平行线用箭头表示什么

平行线的判定证明题堪称七下数学入门级的丢分重灾区。你将这道啊，月考期中必考的题，百分之九十的孩子不都是，哎，你给我答案，我看得懂，让我自己写不出来，写乱了，过程丢分了。 别慌，老师今天就用最简单的讲法，把证明题的顺推法、逆推法一次性讲清楚，大家学会以后，考场上写题、写答案，写过程都能特别顺。好，我们来看题， 已知啊，现在给了两个垂直，大家一定要标上去啊， e f 是 垂直的，然后呢？ b d 也是垂直的。我告诉大家，真正的学霸在读完这两个条件，立马知道他俩是平行， 而且立马就要用起来。能懂我意思，你整个题的问题就是在证明平行嘛。所以说，我们首先讲一种方法叫顺推法， 你看他俩平行，我直接跟我相关的，角二跟谁相等？同位角是不跟这里的角四是相等的， 对吧？好，角二等于角四，然后呢，你告诉我，一等于二，那现在一和四也相等？一和四一旦相等，来秒角保平安，是不是内错角出来他俩就平行，是不是顺推？顺推顺推，他俩一平行，角 c 立马等于谁 和它平行，是不是立马等于这个角？角五，角 c 是 不是立马等于角五，对不对？角 c 等于角五，你告诉我角 c 等于角三，所以三和五是不是相等？三和五亦相等，各位是，它俩立马相等， 那因此它和它是不是也平行？大家去琢磨，都平行于 m n a b m n 平行结束，这个题整完了，就这么简单， 能理解了吗？所以你会发现啊，这种题目他就是只要你能看到一个，立马想到下一个，顺推其实是不复杂的。好，我们先把过程给大家书写一下，强调一下，过程中是怎么会改卷扣分的啊？首先呢，我们写个正字， 写个如图，因为我想用到一会这里的角四角五，所以说我必须要把这个如图两个字写上去。好，然后我们来写啊，说，因为 e、 f 垂直于 a c 对吧？ d b 垂直于 a、 c 对 吧？都垂直于 a c， 那 么所以我的这个角和这个角等于九十，你看，像有些版本直接说垂直就说平行了，黄色就平行了，但是绝大部分版本你必须要通过角度来整，所以我们多写一步啊，就是我们的角 e、 f、 c 等于角 dm c 都等于九十度同位角相等，所以说我们的 e、 f 平行于我们的 d、 b， 他俩一平行，那么所以说同位角角二是不等于角四？两直线平行，同位角相等，是吧？然后呢，因为角二是不等于角一，那所以等量代换角四是不等于角一， 对吧？角四和角一相等，那么我们就可以得到什么呀？各位，角四等于角一，所以说我写在这啊，就是 m n 就 平行于我们的 cd， 是 不是好？ m n 平行于 cd， 我 这个条件是还没有用，注意，大家注意一个细节啊，尤其大家刚学几何证明题，你的条件是必须要用上的，有哪个条件没有用？大概率就是你做题的过程肯定出了问题 好不好？ ok， 那 么它两平行什么好处呢？你会发现它两平行，是不是角 c 和角五扯上关系了，是吧？所以说角 c 等于角五，因为角 c 等于角三，所以角五等于角三，是不是 ab 和 m n 内错角， ok， 所以 说 ab 平行于 m n 结束， ok， 这就是我们所说的什么方法？顺推法。来，各位请截图。好，那接下来我来讲一下逆推法。 逆推法，尤其是做一些中等偏难的题，但这个题本身不难哈，就是我们倒着从结果往前推的一个过程。好吧，来，我们去证明啊，他俩是平行的， a b 平行于 m n， 他 俩是平行的，对吧？我想到了什么？你看，跟这些一二三，他不就一二三吗？有关系在哪？是不是这个角角六吧，我写个角六，你看，我要证明 a b 平行于 m n， 我需要什么？是不是角一等于角六？同位角相等，我需要它，那角一凭什么等于角六呢？这个练习其实很重要啊，很有意义。角一凭什么等于角六呢？你去往上琢磨，因为角一是不等于角二， 对吧？角一是不等于角二好，那角二是不也等于角六？如果都这样的话，是不是角一就等于角六了， 对吧？那咱们思考，角二凭什么等于角六？角二凭什么等于角六？跟角二相等的角是谁？来，再往前找角二，看到，你看这个角瞄一下，这个角瞄一下，这不是平行呀，你再去找条件好，角二等于谁？ 往前去看，是不是角二等于这个角角七。比如我这写个角七好，角二是不等于角七，对吧？然后角七也等于角六， ok， 那 这样的话，是不是角二等于角六了，对不对？好，那角二平什么等于角七？因为这里是不是垂直？垂直平行就是我们的这个 e f 平行于我们的 b d。 好，那现在还有一个角七等于角六，角七为什么等于角六？因为什么呀？条件你还没有用完，是不是？角三等于角 c， 对 吧？因为它角七角六，是不是它两要平行的，对吧？就是我们的这个 ab 平行于 cd， 对 吧？那 ab 为什么平行于 cd？ 是 因为角三是不是等于角 c？ 题目中是不是给了角三？角 c， 对 吧？角三等于角 c， 所以 它两平行，它两平行，所以角七等于角六，你看都等于角七，那是不是二和六相等，对不对？二和六相等来，二和六相等，然后呢？一和二也相等，所以说一和六是相等， 对吧？好，你会发现大家有没有发现这种思路不像刚才顺推那么简单直接发现了吗？但是这样的一个逆推法，其实可以锻炼大家去寻找线索，以及熟悉你的性质，判定这么一个基本功的能力。 ok， 就是 这个方法我也推荐给大家，就是边画边写，边想去通过逆推来实现你最后的目的。那你就你怎么写？过程就是把你的逆推的逻辑给他倒着写上去，你比如说我就写啊，因为他所以平行，所以他两相等， 是吧？然后呢？因为垂直，所以平行，他俩相等好，都等于角七，所以角二等于角六，那一等又因为一等于二，对吧？所以一等于六，所以他就从下往上写就可以了。好吧，这也是一个锻炼思维非常好的方法，各位你学会了吗？

不行啊，不管我怎么拼，这直临窗总是歪的，上元灯会马上到了，这怎么交差啊？你们看，这些木头跟有仇一样，非要头撞头打架，把光挡得严严实实。阿木乱世因为无绪， 想要窗灵通透，你得找准那种永不相干，却有同向而行的关系。各位小工匠师傅说的这种永不相干到底是什么样子？快帮帮我！ 师傅说，要把生活中的木条看成没有粗细，无限延伸的直线，这就是数学里的眼光。 先生，我悟到了，就像这地砖缝就是平行。哎哎，那如果一根在地上，一根在房梁上，没相交，这算不算平行？而且写平行于三个字太慢了，有没有个简单的符号能记下？ 道理我都懂，可手不听使唤啊！先生，这一方一尖两把尺子， 到底谁动谁不动，怎么配合才不歪？快教我口诀是落靠推划吗？经过这一个点，我到底能切出几根平行线？一根还是无数根？ 这节课我们来讲划平行线， 分别过点 a， 画一只直线的平行线。画平行线呢，有四个步骤，第一步，边线重合。第二步，边边重合。第三步，移动重合。第四步，画线画平行线啊！首先，我们取出直角三角尺，好，第一步，边线重合。 边就是直角，三角形的直角边线就是已知的直线，直角三角尺的直角边和已知直线重合。第二步，边边重合。直角三角尺的另一条边和另一把尺重合。 取出一把尺，直角三角尺的另一条直角边和尺的一条边重合。第三步，移动重合。把直角三角尺向上移动，一直移动到点 a 的 位置，直角三角尺的一条边和点 a 重合。 第四步，画线，沿着直角三角尺画一条直线，这样平行线就画好了。 这里有两个大坑，第一，如果没说过直线外一点，那可能有零条。第二，平行线有无数条，但过某一点平行的只有一条，千万别搞混。 天呐，窗户这么宽，每一根都要跑回去跟第一根比对，那得装到明年去，有没有省力法子？慢着，老三跟老二平行，老二跟老大平行，那老三和老大是不是自动对齐了？这是捷径吗？ 严丝合缝，你们看，这才是真正的直临窗，疏密有度，秩序井， 连影子都像画一样美。记住，平行是各行其道，互不干扰，却能共同撑起这大美世界。多谢指点，我们下次灯会再见！

你们知道什么叫平行线吗？很多老师啊，讲平行线，根本没有讲对，你看这个题，这个是中考题，为什么不会做呢？因为他根本不了解什么叫平行线。 那什么是平行线呢？来澳门画平行线，这是两条线，它是平行的。平行线的定义难道是只是在两条线延长不相交吗？这是课本定义，你用这个定义来做这个题的话，你根本没有思路，对吧？ 注意啊，平行线除了课本的定义之外，还有另外一个定义，你了解之后我们才可以会做题啊。我们每个定义呢，都有两个概念，一个叫静态概念，一个叫动态概念。比如说啊，我们说个角， 它有两个定义，对吧？第一个定义叫静态定义，就是在平面上有两条射线，有公共点，那么它这个假角就是一个角。好，这是静态定义呢，我们可以看成呢，这是一条射线，它旋转一定的角度之后形成这样一个角，这叫动态定义。 同样道理啊，平行线的话，他也是两个定义，刚才是静态定义，两条线沿成啊，不相交，这就是平行线。那他有没有动态定义呢？当然有了， 我们看平行线，他如果两条线是一样长的话，会出现什么呢？他可以进行平移，对吧？而且平移之后呢，可以互相重合，这就是平行线的第二层定义，他是可以平移的，这叫动态定义。我们列这个定义之后呢，我回到这个圆题当中来啊，你看，我们题目当中说非常简洁， 三组对边呢，是分别平行的不同颜色，我们画一下，且三组平行线的长度差也是相等的，也就是说啊，这两条白线相剪长度差一样，蓝线也是这个橙色线也是， 那这个条件有什么用呢？如果你知道平行线的第二层定义之后呢，动态定义，你就马上可以解了。来，我们来了解一下，首先三组是平行的对吧？而且呢他们的差相等什么概念呢？这差是干嘛的呀？ 我们要做叉的话，那首先呢，这两条线啊，你得对齐对吧？才有可能做这个叉的吗？如果你不对齐，怎么做叉呢？所以说我们这句话的意思就是希望你将相对的这个平行线呢，平行之后对齐一下，然后再比较大小，这是这句话的隐藏含义啊， 我们出题人啊，会给大家出一些隐藏的条件，你能不能破解这个条件非常重要啊。来我们看这啊，怎么把这个平移呢？咱比如说这两条橙色线啊，两条橙色线怎么平移呢？你会发现有一个天然的对起点在哪啊？在 a 这个地方， 而且路线也告诉你了，白色线就是这条成线要平移的路线。来，我们画一下这个图啊，这条线我们平移到这来，到这里啊，那么同样道理，这条短线沿着这条蓝色线平移到这里，平移到这啊，也就是说这个点在这，那什么是这两段的长度差呢？ 应该是这段吧，这一段是他们的长度之差。同样道理啊，三个方向都是一样的，另外两个方向我们也像这样平移，白色的这一段我们移到这来，那么这一段呢，咱移到这来，这两段之差是哪啊？是这个地方吧。 好在同样道理啊，蓝色也是一样，蓝色的这条长线平移到这来，正好对齐了呀，那么这个短线呢？平移到这来，所以说这一段是两条蓝线之差。哎，你发现什么了没有？这个图其实就是三个平行四边形对在一起了，就是原图的样子， 指出题人呢，把这个接口给你去掉了，让你不会做了。好，我们恢复原状之后，你发现这个题变得非常简单了啊。那既然说这三段现在是相等的，但是画这个图有点不标准啊， 所以这个三角形，什么三角形啊？他是一个等边三角形，那么每个角都应该是六十度吧，如果这个角六十度的话，那么他的补角这个角就应该是一百二十度。好，问的是什么呢？问的是角 f， 那这个角多少度呢？那同样道理啊，我们这个角它也是一百二十度吧，因为这是六十度嘛，这是一个平行四边形啊，所以它的对角 f 仍然是一百二十度，搞定了。换句话说，这里面呢，每一个啊，外边这些角啊， a、 b、 c、 d、 e、 f， 它其实都是一百二十度， 这是我们出题人的秘密，就是我们原图这个样子的，再通过条件呢，给你伪装起来，把这些线给你去掉，你要添加辅助线才可以做出原题出来。但是你要了解啊，我们的隐藏定义是什么？ 就是我们每个概念应该有两个定义，如果这个隐藏定义没有学到的话，你再做再多题都没有用的，是不是？所以我们一定要学到啊，它的本质是什么？这就是平行线的第二层定义。

好同学，咱们今天来讲一个旋转里面的一个小模型啊，那咱们这个三角形是一个等腰直角三角形啊，这个是一个直角的这个角，这个角都是四十五度的。 那现在咱们要看的是，如果我围绕一个点来撞，那另外的两条边撞的一个度数会不会等于你这条边撞的一个度数？ 那咱们你就假设咱们顺时针沿着这个 b 为旋转点，顺时针转个三十度，那么这个 bc 它就顺时针转个三十度啊，咱们大概到这个地方 bc 撇，然后呢，这个 b、 a 是 不是也顺时针 转个三十度？所以这个是四十五度，那咱们大概 b a， 它就转到 这个 a 撇这里，对吧？然后咱们再连接 a 撇、 c 撇啊，那现在这个三角形就转到了这个 b 撇 a、 c 撇啊， a 撇 c 撇啊这个地方来。 ok， 那 现在咱们就研究另外两条边是不是转三十度的啊？你这个 b、 c 转了三十度 对不对？那我这个 b a 跟 b a 撇，是不是他也撞了三十度呀？ ok， 他 撞三十度，也就是说这一条边他也撞了三十度。那咱们再来看 a 跟 a， c 跟 a 撇 c 撇是不是也撞了三十度？而两个他没有交点，那咱们就延长他，使得他有交点啊，你一延长，哦，这里就有个交点，咱们把这个交点记为一个 d 点。 ok， 那 现在咱们来看这个角 c、 p、 d、 c 会不会等于三十度？ 哎，如果会，那么我这条边撞三十度，另外两条边他也撞了一个三十度。 ok， 那 怎么来求这个角的度数呢？咱们来看啊，因为这里撞下来这个还是一个直角，然后我们这里撞三十度，那这个角 a b 啊？ c 角， a 撇 b， c a 撇 b c， 它是不是会等于十五度的？因为你撞三十度本来是十五度，说减掉了三十就是十五度。那现在我标的这个角， 这个咱们记为一个角一呗。哎，这个角一是不是等于七十五度？它跟它是 互余力，对吧？啊？这个是七十五，所以这个就是一百零五度，那这个是不是四十五度？一百零五度，所以这个它就是 三十度。哎，咱们就可以求出这个角的度数。哎，那你就发现了什么啊？你撞三十度，那我这个边也撞三十度，这个边其实它也撞了，就是方向位置改变了三十度。 所以这个知识点有什么用呢？在咱们多个图形里面进行一个固定点的旋转，而三角形固定点旋转，那么一边旋转多少度？那么另外两条边它也旋转多少度？ ok， 这个对我们旋转的一个模型里面，它是有起到一个非常重要的作用啊，所以这个知识点咱们把它记住了啊？ ok。

hello， 大家好，我是大哲老师，今天我们继续来学习的是人教版七年级下册 第七章相交线与平行线。在这里的时候我们先讲了一个， 第一课时他是平行线的判定，那么我们知道什么是平行线对吧？那平行线要怎么样去判定他是属于平行线呢？就是我们要学习的目标， 去了解掌握我们三个学习目标。第一，第一个是要去掌握平行，两直线平行的判定方法，他有哪一些法可以去判定他是属于平行， 那我们说呢？平行判定出来了，哎，能有什么样的性质，就是在我们后面会去涉及到的性质方面。第二个了解两直线平行的判定方法，他的推理的过程， 怎么去推这个过程就我们说的怎么去证明他是对吧？怎么证明啊？这很关键，要去学会去求证，证明他是 两直线平行了。第三，灵活运用两直线平行的判定方法，说明直线平行。 那我们来看看，去看看这两个来进行的一个方法或者说方式，看看在这里的时候，你能告诉我他们两个是属于什么 关系吗？图一和图二的两条直线平行吗？你是怎么判断的？我们知道在同一个平面内， 不相交的两条直线互相平行，无限延伸，永远不会有焦点，那他就是平行。 那图一很明显，我只需要延长它，延长它，发现它在后面有一个交点，所以图一立马它是属于两直线关系，属于相交。图二它是什么平行了， 图一和图二立马就能够出来了，平行，永不相交。那我们说简单的来说，在同一个平面内不相交的两条直线互相平行，在这句话的理解当中要注意我们抓住关键这个 限制的条件，要注意现在是同一平面啊，同一平面内，而且他说的是不相交的两条直线，他一定是互相平行的。 那我们来去探究这个知识，我们来去理解怎么样去找出两条直线他是平行的，也就是说我用什么样的方法去求证，就是我们今天要学习的课程内容。第一个我们来看呢， 同位角相等，两直线平行，那同位角的时候，我们在这里就应该能够很快的理解到什么是同位角，他在的位置在哪里了。那我们来思考这个问题的时候，再通过去画图，在画图的过程中三角尺 起了个什么作用？还有第二个需要去想个问题，在他画图过程中，什么角始终保持相等？第三， 如果这个直线 a、 b 的 位置关系已经画完之后，它们会是什么关系？它们俩的关系是相交还是平行？ 那我们来思考的时候，就可以通过实际操练去发现。哎，在画图过程中，这个三角尺取什么？它沿着这条直线看到没有，这里画一个，再往下移再画一个，或者说这里画完再往上面画。 什么叫始终保持不变呢？那我们这里通过自己动手会发现我往上面移这个 边是不变的，这不变的，然后发现，哎，这个角和我这个角始终保持一样的，或者说这个角和我这个角也是一样的， 只是位置移动了。那么针对这样的情况，我们在叙述他的时候，或者说在发现的时候看看把他的位置抽象化成几何图形是什么？ 互互相平行的。直线 a 和 b 是 相等的，角一和角二的另一条边就是我们刚刚放尺子的那条 斜边，对吧？直角斜边，那么它的斜边又是什么呀？相等的，但是我们现在是探求角的关系，那么角 u、 x、 r 是 直线， 分别是直线 a 和直线 b 所截，被谁啊？被同一条直线所截，得到同位角， 所以在这个过程中，如果角一和角二相等，那么 a 和 b 一定是平行的，那也就出来了我们 d 一个了，对吧？判定他是平行的，我通过一个尺子去划线，找到了他的特征是如果同位角角一和角二相等，那么 a 平行于 b， 那 也说得到这样个结论喽，结论一， 判定方法一，也就是说我们通过什么样的判定这个是平行的？两条直线被第三条直线所学，如果同位角相等，那么这两条直线一定是平行的。注意呢？我们同位角的， 或许找出来的时候要找准位置，他的位置是在 a 的 上面，角一的位置要在 b 的 上面，而且是被同一条，被第三条直线所截啊，不要搞错了这一点，那么这个 同位角相等了，直线就平行了。那么简单的说，把它简单的表述出来，那就是什么呀？ 同位角相等，两直线平行，这是我们说到的第一个，那我们经常也会说，哎，怎么用数学符号，数学语言呢去表示呢？我们看左边的图，如果 或者说我们说因为什么，因为角一和角二，那么角一和角二相等，对吧？角一和角二相等。已知条件，然后，所以 a 和 b 是 平行的，同位角相等，两直线是平行， 那么由第一个推判定方法出来，我们一起来看看它的对应的小练习。 注意对应小练习的时候刚刚说到的同位角角一和角二，那么这两条直线他要使他平行，对吧？角一角二是同位角，那么角二也必须是一百二十度了，同位角相等的话， 这两条直线才会平行。所以第一题很简单，选择了 dog 去做这个答案的啊。好，这是 第一个探救，探救完他之后，我们又来一个探救，如果这个直线 a 和 b 被直线 c 所截，那么第一内错角角一和角二满足什么条件的时候能得到 a 平行 b， 第二个同旁内角角一和角三 满足什么条件时能得出 a 和 b？ 我 们这两个探讨的最终目的都是去求两条直线平行，那么角一和角二想想， 那我看到图的时候我就会在想，角一和角二什么关系？角二和角四有什么关系？我们一步步去推，角二是等于角四啊，角二会等于角四 哎，但是我刚刚我们也说了，这两条直线线被第三条直线所截，那么角一和角四的关系又是什么呢？对吧？它们两个关系能不能得到什么呢？ 判定的时候通常会去怎么样来去呃，找出它们之间的一个联系呢？ 好，角一角二，他说满足什么条件的时候能得到 a 平行 b， 那 在这里的时候，角一和角四相等，那么角二和角四又相等，角一和角四相等，所以角一和 角四一出来同为角相等，那角一和角二相等的时候，我们就什么呀？ 两直线也平行，那么也就是说由第一个去推，后面的时候就会好推啦，我们来把它系数刚刚我们系数的部分进行书写出来啊。 第二个支点就要讲到他的第二个推勒，推勒呢？判定的对吧？内错角相等，两直线平行， 那么如图，他告诉我角一等于角二，那我们要观察到角一等于角二喽，那么相等，那么就是 a 平行于 b， 那 么为什么？因为角一等于角二相等，角二和角四是对顶角，所以角一和角四相等， 角一和角相等，同位角相等，两直线平行，那么这就把它推出来喽。那么又因为这两个平行，所以角一和角二的关系，你看 遇到的时候，通常是把它转换为已知的，或者说已经解决的问题，所以转化完成了。同位角相等，两直线平行，这里求出来了，那么我们去 做的时候就能发现，嗯，这两个平行了。角一和角二也相等，那我们可以推出内错角相等，两直线平行，那么对应这个知识点二的练习，我们一起来探讨一下看看。 在这里说啊，刚刚我们已经说过了，内错角相等，两直线平行，这里我就不能说了，用符号元去写出来的时候，因为所以 再写出它的依据。内错角相等，两直线平行，那我们接着看练习题第二个，那么如图它们呢？相交于点 o， 角 c， 注意它已经有条件了。角 c 等于角 aoc， 角 d 等于角 b o d。 好， 那这样的关系，这两个角一看就什么价，我们一看就知道是对顶角，对吧？那这个角又等于这个角，那这个角等于这个角，这个等于这个角，这个角又等于这个角， 那就说这个角等于他，他等于他，他等于他和这两个角也相等，所以这里就说就出来了这两个相角，这两个什么角？内错角，所以它平行啊。啊？内错角相等，这里用到的我们刚刚接触到的内错角 相等，两直线平行了，所以我们说的现学现用就在每个例题后面的一个题型。啊。 好，那我们把它写出来，怎么去表述它？我们说它说选，说明理由，那我先判断出 a、 c 和 b、 d 是 平行，理由如下， 最基本的格式可以稍微记一些，那么理由如下， d， 因为角 c， 它是等于角 a o c a o c 又等于 b o d， 它们呢是对菱角的关系，对吧？对，这个关系出来，所以等量代换，角 c 会等于角 d， 角 c 等于角 d， 所以 线线段 ac 和 b、 d 是 平行的。内错角相等，两直线平行。 这是我们说说第二个判定方法，那么有第二个就应该还有第三个喽，那我们看看判定定理三会是什么呢？它的名字叫做同旁内角互补，两直线平行互补， 最直观的意思，相加等于一百八十度，那么如图，他说能推出来吗？他给定的是角一加角三，角一加角三一百八十度，那我们角三 他们又是什么关系呢？和谁有关系呢？角一加角三我们可以看到一百八，那么角三加角四也是一百八吧。 好，那么也就是说等量再往出来，就能出角一等于角四喽？角一角四，它是同位角相等，两直线平行推出来啦。这些另一题去求证的时候，求证定定理， 推推论的时候都会很简单，但是我们要细心，要仔细，所以你看，因为他和他相加一百八，然后角三和角四相加又等于一百八，等他再画出来角一等于角四， 所以他们平行了。平行出来之后，我们就能知道同盘内角互补是什么了。同盘内角互补相加等于一百八十度，两条直线一定是 平行的，那么完整的说法叫什么？两条直线被第三条直线所截，如果同盘内角互补，那么这两条直线平行，简单的说 同旁，那叫互补喽。两直线是平行的关系，我们求证的时候已经把它证明了，那我们同样的还需要用符号语言去描述，因为，所以他等于他 同旁内角互补，两直线平行了，所以我们呢求正去正确判定方法的时候，一定要细心，一定要仔细，我们目前已经有三个了啊，三个新学的这个部分， ok， 这是说的这个同样的还有个练习，在这里的时候注意，角 a、 c、 b 等于九十度，那么我们来它等于九十角， a 等于三十五度，那么另外一个 b、 c、 d 告诉我们是五十五度，对吧？ 好，五十五。然后还有哪个？他说求证 ab 和 cd 平行， 因为他等于九十，他得五十五，所以角在这里的时候，我们注意这里等于三十五度了，那另外一个也能求出来，那有没有必要呢？那我们看看这里的时候被第三条直线 所截的，我们是可以把它往这边延长一下看看啊，对吧？ 那这样的话我们就能够去得出我们想要的一些，这里总共的角度九十加一百四十五度了，它们相加， 内角被这个直线所截，那么这个直线所截，我们把它延长， 对吧？那么他和他的关系立马就出来喽，再加等于一百八十度，九十加五十五度，对吧？再加角 c a、 b， 那 就等于一百八， 它同方的叫互补，所以两直线是平行的。当然如果你不用圆圈也可以啊，也可以， 如果你熟练的话，可以直接通过我们说的求角度的关系推线段平行，就立马能够去把它弄明白了。这是说的这三个判定的方法。 那么看看我们今天对这三个部分进行一个小小的微弹。第一个，目前为止判定两条直线 平行的方法有哪一些？我们说第一个定义法喽，在同一平面内，对吧？第二个，基本事实的推论， a 平行 b， b 平行 c， 则 a 也平行于 c。 然后刚刚学的这三个 判定方法，第一，同位角相等，第二，内错角相等，第三，同旁内角互补。 好，这三个我们要记住他的一些常用的，后面三个，前面两个不能忘记的，因为很多时候他就专门挑他来考了，考一些小题啊。那我们看到这节课的随堂练习，第一个，如图，能判定 这个线段他的关系一， b 和 a c 平行的，立马一看他们两平行，那么角我们可以有多少？他有的条件是角 a 和角 c， 那 角 a 在 这边对吧？角 a 和角 e 内 错角相等，两直线平行出来啦，熟练的话，立马是角 a 和角一关系就出来啦。所以我们会选择一题 dog。 第二题，判定 l 一 和 l 二平行， l 一 l 二看准了这边这边 这两边，那么我可以通过角一和角三什么关系啊？ 互补了有没有？角一角三互补，有了，角一和角二平，角一和角二相等，不行，对吧？都往这边走了，判也要判到这两个，这两个完全不是平行的，角四等于角五，角四在这里，角五在这里， 那么角五对过来是角三，角三和角相相等，没有这个，然后角三，角三，角三和角五相等，这两个对零角，不用告诉我的。所以这题是什么呀？我们说的同旁内角互补，两直线平行，所以选择了 boy。 第二个了， 我们继续看第三题。第三题说明理由， ab 和 c d 平行吗？角一等于角二六十度，写上去，对，就写上去。好一呃， d e 平分，这个角 b e f 平分这六十，那这也六十了，被平分了嘛。所以这个 b e、 f 就是 一百二十度了， 哎，你要证明它平行，抛抛内角一百二十加六十，一百八，互补一百八，相加等一百八，那么这两个直线是平行的，立马学它，立马拿出来用啊，就很能去把它消化掉，因为什么， 所以他能得到线段的平行了。但是我们说的第三个小题，那么我们整个课堂真正的来说都是在讲这三个判定的定律， 同位角内错角，同旁内角，因为，所以，因为，所以我们就能得出。那这个图去表示，去结合，语言中去认知，又要认真细心了 啊。这是说到的这三个，那么这三个注意，我们要去完成课后习题中选择的部分。第二个呢，要去完成练习册 他一些对应的题型。好了，这是我们说的这一。第一课是平行线的判定，一共有三个，那么剩下的我们下次继续，拜拜。

初一的家长注意了，平行这个章节是我们初中学习几何的入门基础，但百分之九十五的孩子看到这种问题还是容易出现混淆的地方，甚至连过程都不会写。今天刘老师用一个视频让你通透这种问题的处理方式，我们来看一下， 如图，点 a， 在 射线 b g 上，角一等于角二，角一和角二是相等的， 角一加角三等于一百八十度。来，同学们要注意，角一和角二相等，角一和角二是一组同位角，同位角相等，两直线平行，所以有角一等于角二。其实我们是可以推导出 a e 是 平行于 bc 的， 对吧？再有角一加角三等于一百八，角一和角三正好形成了一个 u 字形，所以角三，角一和角三是一组同旁内角啊，同旁内角互补，两直线平行，所以由它我可以推导出 g b 是 平行于 ef 的。 好，那再往下看，角 e a b e a b 这个角等于角 b c d 等于这个角，那这一组角给我们是干嘛用的呢？我们看一下求证的 e f， 求证 e f 平行于 c d。 好， 现在想要证明它们平行，我们来看，我们知道 e f 啊， e f 正好在中间有角一加角三等于一百八十度，所以我们可以证得 e f 是 和它平行的，是不是 e f？ 好，我们整体的思路，我们可以证得 e f 是 平行于 bg 的， 而让我们证明的是 e f 平行于 cd， 也就是意味着如果 cd 和 bg 平行，就这个 cd 啊，如果能平行于 bg， 那这一题是不是出来了，对吧？ c d 平行于 b g， e f 也平行于 b g， 对 吧？平行于同一条直线的两直线是什么？平行的？所以我们只要能证得 c d 平行于 b g 即可，而 c d 和 b g 该如何证明呢？我们来看一下，角一加上这个角一百八十度， 那么角二是不是加上他也等于一百八十度，而角二这个角又等于他，所以角二加他也等于一百八十度，也就是角二和他是一组。什么？同旁内角， 同旁内角互补，两直线平行，哎，是不是出来了？好，刘老师，接下来啊，把详细过程给大家书写一下啊！正 求证，一定要写证啊！因为角一加上角三 等于一百八十度。好，这两角合一百八，所以同旁内角互补。两直线平行，所以 b g 平行于 e f， 又因为角一等于角二，角 a b 等于角 b c d， 是 吧？所以角一加上角 a b 就 应该等于角二加上角 b c d。 角一左边加左边，应该等于右边加右边，是不是等于 一百八十度？因为角一和它是一组零步角，是不是好，所以它们的和是什么？一百八好，它们互补，所以它和它也互补，所以由角二加它，角二加上这个角等于一百八，我们可以推导出 b g 是 平行于 c d 的 好，此时啊，有了 b g 平行于 e f， 又有了 b g 平行于 c d， 所以 e f 平行于 c d 啊，这样我们就把详细的过程书写出来了啊，当然，这里啊，还有第二种方法啊，刘老师就不写过程了，简单跟大家讲一下思路。好，还有什么方法呢？我们来看， 因为角一和角二是什么相等？同一角相等，两直线 平行，所以啊，这个角如果是阿尔法，那这个角也是阿尔法，而这个角和这个角相等，所以这个大角减去阿尔法 就得到了背他，那这个加大角减去 r 法，对吧？两个大角是一样的，小角也一样，那剩下的这个角 是背他，那这个角也应该是什么？背他，所以这两个角等来这两个角正好是一组内错角，内错角相等，两直线 平行，我们也可以推导出它和它平行，又因为它和 e f 平行，所以这两条边互相平行，是不是？同学们好，这种方法大家可以把详细过程写在评论区，你学会了吗？关注李老师，学习路上不迷路！

本小年呢，我们要学一下平行线的判定，那么我们第一知道了什么叫平行线，也就说从定义来讲，在同一平面内，两条不相交的直线，那一定是平行线， 所以说定义本身就是一种平行线的判定方法。那么第二个是什么判定呢？大家回想一下这个平行公里的推论， 平行于同一条直线的两条直线也是平行的。再说一遍，平行公里的推论也是能判定平行线的，怎么判定呢？ 平行于同一条直线的两条直线也是平行的。对于这两个判定呢，通常用应用的地方呢比较少，我们大多数的时候 应用到的平行线的这个判定的方法呢，都是前提啊，两条直线呢，被第三条直线所截的时候，所诞生出来的同位角啊， 内错角啊，或者是同方内角，这三个角当中如果有一组角满足什么情况了，那这两条线呢，也一定是平行的。我们先说第一个 如果，请问这是什么同位角，如果同位角相等，那么两直线一定平行， 因为我们本身拼音线里边就有这样的一个性质，对吧？两直线平行，同一条相等了，那么在这里边大家一般都会跟刚开始学的时候就会混淆，什么是性质，什么是判定， 你要想这个性质呢，就是本身已经具备的了，我通常都喜欢啊，就是大家喜欢的猪，对吧？你说猪有什么性质啊？大家首先想到的，哇，肥嘟嘟对吧？啊，这个是好听的，那不好听的就是你看好吃懒做对吧？啊，还是很肥很胖对不对？ 啊？那么反过来呢，如果我们啊看到一个小动物，对吧？那么这个小动物，哎，你远远的见到他长得很胖啊，吃完了就睡，那么大概率呢，你会优先想啊，他可能就是一头猪呢 啊，到底是不是呢？走近一看，确实是一头猪，对吧？所以说这个所谓的判定啊，就是他具备了某种这个东西，或者是某种事物的这个特点的时候，那么就可以证实他是这个东西了。 那么现在我们要证明的是平行线，那平行线我们都知道它本身有这个对应的，同一角相等啊，内侧角相等啊，还有同胞内角互补，那么当你确定这两条线到底是不是平行的时候，那就用它的性质来判定呗，对吧？只不过我们只需要拿出一条就够了，你就看同一角相等，两直线一定平行的，对吧？好了， 那么我们再看一下第二个之前所说到的这个内错角，内错角啊，比如说这个角二和这个角三吧，内错角，那内错角相等，两直线呢，也一定是平行的 好。那么同样的，对于第三个角什么呢？比如说这个角二和角四，我们把这两个角叫同旁内角，那么同旁内角呢？不要押韵啊，同旁内角可不是相等的， 如果同旁内角 互补，那么对应的两条直线呢，也一定是平行的。那么这里呢，老师只是把这个所有的判断方法在这里全面的介绍一下啊，在总结下，一共有几个判断方法呢？注意啊， 实际上是有五条判定方法的，我们通常所用的是这三条，同一角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，别忘了还有两个判定啊，从定义来讲，同一条内不相交的两条直线必平行， 从平行公里的推论来讲，平行于同一条直线的两条直线也一定是平行的，一共五条，记住了吗？

我们一起来看一下这一道七年级下册关于平行线的判定和性质的题目。如图， z 一 杠时， a、 c 平行于 f 一， 角一加角三等于一百八十度，问 f、 a、 b 和角四的大小关系，并说明理由。 这道题目题目上面告诉我们角一加角三等于一百八十度，他其实就给了我们一个方向，就是用到同盘内角。对，做题目的时候，我们要懂得学会找关键点。 题目上面告诉我们 a、 c 平行于 f 一， 那么我们就可以知道角一加角二等于一百八十度。两直线平行，同盘内角互补， 因为角一加角三等于一百八十度，这样子我们就可以得到角二等于角三，角二和角三他们是一组内错角，这样子我们就可以得到 a、 f 平行于 c、 d， 从而就可以得到角 f、 a、 b 是 等于角四的。因为两只线平行，同位角相等，所以这道题的答案是角 f、 a、 b 与角四相等。 注意了，题目上面是先问我们他们的大小关系再说明理由的，所以我们的解析模板是先回答关系再理由如下，我们一起来写一下这个解析过程。解 角 f、 a、 b 等于角四，理由如下，因为 a、 c 平行于 f、 e， 所以角一加角二等于一百八十度。因为角一加角三等于一百八十度，所以角二等于角三。所以 a、 f 平行于 c、 d 两直线平行，同位角相等，所以角 f、 a、 b 等于角四。这就是这一道题的整个解析思路和解析过程，大家听明白了吗？自己在本子上面重新做一下写一下吧！关注小竹老师，我们下期再见！

七下数学平行线已经很难了啊，如果他再跟动点动角问题这么一结合，那就难上加难，雪上加霜。考试一出，这道题得分率不超过百分之五，但是呢，今天我教大家用分类讨论和基本这个动态问题解析思路啊，去把它轻松的给解决掉。来，我们一起来看这道题啊，这道题什么意思呢？现在呢，我有两点去做两射线啊， abcd， 这俩是射线啊，要注意，射线得有头儿啊，你不是直线穿过整个平面儿的啊，说的我有两个角， d、 c、 f 底下这个角儿，哎，最开始是六十度， 上面这个角最开始是七十度，现在呢，我俩是要率先开始转啊，怎么转呢？你看，沿着这个 a 点和 c 点，以一度每秒和三度每秒的速度呢，去顺时针转动。顺时针是干嘛？往右边转对吧？我们标一下啊， a、 b 的 速度是一， c、 d 的 速度是三。好问，你 在 c、 d 转动一周的时间内，什么时候这俩射线平行？ ok， 你 看，一旦问两直线什么时候平行，那就叫平线的性质或判定，对吧？你要用同位角内错角相等，或者是同邦内角互补的概念来去分析， 这是一，因为你这个角一直在变啊，所以呢，你肯定要找什么时候满足这些平线的条件。第二个，由于你这两条线是射线，他有方向，他在转，所以你这两条射线针对于中间这根轴， 他的位置是不一样的，所以分类讨论必须也要用好。咱们先不讲别的，咱们去想啊，我现在就是一根棍，有两条射线针对于这根棍来讲，他的相对位置可能哪些 是不是，要不然呢，我就一边一个？对，要不然呢，我就相同在左边，要不然呢，我就都在右边，没毛病吧？是不是三种情况，所以这道题核心的点啊，我们就是针对这三种情况，分别的来稍微计算一下就行了。咱们先来算第一种最简单的情况， 你最开始没转的时候呢，一左一右，那么我们看你是不是？我最简单的就是刚转了一小会啊，我还是在一左一右的时候，此时两条射线平行，那么此时我们怎么来写啊？你看现在呢，这样的话，我画出这两个小角，它是什么东西啊？是不是一对 内错角，所以我们可以让这个内错角相等，但是呢，题干当中给我条件是上边的部分，所以我们就可以去找内错角互补的这个角相等其实也 ok 啊，所以我们就看什么时候这个小角等于这个小角来看。 动态问题，永远是起点加上速度乘时间，下边这个小角起点位置是六路，速度是三好六加三， t 是 下边这个角，大小等于上边这个起点是七十，速度是一七十加 t， 你 去解一下，解出来非常简单。 t 等于五 五秒钟的时候，第一次平行，这是第一种情况，一左一右的时候，再看后面的情况。第二种情况来看啊，你转着转着呢，由于你这条线转特别快，对吧？你可以转到线的右边去， 那么由于这个 a b 转的慢，它可能还没转过来，还在右边，所以你第二种情况呢，可以去分析。哎，我都在右侧的时候，但是你要注意，都在右侧的时候啊，你这个 c d 啊，转的角度其实已经超过，有可能啊，超过一百八十度了， 所以呢，我们要把整个旋转的角度减去一部分去算。那现在我们分析什么呢？比如说啊，你看这个方向，特别像咱们同位角的这个 f 的 形状，对不对？所以呢，我们去找一个什么呀，同位角相等就行了。比如说呢，我们来找这个角跟这个角。好，你看上边这个角等于多少？ 那么它是怎么着？最开始是个七十，对吧？往下转，哎，那么上边是起点，加上速度乘时间七十加七， 下边这是什么呢？你要注意啊，下边这个他是越过了这条线多出来这个角，你不要忘了，我要先转了，你最开始是六十啊， 要先转一百二十度才能够跑到右边去啊。所以呢，你总的旋转度数是三倍的 t， 还要减去这边刨掉的一百二，这个才是我们要求的底下这个同位角的位置，你令他们两个相等，你稍微解一下，你会发现，二 t 等于一百九， t 等于九十五秒。好，这是咱们的第二个答案，这个没有问题啊，现在两个数了，一个五，一个九十五。好，再来看第三种情况，第三种情况，刚才不是两个都在右边吗？对不对？继续转，转到哪呢？ c、 d 可以 转到左边去，那么假设我们 a、 b 也转到左边去啊，都在左侧，那同样的道理，同侧还是用 同位角相等的概念，对不对？那么这个角怎么看啊？你会发现呢，这个角啊，它是原由，原来这个位置转过来的，跟刚才的思路一样啊，你要把整个旋转的角度梯减去这一边需要刨掉的部分对不对？ 七十下边是一百一啊，要减去要刨掉的一百一十度，这是我们下边这个小锐角，底下也是一样的，它是原来呢，从这个位置转一大圈过来，对不对？你要把总共的斜锐角三 t 减去这一部分是一百二，再减去一个平角一百八，相当减去三百 相等吧，对吧？两个小锐角相等，同一角相等，好解一下， t 还是等于九十五，你会发现这个情况跟我们刚才的 都在直线右侧的情况数是一样的，那么肯定有一个需要去舍掉，对不对？你自己可以带一下 t 等于九十五的时候，其实呢，这个 a、 b 和 c、 d 啊，它真实的角度都在右侧，所以左侧这个情况是不存在的。各位啊，能听懂了吗？所以算出来三种情况，三个数有一个数舍掉，最后答案是五和九十五啊， 所以这个最后的取舍问题，其实也是咱们在大意当中想得满分的一个关键点。好，那么今天这道题呢，给大家讲了一个动态和平线的结合问题，其实动点问题它会贯穿咱们整个初中的三年，难度比较大，后面一一为大家讲解，大家可以关注我想听什么在评论区留言。

这题不会，后面全白学初中数学基础这节课搞懂，考试多得几分。今天我们来看一道平行线的判定啊！一道题目， 首先我们画了一个题目，哎，画了一个图，下列条件中能判定 a、 b 平行于 c、 d 的是哪一个？在这啊，大家最好养成一个习惯，因为在这个图中，我看着 a、 b 和 c、 d 好 像也是平行的，它既然让我们证明了 a、 b 和 c、 d 平行，我们在这两条横线上给它打上两个横杠，也就是要知道题目在问我们的是什么啊？第一个，我们来看一下，角 b 加角 b、 c、 d 等于 一百八十度角 b 和角 b、 c、 d， 它俩是一组同旁内角，那么这两个它可以搞定 a、 b 和 c、 d 平行，为什么呀？因为这两个同旁内角的话，可以看成是 a、 b 和 c、 d 被 b、 c 这条直线所截得到的一组同旁内角，这一个没问题啊！ 第二个，角一等于角二，角一等于角二。很明显，这是一组内错角。内错角，那么这组内错角它能够证明出来的可是 a、 d 和 b、 c 平行，我们说内错角长得像一个字母 z， 对 吧？所以这个它不可以。第三个，角三等于角四，角三等于角四的话，这也是一组内错角， 也能够判定出来 a、 b 和 c、 d 平行，这个也没问题啊。第四个，角 b 等于角五。角 b 和角五它俩是 同位角，并且这两个同位角应该也是 a、 b 和 c、 d 被 b、 c 所截得到的一组同位角，所以它也可以证明出来 a、 b 和 c、 d 平行。那么这道题目我们就讲完了。关注小林老师初一初二数学同步学。

这个视频给大家说一下相交线与平行线里面的辅助线的原理，那么把这个辅助线的原理搞清楚之后，你再去做辅助线，其实怎么做他都可以去做。 那么这里面有六个图啊，其实呢，就两个图啊，就最左边那两个图，那这两个图呢，相信大家也比较熟悉啊，这是我们呃，四个模型中的两个嘛， 一个是拐角形，一个是猪角形，当然还有两个，一个是铅笔形，一个是靴子形嘛， 那这里面的结论我也不说啊，大家都知道，那么大家平时啊，在遇到这两个图形的时候， 所做的辅助线啊，都叫做与拐点做平行啊，都是过一点去做平行的。那其实除了这两种辅助线之外呢，还有另外的两种啊，但这两种呢，它不是与拐点做平行，你比如说，呃，我这个图啊，我是过 d 做 d f 平行 b， 其实这样做也是可以的，那这里呢，给大家简单的证明一下。那我做了 d f 平行 b 之后，第一个呢，有内错角相等，还有同位角相等，这个角 b 等于这个角， 这个字母的话呢，我就定为 p 点啊，另外再利用 a b 跟 c d 平行啊，这个角 a p f 呢， 还等于角 c d f， 所以 这样的话呢，这个角一加角 b 就 等于角 e d f 加角 c d f 就 等于角 c d e 啊，这也是可以证的。 呃，这个图呢，我也说一下啊，第三个图我就不说了，原理是一样的，那这里面我是过 b 点啊，做 b f 平行，第一，交 c d 延长线于 f， 我 做的是 b f 平行第一。 好，那这个怎么证呢？原理也给大家简单解释一下啊，那么做的 b f 平行，呃，第一周第一个呢，有同位角相等， 角 c d 等于角 f， 然后呢， ab 跟 cd 平行嘛，那么角 f 呢，也等于这个角，那这个字母就定为 p 啊，就等于角 abp。 那 么其次啊， 这个 p f 跟 d e 平行，我是做的嘛，那就有一个内错角相等，就这个角 b e d 还等于角 p b， 那这样的话呢，你这个角 a b 加上角 c d 啊，就等于角 a b 加角 a b p 就 等于角 e b p， 而 e b p 呢，它跟这个 b d 是 一个内错角的关系吗？结合平行的话，它是相等的啊，所以这样也可以整 好。那这样的话呢，其实我们辅助线的话，就不是非要与拐点去做平行的，对吧？但其实呢，这些辅助线它的原理啊，基本上是一样的， 所以接下来我们把，呃，这两个图吗，每个图对应的三种辅助线做法，那么他的原理或者我们在做的时候呢，他的一个相同点，把他给总结出来，那这样的话，你就搞清楚这个题，我到底怎么去做辅助线啊，这样这样这样做，他都是可以做的。 那么我们做辅助线啊，一般呢是做平行，那做平行呢，其实第一个目的呢，是为了去构造三线八角啊，就是有两个平行线 加一个接线，当然三线八角的话呢，这两个线它不一定是平行的，对不对？但其实我们在做题的时候呢，一般这两条线是平行的嘛，所以有两个平行线加一条斜线， 所以你看第一个，我做 e f 的 话呢， e f 跟 ab 平行， b 一 是结线啊，有一个三线八角， e f 跟 cd 平行，第一是结线，也有个三线八角啊。第二个图也是一样啊， b 一 跟 d f 平行得一是一个结线， 这个 ab 跟 cd 平行， pd 是 一个结线嘛？这下面也一样啊，这个 p f 跟 d 一 平行， b、 d 是 结线， a、 b、 c、 d 平行， b、 f 是 角线，所以我们做的辅助线都是为了去构造这个三线八角，因为只有三线八角，它才会带来同位角、内错角以及同旁内角的关系，才能实现角的转移。那为什么要实现角的转移呢？ 因为我们要去证明角的一个数量关系啊，不管是角的和差关系啊，还是这个辈分关系啊，都是角的关系。那么角的关系呢？目前在七年级，他只有共顶点就角共顶点，他才能会有 和差以及辈分关系。当然到了八年级，你学了三角形的内角和定角性质，对吧？那么共形也会产生角的一个数量关系。 所以呢，我们构造三线八角的目的呢，都是将角转移至共顶点。你比如说啊，我们第一个结论是证明这个 c 角 c、 d 等于角 a、 b 加上角 d、 b， 那 么角的顶点分别是 d 点、 b 点，还有这个 e 点，可以显然 d、 b 一 不是同一个顶点吗？所以我们做俯卧撑的目的呢，都是将这个 b 点、 d 点以及 e 点呢，转移至同一个点。那第一个图我们是过呃过一做 e、 f 对 吧？平行 ab 和 cd 吧。那么我们就是将角 c、 d 和角 ab 转移到 e 点， 你看 e、 f 跟 ab 平行之后呢，这个角 ab 就 等于角 b、 e、 f 了，所以这个角 b 的 顶点 b 就 转移到 角 b、 e、 f 的 顶点一出来了，同样的，这个角 c、 d 等于角 d、 e、 f 嘛，对吧？这两个角相等，你看这个角 c、 d、 e 的 顶点 d 是 不是也转移到 e 点出来了？ 所以你看，我们可以把角 b、 角 d 的 顶点转移到一点，那我能不能把角 d 和角 e 的 顶点转移到这个 b 点呢？能不能转移到 d 点呢？也可以，所以我过 d 做平行，就是把角 e 和角 b 的 顶点转移到 d 点来， 对吧？你看我做 d、 f、 p 行吗？这个角 e 就 等于角 e、 d、 f 是 不是转移到低点来了？那么角 b 等于角 a、 b、 p 又等于角 c、 d、 f 是 不是也转移到低点了？又转移到同一个低点之后，我就能实现角的一个， 呃，和差辈分关系了啊。那第三个图，我过 b 做 b 型，就是要把角一和角 d 的 顶点转移到 b 点处啊，实现一个角的和差关系，那下面的原理跟上面的也是一样的。 所以最后我们来总结一下，就是我们，呃，下限平线里面我们去做辅助线啊，你的目的是干嘛呢？第一个去勾到三千八角，第二个呢，一定是将角转移至共零点，才能实现这个角的和差辈分关系。 那么，呃，你要把角往哪个点处去转，对吧？就过哪个点去做平行。 那这个地方，也就是说你过这个地点怎么做平行呢？你比如说你想把这个角 b 转移到 这个地点出来，对吧？那你过 d 做平做这个角 b 的 一边的平行，那么角 b 的 一边一个是 ab， 一个是 e、 b 嘛？那么 ab 很 显然跟 c、 d 平行的嘛，你只要过 d 做另外一个边的平行就行了 啊。所以这就是我们啊，象牙线与平线里面的辅助线的一个基本原理啊，希望对大家呢有所帮助。

大家好，这次我们七年级的月考呢，定在了四月初或者是中旬，在此期间如果没有复习目标或者是不知道考点的同学呢，可以给金宁老师留言。六六六， 老师给大家准备了三套月考压轴题，金宁老师要带大家再次挑战我们平行线动脚问题的一个难点，就是关于回转角的表示。 那我们今天的这道题呢，就是涉及到一条射线，它不仅是要旋转，且是要建立在旋转之后，那么到达某个射线，它要继续逆时针往回旋转。老师给大家举个例子，比方说我们的射线 o a 绕点 o， 首先是顺时针旋转， 到达 o b 之后，那么它将会逆时针继续旋转，那我们今天要了解的一个核心内容就是关于回转角的表示。 当我们首先来看，比方说老师给到射线 o a 的 运动时间为一度每秒，射线 o a 绕点 o， 首先顺时针旋转至 o b， 那 么整个这个旋转角度是不是一百八十度？ 哎，也就是需要一百八十秒，那么在一百八十秒之后，那么他要继续绕点 o 逆时针旋转，那旋转角是整个这个射线 o a 到 ob， 然后再逆时针回转至这个位置，我们把这个新的射线记作是 a 撇， 那如果我们设运动时间为 t 秒的话，这时候大家看老师标注的这两个箭头的角是不是就是他的旋转角，也就是 t 度？ 好，那么接下来进入到我们今天的核心内容，就是回转角的表示，大家来看一下，这里的回转角实际上就是射线 o a， 它是在 ob 逆时针旋转至 o a 撇的位置，这个就是我们今天重点要研究的回转角。来，大家来看一下，对于这个角 a 撇 o b 的 表示应该是多少呢？来，我们再次看一下，两个箭头一共是梯度， 而我们知道角 a o b 它是多少度啊？哎，一百八十度，那显然这个回转角 a 撇 o b 是 不是就是 t 减一百八十度？好了，那只要你掌握了关于回转角的表示，我相信接下来的这道题就没有问题了。 好，关于解决冻脚问题的基本步骤呢？老师再来强调一下，一共我们分为三步走，第一步呢，就是设运动时间，通常我们设这个运动时间为 t。 好，那么第二步呢，就是表示旋转角，这个和老师上个视频说到的有关，大家可以回看一下。第三步呢，就是表示目标角，当然我们今天的重点呢，就是关于这个目标角的表示，大家一定要把这个回转角考虑进去，那么表示完目标角之后，我们列出等量关系，求出 t 值就可以了。 如图一，灯 a 射线自 am 顺时针旋转至 an 变立即回转。老师先来给大家动态演示一下这个灯 a， 也就是它绕点 a 顺时针旋转一百八十度以后立刻回转，是不是啊？ 好，那么蹬 b 射线呢，是自 b p 顺时针旋转至 b q 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若 a 若蹬 a 转速为 a 度每秒，蹬 b 的 转速是 b 度每秒，且 ab。 满足这样一个关系式， 假设这一带长江两岸和地是平行的，即 p q 平行于 m n， 且角 b a n 等于四十五度。读到的条件呢，大家可以直接上图， 那第一问呢，其实考察的就是零零模型，我们可以有 a 减三等于零及 a 等于三，再把 a 等于三带入第二个式子，也就是三加 b 减四等于零，解得 b 等于一。这样的话，我们就相当于知道了两条射线，他们的运动速度 及 am， 他的速度是三度每秒，而 b p 的 速度是一度每秒。接下来重点看第二问。若蹬 b 射线先转动二十秒，蹬 a 射线才开始 转动，这个条件也就意味着我们的灯 b， 它是先旋转二十度，射时间为 t 的 话，这里的 b p， 它是从这个位置开始旋转的来，这一点大家要搞清楚， 灯 a 才开始转动，在灯 b 射线到达 b q 之前， a 转动了几秒，两灯的光束互相平行， 直给大家举个例子，比方说我们的灯 a， 它旋转至 am 撇的位置，灯 b 呢，旋转至 b p 撇的位置，此时来两束光线平行，这个就是我们今天要研究的重点。 现在我们知道大体上呢，其实可以分为两种情况，也就是说射线 am， 它在到达 an 之前，一 及到达 a n 之后继续回转。哎，整体是这两种情况。那我们先来看一下第一种情况，也就是说他到达 a n 之前，不外乎就是旋转一百八十度，对不对？我们看一下此时对应的 t 范围，也就是一百八十除以它的速度。 哎，这个 t 呢，也就等于个六十，这个六十也就意味着，当 t 大 于等于零，小于等于六十，均是射线 a m 绕点 a 顺时针旋转， 那我们考虑到这里的这个时间 t 如果是小于六十的范围，我们看一下射线 b p， 那 这个射线 b p， 它是从这个位置开始旋转。我们由题知， p q 平行于 m n， 也就对应了这个角，它等于角 b a n 等于四十五度， 那对应的角 abp 就是 一百三十五度，那用一百三十五再减去了这里的二十，那对应的角 abp， 它就是一百一十五度。 有 b p 的 速度是一，那用一百一十五除以一，也就意味着在一百一十五秒之内，我们的 b p 射线是不是都是在 b a 的 右侧运动？ 哎，它不会超过这个射线 b a 的 左侧。这里呢，老师帮大家考虑清楚这个 t 范围，会避免你画很多复杂的图啊，主体呢，就是分为这两种情况就可以了。 搞清楚这个问题呢，现在就可以画第一种情况的图，那如果我们的射线 a m 绕点 a， 顺时针旋转至这个位置，好，我们把它记作是 m 撇儿， 那此时对应的射线 b p 呢？它是从这个位置开始旋转，绕点 b 旋转至与 am 撇平行，那我的 b 撇是不是就在这个位置？那情况一呢，就是当射线 am 未到达 a n 之前，那我们来看一下射运动时间为 t。 现在我们考虑到三步法，第一步射运动时间为 t， 秒后满足两束光线平行，即 a m 撇平行于 b p 撇，这是第一步。那第二步呢，就是表示旋转角。现在 现在老师把这个旋转角用红色的这个角标给大家标注，其中射线 a m， 它的旋转角是不是就这一部分？我们知道速度是三，时间是 t， 所以 这个旋转角就表示为是三 t。 那再来看 b p， 它的旋转角是不是就是 p b p 撇，这个角速度是一时间是 t， 所以 它对应的就是 t。 好， 这是第二步，那么第三步表示目标角，我们要用它来列等量关系。大家要注意一个核心，就是我们要结合这两束光线平行，借助这个三线八角的关系，当然是找到了两直线平行内错角相等。所以对于这道题，我们的目标角实际上就是这两个角。 好，先来看一下角 b a m 撇，那我知道角 m a b， 它是一百三十五度，又有旋转角是三 t 定的，这个角 b a m 撇呢，就是一百三十五减三 t 角 a b p 撇， 同理整个这个大角是一百三十五，然后那么这两个角又是二十加 t， 所以 我们的另一个目标角就是一百三十五减，括号 t 加二十度。那等量关系呢？也就是一百三十五减三 t 等于一百三十五减，括号 t 加二十。 左右两边的这个一百三十五直接约掉，也就是负三 t 等于负 t 减二十，即二 t 等于二十，解得 t 等于十，这是情况一。

你们知道什么叫平行线吗？很多老师啊，讲平行线，根本没有讲对，你看这个题，这个是中考题，很多孩子为什么不会做呢？因为他根本不了解什么叫平行线， 那什么是平行线呢？来澳门画平行线，这是两条线，它是平行的。平行线的定义，难道是只是在两条线延长，不相交吗？这是课本定义，你用这个定义来做这个题的话，你根本没有思路，对吧？ 注意啊，平行线除了课本的定义之外，还有另外一个定义，你了解之后我们才可以会做题啊。 我们每个定义呢，都有两个概念，一个叫静态概念，一个叫动态概念。比如说啊，我们我们说个角，你看这个角啊，他有两个定义，对吧？第一个定义叫静态定义，就是在平面上有两条射线，有公共点，那么他这个假角就是一个角。好，这是静态定义啊，那么动态定义呢？ 我们可以看成呢，这是一条射线，他旋转一定的角度之后形成这样一个角，这叫动态定义。那么同样道理啊，平行线的话，他也是两个定义，刚才是静态定义，两条线延长啊，不相交，这就是平行线。 那他有没有动态定义呢？当然有了，我们看平行线，他如果两条线是一样长的话，他会出现什么呢？他可以进行平移， 对吧？而且平移之后呢，可以互相重合，这就是平行线的第二层定义，他是可以平移的，这叫动态定义。 好，我们列这个定义之后呢，我回到这个圆体当中来啊，你看，我们题目当中说非常简洁，三组对边呢，是分别平行的啊，不同颜色，我们画一下，且三组平行线的长度差也是相等的，也就是说啊，这两条白线相剪长度差一样啊，蓝线也是这个，橙色线也是， 那这个条件有什么用呢？这个条件最奇特了是吧？如果你知道平行线的第二层定义之后呢，动态定义，你就马上可以解了。来，我们来了解一下，首先三组是平行的，对吧？而且呢，他们的叉相等， 叉相等什么概念呢？就叉是干嘛的呀？我们要做叉的话，那首先呢，这两条线啊，你得对齐对吧，才有可能做这个叉的吗？如果你不对齐，怎么做叉呢？ 所以说我们这句话的意思就是希望你将相对的这个平行线呢，平行之后对齐一下，然后再比较大小，这是这句话的隐藏含义啊，就我们出题人啊，就是会给大家出一些隐藏的条件，你能，你能不能破解这个条件非常重要啊， 来我们看这啊，那怎么把这个平移呢？咱比如说这两条橙色线啊，两条橙色线怎么平移呢？你会发现有一个天然的对起点在哪啊？在 a 这个地方， 而且路线也告诉你了，白色线就是这条成线，要啊，平移的路线，来，我们画一下这个图啊，这条线我们平移到这，来，到这里啊，平移了吧，那么同样道理，这条短线沿着这条蓝色线平移到这里，好，平移到这啊，也就是说这个点在这啊， ok 吧。那什么是这两段的度差呢？应该是这段吧，这段是他们的长度之差。好，同样道理啊，三个方向都是一样的，另外两个方向我们像这样平移， 我们移这个白色部分啊，白色的这一段我们移到这来。好，这里啊，那么这一段呢？咱移到这来，这两段之差是哪啊？是这个地方吧。好在同样道理啊，蓝色也是一样，蓝色的这条长线平移到这来，哎，正好对齐了呀， 那么这个短线呢？平行到这来啊，所以说这段是两条蓝线之差。哎，你发现什么了没有？ 这个图其实就是三个平行四边形啊，对，在一起了，就是原图的样子，只是出题人呢，把这个接口给你去掉了，让你不会做了。好，我们恢复原状之后，你发现这个题变得非常简单了啊，那既然说这三段现在是相等的，但是画这个图有点不标准啊， 所以这个三角形，什么三角形啊？他是一个等边三角形，那么每个角都应该是六十度吧，如果这个角六十度的话，那么他的补角这个角就应该是一百二十度。好，问的是什么呢？问的是角 f 啊，角 f， 那 这个角多少度呢？那同样道理啊，我们这个角他也是一百二十度吧， 因为这是六十度吗？这是一个平行四边形啊，所以他的对角 f 仍然是一百二十度，搞定了。 换句话说，这里面呢，每一个啊，外边人也讲啊， a、 b、 c、 d， e、 f， 它其实都是一百二十度，这是我们出题人的秘密，所以我们一定要学到啊，它的本质是什么？这就是平行线的第二层定义。

好，七年级下学期呢，我们就要学习平行线这个章节了，平行线呢，有很多模型，我们这里呢，只列举出来了四个，为什么说只列举四个呢？因为他们这些模型的本质都是一样的，就是过拐点做平行线。 好，什么是拐点呢？拐点，他就是呢折线段的折点，这个折线段的转折点，他就是拐点， 这里面的 a， 他 就全部是拐点。哈，好，我们把拐点交代清楚之后呢，我们就来交代一下，这个辅助线到底应该怎样去描述好。很多同学呢，就直接说过点 a 做 a 和 b 的 平行线，这样描述正确吗？ 错误的啊，为什么呢？因为平行线他有一个基本的事实，他就是呢过直线外一点，有且只有一条线与这条平行线与这条直线平行，所以说过点 a 只能做一条直线的平行线，不能同时做两条直线的平行线。 好，我们这个时候怎样描述呢？正确的描述方式是这样的，过点 a 做直线 a， 或者说过点 a 做直线 b 的 平行线。好，是这样描述的。 平行，因为平行线之间它是有传递性的，所以说我们刚才那样做平行线之后呢，它的三条直线也是相互平行的，比如说啊， a 平行于 b， 这是已知条件， c 平行于 b， 这是我做的一个辅助线。好，我们都知道啊，两条直线如果同时平行于第三条直线，那么这两条直线也是相互平行的，这就是平行线的传递性， 所以我们得到 a， 它也平行于 c。 我 们这个时候呢，再来推导一下这个模型的角度关系啊， 比如说这个角是角一，这个角是角二，因为呢，这三条直线它都是两两平行的，所以说我把角一内错下来，角二内错上去，我们就能得到角 a， 就 等于角一加上角二。好，这就是猪蹄模型的结论。好，下面一个铅笔模型，我假设这个角是角一，这个角是角二。 好，他是角三，他是角四，这里面呢，我们也会得到两组平行线，这平行线呢，角一和角三他是一组同旁内角，角二和角四也是一组同旁内角，所以说两直线平行的话，同旁内角，他是什么互补的啊？ 角二呢，加角四也等于一百八十度，就因为呢，角 a 等于角三加角四，所以呢，我们就得到了角一加上角 a， 加上角二，等于三百六十度， 这就是铅笔模型的这个结论。好，我们知道猪蹄模型、铅笔模型，它的它的这个拐点全部在平行线之间。 好，如果说这个点他在平行线之外呢？在平行线之外，他也是一样的，也是过拐点做他的平行线啊。好，我们再看一下这个鸟头模型，比如说这个角是角一，这个角是角二，那么呢，我们就可以通过平行线的性质把角一内错上来。 嗯，角二呢，我也内错上来，我们根据角度的和差关系就能得到角 a 呢，那就等于角二减去角一。 好，同理呢，这个靴子模型也是的啊，我设这个角是角一，这个角是角二，角一内错上来，那变成角一，角二内错上来变成角二， 所以呢，角 a， 它就等于角一减去角二。好，平行线的那四个模型呢，我们把它的结论全部推导出来了。还有其他模型，比如说蛇形模型，还有锯齿模型。好，它们的本质都是一样，都是过拐点做平行线。 我们一起看一道例题，如图呢， ab 平行 c、 d 点 e 为 ab， 上方一点 f、 b、 h、 g 分 别为角 e、 f、 g， 角 e、 h、 d 的 角平分线给了一个等式，让我们求角 e、 f、 g 的 度数。 好，我们先梳理一下已知条件，因为这个 f、 b 和 h g 它是角分线，我设这个角度为阿尔法，那么它也是阿尔法。设这个角度是北塔，这个角度，那也是北塔。 好，这类题型呢，我们肯定是第一步要找到拐点，然后过拐点再做平行线，好显，很显然，这道题里面哪个是拐点？点 e 和点 g， 他 都是拐点，有几个拐点就做几条平行线。 假设这个直线是 a， 这条是直线 b， 我 们就能根据平行线的传递性，我们就能得到 a 平行于 a， b 平行于 b， 平行于 cd。 好， 有了平行线，我们就能进行倒角了。这个时候呢，我们发现了这里有个猪蹄模型， 所以呢，角 g 就 等于角阿尔法，加上角贝塔，那阿尔法内错下来，贝塔内错上来。好，角角 e 呢， 这个是二北塔，我把它内错上来，这个是阿尔法，我也把它内错上来。角 e 呢，它就等于角阿尔法。减去两倍的角 b 塔，好，我们再把这个角 e 和角 g 带入到这个等式里面。 解这个方程呢，我们得到角阿尔法呢，它就等于两倍的角阿尔法，那么它就等于一百度。 好，我们再把这道题做一下小结。这道题呢，首先它是这解题步骤是比较固定的，这类题型它都是这个步骤，第一步呢，我们找到拐点，然后呢过拐点做平行线，然后第二步呢，我们利用平行线的性质， 内错角相等，同位角相等，同旁内角什么互补啊？然后呢，我们把椅子角度和所求的角度尽量集中在一个角度，然后呢再根据角度的和差关系列等式。

好，我们来看这一道题啊，直线 m n 平行 p k u， 哎， 点 a 在 m n 与 p k u 之间啊，角 a， b m 的 平分线，那这是一种等角，我们给它做上记号。哎，角 p k， u 与点 c， 哎，有等角啊，哎，那这一面呢？由于 m n 平行 p k u。 哎，那这又有内错角相等是不是？哎，那我们来看看啊，因为 我们看一看这一个分析过程啊，因为，哎，我们分析过程的第一个步骤啊，第一个步骤，哎，因为呀， m n 平行 p k u， 所以 啊，角 m， b， c 等于角 b， c， d 哎， 要因为 b c 平分角 abm， 所以呀，哎，角 a， b， c 等于角 m， b c， 那 也就等于角 b， c， d， 我 们假设啊，这三个等角啊，都为阿尔法 啊，我们假设了角 a， b c 角 m b， c， d 都为阿尔法。好，我们给他做上一个标记，嗯， 哎，那现在我们来看看，那这个时候我看到了这一个角 a， b n， 哎，那角 a， b， n 呢？就是一百八十度减二倍的阿尔法， 所以呀，角 a， b， n 就是 一百八十度减去二倍的阿尔法。哎，这个很容易理解啊， 好，题目呢，还有一个条件来，还有一个条件，哎，啊，叫 a c， 哦，我们来看啊， 要注意了啊，要注意了，我们把这个条件读完啊， a， d 垂直于 p k u， 那 我们标上垂直符号， 哎， a， f 啊，垂直于 ab， 哎， a f 垂直 ab， 哎，我们把直角符号啊，都给它标记起来，哎，这里面呢，还有一种角平分线 a 一， 哎，这是角平分线， 这又是一种不同的等角啊，我们看看，我们来看啊，因为，哎，我们来进行第二个分析，因为 a 一 平分角啊 d， a f， 所以啊，角 f a e 等于角 e， a d 哎，题目要告诉我们说 啊，角 a c， b 等于二分之五倍的角 d a e 那 这样呢，我们把它变化一下，角 a c b 比上角 d a， e 等于二分之五， 于是我就可以假设角 d a， e 为二倍的北塔，那么角 a， c， b 呢， 就是五倍的背它了。好，我们来给它做上标记，二倍的背它，哎，五倍的背它，那这样一来，那角 a c d 哎，角 a c d 啊，就是角 b c d 减去角 b c a， 那 就是阿尔法减去五倍的贝塔。嗯， 好，题目还有一个条件啊，叫 ca 一， 在这个地方，它告诉我们说它是一个五十度， 那这个条件怎么使用呢？我们暂时不忙啊，哎，暂时不忙。嗯，我们看这一面平行线当中的拐点 啊，我发现了这个 a 点呐，是这个平行线当中的拐点，那既然有拐点呐，那我们就要做平行，哎，嗯， 那好，我们经过点 a 做平行线啊，做平行线，哎，做什么呢？好做，嗯， g h 吧。哎， g h。 好， 我们分析的第三个步骤，哎，抓住拐点，过点 a 做 g h 平行 啊， p k u， 哎，因为 a d 啊，垂直， p k u， 那垂直于两条平行线中的一条必定啊，和另一条垂直，所以呢，哎， a d 呢？还是垂直于 g h 的， 所以叫 g a d 等于九十度。嗯， 啊，角 g a d 啊，等于九十度，那这个角 g a d 啊，我们可以把它分成这样的三个部分啊， 哎，我们可以把它分成这样的三个部分。哪三个部分呢？角 g a c 和角 c a e 啊，和角 e a d。 哎，这三个角的和是九十度是不是？所以我们看看。 那么这个角 g a c 啊，因为 g h 啊，平行 p k u， 哎，因为啊， g h 平行 p k u。 哎， 啊，所以呀，角 g a c 等于角 a c d 等于啊，阿尔法减五倍的倍它， 那这样一来啊，那我们就得到了啊，叫 g a c 阿尔法减五倍的北塔叫 ca 一 五十度，哎，叫啊， e a d 二倍的北塔， 那合起来九十度，所以呀，阿尔法减三倍的北塔为四十度，哎，我们获得了一个重要的等式啊， 好，我们再做第四个方面的分析啊，因为 啊， a m n 平行 p k u 来，而这个 g h 呢，也是平行 p k u 的， 所以啊， m n 平行于 g h。 嗯， 既然 m n 平行 g h， 所以 呀，角 b a g 就 等于角 n b a 等于一百八十度，减二倍的阿尔法是不是？嗯， 好，题目当中啊，还有一个重要特点，哪个重要特点？我们看角 b a f 和 这一个角 g a d 相等，它们都等于九十度啊，这是它的一个重要特点。角 b a f 啊，等于角 g a d 等于九十度，嗯， 好，我们看看这两个直角啊，你看这一个直角，哎，另一个直角，这两个直角啊，还有一个公共部分，那我们就得到了角 b a g 加上角 g a e 啊，角 g a f， 哎，说错了啊，角 g a f 和角 g a f 啊，角 g a f 啊，加上角，哎，我们看看啊，这两个 两个角的重合部分，两个直角的重合部分，哎，我们看清楚啊，角 b a f 是 直角是不是？角 g a d 是 不是又是直角加上角，哎， 啊，加上角 g a d 哎，这个要看清楚啊，哎，我们看它的重叠部分在哪个地方来，这就是这两个直角的重叠部分啊。嗯， 那我们看看这个等式，那由它我们就知道了，角 b a g 等于角 啊，等于角。哎，看看角，角 g a f 加上角 f a d， 他 看写错了啊，加上角 f a d， 那 等于角 f a d， 那 我们看看啊，角 b a g 一 百八十度， 减二倍的阿尔法，而角 f a d 呢？四倍的北塔， 从而我们就知道了二倍的阿尔法加上四倍的北塔一百八十度。化简以后呢，阿尔法加上二倍的北塔为 九十度，我们把这了作为第二个等式，嗯啊，我们把这作为第二个等式，哎， 我们把这第二个等式啊，哎，这就是我们这里面的一个技巧了啊，我们把第二个等式与第一个等式啊相减， 我们看看啊，第二个等式啊，减去第一个等式，那阿尔法减阿尔法抵消了二倍的贝塔减负三倍的贝塔是五倍的贝塔，九十减四十， 从而达到贝塔等于十。那既然贝塔等于十，那么阿尔法呢？你看，那阿尔法加二十 等于九十，所以啊，阿尔法就等于七十，那我们现在来看看啊，角 a c d 哎，角 a c d 啊，在这个地方啊，那，那就等于什么？等于阿尔法是七十减贝塔是十，七十减五十等于二十。 于是呢，这一个角 a c d 啊，为二十度，嗯。

第七讲平行线的性质。什么叫平行线的性质呢？就是已知条件已经知道它平行了。根据平行，我能得到什么样的结论叫平行线的性质。这两条线平行啊，我能得到什么呢？就是反过来说，同位角相等。两条线平行，反过来平行，两条直线平行。同位角什么关系呢？相等就把刚才我们学的所有给它倒过来就行。 我刚才给大家记的是两个大写字母的，我先改一个小写字母啊，咱用小写字母来说一下，看怎么写啊？正指是什么呢？两条直线平行，同位角相等。书写过程是，我已经知道了 a 平行于 b， 我 已经知道 a 平行于 b 了，所以我立刻可以得到角一等于角二。好，这个括号添什么？添 x 五去了，两条直线平行，同位角相等。