余弦函数图像生成的动态图形

大家好，这个视频我们利用图像来动态演示，用鱼弦线来画鱼弦汉字的图像。 好在这个图中呢，我们看一下有一个单位圆绿色的，然后呢圆上一点，一通过一点做 s 轴的垂线，这点是 f， 那么在三角形 e b f 中，角 e b f 这个角，他对应的对边是 e f， 那么他的另一边呢，是 b f。 根据余学函数的定义 coss 角，我试一下 coss 角 eb f， 他的定义应该为 b f b b e， 这是余雅涵的定义， 那么我们就把 b f 叫做余弦线，并且 bf 有方向的，和做正选函数的图像类似， 我们要研究的是角 bf 这个角和 bf 的关系，在直角这个戏中把它展现出来， 角 ebf 把它化为弧度，展现在 s 轴， b f 呢，应该展现到 y 轴，但是呢，他和 s 轴重合。那么我们要利用一条直线，就是 yds 这条 四十五度的直线，把它对应到外轴上去。好，我们通过 f 点做 s 的垂线，与外面 s 这条直线求于 m， 那么我们知道 m f 和 b f 是相等的， 然后通过平移 fm 到 f t n 这个地方，我们就知道了 f p， l n 这一条就是余弦线的直。那么在途中这三条红色的线都是代表了余弦的直。来看一下余弦直的变化， 从零开始， 这时候呢，鱼线线 b f 等于一 f， 撇 m 的值也为一。好，这是初始值，就是说扩散零度等于一， 我们开始变化 好，大家可以看到，随着角 e b f 的增大，扩散的直 b f 再减小， 减小，从一开始减小。继续， 当 ebf 这个角大于九十度的时候，余弦线 b f 为负向的余弦值是负值，继续， 当这个角达到一百二十度的时候，库穗为负一于全的最小值，继续， 当一天画到二百七十度的时候， 库线池漂移帘继续。 好，那么这一个完整的周期已经结束，大家看一下。 好，谢谢大家。

大家好，今天我们来讲一下余弦函数的图像和性质，其实他和正弦函数一样，只需要你掌握这些 图像和性质。后面解析的时候，我们都往我们熟悉的这个上面去转化，这个余弦函数的问题基本上都是可以解的，所以做的第一件事情就需要把这些图像和性质熟练的掌握。那首先我们来看一个这题，第一个 函数 f x 等于它，让我们去判断下面这四个选项哪一个是正确的，那我们一个一个来吧。第一个，那现在要求最小正周期，求最小正周期，它跟谁有关系？那我们看一下，我们知道 t 它是等于什么二派， 比上一个什么欧米伽的绝对值对不对？为什么这里要带绝对值呢？因为有时候它给了我们这个 x 系数，欧米伽它是负的，你要求的是最小正周期，所以我们带上这个它是一个好习惯，对吧？然后等于二派比上一个谁 是不是二，所以这个最小正周期他是不是等于派？而题目中给的是什么是二派，所以 a 选项不对，然后我们再来看 b 选项， b 选项，这个给的是 x 等于十二分之派，是不是对称轴，那 求对称轴也好，对称中心也好，单调区间我们最终都要转化到我们熟悉的那个余弦函数图像和性质上去了，所以那我们现在只需要把 x 等于十二分之 七派带到这个括号里面的这部分，然后看它等于多少是不是就行了。那二 x 加上一个什么三分之派，当 x 等于十二分之七派的时候，它是等于多少？来求一下 是不是十二分之七派，再加上一个三分之派来算一下，它等于说这一约六分之七，这个是六分之二，六分之九约分是不是二分之 三派？是吧？那现在我们转化到这一步之后，我们这个二分之三派，我们就可以与我们鱼弦中的 这对称中心啊，对称轴是不去比较去，而鱼弦它的对称轴是不是等于 k 派？这个很显然它不等于什么 不等于 k 派，所以它不是对称轴，所以 b 选项就是错的。然后我们再来看 c 选项， c 选项 这个呢？首先它是把 x 加了一个二分之派，说明我们把这个 f x 向左平移了二分之派个单位，那我们就有两种做法，一种是先把这个函数表达式求出来，然后再去看负的六分之派是不是零点。 还有一个那我们一直是往我们已知的上面转的话，那我是不是可以直接把括号里面这个求出来，然后带到我们已知的这个表达式中？这个是不是相对来说比较简单？那现在我们来看一下 x 加上二分之派，当 x 等于负的六分之派的时候，他的值我们是不是也可以很容易来求出来他是不是二分之派？然后我们加完之后，这个结果是不是就是三分之派？ 那现在我们这个求出这个三分之派是谁的？是不是这个括号里面的，对不对？这个括号里面这个整体求出来，是不是就能往前面这个 x 带了，对不对？ 那我们给它带进去是不是就是 f 三分之派？求它看是不是零点，是不是等价的，那它就等于 cosin 括号二乘三分之派，再加上后面的三分之派， 对吧？看它等于多少，这是不是 cosin 派？ cosin 派等于多少，对吧？它是不是派是属于余弦的什么最小值？那它是不是等于负一 等于负一，这是不是属于对称轴，它就不属于什么零点？所以 c 选项是不是也不对？那现在我们来看一下 d 选项， d 选项里面这里涉及到了什么？ 平移了，那平移我们之前那才讲过，我们在这里大家讲一下这个向左平移的时候，左右平移，其实很简单，这个也容易出错，因为你要把 c 括号二 x 加上三分之派，往左右平移的时候，记住是 x， 左加右减，什么意思？这里是不是 x， 它不是 x， 它叫二 x， 所以我们左右平移的时候，这 x 的 系数不是一的时候，我们一定要注意，注意什么？我们要给它变成什么 x， 那 怎么变？那就添一个括号提出来。二，单独把 x 拎出来，然后左移四分之派，那就加上 四分之派，这就叫单独的 x 左移了四分派，然后后面这个三分之派是他原来的保持不变给他写这，所以我们把这个向左移了四分之派个单位之后，得到的是这么一个， 这个是不是要划进来，对吧？那我们给他划进一下，看他是是不是？这时候我们可把括号给它去掉，是不是就是二 x 加上多少？ 这个一乘是不是二分之派？那就加上一个二分之派，再加三分之派，是吧？ 然后我们现在看一下，这里面出现了二分之派的时候，我们肯定想到了诱导公式，对不对？想到了诱导公式，这个需要化解的，对不对？ 我们现在去化解这二分之派。首先要变函数名，我们把其他的二 x 加三分之派看做一个整体，这个首先就变成了 cosine 多少二 x 加上一个三分之派了，对吧？然后我们再看这个是不是 i y 轴的 正半轴正弦你都是正的，所以这个画出来的结果就是它，哎呦，然后我们把这个和已知的进行比较，发现它俩是相等的，所以我们把这个通过平移之后是能得到什么？ f x， 所以 d 选项是正确选项。

大家好，我是教中值数学的曾老师，这个视频呢，我来讲一下余弦函数的图像和性质这四道练习题来。第一题，求函数 y 等于二， cosine x 减一的最大值和最小值，并写出取得最大值最小值时自变量 x 的 集合。 我们知道 cosine x 的 一个值域，那么要求这个整体的话，那么就根据这个 cosine x 它的一个范围来写一下，那就是负一小于 cosine x 小 于等于一， 我都要变换一下啊，它的系数有二，那就同时乘二，左边是负二了哦，二口三， x 小 于等于二，然后后面还有个减一，再减个一，二口三， x 减一， 然后负二减一，那是负三啊，二减一等于一了。所以呢，我们这个啊，这个函数，它的一个啊值域就是负三到一了，那么最小值就是负三了，最大值是一啊。 那么再反对回去，我什么时候取到这个啊，负三呢？那就是当 cosine x 等于负一的时候啊，什么时候取到这个啊，一呢，那就是 cosine x 等于一的时候啊。所以呢，这里当 这个 cosine x 等于负一及 x 等于啊， pi 加二 k pi 的 时候呢，有 这个最小值等于负三，此时 x 的 集合 为我们写成集合的形式，那就是 x 等于 pi 加二 k pi 变去整数啊，然后是最大值当口算以 x 点一时啊，即 x 等于啊，二 k pi 有最大值就等于一，此时 x 的 集合为 x 等于 r k pi 数整数啊。第二题，已知角阿尔法，贝塔都是锐角啊，且阿尔法小于贝塔，则它们两个的比于弦值谁大谁小。 锐角的范围咱们是知道的啊，锐角是在这个零到二分之派这个范围内的角呀，啊，那么在这个范围内呢，我们这个余弦函数啊，可以看到上面这个图案啊， 零到二分之派呢，它是当下递减的呀，所以呢，它这个角度越大呢啊，余弦值反而越小，所以呢，这里面啊，应该是 cosine alpha 大 于 cosine beta 了。 第三题，求函数 y 等于根号口乘以 x 的 定义啊，我们知道要使这个式子有意义啊，应该让这个根号里面啊，这个式子根号 x 大 于等于零，那么就要求这个啊，它的一个解析了，我们看图像，嗯，把这个擦掉， 我们要求的是这个啊，是 y 等于它是吧，那就是 y 大 于等于零的部分啊， y 大 于等于零的部分啊，这啊，我知道等于零，那么端点就取上实心，实心啊，这是这一个范围内，然后其他范围也有，那么只要加上一个周期的描述就好了呀，那么先把这个啊 写一下，那么是在这个负二分之派到二分之派这时候是那个大于等于零的啊，所以呢，我加上周期呢，应该是啊，定义域为 到二分之 pi 加二 k pi， 到这个二分之 pi 加上二 k pi 这个 b 区间啊， k 属于整数。 第四题，求函数 y 等于 cos 二 x， 它的单调区间啊，这个跟之前有道练习啊，也是一样的处理，把这个看作一个整体啊，我们知道 cosine 啊，我就把它表示一下，令 t 等于二 x， 那 么这个原来的这个式子 就会变成 cosine t 了呀，是不是就说只是变量啊，替换了一下啊，那么 cosine t 它的一个单调区间呢啊，应该跟我们前面那个性质啊，总结的那个啊，单调区间是一样的，只不过呢，这个 t 呢，是二 x 的， 比如说单调递减的范围 啊，它是从这个二 k pi 小 于等于 t 小 于等于 pi 加二 k， pi 也属于整数。这时候我的这个 t 呀，是等于二 x， 那 就写成二 x 啊，然后呢，你把这个奇数画一呀，就是 x 的 范围了呀，是不是所以同时除以二，那就变成 k pi 小 于等于 x 小 于等于二分之 pi 加 k pi 啊，所以当掉例减区间呢 啊，我写在这边，所以单调递减区间为 kpi 到 octave 加上 kpi， k 属于整数啊，这是一个了，那么这里面我就不用这个变量替换了呀，直接用另一个啊式子取出这个 x 的 范围来就好了啊。 那么单调递增区间也是一样的处理方法，我们只要这个令这个 pi 加二 k， pi 小 于等于二 x 小 于等于到二 pi 的 这个位置，加上二 k pi 得， 那就同时除以二二分之 pi 加 k pi 小 于等于 x 小 于等于 pi 加 k pi 啊，所以我们这里写上单调 递增区间为这个二分之 pi 加 k pi， pi 加 k pi 啊， k 属于整数。