勾股是什么意思

勾股，定力勾股分别是什么？勾什么股呢？在古代咱们测量高度最常用的工具叫定，就是这把呢直角尺，当这把尺子立在地上时，跟你立平放的这一条边，像是走路时哈弯曲的脚。勾，所以呢叫做勾，然后咱们直立的这一边，那么向人体站立的大腿，所以呢叫做， 我们都知道，对吧？在这个文言文中，古代的骨是大腿的意思，连接啊，这两个顶点的这个弦斜着拉过去的这根绳索呢，就像拉满了琴弦，所以呢叫做弦，这也是为什么我们非常对吧挂在嘴边的勾三股四弦物。谢谢数学数学敏捷，关注我，带你看透生活背后的数学逻辑！

这种特殊的根古数，当时上新课的时候就让你们背了，到现在都快期末了，你还搞不明白？看着啊，当时我们定义的时候是在直角三角形去定义三角函数的，那他是 r 法角，那么 c e r 法他就等于对边比斜边， 那就是对比斜。 cosine 尔法，它就等于这个是对边，那它就是邻边。 cosine 尔法是邻比斜 攀登切的话，它是对比邻，那它也等于 cosine 尔法。比 cosine 尔法，这是课本上给我们的定义。我们小时候就有两个三角板了，一个是等腰直角三角形，这个是个四十五度， 这里也是四十五度，所以说他的三边关系就是一，一根号二，还有另一个直角尺三十 度，那这里就是六十度，这里是一三十度。角所对的边等于斜边的一半，这里是一，这就是二，那这个边的话就是三，这个就是我们最开始接触的两组勾股数一，一根号二， 这个是一，二根号三。后来我还给你们补充了三、四五、一、二根号五， 还有六、八十五、十二、十三，你说就这种的吗？你死记硬背啊，你想想三边关系你都知道了，要什么三角函数你算不出来啊？你还要什么自行车呀？

勾股定律很多人都会，可你为啥这种题总是做不对？因为玄学你还没有学会。今天阿伦一个视频，教会你勾股定律的玄学知识，让你题目一看就会，考试一写就对，让初一老师一见你就废。这种题目给了我们两个角度，一组对边，让求这三条共点线段的关系。 直接用勾股找关系的话，咱会发现走不通这勾股的关系才行。那啥是硬关系呢？ 相等线段是硬关系，这俩线段长得一模一样，还共点，这关系比谁都硬。有了这层硬关系以后还得需要找人跑一下，这层关系找谁呢？找玄学旋转的旋，通过旋转把这俩等边放在一起， 但是咱过去肯定不能空手过去，所以带点东西，咱们将其中一个边所在的整个三角旋转一下，旋转到等边重合啊，这样关系就跑到位了。这关系跑到位了，事能办不成吗？ 旋转前后三角全等，对应边角一定一样，那 b、 d 等于 b、 m 加上旋转角六十度，这新的等边三角就有了。 这样原来要求的三条边儿就可以全部挪到这个三角。 c、 d、 m 中三角 c、 d、 m 一 看就是个特殊三角，利用下还没用过的角度条件， 四边形内角加全等倒一下角，得到这里 b、 c、 m 就是 九十度的直角，那直角都出来了。勾股一套，这答案扑面而来，所以记住了共点等线用玄学。 比如这里用一般三角的一边做了个正方形，让求这里 c、 n 的 最大。直接求确实走不通，但是不难发现，正方形天然就有共点等线。 有共点等线，那咱就用选选，将其中一条等线所在的小三角旋转下，旋转到和另一个等边重合，这样旋转全等得到了。等腰直角三角 a c m， 那斜边 c m 就是 直角边的根号，二倍要求的 c n 就是 b m b m。 在 三角 b c m 中利用下三边关系，这答案不就扑面而来了吗？

这是一道非常奇怪的题，成绩差的能做对，成绩好的也能做对，偏偏中等生却做不对。来，我们先看题，若三四 a 为一组勾股数，则 a 的 值为多少？来，我们看看中等生是怎么做的，它会画出一个直角三角形， 两条直角边分别为三和四。那我们通过勾股定律 a 方加 b 方等于 c 方， 很容易算出这条斜边等于五。这是第一种情况，此时他还会想到，如果说这条四，这条边如果作为斜边， 那么通过勾股定律，我们就可以算出这条边等于根号七。此时他就会算出两个答案，一个五，一个根号七，他就会选 d。 接着我们来看成绩好的他是怎么做的，他算到这里的时候，他就知道勾股数 他还有一层是什么。除了满足勾股定律 a 方加 b 方等于 c 方以外，他还有一条就是必须是正整数，所以说他就把根号七舍去了，那么就直接选 a。 接着我们看差乘是怎么做的，三四 a 勾三股，四选五，这不是小学学的吗？选 a 啊！

今天我们来看一下勾股数的本质是什么？来看一版，我们初中都有学过勾股数，对吧？那么勾股数的话，我们先从这最简单的来，三四五，对吧？我们简称勾三股四减五，是不是？然后呢，还有什么五是二是三 七二四二五八十五，十七九四十四一，我们基本上这五组就够了，因为剩下的所有勾股数都是由他们的倍数得来的。 为什么要这么说呢？你们肯定会疑问，哎，为什么老师没写六八十？是不是？其实这些六八十都是从幼儿园来的，是不是都这个三四五的来的？他们去乘二就得到各自乘二就得到六八十，各自乘三得到什么？九十二十五，是不是 乘三三三三得九三四十二三五十五，对吧？好，这边还可以乘二得到什么？十二四二六，对吧？这些都是啊，那我们基本上不写那么多，我们记住这五组，然后剩下的你用他们的倍数就行。那么这蓝色的就叫非本元啊，红色就叫本元。 那很多人说，哎，我记那么多有点累，是吧？所以你只需要记住五组就可以，这五组记起来，你初中用到的所有勾股数你都记住了啊，这些乘二其全部都是哈，十四对吧？四八五十 啊，乘三也行啊，随便你乘，只要你乘的倍数是什么正整数就可以了啊，这些是我们最简单的勾股数。好，然后呢，我们来解释一下什么叫做本元勾股数，还有非本元勾股数，然后如何证明的？一起来说一下 勾股数呢，分为本圆勾股数，那么我们也叫做数勾股数。好，那这个意思是啥？就是说这三个勾股数是什么？互治的互治。 好，我们看一下哈，简单举一个我们说的学的这个勾三股、四弦五啊，就这三个最简单的，你看这三个数，他们的共同因素只有一，对吧，没有别的数了，所以他们这三个数是互斥的。那你看六八十这个是不是本元共股数？他不是，为啥呢？因为这三个有个共同的因素是二，对吧？ 是吧？除了二之后，你看到吧，还是等他，是不是？还是等他，还是等他，对吧？所以呢，这个就不属于本圆勾股数。那么我们有非非本圆勾股数，对吧？六八十就是非本圆勾股数，那他们有什么关系？其实本圆勾股数的倍数就是非本圆勾股数，我们来看一下非本圆勾股数， 你看这里面六八十就是非本圆勾股数了，对吧？好，那我们如何去验证它呢？我们一般情况下就是本圆的，为什么 a 等于 m 平方减 n 平方， b 就 等于二倍 m n c 就 等于什么 m 平方加 n 平方？ 好，这个验证过程呢，稍微比较复杂一点，那么对于我们说初中的生学生呢，我们就先把它记起来就行了哈，记起来就可以了，然后我们来证明一下它怎么去证明 我们勾股数。我们知道它是 a 方加 b 方，会等于 c 方，对吧？所以呢，你要验证的就是说你这两个东西加起来会不会等于这个啊？那我们看 a 方是 m 方减 n 方，对吧？ 然后再来平方哈，加上什么 b 是 什么？二倍 m n， 对 吧？然后再去平方。好，它平方完，第一个是完全平方，这是 m 的 四次方减去二倍 m 的 平方， n 的 平方再加 n 的 四次方，然后再加上四倍 m n 各自的平方。 好，完了之后，这个是负二，这是正四，对吧？所以它会约完这边什么正二 m n 各自的平方，你看，然后这个又是我们的什么完全平方的形式，所以是 m 平方加 n 平方之后的平方。你们发现没有？因为什么我们 c 的 平方就等于谁？是不是跟这个是一样的，对吧？所以呢，我们就知道了，验证到什么 a 方加 b 方等于 c 方，所以这个就是我们的本元勾股数的验证过程。然后呢， b 本元的呢？我们刚才说了，它是本元勾股数的什么倍数，对吧？ 所以呢， a， 我 们就设为什么 k 一 倍的，什么 n 方减 n 方 b， 我 们就证明 k 是 什么二倍 n n c 就 等于 k 一 倍的什么 n 方加 n 方。好，这个就是非本元的一个舍舍，它是三个数哈，然后我们来同样来证明， a 方加 b 方就等于什么整个什么了平方，对吧？再加什么 二倍 m n 的 平方，是不是这里成个 k 啊？漏了写 k， 哈，就等于它，对吧？对，这个完了之后，各自的平方出来哈，我们先不画它，就只画到这一步就可以，为什么呢？等会你往后看就知道了哈，我为什么不去画它？ 这里平方，对吧？好，那你看，大家都有个共因素，叫做什么 k 方，对吧？这 k 方可以提出来，然后这里各自的方写上去。好，这边也是写上去。哎，你发现了啥？这个东西我们刚才已经正过了，对吧？到他哪里，这个东西到哪里了？最后面他得到什么 m 方加 m 方，是不是这个我们是验证过的，对吧？所以呢，这个东西我们的中括号在这里，我们的中括号就可以去掉了，是吧？因为没有别的数了，是吧？所以我中括号就不用写上去了。好，这里面又变成什么我们的啥 k 乘以什么 m 方加 n 方之后整一个的什么平方，这个是不是等于我们的什么？我们 c 方就等于什么？刚好是跟它一模一样的，对吧？ 所以我们就验证出来是什么 a 方加 b 方等于 c 方了，是吧？这个是非本元勾股数跟本元勾股数它两个的一个概念，记得关注再走哦。

勾股定律啊，就一个口诀，让你一分钟能记住所有的勾股数，成为班级里数学的天花板。这个口诀听清楚了啊，叫基数平方，写连续偶数半方加减一。给大家举个例子哈，比如说基数七七的平方呢，是四十九，四十九呢，分成连续两个数啊，就是二十四和二十五的加和，所以 七二十四，二十五，他就是个股数。我们再比方说，偶数十十的一半的平方呢，是二十五，二十五加减一就是二十四和二十六。所以啊，十二十四、二十六就是一组个股数。所有的数字啊，大家都可以用这个方法来算，你看是不是很神奇？ 你会了这一套方法，别看简单，但是在考试的时候，尤其初高中大题、复杂题的时候，你会这一个判断，会提升很多效率。

好的，我们今天呢开始学习一下第二十章勾股定律。呃，那么什么是勾股定律呢？其实非常简单，告诉你有一个直角三角形啊，那么你就可以知道他的 a 方加 b 方是等于 c 方的。你比如说在这个三角形里面， 两条直角边的平方和啊，是等于斜边的平方的。 ok， 我 们来证明一下。怎么证明呢？哎，他给了两个 正方形，首先是两个正方形，一个是 b， 一个是 a， 对 吧？边长，然后呢这个他从这边截取了一段 a， 那 么我问你这段长度是多少啊？非常简单，是 b， 为什么呢？哎，你看这个长度是不是 b 加 a 啊？那你这边截取了一个 a， 那 你剩下的肯定是 b 啊，对吧？那么咱们知道了这个之后呢，咱们以这个点啊分别相连，然后你就会得到四个全等的三角形。为什么全等呢？边角边 啊，对不对？边角边，对吧？非常简单。然后这四个三角形全等之后呢，你把它这个 这两部分给翻上去，你会得到一个大的正方形，那么这个大正方形的边长呢？就是以 a 和 b 为直角边的斜边好吗？那么我们都知道啊，左边和右边是完全相同的，对吧？那你左边的这个 面积呢，可以看成是 b 方加 a 方，对不对？两个正方形的面积吗？对吧？那右边呢？哎，你就可以知道他是 c 方， 那我们就退出来了呀， a 方加 b 方等于 c 方，对不对？非常的简单。好的，讲完这个呢，咱们再来看一下第二个重点啊，这个主要是补充的内容，就是在判定全等三角形的时候，针对于直角三角形，他有一条特殊的判定定律，就是斜边，直角边，对吧？那为什么说两个 直角三角形啊？他的斜边直角边相等的话，他就全等了，哎，你看我们来证一下。首先呢，我们说他们两个的斜边是 c 啊，还有一条直角边是 b， 那 为什么就全等了呢？ 啊？其实非常简单，那你知道了，这个是 c， 这个是 b， 咱们用刚才的勾股定律，你是不是就可以知道他的平方等于 c 方减 b 方，那么他是不是也是，那么这两条边 也就相等了，那咱们直接简单的根据边边边不就判定出来了吗？好吧，非常的简单。 那么咱们再来看一下，第二个竖轴上如何表示一个无理数呢？你比如说我让你表示根号五，你应该怎么表示呢？首先呢，你给他平方一下，他是不是等于五呀？那他是不是等于四加一啊？为什么是四加一呢？因为四和一的这个算数平方根啊，正好是两个整数， 这样的话你就会知道啊，这个根号五呢，他是以一和二为直角边的斜边好吗？那知道了，这个就简单了， 我们画一个竖轴，然后确定了圆点的位置啊，这边截取一个二，这个长度呢？截取一个一，对不对？这边是二，这边是一，那这个就是根号五了呀，你拿圆规往下一画半圆，对吧？这个点他表示的不就是根号五所在的点吗？ 不只是根号五啊，就是其他这些根号的啊，他让你在数轴上表示，你也可以用这种方法，尽量找两个 整数的平方和等于他的平方，好吗？你比如说我让你找根号十七在数轴上怎么表示，你就可以知道他的平方是等于十七，对吧？那他等于十六加一呀，两个整数的平方，对吧？那 这个是四，这个是一啊，以四和一，对不对？两条边，这个是四，这个是一，然后这个当然就是根号时期了，你往下一划，他不就出来了吗？对吧？ 好的，最后呢，咱们再讲一个勾股定律的逆定律啊，上面的勾股定律呢，是告诉你他是直角三角形，然后两个直角边的平方和呢等于斜边的平方，对吧？那么勾股定律的逆定律呢？同样的也是反过来了， 如果说你知道一个三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方的话，那么这个三角形就是直角三角形，好吗？ 判定他是不是直角三角形，用这种方法，好吧？ ok 啊，咱们看一下这个复习题里面的两道题啊，这里的话，第六题就不看了，咱们只看第五题和第七题，好吧？ 好，我们直接来看一下第五题的话，一个三角形三边的比为一比根号三比二，这个三角形是直角三角形吗？如果说让我看这道题的话，我直接就用这三个数字来看了， 一根号三和二，他们的平方分别是什么？一三四对不对？那么一加三正好就是四呀，那他就是满足的。哎，有的同学可能会问啊， 为什么呢？哎，他不是告诉你是比吗？那你加上一个 x 也是一样的吗？ e x 就是 x， 对 吧？如果是 x， 根号三 x 二 x 也是一样的呀，你的平方就是 x 的 平方呀，你的平方就是三 x 方呀，你的平方就是四 x 方呀，哎，加起来还是相等的呀，对吧？ 啊，加不加 x 都可以啊，你直接用它比值也是一样的好吧， ok 啊，咱们再来看一下第七题，已知直角三角形的两条直角边的长分别为这个和这个，然后让你求斜边的长，对吧？ 同样的就是要求他俩的平方和嘛，然后平方和你就会得到斜边的平方啊，别忘了开根号啊。首先呢，我们来看一下二倍根号三加一的平方，再加上二倍根号三减一的平方来等于什么？ 我们首先呢，把二倍根号三给他还原一下，他就是根号二得四三四一，十二，对不对？根号十二，那你他方加他方的话，那就是十二，加一就是十三了，对不对？右边的话，同样的二倍根号三的平方加上一的平方呢，也是十三，对吧？ 哎，值得注意的是，他这边加的是二倍的二倍根号三，然后这边呢会减去一个二倍的二倍根号三，所以一加一减直接就消去了，那最后呢，会得到这个斜边 c 的 平方，那你最后 c 就是 等于根号二十六了吧， 是吧，非常简单。好，那么以上呢，就这一个全部内容，希望对大家有所帮助啊。好，那么这节课呢，就上到这，同学们下课，拜拜。

勾股定律就一个口诀，让你一分钟就能记住所有的勾股数，成为班级里数学的天花板。这个口诀就叫做基数平方写连续，偶数半方加减一。我举例子，比如说基数七，那七的平方是四十九、四十九分成两个连续的数就是二十四和二十五，所以七、二十四、二十五，它就是勾股数。 我们再比方说偶数十十的一半的平方是二十五，二十五加减一就是二十四和二十六，所以十二十四、二十六就是一组和五数。所有的数字大家都可以用这个方法来算，你看看是不是很神奇？赶紧的去试一试。

还在紫荆背勾股数吗？什么三四五六八十？我告诉你，没必要，你只要今天学会这个口诀，随便给你一个什么整数，你都能够写出包含这个整数的一组勾股数，当然一和二除外。那这个口诀叫做什么呢？叫做基数的平方，写连续偶数，半方加减一。 给我举个例子，我让你写出一个包含七的购物数，你说你没有背过，没关系，七是个什么呢？七是个基数，基数呢，我们要先写它的平方，写成四十九，然后呢我们要把四十九写成两个连续的自然数之合。那这个你不会写怎么办？我教你，其实很简单，你就用四十九直接除以二， 四十九除以二是不是等于二十四点五？那你往前一点是二十四，往后一点是二十五，那么四十九就是由二十四加上二十五构成的，这就是两个连续的自然数之合。那么好了，那也就意味着七 二十四、二十五就是一组勾股数。不信的话，你可以自己去尝试一下，七的平方加上二十四的平方，是不是等于二十五的平方？果然是所有的技术都可以这么干。那老师要是偶数怎么办呢？不要着急，偶数呢，咱们也来说一个，比如说我让你写一个包含了十二的 勾股数，你说老师十二我也没怎么背过，没关系来，十二十二是个偶数，偶数呢，要先给他砍一半变成六，再给他平方变成三十六，这叫做偶数半方。什么叫加？减一？来三十六，加一是多少？加一是三十七，减一是多少？减一是三十五。 好，那就意味着十二、三十七和三十五是一组勾股数，不信的话你可以试一试，十二的平方加上三十五的平方，正好啊，等于三十七的平方，这就是基数平方，且连续偶数半方加减一，学会了吗各位同学？

老师，勾股定律有没有很炸裂的口诀？我要不要告诉他？勾股定律有一个口诀，一分钟就能记住所有的勾股数，祝他成为班级里的数学大神！口诀是计数平方写连续，偶数半方加减一。 比如说计数七七的平方是四十九，四十九能写成两个连续的数，二十四和二十五，所以七二十四，二十五是勾股数。 再比如，偶数十十的一半是五，五的平方是二十五，二十五加减一得到二十四和二十六，所以十二十四、二十六是一组勾股数。所有数字都可以用这个方法计算。算了我还是告诉他吧。像这样的方法，我的主页还有很多，必须让他关注一下。