高中数学诱导公式

今天这期视频咱们讲诱导公式啊，那么讲诱导公式之前，我们先要了解一下诱导公式它指的什么意思啊？ 我们以这两个诱导公式为例，我们说有一个任意角 off 角啊，那么它呢，如果说进行了某类运算之后，会得到一个新的角， 这个新的角跟原来这个角呢，它们的三角函数之间会有一个等量关系啊。例二也是如此啊， alpha 角进行这样的运算之后，跟原来这个角它们的余弦之间啊，会有这样的一个互为相反数的等量关系 啊。诱导公式所有的大体都是这样的一个逻辑。好吧，那我们先举个例子去具象化的理解一下这个例一，这个诱导公式，它为什么一直都会是这样的关系呢？我们现在画一个 平面直角坐标系，再画一个单位圆啊，那么现在假如说啊，来这里呢，是一个 alpha 角，假如说 alpha 角在第一象限，那么 pi 加 alpha 应该是什么？ 是不应该是在 alpha 的 基础上逆时针转了 pi， 那 么 pi 加 alpha 的 中间就应该是跟它是一个反向延长的关系对不对？那这个角就是 pi 加 alpha， 那 在这里你明显能够看出来，我 alpha 角的一个正弦值， 跟这个派加 alpha 的 正弦值应该是互为相反数的关系，这是当 alpha 角为第一象限的时候，符合这个诱导公式对不对？好，那么你如果说这个 alpha 角呢？现在它如果说是一个第二象限角， 这是个 alpha 角啊，那么在 alpha 的 基础上，我再给它加个 pi， 其实就应该是再逆时针转到这对不对？好，那其实就应该中边落在了这里，中边落在了这里的话，来我们的这个 pi 加 alpha 就是 这个中边嘛，对吧？它的一个正弦值应该是 a 撇 t 撇原来的正弦值， a t 正弦值还是互为相反数的关系啊？依次类推啊。你如果说让这个 alpha 角作为一个第三象限角出现的话， 那么我的这个 pi 加 alpha 是 不是应该也是反向延长？它们的正弦还是互为相反数的关系？同样的，如果说 alpha 在 第四象限角，我还是给他反向延长，就是 pi 加 alpha， 对 不对？它们的正弦值还是互为相反数的关系 啊？那通过这个具象化我们就能理解了啊。诱导公式其实就是我任意的取一个角，那么在这个角的基础上加个派，跟原来这个角他们的正弦值是互为相反数的一个等量关系，这个是我们通过科学研究得到的最后的一个结论公式，可以理解吧。哎，那么我们 例二也是如此啊，假如说有这样的一个 alpha 角出现，假如说它是第一象限角啊，然后派减 alpha， 我 们的派减 alpha 跟 alpha 角，其实它是一个相加等于派的一个互补关系，对不对？那互补关系的话，那现在我们的这个 哎，画一个这个蓝的这个是不是就应该是派减 alpha 角？我们得使使边落在 x 轴上，对不对？那你看是不是能看出它俩互补？首先我们先画一个，它和这个红的是关于 y 轴对称， 关于 y 轴对称，为什么就互补呢？你看这个小角，我令它为 alpha， 那 这边是不是这个角大概应该跟这个 alpha 一 样大，对不对？那这个 alpha 加上这个派减 alpha， 那 你看是不是加一块是一个一百八十度？好吧，那所以说我们的派减 alpha 的 中边跟 alpha 的 中边应该是关于 y 轴对称，那么不难看出来， 我们这时候看的要是 o a， 一个是 o a 撇他们的方向相反，大小相等于弦值，就应该是互为相反数的关系 好吧，哎，这是 offer 在 第一项线角的时候是成立的，那如果说啊，我们的 offer 在 第二项线角，这个你自己去研究一下啊，我的 offer 如果说在第二项线角的话啊，然后我们的派减 offer 其实跟它怎么样？余弦值也是互为相反数的 啊，第三象限角也是如此。往后我就不过多赘述了啊，就是说我们的诱导公式其实就是根据啊，我们的无论这个阿尔法为任意一个角的情况下呢，它都满足这样的一个关系。那现在啊，我们知道了诱导公式的意思，现在最重要的就是怎么把这一系列诱导公式给它记住， 那记忆的口诀来了啊，重中之重就是即变偶不变符号看象限对不对？我们会发现来它其实诱导公式指的是 每个原来的角的三角函数值，跟原来这个角的基础上怎么样做，怎样的运算得到那个角的三角函数值有等量关系。所以说我们现在诱导公式所有的后面的这个等号对应的角都是单独的，原来的这个 off 角 能理解吧？而前面呢，是在 offer 的 基础上进行怎样的运算？那现在我们要看啊，以第一个例子为例，你前面出现了一个 set 派减 offer 啊，那么后面的这个角一定是个 offer， 我 们先确定下来，那么这个 offer 前面这个到底是正弦啊还是余弦啊？我们要看什么？要看口诀的第一句叫即变偶不变 基友指的是谁？来，在这里记住啊，指的是我们前面的这一坨 off， 前面的这个东西看他是二分之派的多少倍啊？那这个明显派是二分之派的一个二倍，对不对？哎，那其实就是二分之派的一个偶数倍， 那么偶对应的是什么？偶对应的是不变。如果前面这个东西它是二分之派的偶数倍，那么后面这个 alpha 对 应的三角函数值跟前面的这个是不变的，所以说这个地方也是塞 啊。然后下一句符号看象限，符号指的是什么呢？就是说前面这个到底是正是负啊，那么这个符号到底是正是负呢？看的是什么？看的是前面的这坨东西的一个象限 啊。那有同学问了老师啊，那这个 alpha 角不是任意角吗？它都不没定下来是第几象限呢？我怎么能判断它的象限呢？哎，这个时候我们还有一个特殊的处理，就是我们在记公式的时候要把这个 alpha 呢当做一个锐角 啊，也就是第一象限角，那么第一象限角假如说 alpha 在 这 alpha 加上 pi 是 不应该 第三象限角，第三象限角的正弦为负。好吧好来，你看，全看的都是前面的这一坨东西，而且看的是正弦， 第三象限角的正弦为负，那么这个时候来这个符号就写在这，又的公式就写完了啊。那我们记住啊，符号看象限看的是谁的象限啊？我们可以把它说成是符号看前线啊，上前线了， 对不对？哎，怎么样去理解啊？好，那我们按照这个逻辑再去看下一个，下一个的话呢？ cosine 二分之 pi 啊， pi 减去 alpha， 那 那后边的话，首先一定是个 alpha 自己，对不对？那好，那既然是这里应该是赛还是个 cosine 的 话，我们现在拿不准我们要看什么，即变偶不变，对不对？ 这里是一个 alpha， 放在这，那前面这个 pi 是 二分之 pi 的 一个二倍，是偶数倍，所以说不变不变的话呢，前面是 pi， 后面就也是 pi， 符号看象限，那这个地方到底是正是负呢？我们要看来前面的这个东西的一个象限啊，前面这个东西，我还是要把这个 offer 当做第一象限角来处理， offer 在 这，那么负 offer 就 应该在这负 offer 再加个 pi， 其实呢，落在第二象限，第二象限的余弦为负，所以说这个地方就是负， 好吧，那我们再看第三个，第三个的话，它是什么来二分之派是不是减去一个 alpha， 后面一定是 alpha， 那 这个时候我就要看来既变偶不变，对不对？好，那么这是二分之派的一倍，那就应该变了，所以说 cosine 就 要变成是对应跟它对应的那个正弦， 哎，变了吧。好，变了之后我们再看啊，符号看象限还是看前面的符号看前线吗？这是 alpha， 这是负 alpha 负 alpha 再加上一个二分之派，加上一个九十度 啊，那还落在第一象限，第一象限的余弦为正，那这个地方就应该是一个正的，正的， 好吧，好，那这个诱导公式就成了啊，那我们利用了这三个例子，大体的去理解了一下我们的基变不变符号看象线的一个规律啊。好，那我现在带大家去把所有的诱导公式按照这个逻辑去梳理一遍。首先诱导公式一，它最简单，它指的是在原来这个角的基础上，我转了整数圈， 其实就是中边位置没有变化，对不对？那如果说中边位置没变化，那其实我们 来这是阿尔法，然后转了整数圈，中边位置没有变化，那其实还是这个中边，那还是这个中边的话呢？正弦没有变化，余弦没有变化，正切也没有变化， 对不对？那么我们如果按照基变偶不变的逻辑呢？其实也可以这样去理解，就是这个二 k 派呢，其实就应该是二分之派的一个四 k 倍，四 k 一定是个偶数，二分之派的偶数倍，那这个怎么样来？跟前面有没有变化？同样这个也没有变化 符号看前面的象限，你把它当做一个锐角，锐角加整数圈，还是第一象限的锐角，对不对？第一象限的正弦为正，那这个地方就是正。第一象的余弦为正，那这个地方也是正，这里正切啊，第一象限为正，这里也是正啊。拿记忆口诀也能够去理解诱导公式一 啊，那我们再看一下诱导公式二啊，我们挨个去给它添一下。好，后边一定是 alpha 啊，那前面的话呢？怎么样看啊？前面的话是二分之 pi 的 一个二倍，是偶数倍，所以说即便偶不变， 对不对？符号看前线符号的话，那现在看来，前面的这个应该是把 alpha 当做第一象限角，或者当做锐角的情况下，再加个 pi 派加 alpha 应该是第三象限角，第三象限角的正弦为负，所以说这个填负号啊，那这个的话，因为不变嘛，后面就应该是 cosine alpha， 那 么来，第三象限角的余弦是不是也为负，所以这个地方也是负 啊？那这个来应该是贪进的 alpha， 那 第三象限的正切，我们是不是负的？比负的应该是为正，对不对？那所以说前面的正切为正，这个地方也是正， 好吧。诱导公式三，哎，这里看一下，最后肯定是 alpha 啊，但是这个地方我们要注意看啊，它的话可以写成一个 零倍的二分之派，然后再减去一个 alpha 零，二分之派的零倍，其实就应该是零，也是偶数吧。 哎，好，那么也就是偶数倍的意思，偶数倍的话，那就应该怎么样？应该不变，对不对？那这里不变，这里也不变， 这里也不变啊。符号，看前线，那我们还是把 alpha 当做锐角啊。那 alpha 在 这，我的负 alpha 呢？就应该是在这，对不对？负 alpha 的 正弦为负， 负 alpha 的 余弦为正，负， alpha 的 正切为负。好的，这三个月的公式搞定了。 右导公式四， alpha 放在这，既变，偶不变，这个是二分之派的一个偶数倍，对不对？那肯定是不变，那这里就不变，这里就不变，这里就同样的也不变啊。好，符号，看前线，那我们看一下， alpha 如果还是当做锐角， 这是 alpha， 那 么这个应该是负 alpha， 对 不对？负 alpha 再加上一个 pi， 那 就变成了一个第二象限的一个角，第二象限的角的正弦为正，那这就是正，余弦为负，这就是负，正切为负，那这就是负。诱导公式第四组，搞定。 诱导公式第五组，后边还一定都是阿尔法。好，那这个时候我们看是不是二分之派的一倍，对不对？好，那基数倍的话，那这里就要变，那这里变余弦，这里呢变正弦啊，那这个也要变，变成什么？来，我先给大家写上，这个叫口弹琴啊，其实呢，我们说啊，来，这个叫什么名？ 这个是不是叫正弦？他叫什么？什么弦，对不对？来这个叫什么名？这个叫余弦， 它也叫弦，它俩是相互对应的啊，那么这个弹进它叫正切啊，然后呢？口弹进它叫余切，它俩都叫切，这两个切相互对应，相互转换，那其实这个余切跟正切啊，是这样的关系，我们随便画一个直角三角形吧啊？ abc， 我 们的这个 a 角的一个正切应该是 bc 比上 ab， 对 不对？对比邻， 我们的这个 a 角的余切的话啊，那其实就应该是 a b 比上个 bc 就是 我的邻比。对，其实它俩正好是个互为倒数的关系好不好？所以说如果说一个 alpha 角的一个余切，它应该就等于是 alpha 角的正切分之一 啊，我们就先讲到这啊，让你知道一个正切的对应是余切就好了，好不好？那么现在来我们看这， 呃，我们还是把这个 alpha 角当做第一象限角来看，如果 alpha 角是第一象限角啊，负 alpha 角就应该是在这，然后在负 alpha 的 基础上加一个九十度 啊，加一个二分之派，那么二分之派减啊，其实应该是第一象限的一个角，第一象限的角来符号看前线，第一象限的角的正弦应该为正，这里就是正，第一象限的这个余弦应该是正，那这里就是正啊，那么第一象限的这个正切也是正，那这里就是正， 好吧。当然这个你也可以把它理解成什么呢？就是 alpha 跟二分之派减 alpha， 它俩的固定关系就是相加，等于二分之派就是互余的关系，对不对？那既然互余的关系，你可以把它理解为在一个直角三角形当中，这是 alpha， 然后这个就应该是二分之派减 alpha， 对 不对？你的正弦，我的余弦，我的余弦就是你的正弦， 对吧？你的正切啊，就是刚才所说的你的正切，那就是我的余切喽，对不对？哎，这个诱导公式五可以这样去记忆和理解，我们再看诱导公式六啊，诱导公式六后面一定是 alpha， 然后看一下，这是二分之派的一倍，也就是基数倍，所以说要变， 要变，那这个也是要变的，变成 q 弹金的，对不对？或者是变成一个弹金的 alpha 分 之一变成这个样子啊？好，那我们再看符号，看前线，我们还是把 alpha 当做第一象限角 alpha 在 这再加一个二分之派 第二象限了吧。第二象限的正弦为正，那这就是正，但是第二象限的余弦为负，这就是负。 第二项线的正切为负，这就是负啊，所以说它等于负的 q 贪心的算法，或者等于负的贪心的算法分之一， 那这是我们的诱导公式六啊，那我们再看一下广义的诱导公式啊，那他也可以按照我们的这个基变不变符号看象限来记忆啊，就是比方说第一个那扣塞二分之三派加上算法后边的话，一定是算法 啊，那么二分之三派是把二分之派的一个三倍叫基数倍，所以说基变，那这里就要变符号，看前线前面，那你就直接看前面，把它当锐角。阿尔法在这加上二分之三派，是不是加上了一个半圈，又加上以九十度， 那现在中边落第四象限，第四象限于弦为正，那这个地方就是正，有的公式直接写出来了， 对不对？当然了，你要是说非要是用前几个常见的诱导公式去推导他们之间的关系，也不是不可以，你可以让它啊，来 cosine， 把它写成一个 pi， 加上二分之 pi 加上 r， 对 不对？好，那你可以把它先暂且看做一个整体啊，那根据诱导公式， cosine pi 加上一个 a， 应该就等于来我们的什么？是不是基变不变，那就应该是等于 cosine a， 把它看作第三象限角， 对不对？ a 的 话，第一象限加个 pi， 第三象限角余弦为负，这个地方就为负吧，对吧？你可以先去利用这样的一个诱导公式，那么就会得到它就应该等于是负的一个 cosine 二分之 pi 加 alpha， 啊，这是第一步。然后我们再怎么样来，在这我们是不是又可以把它利用一个诱导公式，它就应该是 sine alpha， 那 并且是不是负的，对吧？ 负 sine alpha 吧。啊，然后前面又加一个符号，负，负得正，那就最后就变成了一个什么呢？变成了一个正的 sine alpha， 哎，跟这个结果是不一样，但是你会发现怎么样？我如果用这两步的话，没有这个这么快， 对不对？哎，这就是广义的又有公式，那广义的又有公式，我们也可以看一下这个。下面这个啊，如果说出现了 sine 二分之九 pi 加上一个 alpha， 后边一定是 alpha， 这是不是基数倍？所以说要变那符号，看前面的象限，把它当做一个锐角，当做一个锐角的话，这是一个 alpha， 在 alpha 的 基础上，二分之九派有点太大了，你可以把它看成是二分之八派加上一个二分之派，对不对？这是就四派，四派就两圈， 那在 alpha 的 基础上先转两圈，中边肯定又落在了原位置上，对不对？然后再加个二分之派，那中边就正完事，对吧？ 好，那么诱导公式搞清楚了，我们看利用诱导公式啊，去解决一些个这个，给一个这样的大角去求具体的值。六分之三十一派看起来太大了，对不对？哎，那就应该让它等于一个来看这里啊，五六三十，对不对？那就应该是五右六分之一派，那就这样写 cosine 五派加上个六分之派，这样写行不行啊？然后你再看啊，那既然说你可以用两种方式去做 啊，它五派的话，你依然可以把它写成一个 cosine 四派加上个派，再加上个六分之派，可不可以？那这个四派的话，多转了两圈，它就等于 cosine 派加上个六分之派，这个是用的就是诱导公式，一，对不对？在这个角的基础上多转了两圈，我们的余弦值 是一样的。好吧，那到这个步骤，那现在我们就可以看，这是一个单独的 pi， 你 可以把这个当做一个 alpha 角，我们现在利用的就应该是 cosine pi 加上 alpha， 应该就等于一个 cosine alpha 是 不变，然后看前线，这不第三象限角吗？第三象限角余弦为负，那这个就是负， 对不对？那所以说这个位置就应该是等于负的一个 cosine 六分之派。 cosine 六分之派等于多少啊？是不是 cosine 三十度啊？那是不是就应该是二分之二三，这就是负二分之根号三了，对不对？好的，那么这是我们的第一个做法。第二个做法是什么呢？就是我们直接你看啊，来，这不五派吗？ 对不对？你扣赛。五派加上一个六分之派，他就应该是一个二分之派的一个十倍，是不？偶数倍，对不对？偶数倍的话，他最后一定是什么函数名是不变，不变的话，那在五派的基础上，那我就把这个直接六分之派写在这了， 对不对？那么符号看前线，这个时候你要注意啊。来，如果说你现在对标的诱导公式就应该是 cosine 五派加上一个 alpha， 你 要把这个 alpha 当做第一象限角来去看这边这个位置的一个正负， 对吧？那第一象限角我们简单划一下，那在这啊，然后加了五派，其实就是说加了四派，又加了一个派，对不对？加了四派，中间落在这，又加了一个变，又加了一个派，是不是就在了这个啊？他的对面的这个位置上，对不对？第三象限，第三象限与弦为负，所以说这个地方就为负， 好吧，好的，那这个地方就是负呗，那 cosine 六分之 pi， cosine 三度就是负的二分之二三，这两种方法都可以的，好不好？好，我们再看一下题型二叫利用诱导公式啊，求解，给值，求值，问题就是他给了你一坨的值，然后又让你求这样的一坨的值。 好，这里注意看一下啊，就是我的前面的这个角呢是十二分之 pi， 后面这个角呢是十二分之七 pi 加上一个变量 x， 它们之间有一个什么关系呢？想要找到它们之间的固定关系，我们就可以采取一个来，明显它要大一些，对不对？采取一个运算方式，让它把变量消掉，那相减十二分之七派，减去十二分之一派等于十二分之六派，也就是相减等于二分之派的关系，对不对？ 好，那么现在我 x 加上一个十二分之派，应该就等于是二分之派加上一个 x 加上十二分之派。 啊，那这个角就等于来这不是有一个二分之派，那它就跟诱导公式有点关系了是不是？好，那么现在我们要求的这个东西 就会变成是 cosine 二分之派 加上一个括号 x 加上一个十二分之派。扩回，那现在你想要去用诱导公式，是不是就应该对标到 cosine 二分之派加上 alpha， 它应该是等于什么？是不应该是等于 cosine alpha？ 然后这里看是不是第二象限角余弦为负 对标的这个右的公式，所以说它应该就等于来把这个角就对标成这个角呗，那它就应该等于负的塞沿 x 加上十二分之派，是不这样子啊？好，那么来塞沿这一坨不有吗？三分之一，所以说最后就应该是负三分之一。 嗯啊，那我们再看一下下一个，下一个的话呢，看这是不是 alpha 加上六分之派，这个是 alpha 减去三分之派，他俩有个什么固定关系呢？是不是相减才能找到固定关系？他大他小 他减，他发现六分之派减去负的等于加上正的加三分之派，就是加上六分之二派，等于六分之三派，其实就是相减等于二分之派的关系， 对吧？那现在在这呢啊，我们其实要求的呢是这个角，对不对？我为了简写，我们其实可以在这进行一首换元，我之前讲过，换元不就是为了写起来简单吗？要不这一坨这一坨的总来写很烦的，对不对？ 那所以说我的 off 加上六分之派，这个角就等于二分之派，加上一个 t， 行不行啊？那么现在来这个角等于二分之派加 t， 那 已知我就可以把它写成一个 cosine 二分之派加 t 了啊，那好，那这个诱导公式我们就应该等于是是负的 sine t， 对 不对？好，那你看，要求的是 sine t， 那 现在负 sine t 等于负三分之一了，我的 sine t 不 就等于三分之一吗？那要求这个东西就三分之一，你看画圆之后写起来是不是舒服一些啊？ 啊，我们再来一个，再来一个，这是三分之派减 x， 这个是 x 加上个六分之七派，你会发现它俩是一个什么固定关系？是相加应该等于来，这是六分之二，六分之七，是不是相加等于六分之九，六分之九就是二分之三派，对不对？相加等于二分之三派， 那这个时候我们看啊，要求的是它，我们就不妨呢来，为了好写，我就令它等于个 t， 好吧，那令它得 t 的 话，那么已知的这个东西，三分之 pi 减去 x 就 等于二分之三 pi 减去一个 t， 那 么现在我的 sin 啊，括号把它写成二分之三 pi 减去个 t， 根据诱导公式来，这是不是积？所以说要变， 对不对？然后符号看象限，符号的话来把它 t 当做第一象限啊。第一象限的话，那负 t 在 这负 t 加上个二分之三排，加半圈，再加一个直角，那就第三象限，第三象限的正弦为负，这个地方就是负的。 好吧？好，那确定了诱导公式了，那就应该是这个应该就等于负的五分之三 搞定啊。好，那么整个这堂课我们的诱导公式的包括诱导公式的常见题型就讲到这里了。

大家只要学过诱导公式，肯定听过这么一句话，既变偶不变，符号看象限。但我问你们，你们知道它到底是啥意思吗？ 我今天跟你们好好说一说啊。我先跟你说，什么叫既变偶不变？这个既和偶指的是谁？是指这个 k？ 来，请看好了，假设以三为例啊，如果 k 为基数的话， 这个诱导完以后，他要变名，三引要变成 q， 三引正负号咱不确定啊，这个咱等会说，可能正的，可能负的， 但如果这个 k 他 为偶数的话，这个时候我们诱导完就不变名，他还是三引阿尔法，正负号不确定 好。说白了，就这么说吧，如果一个式子，他是三引阿尔法加上二分之几派，你说七派九派十三派，这种诱导完要不要变名？ 变，因为是基数对不对？变成 cosine 阿尔法，先不管正负号啊，来，再看一个，如果是三引阿尔法加上三派呢？ 这种他就不变名，为什么？整数派的，这可以一定是偶数，这种变完以后，他还是三眼阿尔法，正负依然不管。现在明白什么叫鸡变偶不变了吧？好，那接下来我问再跟你们说，他为什么变，为什么不变？来，听好了， 先给你们举第一个不变的例子，你比如说啊， 我三引阿尔法，我加上派，这个是变的还是不变的？不变是吧？为什么？我画个单位员，你一看全明白了。 我假设阿尔法的第一象限，因为这个好研究，哎，这个坐标呢？是 x y 对 不对？ 我现在加上一个派，哎，跑这里了，这个坐标是负 x 负 y。 这时候大家注意，你三引阿尔法加派，你三引值看的是谁啊？你三引值看的是纵坐标，它是负 y， 但是本来三引阿尔法应该等于多少？它是 y， 你 看值没变，只是添了个符号而已，所以这种是不变名的。那我再给你讲为什么有的要变名？来举一个例子， 我就以三引二分之派减阿尔法为例啊，所有人听好了， 三引二分之派减阿尔法，这个时候呢，我们依然要画一个图，你不画图啊？你想不明白？来，先画个坐标轴，再画个图来假设阿尔法在这里，好不好？ 这个时候你看这个坐标啊，是 x y， 对 不对？那你说二分之派减阿尔法这个角在哪里啊？ 二分之派减阿尔法这个角，那相当于二分之派减阿尔法在这个位置，对不对？你有没有发现，这两个角它其实是关于 y 等于 x 这条线对称的。 这个时候大家注意了，你本来这个坐标是 x， y 对 不对？你现在跑到这个点上，它的坐标变成了 y x 了，反过来了。 来，请看，现在我们三 e 二分之派减阿尔法，三 e 我 看的是纵坐标，对吧？纵坐标是不是 x？ 来，这个时候你再看这个 x 本来是谁？这个 x 本来应该是扣三 e 阿尔法的值呀。所以三 e 二分之派减阿尔法等于扣三 e 阿尔法， 懂这意思了吧？是不？变明了，那接下来我再跟你们说，为什么叫符号看象限呢？ 我们在使用诱导公式的时候，为了方便，我们一般会假定阿尔法在第一象限，因为你在第一象限，三引扣三引 touch， 是 不是都是正态啊？ 这个时候我们在分析角的时候来，请看，好了啊，三引二分之派减阿尔法，我知道他能诱导成是扣三引阿尔法。正符号怎么看啊？阿尔法在第一象限，二分之派减阿尔法呢？ 还在第一象限，那第一象限那三引值是正的，那就还是正的呗。所以他就等于扣三引阿尔法。 我再给你举个例子，你比如说我三引二分之三派减阿尔法，他怎么思考？首先一看二分之三派的肯定要变名，嘣，扣三引阿尔法，接着考虑正负号，我就想二分之三派减阿尔法在哪里呢？ 二分之三排在这里对不对？我假定阿尔法是个锐角行不行？我减去一个角，在第三象限第三象限，这个三角值，正的负的负的填符号呀，这就是符号看象限的意思，这会你学会了吧？

读读读读读读，一堆公式，整一个傻傻分不清楚，我要挑战一个视频，把诱导公式彻彻底底给你讲清楚！教材又一次上演地理隔离诱导公式正式学习是在一百八十八页，第一个公式居然在一百八十页，标题还没出来，公式已经开始学了， 正式学后面的公式，一百八十九页，他又没学全乎，老五老六呢？一百九十二页，老五老六出来了， 你把公式写在一块堆，它还记不全乎呢？好了，那我们说回公式本身，其实单单看字面含义还是好理解的。先看第一个红颜色，什么叫做基还是偶？就你一会。在所有诱导公式的题目中，一定要找到 二分之派，它的倍数。如果是奇数的话，比如说正二分之三派，负二分之五派，这就叫做它的奇数倍，那咱就按照奇变来走。反言之，如果你遇到的是三派六派负二派， 这些都相当于它的偶数倍。对，不论正负啊，咱只看奇偶，那如果是偶数倍的话，就按照偶不变。 所以问题来了，那这个变和不变指的是什么呢？就是名字。其中呢？如果是 side 这个名字，你要是让我变的话，就是变成 cosine， cosine 如果变的话，就是变成 cosine， 那 不变就是不变，这没什么好说的，而 tangent 和 cotant 就是 另外一对了。 所以你看，哪怕你不理解，只要你学会解析的手法，照样得高分儿。当然，我希望大家还是在理解的基础上往下去学好，那我们再来说呢，后半句儿，什么叫符号儿？这个就是正负号儿。 所以到底我是取正号还是负号，这得看所处于的象限，比如说这叫第一，这叫第二，这叫第三，这叫第四，这就是所谓的四个象限。好，字面含义咱先说到这， 接下来往下看。刚刚六大公式，我们现在就拿它当做例题，包括一会也会给出母题，这个又是教材当中的例题，通通都会给大家讲清楚。好，那我们看左边啦，这是阿尔法加二 k 派，请同学们开始跟欢老师应用口诀。 首先在这里边找到二分之派，而它是多少倍？你看啊，这阿尔法是你要研究的对象，它可不是二分之派，显然是波浪线。二 k 派，它就相当于二分之派乘以四 k， 所以显然当 k 是 整数的情况下，这四 k 妥妥是偶数。因此，按照刚刚说，偶不变，那它现在的个名字就不变。所以你看，散也依然是散也，名字没有改变，即变，偶不变，用完了 好换颜色。再说符号看象限，你说我到底是等于正的还是负的呢？当然有同学眼神可好了呢，说，你这前面没写符号呀，是正的，那你得告诉我，我这个正的是咋来的？我教你啊，你一定要把这个 alpha 看成锐角， 那么请问二 k 派加上一个锐角是位于第几象限？你想这是圆，这个呢？是起始的边，那么你想，你转二派，这是一圈，你转四派也是到这，所以你会发现， 如果是二 k 派的话，它永永远远中间都是在这。咱之前不是讲过象限角轴线角吗？这个就属于在 x 轴，正半轴的轴线角。 好，在这二 k pad 的 基础上，再叠加一个锐角，阿尔法是不是就位于第一象限？好嘞，拿出黑色笔，这整个前面一坨哦， 它是位于第一象限，然后你只需要思考一件事情，就是对于原来的这个名字，不能看改名之后的， 因为你研究的对象，请大家记住，你要从一而终。我们研究的一直是前面，所以你研究的是这个在阿尔法是锐角的情况下，这个整体在第一象限的情况下，当然是它的曲值喽，是正值负值。 哎，散引在第一象限是正值，因此后面就是正号。好，即便不变符号，看象限，你听懂之后，欢老师要恭喜你，表面上看 个个公式都是背的，但是你发现用咱们这个口诀个顶个的都能够说出个理来。这老大说完，咱拿老四试一试好不好？先寻找二分之派，那我明显看到这个是一个整整提起的派，它是二分之派的二倍，所以这是基数，偶数呀， 偶数，所以偶不变，散也依然是那个散也。其次，再来告诉我这个是第几项线，你想，如果这是一个单位，元 pi 一 百八十度，就应该是在这个位置上，所以在这个位置上减掉一个锐角 alpha， 那 么它应该是落在第二象限， 而第二象限对于散影而言，它也是正的。因为我给大家在上个视频当中讲过，我这散影看的是 y 诶， cos 影是看 x， 所以 说它现在是在第二象限， y 值显然是正的区域，所以呢，它这块就是一个正号。 好，有人现在大约明白了，这是第二遍用口诀了，然后，但还不过瘾，毕竟这也是正好，这时候正好我还没见到符号呢，这样，老五老六这不搁这等着呢吗？我特意啊，给大家找一个未来会有符号的情形来讲来看这个， 他是贪婪的二分之派加阿尔法，请问这里边有没有二分之派的倍数呀？哎，就是在这里，他显然是二分之派的一倍，所以说就是积， 那么基是要变化的。有的人说，这我不认识，哎，其实 tangent 分 之一就是我刚刚提到过的，如果您这 tangent 要变，这就是它变化之后的名字，叫做 cotangent， 所以 说呢，现在是要变的，对吧？那么就变成了这个样子。其次，我们再来看这个中括号，它是第几相线？二分之派是九十度，九十度，再加一个锐角，这是第二相线。好，第二相线的 tangent 指是什么样？ 首先 find 呢？相当于 find 比上 cosine， y 比上 x， 所以 在第二项线 y 是 正的，而 x 是 负的， find 就是 负的，所以第二项线 find 的是负的，那么后边这个地儿就是有一个符号在的。好，现在在课本当中六大公式， 第一对，第二对，第三对，我都给大家举个例子，举了仨例子，你像第一对呢，它其实研究的这是要么你给我加二 kpi， 要么你就什么都不需要加。 而第二对，你要不然就是跟派派加某某，要不然就是派减某某，跟派有关。第三对就是二分之派减，或者是二分之派加跟二分之派有关。所以基本上到现在为止，这个口诀你是要会用的。可是 我想问在座所有看到此刻视频的人，为什么鸡就会变化？那怎么就不能鸡不变，偶变呢？ 为什么呢？我先解决第一个问题，其实诱导公式啊，他有一个非常大的贡献，如果你在生活当中听过这样一个物件叫做放大镜，那么诱导公式就是一个放小镜， 缩小镜怎么着呢？因为我们以前在学角的时候，石化角你放到一个三角形当中，这个角都是满肉眼可见的，很好研究的角度比较小的角。 可是在我之前的视频当中，任意角，自从学了这个概念之后，你会发现蚂蚁把它放在直角坐标系的话，这个边给它锁定，那你这个边开始转，你想这个角倒是很小，你转转转转转转转转转转，你比如说你转到这这个角是不是会很大？那你要是转到这，这个角，哦，这么大， 那甚至他还可以套圈，哎，一圈，两圈，三圈，所以你可能听到的不仅仅是三百六十度了，可能是三千六百度，五千八百度，所以这些特别大的角，请问在数学当中，尤其到了越来越尖深的数学，那那个领域会不会涉及到对他们的研究呢？那必然的， 毫无疑问的，所以我们必须要找一个放小镜，把这些非常庞大的角给这画成小可爱，咋着呢？你看教材也说了呀，我们可以把通通任意角，马踏特别大，也画成锐角来进行研究， 所以诱导公式，诱导公式就是聪明的，我们把咱们思考的结论凝结成一对小口诀，就给它整完了。那我们再来拿母题和教材上的题给大家来说道说道。你看教材当中呢，它就有引导 这四种情况。所以你看二四年河北区的期末题，就考了类似于教材当中的括号一第一问，而在二五年房山区的期中，他考到的，这就像教材当中的第三问，你看这有符号， 所以我为什么会重视让孩子们不管是在平时考试还是高考都要回归教材，是因为确确实实他也是考试会进行参考的。好，那我们现在就在这给大家讲解这道题目。 请看他现在问我， cosine 五百一十度，我们做一个小学数学题，这五百一它等于三百六加上一百五，但这一百五好像也不是锐角，不足够小，你就再把它写成九十加上六十，所以整个上面呢？那这是二派， 这又是再加一个二分之一派，整体就是二分之五派。二分之五派加上六十度，显然这是二分之派的五倍，它是积， 那么就要变，所以这 cosine 的 名字就要变成 sine。 好， 那 sine 六十度。随后看黑色笔，到底这前边儿是正号还是负号？我们就这样来想了， 看你这二分之五 pi 相当于是在二 pi 的 基础上又转了九十度，它已经位于 y 轴的正半轴了，在此基础上再加一个六十度这样的锐角，显然它是位于第二象限，而第二象限的 cosine 值是负的，所以一定要在这加上负号才行。 三引，六十度是二分之根号三吗？那这就是负二分之根号三，大家选择三号 c， 明白了不？如果还想要多训练的话，我在旁边把咱们教材上的看 括号一问，括号二问留在这里了，大家多多训练。好，那我们来看下一个题，这道题他问的是贪近的负三分之十三派一样的，刚才是度数，这回换成了所谓的多少多少派。 看啊，也是，咱要把它先用小学数学题化大为小。不过在此之前，请大家注意它这有一个符号，你看教材当中是怎么弄的，看一看这个符号是否能拿到前边来。这事啊，就不得不调用咱之前函数讲解的奇偶性了。 在下个视频当中，我就会正式告诉大家，贪镜的的图像长成什么样。现在啊，咱先聚个透，你先用着话说，贪镜的再长成这样一打眼，这明显是关于原点对称的 奇函数，所以奇函数符号是拿的出来的，咱们就把它写到前面去，弹进它里边，先照抄 三分之十三派。好，接下来这三分之十三，请大家思考，能把它怎么样化大为小呢？ 我在想啊，这三分之十三可以写成是三分之十二，再加上三分之派，而这三分之十二显然就是三四一十二四派嘛， 因此它就是二分之派的偶数倍，偶不变。所以你这是贪镜的，你现在要照抄，仍然是贪镜的，别忘了，刚刚这个符号也是咱们照抄的一趴，所以我们就都写好好， 后面三分之派在这也是照抄。最后我们用换一个蓝颜色来定符号，正所谓符号开象限，我就问大家这是第几象限？你想呀， 三分之十二派，这四派相当于是足足转了两圈，他又回到了 x 轴正半轴，在此基础上，你加个三分之派，这不显然是第一项线，那第一项线不管散印扣散印碳金的，扣碳金的任何的那常见三角函数值都是正的。所以既然是正的话，那咱前面什么也不用填， 你填你也是相当性的写一个正号，所以最终结果就是负的碳金的三分之派，我再次强调，不要眼花哦，这个负号是刚刚聊积函数落下来的， 不是符号看相线诱导公式来的，所以最终结果咱要拎得清。好，那出结果三分之派就是六十度摊进六十度是根号三，所以这负根号三，大家选择四号 d 结束战斗。 怎么样？诱导公式找到感觉了吧？但这个视频真正的高潮才刚刚来临。一方面，我要给你把刚刚的解析步骤进一步的 规范化，让大家清晰明了为啥说数学能训练逻辑感就是这么来的。再来，我还给你做一个拓展，与此同时，这个拓展在这里边我就要给大家讲讲，即变偶不变符号看象限，到底为什么即变偶就不变？这事终极如何来解读。 好，我们先来看第一步，面临有符号的情况，我会先通过奇偶性，那如果是奇函数，这个符号直接就没有了。第二步，大化小。 还记得我刚才放小镜的那个解释吗？大角画小角，可有的时候，如果这个角你画完之后还是一个钝角呢？什么一百二十度，一百五十度，还是需要大家进一步画成锐角的，所以有的题可能会涉及到小画锐，最后我们锐就可以求值了。好，随后呢 两个升级，这个升级要注意听喽，你再好好的感受一下三角函数到底是怎么个事。有两种常见的情况，一种是这两个角互余， 也就是说它俩相加等于九十度。还有一个是说这两个角互补，指的是这两角相加等于一百八十度。好，那这个互余和互补对于三角函数而言，有哪些中间结论呢？我先给大家说说上边啦， 互余的情况。你看呀，这阿尔法和 beta 如果是相加九十度互余长成这样，那么这个 sine alpha 值是不是对边 x 边比上斜边 l 边？而站在 bet 这个角，它的视角下，它的 cosine 值倒也是这个情况。你想 cosine 值是邻边比斜边，那不也是 x 比上 l 吗？所以让中间桥梁牵线搭桥，它俩也就建立起来了相等关系。因此，互余的两个角， cosine 值和 cosine 值相等。 可是咱今天的主角是诱导公式，来看看方法二，咱再从诱导公式的角度能否得出呢？你看，我就在想，你这散引阿尔法，你说它俩是互余，那这阿尔法角不就相当于是九十度减去背它？好嘞，那你现在看，这如果用积变偶不变，这是积，所以说它是要变的。 好，变完之后呢，贝特照抄，咱们再来想，这是第几相线？这很明显，九十度减去一个锐角是第一相线。第一相线谁的三角函数值，那都是正的。 这个正好我就不写喽，所以他就会得出跟刚刚一模一样的结论，三 l 法等于 cosine b， 三 l 法等于 cosine b。 你 看，发一发二来发一是数形结合的方法，发二是诱导公式。好，我陪着大家把这两个说道说道。你看这两角相加等一百八。 好，那我们先用法一给大家来说道说道。这里边我要做一条黑色的辅助线，啥意思呢？你别看现在这个 a 角，这个 b 角你互补关系能看出来， 但是我们在任意角做研究的时候，可都得是从 x 轴正半轴开始旋转。所以啊，我这 a 角将原封不动用这条红色的线，但是这个 b 角则要用这条线。我对应的是这个角， 这个应该很好证明，它有点像咱学物理当中的光学。你不觉得这特别像法线吗？所以这个黑色的角和这个 b 角是相等的。我也在这再写一遍 b， 它俩是互补关系。晓得啊，那咱们开始证明。首先你会发现，这 b 角的小黑点 和 a 角的小红点 y 值都是在 y 轴的正半轴，显然是相等的关系。而在 x 值上呢，你会发现它俩一个 x 值是正的，而另外一个 x 值刚好是负的，它俩是相反竖的关系。好， x 是 差一个负号。 那我为什么要提这个呢？因为 y 值就相当于是散引 x， 我 们在上个视频不说了吗？所以说，既然 y 值相等，因此这两个角散引值就会是相等，而 cos 值应该是由 x 来代替。 x 值刚刚说了差一个符号，所以呢，这个地儿 cos 在 a 应该是等于 cos 在 b 前面加一个符号。 这就是根据左侧 x 值 y 值得出来的结果。那如果我要用右侧诱导公式来得怎么来呢？也简单，你看这是 pi， 这是 pi 还是偶，偶偶就不变。所以我上面照抄的是散引，下面照抄的是 q 散引。 好，那到底这散引 b q 散引 b 前面添正号还是负号？我们来回答，这是第几项线 太减去一个锐角，分明是第二象限好，第二象限对于三一值而言是正的，可是对于 cosine 值而言是负的。所以最终结果出来了，你看，三 a 等于三 a b 刚才咋说了哦，三 a 确确实实应该是直接相等和三 a b， 那 cosine 呢？ cosine a 和 cosine p 应该是差一个符号，怎么样？这个地儿呢，我跟大家讲，它实在没什么难度，它最多就占一个，有点像绕口令绕的感觉，所以你不要被它绕糊涂， 一定要拎得清楚。如果说但凡有点小糊涂，没关系，这个视频咱们倒回去再听一遍就好了呀，欢老师一直在的哦，好，那我们现在回归那个刚才可爱的小喵头就是这里，给大家再说一说，为什么即变偶不变。 我先声明，这个地已经深入到对于数学的认知层面了，所以如果你听不懂或者不想听，都没有任何的问题，毕竟早已经刚刚把应试相关的所有内容都解决完毕了。好，我给大家掰扯掰扯 这事啊，本质上还要从单位圆里边那个任意角说起，你比如说这个紫色代表的是我当前基本款阿尔法角，请问你给他加个九十度，他跑哪去了？ 简单做一个垂直，这就是他加了九十度之后的模样，你看，这是阿尔法，这就是阿尔法，加了九十度，哎，这就是大大的样子。那你有没有想过这两个紫色点之间什么关系？ 有人说横坐标不相等，纵坐标不相等，这能什么关系啊？别着急，我给你做一条辅助线，你再想一想，根据我们初中学过的全等三角形，你没发现这两个三角形来 是全等的吗？所以 r 法角和 r 法角加了九十度之后， x 和 y 发生了对调，曾经的 x 值，现在是 y 值，曾经我的 y 值，你看，这个线段的长度就是它的来 这个线段的长度，所以说 x y 发生了对调，但正负号咱得单看啊。所以仅从长短来说， 加上个二分之派，也就是说相当于二分之派的基数倍，这种情况下，你的 x y 是 要互换的。所以还记得上个视频，包括刚刚我们都在说， x 值代表的是 cosine 值， y 值代表的是 cosine 值。你想您现在 x y 都已经互换了， cosine 值和 cosine 值这个名字是不是叫换？所以说这就是积变的体现。 如果你没有完完全全听清楚，我再给你说一个偶不变呗。你想二分之派乘以个偶，不说别的吧，让这个偶等于二，不就是完完整整的派吗？一百八十度，那就相当于是在这条边的基础上，哎，严成成这个样子，所以呢，他就会长成这个样子。好，那我们再来观察 这个阿尔法角和这个角之间是啥关系，你会发现，哎， x 的 长度还是 x 的 长度， y 的 长度还是 y 的 长度，也就是说，它的名字不变，塞依然是塞意， cosine 依然是 cosine。 所以呢，就是名字不变， 好，即变，偶不变。咱解释完了，那你再说这个符号，你符号肯定是得另看，符号看象限。所以数学说到底，以诱导公式为例，所谓能够把他学的自己心里边很有力量，做题的时候心不慌，那你就无非知道他是谁，如何对他进行解读， 他怎么来的，也就是说如何得出，以及他到哪去，他能解决什么问题。所以啊，你会发现，这哲学三问放在咱数学上是一模一样的。 希望孩子们以后对于你特别好奇的知识点都能搞搞清楚，从而赢得你理想的分数，那信心如果有了的话，关老师的数学课欢迎你。接下来再来听同角三角函数的基本关系式，你看我给大家把这些关系式从教材到我的整理到母题 全都弄好了，而且还有更难的，比如说各种三角函数的化简求值，这个地方法我写的可清楚，还有配套的题目，而等你遇到更难的题目，你会发现一个方法搞不定，还有第二个方法，两个搞不定，还有第三个方法。所以说应对各类的题就都不害怕了，拜拜同学们。

怎么样我们才能快速的去算出他的一个逗号公式？这里教给月月一个口诀，就是一个鸡变偶不变，相信月月肯定知道，符号看象限，这里我再变一下，加一减零 四随意，这个是什么意思？月月跟我操作一下就知道了。我们来看一下，比如说我们现在看到撒引二分之派加上一个阿法，我们看到这样的一个情况，首先我们一起来看一下这个鸡变偶不变这个鸡，还有这个偶说的是什么？其实说的就是你二分之派的一个系数，知道吗？那我们来看一下这个二分之派，他现在系数是不是一，是不是也就意味着 你的一个需要去变它，那变它变的是什么？这里的变指的是变你的三角函数名，就是说你 set 你 要把它变成 cosine， 这里的变它指的是你的一个名，知道吗？三角函数的名，比如说 set， 你 就要把它变成一个 cosine， 探进它，你就要把它变成一个 cosine， 探进它，知道了吗？就是这样的一个情况，那你既然现在它是一个基数，对吧？它是一，那你就把它变一下是 cosine， 对 吧？变成 cosine 之后又有跟我看，这里是二分之派，二分之派它前面是多少？ 前面是不是一啊？它的系数是一，这里加一，这里加一是什么意思？就说你中间这里是加，那我们就是加，但是我们首先来看一下，我们不是把前面几变五变，想把它变了吗？变完之后你看我们最终是不是想要保留下来一个算法，所以你先把它写上去，知道了吗？ 把你最后的那个角先把它写上去，这是我们积变五遍的第一步，这是第一步，那么再来看下第二步，他这个加减减零是随意是什么意思？你看这里是不是前面阿法，他的符号是不是正的，是不是一个加？加的话，你就说他是加一，前面二分之派，他是不是一，一加一等于多少？一加一是不是等于二呀？对吧？二的话，我们知道符号看象限，那你现在你的符号是由谁决定的呢？应该想到底是由谁决定的，是不是由你的三决定的，他 绝对不是你后面的这个东西决定了，因为你算出来这个东西指的就是你三引所处的一个，就是说你这个角所处的一个象限，所以它就由你的前面这个决定，千万不要把它搞混了。那你既然知道它是二，那么来看一下二，它的三引它到底是正还是负，那么就来看一下我们知道我们的一个三引 x 三引算法，它应该是什么呢？它是不是就是你的一个重坐标比上你的一个距离，你的点的一个距离，对吧？这里的 r 肯定是正的，所以这里第一项链是正的，第二项链也是正的，第三项链是负的，第四项链也是负的。那同样的道理，我们是不是就可以知道 call 三引阿法 cos alpha 的 话，它是 x 比上你的 r， 就是 你的 cos alpha 是 点 x 比上你的 r， 所以 它的正负是由 x 它的一个正还是负来决定的，所以我们就可以知道这里是负的，这里是负的，这里是正的，这里是正的，清楚了吗？ 因此你看现在是不是第二项线？我们说过符号看象限，那你现在是不是就看你 sign 它是第二项线，它是正的，那你就在这里乖乖写个正的，所以我们就把它写出来了。 现在再来看一下，比如说 si 二分之三 pi 加上一个 alpha， 你 的 si 二分之三 pi 加上一个 alpha， 你 看我们是不知道它这里应该是三分之 pi， 前面就说它是三，对吧？它是三的话，我们知道它现在是七变啊，对吧？那你现在这样需要变，你是不是需要把它的函数名把它变一下，那这里是不是就应该是 cosine？ cosine， 然后你最后是想留 alpha， 那 就把 alpha 把它写上去，然后你看一下， 我们是不是说过加一，那你现在这里前面是不是正的，那你就是加一，这里的加就代表前面是正的，如果你是正的，就把它加上一个一，那你算的是等于多少？是不是你算的刚好就等于一个四？四的话，是不也就意味着你现在它是一个第四象限？三个第四象限，是不是它应该是一个负的？所以你就只要在前面加个负号，学会了吗？那么再再来看一下，比如说随便写一个 cosine 二分之七 pi， 然后加上一个 alpha， 对 吧？ 然后我们就来看一下嘛，现在它是不是还是几的，对吧？它的一个系数，它前面是一个七，那你就需要把它先变一下，这个就应该是三 and alpha， 对 吧？它是一个七，然后它这里是一个正号，那你就应该是加上一个一，那你算出来之后，它是不是等于一个八呀？对吧？但是我们没有第八象限这个说法， 那这个时候怎么办？就把它变到一到四它这个象限里面去就行了。那这个四随意是什么意思？就是说你可以随便加减四，那你八减去个四是不是就等于四？那为什么是可以随便加减四？因为你的四是不是就代表了你 ip 的 前面， 你的二分之 pi 前面系数应该是四，那它是二 pi， 我 们知道三，还有 cosine 他 们是可以随便加点二 pi 的， 那你这样是第四象限，我们知道有 cosine 是 不是应该就是一个正的？你第四象限 cosine 是 正的，所以你前面就加一个正号就行了。 再举一个小例子，比如说现在是 cosine 二分之三 pi 减去一个 alpha， 那 我们来看一下 cosine 二分之三 pi 减去 alpha， 那 首先我们发现二分之 pi 前面系数是多少？是不是应该是三？二分之 pi 系数前面是三， 它这里是减，减的话，你看减的话真的是零，那就是减零其实就相当于是没有相当于是假零。那你算的时候是不是等于三？记住吗？你算的之后是等于三，三的话，我们知道几变，五变，它现在是几，我们先把它变一下是还是三，把它写上去之后，我们就会发现什么东西它的第三项线扣下来是负的，所以它应该就是你的一个负的三啊法， 所以相对来说还是比较容易的。然后我们再来举一个小例子吧，就是大约来过一下，比如说像我们是负的二分之五 pi 减去二啊法，这个时候怎么办呢？那你看一下这个二啊法，它相当于一个整体的角，是不是相当于就是我们刚的那个啊法呀？ 我们就把它写一下，现在它是一个二分之派，它是不是一个奇，这里写漏了，它是一个负，负的话，你就把它当做一个奇数就行了，是不是？它应该就是一个，要把它写成三引，这样的话你要看一下现在它的一个系数是负，但是它中间是一个减号， 我们先把二维码把它写上去，中间是一个减号，减号我们说减它是一个零，那你就应该减去一个零还是负负，但是它不在我们的一个一到四，对吧？那你就给它加上一个四的倍数，那你这里是不是就很明显要加上一个八，是不是三？你说一个象限，第三象限，所以它过项它是负的，那这里就补上一个负号，清楚了吗？大概是这样的一个情况，所以相对来说还是比较容易的。但是 需要注意一个点是什么？我们的贪心糖，贪心糖它的周期是不是就是判？贪心糖它的周期是判，所以既然是这样，你都知道贪心糖人家的周期是判他。其实比如说贪心糖 pi 加 alpha， 它是等于你的一个贪心的 alpha 的。 我们知道是这样的一个情况，有一个小小的一个问题，因此我 建议你贪心糖你最好就是把它单独的去进行一个分析也行，但是你用口诀其实也行。比如说我们来看一下，比如说现在人家是贪心糖二分之三判减去你的 alpha， 对吧？人家是贪心的二分之三派减去你的阿法，那我们来看一下，看一下之后，我们首先我们发现它是不是应该是一个 g， 那 你这里应该是写个 q， 贪心它 q， 贪心它这里应该是三，它中间是减号嘛？减号那应该就减去一个零，那还是三，你就说贪心它的第三项链，它人家是正的，所以这里就补上一个正号，所以它就是这个阿法，清楚了吗？你其实你你可以把它变成那个， 变成第一项链到第二项链也行，但是你稍微注意一下，你可以通过派的加减， 你可以把它加派，减派是不是也就意味着你这个东西它其实是等于什么？贪心它，你的一个二分之派减去一个阿法，贪心它二分之派，所以你就大概你就知道原来这两个是一样的，但是我们删的话，它就不一定的话，你还得自己看着办。你要记住贪心它，它的周期是派三或三，它们的周期是二派，你就稍微注意一下这样一个小点就行了， 再给你稍微的演示一下一些其他的一个情况，我们再来看一下。举个例子，你好歹知道一些比较常见的一些结论，就比如说像这个三引负 r 法，你要知道他人家是基函数，所以人家是负的三 r 法，还有像 q 三引负 r 法，人家是偶函数，他应该是 q 三 r 法，对吧？像这些比较常见的你还是得记住了，因为这样的话你转换来说就会相对来说会快一点。还有像一些什么 加引二分之派减啊法，它可以转成 cosine 啊法，就是你这个你还是得稍微记住了。就是，当然这个比较好记，就想一个直角三角形，你的上引词是不是等于另外一个锐角，它的一个 cosine， 所以 相对来说还是比较好记的，主要是当出现些比较复杂的情况下，我就希望你能快速的把它给做出来，我看一下我这里写的什么东西，就比如说 我们来看一下现在你看对于这样的一个情况，如果你最后想要留的是你的一个负二 r 法，就比如说你现在你就想保留这个负负二 r 法，就是你的脚想要保留负二 r 法，那其实这个他就是相当于是加上一个负二 r 法呀，就是这个玩意就是我们最开始的那一个脚 r 法，所以你这样是把想要最后你这里你留下的是负二 r 法的话，你是不是你中间就应该看成它加上一个负二 r 法呀？ 对吧？因为你想在这里留一个负号吗？那你这样这里是加，那他就是应该是三加上一个零，三加上一个一，我们说如果是正号，那他就加上一个一，三加一他是什么？他是应该是等于一个四，四的话，他第四项线三元值他应该是负的，所以你前面就应该加上一个负号。如果说 你这里按照我们的口诀，他就是三，中间减减的话，就减去零，三减零还是三，所以第三项线他这里是负号，但是你这里要写二 r 法，因为我们这里的符号是值，你把它隔完之后，剩下的这个它写什么？你剩下的这个网易 你一定要搞清楚你最后你的这个角要留的是谁清楚。至于你想把它用对角公式把它进一步的展开，那你到后面再说，你先用那个右角公式先把它转换一下再说。但是绝 大多数情况下应该应该你没有必要去专门留个负号，你留个负号多难看？如果你真的想把负号放进去了，我们可以利用什么呢？利用你的负向量法会等于你的向量，负向量清楚吗？如果你真想把负号把它弄进去，还有像什么扩散向量法，它本来就等于扩散向量，负向量 你没有必要说，那我就想我那个，我就想保留这个负二法，我就不想最后是二法，你没有必要清楚吗？你大不了前面提一下，你就直接直接就把符号把它割开和这个角给割开，清楚吗？就再举个例子在这里练下，以防万一。我们想看一下，比如说火山引你的一个二分之零， 算了，我，我们好像没有写过 pi， 那 我们写个 pi， 比如说 cosine pi 加法。 cosine pi 加法，那你看一下现在他的二分之 pi 前面修是不是应该是二啊？对吧？你二分之 pi 前面修，他是二，然后这里是加，加的话你就写一个加一，首先你看即便不变，因为它是偶嘛，偶的话那你就不变，还是 cosine。 你 最后你脚是什么？是肯定是你的法，所以它是 cosine 啊，那你这里是第三象限，对吧？第三象限，这个 cosine 它是应该是负的， 记住吗？第三象限，你要 cosine pi， 它是负的，所以它就会等于负的。 cosine pi 啊，法，那我们首先发现他是二，对吧？二，然后中间是减号，那就减去一个零， 减去一个零，然后你再来看一下我们是不是最终因为它是偶数嘛，所以扣三，然后阿法把脚也把它放后面，然后我们现在发现它是什么呢？它是你的第二象限，它是你的第二象限，对的是什么？对的是负的，所以这里就要前面加个符号，清楚了吗？所以像这个派也是一样的， 你可以把这个脚，把它的符号，把它隔裂开，就完全没有必要，必要说就非得这么挑剔。我这里就给你简单的提一下，如果你 这一个角把它拿出来之后的那中间那个连接的一个符号， 它是这样的一个情况，就比如说我们现在是什么 cosine alpha， 减去三分，哦，减去一个什么？减去一个二分之五 pi， 这样子的话，你看你这里首先它是不是基数，基数你就想都不用想，先写 sin， 然后你看你里面的角是不是 alpha， 那 就先把 alpha 把它写在这里，听懂吗？你看 这里的符号一定指的是你这个脚前面的符号，不是指你中间的连接符号，记住吧，中间这个是归到你的一个系数里面去的，所以你这里是什么？他是负五，加上你的一，记住你这里你的加一还是减零，看的是你这个脚前面的符号，懂了吗？他看的是你前面脚这个符号，你不要被他的顺序把它 搞混了，我特别怕你就说这里他是二分之五判，然后他是五，然后这里是减号，那你就减个零，不是这样子，清楚吧？不是这个样子，你要记住 它，我们的这个前面的这个东西，它指的是你的一个二分之派前面的系数，包括它的符号，而后面这个东西是由你 alpha 它的一个正负来决定的。就比如说现在你前面这里 alpha 它是正的，它的 符号就是正的，所以它这里就加一，千万不要把它搞反了，那你算的是等于负四，负四的是它不在我们那个一到四的相乘里面，那你就加上一个八角，就等于四，是的话它就勾三，是的话刚好是勾三，它是正的，那你这里应该就加上一个正的，一个三啊法应该会的。算了，我那个再给你实操一道。就比如说现在我们写个什么三眼 三倍的 alpha， 减去你的一个啥嘞？减去你的二分之三 pi， 行吧，那我们来看一下，首先你看他是不是积了，积的话你想都不用想扣下来，然后你找到你那个角，像你这角是三 alpha， 不 管三七二十一，先把它写进去，你再来再来看下 二分之三前面数字是多少？是负三，二分之三前面数字是负三，你再来再看一下你所保留的那个角前面的符号，你现在是三阿法前面的符号是正的，正的话那你就是加上一，加上一个一加一减零，是不是算的是负二负二，你要把它变成你的一到四项链，那你是不是应该加上一个四，那它就等于二二二三，它是正的，所以它这里是正的， 那学会了，你可以自己再去找右导公式的那个表，你去把它列一列，就发现确实还相对来说比较容易。你右导公式这一块我相信，因为你现在应该就相当于是自己学会了。

我们来讲一下诱导公式，第一个呢，就是同名函数之间变换的诱导公式，同名函数顾名思义就是它不会改，它不会改变函数的名称，也就是散引，它变换完仍然是散引，扣散引变换完仍然是扣散引，它的变完仍然是它的名称，不会改变。那 这里显示的呢，是公公式二到公式四。其实还有一个公式一，公式一就是中边相同的角，比如我们说阿尔法跟贝塔，如果是中边相同的角，那贝塔就等于阿尔法，加上二 k， pi k 属于 z， 那 所以呢，也就相当于是你散引 二派加阿尔法仍然是算以阿尔法，因为二派加阿尔法与阿尔法的中间是相同的，同样 cos 二派加阿尔法仍然等于 cos 阿尔法，他们的二派加阿尔法仍然是等于他们的阿尔法。那这三个公式呢，就是公式一。 好了，接下来我们来看一下公式二到公式四。首先我们来看公式二，散引派加阿尔法， cosine 派加阿尔法，它的派加阿尔法，也就是阿尔法变成派加阿尔法，它的散引 cosine 跟它的之间的一个数值的变化。那首先我们先来看这个图啊，阿尔法呢，是这个蓝线，阿尔法的中间是这条蓝线，那在这个地方呢， 这个是阿尔法，那我要去找派加阿尔法，也就是我需要先找到阿尔法，在阿尔法的中边上，再逆时针旋转一个一百八十度，那也就是这个地方啊，到黄线这个地方，黄线是 派加阿尔法的中边，也就是 p 一 在阿尔法的中边上， p 二在派加阿尔法的中边上。那通过这个图我们其实可以看到，如果我说 p 一， 它的坐标是 x y， 那 p 二的坐标呢？就应该是负 x， 负 y， 所以 在这个地方我们就会有你 p 二， 他是 pi 加 alpha 中边上的点，这应该等于什么啊？就应该等于我们利用正弦函数，他的一个求法应该是 y 比 r， 那 现在此时就应该是负外比 r 等于负的外比 r， 也就是负的 sine alpha， 而 cosine pi 加 alpha 呢， 就应该是负 x 比 r 是 负的， x 比 r 等于负的 cosine 阿尔法。而 tan 的 pi 加阿尔法就是负外比负 x 仍然是 y b x 跟 tan 的 阿尔法是一样的。所以这个公式二 cosine pi 加阿尔法，它最终的结果是负的 cosine 阿尔法。 cosine pi 加阿尔法是负的， cosine pi 加阿尔法是不变的，也就是还是 pi 阿尔法。而我们再看公式三，公式三呢，是负角，也就是求 pi 阿尔法之间的这个关系。仍然我们还是先看图 负 r 法与 r 法，它其实就是关于 x 的 对称，那所以 p 一 这个地方，如果我给它设成 x y， 那 p 三这个地方 x 是 不变的，但是 y 变成了负 y， 那 由此我们可见谁变了， y 变了，那 y 变成原来的相反数，那对应的算引函数的值，它就要变，也就是变成负的算引 r 法。那 cos 负 r 法呢？它的 x 没变，所以它跟 cos 二法是一样的，那它的负二法 y 变成负 y， x 仍然不变，所以它应该是负的乘以阿尔法，这个是公式三。接下来我们再看公式四，公式四呢，就是派减阿尔法 仍然是。我们先看图，那派减阿尔法。我们通过这个图像来看，会发现两个角，它的中间是关于 y 轴对称的，所以 p 一 这个点，我仍然还是 x y， 但是 p 四这个点，它的坐标关于 y 轴对称，那就是 y 不 变，而 x 变成原来的相反数。好，回到这个公式上， y 如果不变的话，那你的散引值就不会变，散引派减阿尔法就是散引阿尔法，而 x 变成原来的相反数，那所以 cosy 派减阿尔法变成了负的 cosy 阿尔法。贪心的派减阿尔法。 其中 y 没变，但是 x 变成原来相反数，所以它也要变成原来的相反数，变成负贪心阿尔法。这是这四个公式，公式一到公式四，同名函数之间的变换的诱导公式， 那就是名称不会变。接下来我们再看什么呢？再看一下变换的一名函数之间变换的一个公式，那一名函数我们就只研究两个，一个是正弦，一个是余弦，那顾名思义，一名嘛，散引就要变成 cosine， cosine 就 要变成散引，那我们看看它什么时候会变化。 首先我们第一个研究的是二分之派减 r 法好，还是我们先看这个图啊？这个图的话，二分之派减 r 法，也就是 r 加上二分之派减 r， 等于二分之派等于九十度。所以在这个地方，我们可以利用初中的一个知识，构造一个全等的三角形，也就是 p 一 这个地方，我给他往下做一个垂线啊，这是 q 一 p 五这个地方我往外头去引一个垂线，这是 q 五，那所以这个三角形 p 五 q 五 o 就 全等于三角形 p e o q 一 跟这两个三角形是全等的，那所以说你 o q 一 这个地方就等于 o q 五，也就是 p 一 的横坐标，它就是 p 五的纵坐标， 而 p 一 的纵坐标呢，就代表了 p 五的横坐标啊。那由此我们可以知道，如果我还是设 p 一 的坐标是 x y， 那 p 五的坐标呢？就应该是 y x， 也就是它变换了。那所以我们可以知道，算以二分之 pi 减 r 法，它跟 r 法之间的关系。原本 side alpha 是 等于 y 比 r， 那 现在 side 二分之 pi 减 alpha 是 谁呢？它现在变成什么了？二分之 pi 减 alpha 中边上的中边上的点 p 五，它的 y 是 用这个 p 点的 p 一 点的 x 代替的，所以它等于 x 比 r， 那它对应的是谁？它对应的不就是 cosine 阿尔法吗？所以 cosine 二分之 pi 减阿尔法就等于 cosine 阿尔法，这是第一个公式。那 cosine 二分之 pi 减阿尔法， cosine 是 谁？本身呢？应该是 x 比 r， 那 屁五，它的 x 其实是 y， 所以 它应该是 y 比 r， 也就是 cosine 阿尔法。 接下来我们看最后一个二分之 pi 加阿尔法的正弦跟余弦还是一样，我们可以先画个图，我们可以先画个图来看一下。 那二分之派加阿尔法这条红线呢，代表是阿尔法的冲边，那这条蓝线呢，代表的是 二分之派加阿尔法的冲边。那所以在这个地方，这个点我给它设为 p 点 x y， 那 到这边的话，这个点我给它设为 p 一， 那 p 一 这个点，它跟 x 和 y 有 什么关系呢？同样一样，我们给他往下拉，这是 q， 做个垂直，这是 q 一。 那现在这个三角形和这个三角形就还是全等的，也就是 o q 的 长度跟 p e q 一 的长度是一样的，只不过 啊，他这块是 x， 那 p e q 一 代表的是 p e 的 y， 所以 这个地方是 x， 而 p q 这个地方呢，代表的是 y， 而 o q 一 这个地方呢，也是它长度是 y， 因为它是个负的吗？所以它变成应该是负的。好，所以我们来看三二分之差加二法就是蓝线啊，就是 p 一 这个点， 它应该是谁？它应该是 y 比 r， 那 它此时的 y 是 谁？是 x， 所以 它应该是 x 比 r， 那 对应的就是 alpha 的 cosine 值等于 cosine alpha， 等于 cosine alpha， 而后面 cosine 二分之 pi 加 alpha 中间它的 x 是 代表负外，所以是负外比 r， 也就是等于负 sine alpha， 这是整个的六个诱导公式。

大家好，今天呢，咱们来讲一讲武汉三调的第十四题，填空题的最后一个。听说这套模拟卷挺难的，大家这个可以网上找一找资源，自己下载下来，做一做这套试卷啊。这个十四题的话是这么回事， 首先 omega 大 于零，这个函数图像也给你了，是三 omega x 加上 five abc， 这三个点都是在函数图像上的，而且其实你也可以清楚地看出来什么，你可以清晰地看出来我画的红色这一段，它正好是完整的一个周期，对吧？ 那另外呢？点 d 在 x 轴上，这个点 d 是 abc 这条直线跟 x 轴的交点， 那并且它告诉你 a d 长度哦， b d 长度还有 bc 长度，这些都是等于一的。 那现在让你求什么？现在让你求这个 omega， 它等于多少？怎么来求？咱们这样来，你说这道题它有几个量啊？它的量可以说太多了，又有 omega， 又有斐，还有自变量，这样吧。 呃，我觉得这道题跟斐其实没有关系，为什么这个斐可以扔掉呢？因为斐影响的是左右平移啊。 你左右平移，向左平移，向右平移，影响这个函数的周期吗？不会影响这个函数周期的， 所以不会影响周期，那就不会影响 omega， 因为 omega 才会影响周期，懂了吧？所以你可以把这个，呃， omega 扔掉。 omega 扔掉之后的话，实际上就是把 y 轴平移到了这样一个过圆点的位置，注意啊，它这个点是什么？我再重新说一下， 这个跟 x 的 交点是 m 点，你把 y 轴正好平移到过 m 点的这样一个位置，清楚了吧？这个 y 轴是平移到这个位置的， 那平移之后的话，我们这个函数那写什么？那就不用写 f 了，那就直接写我们一个 x 就 可以了。好，现在看到了这样一个，我写成 f 一 吧，毕竟也不太一样啊。 呃，写完这个之后，看点 a、 点 d， 点 b、 点 c。 咱们如果竖着画线的话，我相信大家都知道吧，根据平行线分线段成比例，它的横向距离都是相等的。比如说这个横向距离是 a， 这个横向距离也是 a， 这个横向距离也是 a， 那 于是我们就可以假设点 a 的 横坐标那是 x 零，那如果你要写点 b 呢？那就 x 零加上一个 a 呗。然后，呃，这个是点 b 加加上两个 a 啊，然后点 c 呢？那就是 x 零加上三个 a 呗。反正解析式是有的。 那求完这些之后，你要注意啊，请你告诉我点 a 和点 b。 哎，不用多说了吧，根据题目中你过点 b 做一个垂直吗？然后再过点 a 做一个垂直吗？此时的 d m a 和 d n b 是 全等的呀， 那既然全等，点 a 和点 b 的 纵坐标正好相反，哎，所以说你看了点 a 和点 b 纵坐标相反，也就是说三 omega x 零是等于负的。 三 omega x 零再加上二 a omega。 大家要想一个问题啊，就是你学这个正弦函数的时候，不要只学这种正弦曲线，你还要知道正弦函数的定义怎么来的。其实我想说的是，它这个 a 点所对应的 omega x 大 概在这样一个位置，对吧？这就是 omega x 的 中间。 那你说接下来这个呢？哎，我知道了，点 b 所对应的位置，它正好是 omega x 零，再加上二 a omega， 它中间正好差了多少？差了。哦，我知道了，根据 这样一个诱导公式，所以咱们可以清楚地得出来，这个二 a 欧米伽是等于 pi 的， 也就是 a 欧米伽， a 乘欧米伽是等于二分之 pi 的。 好，终于得出来非常重要的一个信息了，咱们框一下啊，很重要。那么接下来你还得求 a 或者求欧米伽吧，求哪个都行， 怎么求啊？那么接下来光有点 a 和点 b 的 关系不行，你还得有点 a 和点 c 的 关系吧？点 a 和点 c 有 什么关系啊？还是请你告诉我，此时这个 c q d 和谁和 amd 这两个三角形？什么？这两个直角三角形它是相似的，并且相似比是一比二的关系。那于是第二个关系就出来了，点 c 坐标和点 a 坐标绝对之比，是二比一的关系，因为 c 口的长度等于 am 的 二倍，但是呢，一个在 x 轴以上，一个在 x 轴以下，这是个负二啊。 那另外的话，点 c 这个纵坐标我稍微改造一下，改造成什么样子呢？它首先三 omega x 零，再加上三 a omega 吧。刚刚我们不是求出来这个 a 乘 omega 是 二分之 pi 吗？所以它等于三 omega x 零，再加上二分之三 pi。 这个还是什么公式？还是记一遍五遍符号看相线诱导公式啊，所以咱们可以得出这个了。 那于是呢，看 y c 是 谁？点 c 的 纵坐标就是负的 cos omega， 呃， x 零，那么点 a 的 纵坐标呢？ 那它是等于负二倍的三欧米克 x 零。天呐，这也太棒了，那你左右两边，所以就得到了三欧米克 x 零 q 三多少？欧米克 x 零，咱们最终算出来是等于几的？最终算出来是等于二分之一的，这不就是贪婪的欧米克。 x 零算出来等于二分之一吗？ 那行， tan 呢？等于二分之一的话，那现在请你告诉我了。所以说这个 tan 等于多少不用多说了吧。 tan 呢？算出来了， tan 当然是等于根号五分之一的。那算完这个之后， 看了 a d 长度等于一是吧？这个地点坐标很好写啊。 d 点坐标的话，那不就是 x 零加上 a 纵坐标是零吗？那 a d 两点之间距离公式不是很简单吗？ x 零加 a 横坐标减横坐标的平方，是吧？那所以就变成了 a 的 平方，那纵坐标减纵坐标的平方就是三。 omega x 零的平方，它算出来是等于一的，所以说 你说是多少？这东西等于五分之一啊，一减五分之一，原来 a 方是等于五分之四， a 方等于五分之四，我们要算的是 a 啊， a 当然等于根号五分之二了。 omega 乘 a 等于二分之派啊， omega 乘 a 等于二分之派，所以说 omega 等于多少， 它就等于四分之根号五倍的派，这不就算完了吗？所以这道题答案是四分之根号五倍的派。还可以吧。这种方法，如果你有更简单的方法，欢迎你分享在评论区啊，咱们一起来学习一下，分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下节课再见！