2026人教版八下数学公式

今天还是八年级下音式分解的分享，前两天已经把公式法还有提公音式法分享完了，所以今天讲一下十字相乘。我是在西安高新分享数学知识点的张老师，每天三分钟，数学更轻松。来一起看一下十字相乘的问题。 我们在做十字相乘时，一定要先明白，若一个式子 x 平方加 p 加 q 倍的 x， 再加上 p 乘以 q， 好，我们就可以分解为 x 加 p 乘以 x 加 q 这样的形式，这就叫十字相乘。因为我们可以写作 x x 一个 p 一个 q， 他 俩相乘加起来的系数要等于中间的系数就可以。好，这就是咱们简单的十字相乘， 所以来一起做一下题。第一个， x 平方加六， x 加八，我们先要明白， x 的 平方可以写作 x 和 x， 而八 可以写作一乘以八或者二乘以四，都可以得到八，但是中间的系数为六，所以我们可以试一下。比如说你写一和八的时候，交叉相乘一个是八 x， 一个是一 x 加起来是九个 x 不是 六 x， 所以 一和八不可以， 所以我们就可以修改一下，变成二和四，因为二四也等于八，然后交叉相乘之后可以得到四 x 和二 x， 所以 合起来刚好是六 x， 所以 我们横着去写，就可以写作 x 加二乘以 x 加四， 这就是咱们简单的十字相乘。好，接下来一个也是一样的道理， x 平方写成 x 乘以 x， 负八负八，我可以写成负二乘以正四，或者负四乘以正二，或者负一乘以八，也可以是负八乘以一， 但是我中间的系数是多少是正奇，所以我要写作的是八和负一 相乘等于负八，刚好八乘以 x 等于八， x 负一乘以 x 等于负 x， 两个合起来刚好是七个 x， 所以 我们写的时候一定要注意是横着写，它的分解后就是 x 加八乘，以 x 减一， 这就是咱们简单的十字相乘的因式分解。这个方法一定要记住，因为在咱们到初三学一元二次方程以及二次函数时，都可以用此方法去解方程啊。 好，接下来系数不为一，我们会发现，系数为一时，我们是 x 和 x， 那 系数不为一，我们就可以写作是一个三， x 乘以 x 就是 三， x 方 后面是一个负三，那谁乘以谁等于负三呢？只有一乘以负三，或者负一乘以三，但是中间的系数一样的是个负八，所以我们要写作一个是负三，一个是正义，因为这样写负三乘以三等于负九，加一个 x 就 等于负八了。 好，所以我们的答案就是横着写，三， x 加一乘以 x 减三。好，这就是咱们的十字相乘因式分解。最后一个一样的道理，可以写作，五 x 乘以 x， 负九就可以写作，因为中间是十二，谁乘谁， 两个一加又等于十二呢。好，只有三乘以五等于十五，十五减三等于十二，所以我们要写作，三和负三交叉相乘，刚好就等于正的十二， 所以我们写的时候一定要注意是横着写，所以最后答案等于五， x 减三乘以 x 加三。好，这就是咱们简单的十字相乘的也是分解，因为这种式子里面是不含有 提供音式的，公音式的也没有公式可以去做，所以说只能用于十字相乘。好，今天的分享就到此结束，希望各位能够持续关注，持续的去点赞，多多的转发给身边有需要的人。

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亲爱的同学们，大家晚上好，今天我们所学的内容是八年级下册专题第八项，二次根式中乘法公式的构造。 在这类型的题目中，往往会出现二次根式和一次性一次式，或者是常说的和或差式，常需要考虑构造成式法公式。 一般情况下，这里的乘法公式指的是我们的完全平方公式，我们是指的是 a 加或减去 b 的 和或差的平方，它就等于 a 方加或减去二倍的 ab， 再加上 b 方。 我们以第一道题为例，第一道题指的是当问题出现在这样的形式中，大家不难发现在实数范围内有意义，那我们只能得到 x 大 于零， y 减二等于零，但是要想去求 x 和 y 的 值，所以我们往往通过构造成法公式， 我们可以看到这里面啊，根号 x 减一的平方，差的平方等于它，对吧？所以我们就可以将上面这个式子转化成这个等式，那平方具有非负性，所以两个非负数相加等于零，只能让它们都等于零。因此仿照这种方法，我们来看一下第一道例题。 第一道例题我们可以写成四倍的根号 x 加上四倍的根号下 y 减一，再加上四倍的根号下 z 减二等于 x 加 y 加 z 加九， 然后我们可以得到 x 减去四倍的根号 x 加上 y 减去四倍的根号下 z 减二加九，是不等于零。 再看 x 可以 看作是根号 x 的 平方，所以我们把它凑成一个完全平方式，我们可以得到， 所以是不要加上二的平方，也就是加四。后面我们发现根号下是 y 减一，所以 y 我 们把它凑成 y 减一， 能理解吗？那在这里面啊，继续减去四倍的根号下 y 减一，那再加四，同样 z 给它凑成 z 减二， 那大家此时我们再看看这个常数，这里面有加四，这里面是不是有个负一，这里面加四，这里面有个负二，这里面加四，那我们就可以得到 四减一，三三加四，七七减二，五五加四，九，是不恰好就是前面这个九，所以他们就等于零，能接受吧？ 好，我们前面中这里是不是得到的是根号 x 减二的平方，加上根号下 y 减一减二的 平方，那再加上根号下 z 减二啊，减二的平方等于零，根据非负数啊，三个平方具有非负性，三个非负数相加等于零，只能让它们都等于零，所以我们就可以得到根号 x 就等于二，那根号下 y 减一等于二，所以我们就可以得到 y 减一等于四，那 y 就 等于五， x 是 不等于四，那同理，根号下 z 减二等于二，那我们是不可以得到 z 减二等于四，那 z 就 等于六。过 原式根号 x 除以根号下 y， 加上根号 z， 再加上根号下 x， y， 那 是不是就可以看错，根号 x 是 不是根号四除以根号五，加上根号六，再加上 根号下二乘，那是根号十。需要大家注意的是，我们这里面要对前面这个式进行化解，我们二次根四所有计算的结果都必须展示一个最减二次根式，所以我们对根号四就是二 分母进行有理化，是二倍的根号五减去根号六 除以五减六，再加上根号十，五减六负一，所以最终结果就是二倍的根号六减去二倍的根号五加上根号十，能接受吧？ 啊？这一道题的中心思想就是通过前面的等式进行变形，构造乘法公式，从而利用平方的非复性进行解析。 接着第二道题目同样也是，这里面只不过出现的是具体的数值，我们可以看到四七是不可以看作是 根号四的平方加上根号三的平方，对吧？那四倍的根号三是不二乘根号四乘根号三，同样也是凑完全平方公式，所以在这里面我们就可以得到 第一个中，我们这里是不是根号下四加二二倍的根号三，那四是不可以看作是根号下 根号三的平方加上二乘根号三乘一加上一的平方，所以它是不是就等于根号三加一和的平方的算术平方根，因此我们的结果就是根号三加一。 后面这个式子中，我们的根号六是不可以看作二乘三，五是不可以看作是二加三，所以他就等于根号三的 平方加上根号二的平方，再减去二乘根号三乘根号二，所以他是不是就是根号三减去根号二的平方，对吧？那至于我们的算数平方根得到的是不就是根号三减去根号二， 所以对这个式子我们并不陌生，根据前两个这个中我们就可以得到 m 是 不可以看错，是根号 a 加上根号 b， 那 所以它就等于我们的根号 a 加上根号 b， 能接受吧。那依据上面两个所学习到的例子，我们对于下一道题我们就可以发现。首先我在这里先对于大家打个草稿哈，要不然步骤写起来可能相对来说比较长。第一个 根号下三加二倍的根号二，那是不可以看错。根号下根号二的平方加上二倍的根号二，再加上一的平方， 可以吧？那是不就等于根号二加一和的平方的算数平方根，所以它就等于根号二加一， 能行吧？那至于一除以根号二加一分母进行有理化，那是不就得到的是分子分母同时乘上根号二减一， 是不就等于根号二减一，能接受吧？那再看第二个式子中 根号下五加上二倍的根号六，那五是不可以看错。上面中根号三的平方 加上二乘根号三乘根号二，再加上根号二的平方，所以它是不等于根号三加上根号二和的平方的算术平方根 就等于根号三加根号二，那因此我们一除以他，那是不是就是一除以根号三加根号二，那就等于根号三减去根号二，能接受吧？那同样剩下的我就不继续再写了，我们就直接来得结果。 那第一个得到是不是根号二减一，第二个是不是根号三减根号二，那第二个七是不是四和三，那就是根号四减根号三， 根号那九是不是五和四，那就是根号五减根号四。继续这里十一是不是就是六和五，那就是根号六减去根号五 十三，那就是七和六。根号七减根号六十五，七和八，所以是根号八减去根号七，最后十七，那么是不是八和九，所以等于根号九减去根号八，那这个时候大家不难发现此事，你看 对吧？这么多是不是就负一加上根号九是不三负一加三，也就是 虽然题目看起来相对来说比较长，但是实际上他的应用的方法还是较为简单的，计算也是不怎么复杂。所以大家在数学题的过程中记住啊，不要怕题目长，认真看下去，动动你的脑子都会做出来的。那我们今天这节课就上到这里了，再见。

好，我们继续来学习直角三角形斜边中线的进阶应用啊，与最值相关的第五题给的信息啊，已知如图， e 点和 f 点分别是正方形 a、 b、 c、 d 的 边 ad 以及 b、 c 边上的点， 满足 a、 e 和我们的 c、 f 是 相等的。好， a、 e 和 c、 f 这两条线段除了数量上相等，另外注意它们在位置上是有平行的位置关系，那平行且相等，如果需要带来的是有特殊形，也就是 a、 f， c， e 是 一个平行四边形。 好，然后呢，当然也可以共线运算，因为 a、 d 和 b c 是 相等的，进而得到 e、 d 和我们的 b、 f 是 有相等的关系，那这两条边也是有一个相等且平行的信息，从而可以得到 b、 e、 d、 f 也应该是一个平行四边形。 好，接着过这个地方的 c 点做的 c、 g 和我们的 e、 f 是 垂直的，提供的是有直角，那目前往斜面放有 c， g， f 是 一个直角三角形，垂足为 g 点。 接下来给的信息是， ab 的 长度等于四，正方形的边长为四，求线段 b、 g 长度的一个最小值。好， b 点是一个定点， g 点在动， g 点在动的过程中始终保持是有一个直角的，但这个直角目前找型的话是 gcf， 那 这个所有的边都是在发生改变的，包括这个 g 点直角如果找 cge 的 话也是一样的问题。 所以现有的图形是没有办法直接去求 b、 g 长度的一个最值。好，那就回到条件刚刚的边的平行且相等，我们带来的是有一个特殊形好，也就是方便大家去分析看图啊，我们先连一下啊， af 和 ec， 那这样的话，根据这个地方的 a e 和我们的 c f 平行且相等好，从而就可以得到有一个特殊形平行四边形，也就是 a e c f 是 一个平行四边形。好平行四边形的对边平行且相等 得到的平行四边形怎么去用啊？去用 e f， 因为我们的目标的这个垂直，它是和我们的 e、 f 是 垂直的，而 e、 f 在 这样一个四边形平行四边形中，它是充当对角线。 平行四边形的对角线是有限制的，互相平分，所以另外一条对角线是 a c 刚好另外一条对角线的 a、 c 又是我们的已知的正方形 a、 b、 c、 d 的 对角线， 所以它能够跟我们的已知条件能够产生联系啊。假设它们的焦点为 o 点的话，借助平行四边形的性质，那此是有 o e 等于 o f， o a 等于 o c。 重点关注的是 a c， 因为 a c 是 保持不变的， 所以这样的话就是 o 点，它就是一个确定的点啊， o a 等于 o c 是 a c 的 终点，那这个时候的直角再来往西里面放，应该是找 c g o 这样一个直角三角形， 两者角边长。当你的 e 和 f 发生变化的时候，那这个 g 点的位置会变，但是 o 点的位置是保持不变的， o c 的 长度也是保持不变的，所以这个三角形直角三角形中斜边长保持不变的情况下，考察的是斜边中线， 所以接下来就是取斜边的一个中点，也就是取这个地方的 o c 的 中点好，那 o c 的 中点，我们假设为 p 点的话，那首先连接此时的这个 p g 形成的是直角三角形斜边中线的用法，斜边中线等于斜边一半，也就是在 r t 三角形 cod 中 满足斜边中线等于斜边一半。 p g 等于二分之一的 o c， 而 o c 等于二分之一的 ac， ac 是 四倍的根号二，所以 o c 就是 二倍的根号二。那么 p g 的 长度应该是等于根号二的，包括 o c 和 p c 的 长度也都是等于根号二的。 那接下来 bg 找行的话，找有条件的行啊， bg 找行，找 bgp 好， 所以接下来就是要去找这个地方的 bp， b 点是一个定点， p 点也是一个定点啊，所以求 bp 的 话， bp 找行，第一个可以找 bpc， cb 是 已知的，等于四， c p 已知等于根号二，并且角这个 b c p 是 对角线提供的四十五度两边加特殊角是可以求第三边 b p 作垂就可以了，这是一种想法。另外 b p 角形更直接的可以找 b p o 这个三角形， 因为连到 o b 的 话，那这个时候提供的 o 点的位置是由正方形对角线提供的垂直啊。两直角边 o p 是 等于根号二的， o b 是 等于二倍的根号二的。所以接下来勾股定律可以在我们的 r t 三角形 b o p 中 啊，利用勾股是可以得到对应的 b p 的 长度应该是等于根号十的，那接下来让求这个 b g 的 一个最小值，那它最小的话就是 b p 减去 p g， 利用三角形的三边关系来进行分析就可以了啊，也就是用我们的 b p g 这样一个三角形 好，当然因为是动态的问题，所以它是可以共线取等的啊，从而得到我们目标带求的 bg 的 一个最小值，那就应该是等于 b p 的 根号十，减去 pg 的 根号二，好，目标线段啊，最小值根号十减去根号二， 好。接着我们来看第六题，第六题告诉的是边长为四的这样一个正方形的形外有一个异点，并且满足的是角 a、 e， b 是 等于九十度的， 这个九十度往斜里面放 a、 b、 e 这个三角形 e 点的这个点是不确定的，位置不确定，但是这个直角三角形里面的 ab 这条边长是确定的，而且 ab 这条边是这个直角三角形的斜边， 所以直角三角形斜边长确定的情况下，还是优先考虑斜边中线好。接着给的是 f 点，是中点，它是 d、 e 的 中点。 好，那目前这个终点暂时没有直接的信息啊，有一个终点的信息。最后让我们求的是 c f 的 一个最大值， c 点是定点， f 点在动， f 点之所以会动，是因为一点在动 好一点，它实际上是有轨迹的啊，但是这个轨迹是我们以后九年级会要学到的一个圆弧轨迹，但我们暂时没有学，那就先不管啊。好，那这个时候的这个， 呃，接下来如何来分析 f 点啊？就先分析 e 点， e 点。刚刚我们有分析过，是直角三角形的一个直角顶点，在这个直角三角形里面，斜边长 ab 是 确定的， 因为 e 点的位置发生改变的话，是不可能考勾股的。 b， e 和 a e 的 长度在变，但是 ab 的 长度不变，所以是取 ab 的 中点 啊。假设 a、 b 的 中点，比如说为 p 点的话，那取完中点之后，连接此时的 e、 p 形成的是直角三角形的斜边中线啊，在 r t 三角形 a b e 中，利用斜边中线等于斜边一半， pe 等于二分之一的 a b， 也就是等于二的 好 p 一 长，一旦等于二之后，那接下来啊，就是我们的 f 点 f 点它是取了 d e 的 终点，它是 d e 的 终点啊，那 e 点因为这个地方啊，始终到这个定点的 p 点的距离是一个定值， 所以这个时候啊，虽然说 f 点也是终点，但是 f 点是 d e 的 终点，而 p 点是 ab 的 终点，多个终点可能会有同学想中微线，但是 ab 和这个 d e 暂时不在同一个三角形里面，所以这个时候暂时是没有办法去用这个中微线的啊。 那另外一个就是 e 点在动的过程中， e p 的 长度始终保持不变， e p 的 长度始终是保持不变的， 那这个时候我们要想办法跟这个地方的 d e 来产生联系，所以这个时候就是啊，一点他的这个啊，到定点 p 点的距离是保持不变的，所以把这个地方的 d e 啊，转移到我们的这个地方的啊， d p 确定不变的位置，也就是我们尽量还是找不变的信息， 那 d p 的 长度是确定的，位置也是确定的，那这个时候的 f 点他是取了 d e 的 中点， f 点是取的是 d e 的 中点啊，所以接下来就是取 d f 的 中点，也就相当于是把我们的 p e 这条线转移至 f 点，把确定的不变的这条线段长度借助中点，相当于是一个中位线的想法，平行折半，转移到目标带球的 f 点的位置， 所以接下来是取这个地方的 d p 的 中点，假设为 q 点啊，连接此时的 f q， 然后呢，就可以在我们的三角形 d e p 这个三角形中啊，利用中微线是可以得到 f q 等于二分之一的 p e 也就是等于一的 啊，那实际上就确定这个 f 点到定点 q 点的距离始终是等于一的，实际上也是一个轨迹圆的这样一种想法啊。 好，然后接下来要求 c f 的 最值 c f 这个时候找找 c f q， 因为 c 点是定点， q 点也是定点。好，那就连接此时的 c q。 好， 连完之后，接下来去求 c q 的 长度就可以了。好，那 c q 找寻的话是 c q d 这个三角形 啊，这个三角形里面目前 c d 是 已知的，等于四啊，所以 q 点它实际上是一个中点， d p 的 中点， d p 的 中点啊，所以 d q 的 长度实际上是确定的，所以这个时候我们要求 c q 还是一个勾股方程的想法，那就过 q 点去做垂线 啊，形成直角三角形。这个地方隐含的，因为 q 点它本身是我们的这个 d p 的 一个中点，所以可以考虑比如说斜边中线，或者是说这个中点的一个延长相交的这种用法。 实际上提供的啊，就是这个地方啊，就是，呃，方便大家理解，我们就记作 m 和 n 吧。那这个时候的 dm， 它借助矩形等于 an， 借助 q 点是 dp 的 中点，正全等， dm 是 等于 pm 的， 而 pa 的 长度是等于二的 啊， pa 的是一个中点啊， pa 的 长度是等于二，所以两边都是一，从而得到 dm 的 长度等于一，那么这个时候的 c m 的 长度等于三 q m 的 长度是等于 m n 的 一半，也就是四的一半，结果是二，所以我们要求 c q 的 话， c q m 这个直角三角形，那么 c q 的 长度应该是等于根号十三的， 所以接下来我们目标待求的 c f 角形的话，是 c f q 这个三角形，那利用三边关系确定 c f 的 一个最大值，那应该是等于两边之隔根号十三加一是有可能共线取等的 好，那这个时候就可以得到啊，此时我们的 c f 的 一个最大值，好，那最大值根据三边关系应该是根号十三加一 好，目标带球的啊，根号十三加一，好，这是一种想法啊，斜边中线等于斜边一半，然后呢，再把它借助这个中微线的用法，把一确定不变的一批转移到我们的目标带球的动点 f 点的位置，然后再利用三边关系确定它的一个最值。 好，另外一种想法，因为目标带球的是 cf 这条线段的一个最值，而 f 点是一个中点， 那既然 f 点是一个中点的话，我们就可以去想中点的中微线，把目标带球的这条线段构造成中微线，好，那 f 点因为它已经是中点的，那我们就想办法让 c 点成为中点，同时形成中微线， 那这个 f 点的话，它目前是 d e 的 中点，那就把这个地方的 d c 进行倍长，形成中微线。好，那这个时候就是把 bc 这条线啊进行一个倍长 啊倍长这一点，比如说这个 p 点好，那这样的话，我们的 c f 就 借助中微线平行加倍转移至一 p 的 位置，所以求 c f 的 最大值就是求 p e 的 最大值， 那这个时候就分析这个地方的一点啊，一点的分析跟刚刚是一样的，因为它有直角，那直角所在的这个斜直角三角形斜边确定的情况下，斜边中线，所以是取这个斜边的中点， 那我们换一下，用换一个字母吧， g 点吧。好，这个地方我们还是用 p 点啊。好，那这个时候的这个一 p 的 长度就应该是等于二的， 那接下来这个转移之后的 q e 找寻就是 g 点是一个定点。好， g 点是定点啊，因为是被缠过来的，而这个地方的这个 p 点也是一个定点，是 ab 的 中点， 所以此时这个地方呢， e 点在动的这个过程中，然后呢连接此时的 p g 啊，连接此时的 p g 啊，那连完之后的话，就是，呃，在这个 p e g 这样一个三角形中，然后确定这个 b e 的 一个最值。 好，那此时接下来就是求这个地方的 p g 的 长度，那 p g 的 长度在求的时候是勾股，那就直接做垂放在直角三角形里面进行勾股的计算 啊，因为 p 点是一个中点啊，所以做完垂直之后， p h 是 四，然后呢 c h 为二，那么 g h 就 应该是等于六的，那接下来就是求得 p g 的 长度，应该是等于二倍的根号十三。 好，那这样的话，我们的这个记忆的一个最值要求的是最大值，利用三边关系，最大值是二倍的根号十三加上二，从而折半，转移到我们的目标的 c f 的 一个最大值，折半之后是根号十三，加一也是可行的 啊。第二个可能这个思路会更直接一点啊，前面可能这个地方够中微线的，这种想法，把二转移至这个 f 点的位置，可能就不太好想啊。那如果说有接触过这个轨迹圆的想法，那这个时候实际上也是好找的， 就是这个 f 点是第一的终点，那就把这个一点换成对应的轨迹圆的圆心找终点，就是把这个啊，相当于是一个伴随轨迹的问题。 好，接着我们来看第七题啊，第七题告诉的 m 点和 n 点是正方形的边 c、 d 上的两个动点啊，点是在动的啊，并且满足的 am 和我们的 b、 n 是 相等的 好， am 一 旦和 bn 相等， am 找型， amd bn 找型，是 bnc 有 正方形的直角啊，这个边有正方形的直角，所以这两个形实际上是有全等的关系啊，也就是可以得到 am 所在的 amd 这样一个三角形， 它应该是全等于 bn 所在的 bnc。 好， 判定方法应该是 hl 啊，所以是两个直角三角形，而 t 三角形 hl 的 一个全等。 好，那这个全等可以带来的是这个边等和角等。首先从边来看，那 dm 和 c、 n 是 相等的，另外从角来看，角 d、 a、 m 和我们的角 b、 c、 n 是 相等的。好，当然也可以分析另外两组这个锐角相等 啊，本质上实际上相关结论是类似的啊。好，接下来的话是连接的，此时的这个 d、 e 啊，啊，前面是连的 ac 好， 连的 ac 的 话， ac 是 我们的正方形的对角线。正方形的对角线本身是有一些特殊性质的啊。首先第一个分得的两边的三角形都是等腰直角，并且这两个等腰直角在位置上是一个对称的关系， 所以正方形包括比如说菱形连对角线本身是有一种对称的想法。好，接着就是连接此时的 d、 e 和我们的这个啊。呃， 啊，连接此连到 a、 c 之后，和我们的 b、 n 的 交点是 e 点，然后呢，连接此时的 d、 e 和我们的 am 交于点 f 点 啊，后面就是一个作图的过程，连接此时的 c、 f 给的是正方形的边长为二，那四条边长都是等于二的，求 c、 f 的 一个最小值。 c 点是定点， f 点是在变化的 f 点，这个点是如何得到的啊？连接 d、 e 和我们的 am 形成的这个焦点，实际上应该对图形相对敏感的话，能够看得出来 f 点，这是有特殊信息的。知道 好，之所以是有直角的话，就是导角，那我们刚刚有导过角一和角二是相等的，这两个角借助正方形角二、角二的话，它所在的形除了我们的 cbn， 还有一个 cbe， 而 cbe 这个形和我们的 cde 是 有一个对称全等的关系， 所以角二这个角是可以对称转移到我们的角 c、 d、 e 的 位置。角三好，所以这个地方借助全等角一等于角三，借助角一等于角二啊，借助对称角二是等于角三的 好，进而得到角一和角三是相等的。角一一旦和角三相等，那这个时候的角三所在的位置是有直角，角三和我们的角四相加，等于九十度，进而得到角一加，角四是九十度好，那倒角进行分析的话，得到我们的这个 f 点处的 a、 f、 d 这个角应该是等于九十度的 好，这个角一旦等于九十度，提供的 f 点的位置应该是有四个，九十度好用哪一个啊？用 afd 好， 之所以选这个直角的话，是因为它所在的形 a、 d 是 一致的 啊，因为 f 点的位置发生改变的话，所有的边长都会发生改变，但是 a、 d 是 不变的，不仅长度不变，它的位置都不会发生改变，所以在这个直角三角形斜边长确定的情况下，还是斜边中线的这种用法。所以接下来就是 afd 这个直角三角形斜边中线， 那就取这个地方的 a d 的 中点，假设中点为 o 点的吧。好，那中点带来的是 o d 和我们的 o a 长都等于一连接，此时的 f o 好， 那连完之后，斜边中线等于斜边一半， o f 等于二分之一的 a， d 等于一， 那这样的话 f 点在动的过程中，那这个 o 点是不动的，包括 c f 的 这个 c 点也是不动的。好，那接下来的话 cf 找形，找 c f o 这个三角形 好。 cfo 这个三角形中，首先 cof 已经求了等于一，那接下来求 ococ 找寻就是 ocd 好， 那直接在我们的直角三角形 cod 中，利用直角三角形勾股定律可以得到对应的 oc 的 长度应该是等于根号五的， 那接下来 c f 角形的话，应该是 c f o 这样一个三角形啊，利用三边关系就可以确定 c f 的 一个最小值，共线取等结果就应该是等于根号五减一。 好，所以借助我们的前面的啊全等角度分析，得到引含的直角的信息，后面考察的是直角三角形斜边中线的这样一种用法啊，结合三边关系求最值。 好，接着第八题，第八题首先告诉的是直角三角形 a、 b、 c 中满足角 c 是 九十度， ab 的 长度是确定的，等于四 啊， ab 的 长确定了啊，在这个形里面的话，是直角三角形的斜边，两者角边长是暂时不确定的，所以可能有点长，那我们就想斜边中线的用法，斜边中线等于斜边一半。 好，结合后面的信息， a、 c 和我们的 b、 d 是 相等的，相等且垂直啊，相等且垂直啊。好，那这个时候相等且垂直可能会等一下，能不能把它放在一起等腰直角。 好，接下来的话，让我们求线段 a、 d 的 一个最小值。好，地点，因为是在动的啊，那什么时候最小啊？能不能是点到线的距离？这个不行啊，因为点到线的距离的话，那这个时候的这个 bc 和我们的 ac 很 显然是不等的，这个是不成立的啊。 好，那这个时候要求 a、 d 的 最小值， a、 d 目前角形是 a、 d、 c 直角三角形，并且是直角三角形的斜边。好，那如果说直接是取斜边 a、 c 的 啊， a、 d 的 中点的话，斜边中线等于斜边一半，那这个斜边中线跟我们的已知的 ab 是 没有办法产生联系的。 包括如果说是从已知的 ab 取 ab 的 中点这条线和我们的目标的 ab 也是没有办法直接产生联系的， 所以现有的图形直接斜边中线是没有办法解决问题的。好，那接下来就是从这两条相等的边出发，那相等的边的话，他还是用来勾全等的。这种想法，边等主要还是全等啊，因为他不在同一个斜里面，如果在同一个斜里面，可能会相等腰直角， 但是这个地方及时把他俩移到这个等腰直角里面，跟目标的问题包括条件都是没有办法产生联系的。 所以 a、 d 角形是 a d c a d c 里面的 a、 c 和我们的 b、 d 相等，够全的，那这个时候就是满足边角边的这种想法，那我们就以 b、 d 为边做一个直角三角形， 那这个时候它是短直角，边要做一个直角，这个直角理论上来讲，放在 b 点和放在 d 点都能够形成直角三角形， 但是因为地点在动，我们在构造的时候，尽量还是把直角放在已知的不变的这个点的位置啊，也就是用 b 点啊，理论上来讲一样的，从 b 点往上和往下做垂直都能够形成这个，呃，直角三角形和已知的直角三角形全等。好，那这个时候是考虑往上还是往下啊？ 因为我们得到全等，比如说 b、 e 和我们的这个地方的这个 c、 d 是 相等的，那接下来因为是垂直的连接此时的 d、 e， 那 就可以得到的是三角形的全等，进而得到 a、 d 和 e、 d 是 相等且垂直， 但如果放在下面的话，那这个 a、 d 和 d 毛毛就没有办法产生联系。所以结合这样的一个信息的分析，我们在构造的时候应该是要把它往上去做垂直，好，那这个时候形成的边相等连接此时的 d、 e 好， 形成的是全等。那首先我们这个地方先写一下这一部分的一个分析过程好，也就是过 b 点去做垂，以及为什么在 b 点的位置做垂啊 啊，垂直于 b、 d， 然后呢，并且是截线段相等截，此时的 b、 e 是 等于 c、 d 的 啊。接下来是连线形成的，是有全等啊，也就可以得到的是三角形 a， c、 d 啊，应该是全等于三角形 d， b、 e 的 好判定方法是 s a s 证得全等之后是可以得到目标的 a、 d 应该是等于 d、 e 的。 大家分析角度互余倒角是可以得到地点的，位置应该是有直角的，也就是 a、 d 和我们的 d、 e 在 位置上应该是有垂直的位置关系 好，那接下来的话等腰直角三角形好。后面的话，那接下来的话怎么去分析啊？已知的是 ab， 我 们还是要想办法让这个等量关系跟我们的 a、 d 来 ab 来产生联系， 那这个时候就是还是一个直角三角形，那这个地方的直角三角形研究的还是斜边，所以这个时候就是斜边中线 好，这个地方的斜边中线跟我们的已知的 ab 是 能够产生联系的啊， 所以接下来就是取 d 这个 d、 e 的 中点，比如说 f 点好，那取了中点之后，斜边中线等于斜边一半。当然这个长度是我们目标带求的，我们不妨假设 b、 f 长为 x， 那 么 e、 f， d、 f 都是 x， a d 长就应该是等于二 x 的 好。接下来 ab 找寻，那就找 abf， 接下来就是连接此时的 af， af 找寻的话是 afd 这个直角三角形， 并且两者角边长分别是 x 和二 x。 所以 接下来的话，首先是在 r t 三角形 a、 d、 f 中，利用直角三角形勾股得到 a、 f 是 等于根号五 x 的。 另外就是我们的斜边中线，也就是 b、 d、 e 这样一个三角形中，斜边中线等于斜边一半， b、 f 等于二分之一的 d、 e， 也就是等于 x 的。 那接下来我们的目标的这个已知线段 ab 找型的话，就可以找这个三角形 abf 好， abf 这个三角形的话，两只啊，边长啊，一个是 x， 一个是根号五 x， 然后呢， ab 的 长度是等于四的， 那接下来就是三边关系要求这个 a、 d 的 最小值，就是求 x 的 最小值，那 x 什么时候最小？也就是当 x 加上根号五， x 刚好等于四的时候 啊，刚好等于四的时候。因为这个地方是动态的过程，所以 b、 f、 a 这三个点是有可能勾线的，如果它勾线，那这个时候 x 加上根号五， x 就 刚好等于四，就是对应的 x 最小，也就是 a、 d 最小， 其他位置两边之和一定是大于四的好，所以这个时候就是我们可以得到啊，根号五 x， 然后呢，加上 x 应该是大于等于四的啊，从而得到 x 应该是大于等于四。除以根号五加一 啊，上下这个分母有理化啊，也就可以得到啊，这个 x 应该是大于等于四倍的啊，那就是根号五减一。下面是五减一，也就是四，从而得到应该是根号五减一， 好。 x 应该是大于等于根号五减一，也就得到 x 的 最小值是根号五减一。那我们目标带求的 ad 是 二 x 二， x 就 大于等于二倍的根号五减二啊，也就得到我们的 ad 的 一个最小值， 也就是二 x 的 最小值，结果应该是二倍的根号五减二，好，目标带求的啊， ad 的 边的最小值二倍，根号五减二。 好，所以这个地方啊，首先是直接用斜边中线，是没有办法建立条件和问题的联系，所以是先借助已知的边等构造全，等构造完了之后还是要用斜边中线等于斜边一半，结合三角形的三边关系。求最值啊。

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你们看，这个伸缩门的每一个格子都是标准的平行四边形，难怪它能灵活伸缩，不会变形。散架 对两组对边分别平行，完全符合我们即将学习的平行四边形定义。而且它能变形，就应该是平行四边形的特性之一吧。 没错，平行四边形易变形的特性让伸缩门能自由伸缩，这就是他在生活中最常见的应用，既便捷又稳固。 原来竹篱笆也用到了平行四边形，这些格子都是两组对边分别平行，既 通风透光，又能稳固的围住花园。而且这种平行四边形结构比单纯的长方形更节省材料，还能承受一定的外力，不容易被压变形。 平行四边形不仅易变形，也具备一定的稳定性，竹篱笆正是利用了这一点，兼顾实用性和美观性。 平行四边形在建筑界的应用非常广泛，高楼玻璃幕墙用它兼顾美观与采光，桥梁支架用它分散压力，增强稳固性，体育馆屋顶用它实现大跨度设计，这些都离不开平行四边形的特殊性质。 原来平行四边形的性质能解决建筑中的这么多问题，太实用了，看来我们今天要学到平行四边形性质， 能解决数学题，还能解释生活和建筑中的很多现象。平行四边形在我们的生活和建九中无处不在， 它的易变形、稳定性、节省材料等特点让它成为隐形帮手。今天我们就一起深入探讨平行四边形的边角对角线的核心性质。 根据定义画一个平行四边形，并进行度量，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？ 我们通过度量可以发现对边和对角是相等的，那么怎么证明它们呢？ 现在来证明你的猜想吧， 请你自己证明角 b a d 等于角 d c b。

八下二次根式这里呢有八大必考题型，听完我讲这道题目，再把这八大题型拿去练习，就能轻松解决二次根式这的所有问题。来，咱们看题，当 x 大 于零小于四的时候，让我们对这个数字进行换写。 那么要解决这道题目呢，首先大家要清楚两个公式，那么第一个就是对一个数先开放 再平方呢？它就还回去了，就等于它本身。那第二个是对于一个数先平方 再开方，等于它的绝对值。那我们现在来看这道题目，你看这个是对 x 加一，先开方再平方，是不是等于它本身就是 x 加一， 那这个呢？是对 x 减四，是先平分再开方，等于谁？是不等于它的绝对值，所以减去一个 x 减四的 绝对值。好，那么题目现在告诉我们说这个 x 是 小于四的，所以 x 减四，应该是一个什么？ 是一个负数，对吧？也就是说这个绝对值里边是一个负数，那我现在可以把绝对值符号去掉， 就等于 x 加一，那么负数的绝对值等于它的相反数，那它的相反数就是四减 x， 所以 是 x 加一减四，再加 x， 整理之后就是二 x 减三，所以它化简的结果是 二 x 减三。那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话，再把我整理的这套二次根式必刷的八大题型拿去练习，轻松解决二次根式这儿的所有问题。

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