冀教版六年级下册圆柱的表面积公式

我们都知道六下第三单元有关圆柱和圆锥里面的公式非常非常多，那今天王老师这期视频啊，就来讲一讲这些公式都有哪些公式。 首先我们来看圆柱体，我们知道圆柱是由上下两个相同的底面加中间一个弯曲的侧面， 那么它的侧面积沿高展开以后是一个长方形，有的时候还可能是一个正方形，所以它的侧面积其实是由底面圆的中长乘圆柱体的高，所以 s 侧 就等于 c h， 这个 c 呢，我们还可以换成圆周率乘直径，也就是派 d h， 那 还可以换成二排二，所以侧面积啊还等于二排二 h， 这是有关圆柱体的侧面积的三个公式。 那么圆柱体的表面积表面积我们分为，当这个圆柱体有上下两个底面加中间一个侧面的时候，它的表面积公式有两个 s 表等于二派二 乘括号里的 h 加二分之 d。 那有的时候给的我们是只有一个底面和一个侧面，这个圆柱体它没有盖，所以这个时候我们叫底侧公式， 只有一个底面加一个侧面，所以底侧表面积是二派二乘括号里的 h 加二分之二对应的推导公式王老师以前的视频中你能找到，那么接下来就是圆柱体的体积公式。 我们知道圆柱体的体积是把它利用转化的思想把它转化成原来我们学过的长方体，利用长方体的体积公式，进而推导出圆柱体的体积公式。所以圆柱体的体积啊，也等于其底面积层高，所以 v 柱 等于 s h， 我 可以把这个底面积换成圆的面积，也就是 pi 二的平方 h。 如果给的是 d 和 h， 我 还可以把这个 r 呢换成二分之 d 扩起来的平方 h。 如果给的是底面圆的周长和高，我们还可以把 这个 r 呢换成 c 除以 pi 除以二，扩起来平方乘 h。 那 么圆锥体， 我们知道圆锥啊，它是只有一个底面圆和上面展开以后是一个扇形，一般在小学阶段不研究它的表面积，但是我们重点是放在它的体积上，那圆锥体的体积为锥， 我们知道等底等高的圆锥的体积是圆柱体体积的三分之一，所以为锥啊，就等于三分之一的 v 柱，那 v 柱呢，又等于来它的体积等于 s h pi r pi h 所以 那么圆锥体的体积也就是三分之一的 s h。 底面积乘高等于三分之一的派，二的平方 h 等于三分之一的派，括号里的二分之 d 括起了平方 h 啊，等于三分之一的派，括号里的 c 除以派除以二，括起了平方 h。 那 对王老师所讲的这些公式，你记住了吗？关注王老师，让数学变得 so easy！

各位同学，王老师所讲的这些题型都是考试的重点题型，有的时候一个班做对的可以说是寥寥无几。那今天王老师来讲这道考试重点题，同一根高 两米的圆柱形的木料上，给它截下一个高是六分米的一个小圆柱后，木料的表面积减少了九十四点二平方分米。问，原来木料的表面积是多少平方分米？求原来的表面积。 那么同学们想，原来圆柱体的高是两米高，知道了要求它的表面积，你要么知道底面圆的半径，要么知道底面圆的直径，要么知道底面圆的周长。 所以这道题的关键从哪里入手呢？就是截去上面的这一段小圆柱后，表面积减少了九十四点二。同学们告诉王老师， 减少的这九十四点二是减少的是哪一部分的面积？你只要搞清楚减少的是哪一部分的面积，那么这个题就变得非常的简单，同学们来观察，我这样把它给它切掉以后， 比如说老师，上面减少的是上面那部分的面积，对，但是同学们想这个面少了没有？没有，因为你把它截掉以后，大家看下面还有， 所以其实减少的那部分的面积是哪部分面积？咱们把它画一画啊，减少的这部分面积就是上面这个小圆柱的侧面的面积， 那侧面的面积是九十四点二。我们知道圆柱体的侧面积 s 侧来，同学们还记不记得 s 侧等于什么呢？ s 侧就等于 pi d h 对 不对啊？这个侧面积我知道了， pi 取三点一四，那这个 h 呢？ h 是 六分米， 那么我能求谁呢？我是不是能求出这个圆柱体的底面圆的直径？你这个 d 啊，我就可以用侧面积除以 pi， 然后呢，再除以 h， 我 是不是能求出圆柱体的底面直径来代入数据啊？九十四点二 除以派三点一次再除以这个高，高是多少来？高是六九十四点二是三十派三十派除以，派是三十，三十除以六就等于五五分米。 那么圆柱体的底面圆的直径我求出来了，是五分米，高是两米。那这个两米呢？我首先把这个两米啊给他换算，是因为后边是平方分米，所以我把这个两米换算成二十分米。 然后 d 知道了， h 也告诉我们了。那么原来圆柱体的表面积我可以代入圆柱体的表面积公式 s 表等于派 d 乘括号里的 h 加二分之 d 来带入数据啊。三点一四乘， d 是 五乘五乘，括号里的 h 是 二十加二分之 d 是 五二分之五二点五 五派是十五点七，二十加二点五是二十二点五，十五点七乘二十二点五。最后求出结果是三百五十三点二五 平方分米。那对王老师所讲的这道考试的必考题型，你学会了没有啊？关注王老师，让数学变得更简单。

好，各位六年级的同学注意，求圆柱的表面积和体积，以及圆锥的体积，这类问题有很多同学不会，今天老师给大家总结了两个题型，我们一起来看一下哈。他说求下列图形的表面积啊，单位告诉你了，是厘米毫。我们来看第一幅图，第一幅图是一个什么啊？圆柱 啊，它，我们来看，告诉你哪些条件哈，告诉你它的半径是五啊，高是十，那让你求这个圆柱的表面积。我们知道圆柱的表面积怎么求呀？ 他应该用侧面积加上上下两个底面的面积，对不对？所以说第一个我们要把圆柱表面积公式给他记下来哈。侧面积加上下两个底面的面积，我们依次来求一下。 好的，测面积用底面周长乘高。好，底，周长就是二派二，是不是？二乘三点一，四乘二二十五，这是底面周长横高高是十。好，这是我们求出来的测面积。再求上下两个底面的面积好，里面是个圆，就用三点一四乘五的平方，这是一个 底面，再乘二是不？两个底面对不对？然后我们给他计算一下就可以啊。二乘三点一，四乘五，二五一十，十乘十是一百一百，所以说是三百一一十四，加上三点一，四乘五的平方乘二百五十七，是不是？ 十一进一五六这七，然后三加一是四，一是说是四百七十一，单位是。 我们再来看第二幅图形，仔细观察一下，这是一个圆柱对不对？只不过给它切去了一半是不是？我们来看有几部分组成，首先 它是有这边一个半圆，这边一个半圆，加起来就是一整个圆，对不对？然后它的后面是有一个呃，侧面积的一半圆柱，侧面积的一半上面是有一个长方形，所以说我们得把这几部分依次给它加起来。是我们先来求 上下两个底面，这个半圆其实就是一个圆，对不对？一个圆直径是十二，半径就是多少六，对不对？所以说就是三点一四乘十二，十二个二到前方啊，这上下两个半圆，然后再来看测面积， 测面积，整个圆柱测面积的一半，对不对？我们先来看啊，所以说就是派地十二乘三点一，四乘二十，这是整个测面积，对不对？那再乘二分之一，是不就是一半的测面积，对不对？好，这测面积，然后还有哪部分啊？还有上面这个 还有个长方形，对不对？长方形长是二十，宽是二十二，所以说加二十乘十二。那我们一起来计算一下啊，就是三点一四乘 十二，除以二十六、六六三十六，然后加上二十乘二十五十一，三百一四乘一百二十，对不对？七十六点八，然后再加呃，二百四十，应该是六百一十九点九四平方厘米。好，这是这个题。

同学们请注意我们的圆柱体表面积公式，需要火速升级，否则考试中遇到这种题你就麻烦大了。好，我们来看这个圆柱哎，底圆半径是三点二五，高呢是六点七五， 这两个数怎么那么怪啊，求这个圆柱体的表面积派取三点一四，我们来试试。圆柱体的表面积呢，分成三部分，上边的圆，下边的圆，还有这一圈侧面积。 侧面积呢，是个曲面哎，我们要化曲为直，把它展开，变成一个大大的长方形。这个长方形的长和宽呢，分别是圆柱体的高以及 底圆的周长。好，总结一下圆柱体的表面的公式，两个圆二倍的 pi r 方，再加上侧面积好，周长乘上高，底圆周长二 pi r， 再乘上高 h。 ok， 我 们就用这个原汁原味的公式先来算算看啊， 半径三点二五来代入二乘三点一四啊，乘上三点二五的平方，这个东西看着就头疼， 来继续二乘啊，三点一四乘三点二五乘六点七五。天呐，这个破算式，谁爱算谁算吧，哈哈，太复杂了， 哎，那这道题我们怎么简化一下呢？这就是刚才我说的圆柱体表面的公式，我们要升升级，怎么升级呢？同学们，大家请看这个公式两部分当中都有什么？哎，都有二 i r， 那 这样，我们来一个提取公因数，好把这个二 pi r 提出来，剩下什么呀？哎，前面剩一个 r， 后边剩一个 h， 加起来，大家请看这个式子把 r 和 h 加起来，就多了一个凑整的机会了，那解决这道题是不就非常轻松了？孩子们 好，来，二 pi r， 二乘三点一四乘三点二五再乘上，哈哈， r 加 h 等于十。嗯，这样的确可以大大的简化我们的计算过程了。我们可以呢，先把二三点二五和十乘在一起，等于六十五，最后一步去算这个六十五 乘三点一四。你可以选择列个数式，也可以选择拆开算。六十五个 pi 不 就是六十个三点一四，再加上五 个三点一四吗？哎，相信屏幕前的同学们，这两个算式你都背过吧？六派是十八点八四，那六十乘三点一四就是一百八十八点 四。好，五乘三点一四。嗯，十五点七。好，二者相加。答案出来了，二零四点一。哎，比这个算式还是要简单不少吧，学会了吗？我是大猫，在北京教数学。关注大猫水平越来越高，记得点赞关注哦！

六年级今天我们来学圆柱的表面积思维题。如图，将两个底面直径是四厘米，高是六厘米的圆柱， 分别沿底面直径和平行于底面两个方向切割成相同的两部分，他们的表面积分别增加了多少平方厘米？那解决这类切割问题，我们关键就要明确， 切割后呢，他的切面其实就是变化的面，像这样切一次就增加两个切面。 第一幅图，他是沿着底面直径切割的，那也就是沿着底面直径这样切割出来， 切割成相同的两个半圆柱。那这样切割下来，那么他的切面呢，就是两个长方形， 那所以表面积增加的部分就是这两个长方形的面积。 这个长方形，它的长就是圆柱的高六厘米，它的宽就是底面直径四厘米，那它的面积就用长乘宽计算。 两个切面，那就再乘啊，九出来等于四十八平方厘米。那现在第二种按照这样的方法来切，也就是平行于底面 这个方向呢？切割成啊，就按照这样的方向切，那切割出来的是相同的两个小圆柱。 那你看这样切割出来的话，他的切面呢，就是两个圆，所以表面积增加的部分就是这两个圆的面积。圆，他的底面直径就是四厘米， 知道底面直径可以求半径四除以二等于二厘米，那半径知道可以求圆的面积。我们用三点四从半径的平方求出来，是一个圆的面积，它增加的部分是两个圆，那就再乘二， 这里求出来等于二十五点一二平方厘米。所以沿着底面直径切割时，表面积增加了四十八平方厘米， 平行于底面，切割时表面积增加了二十五点一二平方厘米。

学透知识点，才会举一反三。大家好，我是佳佳老师，今天我们来学习圆柱的表面积。我们已经知道了圆柱的表面是由哪几部分组成的，它由三个面围成，两个底面和一个侧面， 两个底面是完全相同的，圆侧面是一个曲面，沿着高展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。那如何求圆柱的表面积呢？等于这三个面的面积之合， 也就是圆柱的表面积等于圆柱的侧面积。底面是圆，面积是 pi r 的 平方， 那两个底面的面积我们就用 pi r 的 平方乘二。那圆柱的侧面积怎么算呢？圆柱的侧面沿高展开之后是一个长方形，那么圆柱的侧面积就等于这个长方形的面积用长乘宽。长方形的长等于圆柱的底面周长。 长方形的宽等于圆柱的高，所以圆柱的侧面积就等于底面周长乘高，用字母表示就是它。 s 测指的是圆柱的侧面积， c 是 底面周长， h 是 高。如果已知直径，就是派 d h， 先用派 d 求出底面周长再乘高。如果已知半径就是二派 r h， 先用二派 r 求出底面周长再乘高。 所以圆柱的表面积用字母表示，等于 s 侧加 s， 底乘二都用半径来表示，就等于二 pi r h 加二乘 pi r 的 平方。 我们重点要记住，圆柱的侧面积等于底面周长乘高。至于如何求底面周长，要看已知条件，如果告诉的是直径就是 pi d， 如果告诉的是半径，就是二 pi r。 而圆柱的表面积通常情况下等于一个侧面积加两个底面积， 但是实际问题要结合实际情况来分析，比如通风管是没有上下两个底面的，只有侧面， 所以通风管的表面积指的就是它的侧面积。再比如一个圆柱形水桶没有盖子，那它的表面积就只有一个侧面积，加一个底面积就可以了，所以在求圆柱表面积时，要结合实际情况来分析。我们来看一道例题，一顶厨师帽近似圆柱形， 高三十厘米，帽顶直径二十厘米。做这样一顶帽子大约要用多少平方厘米的面料？ 得数保留整时数。首先要知道他让我们求的是什么？做这顶帽子需要多少面料，求的是这顶帽子的表面积。再看帽子的表面有几部分组成，它是近似的圆柱形，是一个侧面和两个底面吗？我们发现只有一个底面， 所以帽子的表面积等于圆柱的侧面积，加一个底面积，不用再乘二了，那我们分别计算侧面积和底面积就可以了。圆柱的侧面积是底面周长乘高，再看条件，这两个量知道吗？ 已知高三十厘米，直径是二十厘米，那我们可以用派 d， 先求出周长，再乘 h， 求出测面积，所以用的是派 d h。 我 们写一下过程，先求测面积，用派 d h。 三点一四乘二十乘三十 等于一千八百八十四平方厘米，再看底面积，用 pi r 的 平方要求底面积，我们需要知道半径，已知直径，我们可以先求出半径，用直径除以二，所以下一步求半径 二十除以二等于十厘米，再求底面积。用 pi r 的 平方，三点一四乘十的平方 等于三百一十四平方厘米。最后求帽子的表面积，一个侧面加一个底面一千八百八十四，加三百一十四，等于两千一百九十八平方厘米。但是题目说要保留整十数，所以我们要看个位，个位是八，要向前进一 九加一十，再向前进一，约等于两千二百平方厘米。最后答一下，这里还需要考虑一个实际情况，比如我们算出的表面积是两千一百九十三平方厘米，要保留整十数，我们看个位不满五，全部舍去， 约等于两千一百九十平方厘米，这样对吗？这是一个实际问题，我们实际使用的面料要比计算结果多一些，不能比他少，所以用到的是进一法，在取积分数时都要上前进一，不用管这里的个位是否满五，我们都要向前进一， 约等于两千二百平方厘米。实际用的面料要比计算结果多一些，所以注意用的是进一法。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

六下数学最难的圆柱与圆锥，就这五大题型练完，开学稳进前三，可打印六下圆柱圆锥必备公式汇总，圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长成高圆柱的表面积等于侧面积。加两个底面积，圆柱的体积等于底面积，成高圆锥的体积等于三分之一乘底面积成高 圆锥体积计算公式圆柱体积计算公式圆柱侧面积计算公式圆柱表面积计算公式圆柱和圆锥必考题型，圆柱和圆锥的体积和表面积铁皮制作圆柱体，圆柱的切割圆锥的体积和表面积圆柱的体积和表面积以上均有电子版。

这是一个圆柱表面积的推导题，上面用了不同的方法来推导圆柱的表面积，我们一块来看一下。聪聪是一个非常善于动脑筋的孩子，学习计算圆柱的表面积时，他利用如图探索新的计算方法。 请你根据如图尝试理解并回答问题。借他的方法解析，这是圆柱表面积的一个展开图，那他是如何求表面积呢？我们先看第一题， 从中把圆柱的两个底面 ab 的 面积转化成两个近似的长方形 cd， 也就是它把这两个底面 a 和 b 转化成了两个长方形 c 和 d， 再把 cd 拼接成一个较长的近似长方形。把这两个长方形拼接起来，变成一个较长的长方形。 这个较长的近似长方形的长相当于圆柱底面的哪一部分？宽相当于底面的哪一部分？我们来看一下这个图，他把圆拼成近似的长方形，那他是怎么拼的呢？ 将圆分成若干个相等的扇形，再交叉拼起来，拼成一个近似的长方形，这个时候长方形的长就等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的底面半径。一个长是底面圆周长的一半， 那两个长合起来呢？刚好等于底面圆的周长。二拍 r 圆柱的侧面沿高展开，是一个长方形， 那这里长方形的长就等于底面圆的周长，长方形的宽等于圆柱的高，也就是这一段就是底面周长。 所以这两个长方形刚好可以拼在这里，拼成一个大的长方形，他的长就是底面周长。那这个较长的近似长方形的长相当于圆柱底面的周长， 宽相当于底面的半径。再看第二题，由图可知，匆匆把整个圆柱的表面积转化成近四的大长方形的面积，也就是圆柱的表面积，就等于这个 大长方形的长。相当于圆柱的长，相当于圆柱的什么与什么的和， 这是大长方形的宽，这一段是圆柱的高，那它相当于什么和什么的和呢？ 这一段是圆柱的高，这一段是底面半径，所以相当于高和底面半径的和。这里填高，这里填底面半径， 因此，圆柱的表面积等于什么？刚才说了圆柱的表面积等于大长方形的面积，那么大长方形的面积是长乘宽，长是底面周长，宽呢，是高与半径的和， 所以等于底面周长乘括号高加半径的和。底面周长乘括号 高加底面半径，这就是它计算表面积的方法。第三，请你利用聪聪的方法计算。如图，圆柱的表面积告诉了圆柱的底面半径和高， 让我们用聪聪的方法计算，那就直接代入这个公式，用底面周长乘高加半径的和，列出综合算式，不用计算，已知半径周长。二派 r 二乘三点一，四乘六乘，括号高是十五加，底面半径是六，所以是乘十五加六的和，这就是它的表面积。看似比较复杂，但仔细推导一下，你会发现没有那么难。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

圆柱的表面积应该怎么求呢？圆柱的表面积由三个部分组成，分别是两个底面和一个侧面，那这三个面也就是圆柱的表面积了。因此我们求圆柱的表面积就是求这三个面的面积。 先来看两个底面，两个底面是一个大小一模一样的圆，所以它的面积就是二乘以二而方， 而他的侧面沿高剪开之后，就是一个长方形了，他的长就等于圆柱的底面周长宽就等于圆柱的高，所以圆柱的底面周长等于 pi r 乘以二，也就是二 pi r， 他的高就是 d 二派，而 d 就是 他的侧面积了。所以圆柱的表面积就等于二派而 d 再加上二派而方。思路讲清楚，数学就简单，这期学习日记就到这里，我是慕容，我们下期再见。

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师，今天我们一起来学习圆柱的表面积。 我们先来看一个问题，如果要在这个圆柱的表面涂上颜色，你知道涂颜色的面积是多少吗？其实就是求什么呢？ 我们来看圆柱有上下两个底面和一个侧面，如果它表面涂上颜色，其实就是求物体表面面积的总和，也就是求圆柱的表面积。 那圆柱的表面积到底应该怎么求呢？它能像正方体、长方体那样推导出公式吗？我们一起来研究一下。来看课本上的第三。 在前面学习中，我们已经知道了圆柱的表面是由哪几部分组成，它是由两个底面和一个侧面组成。 那要怎么样求圆柱的表面积呢？表面积就是物体表面的总和，所以圆柱的表面积就是圆柱的侧面积加两个底面的面积。 两个底面都是圆形，圆形的面积等于 pi r 的 平方，所以根据圆的面积公式，我们可以求出来圆柱的底面积。 那圆柱的侧面积该怎么求呢？昨天我们学过圆柱侧面展开图，可以是一个长方形， 变成长方形之后，长方形的长就是底面的周长，长方形的宽就是圆柱的高， 因为长方形的面积等于长乘宽。如果把长和宽分别转化为圆柱的底面周长和高之后，我们就可以写成圆柱的底面周长乘高。 那圆柱的侧面展开不只是长方形，它还有可能是平行四边形、正方形和不规则图形。用长方形的话推导出来是底面积乘高，其他图形是不是也是这样的呢？ 我们一个一个来看。先来看如果侧面展开图是平行四边形的话，底就是圆柱底面周长， 平行四边形的高就是圆柱的高，因为平行四边形的面积等于底乘高，换成圆柱的信息之后，就变成了底面周长乘高。 再来看，如果侧面展开图是正方形的话，说明底面周长和高相等，所以根据正方形面积公式，边长乘边长可以推导出来，圆柱的侧面积就等于圆柱的底面周长乘高， 也可以说成底面周长乘底面周长或高乘高。那如果是不规则图形，又该怎么求呢？我们来看一种新的方法，它叫做割补法， 我们可以把左边这一块给剪下来，把它补到右边， 这样它就变成了一个长方形，这个时候圆柱的侧面积和长方形推倒的时候是一样的，它也等于圆柱的底面周长乘高。 经过我们多方面的推导，不管他的侧面展开是什么形状，他都可以用一个公式来表示，那就是圆柱的底面周长成高。侧面积的公式我们推导出来了，那是否可以用字母来表示出来呢？ 我们来看，如果圆柱底面半径为 r， 直径为 d， 圆柱的高为 h， 底面周长为 c， 因为侧面积等于底面周长乘高，所以就可以用 c、 h 来表示。再来看，底面是一个圆形， 所以底面周长也可以用派 d 来表示，所以测面积也可以写成派 d、 h。 这儿还有一个关系，那就是 d 等于二 r， 所以 也可以换算成二派 r、 h， 这个就是圆柱测面积。所有的推导过程 公式我们都会了，推导过程我们也学会了，我们一起来找几道题练习一下吧。我们来看书上第二十页做一做这道题。 题目中说一个圆柱形罐头的侧面贴着商标纸，圆柱底面半径是五厘米，高是十厘米，这张商标纸的面积是多少？ 让求商标纸的面积，这个商标纸是在侧面贴着，所以这道题让求的是圆柱的侧面积。 题目中给了底面半径，我们可以直接套公式， s 等于二派 r h， 把字母换成具体的数，也就是二乘三点一，四乘五乘十，求出来是三百一十四平方厘米， 这个是他的侧面积。那如果我们要求这个罐头的表面积，又该怎么求呢？因为罐头是一个圆柱形， 表面积就是圆柱表面全部的面积，因为圆柱由两个底面和一个侧面组成。 测面积我们已经求出来了，是二乘三点一四乘五乘十，等于三百一十四平方厘米。我们现在只需要把底面面积求出来就可以了。 底面是一个圆形，半径是五，所以根据圆的面积公式可以求出来，底面面积是五的平方，乘三点一四， 这有两个底面，所以再乘二求出来是一百五十七平方厘米。 表面积就是侧面积加两个底面的面积，所以求的是他们两个的和，也就是三百一十四加一百五十七，求出来是四百七十一平方厘米。这道题让求了圆柱的侧面积和表面积， 那表面积和侧面积它们到底有什么不同呢？其实呀，侧面积只是表面积的一部分，表面积还需要包括两个底面的面积。为了方便计算，这里有一个公式， 圆柱的表面积就等于侧面积加底面积乘二，用字母公式来表示的话就是 s 表等于 s 测加二 s d。 好了，学到这里，这节课的新知识也就结束了，我们一起来总结一下今天主要讲的内容。这节课我们主要推导了圆柱的表面积公式，圆柱的表面积就等于圆柱的侧面积加两个底面的面积， 两个底面是圆形，不用推导，所以我们只需要推导出圆柱的侧面积， 主要是以展开图为长方形为例，可以推导出圆柱的侧面积就等于圆柱的底面周长乘高， 用字母表示就是 s 侧等于 c， h 等于派 d， h 等于二，派 r h。 这节课的公式非常的重要，小朋友们你们一定要牢记。好了，今天的知识就学到这里，小朋友们你们听懂了吗？

半圆柱形的表面积怎么算？我们来看这个半圆柱形啊，有几部分组成，首先是两个半圆形的底面，还有一个一个曲面，侧面还有一个长方形，这个侧面啊，就是整个圆柱侧面积的一半，两个底面加起来呢，刚好是一个圆柱的一个底面的面积， 再加上一个长方形的面积。我们来看啊，先算这个侧面积，它等于圆柱侧面积的一半，那就等于二分之一乘上一个圆柱侧面积，底面周长三点一四， 乘上一个底面直径六，再乘上一个高，算出来等于七十五点三六平方分。那这两个底面啊，都是半圆，加起来就是一个完整的圆，所以 s 底就等于一个圆的面积三点一四乘上一个。注意这个六是直径， 所以是半径的平方，等于二十八点二六平方分别别忘了，半圆柱形还有一个长方形，所以 s 长等于长乘宽， 八乘六，等于四十八平方分。最后把这三部分加起来等于一百五十一点六二平方分，所以这个半圆柱体的表面积是一百五十一点六二平方分。记住，半圆柱的表面积一定要加上这个长方形的切面。点个关注，持续更新。

今天我们来学习圆柱表面积的计算，那圆柱它的表面积是由两个底面，也就是圆再加上一个侧面组成的，那现在我们先来计算圆柱的侧面积， 它会等于底面周长乘高。那这里我们知道的是底面的半径，那我们就可以 通过二派二来求底面的周长再乘高。好，我们带入进行计算。二乘三点一四乘三，高是十分米。好，算得 圆柱的侧面积是一百八十八点四平方分米。接着我们来计算两个底面积， 那圆柱的底面是两个圆，圆的面积是派二平方，对吧？那有两个就要乘二。 好，我们带入进行计算，等于三点一四乘三的平方，再乘二算的两个底面积是五十六点五二平方分米， 表面积就用侧面积一百八十八点四加上两个底面积， 算得等于二百四十四点九二平方分米。好，我们来看图二，图二告诉我们这个圆柱它的底面周长以及圆柱的高这两个信息。 那通过底面周长，我们是不是可以求出这个圆柱底面圆它的半径， 因为我们知道周长会等于二 pi 二，那我们可以推出里面的半径等于周长除以二，除以 pi。 好， 我们代入进行计算，等于十二点五六，除以三点一四，再除以二，算得 半径是二厘米。圆柱的表面积会等于圆柱的侧面积，加上两个圆柱的底面积。好，我们先来算圆柱的侧面积， 那我们知道圆柱的侧面积等于底面周长乘高。那这里告诉我们底面周长是十二点五六，高是九厘米，算的侧面积是一百一十三点零四平方厘米。 好，我们再来算两个底面积，刚才我们已经求出了圆的半径来计算它的底面积， 有两个底面就要乘二。好，我们代入进行计算，等于三点一四乘二的平方，乘二算的两个底面积是二十五点一二平方厘米。 好，现在我们算出它的表面积，用侧面积加上两个底面积算得这个圆柱，它的表面积是一百三十八点一六平方厘米，同学们，你算对了吗？

圆柱的侧面体和表面体是我们六下数学当中的一个重要的知识点，那么这个视频呢？咱们看一下什么是圆柱的侧面体，什么是圆柱的表面体？我们首先看圆柱的侧面体，什么是侧面体？也就是这个圆柱除了这两个 上下两个底面之外，他这个曲面的面积，那这个曲面是个什么形状呢？我们看 这张纸啊，那这张圆柱的形状现在是不是个圆柱，是个圆柱的形状，我把它展开，从中间给它展开，那么发现这个圆柱的侧面其实就是一个长方形，那他要求的它面积是不是就求这个长方形的面积？ 那既然要求长方形面积，我知道它的长，知道它的宽就可以了，那么我们看它的长是什么呢？这是个圆柱，我把它展开之后，我把它展开，我们发现 他的这个长是不是这个圆的周长？长，这个长方形的长就是这个圆的周长，那他的这个宽长方形，这个宽是不是就是圆度的 高呀？那么圆柱的特面积是不是就是圆周长乘以圆柱的高，那么圆的周长 k d 或者是二 k r， 那 么我乘以 h 乘以高，是不是就是我们这个圆柱的测面积呢？其实这个圆柱的测面积就是让我们求的长方形的 面积，那圆柱的表面积呢？圆柱的表面积是不是就是它表面所有面的面积，上面这个圆的面积，下边这个圆的面积，再加上这个曲面，因为它侧面的面积，两个圆的面积 再加上这个侧面的面积，那么我们说圆柱的侧面的面积是不就是长方形的面积，也就是加上长方形的面积，两个圆的面积。圆的面积 是不是太二的平方？那要两个吗？我要乘以二，我再给他加上这个圆柱侧面的面积。一个长方形的面积，侧面积是不是就是圆周长乘以圆柱的高那个 p d， h 或者是 r p r 再乘以 h， 那 这我们不就是圆柱的侧面积和表面积，我们不知道怎么求吗？其实圆柱的侧面积和表面积 测面积就是长方形的面积，表面积就是两个圆，再加长方形的面积。好，下面黑板上关于圆柱的测面积和表面积呢，咱们就解释到这里。关注刘老师啊，数学啊，不迷路。

已知圆柱的高是十二厘米，底面半径是四厘米，求它的表面积是多少？我们知道圆柱的表面积等于侧面积加两个底面的面积，所以先求出圆柱的侧面积。圆柱的侧面积等于圆柱的底面 周长成高，也就是二 pi 二 h 列是二乘以三点一，四乘以四乘以十二，结果是三百零一点四四平方厘米。再求出两个底面的面积，两底面面积等于 二 pi 二平方，列是二乘以三点一，四乘以四的平方，结果等于一百点四八平方厘米。最后二者相加，算出表面积为四百零一点九二平方厘米。你学会了吗？

见过吧，做错了百分之八十的同学会出错，计算计算出错，不理解的出错来看，上方是一个圆柱，下方也是一个圆柱， 它让我们求表面积，我们得知道圆柱的表面积是怎么公式是多少？我们学过表面积就等于侧面积，再加上上下的两个底面积， 用我们的公式就是二 pi r h 加上两个 pi r 方，这就是我们圆柱的表面积。如果只是一个圆柱，我们很好求，但是这是两个圆柱进行 放在一起的，我们就可以通过观察会发现，小圆柱的整个下底与我们这个下面的这个大圆柱的它的一个部分上底是重合的，这里是重合的，所以这个几何体的表面积 比原来的大小两个圆柱的表面积之合少了什么呢？对，少了小圆柱的两个底面积是之合， 因为什么呢？看好老师涂的这个红色，因为上面的这个小圆柱他和下面这个大圆柱他们两个的底是重合在一起了，所以说少了两个小圆柱的底，那么我们就很好求了。先求出来一个大圆柱的表面积， 再加上小圆柱的一个侧面积就可以了，老师把文字给你写出来，你就能理解到了， 求出来大圆柱的表面积，再求出来小圆柱的一个侧面积，然后相加就可以了。想求表面积，表面积的公尺，我们刚才写出来了，是侧面几再加上两个底面积，侧面积又怎么求呢？侧面几是二 pi r h 加上二拍二的平方，那么我们就可以去计算，先求大圆柱的一个表面积，求它表面积我们可以先求出来它的一个侧面积，侧面积是要用到了一个我们的底面的周长乘以高，加上我们的两个 底面积，一个底面积是半径的平方乘以三点一四，这是一个底面积，然后再乘以二，这就是我们这一个大圆柱的表面积，就求出来了，再去求我们小圆柱的侧面积， 小圆柱的侧面积底面周长乘以高，然后给它们相加就可以了。算式有点长，我们做计算的时候一定要认真计算，这里的计算过程老师就不给你计算了啊，结果就十等于六百五十三点一二。 做这种类型的题的时候，计算量特别的大，会出错。然后分析图形的时候一定要理解透图形，它俩重叠在一起，中间是少了两个及年级的，认真听肯定就能明白听。

所以，勤奋、重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。

啊，他的滚轮是一个圆柱式的，那关于圆柱你有哪些了解和认识？谁能说一说？ 花气果，嗯，我觉得圆柱就是他不像正方形那种平面图形，他是一个立体图形，说的非常好。还有呢？ 继伟，嗯，圆柱有三个面，一个是底上底面，一个下底面，一个是侧面。不像不像正方形和长方形那种，有，有四个面， 咦，正方体和长方体有六个面，他只有三个面，哪三个？孩子们一起说一说。上底面，下面， 侧面，啊，这是一个侧面，哎，还有孩子说到了什么？面？曲面，哎，圆柱的组成，面的组成好对折。还有，还有他那个上底是个圆形， 上底是个圆形，那下底呢？也是个圆形，而且这两个圆形有什么关系？相同，完全相同，周长面积都相等。那这是圆柱的什么 高？圆柱有多少高？无数条，看样子孩子们对圆柱已经认识的非常多了。那么我想问一问，你还想了解有关圆柱的什么知识？紫纯表面积，它的表面积，哎，是个好问题。七， 他，他的占地面积他的占地面积，子墨，他的体积，他的体积。看样子孩子们对于圆柱的探索还是充满了兴趣的。今天啊，就让我们一起来研究 圆柱，研究的是圆柱的表面积。我们在什么研究什么物体的时候说到过表面积 紧穿正方体、长方体、正方体和长方体。回忆一下正方体和长方体的表面积，底深是底深是底深 是底深是底深？哎，请一个孩子说一说。有很多孩子想起来了，郑哲， n 正方，正方体是 n， 边长乘边长，乘六是边长还是棱长，这是一个体，对不对面，我们才说边长棱，长乘棱，长乘六，通俗易懂一点，这个六是什么？ 六面，那也就是说是它的六个面的面积之和，那长方体可不可以这样说？可以，长方体的表面积是什么？ 好，小一，我们直接说就是他的六面的面积之隔。那孩子们思考一下，圆柱的表面积是什么？三个面积，三个面积，这是上底的面积加下 底的面积，再加侧面的面积，上面同意吗？同意同意。我们一起来感受一下。圆柱由几个部分组成？三个，这是上里面，这是下面，这是侧面，那它的表面积就应该要等于三 三个面啊，三个面的面积之和。我把它记下来，我们找到了圆柱的表面积，它是等于 三个面的面积之和。哪三个面？上面、下面、下面啊，一个是侧面，是不是 侧面的面积？还有是底面面积。哎，我就这样放的，你们同意吗？不同意。为什么还有一个上面留着？ 因为圆柱它的表面筋，它是有上面一个圆和下面一个圆的。嗯，所以它的底面积应该是上底面的面积加下面的面积。 我们刚刚说到了上下底面有个怎样的关系？相同相同，相克的面积是相等，相等，对不对？子涵，你想说什么？ 嗯，我觉得底面积后面可以写一个乘二，底面积后面可以写一个乘二，同意吗？同意，请坐下博城。为什么要写一个乘二？因为上底面和下底面是一样的，一样的，所以我们可以直接用底面积乘二。 底面积会算吗？会，怎么算？圆的圆的面积，圆的面积 s 等于 pi r 的 平方， pi 乘半径的平方， pi r 的 平方，那也就是说又算圆锥的底面积，只要知道谁就可以了。半径。 关键我们重点今天就聚焦在这一个什么侧面体，这个侧面与长方体和正方体的面有什么不一样？它是曲面，它是一个曲面。 曲面也有面积吗？有，孩子们猜一猜，你猜想一下，这个曲面的面积会和圆柱的什么有关？ 云溪，我觉得与它的周长和高有关。与它的周长，圆柱的周长，圆的周长，圆的周长。请坐下。莫寒，我觉得应该跟这个圆柱的高有关系，跟它的高肯定是有关系，你觉得是吗？嗯， 俊哲，你还和那个圆的跟那个周长有关系，因为他这个圆，这是什么底？底里面的周长有关系是吗？请坐下。 好，我们把得出的结论写下来。圆柱的表面积，我们刚刚说了等于侧面积加两个底面积。看看这里， 刚刚孩子们说了它与周长，而我们知道底面圆的周长，它的大小是由谁决定的？ 半径？半径，孩子们都认为圆柱的侧面与半径和高的长短有，那么孩子们，我们来看一看现在我变动的这是什么半径的半径？仔细观察 侧面的大小，你感受到了没有？请一个孩子说一说，这个半径与侧面的大小有什么样的关系？ 当我这样的时候，侧面变大了，也就是说当半径越来越大时，我们的侧面的大小也会越来越大，越来越大。哎，再看 怎么样？越来越小，越来越小。所以圆柱的侧面的大小与底面圆的半径有关吗？有，那我们再来看一下与高有关吗？ 有，有怎样的关系？如果高变长，那么就会怎么样？ 它的侧面就会变大，哎，如果高变短呢？侧面就越来越小，看样子 底面圆的半径和高圆柱的高的大小对我们的侧面肌是 存在着影响的，但侧面肌到底与底面半径和高有着怎样的关系呢？今天我们就一起来研究一下圆柱的侧面肌，但是侧面它是一个曲面怎么办？ 把它展开。金伟，可以可以把它展开，你觉得可以把它展展开的话，这个曲面就会变成一个长方形的平面，是不是？是哦，看样子孩子们都有想法了。好，拿出你的圆珠，拿出你的小剪刀，赶快尝试一下开始。 咳咳， 什么情况？ 哈哈， 好，已经操作完成的孩子带着你的方向和你组队的小伙伴分享一下 来吧。 啊， 哎 呀 啊啊， 可以吧， 哈哈哈， 来， 哈哈哈哈 啊， 几个孩子带着你的元素上来给大家讲解一下你的发现好不好？ 好，我给你按着你说。嗯， 这里是圆柱的两个底面，然后呢这是它的呃，侧面，呃，我们我们我们组发现那个这个它展开之后是一个长方形，然后呢这个长方形的，哎，这个长方形的 宽就是这个圆柱的高，然后而他的这个长就是这个圆的这个，呃，也就是里面的 呃。周长。你给大家来演示一下，为什么它的长就是里面的周长？呃，这个圆柱体本来是这样子的，然后呢这里就是它展开后的呃，长，也就是这个圆这个底面的周长 能看清吗？能，那我们带着大家走一圈，这个是展开前的样子对不对？是的，我们把圆放回去找一找，这个长能找到吗？能，刚好是什么？圆的边长，底面圆的周长。那你能得出什么样？ 测面积测面积，测面积。我觉得所以我们所认为测面积就是他的。呃，圆柱的高乘底面积的周长，底面积的周长，同意吗？同意哎，谢谢你非常棒。 谁来说一说像他这样说一说你的发现是一样的，对吗？好，那么我们一起看到自己的孩子们你们怎么样展开的 剪刀沿着哪里剪？剪刀沿着刀剪开，剪开以后得到的是一个什么样的形状？长方形，我们将曲面现在就变成了我们需要的平面了，是不是好，看到你的长方形。 长方形的长是哪里？呃，里面的圆柱的高啊，里面圆的中长宽是？呃，是圆柱的高。哦，圆柱的高。好，你这样不清楚看我这里， 我先给底面圆换上颜色，你现在能看到了吗？仔细看这样一个圆在展开的时候到了哪里？ 长方形的长是不是底面圆的周长和长方形的长是一样的？好，我收起来你再看一看。看出来了没有？看出来了？好，再看一遍啊，展开 合起来的时候更能看清楚对不对？好，再看到高高高展开以后到了哪里 两边两侧也就是长方形的弯，所以我们说侧面积就被转化成了什么样的面积。长方形的面积对不对 啊？我们知道长方形的面积等于长宽宽，长城宽，而长方形的长就是圆的底面圆啊，圆的底面周长， 长方形的宽就是圆。嗯，圆柱的高，圆柱的高，所以我们的侧面积可以变成圆里面，里面周长乘高。 嗯，现在你会计算圆柱的表面积了吗？会，如果用字母来表示，孩子们告诉我， a 等于 里面周长，怎么表示？二太低太低，或者二太儿成高高，我们用一个什么字母表示？ h 二派 r 乘 h 加上底面积，爱而爱的平方再乘二，那也就是二太而的平方， 这就是我们所研究的圆柱的表面肌。接着开始 侧面展开，是一个长方形，它的长就是长，底面周长宽就是圆柱的高，圆柱的面积还有 所以侧面积转化成长方形的面积，长方形的面积长成宽，就是底面周长成高。我们再来理一遍，再加上什么呀？ 两个圆的面积，这就是我们要求的圆柱的表面积，是的， 底面周长二帕尔乘高， h 加上二帕尔的平方，就是我们要求的圆柱的表面积。你现在会求圆柱的表面积了吗？会了，我们再来看一下这样一个老师，他对圆柱表面积的推的。 我们知道圆柱是由两个底面一个侧面组成，沿高把这个圆柱展开，这个长方形的船相当于圆柱的底面中长宽相当于圆柱的高，所以圆柱的侧面积就等于底面中长乘高，用字母表示就是 s 侧等于 c 乘 h。 知道了侧面积的计算方法，把这三个面加在一起就能得到圆柱的表面积了，也就是圆柱的表面积等于两个底面积与它的侧面积的和，用字母表示就是 s 表等于 s 侧加二倍的 s 底。 我们把这个字母公式接着展开，因为侧面积等于底面周长乘高，底面积等于 pi 乘二分，所以等于 c 乘 h 加上二 pi 二分，我们知道二乘二等于二分，所以等于 c 乘 h 加上二 pi 二乘二， 二拍二就是圆的周长，所以可以用 c 来表示，那么就等于 c 乘 h 加上 c 乘二，根据乘法分配律把 c 提取出来，所以等于 c 乘 h 加二的和，这个表示什么动动呢？你还记得圆面积的推导公式吗？ 对了，就是把圆切拼成近似的长方形，这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽就是半径二。 我们利用这个原理，把圆柱表面切拼成一个大的长方形，我们先把上面的圆切拼成近似的长方形，小长方形的长就是二分之 c， 它的宽就是二， 我们再把另外一个圆切拼成近似的长方形补过来，这样就变成一个大的长方形了。这个大长方形的长就是圆柱的底面周长宽就是高与半径的和，所以圆柱的表面积也可以用 c 乘 h 加 r 的 和来计算了， 听懂了吗？懂了，其实就是在这个地方把它运用了一次乘法的分配率。看面积，我们可以拆测面积来感受，也可以将什么， 还可以将两个底面积根据圆面积推倒，把它拆成什么样子长方形，对的，所以我们在这个地方还可以加一个怎样的公式？ s s 等于 c 和 h 加 r。 当然孩子们哪个你觉得用起来方便，你就用哪个，我这个方便的用。好，现在请孩子们看到我手中的这样一个圆柱体， 我给你，如果我让你算它的表面积，你需要我给你哪些数据？高，半径高，好，我现在给你。这要是手里这一个，它的半径 r 等于五厘米，高等于 二十厘米。请孩子们拿出你的淘淘本，帮我算一算它的表面积是什么？好转位，你来试一试。 oh， my god， 好，完成了吗？完成了，好，停一停。这我也得讲解，根据，根据我们得出来的，得出来的字母是，我们可以求出 底面圆的面积。底面圆的底面圆的周长，底面圆的周长等于二 k r， 我 们知道了半径，所以底面圆的周长就等于二乘三点一，四乘五等于三十一点四厘米。求出了 出了圆面圆底底面的周长，那我们就可以求出侧面的面积。根据第二个，嗯，求出来的字母是 c 乘 c 乘 h 加 r 的 和，我们可以 嗯，得出三十一点四乘二十加五的和等于三十一点四乘二十五等于七百八十五平方厘米。请问大家有什么问题吗？ 同意吗？同意，你们算出来也是七百八十五平方厘米吗？是的，好，谢谢，感谢你们帮我解决了这个问题，那么我们不但可以用 s 等于 c 乘 h 加二乘 r 的 都是可以的。 请孩子们继续。你们帮我解决了这样一个问题之后， 我手里还有一个薯片的盒子，它的侧面贴着商标纸，圆柱的里面半径是五厘米，高是二十厘米。这张商标纸的面积又是多少呢？ 咦，还是求整个表面积吗？不是，是求侧面积，看样子实际问题中还有不同的情况发生，对不对？这个时候我们还能选择这个公式吗？不好，尝试一下，如果是这样又该怎么计算？ 哎，一会你的孩子已经送完了， 你们算出来是多少？六百八平方十八平方米，请跟孩子说一说 有账怎么算？我用的公式是 s 等于二帕 r h 二帕 r h。 好， 钥匙简化一下， s 等于 c h 可以 等于二乘三点一四乘以五乘二十， 二乘三点一四乘五乘二十，得到的结果是六百二十八平方厘米 啊，这张商标纸的面积是六百二十八平方一米，这个时候我们要求的就只有哪里了。 色面，哦，这个薯片桶的色面积。所以孩子们，我们在求面积的时候要具体的问题 具体分析对不对？并不是所有的球面积都需要球圆柱三个部分的面积，是吗？那你看到这里先和你的同桌说一说这些是球底面积，侧面积和侧面积还是表面？开始 啊啊 啊啊 啊啊啊， 接下来请一个孩子你上来试一试，方法是我们可以将这一朵云移在你认为该在的位置，如果消失了，说明你就对了。 好结果，你来试一试。孩子们帮他检查一下，先读题，再移 做茶叶桶所需铁皮的面积，嗯，我认为它是，就是像这个圆柱一样，它所有的地方都是铁皮，所以我认为它就是求它的表面积。嗯， 第二个，压路机的滚筒转动一周压路面积让我们求是压路面积，嗯，我们那时候已经看过这个压路机的滚筒了，就是它是这么装的，这样滚，呃， 如果像我这样滚的话，你们可以看出来它滚的其实就是这个圆柱的侧面积，所以我认为它压路的面积就是侧面积。 第三个做一节烟囱所需铁皮面积，嗯，有的家里是有过烟囱的，烟囱就是那种。呃，一个桶，但是没有上，没有上面、 上底面和下底面，因为他需要把烟把它排出来往上，所以我认为他就是求的这这一个圆筒，这一个圆柱的侧面积。 第四题，圆柱形鱼缸的占地面积。假如这个圆桶是那个圆圆，呃。鱼缸，它是占地面积，其实我认为它就是它的底，它就是它的一个底面积。 呃，所以我认为它是求它，求的是底面积。 第五题，圆柱形水池镶瓷砖的面积。呃，我认为圆柱形的水池的话，就是比如像观赏鱼缸，他的上面就不会，上面应该就不会有上底面， 因为他要网鱼啊，加水什么的，所以，呃，我认为他镶了瓷砖的面积， 我觉得他镶的瓷砖的面积就是他的底面。呃，但是我不确定他要不要镶，他的四面积不知道要不要镶，孩子们要不要镶？要，要，所以我们应该选择 一个底面积和一个四面积。最后一题，薯片盒上商标纸的面积。 呃，我们刚刚求的就是一个薯片盒，他的上，他的下面就是本来就看不见，不会贴商标，上面就是盖子，需要打开，所以我认为他求的是。呃，这个薯片盒的侧面写可以吗？可以。 哎，你看我们一开始涉及到的这些原圆柱，生活中常见的圆柱的物体，在不同情境下要求的面积也是不同的。所以孩子们以后在学习中遇到这种问题，我们先要来思考具体的情境。那最后 给你这样一个思考题，要是有一个木头，它的里面半径是两分米，高是十分米，现在我要将它截成两段， 问你表面积之和比原来增加了多少？尝试一下， 做完了吗？做完了请跟孩子说一说你有什么想法？ 切球，我觉得把它截成两个，它就是它就是增加了两个两个底面积。增加了两个底面是吗？打开以后会增加两个 底面，切开以后会增加两个底面，也就是两个圆的面积，所以你算出来答案是二乘以二二 pi r 的 平方，也就是 二十五点一二，还有吗？莫寒，我觉得他还可以竖着切，那么增加就是竖着切长方形，咦， 什么样子？是竖着切还没有感觉吗？来说一下是不是这样？ 他增加的就是什么样的面，两个长方形，这两个长方形你能找到他的长和宽吗？能，长是直径，直径宽是高，所以他增加的面积还怎么算？一算 四十，八十多少？八十一个长方形的面是四十，两个就是八十。所以孩子们，我们在思考问题的时候应学会多角度多方法去思考。好，今天我们就一起学习了什么人之的两面 面积。回到这里我们再回顾长方形真方体的表面积以后再看到的圆柱的表面积。那么请孩子们仔细观察一下这三个立体图形之间有着怎样的联系，或者说你发现他们有什么的相似之处吗？ 子辰，他们，他们都有高，他们都有高， 这是正方体的高，这是长方体的高，这是。哎，有圆柱的高，他们都有高，是不是？还有吗？十七，他们都有一个共同的表面积，公式是什么 啊？你觉得他们都有一个共同的体积公式是吗？底面积乘，你为什么会这么认为？