数学石家庄长安区一模24题函数模型

刚考完的石家庄一模数学卷整体难度不大，但亚洲大题考了集合与函数、导数的创新题，有点与众不同，建议新一卷地区考生重视此题。这套卷子出题也很标准，非常适合用来测试高考应试真实水平。 单选择题无难题，第七题和第八题也只是中档题，很符合目前新高考标准。多选第十一题和填空。第十四题是本卷难题，也都是很好的有趣分度的题。第十三题是比较重要的中档题、 解答题，前四题均不是难题，其中第十六题、第二问值得考后进行一题多解的训练。第十八题比较常规，第十九题是本卷最有亮点的题，集合和函数和导数结合近期较少见，既有创新性又有抽象性，很适合作为新一卷压轴题考大家。

同学们，今天我们来看一下新鲜出炉的二十四年石家庄一模最后一道压轴大题倒数题的讲解， 来看一下这道题函数。然后第一问告诉小啊的值，求一下 x 等于零处的缺陷方程。第二问是一个横成立问题，求参数啊的取值范围。那么这是一道非常常规的题目。第一问非常简单啊，等于一，可以写出他的解析式。 既然求 x 等于零处的切线方程，我们需要算两个东西，第一个东西求一下 f 零，这个带进去非常简单，算出 f 零等于第二个呢，算一下 x 等于零除导函数的值。 这个也很简单，我们先来求一下它的导函数，好把 x 等于零带到这个导函数里面，可以算出来这一点缺陷的斜率是零，所以 x 等于零处的缺陷方程呢，就是 y 等于一，这是第一问，接下来我们来看一下第二问 好。第二问是一个横成立问题，先把 f x 给它替换成这个， 首先观察一下这部分和这个部分是一样的，是不是可以给他化解掉，我们把这个式子给他简单的化解一下，就得到了这样的一个式子， 他其实看着复杂，但其实一划剪 之后就变得非常简单。然后观察一下定义域是 x 属于零到正无穷， 那既然 x 是大于零的，所以对于这个不等式，我们其实给他左右同时除掉一个 x， 进一步化简，就得到了， 得到了这样的一个式子。这个其实是近几年考察非常热门的一个问题，叫做同购问题， 那么当他第一次出现的时候，难度是比较大的，但是发展到现在，这种问题其实已经变得非常的典型，非常的好处理。具体如何来处理呢？这有一个 x 分之一观察一下，那么这个 x 分之 e， 也就是 x 的负一次方。注意，在同个问题当中，这个式字你一定要记住， x 的负一次方等于 e 的 lin x 的负一次方，所以它就等于 e 的负 lin x 次方。 那么他呢，是一个横等变形，他是一个横等变形。我就可以把这个带到上面的这个式子当中，然后得到这样的一个式子。 这里多说一步，它是怎么来的啊？倍的 e 的 x 次方除以 x， 那它就相当于 r e 的 x 次方乘以 x 分之一，再一步，相当于它去乘以一个 e 的负的 line x 同底数密相乘，底数 不变，指数相加二倍的 e 的 x 减去零 x。 好，同学们，你听明白了吗？然后经过化减，我们就得到了这个，加上他，加上一大于一个 x。 接下来把相同构造的东西放在一块，这里有一个 x 减零 x， 这里有一个零 x， 所以应该把它挪过来。这就是铜构问题常见的处理方法。所以我们就得到了这样的一个式子， 现在需要让他横成立，然后呢，去求小二的取值范围。好在这里我把这一部分，左边的这一部分和右边相同的这一部分 当做一个新的函数用， g x 等于它，不妨来求一下 g x 的取值范围，然后呢，对 g x 进行求导，就得到了这个。 所以我们不难发现，倒数为零的值是 x 等于一，那么当 x 大于一的时候， 它是大于零的。当 x 小于一的时候，大于零，小于一的时候，它是小于零的，所以 g x 呢，应该是先减，然后再增，所以 g x 在 x 等于一的时候取到了最小值， 把 x 等于一代到 g x 里面，这个最小值就是一。所以我们发现 g x 它 是大于等于一的，也就是 x 减去零 x， 那么它是大于等于一的。然后我令 t 等于 x 减去零 x， 那么 t 就是大于等于一的。原来的那个不等式就给他化减成了二倍的 e 的 t 次方大于一个 t 减一，他要横成立求参数的取值范围，我们记住四个字叫做优先分餐， 把这个参数给它分离出来，你就得到了啊，要大于 t 减一除以一的 t 次密， 其中这个 t 呢，就是大于等于一的。那么在这里呢，老师把这一部分当做一个新的函数，然后求出这个函数的取值范围。这个函数的取值 范围求出来之后，其实他就相当于下边这个不等式当中右边这一块的定义域已知定义域已知，这个函数现在小奥要大于他，所以我们把这个函数的最值求出来， 这个问题就解决了。所以我另一个新的函数令 h t 等于这个不等式，右边的这一部分 h t 等于 t 减一除以一个亿的，其中它的定义域 t 是大于等于一的，那么接下来做法就非常常规了，我还是去求导，求一下 h t 它的导函数。 不难发现，当 t 等于二的时候，这个导函数是等于零的。然后如果 t 比二大，导函数是小于零的，所以 h t 那在 t 大于二的时候是单调递减。当 t 大于一小于二的时候，导函数是大于零的，所以我们其实很容易发现， t 等于二就是 h t 的一个最大值， 然后把 t 等于二带到这个式子当中，我们就得到了一除以亿的平方。 那么现在啊，要大于这个函数横成立，那这个函数它的最大值是一除以一的平方，所以啊，最终的取值范围就是大于一除以一的平方，这样才能保证他是横成立的啊的范围属于一方，分之一到正无穷。 同学们，这呢，这道题我们就分享到这里，这呢是二十四年刚刚出炉的石家庄一模最后一道压轴大题，他的解法还是比较常规。

这个视频我们一起来看二四年河北石家庄中考一模的这道填空文家做题，这个题是反比的函数比较经典的一道题，听说这道题当时难倒了很多学生，我们看这个题应该如何去做？ a， b， c 在旁边函数图像上连接 o， a， o， b， o， c 分别过 a、 b、 c 三点做 x 和垂线的垂直为 m， n， p， 并且 o， m 等于 m， n 等于 n， p 给了图中三块阴影部分的面积之和为六十二，让我们求 k 的值。 我们先把图中这三块英语部分给它标出来，第一块我们标为 s 一，第二块标为 s 二，第三块标为 s 三。那根据题目呀，我们能够得到 s 一加 s 二加 s 三 三等于六十二。我们要想把这个 k 求出来，我们就应该把 s 一， s 二， s 三都要含有 k 的式子给它表示出来，从而我们就可以求这个 k。 返笔函数有一个常考知识点， k 的几何意义。根据返笔函数 k 的几何意义，在返笔函数图片上随便找一个点做 x、 o 的词片段，它和坐标原点围成的直角三角形的面积等于二分之 k 的绝对值。 在这个题中， k 是大于零的，所以图中三角形 a， o， m 等于三角形 b， o， n 等于三角形 c， o， p 都等于二分之 k。 下来，我们依次把 s 一， s 二， s 三这三块阴影部分都还有 k 的式子给它表示出来。我们先去表示这个 s 一，我们把这三个点做 图标给它标出来，依次为 d、 e、 f。 很明显，这个图中这个 s， e 应该等于三角形 a、 o， m 的面积减去三角形 d， o， m 的面积，所以我们应该把三角形 d、 o、 m 的面积也由还有 k 的式子表示出来。 过。 a、 b、 c 三点做了 x、 o 的垂线段，图中有很多直线平行，平行就会考察典型的 a 字体相似。图中三角形 d、 o、 m 会和三角形 b、 o、 n 相似， 它们的相思比是 o， m 和 o n 的比， o， m 等于 m n， o， m 比 o， n 就应该等于一比二。 我们要表示三角形 d、 o、 m 的面积，我们就要研究面积和相似比之间的联系。我们知道呀，面 是等于相似比的平方，所以此时他两个三角形的面积比应该等于二分之一的平方，也就是等于四分之一。 三角形 o、 b、 n 的面积是二分之 k， 所以三角形 o、 d、 m 的面积应该是二分之 k 乘以四分之一，也就是八分之 k。 这样的话，我们此时此刻就可以把 s、 e 英语部分给它表示出来了。它等于三角形 a、 o、 m 的面积减去三角形 o、 d、 m 的面积，也就是二分之 k， 减去八分之 k， 经过计算等于八分之三 k。 接下来我们去表示 s 二阴影部分的面积。这个题我截取的是第二小问，它还有第一小问。 第一小问我们能够知道图中这两个英语部分的面积是相等的，那根据第一小问这个结论，我们的 s 二 等于这个四边形，减去下面这个四边形 e、 m、 n、 f， 而右边这个四边形等于上面这个三角形的面积，所以此时 s 二就可以看成是 s 一减去四边形 e、 m、 n、 f 的面积， s 一我们刚刚算出来是八分之三 k， 我们只要去研究这个四边形 e、 f、 n、 f 的面积就好了， 我们看如何去求这个四边形 e、 m、 n、 f 的面积。观测这个图像，我们发现这个四边形 e、 f、 n、 m， 它的面积可以用这个三角形 o、 f、 n 减去。三角 角形 o、 e、 m， 我们分别去求这两个三角形的面积，我们先去求三角形 o、 e、 m 的面积， e、 m 和 c、 p 也是平的，也有一个典型的 a 字型相似。三角形 o、 e、 m 相似于三角形 o、 c、 p， 它们的相似比是 o m 和 o p 的比， o m 等于 m， n 等于 n p， 那 o m 比 o p 就应该是一比三。我们知道面积比等于相似比的平方，所以此时这两个三角形的面积比应该等于三分之一的平方，也就是等于九分之一。 那这样的话，我们三角形 o、 e、 m 就应该是三角形 c、 o、 p 面积的九分之一。三角形 c、 o、 p 的面积是二分之 k， 二分之 k 乘以九分之一，应该是十八分之 k。 接着我们再去表示三角形 o、 f、 n 的面积， f、 n 和 c、 p 也是平行的，也有一个典型的 a 字型相似，我们仍然通过相似比去研究它的面积。 三角形 o、 f、 n 相似于三角形 o、 c、 p， 此时这两个三角形的相似比等于 o n 比上 o p， o m 等于 m， n 等于 n p， 那 o n 比 o p 就应该等于二比三， 面积比等于相似比的平方，所以这两个三角形的面积比应该等于三分之二的平方，也就是等于九分之四。三角形 o、 c、 p 的面积是二分之 k， 这样的话，我们三角形 o、 f、 n 的面积应该是等于二分之 k 乘以九分之四，也就是等于九分之二 k， 所以我们接下来可以去表示四边形 e、 m、 n、 f 的面积， 它应该等于三角形 o、 f、 n 的面积，减去三角形 o、 e、 m 的面积，也就是九分之二 k， 减去十八分之 k 等于六分之 k， 所以此时 s 二就应该等于八分之三 k， 减去六分之 k 等于二十四分之五 k。 现在我们已经成功把 s 二阴影部分的面积表示出来了，接下来我们去研究 s 三阴影部分的面积。这个 s 三就比较简单了，我们直接用三角 型 o、 c、 p 的面积减去三角形 o、 f、 n 的面积就好了，它们两个的面积我们已经全部求出来了，所以此时 s 三阴影部分的面积应该等于二分之 k， 减去九分之二 k 等于十八分之五 k。 我们也成功的把 s 三阴影部分的面积表示出来了，现在我们已经成功把这三块阴影部分的面积给他表示出来了。 接下来我们看如何去求 k 的值。题目中这三块英语部分的面积之和是六十二，那我们就可以得到 八分之三 k 加二十四分之五 k 加十八分之五 k 等于六十二。接下来我们去解还有 k 这个一元一次方程就可以求出 k 的值。我们先左右两边同一乘 二十四，第一个应该是九 k， 第二个应该是五 k， 第三个式子应该变成三分之二十 k 等于六十二，乘以二十四。接下来我们左右两边同时乘以三，给这个区分母 二十七 k 加十五 k 加二十 k 等于六十二乘以二十四乘以三，左边这三个式子加起来正好等于六十二 k， 我们能够得到六十二， k 等于六十二乘以二，四乘以三。 此时这个式子左右两边都有六十二，我们把六十二给他约掉，可以得到 k 等于二十四，乘以三。所以最终这个题 k 的值应该为七十二。

石家庄今年质检一，成绩刚出啊，全是高三孩子集体式心跳加速！这张卷呢，整体中等偏难，比高考真题还狠，主打一个，把问题全给你考出来。第一，难度及特点速览数学呢，是拉分大魔王，多选陷阱，多压轴计算炸 导数，圆锥曲线数列，直接拉满难度，算到你怀疑人生。李宗呢，是全圆硬核物理电磁学的模型，抽象化学实验工艺流程，细节沙，生物图表题多到眼花。 那么英语呢，是细节控的噩梦，阅读地篇的超难句，逆反型考情感细腻度，斜度、输出压力，拉满梯度呢，是三比四比三黄金比例 基础百分之三十，中档的百分之四十。难题呢，百分之三十中档题才是真的拉分战场。二、必须警惕的坑，不要拿粗心当借口，计算失误，审题漏条件，答题不规范，都是二轮要补的硬伤。基础题不稳等于白给送分题，丢分难题再屁你也追不回， 只刷题不复盘，错了不改，漏洞不堵，刷再多也是无效的努力。三、给石家庄考生的建议 那么给石家庄考生的重肯建议呢，第一，错题要解剖，不写粗心，写清是概念，不清是模型，不熟，是计算失误的，针对性的去补。第二呢，中档题四科，这是题组的主力，练熟练度加规范答题，把分稳稳的攥住。 第三呢，现实模拟常态化适应高考的节奏，不要让时间成为你的敌人。第四啊，就是心态，一定要稳住，知识点呢，只是诊断，不是定局。二轮呢，才是逆袭的黄金期。 那么质检一呢，不是终点，是二轮冲刺的精准导航，把漏洞补上，把节奏练顺，高考咱们一起赢！

hello， 大家好，又跟大家见面了啊，我是达爽老师。呃，前几天呢，给大家分享了玉华区一摸的数学卷子啊，从他的选择题包括难度简单的分享了一下。那么今天呢，我也是第一时间拿到了桥西区一摸的数学卷子， 那么照旧还是从选择题和难度上来给大家分享一下，看看这套卷子值不值得大家在二刷。呃，首先先说选择题啊，选择题这块的话呢，我主要是看一下这个题目是不是新颖，是不是有创新点， 反正我从头到尾做完了之后，我感觉相比于裕华区的一摸包括中考卷子，桥西区一摸的这个卷子创新点不是特别的多。 呃，没有什么题目能让达顺老师眼前一亮，可能大家在刷这张卷子的时候，更多的感觉就是好像我平常刷的练习册，平常刷的卷子都跟这个题都差不多，所以大家在做的时候呢，相对来说也会比较顺一点啊。第二个话呢，是从难度上来分享，难度这块的话呢，咱们就首先看一下选择最后一题， 填空最后一个，还有大题的最后两道题。呃，这四道题的话呢，都是大家一般认为难度比较大。呃，但是我客观评价啊，如果你让我简单总结这张卷子的难度，那我只能说是两个字，简单。首先的话呢，就是我刚才说的这四个题难度并不是很大，比如说 选择的最后一个，选择的最后一道题的话呢，他考察的是一个几何综合吧。算是啊，这道题的话呢，我觉得总共有四个小选项，前三个就不用说了， so easy， 唯独这个圈四，他让你求贪婪的角， b、 d、 c 等于二减杠三。因为 b、 d、 c 这个角呢，很容易求出来是十五度， 所以这个题呢，就是在问你贪占的十五度是不是二减杠三。如果你平常数学拓展的比较多的话呢，应该都知道贪占的十五度是多少，所以说瞬间就可以出来了。如果你并不知道贪占的十五度到底等于多少，那你用三十度的角去推， 或者用四十五度角去推，基本上时间也用不了一分钟。所以这道题无论从难度上还是花费的时间都不是很长。 反而我觉得选择的倒数第二题考的这个换方还是稍微有一点点难度啊。你可能得知道他的第一步要求什么，第二步要求什么，我觉得比第十二题要难度大，而且费的时间要长。 嗯，填空的最后一道题应该是一个折叠与直角三角形的存在性问题，他说折叠之后就问，当三角形 e、 a 撇 d 这个三角形是直角三角形的时候，让你求 a 撇 d 的 长度。其实这种题目大家平常应该刷的也不少，一个三角形如果是直角三角形，无非就分三种情况吧 啊，要么就是 e 点的那个角是直角，要么就是 a 撇那个角是直角，要么就是点 d 的 位置是直角。你简单判断 d 点位置不能是直角。所以这个题就分两种情况，要么 e 那 块是直角，要么 a 那 块是直角。你只需要把对应的图画出来，然后呢，再去求 a 撇 d 的 长度，其实难度并不是很大， 所以说这是填空的最后一个。接下来就是我想重点说的大题的最后两道题，应该是考了一个二次函数的应用题，外加一个四边形的几何压轴题。哎，这个题型倒是比较匹配中考的最后两道题就一个函数，然后一个几何， 他这个函数应用题吧。呃，确实有点，常规，比较简单。呃，前两问不用多说了，就这个第三问吧，他说这个跳水能够落在那个 e f 那 个区域内。大家看到这个问题，有没有感觉我们之前是做过类似的，比如说我们打排球的问题，包括投篮的问题， 然后打乒乓球的问题啊，要求你这个球必须要落在哪个线段上，这不跟这种类型的题目都是一样的吗？ 啊，只需要求出这个人落在 e 跟 f 的 临界情况，然后取范围就行了。我认为这个题并不是很难啊，比较低。 然后呢，接下来是大题的最后一个，也就是这个四边形的几何题。这道题的话呢，可能需要大家稍微费点思路的，应该就是第二问的求二， 还有这个圈三，如果你对解三角形足够熟悉的话，其实第二问的这个圈也很快，而且这个题如果你会间系法的话呢，你用间系来做的话呢，其实它花费的时间会更短。常规思路就是解三角形，因此我感觉这个题难度并不是很大。 然后呢，这道题的第三问，其实就是一个变相的圆的动态相切啊，因为河北省的中考呢，应该是在二零一九年及其以前，几何压轴题无一例外都是考圆的动态相切。然后二零二零呢，到二零二三考的是常规的几何动态，比如说有三角形的动态，三角形的动点， 然后二零二四和二零二五的几何压轴题，基本上考的是辅助圆或者是最值问题，难度都是比较大的。 而这个圈三的这个动态相切，首先他是平移型的动态相切，难度本身就不是很大。第二呢，他这个动态相切分的情况呢，也并不是很多，而且呢，每一种情况他在做的时候呢，计算量也不是很大。所以说呢，我认为这张卷子最后两道大题跟裕华区的那两道 大题比简单，跟中考的最后两道题比也简单。所以说得到一个结论，选择最后一个，填空最后一个，包括大题的最后两道题，整体来说都是比较简单的。所以说呢，这是这张卷我认为比较简单的其中一个原因。 第二个原因，除了这四道题以外，也就是我们所谓的其他的非压轴题，我认为除了我刚才说的那个换方，也就是选择的倒数第二个，其他的题目难度也并不是很大，题干阅读量不大，难度也不是很大。所以这张卷， 呃，简而言之的评价，我感觉他更像是一个呃校考卷子啊，就是难度偏简单。第二个点的话呢，就是创新度并不是很高，可能让学生看到之后呢，都是很熟悉的题目， 所以说这张卷子的话呢，大家可以去刷，然后呢，出了错的题呢，也要认真改过来。这是我对桥西区卷子的一个认知，但这属于达风老师的个人观点。呃，想要电子版卷子的呢，请在评论区私信我，多多关注，以后给大家分享更多初中的好东西，拜拜。

这是什么模型？这是八字模型。这是什么模型？这是三垂直模型。这是什么模型？ 这是勾股定律等级模型。这是什么模型？这是佛罗摩羯多模型。这是什么模型？ 这是一线三等角模型。这是什么模型？这是一二三四五模型。这是什么模型？这是将军一马最值模型。这是什么模型？ 这是反比例函数圆点三角形。这是什么模型？这是铅笔模型。这是什么模型？这是 k 字相似模型。跟着亮亮无脑学习。

家装御华区初三一末的家长注意了，这份试卷直接对标今年中考方向，孩子考多少分，后面怎么补？用十五年初三教学经验一次性给你讲透。 整体看下来，这套卷子题型分值和中考完全一致，难度也是标准的，基础为主，中档提升压轴选拔，基础题占比很高，都是课本核心的知识点，想拿稳及格冲稳分数，这部分绝对不能丢分。 中档题主要考知识，灵活运用几何推理、函数应用实际问题建模也是拉开分数的关键。很多孩子基础不错，就是卡在这一块上不去。 最后的难题集中在几何、综合、函数动态核心定义题型，专门区分高分段，想冲高分冲理想，高中这部分必须专项突破。 从试卷能明显看出来，现在中考越来越重基础、重逻辑、重实际应用，几何灵活高度 函数综合性强，光考死记硬背已经不够用了。不少孩子十分不是不会，而是计算粗心、几何步骤不规范、审题不清楚、时间分配不合理。这些问题一摸暴露出来，正好是查漏补缺的最佳时机。 距离中考越来越近，一摸呢，就是最好的一个诊断卷。基础薄弱的，那抓紧去补计算、补概念、补基础题型分数中等的重点强化几何推理和函数建模。 想冲高分的，专攻综合题和新定义题型，想要孩子接下来复习不走弯路，精准提分，找准薄弱点，针对性训练才是最高效呢。我这边结合一模考点，给孩子们准备了专项提升的方方案， 从基础巩固到亚洲突破，一步步带孩子稳扎稳打提成绩。

呃，然后我们的角度四呢，就是在某些题目里边，我们可以尝试去构建具体的函数模型，然后解决这个抽象问题。然后如果说大家之前还有印象，我们当时在讲函数的时候呢，是专门讲了一节就是抽象函数专题，然后我这边呢也把这个模型重新汇总了一下， 然后我们重新整合一下啊。呃，然后之前呢，咱们主要是讲过了，这么好像是六种还是七种模型啊？然后第一个模型呢，是正比例函数模型，比如说， 呃，我们平常在做题的过程当中，你发现他给了你一个 f x 加减 y， 是 等于 f x 加减 y， 我 们也就可以找到一个具体的函数关系式来进行逆，和我探讨这个抽象函数相关问题，可以直接拿这个模型来进行分析， 然后这个模型应该就是设 f x 等于什么哎， k 倍的 x， 然后这个原理没什么问题吧？好，没有问题。 然后之前呢，我们也有做过一些拓展，比如说我现在给到你的这个抽象函数关系式，它变成了 f x 加减 y， 是 等于 f x 加减 的函数模型。隐身了一下， a 应该就是 k 倍的 x 加 b， 你 可以把我这个 x 加减 y 带入到这个函数式当中，然后括号打开，应该就能够对照，然后发现它是满足这个条件的， ok 吗？啊？给你推一下，其实我们也就是可以得到 f x 加减 y， 你 往这带一下， 它就是等于 k 倍的 x 加减 y， 然后再加 b。 括号打开，那么就是 k 倍的 x 加减 k 的 y， 然后再加 b， 然后呢我可以进一步把它处理成为 k 倍的 x 加 b 加减 k 倍的 y 加 b， 然后呢，后边会少了一个 b 吧，它相对这个来说它会多了一个吧，是吧？所以我可以减掉一个 b 吧， 然后这边就等同于是 f x， 这边等同于是 f y， 所以 说我这个函数关系式跟它是完全一样的，我就可以拿这个模型来进行逆和， 这第一种模型 ok 吗？好的，没有问题。然后之前我们除了讲这个模型之外呢，咱们还有讲过什么模型？哎？二次然后二次函数的话呢？它的抽象关系式是长成什么样子了？ 这个还记得吗？嗯，有交叉项。比如说我现在给到你的这个关系式是 f x 加啊，等于 f x 加上 f y， 然后加上二 a 乘以 x y， 然后再减 c， 它有 x y 的 交叉项，它有 x 乘 y 的 交叉项。那么在这个时候呢，我就可以直接认为我这个 f x 可以 看作是一个二次函数，可以拿具体函数式去判定它的相关条， 我可以把它表示成为 a 倍的 x 和 b。 然后我们 我现在呢可以把这个 x 加 y 带入到这个函数式当中，应该就是 a 倍的 x 加 y 的 整体平方加上 b 倍的 x 加 y， 然后再整体加 c。 能不能把括号打开， 然后做一下处理，应该就是 a 倍的 x 方，然后我把这儿呢也拆开一下， x 统一放一起，也就是再加上一个 b 倍的 x， 我 添上一个 c， 然后 y 的 话我也放一起，那就是 a 倍的外方加上 b 倍的 y， 然后再加 c， 除此之外，我还多了一个交叉项。二， a 乘以 x y， 并且相对左边来说呢，它多加了一个常数 c， 我 要再减掉一个 c 吗？ 所以我就能够把这呢看成是 f x， 把这呢看成是 f y， 我 可以发现我这个式子跟它是长得完全一样的，说明拿它来进行拟合应该也没有问题。 这第二个是吧？好的，没有问题。那除了这个二次函数模型，我们还有讲过什么模型？哎，我们还讲过一个指数模型，那它的这个抽象关系式是什么样子的？ 我们后面有表格啊。然后它的模型呢？是是 f x 加 y， 然后等于 f x 乘上 f y， 是 吧？然后呢，也可 f x 减 y 于 f 除以 f y。 只要是它给了一个这样子的抽象关系式，我都可以把这个 f x 看成是 a 的 x 的 方， ok 吗？好，这个证明一个很简单。然后除了这个之外，还有一个是密函数模型，是吧？然后它的这个特点是什么样子的？抽象关系式， 嗯，是 f x 乘 y， 然后等于 f x 乘以 f y， 或者是 f x 除以外，是吧？然后是等于 f x 比上 f y， 那 么这样子的话呢，我就能够把这个 f x 看成是一个密函数，比方说设成 x 的 n 次方。好的，没有问题。那还有一个是什么？ 还有对数是吧？那么对数的话，它的关系是形式，是什么样子的？对数我知道是同底的 对数相加，等于它的真数相乘，所以它的关系式呢，应该就是 f x 乘 y， 是 等于 f x 加上 f y， 或者是 f x 比 y 是 等于 f x 减掉一个 f y， 那 么这样子的话呢，我都能够把这个 f x 看成是 log a x。 当然在平常做题当中，我们可能还会发现它有些特殊要求，比如说它只是要求我这个函数式当中 x 是 不能等于零的， 意味着这个 x 是 可正可负的，是吧？我现在直接设成这个形式可以吗？它不能是负值，是吧？所以当时咱们是怎么处理了一下？我想保证 x 可以 是负值，但是又得保证它的真数是大于零的。 我们当时好像是啊，添了一个绝对值，可以这样子来写，是吧？好，没有问题。那么除数模型之外，我们后边还有讲过 正弦和余弦，这个会比较麻烦一点。好，先看第六个正弦函数模型，然后他的这个抽象关系式呢，一般情况下是这样子给的。这个咱们高考是考过的啊，然后这个时候呢，我就可以把这个 f x 看成是三 x， 然后必要的时候呢，你可以添上一个倍数，然后 x 前边也能加上一个系数，也是可以的，也是能接受的，是吧？然后为什么他能够看成一个正弦函数？咱们当时有正过，其实这个还没有到还， 这个就是正常展开的，是吧？正常展开我们稍微走一下啊，其实我是能够把这个 f x 加 y 和 f x 减 y 表示成三 x 加 y 乘以三 x 减 y， 是 吧？好的，然后可以看成什么东西啊？ 平方差公式，也就等同于是 sin x 的 整体平方乘以 cosy 的 整体平方减去 cosy 的 整体 平方，是吧？但是我这个式子好像跟它也不太像呀， a 边是什么？一边得是 减三外方，是吧？我这还有靠三，怎么搞呢？把它变成三就行了，用一减，然后括号打开，可以肖像，最后我们就能够得到它，就是等于三 x 方减三外方的。这是正弦还是模型 ok 吗？就是你但凡见到他给的抽象关系式是这个样子的，我都可以暂时认为可能可以把它看成是正弦函数不一定，但可能是 有些题没有，没有这个具体函数模型 ok 吗？好的，没有问题。那还有余弦是什么样子的？然后这个就得用到。 然后咱们的关系式呢，一般是 f x 加上 f y 等于二倍的。 f 二分之 x 加 y 乘以 f 二分之 x 减 y。 或者说呢，我们也可以写成 f x 乘以 f y 等于二分之一倍的，或者把这个二拿过来都行啊。然后这个里边呢是 f x 加 y 加上 f x 减 y， 一个是核叉化机，一个是计划核叉。然后我们都是可以把这个函数式看作是 cosine x 或者是 a 倍的 cosine omega x。 我 们高考考过这个模型， 高考是考过这个模型的，你要是能看出来这道题就非常简单，那是一道多选加州题。好像啊，然后这个怎么去正呢？我们平常考试好像考这个公式 和差化积，去化和差有印象吗？一中是考过的，我们尝试推一下啊。考萨阿尔法加上考萨贝塔。 其实我可以把这个阿尔法看成是两个角相加或相减，这两个角呢，一个是二分之阿尔法加贝塔，一个是二分之阿尔法减贝塔，有印象吗？哦，想起来了，是吧？所以这可以写成他跟他 相加，它可以写成它和它相减。所以这边呢，等同于是 cosine 二分 贝塔加上二分之阿尔法减贝塔。然后这边呢是 cosine 二分之阿尔法加贝塔减二分之阿尔法减贝塔，然后你再打开，然后呢，你会发现这个正弦乘积就没有了，它只有余弦， 就是二倍的嘛，就正弦成绩就没有了，就是散乘散就没有了，然后只有这个 cos 乘 cos 是 二倍的，这是和差画记公式， ok 吗？嗯，好的，没有问题。反过来呢，替换和差怎么搞啊？ 捷达吗？先写一个 costa r 捷达加上 costa 减捷达，它展开之后是什么？二倍的 costa r 乘 costa。 那 跟它不就是一个东西吗？ 能理解吗？所以当我我都可以认为它可能是一个一些函数模型，这是第七个模型， ok 吗？嗯，好的，没有问题。 呃，当然除此之外呢，我们还有第八个就是正切，但是这个的话呢，考的相对来说会比较的少一点，当然我这个表格里边呢，还汇总了一个反比例函数模型， 也也非常常考的，大家可以双击了一下就好了， ok 吗？在这啊，你可以自己去正一下，方法是一样的在这里，然后包括这个正些在这里，他俩长得很像，但有点不一样，你分清楚就好了， ok 吗？嗯，好的，没有问题。那么接下来呢，我们就针对这个技巧来做一下这个强化，我们特意的用这个模型去演练一下啊，你能看出来这是哪个模型吗？ 哎，余弦的，所以我现在呢，可以把这个函数关系式直接设成 cos x， 你 可以先设成 cos x 再调整吧，不行是吧？他行不行呢？为什么不行？ 因为他说 f 一 等一嘛，但 cos 一 不是一是吧，说明我可能得调整一下这个倍数，也就是我把这个 f x 设成 a 倍的 cos omega x。 然后呢，你根据题目条件把这个 a 跟欧米伽给我反写出来就好了，你会吗？你看一下， 首先，因为他说了 f 一 是等于一的，那么代入进去之后，我们也就能得到 a 倍的 cosine， 欧米伽是等于一的。显然通过这个方程不太能得到 a 跟欧米伽，因为它有两个未知数，还得再找一个方程， 你还得再找一个方程，但是好像题目里边没有明给你要自己构造类似于 f 一 等于一，我只要知道一个函数值等于几，我肯定是能反解 a 跟欧米伽的，你再给我求个函数值就行了。怎么求呢？ 负值负谁呢？最简单呢？零 都是零行不行？都是零好不好？都负成零好不好？为什么不好？ 他可能有两个结果是吧？我怎么一步到位呢？结合他的这个条件，一个负一，一个负零会好一点。那我现在呢，考虑令 x 等于一，令 y 等于零，我们也就能够得到 左边是二倍的 f 一， 右边就是 f 一 乘以 f 零。 f 一 肯定不是零， 不就约分吗？是吧，也就能够得到 f 零是等于二的，那么我再把零代入到这个函数式当中，也就是 a 倍的 cos 零，也就是 a 嘛，它是等于二的，那么这两个方程进行连立，我能不能反解得到这个 a 跟 omega a 是 二，我们应该呢？三分之派，我可以取一个三分之派就够了，目前是吧，因为它也没有其他条件啊。好，那么这样子的话呢，我们也就能够确定出这个 f x， 它应该就是二倍的 cosine。 三分之派乘上 x， 那你能不能知道它的周期是几零？那我只要知道周期之内的函数值就行了，不一定是零嘛。想，是吧？所以我只要知道 f 几到 f 几就够了。四嘛，是吧是吧？二十二除以六。 那我知道 f 一 f 二 f 三就行了吗？往里一打非常简单， ok 吗？好，这是咱们第二种方法啊。第一种方法是复制啊，这是第二种方法，可以把过程整理一下。

玉华区数学一模的试卷拉开了河北中考的新的风向标，多孩子这次考完都炸锅了，自己花费了那么大力气学的那么多模型的方法，这次基本上都用不上。今天我们重点来说一说玉华区的这张试卷， 出的太好了，我们先从难度上分析啊，从选择题第一题到第十一题，基本上是没有难度的。如果说孩子平常是死记硬背的学，就是靠刷题的量来上来来考的不错的分数，这个你可能在第十题第十一题会丢分， 而且你会感觉十一题的计算量是比较大。如果说孩子平常学习对知识理解比较到位的话，你第一十一题你就应该知道 他考察的就是全等加勾股定律，那在这个图形当中，你就去找全等关系就可以了，再结合勾股定律，这道题基本上一分钟之内也能解决掉。二四年算十五边形那道题目已经给了我们一个方向， 一个是我们要把全等学明白啊，不只是说证明全等，而是说在拼接裁剪问题当中，它的本质也是全等的关系的。一个寻找一个，那道题给我们的风向标就是耻归作图。你去看玉华区今年这个试卷，耻归作图的 分数占比非常大，相比去年玉华区的卷子，包括中考的卷子分值都在提升。这张试卷的难度基本上就是在二四年中考真题和二五年中考真题中间这个档次，难度真的不是很高。我们再看一下填空题， 填空题的第十四题计算量稍微有一点点大，就是这个第十四题有点 搞孩子心态，所以在接下来的备考当中，孩子们要做的就我会，做的要滚瓜赖熟正的考，我也会，逆过来的考，我也会， 所以一般在课堂上当中，我一般就是这个题，哎，就是正着考完之后，我会给他变一下条件，就是， 呃，逆着考，他会不会他说这个题求三角形，那我如果说我把这个三角形变成四边形，孩子还能不能塑，就是一定要把这个灵活运用的这个能力给他去提升起来。下面我们看一下 呃，选填压轴，包括大体的压轴，这边做考察的一个方向，首先我们看选择题的压轴，呃，没有像传统的，呃，十二题，你可能 用传统的公式啊，然后再加上一些几何的一些模型方法都能做出来。但是今年考了一个新定义，有点类似于像我们，嗯，去年中考的这个题型，孩子需要对动点，包括空间的理解 到一定的深度，这道题能读明白，他就基本上能做对。嗯，还有一个十六题是天空的亚洲，这道题相比去年来讲，就是去年可能就是单纯的考了一个反比例， 今年我们结合后边的大题我也会讲，今年压轴题的难度是综合度提升，你像这个题不仅有 反比例，还有位次，还有区间碎值，就是他是把三个板块的内容放到一起来去考察，所以接下来我们孩子们想要上呃一中、二中冲刺的孩子， 一定要把各个板块之间的综合度的题目进行一个好好的复习。我们再看一下二十四题的第三问，他把二次函数 加动态面积加碎值加分类讨论放到一块了，往年其实基本上就是碎值加分类讨论或者动态几何问题加分类讨论，今年是把 动态面积加上最值，加上分类讨论都放到一块了。物理试卷最后一题的第三问也是需要分类讨论，这个 分类讨论这个思想是初中八高阶段必须具备的，因为到了高中阶段就是分类讨论是孩子们的基本功。最后我们再说一下，二十一题，二十二题，二十三题， 这三道题难度没有那么难，但是真正考察孩子的是读题能力，如果说孩子这三道题读不明白， 他这个题根本就做不出来，根本就不会产生解析思路，而且很多孩子是在考场当中，一看题干这么长，他的心态就崩了。所以裕华区这张卷子给我们的启示是什么呀？就是一定要提升孩子的 读题能力，建模能力，跨学科理解能力。就接下来的数学的能力，他不只是说你数学公式学的好，你数学原理学的好，而且是 跨学科的理解能力。读题能力就是这个题，在当下的这个材料的场景下，你如何结合尺规作图，如何结合圆的圆心角、圆周角去进行一个处理，这个就是我们高中物理的一个建模能力。所以现在 初中的数学，今年这个玉华区的这个卷子给了我们很好的一个封校标。如果说咱们家长想要给孩子去练一练创新题， 然后呢？还有跨学科的这种题目，包括孩子对读题能力的训练，可以在评论区留言，读题能力，到时候我整理好发给大家。

高中数学选择题拿满分不用算！如果你能在六月份之前刷到这条视频，那么恭喜你，你找到了数学逆袭的捷径，只需要自学，你的数学成绩就能提高三十多分。去年二月份，我带过一个成都的女生，平时考试也就六十多分，当时距离高考只剩下最后两个月，我让她尝试了一个很特别的方式，结果您猜怎么 着？数学从原来的六十五分，一路飙升到一百零三分，你们相信吗？我也是费了不少心思才琢磨出来这套方法。易老师想着也不能只便宜他一个，免费分享到网上，多创造点价值。 所以刷到的家长同学记得一定保存下来，不然我担心你想学的时候就找不到了。这个方法就是模型思维，你只要能熟练掌握高考常考的模型，做题不动笔也能轻松拿满分。 其中用的最多的模型就是零点模型。我们先看第一道题，题目告诉我们函数有唯一的零点，让我们求 a 的 值。我们先观察一下这几个选项，这几个选项里都没有 e， 但题目所给的函数中是包含了 e 的， 这个 e 就 必须要消失，那么它只能是 e 的 零次方 e 的 次数为零，所以 x 就 等于一函数就变成了这样，然后将 x 等于一带圆式，就能轻松求出 a， 等于二分之一秒出答案。这是非常简单，如果正常做，没有十分钟，你做的出来吗？ 我们接着看第二道题，同样给了我们一个函数，并且存在一个唯一整数 x 零，使得 f x 零小于零，让我们求 a 的 值。这种题不管是大于零还是小于零，你统一让他们直接等于零。 我们来观察一下选项，发现分母都存在 e， 那 怎么才能使 e 出现在分母上呢？只有 x 等于负一的时候，分母才会出现 e， e 的 负一次幂，也就是 e 分 之一。把 x 等于负一带入函数后，另等式等于零，就可以分解出 a 等于二， e 分 之三， ab 就 直接排除了，只剩下 c 和 d。 那 这时候选哪个呢？易老师再教你一个特殊指法，最后极限二选 e 的 时候轻松秒杀，也就是带入零一这样的特殊值。我们先令 x 等于零， f x 零小于零，解出来 a 小 于一，直接选 d， 直接秒杀。我们再来最后一道，同样观察选项，分母都有 e 或者是 e 的 平方，所以题目所给函数中的 x 只能是 e 或者 e 的 平方，那我们依次代入，令它等于零，求出 k 等于 x 平方，分之洛恩， x 减 x 的 平方加上二 e x， 再把 x 等于 e 代入后，就得到 e 平方，分之洛恩， e 减 e 的 平方加上二 e 的 平。 答案立马就出来了，是不是很简单？像这样的高考数学解析模型，叶老师已经全部总结好了，一共八十多个，每一个都是考场秒杀技巧，学会之后，考场上遇到同类题型，根本不用一步推导，直接出答案，需要的同学后台回复模型就能领取。最后跟大家说句实在话，我带的学生靠吃透这十三个必考主题， 数学成绩从四十五分直接冲到一百多分成绩上。一本高考数学看似有一百二十多个题型，其实核心考点就那些，只要你真正掌握了这些高考必考内容，再难的题在你手里都是小菜一碟。

石家庄的家长注意！新华区九年级数学一摸试卷出炉！我是教龄十五年的初中数学老师，专门帮孩子快速提升数学成绩。这套卷子满分一百二十分，完全贴合河北中考的考法，难度中等偏上，基础几何、函数全覆盖， 题读特别清晰，能精准测出孩子一轮复习的真实水平。试卷基础题占比高，中档题考思路，压轴题测中几何与函数的综合，也是孩子最容易丢分的地方。像科学技术法相似，三角形依次函数最值、旋转全等等高频错点。 想让孩子稳拿基础分，突破中档题，攻克压轴题，跟着我抓准考点，练会方法，数学成绩轻松往上冲。

同学们好，这一节课我们来上高中数学选修三第八章的第六节课，指数函数模型与密函数模型。 我们前面学习了现行回归模型，这个回归模型在科学研究中的核心作用就是定量的刻画变量之间的关系，它不仅能回答变量之间有关联，更能回答 x 变化一个单位 y 会如何的变化。 这是科学的从定性描述走向定量推断的关键一步。我们在前面讲正态分布的时候就跟同学们说过，数学家根据中型曲线能推导出这样一个方程，并且呢，这里面他有两个五位数， 一个是派，一个是 e， 并且还有数据中非常重要的两个量，一个是期望，一个是方差。那么这个工作呢，可想而知是非常的艰巨。 那么同样的，在统计学中，如何从科学试验中得到的一些数据画出散点图，然后呢，根据散点图的大致形状来推断出它符合什么样一种函数模型，从而得到它的回归方程， 这是科学研究的最关键的一个步骤。具体的来说，回归模型在科学研究中主要发挥以下六大作用。第一，描述与解释关系。这是最基础的作用。 通过回归系数，可以明确自变量 x 对 因变量 y 影响的方面和大小。例如，医学研究可量化吸烟量每天增加一包肺，功能指标平均下降多少毫升，从而为因果机制提供证据。 第二，识别关键影响因素。在众多潜在的影响关系中，通过标准化回归系数或变量筛选方法可以比较 各变量相对重要性。例如，生态学中可判断温度、降水、土壤的 ph 值哪个对作物多样化影响最大，为资源保护指明优先方向。 第三，控制混杂变量。观察性研究中无法像事业那样随机分组，回归模型可以通过在方程中同时纳入 混杂变量，如年龄、性别等，在统计上剔除其干扰，从而更干净的估计核心变量的独立效应。这是流行病学、社会科学等非实验科学的核心分析工具。第四， 预测与推断。利用已建立的回归方程给定新的自变量值，可预测因变量的取值及其不确定性。 例如，气候科学中根据二氧化碳的浓度预测本世纪末全球升温幅度。材料科学中根据成分比例预测合金的断裂强度。 第五，估计效应值与干预效果。在政策评估或临床试验中，回归模型可以用来估计处理组与对照组的平均处理效应，例如课外辅导项目对学生成绩的竟提升分数。 六、检验理论与假设科学理论常做出具体的量化预测，回归分析可以提供参数的点估值和自系区间，直接与理论值比较，进行统计、假设、检验，从而验证或证伪理论。 总之呢，回归模型是科学研究的通用分析语言，他提供了一套严谨的框架，用于从数据中学习变量间的量化规律， 支持解释、控制预测和假设检验。正确使用回归并理解其局限，是现代时政研究的基础技能。 以后同学们读了大学或者是读硕士、博士，做了大量的试验或者是调查以后，把这些数据呢，都要利用回归模型找到一个数学理论的支撑， 我们本节课呢，学习两个函数模型。我们先来看指数函数模型。例，为了研究某种细菌随时间 x 变化繁殖的个数，收集数据如下，用天数做解释变量，繁殖个数作为响应变量， 那么解释变量呢，其实就相当于函数中的自变量，响应变量其实就相当于函数中的函数值，因为我们研究的它不是一个具体的函数，所以说呢，它的名字叫做解释变量和响应变量。 做出这些数据的散点图，根据散点图判断， y 等于 a， 加上 b， x 与 y 等于 c 一 乘上 e 的 c 二 x 次方，哪一个作为繁殖的个数 y， 关于时间 x 变化的回归方程类型最佳， 这里呢，我们直接把散点图给同学们，我们会发现呢，它是符合指数型的函数模型，因此呢，我们应该选用 y 等于 c 一 乘上 e 的 c 二 x 次方，这个类型最佳。 根据一中判断的最佳回归方程以及表中的数据，我们建立 y 关于 x 的 回归方程。 表格中给出来了许多数据，我们来看一下 x， 它的平均值就是天数的平均值， y 的 平均值，这是它繁殖个数的平均值，其中它又给出来了一个变量 z， 那 么这个 z 呢，它是把每一个 y 值取了一个自然对数， 那么它所对应的频率值也给我们了，然后后面的这三个数据，它对应到这个求 b 间的这个公式中。我们把天数作为横坐标，繁殖的个数的对数作为重坐标，我们把它描出来三点图， 我们会发现呢，此时这些散点它在一条直线的附近，那因此呢，我们就可以利用这个对数值和这个 x 的 值，先去求限性的经验回归方程。 那因此呢，我们令 z 等于 lon y， 那 所以说呢，我们要求的它就等于 b 间乘上 x 加上 a 间， 那么这个 b 间的分子上，那就应该是 x i 减 x 八与 z i 减去 z 八，那所以说呢，分子上对应的就是这个数据，也就十二点零四分母上是 x i 减去 x 八的平方和，所以说呢，这里是十七点五， 那么这个值呢，它约等于零点六九。然后我们再来算， a 间，它等于 z 八，三点五三减去 b 间，零点六九乘以 x 八乘以三点五。所以说呢，这个值算出来是一点一一五， 所以说呢， z 间，它就等于零点六九乘以 x， 再加上一点一一五。 那么所以说呢，也就是令 y 它等于零点六九， x 加上一点一一五。 然后我们在子对互化，把对数化成指数，所以说呢， y 就 等于 e 的 零点六九， x 加上一点一一五次方。那么这一个结果呢，就是我们最后所求的 y 关于 x 的 回归方程。 第三问是估计第七天细菌繁殖的个数，因为 y 等于这样一个结果，所以说呢， x 等七的时候， y 的 值的就是 e 的 零点六九乘以七，再加上一点一五次方， 也就是 e 的 五点九四五次方。数据呢，他已经给我们了，那么约等于是三百八十二个，那所以说呢，我们估计第七天细菌繁殖的个数为三百八十二个。 那如果我们把这个问题呢，当做你课外做试验的一个事情，那么你把这个事情呢，从统计数据到画散点图，然后呢，估计用哪一个模型， 然后用对数对他进行替换，得出来他在一条直线的附近，然后呢，我们利用公式求出来他的线性回归方程，从而得到他的指数型的回归方程。 接着呢，我们再去预测他第七天细菌繁殖的个数，那么这就是一个完整的做科研的一个过程。我们从这样一个简单的例题让同学明白，做科学实验其实就是按这样一个过程去操作的， 如果你以后涉及到了要去做科学研究，你就知道了我们如何统计数据，画三点图得到回归模型，然后拿回归方程做预测。 那么这里给同学们再来提示一下，如果散点图在如图所示的曲线附近，很显然呢，这两个形状就是我们所谓的指数型。本题的关键是两边取对数， 我们把这个两边取了对数以后呢，他就变成了一个这个结构，然后我们令 z 等于乱 y， 那 么这个时候呢，就转换成了 x 与 z 之间的一个关系， 然后再根据现行回归模型求出来 a b， 再经过转化就得出来最后的经验回归方程。 我们再来看这道题目，某景区的各景点从二零一四年取消门票，实行免费开放后， 旅游的人数不断的增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向观光、休闲、会展三轮驱动的理想结构快速转变。 下表是从二零一四年到二零二三年该景点的旅游人数 y 与年份 x 的 数据。 该景点为了预测二零二六年的旅游人数，建立了 y 与 x 的 两个回归模型一，由最小二乘法公式得出 y 与 x 的 经验回归方程，那么这就是一个向量回归方程。 模型二由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在一个指数型的曲线的附近。 第一问，根据表中的数据求模型二的经验回归方程。我们对这个指数是取对数得到 long y， 它等于 b x 加上 long a， 然后我们设又等于 long y， c 等于 long a。 我 们先建立又关于 x 的 经验回归方程，然后我们先来求 b 间，我们来看一下它给出来的数据， 那么 b 间的值，那么分子上呢，它就是九分母上呢，它是八十三，所以说呢，这个值它约等于零点一一。然后我们再来算 c 间， c 间是六点零五，它减去零点一一乘上五点五， 那所以说呢，这个结果算出来是五点四六，那所以说呢，我们得到的这个右尖，它就等于零点一一 x 加上五点四六， 那么因为这个 c 尖呢，它是等于零 a 尖，那所以说呢， a 尖的值，它就是等于 e 的 五点四六次方，那么这个值它约等于两百三十五， 那所以说呢，我们得到的这个 y， 它就是等于两百三十五，乘上 e 的 零点一 x 次方， 它就是为模型二的经验回归方程。如果让你去计算的话，同学们不要担心这个数据应该怎么办？ 你应该关注的是如何转换，因为在考场上不可能让你去手工算这个对数的值的，所以说呢，他一定把所有的数据都会告诉你，你只要知道如何转换， 先把它转换成一个限性的经验回归方程，然后算出来相应的值以后再把它换回来。这个过程同学们只要搞清楚，你一定可以算出来结果的。 那我们再来看第二问，根据下表中的数据，比较两种模型的决定系数 r 方，并选择泥河经度更高更可靠的模型来预测二零二六年该景区的旅游人数。 r 一 方，它等于一减去， 那么这个分母上呢，是希格玛 i 从一到十外 i 减去外八的平方，那么分子上它是三万零四百零七， 而二的平方分母上仍然是外 i 减去外八的平方，和分母上一样，那分子上是一万四千六百零七， 那么这个分子大，导致这个分式的值就大，那所以说呢，减了以后对应的值就小。所以说呢， r 一 的平方小于 r 二的平方，相关系数越大，说明你和效果越好。那所以说呢，模型二的你和效果好。 那么接下来呢，我们来看一下二零二六年他是对应的 x 值是多少？这里是一四一五一六一七一八一九二零二一二二二三。 所以说呢，到二六年对应的 x 的 值是十三。那么所以说呢，当 x 等于十三的时候， y 的 值那就是两百三十五乘上 e 的 零点一一乘以十三次方， 那么这个值呢，约等于九百八十七万人。我们后面算的这个 e 的 一点三次方，他仍然是给我们了， 那所以说呢，两百三十五乘上这个他给出来的四点二，得到的结果约等于九百八十七万人。那么这道题呢，又和我们上一节课所学的决定系数进行了一个叠加， 我们只要知道决定系数的计算公式，然后把他给的数据带进去，就可以做出判断。 好，接下来呢，我们来学习第二个函数模型。密函数型模型。绿水青山就是金山银山的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展。以下表格和散点图 反映了近几年我国某新能源乘用车的年销售量情况。请根据散点图判断， y 等于 b， x 加 a 与 y 等于 c， x 方加 d， 哪一个更适宜作为年销售量？ y 关于年份代码的回归方程类型，那由散点图可知， y 等于 c， x 方加 d 更适宜。 第二题，根据一的判断结果以及表中的数据，建立 y 关于 x 的 回归方程，并预测二零二六年我国该新能源乘用车的年销售量。 我们令 w 等于 x 的 平方，则外间等于 c 间乘上 w， 再加上 d 间， 那么 w 的 平均数，那就是五分之一。一的平方加上二的平方，加上三的平方，加上四的平方，再加上五的平方，那么这个结果算出来是十一。 那所以说呢， c 间的值，分母上的数值和分子上的数值，他都已经告诉我们了，所以说呢，就是八百五十一点二除以三百七十四， 那么这个结果呢，它约等于二点二八，那么 d 间它等于 y 的 平均数减去 c 间乘上 w 的 平均数是二十二点七二，减去二点二八，乘上十一，那么这个结果是负的二点三六。 所以说呢， y 减它就等于二点二八 w， 然后再减去二点三六。那么所以说呢， y 关于 x 的 回归方程是， 我们把 w 换成 x 的 平方，那么 y 减就等于二点二八，乘上 x 的 平方，再减去二点三六。 那这个替换比我们的指数型要简单了一些。然后我们来预测二零二六年它对应的 x 等于六，那么这个时候我们把它带进来外间，它等于二点二八，乘上六的平方，再减去二点三六， 那么这个结果呢？它约等于七十九点七，那么单位是万量。那么所以说呢，我们预测 二零二六年该车的年修数量，它为七十九点七万辆。大致的过程呢，跟对数型的是一样的，还是关键在于替换？ 我们再来看这道题目。某企业研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成。每件产品的非原料成本 y 与生产该产品的数量 x 有 关，经统计得到如表数据。 根据以上数据绘制了散点图。观察散点图，两个变量不具备现象相关关系，现考虑用反比例函数模型 y 等于 a， 加上 x 分 之 b 和指数模型 y 等于 c 倍的 e 的 d x 次方 分别对两个变量的关系进行逆和，以求得用指数函数模型逆和。得到的经验回归方程是这个形式 long y 与 x 的 样本相关系数 r 等于负的零点九四。 第一，用反比例函数模型求外关于 x 的 非限性经验回归方程，我们令 u 等于 x 分 子，一则 y 等于 a， 加上 x 分 子 b， 它就可化为 y 等于 a， 加上 b 乘上 u。 我们先建立外观与 u 的 经验回归方程，我们来算一下 y 的 平均值， y 的 求和他已经告诉我们了，那所以说呢，他是八分之三百六十，那么这个结果算出来是四十五，我们来看一下他还给出来哪些数据， 他给我们的是第二个算 b 间的公式，那么题目中呢，也给出来了分子上的这个量，那么所以说呢， b 间他就等于一百八十三，点四，减去八乘上零点三四， 再乘上四十五，那么分母上是这个值，它是一点五三减去八乘上这个的平方，他也给我们了，得出来的是零点一一五。 所以说呢，同学们呢，一定要对应他给的公式，去找他对应的哪些数据，我们把他带进来就可以了。那么这个分子上呢，他是六十一， 分母上是零点六一，那么算出来这个结果是一百，然后 a 间他是四十五，减去一百乘上六的频率值是零点三四，那么所以说他的结果是十一， 那因此呢，这个限性回归方程，那就是十一加上一百又，然后我们再把又换成 x 分 子一，也就是十一加上 x 分 子一百，那么这就是我们求的外关于 x 的 非限性经验回归方程。 我们再来看第二题，用样本相关系数判断上述两个模型哪一个拟合的效果更好，并用其估计产量为十千件时每件产品的非原料成本。 这里呢，它也是把相关系数它的公式告诉我们了。我们先来求外与 x 分 之一的相关系数，这个我们令它为 r 二 分子上的数值呢，刚才我们求 b 间的时候呢，已经得到过，他是六十一，那么分母的值呢？我们在数据中来找一下，这个值就是他给出来分母上的值，那么这个值我们算出来，他约等于零点九九， 他用指数型得到的样本相关系数 r 一， 他等于负的零点九四， 那么所以说呢， r 一 的绝对值小于 r 二的绝对值，那所以说呢，我们可以知道 反比例函数模型，它的拟合效果更好。好，那我们用这个反比例函数模型来求一下，当 x 等于十的时候，对应的 y 的 值，那就是十一，加上十分之一百，那么这个结果算出来是二十一元， 那所以说呢，产量为十千件的时候，每件的非原料成本为二十一元。好，那到此呢，这道题我们就解好了，那么这道题呢，又和我们前面学的相关系数做了一个叠加， 还是一样，我们根据他给的公式，在他给的数据中去找对应的数据是什么，我们把它填进来就可以了。 那好，这节课内容呢，我们就讲到这里，我们主要是讲了两个不同的函数模型，计算数据都不是问题，主要是我们如何去替换，先把它变成一个限性回归的模型，然后再把它替换回来。 同学们只要知道他一去一回的这个过程，就可以把这个对应的结果给他算出来，那么他还和前面我们的决定系数以及相关系数做了一个叠加， 那同学们呢，还是要知道这两个系数他如何计算，以及他所表达的意义是什么。那把这些问题能弄明白了，那题目结起来就不是问题了。好，那这节课内容呢，我们就讲到这里，同学们再见。

各位初三的家长和同学大家好，石家庄桥西区和玉华区的一模已经考完，今天咱们用一分钟把两区试卷的一同点讲透，顺便锁定一下中考的新方向。首先，我们来看相同点， 两区其实很默契，第一，函数地位稳固，二次函数与几何综合题依然是压轴大，细 分值占比高，区分度极大。第二，几何证明题必考三角形、四边形的性质与判定是送分题，也是失分题， 基础必须扎实。再来看一下重点差异。玉华区的这套试卷重运算与细节，计算量很大，尤其是分式化、简解方程这类基础题，陷阱很多， 他更像在提醒我们，中考得计算者得天下。而桥西区的这套试卷重辨识与思维，体干不长，但题目更加灵活，一道题会变着花样考你， 比如说动点问题、存在性问题，他在考察你能不能举一反三，具备复杂场景的能力。 看懂了差异，中考方向就明朗了。结合两驱的试卷，我预测今年中考会有三个趋势，一、 回归课本，考基础概念的深度理解，别死刷题，要吃透课本例题。二、压轴拉分，压轴题大概率会结合新的情景，考你分析和转化的能力，不要畏惧新题。 三、计算为王，计算的准确率是高分的底线。接下来的复习，以这两个试卷为标尺，抓基础，练辨式、定计算，祝大家中考一战成硕！