苏北七市二模数学标准答案

我们来分析一下刚刚考完的苏北七市的二模数学试卷，整体难度中等偏上。首先单选的前六题啊，送分题，集合复数、平面向量函数、单调性、三角求值等等都是基础题， 没有陷阱，一定要全部拿下啊！第七题，本质是几何最值，不能死代公式，要用竖形结合的思路去解题。第八题，典型的三角最值，有点难度，要学会用辅助角公式，直接化成单一的三角函数，就能很快的锁定最值 多选。第九题不难。第十题啊，直接取特殊值来代入，就能够快速的排除错误的选项。第十一题，抽象函数，只要能够找到特殊点或者特殊函数就能够了解。这次填空题整体不难，前两题不能出错啊。第十四题，要用几何转化， 别想复杂了，基础方法足够用了。第十五题，第一问要能够化解三角函数，第二问结合正弦定律和余弦定律，基础扎实的同学直接拿满十三分，没有难度。 第十六题，常规导出题不难，按求导，然后找临界点，然后分类讨论的步骤去写，基本能拿满分。第十七题，概率题，主要考察逻辑推理能力，需要考生能够理清事件之间的关系，难度中等。 第十八题，这题有点难度啊，命题，几何加圆锥曲线的考法，考法非常新颖，后面的两问不好拿分。第十九题，竖列加概率的压轴题，细心的你们应该会发现啊，二零二四年新高考一卷二的第十九题，也是竖列加概率。第一问很简单，每局排列 送分题，不应该出错。这里大家注意下啊，不要一看是最后一道压轴题，直接放弃，往往最后一题的第一问是不难的，第二问考逻辑推理， 第三问就是树立和概率的结合。这两问完全就是区分学霸和中等生的两问。基础差的孩子直接放弃，重心还是得放在基础题部分。各位家长把关注点好，二模分数出来之后，来了解孩子这次考试大概在全省的水平，以及大概能读到哪些学校的哪些专业。

这次苏北七是数学整体难度中等偏上，不少学生考完表示很崩溃。但是模考并不代表高考，去年高考是简单题目，很简单把分直接送到手上。 整张试卷一到四题属于基础送分题，五到八题难度递进。第七题考察圆与圆的位置关系，利用几何意义求两圆心连线上的点到圆点的距离减去半径。第八题可以利用空间向量或几何法找到轨迹，然后求切线长或距离。 多选择题，第二题涉及抛物线的焦点、弦、斜率乘积、三点共线等二级结论，但也可以结合特指法进行分析。 多选择题的最后一题，竖列与倒数相结合进行综合考察。填空题前两题难度一般，第三题可以通过几何关系推导 abc 的 等量关系，从而求出题心率。 解答题部分，对于基础稍微薄弱的学生来说呢，十五和十六题第二问可能有一定的难度，十八题创新性较高。第三问可以结合体积法与不等式求内切，求半径最小值。 十九题呢，是新定义题目，比较难。二模每科考后，我们这边都会在二零二六届高三升学群第一时间更新相关参考答案和试卷，并且帮助学生进行模考定位和特殊计划招生答疑，有需要的可以进群。

哈喽，大家好啊，我是毕剑玄鹤。今天再给大家讲一下二零二六年苏北七十二模的第十九题压轴题。 这道题目是一个质量非常高的新定义题目，考察了数列的构造以及地推数列。整体而言，我非常推荐大家写一下这道题。 整个题目呢，最难的地方就是如何分析他的这个条件，实际上就只有一句话，你只要把这个条件分析好了，那接下来的第二小问和第三小问都没有那么复杂。 好，接下来我们来看看这道题。首先我们来读下题目啊，他说有穷的等比数列 a n， 他的项数啊为大 n 大 n 大 于等于三，也就是说他至少有三项。然后第一项 a 大 于零， 公比是零到一之间的一个数，说明我们的等比数列 a n 是 一个递减的数列，将 a n 的 所有项按照某种顺序排成一列，得到数列 b n。 然后条件就来了，使得当我们的 i 小 于借，并且都在一到 n 的 范围内时，一定有 a 矮 b 矮，大于等于 a 借 b 借。读完题目，你可能一头雾水，但是不用着急，我们来写一下第一小问就行了。 首先，当我们的 n 等于三的时候，我们的竖列 a n 是 不是应该等于 a 一、 a 二、 a 三？其中的 a 二和 a 三可以用 a e q 以及 a e q 方的形式来表示，因为它是一个等比数列。 然后题目说了我们的数列 b n 是 如何得到的， b n 是 通过我们数列 a n 中的每项 a a 一， a 二 a 三把这三项呢，随机的排列，所有的可能呢，都能得到我们的 b n 数列。 那三项去排列，一共有几种可能的方式啊？一共有六种可能的方式，那这六种呢？分别就是这边的六种情况， 然后我们把这六种情况啊，分别的给他写出来，然后他说啊，当我们的 i 小 于 j， 并且大于等于一，且小于等于 n 大， n 在 这等于三，所以就小于等于三了，应该 i 和 j 一 共有哎， h 一 j 二， h 一 j 三，还有呢？ h 二 j 三这三种情况。他要求这三种情况下，我们的 a i b i 大 于等于什么？ a j b j 不 就是两个竖列的对应相相乘，要有这样的一个大小关系吗？对不对？好，那接下来我们来举个例子看一看啊。假设现在我们的 b n 等于这个竖列，可以吧？那现在 i 等于一， j 等于二的时候， a 矮乘以 b 矮，是不是就是，哎， a 一 乘以 b 一， 它要大于等于 a 二乘以 b 二，就这两个相乘要大于等于这两个相乘，并且还要大于等于什么呀？ a 一 乘以 b 还要大于等于 a 三乘以 b 三，还要大于等于这个乘以，这个对不对？所以我们带进去验算一下，就是什么 它乘以它就应该是 a 一 的平方，要大于等于，然后这两项相乘就应该是 a 一 平方乘以 q 的 平方，很显然这是成立的吧，因为我们的 q 是 一个大于零小于一的数，那这个化解一下，就是一大于等于 q 的 平方肯定是没问题的， 然后还要满足它们两相乘，要大于等于它们两相乘也是满足的，所以这个排列没有问题，满足我们的提议。 好，接下来就依次去验证一下就行了。这个验证也比较简单啊，因为它每次这个对应项相乘，对应的两项相乘之后，你这个 a 一 的平方都可以消掉，实际上就是在比较 q 的 次数大小的一个关系，对吧？ 好，那我们带进去反复的验算一下，你会发现，哎，我们这个排列也是符合的，因为 a 一 乘以 a 一， q 乘以 a 一 q 方， 然后呢，也大于等于这个乘以这个，对吧？并且它乘以它也大于等于它乘以它，所以没有问题，同样的，这个也是符合的，但是接下来你去验证的时候，你会发现啊，这个和这个两个排列啊，是不符合的。为什么呢？我们来带你去看一下，你看啊， a 二乘以它的 b 二，应该等于 a 一 平方 q 的 三次方，对不对？ 然后 a 三乘以它的 b 三，是不是应该等于 a 一 的平方乘以 q 的 平方，这应该是个小于的关系啊，所以就不满足我们题目的大于等于的关系。因此举一个反例就能说明它是不行的， 同理他也是不行的，因为 a 一 b 一 小于 a 二 b 二，所以也排除掉。那最后一种情况呢，也是可以的。所以第一小问啊，就是给你举一个例子，让你看看题目的条件到底在说什么东西。好，接下来我们来看看第二小问啊。第二小问开始难度就直线上升了。 第二小问说啊，是否存在 b n， 使得对于任意的 k 大 于等于三小于等于 n 都有这玩意，不等于这玩意， 然后让你去说明理由。哎，那现在我们就相当于 b n 树列有两个条件，第一个条件呢，是这个东西，第二个条件呢，是这个东西， 那我们就针对这两个条件啊，一个一个的去分析。首先啊，你观察一下我们的 b n 树列是不是 a n 树列的任意一个排列啊？你根本不知道我们的 b n 树列到底长什么样子， 那接下来你肯定是需要用一些字母去表示这几个东西的，对不对？你不去表示，你这个公式怎么去处理呢？所以啊，首先我们的 b n 向量需要一个具体的表示，如果你不去表示它，你这个过程是很难写下去的。 那一个抽象的向量如何去表示呢？仔细看啊，题目说了，我们的 b n 是 所有的 a n 的 一个排列， 那我们是不是可以把 b n 写作 ap 一 ap 二等等等，一直到 a p n 这边也是 n 个数，对不对？其中啊，我们的 p 一 p 二到 p n 这 n 个数就是我们一到 n 的 一个排列， 没问题吧？这就相当于把我们的抽象的 b n 这个数的啊形式化具体的表示了出来。 接下来我们来看看题目的条件是什么。首先我们来一个一个处理，我们先处理最一开始这个条件，这个条件说啊，我们的 a i b i 要大于等于 a 界 b 界，那现在我们 b i 是 可以严格的去表示出来的，其中 b i 是 不是就应该等于 api， 然后 api 这边的 p i 目前我们不知道它等于多少，我们只是形式化的表示出来， b i 和 b j 呢，都可以表示成 a p i 和 a p j， 然后呢， a 竖列我们又知道了，所以它就应该等于什么呀？ a i 等于 a 一 乘以 q 的 i 减一次方， 然后 a p i 呢，就等于 a 一 乘以 q 的 p i 减一次方。同理，右边等于这个东西，那 a 一 a 一 a 一 a 一 都可以消掉，然后我们的 q 把这个同底数密相乘，底数不变，指数相加，就得到这个式子。 这个式子因为我们的 q 是 大于零小于一的，所以得到 i 加 p i 应该小于等于 j 加 p i 这个式子，我们能不能再做一步的分析啊？可以的，因为 i 小 于 j 又小于等于 n 大 于等于一， 这边的矮介我们是可以任意取的。那我们先取一个最特殊的，介等于矮加一的时候，可不可以介等于矮加一的时候，这个式子啊，就变成了 p i 减去 p i 加一小于等于一， 这说明了什么呀？这是不是说明了一个条件，那就是我们 b n 竖列中的前一项的下标最多比后一项的下标要大一。 你看啊，我这个地方，也就是说你 p 一 减去 p 二小于等于一， p 二减去 p 三小于等于一， p 三减去 p 四小于等于一，你这两个东西的差距不能超过一，而且 p 一 不能比 p 二大了，超过一 能理解吗？比如假设我现在第一个数是 a 四，第二个数是 a 二，这行不行啊？这就不行了，就不满足这个条件了。相当于现在我们的 p 一 就等于四，然后我们的 p 二就等于二， 现在四减二，它等于二，二是大于这个一的，所以就不符合条件了，能理解吧？ 好，那还有一个问题是我们需要去注意的，刚刚我只取了这等于矮加一啊，你这还可以等于矮加二是不是？那我们来带入看一看，这等于矮加二的时候，是不是就是矮加上屁小于等于矮加二？ 化简一下，应该就是屁矮减去屁矮加二，小于等于二。哎，这个东西和这个东西条件 实际上你应该已经看出来了，这个东西能推到这个东西，但是他推不到 这个东西，对不对？所以这就说明了我们这个条件他更加的充分，就不需要去用借等于 i 加二，借等于 i 加三这样的条件了，他就是最充分的一个条件。 为什么呀？因为你这个 p i 减去 p i 加一小于等于一，那就有 p i 加一减去 p i 加二也小于等于一。两个式子相加，不就是 p i 减去 p i 加二小于等于二吗？不就是这等于 i 加二得到的一个条件吗？ 对吧？所以这个条件就足够的充分了。好，这是我们的规则一，那我们的规则一能不能带入到我们的第一小问去验证一下呀？你仔细看啊，我刚刚说的，记住我刚刚说的相邻的这个下标之间啊，前一项最多比后一项大一来看看啊。 呃，一二三，你的前一项最多比后一项大一，满足吗？满足吧，他比他小，二比三小，满足的。然后呢？一比三小，三比二大，但也只大了一个一，所以是可以的。二比一大，只大了一个一可以，他为什么不行？因为你看啊， 三和一，三比一大了二，二是不行的，所以他不满足，对不对？ 这个也不满足。为什么？因为前一项三比后一项一大了，二超过的一，所以不行，最后一个也是符合的，没问题。所以啊，这也验证了我们的这个规则一是完全正确，完全没有问题的。 好，我们现在只处理的一个条件，那就是最一开始题目的条件，还要去处理这个第二问的条件，这个东西，那这个条件呢？怎么去写呢？看看， 再来看看第二问中的条件。现在我们 b、 n 已经具体的把它的每一项都设出来了，他现在要满足啊，这个东西不等于这个东西，那我们就带入进去， 化简就行了，带入进去呢，就是这个式子，这个式子呢，再把我们的 a 一 和 q 带入进去，所有的 a 一 都可以消掉，然后呢 q 也可以消掉，最后只剩下这个东西， 而这东西你化解一下，不就是什么呀，等差数列的一个形式吗？它就说明了我们，哎，这就说明我们相邻三项的下标不能是等差数列，没问题吧？ 好，根据这两个规则，题目问你能不能产生这样的 b n 数列，那不就相当于让我们去根据这两条规则看看能不能构造出这样的数列吗？ 现在我们就只关注他们的下标， ok 吧，因为前面都是是个 a， a 就 不需要去考虑了，而且我们这两个关系实际上都是下标之间的关系，对吧？ 然后下标我们的所有的屁 i 又都是一到 n 的 一个排列，所以我们只需要去构造一个一到 n 的 东西，满足这两个条件就行了。那根据规则去构造啊，实际上都是有点难度的啊，但这个两个条件应该是比较简单的，我们来看看啊。 哎，我们最开始先把这个一到 n 都写出来，就不进行排列，那这个可不可以啊？这是不可以的，他显然是满足规则一的，因为每一项都没有比他的后一项超过一，对不对，甚至是比他小的一小于二，二小于三。 但是满足规则二吗？不满足，因为一二三等差数列，二三四等差数列，他全是等差数列。那我们肯定是希望他先去满足这个规则二， 那我们就尝试去破坏他这个等差数列的关系。怎么去破坏啊？哎，我们把这个一和二对掉一个位置，可以吧？对掉位置之后，他还是满足我们的规则一的。 哎，那接下来就是二一三四，那还不行啊，因为三四五还是等差数列，那我们继续去破坏。我们可以把三四也换一个位置，变成二一四三，那现在就没有三四五了。 那接下来我们还可以去把五六换个位置变成六，以此类推。哎，那我们看看这个数列满不满足我们两个规则啊？首先他肯定已经满足规则二了，因为一二四不是等差数列，一四三不是四三六不是三六五不是。以此类推，他全都不是等差数列。 那继续看看满不满足规则一啊。呃，二比一大了，一没问题，一比四小没问题，四比三大一个一没问题，三比六小没问题，六比五大一个一没问题。哎，以此类推都没有问题。所以我们把每两项换一个位置， 就完美符合这个条件了。当然你两项两项的换需要去考虑这个既有性，但是既有性你大概去看一下，你就知道没有任何问题，没有任何的影响。所以第二小问的构造啊，也不难，你只要把这两个规则写出来，那这个构造啊，你大概的去尝试调整一下就能写出来。 好，接下来我们来看看第三小问。这个第三小问啊，也挺有意思的，他说从满足条件的所有 b n 中随机抽取一个求抽到的 b n 是 等比数列的概率。哎， b n 是 等比数列，这个情况啊，少之又少，而且你是可以直接写出来的，因为你本身 b n 呢，就是所有的 a n 就是 一个等比数列，所以 b n 只有两种情况，它是等比数列，对不对？ 第一种情况就是我们的 b n 是 a 一 a 二一直到 a n。 第二种情况呢，是我们的 b n 竖列是反过来排 a n， a n 减一到 a 一， 然后你再验证一下这两种 b n 都满不满足我们题目的条件。我们刚刚已经在第二小问啊，把这个题目的条件翻译成了我们的这个条件，对不对？那我们看他满不满足啊，肯定是满足的吧，一比二小，二比三小，三比四小，满足。然后呢， n 比 n 减一大，但是只大了一个一，这边是可以等于一的，所以没问题。 n 减一比 n 减二大了一个一也没问题，所以以此类推，这个和这个都没有问题。所以啊，我们最终要求的就是 总共的 b n 的 方法数分之二。接下来我们就是要去判断所有满足这个条件的 b n 有 多少个。好，我们来看看啊， 这个可能稍微有点难度，但是也没有那么难，你写过一次肯定就会了。这是一个比较经典的问题，来看啊，现在我们来考虑满足 pi 减去 pi 加一小于等于一的所有 b n 有 多少个？我们可以设满足 pi 减去 pi 加一小于等于一的排列数是大 a n， 我们的目标就是去求出这个大 a n， 对 不对？但是这个大 a n 啊，你直接去写，肯定是非常难写的，哎，但这道题啊，又是一个排列，我们可以排 n 个数，现在就是排 n 个数，对不对？但是我也可以先去排 n 减一个数，再去把我们的第 n 个数排进去， 是不是？所以这样就可以产生一个地推数列的关系，我们来尝试围绕这个 a n 去构造一个地推数列。那为了去构造地推数列，我们肯定重点研究对象就是我们的 n 个数，对不对？那我们就假设啊，这个 n 个数也就是我们的下标大 n， 它所在的一个位置是 k， 可不可以 假设？哎？比如这边第一个位置，第二个位置，第三个位置，然后一直到这个第 k 的 位置，我们这边放的是大 n， 然后后面还能继续去放，假设这个位置是 k， 就是 一、二、三，然后一直到这边这个是 k， k 的 位置，我放了一个大 n， 那 我问你啊， 为了满足这个关系，我们 n 的 后面一个数能放哪些数啊？来看啊， n 的 后面一个数，假设它是 t， 一定要满足我们的 n 减 t 要小于等于一，对不对？那我们的 t 就 应该大于等于什么？应该大于等于 n 减一， 但是我们最大的数是 n 啊， n 已经排过了呀，所以我们的 t 只能取 n 减一了， 因此这就说明了你的 n 已经排在了 k 号位置，那我们的 k 加一号位置，也就是 n 的 下一个位置，它就只能是 n 减一，其他的任意一个数都不行。 那同样的，你 n 减一的下一个位置就只能是谁啊？只能是 n 减二， n 减二的下一个位置呢？就只能是 n 减三，对不对？不然你就不满足这个条件了，所以我们就能得到 n 后面的数，只能是 n 减一， n 减二， n 减三，那一直到哪个数呢？仔细看啊，我们现在 n 排在了 k 号位置， 一到 k， 现在 k 号位置是 n， 那 k 后面还有哪些位置啊？我们是不是一共有 n 个位置啊？那 k 后面的数应该还有 n 减 k 个数，对不对？因为前面一到 k， 一 共有 k 个数， k 个数加上 n 减 k 个数，它才正好等于 n 个数。 所以我们 n 后面啊，一共排了 n 减 k 个数，分别是 n 减一、 n 减二、 n 减三，一直到 k。 那 接下来我们就要考虑 n 前面应该怎么排？ n 前面应该还有 k 减一个数， 为什么呀？因为前面 k 减一个数，加上我们 n 这一个数，就是 k 减一，加上一个数，再加上我们刚刚已经排过的 n 减 k 个数， 它就正好等于我们总共的这个 n 个数，没问题吧？那前面的 k 减一个数，它的排列个数有什么规则吗？ 也只有一个规则，那就是满足这个规则，那我们满足这个规则，然后现在呢？这个问题的规模又是 k 减一，那这个排列数不应该就是 a k 减一种排法吗？对不对？这就说明我们 n 后面的数啊，是确定的方法数， n 前面的方法数呢？是这个方法数。所以当你的 n 的 位置是 k， 那 方法数就是这么多个。 又因为我们的 k 可以 取哪些数？ k 可以 取一二一直到大 n 吧，所以最终我们的递推关系就是， a 大 n 等于 sigma， k 等于一到大 n， a k 减一，那这个递推关系就写出来了，那这个数列的通项公式好不好解呢？非常的好解， 来看啊，首先我们这个 k 等于一的时候，它是不是有一个 a 零在里面啊？ a 零等于几啊？ a 零是什么意思？ a 零就代表着你现在零个数在这排列， 零个数排列，哎，好像没有什么实际意义啊，那没有实际意义，我们能不能赋予它实际意义呢？可以的，为什么呢？我们令这边的大 n 等于一，那这个式子是不是就变成了我们的 a 一 等于 a 零啊？ a 一 等于 a 零，那我们的 a 一 等于什么呀？ a 一 是一个数的排列，一个数的排列就是一种嘛，所以它就等于一，没问题吧。所以令 a 零等于一，那么 a 一 根据实际意义，它也等于一， a 二等于几啊？ a 二应该等于 a 零，加上 a 一， 对不对，应该等于二，那 a 三等于什么呀？ a 三等于 a 零，加上 a 一， 再加上 a 二应该等于四， 那接下来 a 四呢？ a 四就应该等于一加一，加二，加四就应该等于几啊？就应该等于八。所以以此类推，就可以直接算出来， a 大 n 等于二的 n 减一次方。所以最终啊，我们就把这道题写出来了，整个这道题的概率应该是二的大 n 减一次方分之二，化解一下，就是二的 n 减二次方分之一。好，那这道题目啊，就讲到这里，感谢大家的收看，希望你能学到东西。

葛大爷，又来出题了吗？这是苏北七市数学考完后，很多同学无奈的调侃，难度肯定超出了其他城市的默考，而且有个很重要的特点，非常考核答题的方法，方法不对，计算量大到你要暴怒。 今天老师呢，也整理好了卷子和答案解析。苏西长镇、南京盐城的同学，如果你们需要练习的，可以打出试卷，我分享给你。 那么下面呢，来给大家说一下练习的指引。平时数学成绩一般的同学呢，可以重点练习第三十十三十六十七题，这几道题目呢，是重在概念的检测，如果做不对，赶紧去补一下自己的对应概念的运用。 对于平时数学成绩比较优秀的同学呢，可以重点去练习。七八十一，十四十八十九，很有高考的难题感觉。我是晶晶老师，在江苏金榜题名找晶晶。

高三的家长们，今天结束的苏北七四二模的考试的数学卷，我给大家分享一下，方便咱们家长了解。这个二模的数学卷整体难度呢，贴合性高，考题度非常清晰，是一套非常标准的二人复习检测卷。 单选的前五题是基础题，属于送分题，只要细心，孩子就能把这个基础分拿到。但是从第六到第八题直接上难度了，坑多，计算量大，是区分中等生的关键， 那第九道第十一题个个都有陷阱，想拿到满分，非常考验功底。填空题的第十二到第十四题计算量啊，拉满， 这个是拉开分叉的核心解答题，完全对标高考题型，难度层层递进， 基础题不丢分，难度直接拉开差距，完美适配按摩的定位。总的来说呢，这套卷子基础不丢分，难度有区分，就是给咱们孩子做高考前的一次精准的体检， 考完之后啊，赶紧复盘错题，查漏补缺，冲刺高考，争取数学呢，拿高分，加油！

大家好，这里是龙虎七队苏北七十二模数学考试刚刚结束，这道试卷总体特点就是表面平平无奇，实则暗藏杀机。看起来不难的题目，想要最终完整解答出来却并不容易，非常适合训练思维，提升灵活运用知识的能力。 先来看单选第一题，已知集合 a 和集合 b， 其中集合 b 是 一个绝对值，我们当然可以直接解绝对值不等式。这里我更想复习一下绝对值函数图像的画法。 x 减一的绝对值是以一为顶点，然后两条这样的直线要求大于一，自然就是 这里是二，这里是零，所以对应的就是 x 大 于二或者 x 小 于零。再看一下集合 a， 显然它们的交集为空集，所以选 c。 第二题考烂了的负数模长两边直接取模，一加 i 的 模长乘以 z 的 模长等于 i 的 模长，显而易见，根号二， z 的 模长等于一，所以 z 的 模长二分之根号二。答案，选 a。 第三题，已知 a、 b 均为非零向量，则 a 平行于 b， 是 a 加 b 平行于 a 减 b 的 什么条件？首先，前推后是非常容易的，如果两个向量平行，那么它们的和和它们的叉必然会平行。 即使 a 减 b 等于零向量，它也是跟 a 加 b 平行的，所以前推后肯定是没有问题。后推前，这里我更想带大家复习一下向量的相加或相减的几何意义。 a 加 b 相当于是以它们为邻边一个平行四边形的对角线， a 减 b。 同样， 这两个向量如果要平行，当 ab 不 共线的时候，显然是不可能成立的。所以反过来说，这两个对角线如果平行的话，也只有 a 跟 b 平行才能做到，所以答案选 c。 第四题，一个三次函数的所有极值之和，这个没啥说的，直接求导，导数是三 x 方减六 x 令导数等于零， 可以解得 x 等于零或者 x 等于二。由于导数是二次函数，二次函数的两个解 b 为变号零点，所以 x 等于零和 x 等于二就是函数的极值点。我们只需要将 f 零 和 f 二等于负四计算出来相加，自然答案选 a。 第五题，已知 cosine alpha 和 tanthan 的 beta， 求 alpha 加 beta 的 值， 这里我们当然可以根据提议，比如说把 sine alpha 以及 cosine beta 和 sine beta 都算出来，然后再利用和差角公式，比如说算一下 cosine alpha 加 beta， 看一下是下面的哪一个值没问题。不过作为选择题，这里我们只需要能选出答案即可。所以我倒觉得没有必要去进行这么严格的计算。比如说 cos 阿尔法等于十分之根号二，我们当然可以算出贪婪的阿尔法等于七， 这样我们可以得知阿尔法显然要大于七十五度，因为贪婪的七十五度我们应该都熟悉，等于二加 根号三七显然是比二加根号三要大很多的，然后他认为贝塔等于三分之四，三分之四是比一要大的，因此贝塔要大于四十五度，这样他俩相加必然大于一百二十度，所以选项中只有一个答案符合条件。 下面第六题一道函数应用题题我就不念了，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均公式之比，生产产品的公式之比告诉我们了，所以我们只需要将 x 等于四和 x 等于二代入即可， 这是 k 乘以四的负二法，二的话就是 k 乘以二的负二法，我们要求的是它们的比， 把 k 约掉，然后约完之后等于二的负二法。四方 题目中告诉我们了，阿尔法等于它，所以代入计算等于符号，跟前面那个符号底调就是二的 log 二 s 当然等于 s， 题目中又告诉我们百分之八十，所以这里就是 零点八。答案选 b。 前六道题相信并没有给大家带来多大的麻烦，下面我们看第七题， 条件倒是平平无奇， x 一 和 y 一 这个点在以根号二、根号二为圆心一为半径的圆上，后面是以负 三倍根号二负三倍根号二为圆心实为半径的圆上。但是他求的这个东西看起来却并不是十分的友好，因为如果他求的是 x 一 减 x 二的平方，加上 y 一 减 y 二的平方， 我们应该还是能联想到，事实上就是求这两个圆上点之间的距离。当然还有平方他这里是加，我们就不太好处理。如果用纯粹函数的方法做，这个变量太多了，做起来非常麻烦。所以我们有必要对第二个圆进行一下简单的变形，把它写成 负 x 二减三倍根号二的平方等于一百， 这样整个式子没有变化，却将原来的 x 二负 x 二给它改成了负 x 二。负 y 二是在以它为圆心， 它为半径的圆上，也就是我右边画的这个小圆和大圆。这样题干求的东西就变成了 x 一 减负 x 二，然后它们的平方再加上 y 一 减负 y 二的平方，求它最小值，我们只需要加个根号，就是原上两个点之间的距离 最小值。这里显而易见，应该就是这样， 相当于用大圆的半径减去圆心的距离，然后再减去小圆半径，就是圆上两点距离的最小值，也即 大圆半径是十，减去两个圆心的距离是根号下 三倍根号二减根号二的平方，再加上三倍根号二减根号二的平方，然后还要再减去小圆的半径，计算一下，等于五 根号，它的最小值是五，那平方之后最小值自然就是二十五，所以答案选 d。 这道题想顺利的做出来，需要对第二个圆的方程进行一下灵活的变形。 下面我们看第八题。第八题看起来有点吓人，但实际上是一道非常好做的题目。他说已知二面角阿尔法 ab 杠贝塔的大小为四分之派， o 是 ab 上一点， p 是 平面阿尔法内一点，且角 p o， a 等于三十度， q 为贝塔内溢于 o 的 一点，则三角 p o q 的 最小值为多少？ 这里我看到一个二面角的大小为四十五度，我的第一反应就是直接把它塞到正方体里，相当于在我下面这个图中， a、 b、 c 一 d 就是 阿尔法，然后底面这个贝塔就是 a、 b、 c、 d 此时对应的二面角显然是四十五度。然后说 o 在 a、 b 上，我在 a、 b 上随便取一点 o， 这里注意并不一定是中点啊，随便取一点，角 p o， a 是 三十度。 比如说我在平面二法内也是随便取一点，然后让角 p o， a 是 三十度，此时 q 为贝塔内异于 o 的 任意点，则 sin p o q 的 最小值。这里我们要有一个基本的认知，就是过 p 点作 p e 垂直于 平面贝塔，则角 poe 要小于等于角 poq， 所以 求 sin poq 的 最小值。我们事实上只需要求 sin 角 poe 就 可以了。 sin 角 poe 根据题目条件是非常好求的，比如说我设 pe 等于 x， 这里是垂直自然， a， e 也是 x， 而 pa 就是 根号二 x。 由于角 p o， a 等于三十度，而 r t 三角形 p a， o 中 p o 等于根号，二 x 除以三六分之派等于二倍根号二 x， 这样三角 p o， e 就 等于 pe 除以 p o 等于 x， 比上二倍根号 x 等于四分之根号。所以答案选 d。

试卷分享，高三二模，江苏苏北七市南通、泰州、扬州、淮安、宿迁、连云港、徐州二模试卷及答案视频时长有限，展示的是数学学科部分资料，如有需要完整试卷及答案的，可以微长来取，整理不易。

我们来分析一下刚刚考完的苏北七式的二模数学试卷，整体难度中等偏上。首先单选的前六题啊，送分题，集合复数、平面向量函数、单调性、三角求值等等都是基础题， 没有陷阱，一定要全部拿下啊！第七题，本质是几何最值，不能死代公式，要用数形结合的思路去解析。第八题，典型的三角最值，有点难度，要学会用辅助角公式，直接化成单一的三角函数，就能很快的锁定最值 多选。第九题不难。第十题啊，直接取特殊值来代入，就能够快速的排除错误的选项。第十一题，抽象函数，只要能够找到特殊点或者特殊函数就能够了解。这次的填空题整体不难，前两题不能出错啊。第十四题，要用几何转化，别想复杂了，基础方法足够用了。 第十五题，第一问要能够化解三角函数，第二问结合真弦定律和余弦定律，基础扎实，同学直接拿满十三分，没有难度。第十六题，常规导数题不难，按求导，然后找零件点，然后分类讨论的步骤去写，基本能拿满分。 第十七题，概率题，主要考察逻辑推理能力，需要考生能够理清事件之间的关系，难度中等。第十八题，这题有点难度啊，立体几何加圆锥曲线的考法，考法非常新颖，后面的两问不好拿分。 第十九题，速列加概率的压轴题，细心的你们应该会发现啊，二零二四年新高考一卷的第十九题，也是速列加概率。第一问很简单，每局排列送分题，不应该出错。这里大家注意一下啊，不要一看是最后一道压轴题，直接放弃，往往最后一题的第一问是不难的， 第二问考逻辑推理，第三问就是书列和概率的结合。这两问完全就是区分学霸和中等生的两问。基础差的孩子直接放弃，重心还是得放在基础题部分好。各位家长把关注点好。二模分数出来之后，来我直播间了解孩子这次考试大概在全省的水平，以及大概能读到哪些学校的哪些专业。

今天，苏北七市高三二模数学卷的答案和试卷已经整理好了，卷子整体来说难度较高，需要的可点击主页发送二模领取。

苏北七十二模特数学真的是考出了骨灰级的难度，就这么说啊，孩子搁考场认真一顿答都不如人家蒙的分多，绝对是今年江苏模考的难度天花板，你看着吧，平平无奇，人畜无害，只要你一上手去做，思维量巨大，而且非常考验解题方法， 方法不对，计算量直接爆炸。先说单选啊，前五题难度一般，但第三题向量共线，很多同学都栽了。这道题跟苏北四市期末考的渐进线和离心率那道题是一个套路，考的就是你对概念的理解到不到位，错的同学好好反思吧，你这基础绝对是有大问题的。 第四题集值，第五题三角，第六题对数，都是送分题，从第七题开始画风突变，隐形元加距离问题，需要你灵活的去转化知识点，不少同学就直接卡在这。 第八题，例题几何也是有一定的难度的，多选题大部分同学也就拿个十分左右。第九题，平均数中数不难算，但第十题抛先定义加二阶公式，平时不注重公式积累的同学直接卡住。 第十一题，数列与倒数的综合小题，难度不算特别大，但方向很重要，属于新高考爱考的融合性小题， 填空题。第十二题，数列的公式算是常规题。第十三题，函数的对称性。这道题看着很简单，但概念不清的同学，即使你觉得简单，你也做不对。第十四题，解析几何双曲线对正问题。苏北四世期末也考过，有难度，但是啊，连着考了你两次，你还能一点准备都没有吗？ 静下心来分析还是可以做的出来的。这里我必须说一句啊，无论是高考还是模考，小题部分拼的就是你手里有多少个解析方法，这个直接决定着你能不能做出来这道小题方法不够，只能看着题发呆，方法积累够了，直接就可以秒杀。 解答题是这张卷子真正的重头戏，第十五题上来就给你一个下马威，话题一定是很低的。第十六题，导数难度一般，中等同学细心一点就能够拿到满分。 第十七题排列组合和概率结合没有什么障碍，跟第十六题一样，细心就能够拿满分。但第十八题和第十九题难度明显上升，而且有一个共同的特点，都跟新定义挂钩。第十八题一看就是一个新定义的题型，但本质上用的都是老方法，关键在于你能不能快速的切入去找到突破口。 第十九题，数列的新定义有点江苏老高考的味道，真的是很难做。我们老师在刷题的时候啊，这道题也是做了半天，如果不熟悉数列的核心处理技巧，那第二问你就很难突破。 这一次啊，中等生考崩了，不要慌，重点回去看单选的第三题，多选的第十题，填空的第十三题，这几题做错的本质上都是概念不清，而不是你的能力有问题， 回去把基础的概念吃透了，分数立马就能涨回来。想冲高分的同学注意第七题的隐形元转化，第八题，立体几何求角，第十四题，解析几何。这几道小题呢，都有高考真题的味道，值得你反复的去琢磨。大题重点吃透第十八题的快速切入思路和第十九题的数列新定义考察方法， 这两道题的出题方式非常结合高考现在呢，把这种题型练到位，考场上就是你和别人拉开差距的关键。 总的来说呢，苏北七市这套卷子质量很高，创新力度也够，其他地区的同学强烈建议拿来做一遍，重点去刷。第七、八十一、十四十八十九题，对你数学的真实水平绝对是一次非常好的检验。

本次数学试卷是由南通命题，整体看起来难度适中，但绵里藏针，真正做起来就会发现思维量大，综合性很强，属于中等偏上的难度，非常考验学生的基本功， 我们来具体分析一下。首先，小题部分，单选的前六题属于送分题，基础题集合复述、空间、线面位置、关系、单调性、三角求值等等，没有套路，没有陷阱，一定要确保拿下。那从第七题开始，让不少同学卡住了，本质是几何最值，不能实带公式，要用数形结合的思路去解析。 第八题，典型的三角最值，用辅助角公式直接化成单一的三角函数，就能直接秒杀锁定至值。第十题，直接取特殊值来代入，就能够快速的排除错误的选项。 第十一题，数列与导数的综合小题难度不大，只要能够找到特殊点或者特殊函数就能了解。这次的填空题整体不难，前两题不能出错啊。 第十四题，解析几何，小题要用几何转化，直接可以秒杀。第十五题，第一问要能够化解三角函数，第二问结合正弦定力和余弦定力，记住扎实的同学，没有难度。 第十六题，常规导数题不难，按求导，然后找临界点，然后分类讨论的步骤去写，基本能拿满分。第十七题，概率题主要考察逻辑推理能力，需要考生能够理清事件之间的关系，难度中等。 那大体部分，第十八题和第十九题难度明显上升，都是两个模块的融合。十八题，立体几何加圆锥曲线的考法，考法非常新颖，后面的两问不好拿分。十九题，竖列加概率的压轴题，使竖列新定义再次出现。第一问很简单，每举排列送问题不应该出错。 一般最后一道压轴题，第一问是不难的，不能够直接放弃。第二问逻辑推理如果不熟悉数列问题的处理技巧，就很难做出来。第三问就是数列和概率的结合，这两问完全就是区分学霸和中等生的两问，大多数学生可能直接放弃，重心还得是放在基础题、中等题部分。 如果这次没考好，千万别灰心，在这个阶段发现问题反而是一件好事，我们还有时间去弥补这些漏洞。二模分数出来之后，来我直播间进一步了解考试的划线和对应可选的学校和专业。

苏北七十二模数学真是考出了骨灰级的难度，就这么说啊，孩子搁考场里认真一顿答，结果不如人家蒙的分多，绝对是今年江苏模考难度的天花板，看着平平无奇，人畜无害，但只要你一上手去做，思维量巨大，而且很考验解题方法，方法不对，计算量直接爆炸。 先说单选啊，前五题难度一般，但第三题向量共线，很多同学都栽了。这道题跟苏北斯是期末考的间歇线和离心率那个题是一个套路，考的就是你对概念的理解到不到位。错的同学好好反思吧，你这基础绝对是有大问题的。 第四题极值，第五题三角，第六题对数都是送问题，那从第七题开始，画风开始秃变了。第八题立体几何求角也是有一定难度的， 多选择题大多数同学也就拿一个十分左右。第九题平均数中数不算难啊，但第十题抛物线定义加二阶公式，平时不重视公式积累的同学直接就卡住了。第十一题，数列与导数的综合小题，难度不算特别大，但方向很重要，属于新高考爱考的融合型小题， 填空题。第十二题数列公式算是常规题。第十三题，函数对称性。这道题呢，看着简单但概念不清的同学，即使你觉得简单，你也做不对。 第十四题，解析几何双曲线对称问题。苏北四市期末也考过，有难度，但是你都连着考两次了，你还能一点准备都没有吗？静下心来分析还是能做出来的。 这里我必须说一句啊，无论是高考还是模考，小题部分拼的就是你手上有多少种解题方法，这个直接决定了你能不能做出这道小题，方法不够，只能看着题发呆，方法积累够了，直接就能秒杀 解答题是这张卷子真正的重头戏啊！第十五题，上来就给你一个下马威，化简思路，就很难想到得分率一定很低。那第十六题导数难度一般中等，同学细心一点，基本上就能拿到满分了。 第十七题排列组合和概率结合，没设什么障碍，跟十六题一样，细心就能拿满分。但第十八题和十九题难度就明显上升了，而且有一个共性特点，就是都跟新定义挂钩。 第十八题一看就是一个新定义题型，但本质上用的都是老方法，关键在于你能不能快速切入，找到突破口。第十九题数列新定义有点江苏老高考的味道了，但真的很难做。我们数学老师刷题的时候，这道题卡了半天，如果不熟悉数列题的核心处理技巧，第二问就很难突破。 这次中等生考崩，不要慌，重点回去看看。单选第三题，多选第十题，填空题。十三题，这几道题做错了，本质上就是概念不行，不是你能力有问题， 回去把基本概念吃透，分数立马就能涨回来。那想冲高分的同学注意，第七题，隐形元转化，第八题，立体几何求角第十四题，解析几何。这几道题都是有高考真题的味道的， 值得你反复去琢磨。大题，重点吃透第十八题的快速切入思路和第十九题的数列新定义处理方法。这两道题的出题方式非常贴合高考，现在把这种题型练到位，考场上你就可以和别人拉开非常大的差距。 总的来说啊，苏北七十这套卷子质量很高，创新力度也够，其他地区的同学强烈建议拿来做一做。重点刷第七题，第八题，十一题，十四题，十八题、十九题，对你的数学真实水平绝对是一次很好的检验。

高三的孩子们别被奥模分数吓哭，苏北七式数学试卷根本不是高考的真面目！哈喽，大家好，我是大润培源创药区的负责人宋老师。今天下午啊，江苏南通、扬州、泰州等苏北七式二十二万高三的学生同台考奥模， 我们大神也是第一时间把试卷进行扒透了跟大家讲解。先说说整体啊，这套试卷是难通命题的，看着温和，实则免礼藏真，思维量也是超大，综合性贼强，第七题就能卡住一大堆孩子，创新度也是拉满，如果孩子光靠死记硬背，公式根本就不够用， 小题目更绝。第八题啊，用我们总结的公式就能够直接秒杀第十一题，数列加倒数方向找对就不难。第十四题，解析几何，数学老师总结的公式能够直接上用上， 大题目更坑。十八十九两题全是模块融合加心钉一体，看着难，其实是套路题，但是如果孩子没有积累足够的解决工具，考场上根本就做不完， 重点来了啊！所以家长听好这套奥模试卷，他既不在代表高考的方向，也不能代表孩子高考的试卷，不要让孩子因为奥模的视力躺平。每年啊，都有模考，平平的孩子高考化身黑马，逆袭模考，我们说只是练兵， 分数不要太较真，真的高考难度，他的思维题都是能够提前去准备的。 我呢，今天也是把我们苏北七十二模的数学试卷的原卷整理好了，家人们关注我加私信，二模免费直接发给我们。各位家长，我是宋老师，持续带你拆解高考备考干货，咱们下期见，拜拜！

这是二零二六届苏北七市二模考前模拟试卷三数学试题。第一题考察集合交集运算，检验对描述法集合与列句法集合元素特征的识别能力。第二题考察复述共鳄与运算，检验复平面对称性、 共恶负数概念及负数除法的计算能力。第三题考察平面向量垂直与魔长，检验向量垂直的坐标条件及向量魔长公式的应用。第四题考察二项分布数字特征，检验二项分布期望访查的计算及约束下的最值求解能力。 第五题考察抛物线焦点坐标，检验抛物线一般是与顶点式的转化及焦点性质的应用。第六题考察函数图像识别，检验函数奇偶性、定义域特殊点及单条性的综合辨析能力。第七题考察三棱锥外接球表面积，检验线面垂直性质、 外界球半径计算及球表面几何式的应用。第八题考察简谐运动，检验正弦函数周期性、对称性，即未与已知相关的时间计算能力。第九题考察正向等比数列，检验等比数列通向前安向合 连按相机及对数数列的综合分析能力。第十题考察函数单条性与不等式，检验导数工具在比较函数值、对数值及指数是大小中的应用。第十一题考察比赛概率与场数，检验独立事件概率计算及分类讨论思想在实际问题中的应用。 第十二题考察偶函数构造，检验对集合兼函数奇偶性定义的理解应用到能力。第十三题考察椭圆与向量内切圆，检验椭圆几何性质、向量运算及三角形内切圆面积的计算。第十四题考察数列新定义与递推， 检验对序数列的理解。递推数列单条性分析求和技巧。第十五题考察解三角形检验正弦定力、 余弦定律及面积公式在边角互化于几何计算中的应用。第十六题考察统计与概率检验、独立性检验相关系数计算及相关性判断的数据分析能力。第十七题考察立体几何，检验线面垂直证明及二面角的求解。 空间向量或几何法的综合应用。第十八题考察双曲线与解析。几何检验双曲线方程、直线与双曲线位置关系及面积相关的计算推理。第十九题考察导数与函数综合检验函数最值单条性，即导数在不等式证明中的综合应用。