2026百校联赢一模考试时间

咱们合肥一模的时间确定了啊？基本上是在三月三十号跟三月三十一号这两天，然后这两天百校联营也考完了，明天好像是安徽第一卷，皖北跟皖南的部分学校参考，合肥有一些学校也参考。所以说这个时间真快啊， 离中考也就七八十来天了，孩子们一定要加油。需要什么卷子的可以找我发给你写一写啊。

来，我们看一下这两天刚考的安徽百校联谊的一模数学试卷，这个试卷整体难度还是比较大的啊。当然了，我们拿到一个试卷呢，不仅仅是关注整个难易程度，更应该是观察一下 整个试卷里面所涉及到的知识点，涉及的题型，对吧？这毕竟是我们下一步的一个备考方向。第一个呢，是考的相反数，这个不多说。第二题，科学计数法，这个也是必须要会的。第三题，三式图，第四题，密的运算。 这前面四题纯是送分题啊，必须要会，从第五题开始。第五题呢，考的是一元二次方程的根与系数的关系，也就是我们说的伟大定律， x 一 加上 x 二等于负的 a 分 之 b， x 一 乘以 x 二等于 a 分 之 c， 那 abc 的 值呢？要会找这个待求式，先通分一下，通分之后，分母就是两根相乘，分子就是两根相加，那这样的话，整个式的值就能求了。 第六题，考的是一次函数的图像以及它的增减性。已知一次函数与 y 轴的负半轴相交，说明当 x 取零时， y 是 一个负值，也就是一减 m 小 于零， m 大 于一， y 随 x 的 增大而减小，说明 k 这个位置。注意啊， k 这个位置是负值，也就是三 m 减七小于零，再结合 m 是 整数，可以求出 m 的 值， m 应该是等于二的 m 知道了之后 代入解析式。那么原先的解析式就是负的 x 减一。好，接下来 y 的 范围是负一到三，我们分别把 y 等于负一和 y 等于三代入解析式。那这样的话呢， x 的 范围就知道了。 第七题，第七题考的是两个知识，第一个，等腰三角形的三线合一的性质。第二个含三十度角的直角三角形，它的三边关系 这里已知 ab 和 ac 相等，我们想到过点 a 向底边做垂线，那么这个点 e 一定是 bc 边的中点， 再结合 b、 d 等于四分之一的 bc， 可以 快速的去找关系，设参数。假设 b、 d 为小 a， 那 么整个 bc 应该就是四 a 点 e 又是中点，所以 c、 e 应该是二 a、 e， b 也是二 a， 那 中间的 d、 e 呢，应该是等于 a 的， 这里他直接给了 b、 d 长度了， b、 d 是 根号三，那么这里面的线段长度啊，都是可以推倒的。比如说 b、 d、 d、 e 都是根号三，那么 b、 e 的 长度是二倍，根号三 a、 b、 e 这个角是三十度，所以说 a、 e 的 长度是通过三角函数可以求的，对不对？ a、 e 呢，是等于二的，在 a、 d、 e 当中使用勾股定律就可以把 a、 d 的 长度给求出来了。 第八题第八题呢，可以看作是考的这个基本的计算啊，我们不妨假设什么呀？假设正方形的边长统一为 a， 然后想办法把图形当中的线段长度都用 a 来表示不就行了吗？对不对？比如说第一个图长度应该是三 a， 第二个图长度应该是二倍的根号二 a、 三和四两个图呢，相对来说稍微复杂一点点。 这两个图要想快速的计算呢，需要掌握两个基本的结构，第一个含有一百二十度角的等腰三角形三边长度应该是一比一比根号三的关系。第二个等腰直角三角形三边的比值应该是一比一，比根号二的关系， 这两个结构的关系掌握之后，可以快速的推导。我举个例子，比如说假设 a、 d 的 长度为 a， 已知腰长和底边长是根号三倍的关系，所以说腰长可以直接拿 a 除以根号三，化简一下就是三分之根号三 a。 再比如说等腰直角三角形，腰长和底边长是根号二倍的关系，那已知 bc 为 i， 所以 说腰长应该是 i 除以根号二，懂了吧？ 你包括像这两个短线段呀，都是能求的啊，中间的这个小线段呢，只需要拿全长减去上下的两个短线段就可以了啊。我我们只是讲一下他会涉及的知识。 第九题主要是考察二次函数与一元二次方程的一些知识的。首先先观察图像，图像的开口方向是向下的，所以说这个 a 应该是小于零的。 图像与 x 轴有两个焦点，一个是负一，一个是五，那可以通过这两个焦点快速求出对称轴。负一加上五除以二等于二，那对称轴是二，可以找到 b 和 a 的 关系。注意啊， 负的二， a 分 之 b 等于二， b 等于负四 a， 这是 b 和 a 的 关系，有了关系之后，可以快速的把 a 和 b 之间进行相互的转换。 比如说第一个小题目，他求的是三 a 加 b， 我 们直接把 b 换成负四， a 就 变成了左边，就是负 a 了啊，那前面推导的是 a 小 于零，所以负 a 的 值呢，应该是大于零的，对不对？ 第二个选项呢？哎，我们可以通过对称轴来判断，对称轴呢，是在 y 轴的右侧，所以负的二分之 b 应该是正的，那么 a 分 之 b 呢，应该是负的， a 乘 b 应该也是负的。第三个题要进行一个肖原思想了， 我们需要找到 a 和 c 的 关系，对不对？这个关系不好直接找他，不像 a 和 b， a 和 b 呢，可以通过对称轴来找关系，但是 a 和 c 呢，需要进行交元，先找到特殊值，当 x 取负一的时候， a 减 b 加 c 等于零，这个式子是 abc 三个参数的关系，我们可以把 b 这个参数消掉，因为目标里面没有 b 对 不对？把 b 等于负四 a 代入就可以得出五 a 加 c 等于零了，所以三是对的，四是不对的。为什么呢？ b 已经是负四 a 了，加上四 a 之后就是零了，那零加一能小于零吗？肯定是不对的，对不对？ 好，这类题目呢，咱们应该，嗯放在重点去练习一下。好吧，这几个选项还算是比较基础一点的，如果说换成比如说让你去求范围的一些题目，可能会更难一点啊。 第十题呢，主要是考察瓜豆结构以及这个隐形元的，这里咱们就不多说了啊，我在另外一个文件里面已经把这个过程的写完了， 后面我再发其他视频，咱们把这个题目的过程啊详细写一下。好吧，在评论区呢，我也会把这个嗯解析的截图发出来，到时候我们可以看一下啊。 十一题比较大小，这也不多说了，十二题呢，考的是圆的相关性质的。 第一个切线，既然是 pi 是 圆 o 的 切线，我们立马想到连接圆心和切点，这个 o i 一定是和 ip 垂直的对吧？ oc 平行于 pi， 所以 oc 应该也是垂直于 ad 的 这个地方垂直的， 然后角屁是三十度，根据 a、 p 和 c、 d 平行，这个小角 o、 c、 d 应该也是三十度，那么 o、 c、 d 它就是一个特殊的直角三角形，三边的长度可以推倒了。已知 o、 d 为一， o d 是 一，那 c、 d 应该是二， o， c 呢？应该是根号三。 o、 c、 b 是 一个等腰的三角形，所以 o、 b 也是等于根号三的， 然后等腰三角形底角长度为三十呃，三十度，所以整个顶角应该是一百二十度。 o、 b、 c 又是一个顶角，为一百二十度的等腰三角形，三边关系是一比一比根号三，已知腰长为根号三之后，这个底边长可以快速推倒，应该是三， 所以 b、 d 长度就是一的。这个。嗯，还行吧，中档中档题啊，十三题是概率。画这个竖形图或者是找表格就可以了啊， 在画的时候你不要直接写汉字，你写什么？番茄苗呀，黄瓜苗，这太费时间了，怎么办？你就写 abcd 或者是标序号，一二三四啊，标完之后注意哪些秒组合正好是一百五十天呢。就两种情况，一种是 a、 d 组合，一种是 bc 组合，所以找的时候找一下怎么选，能选成 a， d， 怎么选，能选成 bc 就 可以了。 十四题呢，我还没有做啊，因为我看比较复杂，我还没有写。我们之前往后看。十五题分式的花点求值。这个不多说啊，主要是考察面积，平方式，平方差公式，还有这个约分的一些知识的。 十六题，第一题考的是位四，第一题啊，考的是位四，这个位四呢，我感觉是需要重点练习的，因为往年的题目里面啊，考过旋转，考过对称，考过平移，都考过位四考的比较少，懂吗？我感觉位四还是应该考的啊。 第二个题目呢，也是最近这两年考的比较多的。让你画垂线啊，中线啊，角分线啊，高线啊，呃，再比如说评分面积啊， 角分，呃，还有就是线段的三等分点，四等分点等等这些无呃叫什么？叫尺规作图问题也是比较常考的好吧，这里做垂线呢，一般都是去构造一线三垂直的全等或者是 相似的。注意看啊，我们把 a 撇 c 撇当做是斜边构造一个这个三角形，然后 再去构造一个和他差不多的这个三角形。看这个图，这个图应该和前面这个三角形是全等的，全等之后，根据全等的性质，蹲角相等， 这个小角和这个小角应该是相等的，对不对？本身呢，这个地方是垂直的，所以说角一加角二肯定是九十度，再结合角二和角三相等，那么角一和角三肯定是互余的，所以这个地方不就垂直了吗？能理解吧， 我再描述一遍啊，做垂线一般是构造一线三垂直的相似，或者是一线三垂直的全等来实现的。 这个十七题呢，比较基础啊，根本就不需要做辅助线，你只需要看一下哪些量是已知的，哪些量是带球的，然后通过三角函数建立起关系就可以了，这个非常非常基础。 第十八题呢，第二小问稍微难一点点啊。第一题，一次函数和反比的函数相交，交点为 ab， 其中点 b 坐标是四一，知道点 b 之后，可以快速的求 k， 也可以快速的求 a， 直接往里面带就行了。然后注意了，第二，小朋友让我们求三角形 oc 的 面积，注意啊，先把这个最大值给盖住，面积的话怎么算呢？对于 ocd 而言，它是一个比较规则的三角形，因为 od 边是和 x 轴平行的， 这类三角形，它们的面积可以直接通过底乘高来计算。我们不妨假设点 c 的 横坐标为 a， 那 么点 c 的 纵坐标一定是一个与 a 有 关的式子啊。注意，这个不能设设 a 了，因为题目有过 a 了，对吧，就设个 m 吧。 假设点 c 横的标为 m， 那 么点 c 纵坐标就是负的二分之一， m 加三，这个解析式是我求过的啊。 把点 c 带入直线就可以了。知道点 c 的 坐标之后，线段 o、 d 的 长度以及线段 c、 d 的 长度都是能表示的，一个是水平方向线段，一个是数值方向线段，这都是要算的好吧， 把这个线段长度表示完之后，根据面积公式， o d 乘以 dc 乘以二分之一，这就是面积。然后把 横坐标以及纵坐标代入，就可以得出一个关于 m 的 呃，二次函数的表达式，然后去求对值就可以了啊。 十九题这个题啊，第一小问非常基础，第二小问求中位数。如果说 数据的总个数是偶数的话，那么中位数应该是找中间的两位数，对不对？那哪两位是中间两位呢？我们直接拿 n 除以二就可以了， n 除以二在 n 除以二后面的一位，这两位是属于中间的两位的。比如说这里啊，一共是一百加起，那么中位数应该是在第五十位和第五十一位来找的，为什么是五十就是一百除以二，为什么是五十一？就是一百除以二之后再加一， 懂吧？求第五十位和第五十一位的平均数就可以了。第三题，这个题需要重视一下啊， 让我们求平均数的平均数呢？我们都知道应该是拿总量除以数据的个数 对不对？但是这里他只是画的表格，没有把数据一个一个给我们，所以说我们很难直接去计算数据的总量。那怎么办呢？看这里啊， 我们可以拿每一组数据的个数乘以这组数据的中值，所得到的就是某一组数据的总量，然后分别把这各个组的总量相加，就是所有数据的总量了。 明白什么意思吗？我举个例子啊，举个例子，传统煤炭一共是十二家企业，那这十二家企业里面 总量应该是十二乘以三，也就是三十六，第一个分组是三十六，第二个分组也很简单，一共是十八加企业，那十八乘以八就是第二组的总量，以此类推，每一组 每一组的这个总量求出来之后，相加除以一百就可以了。好吧，这个求平均数的方式是我们需要重视的啊。再打一颗星。 二十题是圆的相关性质，还行吧，不算特别难。第一小题，嗯，首先考的是切线的性质，看到切线，要想到连接圆心和切点有垂直， 然后呢， a、 d 和垂， a， d 和切线 bc 也垂直，所以肯定是有平行线的。这个 a、 d 和 o、 c 啊，肯定是平行的，所以角一和角三相等。因为 o i c 是 等腰的，所以角一和角二相等，那么二和三就相等了。所以说 a、 c 应该是 d， a、 b 的 角分线， 有角分线了，分别过点 c 向 a、 d 边以及 a、 b 边做垂线，那么这两个垂线段长度就是相等的，所以第一问相等，第二问需要特殊的注意一个点啊， 这里 f 是 什么？ f 是 线段 o b 的 中点，也就是说 cf 这个线段是垂直平分 o b 的。 我们在学习垂径定理的时候，应该学过叫弦啊，不对，叫呃过圆心的线段垂直平分弦， 也就是说大多数时候啊，都是半径垂直平分弦的，但如果存在弦垂直平分半径的时候怎么办？那一定会存在等边三角形。 比如说我把这个 c、 b 一 连，因为点 f 是 ob 的 中点 c f 又是和 ob 垂直的，所以 oc 和 bc 肯定相等， 再结合 oc 和 ob 相等，那么 cop 一定是等边的，对不对？知道等边之后，其他角度也都是可以快速的推倒的，再结合 ab 的 长度是四，那么像线段 b e 啊，求其也是比较简单的啊。 二十一题呢，这个题我还没有看，太复杂了。二十二题倒还好，第一题考的是旋转型的手拉手全等，第二题也是旋转型的全等，这里应该是证明 这个 a、 c、 d 和 f、 e 全等的，对吧。第三题呢，它是一个嗯，全等的问题，三角形 a、 p、 f 和三角形 a、 c、 h 是 全等的。这里呢，我们先讲一点 后面的具体过程，我再发一个视频啊，讲什么呢？两个三角形全等，它们的对应情况一般情况下是需要分类讨论的，但是在这里呢，不需要分类讨论了。为什么注意看？ 因为 c h 和 ab 是 平行的，所以说角 bc 和角 ac h 一定是，嗯，九十度对不对？那就意味着这个 ac 啊， ac 应该是三角形 ac h 的 长直角边。 好。接下来如果 a c 是 长直角边的话，又因为 a c 和 if 已经相等了，那么 if 一定也是一个长直角边，对不对？如果 if 是 长直角边的话，那么 要么是这个角，注意啊， p f c 九十度。 呃，要么是 p i f 九十度，其他情况下都是不行的。如果是角 a p f 是 九十度的话，那么 a f 一定是一个斜边，不是一个直角边了， 懂吗？再结合实际情况，可以看得出来只有一个是合理的，也就是 afg 这个角呀， afg 是 九十度，他这个图像呢？画的不是很像啊。不是很像。我在另一个笔记里面二十二题已经写完了，到时候我也发出来。

八戒老师，各位同学大家好，今天呢给大家分享一下百校联营异模的选择题的压轴题，也就是第十题， 这个题的话啊，有点小小的难度，那如何来解题呢？张老师呢，带着大家呢来做一做。 首先他说了，这是一个直角坐标系，对吧？然后呢， a 呢？是多少呢？是爱豆零，是一个固定的点啊，爱豆零，对吧？然后呢， c 呢？是一个动点，是多少呢？是零度 m， 对 吧？在什么 y 这上面呢？ 进行移动，然后呢， c a 呢？对吧？它是一个什么？绕着 c 点旋转，逆时针旋转九十度，来到了 c b， 也就是说 c a 是 等于 c b 的， 对吧？ 然后呢，平面内一个动点，好，这是一个屁点，对不对？那这是什么？固定不动了，说明这是半径，对不对？说明的话，屁点运动的轨迹已经是一个什么圆，对吧？所以说呢，能够画出来， ok， 对 吧？明显的什么？ a 是 一个定轴， p 是 一个什么动轴，对不对？而且呢， a p 的是一个固定的，对吧？旋转对吧？所以说 p 点的轨迹呢，就是一个圆， ok 啊，然后呢， p a 是 什么？是 e， 对 不对？ ok 啊， 就是一相当于半径，对吧？然后连接这些，然后判断下来，错误的是第一个 ob 的 长， ob 的 最小值，对吧？很多同学傻眼了， ob 到底怎么求呢？我们看到了这个是什么？直角，这个是直角，就会想到什么叫一线，对吧？三 直角对不对？那一线三直角的话，一定会存在什么全等三角形，说明这个三角形，对吧？就是这个三角形 啊，和这个三角形干嘛全等啊？非常明显啊，非常明显，为什么呢？这个边和这个边相等，对吧？旋转过来的还有呢？嗯， 这个角和这个角相等，直角，对不对？对吧？然后这是什么？ x， 这是 y， 可以 吧？那 x 加 y 等于九十度，那这个是九十度，那这个加这个角也是等于九十度，所以说这个 y 对 不对？所以这个 y， 这个是 y， 这个九十，这个九十，这个边和这边相等，所以说什么叫做是 s s a， 对 不对？两角， 对吧？加个边，证明这两个三角形全懂啊，叫一线啊，一线三垂直啊，三直角都可以啊，这你们揣学的啊。 啊，全等三角形对不对？全等三角形， ok， 那 全等过后呢？是不是这条边和这条边的相等了，对吧？这条边和这条边相等，那 o c 的 纵坐标就等于什么？我说这是 h 吧， ok 啊，所以说什么 o a 是 i， 那 c h 呢？也是 i， 对 不对？这个高度就会 i， 对 吧？ ok 啊，这个是 i， 那 这个是 m， 对 不对？对吧？这个是 m， 所以 说这个这个呢？红，这边呢？就是 m， 所以 说 b 点的 坐标就能写出来，就等，就等于多少呢？就等于 m 都上什么 m 加 i， 对 吧？ ok 啊。再来，那 b a、 c 点是一个什么？是主动的，对不对？主动的 b 点是一个什么层动的？我们知道层主动，他是什么？上下左右移动，他走的是什么？是直线，对不对？走的是直线，那 b 点的层动的话，他走的也一定是什么，也一定是 直线。那 b 点的运用的轨迹是什么呢？对吧？ b 点的运用的轨迹是什么呢？所以你要找他的什么轨迹，对不对？对吧？轨迹啊，轨迹， 轨迹是这样写的吧，对不对啊？找出他们的轨迹轨迹如果来找呢？我们知道这一个坐标已经求出来了，那我就直接令，对不对？ y 就 等于多少？就等于 x 加 i， 这就是 b 点的轨迹的方程，为什么呢？你看一下，当 m 等于 x 的 时候对不对？那 y 呢？是不是就等于什么？ m 加 i， 对 吧？可对应正好对应，所以说这个就是什么？ b 点，一定是在什么？这个一次还说的表达式上，在这表达式上就是什么它的直线的轨迹，那你一划，你令什么？令 x 等于零，对吧？令 x 等于零， 那 y 等于几？ y 等于二，所以说零到二，零到二的话呢，这是二，这也是二，对不对？大概在这个位置对吧？大概在这个位置的话， ok， 那 你画一下两点干嘛？确定一条直线对不对？这是 p 点，这是什么？这是两点确定一条直线啊，这是它的轨迹， ok 啊， 加粗一点， ok， 好，对吧？所以说这个轨迹呢，都已经 b 点的轨迹呢？都已经画出来了。 b 点的轨迹画出来过后呢，我们再看一下 b 点在这条直线上进行什么移动，那你 o 选项 o 点到 b 点的距离是什么？我们知道 o 点到垂直距离是什么？是最短的，也要画这条线，对不对？对吧？那 b 点就在这里对不对？距离是什么？是最短什么距离 啊？垂直距离对吧？ ok， 我 们又知道这个是，这斜率是多少？斜率是一对不对？斜率是一的话，说明这个多少度？四十五度，对吧？ ok 啊，那这是四十五度，对吧？那这个呢？也都是四十五度，对吧？四十五度， ok 啊， 四十五度， ok， 所以呢，这个距离是减，这个距离是对吧？刚刚说的零度爱对不对？ ok 啊，零度爱，这个是爱的话， ok， 那 说明的话，这减根号爱，根号爱，对吧？勾股定律对不对？是不是这个是爱，所以是根号爱，所以说这个是垂直距离，就是什么 最短的距离啊。跟我爱 a 是 吗？是对的，人家让你选的是什么，选的是错误的对不对？ a 不 选，选的是错误的啊。 ok 啊，那请你再看第二个，第二个的话让你求什么？ ab 加 ac 的 最大值， 我在想什么呢？这个就相当于什么？给你一个定义域对不对？定义域，然后让你求什么它的什么最大值，我只要把什么 a 和 b， 对 吧加起来就行了呀。 那我们知道 a 点的坐标已经知道了， b 点的坐标我也表示出来了， c 点的坐标我也表示出来了。根据两点之间的什么 距离公式就能表示出来，大家可知道？比如说 a 点的坐标是多少 x 一 y 对 不对？对吧？那 b 点的坐标呢？啊，就是多少 x 这样的吧，他有了呢？我就使 m 用吧。 m 是 多少 x 一 y 一 对不对？ i 呢？是多少 x i y i 那 两点之间的距离公式怎么求啊？ 这你们知道吗？就等于多少根号下对不对？多少 x i 减去 x 一 的平方加上多少 y i 减去 y 一 的什么平方 对不对？这又是什么？两点间距离公式大家知道吧？ ok， 两点间之间距离公式， 那 a 点知道了， b 点知道了， c 点知道了，那 ab 能不能标出来，知道吧？那 ac 能不能标出来？知道不？ ok， 我 们来表示一下嘛，所以 ab 的 两点间的坐标对吧？往里带就行了。多少是 m 减去 i 的 什么平方加上多少？ m 加上 i 减去零或的平方，对不对？ ok 啊，那经过一化减就等于多少呢？就等于 m 的， 嗯，平方减去四， m 加上四，对不对？然后这边多少加上 m 的 平方加上四， m 加上四，对吧？ ok， 那 中间能不能约掉？约掉，约掉就等于几？就等于个 嗯，二倍的什么 m 的 平方加上多少？八，对吧？ ok， 再来看什么 a c 对 吧？ a c， a c 的 话也能够别出来啊。就等于多少？ a c 就 等于零减去 i 的 什么平方加多少？加上 m 减去零的平方，对吧？直接就等于多少？直接就等于四的平方加上什么 m 的 平方， ok， 好， 你看这个， 这个的话我能不能提取一个根号 i， ok， 好， 这个我给他提取个根号 i 的 话，嗯， ok 啊。提取根号 i 就 等于多少？就等于 m 的 平方加上什么 i？ 嗯， m 的 平方加上四，对不对？ ok， 那 这又什么 m 平方加四，这又呢？ m 平方加四对不对？你看 a 加 b， a b 和 a c 我 都表示出来了，相加 ok 啊，所以呢， ab 加 ac 就 等于多少？就等于根号 i， 对吧？这个能往里带啊？这是 ab 啊，往里面带啊，就等于多少？ m 对 象加上吗？四对不对？ ok， 哦，这个地方有点小小问题啊。 这问题是四，这个是四， ok， i 的 平方等于四吗？对吧？ ok， 加上多少？加上根号一下啊。 m 的 平方加上四，对吧？ ok， 把这个呢写的下来。都有干嘛？我提取几啊？提取个对吧，这个是都有什么？都有他们对不对？我提取不就行了吗？ 就等于多少？嗯，根号二加一对不对？括号多少？ m 的 平方加四对吧？ ok， 人家说了 m 是 什么？是大于等于零，小于等于二的，那 一样求出它的最大值。最大值的话就是当 m 等于几等于二的时候，对不对？是不是？那当 m 等于二的时候，取到什么最大值？往里面一带就等于几，往里面一带就等于个四，对不对？根号几，根号八，根号八的话就等于二倍根号二，二倍根号二的话再乘以几 二倍根号二，这个是二倍根号二，往里面一带就等于几？就等于个四。加上多少二倍根二，你四加二倍根二，明显不等于四呀，对不对？ ok 啊，所以说嘛， b 是 错的， ok 啊， b 是 错的， 对吧？还是复盘一下啊？就是根据两点间啊，两个点的坐标，对吧？然后能求出两点间啊，两个点的坐标，对吧？然后能求出两点间距离，就能把什么 a 的 ab 的 什么表示出来。两个 a 相加， 相加过后呢？这个表达式表示出来过后，当 m 等于二的时候，求出什么 a 加 b 的 最大值， ok 啊，它不是等于四啊，啊，能明白吗？ ok 啊，主要是两点间之间的距离。公式一定要会啊。 ok 啊，来，进来看。我擦了啊，来，继续看 a， c 的 距离的最小值，太简单了呀，对吧？你 a， c， 你 c 是 跑的你 a， 嗯， c 是 在这跑的， a 是 固定不动的，你这个垂直距离不是就最短吗？对吧？你假如你 c 跑到这个位置， a 点呢？还是在这个？这个距离是多少 i 呀，对不对？明显的对，对吧？啊，明显的对。然后这是什么？相减的相减的最大值相减的最大值，可简单 也挺简单的，对吧？我们知道相减的最大点又是 o p 是 多少，是取得什么最大，对不对啊？也是 o p 是 什么？是最大，这个呢？就已经是什么了， 最小了，拿最大减最小，不就是取得最大值吗？对不对？我们知道这个 p 点， o p 最大值的话，只能到这个点，就是最大值，对不对？这个点是达到什么最大值的话，那说明这是一，对不对？ a b a p 是 一吗？这是一，这是二，说明 p 点的坐标一定是多少， p 点的坐标一定是多少，是三度零，对吧？所以 o p 的 距离一定是几， o p 的 距离就是几，就是三啊， o p 绝对是三， o p 就 等于三， 那 ob 呢？ ob 角值刚刚已经算了。哎呦， a 选项知道什么？这垂直距离是最短对不对？是不是？所以说 ob 的 距离就等于几，就等于根号 i， 这是什么 最小？这是什么最大，对吧？没问题吧？最大最小。哎，你就 cp， cp 的 话，我们知道你这个 关键是 c 点在这跑的，当你 b 点来到了这个点的时候，对不对？你 c 点是到底在在哪个位置呢？我不知道，但是我不知道的话，我能不能把它画出来？我们知道。来来，你 在这个位置，这，这多少度？这是四十五度，对不对？ ok 啊，来来来，来来，来来来，这个距离是多少？这个是距离是多少？我们看到他是满足这个条件的，对不对？对吧？满足这个条件的，那这是四十五度， 嗯，这个距离是知道，对不对？这个距离是知道的话， 通过这个我能不能把 m 求出来，对吧？如果把 m 因为这点是最小值，对吧？把 m 求出来过后，所以呢？嗯？ c 点的， c 点的什么？ 因为 c 点上有 m， 对 不对？那 c 点的这个在这个 y 轴上的距离在哪个？在哪个位置，我不就能求出来了吗？对不对？ ok， 那 你看一下啊，这个是， 这个是根号 i， 对 不对？ o， b 是 根号 i， 你 说这个画，这个画对不对？这是多少？这两个边是相等，所以说什么？ 所以这是四十五度，对不对？这个两个边是相等，所以这一，这一对不对，对吧？所以 m， 所以 b 点的坐标一定是多少？ b 点坐标是多少？是负一斗一，对吧？是不是？ b 点的坐标是负一斗一的话，你说 m 点的坐标一定是多少？说 m 一定是几， m 只能等于几，等于负一，对不对？对吧？ ok 啊， m 是 等于负一的， m 等于负一的话， 又因为 c 点是什么？是零度什么 m， 所以 说这个时候就能推出 c 点的坐标是多少？零度负一，所以呢？ c 点就跑到哪了？零度负一应该是在这个位置，对不对？零度负一啊？ ok 啊，好，这个 c 点跑到这了啊，零都负一，对不对？那零都负一的话，那你就求什么？ cp 的 距离，那根据勾股定律的可可可，简单，简不简单？ ok 啊，好，画一下啊， cp 的 距离对不对？所以说嘛，根据勾股定律，这是几 啊？在这个三角形用购物定律，这是几，这是三，这是几，这是一，所以说这是几，等于根号下多少？三个平方加一等于几，等于根号十，对不对？对的啊，对的啊，所以说什么 cp 也是对的，对吧？啊？根据购物定律啊，根据购物定律， 所以说 cp 的 距离就等于多少？三的平方加上一的平方就等于几根号十，可简单也挺简单的吧。 ok， 没问题啊。好，今天呢就分享到这了啊，记得给张老师点点赞，点点关注 评论区回复中考必胜奥利给。

同学们好，我们来看一下百校联营一模数学试卷的第二十题。如图， a、 b 是 圆 o 的 直径，点 c 在 圆 o 上 a、 d 与过点 c 的 切线垂直。 这里啊，看到切线，那么我们连接连接圆心与切点过点 c 的 切线与 a、 b 的 延长线交于点 e 过点 c 做 c、 f 垂直 ab， c、 f 垂直 ab， 这里是垂直的一小题，求证 c、 d 等于 c、 f。 好， 这个角 a、 d、 c、 f， a 也是九十度。角 c、 d、 c、 f、 a 也是九十度 a、 d、 c 等于角 a、 f、 c 都是九十度。如果说我要想证明 c、 d 等于 c、 f 的 话，那么我考虑的是，如果说我们能证出来 a、 c 平分角 d、 a、 f 那 么第一小题就得正了，为什么呢？因为 a、 c。 如果平分角 d、 a、 f， 我 们就可以根据角平分线定角平分线定角，平分线上一点到角两个边的距离相等。那么第一小题下面我们需要做的就是一个倒角的问题了啊。 好，这个角如果说我们标为阿尔法，也就是角 c， a、 o 是 阿尔法，那么角 a、 c、 o 也是阿尔法。因为 cd 是 圆 o 的 切线，所以角 d、 c、 o 等于九十度。 角 a， d、 c 等于九十度。两直线平行，内错角相等，角 d， a、 c 等于角 o， c、 a 内错角，所以角 d、 a、 c 也可以变为阿尔法。那这样的话，我们就能证出来 a、 c 是 角 d、 a、 f 的 角平分线，所以角平分线上一点到角两边的距离相等，那么第一小题就证出来了。我们来看第二小题， 若点 f 为 o， b 的 中点，哎，点 f 为 o， b 的 中点 ab 也就是直径啊，直径等于四，让我们求 b、 e 的 长， 这里啊，我考虑的是，因为你 f 点是中点， c f 又垂直 o b， 所以 我考虑的是 c f 是 o b 的 垂直平分线， c f 如果是 o b 的 垂直平分线，垂直平分线上一点到线段，两个端点的距离相等，所以我们连接 c b， 连接 c b 的 话，我们就可以得到 c o 等于 c b， 那 么 c o 是 半径， c o 等于 c b， 它还等于 o b， 这样的话，我们就能得到等腰、等边三角形，三角形 o b c 是 等边三角形， 得到等边三角形，就有特殊角了，所以这个角 c、 o、 b 是 六十度，那么这个阿尔法是三十度，这个也是三十度，所以啊，这个角 e 是 三十度，等角对等边 角 c a、 b 是 等于角 e 的， 因为都是三十度嘛，那你就可以推导出来这个三角形 c、 a、 e 是 等腰三角形， a、 c 与 e， c 是 腰，对吧？三角形 a、 c、 e 是 等腰三角形。 然后啊，有三线合一，等腰三角形，三线合一， c、 f 是 a e 边上的高，所以这个 f 点也是底边 a、 e 的 终点， 得到 f 点是底边 a、 e 的 终点。那么这一题就很简单了， f 点是 o b 的 终点，直径等于四，半径就等于二， 那么 o b 是 等于二的，所以 o f 等于一。 o f 为什么等于一？因为 f 点是 o b 的 中点， o f 等于一，所以我们可以得到 af 等于三， af 等于三，那么 fe 也就等于三。 b e 就 很好求了， b e 等于 f， e 减 b f， f e 等于三， b f 等于多少呢？ b f 等于一， 因为 f 点是 o b 的 中点，半径等于二，所以 b、 e 的 长度是等于二。好，这道题就解答完成了，再见。

安徽省，安徽省九年级的学生们，家长们，老师们啊，咱们讲一份试卷，也就是这两天刚刚考过的百校联营一模数学。 嗯，参加的学校挺多的，淮北市，淮北市区，宿州市，安庆，包括好像有六安的也有公有，也有部分学校的参加。合肥市那就不用说了，他们密密集的嘛。 这个参加密集单位应该是那个合肥市的那个优势教育，优优势教育科技有限公司， 河北，你看优质教育科技有限公司，晚知教育研究院，还那那个木渎教育对吧？也是有限公司。他们仨是出试卷的， 咱们主要想讲下这个，我主要是想讲一下这这个，这个。第二十一题啊，综合实践，这是一种中考，安徽中考一种新的创新题型，从去年开始考察。嗯，今年这一届学生都没见过，都考蒙了。第二十一题， 嗯，这个试卷主要是模仿二五年中考试卷啊，人的填空都难度都不是不大，没什么好说的啊。对的，这个第十题考察了一个树上没有的一个原理啊，叫做瓜豆原理，动点模型。 动点模型有三状元没有啊？第一，关注原理，第二，阿是圆，阿是圆，就那个阿波罗阿波罗尼茨圆。第三，无不归模型啊，无不归模型是一个历史典故。 当其实我认为你们最应该准备的还是那个将军一马模型以及他的拓展也是中考考了这个模型，中考考了不止两三次吧。 呃，这个第十题，我给你看一下我做的个动画吧，看一下吧， 就这幅图啊啊，刮入原理，我让它动起来啊，对吧？刮入原理也叫做主从连的模型啊， 屏幕前的学生们，你们就来回反复反复观看啊，这五幅图我们就不仔细去讲了啊，我主要讲这个，第二十一题，综合与实践。哎，跑哪去了？ 嗯，十八题。嗯，二十题不难，二十题不难啊，二十一题。 好，他讲的是这个一个高中的竖列，叫做北伯纳切竖列，不过高中咱们是从一开始的，而他是从零开始的。这个竖列定义很简单，就是从第三项开始 啊，从第三项开始，每一项等于前两项之合，例如零加一等于一，一加一等于二，一加二等于三，三加五等于八，那这个呢？就是二十一加三十四，五十五，这个都没什么好说的，比较简单。 然后他开始项目是学习了，项目是探究啊，其实项目是探究呢，这种考题咱们安徽省从去年开始考察，但是其他省份已经考察过了啊，咱们安徽省这个中考创新呢啊，中考改革呢，是紧随其后。 然后他开始说，图一是一个边长为八的正方形，那面积就是六十四，把它拆为四部分，一、二三四，然后打乱重组组成一个图二。长方形。长方形的面积呢？他也说了，他也说了，这三乘以五 留着五。那么从正方形到长方形打乱重组之后，面积变大了。面积变大说明什么？哎呦我去，什么东西 面积变大证明有缝隙，对吧？有裂缝啊，裂缝的面积就等于什么变大的面积。 那图三呢，它是面积是五的平方，等于二乘五，也也是拆成四部分，一、 二三四，然后这四部分呢，它打乱重组组成图四。这个长方形长方形，面积是三乘以八，对吧？三八二十四， 那么答案重组之后面积是不是变小了？面积变小说明什么？你这个答案重组的过程中，这个一二三四之间有重叠，对吧？重叠之间有重叠面积，重叠面积就是你变小的面积，所以说这个字有重叠。 这面要给你提醒一下啊，这面有那个，怎么那些数列在这里面啊？你看这个是八 八的平方，然后右边呢是五乘以十三，对吧？五加八等于十三，那图四呢？图它是正方形，面积是 五的平方二十五，然后图四呢？嗯，长八，宽三，是不是？是不是也是这个什么什么单位缩列里面的数字？ 所以他后面又开始说了啊，又开始定义这个 f 一， 第一个是零，那第二项就是一，第一项就是 a， 对 吧？你看这个二是第四项，那叫 f 四，这个五呢？是第六项，那就叫做 f 六，这都没什么好说的，但是他给了一个定义， 我当 mv 重复的时候，那就是 f 四六八，还有 f 十。他说，嗯， mv 重复的时候，图形拼接之后， 那组成那个，呃，长方形，长方形之间怎么样？有缝线，它有重叠，这个应该是有重叠啊，应该是有重叠的。好，我们来看一下，你像这个边上为八， 嗯，这是 f 七的平方，等于八个平方。六十四。长方形呢？是不是这地方是六十五啊？这不是变大了？变大了是不是有缝隙？ 那这个还有个 f 七的平方，还有个这是五五，是 f 六的平方，也就是五的平方， 并且这方面积是二十五，然后打乱重组变成图四，有三八二十四了，那是不是变小了？变小是不是有重叠？那再举个例子， f 六 f 七， f 八呢？ f 八的平方 不是就是十三，十三的平方一百六十九，那它打乱重组， 从答案四个部分重组，从一个矩形的长宽一个多少呢？是三， 是三的平方，左边是八，右边是二十一，你要是八乘二十一，一百六十八，是不是也是变小了？ 面小，怎么样？面也变小了，说明重组之后的这个长方形之间是不是有重叠部分啊？对，所以说这个当这个是偶的时候，应该是有重叠部分啊，应该是有重叠。答案不对， 他说命题老师都是那个。嗯，非常高级的，这个不说了。行，接着我还讲题，然后他开始相互分析了， 然后开始拼接，拼接，拼接。呃，这个图六画成分割线，这个你就模仿就行了，这控你应该具备模仿能力。 你看就是图一图三，它分为四个部分，那你也分四个部分出来 一个，然后再竖着分，好， 这样分就是了。这是一，这是二，这是三，这是四，一跑到一这个位置，对吧？啊，那就是 这样，这是一，二呢？二跑到这个位置。 哎呦，我的妈，这二别动我一下。直线啊， 啊， 你看这个直线不能拐弯呀，那得得得，挨炸吧。 啊，是一，那这就是二，对吧？然后这左边，这就是四，左边这就是四， 这边是三，三住了两个， 是不是就这样组合的？它面积是多少啊？这三平方是九，这多少呢？是不是十？变大了？变大了，是不是有缝隙？ 有缝隙，缝隙面积就是一，然后 除七啊？它画出没有缝隙，没有出现的平行除七，它正方形的之间的分割线。正方形面积是什么？ f 一 的平方，零的平方， f 二的平方， f 三的平方， f 四的平方加 f 五的平方， 那加一起就是一加一、加四、加九是十五，对吧？ 然后我们让我们画出这个分割，那先画这个三的平方呢？变成为三，那这个可以如下， 哎，这是一个，然后一的平方，一的平方，二平方，二平方，是这个，对吧？ 哎，对，是它一的平方呢？ 就这两个，对吧？都比较单纯，这是 二的平方，这个是三的平方，这都是一的平方，一的平， 好是图集图七，就这样画的啊。然后第四个孔，那矩形的面积等于什么？十五，那十五 f 五乘以几十五等于 f 五， f 五是那个三，对吧？ 对吧？ f 五是三，那就三乘以五，所以说 f 五它等于三，十五应该等于三乘以五，这个空应该填五这个空。 嗯，第三个是填什么？十五，这个是重叠，最难的是这一个，第五个也是不是，为什么要专门录个课讲讲它啊？第五个呢？是 f 倍的 n 加一， 他说比如这个费伯纳，费伯纳切向量，费伯纳器向量 为边上的一组正方形，然后拼接，拼接就是求和，求正方形面积之和，组成一个没有缝隙也没有成形的矩形时， 那没有缝隙，没有，没有重叠，那么正方形的面积之隔等于矩形的面积。再听一遍，没有缝隙也没有重叠，那么拼接它的正方形的面积，你也等于这个矩形的面积，又何必啊？这个孔一样， 那他要我们证什么呢？他叫做我们证明这个，那我们证这个等式 哪？不知道，我都不知道这个这个等式，为什么这个， 哎，所以说这个学生，真的我想到啊，这个等式我可以给你正一下啊，这个等式我可以给你正一下。我们基本上我，我用高中，高中的知识了，我们从一开始啊，定为 a 一， 这个 f 一 不是零的平方吗？ f 二不是一个平方吗？ f 三回就是也是一个平方吗？ f 四是二， f 五才是三，这样我们给它改一下啊，我们那么零的平方没有意思嘛。所以说我们按照高中第一第一个数从一开始，不从零开始啊， 第一个数记为 a 一， 那第五个数记为 a 五，第六个数记为 a 六，对吧？那第 n 个数记为 a n， 那 这个 f 这个 f 一 就是零的平方，这里面的 f 二是不是这个 a e f 三是 a 二，同理 f 四是 a 三， f 五呢？是 a 四 加加加，那 f n 其实是 a n 减一的平方，它会不会等于 a n 乘以 a n 加一呢？ 好，自己听了。呃，你们要不想听就退出去啊，这个不强求，因为这个早晚你们要学的。有人有人应该想听， 我们知道 a 一 加 a 二等于 a 三， a 二加 a 三等于 a 四，对吧？看这位置，一加二等于三，那 a 三加 a 五等于八，八就是 a 四， a 四是三， a 五是五等于 a 六，那么 a n 减一点点点加上 a n 就 等于 a n 加一， 然后这个就能推出什么？这个就能推出 a n 等于 a n 加一，减去 a n 减一， ok， 那 么 i n 的 平方呢？等于 i n 乘一个 i n， 第一个 i n 你 不要动，第二 i n 给它换掉，换成这个 给它代入，等于说 i n 加一，减去 i n 减一，然后给它乘开 i n 乘以 i n 加一， 然后再减去个什么 a n 乘以个 a n 减一， ok， 那 么这个 a 等于一的时候， a 一 的平方不等于 a 一 a 二减去个什么？老师， a 零 a 一， 所以说这个 a 等于一就不行。 然后那咋写？那 a 一 的平方不直接等于什么？不就是一的平方吗？他又说错呀， a 二的平方可以用这一个了，就是 a 二 a 三减去 a 一 a 二，对吧？现在 a 等于二了， a 等于三，给它代入这个，代入这个啊，那就是 a 三的平方等于 a 三 a 四减去个 a 二 a 三 a 四的平方等于 a 四， a 五减去个 a 三 a 四 啊，再写一个吧，再写一个就不写了。然后就是 i 五 i 六减去 i 四 i 五，然后哒哒哒都是 i n 的 平方等于 i n i n 加零，减去 i n 减一，再乘以个 i n， 然后怎么样？你这个不是公比，你这个不是求和吗？对吧？第一个零，不要理他。你这不是求和吗？求和是不是？你说左边加左边 对，右边加右边，那么请问右边加右边是不是有抵消的，对不对？然后它俩就会抵消。 正负抵消，正负抵消，正负抵消啊，这也会抵消啊，这也能被抵消？所以说还剩一个头，剩一个尾，还剩个这个一的平方。打方向是这样来的， 所以说这个 a 一 的平方加 a 二的平方 加到 a n 的 平方，还剩什么呢？剩了一的平方减去 a 一 a 二，再加上这个，对吧？ a n 乘以 a n 加一，然后恰巧 a 一 a 二就等于一乘以一 这个位置，对吧？一乘以一，所以说一减一没了，还剩个 a n 乘以个 a n 加一，由此这个等式我们就怎么样？就是证明成立了 这第二行等式成立，也就是第一行等等式成立，也就是这个第五个空，怎么样？这个是成立的， 听不懂也没关系啊，等到高中咱们再继续学吧，今天就讲到这，谢谢大家。

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安徽九年级淮北宿州安庆这两天刚考完的百校联谊一模的卷子，很多学生都反映他的难度比较大。确实，他的题目比较新颖，题量也比较大。这套卷子含金量还是很高的，特别是英语三大主科 数学呀这样的。然后呢，可以拿回去练一练，为中考做好准备，有需要的给我发信息。

米尼劳斯定律普罗摩基多模型这次的压轴相当有趣。大家好，我是专治压轴的杨老师，今天和大家聊一聊二零二六百校联考一的两道几何压轴。 如果选择常规方法去做这两道题，难度中等偏上，不太好思考。但如果你储备了足够多的定力方法模型的话，那这两个题读完题基本上立刻就会有思路，稍加计算即可得到最后的结果。 好，接下来我们一道一道的来看一下这两个题如何求解。先看十五题，如图，三角形 abc 中 ab 等于 ac， bc 等于四， b、 d 是 一条中线， e 是 b， d 上一点延长 c、 e 以后与 ab 交于点 f， 图形就基本成型了。最后给了信息， b、 d 等于根号是七，以及 b、 e 和 b、 e 的 比是七比十， 最后求 b、 f 的 长怎么做？读完题以后，脑子里应该立马有个想法， 这个题条件中已知了一个 d， e 比 b， e 是 七比七，呃，七比十，一个比例，同时从比例的角度出发的话，中线本身也是比例，所以还知道一个 a、 d 比 c、 d 是 一比一的情况， 那么我们学的已知比例求比例，构造 a 字和八字的相似即可解决。 所以通过构造 a 字和八字，我们先来分析，那这个题以这两个比例可以把题中所有的比例全部求出来，包括 a、 f 比上 f、 b 一定是可求的。但第二个问题随之也来了， af 未知， ab 也未知，那光知道 af 和 f、 b 这条线上的比例，不知道具体的长，那我是没办法计算的。所以随之而来的第二个问题就是如何能求出 af 或者 ab 的 长， 当然这个长度那肯定就跟这里的根号时期有关系，和比例无关了啊，比例已经通过构造比例求比利用过了，而这个具体的值根号时期还没有用，所以下一个点我们应该从这个根号时期来入手， 求具体的长怎么做？那我们思路可以放在三线合一上，原因就是等腰三角形出现了，要么等边对等角等边，要么就是三线合一。 那很显然，我们只能选择三线合一去尝试。于是我可以过 a 点去做一条辅助线，直接做 bc。 垂线垂足为 m， 本身长度是四，那 b， m 和 m、 c 各自为二。 做完以后还要想啊，一定跟根号十七是有关系，你这个三线合一做下来，并不能把这个根号十七得到一个很好的利用， 它很明显是一个直角三角形中某一条边的长，然后才能辐射出去。 所以我可以进一步借助根号式基再思考。 d 点恰好是一个中点，如果我过 d 点向 bc 做个垂线，垂足为 n 的 话，这个垂线很完美。 一个完美就是因为 d n 与 am 平行，这里不自然间构造了一个 a 字相似。另一个就是这条垂线能完美的把根号时期放到一个 r 四角形，方便勾股定律去使用根号时期。而只要这两条垂线，想到这个题就迎刃而解了， 这里的两个，这里的二啊变成一和一，原因就是 a 字模型一比一，这里也是一比一嘛。 那于是三角形 b b n 中 r t， 三角形 b， b， n 中，直接选择勾股定律就可以求出 d n 的 长，它等于根号十七的平方减去二加一十三，三的平方 十七减九等于八，然后再对八开方就行了。那化简一下，就是二倍根号二， 这就把 d n 求出来了，然后下一个三线合一的这个 a m 本质上是 d n 的 两倍，所以 a m 就 应该等于四倍，正好二，最后勾股定力 二，它是四倍根号二，然后求 a b 不 就行了吗？所以 a b 就 等于二的平方，加上四倍根号二的平方，然后再开放，等于三十六，开放六， 所以这个题即可得到。等腰上写的腰长 ab 或者 ac 等于六，这就完成了第一步了，接下来第二步，而第二步就是固定的计算模式，我把这个前面一擦， 第二步固定的，这里是一比一，这里是七比十，那我要求 a f 比 bf 已知比例求比例，那就做平行， 过比例分点可以做平行，过比例端点可以做平行。这里我方法比较多，我就选择一种比较简单一点的啊，我直接选择过地点这个比例分点做 c f 的 平行，这样做相对来讲会简单一点。好，这是垂足为 p。 好，接下来我们根据比例来导测啊。呃，这里的呃， a 比 a 是 一比一，那么在这样的一个 a 字模型里面， ap 比上 p f 也是一比一。好，其实还有一个 a 字在这里， 这是七比十，所以 p f 比 b f 也是七比十，这里我就直接标注它是七 c， 那 它就应该是十 c， 又因为这是一比一的话，上面 ap 也可以记作七 c， 所以 你看这样一标，我就可以得到 b f 的 长，它其实是十 c， 占总共的二十四 c 它的一个比例， 所以 b f 就 应该等于 ab， 糖度为六六，乘上一个总糖二十四分之十即可。好，最后约分下来，答案应该等于 六和二十四，约调是四分之十，然后最后就是二分之五， 这就是这个题的第一个方法，这也是常规的方法，需要我们想两大内容，第一大内容就是如何计算腰长，第二个内容就是已知比例，求比例这样一套。 那跟我说的那几个定律有什么关系呢？那我们再看一个更高级的方法，其实也不是更高级，而是我们如果知识储备足够多的话，那么它会有一些别的想法。 首先这个题它是有中线的 b、 d 长度是根号十七， bc 长度是四等腰，三角形，两腰是相等的，也就是如果设这个是 x x， 这个就是二 x， 所以 你会发现其实它的三边和中线之间只有一个未知数，所以不自觉的就会想到一个东西，叫做中线长定力。 我们先把这个定力来写一下啊，中线长定力指的是中线的平方， b 地方等于这两边平方都是一半啊， 也就是二分之一 ab 方，加上二分之一 c， b 方，再减去四分之一 a、 c 方，它联系起了三角形的三条边和中线长度之间的关系。 由于只有一个未知数，所以我把 x 代入到这个方程里面，即可得到对应的值，那我就可以很轻松的把 x 算出来来快速代一下。 b 地方应该等于是七，等于二分之一 ab， 也就是二 x 的 平方， 再加上二分之一 c， b， 那 就是十六，然后再减去四分之一 a， c 也是二 x 啊，四 x 方。 好，然后你快速化解它就可以了，这里是二 x 方，这里是八，这里是 x 方，所以这样一算的话，二 x 方减 x 方就应该等于十七减八，这里得到 x 等于三。 所以通过这个定力，可以很轻松地求出来这个三角形，它的腰长度为六。 那得到这个以后呢？还是已知比例求比例的问题。已知比例求比例，我们讲的时候，一方面是构造相似，但是也可以不做辅助线，直接通过梅涅劳斯定律来解决。梅涅劳斯定律， 好，我们来搞一下这个比例关系啊。这里是一比一，这里是七比十，我把这个一擦单独写比例， 一比一，七比十，那我选择一个三角形做媒十三角形，再选一条线做媒十线。比如说以 a、 b、 d 做媒十三角形， c、 f 做切开它的媒十线。那么我们接下来到一个 a、 f 比 f， b 乘上一个 b， e 比 e、 d， 再乘上一个 dc 比 ca， 这个结果等于一。这就是 minus， 等于相当于是这条截线来看一遍啊，它定律描述的是这么一件事情，当一个三角形 被一条线所截，这个 a、 d 被截了， b、 d 被截了， a、 d 呢？是在延长线上被截了。好，这个时候它的三条边转圈儿比乘积为 e， af 比 f， b 乘 b， e 比 e， d 乘 dc 比 c， a， 这个乘积为 好。把这个结论一记，一套公式，立马就可以出答案啊。 a、 f 比 f、 b 是 我们要求的，然后 b、 b、 e 比 e、 d 是 十比七，注意，这边是十，这边是七，那这里就是个十比七。然后 dc 比 ca 是 一比二啊，是一比二。好，这个结果是一，那你快速就能求出 a、 f、 b、 f、 b 的 结果，答案是一个七比五， 所以这个结果啊， af 写到这儿， af 比上 f、 b 就 等于七比五， ok， 所以 这个是七份儿，这个是五份儿，总长度是六嘛，这不就可以求解了吗？直接最后的答案， b、 f 等于六，乘上一个十二分之五，所以最后答案还是二分之五。 法二的好处就是不用思考，看到中线有具体的长，三边就只有一个未知数，那么就立刻可以使用中线长定力，同时看到两个比例已知要求第三个比例，就立马可以使用 venus 定力。 在思路上要比较简单一点，但前提是我们得有足够丰富的知识储备才可以。这是十五题， 下一个二、三题，那么这个题就是我所说的陀螺模型多模型啊，很有趣，这个在初一学手拉手的时候应该就提到过，到了初三学正方形的时候也再次巩固过。 好，我们来看一下啊。如图，活动课上，老师让同学们制作两个全等的制造三角形纸片，将这两个制造三角形纸片重合放置其中， a、 c、 b 等于 a、 e、 d 等于九十度， 然后将 a、 b、 c 保持固定，然后 a、 d、 e 绕 a 点逆时针旋转。那这个条件翻译成自己的话啊，就是这里有两个三角形的纸片子，然后绕着 a 点一个不动，一个绕着 a 点逆时针旋转。 而第一问一般比较简单啊，他说了，如果 a、 d、 c 是 三十度，他给个很特殊的信息，这里是个三十度，然后这个 a、 d、 e 还转到了这个位置，从 a、 b、 c 的 位置转过去了。 好逆点正好落在 a、 b 上时，连接 b、 d、 f 是 b、 d 的 中点来标注这两条边相等， 那么判断一下 a、 c、 b、 f 的 形状，这个形状肯定是一个矩形啊，因为这里有个直角呀，对吧？最简单的也得是平行四边形，一有直角立马变矩形。那这个矩形应该怎么去正呢？ 有个很特殊的东西叫三十度，这个三十度给的很到位啊，所以你看他是三十，就会得出这是一个三十、六十、九十的三角形，所以相当于这个旋转中你转过的是六十度，叫 d、 a、 e 也是六十度， d、 a、 e 是 六十度，同时旋转前是 ab， 旋转后是 ab， 这两个边是相等的， 所以有一个角十六十的等腰三角形是等边三角形。这个题核心只要证明等边三角形 a、 b、 d 即可， 它是等边的话，那这条 a、 f 就 应该是三线合一，因为已经是中线了嘛，所以肯定也是高线做垂直。 好吧，那三线合一的话，或者说等边三角形三个角度是六十度，这里是个六十度角，哎，加三十度也是一个直角，结合这里的直角，一共就有三个直角。 好，这就是第一问。第一问的话往往不在思路上恶心，我们主要是过程写好就可以了，这是一个考验与过程书写的题目。 好，再看第二问。第二问就是陀螺摩的多摩性，他和手拉手很类似，但他不是手拉手，我们仔细去辨比啊，仔细去辨比。第二问中也是旋转，他这次旋转的是一个九十度， 把三角形 a、 b、 c 转九十度，转到 a、 d、 e 这个位置，然后注意它连接的是 c、 d， 连接的是 b、 e、 c、 d 和 b、 e 连接，然后它又取什么呢？取 b e 的 中点， p 连接 ap， 那条件很乱，一个旋转，然后连接完以后，又来了一个中点连接 ap。 最后问的是 ap 和 cd 的 数量关系和位置关系啊，那很显然，数量关系绝对不会是相等，但位置关系看起来像垂直 这样的吧，那我们接下来怎么去应对它呢？数量关系不像相等，而屁点又是一个中点， 中点怎么办？能想到哈背长中线，背长背长以后的结果就是背长完你发现这两条边就相相等了，所以这是跟一定的猜想有关的，我们就可以猜测，其实这里的 c d 啊， 和 a p 的 关系很可能是一个二倍的关系，这是猜测，那位置关系呢？其实是一个垂直的关系。 ok， 那 顺着这个思路我们就可以解题了，直接倍长中线，把 a p 延长一倍， 把 a p 延长一倍，然后和 c b 的 延长线。呃，和 c b 这个相交啊，这里稍微说一下啊，你注意你辅助线的一个描述， 如果你是延长一倍的话，把 a p 延长一倍，得到一个点 m 的 话，那这个 m 会连接 b m。 连接完以后，你得证明 c b m 三点共线， 那三点共线往往不是我们喜欢的证明嘛，所以建议大家在做弧线的时候就不要延长一倍了，直接干嘛呢？直接将 a p 延长，与 c b 的 延长线相交。哎，这个相交自然而然就说明了上下两个平行了嘛， 对吧？有了这个平行中点加直对顶角加平行的内错角，即可证明上下两个三角形全等 你。这是一种平行加中点的逻辑，不过和被上角线本质上是一样的，就是我们这样辅助线做出来以后，立马可以得到一对全等是三角形 a e p m b p 这一对全等以后，那读到了信息， a m 和 cd 的 长度就长得像相等了， 对吧？那怎么证明线段相等呢？再找全等就可以了。这个全等应该是不难找了，能看出来两个扁扁的三角形，对吧？所以下一步证明三角形 a， c， d 全等于三角形 b m a 即可。条件够不够？首先，旋转前的 a、 c 等于旋转后的 a e， 那 全第一对全等以后就有等于 b m 了， 所以它们两个有一组变相的。其次，旋转前的 ab 等于旋转后的 ad 两组条件。 最后，找个假角，这个假角其实也好找，这个假角需要稍微倒一下角，因为已知两边只能死命的去找这个 钝角，对吧？找这个钝角，所以我们就可以假设啊，假设把这个撤掉，假设它是 r 法的话，那这个 abm 就 应该等于幺八零减 r 法， 那只要证明他也是幺八零减阿尔法就可以了。倒角啊，这里是阿尔法，所以这个角应该等于九十减阿尔法。锐角互余，那旋转过去以后，这个角也等于九十减阿尔法。上面这个位置九十减阿尔法，那好，加上下面这个直角， 直角加九十减阿尔法就是这个角了，那直角是九十度，所以合起来正好也是幺八零减阿尔法，即可。通过 s a s 证明全等， 这就是它的核心点。两次全等，这个全等一证明数量关系，就得到了 c d 等于二倍的 ap。 下一个就是位置关系。位置关系的话，我们可以通过倒角，因为正垂直本就是正九十度吗？你继续去倒角就可以了，借助第一问的，全等，全等以后应该有对应角相等啊。好，我们擦了，稍微借助一下啊， 全等以后这个角如果是北塔的话，那么对应的角的话，全等这个角也是北塔， ok 吧。那我们可以看出来，其实 beta 和伽玛这个角合起来是九十度，所以这里的 beta 和这个伽玛合起来也是九十度，所以你只要放到这个三角形中，就可以看到锐角互余了，所以它一定是一个直角三角形即可证明 这个模型就是陀螺摩极多模型。这个证明方式它主要源自于手拉手拉反了，手拉手拉反了，因为旋转本质上就是一个手拉手。给大家稍微描述一下啊， 旋转就是一个手拉手，你看它是这样一个等腰直角三角形， 和这样一个等腰折三角形，它是旋转嘛，对吧？旋转就是手把手，我可以看作是等腰三角形。 a、 c、 e， 左手拉，左手拉 b、 c， 右手拉，右手拉 d e， 对吧？这两个三角形就是一种正常的手拉手，但是他偏偏拉反了，他不是左手拉左手，右手拉右手，他是左手拉右手。拿 a、 c、 e 的 左手 c 换个颜色，拉了 a、 d、 e 的 右手 d， 所以它拉反了，同时拿 a、 c、 e 的 右手拉了 a、 b、 d 的 左手，你看它属于经典的这两条拉手的蓝色的线，它属于经典的拉反了，对吧？左拉右，右拉左，这就是破锣不吉多， 所以大家区分清楚即可。手拉手是左拉左，右拉右，滚动模型都是左拉右，右拉左啊。但这个模型带来的结论其实就是这个题中已经证明过了。好吧，一个是终点推垂直，另一个就是垂直推终点， 这是第二问，那第二问其实为我们第三问是埋下了一个伏笔。最后第三问， 他说还是转九十度三角形， a b c 转九十，到了 a d e 这个位置，连接 b e 以后， m 是 射线 a c 上的一个点。好，一说射线，那这个 m 的 位置就有得调了。 然后呢，他说连接 dm， 连接 dm， 使得过 a 点做了个 dm 的 垂线，做了个垂线与 b e， 欸，与 b e 交于点记。如果既是 b e 的 三等分点， 所以你看这个条件怎么来的啊？他怎么描述的啊？他说的是先找到 m 点，先找到一个 m 点，然后连接 dm 了，再做垂线垂到 d e 上，这里是个 g， 让 g 点是什么分点？ 当然，我们为我们从满足条件这样的一个思路去出发的话，我可以先找到三个分点了，反正你的 a g 和 dm 是 垂直，对吧？所以我索性我就先找到三等分点，直接连接就好了呀。 找到三等分点，对吧？直接连接，然后呢，要让它来垂直做垂线， 这不就行了吗？所以这个题脑瓜子稍微灵活一点啊，不敢那么死板画图的话，我可以选择先做三等分点，再做垂线即可。所以你看这里是 g 点，然后垂线一做，那我把 m 取到这个位置不就可以了吗？ 这不是第一幅图就画出来了。同理，第二幅图呢？三点三等分点应该有两个嘛，上面靠近上面的一个，那靠近下面的也是一个，所以第二个让 g 点往下面这个位置去靠，它是下面的三等分点。 好，那我接下来还是有了。以后我让 dm 和 a g 垂直吗？垂直， ok， 那 这不就是那个 m 点了吗？ 所以题目稍作翻译啊，这两幅图其实并不难画，并不难画。那最后就是怎么求解的问题，题中给了这里是一比二，跟这里的 a c a m a m a c 跟这个有什么关系呢？ 对吧？我得倒腾过去。其实这个题如果没有前面小问的铺垫，我们可能是非常难想的，但是这种大题的好处就是一问二问三问是一脉相承，是互相在提示的，它是一个递进型的题目， 所以前面的做法是倍长中线，就是把这里延长构造全等了吗？那变成三等分别以后，无非就是不全等改相似了吗？那思路上大体上应该不会变，所以我们选择直接 延长，这个 a g 和 c b 的 延长线交于一点，这里不会出现全等，但是会出现一对八字形的相似。假设这是一个屁， 那么由于三等分点 e g 比上 g b 是 一比二的情况下，那么 a e 比上 b p 就是 八字形比例的一比二。假设 a e 长度是 m， 那 这个就是二 m， 其实 a e 就 代表了 a c 的 长，因为它是旋转过去的嘛，对吧？所以和 a c 还有点关系。 然后再结合上一问的结论， b 一 问中被长中线完是两组全等啊，一组就是这的八字全等，这里全等改相似了。还有一组就是这里一个钝角三角形的全等。那你看这一问中这一对全等还在不在？还是说全等改相似， 对比一下啊？对比一下。首先你看这条边 ab 还是等于这条边 ab 的 吗？所以大概率上讲应该没有全等改相似。那我就努力正全等就好了。 首先第一个 a d 等于 ab， 这不是一组边相等吗？一组边相等。然后接下来来倒腾，倒腾脚啊，来倒脚。如果它是阿尔法，那内错角， 这个也是阿尔法，上面是阿尔法，然后找一个阿尔法的鱼角啊，鱼角应该是这个角，这个角，这个角。那么假设是北塔的话，阿尔法加北塔就应该等于一个九十度， 而由于这里是垂直，那在这样一个三角形中，下面这个角是不是也和贝塔式和为九十八？是，这个位置的角肯定也是二角同角的，与角相等。 于是我就可以证明什么呢？这两个三角形有一组角相等， 同理，再来一次就可以了。再来一次，假设这里有一个角，北塔，北塔。看好了，这个角 b a g 吧，正角是北塔。好，如果这个角是贝塔的话，好注意啊，我画到这个三角形里面， 上面这个位置是有直角的，这里是有直角的，对吧？所以 bet 应该和下面这个角互余， a 塔和下面这个互余。然后同时呢，你放到这个大三角形里面去看，这是个直角三角形和它互余的上面，所以这个位置它也是一个 a 塔，于是就可以证明，哎，这个角也等于这个角 互余，倒角即可。所以这个题的关键是两个啊，第一个和第二问一样，是这里的一对相似啊，相似。第二个是这儿的一对全等，是 a a x 型的全等。写出来三角形 a m， d 全等于三角形 b p a a a s， 它俩全等以后，所以这个 a m 就 会等于 b p 就 会等于 b p， 而 b p 是 二 m 二 m， 那 这个 a m 长是二 m， a c 长是一 m， 所以 a m b a c 就 等于二比一，答案就是二，这是第一个， 其实只要做了第一幅图，第二幅图就迎刃而解了，因为方法是一样的，第二幅图我们就稍微快一点过了啊，把 a g 给它延长与 c b 的 延长线交与一点， 教育一点还是 p 啊。那么这个如果是二 m 吧，这个就是 m， 因为现在三等分点是二比一的一个情况。好，那说明这个地方 a c， 它也是一个二 m， 二 m m， 这边也是二 m 啊，这个是二 m， 然后再去正全等还是倒角，这个角阿尔法等于内错角，上面这个小不点阿尔法等于下面这个位置的阿尔法， 而这个角贝塔等于上面这个贝塔自己去推导推导，和第一位是一样的，所以两个三角形依然全等。全等以后， b p， 这个 m 就 等于 am 它的长， 所以 am 是 一倍的 m， 然后 ac 是 两倍的 m， 因此 am 比 ac 就 等于一比二。 所以这个题两个答案，那我们今天讲解就到此结束。

大家好，今天跟大家聊一下百校联营的硬膜试卷，这张试卷还是比较有难度的啊，从某种程度上来说啊，比 c 二零的按摩可能还会略微难一点。我们一起来看一下 这张试卷，如果能考到一百三以上的话，那数学成绩也是非常不错的。我们来看一下第十题，那么第十题呢，它是一个动点啊，最值的问题，那么这一题呢，我们说了动点最值的问题的核心关键是找到动点的轨迹即可啊，那么找动点的轨迹的方法呢？哎，我推荐有两种，大家这这一题的话，我们来看一下，他说已知啊，已知 a 点的坐标是二零， 然后 c 点的坐标呢，是零 m， 然后 c 是 在外角上动，嗯，然后呢？ c a 绕着 c 点啊，旋转一个等腰直角三角形 a d c。 另外呢， p 是 平面上的一个动点， p a 等于一，也就是说到 a 点的距离是一，那 p 点的轨迹啊，应该是以 a 为圆心啊，半径为一的一个什么圆，然后连接 a b， o b 和 o p。 问你结论错误的事啊，那么这个题呢，因为安徽中考题基本上第十题很喜欢考这种题，那么 这种动点具体的核心关键是动点的轨迹啊，这里有两个动点，那 a 点呢，肯定是在以半径以 a 为圆心的半径为一的圆上做运动，那么 c 呢？在什么 y 轴上运动？还有一个点很重要 啊，就是我们的这个 b 点啊，因为题目当中出现了那 b 点怎么动，很多同学搞不清，但是也很简单啊，这个 c 点在 y 轴上运动，我比如说啊，比如说这个 c 点在 o 的 时候，那 b 点在哪？那 b 点是不是应该在啊这个零 i 这个位置啊？换句话说，那如果 c 点到下面，那 b 点是不是在这？ 所以如果你能通过这样一个临界状态，你很容易发现啊， b 点的运动轨迹啊，其实是这条直线啊，这条直线应该是 y 等于 x 加二，对不对啊？所以很快的就找到了 b 点的轨迹，应该是这条直线啊，所以这个是合做题的核心关键 啊，核心关键。那么来看题目，题目说 o b 的 最小值，那么如果 b 点的轨迹是在这，那 o 到这条直线最近的那垂线段最短，那这个点的坐标是二等腰直角三角形，那这个距离当然是根号二，所以 a 肯定也是对的。 c 点说 ac 的 最小值，那么 ac ac 的 最小值，那我们知道 c 在 这条 y 轴上动， a 在 这，那 ac 肯定。当 c 点到圆点的时候，那么 ac 是 二，所以这个 c 也是对的， 对吧？然后再看 d 啊 d， 答案说 o p 减 o b 指到最大，那 o p 减 o b， 我 们来看 o o p 减 o b， 那 如果这个只要是最大值的话，那 o b 干什么？肯定是要最大 o b 呢？最小的话，那这个 b 如果是最小的话，那这个 b 肯定是什么？ 在这个垂线段的位置，那如果 b 在 这啊， p 在 这，那此时我们的这个 c p 也就是 p 点， c 点在哪里呢？那么 c 点肯定是什么？是垂直的，是不是垂直的？因为 c 点是怎么来的呀？ c 点是这里在动，然后呢 逆时针旋转九十度过来，比如说我们随便画一个，比如说你画一个这个，对吧？比如说好 c， 然后呢到这个 a 到这个 a 好， 比如说我们就画一个这个好不好，对吧？这个是垂直的，对吧？他就相当于把 c 到这个 c e 的 位置，然后连接我们的这个啊，连接， 连接一下 c a， 然后逆时针旋转啊，九十度正好到这里。然后现在人家问我们 c p 是 多少，那此时 c 在 这， p 在 这，也就是说让我们求这一段的，那这一段的话，这个直角三角形 o p e 很 简单， o p e 应该是等于三，对不对？那只要求这个 o c e 就 可以了， o e 等于多少呢？ 那 o c e 这个这个怎么做？那直接过 b e 做一个一线三等角，那么这个三角形和这个三角形应该是全等，比如说这个 b m 啊，应该是全等的，然后这里是一个等腰直角三角形，而且边底边应该是啊，底边应该是二， 对不对？那这样的话，这个应该是一一一，所以 oce 应该是一，这样的话，你算出来这个 c p 应该是根号十啊，所以这个很简，也可以算出来。然后 b 答案说当 m 是 零到二，也就是说 m 是 在什么这一段运动啊？换个，换个黑色，也就是说 m 是 在这一段运动。然后问你这个 ab 加 ac 的 最大值，我们知道 ab 加 ac， a b 加 a c， a b 加 a c， 这个 abc 这个三角形，这个等号二倍的 a c， 所以 它应该等于根号二加一倍的 a c， 那 你让我求 a b 加 a c 的 最大值，其实就是求 a c 的 最大值， a c 什么时候最大？那当然是当 c 点到零二的这个地方了， 对不对？那零二这个位置的话，那那就很简单了，那 a c 就是 什么 a， b 根号二，所以应该就等于 a， b 根号二，应该加四， 所以这个最大值应该不是四，所以这个答案应该选 b。 那 这是选择题的第十题，还有填空题的十四题，压轴填空题的这一题呢？它其实是模仿二零二五年安徽省中考题的最后一题。那这一题的话，你对正整数七进行二次变换，那你只需要这个七干什么？除以三，七除以三就等于什么？等于二于一，是不是 啊？二于一，然后呢？于一的话，那就是哪一种情况？就是我们的这个 m 等于 n 加四，那这样的话，那就是十一、十一、十一再除以三 就等于三于二，对吧？那三于二的话，那就是这样的一种情况，那你把十一带进去，乘以二二十二减一，那就是二十一。第一个问大家应该能得到分， 第二个问的话，那你其实怎么做呢？他说对于正整数进行三次变换，得到一问你这个 n 的 值，你可以倒推啊。比如说当 n 等于一的时候啊，你把这三种情况带进去啊，分别这个是三分之 n 等于一，对不对？等于一的话，那这个 n 就 等于什么？这个 n 是 不是应该是三， 然后再带，带进去的话，那这个就是啊，带进去的话，那就是个二，对不对啊？还有一个什么三，这个，这个你直接带进去就可以啊？三次变换等于一，你可以倒着推第一个，第一次，这个三分之一的话，应该是三，然后呢？这个， 嗯， n 加四的话，那这个不能是，不能说是负三，对不对？那肯定是负三，肯定是不可以。这第三种情况，这个是什么？这个是一，肯定应该是啊，一对不对，然后三，你再倒推三次啊，那你就是九，然后呢？那这个负一肯定也不行， 把然后三带进来，然后三三三三，这就是二啊，啊？然后九呢？你再倒退一次就可以了。九的话，那这样的话，这个 n 应该等于二十七，然后呢？这个应该等于五， 对不对？然后九，这个，那这个是五重复了，那说明五二十七，你可以试一下行不行？如果等于二的话，你再倒退一下二的话，那这个比如说六行不行，对不对？二的话，这个负二肯定是不可以喽，那这个二的话，那这个，嗯，这个没有，那就二分之三嘛，肯定要整数， 对不对？所以你可以倒推一下，你就知道哪些答案啊？这是第十四题，然后我们来看一下这个后面的题还好圆呢，也不算难。然后最后这两题比较难啊，我们来看一下二十二和二十三题比较难。 这个二十二题啊，这个出题老师图随便画的啊，干扰了很多学生做题啊。第一个问很简单啊，第一个直接手拉手旋转全等啊，数量关系是什么？相等位置关系，垂直啊，对应角相等，然后呢？对顶角又相等，对吧？那这个垂直，这个当然垂直。第二个问的话，当然了，这个图案画的不标准，你可以在头顶上自己画一个 啊，你可以在图一上自己画一个，对不对啊？做一个中位线就可以，那么 bc 等于二倍根号二，那么根据中位线定律，这个应该等于根号二，对吧？然后第三问的话，稍微有点难啊， 他让我们求 c h 比上 c、 d 的 值，只要遇到求值的问题，对吧？ c h 比上 c、 d， 那 他告诉我们这个是什么平行线，那 c h 比上 c、 d 应该就等于转换一下 ab 比上 b、 d， 你需要变量转换，比如说你设这个是 x x， 那 这个就是根号 x， 你 只需要把什么 c、 t 算出来就可以了。那另外他告诉我们这两个三角形全等，那全等有什么用呢？那全等我们通过推导这个角，这个角，这个角，这个角应该都是四十五度 a、 c、 h 是 直角，那么如果全等的话，要么这个角是直角，要么这个角是直角，对不对？又因为 这个 ac 和 af 肯定是相等的，那所以这个角肯定是直角，对不对？那你推导一下，推导一下，这个质是终点，这个 a 是 b、 f 的 终点啊，你可以连一下，对不对？这样的话我们应该就能求出来啊，求出来这个三角形，它应该是一个等腰直角三角形， 然后我们可以去推导一下，那我们就知道啊，如果你这个是 x 的 话，那 a 这个应该是根号 x， 这个就是二倍根号 x， 对 吧？这样的话 c、 d 应该是二倍根号 x， 所以 这样的话你就能算出来 ab 啊， ab 就是 什么 x 比上 b、 d 就是 三倍根号二 x， 这样的话就等于六分之根号二啊。所以第三问可以去这么做，但他图画的不标准啊，最难的是这个二十三题，二十三题的话 啊，这个二十三题的话，很多同学不理解，但是第一问还是比较好求的啊。然后第二个的话，这个 q 减 pm 小， 然后呢？存在最小值，这个你直接过点带入就可以，过点带入之后你应该就能得到啊，比如说这个，嗯， p 就 等于什么？ 等于 m 平方减四， m 减五，对吧？然后 q 就 等于什么？ q 就 等于 n 平方减四， n 减五，那题目当中告诉我们 q 减 p， 那 你直接减一下就能得到 n 平方减 m 平方，对吧？它减它，那就是可以干什么减去啊？括号啊？ q 减 p， q 减 p， 这个是四， n 减，提一个四出来，对吧？我们可以提一个四出来，括号 n 减去什么 m 就 可以了啊，这样的话就等于什么？题目告诉我们等于四，然后说这个 n 减 m 的 最小值应该等于一的话，那这个可以用平衡平方公式，用平方差公式给它 写成 n 减 m 乘 n 加 m 应该就可以，所以这样的话， n 加 m 应该是等于八，然后 n 减 m 的 话应该等于一啊，我们解出来应该可以， n 就 等于二分之九， m n 就 等于二分之七，是不是？这样的话就可以解出来一个，那人家让我们求 n 减 m 的 最大值，你可以竖心结合一下啊，你可以画个图，对称轴，一个四等于二，对吧？然后呢， 这个 m n， 比如说 m 的 位置在哪里呢？ m 的 位置，比如说在这 n 的 位置在这对不对？那最小值是一的话，那这段 对不对？那？嗯，最小值如果是一，那他问你这个 n 减什么最大，那我们知道 m 要小于 n， 也就说 m 要在 n 的 左侧，那我们可以把 m 进行一个对称， m 点也可以在这个 m， 如果可以在 m 一， 也可以在 m 二的这个地方，这样的话， n 减 m 应该就是什么最大值？所以这个就是这一段，是不是最大？也可以， 也可以。那你这个 m 一 对称，那么二分之七，关于它对称过来啊，对不对？那就是这个 m 减 m 的 最大值就应该等于二分之九，减二分之一等于四。这是第二问 啊，考的是我们二次函数的基本性质。嗯，对称包括自变量函数值的一些问题啊，这个第二问就有点难了，但第三问也是第三问，说对任意的它，它总总存在 m n 平行于 x 轴，问我们 t 的 范围，这个地方你也可以去画一个啊，也可以画一个，比如说 啊，你画一个这个竖形结合的抛物线，比如说这个地方 x 等于二对称轴，那么啊，那我们知道他这个跟这个 x 轴的交点，比如这个是负一，这个是五，那么你可以大致理解一下， t 减二到 t 加一的距离正好是三，我打个比方哈， t 减二正好在这， t 加一呢，正好在这，也就是说这个自变量的范围正好是对应的函数值，是这一段， 对吧？那另外一个 t 加二到 t 加五呢？就在这，那它对应的函数值就是这一段， 对不对？那他要存在 m n 连线跟平行，那什么意思呢？对不对？那是不是？是不是他这个就要有，就是要有重合的，在同一水平线上，这段和这段要重合。对，我打个比方， m 这个 m n， 如果这个 n 如果跑到这个位置，跑到上面来的话啊， 给他移到上面来，那是不是就不存在？你就看你画一个平行于 x 轴的线啊，他没有焦点就不行，那怎么表示呢？这个地方可以跟第二位学习一下，我们可以对称一下，比如说这个 t 减 i， 关于 x 等于 i 的 这个对称轴对称点啊，对称点 只要比我右边的这个 n 的 这个 t 加一要大，比如说也就说你对称过来之后一段是这样一段是什么？这样只要我的最高的点比你的最低点的大啊，是不是就一定承担呢？也就说 t 减二，关于 x 等于二对称的话，那应该就是二减去二减去一个就六减 t， 对 吧？六减 t， t 减二，关于 x 二对称，对称点应该是六减 t， 只要我这个六减 t 大 于等于左边的这个最低点，右边的这个最低点就是 t 加一啊， 大家想一想看一下啊， t 减二，关于这个对称点啊，又减 t 啊，比我这个 t 加二，左边的这个 t 加二要大，是不是就可以呢？ 又或者说我这个 t 加一的对称点， t 加一的对称点应该是什么？三减去一个 t， 三减 t 比我右边的这个最高点要小，比我这个 t 加五就小于等于这个 t 加五， 是不是就可以呢？啊？这样的话，我们可以就可以解出来， t 的 范围应该是大于等于负一，小于等于四，哦，不是小于等于二，对不对？小于等于二 就可以，所以这个地方最难的地方就是在这个地方竖形结合一下，然后需要用到我们进行一次啊对称进行对称就可以，大家可以去做一做这个卷子，这个卷子质量非常高啊，题目也非常难啊，大家自己做一做。

好，我们一起来看一下百效联营的第二十三题。函数压轴已知抛物线 y 等这么多。 第一问，求抛物线 c 的 顶点坐标，用 a 来表示，哎，这个还是比较简单的，方法有很多啊，我这就写出来了啊。负九 a 第二问，当 a 等于一时，点 m 和点 p 在 抛物线上啊。第一小问， p 减 q， q 减 p 等于四，最小值 m 减 n 减 m 的 最小值是一，求它的最大值，然后还有点小文，这都是比较今年最新的中考命题方向，计算量 要大，结算量要大。今年中考模拟方向有了新的四个变化，后面会出一期单独的视频来讲啊。第一小问， 当 a 等于一时，那它就 y 等于 x 平方减四， x 减五，点 p 和点 q， 点 m 和点 n 在 抛物线上， p 有 个 q 减 p 等于四次， 那 p q 等于多少？ q 是 q， 点 n 里面含 q， 也就变成了 n 平方减四， n 减五， p 呢？是 m 平方减四， m 减，那 q 减 p 就 等于 n 平方减 m 平方减四， n 加四， m 等于 n 减 m， n 加 m 减四倍的 n 减 m， n 减 m 减四 啊。然后题目里面有讲， m 小 于 n， 所以 它是大于零， 它有最小值， n 减 m 的 最小值是一，求它的最大值， n 减 m 的 最小值是一，它等于四。那我们来先看一下它， 它有 n 减 m， 那 么另， n 减 m 等于 t， 那 就这里就变成了 t 括号， n 加 m 减四等于四， n 加 m 减四是等于 t 分 之四， 那它有最小值是一，在这个填条件下，那不是。当 t 等于一时， n n 加 m 减四是等于四， n 加 m 等于八， n 减 m 是 等于一，所以我们是可以把 m n 给它求出来， m n 求出来以后，我们发现 m n 都是 x， p 和 q 是 one， 那 一个 p 对 零，至少是有两个 x， 那 我们直接给它代入 p 应该等于多少？ p 等于二分之九的平方减去四乘二分之九减五等于 负的二分之， 负的四分之二十七。同理， q 是 等于二分之七的平方减四乘二分之七减五等于 负的四分之一。 嗯， p k 等于这么多，因为 p 是 q， 是 y， 那 它对的 x 应该是有两个，至少有一个。那当 p 等于四分之二十七时，我们把它另外一个求出来，也就等于 x 平方减四， x 减五等于负的四分之二十七， x 平方减四， x 加上 四分之七等于零， x 等于二分之一，或者是 x 等于 二分之七。同理，当 k 等于负的四分之一时， x 平方减四， x 减五等于负的四分之一， x 平方减四， x 减去四分之九等于 t 等于二分之一。或者是 x 等于 x 等于二分之九。那因为什么 m 小 于 n， m n 是 对的，是 x， 所以 它一定是二分之九。最小值很明显，二分之九减二分之七，那么最大值就是二分之九减二分之一等于四， 最大值是四。然后我们来看一下第二题 对于 m n 的 取值范围。总有 m n 使得平行于 x 轴，那么平行于 x 轴，也就意味着 y 相等，求 t 的 取值范围。好，来看一下，来查一下。 那 y 相等的情况下，也就是 n 平方减四， n 减五等于 m 平方减四， m 减五。然后一下， n 平方减 m 平方减四， n 加四， m 等于零， n 加 m， n 减四倍的 n 减 m 等于零， n 减 m， 切出来变成 n 加 m 减四等于零啊。因为 n 大 于 m， 所以 n 减 m 不 等于零，也就 n 加 m 减四等于零， n 加 m 等于四， 这是能得出来的。然后它 n 加 m， 那 我们看一下 n 加 m 的 取得范围应该多少，那是不？这两个式子相加啊，不等式的相加减，他俩符号相同的情况下，那他就是左边加左边，右边加右边 t 减 r 加上 t 加 r， 右边加一边， t 加一，加上 t 加五， n 加 m 大 于等于二， t 小 于等于二， t 加六啊。因为 n 加 m 是 等于四的，所以二 t 是 小于四。二 t 加六呢？是大于等于四，那它是推出来 t 小 于二，而 t 推出来是 t 大 于等于负一，所以 t 是 大于等于负一小于二啊，这是第二项。

好，我们先来看一下刚考完的百校联营的英模试卷，这是第二十二题几何的压轴题啊。如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c， 角 b， a、 c 等于九十度啊，那么这个三角形就是一个等腰直角三角形 啊！ d 是 在 bc 的 延长线上连接 ad， 将线段 ad 绕点 ad 时针旋转，九十度啊，得到 a、 e， 所以 三角形 ade 也是一个 等于二 t 三角形啊。第一问，判断 b、 d 与 c 的 数量关系和位置关系，那 b、 d、 c， 那 么首先位置关系很明显是垂直，数量关系应该是相等， 那有判断垂直和相等，垂直相等的话，正常我们是需要判断全等的 位置关系，那九十度垂直，这个四十五度，那么证明他是四十五度就可以了。那么在中考的过程中，你不管你会不会写，只要你能看出来的东西，你先写上理由会不会再说啊，最起码能得到个一分两分，这样子，你如果你一个字都不写，那肯定一分都没有， 那我们来看一下这有什么条件全等的话， b、 d 和 c、 e， 那 么看他在哪两个扇形里面也很，一个是在 b、 a、 d， 那 一个是在 c、 e， 那 那就考证呢？那第一问，因为 ab 等于 a c， 角 b， a、 d 等于角 b， a、 c 加上角 c、 a、 d， 角 c， a、 e 等于角 e， a、 d 加上角 c、 a、 d， 那 b、 a、 c 和 e、 a、 d 都是九十度，所以角 b、 a、 d 是 等于角 c、 a、 e 的， 然后 a、 e 等于 a、 d 啊，所以三角形 e、 a、 c 全等于三角形 d、 a、 b， 那 就可以得到 b、 d 是 等于 c、 e 的， 同时角 a、 c、 e 是 等于角 b 等于四十五度，所以角 e、 c、 b 是 等于 九十度，那就可以得出，所以 b、 d 垂直 c、 e， 且 b、 d 是 等于 c、 e 的 啊。这是第一问，还是比较简单的。第二问， 入图啊，延长交一点 f 连接 b， 既为 ab， 中点连接 g、 f 啊。第一问，当 ab 等于二，那它也是二， g、 f 是 垂直， g、 f 是 垂直，就是终点，又有垂直，它垂直，那 b、 c 是 不是？ b、 c 是 不是也是垂直？所以又有题义可得， g、 f 是 平行于 b、 c 的， 就平行于 b、 c， 那 g 是 中点，因为 g 为 b、 e 中点，所以 f 为 ec 正点，那他考的不？其实考的不就是中微线吗？那 bc 等于根号二倍的 ab 等于二倍，根号二， 那所以 g、 f 等于二分之一 b、 f， bc 等于根号啊。哎，第一问和第二问还是比较简单的，这样难在第三问，如图三过点 c 作 c、 h 平行于 b， a 交 a、 d 于点 h 啊。 a、 e 和 g、 f 相交于点 p， 如果它俩全等，注意它坑在这里，它俩全等，它并没有用全等符号，它中间写的是雨， 是吧？所以因为全等和相似中，我们字母要什么一一对应， 它这里没有给符号，所所以它的字母不一定是一一对应的，懂吗？那比如说 a、 c、 h 是 九十度，因为平行它 a、 c、 h 是 九十度，那 a、 p、 f 一定是九十度吗？ a、 p、 f 一定是九十度吗？ 不一定，但是它是确定它不一定。然后再来看， 求 c、 h 比上 c d， c、 h 比 c、 d， 那 很明显相似它两平行，那和三角形 c、 h、 d 是 相似于三角形 b a、 d， 也就 c、 h 比 c、 d 是 等于 a， b、 b 比上 b、 d， 然后你怎么办？那我们来仔细来看一下这道题，所以第一问的条件你是判断，所以我们是可以用的。把这下面擦一下， 因为它是延长，所以 u、 t 可以 得到什么？ 这个三角形 b、 c、 f 是 个等腰 直角三角形 b、 c、 f， 它肯定是个等腰直角三角形，那它有中点，所以 c、 a 是 垂直于 b、 f 的， 所以 a 为 b， f 中点， a 为 b， f 中点， g 又是他中点，正常遇到两个中点是需要连接的，所以连接 g、 a， 然后应该怎么办？ 连接 g、 a， 要想让它俩一一对应，那 u、 t 的 三角形 b、 c、 a、 r、 t 三角形 a 为 中点， 所以 a、 f 是 等于 a、 c 的 啊，刚才我们在说的字母要一一对应，那么 a、 f 等于 a、 c， 它是不动的，那我们现在应该是三角形 a、 f、 p 是 全等于三角形 a、 c、 h， 那角 a、 c、 h 是 九十度，所以也就是角 a、 f、 p 是 等于角 a、 c、 h 等于九十度。再写，也就是 a、 f、 p 是 九十度，那把这个图给它重新画一下， 记在这里。这是九十度， 那它是九十度，那应该怎么办？ g、 a 是 不是平行且等于二分之一的 e、 f， 对 吧？它平行写等于二分之一 e、 f， 那 么 e、 f 是 垂直 bc， 那 么 ga 是 不是也是垂直 bc， 所以 它垂直下来的话，那这个角就四十五度，所以，所以角 ga， f 等于四十五度， 所以三角形 g， a、 f 为二 t 等腰二 t 三角形， 那它也是个等腰直角三角，它也是个等腰直角三角，这里还是个等腰直角三角形它们三个，所以三角形 a、 b、 c 是 不是全等于三角形？ a、 f、 c 也全等于三角形 f、 g、 a， 它们三个三角形是相等的，三个全等的三角形， 那么全等。那么假设 a b 等于 a， 那 么 a， b 等于 a 是 不等于 a， c 等于 a， f 等于 g， f， 那么 bc 是 等于 f， c 等于 g， a 是 等于根号二 a， 那 么 ef 就 等于二倍根号二 a， 所以 ec 就 等于三倍根号二 a， 所以 b， d 也是三倍根号二 a 刚讲的是 c， h 比上 c， d 应该是等于 a， b 比上 b d， 那 a， b， a 比上三分之根号二 a 也就等于 六分之根号二啊。所以最后一题六分之根号二。难点是正因为你不确定好这是这一题。

一个视频给你讲透百校联营中考一模英语卷。先下结论，不愧是沈城老师出的一模卷，尤其是阅读 b 篇、 c 篇、 e 篇出的相当好， 对孩子的阅读能力要求很高，所以一定要把这套卷子拿给你家孩子好好刷一刷。这张试卷总体难度比中考真题稍微难一些，其中单选的二十四题代词辨析题比较易错，很多同学误选。 c 完型。 a、 b 篇总体不难，只要细致些，瞻前顾后联系前后句，基本上是可以拿满分的。补全对话和阅读 a 篇不难，属于送分题型。 b 篇的五十九题属于段落主旨题，需要孩子能够读懂并选择符合段落主旨的选项。 六十题比较新颖，需要孩子读懂情节，选用对应选项的谚语或者成语，属于拉开分叉的选项。然后六十一题是文章主旨题，不难。 c 篇比较紧贴时事，刚好讲到了合肥春晚分会场的事情。六十二题，六十三题属于细节题，通过关键词找到文章对应位置，就能选出正确答案。六十四题词意猜测题比较易错，如果联系前后句的话，找不到对应的内容， 对应的内容在第二段，最后一句间隔比较长，很多孩子容易在这道题丢分。六十五题同样属于文章主旨题，联系首尾段就能做出来。 第一篇不难，真正让学生做噩梦的就是讲饮食与睡眠的异篇，光手段就有很多，从句套娃，从句里面套，从句语法没学好的孩子，第一段根本读不懂， 给他们看的晕头转向。 f 篇七十五题对孩子的概括表达能力提要求，超尾段，最后一句话肯定是不行的，怎样修改才能让句子的不超字数又在要点上呢？单词拼写七十八题，估计有很多孩子想不出来是 rapid， 书面表达中等难度与人物类。继续问，备考过程中只要积累了对应话题的素材，应该是很好写出来的。总而言之，这道试卷想拿一百一十五分以上是比较有难度的，一定要让你家孩子好好刷一刷。

临汾市二零二六中考一模百校联考一数学压轴二十三题，很多学校啊拿这个百校联考的题作为一模的题啊，呃，我们一起来看一下。题目比较长，我们慢点读题。 题目说，老师让制作两个全等的直角三角形纸片，将两个直角三角形纸片重合放置其中，角 a、 c、 b、 a、 c、 b、 c 等于 a、 e、 d 等于九十度，然后将直角三角形 abc 保持固定， 然后让这条线 a、 d、 e 绕着点 a 逆时针方向旋转，逆时针就是往上旋转啊，这样旋转。好， 来，我们看第一问，第一问，他说，善思小组提问，哎，如图二，若 abc 等于三十度，这个角是三十度，我们画一下，这个角是三十度， 当点 e 落在 e 落在 ab 上时，连接 b、 d 去 b、 d 的 中点， f 连接 a、 f， 判断 a、 c、 b、 f 的 形状，并说明理由。 那如图可以看到，这个 a、 c、 b、 f 很 显然是一个矩形啊，咱们来验证一下。好，首先他说把 a、 c、 b 这个直角条形绕着点 a 逆时针旋转到 a、 e、 d， 所以 一有旋转，一有旋转，就意味着全等。 那么 a、 c、 b 和 a、 e、 d 这两个三角形就是全等的啊，全等三角形，哎，对应边相等，对应角是不是也相等啊？咱们等一下可能要用到啊。好，继续。 他还有个重要的信息说， abc 这是三十度，这是直角呢，这就是六十度。那反过来转过来这个直角三角形，这是六十度，这是九十度，这是不是也是三十度，对不对？好， 然后呢，他说连接 b、 d， 连接 b、 d、 f 是 终点。好，那么如果证明这个是个矩形，矩形证明方法有几种啊？那最最简单的证明方法，其实就是说有三个角是九十度的直角，三角形就是矩形。 好，那咱们来看一下这道题。问题的关键就给了这个三十度的直角。三角形里头有一个非常重要的 知识点是什么呀？就是他这个短的直角边是斜边的一半，哎，为什么？因为三引三十度等于对边比邻边等于二分之一，那所以 a、 c、 a c 就 等于 ab 的 一半，那同理， a、 e 也等于 ad 的 一半， 对不对？好，那你看，转过来之后， d e 是 垂直的， a e 是 ad 的 一半， ad 和 ab， ad 和 ab 又是相等的，所以呢，那 a、 e 是 不是就是 ab 的 一半呀？好， a e 等于 ab 的 一半，那么 d e 和 ab 就是 垂直关系，而且 d e 把这个 ab 是 给平分了哎， e 就是 中点平分，那么 d e 就是 ab 的 垂直平分线，垂直平分线上点到线段两岸的距离相等， 所以 d a 是 等于 d b 的， 哎，那也就是一个等腰三角形，对吧？等腰三角形对不对？好，等边三角形，那 db 就 等于，那这个等边三角形呗。然后 f 又是中点，等，等边三角形和等腰三角形是一样的。满足三线合一，那 af 就 垂直于 bd 了，对不对？ af 垂直于 bd， 那么这就是一个直角，这是个直角。又因为三线合一，顶角是六十度，所以这个角是不是也是三十度啊？所以 c、 a、 f 也是九十度， a、 f、 b 也是九十度，那 a、 c、 b、 f 就是 一个矩形啊，有三个角是九十度的， 呃，四边形是矩形对不对？好，来看第二问，第二问，他说如图三，哎，图三当中， a、 d、 e 绕点， a 逆时针旋转九十度，哎，他这给了一个确定的度数，这是转了个九十度这样转过来的，然后连接 c、 d， b、 e 取 b、 e 的 终点 b、 e 的 终点 p 是 终点 连接 ap， ap 交 c、 d 与点 q。 好， 试判断 ap 和 cd 的 数量关系。 ap 和 cd， 咱们先看一下 a、 p 和 c、 d 数量关系和位置关系，很显然是一个垂直的关系，对不对？那数量关系呢？好，咱们得看一下。呃，这个题的关键就在于点 p 是 终点，终点咱们想到被长中线，对不对？好，那延长 ap， 延长 ap， 再延长 c、 c、 b 交 ap 的 延长线与点 m 吧， 对不对？哎，这个图一画出来，你看，很明显的，这两个三角形是不是全等了啊？为什么？首先 ab 和 ad 是 相等的，因为它经过旋转得到的， 对不对？然后呢，咱们继续看一下，说这个角和这个角也是相等的，那为什么？你看啊，咱们看一下，这个角是一百八十度减去这个角，对不对？然后这标一下，这个角是阿尔法，这个大角就是一百八十度减阿尔法，写一下，角 abm 等于一百八十度减阿尔法，那同样的这个角是多少呢？你看啊，这个角 是，这是一百八十度，对不对？哎，是不是一百八十度减去这个角啊？那这个角和这个角加起来是不是九十度啊？好，我看一下，这是 来标一下，这是阿尔法。在这个 a、 c、 b 这个角呢，这就是贝塔，那这个角就是贝塔，对不对啊？这是贝塔，这个角是阿尔法，这个角是不是也是阿尔法呀？哎，所以角 d、 a、 c 也等于一百八十度减阿尔法， 哎，所以在这两个三角形中，这两个角是不是也相等了？好，继续过终点做倍长中线。那这是不是有个八字全等啊？八字全等，哎，因为 c、 b 和 a e 是 平行的，都是九十度，是平行的，有个八字全等， a、 e 和 bm 就是 相等的啊。三角形 a p、 e 全等于三角形 m p b， 所以 a e 对 应的 mb 等于 mb 是 相等的啊， 那 a e 又是 a c 转过去的，对不对？哎，所以 a e 和 a c 是 相等的，又等于 a c， 那 么在这两个三角形里头， a c 和 b m 又是相等，这两个三角形里头，边角边，边角边，是不是全等了？哎， 写一下啊，三角形，三角形 a、 c、 d 全等于三角形 b m a。 哎，因为什么呢？因为边角边。写一下， a d 等于等于 ab， 角角 d， a c 等于角 abm 边， a c 等于 bm， 边角边全等，对不对？哎，全等之后，我们来看一下这两个三角形全等了，那么 a c， 呃，他现在要探讨的是 ap 和 dc 的 关系对不对？三角形全等，那么 dc 和 am 是 不是就相等啊？我这再写一个啊，写一个，我写下来， dc 就 等于一个 am， 是 不是？然后呢？这个八字全等，八字全等里面 p 就 变成了 am 的 中点。因为 ap 等于 pm， 对 不对？所以 ap 是 等于二分之一的 am， 也就等于二分之一的 dc。 好， 数量关系，有了 ap 等于二分之一的 dc， 那 位置关系，位置关系，实际上就是要证明这个角是个九十度，对不对？也就证明它是九十度。 好，来看一下啊，它是九十度，那这两个三角形已经证明全等。来，我擦一下， 我把不需要的擦一下啊，想证明它是九十度，那依意味着这两个角 加起来是九十度，是不是可以了？好，来看一下啊，角一加角二是不是九十度啊？角一和这个角三是不是相等的，所以角二加角三是九十度，所以 c q m 是 九十度。哎，所以就证明了 ap 是 垂直于 d c 的。 好，那这就是第二问。第二问 就说明了 ap 和 cd 的 关系哎，数量关系是等于一半位置关系是垂直，这就是第二根。难度比较大，需要做一条辅助线哎，很多孩子在考场上由于时间关系或是没有想到这条辅助线哎，这个图形边上的中点或者 呃极等分点哎，延长之后可以做一个相似或者全等的三角形。 这，这个知识点把这道题可以做出来啊。同样的，你看啊，这道题里面这个三角形和这个三角形全等，下一问也会用到，我们继续看一下。下一问好，第二问，同学们可以截下图，截下图做一下。好，我们擦掉，我们擦掉。来看一下第三问。 第三问说，当三角形 a， d、 e 绕着点 a 逆时针旋转九十度连接 b， e， m 是 a c 射线 a c 上射线 a c 上的一点连接 dm 过点 a 做 dm m 现在还不知道在哪呢啊， dm bm 的 垂线交 b e 于点 j， 若 b e 是 b e 的 三等分点，请直接写出 am 比 a c 的 值。好，那这道题的关键在于这个点 j 是 b e 的 三等分点， 那么 j 是 b e 的 三等分点，是不是分两种情况啊？第一种情况它是靠下的三等分点，第二种情况它是靠上的三等分点，对不对？好，那咱们先看第一种情况，靠下的三等分点好， j 在 这儿， 同样的连接 aj 并延长啊，这还是 m， 然后呢， d m 是 垂直于 aj 的， 对不对？好，我们换一下 这垂直。第二问，成了已知了啊，已知了，好，那我们现在要探讨的是 am， am 和 ac 的 比值， am 比成 ac， 那 其实和第二问的思路一样的啊，那 d a m 和 abm 这两个三角形是全等的，咱们证明一下。为什么啊？首先， ad 等于 ab， a d 等于 ab， 一 样是通过旋转全等得到的啊。第二步，这个角和这个角是相等的，和第二个的证明方法一样的啊，角 d a c d a m 吧，等于角 ab。 哦，第二位有 m 了，咱们换一个字母吧，那就 n 吧。这改一个 n 好。 呃，角 d a m 等于角 a b n 好， 那还差一个，还差一个，咱们可以来个角啊，来个角，看下哪个角相等的 好。来看啊，他说的是，这是垂直，那么过点 m 做一个底边的平行线， 这是垂直的角阿尔法加角贝塔是不是等于九十度啊？然后呢，过点 m 是 做的平行线，所以这个大角也是个九十度，所以角阿尔法加角贝塔是不是也是等于九十度啊？哎，这两个角加阿尔法都等于九十度，那这两个角是不是相等的呀？ 又，因为，哎，过点 m 是 做的平行线，标一个字母吧， mt 是 平行于 c n， 那 这个角是不是也是贝塔呀？哎，所以这两个角都相等的，都等于贝塔， 也就是角 a m d 等于角 b n a 好， 那么又是，这是边角角，哎，两个角相等了，那第三个角肯定也相等，对不对？哎，两两角再加一边，哎，其实就是角角边吧，角角边全等， 全等，全等之后呢？那 am 就 等于 b n 了，对不对？好，那又因为旋转 a c 是 等于 a e 的， 对不对？ a c 等于 a e， 那题目里问的你什么问的你是 am 比 ac， am 比 ac， am 比上 ac， am 和 bn 是 相等的， ac 和 ae 是 相等的，那问题是不是可以转换成 bn 比上 ae 啊， 对不对？哎，那这是不是有个八字相似啊？ b n 比上 a e， 哎，因为这是三等分点，是不是就等于 b j 比上 e j 啊，对不对？哎，就等于 b j 比上 e j， 这是三等分点，那这是一份，这是两份，是不是等于一比二啊，对不对？哎，这是第一种情况。那第二种情况是什么呢？第二种情况就是 j 跑上面了，对不对？那 b j 就是 两份， e j 就是 一份，那第二种情况就是 b j 比上 e j， 我 这没写清楚。 这是 j， 这是 j， b j 比成 e j 就 等于二比一了，对不对？其实就是二。所以最后一问，有两个值啊，第一种情况是一比二，第二种情况是二比一，也就是二。 好，很多同学在考场没有做出来啊。临汾的中考生们，初三的学生们，下来完善一下这道题，这道题结合相似啊，结合全等， 很不错的一道题。那实际上这道题呢，也是一个图形旋转，图形旋转的问题，很不错的一道题啊，同学们可以看一下。

中考模拟的第一枪，今年依旧是咱百肖一来打响，三月二十四号正式开始，具体的考试时间呢，家长们截图保存 之后呀，陆续还会有太原市的一摸、二摸、省市硬性等多种模拟考。那到底哪场考试最关键？每场考试的作用又是什么？今天呀，咱就一条视频讲清楚，家长们转发收藏。 首先呀，就是百校一，这个是咱中考的第一次综合模拟，核心的作用呢就是查漏补缺，精准定位，限阶段的复习问题，分数排名是次要，解决问题才是关键。 太原市的一摸呢，一般是在四月的中下旬，命题难度略高于中考，一轮复习呢，正处于关键阶段，孩子们的真实水平也会逐渐暴露。 这个时候呀，就可以开始去定位一些目标高中，继续找和目标高中的差距，同时解决问题。太原市的二模呀，是家长们最关注的，难度较大，此时呢，整体的复习基本完成，孩子们的应试状态、答题节奏基本趋于稳定，成绩的波动呢相对较小， 更能反映出咱真实的中考竞争力。二模后的校排名、预估分数是咱中考志愿填报的参考依据，家长们可以结合咱孩子的一个二模成绩，往年各高中的一个录取分数线，定向计划等等，帮助我们孩子去规划学校，考虑签约等问题。 最后呀，咱们说说省考考试，山西省呢，统一命题思路，同时呀，检验复习的一个效果。 难度呢，基本对标中考，但时间分配、答题规范等细节问题往往可能在这个时候去暴露，这也是咱考前最佳的一个调整机会。中考呀，是一场持久战，模拟考试呢，就是这场战役中关键的转折点。 百校一呢，发现问题，一摸明确方向，二摸锁定志愿。每场考试都有不可替代的价值。当然学姐也帮大家整理好了往年这些模拟考试的真题，家长们可以私信来领取哦！