2025济南中考数学答案及评分标准

好朋友们，我们看一下二零二五年济南中考数学的第十五题，填空压轴题。这道题难度系数没有那么高，但是老师说一个字评价它有点坑， 为什么坑呢？你看一看就知道了，看似考的折叠，实际上和折叠的关系不是很大啊。要这么说呢，我们就提正方形 a、 b、 c、 d 中 e 是 上面一点，然后他把它翻过来了， 那翻过来了之后告诉我们两个数 c、 g 是 四，然后 e、 f 是 四根三。让去求 ab 的 长，求 ab 的 长，其实也就是求正方形的 边长，是吧？就求求边长好了。在讲这个题之前，我们先梳理一下我们之前学过的东西。首先遇到 遇到折叠问题，遇到折叠问题大家记住了，跟着老师学，就记两个点。折叠问题本质上叫它是一个什么东西？轴对称的 全等图形，折叠前折叠后是一个轴对称的全等图形，它的对称轴就是它的 折痕，既然全等，那对应的边相等，角相等，能听懂吧？同学们，这第一点。第二，既然它是一个轴对称的全等，它既然是轴对称，那它们对应点 对应的连线怎么样？会被谁？会被我们的折痕？ 垂直平分，这就是轴对称的性质。你减记的话就记这两个，一个叫边角相等，第二个叫垂直平分。 以后遇到折叠问题，永远去想这两个点考的问题，百分之八十到九十考第一个， 极少数的百分之二十的情况考第二点啊，好了，很不幸，今年就考了百分之二十，但是你知道的这个原理，你就不会错，一定会。那好了，我们来看这个题，我们来看这个题，他求边长，求边长， 我们肯定要从他给的这两个条件出发，对不对？好了，我们重新读题，读完题之后我们要去翻译折叠的信息，第一 定边相等，就是 a、 e 等于 e、 g， 那 边是直角，这边也是直角，那马上反应出来，这里有一个三，三个直角，一线三垂直，能不能用？好了，恭喜你，你发现他不能用，再往后这两个角下面这俩相等，然后呢？这两个也都是直角， 这叫把信息翻译完全放进去这信息，那第二个点啊，第二个点，我们为什么没有上标？因为太乱了，标上太多了，当你用第一个解不出来的时候，再去考虑第二个，明白吧？因为百分之八十的情况用第一个标，信息已经能解出来了。那我们来看 求边长 a、 b， 那 你基本上一定要从这个四跟三，这个四这两个边上入手。 那如果我们想一线三垂直，会发现除了这个四之外，其他的都不知道，没法用，那四这边写不通。我们来看看这四根三，四根三怎么用？你肯定要把它放在，还是那句话，任何问题放在三角形内去看， 他不在三角形里， one， 我 绝对只能给他做一个，这就是很自然的思路，当你做一个之后，你会发现怎么样呢？假如说这个不知道，我设它为 x 这一段根本没有办法去表示，这一段表示不了，所以这条线这个垂直做的也行不通。 而且啊，那我们先去掉，而且啊，你发现这两条边它还不搭界，对不对？这两条边它还不在一块，还没办法一块用，那说明怎么样？ 那说明第一个思路通不了呗。那就来第二个往里放啊，第一个平不通的时候再放第二个点，第二个点往里放。折痕垂直平分好了，我把这个折痕给它拉出来。 你不垂直平分吗？我拉过来垂直平分， 它俩也相等好了，你发现垂直平分也出不来东西，也没有办法。你垂直平分是出了一个什么， 你连着这条线出了一个直角三角形，但是你发现这直角三角形的一条已知的边没有 是吧？一条一直的边没有，那解不动了。所以这个题坑就是坑在这，坑就坑在这。问之前传统的一些折叠问题基本就是在一个三角形里，他是 s， 他 是五，减 s， 他 是三，就是你构成一个 用 x 表达成这样的一种形式，列一下方程，基本上就能求解，这是我们传统的决裂问题，对吧？这里不是啊，不是不是。那怎么用呢？那你再琢磨琢磨，它不是的时候和普通的决裂问题不一样的点在哪？ 往往这条边一般都是给的不一样就不一样。在这啊，同学们，你原来做决裂问题的时候，他什么时候给过你折痕的程度呀？ 那这次给了，说明他特殊呀。他特殊在哪呢？来，你看这条折痕，他这次折叠折叠的很特殊，那折叠完之后，你看看这个对应点是不是直接落在什么上了？落在边上了。 好了，他真正考察的东西有一个小点在这呢。同学们，你看啊，这条线和这条线既垂直，两边都顶到头了，那这叫什么？来告诉我这叫什么？学没学透了。这叫十字架呀， 这是不是第二个考点，这叫十字架模型啊。啊，刚才这是第一个考点，这是第二个考点，考到你一个十字架呀，十字架怎么考？正方形里啊，只要互相垂直，它俩都相等。矩形里怎么样？ 只要他俩互相垂直，那就是长比短，等于我们的矩形边的长比短有一个比例关系。这是十字架，记得不？没记得同学啊，问问。我在后期 十字架，我们由十字架就可以得到我们的这条边，朋友们，这条边的长度是也是四根三， 这条边的长度是四根三。那就好了，好办了。怎么好办？我们找到我们可以去操作的三角形了，那就是这个三角形，是吧？这个三角形怎么就可操作了？因为它有长度了呀。 还有一点是，你看，当它变到这的时候，它就会和四这个四产生联系，那产生联系之后，那其实这个题就好解了。嗯，那我们来看看。那我们求谁射谁就很弯了，射我们的边上为 x， 用咱们比吧， 我们需要我们编上 x 那 d 记，就是 x 减四，形成了一个什么股股定底啊。 x 方加上 x 减四的平方等于四根三。 这种题一定不是通过十字相乘解出来的，解不出来啊，你最后用求根公式去解。当然，如果真的能用十字相乘解出来，说明这个题就简单了。求根公式，求出一个正的数，答案是多少 啊？我给你们求一下吧，免得咱后期忘了。来求一下。 x 方加 x 方减八， x 加十六，这个是平方， 十六乘四十八表示二。 x 方减八， x 十六十八，四十八挪过来是减多少？ 三十二吧，也是 x 方减四， x 减十六等于零，你一看就十字相乘，相乘不了啊，相乘不了，相乘不了，我就我们解一下， x 等于正负 多少， x 等于负， b 等于四加减。根号下 b 方十六减 c， a， c 现在加个十六乘四比上个二， a 是 二， 里面把十六开出来是四加，减个四倍的看一下，一加四是五比二，那减的肯定消掉，就剩下个加的四加四乘二是二加二跟五。那所以我们本题的答案是二加二跟五，这个怎么出来的？ 这个题我讲的有点啰嗦了，我们总结一下，哪个地方啰嗦了，是因为你看似他考了折叠问题，他其实还给你揉进去的。十字架折叠问题里只用了这么一丢丢的垂直平分，能听懂吗？ 至于说我们说同学们评分都没用上，就用了这里面的一个垂直，就用这么一点小知识点，由垂直我们十字架模型得到这个边长，然后再去列了一个方程。 那你看这个题有一说一，你和折叠的关系大吗？和我们平时练的折叠问题关系大吗？错误没有那么大 啊，考的比较综合一些，最后通过十字架练的一个模式，对吧？那难想不难想呢？有一点难想，但是如果你把基础的知识掌握扎实了， 并且永远记住一句话，任何问题一定要放在哪里去看，放在三角形内去看，那就错不了，一步一步推导出来，就能推导明白。好吧，没理解的同学可以再去看一遍我讲的这个题，今天先到这啊。

好，同学们，我们看一下二零二五年济南中考数学的最后一题，第二十五题几何压轴，那这个题呢，相对于上一个二次函数的最后一问还简单一些啊，难的系数还可以。那我们来看一下， 在直角三角形 abc 中， abc 是 九十度， abc 是 八。好，我们在第一个图中先标一下， 那其中呢， o 为 a， c 的 中点， o 是 中点，然后呢？在第二个这样三角形 d、 b、 e 中， d b、 e 是 九十度，然后呢， d b 是 三， b e 是 四， 然后呢，连接 e o 并延长到 f 是 o 等于 e o。 好 了，这是我们的听条件。我们看如图一，如果 d、 e 分 别在两个边上时填一下空， 那我们由次可以看到，问的是角， d、 a、 f 是 多少度，一看就是多少度啊，九十度直接填就行呗。那证明怎么证呢？很好证呀， 有一个什么八字形的全等，那对应角相等，说明这两条直线 af 和 bc 平行，那不就出来九十度了吗？对吧？下面是九十，上面也是九十，那 ad 比 af 等于多少呢？我们看一下，问的是 ad 比 af， 那 af 又等于 c、 e， 那它的值比等于多少？不就是一个 a 字形的相似吗？对不对？也也可以看作是线段成比例，那上面是三四三比四，那下面也是三比四了，所以答案是四分之三。第一问就结束了。 好，我们看第二问，第二问，他说如图二旋转的一定角度， 对吧？然后圈一问结论是否成立，成立的话，证明一下。证明啥呀？一个是九十度，一个是四十三呗。那证明思路呢？你其实就是延续之前的证明思路就好了。来，我们标一下条件，好，这是八六三四， 这不就是一个手拉手的相似吗？对不对？手拉手的相似，其中呢， o f、 o e 等于 o f， 然后这是中点，仍然是全等，对吧？好了，第一问，我不正了啊，大家能直接看出来这是一个手拉手的 相似，那最后出的是谁啊？三角形 b、 a、 d 相似于三角形 b、 c、 e， 对 吧？出一个相似，那出一个相似之后， 会有角相等，边相等，那角相等，我们分析一下，看看这个角等于这个角，对吧？ 这个角等于这个角边呢？成比例，那么一个一个来看，先正直角，再正比例，正直角是正谁啊？ 正，这里有一个九十度，对吧？那这个九十度怎么正出来呢？你就去分析就好了呀。啊？分析，怎么分析啊？你要从原有的九十度去剖析，那我们看一看啊， 理一理，思路要正，你可以倒推一下，要正角 d、 a、 f 是 九十度，其实也就是正角 b、 a、 d 加角 b、 a、 f 等于九十度，是这道理吧？啊，那其中呢，角 b、 a、 d 又等于角 b、 c、 e 又相似，那就是正角 b、 c、 e 加角 b、 a、 f 等于九十度。其实这个可以直接在图上推，为大家理解。我写一写啊，你看， 我用荧光笔写一下啊，你看想，这，这是九十度，对不对？那是不是只需要正差两相加等于九十度，而差又和差相等，那我只需要正差两相加等于九十度就可以了，是吧？ 差两相加怎么等于九十度呢？你八字形的全等还得用啊，八字形的全等一用，那就把秒出来了。又因为这个角 c、 f 等于谁啊？叫 a、 c、 e， 那 就出正完了。为啥呀？ 你看，我想正它加它是九十度，对不对？那现在是什么？它加它加它，它三是九十度，而这个呢？又和这个相等，那是不是意味着这个加这个加这个九十度，那就推过去了，是吧？ 啊？没看懂的再捋一遍啊，我们再捋一遍。想知道这是直角，我们只需要证它加它是九十度就可以，而又由于它俩相等，所以只需要证这个角加这个角是九十度，那这个大角我们再给它拆分成两部分，拆分成这个小角和这个角， 那我们角知道角 b、 a、 c 加它是九十度，而它里面再匀出一点来，挪到这来，是不是就出现了这个角加这个加这个，它大小加等于九十度， 那也就意味着这个角加它等于九十度，那也就意味着这是九十度，对吧？有点乱，是不是写出来就不乱了啊？那也就是它等角 d、 a、 f 等于它的平方等于九十度，那其中呢？ b、 c、 e 又因为角 bc 加角 a、 c、 e 加角 bc， 叉三是九十度，是吧？叉三是九十度，那其中的呢？然后其中的这个 a、 c、 e 又等于角 c、 a、 f， 那 是不是这里就是所以角 bc 加角 c、 a、 f 加角 b a、 c 等于九十度啊？好了，提醒一下，前面这里我们是推的啊，不是正，我这不是正的过程，我这是一个推导过程，那其中再把 b、 c、 e 再换回去，再换回去，前面这里我们是一个倒推的过程， 后面我们又开始正着推了啊，你再换回去，换回去是不是角 b、 a、 d 加角 c a、 f 加角 b a、 c 等于九十度啊，是吧？那这里 g 角 d、 a、 f 等于九十度，这个就出来了啊，我这不是规范的过程，还是再提醒一遍，缕的是缕的是什么啊？思路啊？过程，大家自己再去组织一下，好吧，缕的是思路啊， 好，我们继续。那比例怎么去正啊？那比例其实直接就出了，是吧？比例是什么？ 你看它要正的是 a d 比 af， 那 其中的 af 等于谁啊？ a d， af 等于 c e 比 c e， 那 不就是那个相似比吗？还是四比三？那这里也正出来了。 这里面的第一问还是比较简单的，我们用一个手拉手的相似都给它推出来，是吧？这八分我们一定要拿到。 好了，接下来我们看第二个二章， a、 c、 f 面积最小时，求 a、 d 的 乘。那第二它是一个什么问题？这里给大家梳理一下它是不是一个最值问题。好了，不管是最大最小，它为什么会有最值问题， 那我们来看一下，最值他是不是就意味着在变化呀？同学们，这就是我们的分析思路。那变化是不是有东西在动，而有东西不动呀？那就一定一动。那你发现这个动的，去分析他是他的 轨迹是什么样的，他是怎么动的，那就能找出我们的最值来了，这叫分析思路，能听懂吗？同学们， 好了，那么这个题它问的是 s、 a、 e、 c、 f 的 面积，它是一个什么？它是一个平行四边形，对吧？平行四边形，那它的面积怎么求？我们去观察一下什么是不变的？ 那在这里面谁在动呀？是不是 e 一 直在动，因为它是旋转的， e 在 动，竟然导致了这个三角形在动，那谁不动呀？其中的 a 点、 c 点是不动的， a 点是 c 点是不动的，我们标出来，我们标出来 a 点， c 点是不动的，也就意味着这条对角线不动，对吧？这条对角线不动，那其中呢？ f 呢？还剩一个点 f 呢？ f 是 由于异动影响了 f 动，所以最关键的核心点在于 e， e 点是一个 相当于是一个动，因它是主动动的，导致了 f 在 动，那 e 点在动，那它面积怎么变啊？你想想好了，你结合结合 e， 再结合结合这条线，你就会发现把它连起来， 把它连起来，因为 e 点在动，所以和 e 点有关系。那连起来之后是不是变成一个三角形？这个平行四边形是不是这两倍的三角形 a、 e、 c 啊？ 那想知道平行四边形面积最小，是不是？我只需要知道 a、 e、 c 面积最小了？那 a、 e、 c 中我们以谁为底？以 a、 c 为底， 以 a、 c 为底，那是不是有个以 a、 c 为底的话， a、 c 是 底，面积是二分之一，底乘高，底不变，只需要高，怎么样？ 这个 h 最小是不是就面积最小了？那 h 是 e 到 a 的 距离，那这个距离什么时候最小？关键还在于 e 点怎么动，是吧？那你看 e 点怎么动的， 能看出来吗？它是不是一个旋转？旋转的话，绕着谁旋转，你就要看绕着谁旋转呀？它这个旋转是 绕着 b 点旋转，对吧？绕着 b 点旋转，那你看绕着 b 点旋转，我用黄色笔标一个绕着 b 点旋转，是不是它相当于这是一个定长，是四绕，这个四绕，这个 b 点长度是四，一直在转啊？那这就是一个什么什么的问题。 同学们，这是不是一个圆的问题啊？能看出来吧？它既然照着它转，是不是就是一个圆？这个能理解吧？没问题吧？它就是个圆，那你说这个圆 e 在 这个圆上运动一点到 a c 的 轨迹什么时候最小？什么时候最小？在哪里取的最小值？很好啊，同学们， 这个最小值在在什么时候？嗯，怎么去描述呢？在垂直的时候，再过 b 点作垂线时 最短，作为已经进入中考阶段的你，这些东西都是基础啊。可能有的初三刚开始学的同学，听起来有点难，但是对于你要如果你到了中考阶段，这个引元问题，这个叫元的问题，也叫引元的问题， 你这是必须要了解的啊，必须要了解的，如果没有了解那么清楚，说明还需要继续进步啊。在垂线的时候最短，那啥时候 这个时候最短，这个时候一点，在这一撇点吧，这时候是最短五撇点。为什么？为什么这会最短？来，我给大家解释一下。 那来看一看。这是一个其他的长度，这是一个垂线的长度，我们说从线外一点往这条直线上引，垂线垂线段最短，那说明这根一定比这两根短，这个难记吧， 看到没？这个问题，那好了，他比这根短，但是呢，由于这是个圆，这段长和这段长，他俩是不是相等的？我就问大家， 对吧，那他俩一定是相等的，而这个又比这个短，这边相等，说明这根一定比这根短，是吧？这根是不是一定比这一根短？ 那这根比这一根短，那我无论在哪个地方，再取一个垂直，仍然是这根要比这根长，这个垂线的这里是最短的，这样能理解吗？能听懂吧？没有听懂的再去再再照回去看两遍啊，这时候一定是最短的。 好了，我们找到这个最短的，值了。那么在接下来该去求谁了？求我们要求的 a、 d、 a、 d 啊，这是第一个部分，这是第一个部分。前面这一块我们把什么解决了？前面这一部分我们换个颜色啊。 前面这一部分我们把什么时候面积最小解约了。接下来我们该去求谁了？求 a d 了，求 a、 d 的 线段长，那线段长怎么去求呢？同学们 求 a 的 长度。那你记住一句话，在徐老师这里，永远记住一句话，不管是什么时候求线段长，一定要把它放在三角形里去看，因为你只会三角形的东西，三角形是我们解决问题的终极策略。那 a、 d 放在三角形里去看， a、 d 在 哪个三角形里？ a、 d 是 不是在三角形？在三角形 a、 b、 d 里啊？在 a、 b、 d 里。那想求 a、 d， 你 想想，这就是你对老师这个解决问题这个思路的认识，就是你怎么去看待这个书籍的？它为什么让你求 a、 d？ 你发现 a、 d 在 这个三角形里，和这个三角形有关的东西是什么？这两个三角形相似，那你想求 a d， a、 d 又不在平行四边形里，那它为什么说平行四边形面积最小呢？那你就要往平行四边形靠， a、 d 和谁是对边？ 和 c、 e 是 对边，那它俩的关系是四比三。我想求 a、 d， 我 只要求出 c、 e 来就行了，是这个道理吧，那我只需要求 c、 e 就 可以了， 这是我们的思路是吧？那求 c、 e 好 求吗？ 那还 c e 在 哪个三角形呢？ c e 在 这个三角形，它又不是直角三角形，其他边又不知道，这个 b e 又不知道是多长，它是在动的 c e， 哦，但是现在不动了，对吧？现在定了， 现在是在这里，固定在这里，那这个图比较乱，所以我们就要用到备用图了，我们再去画一遍，我们只挑最小的情况来画，那既然是垂直的，我们就先画一条垂线， 画一条垂线，画一条垂线一点，大概在这，这边是三啊，备用图，你看这个也是有用的，这是三，这是四，这是六，这是八， 然后呢，怎么办呢？这个 e 点往外延了一半，这是 f， 然后 o 点在这， o 点在这，然后我们跟着前面的画图来画， 不是往这延啊，不是往这延， e 点在这，我们怎么延的？它这个操作的过程是连接 o e 延长至 o f， 是 这样去做的，这是 f， 这是 o， 然后这边形成了一个平行四边形，对不对？是这样的一个图吧，你要根据它的描述，把这个图再重新做出来，然后我们再补上这条线段， a b a， d， 好 了，这个图我们补全了，此时是最小的，那我们把这个字母定为 g 吧， g f g 好 了，现在让我们求的是 a d， a d 不 再平行四边形的我们，所以去看谁。 c e 好 了， c e 再平行四边形，同样要把它放在三角形里去看。那放在哪个三角形里好呀？那你说是放在 这个好呢？ c e 还是放在这个好呢？肯定是下面那一个呀，为啥呀？那我们此时就放在 r t 三角形 c e， d 里去看，因为直角三角形总比普通三角形好用， 那想求 c e， 只需要知道这两条边即可，这两天这两条边能知道吗？能知道，一个一个来来， 我们能不能知道 b 几？首先 b 几怎么知道？等面积法呀，是吧？等面积法呀， b 几不是斜边上的高吗？等面积法直接用六乘八是六十八，除以一个十六八十嘛。除一个十就是四八，除以十是五分之 二十四啊。四八四八除以四十是五分之二十四。那 b g 出来了，然后其中的 b e 呢？是 半径是四，那此时的记忆就知道了。记忆是多少？五分之四减五分之五分之四减四呗，减五分之二十是五分之四。好啦， g g 解决了，我们再来解决 c g， 那 c g 怎么解决？这就看你熟不熟悉了，一定要熟悉，这里有一个什么？这叫什么？同学们， 这叫摄影定理啊，摄影定理，摄影定理里面有什么？什么时候含着 c g 就是 b， c 方等于 c g 乘一个 a， c 是 吧？也就是 b c 方式。 八个平方等于 c g 乘个 a， c 是 十倍的 c g， 那 假设 c g 等于六十四，除以个十，六十四除以个十是五分之三十二啊，是这么求出来的，来写一下，这里是用的整面积法。 面积吧，你看用了多少尺子，一定要熟。这里用了一个什么射影定律，射影定律求出来这两个边，这两个边求出来了，再用一次什么勾股定律就可以了呀。勾股定律谁？ 然后我们这里是 c e 方，是斜边等于 g e 的 平方加 c g 的 平方，是不是带进去就可以了？我们直接求出来啊，不给大家写过程了，你直接自己求 c e 等于五分之四倍的， 看一下六十五好了， c e 出来了，我们往上走写不开了， c e 出来了，那我们的 a d 就 出来了。又因为 a d 比 a f 巧妙的地方给的是，就等于 a f 又等于谁啊？ c e 啊，等于四分之三。那所以呢， a d 就 等于四分之三倍的 c e， c e 求出来了，我们直接写四分之三倍的 c e 是 多少？四分 就等于四分之三，乘以一个五分之四倍的情况下，六十五来化解一下，得到的是五分之三倍的情况下六十五。 这个就是第三问的答案啊。第三问的答案难吗？我觉得相对于上一个题而言，还可以， 有的同学应该还能找出来。那这个里面我们总结一下，第一问和第二问手拉手相似，第二问的第一小问没啥问题，主要是涉及到最后一题的，最后一问 涉及到一个最值问题，最值问题我们就这么去分析，它一定是变化的，因为有变化才会有最大最小。找到洞的，找到不动的再去分析。那对于这个面积而言， 动的是 e 点 f 点 f 是 因 e 而动的， a c 不 动，我们在图上一描一画，你就能找出来这个面积。怎么什么时候最短，那找到最短，发现它是一个引元问题。 找到最短的位置的时候，我们自己再重新画一个图，把这个最短位置的图画出来，再去求 a d。 我 们通过推导，包括我们出题者的这个意图可以看出来， a e a d 不 可能直接求， 想求 a d 就 求 c e， c e 怎么求？放在直角三角形里求，那把另外的两条边 都给求出来。勾股定里求第三条边，对吧？勾股定里求第三条，第三条边求出来，再找一下比例，那题目就出来了，就这么去做。好吧，没有那么难啊，同学们能理解吧？好，这个题我们就讲到这。

小伙伴们好，接下来我们来处理济南这道中考真题。济南去年这个题考的也是手下留情的。先说他考什么了，他考角分信辅助信，考的是平行加等腰，角分信必成信，因为角分信辅助信存在一个之二推一，还考什么了？ 还考垂径定理，考切线判定，所以整体他考的都比较基础，关于面积法等等这个使用，这都是基础操作，就是勾三股四弦五的三角形，然后涉及到斜边上的高， 这都是非常非常基础的操作。虽然我在文档当中给大家写了，但是他的核心内容是在角平分线的 问题关联到切线的判定。然后第二问考察了垂径定律的加持之下，解三角形的使用。好，这是它的核心考题。那我们来看这个题目，我记得应该是在这里。 好，那么我们来看一下济南二零二五的考题，他给定的是直径，首先直径对直角用不用的一会再说，先圈出来，这是一个很有用的条件， 然后给了平行，那么在型内给了平行线往往就有什么，我们知道角分线加平行线等腰 b 乘线， 紧接着还给了个九十度，第一问让我们正相切，我开始还在那犹豫，给我这个平行线，我要不要连接 o c。 结果底下第一问说，哎，小伙伴你帮我证明，证明我得相切，相切，肯定得连，这一下子就出现了，这叫等腰条件， 然后平行加尺之下，它就是叉子，平行加尺之下，它就是叉子。换言之， o p 其实是角分线。这里面考察的一个模型就是我们说的角分线辅助线。再重复一遍，是角分线加平行线等腰 b 乘线，这是原模型， 但是这个模型的推论能够知道就是角分线条件、平行条件以及等腰条件之二。推一。那么第一问，要正相切，现在能不能正了？ 现在有半径，半径相等角角相等公共边。也就是说，我能很轻易地说明三角形 o c p 全等于三角形。 obp 使用的是 s a s 定律进行证明。这个题非常重要的条件是平行加等腰条件， 推出角平分线，推出叉子等于叉子。好，这是第一问。第一问结束之后，我们来看第二问。你要明白，同学们，第一问其实已经给你 暗藏了一个呃，小的藤条，什么藤条啊？就是攀缘下来的藤蔓。他什么藤蔓呢？ 你刚才说明它是角分线，你不要忘了，在圆当中出现了角分线这种情形，就是圆心角位置的角平分线，它是天然绝好的垂径定律的存在。 那么现在我们来看一看第二问说的是啥？第二问说，你是三。哈，那你是三，你也是三。给定了，你是五， 我们刚才说你是垂直，所以你是四。哎，这个题的核心三角形是勾三股四弦五，紧接着求 ac 的 长，咋求 ac 的 长呢？ 只要垂径定里，这题就结束了。第一问告诉我们绝佳的方式，所以这指定是垂直的。在此处垂直的前提之下，同学们，其实如果用我心在垂径定里所处的三角形，你就可以绕掉那个题干上我给大家写的什么呀？ 题干那个部分，我给大家在前面前言写的，我说要用这个等级法，就是三五四，或者说三四五斜边上的高五分之十二。如果你这个题用这种思维这个方式就可以直接解决。 那么在这里你使用垂线定律的话，同学们，你有什么方法可以求？第一种方法，在这里我们看到了这叫垂美四边形，你用面积的话，也可以用垂美四边形，它的等级法，也就是说面积应该是等于二分之一的 c b， 点乘 o p， 也就是 二分之五倍的 c b， 它应该等于面积是两边的直角，三角形的和就是十二。那么在这个过程中，其实你整个 c b 的 长，我们能推出 c b 的 长是五分之二十四。在这里你注意一件事，同学们， 这个长度的推倒我并不建议呢，我建议用角相等。怎么用角相等呢？孩子们，在这个过程中， 由于你这是垂直，你这是垂直，使用倒角的方式，如果这个角是圆圈，是不意味着你这个角也是圆圈， 或者说你用斜切角定里那一引到底，你也能看到是圆圈。圆圈这个题就可以使用解三角形来做，其实这个角就是我们说的二倍它， 那么你知道了直角的情况下，你何必这么麻烦，还得求 c b， c b 根本就可以不求。 所以在这里我们可以直接用三 y 二 b 去求三 y 二 b， 它是不就是 ac 比上 ab， 也就是说 ac 比上六应该等于多少？三 y 二 b， 它在这个三角形里头是不就是三比五， 所以你的 ac 就 这么着就解出来，它就是五分之十八。所以这个题我推荐大家使用倒角。 倒角是双垂直这个类型的倒角，但是倒角的前提有一个什么，这个题要用到一个垂径定里， 垂径加上倒角之后推出我的二倍特角，然后使用二倍特角的什么值？三也二倍特值，利用解三角形把这个题直接做完。这是第二问，五分之十八是这么求的。好，感谢收听同学们，拜拜。

济南中考哪些算分，哪些平等级？济南中考考试的科目评价方式啊，分为两种，一种是计算分值，一种是等级评价。 二零二五年济南市中考积分的科目有语文、数学、英语，满分均为一百五十分，物理九十分，化学六十，体育六十，总分共计六百六十分。等级评价呢，分为两种， 一种是 a、 b、 c、 d、 e 五个等级评价，包含的科目有地理、生物、道法、历史。根据中考成绩从高分到低分依次划分为 a、 b、 c、 d、 e 五个等级， 各个等级人数所占的比例分别为， a 等级百分之十五， b 等级百分之三十， c 等级百分之三十、 d 等级百分之二十、 e 等级百分之五。 第二种等级评价分为合格或者是不合格，包含的科目有信息技术、综合实验操作、音乐、美术和综合实践。根据成绩划分为合格或者是不合格。以上呢，就是二零二五年济南中考的科目和评价方式，大家还有不明白的评论区留言。

好朋友们，今天我们看一下二零二五年济南中考数学第二十三题，也就是说反比函数内个，我给大家提供两个解决思路，好好体会一下啊。好，我们走题一次，函数 y 等于二， x 加四，与反比函数交一点 a， m 就 等于。那把这个点带到一次函数里去，就可以得到 a 的 坐标呀。那 a 点坐标为 y 是 六的话， x 是 一，所以是一逗六，那一逗六马上可以得到 k 是 六，那第一题就解决了，很简单啊，好，我们看与 x 轴交于点 b， y 轴交于点 c， 其实就标一下坐标就可以了。那 b 点的坐标是多少？ 负二逗零， c 点的坐标呢？零逗四啊，好，关键是第二个，我们开始读题了， 点 d 为反点，还是上一点，且横坐标大于 m。 好 了，同学们啊，当然我们要注意前面题干中啊，题干中 s 大 于零，所以只看右半边，能理解吧。啊，第三项线呢，我们就不管了。 第二问题，他说横坐标大于 m， 什么叫大于 m？ m 是 说明他就在 a 点的哪边， 右边不可能去左边，能听懂吗？一定是在右边的，比如说你看 a 点在这，它只能会在这一侧。 好，第一小问，如果说一 d 点的坐标是四，横坐标是四，那纵坐标呢？再做反比函数，那就是二分之三呀，四度二分之三啊。我们来看一下 这个点，出来之后，他说 e 是 线段上一点 a， e 比 e d 一 比二，比例也是求一点的坐标。那 a 点我们也知道呀， a 点是一到六，这个是四到二分三， 这个题很好做啊，关键是你怎么去求它？就是一个成比例的问题吧。啊，老师，这里的方法是这样，第一问是这样，我直接往下做辅助线， 同学们直接往下做辅助线，三条，那这不就是成比例线段吗？对不对？ 来，你看啊，上面，上面是一比二，那下面是不是也是一比二呀？一比二的话，一共三段，一共四减一，一共是三个距离，一比二。所以这个点的坐标是二呀，很容易就出来了。也就说什么呀， 比如说 x e 等于二，它的横坐标出来了，那纵坐标怎么求呀？你直接求出直线 a、 d 的 解式来啊，再定系数法，把两个点带进去，求出来就完了。那 l、 a、 d 的 解式 你求出来之后是这个啊，负的二分之三， x 加上个二分之五，我们不在这里求了。 那你定 s 等于二，再入减得 y 等于二分之九， 那所以呢，一点的坐标为二斗二分之九。第一问就完事了啊。当然有的解法可能会有很多其他解法，因为这个题比较简单。那有的老师或者同学呢，他可能是这样做，垂线形成一个相似 都可以。好吧，怎么样做都可以，只要你答案是对的，没问题。接下来我们看最关键的第二小问。第二小问，老师给大家用两种思路去解决一下来，他说 m 是 o， c 上一点，注意，这里是线段， o， c 上一点，且 c m 是 一， 那 c m 是 一，下面的 o， m 就是 三了，因为这个点的坐标是四。那我们把 b 点也补充上， a 点也补充上，是一到六， d 点呢？不知道啊， d 点现在不知道。 c， m 是 一，他说 o、 m、 d， n 是 平行四边形， 因为四边形的话，那 d、 n 这段长度也是三了，也就意味着 d 点和 n 点横坐标是相同的，纵坐标差了三是这个意思吧。嗯，这是我们得到的信息，比如说这里得到信息是 y d 减 y n 等于三，所以它就是告诉你这个东西， 那后面连接 a n， 若 b a n 是 四十五度，求 d n 点坐标好了，求 d n。 大 概率一般情况下，你看， 给你个角度，求一点点坐标，一般情况你要去干什么？你基本上就要去设了啊，设点坐标，然后构建。一般情况下，我们这种题的思路基本上都是这样去做啊，设点坐标，然后呢？构建一个 关系式，然后你再给它解出来，这个题基本上就完事了。核心的点就在于如何去构造这个关系式，能听懂吗？同学们， 好，那我们设一下 a， 哪个字母没有用？我设个 a 吧，比如说 a 豆，它应该是 a 豆， a 分 之几啊六，那比它 n 的 话，比它少三个单位， y 轴上，那就是 a 豆， n 分 之六减三。接下来的核心就是去构造关系式， 对不对？那构造关系式的核心是什么？就是这个条件了，四十五度。好了，同学们，问大家一个问题，当你看到四十五度，你能想到 什么东西？这就是解析的关键。你就想四十五度常见的处理思路有哪些好？基本上处理思路就是这样。什么呢？想一个这个东西叫等于 直角相切，等腰直，是不是想这个构造一个等腰直去做，会出现什么啊？一线三垂直的全等，一线三垂直的全等。我给大家写全一下，等腰直，构造一个等腰直会出现，往往会出现一个 去构造一个再构造，一个一线三垂直的全等，那问题就解决了，这是第一个思路，一会老师再给大家讲第二个，非常精彩啊。我们先看第一个构造，等 l 角的三角形。那怎么去构造呢？他说的是哪个角？ ban 好， 老师给大家标一下， ban 是 哪一个？哎？是不是这个角？是不是这个角？那你怎么去构造？也就是说这个角是四十五度， 那你从哪里去构造直角三角形呢？怎么要直角三角形？肯定要做垂线，从哪做？关键是从哪做啊？从哪做？从哪做垂直，这个是很关键一点。那你从 n 点可以吗？ n 点我们做下来，假设说我们做一个垂直下来好了， n 点本身是不知道是哪多少的，那你这两个边是不是也不知道这两个边？这两个边也不知道，你能用吗？根本用不了，因为 n 点是未知的，所以 n 点是不可以的，能理解吧？同学们啊，再回一下，稍等， 所以 n 点是不可以的。 n 点不可以用谁啊？你要用已知的已知的点去做，这是很关键的。谁已知啊？在这个角上谁已知啊？有两个已知的点， c 点已知， b 点已知。 实际上这两个点挑哪个去做都可以。挑 c 点去做垂直怎么做？往这做垂线吗？ 那就太别扭了啊。往哪做最舒服？往这做，往这做完垂直之后，两边往这一拉，一线三垂直就出来了。那 b 点能不能做呢？也可以往这做，然后两边一拉，一线三垂直也出来了，看到没有？看到没？ 这就是思路啊。那我们选一个吧，比如说我们选 b 点，我们选 b 点，来，我们做一下， 选 c 点，选 c 点吧，因为 c 点贴着做标轴更好做。我们过 c 点做一个垂线 啊，这个垂足记为记，为什么？找个没用的字母， a， b， c， d， e 吧，记为点， e 记为点， e 之后没完啊，这是个等腰交圈，你还要做一线三垂直呢？一线三垂直做两垂直啊，做两垂直下去， 我们一个点定为 p， 一个点定为 q， 好 啦，能看出来吗？同学们，这里啊，一线三垂直， 一线三垂直出来了，我们能够得到什么？ a 点是已知的 a 点，已知的 c 点已知的，是不是就能得到 e 点的坐标了？那得到 e 点的坐标， a 点又知道，那这根线的解析式是不是就出来了？ 那这根线的解析出来了，你把这个点带进去， a 是 不是就解出来了？同学们能理解吗？好吧，没问题，我们来写一下简略的关键步骤啊，不给大家写过程了。首先 a 点是 一到六，然后呢？此时他就知道了， p 点是零到六，然后呢， c 点是零到四， c 点是零到四。来，我用黄色的笔写一写，大家看一看啊，比如说这段的长度是， 这段长度是一，是吧？那这一段的长度是二，那也就是一线三十句号，这里是一，这里是二，那一点坐标是不是就能写出来了？一点坐标就是多少了，二度几啊？ e 点坐标二斗四点一样二斗三，是吧？那 e 点有了， a 点有了，你能够得到什么？这个地方是通过一线三垂直得到的啊。同学们，一线三垂直，那得到它之后， 我们就可以知道 l a， e 直线 a e 的 解析式了啊。写出来是这样，然后再进行一遍，解出来负的负的 三 x 加九，这是你通过代数解析式求出来的直线解析式，能听懂吗？同学们啊，我没有给你们去再求啦，我只是写了关键的核心步骤。那接下来你就把 n 点，把 n 点 a do a 分 之六减三带入即可带进去，也就是 a 分 之六减三等于一个负三， a 加九，因为 a 不 等于零，还可以乘出来，是吧？那解得得， 解出来是一个一二次方程啊，肯定有两个答案，两个答案，我们看看 a 等于多少？ a 是 等于 二加减跟二， a 是 等于二加减减二的，你去算一下就可以了啊。那又因为什么呢？又，因为， 又因为这个 a 也就是地点的坐标要大于我们的 m 大 于 m， m 是 谁？ m 是 我们求出来的几啊？一，又因为 a 要大于一，所以 a 只能是二加根二，能听懂吧？同学们， 那再带回去你就能够得到了。再带到圆式子里去，你就可以得到谁的坐标值了， d 的 坐标就出来了， d 的 坐标 a a 豆 a 分 之六，二加根二分之六，二加根二分之六。你看 a 分 之六是不是就等于二加根二分之六。你分母由里画一下，上下同时乘一个二减 二减根二就解出来了啊，我不去解了，所以地点的坐标是地点，坐标是 二加根二。逗，后面这个数算一下吧。六倍的二减根二四减二是二，约掉乘个三，那就是二三得六，六减去个三根二。这就是我们第三问的答案啊，不是很难能看懂吧？ 一线三十的思路，一线三十的思路。那你在 b 点去做垂直是不是也可以啊？往这做，垂线有个垂直，然后呢，从这个地方勾到一个一线三十轴出这个点的坐标来， 然后我们一连线，再一代入就可以了。都可以啊，这是第一个思路，考试的时候就用这个思路去解就可以了。那这里呢，老师再给大家提供一个新的思考方向啊，锻炼锻炼脑子，考试的时候不一定用，但是我们要有这根弦。那第二， 你四十五度，如果没有找到这个等腰直角能够到方法，那你怎么去做？那还能怎么去做？ 给大家提供第二个四个方向，你可以通过四十五度，能不能想到九十度，那九十度是不是比四十五度更好用， 对吧？是不是更好用？那更好用，怎么去用？怎么去用？那就加一倍呗。好啦，在这里我我从一边给大家单独画个图啊，给大家讲讲这个思路， 了解一下这个 我们的反点函数这样子，然后 a 点是一到六， d 点在这儿，嗯， n 往下一点在这儿， 我画个大概啊，朋友们，你们看一看就行， 记着往上了， a 就 a 画在这儿吧，这样差不多是吧？ b 点， b 点， a 点， c 点， m 点， n 点。好了，这是我们的这个图啊，我老师给大家又 copy 了一份，复制了一份出来啊，这个图用四十五度怎么去解决啊？用四十五度怎么去解决？看一下啊， 它是不是告诉我们这个角，这个角是四十五度呀？是吧？你四十五度不会，你去考虑什么九十度，那九十度怎么来的呢？是不把四十五度再放大一倍啊？好的，那我就在这里再补充一个四十五度出来， 再补充一个四十五度出来，这个也是四十五，那这里和起来就是一个多少度了？就一个九十度。出现一个直角三角形了吧？角角三角形了，这个点我定为 m n h 吧。 出现一个直角三角形，那此时的 a n 变成了什么？此时的 a n 变成了什么？ 是不是变成了这里面的一个角平分线啊？是不是变成一个角平分线？那角平分线有一个什么性质来着？对应边 乘比例对不对？对应边乘的比例哪个哪个对应边乘比例，它比它等于它比它，对吧？那这样的话，我们有没有可能求出这个点？ 记为 q 吧。能不能记出这个求出这个点的表格来？可以的啊，同学们，我已经给大家验验证过了。 怎么验证的呢？我能求出 a 两点间坐标公式，求出 ab 来， ab 的 长度大小是三根五，我 h 点能求出来。为什么 h 点能求出来？ 因为它俩这两条直线相互垂直，所以它们的斜率相加， k 一 乘， k 二相乘啊，斜率相等等于负一，那 a h 的 斜率知道 a 点已知是不是 l a h， 你 可以求出它的解析式来啊， 对吧？它解析式可以求出来为 y d 负二分之一， x 加二分之十加二分之三。 好啦，这个解析式求出来的 h 点就能求出来。我求出 h 点来之后，两点间坐标公式这边的长度是六根， 六根一比二的关系，那是不是也就意味着它比它是一比二啊？也就是我们的 b q 比 q h 等于一比二，而我的 b h 长度是可以求出来的啊。 h 点的坐标是 十三，那 b 点呢？原本是负二十五，那 b h 等于十五，所以我们 q 点的坐标能求出来，求出来是多少？ 一比二的话就是三五十五呀，那二往这走十五走五个单位就是多少，三到零， q 点出来了，你是不是 l a q 就 可以求出来了？ 那此时求出来这个直线和刚才求出来的直线是一个，为啥呀？因为他都是求的这条直线，求出来的是一个，然后我们再按照前面的思路， 后面就和他这里一样了，带进去求就行了。这是我们的第二个思路，利用了一个角平分线对应边成比例的性质去做。那我为什么这样做呢？因为一线三垂直等腰直角三角形，我没有想到，我就从另一个角度四十度 考虑到九十度去做的，这样也能做出来。所以你看这个题，同学们，这是我们应该答案，也是给的我们这种解法，这是我们常规的解决思路 啊，想到四十五度就想整条直角三角形，那假如说你真的没有想到，你也可以有这么一个思路，去试着探索一下。如果考试中有时间， 那老师在这里把这两种思路解决手、解决思路讲出来，是为了让你们锻炼一下你们的思路，练一下脑子的啊，朋友们。就是当你在平时遇到各种问题的时候，不会做，要有切入点，这就是本题的意义所在。好吧，这个题讲到这。

各位同学，大家好啊，我是姜老师，今天给大家伙讲讲这个二零二五年这个天桥区的数学三摸的这个压轴题啊，今天讲讲倒数第三个大题，这个反比例函数的二十三题啊。好吧，废话不多说，直接开始， 如图所示，一次还是反比例大于第一项线的啊。交点 a， 这个是二六三，这个 b 点六六六 n， 具体是啊，带进去这个 m 是 个六， 再把这个六度 n 带进去， n 是 个一，是吧？二六三和六度一往一次里带，这个一次是 y， 等于负的二分之 x 加四。 好了，第一位处理完毕啊，哎，第二位啊， p 是 y 轴上一点，点击 a p b p a b， p 的 面积是个十，求这个 p 的 坐标是个几，是吧， 来吧，这个点，这个点，咱叫 z 吧。然后呢，这个 p 啊， 肯定是正半轴一个，负半轴一个啊，所以咱就简单先划一个再说啊，咱先简单的划一个再说啊，再说啊。这个 a 点是个二到三， b 点是个六到一，这是个 p 点啊， 对吧？这个面积是个十啊，这个面积是十，所以咱用这个面积，看到吗？用这个面积， 用这个大的面积减了个小的面积就可以了啊。来这个大的面积，这个大的面积，因为这个 p g， 这个 g 点，它不是个四吗？依次接起试试， y 等于负的 2 分 之 x 加四，所以这个 g 点是个零度四，这个 p 点咱不知道啊，是个零度小数吧，零度小数吧，所以这个 p g 啊， 它等于这个上减下四减 m 的 绝对值，因为咱不知道它的这个谁上谁 p 和 g， 谁在上谁下绝对值就处理完了啊，这个面积，这个面积是 p g 乘以这个六串减去这个小的，这个小的是 p g 乘以二串 等于这个 a b p 十啊，十，约分三倍的 p g 减个这是个 p g 等于个十，所以两倍的 p g 等于个十，所以 p g 等于个五，所以四减 m。 绝对值等于五， 所以四减 m 等于五，四减 m 等于个负五负五啊，所以第一个，第一个，这个捷德啊， m 等于负一，第二个捷德 m 等于个九，所以零度负一个啊，零度 九一个。这两位处理完毕啊，给大伙亲自把数算出来的啊，不废话，继续第三位啊，来第三位啊，将线段 a b， 这不是这个绕 b 点，顺时针转九十度啊，这个 a b 绕这个 b 点啊，绕 b 点啊，顺时针转，这不转九十度吗？ 转九十度啊，转九十度就得啊，得到这个比德比德九十度，这两个边相等啊，然后连接这个 c 的， 连接这个 c 的 啊， c 的， 然后你在翻倍的函数上是否存在一个球啊，这个球啊，使得 c 的 b c 的 b 啊，就这个角， 这个酒啊，喝这个 q c o 啊， q c o 啊，酒加起来等于九十度啊，加九十度，有呢，就是个 q 啊。 来吧，咱得先把这个球简单的划一下啊，咱把这个球先得简单划一下。这是 y 轴啊，这是 y 轴啊，然后我不说了吗？ c 得 b， c 得 b， 这个角，这个角加上球 c o， 球 c o 啊，球 c o。 来吧，球 c o。 哎，不大像啊，不大像，咱还得稍微的穴位的往上画画啊。穴位的这个破物线还得往上延延啊，外周往上延延。不是很像啊，不大很像。这，这差不多了啊，差不多了啊， 来吧，这个点，这不是个球吗？是吧？然后它和外周的这个角点是个 m 吧，是个 m 吧，这不， q c o 是 这个角啊，这个角，这个角 加上这个是个九十度，这是个直角方形啊，那这个角加这个角了吗？ 知道了吗？啊，来吧，这个题目说了，他只要稍微难点，他就往相似上去考去了，看到吗？来，这个堂兄弟们，看到吗？人家说的很明白，这个角 q c o， 这个角加这个 r 和九十度， 这是个正方形，阿尔法加这个角就是九十度，所以这个角等于这个角。这个角啊，咱把这个黄的给他画一下子画的啊，很明显在这个黄的里面有这个角，有九十，这个红的里面有这个角，有这十，他相似了，他相似了啊。然后再把这个坐标 简单求一下啊，这个 a 点，这个 a 点啊，我看一下啊，这个 a 点是二到三，二到三， b 点是个六到一，这个 ab 能求出来了啊， ab 旋转等于 b 得等于二根五， 所以这个知道是二点五，是吧？这个解析式是 y 等于负的二分之二， x 不是， 我看啊，一次解析式加四加四啊。所以这个 c 点的坐标它是 y 等于零吗？ y 等于零的话，这个 c 点的坐标是个八度零吗？ 所以这个 b c 的 长度 b 点知道， c 点知道 b c 的 长度是个根五是个根五啊，所以这是个根五，这是个二根五，这不一比二了吧，所以这是个一比二。看了吗？这个 c 是 个八一比二。这个 m 点坐标不就零度十六了吗？ 这个 m 点坐标就是零度十六了啊，这个 c m 的 解析是 过零度十六和这个八度零，解析式是负二 x 加这个十六，看到吗？这个解析式出来了，球不是和双区这个连理吗？ 二分之这个六连利连利解方程组得啊， x 一 等于四减根十三， x 二等于四加根十三啊，带进去这个 y 啊，就等于八加二跟十三带进去啊，这个 y 二 就是个八减二跟十三是吧？所以这个球的坐标球一是四减跟十三，到八加二跟十三，球二是四加跟十三到八减二跟十三。两个答案， 两个答案啊，我如果写的不清楚的话，这个二幺幺的答案有自己看一眼就好啊，题目不是很难数不成而已啊。

morning， 小 伙伴们，接下来我们来看一看这个主流临考的题目哈，这些地势去年都是考了我们的这个省卷，对于省卷这个题，它的难度并不大，主要考察的是角分线辅助线，然后结合了切线的判定原理，带有一点点解三角形的问题。 那我们来看一下这个题目。嗯，这个题目在这里。好，这个题现在是怎么回事？小伙伴们，我们来读一下。题说给定了三角形，然后 a 是 在圆上，在圆上 好，紧接着边和它相交。第一个有用的条件给的是垂直，已经标注了。第二个有用的条件给的是角 分线，是角分线上的点到角两边的 距离相等。也就说这个题极有可能可以考角分线辅助线。为什么？因为已经给了 c， d 是 垂直于 a d 的 这个题我们是可以过点 c 往 a b 沿垂直的。所以这个题如果你是以角分线的角度来做的话，这个题读完题，我们先把垂直给它做上去。 啊，这样是啊，我们可以用铅笔先做一会，有一个便利线。好，在这里我做了个垂直之后，是不就有轴对称，全等角分线辅助线当中的一类？好，我们再来读这个题。这个题第一问让我们正切线， 要正切线已经有了 a 在 圆 o 上，其实他倒扒皮来说，让我们正的就是 o， a 要垂直于 ab， 也就是 这个题是已知半径，需要正垂直。那么如何正垂直呢？刚才我们才说这个 c e 是 垂直于 ab， 这叫角平分线的性质，也就是说，如果我能证明出我的 o a 平行于 c e 就 行了。 这时候我们想到了一件什么事，我们想到了角分线加平行线等腰 b 乘线，那么在刚才的过程中，事实上如果上面叉子叉子相等，是不是这里就会有圆圈？圆圈相等， 由于 o a 是 等于 o c 的， 那么整个的这边这个大角是不是也是圆圈？角分线加平行线是不是等腰 b 乘线？ 那么实际的证明过程中有没有必要这么麻烦呢？其实也没有必要，因为我们把模型找到了，但是并不意味着我的所有证明 必须死八百的，按照模型分毫不差。所以在这里我们怎么来证明我们的模型是为了先把图给做出来， 不是做出来的原油就是在这，我可以过这个位置做个垂直，做个垂直之后有什么好处呢？我的目标是证明这也垂直，也就是说我的目标其实是证明这个角等于这个角等于这个角，只要能搞得定这个事就可以了。怎么说明这个事呢？ 底下这个部分我们是不是可以用什么呀？底下这个部分我们可以用轴对称全等稍作说明，上面那个部分可以利用 o a 等于 o c 进行说明，然后一导角就有内错角相等，或者说直接使用角 o a c 等于角 a c e 去使用互余条件，导到了它俩相加的加和也行。然后我们说模型是这么做的，同学们有没有必要就是有没有可能 我们不用模型，他也是可以做出来的。有，也就是说这个题，其实这条辅助线是因为我读到了那个条件才要添加，事实上这条辅助线的存在是让我把问题给想复杂了，所以这个题如果不添加辅助线能不能做？也就是说 刚才想给诸位说明的是什么？刚才想给大家说明的是，我们最基本的就是可以利用我的模型 来把这个题一定要做出来，但是有时候模型可能会变得繁荣，这时候怎么办？ 我的核心目标是要证明这是垂直的，这个是叉子，这个是叉子。好，那这个时候是不是就有这个角是圆圈？叉子加圆圈等于九十度，这是不是也是圆圈？叉子加圆圈等于九十度？你会发现刚才我们的过程曲折而涝远， 但是这防不妨碍我们考试的时候能够快速的解决问题，不妨碍也就是模型其实是兜底的行为。好，紧接着同学们，那我证明完 接线之后，给定了圆 o 的 半径是二，给定了这个角是四十五度，那么这个就是二，这个就是二倍的根二，紧接着半径是二的前提下，求 c b 的 长，这个题就是送分题。好，这个题就说到这，主要是说第一问怎么去思考，用模型思考和极简主义的思考方式。

好，同学们，我们今天看一下二零二五年济南中考数学的压轴第十题，选择压轴， 那老师教你们如何去丝滑的秒杀这道题，好吧，为什么能秒杀呢？你要从我们的题目调整中获得尽可能多的信息，那我们读题已知二次函数顶点坐标是 v， 那 由这个坐标你能够得到哪个信息？我们可以得到 它的对称轴是负一，对不对？这叫什么？对称轴？对称轴是负一，也就意味着负的二 a 分 之， b 等于负一，那消掉符号之后，得到一个 b 与 a 的 关系， b 等于二 a， 那这是由第一个条件得到的，那再往后走，并且呢过一斗零，零勾 m， 那 我们接着一个一个看，一斗零，我们可以得到什么？由这里我们可以得到两个信息，哪两个信息？同学们好好体会一下。老师说的第一个信息，你能不能把一斗零带进去？ 一逗，零带进去就是不是 a 加 b 加 c 等于零啊？这是我们非常常见的一种，是吧？关于函数性的一种 方法，一种思路吧。把一带进去得到这个式子，那由前面我们得到 b 等于二 a， 那 b 等于二 a， a 加 b 就是 三 a 加 c， 三 a 加 c 等于零，那由此得到 c 与 a 的 一个关系， c 等于负三 a。 好 了，由这两个东西，你一定要就有一个思想了，由它两个东西，那我们能得到什么呢？ a、 b、 c 三个参数，我们可以做到的一个东西是这样的， 别管后面用不用得上，你一定要有这个思维，我们就可以干什么了。 交差就是把参参数变少三个未知数，你可以通过这两个式子变成一个了，别管用，不用到，用不到，你一定要有这个意识，明白吧？好了，还没完。那第二个坐标还能载入什么信息？ 它不仅可以载入式子，让我们得到一个关系式，它还是一个什么？与 x 的 值是一个交点呀？ 那一个焦点是一到零，我们还知道对称轴是 x 等于负一，那你是不是得到另一个焦点啊？能负一到一，距离是二，那左侧距离为二点，是不是负三到零啊？那它是不是第二个焦点？这两个与 x 轴的焦点 是不是都出来了？两个交点？那第三个是坐标，能给我什么呢？零轴 m， 说明这个 m 就是 谁啊？就是 c 啊，零轴 m 是 不是这个是与 y 轴的交点？ y 轴交点， 这是我们通过这个式子分析出来的结论，对不对？没有问题吧？好，那我们继续。最后 m 怎么样？ 大于等于三，小于等于四，其实也就是告诉我们 c 大 于三，小于四是这个意思不？ 这才叫把题目分析完，能听懂吗？那分析完了之后，我们来解题，直接秒杀，怎么秒杀二一？关于这个 x 的 一元二次方程有两个不相等的十根， 那这里肯定不可能用 third 去这么多字母，那根的问题在这里此刻转化为了我们的焦点。问题是不是我们把前面这个数字变形，就是 a， s 方加 b， x 加 c， 等于 n 减一， 有两个不相等的指数根，也就是说这个图像与 n 减一，有几个焦点的问题。那说到焦点你就要干什么去了？ 画图了吧？还是？问题最主要的思想就是竖形结合，不可能不画图的啊，那我们此刻开始画图，前面我们都是分析的数的规律，后面我们画画图就知道了。来，画图，很好画，怎么画？我们看一下。 好一个焦点是负三，负二，负一，那一个焦点呢？稍等，有点不均匀， 负三负二，负一一，那我们的顶点坐标是负一揍 n， 对 不对？负一揍 n， 这个 n 就是 这里的 n 啊，负一揍 n， 大家能看到吧？这里的 n， 负一揍 n 好 了，然后呢，这里是负三揍零，一揍零，这个到底是负三揍零，这个到底是开口向上开口向下呢？这个到底是开口向下呢？ c 是 不是知道呀？ 那么看前面 c 是 不是大于三，小于四啊？那意味着与 y 轴的交点是在这个位置大概的啊，大于三小于四，一二三四在三到四之间随便取一个，那由这三点连起来的曲线，那肯定是 这样子了，同学们，对不对？这样子我们马上能知道它的开口向下，所以 a 写为零，这个是你是要马上就能反应出来的。好了，图像出来了，这个最高点对上，这个数是几啊？ n 对 不对？这个最大，这个最大值是 n 是 吧？最大值是 n， 它说 n 减一， n 减一，就是往下走一个一，往下走一个一，一定有几个焦点，两个没毛病吧？所以圈一是 对的，那圈二呢？ x 大 于一时， y 的 x 增大而减小没问题，递减呢？ 二是对的，那三呢？问 a 大 于几，小于几？那好了，同学们，你不要没有思路，思路其实都在我们分析的条件里，那你去看他是不是问了一个范围的问题， 对不对？那整个题干中和范围有关的有大于号，小于号，条件只有一个，哪一个是不是这里？那肯定是和这个式子有关，去解呀，那我们就来看呢，他说 c 大 于三， 小于四，然后，但是下面让我们求 a， 那 好办了，具体用哪个式子？用这个式子怎么样？把 c 和 a 串起关系来，那么由前面知道， c 大 于三小于四，对不对？ c 大 于三小于四， c 等于负三 a， 那 这个式子变成了负三 a 大 于三小于四，没问题吧？ 那 a 怎么办呢？除个负三就要变号，相当于大于负的三分之四，小于负一好了，是不是里面这个答案没问题啊？所以我们的三是对的。那怎么思考出来的呢？很简单，你做题一定要去理解基础性的逻辑， 他给的是一个范围，那权文中和范围有关的就这一个式子，那肯定和这一个式子有关，那和这一个式子有关，人家是 c， 这里叫 a， 那 就是要找 c 和 a 的 关系， c 和 a 的 关系，在这里秒出答案，对吧？就这么简单，那最后一个呢？ 啊，不对，第四个，第四个怎么出？那也很简单啊，他是不是让他判断他与零的关系啊？ 你直接消它，把 a 和 c 都变成 ab 和 c 都变成 a。 四 a 减二 b， b 是 几？ b 是 二 a 减二 b， 是 不是减四 a 啊？加 c， c 是 多少？负三 a， 那 加上个负三 a， 它最后得出的是几啊？四 a 减四 a 消掉了，还剩个负三 a， 那 我们前面已经得出了， a 是 大于零的， a 是 大于零的，那负三 a 肯定 哦， a 是 小 a 零的。不好意思， a 是 小 a 零的。说错了，这里看，我先看 a 小 a 零，那 a 是 小 a 零的，那负三 a 就是 大于零的，所以圈四是对的，没问题吧？好，括号五，括号五， 我们说 t 加一认识数， t 加一 a， t 减 a 加 b 小 于等于零。这么多字母，又有 t 又有 a b 怎么办？我先消一个还是消餐，能听懂吗？同学们，怎么简单怎么来，来消一个消就是把这里边的谁替换掉还是替换 b 啊？ 减 a 加 b 就是 加二 b， 加 b 就是 加二 a， 你 这样多简单，消掉之后，前面是 t 加一，后面变成了什么？ a， t 减 a 加二， a 变成加 a 了吧？ a t 加 a 是 不是能把 a 提出来？ a 提出来之后，里面变成了个七加一，再乘个七加一是七加一的平方，七加一的平方一定大于等于零， a 是 小于零的，所以大于等于零就变成了小于等于零，那圈五就是正确的。好了，五个都对，所以选 a 了解，答案就这么简单。 那你说老师为什么做的这么顺呢？给大家总结一下，第一，你一定要对我们的 题目信息进行充分的翻译。第一个坐标我得到了对称轴，我还得到了 b 与 a 的 关系。 第二个坐标结合第一个我得到了他的另一个 x 轴焦点坐标我还得到了 c 与 a 的 关系。那第三个坐标我知道了， m 就是 c， 那 c 的 范围呢？就是大于三，小于四。 第一，这是我们获得更多的信息，在题目中一定要反应，反应出来，那怎么反应出来啊？跟着老师多练，听懂了吗？第二，你要去画图，函数问题一定要数学结合，掌握了这两个方法，慢慢的去消餐，去消餐， 去看题目条件就做出来了，就这么简单。好吧？大家再好好看这道题，行不行？我们今天讲到这。

好铁们，那么来看这个题，这个题夸这种，其实我也已经讲过很多遍了啊，仍然成立，那证明方式还是用我们的手拉手，对吧？连上他之后，他也是一个等腰直，然后左连左连上， 对吧？右连右连上，这两个红色的大小全整全整就整出边相同来了。角相同，怎么去整来着？正角度手拉手，以正角度用 八字啊，正角度用八字，再由全等可值这俩角往外放线，你会发现它会形成一组八字形的 啊，八字型是吧？八字型的话，这俩角相等，这俩角叫对应角对顶角相等， 由于三角形的角和一百八它俩相等，它俩相等，那就会有它俩相等，右边这个是直角，左边这个也是直角，那就这么出来了，对不对？好，那么重点看第三个 a、 b、 c 是 等腰直角三角形等腰直， 然后呢？嗯，下面有一点 d， 这里也是个垂直，告诉我们 a、 d 是 四根二，让我们去求这个面积的 最大值，这个面积的最大值，我们怎么去求呢？很多同学没思路，对吧？好，没思路就要记住老师这句话，老师一直在强调几何题前后都是 依以贯之的解析思路，前后会具有一致性，会给你一些提示，对吧？前面一直是一直是等腰直的手拉手，后面还是等腰直，那肯定也要利用手拉手， 那有的人说只有一个等腰值，怎么去利用手拉手呢？所以只有一个的时候，肯定需要我们去干什么呢？去构造前等腰，去构造我们的手拉手，那怎么去构造呢？同学们怎么去构造呢？我们来看， 肯定要先找到共零点，这个点点是共零点，要用上这根边，要用上这根边的话，那就怎么样？我这做个垂直啊，做个垂直， 那做完垂直之后呢？我们截取一段长度，使得它等于四根二，这个点我们可以记为 e， 此时连接要连接谁啊？连接第 e， 连接第 e， 构成一个等腰值。有的人说我连接的时候，它是不是这个共线的关系呢？ 啊？是不是贡献的关系呢？那我们来看一下假设说，你就可以说直接说连接连接第一，我教你怎么去写这个过程啊，你要写 你就怎么去写，你要证明什么？你要证明他们贡献才能用呀。不贡献，这不是白扯吗？怎么去证明这是贡献呢？哎，你是不是有点不太好证？ 是不是不太好正，我可以告诉你道理，但是这样的过程不太好去写。你看，如果连上它之后，左连左 左连左，右连右啊，那这两个三角形怎么样？全等，那它加它是多少多少？它俩相等是吧？它俩相等要正，这里是共线，对，它俩相加等于一百八。 实际上他俩先加等于一百八吗？等于，为什么？因为这里是九十度四边形，内角和是三百六，他俩先加等于一百八，他俩先加也等于一百八。而这个角等于我们手拉手拉过来的，这个角他俩相等，所以这个角加差也是一百八，所以不选。 但是呢，这个过程写比较难写，所以我们这得换一种手法，同学们，我们不这么去 这么费劲的证明贡献呢？这个贡献比较难证明。那这个过程怎么去写啊？我可以换个思路。那我能不能直接延长呢？延长过来铁定贡献，对吧？然后我再在这里做一个 垂直，叫一点 p， 这时候你会发现我是延长过来的，叫一点 p。 那 这个长度是多少我是不知道的，这个长度是不是四根二，我是不知道的，对吧？那这时候怎么办？我要先去证他是四根二， 要去证他是四根二，就要证他俩怎么样？全整全能好着吗？我们写一下，第一步， 构造完之后，我们要去正三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 c。 好， 这么捋一捋，首先， 首先啊，这个垂直，这个垂直减去公共角，它俩是相等的，对吧？嗯，这个角和这个角是相等的，减去公共角 一个角了，然后这个边等于这个边一个边了，还需要一个角，那那个角怎么来？就是我们刚才推着来，它俩相加等于一百八四边形的角和三百六，所以它加它是一百八， 它加它是一百八，这个啊，这个加它也是一百八，所以它俩就不能等。那 a、 s、 a 这两个三角形全等了吧？全等了的话，这就是四根二，那这是四根二，之后它就是一个等腰直角 三角形了，没问题吧？就完它之后我们就可以推出。谁啊？三角形 a、 d、 p 是 什么？ 等腰直角三角形，那它是等腰直角三角形。我们怎么去找这个面积呢？它俩全等，我们也证完了，是吧？我们标一下它俩全等， 我们也证完了，那怎么去表示面积呢？面积仍然是没有思路呀，是吧？ 是不是这个面积顶多写成二分之一 x 乘 x， 那 x 等于 x， 那 就是二分之一 x 乘 x， 这是四根二，这是四根二，我们能求出这个是八来二分之一， x 乘 x 什么时候最大？我们也不知道呀，起码现在没学过呀，是吧？那怎么办？ 所以你走到这一步大概能拿个两分，兄弟们，后面的这两分有点难拿啊，需要理解啊，需要主动去这个找的过程比较困难。那我讲一下，你们理解就好，听懂即可，行吗？ 好，来我们继续讲。后面的过程比较麻烦，我今天给大家讲了啊，来看这个和这个，既然全等，那面既然考的是面积问题，我们就去面积的方向去想，那他俩的面积应该相同，那不变的是谁？不变的在这，我们能求的面积是哪个？我们能求的面积是不是它呀？ 他这个面积能求啊，这个面积求出来能怎么用？由于他等于他，所以这个面积是他加他就变成了他加他，那就变成了这个的面积，对不对？ 我写一下，大家可以理解啊， s 三角形 a、 d、 p 的 面积是可以求的，它求出来可以分成 s 三角形 a、 c、 p， 加 s 三角形 a、 c、 d， 但是它呢？对于我们来说没有用，我们要往这个地方扣，所以我们就把叉换成叉， 就变成了 s 三角形 a、 b、 d。 怎么换的？因为全等呀，加 s 三角形 a、 c、 d， 它和它全等，对吧？换过来之后就等于 s 四边形。四边形谁呢？ a、 b、 c、 d， 是 吧？那这个四边形又等于什么呢？这个四边形的面积又等于 s 三角形。上下分 a、 b、 c， 加 s 三角形 b、 c、 d。 好 了， 你来看它这个定值，这个定值是多少？二分之一乘四根二，再乘一个四根二，是吧？十六，那也就意味着它是十六，也就意味着它是十六。来，我们来看它俩相加等于十六，我们要求的是它的什么值？ 我们要求的是它的最大值，这什么去求呢？它俩加起来既然是一个固定的值，要求它最大，我们只需要求它怎么样，求它 最小就行，是吧？是不是可以这样转换？那这个转换的过程， 这个一整个转换的过程，是我们在本题中比较难理解啊，基本上想不到的一个过程，尤其是最小转最大的问题啊。在现在我讲完之后，你理解了， 你理解之后求它最大，就是求它最小。那 abc 的 面积什么时候最小呢？我们写一下啊。 s 这样写， abc 等于二分之一底乘高，它俩相等，那就等于乘一个 a、 c 的 平方，而 a、 c 什么时候最小？ 你看，既然这个算式是固定的，我们可以理解为 c 点是这个上面的一个洞井，是吧？ c 点是这个上面的一个洞井，那 c 什么时候最小？ a、 c 什么时候最小？如果做垂线 c 点在那时候， a、 c 最小，最小是多少？四根二，除个根二，这两都是四，所以它的面积最小， 面积最小应该等于多少？应该等于二十一乘四的平方就等于八。好了，那它最小是八，那它最大也就是八，是吧？所以 s 三角形 b、 d、 c 最大值是多少？十六减八等于八，那这就是我们本题的全部解的过程。 那你需要掌握的是在考试的时候能够做出这个构造手拉手的一个动作来，那这里呢？有一些轻微的变化，我们为了处理这个贡献，换了一种啊，换了一种辅助线的构造方法。 其次呢啊，这个地方多去理解掌握这种面积转化的思想，积累一种啊解析思路，最后了解整个解析过程即可。好吧，这就是我们本题的全部解析过程。

小伙伴们，好，接下来我们来关注东营这道真题。东营这道真题相对而言也是比较 easy 的 一道，它主要考察的是什么？考察了直径对直角，考察了心切角定律，考察了近比射参考，查了 这个相似问题的使用，所以在这里我们就相似问题，其实还可以在这个题说成是解直角三角形问题， 虽然我在这写了圆的内接，四边形的性质等等，其实也可以不用，这就是刚才那个题一样，尽人尽志。好，那么我们这个时候就来看看这个题怎么个事好。这是东营的这个真题， 这个题目也比较简单，我们短频快的对它进行处理就 ok。 然后首先第一个条件上来，开门进山，直角对直角我们是喜欢的 好直径对直角，然后给定了这个 c 是 异于它的两个点，给了一个很重要的条件，是什么条件？这个其实是弦切角定里。弦切角定里描述的是什么？孩子们， 指的是弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半。 过去我们是已知切线，从而说明弦切角的性质，那么现在他给了弦切角的相等， 你看第一问正什么？第一问果不其然，给定了这个垂直之后，第一问就正切线，那么这时候怎么办呢？孩子们， 那你弦切角的证明和你已知弦切角去证明切线的这个证明其实是一个互易证明，那么在这个过程中其实很简单，只需要连接谁，把半径连起来，对于这个题来说就结束了。为什么？ 因为等边对等角 o c 等于 o b 叉子叉子，而直径对直角叉子加圆圈等于九十度， 你这个斜切角的位置 dca， 虽然现在还不能说它斜切角，因为我们要证明它是斜切，那你 dca 和你的 abc 相等， 是不是利用这个互余关系的一个导算，这儿就垂直。所以第一问就是已知半径的情况下，证明出垂直，然后就是九十度，也一定要把落焦点落在垂直。第一问就结束了。 这个题的第一问考察的其实就是给定了斜切角的关联性，去证明切线其实是一个互逆，证明关联性好。紧接着第二题，第二题上来给了 o a 比， o b 是 二比三。 简单点，说话的方式简单点，你搞得挺诚意的，你是想给我它和 o d 的 比吗？不，那不给的是 d a 的 比吗？近比射餐，辣么哒， 二朗的二朗的。事实上，我把这些都写完了之后，会有同学会想，哎，老师，这题是不是考切割信定律直接结束？他考什么？是以条件儿作为牵引， 我们是在登山孩子们，而你所有的条件儿就是从你的绝壁之下垂下来的藤条儿，你得攀援着藤条儿来登顶。 所以到底考什么，我们除了它可以用什么之外，你给我架个云梯行，你给我直升机也行。但是现在这根藤条说的是 b e 是 等于十，那你 b e 等于十怎么用呢？同学们，你不要忘了一件事，他刚才给的是 o a 比上 o d， 其实这个也是二郎的。 换言之，也就是说，对于这个题来说，在我证明完第一题的切线之后，第二问可以用 a 型相似来进行证明， 也就是说怎么使用 a 型相似呢？或者说我可以用这个角 sin d 来证明。 哎，你不想写相相似过程，你就用三 a d 来证明啊。因为你的 o a 是 等于你的 o c， 你 的 o a 比 o d 是 二， o d 是 二比三，所以你的三 a d 就是 二比三，而你的三 a d 对。 这题进笔设参之后，它是十比上五拉姆达， 所以这个题的拉姆达就可以求出来拉姆达 d a 的 值是三。我们来核对一下 a 就是 这个答案。 也就是说，条条大路通罗马。既然你的圆是平面几何及大乘者，那么其实遇到圆根本不用慌。为什么？因为我们收拾它的方式，途径，路径思路非常多。好，这个题我们说到这，同学们，感谢！

好，同学们，今天我们来看一下二零二五年济南中考数学的第二十四题，二次函数的这一道，那其中的第三个呢？基本上是本套试卷中最难的一个地方，那么依次来看一下， 他说二次函数 y 等于 x 方加 b， x 加 c。 好 了，两个参数，两个字母经过 a 三逗零， b 零逗负二，两点好了，两个坐标，两个坐标带进去，第一问就出来了，对吧？两个参数就出来了，有几个参数带几个坐标。那第一问的答案是什么？它的解析式是， y 等于 x 方减二， x 减二，由于它要求顶点坐标，我们给它配一下方，配完方之后是 x 减一的，平方减三，那所以 g 点坐标为一朵复三，这是第一位。好，我们看第二位。 第二，他说将这个函数沿 s 轴方向偏移 n 个单位， n 要大一点，这里面有两个起点，不知道大家没有看到，一定要注意啊，做题的时候一定要关注 s 方向，他说往左移还是往右移了吗？朋友们，这种东西一定要敏感啊，他是不是没有说，没有说这个地方就要进行 分类讨论，听明白没有？没说的地方，不确定的地方就是分类讨论的点。第二，他说 n 大 于零，那你最后的时候记得把 n 小 于零的那个结果给排除掉，对不对？好了，这是我们要关注的两个点， 那平行之后呢？得到一个新的函数图像，而这个图像当 x 大 于零小于三时，最大值是八，求 n 的 值。 好了，从这里我们还要反应出来一些题点，一些要素，这就是审题。怎么样把题读好，零到三，零算题，零的话，我们看图，零的话不就是 y 轴吗？那三是在哪？三是不是在 a 这个点啊？ a 点的坐标是 三到一，那就在零到三之间，在 a b 这个区间之间呗，大概这一块最大值是八，那目前而言最大值是几啊？一，那怎么样出现八呢？就是我们要考虑的点了，这里需要给大家再拓展一个知识，这个地方最大值的问题， 我拉下来吧。好吧，拉下来。如果在一个区间里，对于一个函数而言，什么叫区间？就是他不是针对所有的实数，就是从最小到最大 x 随便选，比如说在你的零到三之间，他就叫一个区间，在一个区间范围内，如果让你求最值， 那这个最值往往在哪里出现呢？大家记住，这个最值，不管是最大最小，往往在两个地方出现，第一在顶点处取得， 第二在端点处取得，大家能听明白吗？然后写在这里有点影响读题了，那我写上面去，也就说 不是针对一整个函数的最大值啊，是针对一个区间范围内的函数最值。问题不管最大值也好，最小值也好，那在哪里取得呢？就在哪里取得取得这个数呢？第一就是我们的顶点处取得， 第二就是我们端点，比如说这个零到三，要不在零，这要不在三，这基本上就在这两个地方取的，一定是在这两个地方取的，能听懂吗？好了，这一个题点，那我们来做一下这道题好了，我们要分类讨论，那我们就先分类讨论，先向左平移吧，都可以啊。第一种情况，向左平移， 这个平移平移完了之后的式子变成什么了？ y 减一，左加右减， x 减一，再加 n 的 平方减三，这是平移完之后的式子。好了，平移完之后，你可以大概画一个图，往右移一点，可能有点不标准啊，往右移一点， 你说往右移一点，在一到三这个区间，我用黄色笔画一画，在这个区间内，从哪个地方起到最小， 最大就最大。那我们看在之前的时候，在之前这根线的时候，是不是三离着对线轴更远一些？三这个地方本身就取到最大了，那再往左移，是不是三离着对线轴，我们的对线轴更远了，三更远了。 所以最最大值在哪取得？在三个取得呀，因为开口向上，所以离得越远值越大，是吧？开口向上，接着给它写成，由于它的开口向上，所以这些函数值为它越远了，那你取得的数越大，是这个意思吧？所以此时 当我们 x 大 于零，小于三时，最大值在 x 等于三处取得。取得 有问题吧？能听懂吗？同学们？最大值一定是在离离最深轴越远的地方取得的。本身一开始的时候， b 点就近， a 点就远，所以 a 这里最大，那它再往右挪，那它再往右挪了， a 这里就更大了，能理解吧？所以最大值一定在 x 等于三次取舍取得。那也就是说令 x 等于 另，我就写字了，另 x 等于三， y 就 等于三减一，加 n 的 平方减三，这个数要等于最大等于八，对吧？那你解出来之后是 n 等于多少？ 解出来之后， n 等于正负，先向十一减二，又因为我们说 n 要大于零，所以 n 此时等于根十一减二，把负的舍掉，对不对？这第一种情况，我们再来看第二个，向哪平移？向右平移， 向右平移好了，我们把原来这个图拿掉，向右平移到这来了，那到这来了，谁大谁小呢？ 不好说了。为什么有同学说，老师他有一个过程，你看你说呢？原本的时候在这的时候是在三处大，那我越往前走，三变小了，一，这边又越来越大了，那到底在哪取呢？ 那你就得分析分析过程了，同学们看一下啊，我们这个东西从这往这挪的时候，你看 a 最大，三处最大，是不是就是长那个值就是几啊？一再往前走，越来越小，越来越小，一直到最小值，对吧？就是说它最大只能取到一， 而对于这个零处而言，它越往后，越往后越大越大，所以这个最大值一定在哪取得？在零处取得的，大家能理解这个过程吗？你分析分析，它往那挪的时候在哪取得？一定是在左边的，因为右边不可能取得八，八这个数它根本就砸不到，就算砸到也是谁先拿到， 谁先拿到，零先拿到，是吧？向右平移时，它变成了什么？ x 减一，左加右减减零的平方减三。那此时当 x 等于零处 去到 a 点，零去求，也就是令 x 要等于零， y 就 等于零减一，加 n 的 平方减三，这个数要等于八，那此时我们解出来的 n 等于多少？ n 等于正负，根下十一，怎么样？ n 减一的平方等于它正负根下十一减一啊减一。那又因为 n 要大于零，对， n 等于根十一减一，那两种情况都写完了，所以你最后来一个。综上 所述， n 等于根十一减二或根十一减一，这个题就完了啊。第二问，第二大问的第一小问，这个地方不难。好的，就是一个分类讨论，然后求一个区间最值。 第一小题的考点就这两相对，草顿区间对折在哪取到，能理解吧？能理解吧？好了，如果你这里可以接受，那你中考的时候拿到这些分数，足够了，朋友们，足够了。第三问，你看看他有几个字叫什么， 直接写出，为什么直接写出？是不是难度太高了，你过程不好写才是叫直接写出。遇到这种题，你考试的时候你就过了，不做了，先做后面再说，对吧？这种题我四分丢掉怎么样？那还一百四十六呢，所以要抓大放小，明白吗？ 考试的时候，那么现在的话呢，虽然我们不在考试中，所以我们肯定要分析清楚这个题，后面不要烧脑，大家打起精神来啊！我们来看一下， 如图二，他说沿直线平移，沿什么图像沿直线平移，他都不是前左右平移，左右叫沿着 s 轴，他也不是上下平移，这叫沿着 y 轴，他沿着这条直线平移，难度系数飙升，是不是这个道理？朋友们， 并且呢，他还没有说方向，既然没有说方向，这里我们还需要再去分类讨论，平移就很麻烦了，还要分类讨论，做这个题就更麻烦了 啊。填一完之后， a 点、 g 点对应的点分别是 a 撇 g， 那 连接 a g 撇 a 撇 g 交于点 m， 然后呢，若 tangent b m g 等于三十一，直接写成 g 撇点做掉好了， 大家直接晕圈了对吧？为啥晕啊？又是沿直线平行移，又要分类讨论，最后还整出来一个 tangent 三角函数，那这个题还做个锤子，我做了是吧？读完题你还知道这个题难度高，好，我们来分析一下， 因为你有往上有往下，它出现这个 tangent 的 值是什么意思呢？什么意思呢？所以你一定要理解出起点的意思，这个它的浅台词，明白吗？老师给你分析它为什么出 tangent 呢？出 tangent 的 第一点，它是不是意味着一定会有直角三角形啊？我们说它叫一定会有 r t 三角形吗？ 对吧？这个 r t 三角形能随便来吗？你什么时候见过在函数里去真的求一些正切值？很少吧， 对比零，斜比零，没这么做过。那这个正切值有可能是一个什么问题？角度的问题啊，有可能是一个角的问题，那么看整个图上就三个点， a、 b、 g， 我 大概你盲猜一下，它也得是个直角三角形， 然后才能去做这个题，甚至于说这个小角它就是这个三分之一，把这个角，把这个三角函数问题转化为一个等角问题才去求啊。我这不是马后炮的，人们一定要有这个思考量。在你什么时候见过中考题里让你去三角函数值对比零，一个一个写出来的？不可能，并且它还带着参数，带着字母， 所以他一定会变，怎么会变？我们就去推，又有直角，又有正切，那只能是说这三个已知点可以构成一个直角三角形，有一个小角是三分之一，他俩相等变成一个等角积，才有可能去解出来。这个逻辑能听明白吗？同学们， 这是我们的一个思考逻辑啊，一定要能听出来，那你如果后面不会去不去做，你把这个东西验证出来，把三角形 a、 b、 g 是 一个直角三角形给它验证出来，谁的平方加谁的平方等于谁的平方，那会也会得到一个一到两分的啊，咱们可以在这里抓一点分数。好了，这是我们第一个分析的点， 这就正确，到底怎么回事，要一个好的更加细节的认识。那第二个点就是我们刚才说的平移 移，那平移怎么去移啊？同学们，平移怎么去移啊？你看啊，我这里有这个图， 我这有这个图，它平移往沿 x 轴方向平啊，往上往上平移，像这样的电路器，我有智能设备还好转，你们没智能设备考上就用铅笔上往上转转的，明白吗？还得看焦点，所以不能这么去做， 不能去看图像，这里就要注意了，你看题目中它说是图像平移，但是它最后看的是谁啊？ a 点， g 点，所以点变成了 a 撇点， g 点，虽然它平移的，你可以把它理解为虽然是平移图像，但这最后用的是不是平移图像上的点啊？ 那么这个题就把图像的平移变为点的平移去做，好做一些点的平移怎么去做啊？把它给擦掉，我们来看一下，再放大一点点的平移， 这里也得挪一挪位置了，这里挪一挪位置，往这来吧。 第一个思考的点，你要通过给它规划一下转输出啊，稍等一下，第一个点，你要通过它的正切看出来它到底要让你干什么，嗯，要让你干什么。第二点是偏移，好，我们来看一下偏移， 那你说它平移的是 a 点和 g 点， a 点在这， a 点在这沿这个方向平移，沿直线方向平移，那是不是 a 就 在这个直线上往上挪就完了？那 g 也沿这个方向平移，是不是也是这样挪就完了？它俩 只要保证它俩挪的距离一样就行，比如它往这挪一截，它往这也挪一截，只要保证它俩挪的位置一样就行，对不对？好了，那其实就这样，那我们把这根线， 这里就是它小，保证它俩的斜率相同，保证它俩的斜率相同。好了， a 往上挪，我们多挪一点，免得看不出来。 a， 我 挪到这了， a 撇挪到这么一节，挪到这么一节，那 g 点我也沿着这个方向挪这么一节，这里这个叫什么点？ g 撇点，能听懂吗？同学们，沿着这个方向平移啊，平移完之后， a 点 g， a g 撇，我得换一点细的笔了， a 撇记 a 几撇，就这里，它们相交为一点，叫 m， 这个点叫 m， 然后呢，他说 b m g， 这个 b m g 等于乘以它等于三分之一，是吧？好了，我们把图画完，画的有点早了，为啥呀？ 你这个三分一不知道怎么去动啊？那还得先回到我们刚才思路，先验证一下，先验证一下那个直角三角形，基本上就是这样去连猜带证啊，同学们没有说，完全就是硬推出推出来的来第三问，我们先去，我们先去正一下，我们先正一下。正一下什么？正一下那个直角，那个角等不等于 三分之一来， a 点的坐标是多少来着？ a 点坐标，我们看一下三斗一， a 点坐标是三斗一，然后呢？ b 点坐标是零斗负二，如果没记错的话，然后另一个点的坐标是 g 点的坐标是一斗三。好了，我们验证一下百分之百还有多少？百分之百，百分之八十一，是这样的，我们来看一下 ab 的 长度，两点间坐标公式， ab 三点零三的平方加上个一减负二还是三的平方，那开出来是三根二，对吧？ a a b， 然后 a g a g 的 话，根号下 a g 的 话是三减一是二的平方，一减负三是四个平方，四加十六二十二根，那来再看 b g， b g 等于根号下零减一负一的平方，也就是一的平方，负二减负三，就像负二加三也是一的平方。哎，它推出来这个根二， 那么放，那么再给它放回去三三的九十八，这是根二十。好了，二加十八等于二十，满足勾勾点点。所以 这个地方是我在草稿纸上写的啊，你们不要写到杂七纸上。所以 ab 方加 b g 方就等于 a g 方，是不是就放它这个 g 三的地方？一定是的啊，一定是的，并且呢，这里的参证的角我们先连上，我们先连上黑笔吧，这一次 还是红 b， 谁是直角？这个是直角啊， a b g 是 直角， a g 是 斜边，所以 tangent 角 b a g， tangent 角 b a g 等于最比零，而 b g 比 a b 是 不是就是根二比三，根二 等于三分之一啊？那是不是就意味着，所以贪婪的角 b m g 就 等于角贪婪角 b a g， 既然它的切切值相等，所以角 b m g 是 不是就等于角 b a g 了， 对吧？你写完这些，两分给不到，咱起码也给一分，能听懂了吗？同学们啊，这块，这块 其实就是针对的我们的这个第一项，把正切问题转化为一个等角问题，是吧？那等角问题之后呢？我们看我们现在移移动是往哪移的？往上移的吧，其实就是第一种情况，情况一，沿直线向右偏移，对吧？第一种向右偏移 相乘除之后，我们把斜角用一下，它俩角相等，哎，它俩角相等，标一标这个角和这个角相等，来对应的同一根线段 b g 对 应的同一根线段 b g， 这俩角相等的，你能想到什么？ 从前所对的圆周角同弧所对的圆周角相等，那也就意味着，也就意味着我写的关键过程啊，因为考试的时候不用写过程，人家让你直接写出来，也就意味着 a、 b、 g、 m 四点怎么样？ 共圆圆，这个角相等是不是四点共圆啊？四点共圆，我们看看它的直径，直径是谁，然后看看它的这个什么是谁，直径是谁啊？然后圆心是谁？好找吗？好找呀，为啥呀？你看前面这里，它的相等是不是意味着这是一个直角上斜， a、 b g 啊？ 那 a、 b g 三点是不是都不动？都不动，那里面谁是长的呀？ a g 是 斜边， a g 是 斜边，就意味着你想想直径所对的圆周才九十度，所以这里的这里面的直径是谁啊？ a g 啊，同学们，直径是 a g 啊，那半径呢？直径是 a g 等于多少？前面等于二根五，它的半径二一吧，是不是等于根五啊？因为后面还有一个呢，是吧？圆心在哪？我们用黄色的 b 圆心在哪？ c 的 圆心是不是在 a g 的 中点上？大概在这里，圆心在这儿。好了，圆心在这儿。我们现在要去求哪个坐标？我们现在是不是要求这个 g 撇点啊？人说的，你怎么去求 g 撇点？你怎么去求 g 撇点啊？ 我们来看一下 g 撇点是根据根据谁动的呀？由于它是平移的，怎么去找呀？找关系啊， 不好找，还没思路。那原先这个点呢？知道吗？原先这个点我们定为，嗯？ abm 有 n 吗？没有 n， 这个终点定为 n 终点，知道吗？这个坐标是知道的。 n 点为什么？为什么？ n 点是知道的？ n 点不就是 a 和 g 的 终点吗？ f 一 加 s， 二除以二，三加一是 三，加一是四，四除以二十二，然后一加负三是负二，然后是负一。 n 点坐标是负二，二度负一， n 点知道 m 也是终点，那我们只能从中点下手了。你想想，它都是终点， m， m 点，它是不是始终是这俩的终点？ 那既然始终是它俩终点，它也一直在中点上运动，对不对？那你想想它是不是在中间这根线上运动，并且这根线是上下两根线的中间，能理解吗？ 能写吗？那这里我们去写写一下 m 点的一种轨迹，你先找到 m 点再说。找到 m 点了， a 点知道，输入 g 点就知道了，这也是终点吗？通过终点公式就可以找到了。 m 点的轨迹怎么去写？你看你先写一下 lab， lab 很好求啊，你去求求 a 和 b 点都一致，我们求出来 lab 是 多少呢？ y 等于 x 减二， 这是 l a b 的 运动轨迹直线。那 l、 g， g 撇呢？也好求，它为什么好求成呢？因为你知道一个点坐标，你还知道斜率就能求，看见没有斜率加一个点坐标也可以求，因为它们是平行的，都往这移动，所以一定是沿着这条直线，一定是平行的，斜率相同，我们求出来 y 怎样？ f 减四好了，那 m 点 m 点是在中间运动，所以 m 点所在的轨迹， m 点所在直线应该是什么？一个是减四，一个是减二，在中间，你直接写就完了。 y 减 x 减三，是这个道理吧？是这个道理吧。好了，那 n 点的坐标我们还知道，这里 n 点的坐标我们还知道是多少？二度负一 二六负一。 m 点既然在直线上，我们是不是可以设 m 点的坐标呀？没，没别的办法，只能设了。设 m 点的坐标为 m 轴， m 减三是这个道理吧。 那知道个 n， 知道个 m 的 坐标怎么办？它不是四点共圆吗？所以此时的 m n 是 不是要等于半径呀？同学们，它的长度等于半径，它这个关系式，那此时我们的关系式 就构造出来，怎么去写怎么去写。好啦，我们写一写两点间距离公式啊。 m n m 是 怎么写的？ n 的 我也写不了， n 的是二揍负一两点间距离公式，也就是根号下 m 减二的平方加上 m 减三减负一加一的平方，合起来等于半径等于五，那解出 m 来就可以了，对吧？解出 m 来就可以了， 解出来 m 还要注意点， m 要干什么？ m 要干什么？有限制啊，有没有限制？ m 一定得比谁大， m 一定是在右边，是吧？这个 m 点的坐标出来之后，再出七点坐标，嗯，是这样的， m 点坐标一定是在什么？已经是往右移动， m 点坐标一定比一大， 一定比它大。 m 点 m 点一定是在右边的，因为我们往右移动的，所以它一定比这个 g 点要大。棉袄帮助我们舍掉一些不合规则的数，让我们解出来看一下啊，这个是你能解没问题的啊，我就不给你们解了，我就给你们写答案。此时解出来的 m 等于二分之根十， 二分之根十加减二加减二，因为 m 要大于负一，你如果觉得 m 要大于一，你如果觉得不好写的话，你这样写， m 加二， m 等于二分之根十减二，怎么样呢？它肯定是小于一的，你给它舍掉，你如果觉得那样写不保险，你这样写也可以，明白吧。舍掉 m 点出来了，所以，所以 m 点的 m 减三是不是也出来了？所以 m 点的坐标为二分之根十加二，再减三，三的话，就是二分之根十 减一呗。二减一个三不是一嘛。 m 点出来了，又因为 m 为谁的中点？ a， g 撇中点其中的 a 呢？你也知道 a 点的坐标是 a 点，坐标是多少？三度一两点间钟点公式会吧， 就写出 g 点坐标来了，我就不给你重点公式就不写了啊，考试的时候你也不用写出去。 g 点是根十加一，还有一个负三加根十，这是第一种情况。 g 点坐标啊，能理解吧，同学们，我就这么算出来了。好吧， 这仅仅是第一种，那还有第二种，你看这四分拿的多多不容易，考试时候还要吗？那也可以不要的。对，好，给大家稍等，给大家复习出来。 嗯，稍等， 我给大家放到这里啊，给大家放到这里。这是第一种情况，第一种情况的图， 那我们再来分析第二种情况。第二种情况，那第二种情况会快一些啊。第二种情况往哪移的时候，沿直线向左平移对不对？向左平移，那怎么去做？好把它擦掉，下面有的啊，同学们，向左平移，我们重新画一下， 你看这个题麻烦吧， 复制过来。向左平移，你就沿着向左平移画呗。 a 点，我假如说也运动多一点， a 点运到这了 a 撇，然后呢，那 g 点和它差不多的距离大概在这， g 撇点在这，然后我们连上，连上 a 撇 a g 撇和 a 撇 g a 撇 g， a g 撇 a 撇 g， 没问题啊，连上它俩之后啊，这个点就是 m 点，那此时它说 b m g 还还不行，太靠近了，太挤歪了，那咱就索性再远一点。你记住啊，朋友们，这个东西没有绝对，你就再远一点就也可以，所以它挤到一半，你一会儿画图的时候还是看不明白了，那么就再往外一点，干脆我 a 撇直接跑这来， 我跑这么长，那 g 撇是不是就跑这来了？那我这样画它，焦点在外，怎么讨论都可以啊？我是不是看错了， m 点在这儿，此时它说 b m g， b m g 要等于 b a g， 是 吧？要等于 b a g， 这原本的 b a g， 那 么干推了它两角相等，然后呢，我们还知道 这个 b a g， 这个 b a g， 它是一个直角上斜，你看这个边角等于这个角，是不是？也是也是四点共圆啊，只不过此时对着同弦还是这根弦，是吧？同弦还是这根弦， 那这时候的四点共圆，谁变成那个什么了，怎么去画呢？四点共圆，它俩角还相同，那怎么去想？ 那怎么去想？他得变成对着的，那对着的呢？还得在一个圆上。你想想，我们画个圆， 我们在这画个圆，我们在这画个圆。这个情况和刚才不一样，刚才挨着好看，我们画个圆，他如果这里有根斜，首先这根斜，你看我们的直径是谁？直径是他，这不是直径，这就是根斜。然后呢？上面有一个角，那它指定的下面还有一个角和它相同， 尽管它俩是四点共圆，但共的圆就不是我们这个圆，共的圆就不是这个圆，是吧？那共的是哪个圆？ 你别管共不共圆了，那我们这样直接这样看吧，既然都对应的这个圆，它俩相同，那我拉过来，它俩是不是关于这个终点对称啊？ 能求出来就行呗，是不关于这个东重点对称，不是，这里也不是对称啊，它有可能这样角相的呢？也不是对称。那怎么去看来我们翻一下， 这里不是对称啊，朋友们，这里不是对称，因为这个这个角有可能是这样的，有可能 a 在 这呢， a 在 这呢，这里是 g 撇，这里是 m。 这个点我们记为 m 撇吧。刚才是 m， 这里是 m 撇吧，那它和谁对称呢？那这个对称的点到底是谁呢？ 可以告诉大家，这个对称点是 m。 为什么呀？还记得我们刚才说的不？ m 也在一条直线上运运动， m 在 谁啊？ m 在 中间这根线上运动，还记得不？ m 既然在这个线上继续运动，原来这边是不是有个 m 撇来着？这里有个 m 来着，这里的这个 m 的 这个角， 我和和刚才那个角和 b a g 相等，那这边还有一个和 b a g 相等的，你想想，它俩都在这条直线上，它俩才是铁定对着的，能理解吧？这俩角形铁是对的，所以这个点是 m 点，下面是 m 撇， 这个不难理解吧，同学们，这个我们就简单方法直接求了，不需要再去算一遍了。第二种情况下，我们可以知道的是什么呢？ m 与 m 撇，关于 b g 对 称， 准确的说，关我们设我们，我们设 b g 终点 为为谁啊？再找个字母，没用的， p q 什么的，没用的，第二个也用过吗？第二个也没用过，设为 p， 那 p 点是不是 b g 相加除以二， 然后标一标 b 点，原来是零度负二， g 点的坐标是一度负三，那 b g 的 中点 p 啊，这里的这个点 p 是 多少呢？二分之一，一加二除以二，负二加负三除以二，是负二分之五，那是不是 g？ 我 们 m 于 它既然对称，这又是个中点，所以 m m 撇的中点为 p 啊，中点为 p 对 不对？那中点为 p 了， m 又知道，我们刚才求出来了，二分之根十加二，二分之根十减一， m 知道的 p 知道的。通过终点公式是不是就能求出此时的 g 撇点来了？是吧，我就不跟你们求了， s 加 s 二乘以二， y 加 y 乘以二，那么此时解出来的第二个是负 减根式啊，减根式，然后呢？负九减根式，这是我们的第二个答案。那最后呢？你再写一个？综上所述， 把这两个答案写上就完了啊。再给大家标一下，两个答案是哪两个？嗯，一个答案是这个， 第二个答案，这是这两个答案。好吧，啊，这是本题，这是哪这是哪啊？能听懂能理解的就行，了解思路即可，不需要完成掌握。好吧，我们的目标就是什么呢？把前两位的分数拿到，拿到八分就够了，能听懂吗？同学们，好啦，这个题我们就要讲到这。

各位同学，大家好啊，我是姜老师，今天给大家伙讲讲这个二零二五年这个天桥区的数学三摸的这个压轴题啊，今天讲讲倒数第三个大题，这个反比例函数的二十三题啊。好吧，废话不多说，直接开始， 如图所示，一次还是反比例大于第一项线的啊。交点 a， 这个是二六三，这个 b 点六六六 n， 具体是啊，带进去这个 m 是 个六， 再把这个六度 n 带进去， n 是 个一，是吧？二六三和六度一往一次里带，这个一次是 y， 等于负的二分之 x 加四。 好了，第一位处理完毕啊，哎，第二位啊， p 是 y 轴上一点，点击 a p b p a b， p 的 面积是个十，求这个 p 的 坐标是个几，是吧， 来吧，这个点，这个点，咱叫 z 吧。然后呢，这个 p 啊， 肯定是正半轴一个，负半轴一个啊，所以咱就简单先划一个再说啊，咱先简单的划一个再说啊，再说啊。这个 a 点是个二到三， b 点是个六到一，这是个 p 点啊， 对吧？这个面积是个十啊，这个面积是十，所以咱用这个面积，看到吗？用这个面积， 用这个大的面积减了个小的面积就可以了啊。来这个大的面积，这个大的面积，因为这个 p g， 这个 g 点，它不是个四吗？依次接起试试， y 等于负的 f 乘以 x 加四，所以这个 g 点是个零度四，这个 p 点咱不知道啊，是个零度小数吧，零度小数吧，所以这个 p g 啊， 它等于这个上减下四减 m 的 绝对值，因为咱不知道它的这个谁上谁 p 和 g， 谁在上谁下绝对值就处理完了啊，这个面积，这个面积是 p g 乘以这个六串减去这个小的，这个小的是 p g 乘以二串 等于这个 a b p 十啊，十元分三倍的 p g 减个这是个 p g 等于个十，所以两倍的 p g 等于个十，所以 p g 等于个五，所以四减 m。 绝对值等于五， 所以四减 m 等于五，四减 m 等于个负五负五啊，所以第一个，第一个，这个捷德啊， m 等于负一，第二个捷德 m 等于个九，所以零度负一个啊，零度 九一个。这两位处理完毕啊，给大伙亲自把数算出来的啊，不废话，继续第三位啊，来第三位啊，将线段 a b， 这不是这个绕 b 点，顺时针转九十度啊，这个 a b 绕这个 b 点啊，绕 b 点啊，顺时针转，这不转九十度吗？ 转九十度啊，转九十度就得啊，得到这个比德比德九十度，这两个边相等啊，然后连接这个 c 的， 连接这个 c 的 啊， c 的， 然后你在翻倍的函数上是否存在一个球啊，这个球啊，使得 c 的 b c 的 b 啊，就这个角， 这个酒啊，喝这个 q c o 啊， q c o 啊，酒加起来等于九十度啊，加九十度，有呢，出了个 q 啊。 来吧，咱得先把这个球简单的划一下啊，咱把这个球先得简单划一下。这是 y 轴啊，这是 y 轴啊，然后我不说了吗？ c 得 b， c 得 b， 这个角，这个角加上球 c o， 球 c o 啊，球 c o。 来吧，球 c o。 哎，不大像啊，不大像，咱还得稍微的穴位的往上画画啊。穴位的这个破物线还得往上延延啊，外周往上延延。不是很像啊，不大很像。这，这差不多了啊，差不多了啊， 来吧，这个点，这不是个球吗？是吧？然后它和外周的这个角点是个 m 吧，是个 m 吧，这不， q c o 是 这个角啊，这个角，这个角 加上这个是个九十度，这是个直角方形啊，那这个角加这个角了吗？ 知道了吗？啊，来吧，这个题目说了，他只要稍微难点，他就往相似上就考去了，看到吗？来，这个堂兄弟们，看到吗？人家说的很明白，这个角 q c o， 这个角加这个 r 和九十度， 这是个正方形，阿尔法加这个角就是九十度，所以这个角等于这个角。这个角啊，咱把这个黄的给他画一下子画的啊，很明显在这个黄的里面有这个角，有九十，这个红的里面有这个角，有这十，他相似了，他相似了啊。然后再把这个坐标 简单求一下啊，这个 a 点，这个 a 点啊，我看一下啊，这个 a 点是二到三，二到三， b 点是个六到一，这个 ab 能求出来了啊， ab 旋转等于 b 得等于二根五， 所以这个知道是二点五，是吧？这个解析式是 y 等于负的二分之二， x 不是， 我看啊，一次解析式加四加四啊。所以这个 c 点的坐标它是 y 等于零吗？ y 等于零的话，这个 c 点的坐标是个八度零吗？ 所以这个 b c 的 长度 b 点知道， c 点知道 b c 的 长度是个根五是个根五啊，所以这是个根五，这是个二根五，这不一比二了吧，所以这是个一比二。看了吗？这个 c 是 个八一比二。这个 m 点坐标不就零度十六了吗？ 这个 m 点坐标就是零度十六了啊，这个 c m 的 解析是 过零度十六和这个八度零，解析式是负二 x 加这个十六，看到吗？这个解析式出来了，球不是和双区这个连理吗？ 二分之这个六连立连立解方程组得啊， x 一 等于四减根十三， x 二等于四加根十三啊，带进去这个 y 啊，就等于八加二根十三带进去啊，这个 y 二 就是个八减二跟十三是吧？所以这个球的坐标球一是四减跟十三，到八加二跟十三，球二是四加跟十三到八减二跟十三。两个答案。 两个答案啊，我如果写的不清楚的话，这个二幺幺的答案有自己看一眼就好啊，题目不是很难数不成而已啊。

好，我们来看一下二零二五年济南中考数学的第九题，不算很难啊，同学们，但是老师给你分析清楚，分析干净了，让你知道你自己一去做，怎么样，能想出来好不好？ 好，我们就提第一题，他说 c a， c b 上截取 c m， c n， 使得 c m 等于 c n， 然后呢？又大于二分之一半径做弧又怎么样？做射线？好了，条件一说了这么一大堆，其实就一件事，哪件事？ 说白了，它就是告诉我们 c、 d 是 什么？角平分线，是不是这个东西啊？它其实说了这么多话，就是这一句， c、 d 是 角平分线。来，我们把角相等标一标。 第二句话又是什么？大于二分之一长半径做弧，又做直线。第二句话也说了这么一大堆，其实就给出了一个条件，一个信息是什么？ e、 f 是 垂直平分线，也叫中垂线， 我们再再给它从图上翻译出来垂直，然后谁和谁相等， o， d 和 c o 相等。好了，说了那么多，它是不是圈一圈二，就告诉我们这两个条件，然后让给我们一些数，让我们去求线段长，对吧？ 来，我们把数标上， a， d 等于四， d， b 等于二，然后呢， bc 告诉我们是三根二。 好了，看到这里，老师马上反应出来一个东西，你们知道是啥吗？它是四，这我马上反应出来， a、 c 我 能求出来， 那为什么 a、 c 可以 求出来？因为这三个边给的太特殊了， c、 d 是 角平分线，两段都知道，这里就涉及到一个最基础的知识，基础模型啊，我写在一边角 角平分线 对应边，怎么样成比例？那这玩意是一个什么东西呢？给大家介绍一下。在三角形 a、 b、 c 中， 如果 a、 d 是 角平分线，那么就会有 a、 b 比 a、 c 就是 两条左右两个边相比，等于它这两个相同的角是对应的线段之比， c d， b、 d 比 c、 d 啊，这就叫角平分线，对应边乘比例的一个， 你不能说叫定力吧，你可以记它为一个模型，有这么一个东西，平时遇到这种题可以直接去用 好了。那这个东西怎么去，怎么证明呢？那有很多方法在这里老师先不给大家介绍了，回头我再给大家录一下，你们去看就可以了。好吧，我们直接用此处再讲就太多了啊，直接用 用的话，那就是四比二等于三，他俩是二比一的关系，那这个上面这个就是多少了，六根二是吧？ 那知道这些之后，让我们去求谁？求 a e？ 来，让我们看看让我们求的这条边 a、 e， 我 告诉你们怎么去思考啊？朋友们，怎么去思考？你做题不要太死板，怎么去思考才是很关键，当然要求 a、 e 怎么去求，怎么去求来。同学们，永远记住一句话，记住一句话，不管什么时候求，线段长也好，求，角度也好，你一定要把它放在什么里去看， 放在三角形里去看，听到没有？这句话一定要记住，放在三角形里去看，为什么？因为你只学过和三角形有关的东西，他单独一根线放在这，就没有办法去求。 那什么时候 a、 e 是 三角形的一条边呀？那目前是不是没有这条三角形，没有这个三角形，如果没有的时候，我们就去怎么办？构造，那怎么构造？同学们，告诉我怎么样连哪根线，它才能变成一个三角形？ 如果你想不到，很很好啊，有同学能想到，应该我们连接 d、 e， 只有这一个地方可以连了，没有其他地方可以连了，是吧？那连他我们还。如果你没想到，还可以从另一个角度去思考为什么想到他。好了，我们角平分线一共给我们两个条件，同学们看一下我们角平分线的条件是不是通过我们球线的长已经用过了，得到了六根二，你还有哪个条件没用？ 中垂线没用，你中垂线想用，除了他俩是相等的之外，你连上之后，这两根线是不是也相等了？那就给我们很大的 这个什么啊，很大的运营空间了啊。那形成三角形之后，你发现这两个边还都不知道怎么去解决呢？ 所以这里有两条路给大家走，两条路怎么分析都可以。来，我给你说我的第一条路，第一条路我就是方程思想，就这么简单，方程思想，为什么？方程思想求谁射谁？我求它，我就射它为 x， 那 下面这一段就是多少 六根二减 x， 它是六根二减 x， 那 这里是不是也是六根二减 x 啊？ 六根二减 x， 那 方程是想肯定是要去列一个方程的，列一个方程一定要有依据，那这个三角形三边都已知了，如果它是一个直角三角形，我们是不是直接用勾股定底就可以形成一个方程解出来了， 但目前他不是勾股定律，他用不了勾股定律。那你还能用啥和三角形有关的不是勾股定律，记住啊，不用勾股定律就用相似，听懂了吗？这就叫分析思路，顺其自然想出来的。那用相似，谁和谁相似 来这个三角形，有了这个三角形，有了和它相似的，好找不？很好找呀，很好找呀，哪一个 它俩相似？这里有个四，这个二大概率会去用的，你一看应该就能看出来。如果你没看出来，怎么去分析呢？ 只要证明它俩平行，就是一个正 a 相似呗，平不平斜啊，平行啊，用什么去正角平分线啊？这两个角相等，然后继而带来的是 又因为中垂线，所以，你看，我给你标一下，由于角平行，所以它俩相等，由于中垂线，所以它俩相等，那由此可以得到这个角等于这个角， 那内测角相等，两边平行，相似出来了，相似出来了，列比例关系就好了呀。四比几啊，比六啊，同学们，不是比二，四比六等于六根二减 x 比上个 三根是这样一个比例，这样一个比例你直接去解就行。解出来 x 等于几啊？二比三的关系，解出来啊，解就解。我就不解了，答案就是 四根二，六根二减四根二是三根六根二减四根二是二根二，约掉三分之二，前面也是三分之二，没问题吧。好了，所以我们的答案就选 d 选项，四根二很好想啊，方程思想，求谁射谁，然后去列就完了。勾股定律，列不了，就用相似去列，就这么简单。好了。第二个思路， 是不是有好多老师说你这样解，或者有很多学生说你这样解很麻烦，我们老师怎么解啊？直接擦笔擦都出来了，都不用去试。那就是这么去写。 就是 d e 比上个三根二等于四，比六等于 a e， 比 a c， a e 比 a c， 这里的 a c 是 六根二， 由这个相似后面这一段接着就看出来是四跟二了，没问题。你这样说对，但是我问你同学们一个问题，我往下挪一挪， 你这个相似，你是怎么想出来的呢？你画上这根线就能想到相似吗？ 如果能想到，恭喜你啊朋友们。如果能直接想到相似，就是如果你能直接看出来有个 a， 这些比例出来没问题，说明你的对这个模型，对这个几何知识的熟悉度更高， 这样做完全可以。所以我给大家提供的是这两个思路啊，如果有同学我没看出来，我就先去列方程，列方程的时候求谁确谁勾股定律不行就用相似还是一样，最后落脚点还是相似， 这就是两个不同的思考方向，大家能理解吧？这两个都可以去用，本质上是一个解法，我只是给他细细的分了两种，就是你思考的一个方向啊。好了，这个题其实很简单，没有那么难。