高二下数学第一次月考立体几何

主播，主播，都说立体几何简单，但是我第一问证明总没思路，后面的二面角也不知道怎么求，能不能出个视频教教我？没问题，同学，本期视频将选出两个最新高考题，带你体悟做题思路。 好，今天我们看到这个立体几何的题型梳理部分，我们先讲大题啊，因为大题他的套路话是比较明显的，基本上你学了之后呢，下一次考试再遇到你就能够拿分。那至于小题部分呢，我们等把这个大题讲完之后再去分析啊。 行，我们先看第一题。第一题先看一下他让我们证明什么？第一问，永远的证明题，他让我们证明面 p a、 b 和面 p a、 d 是 垂直的。好，那是什么？面面垂直吧。我们想到怎么样能够推出来面面垂直呢？ 是不是啊？线面垂直啊，那画个图来表示一下，如果说我们有一个线垂直于一个平面，那是不就有过这个线所存在的一个平面会跟这个平面是垂直的呀， 对不对？同学们想一下，在这个知识点梳理课有讲到的好。然后我们回到这个题目，他想要这个面和这个面垂直，那我们看一下有什么条件吧。 第一个， pa 垂直于底面 a、 b、 c、 d。 好， 那也就是说我们通过这个可以得到 pa 垂直于底面 a、 b、 c、 d， 那 它就会有 pa 垂直于 ab 以及 pa 垂直于 a、 d。 那 为什么我要写这两条边呢？我写这两条边不一定是说我这个全都要用到啊，我写它的原因是因为我下一个条件出现了 ab 和 ad。 同学们看一下，下一个出现了 ab 和 ad， 所以 我写它们是为了把两个条件联系起来，看能不能帮助我们解析。 好的，看第二个。我们现在假如说你选择这一个吧，撇垂直于 ab， 好， 这一个是垂直于 ab 啊， 那我们现在发现了你 ab 这条线，它既垂直于 appa， 又垂直于 ad， 那 不就会垂直于这两个相交直线所构成的平面吗？对不对？你看我 pa 垂直于 ab， 然后右边这个就不用了。然后又因为 ab 垂直于 ad， 这俩它们是相交直线，那我们就会有 pa 垂直于面啊，不是，是 ab 啊， ab 垂直于面， p a， d 吧。然后又因为 ab 它是属于这个面 p a， b 的， 所以就会有面 p a， b， 然后会垂直于这个面 p a， d。 好，写到这里答案就出来了。但你考试不能像我这么写啊，我这个是帮你进行思路分析的，我待会再给你把标准答案写一下。考试不能这么写啊，这么写是零分的好吧，零分行。然后我们看一下第二问，第二问先把这个擦一下， 第二问，他说了什么？给了我们各个边的边长。好，我们看一下。 pa 是 等于 b， a 等于 ab 等于根号二啊，根号二，根号二，然后 bc 等于二啊，这个等于二， ad 又等于 ad 在 哪？ ad 在 这里一加根号三。然后他问我们，且啊，他告诉我们，且， p， b， c、 d 这四个点都在求 o 的 球面上。 好，出现了一个球了，外接球，这四个点都在球面上，那说明什么？同学们，说明什么？是不？说明球心到这四个点的距离都相等啊，你想一下，画出一个球，然后告诉你， 球心，你是不是有这个球心到球上的各个点的距离都相等啊，都等于半径啊。好，我们这里可以理解，然后他第一位让我们证明点 o 在 平面 a， b， c， d 内，那你现在就知道这个，证明一下这个点 o 在 这里面，那咋办呀？ 其实你就直接间隙嘛，对不对？间隙，假设间隙完之后，你假设这个点 o， 假设这个点 o 是 x， y， z， 然后你利用哪一个条件利用这个？ 呃，这，利用这个 o， b， o， p， o， d， o， c， 这四个点的距离都等于 r， 利用这个条件，然后解出 o 的 坐标，然后你会发现你这个 o 的 坐标啊，它的，它的这个解轴的坐标一定是为零的啊，一定是为零的。好，然后我们具体再分析一下，看一下怎么接啊。 刚刚我们通过第一问是不证明出来了，这一个垂直于啊，不对，是这一个垂直于这两条线呐，对不对？然后又有这一个是垂直于这两个的吧，然后我们会发现，其实这就是一个两两垂直的，两两垂直的三条线吧，那你就可以直接间系了啊，由一可 得啊，不用，由一得也行，直接就来以，还是写一下吧，由一之 a， b， a， p， a， d 两两垂直。 好，那么我们就会有以 a 为圆心，以 a 为坐标原点，不是圆心啊，坐标原点， 然后 ab 为 x 轴， ad 为 y 轴， ap 为这个， 呃，画的不是很标准啊。好，这样子， a， p 为 z 轴啊， z 轴 x， y， z。 好， 然后 ab， 那 这个这个箭头方向要写好啊，你不能说 b a 啊，你不能说 b， a， 那 就不对了啊， ab 为 x 轴， 再来 a， p 为 z 轴。 行，我们写到这个形式之后呢，然后你开始写坐标了，看一下你需要用到什么坐标，你再写什么坐标点 a 是 不是零零零啊，对吧？因为它在坐标原点嘛，在坐标原点。好，我们再下一个，我们刚刚说了，你要表示出来哪几个呀？ o p， o， b， o， c 以及 o d 啊，这四个，四个长度，然后我们看一下 b 点， p 点，那 p 点坐标在哪里？它是不在，因为你 p a 是 垂直于这个底面的嘛，所以 p 点坐标肯定是在 a 点坐标的正上方，所以 p 点坐标，它的 x 轴和 y 轴的值为零。 零零。好，那它有多高呢？多高？就是这段长嘛，这段，这段长是不是根号二啊？题目说的 好，再来下一个 b 点坐标， b 点坐标，它出现在这个 x 轴上，它在 x 轴上的话，说明它的 z 轴啊，以及这个 y 轴的值为零啊，同学们看一下，因为它都没有往上飞嘛，对不对？它也没有往右边走嘛， 所以它的 x 轴坐标应该是根号二，然后零零。好，下一个写 c 点坐标， 我们看 c 点坐标。 c 点坐标，因为因为 bc 平行于 ad 嘛，对不对？你 bc 平行 ad 的 话，而我们刚刚第一问，证明了它是，它俩是垂直的， ab 垂直于 ad， 所以 ab 也会垂直于 bc 吧， ab 也会垂直于 bc 吧。好，那会垂直的话，我们就可以得到你这个 c 点，它在 x 轴上的坐标应该就是这一段了吧。 c 点在根号二。好，那他的 y 轴上坐标呢？是这个吗？不对啊，是这一个啊，因为这俩才是垂直的啊， c 点到 x 轴的距离就是他的 y 轴，就是他在 y 轴上的长度。好， c 点到 x 轴的距离就是他在 y 轴上的长度，那应该是二，然后这轴是零，根号二零。然后我们再看这个 d 点坐标， d 点坐标的话，它在哪里？它在这里，那它的 x 轴坐标应该是零吧，然后 z 轴也是零，那就是 y 轴是一加根号三， 那我们写零，一加根号三零。那现在我们这五个点坐标都出来了，那我们再表示一下这个各个各一个值吧。因为我们设球心 o， 我 们讲的这个球心 o 点坐标为 x、 y、 z。 好， 然后，所以， 所以看一下 o、 p， o、 p 向量是不可以等于后减前吧？还记得吧？后减前啊，那就是负 x 负 z， 然后，啊，不对，负 y 啊，然后根号二减 z， 行，然后再下一个 o b 向量是不等于 b 减掉 b， 减掉这个 o 吧，那就是根号二减 x， 负 y， 负 z， 然后 o c 向量，它就会等于 c 减到这个 o， 根号二减 x， 二减 y， 然后负 z， 再来 o、 d 向量会等于一个 负 x， 一 加，根号三减 y， 然后负 z。 好 了，这四个向量都出来之后呢？我们下一步怎么办？是不算他们的长度啊，对不对？算他们的长度啊，也就算他们的魔长，魔长。然后我们把第一问先猜一下 魔长怎么算，你看一下我们是不是有 o、 p， 我 们正常来说，向量的魔长是不等于， 如果它的坐标是 x、 y、 z 啊，那是不是就有根号下的 x 方加 y 方加 z 方呀？那在这里是不就等于根号下啊？是不就等于 r 呀？ 对不对？因为我们说它的长度是等于 r 吗？等于半径吗？那我不如直接把两边都平方了，这个平方不就可以把这个根号去掉吗？对不对？好，这个向量的计算问题，那就是由 x 的 平方加上 y 的 平方，加上 根号二减 z 的 平方，然后会等于这个 r 的 方，然后下一步就是根号二减 x 的 平方加上 y 的 平方，加上 z 的 平方会等于 r 方。 根号二减 x 的 平方加上二减 y 的 平方，加上 z 的 平方会等于 r 方。 因为虽然我这里是负 z 啊，但是你平方后他肯定跟这个是一样的嘛，对不对？你平方把那个符号就去掉了嘛？所以我直接写这个 z 的 平方啊，然后在下下面这个就是 x 的 平方， 再加上一加根号三减 y， 一 加根号三减 y 的 差的平方，再加上 z 的 平方等于 r 方。好，接下来我们这样子有一二三四，你通过这四个试试了，想要把这个 x、 y、 z 解出来肯定是很容易的嘛，我们先观察，先观察一下要先连累哪些。 呃，我们先看，先看这个第二和第三吧，对不对？你看第二和第三，为什么呢？你第二和第三去相减，这个是和这个减没了， z 和 z 也减没了吧， r 和 r 也减没了吧，对不对？那我们是不是就可以得到 y 方会等于二减 y 的 差的平方？ 好，二三可以得到 y 方会等于二减 y 的 差的平方，对不对？那很明显得到什么 y 等于一吧。好，再来，我们有 y 等于一，再看一下，还要连哪一个呢？ 我们看一下二四啊，二四连立一下二四的话能得到什么？阿方，阿方没了，这个和这个没了。行，我们要化简一下啊，化简一下二四就比较麻烦一点了，我们把这个啊也不会啊，我看插一下。哪里，这里插了吧， 这里插了，我们看一下二二四连立。连立之后，你可以把这个 y 等于一带进去的啊， 那就变成了根号二减 x 的 差的平方，再加上一会等于根号二啊，不是就等于 x 的 平方再加上 三，然后好，没了，没了，那我们选这个形式呢，然后我们观察一下怎么化解这里减一减一变成加二了，左边开，开，左边把这个平方开出来，他会变成了一个 二减掉二倍根号二， x 加上 x 方，那两左右两边的 x 方都给他约掉，那就变成等于二等于二。之后呢，又把这个二和二又约了，那变成负的二倍根号 x 等于零，那很明显说明什么？ x 等于零吧，你一个数乘以一个负倍二倍根号二，怎么样才能等于零啊？ 那只能为只能是这个 x 等于零嘛。所以连立这个二四啊，我们可以得到 x 等于零，然后再来，再来。 哎，这个牌子不差了吧，保留一下计算数据啊，然后再再下一步呢，我们看一下连立哪一个，把这个往下面移一点。 好，我们现在已经有了 x， 有 了 y， 那 我们再需要求一个 z， 其实直接我看一下 好连的这一条吧，这一条和这一条啊，这两条来我们看一下，有 x 方都没了，那 y 方左边变成 y 方，加上根号二减 z 的 平方，然后这个一和四。我现在连的是一四啊，然后右边是 一加根号三减 y 的 平方。行，好，这两个是相等的，我们再哦还要加一个 z 的 平方。对，好的，我们现在进行一个化解， 看一下 y， y 刚刚说了 y 等于几啊？ y 等于一吧，对不对？ y 等于一，那就是一加上这一个给它开出来。二减掉二，二减掉二倍。根号二的 z 加上 z 的 平方会等于， 会等于一减一枚啊，那就是三加上 z 的 平方，然后这俩都约了，这俩都约了，那就会变成负二倍高。二， z 也等于 零吧，对不对？那这个不就化简了吗？等于零，所以连立一四，我们会发现 z 也是等于零的，这里可能会过得比较快啊，同学们算一下就行了，这是纯计算的纯计算问题，相加相减。好，那我们先就得出来，所以 这个也差了，所以这个点 o 坐标为 零幺零，那不就可以说明出来吗？ g， 你 还没去说 g 点 o 在 这个面 a、 b， c、 d 内嘛，可以了吧？因为你这个 z 都等于零了嘛，它就在这个面内在运动了嘛，它都没有高度了。 行，然后我们第一问，就第二题的第一问就结束，我们准备擦一下啊，擦一下，那核心思想就是说，你假设一个点 o 出来，然后要使得你，因为你这个是点 o， 是 球心嘛，对不对？那你肯定到球上的各个点的距离都等于半径， 所以我们把这个坐标作列，列出来之后再相加相减连立，就可以得到最后的答案。行，我们把这些擦了啊， 然后我们讲一下第二，第二问的第二问好就是这个，这个来看，求 a c 与 p o 所成角的余弦值。那这个很简单了，线，线角，我们之前讲过，你怎么去求 a c， 怎么去求这个两个异面之间所成的角啊？ 哎，刚刚那个 o 点坐标是是几啊？我们看一下。是哦，零幺零啊，零幺零。行，零幺零，因为这一问要用的啊，要用的。好， o 是 零幺零。行。我们是不是可以把这两个向量写出来？你向量写出来之后， a c 向量等于什么？ p o 向量等于什么？写出来之后你再假设这两个角所。呃，假设这两个线所成的角为 theta， 然后 cosine theta， 它就会等于 cosine 的 a c 与 p o 的 所成的角好于线直行，然后再往下面写，这为向量的运算呐，对不对？向量的运算， a c 向量乘以 p o 向量，再除以它们各自模的乘积嘛， 对吧？那这个就是纯计算问题啊，这个我就不细算了，不细算了，把这个坐标自己算出来就好了。在这里坐标都有了嘛， a 点、 p 点、 c 点和 o 点 四个点坐标都有了，你后减前，然后得到这个向量坐标，再进行一个运算就可以了。好，这项量这一节的内容啊。行，我们这个就结束。 好，我刚才讲讲了要把这个第一问的内容啊。行，我们这个就结束。好，我刚才讲了要把这个第一问了啊， 看一下啊，我们先把后面讲完吧。后面讲完先看这个第二问第二道题。好，他让我们证明线面平行啊。线面平行，那我们想一下，你要证明线面平行有哪些方法呀？是不是可以想到线线平行啊？ 或者说面面平行吧，对不对？你线面平行，那就是一个线平行面内的一条直线，那么就可以得到这个线是平行这个面的， 然后面面平行，就是如果你已经两个面平行了，那么就会有其中一条面的任意一条直线一定会平行另外一个平面。好，我们先看一下这一条，这这一道题要用到哪一个式子啊？首先我们看它要的是 a 撇 b 来平行于这个 a 撇 b， 想要平行于这个平面，那不就是。如果说你要利用线线的话，那我们看应该是这个平行这一条吧， 但你看这个好像不太可能平行吧，对不对？那你就找一下能不能面面平行。如果说你要利用面面平行，那很明显过这个线处存在的一个平面就是这个面了。面 a 撇一 b 要平行，面 d 撇 c f。 好，我们看一下能不能，能不能正得平行，先看有什么条件。题目给了 ab 平行于 cd， 哎， ab 平行于 cd， 那 不是很好的用吗？那我们就有 b、 e 会平行于 c、 f 吗？ 好， b e 平行于 c、 f 能够得到什么？是不是能够得到 b e？ 它是属于啊，不是？不是属于啊，那是不可以得到 b、 e， 它会平行于这个面 c、 f、 d 撇啊，对不对？好，再来，我们这个图形是怎么来的？是不是原来这个这个四边形给它翻折翻上来的呀？ 对不对？你翻上来的话，那我们是不可以得到原来原来我们这个边是平行的，你翻上去之后，他肯定这两条边依旧平行啊， 那就是 a 撇 e 会平行于这个 d 撇 f 啊， a 撇 e 平行于 d 撇 f， 那 同样的，你是不是可以得到 a 撇 e， 它会平行于这个面 c、 f、 d 撇啊，对不对？你光看字母也知道啊，这个 d、 f 肯定是属于这个面内的嘛，你看它这个字母都一样。好，接着我们来看 b e 有 了， a 撇 e 有 了，它们是不是有共同点？ e， 对 不对？所以它们一定是属于这个平面 a、 b、 e 撇的啊？不对，属于哪个平面？呃， a 撇 b e 啊， a 撇 b， e， 把这三个字母混在一起就行了， a 撇 b、 e， 那 你放在左边来看，也就是这样子， a 撇 b， e， 对 不对？那你现在题目要求的这个边，它不是 a 撇 b， e， 对 不对？那你现在题目要求的这个边，它不是 a 撇 b， e， 对 不对？那你就可以得到面 a 撇 b， e 会平行于面 c、 f、 d 撇，并且 a 撇 b 是 属于这个面的，所所以说 a 撇 b， 它就会平行于这个面， c、 f、 d 撇。好，这个具体过程我就不写了啊，因为时间还是有点紧啊，我们要讲的题目比较多。行，然后写到这一步，我们重要的是把这个思路，思路讲出来，我们再看第二问。 第二问，让我们求这个二面角的正弦值，那肯定先想间隙吗？间隙的话，你要的是 x、 y、 z， 他 们三个互互相垂直吧，两两垂直吧。那你就要考虑到九十度吗？看题目有没有说，有没有说到垂直，或者说九十度来看一下。 看我们这个第二个条件，不就说九十度吗？ d， a、 b 等于九十度。好，这个是九十度，再来还有什么条件？嗯？ ef 平行 a， d， ef 平行 a， d 好， 说明这个也是九十度哦，刚刚的 ab 平行于 cd 啊，说明这两个角它也是九十度。那我们就可以做题了吧，对不对？你这个九十度，我们就可以以 f 为坐标原点， f、 e 为 x 轴，然后 f、 c 为 y 轴，好连，然后再再再说。再说明一下啊，做一个 z 轴，做一个 z 轴， 做 z 轴，分别垂直于 x、 y、 x 轴 和 y 轴啊，那当然，你考试不能像我这么写啊，我这是为了减少时间，你就写坐标轴，分别垂直于 x 轴、 y 轴。行，这样你把 x、 y 这三个都给他表示出来之后，我们就可以写坐标了，看下你需要哪些点坐标啊？ 好，需要哪点坐标？那我们先讲一下你这个二面角计算的方法是什么？是不是找出两个面它们之间的法向量啊？对不对？法向量，那法向量又怎么找呢？ 如果是 b、 c、 d 撇，我们是不是要找出里面的两条相交直线？比如说，呃， b、 c 吧，然后 c、 d 撇吧，这两个相交直线吧， 然后法向量是什么？法向量，刚才那节课上一节课讲过，它是垂直于面内的，法向量所在的直线是垂直于这条面的，那不就会有法向量垂直于面内的任意一条直线吗？所以 b、 c 垂直这个法向量 m， 这是 n， 法向量 m 应该是等于零的。 c、 d 垂直法向量 m 也等于零，然后右边就是这里面再找出两条相交直线啊，我们可以写 f 一， 它垂直于这个 m 啊，不是 m 了，右边这个是 n 啊， 等于零，然后 f、 d 垂直于这个 n 等于零。好，先把这个大字思路写出来啊，然后最后你再去计算计算就好了。然后开始我们写坐标，干脆就按照这这四条边的形式吧，把这四条边的坐标写出来，先看 b 点坐标，看他有没有给我们具体数值啊。 哎，没有给我们具体数值，但是他给了我们各自边的比例吧，对不对？还给了各自边的比例，我们怎么办？ a、 b 等于三 a d， a， b 等于三 a d， 那 我们假设 a d 为 x 了，这个也是 x， 为什么？因为这两条两两边互相平行嘛，那很明显一个平行四边形的，所以这样出来之后，我们还有 还有什么 ab 等于三 a d， 所以 ab 应该是三 x。 哦，这个不是这么写的啊，这个是它的 x 轴，所以 ab 是 三 x。 好， 再下一步 还有没有给什么 cd 等于两倍的 ad cd， 那 cd 就是 二 x 了，所以这是 x， 这是 x， 那 很明显这个也是 x 吧，这个就是二 x 了吧。 行啊，那我们这么写 x 写那么多，肯定是会影响我们判断的，那我们怎么办呢？直接令 x 等于一啊。来，我们写令 a d 等于一。好，你这么写就可以得到，则我们一个坐标来写，先写 b 点坐标， b 点在哪？ 在这里。那他的 x 轴坐标应该是这一条吧，对不对？那应该是一个 x， 那 也是 也就是一了啊。一，然后他的 y 轴坐标呢？ y 轴坐标肯定是这一条嘛，这垂直的嘛，对不对？那就是二了，这头坐标是零啊。好，我们 b 点坐标出来之后，再看一下，一个 c 点坐标， c 点坐标看一下啊， c 在 哪？ c 在 这里， x 轴为零了吧，然后 y 轴为一了，那就是零。一，然后零。再来一个地撇坐标，地撇坐标的话，地撇在哪？ 地在这里，那地撇应该是这个啊，应该是这个可能被我这个盖住了，被这个字盖住了，地撇在这里。我们看一下怎么写它的坐标啊？ 嗯，先看它的 x y x y 上的位置吧， x 上它在坐标原点嘛，坐标原点的上方，所以它 x 值肯定是为零的 零。那 y 值呢？你看它是不是偏了一点啊？它往右边偏了一点吧，那偏了多少？偏了多少取决于你这个角度是多少了。看，我们说了，这两个面所成的二面角是六十度，也就是这个面和这个面所成的二面角是六十度。 那你就可以简单的理解为啊，如果说这个是，我们看这个垂不垂直啊？刚好这里是垂直的吗？对不对？我们正常来说，你要求二面角，是不是两个面，两个面各做一条垂线，并且都垂直于这个交线，然后这两条垂线所成的角就是你的二面角，那我们在这里呢， 好，不是二面角啊，对，是二面角，然后在这里就是这条线和这条线吧，对不对？知道为什么吗？因为你看啊，我们这一颗不是垂直的吗？对吧？你这个垂直之后，然后我们再看，你翻过来之后， 翻过来之后啊，翻过来之后，哎，另一条线去哪了呀？怎么看的有点晕，这个线画的有点多啊，我再看一下 两条交线，哪两个平面？这一个平面和。哦，在下面啊，在下面。行，没问题啊，刚刚我们是不是说这一条，这一条，对，以及这一条他们都是垂直于这一条线的吧， 看一下有没有问题啊？因为这个九十度，这个九十度嘛，这个也是九十度嘛，因为你是翻上去的嘛，所以这个线肯定垂直这个线的。好，这个线也垂直于这个线，所以你要求的那个二面角六十度，他给了六十度，就是这个角 d f c 啊， d f c， 它是等于六十度的。好，现在你有这个角是六十度了，再来这个角是六十， 画的有点乱啊，这一个角是六十度的话，我们看还有什么条件。我们得到 d f 是 几啊？ d f 是 d p， f 应该是等于 x 等于一的吧。好，这个是一，你想要求得它在 y 轴上的距离是不就是这个斜边一再乘以口三的六十度呀，是不是？这一段 对不对？好，一乘以口上六十度等于多少？二分之一吧，所以它的 y 轴上距离应该是二分之一啊，那它在 z 轴上的距离呢？也就是它的高吧， 对不对？是它的高，你看我这里是六十度，你做一条高，这个是一，你要求这个高的话，不就是，呃，这个长度一再乘以一个三六十度吗？三六十度不就是二分之二三吗？ 好，这是二分之一到三啊。那我们的撇坐标也出来了，接下来看一下。还需要什么啊？这个是撇啊，还需要 f 以及 e。 好， 行，看一下 f， 还要看一下 e f。 哦， f 太容易了，零零零，再看一下 e 点坐标。 e 点坐标也很容易啊，他直接就在 f 的 这个 x 轴， e 点坐标是在 x 轴上呀，对不对？那你 y 轴和 z 轴的坐标值都不用考虑了，零零。然后又因为 f 一 是等于一的，所以 e 点坐标是幺零零。 好，接下来我们这些点坐标都有了，按照这个所需要的形式把坐标写出来， 我们写一下啊。 bc 向量应该是等于后减前负一负一零。好，再来 cd 撇向量应该是等于一个后减前零负二分之一二分之二三吧。好啊，然后 这样子。行，然后再来，我们要 f e f e， 它应该是等于一个后减前 e 减掉 f 幺零零，然后 f d 撇 d 撇减 f。 好 啊，就是零二分之一，二分之根号三。好，写成这个形式啊，所以我们现在这四个点坐标都有了，然后我们准备查一下啊，查一下，不然太急了。 好，那这里形式来我们看一下。刚刚，呃，刚刚是一个 b、 c， 我 们来假设，假设 面 b， c， d 撇的法向量为 m， 然后 x， y、 z 写清楚，然后下一个 e、 f、 d， 这，这里前面照照啊， e， f， e， f， d 撇 a 撇的法向量 n 为。这里我不建议你以什么 x 一 啊， y 一 啊， z 一 啊，然后下面就 x 二啊， y 二啊，因为你这样其实是容易写混的啊，你可以选不不同的字母嘛，刚刚是 x、 y、 z， 你 这里就 abc 嘛，对不对？好，然后我们就会有 bc 向量再乘以 m 向量等于零，然后 c、 d 撇向量乘 m 向量等于零，以及这里是 f， e 向量乘以 n 向量等于零， f， d 撇向量乘以 n 向量等于零，即坐标给它乘进去啊，乘进去，那就是负 x 减 y 等于零， 负二分之 y 加上二分之根号三 z 等于零，这怎么来的啊？你就是坐标给他乘进去嘛，向量的相乘嘛，乘到这个结果，然后到右边 f， e， f， e 是 a 等于零，然后下面是二分之一 b 加上二分之根号三 c 等于零。好，来到这一步， 到这一步怎么办？我们令啊，令，令 x 等于一啊，那你令 x 等于一的话，我把它等于几啊？这里我们在前面知识点梳理课已经讲过了啊，就是你，你这到这里要计算的话，你就是令其中一个值等于一等于二，或者括号三，具体是哪个，看你计算怎么样方便 好。这个等于一的话啊，其实这样子不太方便啊，我们要考虑下一个 看，我们要考虑这个好计算才行啊。这个好计算啊，其实也可以。行，我们另 y 吧，另 y 等于根号三。好，另， y 等于根号三，则 x 等于 z 等于。你看 y 等于根号三的话，这不就是负二分之根号三吗？加上二分之根号三就等于零嘛，所以 z 等于一。好，再来， y 等于根号三，你 x 就 等于 负的根号三吧，对不对？好，其实刚刚另一也可以啊，刚刚另一也可以，可能比现在还要好算。再来， a 等于零。 好，不用考虑下面 b， b 和 c 那 一样的嘛， b 等于负根号三，然后 c 等于一嘛。好，写到这个形式我们就出来了，然后到这里的话，我准备把这些擦一下啊，把这些擦一下。 行，那我们就会得到 m 向量是什么？ n 向量是什么。到这里我们写下负根号三， 根号三一，这个就是零，负根号三一。好，先，这个形式呢，来，重点来了，我们要假设啊， 令令这个角，这句话照抄下来，照，照抄下来，令这两个面所成的二面角为 sita， 则口上以 sita 就 会等于 m 向量。 你这个写写或者不写都行啊，这个写不写都行啊，等于 m 向量乘以 n 向量， 再除以 m 向量乘以 n 向量的模。好，计算。我就不讲了，你这样一算的话，答案不就算出来了吗？啊，你现在算的是余弦值啊，然后你要正弦值在三，以 c t 就 等于一个根号下的 e 减这个的平方嘛，就可以了啊。 行，然后我们这一问就讲完了，我们再强调一下这个二面角的计算方法，把这个擦了啊，同学们，一下子考试一定要拿分的。二、面角计算方法，也就是说你找出两个面， 找出这两个面之后，你再各自设它们为 m， 为 n， 这是它们各自的法向量啊。设出来之后呢，然后你就可以算 m 向量乘以这条边等于零，乘以这条边等于零。 n 向量乘以这条边，乘这条边等于零。然后两个向量算出来之后，再利用它们之间的，再利用向量之间的关系得到 cosine theta 会等于 向量相乘，再除以模的乘积啊。好，然后我们这道题就讲这里，今天花的时间比较久啊，我们先讲两道题吧。先讲两道题，然后同学们看一下后面的题目能不能做好吧。

高中数学最难的立体几何解答题全部练完，逆袭班级前三！立体几何解答十五种题型归类大权提醒一，四边形法正线面平行提醒二，中位宪法正线面平行 题型三，做平行平面法正线面平行题型四线面探索型完整版分享！

第八张，立体几何初步立体几何复习总结，立体几何一章学完了，孩子脑子里还是一团乱麻，这张立体几何地图帮他理清所有关系。学完一张最怕什么？知识点全在脑子里，打架做题时不知道该用哪个。 今天我帮孩子画一张立体几何地图，把这一张所有知识串起来。地图中心立体几何学什么？研究空间中的点线面体。第一条路，空间几何体筑追台球的结构特征， 三式图、主式图、左式图、俯视图、口诀，长、对、正、高、平、齐、宽、向等表面几何体积公式，柱体、锥体台体求 第二条路，点、线、面的位置关系，四个公里，两点定一线，三点定一面，两面交，一线平行传递三种关系，平行相交意面线线线面关系线在面内线面平行线面相交包括垂直面面关系，平行相交包括垂直。第三条路，平行与垂直的判定与性质， 平行列线线平行线面平行面面平行垂直列线线垂直线面垂直面面垂直。核心思想转化与降维，把空间问题变成平面问题。第四条路解析方法，直接法用定律直接证，逆向法，从结论倒着推， 坐标法，高二学间隙用向量算。这张地图就是孩子复习时的导航仪，遇到题先定位这是几何体问题还是位置关系问题？再选工具，用哪个定力用哪种方法？最后动手画图，列条件，一步步推。很多孩子做题慢是因为脑子里没有地图，每道题都要从头摸索， 有了这张地图，就像开了导航，直达目的地。建议孩子把这张地图画在纸上，贴在书桌前，复习时看一遍，做题时想一遍，一周后所有知识点自动串成线。觉得这张地图有用的家长点个赞，让更多人看到！还想看哪一张的复习地图？评论区投票！

好，我们一起来看一下这个例题解的线线垂直啊，这道题的话怎么去思考？我觉得这道题还挺不错的，我就拿第一问来讲啊，你看 线线垂直怎么去正呢？一般转为线面嘛。啊，我的思路就说，你就找这两条线的垂线线，先找这两条垂线，看找到谁就用谁，对不对啊？比如说 pa 垂直这个面了，那我的 pa 是 不是垂直我这个面的所有的线了？ 那我的 p a 应该垂直我这个面里面哪条线是我想要的呢？你先看一下，看哪条线是你想要的吧。啊，你看哪条线是你想要的，就是这两条线嘛。哎，你会发现这个 a b 和 b c 都在里面，你会发现 p a 都垂直它 都垂直它，是不是啊？所以就是垂直它还是垂直它，我要用哪个呢？都可以，但是眼尖的同学他如果做多了，他就知道，哦，我就知道他肯定是用这个会比较好一点， 用这个会比较好一点，为什么？他又给你讲，好吧，如果你正常思考的话，我 pk 都除以这两条，我应该用哪一条，你可能不太清楚，对不对啊？你要是能够看得出来这问题就更简单了。好，继续来深，是吧？去探索它这个两个面垂直怎么去用这个条件。首先两个面垂直怎么用这个条件，记住就找交线。垂线，找交线 的垂线，这个字有点丑啊。找交线的垂线。好，我们看这两个面的交线是在哪里啊？ p a b 和 p b c， 它的交线是不是就是我的这个 p b 啊？ 对不对？它的交线是不是我这个 p b 啊？好，我就找交线的垂线，我看是在这个 p a b 里面做一条线垂直 p b 啊？还是在我的 p b、 c 这个面里面做一条线垂直 p p 那 个 p b 啊？能不能找得到？我就读题哦，看它是什么造型哦。 a b 等于一， b c 也等于二 啊， b 等于这个二倍和二。哎，好像 p a b， 我 也不知道是什么等腰啊，对不对？什么造型啊？是不是那个普通的直角三角形，对不对？我不知道 啊，所以说我要做 p b 的 垂线呢，好像找不出啊，对不对啊？ p b c 这个什么造型我也不知道，我靠，找到找到了交线，这个 p b 的 话，可能不能直接看出来，我得要做，我看不出来，我要做，对不对？比如说我干嘛我过 a 点， 我过 a 点，做一条线啊，做一个 d 点啊，我做我做什么？ a d 垂直我的 p b 啊，你看 a d， 如果垂直 a b 啊， p b 啊，垂直交线了，我是不是可以得到 a d 垂直我这个面？ p b c 啊，你找到垂直，找到交线的垂线吗？谁垂直交线呢？谁垂直垂直另一个面吧。所以说我就得到 a、 d 垂直一个面，那这条线如果垂直一个面，那这条线应该垂直我这个面。哪条是我想要的线呢？ 你自己看吧。 a d 垂直我的 p b c， 你 p b c 这个面里面有哪条线能想要的？那不就是我的 b c 吗？为什么？因为题目中就有这呢？所以说我这里应该写的是 b c 啊， happy brother 是不是？所以说你就知道你这两个条件，我是不是肯定用这个比较好？你眼尖的同学，他可能一下子就知道是这个了，但是你怎么为什么知道是这个呢？有些同学问，基础差，老师肯定会这样问，他肯定不知道，所以说你得要这样给他解释啊，你看一下，我把它写到一块去。你看一下我的一条线，不是直接垂直两条相交直线了吗？ 对不对？你看一下，所以说我的 b c 不 就垂直于两条相交直线了吗？对不对？你看一下，所以说我的 b c 和我的 a d 组成的面，是不是我的 p a b 啊， 对不对啊？你看 b c 键垂直这个面，那我 b c 应该垂直这面，哪条线是不是正正好是我的 a b 啊，那不是得正的吗？ 思路是这样来的，具体过程步骤这东西啊，这个重要吗？你先把这个给搞定了，然后过程步骤你再去练几道，你就慢慢的熟悉了，懂了没有？结果不重要，重要的你怎么思考？你说你技术不太好，或者你不知道怎么思考，你每次做题的时候就问自己，为什么，下一步怎么来的，为什么练出这一步啊？那你看这样这个人又达到什么 啊？高效率的去做题。有些同学呢，是为了做题而做题，他完全感受不到这种方法给他所带来的快感，给他所带来的作用。你做一百道，但是你能够做一百道也是你的本事，如果你技术不好，认为你肯定做不了一百道，对不对？你做了十道八道，给他有什么多大作用啊？你都没有具体的思考方向，当别人问你的题目时候，你还能够对答如流啊， 对吧？回回回答的很轻松啊，是不是啊？总不能说别人问你问题，哎，就这样做，我凭感觉做出来了，是吧？每道题都这样来做，都这样思考，仅仅一道题。

空间感是什么？立体几何真的需要依赖它吗？立体几何中依赖就会出现一些线面或面面的关系，这些关系往往需要多个条件进行判定才可以生效。其实理解他们有一种非常实用的过渡方法，就是把空间问题 拆成多个平面来思考，简单又直观，可以帮助你快速入门。就比如说线面和面面关系，他们最多只会涉及到两个平面，于是我们把整个空间拆解成这两个平面进行分析， 就会节省很多力气。但真正能看透空间本质的应该是限性代数的向量和自由度。举个很简单的例子， 平面里面有一个点，要两个数进行确定，这就是两个自由度。空间里面有一个点，则要三个数来确定，这就是三个自由度。那么直线平面其实都限制在这些自由度当中。题目给的条件就是帮助你 使得自由度进行减少，而向量它就可以统一的表示方向和大小，统一的表示多个相关的自由度。于是我们把整个空间就理解成是一个向量的空间，然后我们只需要观察这些向量的自由度，就可以解决整个问题了。这样一来，不管是三维还是更高维，都能使用它精确描述。

高一下学期数学立体几何部分啊，可以分为四块重点，第一块是几何体的表面和体积的求法，至少基本的公式表面和体积要会求啊。第二块是点线面的位置关系，证明这一块是高考中的送分题，也是必须掌握的。 那么第三块呢，是角度问题，求直线线面面面的角度啊，这里面的难点就是如何找到这个角度，需要做各种各样的辅助线 啊，只要找到角度会解三角形，基本上也没什么问题。当然等后面学了空间向量啊，那么这个难度还会再降一个层级。 那么第四块内容是进阶内容，关于球的切界问题和空间中的动点问题啊。这块内容如果要考，势必不会太简单，那么立体几何照着这个方向去扎实的学，基本上你就能触摸到边界，也没有什么问题。

d 老师 math 数学提分干货，天天更跟着练难题秒会，赶紧关注，别错过每一个提分点。 来，同学看一看今天讲的这道题，这道题是一道非常经典的题，尤其是第二问的位置上。 观察如图，在三棱柱这上面， a、 a 一 垂直于底面，所以这个，这个，这个是不是都垂直底面？因为侧棱是不是都平行啊？然后底面是一个正三角形，然后 a、 a 一 等于 ab 等于六， d 是 a、 c 的 中点。然后第一问，让你求平面 bc 一 d 和平面 a、 c、 c 以 a 一 垂直。来，咱看看啊，咱看看 b、 c 一 d 这个平面和这个平面垂直。要想正面面垂直的话，是不是要不就是找正线面垂直，由其中的一个面内的一条线，然后正出来，对吧？你看， 咱们是在这一个面内找一条线垂直于这个呢？还是在这个面内找一条线垂直于这个面呢？咱们观察一下，看看有什么条件。 d 是 中点的话，是不是 b、 d 垂直于 a、 c 啊？ a、 e 又垂底面是不是很明显，是不是在这个面找这条线垂直啊？这就是第一个。来，咱们写一下步骤， 因为 a、 a 一 垂直平面 a、 b、 c， b、 d 属于平面 a、 b、 c， 所以 a、 a 一 垂直于垂直于 b， d。 因为 bc 等于 b， a、 d 为 a、 c 中点， 所以 b、 d 垂直于 a、 c。 又因为 a、 c 交 a， a 一 等于 a， 所以 b、 d 垂直平面 a、 c、 c e a e。 又因为 b、 d 属于平面 b、 c、 e d， 所以 平面 b c、 e d 垂直平面 a c c e a e 好， 这就是第一问的步骤比较简单。第二问呢，是一个很经典的，它让你求的是 c， 然后 b、 d， c 一 的这个三棱锥啊，这个其实他是故意的，这是一个三棱锥，三棱锥的体积有一个方法叫转换顶点， 这个就是今天要讲的一个核心，咱们看啊，咱们更喜欢是不是这个 c 一 当顶点啊？ 所以为 c 杠 bc 一 d， 它是等于为 c 一 杠 bc 的， 是不是？现在这个看着就好多了，此时它的高是不是就是这个 c c 一 啊？垂直底面对不对？然后，然后这个底面的面积是不是一个等边三角形？ 等边三角形 abc， 是 不是 这个是三，然后这个是三根三，是不是？所以它的体积是不是很好算啊？等于一个三分之一 c， c 一 乘上一个 s 三角形 b， c， d 三分之一 c， c 一 的差是不是等于 a a， e 啊？是不等于六啊？然后 s 三角形 b， c、 d 怎么求？是不是三，二分之一乘以三，乘以三跟三啊？ 六倍，我们很容易算出来。最后答案是九倍的根号三。好，尤其是这个，这个主要是讲的这个三棱锥的转换顶点，明白吧？任何的三棱锥都能转换成你想要的一个舒服的顶点，明白了吗？好的，同学们，今天课就上到这里，同学们下课啊。

我们来说一下空间余弦定理啊，这是求一面直线所成角的一种办法。我们知道通常去求一面直线所成角呢，是通过中位线呢，平行四边形呢， 把两条一面直线平行成共面啊，再起三角形啊，用余弦定理去解出啊，这个一面直线所成角的余弦， 或者是用空间向量啊，找坐标啊，来算这个一面直线所成角，而空间运行定律相对于这两个办法呢，它既不需要去构造啊，也不需要找坐标啊，所以相对来说呢，是一种比较简单的办法，但是很多同学其实并不掌握这个办法啊，我们就来看一下这个定力是怎么回事啊，以及如何去使用 啊。比如说现在我们要去求 ab 和 cd 两条异面直线夹角的余弦，那我们就可以在 ab 上任取两个点，在 cd 上任取两个点，这样就会有四个端点，四个端点两两相连呢，一定会形成一个三棱锥， 那比如说现在我们形成的就是这图里面的 a 杠 p c d 这个三棱锥啊，我们要求的就是 ab 和 cd 啊，这两条异面直线夹角的余弦好， 也就是说我们要去求的是 ab 啊， cd 这两个线段，或者说这两根直线夹角的余弦，那我们可以做一个转化， 转化成 ab 向量和 cd 向量夹角的余弦，但是注意在这里要做一个小小的修正啊，因为我们知道这个直线夹角它是零到九十度啊，所以它的余弦呢，是非负数， 但是向量的夹角是可以超过九十度的，所以它的余弦可以是负数啊，所以呢，这两者之间需要在这个向量的夹角余弦上加个绝对值啊，它才是相等的， 而这个向量的夹角余弦呢，它等于数量积啊， ab 乘 cd 除以魔长之积魔长之积其实就是线段之积了啊， 好，下一步呢，因为 a、 b 向量和 c、 d 向量，呃，它的起点和终点都不相同，在这里呢，我们可以做一个转化啊，就是把这个里的 c、 d 向量给做一个拆解，那它可以写成是 a d 点 a c 啊， a d 减 a c 啊， 所以啊，进一步呢，就是 a b 点 a d 点 a c 除以 ab 乘 cd 啊，我们把这里的 ab 点 ad 单独拿出来看一看， 那根据数量级的定义，它应该是 ab 乘 ad 啊，再乘以甲角于斜，就是 cosine 角 b ad， 那这里的 cosine 角 b a d 呢？我们就可以用余弦定理表示出来，那应该是两倍的 ab 乘 ab 啊，上面 ab 方加 ab 方减 b 地方，哎，这样他跟他约了啊，那就是二分之 ab 方加 a 地方减 b 地方啊，这个就是 ab 点 a d， 我 们把它带回这个圆式里去啊，所以上面这个就可以写成是二分之 ab 方加 a 地方减 b 地方啊，同理呢，这边呢，就是二分之 ab 方 加 ac 方减 bc 方啊，再除以这个 ab 乘 cd 啊，这个进一步的往后去整理啊，那它就是两倍的 ab 乘 cd 啊，上面，哎，这个 ab 方和这个 ab 方减掉了啊，那所以还剩什么呢？还剩下就是 ab 方加 bc 方 减 b 地方加 a c 方， 绝对值啊，那这个啊，就是最终的结果了啊，这个就叫空间一线定律。我们来看一下这个一头一尾啊，我们要去求的是 cosine a b c d 啊，这两条直线的夹角余弦，我发现它最终的结果啊，它这个形式呢，很像是我们学过的一般的余弦定律，它的分母就是两倍的这两个线段之积啊，分子是什么呢？就是另外两组对边的平方和的差， 就是这个三棱锥，它总共是有六条棱的，除去我们要求的这两条棱之外啊，它还有两组对棱，比如说 a、 c 和 b、 d 是 一组对棱， bc 和 ad 是 一种是，是一组对棱啊，那这个分子呢，就是一组对棱的平方和，就是 a d 方加 b c 方，这是一组对棱的平方和啊，减去另外一组对棱的平方和，就是 ac 方加 b 地方啊，当最后必不可少的要有个绝对值啊啊，这个形式就叫空间与弦定律，那么空，通过这个定律我们可以发现啊，我们要去求出这两条直线的夹角与弦，我们要做的其实就是找到这个三棱锥的六条边长 啊，我们不需要去构造，也不需要去找什么坐标啊，只需要找到这六个边长，就可以算出这个夹角与弦了。好，下面呢，我们通过一个例题来看一下啊，这个定力是如何使用的， 在这个立体里面啊，他说这个三棱柱啊，他的底面边长和侧棱长全都相等 啊，也就说他，呃，所有的棱长都一样啊，呃，还有就是这两个夹角都是六十度啊，那么因为你这个里所有的棱长都一样啊，所以其实这里的 b、 a、 c 他 也是六十度啊，因为 b、 a、 c 这个三角形是一个等边三角形， 我们要求的呢是直线 ab 一 啊，和直线 bc 一 的夹角于弦，那他就是一面直线所成角， 那如果想用平移的办法，这个题也可以做，但会相对困难。找坐标呢，也不是很容易啊，因为它是一个斜的三棱柱啊，去确定坐标有一定的困难。 但是如果我们用刚才这个空间余弦定律，那我们只需要去找到啊，刚才所说的这个六个线段的长就可以了啊，那在这个问题里面，它出现四个端点，就是 a b 一 啊， b c 一， 那么两两相连呢，就会是一个三棱锥啊，我们要去求这个 cosine a b c 一， 那根据刚才所说的这个空间余弦定律啊，那它的分母呢？就是两倍的这两条线段之积， a b 一 乘 bc 一 分子呢，是另外两组对棱平方和的差啊，最后再加上绝对值，那那另外两组对棱是谁呢？比如说，哎，那其中一条就是 ab， 那 跟 ab 相对的就是 b 一 c 一 了啊，所以就是 ab 方 加 b 一， c 一 方还有什么呢？还有 b b 一， 那跟 b b 一 相对的，那就是 a c 一 啊，所以 bb 一 方加 a c 一 方啊，我们找到这些线段是多长，我们来看一下，因为它没有规定这个长度啊，我们可以自己设一下啊，我们可以设这个边长和这个棱长都是等于一的啊，那这样的话，嗯，那么这里 ab 一 啊，应该是等于根号三啊，因为这里的三角形 a a 一 b 一 是一个一比一比根号三的三角形嘛，因为这个角是一百二十度啊， a b 一 是根号三 啊，那么这里的 b c e 是 多少呢啊？ b c e， 你 要稍微仔细去看一下啊， b c e， 我 们可以这么看，就这里的 b b e c e c， 它首先是一个菱形，因为它的四边长都是一啊，是相等的， 那么这个菱形他的这个对角线是多多大呢啊？我们要看到其实这里的 abbe 一 a 一 和这里的 accea 一 这两个面，或者说这两个菱形他是对称的 啊，就像呃，这两页书打开一样，他是对称的啊，既然是对称的，我们可以知道 bc 一 会等于 bc， 也就说这个菱形的对角线是相等的，那对角线相等的菱形是什么？是正方形啊，所以这里的 b c 一 应该是等于根号二啊。好，我们来接着找 ab 啊， ab 很 简单， ab 是 一啊， b 一 c 一 啊，这也是一啊， b 一 b 啊， 是一啊， a c 一 是多少呢啊？ a c 一 同理啊， a c 一 应该也等于根号三。 a c e 啊，是等于根号三啊，我们把这些线段带进去啊，那底下是两倍的啊，根号六啊，上面啊，这是一方加一方啊，减去这边一方加根号三的平方， 所以最终的结果呢，应该是六分之根号六啊，这是这两条直线加甲的余弦啊，这个就是经典的空间余弦定律的做法。

高考数学最难的立体几何五大题型全部吃透，逆袭班级前三！高中数学立体几何与空间向量题型专练题型一，求线面角题型二求二面角面面角 题型三，已知线面角求其他量题型五、最值与范围完整版分享！

记老师 math 数学提分干货，天天更跟着练难题秒会，赶紧关注，别错过每一个提分点！ 来，同学们看一看今天的题，今天讲的是例题，几何，在四棱锥 p 二 a， b， c、 d 中，底面 a， b， c， d 是 不是一个平行四边形？底面是个平行四边形对吗？ pa 等于 pd 等于 ad， pa 等于 pd 等于 ad， 这是一个等边三角形， ab 等于根二倍的 ad， ab 等于根二倍的 ad， 所以 我有点想把它连接起来，因为这是它的根二倍，这还是个四十五度，所以这个三角形其实是个等腰直角三角形，这是后滑，然后 pa 是 不是垂直 ab 啊？咱们观察一下哈， pa 是 不是垂直 ab 啊？如果 pa 垂直底面的话， pa 是 不是也垂直 a d 啊？但是这个角数六十度合理，很显然它不垂直，所以 pa 不 能垂直底面。第一问，让你证明什么呢？平面 pdc 这个面 垂直于底面 abcd， 按照以往的面面垂直的求法，我们是希望在一个面中找到一条线垂直于另一个面，所以证明出来面面垂直。 然后，然后呢？咱们观察这道题，说，老师，根据这个条件，我感觉我想找的是在 abcd 底面找一个面，找一条线垂直于 pdc 这个面，然后呢？又感觉你看 ab 垂直于 pa， 看看能不能 估倒出什么关系来，对吧？这样 ab 还平行于 cd， 所以 cd 也垂直于 pa， 是 不是感觉没有什么用？ 咱们现在希望他引导你做面面垂直，他希望是怎么样的？他希望你能够建立起一个线垂直于另一个面，要不在这个面内找条线，要不在这个面内找条线，如果在这一个面内找条线垂直另一个面的话，那我问你，这 找出来的这一条线他怎么样？他是不是垂直？底面是不是一个天然的 z 轴啊？对吧？咱们再反过来验证，如果这条线垂直底面的话，我问你一个问题，假如说他俩面面垂直的话，咱们第一反应是什么？是不是找交线，对吧？ 如果在这里面找一条线垂直于这个交线的话，是不是这一条线则垂直另一个面？看互相应正。所以这条这个题的辅助线怎么做呢？是过屁坐 p o 垂直于 c d 交 c d 延长线于 o 点，咱们看一下啊，做一下这个辅助线， 因为斜二侧滑板画的有点丑，但是大致上能看明白这个点是 o 点 好，现在是不是 p o 垂直于 cd 啊？嗯，因为这是延长出来的并连接，所以 p c、 d 这个面现在是不是升级成了 p c o 这个面， 对吧？然后也是 cd 延长出来的， a、 b、 c、 d 这个面是不是变成了 a、 o， c b 这个面，对吧？其实是正的，这两面垂直，对吧？咱们再画一下这个底面图，四十五度，大致画的好看一点。 好，这是刚刚的底面图， a、 b、 c、 d， 然后延长 c、 d， 是 不是在这上面取一个 o 点， 对吧？ o 点在这具体的角，咱们不知道这个是四十五度，所以这个是不是也是四十五度？咱们看一下现在还有什么条件，刚刚是不是 p o 是 不是垂直于 c d 啊？ 再看看 p o 垂直于谁？或者是 c d 垂直于谁？ c d 还平行于谁？是不是平行 ab， ab 又垂直谁？是不是垂直 pa 啊？所以 co 是 不是也垂直 pa， co， g 垂直于 po， co 也垂直于 pa 的 话，那么 co 是 不是垂直 pao 这个面？所以 a o 是 不是垂直于 co？ 哇，太好了，这也是一个垂直，然后这是一个四十五度的话， 是不是很棒？假如说设这个边长是一，这个边长是一的话，那么这一块长是不是跟二，对吧？然后 ab 又等于根二倍的 ad， 所以 ab 的 长是不是二，是吧？能跟上吧？然后 ad 是 不是还等于 pd？ 是 不是 a d 是 不是还等于 p d 啊？或者说这一块长是根二，这块上面也是根二，对吧？这还是个垂直。所以这个长刚刚算的是不是个一啊？ 所以 p o 的 长是不是也是一？这是一，这是一，这是根二，是不是 p o 垂直于 o 啊？ po 既垂直于 a o， 又垂直于 c o 的 话，那么 po 是 不是垂直于底面？ po 又属于这个面上的一条线，所以面面垂直，而且这三个边是不是两两垂直，一个天然的 x y z 轴啊？ 对吧？所以写一下步骤。因为 平行四边形 a b c d， 所以 ab 平行 cd， 所以 角 d， a b 是 不等于角 a d o 等于四十五度， 这个能明白吧？是吧？因，因为 pa 垂直 ab， 所以 是不是 co 也垂直于 pa 呀？因为 po 是不是也垂直于 c o， 且 pa 交 p o 是 不是等于 p 啊？所以 c o 是 不是垂直平面 pao 因为 a o 属于平面 p a o， 所以 c o 垂直 a o， c o 垂直 a o 的 话，那么所以三角形 a o d 是 等腰直角三角形。 所以设 a o 等于 d， o 等于一，则 a d 等于 p， a 等于 p， d 等于根二， ab 等于一个二，是不是具体的都能这样写出来，是不是？ 所以此时，所以 po 是 不是应该等于一个根号下 p d 的 平方减去一个 d， o 的 平方等于一， 所以 po 的 平方加上一个 a o 的 平方是不是等于一个 pa 的 平方？所以 po 垂直 a o， 因为 v o 交 c， o 是 不等于 o 啊？所以 p o 垂直平面 a， b， c， d 又因为 p o 是 不是属于平面 p d， c， 所以 平面 p d， c 垂直平面 abcd？ 好， 这就是我们的第一问， 一个简单的证明，第二问，他让你证明 a， b， p 这个面，然后和 p b， d 夹角的余弦值， 两个面的夹角与弦之，对吧？所以我们就开始间隙了。由第一问之，是不是以 p o， a， o， c， o 两两垂直 以向量 o， a， 向量 o， d 向量 o， p 为 x， y， z 轴，对吧？建立 o 杠 x， y， z 的 空间坐标系。当然这个东西啊，图应该这么画出来， 懂吧？这是 x， 这是 y， 然后把咱们需要点的坐标写出， a 点坐标是不是应该是个一零零，对吧？ b 点坐标是多少？ b 点坐标是不是一个一二零啊？ 然后 d 点坐标是零一零， p 点坐标是零零一，对不对？然后 adp， abp 是 不是都有了？所以首先是 ababp 吧， 向量 ab 等于一个零二零， 向量 a， p 等于一个，嗯，负一零一，然后它们的发向量咱们很容易求出来是一个一零一，这个自己算哈， 当然有解面的算法可以教一下，就是看这个只有一个零的这个边向量坐标 可以把它交叉相乘，设成把法，向量向量 n 设成一个交叉以下，把其中一个天赋号，这个负一天赋号是正的，然后剩下零的代表 y， 这样的话向量 n 和向量 ap 一 点乘的话，他肯定是零，然后再把这个向量 n 和第一个一交叉就是二， y 等于零正好，所以 y 就 等于零，这个解的就很快，明白吗？ 然后再是向量 adp， adp 还是有向量 apap 是 负一零二一，然后向量 adp ad 的 话， a d 的 话是不是一个负一一零啊？向量 m 的 话是不是也能算出来是一一一呀？对吧？然后 m 的 膜是根号三，所以夹角余弦值 cosine m n 是不应该等于一个 n 的 结成乘以一个 m 的 结成比上一个 n 模比上一个 m 模，对吧？大一乘分子十二分母就是根三，比根二是不应该等于一个三分之根六啊？ 所以两个面的余弦值是三分之根六。就第一问左甩第二问其实很简单。好的同学们今天的课就上到这里，同学们下课。