八年级下册数学书P 100页怎么折

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级上册。呃，下册数学啊，第六十五页练习。 嗯，这页练习呢，主要学的是三角形中位线。那么三角什么叫做三角形中位线呢？就是连接三角形两边中点的线段，叫做三角形中位线。 那你说 d 是 a、 b 中点， e 是 a、 c 中点，那么 d， e 就是 三角形 a、 b、 c 的 中位线。那中位线有什么性质呢？这里了，他说啊，中位线定里啊， 三角形的中微线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，那什么叫第三边呢？你比如说我的三角形 a、 b、 c， d 呢？是 ab 终点， e 是 ac 终点，那么 第三边在哪？第三边就是这啊，你看 d 是 它边中点， e 是 a、 c 中点，那这个就是第三边啊。所以呢， d、 e 有 一个位置关系，是平行于 b、 c 的， 然后还有一个数量关系，就是 d、 e 等于二分之一 b、 c， 这就是一个位置关系，一个数量关系。那我们看一下这个题型啊。第一小题说如图，在三角形 a、 b、 c 中， d 还有 e、 f 分 别为 abbc 和 ca 的 中点，然后以这些点 为顶点，在途中你能画出多少个平行四边形？那么为什么他们是平行四边形？来，咱们来写那个连一下线啊，连接 d， f， e， f 还有 d、 e。 那么图中的平行四边形都有谁呢？一个是 a， d， e、 f 啊，我们在这写第一题，能画出几个？能画出 三个平行四边形， 那他们都是哪些呢？第一个，平行四边形 a， d、 e、 f， 第二个这啊，在这呢， d， b， e、 f， d， b， e、 f， 然后还有一个平行四边形是 d、 e、 c、 f， 那为什么他们是平行四边形？来我呢，给证明过程写一下啊。嗯，理由， 这个理由用什么？用中位线啊？因为这个三角形里有中点，所以呢，我们要考虑到中位线，那我们就可以说，因为你的 d， 嗯， f 分别是 a、 b、 a、 c 的 中点，然后所以 d、 f 会平行于 bc， 然后又因为你的 e、 f 分 别为 a、 c， 呃， e 是 bc 得按顺序啊。 a、 c 的 中点， 所以呢， e、 f 会平行于 ab， 那 你看啊，这和这平行，这和这平行，你是不能得出啊，一组一个平行四边形了 啊。所以你的四边形 d， b、 e、 f 是 平行四边形 啊，然后你看啊，这和这平行，这和这平行，对吧？那么我们再说，因为，呃，这是 d、 f， 这是 e、 f， 那 就是 d 和 e 呗。 d， e 啊，分别是 a、 b 和 b、 c 中点，所以呢， d、 e 会平行于 a、 c， 然后因为你的 d、 f 会平行于 b、 c， 然后你的 d、 f 会平行于 b、 c。 啊，不对，写过了这个啊，这和这平行 还有一个 d、 e 平行于 a、 c， 这和这平行 d、 e 平行于 a、 c， 再加 d f 平行于它，那把这个先划掉啊。所以呢，我的 d、 e、 c、 f 是 平行四边形， 然后又因为 d、 e 平行于 a、 c， 然后 e、 f 会平行于 ab， 所以 四边形 a， d、 e、 f 呀，不加顿点啊，是平行四边形。 用到的都是什么呢？用到的是两组对边分别平行的四边形是平行四边形 啊，那这里面其实呢，你也可以用 e 组对边平行且相等啊。你看 df 平行于 bc， 并且等于 bc 的 一半，那你说 df 跟跟 b、 e 是 不是相等， 同时也会跟 ec 相等？那我就一招啊，一起就能证明这两个三四边形是平行四边形，对吧？然后这边也是同理啊， 可以用一组对边平行且相等，我这里用到的都是一两呃，两组对边分别平行啊。那么我们来看第二题， 说如图，三角形 a， abc 的 中线，中线啊，什么叫中线呢？就是一边中点与相对的顶点所连线段啊，叫中线， 那他呢？啊，得到的是 a， d 等于 c， d 啊，那 c， e 呢，也是终点，他俩呢，交于点 o 啊，说 f 和 g 啊，分别是 ob 和 oc 的 终点， ob 和 oc 的 终点。然后让我们求证 这个 d， e， f， g， 它是一个平行四边形，那这个里边呢，我们可以用什么方法来证呢？那你想平行四边形的判定定律啊，有五条 啊啊，叫两组对边分别平行，两组对边分别相等，那一组对边平行且相等，两组对角分别相等，还有对角线互相平分，是吧？那么这个题呢，在我们学的这个新知识点中，微线的这个课时里，所以我们尽量用什么 用到中位线，尽量要用到中位线啊，运用新知识点来解决。那么下面呢，我来写一下过程啊，可以怎么写呢？首先你看，因为你的 b， d 和 c， e 是 中线，所以呢，你的 d 和 e 不 中点吗？ 那你的 d， e 呢，就是三角形 abc 的 中位线，那它呢，平行于 bc， 并且等于 bc 的 一半 啊，平行于 bc， 并且等于 bc 一 半。然后你的 f 和 g 呢，又是 ob 和 oc 的 中点，所以呢，你的 f， g 是 ob 的 中位线， 那么也就是 f g 能平行于 bc， 并且等于 bc 一 半。那你看，两条直线都与第三条直线平行，那这两直线是不是也互相平行？ 那还有呢？就是啊，这两直线都等于 bc 的 一半，所以呢，这两直线是不是也平行啊，也相等，这两个线段也相等，所以我可以用到一组对边平行且相等的四边形。是平行四边形啊，嗯，那他还可以用什么呢？你比如说我连成这 连接这之后呢，我可以得到你的 d g 平行且相等于 a f a o 的 一半，平行于 a o， 并且等于 a o 一 半。那 e f 呢，也是平行于 a o， 并且等于 a o 的 一半。那我可以用这组对边平行且相等 啊，也能够判定它是平行四边形。所以说我之前说的第一种方法呢，是不需要做辅助线的啊，这个辅助线可以先去掉，那我们来写一下过程啊，写在这边。第二题证明， 因为你的 b、 d 和 c， e 是 三角形 a， b、 c 的 中微线的中线， 所以呢，你的 e 还有 d 分 别是 e 是 ab 中点， d 是 ac 中点，然后所以你的 d e 平行于 bc， 然后 d e 又等于二分之一 bc 啊，然后又因为你的 f 和 g 分 别是 ob 和 oc 的 中点， 所以呢，你的 f g， 那 么平行于 b c， 然后 f g 又等于二分之一 b c， 所以 你的 d e 会平行于 f g， 你 的 d e 会等于 f g， 那这样一组对边平行且相等，所以呢，你的四边形 d e， f g 是 平行四边形 啊，这就是啊，不做辅助线的方法啊。然后你的第三题，他说 如图， a 和 b 啊，两点被池塘给隔开了，说在 a b 外啊，选一点 c 连接 a c 和 b c， 然后怎样利用中微三角形中微线段里来测出 a、 b 两点间的距离， 那你说这题在中卫线这一课时里，那肯定是用中卫线，对不对啊？你看人家说利用中卫线定律是不是？那我们的方法就是那取两边中点呗，对不对？来第三题。方法啊， 取 a， c 和 b， c 的 中点 d 和 e 啊，取中点 d 和 e， 这个是 d， 这个边的是 e， 然后连接 d， e 连接 d， e。 根据三角形中位线定里， 三角形中位线平行于 三角形的第三边，并且等于 第三边的一半。嗯，所以我就可以知道了，你的 d、 e 会平行于 a、 b， 然后呢，并且 d， e 会等于二分之一 ab 啊，因此可以啊，测出 d， e 的 长再乘二， 求 ab 两点间的距离 啊。这就是第三题。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第五十九页练习。 第一题，如图，四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，角 a、 d、 c 等于七十度， a， b、 c、 d 是 平行四边形，角 a、 b、 c 等于七十度， b、 e 平分， a、 b、 c 也说这跟这是相等的，与 a、 d 呢，交于点 e， 说 d， f 平行于 e、 b， 这两条边是平行的，交 b、 c 于点 f， 让我们求角 e。 那么这道题呢？嗯，因为他这一课时呢，刚学的是这个平行四边形的性质啊，所以呢，这里面用到的就是平行四边形的性质。那平行四边形都有什么性质啊？ 那边的性质对边平行且相等啊，角的性质是对角相等，邻角互补，然后呢，对角线呢？是互相平分，那么这里边用到的是什么呢？你看啊， 他要求的是角，肯定往角上琢磨，对吧？那么给你了， a、 b、 c 等于七十，然后，那这 是不是也应该得七十对角相等，对吗？然后呢，平行四边形，对边平行且相等，那我们用平行来，这叫角平分，线与平行线 必有等腰出现，也说这个小叉跟下面小叉相等，那么等量代换啊，不用等量代换，也说这个叉在这，然后因为你的 b、 e 平行于 df， 所以 这个叉和这个叉相等， 那这的七十减去叉是不是就角一啊？所以用到的就是角的性质啊，还有，嗯，对边平行，所以来咱们来写一下过程啊。第一题，嗯，角， 因为四边形 abcd 是 平行四边形， 那么根据平行四边形的性质，咱们用哪两个性质来着？第一，对边平行， a、 d 平行于 b、 c， 第二，对角相等 到底多少度？七十度吧，是不是？然后我们再用角平分线，把你这个一半的角求出来，用的是哪个？用的是下面这个角，叉到这来，对不对？那我们写，因为 b、 e 平分角 a、 b、 c， 所以 角 e、 b、 c 等于二分之一，角 a、 b、 c 等于二分之一，乘以七十度，等于多少度？ 三十五度。然后你再写，因为 a、 d 平行于谁？ bc， 所以呢？ 嗯，你的内错角会相等，角 a、 e、 b， 它等于角 e、 b、 c 等于多少度？三十五度。然后又因为另一个平行 df 平行于 b、 e， 所以呢，这叫两直线平行，同一角相等，也就是角 a、 d、 f 会等于角 a、 e、 b 等于三十五度。 嗯，所以角一呢，就等于角 a、 d、 c 减去角 a、 d、 f 等于七十度，减三十五度等于三十五度啊，这是第一题， 那我们来看一下第二题，他说如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 周长是十六。那么你读到这啊，你你，你想一想，平行四边形啊，这个周长肯定是跟边有关，对吧？那么平行四边形的边呢？是对边平行且相等，也就是 a、 d 等于 b、 c， a、 b 等于 cd， 那 也就是说我的周长是这四条边的和，而对边是相等的啊，所以我能求出一组邻边的和 啊， a、 d 加 c、 d， 或者是 ab 加 bc， 是 不都能求出来？这你脑袋里要有思路啊，有想法。然后说对角线 a、 c 和 b、 d 交一点 o， 那 你看平行四面有对角线了，那对角线的性质是什么？ 对角线互相平分，对吧？也就是 a、 o 等于 o， c、 o， b 等于 o、 d， 那 用哪个呢？咱不知道啊，一会咱们看题，说点 e 啊，在 a d 上，在这说 o e 垂直于 a c。 来，这句话就有讲究了啊， 你看啊，这有垂直，然后垂足这个点 o 呢，恰好又是 a c 的 什么点 中点，所以这不叫垂直加平分吗？所以 o e 应该是 a c 的 垂直平分线，那你想垂直平分线有什么性质呀？垂直平分线的性质是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离怎么的 相等啊？ a e 等于 e c， 然后让我们求的是 c d e 的 周长，那你看 c d e， 那 你说 c d e 这三条边，一个 c d 一个 e d 一个 c e， 而 c e 又跟 a e 相等，那你看，这不就是平行四边形周长的一半吗？ 是吧，那我们来，嗯，边读边分析，是不已经分析明白了，来，那我们来写一下啊。嗯，首先呢，我们说，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 什么形， 都是由它的性质起的啊，平行四边形，要不然你看，我写垂直平分线，你没有终点，他也写不了垂直平分线，是吧？所以呢，你的 a、 d 会等于 b c， 你 的 ab 会等于 cd， 这是两组对边分别相等，这一会啊，要倒一组邻边啊，的和要用着啊。还有一个就是 a o 等于谁？ o c， 那 你 a o 等于 o c 之后对角线互相平分，然后你加上垂直 e o 垂直于 a c 啊，所以你的 e o 是 是 a c 的 垂直平分线， 所以呢，你的 a e 会等于 e c， 看懂吗？然后因为你的这个平行四边形 a b c、 d 的 周长 为谁呀？ ab 加 bc 加 cd 加 ad 等于多少？等于十六，所以我会求出一组邻边啊。这上面这个 换进来是不是应该是二倍的 a、 d 加上二倍的 c、 d 就 会等于十六，所以 a、 d 加 c， d 就 等于几等于八吧，对不对？那么你写，因为三角形 c、 d、 e 的 周长 为谁加谁啊？ c、 d 加 d， e 加谁 e， c， 然后它就等于 c， d 加 e， d 加谁呀？加 a， e 就等于 cd 加 ad 等于几啊？等于八，那这地方就写所以就行了啊。这是第二小题，那么第三小题 写到这吧，他说如图，在梯形 a、 b， c、 d 中， a， b， c、 d 中啊，看图，然后呢？说 ad 啊，能平行于 bc， 那梯形是不是有只有一组对边平行，所以上下两个平行的啊？然后角 c 呢？是九十度，说明是等腰直的，叫直角梯形啊。说 a、 d 等于三， ab 等于四，然后 b、 c 这它等于五， 然后 e 在 bc 上说 ab 又平行于 d、 e， 哎，你看这不就叫两组对边分别平行， 那我们平行四边形的定义不就说了吗？两组对边分别平行的四边形是什么啊？不对，两组对边分别平行的四边形是什么形？ 是平行四边形，那你看，不就正出它是平行四边形了，那这个四就上这来了，那这个三就上这来了，那这就是二，对不对？然后让我们求的是 a、 d 和 b、 c 之间的距离，那 a、 d 之间的距离不就是垂线段的长吗？那也就是求 cd 的 长 是吧？那你看这勾股定律不就求了吗？啊，来，第三题写到这里啊，解， 首先由这个两组对边分别平行啊，来求平行四边形 a、 d 平行于 b、 c， 然后 a、 b 平行于谁？ d、 e， 所以呢，四边形 a、 b、 e、 d 是 平行四边形， 然后我们就会得到 a 呃， b， e 等于 a， d 等于三， d， e 等于 ab 等于四啊，这叫对边 相等，对吧？对边相等。然后呢？你写，所以 e， c 就 会等于 b， c 减 b， e 就 等于五，减三等于几等于二。然后在 r t 三角形 e， d， c 中 角 c 等于九十度。所以 d， c 等于根号下四方减二方等于 二倍，根号三啊。这就是第三题。

接下来我们更进第十一样啊，我要说等腰三角形，然后第一层要选什么性质，然后第二层要求什么？它的一个判定啊，然后在这个之外，我们还需要选第三个点是什么？我要说等边三角形啊， 特有的性质等边三角形，它是特殊的等腰啊。 我们来看定力的部分，我说等腰项形两底角相等，这什么意思？比如说如果这个项形是等腰项形，一定会有什么两底角怎么样相等啊？ 或者说减数为什么等边对等角，这是什么意思？也就是说一个项形中，如果这两个边相等，则这两个边对的角，这两个角什么关系？相等啊？这个边注意， 我说这个边对，也是这个角啊，我说等边对等角，那好，我们看一下证明的部分。怎么去证啊？ 那你一般考虑什么？我说这两角要正相等，怎么考虑？哎，肯定是全等了，对吧？所以我们要把七下可以复习一下，如果说我们七下这第四章学的不太好的情况下，你先去复习一下，复习完我们再学这一章啊。 我需要考虑什么？全等啊，那你说全等需要把这个角放到什么三角形中？那我说如果没有 a、 d 这一条线，我说这两个角在两个三角形中吗？不在啊，所以我需要这个 a、 d， 那 a、 d 做的是什么？ 好，我们是三种考虑。第一种情况，我们说是中线，那我说中线可不可以？好，我们说写啊，我们说如果 a、 d 是 中线，那可以得到什么？好，我们写一下啊，简单写一下，看一下条件。我们说 a、 d 是 三角形， abc 的 中线， 那可以得到什么？ a， 这两边相等吗？相等啊，然后已知条件是不是 a、 b 等于什么？ a、 c 啊？这个边属于什么边？公共边。所以这两个象形全等吗？全等啊，条件够吗？够啊，好，我们直接写正 做 a、 d， 或者说直接做 a、 d 是 什么？直接写做 bc 边上的什么中线啊？做三角形 a、 b、 c 中 bc 边上的什么中线啊？ 则中线。所以呢，我说中线是平分的，所以我说这两条线段怎么样相等啊，则 b、 d 等于什么？ d、 c， 然后 a、 d 等于 a、 d a 需要证吗？不需要啊，那我说 a、 b 等于 a、 c 是 已知，那所以三个条件够了吗？够了啊，那我们直接写在三条形 a、 b、 d 中 和三角形，是吗？ a、 d、 c 中那三个条件。第一个条件，我是不是刚才说过 b、 d 等于什么 dc， 然后第二个条件呢？是不是 ab 等于什么 ac， 然后这个是吗？已知。 然后第三个条件是不是 a、 d 等于什么？ a、 d？ 这是什么公共边啊？ 所以呢，我说三角形怎么样？全等？半全等啊，所以三角形 a、 b、 d， 然后全等于三角形。什么 a、 c、 d 啊？全等判定是哪一种？是不是三条边三组边对应相等，所以是 s、 s s 啊， 那我说边对应相等吗？相等，我说全等之后会得到什么？边的相等和角的相等。那所以呢，我说角 b 等于角 c 啊，那我说这个考虑什么？是不是中线啊？那我说还有什么是不是角平分线？好，我们看一下角平分线可不可以啊？ 我们只需要看条件，然后过程的话你们自己看一下啊。第二种是不是考虑角平分线？那这个角平分线是哪个角的角平分线，注意是角 b、 a、 c 的 角平分线啊。角，角 b、 a、 c 的 角平分线， 那是什么？ a、 d 啊？那好，则有什么？我说角平分线干什么？我说角平分线性质是什么？平分角啊，所以我说这两个角什么关系相等啊，则是不是角 b、 a、 d 等于什么？是不是等于角 d、 a、 c 啊？这是什么条件？第一个，然后第二个条件一定会有什么 a、 b 等于什么？ a、 c， 然后第三个条件是什么？我说 a、 d 等于什么？ a、 d 是 不是属于公共边？好，我们来标记一下啊。 角相等，然后这个边什么共用？然后呢？这两边怎么样相等？我说三角形全等吗？这两个全等啊，那判定方法是什么？这是 s、 a、 s， 所以 判定方法什么 s， a、 s 怎么样？全等，那全等之后是不是就是角 b 等于什么角 c 啊？ 然后过程的话，你们自行完善一下啊，那我就不再写了，我说中线角平分线，还有什么线？高线啊？好，我来看一下高线的部分。 那如果说 a、 d 是 高线，那我们可以得到什么？好来看一下啊。我说 a、 d 是 高线，所以这个是不是垂直？那这个也是吗？垂直的话，这两个角都是多少度？九十度，好，相等吧。相等啊，我们看一下条件，第一个条件 我是不是可以得到什么？是不是这个边属于什么公共边？好，我写一下 a、 d 等于什么？ a、 d， 然后呢？我是不是也是直角三角 a、 d、 c 等于什么？ 是不是角 a、 d、 b 啊？等于多少度？九十度啊？那第三个条件是不是我们会有这个边和这个边怎么样相等啊？也就 ab 等于什么 a、 c 啊？那我说这个三个条件到底能不能证明全等啊？按照我说三角形的判定，那明显是不可以，为什么我说两边一角，这个角必须是加角， 但是呢，我说这是什么造型？哎，直角三角形啊，你注意此时的三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 d、 c 均为什么？ r、 t 三角形我们之前学过，我说 r、 t 三角形的判定是特有的，是什么？是 h l， 那 h 指的是什么？直角边， 而 l 指的是什么？斜边？那我说此时条件够了吗？够了啊，我说这是什么直角边对应相等， 然后这个对应是什么？一组斜边相等啊，所以可以作为全等三角形的一个判定，判定方法是什么？ h、 l、 r， 然后过程的话你们自行写一下就行。 那这个部分我就讲解完了，然后我们看一下课本上的啊，我说如图所示，他取的是终点，那就说明他做的是什么？中线啊？中线，那我说中线的话，我们是可以得到什么，是不是这两边什么关系相等啊？那相等，也就是说 b、 d 等于什么 d、 c 啊？这个属于什么公共边？ 这个是中线可以得到的，这个是什么已知条件？所以呢，我是不是可以得到全等判定方法？ s s s r， 那 我说全等的话，对应边相等，对应角相等，那角 b 和角 c 属于什么？对应角，所以相等啊，那这个部分我就讲解到，这 也就是说在上述的过程中，不管你利用是中线还是高线，还是角平分线，我们都可以得到什么这两个三角形的全等啊，那我们来看一下，比如说我们做的是中线，对吧？那我说这两个三角形什么关系？全等，那所以这两个角相等吗？相等，所以 a、 d 此时什么？是不是角平分线，对吧？ 那好，我们再看，我说这两个象形全等，所以这两个角什么关系？相等吗？相等啊，我说这两个角相等，且加起来是多少？一百八，所以我说这两个角各是多少度？九十度。也说此时你可以表明 a、 d 是 什么？是高线啊？ 也说我们得到什么 a， 我 们说中线角平分线，高线什么？是不是变成一条线，所以我们说称为什么三线合一啊？ 嗯，说这个三线合一指的是什么？底边上的中线，然后底边上的高线和顶角的角平分线。啊，好，往下面看，是什么？顶角的角平分线，底边上的什么中线和底边上的高线什么重合，我们称为什么减数三线合一。啊， 那好，我在看等边三角形，我说等边三角形是等腰吗？是啊，我说等边三角形，它是三条边相等，那我说它包含两条边相等，对吧？所以它是等腰，但是是特殊的等腰，跟我们一般的等腰有什么特点？有什么区别？ 也就是说等腰三角形一定有了性质，那等边有没有？有啊，那我们再看，我说等边三角形，它是特殊的等腰三角形，我说等腰三角形，它是什么性质？是什么？我说等边对等角，对吧？ 对等角，只是我说第一条性质，对吧？然后第二条性质是什么？三线合一的问题。啊，那我们来看一下等边的性质是什么啊？我们记加 ab、 c， 然后呢？我们说有等边造型，我说 ab 是 不是等于 ac， 那 可以得到什么？我是不是这两个角怎么样相等？也就是说可以推出来角 b 等于什么角 c， 然后呢，我再看这两个边是不是也是相等的？我说 ac 等于什么？ bc 可以 推出来 ac 对 的角是这个，然后 bc 对 的角是这个，也就是说可以推出来什么角 a 等于什么角 b。 那 么说这两个合在一起可以得到什么？是不是角 a 等于什么角 b 等于什么角 c， 也就什么意思。哎，我们说等边造型，三个内角都怎么样相等，或者说角 a 加角 b， 然后加角 c 等于多少度？是不是等于一百八十度？我们说三个角相等吗？相等。所以呢，我们说三倍的角 a， 是不是可以把角 b 替换成什么角 a， 然后角三替换成什么角 a 是 不是等于多少？一百八十度啊？那所以角 a 是 多少度？六十度。我们说角 a、 角 b、 角 c 怎么样相等？所以我们进一步可以得到角 a 等于什么角 b， 然后等于什么角 c 等于多少度？六十度。 这什么意思？也就说等边三角形三个内角相等，且三个角都是多少度？六十度啊，我说作为一个造型中，如果说这个是六十度，然后这个是六十度，那这个一定是六十度。也就是说，哎，我说一个三角形中如果有两个内角啊，我说一个造型中 有两个内角是多少？六十，有两个内角是六十度，那则这个象形一定什么等边啊？ 这是判断等边象形的一条判定啊。我们先写到这，后面再碰到，我们在具体中处理一下啊， 现在我们只需要明确等腰三角形，有的等边一定有，那我说等边对应第一条性质，我说等边对等角可以得到什么？三个角相等，然后三个内角都是多少度？六十度啊，那我们再看三线合一在等边三角形中去怎么用的啊？ 我说等边造型，他是什么特殊的等角造型？我说作为这一条边，上面有没有底？边上中线有底，边上高线和顶角的角平分线有没有三线合一？有，那这一条边上有没有三线合一？有啊，所以呢，我说这是第一条，那第二条呢？是等边造型的三线合一。问题， 三线合一指的是什么？每一条边上都有啊，我说定义什么底边中线，底边高线和顶角的角平分线啊，每一条边上都有，看到了没？那好，那这里面我们再补充一个点啊，我说等边三角形的一个面积计算 面积算。 好，我们来看一下啊， 这是一个什么等边造型？我说边长，知道吗？不知道。好，我们把它记成 a， 然后我们看一下它面积怎么来算啊？这是一个结论，后面填空和选择碰到可以直接用啊。我说它是一个什么等边造型，我说这是 a， 然后这个是 a， 我 们做什么中线啊， 也说三线合一，这个边什么二分之一 a， 这个是 a， 我 说这个边可以算吗？可以啊，用什么勾股定律啊？好，我们来算一下。 所以我说 a、 d 等于什么？是不是等于根号下的什么 ab 的 平方减去什么 b、 d 的 平方啊？所以等于根号下的什么 a 方减去什么 二分之一 a， 然后括号的什么平方整理，我说这是什么四分之一 a 方，好，这是四分之一 a 方，然后 a 方减去四分之一 a 方，所以是什么四分之三倍的什么 a 方，然后开根号啊，所以等于根号下四分之三倍的什么 a 方，然后 a 方可以出来 变成什么 a？ 那 我说这个可以怎么去做啊？我说根号下三比四等于什么根号三比根号四，这是几二，所以是什么二分之根号三啊，所以我说结果什么二分之根三倍的什么 a 啊？ 要说 a、 d 等于什么二分之根三倍的 a， 那 说我们说象形 abc 怎么算？是不是底乘高除以二，那底是谁？以 bc 为底高是谁？ a、 d 啊，所以等于什么 二分之一的 bc， 然后乘以什么 a、 d？ 那 bc 是 什么？是不是 a， 然后乘以 a、 d 是 什么？是不是二分之根号三倍的 a， 所以 整理一下这两一乘以什么四分之根号三啊， 那 a 乘 a 什么 a 方啊？结论就出来了，也就是说，当你一个等边造型边知道的话，我说面积可不可以算？可以啊，利用这个公式就可以算，你也可以按照这个部分我们就讲解完了， 接下来我们看一下随堂练习的部分啊。我说这样写， a、 b、 c 中，我说 ab 等于什么 a、 c、 a、 ad。 什么线叫平分线啊？我说它有三线合一，所以呢，我们这两条线合起来可以得到什么？它也是中线啊， 那既然是中线，所以这两个边什么关系相等啊？ bc 是 几八，所以一半是几四啊？那接下来我写一下过程见 啊，直接写，因为 ab 等于什么 a、 c， 然后 ad 是 什么三角形 abc 的 什么角？平分线， 所以我们说 b、 d 等于什么？ dc 等于什么二分之一的什么 bc， 然后又因为什么 bc 等于什么等于二分之一？好，我们写清楚啊， cd 等于什么二分之一的 bc 等于多少？等于二分之一？乘积乘八等于几四啊？那这个题我们就讲解到这，接下来我们来看一下第二题啊。如图所示，我们说三角形 a、 b、 c 中，我们说 d、 e 什么三等分，这什么意思？ 三等分什么意思？哎，这三边什么关系相等啊？然后接下来我说 a、 d、 e 什么造型，哎，等边，哎，所以这三个边怎么样相等啊？所以也就是说我们标的这个有标记的线段，怎么样都相等啊。那我说 这两个边相等，所以这个造型什么造型？等腰，所以这两角怎么样相等？等边对等角啊，这个也是一样等边对什么等角？也就这两角什么关系相等啊。好，来看一下， 求什么 bc， 那 可不可以求我说，哎，你看下这个题中有没有给角度，没有，实际给了吗？给了，在它啊，我们说了等边向量，它对应三角边相等，三个角相等是多少度？六十度啊，所以我说这个角是多少六十， 这两个边怎么样相等，所以这两个角怎么样相等，所以我说这两个角各是多少三十度啊，那同理，我说这个角也是多少三十度，然后这个角也是三十度。我说大三角形 abc 中，我说这个角三十，这个角三十，这个角可以算吗？可以啊，好，接下来我们来写一下过程。 我们直接用什么三等分啊？我们说因为 d、 e 是 bc 的 三等分点， 所以呢，我们可以得到什么？是不是 b、 d 等于什么？ d， e， 然后等于什么？ d、 c 啊？然后接下来是不是等边三角形？我说因为三角形 a、 d、 e 是 什么？等边三角形， 所以呢，我们是不是 a、 d 等于什么？ d， e 然后等于什么？ a、 e， 然后呢？且角度是多少？六十啊， 然后角 a、 d、 e 等于什么？ a、 e、 d 等于多少？是不是等于六十度啊？然后接下来我是不是用等腰三角形了？也就是说，所以呢，我是不是这个两边怎么样相等啊？所以呢，我说 a、 d 等于什么？ b、 d， 然后 a、 e 等于什么？ e， c 啊，那我说等边对等角几，我们可以得到哪两个角相等？ a， 这两个角怎么样相等啊？好，我们写一下，也就是说角 b 等于什么？角 b， a、 d， 然后呢，角 c 等于什么角 e， a、 c 啊？然后接下来我们是不是要用六十度？要用了，也就是说用什么外角啊？又因为 角 a、 d、 e 等于什么？是不是等于角 b， 然后加上一个什么角 b， a、 d， 然后呢？角 a、 e、 d 啊？用外角 等于什么？是不是角 c 加上一个角 e， a、 c 啊？所以我们说角 a、 d、 e 等于什么？是不是等于二倍的角 b 等于多少度？是不是六十度？然后后面也是一样，所以是角 a、 d 等于什么？是不是等于二倍的角 c 啊？等于多少度？六十度。 解，我是不是角 b 等于什么？三十度，然后角 c 呢？是不是也等于三十度？然后在三角形 a、 b、 c 中，我说角 b 和角 c， 知道吗？知道啊，所以呢，我是不是角 a 可以 算吗？可以啊， 我说角 b 等于多少？三十，然后角 c 等于多少三十，所以呢？我说角谁？ b， a， c 等于多少？一百八十度，然后减去一个角 b， 然后减去一个什么？角 c 等于多少？一百八十度。 减三十度，然后减三十度，所以等于多少度？是不是一百二十度啊？那这个题我就讲解到这。

你会做吗？八年级数学 下册的小册第三页纸，我们看到第一题，下列说法正确的是第一个，多边形的边数每增加一，它的内角和则增加一百八十度，这个是正确的啊。三角形内角和一百八十度，四边形的内角和呢，是三百六十度，五边形的内角五百四十度，对吧？所以这个 现在 a， 我 们看到多边形的边数每增加一内角和增加三百六十度，这个是错误的啊，它是正确的。我们，呃，每个角都相等的多边形是正多边形，每个角都相等的，我们来看到它的反例就是矩形， 哎，也就是小七所说长方形，你看长方形的四个角都是九十度，他不是正多边形，因为他们的边不一定相等，那么每条边都相等的多边形是正多边形的，这个也是错误的啊，那么他的反例就是什么呢？菱形， 菱形的每条边都相等，但是呢，它的每个角都不一定相等，所以 b、 c、 d 啊，都是错误的。我们看到第二题，这个角是直角，所以这两个加起来都是九十度， 那么这个角一加加二呢？这是一个平角一百八，这个平角一百八，对吧？三百六十度减九十度等于二百七十度啊，角一加加二等于二百七十度。当然呢，你也可以有其他的计算方法。 好，我们来第三题，六平行 a、 b、 c、 d、 e、 f 是 正六平行，正六平行就说明这个角是一百二十度，正六平行的每个内角是一百二十度。直线 a， 直线 b 啊，如图所示，记到 a 平行于 b， 如果角一等于五十四度， 那么角一等于五十四度，那么这个角呢，那就应该这两个角的和等于这个角。我们在以前学过啊，那么这个角就等于六十六度，那么这样角二呢，那就等于一百一十四度 啊，当然呢，你也可以，你也可以这样来做啊，哎，怎么做呢？我们过点，第一做平行线， 对吧？这个角以五十四度，所以这个角就是五十四度，然后这个角就得一百二十度减五十四度等于六十六度，然后这个角就得一百八十度减去六十六度。两只起名同名的就互补啊，但是每个人的做法是不一样的，只要结果正确就可以了。我们看到第四题， 在五边形 a， b， c， d， e 中， a p 平分，角 e， a， b， a p 平行于 d， e， 呃，现在角 c 呢，是等于一百度，角 d 等于七十五度，角 e 等于一百三十五度， 这里有个平分啊，那我们看到这里两直线平行的时候呢，那这个角也是七十五度， 对吧？那现在我们这里，哎，我们这里刚才两这边这个地方呢，那就是四十五度了，有两这一名这个同班的角互补，但这两个角下呢，这也是四十五度。好，于是我们就看这个角 b， 那就等于这个四面形内角和三百六十度。三百六十度减去这个一百度， 再减去这七十五度，减去这四十五度。三百六十度减一百度就两百六十度，两百六十度，这个七十一是一百二十度，两百六十度减去一百二十度，就等于一百四十度啊，所以角 b 等于一百四十度。 好，我们看到第五题，小东我把一个多边内角和啊求出了，是一百一十度，小兰说多边内角和不可能是一百一十度啊，你一定是不是多加了一个锐角呢？ 好，那我们说这个八边形的内角和是一千零八十度啊，八边形的内角和。 呃，七边形的那角和是九百度，对吧？六边形的那角七、八二十度，这些最好都要背下来啊。那么这样的一千零八十度，那肯定是多加了个二十度的角啊，你多加六角的度数是二十度，而你所求的本应该是八边形的那角和啊， 如果这个多边形是正多边，正八边形的话，正八边形的每个外角呢，是四十五度，所以它的每个内角是一百三十五度。当然了，你也可以把它的嗯内角和给它求出来啊。对，内角和 n 减二乘一百八十度。 呃，这个有时间我们就不多说了啊，这个很简单啊。啊，这个每个内角八边形的正八边，每个内角是一百三十五度啊，他的每个外角是四十五度，你可以从外角往内角来找，当然你也可以直接去找内角。 小灯。将一个正六平行，如果正八平行，而如图所示，放置 a、 b、 c、 d 在 同一条直线上，那么我们说正六平行，这个是一百二十度的角，那么这个角是六十度，那么正八平行，这个是一百三十五度。对，我刚才说要背下来，这是四十五度 啊，六十度加四十五度是一百零五度，因此这个角呢，这就是七十五度，这个角叫做 b、 f、 c 就是 七十五度，当然这个角也是一百二十度，这个角呢，也是一百三十五度啊，比较小。 嗯，大家没看清楚，所以角 e、 f、 g、 e 就 应该等于整个三百六十度，减去一百二十度 啊，减去一百三十五度，再减去这个七十五度，三百二十减一百二十九，两百四十。 嗯，这个一百三十五加七是二百一十，两百四十减两百一十，就是三十度。所以角 e、 f、 d 呢？是等三十度。记得点赞关注哦！

接下来我们看一下第四章的部分，我们说因式分解，我们之前学什么？是不是整式的乘除啊？整式的乘法。 那好，我们先看一下什么叫整式的乘法，那我们是不是有单项式和什么单项式去乘，然后单和什么多， 然后还有什么是不是多乘以多，对吧？好，我来举个例子，比如说 a 乘以什么 b 加 c 等于什么？是不是 a b 加上一个什么 a c， 我 们说从左到右是什么？是不是整式的乘法？ 然后呢？我们说从右到左，就是我们这一章的什么因式分解啊？ 那我说因式分解到底是什么意思？就是我说把这种式子变成什么，哎，这种相乘的样子啊，正式相乘的样子。那接下来我们看一下第一小节，我说因式分解，那什么是因式分解啊？ 那我说因式分解是什么？就是把一个多项式化成什么几个整式相乘的形式啊？然后接下来往往往回看啊，我说这个能背一百整数吗？那我说做的时候怎么做啊？我说这两个部分都有什么九十九，我们可以怎么样？提个九十九怎么样出来啊？ 那是不是提个九十九，那里面剩什么？是不是这个剩什么？九十九的平方，然后这个剩什么？是不是一啊？然后接下来我再整理啊，我说这什么，哎，我说九十九的平方减一，这什么是不是相当于九十九的平方减一的平方啊？这是什么平方差公式 可以拆成什么？我说平方差公式就是 a 加 b， 然后括号的什么 a 减 b 等于什么 a 方减 b 方啊。我们说从左到右是什么整式的乘法？ 那么这一张从后到前是什么因式分解啊？一定，我说数至的公式一定要熟记一下啊，只不过这一张是反过来用。我们说平方相减可以变成什么，是不是九十九，怎么样加一，然后乘以什么？九十九怎么样减一啊？数字中间的乘号能什么不行啊， 然后我们再写九十九乘，括号里面什么是不是九十九的平方？减一的平方。好，我在这里。所以是九十九乘多少， 这里面是什么？是不是九十九加一？好，我中括号，然后乘以什么，是不是九十九，怎么样减一啊？ 然后这是多少？九十九不变，然后这个部分是多少，是不是一百，然后乘以多少，这是什么？九十八啊， 所以我拆成这个样子，那我发现可以被一百整除吗？可以啊，为什么？因为你拆解最终的里面有没有一百？有啊，所以可以被整除。那我说写到这一行的时候，我说这个括号可以不用带了啊， 那我说这个部分就讲解到这，我说这里面除过被一百整除，还可以被哪些正整数整除呢？是不是九十八，九十九啊？ 接下来我们看一下交流的部分，我说它可以化成几个整数乘积的形式吗？第一步先提啊，也就说我们发现第一步先提提的是什么公共有的啊？ 好，往下提。是不是 a 三次减 a， 我 们说都有什么 a， 我 们提个 a， 那 里面剩什么？我们说 a 三次是三个 a， 提一个剩什么 a 方啊，然后这个提 a 剩什么 e 啊？然后我们再看有没有公式 a， 这是什么？是不是 a 方减一是什么？ a 方减一的平方是什么？平方差公式啊， 那我说它等于什么？是不是两个数的和乘以什么两个数的差啊？所以接下来我们再把后面这进行什么变形啊？ 这个部分是什么？是不是 a 加一括号的什么 a 减一啊？那我说这个部分就结束了，接下来我们看一下观察思考的部分啊。我说这个部分是什么？这个什么面积是什么？是不是 m a， 然后这个面积是 m c， 然后我说总共的部分加起来什么？是不是就是总的面积啊？那我说这个部分是不是拼在一起，这是什么？是不是长？然后这是什么宽，面积是什么？是不是长乘宽啊？ 所以是 a 加 b， 然后加 c 乘以什么 m？ 我 说左右两边相等吗？相等啊，所以画等号，我们得到什么？是不是 m a， 然后加 b 加 mc 等于什么？是不是这里面从左到右相当于什么？提个 m 出来， 那我说从左到右就什么因式分解啊，也说你可以理解为我说因式分解到是什么，就是我说整式乘法的逆运算啊。那我来看一下第二个，我说这个什么 x 方，然后这个什么 x， 这是 x 啊，所以是加二 x， 然后这什么 e 啊， 那我说这个部分是什么 x 加一，这是 x 加一，所以总的面积是什么？ x 加一括号的平方啊，那这是什么？就是我说公式啊，就是我说的完全平方式啊， 我们说左边是不是多项式，右边是什么整式相乘的样子，所以是什么因式分解啊？ 那接下来我们看一下下面部分啊，我们刚才已经解释过了，我们说什么叫因式分解，就是把一个多项式画成什么 几个，注意是什么整式相乘的样子啊。我们看一下操作思考的部分，我们计算好乘进去三 x 方，然后乘进去减三 x， 然后这个算的时候是不是也乘进去，所以是 m a 乘进去是什么加 m b 乘进去是什么减 m 啊？ 那我说这个什么是不是平方差公式，如果不清楚的情况下，我算一下这什么是不是 m 方，这个什么是不是减四 m， 然后这两个去乘什么，是不是加四 m， 然后这两个去乘什么减十六啊？我整理一下这两个怎么样约掉，所以是 m 方，怎么样减十六啊？ 那我们真正在写的时候只写它这个是什么草稿纸上去写啊。那我们看一下第四个，我们说它是一个什么 y 平方是是不是展开，所以是 y 方减去一个什么六 y， 然后加几加九啊？那如果不清楚，我们算一下就行。 我们说它的平方代表是什么 y 减三，乘以什么 y 减三啊？注意这个是什么 y 方，第二项减三 y 啊， 然后第三项减三 y， 然后接下来再乘负负得正啊，所以是加九整理，所以是 y 方减去六 y， 怎么样加九啊？我说如果公式记住了，哎，可以直接用啊，如果没记住，你去算一下都没有任何问题啊。我说根据上面进行因式分解，我们说从左到又是什么整式的乘法， 我们说从右到左是什么因式分解啊？ 接下来我们看一下第二个，我说一是分界，那好，我说第一步先提啊，永远就是一提 提的什么公公，提完之后看有没有公式啊。那我说先提公所有的部分，什么三 x， 那 我说他提三 x 是 什么 x， 然后这个提三 x 乘以，能不能说没有？不行啊，你这个一必须得占位啊， 然后这个部分共共有的是什么 m， 所以 t m 剩什么？第一个剩什么 a， 第二个剩什么 b， 第三个剩什么 一啊？我说 m 提出去剩一啊，然后加减，然后接下来我们看第三个，我说这是什么？是不是平方差公式，所以是 m 加四括号的什么 m 减四，怎么样相乘，这是一个什么完全平方式啊？ 所以我直接写是什么？这个是不是对应就是我们说了 y 减三，然后乘以什么 y 减三啊？有时候我们发现什么？哎，我说从左到右就是我们说的一，然后从右到左就是我们说的第二题啊。 那我说因式分解和整式的乘法有什么关系？我们可以理解为互为什么逆运算啊？ 那接下来我们看一下随堂练习的部分，我们看一下第一个啊，我们说它可以进行临时分解吗？好，我们说它是一个什么平方差公式，为什么？好？我写到这， 它是谁的平方？三的平方，它是谁的平方？是不是减去五 x 括号的平方啊？我说平方相减等于什么量数的和，然后乘以什么量数的差啊？所以我说选谁选他啊？ 然后接下来我们看一下这个部分是什么完全平方式啊，所以是谁是他？然后接下来这个部分我说有没有共共有的部分？有啊，是谁 y， 所以 我们先提出来这个是什么 x， 这个是什么 y 啊？中间减号不动，所以是他，我说连接起来就可以了， 那这个第一题我就讲解完了，然后接下来我们看一下第二题，我说从左到右的变形，哪些是因式分解？好，我说因式分解的核心是什么？从左到右是什么？变成乘积的样子啊？那我说第一个是不是因式分解？不是啊，为什么他不是乘积相乘的这样子啊， 那我看一下第二个是不是因式分解？是啊，是变成什么相乘的样子啊，那我来看一下。三， 我说这是什么多项式变成了什么相乘的形式吗？不啊，这还有个加号的，所以不是啊，那我们来看一下。四，我说这个部分从左到右是引式分解吗？是啊，变成了什么乘积的形式啊，那这个部分我就讲解完了， 那我小节一下，那我说什么叫因式分解？就是我说把一个多项式变成什么整式相乘， 就是不能带余数的那种样子啊，那我说具体做法呢？我现在已经掌握了，是什么？第一个，你先提啊，第一步，先提提的什么公公有的部分， 然后接下来什么利用公式啊？第二个，我说第二个利用什么公式，那我说这些公式需要数值啊，一个什么完全平方式。好，我先补充 是什么 a 方加减二， a b， 然后加上一个什么 b 方，等于什么 a 加减 b， 括号的平方啊，这是完全平方式。其次，什么平方差公式啊， 是什么 a 方减 b 方，是什么 a 加 b， 然后括号的什么 a 减 b 啊，那这个部分忘记加减，它是。

为什么别人家的孩子就成绩好？因为别人在想办法，找时间，找地方，找人学习好。我们看到八年级数学下册的第课本五十三页之上呢，我们看第二十二题， 如图，在等边三角 a、 b、 c 的 三边上分别取 d、 e、 f， 原来是等边三角 c 就是 a， b 等于 b， c 等于 a、 c。 现在 a、 d 等于 b， e 等于 c、 f， 那 么 a、 b 减去 a、 d， b、 c 减去 b、 e， 对 吧？ c、 a 减去 c、 f 留下来， b、 d 就 等于 c、 e 就 等于这个 a、 f。 并且角 a 角、 b 角 c 都是六十度，边角边角边角边角边角边角边三个三角 三角三角边三角，所以这个三角形 d、 e、 f 很 显然就是等边三角形啊。理由呢？都是很简单的，书本上大多都是简单的题目啊， 先从简单的做起啊。第二十三题，一块猜对的 b、 d 等于三， c、 d 等于四。呃，这样我们把这个 b、 c 给它连起来的话，我们就知道三、四、五，这个等于五， 然后呢， a、 b 等于一十二， a、 c 等于三。根据勾的逆定义，二十五加一百四十四等于一百六十九，所以我们得到这里是直角，若是这个猜对的面积，那等于二分之一乘以五乘以一十二，减去二分之一乘以三乘以四， 对吧？呃，又分六、五、六、三十，呃，三、四，一十二的一半就是六，所以等于二十四平方米，那它的面积。我们看到第二十四题，第二十四题，这等于幺三题的底边和腰长，分别是底边和腰长，底边是六，腰长是， 嗯，多少呢？是五是吧？好，我们看到这个腰长是五，底边长是六。很显然，我们可以做底边上的高，或者底边上的中线都行啊，则这是三， 对吧？这个那就是四，所以这个面积那就是二分之一，这多少？这个就是六，底是六，高二十四，四六，二十四的一半就等于一十二啊，太简单了。哎，这个二十五题就不说了，二十六题以这一条线呢，所以用尺规做， 嗯，等腰直角三角形，你比如现在我们怎么做呢？比如我在这来做一个啊，先做一条射线，然后呢，这条射线上我们来，呃，截取这个长的等于 c 啊，这个长的等于 c， 对 吧？啊，从这里到这里等于 c， 好， 然后呢，我们以这个这里的点和这个两个端的为心，以大于二分之一两点的长度为半径作弧， 两弧加入两个点。呃，过这两个点呢，我们做一条直线啊，这里点做一条直线，那就是做这个中垂线的意思。 那么现在等下这角三角形，我们现在来确定他的这个一半，刚才做的是中垂线哈，然后我们来确定一下这样的一个长度，这个长度就等于他的一半哈，把这个点呢，跟刚才这端点连起来。 好了，这里就是做等压直角三零的方法，当然大家可以加上字母 abc 三角形， abc 即为所求啊。当然由于时间呢，我没有完全表示出来啊，从这里到这里是 c， 从这里到这是二分之 c， 哎，这个你可以用做法写一遍啊。由于时间呢，我就没有完全的表述清楚。 第二十七题，两边分别相等，且其中一组等边的对角相等的两个三角呢，是不一定相等的，但是现在这里对角说的是对角，那我们就说是相等的。好，这里是相等的啊，为什么是相等的呢？嗯，我们拿画两个画图形跟大家说明一遍。好，你比如说这里是一个等， 这里是一个三角形。好，我们来看一下，我们这里再画一个三角形啊，再画一个三角形。好，我们 好，比如说现在我们就是这两个三角形吧。啊，这两个三角形，我们说这一边对应相等，这一边对应相等，这个角对应相等， 对吧？你看这一边，两边一边，两边，两边对应项呢？接一边的所对的角，比如说这是钝角，那么这样的两个三角形，我们说他们就是全等三角形 啊，为什么全等三角形？我们看到这个 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇， a 一 撇， b 一 撇。刚才说两边接一边的对角对应项呢？那咱们怎么证明呢？哎，比如说我们来看到这里 a， 或者说这里的 a 一 撇做这个垂线啊，这个垂线呢，我们叫做 a d， 这里我们做这个垂线呢，叫做 a 一 撇， d 一 撇。好，我们看到这里有直角啊，呃，这里有直角，然后呢，这一个正角相等的话，那这边的锐角就相等，由于这边相等，所以我们可以得到三角形 a、 b、 d 全等于三角形， a 一 撇， b 一 撇， a、 b、 d。 哎，这个 b 在 这里啊，这应该是 c 一 撇啊， a 一 撇， b 一 撇， d 一 撇，那根据 a、 a、 s 两个三角形之后呢，那我们就有了这个 a、 a、 d， 哎呀，我们就有了这个 a、 d 啊，等于 a 一 撇， d 一 撇。好，然后我们又来看了，在 a、 d、 c 三角形 a、 d、 c， 对 吧？又前等于三角形 a 一 撇， d 一 撇， c 一 撇，为什么呢？啊？这一边等于这一边，这是直角，这是斜边，对应相等的。好，那就是加个 r t 吧， r t 三点 a、 d、 c 切到 r、 d， c， a 一 撇， d， d、 c 一 撇，对吧？那么然后我们就可以得到这个角等于这个角。 好，那么这一盒我们在第三次来证明，所以最后我们再来在三 a、 b、 c、 d 当中，对吧？这个角角边或者角角边都可以 啊，这要分三次来证明啊，这个有时间我就提这么多。我们看到最后第二十八题，如果 a、 b、 c 是 三的三边，先满足这个，关键是要确定这个三角形是怎么样三角形实际上我们只要把它给展开， a 的 平方加 b 的 平方，加 c 的 平方加二 ab 加二 b， c 加二 c， a， 对 吧？就等于三 a 的 平方加三 b 的 平方加三 c 的 平方。好，我们把这个都移到右边去，那么三 a 的 平方，减 a 的 平方就是二 a 的 平方，减二 a、 b， 对 吧？然后加上这个二 b 的 平方，减二 b， c 加上二 c 的 平方，减二 c， a 二 a、 c 也可以等于零。 好，现在我们看到这里，我们把这个 a 呀给它拆开，你看这里减二 a、 b， 然后这个 a 的 平方减二 a， b 加 b 的 平方，这里是减二 b， c， 你 看 b 的 平方，减二 b， c 加 c 的 平方，你看这里是减二 c， a， 这里就是 c 的 平方，减二 c， a 加 a 的 平方，你看我们写等于零。好，这里把它加起来。 不，两个 a 的 平方，两个 c 的 平方，两个 b 的 平方负二 a， b 负二 b， c 负二 c， a， 所以 我们就有了 a 减 b 的 平方，加上 b 减 c 的 平方，加上 c 减 a 的 平方等于零， 因为 a 减 b 的 平方是大于等于零， b 减 c 的 平方是大于等于零， c 减 a 的 平方是大于等于零，所以他们就只有 a 减 b 等于零， b 减 c 等于零， c 减 a 等于零， 所以 a 等于 b 等于 c， 对 吧？所以这个三角形呢，是正三角形，由于时间我有的没有写完啊，记得点赞关注哦！

接下来我们更新第七页啊，好，我们看一下七题，一点一的部分好看一下第一题啊，我说三个的比值知道吗？知道，那我说三个角度可以算吗？可以啊，因为我说的三角形的内角和是多少？一百八十度啊。好，我来算一下角 a， 那角 a 等于什么？是不是等于一百八十度，然后乘以什么？它的占比，那总共是几分？是不是四加三加二，然后呢？角 a 占了几分，是不是四分，所以分之几？四，所以等于一百八十度乘以多少？这是多少？是不是九分之几？四，所以等于多少？八十度啊， 那对应我算一下角 b， 那 角 b 等于什么？一百八十度乘以什么？四加三加二，他占了几分？是不是占了三份？乘，上面是三啊，所以是多少？六十度啊？然后接下来我们再算一下角 c 等于多少？一百八十度，然后乘以占几分？两份啊，下面什么四加三加二 等于多少？是等于四十度啊？那我说第一题就讲解到这，接下来我们来看一下第二题啊，我说三角形 abc 和三角形什么 a、 d、 c 中，我说首先平行。好，我们看一下 平行可以得到什么？我说这两角属于什么？内错角，怎么样相等啊？那我说它可以得到什么 角？ b， a、 c 等于什么角？ a、 c、 d 啊，那接下来我们再看角 b 等于什么？角？ d， 也就是这两个角什么关系相等啊？那我说 a、 c 属于什么？公共边，那我说这两三角形的关系是什么？全等啊。好，我把这一步写一下， 是不是我要用平行了？平行，我说这个条件直接用，然后这个 a、 c 边属于什么？公共边也是直接用，那这一步需要证明，所以我们把这个写在前面啊。我说因为 ab 平行于什么 cd， 所以 角 b、 a、 c 等于角 a、 c、 d 啊，好，我说条件够了吗？够了啊，我说在三角形什么 a、 b、 c 和三角形 c、 d、 a 中，大括号括起来角 bc， 这是条件一， 然后条件二是什么角 b 等于什么角 d， 然后条件三呢？是网绳公共边 ac 等于什么 ac。 那 所以呢？网绳三角形谁和谁全等 abc 啊，全等于三角形，我们注意 b 对 应什么 d， 然后 a 对 应什么 c 啊，所以是 c、 d， a 啊， 那全等之后由什么？是不是对应边相等啊？我说 ab 是 几三，那所以呢？我说对应边是什么？ ab 等于三，然后所以 cd 也是几三啊？我说由全等可以得到什么？所以 abcd 怎么样相等啊？那我说又因为 ab 等于几三，所以呢？我说 cd 等于几三啊，那这个题我就讲解到这， 接下来我们来看一下第三题啊，我说是什么外角？注意，外角有什么？我说等于不相邻的两个内角之合啊。好，我们来看一下这个图中我说不一定正确的是我说角 b 和 a、 c、 d。 好， 我们找一下角 b， 角 a、 c、 d a， 我 说角 b 大 于 a、 c、 d， 对 吗？不对啊，我说角 a、 c、 d， 角 a、 c、 d 是 三角形 abc 的 一个外角，所以我说外角一定大于与之不相邻的两个任意一个内角啊，所以我说角 a、 c、 d 是 大于角 b， 所以 我说第一个一定是错的啊， 是什么正确的结论？是吗？角 a、 c、 d 是 大于什么角 b 啊？好，我们来看一下第二个，我们说角 b 加角 a、 c、 b。 好， 我们看一下角 b 在 哪？角 b， 然后 a、 c、 b a、 c、 b。 好， 我们说它等于什么？是不是等于一百八十度？我们说三角形内角和一百八十度三角形 a、 b、 c 中那角 b 加上一个角 a、 c、 b， 然后加上一个什么角 a 是 不是等于多少？一百八十度，那么把它移到右边是不是就可以得到第二个？所以我说第二个是什么？对的啊， 好，我们来看一下第三个，我说角 b， 加角 a、 c、 b， 我 说角 b 加角 a、 c、 b 加上角 a 等于一百八，所以呢，它一定是小于一百八的，没有问题啊，那我来看一下。四，我说 f、 e、 c。 好， 我们找一下 f、 e、 c， f、 e、 c 是 这个角啊，然后和角 b 的 关系。首先我说这个是外角吗？我去找啊，三角形，这个三角形的外角是不是就这个角？所以我们可以得到什么？是不是他？我说角 f、 e、 c 是 大于什么？角 a 同样也大于什么，是不是这个角啊？我们把它标出来，等于说角 e、 f、 e、 c 是 大于什么角 a、 f、 e 啊，那同样，我们看一下它是不是外角，我们来看一下它是不是外角？是，是这个象形的什么外角，所以我想说这个角大于它也大于这个角啊。好，我来写一下 角 a、 f、 e 啊，是大于什么角 b， 那对应呢？我传递一下，我说 f、 e、 c 是 大于什么？ a f e a， f e 大 于什么角 b， 所以呢，我找 f、 e、 c 是 大于什么角 b 啊？那我说它也是没有问题的啊。 好，接下来我来看一下四啊，我说三角形 abc 中 d 什么上的一点，我说 d、 a、 c 等于角 b。 好， 我们找一下 d， a、 c、 d， a、 c 是 这个角，然后角 b 是 这个角，那好，我说要正什么？ 我要证 a、 d、 c 和 b， a、 c 怎么样相等啊？我说可以得到吗？好，我们来看一下。首先我说 a、 d、 c 等于什么？用外角 是这个角加上这个角啊。好，我来写一下等于什么？是不是角 b 加上一个角什么？ b， a、 d， 那 好，我说角 b 等于什么？ d， a、 c。 啊，所以呢？我说角 b 等于什么角 d， a、 c， 那 所以呢？我说 a、 d、 c 等于什么？ 是不是等于 d、 a、 c， 然后加上一个角 b， a、 d。 好， 我们来看一下这两个角之合是什么？ d， a、 c、 d， a、 c 是 不是这个角？然后 b、 a、 d 是 这个角加起来是什么？ b， a、 c 啊， 等于什么？ b， a、 c， 那 我说这个题就结束了啊。好，我们完善一下过程。正，这什么？有题的，或者直接写，因为也可以啊。 因为好，我直接写两个，因为一般不会连在一起啊，我直接写 u、 t 的， 然后这个是因为，所以好，没有问题啊，我们来看一下。第五题，我说 abc 中 a、 c、 b 是 多少？九十，我说垂直好，垂足让正什么？这个角和什么这个角什么样相等？好，我来记一下啊，我说一二， 那我说有题，我说 a、 c、 b 九十可以得到什么？我说正啊，我说正，因为 a、 c、 b 角 a、 c、 b 等于多少？九十，那可以得到什么？所以呢？角一加，角二是不是等于多少？九十？ 那好，我说 c、 d 是 垂直于 ab， 那 这个可以得到什么？好，我来用一下啊，我说 c、 d 垂直于什么？ ab， 那 垂直的话可以得到什么？这是直角，所以这两个角怎么样互余？也就是说直角在行中，两锐角互余啊。 所以呢，是不是角一加上一个角 a 等于多少？九十？那好，我们说这什么角一，然后这个也是什么角一，那所以呢，我们可以得到什么同角的什么与角相等啊？所以角二等于什么？角 a 啊？ 那我说角二等于角 a， 就是 我要的一个结论啊。这个题我就讲解到这，接下来我们看一下答案。我说 ab 和 cd 平行，我说跟角 a 挂钩是什么？我说平行，跟角 a 挂钩是什么？同排内角，对吧？好，我们直接写啊。正 因为 ab 平行于什么？ c、 d， 所以呢，我是不是角 a 加上一个什么角 c 等于什么？一百八十度？好，我来写一下啊，我说等于什么？一百八十度。那所以我，我说角 a 等于什么？ 角 a 是 不是等于什么？一百八十度，减去一个什么角 c？ 那 接下来我再看这两个角，我说 c、 e、 d。 好， 我来表一下 c、 e、 d 是 不是这个角，然后角 d 是 它。 我说在象形 c、 d、 e 中，那角和是多少？一百八，是不是一、二、三加起来，对吧？那我说这两个角之和等于什么？是不是也等于一百八十度减角 c、 r。 好， 我来写一下这一步，因为 角 c 加角 d， 然后加上一个角 c、 e、 d、 r 等于多少？一百八十度。所以呢，我说角 c、 d， 然后加上一个什么角 d 等于什么？一百八十度， 减去一个什么角 c， 这是一百八十度减角 c， 这个也是一百八十度减角 c。 相等吗？相等啊，所以呢，我们这两个条件合在一起，所以角 a 等于什么角 c、 d， 然后加上一个什么角 d 啊？那这个题我们就讲解到这， 接下来我们看一下七啊，我说象形 a、 b、 c 中，我说 b、 f 怎么样平分，所以我说角一等于角二， c、 f 也平分，所以呢，我说角三等于什么角四啊？我说角 a 是 多少？六十五度，我说求角 f， 怎么求？ 首先我们说利用什么三角形内角和那角 f 等于什么？是不是等于一百八十度？减去一个角二，减去一个什么？角四也等于什么？一百八十度，我们把减号放在括号外面，所以是角二加角四，也就是说我们需要算什么？是不是角二加角四？那我说角二加角四怎么算？ 那好，我说角二加角四知道吗？或者角二是多少知道吗？不知道，但是我说这两个角是合，能不能算？可以啊，那我说大角 abc， 然后加上一个角 a、 c、 b。 好， 我写一下角 abc， 然后加上一个角 a、 c、 b 等于什么？是不是等于？我说了橡皮内角和是多少？一百八，是不是这两个角之和可以算吗？可以，或者说可以表示吗？可以是什么？一百八十度，把这个角怎么样减掉，所以等于什么？一百八十度，减去一个什么角 a 啊？ 我说角二加角四，跟这两个角质合有关系没？好，我们来看一下，首先这两个角质合什么？是不是角一加角二，然后加角三，然后加角四，那我们需要得到的是什么？是不是角一和角二相等，角三和角四相等？ 那是不是可以写作二倍的角二加上一个二倍的角四等于什么？一百八十度，减去一个什么角 a， 那 我说要的是什么？角二加角四，那所以角二加角四呢？等于什么？是不是等于九十度减去一个二分之角 a， 那好，这个题我们就可以带进去，把这个部分给他带进去啊。所以我说角 a 等于什么？一百八十度，减去一个什么九十度，然后减二分之一角 a 啊，那我整理一下，所以是九十度，然后加二分之一，是吧？角 a 啊， 好，我说这是什么结论啊？注意，这是结论，也就是说他是角平分线交点的时候，我说结论是什么？是他的，是吧？二分之一倍，然后加九十度啊，这结论。好，我写一下这个过程啊， 这个结论需要记一下，填空和选择可以直接用啊，大体需要写一下过程啊。好，我来写一下，先用的是什么？我们可以到这写，我们先求的是这两个角正好，对吧？好，我直接写。 在三角形 a、 b、 c 中，角 a 等于多少？六十五， 所以我们说角 abc， 然后加上一个什么角 a、 c、 b 等于什么？一百八十度，减去一个什么六十五等于多少？是不是等于一百一十五度啊？然后接下来我是不是要角二和角四了？好，我说角平分线用了啊， 因为什么 b、 f 平分角 abc， 然后呢？ b、 f 也平分， c、 f 平分什么 a、 c、 b 啊？ 角 a、 c、 b， 所以 我们是不是角一等于什么？角二， 角三等于什么？角四？所以呢，我说角 abc， 然后加上一个角 a、 c、 b 等于什么？是不是等于角一加角二，然后加角三，然后加角四等于什么？二倍的角二加二倍的角四等于多少？ 是不是等于？我们直接可以写二倍的什么？角二加角四等于多少度？是不是一百一十五度啊？所以呢，我说可以得到什么角度知道吗？知道啊，可以选的啊， 所以我说角二加角四等于多少？它的一半是多少？我直接可以想啊，是五十几度，五十七点五度啊。那接下来我需要算什么？是不是？我说了需要算是什么？角 f。 好， 我说又因为 角 f 加上一个角二，然后加角四等于什么？一百八十度啊？所以呢，我说角 f 等于什么？一百八十度，然后减去角二加角四 等于什么？是不是一百八十度，然后减去一个五十七点五度啊？所以等于多少？一百二十二点五度啊？那这个题过程就是这样子，那我说真正填空题的时候 或选择，我只需要记住结论就可以了。我说当角平分线的时候得到是什么？我说结论是什么？角 f 等于什么？九十度加二分之角 a， 那 如果不是角平分线的焦点，而是垂直平分线的焦点的话，我们来看一下也是一个结论啊， 如果 f 是 垂直平分线的焦点，我们可以得到角 f。 怎么来表示啊？我来连接一下，我们把 a， f 连接 f 是 垂直平分线的焦点。 好，我们把它记成什么？角一，然后角二，角三，然后角四，角五和角六。 好，那我说垂直平分线上点到角，两边距离相等。这什么意思？也就是这三条线什么关系？相等吗？相等，那我们看这两条线相等可以得到什么？角一和角二相等，然后这两条线的相等可以得到什么？角五和角六，怎么样相等啊？好，我们是写有题的， 是不是可以得到？我们说角一等于什么角二，然后角五等于什么角六，然后角三等于什么角四啊？ 那好，我们看一下，也就是说什么意思？我们说角二加角五就什么，是不是角一加角六？好，我们来写一下。那我们现在角 f 怎么表示？首先角 f 是 不是等于一百八十度，减去一个什么角三，减去一个什么角四？那好，我们说角三和角四 可以表示吗？好，我们把放在括号里面啊，把减号放在外面，所以是角三加角四，也就是说我现在需要表示什么角三加角四， 那角三加角四怎么表示？好，我们说大的三角形 abc 一 百八，对吧？内角和一百八，我们说角三，角四怎么表示好？是不是等于一百八十度，然后减去一个角一，减去角六，减角二，然后减角五，对不对？我们说角一和角二什么关系相等，我们说角一和角二怎么样相等， 然后呢？角六和角五怎么样相等？那我说可以得到什么？是不是一百八十度？我们说角一和角二什么关系相等啊？ 所以合在一起减去二倍的角一，然后角五和角六怎么样相等啊？所以是减去二倍的什么角六？嗯，二提出来，所以是一百八十度，减去一个二倍的什么框里面，什么角一加角六，然后我说角一加角六，什么？是不是就是角 a， 所以 等于什么？一百八十度，减去一个什么二倍的角 a？ 好，那我说这个就结束了，那我说这个算的是谁？我说这个式子算半天算是谁？是角三加角四啊？那好，我说角 f 等于什么？是不是一百八十度减去一个什么角三，加角四， 所以等于什么？是不是把这个部分带进去啊？可以得到一百八十度，然后减去一个什么一百八十度减二倍的角 a。 那 我整理一下，所以是什么 减号变号，所以一百八减去一个一百八十度，然后加上一个什么二倍角 a， 所以 等于什么二倍的角 a 啊，也就是说结论是什么？也就是说当我们是角平分线交点的时候，我们说这个角是什么，他的什么，就是角 f 等于什么？角平分线交点的时候， 角 f 等于什么？九十度加二分之一角 a， 那 如果是垂直平分线的交点的时候，我们说角 f 等于什么二倍的角 a 啊，这是什么结论啊？就是这个大角好，我们把它 不能这样表示，因有分值了，我们写成 b、 a、 c 啊，也说填空和选择结论可以直接用啊，但大体你就正常写过程就可以了。 接下来我们可以加班啊。我说 a、 d 和 a、 e 分 别什么？角平分线和高角平分线，所以这两个角什么关系相等啊？角 b 是 多少四十，然后角 c 是 多少六十，这二求一。所以我说上面这个大角可以算吗？可以啊，我直接写，借 三角形 a、 b、 c 中，角 b 等于多少四十，然后呢，角 c 等于多少六十。那所以呢，我们说角 b、 a、 c 等于多少？是不是一百八十度减去一个什么角 b， 然后减去角 c 等于多少？一百八十度 减去一个四十，减去一个多少六十等于多少八十度啊，还可以算什么？是不是角平分线可以用了啊？我说因为什么 a、 d， 然后平分角是 a， b， a、 c 啊，所以呢？我是不是角 b、 a、 d 等于什么？角 d、 a、 c 啊？等于什么？二分之一大角 等于多少？是不是等于四十度啊？好，我来标一下，这是什么？四十，那这个角也是四十。那好，我说可以算什么？这个角可以算吗？可以啊，这二求一，这个角可以算吗？可以啊，和它是什么？零步角，或者可以用什么外角，这个角是什么？这两个角折合成，所以是多少？八十。 那好，这个是八十，这个是九十，所以这个是多少？十度啊，那我说能算的，算完了吗？算完了啊，我说 d、 a、 e 可以 算吗？可以啊，好，我们写一下这个过程。我们直接写啊。 所以角 a、 d、 e 等于什么？是不是角 b 加上一个角什么？ b， a、 d 等于多少？四十加四十等于多少？八十度啊。 又因为角 a、 e、 d， 我 是不是这个题这块给是什么高啊？我们直接写，因为 a、 e 是 高，因为 a、 e 是 高，象形 abc 的 高。 所以呢，我们说角 a、 d、 e 加上一个角什么？就这两角怎么样？互余？两锐角互余啊。 角点 e 等于多少？是不是等于九十啊？那我说这个角知道吧？知道啊，算我就可以算了，他是多少？是不是八十？所以我说这个角是多少？所以角点 e 等于多少？等于九十度。减去一个角 a、 d、 e 啊，等于多少？十度啊？ 嗯，第一问就讲解到这，我说这个过程为一吗？不为一，思路也是不为一的。你比如说我们算这个十度还可以怎么算？我们这个角多少多少知道吧？知道是多少？四十，这个角是多少六十，所以这个角是多少三十，也可以用这个角减去它等于多少十度啊？思路不唯一啊。 好，我们来看一下第二文啊，我们说 d a、 e， 好， 我们找一下 d， a、 e 是 哪个角？ d a e d a e 好， 角 b 和角 c 有 什么特点？好，我们说 d， a、 e 怎么表示？首先它是不是我说 的是等于这个角，然后减去这个角，对吧？那我说这个角怎么表示？好，我来表示，首先这个角和这个角，我们先看第一步啊， d， a、 c 怎么表示？我们用黑色，我们首先这个大角是不需要表示，因为它是大角的一半嘛，所以我说 d， a、 c 首先是一百八十度，减去一个角 b， 然后减去一个什么角？ c， 那 结束了吗？取的是一半，所以是二分之一的它，那我整理一下，所以是九十度， 减去一个什么二分之一的角 b， 角 c 看到了没？然后这是吧？ d， a、 c， 然后接下来我是不是要表示后面这个绿色的小角，我需要表示什么？ 也就是说现在我们把谁表示出来？这个角表示出来了，现在我们需要表示什么？这个绿色角怎么表示？我们说角 e， a、 c 是 不是等于一百八十度？减去一个什么？就这个象形中是不是减去一个角 c 啊？ 减去一个角 c， 然后减去一个多少九十？那我也可以用什么两锐角互余啊，可以直接写成什么？是不是等于九十度，然后减去一个什么角？ c， 然后接下来我们说 d， a、 e 等于什么？ d， a、 e 是 不是等于黑色？减去绿色的，所以等于什么？ d， a、 c， 然后减去一个角什么 d？ a、 c 啊？那好，我们带进去。所以是九十度减二分之一是吗？角 b， 减二分之一是吗？角 c， 然后再减去一个九十度，然后减角 c 啊，接下来干什么？取括号。所以是什么九十度，然后减二分之一角 b， 然后减二分之一什么角 c， 减去一个多少？九十， 然后加上一个什么角 c？ 那 我整理一下，我们说九十和九十怎么样？约掉了，然后这两个一合并，什么二分之一角 c， 所以 等于二分之一角 c， 然后减去二分之一角 b。 啊， 二分之一可以提出来，也可以不提，比如说提出来就什么二分之一倍的角 c。 减角 b， 也可以写成这个样子啊。都可以啊，那这个题我就讲解到，这 过程的话，我们直接也可以这样去写的啊，关系是什么？我们说角定义等于什么二分之一的角 c， 减去二分之一的角 b， 然后为什么这是过程啊？ 正，这是第一步。注意，这是第一步啊，这是第一步，然后这个什么第二步，然后这个什么第三步啊。那这个题我就讲解完了， 接下来我们来看一下角啊，我们说 d 在 什么内部？求证 b， d， c， 我 们找一下 b， d， c 和角 a， 好， 能看出来大于吗？好，我来延长一下，就是我们课本上的一个例题，很像像啊，我们延长把这个角记成什么角三。好，我们直接第九题。正， 第一问，直接证啊，我们说是不是外角，所以大于什么角 a， 你 注意为什么是这样子？我们说这个角是这个象形的外角，所以大于与之不相邻的两个任意内角啊，所以我们说角三，那我们直接写啊，延长 c、 d 交 ab 与 e 啊，是不是可以得到有提议的？ 是不是角三大于什么角 a？ 那 我们再看，我说这个角是什么？是不是这个三角形的外角，所以大于它没有问题啊？所以我说因为角 b、 d、 c 是 三角形 b、 d、 e 的 什么外角， 所以呢，我们说角 b、 d、 c 是 大于什么角三？那我说角三大于角 a， 所以呢，我们说角 b、 d、 c 大 于什么角 a 啊？那我说第一问就结束了，我们来看一下第二问啊，我们说 b、 d、 c 等于什么？好，我们用是什么外角？那好，我们说角三是什么 三角形 a、 e、 c 的 什么外角？ 我们一样正啊，因为，所以呢，我们说角三等于什么？角 c 加角 a 又因为什么？是不是又是外角？我们说角 b、 d、 c 是 三角形 b、 d、 e 的 外角。 所以呢，角 b、 d、 c 等于什么？是不是等于角三加上一个什么角 b？ 那 接下来是不是就可以角三用这个部分来代替啊？ 所以呢，角 b、 d、 c 等于什么角 c 加角 a， 然后再加上一个什么角 b 啊？那这个题我就讲解到这，我们来看一下。十啊，我说 d 在 什么 bc 的 另一侧，我说这是什么 bc， 然后在另一侧，那是不是在左侧啊？我说 d 点在这个位置。好，我来画一下 这什么地点，那我说可以得到什么结论了？我说这四个角之间有什么关系？我说 abc 之间有什么关系？你注意啊， a、 b、 c、 d 是 一个什么图形？四边形，对吧？这条线没有，那四边形的话，我说这两个连起来，我说这两个点连起来分割成几个三角形，两个三角形， 一个三角形的内角和是多少？一百八，那两个呢？是不是三百六啊？所以我说结论是什么？就是角 a， 加角 b， 然后加角 c， 然后加角 d 等于多少？三百六十度啊？那这个题我就讲解完了。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第十页练习。 嗯，这页的练习呢，一个是呃，考察最简二次根式，第二呢是考察分母有理化啊， 这个分母油理化呢，是非常重要的啊。这个呢，嗯，也肯考察你的一个计算能力啊。首先呢，我们来理解一下什么叫最减二次根式，那么什么是最减二次根式呢？你像立五、立六、立四、立五立六各小题最后的结果是这些。 那观察这些式子中的二次根式，可以发现有两个特征，第一呢，就是被开放数当中不能含分母。第二呢就是被开放数中不能含开得进平方的因素或因式啊。意思就说你的 被开放数里不能有分母，分母当中不能含有平方数啊，比如说根号九，这就是 就不是最减，他就是能能够接着计算的啊。你像根号下 ab 方，那你像 a 开不了了，但是 b 方是一个平方数，所以这就不是最减二次根式。 那么满足以上两个条件的，他就是最减二次根式。实际上呢，他还有第三点，就是什么呢？分母当中不但含有根号，分母中不含根号啊，不含根式。 你比如说我们这个例六，你看根号三分之，根号十，你看你的分母当中含有根号的，这也不是最减的 啊。根号三分之，根号十，这也不是最减的啊啊，他可以整理到呃根号里边去，实际上就是呃根号下含分母了 啊，也，这个呢，就是分母当中含根号了，这都不是最减二次根式啊。那么进行那个化简的过程呢？就是啊，就是这个分母有理化啊，进行分母有理化， 分母有理化呢，实际上就是化简啊。那么我们通过做题呢，来说一下这个具体的画法，因为每道题呢，他都不一样，所以呢，具体的画法也不同，那得根据你的这个理解的能力啊。 呃，第一小题呢，化简使结果中的二次根式为最简二次根式。那你先观察第一个根号三十二，你说他不含分母吧， 分母当中也不含根号吧，那他就是第二个那个分母当中。呃，根号被开放数底下含有平方数了呗，那你想三十二呢？首先你考虑乘法口诀范围当中啊，四八三十二，对吧？ 啊，四和八呢？四是平方数，八呢里边还有因数四，所以他实际上能够拆出十六乘二， 这个你看，这就是你的那个，嗯，对数的一个分析能力，那你说我就能分析出四乘八， 那你这时候呢？你，你就得通过这个算完之后，你还得画第二四啊，八还得拆成二四得八，你的四又是一个平方数，所以呢，你这个呢，就得在啊平时计算的时候训练自己的一个对数的一个敏感程度啊。 然后呢，十六呢？开平方得四，然后二呢？留下，这就是那个最假的最减的二次根式啊，那根号四十呢？你首先你想 啊，他是二的倍数啊，他也能是四的倍数，所以呢，他可以拆成四乘十，四乘十，那你说老师我能猜出五八四十，那你想五八四十，你的五是最减的了，那八呢，里边是不是还有个因数四， 对吧？那八又能拆成二四得八，所以呢，四是平方数，二和五一相乘，不还是二五一十吗？所以呢，这就应该是四乘十四能开平方得二十，留下，所以他最后化解等于二倍根号十。 然后你的第三个小题呢，你想，呃，二十四啊，他能拆成的平方数呢 啊，你的猜法呢？你像乘法口诀范围的当中的有三八二十四，四六二十四，那你三八是没有平方数，四六有吧，所以他可以猜成四乘六， 然后呢，你的七十五呢，他是五的倍数啊，除以五剩一十五，十五呢，还不是平方数，十五里边是五三三五十五，所以他实际上能猜出二十五乘以三。 那你要能给他拆成这样的，那你想，呃，四能开平方得二，然后呢，二十五能开平方得几啊？得五，然后你的这个六啊，因为这后面有个三嘛，所以你这六可以变成二三得六。 那你两个三不就能开出去一个三吗？然后你谁留下了，二留下了，所以整理一下就等于三十倍根号几二， 这个拆法呢，应该是比较快的啊，你要给他乘完了，变大了，这个数就不好算了。所以说呢，你尽量不要去 啊，给他往一块乘啊。然后第四题呢，你说他是去减二四根是吗？他也不是。为什么不是呢？因为一点五啊，他是个小数，小数是可以化成分数的，化成分数了之后，分个被开方数，不就含分母了吗？ 所以呢，这道题呢，你可以给他先变成分数，然后进行分母。有理化，你记得例六怎么算了吧， 分母二再乘个二变成平方数，那你的三啊，也乘以二，二能开平方等于 二的平方二乘二，开方能得二，所以他原来是做分母了，开出来还做分母，那二三得六呢？开不出来了就做分子啊，这个就可以这样算。然后你第五题呢，也是进行分母有理化 啊，原来分母是三，你再乘个三，原来分母是四，呃，分子是四，你再乘个四，这时候呢，你想原来的这个三呐，三乘三是不得九啊，九是平方数，开出来三还做分母上面呢，别盲目的往一块乘啊，你这个四不是平方数吗？ 四能开方得二，然后三留下，你看这算起来就快了，然后你的十第六题呢，你也是一样啊，这个呢，你观察你的分母呢，已经是个平方数了，所以你的分母开平方能得 a， 那你上面的十六呢？开方得四， b 方呢？开出去得 b， 然后谁留下了就 c 留下了啊，所以这个题，这是最后的结果。然后第二小题呢，计算，你观察这个题，这个题，这个题，这个题，是不是分母当中都还有根号了？ 分母中含有根号的，那你可以怎么算呢？也可以利用这个，呃，立，这是立几啊？立七啊，立七当中的这个第二个结法，你看这看，这 根号五分之，根号三，那你原来是不是有分母，那你有分母的话，分母不是一个根号吗？那你再乘个根号，变成一个平方数，变成根号五的平方 啊，你这不就能开平能能算了吗？所以呢，你可以利用这种方法，你看他也是利用这个方法，看见了吗？所以呢，我们来看啊，这道题， 也就是说你的分母呢，当中含有根号了，所以他不是最减二四根式，那我们就可以呢，呃，把它变成平方数，也是根号二乘根号二，你的分子也要乘根号二， 就等于根号二。乘根号二，不就变成根号二的平方了吗？不就等于二吗？所以它就得二，上面一乘根号二，就得根号二啊，这就算完了， 你看到了吗？啊，第二个呢，也是一样。来，你看啊，我的分母是根号十，那好啊，我再乘个根号十， 那我的二倍根号三也乘多少？根号十，那我的这个分母呢？根号十乘根号十就得十了，上面呢？嗯， 二呢？是那个外面的数属于细数，所以呢，外面数乘外面的数，这根号十，前面的没有数，相当于引含了个一吗？那一二得几啊？一二得二，那么根号三乘根号十是不等于根号三十， 对吧？拉到一个号下根号，下次算呗。那根号三十，他是不是最减呢？ 嗯，他呢，乘法口诀之内是五乘六六呢，还能二三，谁也不是平方数，所以他是最减的二次根式了啊。那么第三个题呢，你观察你的分母啊，他是带根号的，可是前面还有个系数， 那你说有系数的怎么办呢？我，我用不用把那个三也再乘一个呀？啊，不用啊，你就直接乘根号 n， 那 你的分母乘以根号 n 了，你的分子也要乘什么？根号 n 就 等于啊，这个外面乘外面的 是不是就得三？因为这个相当于前面系数为一嘛，一三得三，那根号 n 乘根号 n， 是 不是得 n， 然后五 n 倍的根号 n 啊？这题算完了，那么第四题呢，你观察分母当中是不是根号二 x， 所以 来咱们分母根号二 x 再乘一个根号二 x 分 之二 x， y 再乘根号二 x 等于 底下呢？是二 x， 上面是二 x， y 倍根号二 x， 然后你可以二 x， 二 x 约分等于 y 倍的根号二 x。 啊，这就是第二小题 第三题。长方体的体积 v 等于四倍根号三，高 h 等于三倍根号二，求它的底面积。那我们长方体的公式不是 v 等于 s， h 吗？ 对不对？所以 s 应该等于 v， 除以 h， 那 我们就可以写了啊，减 啊， s 应该等于四倍根号三，除以三倍根号二。那我们算一下吧， 因为它分母当中还有根号，对吗？所以呢，我分母乘一个根号二，你的分子也要乘以根号二，就等于 这个呢？根号二乘根号二等于二，二三得几啊？得六，这个呢，也是四倍的根号六，然后约分等于三分之二倍根号六。然后呢？答说底面积 s 为三分之二倍根号六啊，没有单位名称。

大家好，我是讲数学的小何老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第二十九页练习。 第一题，在竖轴上画出表示根号十七的点。这道题呢，首先呢，你来看一下，嗯，这个小题，这个小例题啊，就这个探究，任何一个实数啊，都可以用竖轴上的一个点来表示，你能在竖轴上画出根号十三的点吗？ 那刚才那个问题是根号十七，那这个例题呢，是根号十三，说如果要能画出长根号十三的线段，就能在数字上画出根号十三的点。 嗯，我们都知道啊，根号二的线段是两条直角边的长都为一的直角三角形的斜边。那长为根号十三的线段能是为正整数的直角三角形的斜边吗？ 那根据勾股定律可知啊，两条直角边的长为二和三的直角三角形，其斜边就是刚好十三。那依照下面的方法，在数上就可以画出刚好十三的点。 嗯，那这个题呢，首先你要明白啊，你这个五理数，它应该是一个直角三角形的斜边， 然后呢，这两条直角边呢，还必须得是什么？是正整数，看正整数，那你看二的平方得四，三的平方得九，四加九得刚好十三，对吧？所以呢，斜边应该是刚好十三，那么他的做法啊， 做法在这这一段呢，是他的。呃，做法，我一会做这个第一题的时候，也是也要按照这样的步骤去完成啊。他说如图啊，说 o 为竖轴上的圆点，说首先在竖轴上找到表示三的点 啊，表示三的点 a， 然后也就是 o a 等于三，然后呢，过点 a 做直线 l， 这垂直于 o a， 这有一个垂直，这不就有直角出来了吗？然后在 l 上取一点 b， 然后呢，使 ab 能等于二，那你看这个直角边得二，这个直角边得三，那他的斜边不就得根号十三了吗？所以呢，说，最后以圆点 o 为圆心，以 o b 长为半径，画弧弧与竖轴正半轴的交点 c 即为表示根号十三的点。那你看这个根号十三是怎么找的？那根号十七能不能也是啊，两条 直角边的长为正整数的一个直角三角形的斜边呢？你这个呢，就可以看这个图了， 你看这个例题当中啊，教材里边其实全都交了，你看这个根号二的长啊，就是，嗯，直角边为一和直角边为一的 一个直角三角形的斜边，然后呢，这个是那个根号二，然后在这再做一个一啊，做一个直角边啊，做一个直角三角形，然后根号二，一，那这条斜边就是根号三， 然后呢，这是根号三，这是一，那这条斜边就根号四，根号四就是二了，对不对？然后呢，这是根号四，这块是一，那这斜边就是根号五，也就是整数二 斜边啊，直角边一，整数的直角边一和二，斜边为根号五，那直角边根号五，直角边为一，斜边为根号六。那么以此类推，你看，咱们要用的是根号十七，对不对？那根号十七是不在这，那根号十七是这条边， 那有一条直角边为一，另一条直角边是不？根号十六啊，而根号十六是不就是四， 所以呢，你看，不就是两条直角边为正整数的一个直角三角形的斜边吗？一个直角边为四，一个直角边为一。那好了，那我就按照刚才我们二十八页的那个辅助线的方法，我们来。呃，找出根号十七啊。第一步， 先画一个竖轴啊。第一题，角啊，如图，图在哪画呢？图在这画吧， 哪为零呢？这为零，这是竖轴，是不是一二三四，然后如图 那个照到左边啊，照到这，照到这个位置写，他咋说咱就咋写啊，我镜头在这边啊。嗯，如图， o 为竖轴原点， 然后首先在竖轴上 找出表示四的点 a 啊，表示四的点 a， 那 这是坐标原点，找出表示四的点 a， 那 这为 a， 然后呢，则 o a 等于四。我完全都是照在二十八页那个地方写的啊，然后说，然后 过点 a 做直线 l 垂直于， 垂直于 o a， 那 在这做一个垂线，垂直于 o a， 这是直线 l， 然后在 l 上取一个点 b， 在 l 上取点 b， 使 ab 写 l， 写。这边来啊，使 ab 等于一，使 ab 等于一， 这是 b。 然后最后以圆点 o 为圆心，最后以圆点 o 为圆心， 然后 o b 长为半径，做弧来，把 o b 连上，然后拿圆规 以 o 为圆心， o b 长为半径，然后做弧。看到了吗？然后呢，弧与竖轴 正半轴 交点 c， 即为表示根号十七的点， 那这就是点 c， 那 这个点就是啊，根号十十七啊，这个点为根号十七。那第一题就完成了 啊，这是第一。第二题说如图，等边三角形 a， d、 c 的 边长为六。等边三角形边长为六，然后求高 a、 d。 那 你想我们这个单元学的是什么？学的是勾股定律，对不对？那他要求的是高 a、 d， 那 你肯定得，嗯，放在一个直角三角形里，对吧？那现在这个直角三角形呢？你可以用右边的 a、 d、 c， 对 不对？ 那我们的边长为六，然后呢，等边三角形高有一个性质叫做三线合一，所以 b、 d 应该等于二分之一的 b、 c 这的三。那就说明我的斜面知道了其中直角一条直角边，求另一条直角边，是不这么个道理 啊，那我们用勾股定理数就可以了。那首先呢，我们先呢求出直角来啊。第二题，减括号一。呃，因为三角形 abc 是 等边三角形， 然后呢，你的这个 a、 d 呢，又是高，它垂直，所以呢，你的 a、 b 应该等于 b、 c 等于六啊，角 角 a、 d、 b， 它等于九十度。然后呢，我们还有一个三线合一，就是 b、 d 会等于二分之一的 b、 c 等于 等于三啊，这些都是必须知道的。然后呢，你就可以在勾股定里了，在二 t 三角形 a、 b、 d 中， 然后你的这个 a、 d 它会等于 a、 d 会等于 a、 d 不是 直角边吗？等于斜边的平方减去直角边的平方，就等于根号下六方减三方等于 六，六三十六减去九等于二十七，等于三倍根号三啊。所以呢，我的这个高 a、 d 就 求出来了。那第二问， 他让我们求三等边三角形的面积，那你说三角形的面积不就好求了吗？那 s 三角形 abc 就 等于底层高，也就是 bc 乘以 ad 乘以多少二分之一， 就等于 bc 是 六， ad 是 三倍根号三乘以二分之一，所以它等于九倍根号三 啊。这就是第二小题，这个题还是比较容易的，那么第三小题他说如图 ad 啊，是 abc， abc 边 bc 上的高，哎，这是它的高。 但是他题里有没有交代 abc 是 直角三角形啊？没有啊， abc 就是 一个普通的三角形，说分别以线段， abac 还有 bd 还有 cd 向外做了正方形，然后正方形的面积为 s 一 s 二， s 三 s 四，请写出 s 一 s 二 s 三 s 四的一个等式。 哎呀，这个呢，实际上你要这么看的话，它就是一个勾股数，对不对啊？那你说我的 abc 还不是一个直角三角形，所以呢，你不可能得到 s 一 加 s 二等于 s 三加 s 四，如果这是直角的话，那不就是 两条直角边外面的正方形的面积和等于斜边上的面积和吗？对不对？而这个 abc 它不是直角三角形，所以在这里呢，你得啊，找一个等量关系。嗯，什么样的等量关系呢？你这么看， 你说在这个 r t 三角形这个 abd 中啊，你的 ad 这条边是一条直角边啊，那你在这个 r t 三角形 adc 中呢， ad 也是这边这直角三角形的一条直角边，那你的这个 ad 他的平方，他的平方是不应该等于 s 一 减 s 三就是这个斜边上的面积，减去这个直角边的面积是不等于这个直角边的面积。那同理，右侧的这个直角三角形，我 a d 是 直角边，所以用 s 二减去 s 四，是不就等于 a d 的 平方？ 那我记住 a d 的 平方，这个等量关系，是不就可以求出 s 一 减 s 三等于 s 三啊？不对， s 二减 s 四啊，那等量关系不就出来了吗？对不对？那我们怎么去整理这个过程呢？哎呀，这个图啊，没看到是不是？ 嗯，再说一遍啊，你的 a d 这条边是左边这直角三角形的一条直角边， a d 这条边又是右边这直角三角形的一条直角边，那么 a、 d 的 平方， 他就应该等于斜边上的这个正方形面积，减去这个直角边和正方形面积，也就是 a d 方等于 s 一 减 s 三。 那同样的道理，你的 a、 d 呢，又是右边这直角三角形的一条直角边，而 a、 d 的 平方又等于 s 二减 s 四。那你借助这两个等量关系，是不就可以求出 s 一 减 s 三等于 s 二减 s 四了 啊，这不就等量关系吗？就是一个等式吗？啊，所以这个题是可以这样写的。那我们来呃，写一下过程啊， 你可以这样写啊，因为因为这个嗯， a、 d， 它垂直于 bc， 所以 你的角 a， 呃，三角形 a d， b 和三角形 a， d， c 啊，都是 直角三角形胶带，它都是直角三角形啊，直角三角形啊，然后呢，在 r t 三角形 abd 中啊，你的 ab 方 应该等于啊 b 地方加上 a 地方，对吧？所以呢，就会得出 s 一 啊，等于 s 三加 a 地方，所以即 a 地方等于啊， s 一 减 s 三。那在二 t 三角形 a、 d， c 中， 呃，你的 a、 c 方应该等于 c d 方加上 a 地方，也就是 s 二等于 s 四加 a 地方，即 a 地方等于 s 二减 s 四。那么因为你的 a a 地方等于 a 地方，是不是这么个意思啊？所以呢，你就会得出 s 一 减 s 三等于 s 二减 s 四。 那你写到这呢，它可以作为结论，你也可以稍微整理一下，就是变成加法的啊，变成加法的， 或者是给它写成 s 一 加 s 四等于 s 二加 s 三。啊，这两个其实写到上面里就可以了啊。

你家没有中学生你就划走啊。我们看八年级数学下册课本的第二章不等式。我们首先来认识一下不等式，用两根长度都是 l 厘米的绳子，分别为一个正方形和一个圆， 那么如果要是正方形的面积不大于二十五平方厘米，那这是 l 厘米。呃，这个也就是周长是 l 的 意思，那么周长是 l， 那 边长就是四分之 l， 对 吧？这个周长呢？这圆的周长，我们说 c 等于 r 帕 r 就是 l 等于 r 帕 r， 那 么这个 r 就 等于 r 帕分之 l 啊，这是正方形的边长啊。正方形的边长 a 等于四分之二，要是它的面积不大，那面积就应该是四分之 a 的 平方不大于二十五。小于等于二十五，对吧？也就是十六分之 a 的 平方小于等于二十五， 嗯，第二个呢，要是圆的面积不小于这么多圆的面积，那我们就应该是 pi， r 的 平方 r 多少呢？ r， 刚才我们说是二 pi 分 之 l pi， r 的 平方不小于就是大于等于一百， 不小于等于等于一百，嗯，那这个 pi 跟 pi 约分，所以那个就是多少呢？就是四。 pi 分 之 a 的 平方大于等于一百。 好，当 l 点八的时候，正方形和那个 l 点八的时候，当 l 点八十，对吧？ s 正正方形的面积，那应该等于这个，那就是四分之八，四分之八就是二二的平方等于四，对吧？哎，那么 s 圆呢？ 哎，那就是这个八八八六十四，六十四除以四，约分就是八分之一十六。 那么当 l 等于一十二的时候，那么 s 正正方形的面积，呃，一十二的时候，这个一十二除以四就三三的平方等于九，那么圆的面积呢？内角应该多少呢？那 sl 等于一十六，一十二的话， 哎呀，一十二是多少呢？就是一十二的平方，这里是四 pi， 呃，这就是一百四十四，一百四十四除以二就是七十二，再除以二，三十六，好 pi 分 之三十六，好，单位没得写了，现在为您比较一下改变 u 的 值，猜想一下。猜想，我们看到 不管这个 l 是 多少圆的面积，那就应该是多少等于四倍分之 l 的 平方，而正方形面积是等于一十六分之 l 的 平方， 当 l 的 平方相等的时候，那么 pi 等于三点多，对吧？四 pi 比一舍的小分子相同的分母大的反而小，分母小的反而大。哎，这个分母小啊，这三点多乘以四，分母小的反而大，那就是说我们得到的猜想是什么呢？嗯，同周长的这个圆的面积是大于正方形的面积。 好，把这个把它搞清楚，我们再来看看下面的铁路部门，对于这个行李啊，有这样的一个规定，长宽高的和不得超过一百六十，长 a 宽 b， 哎，高 c， 那 么这样列了个关系，那就是 a 加 b 加 c， 不 得超过一百六十，那就是小于等于一百六十，对吧？ 我们看到这个，这个数零呢，我们来看到数为开始加的时候是六，每年增加一厘米， x 年增加 x 厘米，那就是这个，对吧？所以六加上 x x 厘米超过了十大于十啊，那就是六加 x 大 于十 啊，这里不大于就是小于等于，这个小于等于，不小于就是大于或等于。把这个符号呢，我们要认清楚。好，现在我们看到第五十六页上的， 那么刚才我们所列的这些式子啊，他都是含有不等号的，小于号、小于等于号，大于号、大于号等于号，用这句话连接而成的式子叫做不等式，其实有的时候我们用这个不等号连接起来了，也应该叫做不等式啊， 啊，用适当的发来表示下列关系， a 是 非负数，那非负数就大于等于零的，对吧？直角三角形的斜边比它两，这就比较长，所以 c 大 于 a， c 大 于 b， x 于十七的和 x 加十七比 x 的 五倍， x 的 五倍比五倍什么小哦，这个边要小， 那么看到两数的平方和我们说这两个数是 a 和 b。 好， a 的 平方加 b 的 平方和不小大于等于等这两个数乘积的两倍二 a b， 这个呢，我们可以跟大家证明一下啊，因为 a 减 b 的 平方是大于等于零的， 对吧？所以 a 的 平方减二 a， b 加 b 的 平方是大于等于二 a b 的 啊，这个呢，我们后面还有 好下面这个呢，我们说这个最大的深度，如果说深度为 x 米啊，如果深度为 x 米，则 x 大 于。呃，最最大深度下潜达到这个，所以它的深度啊，是小于一零九零八米 啊，最大的深度达到了这么多，对吧？觉得最大就等于这么多，它的深度有可能就是下潜的，如果说它下潜的深度是 x 比，它可能也有没有达到这里的， 那么它的连续作起的时间超过了八米，如果这个时间我们说是 y 小 时，那么 y 呢？是大于八，超过了八小时，那么它的行驶的路程，如果我们说这个距离为 z 千米，那么超过了 z 就 大于一十四，超过了一十四，是吧？记得点赞关注哦！

免费教你，成绩好你还不学吗？八年级数学下册的课本的五十二页，我们看到第十八题， 在三角形 a、 b、 c 中，角 b 等于六十四度。我们有的人上课啊，不听，你看，当然我这里也就没人听了， 你想成绩好就听吧，不想成绩好就别听。角 b、 a、 c 等于七十二度。你看，我把这个记号做下去，角 b、 a、 c 等于七十二度。 好，这里的角 bc 等于七十二度。那么角 bc 等于七十二度的话呢？我们看到这里，呃，七、六一百三，一百三十六度，一百三十六度，加上这个 多少就是四十四度才得一百八十度。一百三十六，三加四等于七 g， 这，所以这角四十四度。 好，我们接着来看， d 为 bc 乘以点叫什么？且 a、 b 的 ad， 哎呦， a、 b 的 ad， 那 说明这个角也是六十四度，对吧？ a、 b 的 ad 等于什么？等于 d， 哎， d 在 哪里？ d 在 这里啊， a、 b 的 ad 等于 d、 e， 那么 d 在 这里，我们现在来看呢，我们还能找到哪些角？哦，这里还有角 e 等于五十五度。在这里啊，标出来，不然多了看不清。角 e 等于五十五度，那么这里的这个角那就是五十五度了。 呃，这里这角五十五度的话，题目要是问这个三角形 a、 f、 d、 a、 f、 d， 我 们还得把别的角给它找出来啊。这个角五十五度，这个角五十五加五十五就是一百一十，一百一十度，这个角就等于七十度 啊，这个角等于七十度的话，你看呢？这个，这个角我们也能求得出来啊。嗯， 哎，我们看到这个六十四度，这个六十四度加起来是一百二十八度，一百八十减一百二十八等于几呢？ 二，这一位就是七七减二五五十二度。呦，刚才这个角 b、 a、 c 等于七十二度啊，那么这个，这个 b、 a、 d、 e 是 五十二度 啊，因为这两个六十四度，五十二度，那么这个角，这个就是二十度，因为五十二加二十。好，因为题目问的是这里的角好，我们看到刚才这是五十五度，因此这个角就是三十五度。 好，三十五度加五十五是等于九十，所以这里是直角。好了，那么三角形 a、 f、 d 啊，那我们说它就是直角三角形好，有时间呢自己去把它给理一遍。我们看到第十九题， 呃，这里的结论呢，要记住，因为我们平时以前呢多次讲过了，这里我就不多说了。 b、 d 平分角 a、 b、 c、 c、 d 平分角 a、 c、 b 是 确定角 a 与角 d 的 关系好，那么这个角 d 啊，是等于九十度加二分之一角 a 把它背下来啊。呃，这个角 e 呢，是等于二分之一角 a 把它背下来，这个角 f 呢，是等于九十度减去二分之一角 a 啊，因为前面在已经跟你讲过了，这里有时间就不多说啊。我们看到第二十题，那么刚才是角平分线，这里是三等线， 三等线，也就这个角一、角二、角三是相等的，哎，这里的角四、角五、角六是相等的，对吧？哎，角 a 呢，是七十五度。 呃，所以这个角 b、 e、 c 等于多少呢？我们看到角 b、 e、 c 就 等于一百八十度。减角一，角二减这个，呃，角一等于三分之一这个角，角二等于三分之一这个角，所以一百八十度减去三分之二的角 a、 b、 c 加角 a、 c、 b 就是 一百八十度减角 e， 所以，呃，一百八十减三分之二，一百八三分之二，一百八就是三六一百八一百二十度，一百八十减八十度就是六十度，所以六十度负负的人加三分之二角 e， 那 么角 a 等于七十五度，所以这六十度加上三分之二乘以七十五度。呃，这约分之二十五二乘二十五十六十加五十一百一十度， 所以这个角 bc 等于一百一十度。那么我们看到这个角 b、 f、 c 呢？也类似这样来看，但是一百八十度这个角啊，一百八的减这个角，减这个角，这个角是三分之一的，减三分之一加 abc， 减去三分之一加 a、 c、 b， 对吧？同样，我们可以等于一百八十度减去三分之一角 a、 b、 c 加角 a、 c、 b 就是 一百八十度减角一，所以等于一百八十度，减三分之一，一百八十度就减六十度，一百八十度减六十度，负负都得加三分之一角一。 好，我们把这个一百二十度三分之一，那角 a 是 七十五度，那就是二十五度，对吧？一百二十加二十五，那就是一百四十五了。一百四十五度。我们看到第二十一题， 第二十一题说在三个 a、 b、 c 中， a、 b 的 垂直平分线， a、 b 的 垂直线，那我们就知道 a、 e 等于 b、 e 了。 已知三角形 b、 c、 e 的 周长等于八， b、 c、 e， 那 就说这个 b、 e 等于 a、 e。 呃， b、 c、 e 就是 这边加这边，那就是 a、 e 加这个，哎，也就说 a、 c 加 b、 c、 e 就是 这个周长的，这个周长等于几呢？等于八，而且 a、 c 减 b、 c 呢？哎，它这等于几呢？它这等于二所 相加二， a， c 就 等于十， a， c 等于五， a c 等于 ab， ab 等于五加三，所以 ab 就 等于五，对吧？ bc 就 等于三。记得点赞关注哦。

多做好题，出成绩。八年级数学下册小册子的第六页纸，我们看到第八题，以至于图在四边形 a d b c 中， b c 等于二倍的 b d， 这句话什么意思呢？ b c 等于这个两个乘 b a 平分角 d b c 啊，这两个角相等， ab 等于 c， 哎，这里有个等幺三角形， ab 等于 c 等幺三角形，那我们就有底边上的高，底边的中线， 嗯，那么这里要证明的是，这里是直角，哎，我们说我们能不能得到这里直角，这个或者说都什么东西呢？我们看到如果说我们做 a h 垂直于 b d 啊， a h 垂直于 b c 于 h， 呃，因为 a b 等于 a c， 对 吧？所以这个 b h 等于 c h， 那 就等于二分之一 b c 了。 当然了，你要是做中线，做中线可以得到垂直，做垂直可以得到中线， 当然您做这个角平分线其实也是可以的，为什么呢？因为等腰三角形，底边的中线，底边的高线，顶角的平分线呢？是同一条线段是互相重合的啊。当然你就看您这做哪个你证明比较好。写好， bh 等于 c h， 那么刚在这里我们来看到这个因为什么？因为这个 bc 等于两倍的 bd， 那 么它也等于两倍的 bh， 两倍的 bd 为 h， 所以 这个 bd 就 应该等于 bh， 对吧？就说 bc， 以这条结论说 bc 的 bd 的 两倍，我们刚才 bh 的 c h 的 二分的 bc 就是 bc 的 两倍的 bh 的 意思好要因为 b a 平分角，呃，叫什么角 dbc， 所以 角 dba 等于角 hba， 那我们看到在三角形 dba 与三角形 hba 中， 那我们就有这个 bd 等于 bh， 刚才正了角 dba 等于角 hba 刚才与这里面角平行，然后这个 b、 a 是 公共 b a， b， a 等于 b a， 所以三角形 b， d， a 全等于三角形 b， h， a 好， 这里理由叫走 s a， s 边角边好，那么所以有了角 b， d， a 就 等于角 b， h， a 就 等于九十度， 好，九十度就是垂直的意思，所以 a、 d 垂直于 b、 d 好， 这样我们就正完了。那么在这地方呢，我们要证明这两个三角形呢？这个地方跟这地方角都是直角，就意味着垂直好，合理利用三线合一的内容。 好，下面我们看到第九题，在这如图，在三个 a、 b， c 中，角 a， b， c 等于四十五度，好，这个角是四十五度，然后呢？ cd 垂直。呦，垂直到这角不也是四十五度了吗？ 嗯，这角不也是四十五度啊。那么我们再来看到 d 等于 ad， d 在 哪里？ d 在 这里等于 ad b 的 这，哎，这是直角，我们看到 a、 d， c 和 b， d， e 好， 这个过程我都不写了。在三角形 b、 d、 e 和三角形 c， d， a 中， b， d 等于 c， d 哪来的 b， d 等于 c， d 呢？因为这个 c、 d 垂直 ab 啊，并且这个角 abc 是 等腰直角三角形，所以 b、 d 等于 c、 d， 对吧？这里直角那是车的油，那么这个 d， e 等于 d， a， 所以 三角形 b、 d、 e 且等于三角形 c， d， a。 这里的理由是 s a， s 啊，这个比较简单，我都不写那么多了，没有数的时间写了啊。 好，第二个呢，若 ab 等于 bc， 如果 ab 等于 bc 的 话，那么这个 abac 就 成了等幺三角形，对吧？就成了等幺三角，等幺三角形。那我们看到这里 等幺三角形之后呢？那我们能够得到什么呢？你看题目求证的是什么？求证 b 等于两倍的 c、 f 啊。求证 b 等于两倍的 c、 f、 b、 e 等于两倍的 c、 f。 在 那里，刚才我们证明这个三角形 b、 d、 e 与三角 c、 d、 a 两个三圈等的时候啊，那就有了一个叫做 b、 e、 d、 c、 a 了 啊，有个 b e、 d、 c、 a 好 b、 e、 d、 c、 a。 要求成 b、 e、 d。 两倍的 c、 f 就 求成 c， a 等于两倍的 c、 f 要求成 c， a 等于两倍的 c、 f。 哎，那 f 如果是中点就好了啊， f 至终点呢？我们刚才是 b、 a 的，是 b、 c 的 时候，如果我们要能够得到，得到什么呢？得到这个， 哎，得到这个 b、 f 是 角平分线，等幺三角形顶角的平分线，也是底边的高线，也是底边的中线就可以了， 那我们哪里能得到角平分线呢？我们再来看啊， b、 d、 c。 刚才这说明是等腰直角三角形， 那么等腰直角三角形之后，我们刚才证明的 b、 d、 e。 等于 c、 d、 a。 这个角四十五度，那我们就可以得到角 a。 等于角 b、 c、 a 等于多少呢？一百八十减四十五除以二，六十七点五度， 对吧？角 a 等于这角六十七点五，六十七点五度，那我们就可以得到这个四十五的这个角叫做角 a、 c、 d、 e 呢？是等于刚才这个角 d、 b、 e 的 等于角 d、 b、 e 的， 那就应该等于六十七点五减四十五，二十二点五度，那么这个角二十二点五度，这个角也是二十二点五度，所以这个角 c、 b、 e。 对，就等于角 a、 b、 e 也是等于二十二点五度，所以我们就可得到的 b、 f 平分角 abc 好， 由于时间的关系啊，这过程没有写清楚啊。 b f 平分角 abc 好， 等腰三角形 ba 等于 bc， 顶角的平分线也是底边的中线，所以 c a 等于 c f 的 两倍。由于第一个证明 b e 等于 c a， 所以 b e 等于 c f 的 两倍。好，自己把这过程把它理。记得点赞关注哦。

接下来我们看一下第二页啊，我们先看第一个知识点，我说三角形的内角和是多少？一百八十度啊？我需要明确它再去做题啊。我来看一下第一题，我说 三角形内角和是多少？一百八十度，所以我说 x 度，然后加上三十九度，然后再加上一百零八度等于多少一百八十度啊，所以我说 x 等于多少？一百八十，然后减去一个一百零八，减去一个多少三十九啊， 或者说减它这是多少七十二，然后再减去一个三十九，这是三这一位，所以是几三啊，所以我说 x 等于多少三十三啊，那这个题我们选 a 就 可以了。 接下来我们看一下第二题啊，我说角的比值是多少？三比二比五，我们说判断它锐角、直角和钝角，我们需要看是什么三角形的最大的内角，对吧？那最大的内角我们可以算吗？可以啊，是一百八十度乘以什么？ 他占几分？是不是五分？总共是什么？三加二加五，那所以是一百八十度，然后乘以什么十分之五，就是什么二分之一，所以等于多少九十度啊， 那最大的内角是多少直角，那所以他是一个直角，三角形一样，那我说还可以怎么处理？就是我们之前学的比较好的情况下，我们就可以直接看出来， 因为三加二等于什么五啊，为什么我说直角三角形两锐角互余，你可以理解为九十度等于什么？两锐角之和，所以我说这两个之和等于它，那没问题的啊。 那接下来我们看一下第三题，我说分别过三角形 abc 的 顶点， ab 做什么？ ab 平行于什么？ b、 e 这两条线平行好，我们给它画出来。 那我说 c、 a、 d 是 多少？二十五度？好，我们标 c、 a、 d， 所以 是这个角是二十五度，然后我说 e、 b、 c， e、 b、 c， 所以 是我们看一下 e、 b、 c， 所以 是这个角啊。那我来标一下这是多少八十度？我说平行得用吧？平行你要么用什么同位角，要么用内错角，要么同旁内角。那我说可以用同位角吗？可以啊，谁同位角？是不是这两个角属于什么同位角？它是八十，所以这个角也是多少八十。 那我说可以算哪个角？是不是？我说这个角可以算吗？可以啊，内角和一百八十度去算，一百八十度，减八十度，然后再减二十五度啊，所以这是多少一百度，然后减去二十五度等于多少七十五度啊？那这个提问就是 a、 c、 b， 我 们就结束了啊。 带度，那如果他给了度，我就不带啊，如果他没给，我给他带上，那我说这个题还有其他做法吗？有，我们刚才说这是平行，可以用什么同旁内角啊？这个是八十，所以这个角是多少？是不是一百度啊？那他既然是一百度，那这个是不是也是八十，然后再用什么内角和就可以了。 这个部分我就讲讲到这儿。那接下来我们看一下第四题啊，我说 a、 d、 a、 e 分 别是什么角？平分线，很高角，平分线，所以我说这两个角什么关系？相等 高，那我说垂直就是直角啊。那我说角 b 是 多少？四十六度，那可以算哪个角？可以吗？我说这个角是不是可以算？为什么？直角射线两锐角互余啊，是多少度？是不是等于四十四度啊？然后接下来我再看哪个角，我说角 c 是 等于多少？六十四度，那我说 a、 e、 c。 好，我写一下 a、 e、 c 可以 算上面这个角吗？可以，是多少？加起来也是两锐角互余啊，所以是等于多少？二十六度啊。然后接下来我需要求什么？ d、 a、 e。 好， 我们看一下 d， a、 e 在 哪？ d， a、 e 是 不是中间这个小角？那我们是不是需要知道这两个角这个角是多少？那我说这两个角知道吗？知道，我说下面这个大角可以算吗？可以。那它的一半可以算吗？可以， 那我说一半可以算。把这个减掉，不就是我要求的这个角吗？所以思路就是这样子。然后接下来我写一下过程啊，那我说先求什么？是不是先求上面这个大角啊？嗯，写在三角形什么 abc 中。 因为什么角 b 等于多少？四十六度，然后角 c 等于多少？六十四度？所以我说角 b、 a、 c。 能不能写角 a？ 不 行啊，我说有分值了， 一百八十度，然后减角 b， 然后减角 c 啊，等于多少？这两一加是多少？是不是一百一十度？所以等于多少？七十度啊？那接下来是不是角平分线要用一下？我说 a、 d 角平分线啊，因为 a、 d 平分，或者说 a、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 角平分线啊， 我减写了。所以呢，我们是不是可以得到角 b， a、 d 等于角 d， a、 c 等于什么？二分之一的大角啊？就是 b、 a、 c 等于多少？是不是等于三十五度啊？ 我们算出来谁？好，我们把算出来的标一下啊，我们算出来谁，这个角是多少？是不是三十五度？我们需要求它，那是不是它得知道，那它可以求吗？可以，在谁三角形 a、 c 中啊，那我们再写在三角形 a、 c 中， 那我们是不是因为是高线啊？我们写因为 a、 e 是 高线，是象形 abc 的 高线， 所以我们是不是可以得到角 a、 c 等于多少度？是不是九十度啊？因为角 c 是 多少？六十四度啊，因为角 c 等于多少？六十四度啊，所以我们说上面这个角可以算吗？可以啊，所以角 e、 a、 c 等于什么？一百八十度，然后减去一个角 a、 c， 然后再减去一个什么角 c 啊？等于，我来算一下，我说锐角互余啊，我说直角射线，然后锐角互余，所以我直接可以写它是多少度，是不等于 二十六度啊？那我说这一步就结束了，然后接下来就是写下面这一步啊，就是我说角 d， a、 e 等于什么？是不是角 d， a、 c， 然后再减去一个角，是吧？ e， a， c 啊，那接下来就代值 d， a， c 是 多少？是不是三十五度？然后呢？ e， a， c 是 多少？是不是二十六度，所以等于多少？是不是九度啊？那这个题我们就讲解到这， 接下来我们看一下第五天，我说高是 c、 d， 那 说明是什么垂直，且是什么直角啊，那我说角平分线，我会标记一下这两个角什么关系相当啊？好，我写到这角一等于什么角？二，然后接下来我说 c、 a、 d， 我 找一下 c， a， d 在 哪？ c， a， d 是 不是这个角，对吧？ 啊？ d， c、 b， 好， 我说 d、 c、 b 是 不是这个角，这两个角相等，那求证什么？ c、 f、 e， 那 我需要表示一下，我说 c、 f、 e 是 哪一个？我说 c、 f、 e， 是 不是这个角？是不是等于它？为什么是对等角啊？那好，我写 c f、 e 等于什么？是不是角 a f d？ 角 a f d 等于它下面这一根是什么？是不是直角三角形？好，我们画一下。下面这个是什么？直角三角形，那我们说这个角等于什么？是不是九十度减去一个角 r 啊？好，我们写到这等于九十度，减去一个什么角 r， 那 我们接下来再看 c e f， 我 说 c e f， 我 说 c e f 是 这个角，对吧？等于什么？我们是不是看一下啊？ 是不是等于一百八十度，然后减去一个角 e c a， 然后再减去一个什么角一，那我们发现角一和角二相等吗？相等，也就是说九十度和这个部分是否相等，决定了我说这两个部分能不能相等，对吧？我们已知条件。已知什么？是不是角 d c b， 然后等于什么角 c a、 d， 我 来标记一下啊，就我说这两个角相等，对吧？有问题，这是直角，所以我说这两个角正好是多少？九十度。哈，我写到这， 我直接写角 cad， 然后加上一个角，什么 dca 等于多少？是不是九十度？然后呢？我说 cad 等于什么 dcb 啊，这是已知条件啊， 所以我是不是可以替换 cd， 可以 替换成什么 dcb 啊？所以我说角 dcb， 然后加上一个角， dca 等于多少？是不是九十度？好，我来看一下，到底是什么角啊？我说 dcb 是 它，然后呢？我说 dca 是 这个角啊，所以我说这个角也是什么角？直角啊， 那我说他既然是直角，所以我说这个是不是九十度啊？那所以就是九十度减角一啊，我们再写一下，所以等于九十度减去一个角一啊，所以我又因为角一等于角二，所以我说相等吗？相等啊，这是什么思路？然后接下来我们再完善一下他的一个过程啊， 接下来我们写一下过程啊，那我们说需要什么？哎，我说需要角一和角二的出现，其次需要这个角是多少？九十度的出现。那我们先写什么角一和角二相等啊？那就写因为 a 一 是什么角平分线三个写 abc 的 什么角平分线 我减去了，所以我是不是可以得到角一等于什么角二啊？然后接下来我是不是这个角就可以表示了？就是我们说 c、 f、 e 可以 表示啊，那我是不是还需要这个角是什么直角？嗯？再写因为什么 c、 d 是 三角形， abc 的 高， 所以我们是不是可以得到角 c、 d、 a 等于多少？是不是九十度啊？所以我们就可以得到，我们说这个角是多少，是不是等于九十度减角啊？和这个角相等啊。所以我们直接写角 c、 f、 e 等于什么角？ d、 f、 a 等于什么？是不是九十度减去一个角啊？我们说这一步就结束了，也就这个角表示出来了，然后接下来我们是不是要表示，我说这个角，那前提还需要这个九十度的出现啊？那好，我们再用一下啊， 我说他是九十度，那我是不是可以表示差？我说这个角是九十，那这两个角合也是多少？九十啊？等我写到这，等我写到一位角 c、 d、 a 等于多少？是不是九十度？所以我是不是可以得到？我说这两个角啊？这两个大角啊， 就是我要说角 d、 c、 a， 然后加上一个角什么 d、 a、 c 等于多少？是不是九十度？已知条件是不是给了。我说这个角和这个角什么关系？相等啊，所以我带进去啊，替换一下，我写一下。 因为角 c、 a、 d 等于什么？是不是角 d、 c、 b。 好， 我替换一下啊， 所以我是不是可以得到？我说角 d、 c、 a， 然后加上一个角什么 d、 c、 b 等于多少？是不是九十度啊？我是不是得到了这个角是多少？九十，所以我说这个角怎么表示？是不是九十度？减角一啊？好，我直接写。所以我说角 c、 e、 f 等于什么？九十度，然后减去一个角一， 我是不是两个角都表示了一个是九十度减角二，一个九十度减角一。我说角一和角二相等吗？相等啊，所以是不是可以得到相等？那这个题我们就讲解到这， 接下来我们看一下第六题啊， d、 e 分 别在什么 a、 c 和 ab 上？角 b 等于什么角 c， 这个角属于什么公共角？也就是说三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 e。 好， 指的是什么？这两个大三角形中现在有两种条件的，我说角 b 等于什么角 c， 这是什么已知条件啊？ 然后接下来是不是有公共角？是什么角 a 等于什么角 a 啊？那我再具体一点，写到三角形中，就是 b、 a、 d， 我 说 b、 a、 d 等于哪个角？是不是等于？我说 c、 a、 e 啊？ 写角 a 等于角 a 有 问题吗？其实也没有的啊，没有分支，然后这是什么公共角？那接下来是不是我说 a、 d 等于什么 a e， 这是什么已知啊，那我看一下判定方法是哪一种啊？我说这是角， 然后这个是边，对吧？然后这个是角，所以是什么？两角及其一个角的什么对边啊？判定方法什么 a， a、 s 啊？那全等之后呢？我说对应边什么关系相等啊，所以我就会得到 ab 等于什么 a， c 啊，这是什么？全等对应边相等，全等三角形 对应边相等， 那我说对应边相等，那我说 a、 b 等于 a、 c， 之后我说 a、 d 还等于什么 a e 啊，那我减一下，是不是都减去 a e， 减去 a、 d， 所以 相等吗？相等啊，那 b、 e 等于什么 c d 啊？ 接下来我们看一下第七题啊， a、 e 平行于什么 bc？ 好， 我们先把线画出来， a、 e 平行于什么 bc？ 那 我们需要找一下有没有内错角或同位角或同旁内角的出现啊， 那我说暂时有没有发现，哎，好像有啊，那我去找这个角和这个角属于什么角等于错角啊，那我就直接写了，这个角什么角？ e a， f 等于什么角？ c 啊，这是我说平行得到的，且 a、 e 等于什么 a c 好， 我们标记一下 a e 等于什么 a c， 这是两个条件了。其次，我说 e f a。 好， 我们标记 e、 f a， 是 不是这个角等于什么 a， b、 c 啊？是这个角，我说三个条件，够了吗？够了， 那好，我直接写啊，正，那我说哪个条件需要正？我说这个需要正，对吧？然后这两个需要正吗？不需要这个需要吗？不需要，直接用它，所以我只需要用它 a、 e 平行什么 bc？ 因为啊，所以我是不是可以得到角 e、 a、 f 等于什么角 c？ 这两个不需要正，所以写到什么在大三角形什么 a b c 和 三角形什么 e、 f a 中，因为我说大括号括起来，然后是角 e a、 f 等于什么角 c， 然后这两个条件直接摆进去。啊， a e 等于什么 ac， 然后角 e、 f a。 好， 我写到下面啊，角 e、 f、 a 等于什么角 abc， 所以 怎么样？全等啊，所以我说三角形 abc 全等于三角形是什么？好，我们来看一下， 放到一个三角形中，这是角角边两角及其一个角的什么对边。啊，那判定方法是吗？ a a s。 啊，那这个部分啊，就角角到这。

你会求外角和吗？我们看第八页纸小刚在公园里沿五边形的步道按逆时针方向走，比如从这个 a 这样逆时针方向走， 那么他走的转过的角度是多少？ 你看他从这往这走，转过了这个角度好，从这里往这里走，往这里转过的角度好，然后他往这边走， 转过的角度，然后他往那边走，转过的角度往这边走，然后要转到原来的方向来，他转到这里也就是一、二、三、四、五这五个角，那么这五个角加起来等于多少度呢？ 那其实不管是五个角还是 n 个角，我们看到这个外角跟这个内角、外角跟内角、外角、内角它们的和呢是一个平角，也就是一百八十度。假如说这是 m 边形， 那么五边形有五个顶点，五个内角五条边，那么我们说五边形有十个外角，那么除了这里的这个外角之外，那么其实我们看呢，还有这边的这个外角，这两个角是对零角， 当然在这个地方，我们现在只画一个外角，那么这每一个外角与每个内角的弧是一百八十度，所以总共有多少对呢？ n 明星就 a n 对 一百八十度，那么我们要把这个外角和啊，我们把它这个五个外角的和求出来，那我们就减去内角和就可以了， 那么就是所有外角内角的和加起来，减去内角和，内角和，就是 n 减二乘以一百八十度。 好，我们来看呢，就是一百八十度乘以 n 减去 n 乘以一百八十度。负负得正加号二乘一百八，等于三百六十度。 好，那么这样呢？一百八十度乘以 n 减去 n 乘一百八十度就等于零，所以它就等于三百六十度。 呃，这里我们把这个三百六十度啊叫做多边形的外角和，不管这是五边形，这是六边形还是多少边形，你看刚才我们用 n 来表示的，把这个要给我记住， 所以刚才这说，如果这个走五边形的路，或者六边形或者八边形，那么得到它的外角和啊，都是等三百六十度。 好多边形内角的一边与内边的反向一样的线所组成的角叫做多边的外角。我们在前面讲过的就不多说，每个顶点，注意每个顶点取一个外角，记上他们的核，叫做多边形的外角核。 多边形的外角核是个特定的概念，不是说多边形所有外角的核不是这个意思 啊，那么多边形所有外角的弧是多少呢？实际上多边形所有外角的弧啊是等于七百二十度，你看这是外角， 你看到这里这个是外角，那我们说这边的这个角也是他的外角 啊，所以过多边形的一个顶点只有一个内角，两个外角，注意啊，这个不是啊，这个不是，那么这两个外角是相等的，所以我们过每个的呢，我们只计算一个外角， 我们这样把它的和呢，我们就给他取个名字，这个名字就叫外角和，所以这外角和并不是所有外角都和啊，所有的外角都和，实际上是七百二十度， 所以我们这里外角和是个专业的一个名词，你要把它记住啊，所有多边形，因此叫做 m 边形的外角和，等于三百六十度。这要记住外角和是不会发生变化的，我们后面还会接着来跟大家解释， 我们看到一个多边形的内角和等于外角和的三倍，那我们这里公式内角和是 n 加二乘以一百八十度等于外角和三百六十度的三倍，所以那我们可以来，你看这个 n 减二，两边同时除以一百八， 那么这就是三乘二等于六，对吧？所以 n 加二等于六， n 就 等于八，也就是八边形。 好，有时间，有的我们就不多说了，我们看了。呃，如果一个多边形的这个内角和的外角和的两倍，那么外角和我们刚才说是三百六十度。任何多边形，那么内角和呢？那就是七百二十度， 所以内角和 n 减二乘以一百八十度的 y 角和的两倍，你看它这个约分 n 减二呢，就等于二得四，所以 n 等于六，也就说它是一个六边形。 好，我们看下面，如果这个多边形的每个内角都相等，那么六边形的每个内角都相等的话，那么这个每个内角的度数，我们就 n 减二 乘以一百八十度，是内角弧除以 n， 对 吧？刚才也就是七百二十度。呃，除以六等于一百二十度 啊，每个内角啊，每个内角是得多少度呢？一百二十度，其实我们也可以从每个外角来看，他的每个外角得多少度呢？外角会是三百六十度啊，一共有六个外角，对吧？ 就说我们过每个零点的一个外角，那才是六个外角，其实准确的他应该是一十二个外角啊，所以那么我们来看呢，呃， 对吧？每个外角就是六十度，因此他的每个内角呢？那就是一百二十度。呃，做这样的题目，未来你可以从内角的角度入手，也可以从外角的角度来入手，记得点赞关注哦！

你能做到基础题不扣分吗？ 我们看到八年级数学下册的第一课本第十页纸 c 题一点一的。我们看到第一题，已知角 a、 角 b、 角 c 的 度数的比是四比三比二。在三角形中，三角形三个内角的和等于一百八十度，所以那么这样呢？我们来看到这个角 a， 我们整个三角形的内角和是一百八十度，所以等于一百八十度，乘以多少呢？四分三分两分就是七九分九分之四，对吧？二十，所以等于八十度。 角 a 等于八十度，那么当然角 b 那 就可以等于一百八十度，乘以九分之三，就三分之一等于六十度，对吧？角 c， 那 就等于一百八十度，乘以九分之二，又分二，得四十度 啊。那么这样的题目都是很简单的，我们看到第二题，如图，在三角 a、 b、 c 与 c、 d、 a 中， a、 b 平于 c d， a、 b 平于 c、 d 两直线平行，内错角相等。 角 b、 a、 c、 d 等于角 a、 c、 d 对 吧？ a、 b、 c、 d 看清楚，角 b 等于角 d， 角 b 等于角 d 啊，然后呢？ ab 等于三。 问 cd 等于几呢？我们看到哈，这个角 b 等于角 d， 由于 a、 b 平行 cd， 我 们得这个内错角相等， 然后还有呢，这是公共边，所以角 b 等于角 d。 角 b， a、 c 等于角 d、 c、 a、 c 等于 c、 a， 所以 三角形 我们就三角形 b、 a、 c 前等于三 b、 a、 c、 d、 c、 a 留 a、 a、 s 两个三角形等，所以这个 a、 b 就 等于 c、 d， 对 吧？ a、 b 等于三，所以 c、 d 等于三， 对吧？这个过程有时间我就不多说了啊，我们要把这个 a、 s 写清楚。我们看到第三题， 角 a、 c、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 角 a、 c、 d。 在， 这是三角形 a、 b、 c、 d。 一个外角过点 d 的 直线。好，我们看哪一个不正确？第一个，角 b。 大 于角 a、 c、 d。 应该是角 a、 c、 d。 大 于角 b 啊，应该是角 a、 c、 d。 大 于角 b。 为什么呢？因为这个角 a、 c、 d。 是 三 a、 b、 c、 d。 外角三角形内角就是角 a、 c、 d。 大 于角 b。 角 a、 c、 d。 大 于角 e。 所以 第一个是错误的。好，我们来第二个，角 b。 加角 b。 角 a、 c、 d。 大 于角 e。 所以 第一个是错误的。 好，我们来第二个，角 b。 加角 a、 c、 d。 等于一，第二个是错误的。好，我们来第二个角 b。 加角 a、 c、 b。 加，这是对的， 对吧？也就是角 b。 加角 a、 c、 b。 加角 a 是 一百八十度嘛，所以这两个角它是一百八的，减它，这这里。第三个角 b。 加角 a、 c、 b。 角 b 在 哪里？角 a、 c、 b。 就 这两个角的弧 小于一百八十度，因为这两个角要加上一个角 a、 a。 才等于一百八，所以这两个角的弧小于一百八就对了。好，我们看到角 f、 e、 c、 e 在 哪里？ f、 e、 c。 这 角 f、 e、 c。 啊，是大于角 e、 c、 d 的， 因为这个角是这个三角形的外角，而这个角 e、 c、 d。 是 大于角 b 的， 所以角 f、 e、 c。 是 大于角 b 的。 好，这个也是对的。因此第三题呢？第一个是错误的，我们看了第四个， 如图，点 d 是 三点 a、 b、 c。 边 bc 上的一点，如果角 d、 a、 c 在 哪里 d、 a、 c。 在 这，这个角等于角 b， 则角 a、 d、 c。 等于角 bc。 我 们看到这个角 a、 d、 c。 角 a、 d、 c。 应该是等于角 b。 加上角 b、 a、 d。 对吧？三题的外角等于这两个和它不相邻的这两个内角的和，而这个角等于它，所以我们等量的话，所以等于角 c a d 加角 b a d。 好， 这个角加它，那不就是等于角 b、 a、 c 吗？所以我们课本上的题目都是很简单的题目啊，有的时候没有什么很多要讲的必要性，那么这样的题目考试是确保拿满分。我们看的第五题， 过多边形，呃，一个顶点的所有对角线，过一个顶点的对角线是 n 减三条啊，这个上课讲的是，你要记住， 那么将这个多边形分成的是五个三角形，哎，刚才说对角线呢，是 n 减三条啊，但是这 n 减三的对角线分成的三角形是多少个呢？是 n 减二个， 现在的 n 加二个是五个，所以 n 等于七，也就是说这是个七边形， 而这个七边形的内角和是多少呢？好，我们根据公式， n 加二乘以八十度，那七减二乘以一百八十度，那就是七加五五乘以八等于九百度，所以它的内角和，那就是九百度。 我们的第六题，一个多边的内角和是一千零八十度，它是几边形？好，我们看到设它为 n 边形， n 减二乘以一百八十度，等于一千零八十度， 我们看到 n 减二就等于一零八零除以一百八十，呃，一百八十分去了一个零一十八分之一百零八，呃，用九来除，这里就是二九，呃，就是一十八，就 等多少呢？ 一百零八除以一十八，对吧？用二二九，一十八，二五十四，一六啊，等于六啊，这个等于六。 n 减二等于六， n 九等于八，那么 n 等于八呢？这就是八边形 啊，我们前面大家记住啊，呃，三角形的内角和是三百六十度，五边形的内角和是五百四十度，六边形的内角七百二十度，八边 啊，七边形的内角和是九百度，八边形的内角和是一千零八十度，每多一边形，他的内角和就多啊，一百八十度啊，当然我们在做的时候我们要根据公式来做啊，其实这里有的同学一下就可以口算的，知道啊，这个不算他的这是八边形，记得点赞关注哦。

如果你们家有中学生叫他跟着我一起学，我们看到这里是八年级数学下册课本的第四十九页纸。我们看到第七题， 把长方形 a、 b 一 撇， c、 d 沿着这条线折叠，得到如图所示的图形，这种角 b、 a、 o 等于三十度， b、 a、 o 在 哪里呢？ b、 a、 o， 这个角等于三十度啊，这里直角，那这个角就等于六十度。 那现在求角 a、 o、 c a o、 a、 o、 c， 那 a、 o、 c 就 应该是多少呢？这个是刚才六十度，那么 a、 o、 c 就 一百二十度，对吧？角 a、 o、 c 就 等于一百二十度。那我们再来看看角 b、 a、 c、 b、 a、 c， 那 么由于这里是折叠啊，这里我们看就是折叠，那么折叠，那么这个角呢？是等于这个角的 啊。这里之后这两个角是相等的，而且我们说这个平行矩形，这只平行四边长方向，那么两正平内侧角相等，那这个角等于他，所以我们说这两个角相等的。刚才说这六十度角等于这两个角相合，那么每一个角都等于三十度， 这里所以三十度、三十度，六十度，对吧？九十度，三十度、三十度，所以这个角 b、 a、 c 等于六十度啊。但是每个同学的做法可能不一定是完全一样的啊，这个都是比较容易的，你要确保你的答案是正确的。我们看到第五十页是第八题， 呃，第八题在三角 a、 b、 c， 角 b、 角 c 的 度值之比是一比二、比三，那么一比二、比三的话，那就是一百八十度乘以九分之三，这个就是等于九十度，对吧？那么这里就是个九十度的， 所以这里比如说我们画一个三角形，对吧？呃，这里就是一分是三十度，两分六十度， 三分是九十度，哪是角 a 呢？这是角 a， 这是角 b， 这是角 c。 好， 那么 a c 的 已知 ab 是 多少呢？ ab 是 根号三，那么三四角所在这边斜边，这边是二分之根号三，那么 a c 呢？那就等于二分之根号三的，呃， 根号三倍，二分之根号三的根号三倍，所以，那就应该等于二分之三， 对吧？所以 a c 等于二分之三。好，这些常见的结论呢，要直接拿来就用。当然，要是考试写过程的题目，你还得是根据什么勾的，你要去算一算啊，有时间我们简单的提提第九题。嗯， a n 垂直， a n 在 哪里？ a n 在 这，垂直于 o b b m 垂直于这个 o a， 现在 o m 等于 o n。 嗯，要求的 p m 等于 p n， p m 等于 p n 呢？那么从哪里做题呢？但每个同学的做法是不一样的，您看到这个 o a n o a m， 这里是九十度，这里一个长直角边，这里角 o 是 公共边，那么 o b m 呢？这个直角，这个长直角边共边三角形 o a n 前等于三角形 o b m 留直角 b 角，那 a s a 两个直角三角形缺等，两个直角三角形缺等的时候呢？嗯，那我们得到什么呢？我们得到这个， 得到这个 o o a 等于 o b 啊，那么 o a 等于 o b 的 话，刚才 o m 等于 o n， 那 么如此的 a m 就 应该等于 b n， 呃，那么这样呢？这里的直角，这里是对零角。呃，所以这两个三角形也是全等的。 这两个三角形是确定的，那么这两个三角形确定了之后呢？呃，那我们说这个 pm 是 等于 pm， 哎，感觉到这好像是有点多啊， 嗯，看到这个对，零角，这是直角，然后呢，我们这两个下面啊，因为时间的关系，我就简单提这么多，呃，但是呢，大家找找有没有更好的方法啊？有时间的关系，我这里，所以就可能没有继续探讨了。我们看到第十题， 已知线段， a 用尺规做，底边是 a， 高的是二 a 的 等腰三角形。那么这道题我们先做一条射线 啊，这条射线，然后我们来确定一下，这个长度是 a， 好， 以这点为半径，好，那么这个长度呢？那我们说就是 a， 对 吧？底边是 a， 那 高是 a 的 等腰三角形。现在我们以这个什么呢？分别以这两点为等腰三角形。现在我们以这个什么呢？分别以二分之二的等腰三角形作图， 以大于二分之一两点的长度为半径作弧啊，那么过这，呃，两弧的夹里，我们做一条直线，这两弧的夹里啊，我们做一条直线，好，现在呢，我们在这条直线上，我们呢， 这个是 a， 好， 我们来看到这个高是二 a， 好， 这是一个 a， 好， 我们再来一次，再来一个 a， 好， 有时间，可能刚才有的时候手挡的可能有点模糊啊， 好，那么到这里来了，好，那么把这里连起来， 好，呃，这里就说是 a， 这里也是一个 a 啊，当然，哎呀，这里要时间啊，他轻轻的，轻轻的，所以我们来确定一下，这里这个长度是 a， 这里一个长度是 a 啊，这么多是一个 a， 这里也是一个 a 啊，这里啊，然后从这里到这里是 a， 那 么我们可以写字母，比如说 a， b， c 三角形 a， b， c 即为所求啊，有时间可能就只能是简单的说说啊。 我们看到第十一题，三角形 a、 b、 c 的 高 b、 d 于 c， e 相加于点 o， 呃， o d 等于 o e 啊，它这里说的是高 o d 是 等于 o e 的， o d 等于 o e 的， 嗯，然后它找有几对切的三角，并给出证明。 哎，我们看到 o d 的 o e， 那 么这里是直角，这里是直角，嗯，然后呢，这个是公分边，所以三角形 a、 o e。 三角形 a、 o d。 根据斜边角 b 两个相切，等切等之后呢，那么这两个角就相等了，对吧？这两个角相等了之后呢？嗯， 那我们再来看呢啊，哎，来看呢，这两个三角形三角形叫做 o b， e 和 o c， d， 哎，对零角像呢， a、 s、 e 这两个三角形也相等 好，这两个三圈了之后呢，这 o、 b 就 应该等于 o c 了， o b 等于 o c。 而且刚才上面的两个三点圈了之后呢，我们也能得到这两个角是相等的，包括这一边呢，也是等于这一边的。刚才这两个三点呢，包括这一边呢，也是等于这一边的。哎，那就说 a、 b 也等于 a c 了， a b 等于 c， 于是这个大角等于这个大角，刚才这两个角相等，你看这里角也相等，于是这两个角也相等。哎呀，这两个三角形也确定，所以这里是直角了，那就说这里的有几对缺了三角呢？很多由于时间呢，这个我就难以一一的说清楚。 你看三角形 o a， o d。 三角形 a、 o e， 一 对，对吧？三角形 o b， 三角形 o m c， 这是都是直角。三角形， 三角形 a m b。 三角形 a m c， 这都是直角三角形的三角形， a、 c、 e 也都是直角三角形的三角形。 b、 d、 c 如三角形那个 c、 e、 b 都是。而且刚才我们也说了角 a、 b、 c 等于角 a、 c、 b 等压三角形。 嗯，因为时间呢，我们没办法一一的去跟大家写完。呃，大家就是这些，我说的这些你都会找，那就行了，记得点赞关注哦。

你会做吗？八年级数学下册练习册的第二页纸，我们看到 e， 如图点 c 是 角 a、 o、 b 的 o， a 这条边上， 如果 c、 d 垂直于 o， b 垂直于 d， d 平行 o、 a。 如果角 e、 d、 b 等于四十度，角 e、 d、 b 在 哪里？这个角角 e、 d、 b 等于四十度， 嗯，那么刚才说 d 平行 o、 e， 所以 这个角 o， 也就是四十度，两直线平行，同位角相等，所以这个角 a、 c、 d， 这个角等于多少呢？就等于这两个不相邻的，那角的和等于九十加四十等于一百三十度。所以第一题我们选择 c、 e， 第二题他说这个斗空竹，嗯，这里的 e 为斗空竹的，这个第二个是它的形象的图形，关键有一个 a、 b 平行 c、 d 两直线平行，那我们有什么同位角，同旁 内角之类的？所以我们把这个 a、 b 跟 c、 d 啊，这里的啊延长 d、 c 加这里有一点，比如说我们说 f 吧， 那么这个角 e、 a、 b 等于七十度，这个角等于七十度，那就是说这个角 e、 f、 c、 e， 这角也是七十度，对吧？角 e、 c、 d 在 哪里呢？ e、 c、 d 在 这里，这个角是等于一百一十度， 一百一度则和它不相邻的两个内角的弧，这七十加四十啊，所以角 e 就 应该等于四十度 啊。当然你把这个角 e、 c、 f 的 这个七十度求出来也可以，对吧？然后一百八十减七十，再减这个七十，这样当然也行。好，我们看到第三题， 第三的角 b、 c 等于角 b、 c。 这个角等于三倍的角 a、 b、 c 等于三倍的角 a、 c、 b。 好， 咱们设角 a、 b、 c 等于 x 度，那么 这个角是 x 度，这个角也等于 x 度，这个角那就等于多少度？三 x 度，所以三 x 度加 x 度加 x 度，五 x 度等于一百八十度， 对吧？那么 x 就 等于三十六， x 等于三十六，这个是三十六度，这个三十六度，那么这个角就等于七十二度，所以这个角 a、 c、 d， 嗯，那就等于一十八度， 因为这里是直角，题目上说这里高啊，这里说了高，那么就是角 a、 d、 c 的 九十度。 好，这个奇差都是三题，外角等于和它不相邻的两个内角的和啊，然后这个角就是直角，三角的两个锐角互如。好，第四题就比较难了 啊，这个相反人题，其视域图如图所示啊。这些由时间关系文字我们就不多说，我们要来看它主要的，这里有一个叫始终平行， a、 b、 g、 h、 m、 n 始终平行，这是一个关键的词。 好，哎，刚才这里是如图一，是图二啊，图二，图一是个相反问题，图二呢，是它的几何变化图形，所以现在我们就来看到这个图案。 现在题目说角 e、 f、 h 等于五十六度， e、 f、 h 在 哪里呢？这个角啊，这是五十六度， b、 c， b、 c 在 这里跟 e、 f 是 平行的。哎呀，然后求角 a、 b、 c 求这个角，你看这两个平行呢，咱们要求这两个角布在一起呀，所以咱们想办法把它作辅的线弄在一起来，对吧？ 咱们可以做这个，把这个平行线呢，与第三条直线 好，比如说我们这个 a、 b、 c、 d， e、 f、 g、 h、 m、 n。 好， 这里比如说我们加一个 p， 延长 c、 b 与 h f 交入一点 p， 由于 e、 f 平行于 b、 c， 就是 e、 f 平行于 c、 p 两直角明同位角下呢？这五十六度，所以这个角就是五十六度。 哎，已知，刚才说 a、 b g h m n a b g h g h 就是 这个 p h， 对 吧？好，这两直角梯内侧角相等，所以这个角 a、 b、 p， 也就是这个角多少度呢？五十六度， 所以角 a、 b、 c 是 多少度呢？因此第一个这个角 a、 b、 c 就 等于一百八十度，对吧？减去五十六度等于一百二十四度， 对吧？这是五六，这就一百二十四度。一百五十六，加啊，一百二十四加五十六等于一百八十度。这里我们要想办法做这个辅助线。好，我们看到第二小题， 为了参加另一项高空救援的工作进行调整。嗯，现在有一个垂直，什么垂直 bc 跟 e f 所在的直线垂直啊，然后角 e、 f、 h 等于七十度，还是求角 abc 啊？现在图形在这里，现在有个什么呢？叫 bc， 如 e f， bc 在 哪里？ bc 在 这儿 跟 e f， e f 在 哪里？ e f 在 这儿，所在的直线是垂直。 哎，这，这里是直角，但图上没有画出来啊。但是题目又有一个，刚才这里所说的这个平行 a、 b， g h m n 是 平行的，所以我们来看了这个 a b， 你 看 a b， 好， 我们把这里一直做到这来。嗯，比如说这个是 p， 这个是 q， 也就是 a b 平行，介值就是 a q 平行 f h， 对 吧？好，刚才这个角，这题目上说，这里是多少度呢？这里是七十度啊，七十度，好，这个七十度，那这个角也就是七十度， 好，这个角就是二十度，为什么呢？因为这是直角啊，所以角 abc 就 应该等于一百六十度， 对吧？ abc， 呃，就一百八十减二十等于一百六十度，好，那么这个关键呢？是我们要把这个角之间的关系，把这个辅助线，把它给它做出来，记得点赞关注哦。

陪你一起做练习 八年级数学下册的这个配套的小练习小册数学作业本的第九页纸，如图，在 r、 t 三角 a、 b、 c 中，角 b 等于五十度。他说了 r、 t 直角三角形五十度， 那么这个角 a、 c、 b 就是 四十度。现在 c、 d 平分，则这两个角都是二十度，所以第一题选择 b 二十度，第二题 c、 f 平行于 d 啊，两者就平角 a、 c、 b 九十度。角 a 等于三十度，这个角等于三十度，所以角 b 就 等于六十度，角 e 等于一十八度。那我们可以来过这里， b 做一个跟 这个 c、 f 平行的直线，所以这个角呢？又这六十度，所以这边的角就等于四十二度， 所以这个跟上面平行，跟下面也平行。哎，对顶角相等，所以这个角就应该等于四十二度角二，也就是四十二度，所以我们选的 a。 第二题选的 a。 第三题等边三角形的各角都等于六十度。他的秘密题呢，就把这个条件和结论倒过来说，就是各个角都是六十度的三角形，是等边三角形啊 啊，如果有一个三角形，它的各个角都等于六十度。反过来，如果一个三角形的各个角都是六十度，各个内角啊，那么这个三角形等于三。我们说这个逆命题啊，它是真命题，对吧？三个角都是六十度的三角形，它当然是等边三角形。 第四题有一个裁缝加个长方形的布料折叠，这个角 baf， baf 在 那里，这个角 等于五十度。 b、 a、 f 等于五十度，那么 b、 a、 d 是 九十度，所以这个应该是四十度。由于这个折过来，所以这个角等于二十度，这角等于二十度，因为折过来两个角相等，呃，这里是直角，所以角 a、 e、 f 就 等于直角，再连锐角互为，这是七十度， 所以角 a、 e、 f 等于七十度。包右上角的这个小圆圈呢？有人总是不给我写清楚。 好，我们看到第五题， e 是 三角形 a、 b 边上的一点连接，这没有图形啊。那角 a 等于十度，角 b 等于五十度。当三角形 b、 c、 e 为一个直角三角形的时候，角 a、 c、 e 是 多少度？哎，我们打个草稿，好吧， 十度可不大好画了啊。嗯，这一个角是五十度，这个角是十度。 好大概啊，大概。这个，比如说，这角 a 是 十度啊，画的不大像啊，大概的样子，这角 b 是 五十度，现在 bce 是 直角。三题 a 可能就这个 在这，那么这个角 bc， 呃， bc 呢？就是四十度，那么这个五十度，这十度就是六十度。这个角 a、 c、 b 原来就是一百二十度。 角 a、 c、 b 等于一百二十度的话，那么这个角就应该等于八十度，对吧？好，我们再继续来看。当然呢，这个，刚才我们说 e， 这就是直角的顶点，那么它也可能是这样的， 对吧？这样的 a、 b、 c 是 直角，乘以这是直角，那么这是直角，那这个角呢？那就应该是四十度 啊，四度等于十度，加这角就三十度，所以或者三十度没有了。这角 b 不 能是直角，对吧？所以可能 e 这地方是直角顶点，或者 c 这地方是直角顶点。所以这道题是两个答案。好，我们看到第六题， 如图，在三角 a、 b、 c 中， a、 d 是 bc 边上的高， a、 d 是 高， 嗯，还有什么呢？角 d、 c、 m 哪里呢？在这等于角 m a e 等于这个角，我们说这这点角是相等的。角 a m e 等于角 c m d， 所以 角 a e d 啊 a e m 角 a e m 就等于一百八的减，这两个角也得一百八的减，这两个角等于这个角，所以它就等于九十度，也就说三角形 a， e m 是 直角三角形，这个比较简单，就不多说了。我们看到第七题， a、 d 是 三角形 abc 的 角平分线 a d， 然后呢？又 ab 等于 a c， 所以呢，是底边的高线，底边的中线，对吧？ 第一个说明 a、 d 是 等幺三角形哦，题目是这个问题，那么等幺三呢？我们看到这里有一个叫 d e 平行于 c， 所以 这个角 c a d 啊，等于角 a d e， 于是角 e a， d 等于角 a d e， 所以 这个我们就有了这个 a e 呢？等于这个 d e， 所以 三角形 a d e 是 等幺三角形。嗯，再说一遍， 因为这个 a、 b 等于 a c a d 呢，是顶顶角的平分线，所以这两角相等。 要因为 a、 c 跟 d 平行，所以两证明内侧角相等，所以这个角 e a， d 等于角 e d a 等于 e d， 所以 三角形 a、 d 是 等腰三角形。好看到第二个入 a b 等于十， 那当然这个 a c 也等于十了啊。 bc 等于一十二，那这就等于六，这就等于六，那这个 a、 d 就 等于八。 哎，刚才为什么等于六呢？等幺在你底边上的这个。呃，等腰顶角的平分线也是底边的中线，也是底边的高线，三角合一，对吧？这里等幺三角形， 哪里呢？顶角的平分线也是底边的中线，所以这十二对吧？这不就是六，这就是六吗？然后也是垂直的，记得点赞关注哦。