初二下数学勾股定理几何模型例题

这是一个你看过就想让我删掉的视频，毕竟没有人想把提分的秘籍拿出来共享。搞定勾股定律最值问题就是提前锁定中考九十加你学不学？那么勾股定律最值问题呢？亮亮把它分为两类，一类是长方体的爬行最值，另外一个呢，是我们圆柱内外壁的一个问题。 好，我们首先来看第一类，也就是长方体的爬行最值，他是这么描述的啊，给这个长方体，他的长宽高啊？长是三， 宽是二，高呢是四。好，现在问题来了，一个蚂蚁从 a 出发，嗯，从这里出发到 b， 那 吃食物，好让我们求它爬行最短路程是多少？那像这种题，正常情况下，我们需要分三种情况去讨论，然后计算呢？做比较来得出我们的结果啊，你花个五六分钟，我觉得是很正常的，虽然在这里面我直接教你一个方法技巧。 首先我们给出一个直角三角形，现在这两条直角边是什么呢？这三个数里面，你把最小的两个数，你把它加在一起，当做一条直角边，二加三等于五。 好，现在你把最大的那一条边脑长宽高中最大是四，对吧？把这个四拿出来，当做另外一条直角边。好，我告诉你啊， 这个直角三角形的斜边，就是我们最终的答案，也就是我们的最短路程，百分百乘以，没有例外。最终你会发现，根据勾股定律，你的平方等于多少呢？十六，对吧？你的平方二十五，所以我的平方等于十六，加上二十五，也就是等于四十一，平方等于四十一，所以我的最短路径呢？选 b 搞定。那当然，这个题如果你用标准答案来做，他大概长这个样子，你会发现求出来的和我们的答案是完全一样的，根号四十一选 b。 好，我们再来看第二个圆柱的内外壁的问题。首先呢，我们给出一个圆柱形，这个玻璃杯呢，高度是十四厘米啊，就整个高度也就是十四了，现在底面周长是三十二啊，就是你底面这个周长呢是三十二厘米。我们先放一下在杯内，注啊，在杯子的内部，离我们这个杯底五厘米的点壁处有一滴蜂蜜啊，就在这个杯子的里面，对吧？ 哎，在离底面五厘米处呢，有一滴蜂蜜，所以我们就索性把这个十四给清掉了啊，整个图形呢，大概长这个样子，好，继续往后了， 现在有一只蚂蚁，干嘛呢？在杯外哦，我在杯子的外面干嘛啊？就一个杯子，对吧？在这里面，蜂蜜在里面，哎，这个蚂蚁在外面是不是离杯上沿三厘米啊？就是这个呢，是三，其实这段也可以求出来，对吧？我们先放下与蜂蜜相对的 a 点，什么叫相对的？ 就是说白了，你把这个蚂蚁呢放到杯子的上沿，对吧？放到这，你把这个蜂蜜呢移移移，移，移到我们这个杯子的上面，哎，你会发现什么叫相对，你把它移上去，把它移上去，你连一下， 刚好是直径，这个叫做相对位置，理解了吧。好，那问题来了，那这个蚂蚁从外边啊，就从这个整个杯子的外面 爬爬爬爬，我要爬到杯子里面去吃蜂蜜，请问我的最短距离是什么？你看上一题，我们用的是一个流氓法，对吧？直接口算的，其实像这种方法量真的超级多，包括这个东西它也有流氓法。好，但是这个题我就带你们用我们的标准方法来进行分析， 呃，来去讲解它的原理了。好，这个怎么求呢？首先大家理解，比方说我们现在有一个杯子，你这个蚂蚁 a 在 哪？蚂蚁在这里，懂了吧？ 哎，这个蜂蜜在哪呢？哎，蜂蜜它在杯子的，它不是在这啊，在这的话就是在杯子外面，对吧？它在杯子的里面，懂吧？这里有开水，我不敢伸进去啊， 伸进去我手就废了，哎，在在在，在里面，大家懂我的意思吧？哎，所以你得怎么爬？你得走走，走走走，你到走到杯子的口里面，再往里面钻进去，你才能吃到蜂蜜，大家懂了没有？ 所以其实这个图呢，你会发现蚂蚁先要走到杯子的上沿再翻进去，对吧？在里面走，在里面走，你看不到了，所以他画的是虚线， 他其实已经在努力给你提示了，就是你沿着这条线，你拿个剪刀把它剪开，好不好？把它展开，我们就可以得到一个长方形，这个长方形可能不是特别的标准，对吧？ 因为我们知道你这个杯高十四厘米，所以这个就是十四嘛，你整个底面周长三十二，整个周长三十二， 我沿着你的直径把它剪开，对吧？所以你这一段长度，这一段长度，那不就是我们这个长吗？等于周长一半，所以也就是等于几啊？等于十六，对吧？好，现在你要知道这个蜂蜜在哪呢？蜂蜜在上面的五个单位啊，也就是这个是五，这个是九，对吧？ 蚂蚁呢？在这边，也就是在上面的三个单位 a 点，这是三。好，您亮亮，那你看你这个蜂蜜在这吗？那照你这么说，从 a 点到 b 点是不是直接连过去呢？不是的，我跟大家画一个俯视图， 比方说，哎，这是一个长方形，对吧？你这样往下看对不对？你像这样看啊，你的眼神往下瞟，你的俯视大概长什么样子？我跟大家说一下啊。这是一张，你就把它当做一个一个玻璃片， 你这个 a 在 外面， a 在 这里，明白了没有？你这个 b 在 哪？ b 在 这里，懂了吧？哎，他在这个玻璃片的两边，懂吧？所以你先怎么样？你先要走到这个杯子的上沿， 然后再钻到杯子，你先跑到上沿，再翻到另外一边去，明白没有？跑到这个玻璃的背面去，跑到 b 点那去，理解了吧？ 好，那这个是什么呀？这个不就是我们上次所学的将军一马的问题吗？从一个点先到一条线，哎，走过去再到这里，对吧？请问这个点在哪可以取得最小值呢？最小值这两边，这个怎么求？ 将军一马嘛？你只要做 a 点或者 b 点关于它的对正点就行了，是吧？好，在这里面我们随便选个对正点吧，比方说，我们就把 a 对 正过去，可不可以把 a 对 正过去，那就是 a 撇了。 好，将军，密码问题我们就不再说了，根据对乘记，你是三，所以这个边也是三，对吧？我也是三。好，接下来怎么办？好，接下来你直接连接 a 撇，连接对称点过我们 b 点嘛，所以我们要走的最短路径就是这条线段， a 撇 b， 懂了吧？好，那问题呢，我们这个 a 撇 b 长度怎么求呢？剩下就简单了，求斜线段，我们学的勾股定律。好，接下来我们直接把这条斜线段放在一个横平竖直的直角三角形中，咔嚓做垂线， 你这个边十六，所以这个边呢，一定是十六，对吧？剩下我索性把这个 a 拿走了。啊，你这个三我不要。嗯，你这个边是九筐，所以这个边呢，也是九，没问题吧？所以你会发现在这个这个这个大的直角三角形中，你这边三加九十二， 你这个边十六吧，十二的平方加上十六的平方，等于你 a 撇 b 等于这条线段的平方，是吧？那你说它等于几二十，计算过程我们就过了。搞定，跟着亮亮无脑学习。

八下数学最难的勾股定律题型全部吃透，逆袭班级前三，勾股定律重难必刷一、勾股定律长度计算类型一，型内高类型二，型外高类型三，腰上的高类型四，底上的高中南必刷二、勾股定律的逆定律类型一，判定直角三角形类型二，求三角形的面积类型三，勾股数 重难点刷勾股定律与最直立体爬行类型一，爬行路径最短类型二，缠绕长度最短类型三，计算与比较勾股定律与最直几何最直类型一，垂线段最短类型二，两点之间线段最短。勾股定律与最直竖形结合。以上均有变法。

hello， hello， hello， 现在的这个视频呢，我们跟大家梳理的是勾股定律的模型之六，共斜边中点模型。 那我们知道啊，任意的两个直角三角形 a， b， d 和 a c， b。 欸，这里是任意的两个直角三角形 a， b， c 和 abd 啊，然后呢，它们共斜边共哪一个斜边？ ab 共斜边中点 m 为 ab 的 中点， a m 为 ab 的 中点啊，我们可以通过度量 得到 m， a 和 mb 的 值，知道它是中点啊，中点。 好，紧接着啊，那共斜边中点模型。上一个模型我们已经讲到啊，是点 c 和点 d 在 斜边的两侧， 而这个呢，是点 c 和点 d 在 斜边的同侧。那是否还满足 c m 跟 dm 是 相等的呢？哎，通过度量，通过几何画板啊，通过几何画板的度量，我们发现它们是是相等的啊，是相等的。 理由很简单啊，就是因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个定律， 由于 c m 呢，是二分之一倍的 ab， 这个 dm 呢，也是二分之一倍的 ab， 所以呢，就使得 c m 和 dm 相等。这个结论 n i 是 成立的啊。那么是否文案有角 dm c， 我 们度量一下，角度 与这个角 d， a， c 的 比值仍然是两倍的关系呢？ 哎，现在是二啊，然后我们任意改变这个图形的大小，也就是说，我们研究的是最普通最普遍的这样一个。 哎，直角三角形啊，最普遍的这个，这个三角形，发现啊，它这个笔直是不变的啊，也就是文案成立的啊。那如何来用几何语言描述呢？哎，同样啊，同样 对于这个三角形 c， m， b 而言啊，那它这里有一个角 c， m b， 这整体就应该是等于角 m a c 这个角与这个角的和，所以我们可以用同样的方法啊，我们可以设这个角 m a c， 整体等于这个角 m c a， 整体等于 x， 那 很显然，角 d m c 角 d m c 在 这里就应该是什么呢？ a 是， 应该是角 b m c， 我 们要减去这个角 b m d 哎，那你呢，这就涉及到有另外一个角出来了啊，哪个角呢？哎， b m d， 那 b m d 怎么弄呢？哎，同样啊，我们可以知道，这个角换一个颜色， 这个角 b m d， 同样啊，它是角，它是三角形 amd 的 一个外角。所以呢，我们可以设角 m a d 等于角 m d a 等于 y， 这样它是不是用两倍的 y 来表示的？ 所以啊，整体这个是两倍的 x， 这个是两倍的 y， 所以 就等于两倍的 x 减去两倍的 y 啊，这等于两倍 x 减去两倍两倍的 y。 而我们的 d a c 看得非常清楚啊，它是等于一倍的 x 减去一倍的 y 的 r。 所以呢，欸，这个比值，两个角的比值呢？是 r 仍然是成立的啊，仍然是成立的啊， 那具体的过程呢，大家就可以去自己梳理啊。同样，我们以点 m 为圆心，以 m c 或者 m d 或者 m a m b 为半径来构造一个圆 a， 初三学完以后呢，欸，这个就非常简单了啊，同样是 同圆或等圆中相等的弧，在这里，弧就是弧 c d 相等的 弧弧 c d 所对的圆心角就是角，这个 d m c， 哎，就是角 d m c 啊，等于同弧所对的圆周角 d a c 的 两倍啊，好的，今天的这个讲解呢，就到此结束，感谢大家的这个收听，谢谢！

hello hello hello， 今天的这个视频呢，我们跟大家分享的是勾股定律模型之六，共斜边中点模型。那如图所示， 这里有两个直角三角形啊，分别叫做直角三角形 a， c， b 和直角三角形 a d b 啊，那么它们公共一条斜边就是 ab， 那 m 呢，是斜边 ab 的 中点，所以呢，这个模型呢，就叫做 共斜边中点模型。那么这个模型呢，有两个结论啊，第一个结论呢，就是我们的线段 c m 跟线段 d m 相等， 运用的定理也很简单啊，那就是直角三角形斜边上的中线是等于斜边的一半啊，所以呢， d m 等于二分之一倍的 a b， 这个 c m 呢，也等于二分之一倍的 a b， 所以呢， d m 和 c m 是 相等的啊，我们发现我们改变这个图形的这样一个形状和大小，但是呢，有两样不变啊，第一样呢是直角，第二样呢是中点不变啊，所以啊， 这个结论 c m 等于 dm。 第一个结论是成立的啊，我们的第二个结论呢，就是直角零点与斜边中点所 连结的这样一个角 d m c 是 等于这个角 c a c a d 角 c a d 的 两倍的啊，为什么呢？哎，通过几何画板，我们给大家演示的是始终是两倍啊， 无论这个形状大小怎么变化啊，只要这个已知不变啊，它这里的比值 a 就是 二，就是两倍不变啊，那为什么呢？ a 这里啊，就是利用了三角形的外角和啊，那根据题意， dm 和这个 a m 相等，于是我们可得 a 这个角 d a m 等于这个角啊。四，它们就用 x， 同理啊，这个 m c 是 等于 am 等于 m b 的 啊，那我们可以设这个 c a， m 等于这个 m， c a 等于 y， 那 根据三角形的外角，等于它不相邻的两个内角的和。哎，这个地方就是两倍的 y， 这个地方呢，就是两倍的 x 啊，那么我们的 d， m， b 是 两倍的 x， 这个 c m， b 呢？是两倍的 y， 所以 呀， 这个 c m d 的 和 c m d 这个角，它的这个度数呢，就始终是这个角 c， a， d 的 两倍啊，这个就是共斜边中点模型。哎， 得到了这个结论啊，得到了这个结论，那如果我们进一步学习这个 以后呢，还可以知道啊，这个四点 a 是 共一个圆的啊，哪四点呢？ a 就是 这个直角，它们是共一个圆的啊，那如果说用共圆的这样一个思想来说明这个 角 c， m， d 的 两倍呢，就更简单了啊，为什么呢？ 同圆或等圆中同弧所对的圆心角是圆周角的两倍。哎，这个结论就会更加简单啊。好的，这个模型的讲解呢，就到这里。

很多同学学到勾股定律蒙了，以为是全新的知识点，但其实你早就学过了，为什么？今天我一句话点透勾股定律，本质就是全等三角形的延伸。要想真正学透，做题不卡壳，一定要回头先把八项的全等模型、角平面模型全部再过一遍，扎扎实实复习一遍。为什么要这么做啊？ 勾股定律看似在算边长对不对？用公式 a 方加 b 方的 a、 c 方，但考试里真正难的题都是干嘛？先构造全等， 再用什么？用角平分线勾辅助线，把不规则图形变成什么直的三角形，再用勾定来算长度。你全等不熟，辅助线画不出来对吧？你角平分线模型没吃透，垂直距离对称关系找不到，就算你公式被熟，碰到大题照样是动不了笔。换句话说， 全等是在帮你构造图形，勾定也是帮你算出长度。一个是工具，一个是方法，两者本来就是一套组合拳。所以我给大家一个最稳的学习顺序。第一个，先复盘 我们全套教学的五大模型，对吧？角形模型啊，以及一些常见辅助线的思路。第二个，再学新啊，勾股定的证明公式，以及它的常见题型，比如说单勾列方程对吧？双勾啊，这个共变双勾股之类的。最后练什么综合题啊，先全能转换，再勾股计算。这样学下来，你会发现 固定题一点都不难，都是原来所有些的什么就知识的升级版，基础打牢，后面几个越学越顺啊，成绩直接往上冲！

八下勾股定律这里啊必考八大题型，其中有一类比较难的就是勾股定律，蚂蚁爬行的这类最值问题了，绕着正方体、长方体、圆柱体爬行，问你何时路线最短？见没见过 那有关于勾股定律必考的这八大题型，老师早给大家总结好了啊，学到这，如果你还没有题型思维，每一类题出现，你脑子里还没有方法解析的步骤， 一定要把它打印出来。咱们带着孩子啊，分题型来进行练习，这样我们整个孩子的思维咱们就可以建立起来了。学数学要巧到八年级，综合程度那么强，再靠刷题是不可能再得高分的啊。 下面呢，咱们就来一起看一下啊，蚂蚁从 a 爬行到 b 的 最小值，哎，这里需要注意的是啊，他这从 a 爬行到 b， 他 需要绕几面啊？ 哦，是不是需要从这绕到这一面，绕到后面这一面，再到侧面这一面啊，对不对？ 所以啊，在这我们要找到它爬行的轨迹，就必须把这个长方体怎么样？来两个字，大家敲一敲，叫做展开，我们要找到它的展开图，进而找到它爬行的轨迹，那我把这个长方体沿着这条边给他剪开， 翻翻翻，想象到了没？那我们就变成了这样的展开图，哎，这个面呢就是他，那同样蓝哎，绿色的这个面呢就是他了， 那这两个面分别是后面和侧面，能想象到不？那从 a 到 b 不 就是从这一点到这一点吗？所以直接我们怎么样啊？哎，让他 算这两点之间的最小值就可以了，那怎么排呀？由于两点之间哪最短，线段最短，所以直接连线就 ok 了。 三一三一，那这里他的长度就是八，而这条边的长度和他的高是不是一样是六啊？所以想要求 a 到 b 撇这条线段的最小值好不好，求 勾股数六八十直接就可以秒出最终的答案。所以这类展开图蚂蚁爬行求最短路径的问题，一定是找到展开图，利用两点之间线段最短来解决终极的问题。

哈喽哈喽哈喽，今天的这个视频呢，我跟大家分享的是割股定律的第二个模型，叫风吹树折，那么这个模型来自于哪里呢？来自于九章算术当中的一个问题啊，他说，今有足高一丈 莫折底，去本三尺，问折者高度几何？ 翻译成现代文就是现在我们有一根竹子啊，缘高一丈，一丈就是十尺，一阵风呢，将竹子折断了，而竹梢就这个部分， 恰好恰好，这个词很关键啊，底地底处呢，离竹子是三尺远哎，底地处离竹子是三尺远啊，问折断处离地面的高度为多少？ 那么我们知道啊，数学呢，来源于生活，有服务于生活，所以对于这样一个 模型呐，我们可以抽象出来啊，从这个生活当中抽象出几何图形，那根据题我们就可以知道，蓝色的线段加红色的线段就是十，然后呢， 这个就是竹子的这个竹梢离这个竹子三尺远，黑色的这条线段呢，就是三。哎，于是啊， 这里啊，就是知道蓝色的线段加红色的线段等于十，然后这个黑色的线段呢，是三。要我们求什么？求蓝色的这条线段。哎，怎么办呢？ 我们有很多时候啊，就是有很多孩子是这样的啊，例题能懂，但是呢，离开了这个例题，离开了老师的讲解呢，就是完全不会，那我们需要从源头解决这个问题，就是 是什么和为什么，以及怎么办的问题啊，那这道题是什么呢？ a 是 从数学，从生活当中抽象出 数学模型，抽象出几何图形，也就是我们建模用什么思想，用塑形结合的数学思想， 然后我们知道这里是一个九十度啊，所以知识图库里提取的应该是我们刚刚学习的这个勾股定律啊。勾股定律怎么说的呀？哎，就是 两直角边平方的和等于斜边的平方。那现在就要开始用方程思想来解方程即可。哎，具体怎么做呢？哎，具体的做法啊，我们把它放在了右下角给大家看一下啊，就是 直接设未知数。哎，这道题怎么直接设未知数呢？题目怎么问，我们就怎么设啊，设竹子折断处离地面 x 尺，就是我们这个蓝色的部分是 x， 然后根据题意，元高是一丈，一丈是十尺，所以斜边就应该为十，减去 x。 那根据勾股定律，我们就可以列方程，列方程展开以后， x 的 平方加九很简单。关键问题是这个地方啊，还有还存在一个计算的问题，这里呢是完全平方公式，很多同学容易忽略的是中间这个部分啊，减去 两者乘积的两倍啊，减去二十倍的 x， 这样消去 x 得九是等于一百减去二十倍的 x 的 啊，通过一项可得 二十倍的 x 等于九十一，解得 x 是 等于四点五五，那你可以是将这个 x 等于四点五五带进去检验，我们发现，哎，两者乘以啊，所以 最后打哎，折断处离地面的高度是四点五五啊。好，这就是风吹树折模型的基本图形以及由来啊。那么我们 知其然，也知其所以然，追根溯源以后啊，以后遇到这个类型的题啊，就用我们的这四步 a 抽象出图形，提取这个知识点来 构建方程，解方程，最后检验即可。好的，今天的这个讲解呢就到此结束，感谢大家的这个收听，谢谢。

这道八年级的常考题看起来有难度，实际上只要我们识别出勾股定律相关的几何模型的话，三十秒钟就能轻松搞定。其中给了我们一个直角三角形 abc 角， abc 是 直角， 以它的三边 abbc 和 ac 为斜边，分别向外面呢做了三个等腰直角三角形，于是我们就有 a 等于 e、 b、 b、 f 等于 f、 c， 而 a、 d 呢等于 c、 d， 而这三个等腰直角三角形的面积之合呢，又等于一百。让我们求边 a、 c 的 长度， 要求这条边的长度，其中只告诉我们一百这一个数据。很显然，我们要充分用好这个数据，就要把这三个等腰直角三角形的面积呢给表示出来。 如果我们分别设它们的直角边长度为 a、 b、 c 的 话，我们可以计算出这三个等腰直角三角的面积，而面积之和等于一百呢，我们就可以得到一个三元方程。 根据这个方程呢，我们要求这三个等腰直角三角形呢任意一条边呢，都非常困难，很多同学分析到这个地方呢，就觉得没有思路了。实际上我们要注意到，这三个等腰直角三角形都是以这个直角三角形的三边向外作的，而直角三角形当中三边长度呢，必然满足勾股定律。 以勾股定律作为一座，再向外面做新的三角形的话，这里面呢就有一个勾股数模型。我们就以等腰直角三角形为例，给大家讲一讲这个勾股数模型。 我们不妨设里面这个直角三角形的三边长度，分别为 abc， 以它们为斜边，做了三个等腰直角三角形 c 三，实际上都可以运用 abc 给计算出来，比如说我们计算一下直角三角形 ab 的 面积， 我们可以以 ab 为底，过一点做 ab 边上的高。根据等腰直角三角形的三线合一，斜边的高必然就是斜边的中线，而斜边的中线呢， 等于斜边的一半，所以这条高呢，实际上就是二分之 b， 那 么 s 一 我们就可以轻松计算出来，也就是 b 乘上一个二分之 b 再除以二，也就是四分之一 b 方。同样道理， s 二 等于四分之一个 a 方，而 s 三呢，等于四分之一个 c 方，而 abc 正好满足勾股定律，也就是 a 方加上一个 b 方 等于 c 方，那么四分之一个 a 方加上四分之一个 b 方呢，必然就等于四分之一个 c 方，也就是说我们可以轻松得到 s 一 加上 s 二就等于 s 三。这个结论呢，虽然是根据等腰直角三角形得出的，实际上我们如果向外面做等边三角形或者 正方形或者半圆，只要以相同的方法向外面做相应的图形的话，都满足这个面积关系。大家以后遇到类似的图形的话，只需要抓住面积关系， s 一 加上 s 二，两个角小的面积之合就等于角大的面积，抓住这个关系呢，就能轻松解题。 在我们这道题目当中，三角形 a、 b 的 面积加上三角形 b、 f、 c 的 面积，这两个角小的三角形的面积之和呢，必然就等于角大的这个三角形的面积，也就是 s 三角形 c d、 a 把这两个角小的面积之和转化为角大的面积之和呢，等于一百，那么一个面积的话，实际上就可以轻松算出来，也就是这个大的等腰直角三角形的面积就等于一百 除以二，也就是五十。求出了它的面积等于五十之后，再求 a c 的 长度就比较容易了。我们同样的，只要做出斜边的高，根据三线合一和斜边的中线等于斜边的一半，那么这条高的长度必然就等于二分之一个 a c， 这个时候呢，它的面积就可以算出来底， a c 乘上一个高，二分之一个 a c， 再乘以二分之一，就等于它的面积也就是五十。整理一下， a c 乘上一个 a c， 就是 a c 的 平方，这边呢是四分之一，乘到右边去，也就是四乘以五十等于两百，那么很显然， a c 就 等于十根号二。

这道题，同学们，你除了要知道梯形的终点模型之外，你还要学会利用勾股定律把整个梯形的面积算出来。那老师，什么叫梯形的终点模型呢？它的结论是这样子的，比如说这是 s 一， 这是 s 二，这是 s 三， 根据梯形的终点模型，那就是 s 一， 加上 s 三是等于 s 二的面积都等于整个 梯形面积的一半。那具体的推导方法我们昨天讲过，大家就可以翻翻昨天的视频，那根据这个结论看好，如果我要求 s 一 加 s 三，我是不是要把整个梯形的面积算出来除以二啊？那我们来看一下，算梯形现在缺少谁呢？ 高是八，下底是九，我是不是只要把这个梯形的上底算出来就可以了？那老师这个上底怎么算呢？看好同学们，我只需要过这个点向下 去做一条垂线，那我做完垂线之后，各位，在左侧这个地方我构建的就是一个长方形，长方形的对边相等，左边是八，好，那右边呢？也是八。这个时候各位根据勾股定律，一组非常明显的勾股数，六八十，所以说我知道这一段的长度， 哎，就是六，对吧？九减六，各位，这一段的长度就是三，那就说明这个梯形的上底，这也是三。那梯形的面积来看好，上底是三，下底是九，上底加下底乘以高在 除以二，对吧？这个时候我们算的是整个梯形的面积，那如果你要算阴影部分怎么样？还要再除以二，所以说算一下，那就是十二乘以二。最终各位，我所要求的阴影部分的面积就是二十四。这个题我们就轻松搞定，关注小白，轻松学奥数！

好，同学们，我们来看这样一道题啊，非常有意思，这是一个正方形，里面呢有一个小的正方形，并且呢它的面积是一百，现在我们要求的是这个圆，它的面积是多少？那在求这个圆之前，我们先确定一件事情， 这四个直角三角形，它们的面积是一样的吗？当然是啊，而且非常好证明。好，我们先标几个角啊，比如说这是角一，这个角九十度， 这是角二，这是角三。正方形啊，各位，这个角九十，这个角也是九十。好，这是角四。那首先根据三角形的内角和，我知道角一加角二等于九十度， 可以吧？平角一百八，减去一个九十，所以说角二加角三也等于九十度，对不对？那这个地方我就能够推导出角一等于角三，同理可证。角二等于角四。又因为里面这个东西它是一个正方形，所以说这条边 和这条边就是完全一样的，可以吧？那根据角边角，我就能够证明这两个三角形一定是全等的，那同理可证四个是不一模一样啊，所以说下面这个直角三角形，它的面积就得是二十四。好，我先给大家标几个点啊， 三角形 a、 b、 c， 它的面积是二十四，那现在我们要求的是这个内接圆，它的面积是二十四，那现在我们要求的是这个内接圆，它的面积本质上就是求什么。哎，找半径不就好了， 对不对？那对于这样的题，各位直角三角形内接圆的问题，之前我们说过，把半径向三条边去做垂线，利用面积求半径就可以了。好，那现在我找到这个圆的圆心向三条边长，各位，我们去做三条垂线 来，各位，这垂直，这垂直，这也垂直，那现在我们连接圆心和三角形的三个顶点，好，我这一连， 这一连，这再一连，我就把整个三角形 abc 是 不是分成了三个呀？一个是这个三角形好，一个是这个三角形，还有一个是这个三角形，那我现在分别把这三个三角形的面积写出来啊，我现在假设半径为 r， 哎，三条都是 r， 好， 我们先写下面的啊，下面这个三角形，底是 ab， 高是 r， 好， 底 乘以高再除以二，再加上旁边这个三角形，底是 bc， 高是 r， 好， 我们写一下啊，加上底是 bc， 高是 r， 底乘高再除以二，再加上上面这个三角形啊，以 a c 为底的底 乘以高再除以二。好，它的面积就是我们刚刚说的二十四。然后呢，提取共因式，那我就有 ab 加上 bc 加上 ac 括号乘以高再除以二，这个高就是我们的半径，对不对？等于二十四。那现在同学们，我要求半径，我是不是只要把这一项算出来就可以了，对不对？那首先各位 ac 的 长度能不能算？当然可以啊， ac， 各位 怎么样？面积是一百，那 a c 不 就是边长吗？对不对？所以说 a c 的 长度是十。那接下来我们需要解决的另外一个问题就是 ab 这一段加上 bc 等于多少呢？那首先我们刚刚说怎么样？这四个直角三角形， 它们是一个全等的关系，所以说我就可以把 bc 放到这个位置看。好啊，把 bc 放到这个位置，也就说 a b 加 b c 实际上不就是整个大正方形的边长吗？没问题吧？那老师，大正方形的边长怎么算呀？那我们要知道面积啊，对不对？那它的面积就是一百。 好，我写一下啊，它的面积是一百，加上二十四乘以四等于一百九十六。来，同学们，谁的平方是一百九十六？哎，那不就是十四吗？是不是啊？所以说我知道整个大正方形看好它的边长就是十四。那这个地方我们就直接写了啊。 好， ab 加 bc 等于十四， a c 是 十，括号乘以高就是半径，再除以二等于二十四。所以说各位半径 不就是二，对不对？那这个时候你看一个圆有了半径了，你觉得它的面积能不能算呢？当然可以啊，这个题我们就轻松搞定。

如图，五边形 a、 b、 c、 d、 e 中这四条边的长度分别是三、三、四、五，这三个角呢，都是直角，让我们求边 a 的 长度， 注意到这个地方是直角，要求 a 的 长度，我们就可以想办法构造出直角三角形，用勾股定力来进行计算，我们只需要连接一下 b 与 c、 d 相交于 f 点，在直角三角形 a、 b、 e 当中， ab 的 长度是一致的，我们只要求出斜边 b 的 长度，就可以通过勾股定律轻松算出 a 的 长度。那么如何来求出 b 的 长度呢？我们注意到这两个地方呢，都直角， 这里面呢还有一组对顶角，这两个直角三角形呢，必然是相似的。如果学过相三角形的话，我们运用这两个直角三角形呢，相似比就是 bc， 比上一个 d， 也就是三比五， 再结合 c、 d 的 长度等于四，可以轻松求出 c、 f 和 f、 d 的 长度，然后再用勾股定律就可以算出 b、 f 和 f、 e 的 长度，那么 b、 e 的 长度呢，也就求出来了。但是咱们八年级的同学如果还没有学相三角形的话，该如何来求 b、 e 的 长度呢？ 我们同样可以构造出直角三角形，运用勾股定力来进行计算，结合这两个地方呢，都是直角，我们只需要过 b 点做 e、 d 的 垂线与 e、 d 的 延长线 相交于 g 点，这样我们就可以把 b 放到直角三角形 b、 g、 e 当中，运用勾股定力来进行计算。 注意到这两个地方呢，都是直角，这个地方呢也是直角。那么四边形 c、 b、 g、 d 必然是一个矩形， b、 g 的 长度就等于 c、 d 的 长度等于四， g、 d 的 长度呢，就等于 b， c 的 长度等于三。 接下来就可以在这个直角三角形当中，用勾股定律，斜边 b 的 平方必然就等于直角边 b， g 的 平方加上一个 g 的 平方，也就是四的平方加上一个八的平方， 也就等于八十。求出了 b 的 平方，接下来要求 a 的 长度就非常容易了。 a 的 平方，我们在这个直角三角形 a、 b、 e 当中，它就等于 b 的 平方减去一个 a， b 的 平方，也就是 b 的 平方八十，减去一个 a， b 的 平方，也就是三的平方，也就是七十一，那么 a 的 长度很显然就等于根号七十一，轻松搞定。

八下数学最难的勾股定律，十二种题型全部吃透，稳进班级前三、勾股定律的应用十二种类型类型一，求梯子的滑动高度 类型二求旗杆高度类型三求小鸟飞行距离类型四求大树折断前的高度 类型五，解决水杯中筷子的问题类型六解决航海问题类型七求和宽完整版分享！

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八下第一次月考数学压轴题，六大勾股定律模型吃透，压轴题月考多拿三十分！一，汽车超速问题二，路程距离问题三，台风速度问题四，最短距离问题。各个地区月考压轴题都有答案详解可打印练习，完整版留八可分享！

大家好，我是数学郭老师，今天我们来解答一道勾股定律与最短路径问题，来读一下题。如图，圆柱的底面周长为十二， ab 是 底面圆的直径，圆柱的高为十六 点， d 为点 a 正上方一点，也就是它们在一条线上，求一只小蚂蚁从 a 点绕着 斜面爬到地点的最短路径。 ok， 这是一道求立体图形当中的最短路径问题。而我们解决这类题型，只需要将圆柱的侧面展开图挂到你对应的题目的位置上， 找到每一条线对应的题目的已知条件。 ok， 来看一下画完以后呀，我们这个底边长度实际上就是我们圆柱的底面周长，也就是题目给的已知条件十二， 而它的宽呢？宽是我们圆柱的高圆柱底之条件高为十六。根据我们的侧面展开图，是一个矩形，可得这个角为直角， 那么遇到了直角三角形，可以利用勾股定底求得 a d 长度。 a d 长度等于根号下 底边周长的平方，加上高的平方，最终结果 a d 等于二十。 这一类型题，只需要将侧面展开图画好，根据勾股定底求边长即可。关注郭老师，带你学习更多数学妙招！

这类题目堪称勾股定律天花板，同时也是高频考点，能做出来的同学屈指可数，因为你会发现学校教的 a 方加 b 方等于 c 方无处安放。为什么呢？因为老师是不会告诉你勾股定律，还有个孪生兄弟叫一垂直两勾股， 老师今天就用一个视频教你彻底学会这个原理，学会后，考场再遇到这类题型，直接拿分来看题 说，如图，在 r、 t 三角形 abc 中， a、 b 长等于根号下六十一， a、 d 长等于根号下三十四， b、 d 长等于三。让我们求 a、 c 这条直角边的长是多少？题目非常的简洁啊，那这里边，我们除了已知了直角三角形 abc 之外，我在图形中是否观察能发现一些 其他的信息，所以这时候需要大家睁开一双慧眼，仔细来观察一下啊。因为题目中啊，你如果直接利用勾股定律去计算，你会发现 这条边 c、 d 长我并不知道，显然不可以直接算出来啊，所以我观察发现呀，除了直角三角形 a、 b、 c 之外，图中还隐藏了一个蓝色阴影的小小直角三角形 a、 c、 d。 所以这里边啊，一个垂直出现了两个直角三角形，就可以用老师教给大家的绝招一、垂直两勾股，直接快速解题！好，那怎么来操作呢？首先，在小兰直角三角形中，问号线段也是它的一条直角边，也就是说， 小兰和大的直角三角形 a、 b、 c 中，两直角三角形拥有的是弓 共边，公共的直角边就是 a、 c， 抓住公共边怎么样呀？同时去表示这条公共边，或者说公共边的平方， 未知的蓝色 c、 d， 我 用小 m 表示其长度来大的 r、 t 三角形 a、 b、 c 中怎么表示 a、 c 或者表示 a、 c 的 平方呢？直接利用勾股定律，也就是斜边根号下六十一的平方，减去直角边 三加 m 的 平方，这我表示的是什么呀？是 r、 t 三角形 abc 中利用勾股定底表示出的 ac 方。 好，同样道理，我在蓝色阴影直角三角形中也来表示一下直角边 ac 的 平方，它也就是斜边 a 地方， 根号三十四的平方，减去直角边 c 地方，减去 m 方，所以等号右边呢？我还是表示的是线段 a、 c 的 平方。直角三角形 a、 c、 d 中利用勾股定律表示出来的， 所以两边是相等的，一垂直两勾股。得到这样个等式之后，你只需要进行认真计算来化简。整理一下， 左边六十一减去括号的平方，注意符号啊，减九减六 m， 再减去 m 的 平方，等号右边开方再平方之后三十四，再减去 m 的 平方， 两边都减掉 m 平方，所以我利用等式的性质，两边同时加上 m 平方，消掉不见了，整理一下，这不就是解什么呀， 关于小 m 的 一元一次方程嘛。所以六 m 我 挪挪到等号一边，常数部分六十一减九，再减去三十四，所以六 m 等于十八， 算出小 m 的 值来。等于三啊，你看小 m 都有了，你算 a、 c， 是 不是等号左边或者等号右边都能算出来，对不对？所以啊，我比如在蓝色的 小直角三角形 a、 c、 d 中直接利用勾股定底，我知道 a、 c 就 应该等于根号下斜边根号三十四的平方减去直角边 小 m， 也就是三的平方，这是三十四减九根号下二十五，所以 a c 的 长等于五 完事了。所以这道小题啊，回过头来总结一下。出现一个垂直的条件，但图形中会出现多个直角三角形， 两个直角三角形，一垂直，两勾股，同时去表示公共边，或者说公共边的平方啊，那我两边开方也可以吗？当然可以啊， 两边平方之后，我表示公共边的平方计算更加简单，最终把未知的一条边长，一条线段长给它算出来，再来求解我们想要的公共边即可。

这是数人二零二五年初二下三月份第一次约考的最后一道题。 第一问呢，是用无刻度的指示画图，就单词画图，仅用无刻度指示，在这个 c、 d 边找一个点 f， 使得 d、 f 和 b、 e 边会等。这个题目的考点呢，是平行四边形的中心对称性，因为是无刻度指示啊，所以呢，不能用圆规。 这边呢，我先把这个 a、 c 和 b、 d 去连接一下，连完之后呢，会有个点 o， 这个 o 啊，是 a、 b、 c、 d 的 对称中心，那么这个 e 点如果跟这个 o 点去连接并延长， 那 e 和 f 就 也会关于点 o 呈中心对称。所以呢，这个两条边相等。 同理的话呢，因为原本是平行四边形，所以 o、 b 等于 o、 d， 那 么就可以证明这两项形呢，它们呢，会全等，所以这个 b、 e 和这个 d、 f 呢，它就会相等的，这是第一位。好，这是最后一题，第二六题，那每一位是环环相扣有关联的。我们来看这个第二位， 用直角圆规做出一个菱形，这个菱形必须要四个顶点，分别在 a、 b、 c、 c、 d 和 a、 d 上面， 跟第一个很像，也是要先找到它的对称中心，所以先把 a、 c 和 b、 d 连接一下。连接完了之后呢，因为最后菱形啊，它对角线首先也会互相平分， 所以呢，也会被这个 o 点啊中心对称。所以呢，先找到这个 c、 d 边的呀， c、 d 边的是点记，是点记有了， 然后因为菱形它具有这个对角线垂直平分的性质，所以它的这个另外一条对角线呢，跟这个 e、 g 它是互相垂直的，所以做法呢，就是过点 o 做 e、 g 的 垂线就可以了。 ok， 这是 f 点，这是 h 点，这样的话，我们把这四个顶点顺次连接一下这个新图形， e、 f、 g、 h。 首先这个对角线它互相平分，是一个平行四边形，其次这两条对角线还垂直，所以它是一个菱形。好，这是这个第二个。好了，我们来看看这个最后一个。第三个，在二的条件下， 角 b 的 度数为六十度 ab， 整个是六， bc 八， b， e 是 二。来，我们先把这个重标，这个长度是二，这里为四，由第一问的这个两个边等的，所以呢，这里也是二，这里也是四，还有整个这里为八。 他现在要我求这个蓝色的菱形的面积为多少，我们知道几何计算，一共有三大法宝，等面积。勾股定律和相似三角形，这个地方的话呢，勾股定律会很简单，因为菱形啊，这个两条边它等的吧。 好，这个图呢，有点乱了哈，我在旁边重画一个图，把这个菱形给它画回来， 这个是 f， 这是 g， 这是 h， 呃，这个是 r， 这里为四，这里也是 r， 这里也为四，不大像了，大概就可以了。那么因为菱形，这两条边它相等的呀，所以的话呢，我想利用这两条边相等来构造一个双勾股。 这个 e 点呢，往这边也做一条高叫 g q， 那么因为角 b 度数的六十，所以这边三十，那这个长度呢？ b p 它就等于一， e p 呢，就等于根号三，备用的号。还有啊，这个六十，那这边的外角也六十，这边六十，这个上面三十，那这里有一个四，它就是二，这个是二，根号三。 那怎么来利用这个双勾股呢？ e f 的 平方和 f g， 它平方是相等的，它会等于这边是 e p 的 平方加 p f 方，而这边呢是 g q 方加 f q 方，那我把这个 p f 设成度为 x， 那 这个 c f 呢？所以整个八去掉 e， 还剩七，七减 x， 所以 这个地方七减去 x。 好，最后呢就会列方程了。 e f 的 平方是这个根号三平方，三加 x 平方会等于 f g 平方，这个呢是七减加二九减 x 的 整体平方， 再加这个地方呢是这个十二，那么这个方程一解，减的 x 就 会等于五，最后呢就可以勾股定米。

八下数学压轴题，勾股定律五大模型全部吃透，我拿班级前三发现没？八下数学勾股定律反反复复就这五大模型， 八下数学压轴必考勾股定律五大必会模型，模型一，风吹竖折模型二，蚂蚁爬行模型三，三七八和五七八模型，模型四，出水芙蓉。

这道题又来啦，那我们看一下这道题目，这道题目是勾股定里面呃，常考的一个类型题，叫折底问题。 那题目我们来解题一下，因为这道题目在我课堂上稍微小测了一下，结果全班只有七八个人，对，那占比只占了七分之一，所以我是蛮惊讶的，这道题目有这么难吗？那我们来看看折底问题是怎么入手的？ 题目说将 a、 b、 c 折叠过来对不对？那说明这两个三角形有什么关系？是全等的，而全等是推，怎么推什么？结论呢？是推边相等和角相等对不对？全等的目的就是推对应边相等，对应角相等，那相当于这两个三角形关系已经确定了。 那翻折这个过程本身是将这个大大三角形分出了三个三角形，其实这三个都是 r t 对 不对？都是 r t， 那 不管，因为这两个关系是全的，那现在还差这个三角形还没有。那我们先来看看这个三角形到底起到什么作用呢？题目说 b c 等于六， a c 等于八，没了啊啊，这还有个九十度，那我们班同学错在哪？他是错在他们都会算出边勾股马上说啊， a d 等十啊，折叠一半等五，接着不会啦，那你们看看你们是不是出现这个问题，或者你家小孩是不是出现这个问题？ 那这道题目其实不是这么做的，因为刚才老师第一题就特别强，第一第一句话就特别强调，这两个全的是为了推对应边向的和对应角向的，所以你应该立马反应的是 b 一 等于 a 一， 是吧？那题目要求的是移 c， 问什么是什么？是移 c 为 x， 那 么因为 c a 等于八，所以 e a 是 不立马可以表示了，是八减 x， 对 不对？那是不可以马上替换过来八减 x， 所以 这一题这个还没有用到的三角形其实用来建立方程的，不知道同学听明白了吗？ 好，所以我们现在把它排除一下，如果没有听明白是平移，倒回去再重新听。那这题是怎么做呢？首先由折叠可知， 这个 b 一 是等于 a 一 的，那设 设这个 c 一 等于 x， 所以 a 一 就会等于 a， c 减 c 一 等于八减 x。 在 r t 三角形 bc 一 中角， c 等于九十度， 所以 b c 的 平方加 c， e 的 平方就会等于 b， e 的 平方，即代入六的平方加上 x 的 平方会等于八减 x 的 平方 啊，对不对？这个 b 等于 a 一 等于八减 x。 一 起写啊，呃，所以外面去算，老师这边打草稿，三十六加 x 的 平方等于八八六十四，然后减十六， x 加 x 平方，这俩消掉， 所以是十六， x 等于六十四减三十六是二十八，对吧？所以 x 是 等于十六分之二十八，咱们要约分，同时约掉四，所以 x 是 等于四分之七，那我们这边写解的 x 等于四分之七，所以要求的这条 c 移 就是等于四分之七啦，快快点赞收藏吧！这道题目很经典。

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