高中自创数学试卷是怎么排版的

今天带大家看一下山东省济南市中考异模数学自编模拟卷，侧重考察运算求解、逻辑推理、树形结合及实际问题建模能力，整体难度贴合中考异模水平，梯度分明，适合中考复习阶段检测知识掌握情况。需要解析版试卷的可以给我留言。

书包再次爆干，八个小时整理导数同购专题，先找题，一份又一份的试卷开始录入 word 文档，手指都快按冒烟了，根本停不下来， 终于大功告成了！做了二十六页的 word 文档，我真的是太棒了！

我靠。

大家好，我是信阳师和区李老师，最近我发现很多学生在呃试卷的收集，错题的整理这方面问题还是比较大的。 好，今天来跟大家说一下这个试卷整理以及错题整理需要注意哪些地方。各位家长可以看一下自己孩子有没有这些问题啊，就是考完试之后呢，试卷发下来就扔掉了， 或者是呃试卷到处都是，桌子上也有啊，书本上夹里也有啊，语文、数学、英语都放在一起，呃，没有整理的习惯。 嗯，那么那我们试卷应该怎么整理呢？我们可以按照两个，两个标准，第一个就是 按照科目来分类，嗯，语文的放在一起，数学放在一起，英语放在一起。第二个呢，按照日期来整理， 比如说数学，我们按照考试的先后顺序来整理，这是我之前考的试卷，我们按照这个顺序来整理，然后呢，我们在复习的时候呢，也方便我们去啊，按照之前的这个顺序来做 啊。其次就是这个试卷的整理，那么我们错题应该怎么整理呢啊？接下来是关键时候，这个前面的试卷整理是我们做的准备工作 啊。嗯，需要，在，特别是其实小学阶段试卷还不是特别多，很多学生也没有养成这个习惯，那我们到了初中之后呢，科目增多， 考试的次数也增多，那你试卷也逐步增多，那你如果没有去整理这个试卷，那么这次考试对你来说意义就没有那么大，对吧？好，所以说我们一定要养成这个呃，好习惯。试卷整理我们准备工作做好之后呢，我们再怎么做呢？ 啊？比如说我们今天这这个试卷发下来之后，我们首先看一下这个上面，呃，有几，有几个你需要注意地方， 当然你这个上面，呃你很多做对的题，你已经掌握的题，这些题对我们来说已经不是很大了，对不对？嗯，这段时间会做，过段时间依然会做。那么对于我们比较重要的事是上面的错题部分 啊，有哪几个部分？第一个是错题部分，那你需要做的事情呢？是需要啊，用一支红笔在这个题目序号之前啊，你把它圈出来，你比如说这个第七题出错了， 那我就用一个红笔把这个序号圈起来，做一个标记。我知道这套卷子这个题当时没有做出来，这个题没有做出来，它代表是啊，这个题目背后的知识点没有掌握，对吗？这是第一个你需要圈的，你的错题完全不会的。 第二种呢，因为有的选择题你可能你并不会，你随便选的啊，蒙对了，对吧？这种也算是没有掌握，那这种你也要圈圈出来，你比如说这个第九题， 考试是不会随便选的，他最终也对了，那这个题你本质上是没有掌握的，那你把这个题也要圈出来，对吧？ 啊？第一步是圈错题，我们圈完错题之后呢，你就要开始分析这个错题。你比如这个第七题，他考察是二次函数，二次函数里面的，呃，这个自变量取值范围啊，那我就把 啊，课本上关于二次函数这一部分知识点，你需要再复习一下，对吗？因为这个题不会，代表是这个题目背后的知识点有漏洞，没有掌握。那我们考试的意义呢？就是把你不会的知识点啊检查出来，那我们需要做的就是 把它呃背后知识点的掌握，掌握之后呢，我们最好再去找几道类似的题，再去练一练，巩固一下啊 啊，那这个试卷第一次考完试，这个考完试，这个卷子我们第一次整理过后之后再怎么办呢？我们不是扔掉，我们按照顺序把它保留起来， 那么这个错题你最需要做几次呢？因为这个错题你当时老师讲了，你自己改过之后啊，你可能觉得自己掌握了，就没有再管他。 那你放一段时间，你再过一段时间，你过个一周，你再来做一道这个，再把它做一遍。这个第七题啊，你再做一遍 啊，你再试试自己会不会啊？如果第二次你还能做对，那基本上算是掌握了。那你说一道错题需要做几遍呢？根据你自己的啊程度吧， 还有根根据题目的难度，有的题目相对简单一点，你可能做个两至三次都已经完全掌握。那有的题目你像后面大体有的题目相对难一些，你可能需要做个五六遍，七八遍 啊，你才能真正掌握。那我们在平时考试之前呢啊，期中、期末月考之前，那你就是把这些错题重新再做几遍啊？ 嗯，好好分析一下，这样的话比你再去找一些新的题来做，帮助要大的很多啊。所以说这是错题的真理，非常重要，一定要养成这个好的习惯。

我以非常难受的心情讲今天的内容，在网上看到某重点高中数学教研组长受邀讲高考数学创新题怎么准备， 我听完直接摇头，这是瞎讲，不要误导孩子，不要耽误孩子。我来讲讲高考数学创新题是什么？为何要设置创新题？ 简单说，大家容易记，一个需求，两大目的，一个需求，人才选拔的需求。高考需要选拔能够进行后续大学学习的人才，不少的学生到大学就垮了。高中知识学好不代表后续能够学好， 需要选拔具备持续学习能力的孩子。这张试卷必须面向未来。能看出未来 两大目的，我起了名字，揪篇和守正。第一个目的，现有教学环境普遍讲模型，讲套路，学生机械刷题。 模型是什么？套路是什么？机械是什么？就是我不思考。为了能把这题给做出来，我们需要这样的学生。 所以这第一个目的就是揪片，大模型，大套路。第二个目的，守正，体现真思维，增加灵活性， 让走正路的具备真正思维能力的孩子脱颖而出，因为这样的孩子才能够承受大学更高阶的学习，还能够一路科研走到最高，成为我们国家真正需要真正紧缺的高端人才。什么是创新题啊？ 对象、环境、心超出高中范围，但解决他的知识、能力、素养全在高中范围，这是高水平的题。 我再给大家多讲一点，创新题出来以后，很多高中大考模仿出创新题，但是很多不在正路上。正路的创新题取材于后续高阶数学，内容是学生后续学习路上会遇到的 心定义，不是瞎定义，孩子们不知情，直到最后高考试卷才看到真正的创新题。 高中的学生和家长都是精力拉满的状态，信息的甄别比什么事都大。 你心中的权威，你认为的专业性，也许就是最外行的表达。这已经不是信息差的问题，这是指导和误导的区别。关键时刻，家长和孩子真正的不容易就在这里啦！

二零二六北京顺义高三一模数学第十五题直接说我的答案一、三四和你一样吗？这道正方题压轴题其实一点都不难，咱们逐个击破。先看圈一三棱锥第一， a、 b、 e 的 体积为定值，底面积 a、 b、 e 是 定值高第一，到底面距离也是定值，所以体积永远等于六分之一。圈一正确。 再看圈二，存在点 e 使平面 a、 d、 e、 e 垂直平面 b、 e、 b、 e 要面面垂直，必须有线面垂直，最后要推到 a、 e 垂直 b、 e。 但在边长为一的正方形里， a、 e 不 可能垂直 b、 e。 所以 圈二错误。接着看圈三，三角形 d、 e、 e、 b、 e 为锐角三角形， e 从 d 向 c 移动， e 在 d 时，角 d、 e、 e、 e、 b、 e 是 等边三角形，角是六十度， e 不 含端点，所以最大角小于九十度，一定是锐角三角形。圈三正确。最后看圈四， f 的 轨迹是一条线段， e 到 d 时， f 与 a 一 重合， e 到 c 时， f 与 d 重合。不放心的可以再取终点验证。三点攻线，所以轨迹是 a 一 到 d 的 线段，不含端点。圈四正确。正确。结论，圈一，圈三，圈四，正方体动点题，找特殊位置轨迹，角度一眼看穿，要完整答案的评论区留言。

二零二六北京顺义高三一摸数学第八题直接说我的答案 b 和你一样吗？这道分段函数题核心就是参变分离，再加数形结合。第一步，先看 x 等于零， x 等于零，代入方程，左边等于零，右边也等于零。等式横乘力，也就是说 x 等于零，永远是一个几何体，可以取任何实数都满足。 第二步， x 不 等于零时，两边同时除以 x， 把 k 孤立出来，得到 k 等于 x， 减去 f， x 除以 x。 我 们设新函数 g x， 它的解体式就是我写的这个。现在问题转化为直线 v 等于 k 与函数 g x 的 图像要有三个交点，为什么是三个？ 因为 x 等于零已经占了一个，要凑齐四个就得再找三个。第三步，画图 g x 是 一个开口向下的抛物线片段 和一条直线片段，要让直线 y 等于 k 与它有三个焦点，这条直线必须假在原点上方和抛物线顶点之间算一下，顶点最大值是四分之一， 所以零小于 k 小 于四分之一。分段函数求焦点，参变分离是神器，数形结合，一眼看出答案，但一定要注意特殊情况，比如参变分离时 x 不 能为零。要完整答案的评论区留言。

二零二六北京丰台高三一模数学第八题讲解不废话，先直接说我的答案，我选 b， 和你一样吗？好，我来讲一下。这是一道指数衰减的应用题，坑点全在计算上。第一步，代入五，年衰减一半，也就是二分之一等于 e 的 负五 k 四方，我们先把这个式子记下来。第二步， 设衰减为原来五分之一，需要 t 零点列方程，五分之一等于 e 的 负 k 乘以 t 零次方。 来了很多同学错选 c， 就是 因为没先化简。我们把两个式子相乘，左边是十分之一，右边是 e 的 负 k 倍的五加 t 零次方两边取自然对数得到 l n 十分之一等于负 k 倍的五加 t 零。化简 l n 十分之一等于负 l n 十，所以式子变成 l n 十等于 k 倍的五加 t 零。 由第一步我们知道， k 等于五分之 l n 二代入进去，五加 t 零等于 l n 二分之 l n 十。注意要先化简 l n 十减 l n 二等于 l n 五，所以 t 零等于 l n 二分之 l n 五，再乘以五，最后代入数值， l n 五约等于一点六零九， l n 二约等于零点六九三，算出来大约是十一点六九三，选 b， 记住先化紧后代数值，避免计算误差。想要完整解析和试卷答案的可在评论区留言，下个视频我来讲第九题，你选什么了？

二零二六北京丰台高三一模数学第七题讲解不废话，先直接说我的答案，我选 c， 和你一样吗？好，我来讲一下这七题的话，我们就画一个单位圆呗， 然后 a 点肯定是在单位圆上嘛，所以 b 点是如图所示这个位置，那么对于这个阿尔法的正切值，就既等于 a 点的坐标 n 比 m， 也等于 b 点的坐标 b 比一，对吧。 然后我们由 cosine alpha 等于三分之二，就可以算出来 cosine alpha 的 值，那么 cosine alpha 在 这个单位圆里就等于 a 点的横坐标。 对啊，所以我们我们就能算出来这个 m 值。然后最后他既然问他绝对值，我们连正负都不需要考虑了，那么因为正切值是 n 比 m， 等于 b 比一，那么他问 n 比 b， 我 们通过一项就得到 n 比 b 的 绝对值，就等于米的绝对值， 所以这题就做出来了，那么这个题就选 c。 想要完整解析和试卷答案的可在评论区留言。下个视频我来讲第八题，你选什么呢？

各位老师同学，家长们大家晚上好，今天十二校联考和南开高三一模数学试卷也新鲜出炉了，之前呢，河西和和平的试卷难度相当大，所以这次呢，给我们打了一个强行记，南开和十二校联考并没有我们想象的那么难， 我们这份卷子呢，南开的一模基本上和整体难度呢，中等偏上一点 啊，对于很多同学们来说，选择和填空是非常有利的，也给我们啊增强了一部分的高考备战信心。我们接下来看一下这个选择题。第一个是一元二次方程， x 方等于一 和集合的并集啊，选最多的。第二个，充分必要条件否等于零的时候， why？ 什么为偶函数？ cosine 为偶函数，那否的取值比较多，所以少推多或者小推大都可以 解出来。第三个呢，我们根据常规的啊，这个题考的是零一分界线画画图，所以基本上 abc 的 大小啊， cba 一 眼就可以看出来。然后第四题， 这个题考的是一个基偶信，那么在基偶信里边，许多二轮复习的同学们可以记一些技巧，比如说我们在看一些函数图像的时候，这些图像带来的解析式，我们可以把一些偶数部分给删除掉，比如说 图上为奇函数的时候，我们会很快的发现 a， c 不是 奇函数啊，因为 x 方是偶，那下边呢，也是偶， 上边一个 g 一个 g 哎，为偶，所以它和 c 选项啊， x 方更不用说，更是偶函数，所以都可以直接排除。那 b 和 d 呢？自然通过我们题上最重要的带点啊，把 e 带进去，看看两个分母哎，哪个更接近于这个 图上的一个外值，就选哪个就好了。六个这个题啊，也是 最近考这个残差平方和越小模拟效果是越好的啊。其他的话，回归方程，回归直线啊，首先要注意中心点，样本数据点的中心点，他并不一定 在限行回归上，这句话是错误的啊，我们的 x 八 y 八是一定在限行回归上的，所以正确的是 b 而不是 a。 许多同学看到这个啊，不是决定性的表达，就选了 a 啊，这个是大啊，科学的 c 呢，样本数据点不一定要经过 d， 这个 r 也非常容易错它的相关系数 r 的 绝对值啊，这个小概念一定要记牢了，最近考这个相关系数和参差乒乓和模拟效果都比较多。 第六个题的话，是经典的三角函数的对称轴体，由对称轴我们可以求出来 f 三分之二派等于二的时候，可以发现 a 大 于零的时候， a 是 二， 那 a 是 二的话，我们解决斐的时候，记住不能带中心对称点啊，一定要带对称轴，所以把对称轴带进去，用对称轴公式可以求出来斐的值。哎，也注意一下斐的取值，然后再把点带进去。哎，就求到这个题了 啊，在 a 和 c 选项上，一定要注意，我们的 a 它是大于零啊，斐是一个固定的，所以你算下来之后啊，应该倾向于 a 选项啊， d 选项呢啊，第七个题呢啊，这个题不等式考的非常良心了是吧，把一些点啊，有的同学喜欢负值法也非常好用啊。 d 选项 a 减 c 大 于 b 减 d， 左右移项 a 减 d 和 c 减 b 啊，并不能比较大小对吧？ 啊，我们怎么知道他们两个啊，差多少呢，是吧，所以这个地角结论不成立。第八题呢，这个考了一个呃，立体几何的一个小创新题啊，就是让你想象一个翻折的过程，我们把平面图翻折成立体图，让你自己想象一下。 其实呢，画完图之后， a a 撇就是整个啊，你的投影所在的这个这个位置啊，你就可以看到 a 撇，在整个翻折的过程中， a 撇的这个位置究竟在哪里？那下列说法正确的是啊， ab 和 cd 直线， ab 与 cd 直线，它整个翻折的过程中，肯定在中心 这个垂直的面上啊，有一个线面垂直，对吧？嗯，线面垂直的话，就可以得到 c 选项。第九题呢，也是经典的双曲线和 圆啊，因为河西和和平考的是准线双曲线，那我们上次说了， 双曲线和圆和直线，还有抛物线，它们四个都会交叉着啊，现在融合知识点了，所以这道题就是经典的双曲线和圆的问题。当我们通过画图啊，这个题比较难的就是你先要把题了解出清楚， c 为外轴啊， c 为十轴， c 的 十轴为直径，那这个时候呢，圆的牵线哎，做出来之后，我们得到三角形的面积是四 a 方。当你画完整个图之后，我们利用双曲线的第一定义啊，差为二 a， 你 会得到 一个长 p f 一， 一个短的 p f 二四 a 减去二 a 等于二 a 啊，这个的话啊，可以通过人家说的这个直径啊，直径是十轴，十轴也就是二 a， 那 知道它的十轴是 二 a， 我 们能得到交于点 p， 它的面积是四 a 方，整个三角形，它的面积是 二四和二倍，根号五 a 啊，这个也就是 考了一个中位线啊，中位线的话，从 o 点到这边，我们会发现四 a 的 一半也是二 a， 那 这个小三角形呢，是非常关键的，在这个阴影小三角形中，我们会看到一部分 c 的 存在，然后小 a 也在这边，然后这边呢是 f 一 到 a 做的一条切点，切点这个长度呢，其实我画出来的这个是二 a， 也是 b 啊，所以整个这个双曲线，他考了一个我们熟悉的勾股定律，一二根号五的勾股定律，所以离心率啊，自然是和根号五相关，也就是根号五了啊 啊，选择题呢，并不是特别难啊，第填空题，第十题考了一个共项负数，共项负数需要注意一下啊，换号就行了。 然后第十一题，二项是展开式，考了一个长数项，也是基本套公式之后直接计算，注意一下符号，尤其是有符号和有这个分数，把 x 分 之一变成 x 的 负一次就可以。 第十二题呢，这个题考了一个过点 a， 即圆与抛物线啊，我们刚才说双曲线和抛物线啊啊，双曲线和圆，圆与抛物线，这些东西都会交叉融合，所以这个是今年的一个新的考向，大家可以关注一下 他的一个焦点的直线，被直线被圆截得的弦长为多少？被圆截得的弦长，我们通过画图，首先画一个简单的抛物线，然后呢，我们找到他的准线，再画出这个圆，然后找到他的 这个被切的弦长啊，很多觉得，哎，弦长，想自然而然会想到弦长公式是吧？啊，这个题呢，可以先通过连力啊，求到这个点坐标，再然后呢，你也可以想象到弦长公式啊，想到点到 弦的距离等等。但是其实当你画完图之后，想想我们之前说过的这个点，它的一个通径的长度就是 c 兜二， c 的 一个坐标啊，给找出来的 a 分 之 b 方的一个 东西啊，每一个啊圆锥曲线它给的这个长度都不大一样，所以这个题里边给的是 二兜四，所以知知道这个二兜四，我们会很清楚的画图，所以说画图最好是准确一点，这样的话我们就直接能得到一根号二，也就是 二倍根号二，也就是四倍根号二，对吧？哎，因为这个长度是四，他的高也是四，我们刚刚说的是比例啊，所以整体的话嫌长一眼就可以看得出来，这样就画好图。 第十三题，这个概率啊，考的比较常规，第一个他是晋级的概率的话，从里边选的话，我们正常 将哎分类，分类之后先相乘再相加，对吧？啊，第二个，考了一个条件概率，那条件概率的话，自然而然把它的条件哎放到分子分母的话，是我们刚才算的这个晋级的总概率就可以了啊。第十四题， 十四题，这个向量啊，是今年一模里边目前考的，相对来说比较好画图比较好解出来，应该是答题正确率最高的了啊，如果没有坐下来呢，可以想想自己画图方面，或者说定比分点方面，或者说理解题意方面 啊。首先呢，要注意的是，知道这个角 a 是 三分之派的话，那你就自然而然得到这个六十度，他只要每次告诉你这个角度，肯定是想让你 要不解三角形，要不就是利用它看投影啊。第二个， b， d 和二 a， d 以及二 c， e 和三 e， d， 像这种 比例关系，我们自然而画图的时候要非常清晰，二倍的 c， e 等于三倍的 e、 d， 最简单的就是 c， e 是 三 e， d 是 二倍分数啊。所以 ab 是 a 向量， ac 是 b 向量的话，我们用 a、 b， a， c 正常两个基底表示这个 a、 e 向量啊，很明显， d， e， c 三点共线的时候，用我们的共线定律，哎，直接就可以得到 a、 e 的 表达式是吧？哎，五分之三，五分之二左右两边对不对？然后记住交叉，然后 再把我们的 a、 d 看看是 a、 b 的 几分之几，三分之一，所以就可以顺利算出来。 第二个呢， a， b 是 三， a， c 是 四的时候， a、 e 乘以 b， c， 这个算数量积呢，它的方法本来按理来说是比较多的，可是我们发现看投影的时候并没有那么好看，哎，许多把投影还要往下放，哎，这个有点不大合理啊。所以我们还是用刚开始算出来的 a、 e， 它的坐标直接 b、 c 转化一下，哎，用 b 减去 a 就 可以轻松得到里边的 a、 b 向量啊。数量积，数量积，记住起乘这个 cosine 夹角就好了。第十五题，这个题考了一个，这题是选填里边最难的，它考了一个 二次函数啊，二次函数在区间三到四 b 区间上至少有一个零点的问题啊，至少有一个零点的问题。这个题呢，他考的考点比较多，如果深究的话，他考考的可以考 零点函数也不等式啊。其次，你可以画图的话，通过二次函数画一个简单的图，哎，他说至少有一个零点，那是不是我可以画一个零点或者两个零点左右两边零点分别是三和四的时候，然后你把这个二函数画出来，哎，基本上找找他的 对称轴，然后，哎，感觉一下这个限性规划啊，限性规划的话啊，有的选秀部分学了一部分限性规划，他就转化成不等式啊。第三个的话，这个题还可以用科西不等式解决， 通过求他的导，哎，我们知道零点的话，哎，和导数也是结合比较多的， f x 撇等于二， x 减 a 等于零，那我们自然而然可以把这个 t 方减 a， t 减 b 等于零给 找出来，那这样的话，你就可以把 b 的 式子和 a 的 式子它都可以找出来，只不过都还是还是含有 a 和 b 的， 那其他的话就要用到科西不等式的变形了。但是呢，好多同学没有 接触过这个科西不等式，或者是这个这儿的变形其实不大好变，它还得需要一定的凑啊补啊，在考试的时候我们很难有这个时间 啊，所以这道题呢，其实还是有点难度的啊，他可以用最后一个距离公式来解决，相信大部分同学会比较好接受一点。距离公式我们也知道啊，初中的原理根号下 a 方加 b 方啊，就是 c 嘛，对吧，所以这个 c 也就是我们说的到原点的距离，那既然距离是 a 和 b 到原点的距离的话，我们直接就求原点到这条直线，哎，因为他正常是一个 一元二次方程，那我既然把它看成一个直线的话，哎，那它的 t 方和 t， 哎， a 和 b 就 自然而然变成我们以前学的 x 和 y， 这样的话，找找点到直线的距离公式，我们就可以把它的距离算下来。距离算下来之后，可能看起来形式比较复杂，是吧？形式比较复杂不重要，重要的是我们题上告诉我们了一个非常简单的说， t 啊，也就是零点，哎，它在三到四上，那我们算下来的这个 距离，他想要最小对不对？那你当然是让 t 最小了，所以 t 就是 三的时候，所以返回来你画图的时候也可以把三当成一个零点来画就好了啊。所以 t 最小是 三，我们自然而然带进，带进去根号下 t 方加一就是根号十，然后整个距离啊，就得到了九，呃，九倍根号十除以十啊， 那人家题上说的是距离的平方，所以我们自然而然也别忘了平方就好了啊。这个题啊，非常有难度，所以需要我们一步一步接受， 然后我们来看大题的解答题啊，大题解答题非常的友好，第一个啊，第一个题，它正常是我们的常规边角互化啊，许多同学看到这种分式想着，哎，有边有角优先，边画角的话画角，哎，其实这种分式，我们说分式更倾向于 左右交叉，对吧？上下左右交叉交叉的时候，其实是它的平方式啊，你算下来绝对是平方式，尤其是这种，看到，哎， c b， 所以 我们角化边就可以解决啊， 这样的话，我们就求出来余弦 cosine b 了啊，这也是一个小关键点，这样的话可以节省你做这个题的时间， 嗯，所以一般来说解三角形呢啊，就是需要我们第一步的时候想清楚到底是先做哪一步或者怎么去开这个题，然后才能写着比较顺手一点。 题上告诉了一个小 b， 然后告诉了 a 和 c 之间的数量关系，那第二个题求小 a 的 值，我们直接用 cosine b 带进去哎，根据 a 和 c 的 哎， 比例或者是分数，我们直接可以用口算 b 来解决啊，利用预先定例公式，第三个题是一个正常的核查公式来分开，分开慢慢算就可以了啊， 哎，考察到了一定的计算强度啊。第十七题也是同样的，他没有进行题型的创新啊，不像和平和西考那么难 考了一个垂直啊，线面垂直和点到面的距离以及平面平面加了余弦值，非常常规的三道题啊，所以我们在这就不多说了，大家注意一下，一般啊，只要你用心一点啊，常练一练都能解决。第十八题呢，这个椭圆 提倡给我们了一个 sine， p f e f 二啊，这个焦点三角形的一个比例关系， sine 的 值等于三分之一啊。我们画完图之后，要知道这个也是考了一个椭圆的第一定义啊，椭圆第一定义三份，哎，一份总共是四份，四份加起来是 二 a， 对 吧啊，然后题上给的是短周的长啊，短周长，记住是是二 b 不是 小 b 啊，所以二 b 是 二 b 就是 一，哎，好多应该也在这容易失误啊， b 是 一的话，哎，整体带上进去， 我们发现他说垂直，那就是通近的一半是吧，通近的一半的话，这个是 a 分 之 b 方，哎，下边呢，是二 c， 所以 我们能找到 a 分 之 b 方和二 c 之间的关系，通过他说的这个一根号一三和二 b 根号二的勾股定律的关系，我们也能找到他的一个 啊，比例，比例啊比例，根据比例我们就可以算出来， a 是 根号二啊， c 是 一啊。这个第一题稍微有一点点难度，第二题呢，整体求 k 的 值呢，计算量偏大一点啊， 它的图不是很难画平行四边形存在性啊，存在点 c 使得 o a b c 是 平行四边形，而且给到了对角线的比例关系，让我们求这个直线 k 还是 哎，老生常谈的问题。第一个存在性问题的话，我们自然而然要连力啊，连力这个，呃， 直线和椭圆连立完了之后啊，伟大定律求出来。伟大定律求完之后，我们利用它的 y 一 加 y 二啊，也就能自然而然求到它的钟点公式 d 的 坐标，钟点公式 d 的 坐标知道了，你 a b 求出来，知道终点 d， 那 o c 不 就也是 d 是 终点嘛，所以知道 o， 那 自然而然 c 坐标也就出来。其实到这个这里边， a、 b， c， o d 都出来的话，那整个 o c， a b 的 长度哎，你就都会解决了。然后是根号三份就可以求出来这个 k 的 值了。 后边的话，也是需要我们去连立一个啊，连立一个椭圆和另一条直线，也就是它的 o c， 所以 这个题考了一个两条直线和椭圆连立啊，不过这个是一个焦点，因为另外一个焦点在 过啊，过远点啊，过远点的直线里边还需要注意的是，我们的 o c 和 ab， 它的一个斜率乘积是负一方，哎，分之 b 方啊，这个如果不知道的同学下来可以查一查这方面到底是怎么回事，应该也是有所耳闻的吧。 然后呢，我们来看看第十九题这个竖列题，竖列题呃，稍微有一点点难，但不像和平啊，和谐那么难啊， 所以整个南开的这个一模难度呢，我们说啊，非常的适合今年的这个高考啊，希望高考能够稳住这个节奏，给大家带来非常光明的一个效果啊， 当然要增加一定的难度，因为只有难度才能区分大家的分数啊，这个是对我们其实是比较有利的啊，所以希望卷子呢啊，可以难，但是不用那么难，对吧？啊，就是该正常发挥就好了。 当我们看到这个第十九题呢啊，题上给了一个首项是二，然后两个连立之后，求到了 a n 和 b n， 重点是这个第二题啊，第二题的话，看到这个式子的时候，其实我们是可以把 c n 写下来的，对吧？ c n 写下来之后啊，他既然有分数，那我们想到列向相消，对吧？列向相消的话，如果你熟悉一点的话，借过这个，那你就知道找他的系数，然后列向相消过程，然后求这个 前 n 向和，求前向和之后，你的 s n 就 求出来了， s n 求出来 s 二 n 加一和 t n， 它的整个式子也是可以写出来的，写出来之后化简化解完了之后有一个不等式，要注意，这是 n 的 最小值， n 是 属于正整数的，所以下来只能选八二，不能选七啊。第三个的话， 第三个的话，这个去年还有二三年的高考题都啊，考了这个啊，交叉是吧，插入这个数啊，插入这个数，今年一模里边也有这个。呃， 考题只不过考的是选择题是吧？啊，他差这个数之后，哎，成为了一个新的数列。问你 i j 他的求和，那求和的话，这个两个求和符号其实也是一样的啊，只不过分开写和一块写它是一样的原理。 这个题呢，它需要我们用错位相结法的，因为当你写下来这个呃式子的时候，你就会发现它是一个 等差乘以等比的啊，或者是呃这种形式，那我们自然而然求和公式算它的时候就可以解决下来。这个第三题稍微有一点难， 然后我们看一下最后一题，最后一题的话啊，第一个题上的难度比较大。嗯，他把我们正常求的切线方程呢，改为了这种斜率，是非常规的这种 有一的式子的啊斜率，那好多同学可能平常简单的算惯了，啊，一的算惯了，零的算惯了，那这种三度 f 三的不一定考试的时候哎，能够顺利拿下啊。所以一部分啊，需要打基础的同学还是需要看看这种 求方程的题，一定要稳稳的拿下，正常利用我们的点斜式求导，然后点斜求导就好了啊。第二个一的条件之下，那我们知道 低的时候算出来 a 是 一啊， f 什么什么大于什么横沉力的问题，求参数取值范围啊，这个题呢，横沉力范围求参数取值范围。起码你第一步你得把它写下来，对吧？写下来的话 左右两边倒倒顺序，然后一意向自己就能看到。看到一个式子。看到什么合适的式子呢？那当然是 参数放一边，或者参数和数字放一边都可以啊，看你个人。 那当你选完之后，自然而然又要二阶求导对不对？设一个新的 g x 函数，哎，看 g x 的 函数的单调性啊，这单调性洛 x x 减一什么的都是我们平常练的一些内容啊，零到一上递减，一到无穷上 递增，那我们就有了一个最小值和极小值，是吧？零的时候最小值极小值，所以你 k 的 取值范围自然而然就找到了，因为这个数它最小值我们找出来， k 减一就是那个最小值，所以 k 是 小于等于一，那一减一小于等于零，所以整个 g x 我 们利用这个两次求的 啊。当然最重要的就是第一步，他这个横层面的变形，你要学会怎么变，以及变化中的一些技巧了，是吧？第三个题目的话啊，也是比较有难度的，今年考这个零点非常多，证明两个零点 x 一 小于 x 二，满足一个不等式啊。 那我们每次分析这个比较长的不等式的时候，看到 x 一 x 二肯定是比较喜欢的，哎，起码没有 x 三，对吧，哎，不像别的有三个零点，两个零点的题 就是两个零点进行大小比较，那 a 分 之二这个参数我们自然而要给他带进去啊，因为 a 分 之二也是我们刚才说的，既然 a 分 之二比较特殊，而且它又是一个啊，不确定的数值啊，告诉我们 a 的 值，那我们 a 分 之二 当然就知道 f a 分 之二小于零了，你把它带进去之后就能化解，化解之后知道 x 一 是小于 a 分 之二的，这样的话你就知道四个数，哎，这里边的两个零点，还有中间他给到了两个啊，定域范围内的两个 x 的 值。 啊，是参数的啊，参数的一个变形， a 分 之二，对吧？啊，那 a 分 之二知道了，它的对称轴呢？ a 加上二也知道了，那你另外一个 二 a 加二，再加上 a 分 之一，自然而然就是在这个地方。那整体怎么求它和 x 二 x 一 之间的大小证明呢？那我们知道 x 一 x 二是零点，所以 x 一 x 二实际上就是告诉我们 它 f x 等于零，对不对？那你就利用其他两个数，这个 f x 小于零就可以了，那小于零的话，证明它的单调递增递减性，所以你就可以利用 x 二大于这个数，它怎么大于？那你我让 设的这个 x 三这个数，只需要让它的 f 小 于零就可以了。啊，那第三个题呢，就了解一下这个思路，起码能让大家明白，这份题他考的一个整体的试卷结构非常的合理， 大家也需要珍惜时间，然后把这个高考里边的常规题型，像这份题就非常值得大家来做一做，前面的基础用来巩固后边的难题，也用来加强对高考视觉结构的一个啊熟练度吧。啊，希望大家高考顺利。

大家好，我是宋老师，今天咱们来评价和解析一下刚结束的二零二六年太原市一模的数学卷。 我也是昨天晚上啊，现实做了一下这套卷子。先说我的评价，这次的太原市一模卷子真的是太优秀了，看得出来是下血本了啊。 可以说呢，这是目前我见过的卷子中，模仿去年高考题最像的一套卷子也不为过。强烈推荐咱们高三的学生做一下往年的太原一模呀，可以说是愈肤陈旧，毫无创新，经常被我吐槽。但今年的这个 卷子啊，创新度极高，区分度呢也挺好的，题目非常灵活，与高考的这个导向也是非常吻合的。 整个卷子的运算量安排呢，也十分合理，不像某些试卷无脑堆积运算量。下面我们来就欣赏一下这套卷子， 对于其中的难题，我会从如何找到解析思路这个角度来做一下解析。这份卷子的选填啊，和他的前三道大题，基本上难度是跟去年的新高考二卷是差不多的，这也是说他模仿的比较像的原因之一吧。 他的后两道大题啊，则是比较新颖，难度也比较大。来，咱们现在主体看一下这道卷子的前六道题啊，都比较简单，我就不多说了，咱们从啊第七题开始看。那么第七题其实也是一道比较常规的问题，他考察了函数的对称性 还有单调性问题，其中，呃，需要构造辅助函数呢，也比较简单，你看他是不是在 x 属于负无穷到零时， f， x 加上 x 乘上 f 撇 x 大 于零，那么很显然，他是不是在告诉你某个函数的单调性啊，那么这个函数是谁呢？谁求导长这个样，那么很显然是不是 x 乘上 f x， 我 们设其为大 f x， 那么是不是就说明了大 f x 在 负无穷到零上是不是一个单调递减的？而他又告诉你 f x 加一的图像，关于负一逗零对称，那么把负一给它带进去，那么这个地方是变成零， 那么所以呢，这个函数 f x 就是 一个奇函数，那么 x 是 不是也是一个奇函数， f x 也是一个奇函数？积乘积是不是就是偶？那么所以它的视域图大概就是一个先增后减的这样的一个图像模型， 那么这个考察套路是不是很常规？那么下面我们来看一下 a、 b、 c 的 大小关系，那么 b 呢，是不是就是大 f 等于二， c 就是 大 f 贪镜的一，那么根据这个图像啊，是不是距离外轴的到外轴的距离越远，是不是函数值是越小的？所以我们可以对这三个数做一个估值处理，那这个数呢，是个零点五，那这个数呢，是大概是个零点六九， 那么贪镜的一呢，是贪镜的五十七点三度，那肯定大于贪镜的四十五度，是不是它是一个大于一的数啊？那么所以它的大小关系是不一目了然。 而第八个题呢，就是有一定的创新性，他考察了一下蒙日圆，他既告诉了你蒙日圆的方程啊，是不是 x 方加 y 方等于 a 方加 b 方，他也告诉你蒙日圆的一个性质，也就是椭圆上任意两点的线段为直径的圆， 内涵或内切于该蒙日元。现在说已知点 a， b 是 椭圆上的任意两个点，那么动点 m 呢，是在一条确定的直线上， 若角 a m b 小 于九十度，横成立，让我们求啊，离心率的取值范围， 那么要求离心率的曲值范围啊，我们是不是就要应该要去构造不等关系，而听不懂，又告诉你这个角是不是小于九十度的，那么等于九十度呢？是不是我们可以联想到 圆的一个性质，那就是直径所对的圆角是不是等于九十度？那么现在呢，角 a m b 是 不是是小于九十度的？说明这个点 m 啊，是不是在以 ab 为直径的圆的外面，是不是才能才可能啊？而题目中呢，又告诉你， 椭圆上任意两点为直径的圆，都内涵或内切于该蒙日圆，所以呢，我们是不是就可以把这个已知条件就可以转化为点 m 横在蒙日圆的外面，那么进而呢，我们是不是就可以把这个已知条件 转化为了？直线是不是与蒙日元之间的位置关系应该是相离的，因为动点 m 是 不是也在这条直线上吧，那么也就是说这个条直线上的点是没有点在蒙日元内或蒙日元上的， 那么从而将问题是不是就转化为直线与圆的位置关系？那么所以呢，这就可以得到了是不是圆点到这条直线的距离 d 是 吧，应该是大于 摩日圆的半径，所以 d 应该要大于根号下 a 方是不是加一？而 d 呢，是不是又可以用圆点到直线的距离公式？那么是不是就变成了负十的绝对值？比上根号下三方加四方 是吧，就应该等于二，所以 a 方是不是就可以解出它的范围来，是不是小于三？当然了， a 方是不是还要大于一？因此我们的离心率的范围是不是也就能够求解出来了呀？ 好，那么再往下看，第九题啊，这个题是不是就是考察了一个统计当中的这些平均数啊？中位数，这个比较简单， 那么第十题呢？这道题，第十道题啊，这道题其实最简单的解法，最简解法呀，就是列局就可以啊，那我现实做的时候呢，懒得去给他，去给他构造新数列，如果正常的做法，应该是找不动点，利用不动点法来构造他的通项公式。 但是这个题你通过简单的列局，我们是不是就能够发现？你看，但是要注意哈，他是前 n， 向基是 p n， 那 么所以呢， p 一 是不是就应该等于一减 a 一 应该就等于 a 一， 所以我们的 a 一 啊，是不是就能解出来它是等于二分之一的？ 我把 a 一 带进去，就是令 n 等于二，是不是就是呃， a 一 乘 a 二，是不是等于一减 a 二，然后呢，就能解出二分之一个 a 二是不是等于一减 a 二， 也就是二分之三个 a 二是不等于一，所以 a 二等于三分之二。那么同理啊，我们也可以解出 a 三等于四分之三， a 四呢，等于五分之四。所以啊，当你碰到了竖列题不会做的时候，首先应该要考虑的是不是列距，甚至有些情况下，我们即使会做，我们也可以先用列距找找它的规律，不要轻易的去对它进行放弃。 那么一旦解出呃 a n 的， 那么我们是不是你看 a n 是 不是就应该等于 n 加一分值 n 呐，那么有了 a n 了，是不是也就很容易解出它的 p n 了？有了 p n 呢，是不是也就很容易的算出来了一个 b n 啊？ 所以第十题是不也是一个比较送分的题？第十一题啊，他的难度呢，也不是特别的大，嗯，也算是较为常规吧，他是属于两个球的切相切的问题。那么咱们看一下题，说在棱长为二的正方体容器当中放了两个小球， 然后呢，是不是两个小球的本面积分别是 s 一 和 s 二？那么这个题啊，就有点像是去年的新高考二卷的呃，那道题，那道填空压轴题吧， 是不是在一个圆柱当中是不是塞了两个球？那么问这两个球的呃，半径的最大值好像是， 那么在这是变成了一个正方体，那么咱们画一下图，他们看一下 a 选项，说当 r 一 等于 r 二时， s 一 的最大值是个多少？那么要想在这个正方体里塞的这两个铁球半径尽可能的大， 那么只可能是这样的放置的方式，是不是一个是挨着一个角，另外是挨着这样一个对面的这个点，这个顶点的这个角，这样呢，是不是给他塞了两个铁球 啊？这是不是塞了一个铁球？那么这两个球的球心啊，都势必是在他的体对角线上， 是在他的体对角线上。那么解这道题的一个核心在哪里呢？其实就是利用了这样的一个技巧，任意的一个正三棱锥当中里面如果放一个内切球内，这个内切球的半径与球心到顶点的距离 之间的比值横为是一个定值，只要你这个三棱锥是不是一个确定的，正三棱锥是确定的， 所以就利用这样的一个性质来去寻找它们之间的一个等量关系，那么在这里正三棱锥是不是相当于它们的侧棱之间是不是都是相互垂直的？那每一个侧棱的长度是不是都是二二二，那么所以这里面放了一个球， 那么咱们假设它的球的半径是个耳，那么耳，我们再来计算一下它的 半径与它的高，因为半径与球心到顶点的距离的比值是固定的，那么半径与这个锥体的这个高的长度比值是不是也是固定的？ 所以我们来先计算一下这个三能追的高，那么用等体积法是不？三分之一乘上二分之一，乘二乘二，再乘二， 应该等于三分之一乘上四分之根三倍的 a 方，因为底面是不是一个正三角形，它的长度边长啊？是二根二乘上八，再乘上它的 h， 所以我们可以来计算一下 h 的 值， h 是 不是就应该等于二比根三？那 r 的 计算是不是也可以用等体记法？那么也就是三分之一乘上二分之一，是不是乘上个八应该等于三分之一乘上它的是不是表面积之和 再乘上半径啊？这个表面积是不是应该是二加二加二，再加上四分之根三？一方的话，是不是是一个二根三 再乘上二，那约掉这是不是成了个四，然后四等于六加上二根三倍的二，所以二呢？是不是就应该等于二除以三加根三， 所以二比 h 就 应该等于二除以三加根三乘上一个根三除以二一约，是不是这就应该等于一个一比上 一加上根三，所以也就是说 h 等于一加根三倍的二， 那么有了这样的一个比例关系，我们再来计算这道题啊，其实这四位都非常好解决的，就是算起来可能稍微有点麻烦，那么 a 选项说当他俩的 半径相等时， s 一 的最大值是个几，那么是不是只需要计算此时的一个半径啊？那么这个时候是不是相当于我们这样的继续膨胀，这两个球是不将会切于这个体对角线的终点处， 是吧？那么这个时候呢，他的耳和这块的比值是不是固定的，一直是不会发生变化的，因此呢，耳呢，与体对角线的一半的比值是不是也是一加根三呀？那所以呢，耳 比上根三是不等于一？比上是不是一加根三，然后就等推出，而是不是应该等于根三除以上的一加根三啊？那么这个时候是不是可以计算 s 一 的这值啊？ 那么第二种情况呢，是说当 r 一 去最大值的时候， s 二的最大值是个几？其实还是利用这个模型， r 一 要想取得最大，那么是不是就就是一个正方体的内切球？ r 一 是不是等于一的时候， r 一 等于一的时候，是不是在这里面给它塞上？在这个时候啊？ r 二第二个球啊，是不是只可能是在，你看是不是在这样的一个状态，那 r 二呢，是不是只能挤在这个角角上？ r 二是不是只能挤在这个角上？ 那所以呢，这个时候我们列的等量关系是不是就应该是等于什么？是不是？呃，大，这个大的半径是一，那么这块舍他的半径小的半径是二，那么是不是就变成了一加上一加根三倍的 二是不是等于根三？所以呢，二是不是等于根三减一比上根三 加一啊？嗯，化解，我就不化了哈。所以 b 选项其实可以算出他是对的。那么对于 c 选项呢？说 r 一 加 r 的 最大值，那么 r 一 加 r 二日常取的最大值是不是肯定也是这样？斜的，顶的， 斜对角的，这样这样放着的，对不对？所以我们还是可以利用刚才的这样一个性质，列出他俩的等量关系来。也就是说，呃，这块的长度 设第一个球的半径是个 r， 还用这个矢图吧。第一个球的半径是不是个 r 一？ 第二个是不是 r 二？然后它俩是不是相切于这个位置？ 两个球是不是相切于这个位置？那么 r 一 比上它对应的这块的长度和 r 二比上对应的这块的长度 是不是都是等于呃，一比上一加根三的呀？所以呢，我们就能拿到能量关系，一加根三倍的 r 一 加上 r 二是不是应该等于二根三的？ 因此我们会发现，在这种情况下， r 一 加二是不是恒为定值的？所以 r 一 加上 r 二应该等于二根三，比上个一加根三，那再给它有理化一下，是不是根三减一，根三减一， 那这个地方是不是变成二了？这个二和这个二一约是不是等于三减去根三啊？所以二一加二等于这个时候最大的时候应该是个三减根三，三减根三呀。去计算一下，与这两个值比较一下，会发现，会发现呀， c 选项的这个值是要大于三减根三的，所以 c 选项是不正确的。 而对于 d 选项呢，大家要小心一点，他要求的 s 一 加 s 二的最大值，这个时候可千万别把它想象成了什么，就是两个半径相等的时候取的最大，为什么呢？你看，相当于我们现在的已知条件是 r 一 加上 r 二，是不是应该等于三减根三为一个定值， 而我们要研究的是四派倍的 r 一 房加 r 二房的一个对值问题啊。那如果用基本不等式的话，你看，我们是应该给它写成了可以利用了均值不等式的一个性质哈。呃，一个一个均值不等式吧，就是 二分之二一方加二，二方永远大于等于二分之二一加二，所以你这个二一和二二相等的时候，其实取得的是最小值，而不是最大值。那， 那这个情况不能用基本不等式，该怎么办呀？那么我们是不是就可以给他利用了二次函数给它统一下变量是吧？那么统一下变量，你想想，二次函数要么是不在对称轴处取得对值，要么是不在两侧是不是取得对值啊？ 呃，所以呢，这个时候两侧的情况是什么？所谓的两侧的情况是什么情况呢？就是 r 一， 比如说等于一，那 r 二是不是等于二减根三的时候， 那么这个时候是不是取得了最大值？他是利用了二次函数取得对值的条件，是不是来给他做的研究带进去验证一下啊，你就会发现 d 选项也是对的，所以最后的答案其实选了 a b d， 所以 这个题啊，思维难度其实并不是很大，但是主要是这个数据可能不太好看。那咱们下面再看填空题， 填空题啊，两个都前两个比较简单，第四个你看是不是又出来了一个创新的题目？所以呢，你看看的是不是比较唬人的，然后给了你一个什么多相似屁什么，是吧？啊，我就不读了，然后满足屁，如果满足了屁 n 口三 x 等于口三 x， 我 们就把屁小数乘以一个新定义型的问题，那么给他给举了一个例子 是吧？二 cos 方 x 减一等于 cos 二 x， 所以 p 二 x 是 不是就二 x 方减一？那么有三倍角公式呢？是不是就能得到了？ p 三 x 等于四 x 方减三。现在已知函数 f x， 你 看这个家伙在负一到一上 有三个不同的零点，那么分别记为 x 一 x 二 x 三。那这个题是还是非常不错的一道题啊，至少一开始让人看了，给你一个心理的震慑作用。 但事实上呢，其实计算下来他的运数量也不是很大，也是模仿型的问题。那么咱们去关注一下，是不是八 x 方减六 x， 他 俩的系数是不是正好是四比三？所以呢， f x 的 零点问题你看，并且他的零点是不是还是负一到一的？所以我们可以设， 你看 f x 等于零，是不是就等价于四 x 方减三 x 四 x 三次方减三 x 是 不是应该等于二分之根号二，那么令 令，我们做一个三角还原是不是可以啊？令 x 是 不是应该等于口三 t 那 么有三个根嘛，所以 x 一 等于口算 t 一 x 二是不等于口算 t 二 x 三是不等于口算 t 三？所以是会拿到了是不是四倍的口算 t 的 三次方减去三倍的口算 t 是 不应该等于二分之根二？ 而这个是不是利用切比穴这个多相似，我们就能知道它是不是正好是等于口三三 t， 所以 口三三 t 是 不是等于二分之根二？那我们的三 t 应该等于什么呢？是不是应该等于正负四分之派 加上二 k 派，所以 t 呢，是不是等于正负十二分之派，是不是加上三分之二 k 派？ 那么在这里啊，我们给 k 负值，所以得到了 t 一 呢，是不是应该等于十二分之派？ k 等 k 取零吧，是不是 t 就 得等于十二分之一 k 取？要是取负号呢，是不是还得等一个负的十二分之一？但是大家要小心，口算十二分之一和口算的负的十二分之一的取值是不是一样的呀？所以我们就取一个就够了， 那么再给 k 取值 t 二呢，是不是应该？至少我们给 k 取值的效果要满足啊？口算 t 的 值是不是有三个互不相同的值就可以？ 所以呢，给 k 如果取个正一的话，那么是不是就会得到了 t 二是不是应该等于三分之 二判，是不是减去十二分之判，是不是应该等于十二分之七？判？ 如果 k 等于一，前面取负号呢？取正号呢？是不是三分之二派再加上十二分之派？那么这个是不是应该等于四分之三派？所以啊，我们现在是不是 就要把 x 一 x 二 x 三和口算十二分之派，十二分之七派和四分之三派是不给他做一个对照，对照上去就可以了。 那 x 一 是不是最小的？那么在这里是不是数值最小的就是谁啊？ x 一 就应该等于口三是不？ t 三是不应该等于负的二分之根二，那么 x 二呢，是不就应该等于口三是不十二分之七派？ 那么 x 三呢，是不应该等于口三是不十二分之派？大家要注意，这两个角之间是不相差的，是二分之派， 所以给他代入进去，是不是 x 一 方减 x 二方减 x 三方就应该等于二分之一减去括号里面是不是口三方？十二分之派 加减去口三二分之派是不是加十二分之派的平方？ 那么最后呢，这个地方是不是应该等他是应该等于三一方是不是十二？哎，这是个加号哈。三一方是不是十二分之二分之一？最后不就是负的二分之一吗？ 那十五题，十六，十七这三个题啊，都是非常常规的问题，其中十五题的第二位是不要注意一下，一个多解问题就可以啊，多解。 咱们来看一下第十八题，那十八题啊，这道题看着是不是乱七八糟的，这个线很多是吧？是像像渔网似的 对吧？但他的第一问比较简单，那我就不多说了，是 x 方减去二分之外方等于一，而第二问考察了个什么呢？他说啊，过点上面任意点 p 是 不是做了渐近线的是不是平行线？ 而 p 和 q 呢？是不还关于原点是对称的，那么做了两，呃，做了渐近线的平行线过 p 是 吧？做两条渐近线的平行线过 q 是 不是再做两条渐近线的平行线，那么让你求证它的面积为定值，那这是一个非常常见的呃，双曲线当中的二级结论。 那上过我课的所有的，不管是高二的还是高三的学生都会跟他们讲到这个性质的，其实因为这个性质用的非常频繁，那么这里面不但是他的面积是个定值，谁是面积是个定值呢？就是 这个这个四边形的面积是一个定值，那么怎么去正呢？他的正法可以使用什么？就是点 p 到两条渐近线的距离是一个定值，来给他做一个证明。 那么咱们不妨啊，设它是一个第一，一个是第二。然后呢，我们设设这个点，我们叫它 a 点吧，设这个点呢，我们叫它是 b 点， 那你看啊，如果我们能证明第一乘第二是一个定值，那为什么要证它是一个定值？因为它是一个很常见的二次结论啊， 那么我们就能够证明了，面积 s 是 不是等于一个定值，那怎么有推它来推它呢？你看，我们可以把四边形的面积用底乘高，是不是来进行计算，也就是等于 o a 的 长度是不是乘上 d 一 d 一 是不是数高啊？而 o a 的 长度呢，又等于 p b 的 长度， 而 p b 的 长度我是可以把它放在这个直角三角形中来进行计算的。我们设这个小角是不是等于阿尔法？那么 p b 是 不是就应该等于 d 二 除以 sine 阿尔法，而阿尔法呢？与两条渐近线的夹角，这个夹角啊，是不是互补的关系？ 与夹角互补，也就是说当双曲线确定的时候，两条渐近线是不是就是确定的？因此这两条渐近线之间的角度是不是就形成的角度是不是就是确定的？那如果我们设渐近线的倾斜角， 渐近线的倾斜角为贝塔，是不是这两条渐近线的这个角是不是是二贝塔？那么所以 sin r 法是不是一定是等于三二倍它的，也就是说这是一个定值，那所以啊， s 不是 等于第一乘第二，是不是除以一个 sin r 法，现在它是一个定值，我是不是只要能证明了第一乘第二是个定值就可以了，而第一乘第二是定值，怎么去证啊？是不是就直接用点到直线的距离公式来证？是 p 点为 x 零外零。那么 l 一 呢？第一的距离是不是它到 l 一 的距离？ l 一 的方程啊，是不是应该是等于 y 等于根二倍的 x l 二的方程是 y 等于负的根二倍的 x 二 倍的 x 零减 y 零的绝对值比上根号三。那么第二呢，是不是就是根二倍的 x 零加 y 零的绝对值比上根号下三， 是不是就应该等于三分之二 x 零方减 y 零方，而对数和虚线的方程已知是不是它很显然是不是等于二的 等于二的。因此我们就证明了是不是第二位它的这个面积是一个定值，这个大的面积。注意哈，人家要求的是 p q m n p q m n 的 面积是不是这个小的四边形的面积的四倍？那么这个题的难点是在第三位， 第三位啊，说实话，我在这个现实做的过程中啊，这道题我也是解题失败的，当时我尝试过用挖掘几何关系，但是呢， 呃，这个图实在是乱的不行，感觉像渔网似的，是没有太多的耐心去挖，再加上啊，一个思维的定式，总想的是用计算的方式，但是计算量实在太大，最后我就放弃了，然后我去做第十九题去了， 那么这个第三位的设置非常非常好，因为在这里他利用了挖掘几何关系的方式来去证明了这一点，就是这个形式，我们很容易猜想。咱们来看一下题说 t i 是 四边形内部的一个不含边界的点啊， 那这点了一个 t i 对 不对？那么他说 g d k 是 等于啊，呃， 一个求和啊，就是 f k t i， 那 什么意思呢？我们先把第一来看一看啥意思？第一是不是就应该等于 t c 等于 sigma？ 呃，上下标我就不写了哈，就是 f e t i， 那么就等于啊， t 一 f 一 加上 t 二 f 一， 是不是一直加加加，加到 t 五十个 f 一， 那么同理 d 二呢，是不是就应该等于等于 t 二？ t 一 f 二加上 t 二 f 二，一直加加加加到 t 五十 f 二。 那么在这里啊， t 点不同的 t 点之间是不是没有任何的关联性？就是随便取呗，你可以取到同一个点是不是也没有问题？所以他让我们证明的事呢，就是第一减第二是不是要小于一百， 那么就等价于呢？ t 一 f 一 减去 t 一 f 二，是吧？这一组再加上 t 二 f 一 减去 t 二 f 二，是不是这是一组一直加，是不是加五十组，那么它是不是要小于一百？那它这是不是代表的是一个绝对值的符号，那么这里面是不是有五十组？ 那么根据绝对值的性质，那么它的绝对值是不是很显然是小于 t 一 f 一 减去 t 一 f 二的绝对值加上绝对值倍的绝对值的？ t 二 f 一 减去 t 二 f 二，是吧？一直加是不是加五十组是不是小于一百？那么你只要里面的每一个是不是证明它是不是小于二，是不就可以？ 这一点是很容易想得到的，但是就是在证明的时候，你选择了方向，如果你选择了一个代数运算方向，那这个题是特别的麻烦，那，但是呢，如果从几何的 关系的挖掘，以及啊双曲线的定义这个角度，那反而就变得异常的简单，所以这个题出的特别的妙，不是让你一味死算，现在好多这个圆锥曲线大题， 呃，好多地方的一模啊，我看了一下，基本上预算量都是非常非常大的，那在这里你看思维量上去，你的预算量就会下来，那它是怎么来正的呢？它是做了这样的一个辅助线，你看， 为了能用上双曲线的定义，它把 t e f e 与双曲线的交点我们取作，比如说 c 点，那么我 再连接 c f 二，由于这个图形啊具有对称性，所以我们不妨设 t 一 f 二大于 t ti 吧， ti f 一， 所以我只需要来证明 ti f 二减去 ti f 一， 是不是是小于二数就可以了？而 t i f 负一呢，是不是又等于 t i c 加上 c f 一？ 所以呢，左边是不是就应该等于 t i f 二减去 t i c， 再减去 c f 一？ 而在这个三角形啊， c f 二 t i 当中，也就是这个三角形当中，那么我们是不是利用三角形法则会知道 t i f 二减去 t i c 是 不是将会一定是小于 c f 二的， 而 c f 二减 c f 一 呢，是不是就正好是等于二的？那么所以我们就能证明了， t i f 二减去 t i f 一 是不是小于二的呀？ 你看这个题的最后一位，设置的是不是非常的精彩，如果是能够几及时的挖掘几何关系啊，他的计算量就是几乎约等于零的，但是如果不去挖掘几何关系，他的计算量将会暴大。 好，下面我们来看到整个卷子中最精彩的第十九题，那么这个第十九题啊，我相信好多同学看到他以后啊，是不是脑袋都炸了，你看，不知道他这个形式上是不是很吓人，不知道他在说了些什么， 那么咱们来看一看。那么作为这道题啊，他们这三位之间是有一些关联性的，所以呢，我从第一题给大家做解析，可能有些同学啊，第一题也不知道该如何证明， 那么当我们不知道如何证明的时候呢，我们就把已知条件对他进行加工一下，那么因为在这里啊，我们这个他的问题是实在是不知所云，为什么呢？要证这个证这个需要证什么东西是吧？所以我们就只好从已知条件出发，这也是咱们常用的解题模式之一， 也就是从已知条件出发，看看能不能推到问题当中，去，拉近已知和问题之间的距离。那么没有什么好做的，只好带入。也就是二 x 加一减去三，二 x 加一 减去二 x 减一，加上三，二 x 减一，那么它就会等于二 x 加一减去三，二 x 加一， 是不是减二 x 再加一减去三，二 x 减一是不是它要大于二？ 那么整理一下呢，就会发现，二 x 和二 x 约掉了，这个二和这个二是不是约掉了？也就是 等价于？哎，这个地方错了啊，是加号等价于三二 x 加一 是不是大于三？二 x 减一，那么拿到了这个推到这一步之后啊，呃，千万别给我做成二 x 加一，大于二 x 减一哈，这里是没有单调性的三 x， 对 吧？所以呢，它就又该等价于是不是三 二 x 口三一，是不是只好展开？我没用别的路可走啊，加上口三二 x 三一是不是要大于三二 x？ 口三一 减去口三二 x 三，那么这两个是不是给约掉了？也就是说，最后咱们推出来的是 两倍的口三二 x 三一是不是要大于零？也就推出口三二 x 是 不是要大于零呢？那么也就推出，哎，二 x 一定是不是是大于 负的二分之派，是不是加上二 k 派，小于二分之派加上二 k 派，那么也就是 x 呢？是不是要大于负的四分之派？加 k 派是不是小于四分之派加上 k 派？那这个时候我们再来看是不是三 x 的 取值范围，那很显然，是不是负的二分之二到正的二分之二， 那么从第二位才开始变得有意思了。那么第二位呢？咱们看一下，它是说 a n 等于口算二 n 的， 那么 s n 是 它的牵线盒，让我们来证明这个东西 sn 大 于等于负的三一分之一，小于三一分之一。那么在这个题啊当中，是不是感觉完全是无从下手啊？那么像这种情况下，我们到底该如何分析问题呢？你看我们的已知的 a n 是 不是等于口算二 n， 那 么让我们研究的是， sn 的 取值范围大于负的三一是不是小于一，比上三一 好，那么你要正 sn 是 不是在这样的一个范围，是不是就得去求 sn 是 吧？你要求解 sn， 那 么你想我们的 sn 又等于呢？是不是口算二加上口算四， 一直口算六是吧？一直加下去，那么而这个式子呢，在我们目前的日常的接触当中，是不是想不到该如何求和，那么这个时候就开始想一想， 那么我们求和的方式是什么呢？其实我们求和方式无非是两种，就是先放松了，他是不是再求和，那么要么是先求和，是不是再放松， 那么在这里呢，你看，在这里啊，我们看一看能不能？而我们的求和方式当中，无非就是那么几种，什么列项了是吧？错位了，什么垒加了 对吧？呃，没有累加啊，胡说八道了，倒序相加法了等等。那么在这里呢，你看，像这样的问题， 往往啊会跟第一问就是会有一些密切的关系，他们的第一问可能会再告诉你点什么，你看一看啊，在这个地方当中，如何跟第一问这里关联呢？第一问当中，在这个已知条件的加工处理当中，我们是不是碰到了口算二 x 这个家伙， 对吧？那么 x 如果给他改成 n 呢？是不是口算二 n？ 但可惜的是，他这是不是一个不等关系？但是如果把这个不等关系改成等量关系，又能发生什么呢？对吧？这也是是不是跟第一位有一个密切联系的地方， 所以我们不妨试一试口塞，呃，也就是三，你看啊，他这的是二 n 加一和这的二 n 减一是不是会消掉？所以我们写了是不是也没有什么太大的意义？我们直接给他写成是不是三二 n 加一 减去三二 n 减一，是吧？它能发生什么呢？是不是它跟这个事是不是一定是有一些关联性的？因为我们把这个地方，其实我找到这个解析的思路的时候，主要因为我也不知道口算二 n 该如何去列项，但是我看到了这是不是有一个口算二 x， 然后我就逐步逐步逐步给他倒的往上，往上倒回去，我就发现他其实这个式子把它展开以后，就跟口三二 n 有 一些关系，他就等于 是不是三二 n？ 口三一加上口三二 n 是 不是三一减去三二 n 扣三一加上扣三二 n 是 不是三一？ 而这个式子是不整理一下是不？这两个约掉之后，正好是等于两倍的三一乘上口三二 n 啊？那看你看，所以这样以来的话，我们就知道了，口三二 n 是 不是就应该等于二 n 分 之二，三一分之 二倍的三一分之一乘上三二 n 加一减去三二 n 减一， 对吧？这样一来我们是不是就可以对 s n 进行求和？所以 s n 等于什么呢？是不是应该等于二倍的三 一分值？一是不给他提取出来，这里面就是三三减去三一加上三五减去三三一直加的，是不是三二加一 减去三二 n 减一啊？好，这样一来的话，是不是这里面是不能削到一大片？最后呢，是不是留下了一个等于一除以二倍的三一， 这里面呢，是不是是一个三二 n 加一减去三一？ 而这个式子，你再看看和这个我们的要求解的问题是不是就已经非常接近了，而这个这个综合号的内容是不是属于一个负二到二之间的这样一个数值，对吧？所以是不第二位就 证明了，因此他是完以后大家再碰到类似的题啊，一定要看看他跟第一问的之间的关联是什么，他不可能平白无故的给你三问之间没有任何关联性。 好，那么第三这个第三问呀，这个题就是整个卷子当中可能最难的一道题了， 那么我是如何发现他的解析思路的呢？你看，在这里建立大功的是猜想，所以我们来看一看。怎么去猜想呢？他说是一个等差数列 b a 公差 d 啊，是等于二零二六， t a 呢，是他的牵一项和， 然后 c 个码这么多，等于二零六派，让我们去求解啊，他的 b n 的 前二零二六项的和是个多少？我们大概带进去写一写，是不是 c 个码上下标我就不写了哈，是 fbi 是不是就应该等于 c 的 吗？ bi 加上 c 的 吗？三是 bi， 是 这个家伙是不是等于二零二六个 pi？ 我 们的解题目标呢，是不是要求这块家伙是个几？ 那么要既然能求出这块家伙是个几了，那么这个家伙是不是一定也能够求出来？也就是说我们得通过这个家伙的以求出来之后才能解得了是不是 t 二零二六的值啊？ 可是你看啊，这个式子当中一直是不是带 sign， 那 么带 sign 最后呢？结果还是等于二零二六派？ 那么你想这个让我们去猜一个数字的话，是不只可能来猜说这个家伙是不是零，那么如果它是零又会发生什么呢？是不是我们的 b i 是 不就能确定 你这个 b 呃， b n 这个数列是不就能够确定？那么 b n 这个数列是不是就等于，也就是说它等于零的话，那么也就是 b 一 加 b 二是不是一直加下去，加到 b 二零二六，是不是就应该等于 二零二六派？也就是说平均下来是每一个数是不是都是派？所以呢，我们是不是就能够想到是不是 b 一 加上 b 二零二六，是不是一定是等于二派的？ 那么 b 一 是谁数不知道，但我们在这用基本量来进行表示的话，是不是就可以得到是 b 一 加上 b 一， 再加上二零二五个公差，公差是二零二六啊，是不是应该等于二 pi？ 那么我们就能解得我们的 b 一 呢，是不是应该等于派减去二零二五个幺零幺三？那么 b 一 确定了公差 d 是 不是又等于二零二六？那么这个时候我们来看一看 sine b i 相加的话，是不是真的是等于零呢？那么我们可以看一下，是不是也就是相当于是 sine 派减去二零二五乘上幺零幺三加上？那么第二项呢？是不是三派减去二零二五乘上幺零幺三， 再加上一个二零二六，那么他加了个二零二六，就是相当于加了两个幺零幺三，是不是就变成了二零二三个幺零幺三？二零二三乘上幺零幺三，那么再往下加加加，那么看一下他的最后一项是什么呢？ 是不是就应该变成了三？派减二零二五乘上幺零幺三，再加上一个二零二五个，是不是 二零二六？而这个地方是不是相当于四零五零个幺零幺三啊？那么再加减去二零二五，是不是这个地方就变成了三派加上二零二五乘上幺零幺三？注意，这个时候你看 三元派加一个数和三元派减一个数是不是相加的话，是不是正好是等于零的？因此我们为了谨慎起见，再验证他的第二项与倒数第二项相加，是不是也是这样的一个零的值呢？ 所以叠倒数第二项是不是就应该是等于三 a 派减去二零二三乘上幺零幺三，再加上二零二四个二零二六个，公差嘛？是吧？这样就变成了四零四八个幺零幺三， 那么四零四八减二零二三是不是正好是一个？哦，这里出错了，是派减二零二五个，他的手相是二零二五个，是幺零幺三，那么这样四零四八减二零二五，是不是正好是二零二三个？也就是等于三 派加上二零二三个幺零幺三，那么这一项和这一项是不是相加又等于零？这样以来是不是正好每一对相加是不是都是零？所以这个时候我们就把这个是不是给它证明了？ 那么现在还差最后一个问题，那么这个解是具有唯一性的吗？那么这个时候该怎么办呢？这时候你看大家再想一下，这个相当于在这道题当中，大前提是不是给了我们一个 f x 等于 x 加上 c x， 而这道题这套卷子当中是不是从头到尾还没有考过求导的问题？大题当中是吧？所以你看这个时候联想到我们的零点问题当中，零点问题当中是不是就相当于我们在这里大 f x 小 f x 是 不是等于 x 加上 sin x， 那 么而 sigma fbi 是 不是就应该等于 sigma bi 加上 sigma 三 bi 是 吧？那么现在如果我们用基本量来表示的话，是不是大家都能用 b 一 来进行表示，是不是就相当于 b 一 加上 b 一 加二零二六，是吧？这是一个一直往下加，那么最后一下是 b 一 加上二零二五个，二零二六加上是不是三比一一直加到三三，呃，三比一加上三比一加上二零二六一直加到三， 说 b 一 加上二零二五乘上二零二六是吧？那么这个式子是不是是一个关于 b 一 的函数？我们还证明了一点，是不是令它等于大 f b 一 吧， b 一 看成自变量，那么我们证明了一件事，当 b 一 等于派减二零二五乘幺零幺三时，这个大 f b 一 是不是正好是等于二零二六派的？ 那么如何证明这个 b 一 是具有唯一解的呢？是不是我们可以通过单调性来证明？若 f b 一 是不是具有 单调性，那么是不是这个解一定是具有唯一解的？那么所以我们对 b 一 进行求导，是不 f 撇 b 一 是不是就应该等于一加一加是不是一直加一？这一共是二零二六个， 是不是再加上口三 b 加上口三 b 一 加上二零二六一直加到，是吧？那这些是不是也是二零二六个？那么但是这个加起来 口算值啊？是不是一定是大于等于负一的？那么所以这个玩意是不是大于等于零的？所以我们就能够得到 f b 一 是不是为增？ 那么所以这个 b 一 是不是具有唯一的解？因此我们也就证明我们也就解得了。说正好就是 t 二零二六，他是不是正好就等于二零二六派？ 所以你看这整套卷子是不是很棒啊？该送分的送分，该有区分度的是不是有区分度，预算量呢？是也能够让人接受。好，咱们今天的评析就到这里。

二零二六北京顺义高三一模数学第九题直接说，我答案 d 和你一样吗？如果写的步骤，可先列两个方程，然后即可解得圈一。圈二完全正确，大家看圈三，这是最容易丢分的地方。题目说升压降低到原来的十分之九，也就是新升压 p， p 等于十分之九乘以 p， 求升压级减少多少，必须作差。 如果列举的式子，然后化简到最简形式，再代入数值，得圈三也正确。所以三个结论全对，直接选 d。 要完整答案的评论区留言。

二零二六北京石景山高三一模数学第八题，直接说我的答案， a 和你一样吗？很多同学上来就有方法一，梯形减两个直角三角形， 这招可以算，但麻烦还要分象限讨论。听我的，直接上方法二，以 ab 为底第一步，先算出 ab 这条直线的方程，确定它的斜率。第二步，三角形面积等于二分之一，底乘高底， ab 是 定值关键就看高，高就是过 c 点做 ab 的 垂线距离。重点来了， 盯着你的图， c 点在双曲线右支上，我们看它的斜率变化。过 c 做 ab 的 垂线，这条垂线的斜率和双曲线的渐近线斜率直接挂钩，当垂线斜率大于渐近线时，它和双曲线必有交点，这时候高有最大值， 对应面积最大值。那最小值呢？还是看图，当 c 点沿着窗曲线无限移动，垂线距离无限趋近于零时，三角形三点共线面积无限趋近于零，但永远取不到零，所以有最大值，无最小值。需要答案的评论区留言，还想听什么，也可以告诉我下个视频讲第十题，你选什么了？

二零二六北京丰台高三一摸数学第十四题讲解不废话，先直接说我的答案，我填四和三十一，和你一样吗？好，我来讲一下。在等比数列里， a 四除以 a 二，一定等于公比 q 的 平方，那 q 方怎么求？我们先算 q 四次方， 即 a 五 a， a 代入数值两百五十，除以十五点六二五这个数看着难算，其实是结果是整数十六，但很多同学一眼看不出来，但这里有个敏感数，六百二十五是二十五的平方，所以这题一定跟二十五有关。我们可以分子分母同时处理一下，分子分母同除以二点五， 然后分子一百分母小数六点二五，那这时再开放，结果一目了然。这一问就是纯算数，关键是看到六百二十五，想到二十五，别硬算小数。 接下来第二问，这个空其实特别有意思，如果你把 a 一 到 a 一 的具体数值都算出来，那太麻烦了，考试根本没时间。所以我们用 a 一 来表示所有项。题目说从这五枚中取一枚或多枚，问有多少种不同的称量值，这是什么问题？这就是集合的分子级问题，如果想不明白，也可以用组合来理解。 取一枚，情况为 c 五一，两枚 c 五二，以此类推。 c 五五四 c 五五，它们之合的公式还记得不？或者是不是和二项式系数合很像， 只是少了个 c 五零以上，都可以让你很好理解怎么计算所有符合情况。就拿子集来说，刚一我们就学过一个集合有 n 个元素，子集总数是二的 n 次方，这里有五个元素，所以子集总数是二的五次方等于三十二， 但题目说取一枚或多枚，意思就是不能取空集，空集不算，所以要减一，三十二，减一等于三十一，所以第二空就是三十一。这空考的不是计算，是思路，只要你看出它是真子集。问题 直接套公式秒出答案，以后遇到这种题就按这个方法做，稳准不丢分。需要答案的评论区留言，下个视频我来讲第十五题你填什么了？

今天我们来讲解二零二三年芜湖一中自主招生的数学试卷，这份试卷一共有十八题，可以提前做一下。 第一题，将四千零四十六减去它的二分之一，再减去它的三，余下的三分之一，再减去余下的四分之一，一直推到余下的 两千零二十三分之一，求余下的数是多少？这题比较简单，减去它的二分之一，就剩下 二分之一，再减去余下的三分之一，就剩下三分之二，然后是四分之三，一直到 二零二三分之二零二二，上下互相约掉，最后就等于四千零四十六乘以二零二三 分之一，就等于二选 c。 第二题，他说若正时数 abc 满足这个反数不等式组 问我们 a、 b、 c 大 小关系是什么？我们观察一下这个式子，这里面有 a、 b 有 b、 c 有 c。 a 我 们想让它比较大小，我们肯定要把 c 放到中间 两边，大于什么小于什么？或者是 a 大 于什么小于什么，这样子我们才能判断大小。那么我们这样有 a、 b， 我 们可以把它转化为 a 加 b 加 c， 那这样就 c 变大了，我们可以把它变成 a 加 b 加 c 除以 c， 然后翻过来就可以变成一个 c 大 于一个什么数，小于一个什么数。我们来做一下，我们把不等式组都加上， 这样我们可以把每个 a、 b、 c 除以相对应的 c、 a、 b 我 们可以得到， 我们把它翻过来就可以得到。 abc 都除以一个相同的 a 加 b 加 c， 那 么我们就可以看出来， a 是 最大的， c 小 于 a， 同时大于 b， 我 们可以把它写出来， a 大 于 c 大 于 b， 所以 我们选 b。 第三题，它说时速 a， b 满足这个等式，让我们求 a 的 b 次方是多少？ 既然它能够求出 a 的 b 次方的值，那么我们肯定能通过这个式子求出 a 和 b 的 值。我要想求 a 和 b 的 值，只有让这个里面等于一个平方，或者是 根号下一个数，这个数能够让它等于零，那么我们就能求出 a 和 b 的 值。 我没有观察到这是二 a， 这是二 a 平方，这是二分之一，这三个正好能凑出一个平方式，然后再把这和这个放在一起，我们来看一下，我们写一下，二， a 平方减二， a 加二分之一，就等于二倍的 b 减二。根号 b 减二，减去 b 倍的根号 b 减二，这是个平方式，这就是二倍的 二分之一，这个是个平方式。二分之一。四 a 平方减四， a 加一等于二减 b， 括号根号一减二， 二分之一 r， a 减一，括号平方就等于二，减 b， 括号号 b 减啊。由于这个是大于等于零的，所以这个式子也是大于等于零的。 r、 b 减二和二减 b 互为相反数，那么它只能等于零，所以 a 等于二分之一， b 等于二，这样 a 的 b 次方就等于二分之一的平方，等于四分之一。选 a。 第四题，它告诉我们直角三角形 a、 b、 c 中 a、 b、 c 这个角是九十度， a、 b 等于二， bc 等于三倍的根号。三、 d 点是平面上的一点，且 a、 d、 b 这个角是三十度。让我们求 c、 d 的 最最大值是多少， 我们已经知道这个是定角三十度，同时它有个定旋 a、 b， 那 么这个 d 点运动的轨迹就是个圆。 同时我们要想让 c、 d 最大，那么这个 d 点就不能和 c 点在同侧，所以在它们两个点在两侧，我们把辅助线做一下。 d 点是在一个圆上运动的，而且在 a、 b 的 另外一侧运动，如果想绕到最大，我们同时连接 c、 o 和 o、 d， c、 d 最大值的时候，就是和 c、 o、 d 这三个点在一条直线上，这时候最大。所以我们想求 c、 d， 我 们就要求出这个圆的半径和 o、 c 的 长度。 我们如何求半径呢？我们首先要找到直角，然后就可以找到对应的直径，它已经告诉我们 c、 b、 a 是 直角，所以当地铁运动到和 c、 b 在 一条线上的时候， 这时候这个角是直角，它对应的 a、 d 就是 直径，这是三倍。根号三，这是二。 同时这个角是三十度，那么 a、 b、 a、 d 就 等于四，半径二就等于二。这条边我们也可以求出来，就是二倍。根号三。 现在我们已经知道半径了，我们现在紧跟着就要求 co， co， 我 们可以用圆锥定底做，如果没有，不用圆锥定底，我们就要过 o 点做个垂线叫 h 点，这是三十度，这是二，这是一。 而且这个点 h 点平分 b、 d， 那 这边 b、 h 就是 根号三，这个角是直角，那么我们可以把 co 求出来。 co 就 等于根号下一的平方，加上 三倍根号三加根号三的平方， co 就 等于七， co 等于七，那么 c、 d 最大值 就等于七，加二等于九。第五题，已知三个实数 x 一 x 二 x 三，他说任何一个数加上另另外两个数的积的六倍总和等于七。 他问我们这样的三元数组， x 一 x 二 x 三共有多少组？那我们就把这个条件写出来， x 一 加 x 二， x 三等于七， x 二加六， x 一， x 三等于七， x 三加六， x 一， x 二等于七，这样我们把 一减二，我们就可以得到 x 一 减 x 二等于一减六， x 三等于零。这样我们分情况讨论。第一种情况， x 一 等于 x 二，那么 代入三中就可以得到 x 三加六， x 二平方等于七， 代入重新代入一，我们就可以得到 x 二加六， x 二， x 三等于七，我们解一下就可以得到 x 二减一，括号六， x 二减一乘以六， x 等于二加七等于零。解得 x 二等于一，六分之一，或者是负的六分之七， 我们就得到三组解。 x 一 x 二， x 三等于一， 六分之一，六分之一，六分之四十一，或者 负的六分之七，负的六分之七，负的六分之七。第二种情况， x 三等于六分之一十， 我们代入就可以得到 x 一 加 x 二等于七， x 一 乘 x 二等于三十六分之四十一，我们解 得到 x 一 等于六分之一， x 二等于六分之四十一，或者 x 一 等于六分之四十一， x 二等于六分之一，我们又得到两组解， x 一， x 二、 x 三就可以得到 六分之一，六分之四十一，六分之一或六分之四十一，六分之一，六分之一。这样一共就有五组解。 第六题，它告诉我们，在直角三角形 a、 b、 c 中， b、 a、 c 这个角是九十度三， a、 b 等于五分之四，那就等于告诉我们 bc 是 五， a、 c 是 四， ab 是 三，同时告诉我们 d 是 边， bc 的 中点， 那就等于告诉我们 a、 d 和 b、 d、 dc 这三条边相等，以 a、 d 为底边在 以 a、 d 为底边，在其右侧做等腰三角形 a、 d、 e 这个三角形是等腰三角形，同时让角 a、 d、 e 这个角等于角 b。 现在连接 c、 e 问 c、 e 比 ab 的 比值是多少？ a、 d、 e 等于角 b。 同时 a。 三角形 a、 d、 e 是 等腰三角形，那么这个角也是等于角 b。 同时 b、 d 等于 a、 d 等于 d、 c。 那 么这个角，这个角也相等，都是角 b。 我们已知 a、 d 等于 d、 c。 另外它有一个公共边 d、 e、 a、 d、 c 这个角等于两个角 b。 这儿已经有个角 b， 所以 这也是角 b。 所以 我们得到三角形 a、 d、 e 全等于三角形 c、 d、 e。 这样我们就得到 c、 e 等于 a、 e。 同时三角形 d、 a、 b 相似于三角形 e、 a、 d。 我 们通过比 d 关系，我们就可以把 a、 e 求一下 a、 e 比上 a、 d 就 等于 a、 d 比上 a、 b。 由于 b、 c 是 五， a、 b 是 三，我们可以得到 a。 一 就等于 二分之二，二分之五，平方除以三就等于十二分之二，所以 c、 e 也就是十二分之二十五。 第七题，它告诉我们平行四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 c 和 b、 d 是 两条对角线， a、 b、 c 是 一个等边三角形 a、 d 等于六， b、 d 等于十， c、 d 等于八，让我们求 a、 d、 c 这个角角度是多少。其实这道题它写的有点晦涩，我们把这个题目理解过后，其实就是 一个等边三角形 a、 b、 c 外面一个点 d 分 别做三条线到这个 a、 b、 c 的 顶点， 它的值分别是六十八，让我们求这个角是多少，那我们就要想办法把这个六十八转化到一个三角形中，我们观察一下，这个六十八其实就是直角三角形的一条三条边。 那么这题其实就跟飞马模型有点相同，飞马模型是这个点在三角形内，而这题也是这个地点在三角形外，那我们同样过地点做这个 d、 c 的 旋转，六十度得到新的 d、 c 一 撇连接 c、 c 一 撇和 a、 c， 这样我们就可以得到两个三角形 a、 c、 c 一 撇和 b、 d、 c 这两个三角形我们就要正它的相似。由于这个角是六十度，这个角也是六十度，这是因为我们旋转得到的， 那么他加上叉，他也加上叉，所以这个角和这个角相等。 另外这条边是八，我旋转得到的这条边也是八，这个是六十度，这是等边三角形，这也是八，这有两条边相等，同时 这个这条边 a、 c 等于 b、 c， 所以 我们可以得到两条边相等，一个夹角也相等。根据角边角，我们能得到三角形 d、 b、 c 全等于三角形 a、 c 一 撇 c， 这样我们就得到角 a、 d、 c 一 撇就是九十度。正确的图形应该是上面这个图，那么 a、 d、 c 这个角就是三十度。第八题它告诉我们十九个连续整数的和是三百八， 求这个紧跟这个十九个数，后面二十一个连续偶数的和是多少，那我们就用高斯这题，我们就用等差数列的求和公式来解决。十九个数的和 s 等于首项加末项乘以项数除以二， 我们可以求出来 a 一 等于十一十九个数之后，那么就是从三十开始，一直到三十，加上二乘二十， 这样我们就有得到后面十九个数的和，等于三十，加上三十加二乘二十，乘以项数十九项，这样我们就得到后面十九个数的和，等于 首项，加上末项，乘以项数除以二，等于一千零五十。 第九题，它告诉我们 x 等于这个值，问这个代数式等于多少？ 我们要讲求这个代数式，肯定不能把 x 直接带进去，我们观察一下 x， x 这儿有个负，如果 x 不 能把这样负五约掉，它开平方或者乘以上一个数，它的计算量都很大， 那我们观察一下这里面，如果把这一组和这组放在一起，那它就会出现个五 x， 我 们就可以把这个五约掉。 第九题，它告诉我们 x 等于这个值，问我们这个代数式等于多少？我们肯定不能把这个 x 直接带进去，我们要想办法把 x 约掉，我们要找 x 的 伙伴， 你如果想把它约掉，这里面有个根号五十七，我们想办法要找到四分之五加根号五十七，这样子我们和它在一起就可以约掉， 我们在里面找一下，我们要想得到这，这里面有个五，我们要把负五变成正五。我们看一下 r x 加一和 x 加二，这儿可以得到一个五 x， 那么中间这一组也能得到五 x， 我 们把这个式子变换一下，就变成 r x 加一，乘上 x 加二，再乘上 x 加一，乘上 r x 加三， 这就等于 r x 平方加五， x 加二，后面就是 r x 平方加五， x 加三，我们看到了 r x 平方加五 x， 这个我们可以找到，这里面有跟五有关，我们把它转化一下 x， r x 加，那就等于 我们正好找到这一对伙伴，等于四分之三十二，就等于四，我们把四带进去， 得到六乘七，等于四十二。第十题，因式分解这题我们用十字相乘来解决。我们先写一下，把 a 分 一下 b 分 c， 这样我们开始定系数，这是负 a、 b， 那 么这就是负二， b 上面是正的 b， 这后面是四 a、 c， 那 么 a 和 a 乘 c 这边就是正的。我们看三写在哪个地方。因为 bc 是 正的，所以我们把三写在下面，上面是 e、 b、 e、 c， 我们把式子整理一下，就是 a 加 b 加 c， 乘上一个 a 减二， b 加三 c。 第十一题，它告诉我们，在这个直角坐标系中， a 点坐标四零， b 点坐标四四倍根号三，连接 o， a、 o， b， 同时这个线段 o、 b 和 a、 b 交这个虚线， y 等于 x 分 之 k 在 d 和 e， 又告诉我们 d， e 是 垂直 o、 b 的， 求 k 的 值是多少。 我们知道 a 点和 b 点坐标，我们就可以首先可以知道 o， a， 我们知道 b 点坐标，我们就可以把 o、 b 的 表达式写出来， 它就等于 y， 等于根号三 x。 这样我们就可以假设 d 点的坐标是 t， 根号三 t， 同时它又满足 y 对 x 分 之 k， 所以 它的坐标可以写成 t， k 除以 t， 这样我们就得到根号三 t 就 等于 t 分 之 k， 我 们就可以把 k 求出来，等于根号三 t 平方一点，坐标是四四分之 k。 由于 d、 e 垂直于 o、 b， 所以 我们假设 d、 e 的 斜率 k， d、 e 乘以 k、 o、 b， 它们的斜率就是负 e， g 就是 负 e， 那 么 d、 e 的 斜率就等于负的三分之根号三。我们把斜率通过坐标计算出来，也就是说 四分之 k 减去 t 分 之 k， 四减 t 等于负的三分之根号三。 我们把 k 这个值带进去，就得到四减 t， 四分之根号三， t 平方减去根号三， t 等于负的三分之根号三。我们把整理一下，得到 三 t 平方减去十六， t 加十六等于零。我们用十字相乘法，我们可以得到三 t 减四， t 减四等于零，得到 t 一 等于四分之三，或者 t 二等于四。由于 t 是 异于 b 点， t， t 二等于四舍去， 这样我们就可以做出来根号三， t 平方等于 k 代入 就等于十六倍的九倍。根号三， 十六分之九倍。根号三。我们解得 t 一 就等于三分之四， t 二等于四。由于 t 是 异于点 b 的， 所以 t 二等于四舍去 邦。把 t 等于三分之四代入，就根号三， t 平方等于 k， 根号三，三分之四平方就等于 九分之十六倍的根号三， k 的 值就等于九分之十六倍的根号三。它告诉我们两个半径为八的圆和一个半径为九的圆 放在桌子上面，使它们两两向外切。现在让我们用一个大圆把它们完全盖住， 让我们求这个大圆的最小半径等于多少。我们要让这大圆把这个三个圆都盖住，那就要找这个大圆与这个三个小圆相内切。 我们连接这个圆心和 a、 b、 c 三个点。 首先连接 a、 b、 c， 得到一个三角形，然后我们连接 o、 a、 o、 b、 o、 c， 然后延长交于内切点 f、 h、 k 这三个点。 在这个图形中，我们知道 a、 b 是 等于十六的， a、 c 是 等于十七，那这样我们就有 o， a 等于 o、 b， 那 么 o 点就在 a、 b 的 中垂线上， 我们做出中垂线 o、 d， 这样 o 点就在这个三角形内。我们通过 构造一个直角三角形，也就是 a、 d， o 这三角形是直角三角形，构造出三条边的关系来解这个半径大 r， 我 们现在能够知道 c、 d 等于 十七的平方，减去八的平方等于十五，那么 o， d 就 等于十五。减去大 r 减九就等于二十四，减去大 r， o， a 就 等于大 r 减去八， a， d 等于八，那么我们构造出这个直角三角形，里面勾固定你八的平方，加上二十四减二平方就等于二减八，括号平方，这样我们解一下的半径 就等于二十四，那么这题的最小半径就等于二十四。 十三题它告诉我们，在菱形 a， b， c， d 中角 a 等于六十度， e、 f 在 a、 d 和 ab 上，让我们把这个 a， e、 f 这三角形沿着 e、 f 对 折， a 的 这个点 g 正好落在 d、 b 上，同时告诉我们 d， g 等于四， g， b 等于六。让我们求三角形 a， e、 f 的 面积是多少， 我们要求一个三角形的面积，要么用底乘高除以二，要么用正弦定零来解决。不管哪种方法，我们都要知道边长， 我们要想求边长，我们就要利用到这个六十度，这个六十度的话，我们可以构造出一个直角三角形，让它有二比一，比根号三的关系，这样我们就可以解出来一条边的边长， 所以我们过 f 点做 d， b 的 垂线，就要 p 点， 这样我们就得到两个直角三角形， f， p， b 和 f p， g。 在 这个直角三角形中间，我们有个特殊的角六十度，我们就可以找到这三条边的关系。我们假设 b p 是 x， 那 么 f， p 就是 二 x， f， p 就 等于根号三 x， f 就 等于十减二 x g， p 就 等于六减 x， f， g 也是十减二 x。 在 f、 g、 p 这三角形中间，我们用勾股定底，可以得到三条边的关系，我们就可以把 x 解出来 十减二 x 括号平方就等于六减 x 括号平方，加上根号三 x 括号平方，我们可以解出来 x 就 等于七分之十六。现在我们已经得到一条边的长度 f， f， 我 们就可以知道 f 就 等于七分之三十八。由于 a 是 等于六十度的，我们要想求面积，用正弦定底，我们还得知道 a、 e 的 长度，那么我们同底 做 e 到 d， b 的 垂线 e、 h， 我 们同样可以设。我们假设这是 d， h 是 x 一， 这条边就是二 x 一， e， h 就是 根号三 x 一。 我们要同样的方法，我们可以解出来 x 一 就等于八分之二十一，那么 a， e 就 等于十减去二 x 一 就等于四分之十九。 那么这样我们就可以求一下三角形 a、 e、 f 的 面积。三角形 a、 e、 f 的 面积 s 等于二分之一， 七分之三十八乘上四分之十九，乘以三 n 六十度， 最后等于五十六分之三百六十一。根号三。第十四题对于任意不为零的时速， a、 b、 c 定义了一种新运算，减号 同时有 a 井号 a 等于一，后面的 a， 井号括号 b， 井号 c 等于 a， 井号 b， 括号 c。 让我们求这个方程的根有多少。 这题我们如果仔细去算，会发现计算量非常大，我们不知道如何下手，但是如果我们把这个井号变成 a 方框 a 等于一， a 大方框 b 方框一，括号等于 a 方框 b， 括号 c。 其实我们就知道这个大方框里面填的就是除号，所以这题就很简单了， x 平方 分之啊，除以二就等于 x 加二，那么我们可以求一下它根，推导出 x 就 等于四，或者 发根就是四或发十五题，它让我们解方程， 我们看一下这里面，如果我们让它等于 t， 这就 t 平方就可以变成 t 平方加 t 减三，和这个里面是一样的形式， 我们把它变换一下，变成 x 等于 t 平方加四， t 减三，同时 t 等于 x 平方加四， x 减三。 我们连立这个方程组来解，我们就可以得到 x 减 t 就 等于 t 平方加四， t 减三减去 x 平方加四， x 减三的括号， 我们整理一下就可以得到 x 平方减去 t 平方加五， x 减 t 等于零，得到 x 减 t 括号 x 加 t 加上五就等于零，这样我们就可以得到 x 等于 t， 或者 x 加 t 加五等于零。 我们当这个 x 等于 t 的 时候，我们可以得到 x 平方加三， x 减三等于零，我们解出来 x 就 等于二分之负三加减，根号二十一。 当 x 加 t 加五等于零的时候，我们可以解一下， 也就是 x 加上 x 平方加四， x 减三加五等于零， x 等于二分之负五加减，根号十七，也就是我们得到四个答案。 第二问求所有时数 a 使得 x 的 方程的两根均为整数，它告诉我们两个根均为整数， 那么我们就要找到 x 一 和 x 二的关系，然后再解这道题目，那么就要用到维达定律，我们把 x 一 和 x 二的关系写一下， x 一 加 x 二就等于二， a 减一， x 一 乘 x 二就等于四， a 减三。 现在他告诉我们两个根均要为整数，那我们就要把 a 约掉，写成一个 x 一 和 x 二的关系式， 这样我们就变成 x 一 乘 x 二，减去二倍的 x 一 加 x 二，我们加上一个四，这样就可以表示成为 x 一 减二，乘上一个 x 二减二，同时这边是 四， a 减三，减去二倍的二， a 减一加上个四就等于三， 这样 x 一 减二， x 二减二就等于三，同时 x 一、 x 二均为整数。我们假设 x 一 大于 x 二， x 一 等于五， x 二等于三，或者 x 一 等于一， x 二等于负一。我们分别解一下就得到 a 等于二分之九和 a 等于二分之一。 十六题，它告诉我们 e 点是 a、 b、 c、 d 这个正方形上的一个动点，同时连接 e、 b、 e、 f、 b、 g。 这个正方形是以 e、 b 为对角线的一个正方形，然后连接 fi 和对角线 d、 b 交于 h 点。现在让我们证明 a、 f、 c 这三个点是共线的，我们要想证明这三个点共线，我们就要证明这个角是四十五度， 我们要想证明这个四十五度，那我们就得找相似。我们可以看一下，其实这个三角形和这个三角形是共一个顶点的，我们就会看到 这个是左手拉左手，右手拉右手， 我们根据这个手拉手模型，我们可以知道这个三角形和这个三角形是相似的。我们来证明一下， 首先这个角是四十五度，这个角也是四十五度，所以这个角和这个角相等的，同时这条边， 同时这条边和这条边对应成比例，是根号二倍的关系， a、 b 和 d、 b 也是对应根号二倍的关系。所以我们根据边角边能得到，就能得到三角形 d、 e、 b 相似于三角形 a、 f、 b， 所以 我们能得到角 f、 a、 b 就 等于角 e、 d、 b 就 等于四十五度，这样我们能证明 a、 f、 c 共线。 第二问，它告诉我们 c、 e 比 d、 e 等于一比二，这是一，这是二，求 d、 h 比上 d、 h。 我 们要想知道这两个比，我们还是要找到相似， 我们来看一下，我们能找到这个三角形 e、 h、 b 这三角形和 d、 e、 b 这个三角形，这里面有一个角和这个角相等，同时有个公共角，那根据角角， 它们两个三角形就是相似的，我们就能得到三角形 e、 h、 b 相似于三角形 d、 e、 b， 那 么我们就可以得到 对应边乘比例。也就是说 e、 b 比上 d， b 就 等于 d， e 比上 e、 h。 那我们根据这个正方形的关系式，我们把这几条边算出来，这样我们就可以得到这条边比上这条边，也就是 d、 b 比上 b、 h， 我 们就能求上，求出这个值。我们来做一下，我们假设 e、 a 等于 a， 它就是二 a， 那 整条边就是三 a 这个对角线 d、 b 就是 三倍。根号二 a， 我 们能做出来 e、 b 就是 根号十 a， 我 们能得到 b， e 比上 b， d 就 等于 b h 比上 b、 e， 这样我们得到 b、 e 的 平方，就等于 b、 d 乘上 b、 h， 我 们解一下，就等于十 a 平方等于三倍。根号二 a 乘上 b h， b、 h 就 等于三分之五倍根号二 a， 那 d、 h 我 们就可以求算，就等于 b d 减去 b h 等于三分之四倍根号二 a， 那 么 d h 比上 b h 就 等于五分之四。 在平面直角坐标系 x o y 中，抛物线 c 一 经过零负三，四负十一，在 x 轴上截得的线段长度是四倍根号三，让我们求 c 一 的解析式。 我们由于我们知道它过零负三这个点，所以 c 就是 负三。在 x 轴上截得的线段长度是四倍根号三，我们可以知道 x 一 减 x 二就等于四倍根号三。我们根据 x 一 减 x 二的公式，我们可以得到绝对值， a 分 之根号 b 平方减四， a c 就等于四倍根号三。那么我们把四负十一带进去，我们可以解一下就得到， a 等于一， b 等于负六， c 等于负三。第二问，他说已知 a 点在这个抛物线上面，在这个对称轴上有一点 b 连接 o b， o a， a b 形成一个等腰直角三角形。让我们求 a 点的坐标是什么？ a 点可以在第一象限，也可以在第四象限， 我们根据它是等腰直角三角形，我们就很自然地想到一线三垂直，我们需要构建 另外两个直角三角形，然后可以得到两个全等的三角形，那么我们就可以把 a 点的坐标求出来，我们构建一下辅助线。 现在我们设 a 点的坐标是 m， m 平方减六， m 减三，那 b 就是 二 b 点的坐标，我们不需要求我们可以用 bc 的 长度等于 a， d 的 长度来减，那么 m 减三就等于 m 平方减六， m 减三，这是在正半轴，我们可以解出来， m 就 等于零或七，我们取七。如果 m 在 负半轴， 我们可以得到 m 减三，就等于负的 m 平方加六， m 加三， 我们解一下，解出来 m 等于负一或六，我们就我们取六，这样我们可以得到 a 点的坐标，这样我们可以得到 a 点的坐标是七、四和 六。负三。第三问，将抛物线 c 一 向左平移三个单位，得到 c 二。 直线 y 等于 k， x 和 y 等于负的 k 分 之二， x 分 别交于 e、 f、 g、 h 这四个点。现在把这四个点连接起来， 再找到中间两个终点 m n 连接 m n， 它让我们证明 m n 必过定点。我们把 c， r 的 表达式写一下， 由于 c 一 是 y 等于 x 平方减去六， x 减三就等于 x 减三，括号减十二，现在向左平移，那么 c 二就是 y 等于 x 平方减十二。 我们把 m 点坐标找一下，由于这条直线是 y 等于 k x， 它就和抛抛物线 y 等于 x 平方减十二。沿地 我们可以得到 m 点的坐标就是二分之 k 二分之 k 平方。 另外一条线是 y 等于负的 k 分 之二， x， y 等于 x 平方减十二。我们解一下，得到 m 点的坐标是 k 分 之一， k 平方分之啊。我们通过 m， n 的 坐标，我们把 m， n 这条线表达式把它找到。我们可以假设它就等于 p， x 加 q， 那 么它的表达式 把这两个坐标点带进去。我们可以解一下， p 就 等于 k 分 之 k 平方减二， q 就 等于一，这样我们就知道它必过零一这个点。 十八题，它告诉我们 abc 是 一个等边三角形，在这个三角形里面有个 d 点是个动点，同时 c、 d、 e 也是一个等边三角形，连接 b、 d 延长交 a、 e 于 f 点。现在问我们角 a、 f、 c 是 否是个定值？我们要想证明它是个定值，我们就需要知道 它是对着 a、 c 这条弦的一个角，那么 b、 a、 f、 c 这四个点应该是在一个圆上， 这样我们就能证明它是个定值。同时 a、 b、 c 是 六十度，那么 a、 f、 c 应该也是一百二十度。四点共圆， 我们想证明它一百二十度，那我们就要找相似，我们不太好找这个角的相似，但是我们也可以证它的补角。 c、 f、 e 是 六十度， 那么 c、 f、 e 是 对着 c、 e 这条边，同时 d、 e、 c 这个角 是对的， d、 c 这条边，这两条边相等。如果我们能证明 d、 c、 e、 f 这四个点共圆，那么我们就能证明 这个角和这个角相等，同时我们也能得到这个角，这三个角都是相等的，都是等于六十度，因为它们所对的弦角度相等。 由于 a、 b、 c 是 个等边三角形， c、 d、 e 也是一个等边三角形，它们共的一个顶点， 我们把这个 b 点可以看作左手，那么 d 也是左手，那就是左拉左，这边是右，我们就能得到三角形。 b、 c、 d 全等于三角形。 a、 c、 e。 我 们来证明一下，因为 b、 c 等于 a、 c。 同时 c、 d 等于 c、 e。 另外这个角加这个角等于六十度 o， a、 c、 e 加这个角也是等于六十度，所以我们能证明角 b、 c、 d 就 等于角 a、 c、 e。 这样我们就证明这两个角全等。我们得到这两个角全，这两个三角形全等，我们就可以得到 这个大角就等于这个角，那么这个角和它互补，我们就可以得到角 c、 d、 f 加上角 f、 e、 c 就 等于一百八十度。 那么 d、 c、 e、 f 共圆，它共圆的话，这个角是六十度，那么它就是六十度， 我们就可以证明角 a、 f、 c 也等于一百二十度。第二问，它告诉我们 ab 等于五， cd 等于三。现在让我们求 af 的 最小值是多少， 我们由上面一题已经知道 a、 b、 c、 f 是 共圆的， 我们要想让 af 最小，也就是让 a、 b、 d 这个角最小，同时它和这个角是六十度，也就是让 c、 b、 d 这个角最大。那当这个角什么时候最大的时候呢？就是当 b、 d、 c 这个角是直角，这样子我们就可以得到 a、 f 最小。 我们在第二题已经证明过三角形 b、 c、 d 是 全等于三角形 a、 c、 e 的， 所以 a、 e 就 等于四，等于 b、 d， 同时这是直角，那这边也是直角。 由于之前我们证明过 c、 d、 e、 f 是 共圆，那么这个角也是直角，旁边这个角就是三十度，这也是三十度。 我们知道这个等边三角形 c、 d、 e 每个边三，这样，这是六十，那么这条边就是二分之根号三， 这样我们就得到 e、 f 就 等于根号三，那么 a、 f 最小，就等于四节根号三。