，肯定是啊，你想不出来的，你也猜不出来的，所以我们来动手操作一下啊。 他首先说这个三轮锥的话，里面是一个正三角形啊，我们随便画啊，画一下， 假设这个是底面，然后呢，他说有两个，三个侧面三角形中至少有两个是等腰直角三角形，我们画一个啊， 啊，这个这个地方咱们用虚线来画， 呃，底面边长是一一一一，对吧？那么有侧面得有等腰直角三角形，那我们比如说，我们以这个侧面为例， 对吧？我们以这个侧面为例，如果他是等腰直角三角形的话，应该会有什么？有两种情况，要么是他俩为腰，要么呢是他俩为腰。 呃，那我们来看一下，如果是这个和这个是幺的话，那这里是直角，对吧？那这里是直角的话，所以他们的这个两个幺的话，应该都是二分之等号二。 那题目说我们是有两个，至少有两个是等腰值的，我现在这里有一个，那我希望另外两个侧面呢？其中有一个啊，至少是等腰的，那我也是希望呃，像这两种腰相等， 跟这种一样的，所以说我们其中有一种情况，就是这里是也是二分之根号二，那这是第一种情况，那这种情况下我们体积是多少呢？体积该怎么算呢？ 我们可以看一下这里这个三角形和下面这个三角形，其实它们是共了一个底边的，并且是 大家都是等腰三角形共了个底，那我们很容易想到去取他们这个公共边的这个中点，我们把这个点起来， 那么这样的话，这条线和这条线是垂直的，也会和这条线是垂直的啊，这条线和这两条线都是垂直的关系， 所以的话，我们三角啊，这个三棱锥的体积，我们完全可以用三分之一的这个面积去乘以这个高啊，去乘以这个高，这是可以的，我们来写一下啊，假设是 a、 b、 c、 d， 然后这个点我们叫 e 点吧， 那这个时候三棱锥 v、 a、 b、 c、 d， 其实就可以写成是三分之一个 s， a、 d 去乘以 b、 c， 那 么我们现在 bc 长度是知道的， bc 长度是一，那么关键是要求出这个 a、 e、 d 的 长度， a、 e、 d 的 面积， 那么我们可以分析一下这个 a、 d， 它我们找三角形面积啊，其实我们可以把这个三角形的三个边长给他找到，这样我们去求它的面积是比较简单的， 我们来看一下 a、 e 的 长和 b、 e 的 长其实应该是相等的，因为它这个侧面是一个这样一个等腰直角三角形二分之根号，二分之根号， 这里是直角，我们做垂直之后，那么其实这两个长度是一样的，所以这里是二分之一， 那么底面呢？底面这个是一，这个是二分之一，这里是垂直的。那根据勾股定律，咱们可以算出这里是二分之根号三，所以我们可以发现这个三角形它边长我们都算出来了，我们可以看一下 这个三个边长，我们一看其实它是符合一个勾股定米的，一比根号二，比根号三， 所以我们确定这里它是个直角三角形，这个三角形 a、 e、 d， 它是直角三角形 啊，它的面积就是二分之一个 a、 e， 再乘以 a、 d， 那 也就是二分之一个二分之一，再乘以二分之根号，那就是八分之根号。把它代入到这个体积公式中 啊，就是三分之一乘以八分之根号，再乘以 bc， bc 是 一，所以这个算出来是二十四分之根号，所以这样算出来 c 选项，是啊，是可以的，是体积是可能的，他问的是不可能，大家注意一下。 好，那这是第一种情况，第一种情况大家注意一下。好，那这是第一种情况，我们认为的是等腰直角三角形， 那我们还有什么情况呢？我们刚才讲了，我们还可以以这两个作为幺啊，那我们继续画一个类似的图， 所以这个题肯定是分情况讨论的。 呃，这是 a、 b、 c、 d 啊，这是第二种情况。呃，我们现在假设这是以这个底面都是一啊，我们现在假设是以这个 为等腰的，就是 a、 b 等于这个 bc， 那 么它，呃，那假设它是等腰直角的话，那这是一，这是一，那这个 a、 c 的 长就必须是根号二了， 那我们还缺少一个等腰直角三角，那我们可以想到我们可以擦拭等腰的直角，也可以是里面这个是等腰直角，那我们这个情况是不是又可以分两种情况呀？ 好，所以我们如果假设是这个是一个等腰直角三角形，那他的这个腰的话，他只能是，呃，他只能是这个， 如果，如果这个这两个是，如果是这个等于这个的话， 那这个三角形肯定不是等腰，那是根号二，根号二比一嘛。所以这条边他其实啊，我们可以认为是一，假设啊，这边是一的话，那这样的话这个三角形和这个三角形都是等腰直角三角形， 那这个时候他的这个体积该怎么去计算呢？我们还是跟刚才一样的思路，其实我们可以发现这里啊， 这里他是一个等腰三角形，或者是他是等边呢？一一一，这个下面也是一个这样一个等等腰的，所以我们仍然是可以去取这个 b、 d 的 终点 连接连接，那么其实我们可以证明 b、 d 这条线既垂直 a、 e， 又垂直 c e， 那 b、 d 会垂直于这个 a、 e、 c， 所以 这个时候三角形，呃， 这个三棱锥的体积可以是三分之一个 a、 e、 c 去乘以 b、 d。 同样的 b、 d 长度是知道的，那么 a、 e、 c 这个三角形的面积，我们还是去看它的这个边长， 看它的边长，它的边长是什么呢？那么这个边和这个边其实长度应该是一样的，因为这两个里面都是一个边长为一的等边三角形， 所以我们可以算出它是应该是二分之根号三，二分之根号三，所以这个 a、 e、 c 这个三角形，它是这样一个三角形， 这是二分之根号三，二分之根号三，还有这个是根号二。 呃，我们做垂直，因为这是等腰三角形呢，所以这个长是二分之根号二，那这个长应该就是二分之一，一比根号二，比根号三， 所以这个时候我们可以算 s 三角形 a、 e、 c， 它应该是二分之一个底，底是根号 a、 c， 高是这个二分之一，所以这里它是四分之根号， 我们再把这个面积带入到这里，那我们可以算出多少呢？ 十二分之根号，十二分之根号。好，这是第二种情况，那我们再来看一下第三种情况。 第三种情况就是说我们现在他刚才第二种情况，他是等腰的，那也可能是里面这个是等腰直角三角形，所以我们再来画一下 这个图，大家一定要去画啊，考试的时候一定要去画这样，嗯，你要分类去讨论的话比较简单一点啊， 还是刚才一样，我们认为这里是一，一根号二，那我们希望里面是一个啊，希望里面是一个等腰直角，那里面的这个三角形 b、 d 一， c、 d 是 一， 里面 abd。 要想成等腰直角三角形，那只能是 a、 d 这条边是根号二了。好，那这样的话又可以满足是至少是两个是等腰直角三角形， 那这个时候体积该怎么去计算呢？我们仍然去找两个共底的等腰三角形， 那么我们发现这个他俩是，他是等腰的，以这个为底，同样是他是以这个为底，所以我们可以取 cd 的 中点， 取 cd 的 中点啊，为 d 点，那这个时候体积可以是三分之一个 a、 b、 e 去乘以 cd， 那这个时候我们只需要去算出这个三角形 a、 b、 e 的 面积，那还是一样，我们去找他的边长啊，这地方 b、 e 的 长，我们写一下是二分之根号三， a、 e 的 长，他是这样，这是根号二，这是二分之一，那我们可以根据这个勾股定律算出来，他们他是二分之根号起啊， 所以 a、 b、 e 这个三角形，它就是一个这样一个三角形， 那这里我们可以简单的口算一下，这里满不满足勾股定律，这里其实是啊，呃，一的话，对吧？这边是一的话就是二分之二， 把它平方一下，把这个也平方一下，就是四加三正好是几，所以这里也是一个等腰直角啊，直角三角形，直角在这里啊， 呃，所以他的这个面积的话，他的面积就是二分之一个一，乘以二分之根号三，这里是四分之根号三，把这个再带入到体积公式中去啊，所以就是十二分之根号三。 所以这个地方我们算出了有这三种情况啊，三种情况，一个是这个，一个是这个，一个是这个， 所以的话正好对应的是 a、 b、 d， a、 b、 c 这三个选项，这个体积是可能的，所以你选不可能的，那答案就选 d 选项。好。 呃，我们这里给大家说一点啊，就是说我们算三根锥的体积，很多时候其实都是三分之一个某个面，然后乘以 另外一个顶点到这个面的距离，那么其实我们三轮锥的话，体积也可以像我这三种情况一样 啊，我们这个底面我们取作是这里面的这一条面，然后这个棱这个高呢？是某一条，这个棱长啊，但是前提是这条棱必须要垂直于这个平面啊。 大家，呃，可以用什么方法来证明呢？就是把切割嘛，相当于切割成两个小的三轮锥来合并一下，其实就是这个面积去乘以这个高 啊，也有点像什么呢？也有点像我们在求这个三角形的面积的时候， 求三角形面积的时候，我们不一定每次都是用底乘以高，我还可以这样，我可以在三角形中随便取一条线， 随便取一条线，那我以这条线为底，然后再以它两之间的呃，就是要做一个距离啊，就这样 就是说我可以以这个为底去乘以这个高， 然后再除以二，就是类似这个意思啊。好，这个这道题咱们就讲到这里，大家这个安庆二模这套试卷大家一定啊要去做。

米尼劳斯定律普罗摩基多模型这次的压轴相当有趣。大家好，我是专治压轴的杨老师，今天和大家聊一聊二零二六百校联考一的两道几何压轴。 如果选择常规方法去做这两道题，难度中等偏上，不太好思考。但如果你储备了足够多的定力方法模型的话，那这两个题读完题基本上立刻就会有思路，稍加计算即可得到最后的结果。 好，接下来我们一道一道的来看一下这两个题如何求解。先看十五题，如图，三角形 abc 中 ab 等于 ac， bc 等于四， b、 d 是 一条中线， e 是 b， d 上一点延长 c、 e 以后与 ab 交于点 f， 图形就基本成型了。最后给了信息， b、 d 等于根号是七，以及 b、 e 和 b、 e 的 比是七比十， 最后求 b、 f 的 长怎么做？读完题以后，脑子里应该立马有个想法， 这个题条件中已知了一个 d， e 比 b， e 是 七比七，呃，七比十，一个比例，同时从比例的角度出发的话，中线本身也是比例，所以还知道一个 a、 d 比 c、 d 是 一比一的情况， 那么我们学的已知比例求比例，构造 a 字和八字的相似即可解决。 所以通过构造 a 字和八字，我们先来分析，那这个题以这两个比例可以把题中所有的比例全部求出来，包括 a、 f 比上 f、 b 一定是可求的。但第二个问题随之也来了， af 未知， ab 也未知，那光知道 af 和 f、 b 这条线上的比例，不知道具体的长，那我是没办法计算的。所以随之而来的第二个问题就是如何能求出 af 或者 ab 的 长， 当然这个长度那肯定就跟这里的根号时期有关系，和比例无关了啊，比例已经通过构造比例求比利用过了，而这个具体的值根号时期还没有用，所以下一个点我们应该从这个根号时期来入手， 求具体的长怎么做？那我们思路可以放在三线合一上，原因就是等腰三角形出现了，要么等边对等角等边，要么就是三线合一。 那很显然，我们只能选择三线合一去尝试。于是我可以过 a 点去做一条辅助线，直接做 bc。 垂线垂足为 m， 本身长度是四，那 b， m 和 m、 c 各自为二。 做完以后还要想啊，一定跟根号十七是有关系，你这个三线合一做下来，并不能把这个根号十七得到一个很好的利用， 它很明显是一个直角三角形中某一条边的长，然后才能辐射出去。 所以我可以进一步借助根号式基再思考。 d 点恰好是一个中点，如果我过 d 点向 bc 做个垂线，垂足为 n 的 话，这个垂线很完美。 一个完美就是因为 d n 与 am 平行，这里不自然间构造了一个 a 字相似。另一个就是这条垂线能完美的把根号时期放到一个 r 四角形，方便勾股定律去使用根号时期。而只要这两条垂线，想到这个题就迎刃而解了， 这里的两个，这里的二啊变成一和一，原因就是 a 字模型一比一，这里也是一比一嘛。 那于是三角形 b b n 中 r t， 三角形 b， b， n 中，直接选择勾股定律就可以求出 d n 的 长，它等于根号十七的平方减去二加一十三，三的平方 十七减九等于八，然后再对八开方就行了。那化简一下，就是二倍根号二， 这就把 d n 求出来了，然后下一个三线合一的这个 a m 本质上是 d n 的 两倍，所以 a m 就 应该等于四倍，正好二，最后勾股定力 二，它是四倍根号二，然后求 a b 不 就行了吗？所以 a b 就 等于二的平方，加上四倍根号二的平方，然后再开放，等于三十六，开放六， 所以这个题即可得到。等腰上写的腰长 ab 或者 ac 等于六，这就完成了第一步了，接下来第二步，而第二步就是固定的计算模式，我把这个前面一擦， 第二步固定的，这里是一比一，这里是七比十，那我要求 a f 比 bf 已知比例求比例，那就做平行， 过比例分点可以做平行，过比例端点可以做平行。这里我方法比较多，我就选择一种比较简单一点的啊，我直接选择过地点这个比例分点做 c f 的 平行，这样做相对来讲会简单一点。好，这是垂足为 p。 好，接下来我们根据比例来导测啊。呃，这里的呃， a 比 a 是 一比一，那么在这样的一个 a 字模型里面， ap 比上 p f 也是一比一。好，其实还有一个 a 字在这里， 这是七比十，所以 p f 比 b f 也是七比十，这里我就直接标注它是七 c， 那 它就应该是十 c， 又因为这是一比一的话，上面 ap 也可以记作七 c， 所以 你看这样一标，我就可以得到 b f 的 长，它其实是十 c， 占总共的二十四 c 它的一个比例， 所以 b f 就 应该等于 ab， 糖度为六六，乘上一个总糖二十四分之十即可。好，最后约分下来，答案应该等于 六和二十四，约调是四分之十，然后最后就是二分之五， 这就是这个题的第一个方法，这也是常规的方法，需要我们想两大内容，第一大内容就是如何计算腰长，第二个内容就是已知比例，求比例这样一套。 那跟我说的那几个定律有什么关系呢？那我们再看一个更高级的方法，其实也不是更高级，而是我们如果知识储备足够多的话，那么它会有一些别的想法。 首先这个题它是有中线的 b、 d 长度是根号十七， bc 长度是四等腰，三角形，两腰是相等的，也就是如果设这个是 x x， 这个就是二 x， 所以 你会发现其实它的三边和中线之间只有一个未知数，所以不自觉的就会想到一个东西，叫做中线长定力。 我们先把这个定力来写一下啊，中线长定力指的是中线的平方， b 地方等于这两边平方都是一半啊， 也就是二分之一 ab 方，加上二分之一 c， b 方，再减去四分之一 a、 c 方，它联系起了三角形的三条边和中线长度之间的关系。 由于只有一个未知数，所以我把 x 代入到这个方程里面，即可得到对应的值，那我就可以很轻松的把 x 算出来来快速代一下。 b 地方应该等于是七，等于二分之一 ab， 也就是二 x 的 平方， 再加上二分之一 c， b， 那 就是十六，然后再减去四分之一 a， c 也是二 x 啊，四 x 方。 好，然后你快速化解它就可以了，这里是二 x 方，这里是八，这里是 x 方，所以这样一算的话，二 x 方减 x 方就应该等于十七减八，这里得到 x 等于三。 所以通过这个定力，可以很轻松地求出来这个三角形，它的腰长度为六。 那得到这个以后呢？还是已知比例求比例的问题。已知比例求比例，我们讲的时候，一方面是构造相似，但是也可以不做辅助线，直接通过梅涅劳斯定律来解决。梅涅劳斯定律， 好，我们来搞一下这个比例关系啊。这里是一比一，这里是七比十，我把这个一擦单独写比例， 一比一，七比十，那我选择一个三角形做媒十三角形，再选一条线做媒十线。比如说以 a、 b、 d 做媒十三角形， c、 f 做切开它的媒十线。那么我们接下来到一个 a、 f 比 f， b 乘上一个 b， e 比 e、 d， 再乘上一个 dc 比 ca， 这个结果等于一。这就是 minus， 等于相当于是这条截线来看一遍啊，它定律描述的是这么一件事情，当一个三角形 被一条线所截，这个 a、 d 被截了， b、 d 被截了， a、 d 呢？是在延长线上被截了。好，这个时候它的三条边转圈儿比乘积为 e， af 比 f， b 乘 b， e 比 e， d 乘 dc 比 c， a， 这个乘积为 好。把这个结论一记，一套公式，立马就可以出答案啊。 a、 f 比 f、 b 是 我们要求的，然后 b、 b、 e 比 e、 d 是 十比七，注意，这边是十，这边是七，那这里就是个十比七。然后 dc 比 ca 是 一比二啊，是一比二。好，这个结果是一，那你快速就能求出 a、 f、 b、 f、 b 的 结果，答案是一个七比五， 所以这个结果啊， af 写到这儿， af 比上 f、 b 就 等于七比五， ok， 所以 这个是七份儿，这个是五份儿，总长度是六嘛，这不就可以求解了吗？直接最后的答案， b、 f 等于六，乘上一个十二分之五，所以最后答案还是二分之五。 法二的好处就是不用思考，看到中线有具体的长，三边就只有一个未知数，那么就立刻可以使用中线长定力，同时看到两个比例已知要求第三个比例，就立马可以使用 venus 定力。 在思路上要比较简单一点，但前提是我们得有足够丰富的知识储备才可以。这是十五题， 下一个二、三题，那么这个题就是我所说的陀螺模型多模型啊，很有趣，这个在初一学手拉手的时候应该就提到过，到了初三学正方形的时候也再次巩固过。 好，我们来看一下啊。如图，活动课上，老师让同学们制作两个全等的制造三角形纸片，将这两个制造三角形纸片重合放置其中， a、 c、 b 等于 a、 e、 d 等于九十度， 然后将 a、 b、 c 保持固定，然后 a、 d、 e 绕 a 点逆时针旋转。那这个条件翻译成自己的话啊，就是这里有两个三角形的纸片子，然后绕着 a 点一个不动，一个绕着 a 点逆时针旋转。 而第一问一般比较简单啊，他说了，如果 a、 d、 c 是 三十度，他给个很特殊的信息，这里是个三十度，然后这个 a、 d、 e 还转到了这个位置，从 a、 b、 c 的 位置转过去了。 好逆点正好落在 a、 b 上时，连接 b、 d、 f 是 b、 d 的 中点来标注这两条边相等， 那么判断一下 a、 c、 b、 f 的 形状，这个形状肯定是一个矩形啊，因为这里有个直角呀，对吧？最简单的也得是平行四边形，一有直角立马变矩形。那这个矩形应该怎么去正呢？ 有个很特殊的东西叫三十度，这个三十度给的很到位啊，所以你看他是三十，就会得出这是一个三十、六十、九十的三角形，所以相当于这个旋转中你转过的是六十度，叫 d、 a、 e 也是六十度， d、 a、 e 是 六十度，同时旋转前是 ab， 旋转后是 ab， 这两个边是相等的， 所以有一个角十六十的等腰三角形是等边三角形。这个题核心只要证明等边三角形 a、 b、 d 即可， 它是等边的话，那这条 a、 f 就 应该是三线合一，因为已经是中线了嘛，所以肯定也是高线做垂直。 好吧，那三线合一的话，或者说等边三角形三个角度是六十度，这里是个六十度角，哎，加三十度也是一个直角，结合这里的直角，一共就有三个直角。 好，这就是第一问。第一问的话往往不在思路上恶心，我们主要是过程写好就可以了，这是一个考验与过程书写的题目。 好，再看第二问。第二问就是陀螺摩的多摩性，他和手拉手很类似，但他不是手拉手，我们仔细去辨比啊，仔细去辨比。第二问中也是旋转，他这次旋转的是一个九十度， 把三角形 a、 b、 c 转九十度，转到 a、 d、 e 这个位置，然后注意它连接的是 c、 d， 连接的是 b、 e、 c、 d 和 b、 e 连接，然后它又取什么呢？取 b e 的 中点， p 连接 ap， 那条件很乱，一个旋转，然后连接完以后，又来了一个中点连接 ap。 最后问的是 ap 和 cd 的 数量关系和位置关系啊，那很显然，数量关系绝对不会是相等，但位置关系看起来像垂直 这样的吧，那我们接下来怎么去应对它呢？数量关系不像相等，而屁点又是一个中点， 中点怎么办？能想到哈背长中线，背长背长以后的结果就是背长完你发现这两条边就相相等了，所以这是跟一定的猜想有关的，我们就可以猜测，其实这里的 c d 啊， 和 a p 的 关系很可能是一个二倍的关系，这是猜测，那位置关系呢？其实是一个垂直的关系。 ok， 那 顺着这个思路我们就可以解题了，直接倍长中线，把 a p 延长一倍， 把 a p 延长一倍，然后和 c b 的 延长线。呃，和 c b 这个相交啊，这里稍微说一下啊，你注意你辅助线的一个描述， 如果你是延长一倍的话，把 a p 延长一倍，得到一个点 m 的 话，那这个 m 会连接 b m。 连接完以后，你得证明 c b m 三点共线， 那三点共线往往不是我们喜欢的证明嘛，所以建议大家在做弧线的时候就不要延长一倍了，直接干嘛呢？直接将 a p 延长，与 c b 的 延长线相交。哎，这个相交自然而然就说明了上下两个平行了嘛， 对吧？有了这个平行中点加直对顶角加平行的内错角，即可证明上下两个三角形全等 你。这是一种平行加中点的逻辑，不过和被上角线本质上是一样的，就是我们这样辅助线做出来以后，立马可以得到一对全等是三角形 a e p m b p 这一对全等以后，那读到了信息， a m 和 cd 的 长度就长得像相等了， 对吧？那怎么证明线段相等呢？再找全等就可以了。这个全等应该是不难找了，能看出来两个扁扁的三角形，对吧？所以下一步证明三角形 a， c， d 全等于三角形 b m a 即可。条件够不够？首先，旋转前的 a、 c 等于旋转后的 a e， 那 全第一对全等以后就有等于 b m 了， 所以它们两个有一组变相的。其次，旋转前的 ab 等于旋转后的 ad 两组条件。 最后，找个假角，这个假角其实也好找，这个假角需要稍微倒一下角，因为已知两边只能死命的去找这个 钝角，对吧？找这个钝角，所以我们就可以假设啊，假设把这个撤掉，假设它是 r 法的话，那这个 abm 就 应该等于幺八零减 r 法， 那只要证明他也是幺八零减阿尔法就可以了。倒角啊，这里是阿尔法，所以这个角应该等于九十减阿尔法。锐角互余，那旋转过去以后，这个角也等于九十减阿尔法。上面这个位置九十减阿尔法，那好，加上下面这个直角， 直角加九十减阿尔法就是这个角了，那直角是九十度，所以合起来正好也是幺八零减阿尔法，即可。通过 s a s 证明全等， 这就是它的核心点。两次全等，这个全等一证明数量关系，就得到了 c d 等于二倍的 ap。 下一个就是位置关系。位置关系的话，我们可以通过倒角，因为正垂直本就是正九十度吗？你继续去倒角就可以了，借助第一问的，全等，全等以后应该有对应角相等啊。好，我们擦了，稍微借助一下啊， 全等以后这个角如果是北塔的话，那么对应的角的话，全等这个角也是北塔， ok 吧。那我们可以看出来，其实 beta 和伽玛这个角合起来是九十度，所以这里的 beta 和这个伽玛合起来也是九十度，所以你只要放到这个三角形中，就可以看到锐角互余了，所以它一定是一个直角三角形即可证明 这个模型就是陀螺摩极多模型。这个证明方式它主要源自于手拉手拉反了，手拉手拉反了，因为旋转本质上就是一个手拉手。给大家稍微描述一下啊， 旋转就是一个手拉手，你看它是这样一个等腰直角三角形， 和这样一个等腰折三角形，它是旋转嘛，对吧？旋转就是手把手，我可以看作是等腰三角形。 a、 c、 e， 左手拉，左手拉 b、 c， 右手拉，右手拉 d e， 对吧？这两个三角形就是一种正常的手拉手，但是他偏偏拉反了，他不是左手拉左手，右手拉右手，他是左手拉右手。拿 a、 c、 e 的 左手 c 换个颜色，拉了 a、 d、 e 的 右手 d， 所以它拉反了，同时拿 a、 c、 e 的 右手拉了 a、 b、 d 的 左手，你看它属于经典的这两条拉手的蓝色的线，它属于经典的拉反了，对吧？左拉右，右拉左，这就是破锣不吉多， 所以大家区分清楚即可。手拉手是左拉左，右拉右，滚动模型都是左拉右，右拉左啊。但这个模型带来的结论其实就是这个题中已经证明过了。好吧，一个是终点推垂直，另一个就是垂直推终点， 这是第二问，那第二问其实为我们第三问是埋下了一个伏笔。最后第三问， 他说还是转九十度三角形， a b c 转九十，到了 a d e 这个位置，连接 b e 以后， m 是 射线 a c 上的一个点。好，一说射线，那这个 m 的 位置就有得调了。 然后呢，他说连接 dm， 连接 dm， 使得过 a 点做了个 dm 的 垂线，做了个垂线与 b e， 欸，与 b e 交于点记。如果既是 b e 的 三等分点， 所以你看这个条件怎么来的啊？他怎么描述的啊？他说的是先找到 m 点，先找到一个 m 点，然后连接 dm 了，再做垂线垂到 d e 上，这里是个 g， 让 g 点是什么分点？ 当然，我们为我们从满足条件这样的一个思路去出发的话，我可以先找到三个分点了，反正你的 a g 和 dm 是 垂直，对吧？所以我索性我就先找到三等分点，直接连接就好了呀。 找到三等分点，对吧？直接连接，然后呢，要让它来垂直做垂线， 这不就行了吗？所以这个题脑瓜子稍微灵活一点啊，不敢那么死板画图的话，我可以选择先做三等分点，再做垂线即可。所以你看这里是 g 点，然后垂线一做，那我把 m 取到这个位置不就可以了吗？ 这不是第一幅图就画出来了。同理，第二幅图呢？三点三等分点应该有两个嘛，上面靠近上面的一个，那靠近下面的也是一个，所以第二个让 g 点往下面这个位置去靠，它是下面的三等分点。 好，那我接下来还是有了。以后我让 dm 和 a g 垂直吗？垂直， ok， 那 这不就是那个 m 点了吗？ 所以题目稍作翻译啊，这两幅图其实并不难画，并不难画。那最后就是怎么求解的问题，题中给了这里是一比二，跟这里的 a c a m a m a c 跟这个有什么关系呢？ 对吧？我得倒腾过去。其实这个题如果没有前面小问的铺垫，我们可能是非常难想的，但是这种大题的好处就是一问二问三问是一脉相承，是互相在提示的，它是一个递进型的题目， 所以前面的做法是倍长中线，就是把这里延长构造全等了吗？那变成三等分别以后，无非就是不全等改相似了吗？那思路上大体上应该不会变，所以我们选择直接 延长，这个 a g 和 c b 的 延长线交于一点，这里不会出现全等，但是会出现一对八字形的相似。假设这是一个屁， 那么由于三等分点 e g 比上 g b 是 一比二的情况下，那么 a e 比上 b p 就是 八字形比例的一比二。假设 a e 长度是 m， 那 这个就是二 m， 其实 a e 就 代表了 a c 的 长，因为它是旋转过去的嘛，对吧？所以和 a c 还有点关系。 然后再结合上一问的结论， b 一 问中被长中线完是两组全等啊，一组就是这的八字全等，这里全等改相似了。还有一组就是这里一个钝角三角形的全等。那你看这一问中这一对全等还在不在？还是说全等改相似， 对比一下啊？对比一下。首先你看这条边 ab 还是等于这条边 ab 的 吗？所以大概率上讲应该没有全等改相似。那我就努力正全等就好了。 首先第一个 a d 等于 ab， 这不是一组边相等吗？一组边相等。然后接下来来倒腾，倒腾脚啊，来倒脚。如果它是阿尔法，那内错角， 这个也是阿尔法，上面是阿尔法，然后找一个阿尔法的鱼角啊，鱼角应该是这个角，这个角，这个角。那么假设是北塔的话，阿尔法加北塔就应该等于一个九十度， 而由于这里是垂直，那在这样一个三角形中，下面这个角是不是也和贝塔式和为九十八？是，这个位置的角肯定也是二角同角的，与角相等。 于是我就可以证明什么呢？这两个三角形有一组角相等， 同理，再来一次就可以了。再来一次，假设这里有一个角，北塔，北塔。看好了，这个角 b a g 吧，正角是北塔。好，如果这个角是贝塔的话，好注意啊，我画到这个三角形里面， 上面这个位置是有直角的，这里是有直角的，对吧？所以 bet 应该和下面这个角互余， a 塔和下面这个互余。然后同时呢，你放到这个大三角形里面去看，这是个直角三角形和它互余的上面，所以这个位置它也是一个 a 塔，于是就可以证明，哎，这个角也等于这个角 互余，倒角即可。所以这个题的关键是两个啊，第一个和第二问一样，是这里的一对相似啊，相似。第二个是这儿的一对全等，是 a a x 型的全等。写出来三角形 a m， d 全等于三角形 b p a a a s， 它俩全等以后，所以这个 a m 就 会等于 b p 就 会等于 b p， 而 b p 是 二 m 二 m， 那 这个 a m 长是二 m， a c 长是一 m， 所以 a m b a c 就 等于二比一，答案就是二，这是第一个， 其实只要做了第一幅图，第二幅图就迎刃而解了，因为方法是一样的，第二幅图我们就稍微快一点过了啊，把 a g 给它延长与 c b 的 延长线交与一点， 教育一点还是 p 啊。那么这个如果是二 m 吧，这个就是 m， 因为现在三等分点是二比一的一个情况。好，那说明这个地方 a c， 它也是一个二 m， 二 m m， 这边也是二 m 啊，这个是二 m， 然后再去正全等还是倒角，这个角阿尔法等于内错角，上面这个小不点阿尔法等于下面这个位置的阿尔法， 而这个角贝塔等于上面这个贝塔自己去推导推导，和第一位是一样的，所以两个三角形依然全等。全等以后， b p， 这个 m 就 等于 am 它的长， 所以 am 是 一倍的 m， 然后 ac 是 两倍的 m， 因此 am 比 ac 就 等于一比二。 所以这个题两个答案，那我们今天讲解就到此结束。