初一几何答案写下两张A4纸的

初中阶段关于几何图形旋转、垂直平分线以及多解问题，那一直是个难点，就是这道题，好多小孩一般都能做出疑问，使他有三个答案。那么下面咱具体来看一下啊。这是二六年沈阳市第七中学八上月考天空压轴题事物题。 那么在三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度，然后角 b 的 三十度，哎，一比二比刚好三的三角形，那你必须得知道 a、 c 长是四， 那么此时 bc 四倍，刚好三， ab 长八，就这些事你必须得反应出来啊，孩们。 然后点 p 为 ab 上一点，他就说 ab 了，没说直线 ab， 没说线段， ab， 没说射线 ab， 那 没说的时候那就是线段啊，说的时候就会额外加上直线或者射线那俩字， 将线段 b p 绕点 p 顺时针旋转得到 p q， 而且 q 它在射线 bc 上。哦，那么这个角刚才说了是三十度啊，你 b p 转到了 b q， 而且 q 还在我们这个 c b 这个射线上，那你这块它不就是三十吗？ 这不就是一个一百二十度的等腰三角形吗？它的边长比是一比一，比根号三。哎，就这些基础知识，孩儿们你必须得会啊，一比一比根号三，然后我们接着来当 p q 的 垂直平分线， 那么经过三角形 a、 b、 c 一 边的终点哪边呢？不知道啊，那就分三种情况了，它可以经过 ab 的 终点，可以经过 ac 的 终点，也可以经过 bc 的 终点，你得分三种情况去讨论。 而此时我们这个图你看着是不是它就像经过 ab 的 终点这个位置啊，那你看这个， 嗯，像啊！啊，那我们假设这是终点吧，先求这种最好求的完了， a c 长是四，这个是八，然后一半，这就是四。完了，从这个这个点，我们设为一个 q q 有 了啊，设 h 啊，从这个 h 到 b 这块，那长度就是四， 但他就是让我们求的是 p b 的 长。那么这道题啊，你得肯定用到垂直平分线的性质，对吧？垂直平分线有啥性质啊？垂直平分线上的点到线段两短点距离相等， 也就是说这个我如果这么一连的话，垂直平分线上的点到线段两短点距离相等，那么这块他也是三十 啊，因为你这个这个点到 q 和这个点到 p 的 距离是相等的。然后我们还得知道 还有什么特殊的知识呢？这个角是不是一百二三十，三十啊，或者说这个角他是不是六十，这不这三十的外角吗？等于不相邻的两个内角的和。哎，那这块他就是垂直的六十三十。 我们发现一个事啊，就是这个角 b p， 我 们设这块是一个呃， e 角 b p e， 它始终是九。 孩们这道题，这就是一个关键点，如果这种情况下，就是这个经过 a b 这个终点的情况下，你不知道这个关键条件，可能还能做出来题，但是后边的你要是不知道这个事，你做题就变得麻烦了啊。那这题具体怎么求呢？ 你这样，我设这个长度是 a， 因为 p q 等于这个，对吧？ 然后还有你这么一连，这不也是线段垂直平分线上点到线段两段的距离相等吗？也就是 h q 是 不是等于 hp？ 不 仅如此，这个角它也是六十 啊，这个也是六十，因为你这是三十，这是三十，嗯，六十，而 h p q 是 一个等变三角形，这块长是二， a 这块长它也是二 a 啊，哎，所以四个 a 的 长度它等于四，那么 a 它就得一， 这块两个 a， 所以 它就等于二，这是其中的一个答案。有些小孩说，老师啊，你刚才说的这块垂直这个式也没用上啊，哎，接下来就能用上了啊， 儿子们，这道题主要是我们这块有个六十度，然后这块是一个等边三角形，为啥你考虑这块是等边呢？因为这个 h 他 不是那个终点吗？你肯定得把终点这个事用上啊，对吧？经过终点，完了， h b 他 不是等于那个四吗？ 好，那么下面啊，咱们老师再画个图，然后让他经过我们这个，呃， c b 的 终点啊， c b 的 终点，这回终点啊，怎么经过 c b 的 终点呢？那那个图大致啊，孩们，拿铅笔比划一下啊，大致应该是这个方向 啊，完了，这样画垂直平分线，哎，应该是来下面老师先粗略的画一下啊，不行咱再改呗，一百二十度，等下三角形完了，画一个垂直平分线，垂直平分线在这， 嗯，看着不太像，是不是？那就稍微都给它同一同时往右平移一点，所以这就是我们画铅笔的好处啊。孩儿们，这只平行线，然后这个线段给它往右一点， 有点长，是吧，这样变短点，哎， 注意啊，朋友们，画出来了啊，这个是 p， 这块是 q， 哎， p q 垂直平分线经过我们这个 c b 边终点啊，这是四， 完了，整个这个是四倍根号三，那这块就是二倍根号三，因为终点嘛，刚才我们在那块设的是 e， 那 就是 e， 然后我们连接 e p， 刚才咱们说了，你这是三十，这是三十，这是不是六十，哎，这是六十，然后这块就是垂直的，哎，这块是三十， 对不？然后三十都缩对，这两边是不是斜边一半，哎，他就是根号三，哎，然后再接着一比二，比根号三，他不是他的根号三倍吗？你再乘个根号三，哎，根号三，乘个二三，那就得三，哎，所以这就是另外一个答案。 儿子们，老师，刚才这块这个吹这个事用上了吧？好，来，接着来啊，老师再画一个图，让他经过 a c 的 终点啊。来画这， 经过 a c 终点，这是 c， 这是 b， 我 们先找到 a c 终点啊，在这个位置 啊，然后咋样画呢？大致是这样式的，垂直平分线，哎，这样，那垂直平分线，哎，差不多好时间画出来啊，应该是这个样子的， 这块是我们那个 q， 这是 p， 然后垂直平分线， 好像不太垂直，是不是？没事，孩儿们，你刚才不使铅笔画的吗？然后你就调整一下，调整一下不就垂直了吗？哎，好， 这垂直平分线啊，这块这是这个点，咱们给它设个字母，刚才咱们设的是 e 啊，那么咱们还是按照这个来，还是按刚才来设 e 啊？这个终点咱们给它设为 d， 那肯定跟这个中间有关系啊，他俩都是二，对吧？刚才我们是不是连接了一 p， 那 这次我们还连接一 p 啊，这块是 p， 刚才我们这就是三十，这是三十，这是六十，这不还是六十吗？那这块垂直，所以这个 b p e 还是一个特殊的三角形，你想求 b p， 你 知道这里边的其中一条边长就够了，知道谁呢？知道这个 b e 也行，是不是？ 嗯？哎，你看啊，垂直平分线上的点到线段，两段的距离相等啊，这是三十，那这块是不是就是六十，然后它是不是六十？而这个的 c e 三角形不也是一比二比，刚好三呢？ 这个的 c e 是 不是占刚好三分二除以刚好三，就是 c e， 看着没一定得会这个比例关系啊，他就是三分之二倍，刚好三，而整个长度这个 c b 是 四倍，刚好三，减去三分之二倍，刚好三，剩的是不就 b 一， 哎， 所以四啊，它是三分之十二倍，刚好三，减去三分之二倍，刚好三，就等于三分之十倍，刚好三。这方面 b 一， 然后这个 p e 刚好是他的一半，三分之五倍根号三，然后他是他的根号三倍，哎，再乘个根号三，那就是三分之五倍根号三，再乘个根号三，哎，这会约掉，那么这个就是五。所以这题啊，我们另外个答案五。 那么孩儿们啊，这道题挺有难度，建议咱们家长先收藏，然后把空白的题截出来给孩子先做，然后听老师视频讲解。

这道题太难了，期下第一次月考的解答题，咱们百分之八十的同学全都全军覆没了啊！那这道证明题其实他给你的条件比较隐晦，你需要有一个技能，就是从 浮在上面的条件找到他背后的隐藏款条件，再来层层递进去深挖，找到最终的答案，真相只有一个，那有关于平行线这里啊， 几何的证明题，大家一定是要重点来进行学习的，那这个假期，老师也给大家把平行线性质判定这里近三年必考的易错真题做了一个总结，大家可以打印出来，每天两到三道题，把对应的几何证明过程书写的规范性，把它分数拿到手啊。 下面呢，我带着大家一起分析一下这道题。写证明题不是要看老师的答案，而是要看老师怎么分析的，这样的话，你听完我今天的这个视频以后去自己做题，也可以按照我相同的方法去进行分析，对不对？ 来，下面咱一起看这两道题啊！说已知角一加角二等于一百八，角一在这呢，角二在这呢，来，碰见这种八竿子都打不着的角，我们该怎么办？对了，两个字叫做转化，还记得吗？ 把它转化成有关系的角，什么同位角、内错角、同旁内角、互补的角等等，对不对？而在这里你会发现，角一加角二等于一百八，虽然用不上，但是我们可以找到与角一互补的角，角三呢，对不对？ 所以由第一个条件，角一加上角二等于一百八十度，而角一加上角三也等于一百八十度，咱们就可以推出角二其实是等于角三的，这就叫做隐藏款的条件。 那角二等于角三，角二、角三什么关系啊？它俩居然是一组内错角，对不对？所以角二等于角三，立马推出我们两线平行的关系， a、 b 是 平行于 e、 f 的。 你来看这道题，我才读了一个条件， 我就得到了这么多的条件，这个叫做深挖挖它背后的隐藏款的条件。继续咱们来看第二个条件。 第二个条件我往下写啊，角三等于角 b， 那 角三等于角 b 有 什么关系呢？三在这呢， b 在 这，他俩也没啥关系啊。八竿子打不着的角，还是这俩字转化，怎么转呢？因为这两线平行，角三和这里的角四是相等的对不对？ 所以由平行咱们得到角三等于角四，而又由角三等于角 b， 咱们就可以综合等量代换推出角四是等于角 b 的。 哎，这条件不就能用得上了吗？角四在这，角 b 在 这，它俩正好是一对 同位角，所以同位角相等，两直线平行，我们有 d、 e 平行于 bc。 好了，我们第一平行 bc 了，下面让我们想要证明的是， a、 e、 d 等于角 c， 是 不是证明这俩角相等容不容易？两线平行，同位角相等，直接就可以证出最终的答案， a、 e、 d 等于角 c 了。 所以大家来看一下我整个分析的思路。我分析的思路叫做从条件深挖，找到隐藏款的条件后，层层递进， 把没有关系八竿子打不着的角转化成有关系的角，进而进行推导，这个叫做我们数学当中的正向思考。下个视频我将用一道题给大家再解释一下，同样的证明题，我们该如何从要求证的这个问题出发，用内向思维的方式推出正确答案？

成都初一下数学成绩是一百三的同学，想要考到一百四十分，那么这一类的题就一定要好好研究一下啊，因为他就刚好卡在这个难度区间，有些方程思维和几何图形的分析能力啊，尤其关键，大家可以把这个视频暂停一下，看一下孩子会不会做啊。 最后的这个答案是一百零五。好，来讲一下说这个 ab 平行于 c 大 啊，像范老师一样，大家边读题边勾画， 然后这些东西它是废话，没什么重要的，你就不勾啊。然后又说了， m f g 是 三分之一倍的 a f m p e g 等于三分之一倍的 p e c。 中间这些话真的就没什么作用，它不能提供什么干货啊。然后就要角 g 等于五十度求角屁，相当于由这四个信息求出角屁是多少。 好，我们之前就已经学过了，这一步难不到大家啊，就是见笔设餐，我根据这个比例关系去设一个未知数啊，我们这里可以设这个角， m f g 是 等于 r 法，这是 r 法，那这个大角也就是 m f a 啊，就是三倍的 r 法。 然后后面这个也是一样的，我们设这个 p e g 是 贝塔，那 p e c 就是 三倍的贝塔。先把这个比例关系设出来啊，大家这一步能力都是可以的。然后关键就是后面去在这个图形当中去找几何关系，去列这个等式的时候，它就容易卡住。 首先这个角记在这里啊，他找不到什么主体模型什么的啊，有些同学他就不知道该怎么去进行后续的计算了。在这里呢，我给大家提一个小小的技巧，在这种图当中，如果是出现了三角形，那么经常会用这个外角定里 来去做题啊，这个是非常方便的，什么意思呢？就是对一个三角形来说，它的外角是等于不相邻的两个内角之和，也就是角一等于二和三相加。那我们看这里啊，这个角既是五十度，我们肯定是要从这里开始思考啊，因为这个既是唯一已知的数据， 角 g 是 五十度，那角 g 所在的位置是 g h f， 好， 那我们就把这个关系它写出来，角 f h， 它等于角 g， 加上角 g f h， 对 吧？ 外角等于不相邻的两个内角和，而其中这两个内角是不是都表示出来了，这个角 g， 它是五十度吗？ 然后这个角 g f a 啊， g f h， 你 这里是 r 法，这是三 r 法，所以它剩下的这个地方就是二倍的 r 法。 好，所以说 f h e 就 表示出来了啊，是等于这么多。然后呢，要跟我们下面的这个贝塔的这个度数联系起来，这里是等于三倍啊，这里是等于，这是贝塔，这是三倍的贝塔。所以这一个角是不是一百八十度减去二倍的贝塔？嗯， 就这样一个关系，我们把这个数据给他联系起来啊，或者我们我们现在把 f h e 表示出来以后，他就需要跟下面的这个度数啊，下面的这个贝塔所表示的角度联系起来。然后你这里设的是贝塔，这是三贝塔，所以说你剩下的这个角是不是就是二倍的贝塔？ 这个二倍的贝塔是不是就等于这个？呃， f h e， 因为他俩是内错角的关系。 好把这个方程列出来啊，五十度加二 r 法就等于二倍的贝塔，所以贝塔减 r 法就等于二十五度，咱们就成功的通过这个角计去找到了 r 法和贝塔的等量关系啊，这类题都是这样子的啊，一个套路， 贝塔是算不出来的， r 法也算不出来，但是 r 法加贝塔或者 r 法减贝塔这种等量关系是能找出来的。好， 擦掉啊，擦掉，现在就保留我们已知到这个数据了，然后要求什么呢？求角屁，就这个度数，然后这个角屁呢？它这里啊，就因为是在这个平行线的内部，我们可以发现这里有一个猪蹄模型，你看这有个猪蹄模型，这两个蹄尖相加等于中间的这个蹄差， 所以这个角屁啊，相当于等于角 b f p 加上角 p e 大， 然后把这个数据往里面填一下， 这个 b f p 它跟 m f a 是 属于对顶角啊， m f a 射出来的是三耳发。带进去好，然后这个 p e 大， p e 大， 它呢，是不是应该等于这个三倍的贝塔跟那个三倍的贝塔是属于零补角的关系，所以它的角度就是一百八十度减去三倍的贝塔。 好，我们把这个带进去啊，就是一百八十度减三倍的贝塔减 r 法，因为我们要构造出一个这个东西来嘛，因为题干当中这个上一个， 因为上一个等式当中算的是贝塔减 r 法，然后把这个数据带进去，结果就是一百八十度减去七十五度，答案就是一百零五度。好，大家如果是啊，把这个呃流程搞搞熟练了，就很简单，先表示出角度，然后呢，通过 常见的猪蹄模型、铅笔模型，或者是三角形的三角关系啊，比如内角和是一百八，或者是外角，外角要更好用一些。外角丁零啊， 就通过这几个等量关系，这种几何关系去列这种等式啊，去算出阿尔法和贝塔的等量关系。最后你要求什么就去求，就去列这个等式啊，这个对应角， 它的等式好做啊，都是一个类型，主要是需要考察大家这种识别图形的能力。

来一个超简单的题啊，在三角形 a， b， c 中，角 a， b， c 等于九十度直角 ab 等于四 s 三角形 abc 的 面积等于十。写下来 这个三角形，然后 b， d 等于二倍的 c， d， b， d 是 这儿， c， d 是 这也就是它等于二倍的它，那我就设它为 a， 它就是二 a 喽啊！问，则 dc 的 长是多少？哦，那就是求 a 啊，这不是告了你面积了，那你直接三角形的面积就是二分之一，底底现在是 bc， 那 就是三 a 乘以高四等于面积十。用这个已知条件列个等式，然后这个约一下， 再约一下。好啦， a 就 等于三分之五。搞定。

来看一下这一道综合类的题目，它虽然是个选择题，可是它并不简单呦。首先来读一下题，它说点 e 在 c、 a 的 延长线上， d、 e 和 ab 呢，交于点 f 这里，然后呢，角 b、 d、 e 等于角 a、 e、 f， 我 们把角标一下，角 b、 d、 e 是 这个角，角 a、 e、 f 是 这个角。好，这两个角相等，能够推出什么结论？这是一个 z， 是 什么？内错角了，对不对？内错角相等，两直线平行，所以我们能够得到 c、 e 是 平行于 b、 d 的 好。然后接下来呢，他说角 b 等于角 c， 这两个角相等， 一组对边平行，一组对角相等，我们能够推出另外一组对边也是平行的。所以通过这里我们能够知道 a、 b 也是平行于 c、 d 的 好。那么他说角 e、 f、 a 和角 f、 d、 c 它们俩的关系是？角 e、 f、 a 比角 f、 d、 c 的 余角小十度。我们来找一下，角 e、 f、 a 呢，是这个角， 角 f、 d、 c 是 这个角，这个角是什么角？还是一样？来看一下，看一下它们之间有什么， 是不是一个 f 呀？所以它们是同位角，它们两个人是相等的，对不对？它们是同位角，所以这两个角是相等的，对不对？那这里我们能不能够求出角 e、 f、 a 和角 f、 d、 c 的 度数 是可以的，对不对？我们这两个角相等，而且与角小十度，所以这两个角加起来是多少度？八十度，那么一个角就是四十度了 好，那么呢，它说 p 为 d、 c 上一个动点， p 是 d、 c 上的一个动点，就是 p 在 这一部分移动，而 q 呢，是 p、 c 上的一个动点， q 它只在这一部分移动，而且满足的是什么呢？好，我把线擦了， 满足的是 f q p， f q p 等于角 q f p 这两个角是相等的，是不是？好，那接下来呢？ f m 这条直线， f m 这条直线，它是角 e f e f p， 也就是这个大角的角平分线。我们要求 结论，我们来看看哪个结论是对的。首先 ab 平行 cd， 我 们是求了的，那接下来我们就要看 f q 平分角 a f p 了，对不对？ f q 是 这条直线，那么我们其实就要求证角 a f q 等于角 q f p。 好， 那么我们已经知道了 ab 是 平行于 cd 的， 那么就会有一组内错角， 角 a f q 和角 f q p， 它们俩是相等的。而题目当中又给到了说角 f q p 和角 q f p， 它们是相等的，所以我们就能够知道 角 a f q 是 等于角 q f p 的， 所以它就是角平分线，它也是对的。好，那么我们接下来要看角 b 加上角 e 是 等于一百四十度， 角 b 加上角 e 是 等于一百四十度，因为角 b 和角谁是相等的？角 c 是 相等的，对不对？所以其实就是角 e 加上角 c， 而角 c 呢，又和角 e a b 是 相等的，因为它们是同位角， 这两条直线是平行的，是被它所截形成的同位角。好，那这个时候我们是不是就好找的多了，这是一个三角形啊，所以它们相加是等于一百八十度的，而角 e f a 我 们又 求出来了的，是不是是四十度，所以角 e a f 加上角 e 是 等于一百四十度的，也就是角 b 加上角 e 是 等于一百四十度的啊。好，那么接下来继续看 角 q f m 的 角度是定值， q f m 是 在这个角。好，把图上写的信息先擦一擦， q f m 是 这个角，它说它的角是一个定值，那么我们就要来求一求了，我们会发现这个角在哪，哪个角之中， 它是不是在这一部分里面，对不对？那么我们知道 m 是 角 e f a 的 角平分线是不是？ 好这个过程给大家写一下啊。因为 f m 平分角 e f p， 所以 角 m f p 是 等于二分之一的角 e f p 的 角 m f p 这一部分的角，它刚好也包含了进去，对不对？这两个角是相等的。好，那么接下来又因为我们刚刚已经证了 f q 呢？它是平分角 a f p 的 f q， 它平分角 a f p， 所以 这两个角是不是也是相等的呀？所以角 q f p 是 等于二分之一的角 a f p 的， 那么我会发现 角 m f q 是 等于二分之一的角 e f p 减去二分之一的角 a f p 也就等于二分之一的角 e f p 减去角 a f p， 这个角 减去角 afp 是 这个角，最后只剩下的就是角 afe 了，对不对？就等于二分之一的角 afe。 而角 af 的 e 的 度数我们 早就求出来是四十度，对不对？就等于二分之一乘四十度是等于二十度的，所以说它是一个定值，有没有错误是没有的，对不对？所以这四个结论就都是正确的，所以选择定。

家人们，菱形折叠加垂直这道中考折叠题直接秒出答案！今天教你用双平出等腰，一招搞定！所谓双平，指的就是平行线加角平分线，这可是几何理的黄金组合！ 重点来了！菱形对角线天生互相垂直，所以 b、 d 垂直 a、 c 又题目给了 b p 垂直 e、 f 直接推出 a、 c 平行 e、 f 翻折就意味着角相等，再结合刚得到的平行关系，可得到此三个角相等。 三角形 a、 e、 c 直接变身等腰三角形 a、 e 等于 e、 c 直接锁死。接下来算对角线， a、 c 用勾股定力，一步到位，轻松算出长度十六。最后 b、 e 就是 十一答案直接出炉！就这招双平出等腰折叠题，闭眼秒， 下次遇到类似题直接套用，分数稳稳拿到手！关注我，下期更精彩！

期下第一次月考的押注题，一定会考平行线证明过程书写已知这两个条件，让我们求证角四等于角 c。 这是一道期下月考中的几何证明题，考的是几何过程书写以及逻辑思维。这个视频韩老师带你用倒推法解决所有几何证明问题，一定帮孩子收藏保存学习，同时这套马上要考的月考真题卷一定给孩子练习月考稳稳拿分。 对于几何证明题，我们有一个核心解题方法，倒推法来去书写过程，要证明角四等于角 c， 其实就可以证明这两条线是平行的，就是 d e 平行于 bc。 那 现在要证明两条线平行，其实就是要想到平行线的判定，平行线的判定就是找角之间的关系， 要么角是相等的，要么角是互补的。那接下来我们来看题，已知角三和角 b 是 相等的，那如果角三和咱们这里的角五相等，两直线就平行了，所以说我可以去证角三等于角五， 而角三又等于角 b， 那 其实我就是证明角五等于角 b 就 可以了。那你看，要证角五等于角 b， 其实又是证明这两条直线是互相平行的，所以我们要证 b d 平行于 e、 h。 而已知条件。角二加角一是等于一百八十度，角一是等于角六的，它们是对顶角，那角二加角六等于一百八十度，这就是两直线平行的，同旁内角是互补的。那 所以说我们可以用角二加角六等于一百八十度去证明平行。那咱们写过程的时候，其实就是从下往上进行一个书写就可以了，那写的时候因为角一加角二是等于一百八十度，而角一又等于角六的， 那所以说角二加上角六就等于一百八十度。所以我可以得到左边 b、 d 和右边的 he 是 互相平行的，那由于它们互相平行，我们就可以得到角 b 是 等于角五的，而又因为咱们的角三是等于角 b 的， 那所以说角三就等于角五。 因为角三等于角五，那所以咱们就可以得到上下两条线， d、 e 是 平行于 b、 c 的， 那由于 d、 e 平行于 b、 c， 咱们可以得到同位角相等，直接得到角四等于角 c， 你 听懂了吗？

初中最难的，所有孩子都望而却步的一类题，叫做平面几何最值问题。不信你问你家孩子的上一届的孩子师哥师姐那些人看到平面几何里的最值，麻不麻？慌不慌？痛苦不痛苦？答案一定是出奇一致的。 平面几何最值问题，将军一马不难，但是将军一马的辨析题有十种，随便出一个孩子都觉得，小朋友就交代了很多家长，你可能不理解，说老师为什么这么难？这几何最值难在哪？我告你提 孩子看这个题型，他不知道在考什么，你知道吧？他对应不上这东西到底和书上的哪个知识点是有关的，他是用哪个东西来解决问题他不知道。 这样就算知道这个将军一马考的是轴对称，考的是中垂线，他也会有第二个。第二个问题什么呢？但凡能称之为这种平面几何最直的题，他都有一个共性，记住了，叫辅助线很多， 你随便来一道这种几何垂直体，我告诉你辅助线的数量，三条打底，你就能理解为什么你家孩子不会做了。因为一条辅助线有的时候他都搞不定两条，就感觉很难，三条打底，那不要了亲命了吗？对不对？那这事怎么解决？ 我给你们三步法任人听。很多孩子到这个环节的时候，他学不懂的原因其实不在于孩子，是在于我们教材几何这个东西的设置，包括老师的讲法本身就出问题了。 比如说我刚才讲的叫中垂线的性质，你学这个性质简单的，老师讲这东西也简单的，中垂线的性质你压根想不到，老师也没给你讲到，他竟然是用在将军一马这个题型里，所以到那你也不知道，你学的时候你做那题跟这个也没关系啊，对不对？所以记住啊，成熟的老师，优秀的老师， 会学的。孩子在面对几何超级拉分的环节，一定要搞清楚的是你在学任何一个知识点， 你要问老师，你要拿题来检验，要知道这个知识点到底为谁而生，到底为谁而死。你不把这个问题就是一杆子给他捅到底，那就是学了个寂寞。所以这就是第一步啊，这一步就能解决你家孩子几何的大问题，要不然他真的是学了也 没用，他都不知道什么题又能用的上。好讲第二步，他辅助线非常多，怎么整？这个问题是不是无解？一条都费劲，两条四条，基本上就是死路一条。我讲一下， 实际上大家看到的叫最终呈现好多条辅助线，但是真实的辅助线是一条做完，所以需要做第二条，第二条做完，所以需要做第三条，这才是做辅助线的本质。你可能还不理解，我给你讲一下，数学是一个讲逻辑、讲流程的学科， 所以这几条辅助线不是框全部排上去，他数学从来不是这么做题的，数学一定是我有了第一步，是第二步，所以必须有第三步。所以你家孩子辅助线不会是他的逻辑出问题了。 你比如说我们刚才讲的将军一马他的那个辅助线，他为什么有那些条辅助线？你看第一步你就必须得做对阵，你做完对阵之后，你必须要补全图形，所以你看你能发现逻辑吗？因为有了一，所以有了二，所以有了三，所以这才是他能够做出来多条辅助线的本质核心。而 而不是说我怎么一下子能想到所有的福利，不是没有这样的人，也没有这样的事，是你的逻辑对了，是你的流程对了，是你的知识对应对了，你才是个高手，所以没那么难。但是我讲这个事， 本质上来说，连方向你家孩子都找不到，连门都找不着，那肯定没有分能听懂吧？讲完了，第二个辅助线多怎么办？所以其实也很简单对不对？但难者不会，会者不难，名师手下的这点事算个啥？都很容易，所以你好好找找你的路在哪。最后一个 很恐怖的一个事叫做变形题，这道题会做，下一道题我不会了，都是将军印马，为什么这道题会做？我下道题为什么我没有举一反三的能力？我告诉大家各位家，你记清楚，留下一句话，举一反三是个伪命 题，就从来没有举一反三这一说，那题那么复杂，拿出来一道，下一道题你就会了？做梦去，不可能。擦，我觉得我讲这你可能就慌，你说老师，那既然举一反三不行，那意味着是不是我做了都白做？ 因为再出我还是不会告诉大家所谓的母题。这个说法叫听起来可行，但是实际上用我们学数学人讲，不严谨，不全面，你真正要做的不是举一反三，是举一类。反一个什么意思？我们以将军一马为例， 什么叫一类？我把将军一马的母题，将军一马的各种各样的变式的可能都给你放一块，那 ok， 将军一马的整个这一类他怎么变化，他会有什么样变化，就全都在这。那你再出一道题，你就跑不出我的变形了。我这么讲你能理解吗？但你说我就出一道，我再出一个题能跑出，你能不能和你这一样，大概率不一。 所以这叫本质，这叫真相，这叫一个人。一个学生在初中阶段说解决复杂的问题的时候，解决那么多的题型的时候，他仍然能做到游刃有余的原因是做了题型归类。那这个题型归类说实在的，太专业了，刘晓阳已经教了十五年， 我们线上线下带了五万多个学生，而且我们整个教员组上百位老师，这个事我们验证了数以万遍。我告诉你，其实多简单，就那么五六类最直问题，每一类最多就一周就全部搞定，甚至用不上，有可能两天你就搞定了。但是千万别走弯路，千万别咳 死磕，磕不出来，弯路越走越远。真正让孩子拿分，从正确的方向，从最高的效率，从最匹配的方法和老师开始做起。想来听这个评论区回复讲座，周六晚上我给你们讲清楚。

期下、期中、月考，期末必考的非常典型的平行四边形求面积的问题，我们一起看一下。给定这样一个图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 面积为一百，三角形 p、 a、 b 的 面积为十九，那么问三角形 p、 c、 d 的 面积为多少？那么这个题其实考察的是一个 非常经典的模型，叫拉窗帘模型，掌握了这个模型的同学，这道题可以直接秒出答案，如果在考试当中让孩子去推导，百分之九十五的孩子是推导不出来的。今天张老师一分钟带大家来了解什么叫拉窗帘模型。 很多同学经常会有卡点，最根本的原因就是知识点学成了碎片，没有办法系统的运用所学的知识，为此我把初中数学三年所有的知识点系统的给大家梳理成了四十八页知识系统思维导图， 有兴趣的家长可以六六六。那我们说什么叫拉窗帘模型，画个图简单的看一下啊。这两条就是平行线，这一个三角形我们说 p、 a、 b， 那 么这个三角形的面积， s 三角形 p、 a、 b 的 面积，它是由底边和底边上的高来决定的，所以我们这个 p 点可以在上面这条平行线 来回的移动，不影响这个三角形的面积，因为它的高始终不变，两条平行线之间的距离它是不变的，所以 s 三角形它是等于 s 三角形 p、 e、 a、 b 的。 那么掌握了这个原理的话，我们就可以来直接解这个题了，那么我们看还是从问题出发，明确目标，目标是让求 s 三角形 p、 c、 d 的 面积就是这个 p、 c、 d 这个三角形的面积，那么给定的条件是平行四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，那我们就想如何将要求的目标和这个条件联系起来，假如这个 p 点是在 a、 d 这线上的话，我们其实就可以举个最简单的例子啊。先假设假如 p 点是在这里的话， 那我们是不是可以就将这个平行四边形的面积分成了三部分，第一部分、第二部分，第三部分，那这第一部分已知，第二部分是平行四边形面积的一半，这三角形是它的面积的一半，那是第三部分。总何知道了，其实总的平行面积减去一部分二部分，剩下的就是三部分，那么如何 将这个条件转化到我们说的这个 p 撇点，让它在 a、 d 上来就是利用的就是 p 撇点，那么三角形 p、 a、 b 的 面积是不是等于 s 三角形 p 撇 a、 b 的 面积？底边边长不变，高不变，我们就将条件进行转换了，转换到这个平行四边形里头来，那么第二个这个 s 三角形 p 撇 bc 底边 bc 边乘以高，再乘以二分之一，是不是等于二分之一倍的，这个平行四边形的面积就等于五十， 那么再问 p 撇 c、 d 是 不是就等于一百减五十，再减一十九，等于三十一，那么这个 s 三角形 p 撇 c、 d 是 等于 c、 d 边乘以这个底边的高，它的面积和三角形我们要求的目标面积 p、 c、 d 是 不是相等，那么这就等于 s 三角形 p、 c、 d。 所以我们最后要求的目标其实就是三十一，那么这就是利用我们说的拉窗帘这个模型，将条件进行转移到我们的已知条件里头，把一个陌生的问题转变成一个熟悉的问题，其实就是将平行四边形的面积分成三部分，知道其中的两部分和总的面积。求第三部分小学生都会做的题。好，这个题给大家分享到这里。

你有没有想过一个怪事，从小学一年级开始，语文老师花了整整六年，一个并句一个并句的帮你改语法。英语课上，老师为了让你分清现在完成时和过去，完成时也能讲很久。但到了七下数学的平行线证明的逻辑写作 教材给你一些简单题，附赠了一份标准答案，然后就默认照着写，你就会了，然后你就照着写了。明明感觉没错， 却因为关键逻辑错误整道题丢分。明明思路是对的，却因为格式不对扣了步骤分，你甚至不知道自己错在哪， 老师也只说你格式不对。今天这个视频，我就来当一次数学语法老师，把平行证明的语法规则一条一条的拆给你看。从真实案例出发，整理学生常犯的三大类错误。 先看个对比，上面是一道七上的角度计算的题目，下面是入门级的七下平行的证明的标准格式。能看得出来，七上啊，计算偏多，而七下最明显的是字变多了啊，但本质是 从我觉得是这样算，升级为我证明，必须是这样。在这些文字，包括因为所以的背后是思维方式的质变。 平行线的证明是初中第一次真正意义上的逻辑写作考试，那我先把这个考试的底层逻辑给大家讲清楚啊，那他写作的标准结构就三块，第一个是因为什么样的条件， 所以得到什么样的结论，括号里边是填里的依据。啥意思呢？你的条件来自哪？ 你从条件得到结论是依据什么样的公理或者是定理？我们在刚开始写的时候，对格式要求会很严格，等到你熟悉之后，尤其是复杂的平行证明题，依据这个地方是可以省略的啊。先说条件，条件只有三个来源啊。 第一，题目文字给出的，比如说题目给了已知 a、 b 平行 c、 d， 那 么我在证明的时候我就能说，因为 a b 平行 c、 d 这个地方大家很少犯错啊。第二个来源是题目图形给出的，这儿就会有人纠结了啊，你比如说我这一个图 给了图，那明显一和三是对顶角，那初学者就会纠结，老师我要不要说因为角一和角三是对顶角？不需要。那太废话了，直接因为角等于角三啊。直接写 包括角三和角四是零补角吗？那和一百八很容易看。那我需不需要说因为三和四是零补角呢？或者说因为这是一条直线呢？不用直接写，因为角三加角四等于一百八十度啊。所以对于对零角啊，零补角能从图上直接看出来条件，我们也直接使用啊， 默认为是题目给我们的。那条件的最后一个来源就是前面你已经证出的结论啊，因为一道平行证明，他会有很长步骤， 你前面挣的结论肯定可以给后面所用啊。然后就是你得到的结论，根据你的条件利用了什么样的定律或者是公理严格的推出啊，当然我这说严格大家还没感觉，一会我们用大家犯的错误来说明 你为什么被扣分了啊。第三个部分是依据，那依据就是你条件来自于哪，和你结论是靠什么理由挣出来的。 先说条件依据，常见的就三种，已知对菱角相等和菱角的定义，我们就以刚才条件的三个来源为例啊，第一个题目给了我 a、 b 平行 c、 d， 所以 我的这个 依据就来自于已知啊，这个大部分同学都不会错了。第二种题目，图形给出的条件。这个时候就有人会纠结了啊， 刚才我们已经解释过，对顶角直接写，那依据怎么说呢？不要说因为他们是对顶角，你直接写对顶角相等。 同样的第二种，因为三加四等一百八，不要自己编一个，因为他们是零补角，或者他们在同一直线上。 标准写法零补角的第一，相比于条件的三种依据，那结论的依据就更多了啊， 它大概可以分为四类，一共是七种啊。第一种题目给了我，因为 a、 b 垂直 c、 d， 那 你看，我的条件来源就是已知，那垂直肯定可以得到结论是九十度啊，那依据是什么呢？ 不要想当然写什么垂直的性质啊，标准写法垂直的定义啊。所以第一个是关于垂直的题目给了 a、 b 平分角 cbd， 这个来源是已知。 那么既然平分，我肯定能得到角度相等啊，那得到这个结论的依据是什么呢？标准写法角平分线的定义。 第三种，因为角一等于角二，这是题目给我的，所以我的条件依据是已知，那根据我的需要，我等式两边同时加上一个角三，那仍然成立吗？ 啊，这个地方是我们最纠结的啊，这两年，因为二五年以前我们会写什么呢？依据是等式的基本性质，因为等式两边同时加上相同的数，仍然成立嘛。但是二五年春季之后，人教版教材改版了，他的写法变成了 等式的基本事实啊，这个是来龙去脉，我待会详细讲解啊。第四类，是三种平行判例的方法及其互逆的。这个平行的性质啊， 这个看起来多，其实你很快就熟练了。唯独有一个地方容易错啊，比如说给了我已知角一等于角二啊， 条件的依据是已知，所以 ab 平行 cd。 那 结论的依据是同位角相等，两直线平行嘛，因为一和二是同位角，如果反过来，题目已知的是 平行 ab 平行 cd， 那 我也能得到平行的性质，所以两个同位角相等。而这个结论的依据就变了，它是两直线平行，同位角相等。 初学的时候，这两种最容易犯错的就是你把顺序写反了。那一个基本原则，前面这半句话对应的是你的条件，你是角度条件，那就是角。什么关系啊？你是平行，那就是平行。放前面， 后边这半句话是对应的你的结论，因为你的条件，所以结论，所以角度相等。 我给大家总结了最常犯的三类逻辑错误啊。第一类，致命的判定逻辑错。为什么说是致命的？因为这样的错误你一旦出现，老师一定扣你分，他不扣都对不起他自己。 第一种，因果关系不成立啊。我以一道我们寒假期间真实的学生题目来举例子啊， 如图，给了 ab 平行 cd 啊，我在图上做做标记，我的习惯边读题边做标记。然后呢，延长 a d 交 b c 于 f， 连接 a d 之后呢，得到两个角，角一等于角二， 让我们证明角 b 和 cd 一 是合一百八。好，我们来看它的证明逻辑啊，因为 ab 平行 cd， 所以 角一等于角 b f h， 我 来标两个 x 啊，各位，你发现问题没有？这两个角是因为平行得到了吗？不是啊，这两个角是对顶角啊， 所以你一开头就整了一个，你这个不成立啊，你应该是这么写，因为角一等于角 b f h。 理由啊，条件的理由叫对顶角相等，我这就省略了，应该这么写的。所以一个严格老师一上来，你这句话一写， 他可以把分全给你扣掉，因为你第一步逻辑都是错的， ok， 然后同时正确写法，角一又等于角二，对吧？题目条件引进来，这是已知， 所以角二等于角 b f h， 你 看到这来，他才换到他想要的结果，而且这个依据是等式的基本事实， 所以你看，这就是我们说的因果关系，并不成立啊，这种出现必扣分，扣你两分正常， ok， 然后你再看下一步，角二等于角 b f h， 之后，这也是 x， 他 突然就得到，所以一百八减角二加 b f h 等于一百八。 你第一反应看到这个算式，你都不知道他想干嘛，其实我懂他的意思，一百八减角二是哪个角呢？就是这个角，它相当于一百八减 x， 那 因为角二等于角 b f h 吗？减去一个角加同样的角等于一百八，没问题，从算式上来说没问题，然后他又犯了第二个错误，我们一会会再说。 就是你这个很奇怪的算式，怎么又突然出现了平行呢？好，你是想用同旁内角互补，但同旁内角互补是两个角，这儿 这还有一百八呀，这不是同旁内角，至少来说格式是不对的啊，后面的我就不再往下推了。所以大家看 你这种因果关系不成立，明明是对零角，但是你从平行得到这个逻辑就完全是不成立的。然后 应该是同旁的角互补是两个角，合是一百八，你这突然出来，你还有叉，还有一百八，你这不成立啊。第二种错误，因果关系的颠倒啊，这个错误在初学的时候会多一些，你熟悉之后反而不多了啊。我举了个最简单的例子， 因为平行，所以角相等完全没问题，但是你在写依据的时候，你写反了，你是根据角相等得到平行啊，应该把它换过来。 第三种，使用不存在的条件啊，这种行为我们称为伪证啊，不是伪军啊。好，我以这个真实案例为例啊， 如图， f 是 bc 上一点给了 f g 垂直 a c， 你 看他的答题习惯，并没有按照我要求来换条件。 dh 呢，是 ab 上的点， h e 也垂直 a c， 这个时候两个垂直你得到了两个九十度，你马上是能得到 e h 和 f g 平行的， ok 啊，又给了 d e h 等于 c f g 啊，相等角我又不知道是多少，但是我又想用，我给他标个 x， 方便我看。 至于答题过程中我用不用设参，另外再说，下面看它的格式啊。这个题确实要做辅助线，因为因为 e h 和 f g 平行，并没有三线八角，不好用好它的做法连接 e h， 因为 d e h 这个角等于 e h g。 各位这一下就蒙了呀，你这个条件从哪来的呀？你不能说自己一连个辅助线就能得到他们俩相等啊，这是经典的伪证啊， 你再看他的思考过程，他在这突然来了四个角相等，也不知道是不是属于答题区域的这个范围，反正放了四个角， d， h 等于 e， h， g。 比如说我也标 x， 我 按他的想法，我也标 x 啊，然后等于 h， g， f 等于 c， f g。 但是这个哪来的没有啊？当然有人会说，老师，我可以先把这两个证出来。 可以啊，它们俩相加之后，即使你把 e h 和 f g 的 平行证出来，你也只能知道它是 y， 它是 y， 就 它们俩相等。而这个 x 和这个 y 为什么相等？题目没有的， 所以这道题从这就 good bye 结束了。如果是八分，应该全部扣完。下面我就不用看了，因为前面的条件是你编造的，那后面这个结论更不成立了。那你后面所有基于此的，甭管你是否是否合理，都判定为伪证。 第四种，必扣分的逻辑判定错误使用不存在的依据啊， 超过很多家长的理解，我们的学生为了达到做出这个题目的目的，他会使用很多手段，这也是一种典型的啊。 题目条件给了，因为 a b 垂直 c， d， e， f 也是垂直 c d 的， 没问题，已知，所以他就得到 a b 平行于 e f， 而且他有一个看起来很合理的依据，叫垂直于同一直线的两直线互相平行。 可惜各位，这是错的，课本上根本没有这样的定律。我也能很容易的找到一个反例，证明你这个定律啊，不成立，有瑕疵啊。比如说，这是一根直线，另外两支铅笔代表两根直线都和这条直线垂直， 没得问题啊。请问这两支铅笔互相平行吗？不是的啊，所以说课本上为什么不给这样的定义？因为它有瑕疵。那正确的写法应该是怎么样的？因为垂直， 所以角一等于角二等于九十度是垂直的定义，然后 角一和角二是同位角，那同位角相等，两直线平行，所以这理由也得换啊。还有一种更常见的不存在的依据是三角形内角和为一百八十度啊， 因为大家在小学时候都学过呀。那三角形内角和就是一百八呀，怎么证明的吗？小学课本是吧， 把这三个纸片撕下来，最后能拼成一个一百八十度角。但是各位，这个证明过程毫无严谨可言，它只是用来 给你一个大概的方向。而三角形内角和在人教版教材里边，什么时候才去证明呢？是八年级上学期，所以在七上这个阶段，我们不能直接使用啊。 那不能直接使用怎么办呢？有专门的辅助线呢？举个例子，过 a 做一条直线，和 bc 平行，那这是三十度，这个角也是三十度，那这边根据平角一百八减去一百就剩八十，那这个内角也变成八十。 所以三角形内角虽然不能直接用，但是我一根辅助线就能解决，而且我能从这个地方拓展出一系列的三角形内角盒的。这个使用啊，是靠辅助线的， 所以解答题里边，你一旦明目张胆的用三角形内角盒，这个分又给你扣掉了啊。 填空选择题，因为不需要格式，你可以用，没问题啊。第二大类错误，我称它为充满扣分风险的逻辑不严谨，它不像第一类错误，判定逻辑都不成立，这呢只是不严谨，但是 这种小错误往往是大家犯的最多的，而且也是各种扣小分的重灾区啊。 我们先看第一类啊，叫三种判定格式不合规。哪三种呢？就是同位角，内错角，同旁内角，就是这种核心的判定不合格。 我举个例子啊，比如说因为角一等于六十度，角二等于六十度，这都是已知的啊，所以得到平行，能这样写吗？不行。 我们的判定格式是什么？这角一和角二是同位角，我必须要写出角一等于角二，就是这两个同位角必须给它列出来相等，你才能得到平行。因为你写理由的时候也是同位角相等， 你把相等给表达出来，那同样内错角也是一样，你必须要把角二等于角三这个算式给列出来，才算满足了判定的前提。 那同旁的角也是一样，你看这个典型的格式啊，你假如你算出来角二等于一百二十度，角三等于六十度，没问题啊，打眼一看都是和一百八，但是你没有说出来啊， 我们的判定逻辑是同旁内角互补，是和是一百八，那个算式必须要写出来是角二加角三等于一百八十度啊，所以这你偷懒跳步了啊，不合规想扣你一分也没得问题。还有一种更隐蔽啊， 他说我写出来了这三个角的和是一百八呀，而且他确实是同旁内角啊，但是不对，为啥呢？同旁内角是几个角？是两个角， 你应该写出来角 b e f 加上角 e f d 等于一百八，这才叫同旁内角，就两个角互补，所以平行。 所以我们说这种关键的判定格式，这样不要跳步，把关键的等量关系算式写清楚。第二种逻辑不严谨，叫引用条件混乱啊，比如说 多写条件，啥意思呢？他恨不得一口气啊，把题目给的所有条件全列在这，然后他从里面比如说得出来，角一等于角二，角三等于一百一十度， 又写了一堆结论，这是典型的逻辑不清晰啊。我们说你用什么条件得到那个单一的结论，拆开写，不要挤在一起啊。这个刚开始学的时候错误比较多，后来好一些了啊， 但是更多的是少写条件啊。有的人认为，反正题目条件不都在题目里面放着吗？对吧？那我直接用就行了。 各位，如果真按你说的条件都在题目里放着，不用再专门写，那你就直接得结论得了。你直接把结论写出来了，我们考察的就是你先用， 我们想考察的就是你的判断，你先用什么条件得到什么初级结论，然后不断的循环递进，才得到最终的结论啊。你再回到刚才我们举过这个题， 你两个垂直都没有在题目中出现这么重要的条件，打眼一看你都没用上，一定会扣分。当然这个背后的原因啊，主要是偷懒不想写啊。 第三种逻辑不严谨是让很多学生最纠结的四个依据，到底怎么选？这四个依据又非常相近，而且还涉及到教材的版本改变的问题啊。第一个叫等式的基本性质，它其实来自于我们小学和期上的解方程， 因为角一等于角二，所以一加三等于二加三确实很好理解啊，等式两边同时加上去，哎，我把这个理由填在这也挺合理啊。 第二种，等量代换，因为角一等于角二，角二又等于角三，所以一等于三也挺合理呀。 等量代换。但是各位麻烦的是教材版本改变了啊，人教版二五年春季的新版教材，把等式的基本性质啊，等量代换这些全都换掉了，换成啥呢？ 换成了等式的基本事实，它既包含等式的基本性质，也包含等量代换。所以如果你是人教版的教材，你就记住一件事，和等式相关的东西，你就直接填等式的基本事实了啊。 但是在这个过程中，有些老师还没有注意到这个变化，还有一些网上的答案也没有去及时的更改过来，所以有的时候你还会看到这两个东西出现啊，虽然本质上来说他们都没啥问题啊，只是教材改版的问题。 然后还有一种，这个是无可争议的啊，不存在改版的问题，他出现就应该这么写，角一加角二等于九十度，一加三也是九十度啊，所以二等于三。那会有人想到什么？老师，我利用等式的基本性质，等式加减吧，我把这两个式相减， 或者一加二等于一加三，我用代换一下，然后把两边再把一减掉，哎，也能得到二等于三呢。所以我想填等式的基本性质，各位，不行。为什么呢？这个地方要用到我们七上学角度的时候的一个 依据，同角或等角的余角或补角相等，也就相当于如果这个地方是特殊度数，比如说九十和一百八， 我们自动开启专项模式，就填同角或等角的与角相等，这个里边就填同角的与角 相等。如果下一回你碰见呢？因为角一加角二等于七十度，角一加角三也等于七十度，所以你得到角二等于角三。这个时候你想写依据写哪个呢？写 等式的基本事实没得问题，因为你确实是用等式相加减，然后两边削得到的啊。 所以一句话总结，这四个依据看起来都很像，因为都是跟等式相关的啊。我们解释，由于教材版本的改革，在等式的基本性质和等式代换，这两个说法都合并为等式的基本事实。 然后如果出现两个角的和是九十或者是一百八，我们统一用同角或等角的余角或补角相等。第三类，有扣分风险的，逻辑不严谨的，我称它叫奇葩错误的鉴赏，我这只是开个头啊，大家可以在评论区帮我补充啊。 第一种，在格式上，他的书写不换行，他横着写， 真的，尤其是有些男生，他的书写习惯啊。我们先举个好例子，你看这个书写非常漂亮， 因为所以上下对齐啊，果断的换行。一道答题，我基本上分为左右两个区域，看起来一一对应，也很清楚。 ok， 你 再看这个， 其实空间够用，但是他并没有去左右分区，导致他第一问很轻松写了几行，空间占了一大半。写到第二问的时候，他慌了，他仍然按照横的这个写，然后你看一下，你这这么长， 我都不知道看到哪去了。很可能他的答题逻辑啊，从上到下，再过来，到这来，再到这来，再到这来。 各位说真心的，哪怕你真的写的是对的，当老师在阅卷的时候，看到你这样混乱的布局，眼花缭乱，非常痛苦，那你让他不爽，他就给你扣分喽。所以说，良好的答题习惯， 答题区域分为左右两部分，竖着及时换行，从上往下一一的列举。 第二种错误是我都没怎么想到的。有些同学在期上学角度计算的时候，由于格式要求不严谨，或者老师没有重点强调，他对角度、名称的书写都不够准确，比如说这个图， 他说所以角 b 等于六十度。请问点 b 这个地方有几个角？有三个角啊，那你说的是哪个角啊？你不能让我去猜呀， 更多情况是这种，当你做完辅助线之后，你还有没有角 c 呢？没有了 c， 这个地方也是一个两个有三个角， 你要写成角 b， c， d 这个地方你应该写成角，比如说 abc 吧， ok 啊，当一个顶点不是一个角的时候，你需要用三个字母的全称去表示了。 最后做个总结。这个视频我们先梳理了平行证明的底层逻辑、 条件、结论和依据，然后又解析了三大类错误，从致命的判定逻辑错误，到有扣分风险的逻辑不严谨，以及最后的各类奇葩的 错误建章。为什么我们要死磕这种格式，不是为了折磨大家，而是为了训练一种思维，凡事讲证据， 步步有依据。这种思维学习上会用，等你以后长大了，做复杂的决策，甚至人生的重大决定也会用得上。

七级下册的数学，反反复复就考这十四大类型的一个培优压轴题型，基础扎实，想要攻克压轴题的粉丝可以重点掌握。 那我把这些压轴题都整理到了这份数学压轴题里，可以用做练习巩固。首先是平行线单元常考五大拐点几何模型和五大拓展压轴题型。 明星现代园的拓展压轴题型常考期中期末考的一个压轴题，其中五大拐点几何模型分别是铅笔型、猪蹄型、锯齿型、骨折型、臭脚型等几何模型。 五大拓展压轴题型分别是折叠问题、拐点模型的综合运用，整体思想、求角方程思想、求角等级变化、球面积等。 那平面直角坐标系单元常考两大拓展亚洲板块，分别是找规律问题和几何结合的动点问题，也常和平行线拐点问题综合在一起考。期中期末考的一个压轴题，二元一次方程单元常考参数问题，比如同解问题、错解问题等。 不等式单元常考带参数的不等式和不等式组，又会细分为不等式组无解、不等式组有解及不等式组有有限个解等问题。 那以上七级下册常考的一个拓展压轴题，我都整理到了这份数学压轴题里。如果这些压轴题不会做，可以通过我的系统拓展视频来学习题型框架跟核心解析思路，学懂之后再去做题，减少摸索时间，提高学习效率，解决压轴题不会写的问题。

好，这个视频来讲一道七上数学第一次月考的常考的培优压轴题型，是平行线的一个拐点结合模型的综合运用，特别是结合到这种双角平分线， 然后会有这个啊等式的这样子一个题型，百分之九十九的同学都不会做这个视频，花三分钟来讲清楚这种题型的三不核心解析的解出来。 好，那还有更多的这个七项数学第一次月考的培优压轴题练习，我都整理到了这份练习题的资料里面，可以用来配合练习巩固。好，那么来看一下这道例题，如图是有一组平分线的，然后这 m、 n 的 话呢，分别是 abcd 上两个点， g 点的话是在 a、 b、 c、 d 之间，然后连接 m g 跟 n g， e 点是 ab 上方的一个点，连接这个 e m 跟 e n。 好， 且这边的一个 g m 的 延长线平分这个角 a m 一， 这个 n 一 的话，平分这个角 c n g， 也就是双角平分线了。好，这边是有两条角平分线的，并且是有一组等量关系， 这个角 m， e， n 跟这个角 m， g， n， 然后之间是有一个呃等量关系，去求这个角 a m， e 的 一个度数。 好，这样的话呢，我们看到这个图看起来有点复杂哈，但实际上我们一眼看过去，其实就可以看到这边是有几个拐点模型的，第一个呢，就是这个骨折型， 对吧？然后第二个呢，就是主体型，所以的话，其实就是可以充分去运用这两个拐点模型的一个结论去解题就可以。那我们看到哈三步核心解题思路非常清晰，第一步的话呢，就可以去设 相关的角平分线的一个关键角去设 x 跟 y， 这样子书写的时候会简单很多，题目已经说了，就是 这条是角平分线吗？所以这两个角可以设作是小 x， 然后这条是角平分线，所以下面这两个角可以设作是角，这个设作是 y， 可以 吧？ 好，接下去的话呢，就是第一步就做完了哈，就是 x 跟 y， 第二步的话就可以去把关键角用 x 跟 y 去表达出来，像这有没看到哈， 就是我们看到题目的话呢，是给出了这两个关键角的一个等量关系，那其实就可以把它们两个用 x y 给它带进去，然后就可以求出相关的一个未知数了吗？ ok， 第三步的话，我们看到这个 a m e a m e 的 话，其实就是 等于二 x 吗？那其实最后就是把这个 x 给求出来，就可以去求出它度数了，最关键就是把这两个角给它用 x y 表示出来，然后再去带入这个呃，等量关系去求 x y 就 可以了。那我们看到哈，这边角 m e n m e n， 我 们看一下 m e n 是 不是这个 这个骨折型里面的关键角啊？ m e n 对 吧？ m e n 是 这个角吗？那根据骨折型的一个结论的话，这个小角是等于这个角减去这个角，那也就是等于 y 减去二 x。 但如果说我们就是看到模型啊，没有这个反应，或者说看到模型没有想到结论的情况下，说明几何模型是不够过关的，建议是通过我的系统拓展视频来学哈，就是会讲到相关的模型跟结论好，然后这个角 m g n m g n 的 话，就是这个角嘛，这个角的话其实是属于这个拐点模型，也就是猪蹄形里面的一个关键角， 那根据猪蹄形结论的话，这个角是等于上下两个角的和，对吧？那我们看到这个角，这个角的话，跟这边这个 x 是 对顶角吗？也就是 x， 那 这个角的话，很明显跟这个二 y 是 有关系的，也就是一百八十度减二 y 吗？ 所以的话就可以表达出来了，也就是上下两个角加在一起，也就是 x 加上一百八十度减去二 y 吗？ ok， 好， 那这边的话关键角就已经啊表达出来了。 好，第三步的话就可以去带入这个等量关系就可以了嘛，带入等量关系的话呢？最后通常来说哈，他现在是要求这个 x， 所以 的话通常来说会把这个 y 给消掉哈，得出一个关于 x 的 方程，那带进去也就是两倍的 m e n， 也就是两倍的 y 减二 x 的 差，再加上 m g n， 也就是 x 加一百八十度减去二 y， 然后是等于一百零五度拆括号，二 y 减去四 x， 加上 x 加一百八十度 减去二 y， 等于一百零五度解这个方程，那我们看到哈，二 y 跟二 y 去消掉了吗？然后这边也就是负三 x， 等于把它挪过去，也就是负的七十五度， x 的 话也就是二十五度喽， 那所以第四步，两倍他的是等于两倍的 x， 也就是等于五十度，那就会得出来了。所以的话，这道题看起来很复杂哈，但实际上就是非常简单的 三步核心解题思路。第一步，把关键角给它设 x 跟 y， 第二步，把这些关键角通过拐点模型结论哈，给它表达出来。第三步带入等量关系列方程解方程。第四步就是去最后去求值就可以了吗？ 好，同学们做好结论好了。像这种就是啊，几何观点模型的一个结论呢？模型特征啊，结论呢？然后综合运用等等都在我的系统拓展视频里面有整理，如果说没有系统学过，可以去学懂之后再运用去解析，效率会高很多。