一张不规则纸如何折出平行线动画

请你利用下面几种图形纸片来折平行线。 我们先看三角形纸片怎么来折平行线。 我们知道两直线平行的条件有，同位角相等，两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补，两直线平行。 我们折一条边的垂直折痕， 养一条鳖折起来，让他从何 取直 展开。那么这条折痕和这条边互相垂直， 接下来折这条垂直折痕的 垂直折痕，沿这条折痕翻折，使折痕重合， 压实取开，那么这条折痕和原来的这条 这很互相垂直。 这时第二条折痕和原来的三角形纸片的边就互相平行了， 理由是同位角相等，都是九十度，两直线平行，如果过点撇呢？ 和抗战方法大同小异。过尖皮，将这条边对折 取开，这条折痕有过颠皮。 这时候啊，我们过田皮，将这条折痕上下对折 压实取开，那么过点匹得到了折痕，就和原来的这条边互相平行，其理由 同位角相等，两直线平行。 再来看 五边形瓷片怎么折平行线， 如果不用五边形的一边做平行线中的一条直线，我们任意折一条直线 这条折痕，将这条折痕啊对折 压实取开，得到第二条侧痕， 再将第二条字横翻折 对折在一条直线， 我们得到了第三条折痕。那么这个第三条折痕和原来的折痕啊，也是一对平行线。理由你一定知道，同位角相等，两直线平行， 其他个边形啊，都是这种方法来治，你来试试吧。

首先任意折一下， 然后像这样沿着折痕往里各折一下， 打开后竖着的两条折痕就是平行的。最后我们再标一下， 因为 a 垂直于 c， b 垂直于 c， 所以 a 平行于 b。

折平行线，取一张长方形纸条，上下两边平行，将右端折起，左端向下折起， 是他们重叠处在一条直线上。那么 左边折出来的折痕和右边折出来折痕互相平行，为什么呢？ 我们知道将右边图形折起来重叠的 图形是等腰三角形， 这个 脚记住脚一， 这个角记住角二， 最大角记住角三。同样左边重叠三角形，各个角角四 九五 九六。 由于纸条啊，上下两边平行， 角三和角六相等里有死两次线平行，内错角相等， 角五就是一百八十度减去角六除以二， 角二呢是一百八十度减，角三除以二，角五和角二又是内错角，而且呢，相等因子 根据啊，内错角相等，两直线平行，所以说折出来的这两条折痕互相平行，你来动手折一折就能想明白。

平行线中的折叠问题是初一下数学的期中月考，期末的高频考点，很多孩子超级容易丢分的重难点，我告诉你啊，这道题百分之九十五的孩子第一遍都不会做，为啥呢？ 关键在于没有掌握这类平行折叠问题的通用解法，那就是还原大法加三三二模型，别急。而今天啊，把平行中的折叠问题的核心逻辑技巧一次性给你讲透，学会以后，考场直接秒杀，给孩子收藏保存起来。 好，我们来看这道题，这个题啊，我给大家解释一下，因为讲课的原因啊，他正常是一二三是横着排布的，但是我为了方便这样讲课，对吧？我就把他一二三这样去画了，你看到的啊，是一二三， 好吧，好，那么首先这个题本身啊，就是一个平行中的，因为什么长方形纸条平行，长方形纸条叠完了平行，对吧？你不管怎么叠，你看你这样叠，只要是长方形纸条，他都是平行的。 好，这第一点，第二点，很多人一旦叠完，他就分不清了，为什么呢？没有掌握这四个字啊，叫做还原大法， 一定要去详细的给图去还原。你看这个题啊，他给的是 d e f， 是 阿尔法，哎，我们的 d e f 这个角是阿尔法，是不是？好在第一个图当中，我这么叠下来，有同学找不到那个阿尔法去哪了，为什么呀？你不还原， 你把它原来的这个图形是不是长这个样子还原一下，你看啊，我这里点个点是阿尔法对不对？它叠下来，请问这里是不是还是阿尔法，然后这里还藏了一个什么内错角， 各位看到了吗？所以这个地方的这个角它也是阿尔法，你看你是否有总结过？好，所以这是我说的第一个啊，三三二当中的第一个三， 第一个三就这么来的，一二三有三个角相等。好，第二个三怎么来的呢？各位别眨眼啊，就是这个角和这个内错角，绿的和绿的，就这个绿的是两个阿尔法吗？对吧？然后对顶角和这个，或者说你从这看同位角看到了吗？是不是他和他是同位角，对吧？这是第二个三。 好，最后二怎么来，大家一定要记得啊，这个二呢，有个大角，就是这个角和这个角，他俩是折叠关系，是不对应角是相等的，他们跟这个阿尔法什么关系呢？你看啊，是在这里，比如说这里 看，我这这根线和这根粗的线是平行，所以你这个是阿尔法，那我这个蓝的就是一百八十度减，阿尔法是一个同旁内角的关系， 当你掌握了三三二，你做题就更有那种寻找感，我知道怎么倒角，这第一点，当你掌握了，还原大法。好，你就知道我再再复杂的题我也会还原 好。所以说我们来还原一下第一个，我先把它第一次的还原到最后一个图当中，他最开始是黄色的吗？对不对？他先叠下去，好，叠到哪了呢？来，我再还原一下，把这个还原一下，是不是叠到这里了？ 你看，这才叫还原，还原完以后你别眨眼啊，来想一开始是不是这里是阿尔法，对不对？叠了一下，是不是这里是阿尔法？三三二模型，他，他是阿尔法，他，他是阿尔法的话，各位还有一个是不是这里是阿尔法？这里是个内错角， 是吧？就这些大家应该是很清楚的哈，是吧？好，紧接着呢，来告诉我这个蓝的是多少？是不是二倍的阿尔法，对吧？这个对，顶角下来，这里是不是二倍阿尔法？我不说别的，各位你问的是谁？问的是 cfe， 你 问的是这个角， 是，问的是这个角，是不是这个角加上这个黄色的点，是不是刚好组成了这个蓝角呀？您看到了吗？而这个蓝角是由他叠上去的呢，是他叠上去的呢，对不对？好，来最后来一下看啊， 红色能看到吗？这个颜色来红色这里看到了什么？是平行是不是？那你这里是二倍的阿尔法，那说明我这里是多少？是不是一百八减去二倍阿尔法，对不对？然后把它叠上去，那么你就说这个地方是多少， 这个地方是不是他叠上去的？是不是也是一百八减二倍阿尔法，对不对？然后你求的 c、 f、 e 是 把这个粉的阿尔法再减掉，那就是什么？那就是一百八减二阿尔法，再减去这个粉的阿尔法，因为粉的，粉的，粉的是不是三个阿尔法？是不是在这里， 对不对？所以最后答案就是一百八十度减去三个阿尔法。同学们啥都不用看，你把我这个题反复收藏保存，看三遍，孩子多复杂的折叠问题他都会做。

今天我们讲一下其下侧相交线、平行线相关的折痕题，因为折痕的话一般属于中上难度题。他说将长方形只要翻折， b f 一 是三十四度， b f 一， b f 一， 这个是三十四度，他要求的是 c、 g、 f， 求的是这个。我现在可以这边标角一，这边是角二，角一和三十四度什么关系？ 角一是不是等于三十四？为什么？因为是两直线平行，内侧要相等。那么角二跟角一是什么关系？角二是不是等于角一，它是不是沿着 e、 f 折叠的？那么此时的话，角 c、 g、 f 和角一跟角二什么关系？等于角一加角二，为什么？是不是它？ 所以这个等于多少？是二乘三十四等于六十八度。然后我们现在用第二种方法写一下。第二种方法的话，我问这个是三十四度的话，那么这个角，这个角是不是一百八十度减去三十四度，它是一百四十六度，它沿这个折叠的话，那我问这个角， 这个角 d、 f、 g 是 多少？ d f、 g 是 不是等于一百四十六度？它等于多少度？是不等一百一十二度， 一百一十二度。在这个四边形 c d f g 中， c d f g 中。然后这个角我们要求的这个 c d 角 c g f c g f 跟这个角的话，它是什么关系？是不是两边平行，同旁的角互补，所以是不等一百八十度减去一百一十二度等于六十八度，所以也可以是六十八度。

在平行线的证明题中啊，有一类题非常容易出错，那就是长方形纸条的折叠问题，折来折去非常灵活，很多同学就被折晕了，找不到切入点， 那今天老师就用这一条视频，把折叠问题的核心和技巧给你讲清楚。其实折叠问题它的核心是转化，折叠式生活现象如何转化成数学中的等量关系是我们要思考的。 那你看折叠对应什么样数量关系呢？折叠前后角度相等，如果我们能将折叠转成前后的角相等这种问题，你就抓住它的核心 解决它的技巧是什么？那就是画出折叠前后的两个对应图，把那对应角找到，就可以轻松的将这个题化解， 再加上平行线里面的内侧角相等，同一角相等，同方内角互补，就可以算出最终的答案来。咱们拿这道题来做一个训练，做一个讲解，好看题啊！如图 a 是 长方形纸带，其中角 d、 f 是 二十五度，将纸带沿 e、 f 折叠，得到图 b。 好， 我们刚才说折叠它对应的数量关系就是前后的角相等，技巧就是我们把这个前后的图补出来， 我们把这个前后的图补出来。好，咱们再把定角相等标上去，那这是二十五度，这也是二十五度，那再根据平行线，平行线，这里会有一个同胞的要互补，这里都会有个一百 五十五度，好，再有内错角，这个二十五度和这边的内错角相等，又是二十五度，好，那么剩下的这部分 g、 f、 c 这个角呢？它就是一百三十度，这就是我们对图 b 的 分析。再看图 c， 将 c 中哎将 c 再进行一个折叠， 有的同学就是因为折叠的次数比较多就晕了，我们抓住它的技巧，把前后折叠前后的图补出来，就可以找到它的对应角相等， 那就补图吧。前后图画出来之后，我们就明白了，原来 g f g f c 撇这个一百三十度被折上去了，那就是 g f c 这个角是一百三十度， e f g 呢？这里原本是二十五度，题目说 c f e 多少度， 那大家一看很简单，一百三十度减二十五度，一百零五度。好，那这个题的答案就算出来了。最后我们做个总结啊，折叠的核心就是将这个实际问题动手操作问题转化成一个数学等量关系，那就是角度的前后的折叠，前后角度的相等。 折叠问题的技巧是什么？那就是画出前后图，找到对应角相等，加上我们平行线里面的角，同位角，相同的角互补，做一些角度的计算。 好，那同学们你今天学会了吗？如果觉得我讲的有用，点赞、收藏或者转发给有需要的同学。好，如果你还有其他问题，可以在评论区里留言，我们讨论交流，帮助更多的学生进步。

双极面像是什么？不对，怎么会有无数条平行线？闭上眼睛，想象自己正站在一张中心凹陷边缘翘起的马鞍面上，那么过直线外一点，你就可以画出无数条永不相交的平行线。但这显然违背了两千年来数学家们习以为常的直觉。 一八二三年，一个名叫罗巴切夫斯基的男人花费了整整二十年试图去证明欧吉里德的平行公里，最终却得出了一个令人夜不能寐的结论，他不可证明，也不能证伪。只剩下一种可能， 平行公里只是一个假设，是空间几何的分界线。假如过极限外一点可以做无数条平行线，那么就可以构建一套全新的几何体系， 其中所有三角形的内角盒都小于一百八十度。然而，当他把这套理论公之于众时，迎接他的不是掌声，而是嘲讽如潮水般涌来。空间必须是平的， 双歧几何不过是建立在平面几何像的海市蜃楼。就在罗巴切夫斯基最无助的时候，庞家莱站了出来，想象一下把一张无限大的平面放入有限的圆盘之中会发生什么。假象，物体的大小是可变的， 离中心越远，它们就看起来越小。但是人们不可能意识到自己正在变小，因为任何测量仪器也随着一起变小。 这样一来，两点之间最短的极限就被定义为与圆盘呈九十度角的弧线。在外部看来虽然是弯曲的，但在内部的人眼中，它们仍然是无限长的极限，因为没有人能真正抵达圆盘的边缘。 彭家来亲手绘制了一扇窗，让世人第一次看到了双歧几何的真袭模样。多年以后，当爱因斯坦苦苦思索光速为什么不变时，他猛然发现， 光速作为速度的极限，竟然与彭家来圆盘的边界完美对应，而速度空间本身正是双歧几何的自然体现。至此，一个关于平行线的问题，劈开了狭义相对论的时空。

初一下必考的平行加两次折叠，问题确实有点复杂，很多同学考试遇到了就发蒙，打乱了做题的节奏，还影响了后面的题目拿分。那今天跟着米老师学习三个倒角技巧，让我们思路清晰的解决每一道折叠问题。 将长方形 a、 b、 c、 d 沿 e、 f 折叠，我们看到它是把 b 往上折叠到这， a 折叠到这里，折叠之后再沿 e、 d 又翻折了回来，这是 e、 d 这条线翻折下来，那 a 撇折到了 a 撇撇， b 撇折到了 b 撇撇。 若 c、 f、 e 是 一百五十六度，则角 f e， a 撇撇， f e、 a 撇撇， 这个角度是多少度？那这三个倒角技巧是什么呢？首先第一个，当有折叠存在的时候，是不是一定有等角？很多同学知道这一条，但是没有总结过，那折叠产生的等角有非常多对，那我们优先看哪对？你优先看折痕附近的看。第一次 这里有一个折叠那折痕附近的角，我们标上这个角和这个角是相等的，等一对等角。第二对 是这个大的角，这是一个等角，你像这折叠过来在这，这折叠过来在这，根本你就用不上，你条件都集中在这里呢，是不是？所以你就先忽略它，优先看折痕附近的等角。 那第二个长方形这对边是平行的呀，肯定要用到平行倒角，但是在平行倒角的时候，我们也有优先级优先用什么 同位内错，你在图上标的时候，你也优先标同位内错，因为它们不需要任何计算，你直接标在图上就好了。比如说当你标了这个黑色的小角之后，那你是不是看到了它的一边是 bc， 然后 bc 呢？有平行线 a、 d， 那这条线 f、 e 这个边儿是不就是节线？那这个角就能内错到这里来， 我们不用费任何力气计算。当然如果需要用到同胞内角，我们也可以先在图上标上，等我们用的时候，真正去用的时候，再算出具体的度数。 那最后一个倒角技巧，这个图中有这种交叉的线，那所以就有对顶角，那有各种直线，那零步角都可能会被用到。 好，我们来继续看这道题，他给了我们这个红色的角是一百五十六度，咱们自然就算出是不是这个小黑点的度数了，这个小黑点就等于一百八十度，减去这个一百五十六度，也就是二十四度， 我们知道了这个黑色点点的度数，那零补角，这个大黑色的弧是不是也就求出来了？但其实大家再仔细观察一下，要求这个大黑色的弧我们并不需要用，用一百八减二十四， 你会发现他这边不又是平行线吗？那我就拿这边当截线截哪去了？哎，截在这条平行线这了看，没看到他有一组内错角， 那其实就直接能由这式一百五十六得到这个大黑色的弧，也是一百五十六，那这个大黑色的弧求出来了，这个黑点是它的包含的一部分，那我们看到，那我们用这个大黑色的弧减这个点，是不是就得到了这个角？ 哎，这个角这个重不重要，我们发现也挺重要，因为它们也是我们折痕附近的这个角，也就是 a 撇撇 e、 d 的， 就等于这大黑色的角是一百五十六，一百五十六度，我再减一个二十四，也就是一百三十二度。 那现在这个蓝色的角求出来了之后，我们发现我们的目标角这个红色的角是不是正好就等于我们这个 a 撇撇、 e、 d， 也就是跟上面这个蓝色相等的这个底下的这个角 是不是再减一个小黑点就可以了？我们的目标角 a 撇撇、 e、 f， 就 等于 a 撇撇、 e、 d， 减去我们那个黑色的点， 也就等于一百三十二度，咱再减一个二十四度，一百零八度。那这三个倒角技巧你学会了吗？那其实除了这种倒角方法，这道题目还有很多其他的方法，同学们自己探求一下吧。跟着谜底走，数学不用愁。