笛卡尔三切圆公式

在函数出现之前，数学研究的大多是固定的长度、面积、角度是静止的图形是不变的数，它们都是静态的、孤立的量。有了函数之后，一个量跟着另一个量一起变， 我们开始研究变化规律、趋势，从此数学真正能描述运动速度、增长、衰减周期。 所以函数就是数学从静态世界走向动态世界的一种大门。学习函数最主要的是学习如何构建函数模型来描述变化规律。 一次函数体现着均匀的恒定比例的线性变化，它是世界上最简单朴素的变化关系。二次函数体现着变速的对称、起伏的抛物线变化，它是最简单、最优美的非限性变化。 指数函数体现着爆发的越来越快的倍增变化，它是描述增长与爆炸的最强规律。 对数函数体现着泛黄的越增越慢的收敛变化，它是把暴增拉回平稳的自然节奏。 三角函数体现着循环的周而复始的波动变化，它是描绘周期与往复的宇宙熵律。 一旦我们对某一件变化的事情构建起函数模型，这便能从根本上加深我们对这件事情变化趋势的理解，可以更好的预测、影响和把控这件事情。关于函数更多深刻的内容，我计划做一场直播，感兴趣的朋友可以先预约，开播就有提醒哦！

华夏数学的起源是对天地的描述和计算，这期我们将讲清楚三角函数的源头是天象的测绘，我们就能描懂三角函数的各种性质。 上堂课我们通过同类相连的法则会指出了天图中的天图，地图中的赤道线，南北回归线。 我们按照二十四节气的点位，把二十八新区的天网作为静止的坐标系，绘制成了黄道线。我们发现黄道线跟赤道线呈现一个角度差啊，假如这个盖碗杯，这个底座，这个口沿是赤道线， 盖杯就是黄道线，他们会呈现一个角度差。我们对圆球进行数据分析，首先要做的就是降维，我们把球形的三维空间变成二维空间，三摇表示的就是三维空间啊，天轴、地轴、 人轴啊，就是 x、 y、 z 三轴啊。我们首先要固定铅轴、 z 轴啊，从铅轴方向去俯看，这样黄道线与赤道线就重合，这样黄道圆就是这个赤道圆。 我们把黄道圆在地面摊开，圆方转化，随着时间的变化呢，就会有一个高低起伏的、周期性的我们熟悉的三角函数。 以上是我们站在北极星的富察视角下面，我们要钻到这个天球的中心点，那么就是这个地，我们的地球上去测算，这是仰观视角 啊，周笔算经的算法呢，是仰观视角，在地面我们竖一杆为钩啊，杆在地面上的影子呢，就是股钩的数据固定不变，但是随着二十四节气的变化，投影的数据是变化的。 在周笔算经中建立了二十四节气的日引长短的数据库啊，比如说冬至日的日引，最长是一千三百五十分，到夏至日嘞，到夏至日一共是十二个点位日引到夏至日，它最短是一百六十分。 那么二十次节气逆干侧影，我们用两种的绘制办法，第一种啊，是以圆周为期时间啊，就是圆周为期时间，这样啊，夏至是最长，冬至是最短，这样我们就能绘制出太极图。 第二种是我们以圆心为起始点啊，圆心从这里开始是冬夏至最短，旋转半圈到冬至日最长。这样我们画出了一个心形的样子，这个就是迪卡尔的心形函数。 二十四节气代表着二十四个方位，是 d 轴和人轴上面的点位的长短呢，代表的是日影长短， 这是天轴的数据，所以类似于等高线、等压线是在地轴和人轴上。我们描述出了天轴的数据，就是用二维的平面描述三维的数据 的。 car 的 名字呢，就是表达这个意思的。 car 的 拉丁语叫 red dash， cars， 这个 red 就是 人轴的，就是 dash， 就是 地轴。 cars 就是 天轴的， car， 就是 天地人三轴。 有了以上技术，我们要会指出元函数图形啊，三角函数本质上就是元函数啊，原名也叫元函数，它解决的是元的问题，不是三角的问题。 那么我们把极坐标系元方转化后，就变成了迪卡坐标系，就是二维平面的三维数据的表达的坐标系。 春分日在楼秀的点位，秋分日在角秀的点位。黄道与赤道相重合，就是这两个这个这个点位。 所以我们把春分日的楼秀作为起算的起点，这样我们就建立了 啊，正弦函数图形，剩下时波浪形最高点为单位之一啊，秋分日，波浪形又回到原点重。冬日，波浪形又回到最低点为单位负一。那么从本年的春分日到来年的春分日，是一个圆周啊，是一个周期，是二派。 派是华夏的原创符号，原意呢，是心之底也。心之底就是圆周派啊， 读乔公切读穷，穷顶是半圆，两个穷顶就是两个半圆，两个半圆和为一个圆周，所以圆周周期是二派。我们划出了三角函数之后， 接下来我们就要区分什么是正弦和余弦。弦就是弓箭的这个弦， 当我们把弓箭拉开啊，形成了一个新弦，那么原状态的垂直位的弦就是正弦，横向拉开的这个幅度呢，就是余弦。我们注意，正弦和余弦是垂直的方向， 垂直就是九十度的变化，所以余弦函数就是正弦函数。平移九十度，我们还原到天象上，正弦函数是从春分至的娄秀开始，平移九十度，余弦函数就是从夏至的 纽秀开始。我们对宇宙观测需要在地球的不同位置。这位穿着铠甲汉服的大圣，他巡游四海，在甲处，他观察地球，这是正弦。 弦的拉丁语发音呢，就是 sign。 他 围绕圆周九十度来到来到乙处，他观察地球，就是鱼弦，又叫勾弦，叫 cosine， 空间就是时间。华夏人当然也可以不用巡游四海，他就在这个甲处啊。但是天象又是在旋转变化的，那么子月观察天下，这是正弦。 旋转九十度后，又来到五月观察天下啊，这又变成了鱼弦。我们回到开始的问题， 我们要牢记我们看到的原函数，也就是三角函数，是立体空间的降维表达，我们再把正弦余弦放到立体空间中去看啊，东升西落是左，是左右方向， 那么是旋转九十度，就是正弦与弦的转化。那么左右方向还有前后方向啊，前后方向也是旋转九十度，还是正弦与弦的变化， 那么从前后到左右就是正弦和余弦的转化。那最后我们对三 x 正弦进行求导， 就是求它垂直方向的斜率，斜率呢，是围绕北极星的一个垂直线，就是九十度的变化。我们设正弦起算点是春分， 那么其由导到余弦就是下至，就是平移九十度，所以正弦的导数就是余弦，三 x 的导数就是 cos 啊。如果对 cos 求导余弦的起算点在求分，余弦到正弦是方向，正好相反是负数，那么求导到正弦就是拨回九十度，还是回到下至，所以结果还是余弦的导数是负的， 正弦 cos 的 导数是负三 x， 不 用推导，我们就可以秒算出来。三角函数是起源于天文的计算， 天文计算最大特点是没有办法直接测量弦长，那么我们就用天文仪器啊，首先测量水平面、 垂直面的度数啊，那么每个度数都有一个对应的一个数值，天文计算需要高精度的。我们设正割长为一千万， 那么正弦长度为五百万。翻译成现在的西方数学就是三二三十度等于五百万，除以一千万等于二分之一。我们再仔细观察这个对数表，只有到四十五度 啊，因为不管是正弦还是弦，正切还是余切，都是互余的关系，九十度垂直互余的关系， 所以只需要四十五度的数据。以上是天文视角下的三角函数，下期我们再讲易学抽象下的三角函数，即原函数。

各位同学好，今天给大家带来的是二五年高考一卷的圆锥曲线压轴。这道题目并不难，但是它体现了一个新的考风，我是任子书老师，每天五分钟，简单又轻松。他的考风更深挖了基础的定义。 这道题用向量来做会很简单，那我们从哪里看出来是向量？三点共向量的模长 o r o p， 注意是不是斜率的三倍。他，如果不是 o p， 用向量做还复杂一点。他，那我们观察题干，分析题干，这 o 啊，这斜率是不是 o 是 r 点的 y 坐标比上 r 点的 x 坐标， 那这个 o p 的 就是 y 点的 p 坐标，比上 p 点的 x 坐标好。那我们开始第一小问，还是很简单的，这里用到平方化， 因为我们关心的是 a 的 平方， b 的 平方，平方化之后很好算，那么 a 的 平方等于九， b 的 平方等于一。这个椭圆的解析式我们就写出来了。 好，第二小问。第二小问，设 p 为 m n， m 不 等于零，那么 a p 向量我们就可以直接写出来，就是 m n 加一，令 a r 向量等于 number 位的 a p， 所以 a r 向量我们也可以写出来 number m 那么大倍的 n 加一。好，根据已知条件，这两个线段长相乘。 这里有个很巧合的东西，它就等于 ap 向量点乘 ar 向量，为什么？因为他们的夹角是零，对不对？那这样的四字就不用计算，我们就可以得到， 我们就可以得到这个 so ar 向量的作坐标，我们就清楚了，它是，其实就是 ap 的 摩长除以三 m， y 指是 ap 的 摩长除以三倍的 n 加一。 好，这里有一个小点，也不算难，我们要求 r 的 坐标等价于什么？等价于 o r 向量的坐标对不对？ 那 ar 下面我们知道了， a o， 我 们也知道是不是一做减法就行了，这个四字就等于减 ar， o r 等于 ar 减 a o， 要注意是 a o， 那 么坐标我们就直接写出来了， 也是 a p 向量的摩乘分之三 m， 那 这上面化简之后就是负的括号， m 的 平方加上 n 减二乘以 n 加，计算量非常小，那我们第一小问就已经做出来了。 好，这里如果用点力，是不是它会这样写，有 x 零， y 零 要消去，而用向量法呢？只有一个他们的，所以向量法优势很明显。好，我们来看的第二小问，因为我们知道啊，这个 k o r， 它就等于 r 点的 y 值，比上 r 点的 x 值，那因为它的分母相同，所以这一步也不需要什么计算。那 o p 向量更简单了，它就是 m 分 之 n 之间是三倍的关系，三倍的关系，因为它分母相同，也可以约掉，整理之后 就等于 m 的 平方加上 n 的 平方，加八根减一十八等于零，也就是一个圆半径是三倍根二，圆心的是零，负四半径是三倍根二。好， 这下我们就清楚了，原来他的最后一问是考察的这个问题啊。 q 要取 max， 我 们分析一下它由什么组成？它由 dq 再加上二的长度组成， 那就是当 pq 取 max 的 时候，只需要保证 dq 取 max。 为什么？因为这个 r 是 个固定的，那就好办了， q 为 x 一 外一， q 在 这个椭圆上，所以它的 x 一 外一要满足解析式。好， d q 等于什么呢？等于根号下 x 一 的平方加上 y 一 加四的平方，把这个 x 一 给它代换，之所以代 x 一， 是因为这个 y 它不是个平方，不要要变形之后才能代，所以当然选择代换 x 一。 这里面简单的进行整理， 就是负八外一的平方加八外一加二十五，配方负的负八倍外一减二分之一，缩括号的平方加二十七。当外一等于二分之一时， d q max 取 max 等于三倍根三，所以我们求求的 p q max 它就等于什么？就等于三倍根三，再加一个固定的半径长度啊，就三倍根二。好，这道题就做完了，还是只要思路对，还是很简单的，谢谢大家。

近代哲学的第一块积蓄积石，居然是从一场彻底的怀疑开始的。哈喽，大家好，欢迎回到流氓杂技。在正式开启电竞唯物主义任性论的核心内容前，我们先来梳理八期近代西方哲学简史。这八期内容，我们会跟着西方哲学家的脚步 走完，他们探讨人能否认识世界，如何认识世界的全过程，搞懂他们的思考与困境，能让我们对后世的马克思主义认识论理解的更透彻、更根本。今天是第一期，我们来讲近代哲学之父迪卡尔， 以及他那句影响了数百年的经典命题，我思故我在。迪卡尔生在一个新旧碰撞的时代， 整个欧洲的思想界都处在一场巨大的改革中。中世纪的经验哲学早已僵化空洞，不再追求真正的真理，只沦为对宗教权威文本的反复注细和无谓争辩。马丁路德的宗教改革狠狠削落了教会的绝对权威， 文艺复兴让人重新被发现，大航海又让人们一时的世界远不是圣经里描述的那般狭隘。 而科班尼加利略的科学革命更让人们开始用理性和数学的方法探索，自然发现了一个精准可被量化的世界。 但同时，怀疑主义的浪潮也席卷了整个欧洲。人们突然发现，我们一直依赖的感官经验根本靠不住眼睛看到太阳绕着地球转，可实际却是地球在自转。筷子插进水里，看起来是弯的，可他本性是直的。于是一个核心问题被抛了出来， 一切可靠的基石都需要一个毋庸置疑的基石，科学靠数学和理性找到了这个基石，那哲学呢？如果哲学没有这样一个不可怀疑的起点， 人类所有的哲学思考岂不是都没有意义？迪卡尔就站在了这个历史的十字路口，给出了属于他的时代回答。他的目标很明确，在一切被怀疑的思想沸沸之下，找到那一块唯一可靠、不可辩驳的基石， 重建整个人类的基石大厦。他的思考逻辑其实很简洁，世间万物皆可怀疑，我们可以怀疑世界的存在，怀疑身体的存在，甚至怀疑上帝的存在。但有一件事我们绝对无法怀疑，就是我正在怀疑这件事本身。怀疑、理解、想象，肯定 这些都是思考的形式，而思考不可能凭空存在，必然有一个思考的主体，这个主体就是我。迪卡尔认为我的本质就是思维实体， 思考的存在直接证明了思考者的存在，这就是我思故我在的真正含义。它不是一句简单的人性格言，而是迪卡尔为近代哲学找到的第一块毋庸置疑的逻辑基石，也标志着近代哲学正式开启。 哲学的研究重心从中世纪的谁转向了人和人的思维。可谁也没想到，迪卡尔为人类打下的这一块思考基石，却让后续的哲学家们围绕着思维与存在的问题争论了整整一百多年。马克思主义立场下的批判从变将唯物主义的角度来看， 迪卡尔的哲学体系存在着无法回避的核心缺陷。一、本体论上的唯心主义起点。 迪卡尔将我思作为整个机器体系的第一原则，把思维的确定性寄予存在的确定性迹象。 本迹象是从思维出发去推导存在，违背了误记第一性、逆袭第二性的基本立场。马克思主义认为，不是我思顾我在，而是我在顾我思。 人的思维活动是以人的物际存在、以客观的物际世界为前提的。没有肉体的存在，没有客观世界对人的刺激，根本不可能有思考活动。二、陷入心无二言论的矛盾 迪卡尔将我定义为思维实体，又承认物际世界是独立的实体，这就把思维和存在割裂成了两个互不依赖本质的实体，这就把思维和存在割裂成了两个互不依赖本质的手臂运动。 这种爱言论的割裂也为后续哲学的发展埋下了困境，而马克思主义通过实践观解决了这一矛盾。 实践是思维与存在相统一的基础，人的思维在实践中产生，又在实践中指导改造物质世界。思维与存在的关系只有在实践中才能得到真正的解析。三、唯理论的片面性 迪卡尔强调理性是知识的唯一来源，否定感官经验的根本作用，属于典型的伪理论。马克思主义认为，练习的来源是实践基础下的感性经验与理性思维的变将统一。理性思维不能脱离感性经验而存在， 脱离了客观世界和感性实践的纯粹理性，最终只会走向空洞的思辨。简单来说，迪卡尔的我思故我在，是近代哲学的伟大进步， 但他的唯心主义起点和二言论缺陷让他无法真正解决思维与存在的关系这一哲学基本问题。下一期我们就来讲维理论的两位核心继承者， 斯宾诺夏与莱布尼茨，看看他们是如何试图解决迪卡尔的。二、言论困境，又让维理论陷入了新的问题。 如果这期视频对你有帮助，别忘了点个赞支持一下，你们的鼓励就是我更新的动力。关注流氓夹记系统，学习马克思主义干货，持续更新中，我们下期再见！

你有没有想过人类是如何完成造火箭、造显卡、造芯片这么伟大的工程的？这就不得不提到今天我们要讲的一个法国思想巨人笛卡尔提出的方法论。笛卡尔方法论的第一步呢，就是把任何模糊的不确定的东西全部都剔除，留下的 就是最接近真理的那一部分，你把它们当做你的基础理论，跟我们上一期讲到的基于怀疑的理性主义有着异曲同工之妙，这也是著名的方法怀疑。第二部学计算机的同学肯定会很熟悉，他是 divine conquer 分 解并且一步步的征服， 就是把一个大的问题、复杂的问题尽可能分成小的、简单的子问题。你完成了所有子问题，某种意义上你就完成了这个大的问题。这就好比你一个人去造一辆汽车是非常复杂的工程，但是如果你把一个汽车分解成一个个零部件，每个人只要负责去造他的零部件，那么 他就是一件理所当然的流水线生产解决的非常简单的工业问题。因为迪卡尔认为人之所以经常犯错，就是因为把过于 复杂的整体拿来直接做判断。第三步，在迪卡尔这种思想之下，我们刚刚分解到的最简单最小的子问题开始解决，一步步的往上，你会发现你解决了所有的子问题， 你也就解决了一个非常复杂的完整的问题。第四步是反复检查，确认没有任何的遗漏，类似于边界条件， 细小的细节，以及检查整个逻辑能不能形成完整的闭环。所以到这里你有没有感觉现在的很多工程思维有非常浓的迪卡尔的味道，基于这一套体系，你可以获得 可靠的系统、可靠的分工流程以及非常可靠的知识。下一期我们再来分享诺贝尔奖得主卡尼曼的认知偏差清单。

嗯嗯。

大家好，我是小眼，今天给大家讲解一下叉八系统的那些常用的画图功能，大家看过来， 今天我们说一下这个绘图啊，绘图里面的功能啊，点进去三千元，我们就用这个给大家讲解一下，三千元它要三条边才能相切的，我们点一下，然后它这样是直接切不了的，我们要先把这个方给分解了，点这个分解 啊，点了就可以了，我们再重新点绘图，三切圆相切三个边啊，他就出来了，我们要这个我们再继续 哦，要重新点这里啊，他就出来了，我们就把这些删掉，就用这个修剪，用这个剪除啊， 这样一个就画出来了，这个三切圆工呢，就会很常用的，这样就画出来，我们再说一下这个两切圆，点一下它两切圆呢，它是要两个圆相切这个这样子的，是不是半径数大一点嘛？ 我们就需要哪一根就点哪一根就行了，就是根， 然后再用这个剪出，把它剪掉啊，他就这样子的，这个就是两切圆的功能啊，他就是两个圆，他就可以切出那个弧形。 如果大家还有什么不明白的可以在评论区留言。

先在 a 一、 b 一 分别输入 x、 y， 在 a 二输入负一点八一 点数据里面的填充，找到序列，选择列不长值，改零点零一，中指值为一点八一点确定。 在 b 二输入迪卡尔函数公式放在评论区。为了方便，我直接粘贴过来了， 双击下拉填充，找到文件里面的工具，再找到最下面的选项，找到重新计算，勾选迭代，计算，修改最多迭代次数为一，最大误差为零点零零一 点，确定在 c e 输入，等于 c e 加零点五， 这里加的数值越大，动的速度越快。框选 a、 b 列，点，插入，找到散点图，点更多，找到雷达图点，标记拉大， 这些选项都勾选去掉。这右边还有线条填充，全部选择无限条，无填充。点击要修改颜色的线条， 找到绘图工具，改变颜色轮廓，轮廓的线条还可以改变粗细。 再次框选 a、 b 列，插入散点图，重复刚才的操作， 全选表格，填充颜色。这里的爱心还有边框，点击边框 选无限条。 现在按 f 九试一下。

说我思故我在的迪卡尔，同时还是解析几何的创始人，你知道吗？ 迪卡尔的生平是一五九六到一六五零年是法国人，但是他在荷兰度过了大部分的事业生涯。 作为荷兰黄金时代最著名的哲学家之一，尼卡尔也被认为是解析几何的创始人。他把代数和几何打通了，后来才有了函数图像题。他的核心技能就是方法论怀疑，他觉得 以前书本里教的别人告诉他的，甚至自己感官感觉到的东西都可能是假的，因为感官不靠谱，眼睛会看错，比方说远处的塔是圆的，走近一看呢，是方的。 做梦的时候呢，我们会感觉无比真实。所以感官世界可以被怀疑，而逻辑也不保险。他把能够怀疑的一切都拆掉了，整个世界摇摇欲坠。 就在这万物皆废的废墟之上，迪卡尔发现了一个他怎么也拆不掉的东西， 这个正在怀疑，正在思考的我本身。于是哲学史上最著名的一句话就诞生了，这个我不是说一个有手有脚的肉体，而是一个纯粹的思想之物， 这是意识对于自我的第一次确凿的觉醒，是思想宇宙的大爆炸。那么当他找到了第一块基石，我， 也就是心灵。之后，尼卡尔又通过一系列论证，推出了上帝的存在和物质世界的存在。他是一个二元论者以及理性主义者。尼卡尔认为人类可以使用数学的方法，也就是理性来进行哲学思考，他相信 理性比感觉更可靠。身心二元论的问题是，心灵的本质是思考不占空间， 而身体或者说物质的本质是广言占空间，那么这个完全不占空间的心灵是怎么和占空间的身体互相作用的？这个身心问题折磨了后来的哲学家几百名，至今呢，也没有完美的答案。 在物理学方面，尼卡尔也有所见觉，他在屈光学中首次对光的折射线提出了理论论证。他还解释了人的视力失常的原因， 并设计了矫正视力的透镜。力学上，尼卡尔则发明了加利略运动相对性的理论，强调了惯性运动的直线性。尼卡尔发现了 栋梁守恒原理的原始形式，他还发展了宇宙演化论、漩涡说等等理论学说。 虽然具体理论呢，还有很多缺陷，但是依然对以后的自然科学家产生了深远的影响。李卡尔主张先天知识理论，所有人类都是通过上帝的更高力量而生来就拥有知识。正是这种先天知识理论， 后来呢，遭到了哲学家约翰洛克，还有啊，认为一切知识都是通过经验获得的。经验主义者的反对，那迪卡尔因为身体不好，他超级怕冷 啊，喜欢躺在壁炉旁的床上思考。当他受邀给瑞典女王上课，因为呢，要早起，早上五点钟就要在斯德格尔摩的寒冷的冬天上课，结果呢，五十四岁就得了肺炎去世了。 他给我们最大的遗产是这种敢于用理性怀疑一切并从中寻找确定性的科学精神。他让自我意识占上了 c 位，开启了整个近代哲学。所以，下次当你因为我是谁， 这一切是真的吗？而陷入沉思的时候，你其实就在进行一场非常离卡尔式的思想探险，感谢收看。