高一必修二正弦余弦函数思维导图

这个视频我们来学习七点三点二正弦型函数的性质与图像。我们先来读一下教材四十三页的情景与问题， 如图七杠三杠七所示。将一个有小孔的小球装在弹簧的一端，这是一个小有小孔的小球，与弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上， 小球穿在这个水平的光滑杆上，这是一个水平的光滑杆，小球与这光滑杆之间的摩擦呢，可以忽略不计。称小球静止时的位置为平衡位置。假设我们认为在正中心的这个位置就是它的平衡位置， 然后将小球拉离平衡位置之后释放。比如说把小球拉到这个位置，那么拉到这个位置之后，由于受到弹簧的弹力作用，小球一定是释放之后一定是向左运动。 运动到平衡位置之后，由于惯性，它不会停止运动，它还会继续压缩弹簧，然后 压缩到这个位置，加上在这个位置停止运动，然后由于弹簧被压缩，他会给小球向右的力，他会继续向左向向右运动，对吧？那么小球就会在这个位置和这个位置这两个位置之间进行网浮运动。 由于弧率摩擦吗？那么这种运动在物铝斜上就称为剪斜运动。从某一刻开始，如果记 t 秒后小球的位置为 x， 就 时间为 t 的 时候，假设这个位置，这个位置到平衡位置的距离就是这两个小球的球心的距离， 即为 x， 则由物理学知识可以知道这个距离 x 和时间 t 它的关系可以写成这样的一个函数关系， s 等于 a 倍的 sine omega t 加 f。 这个函数实际上就是我们今天要学的正弦型函数， a、 omega 和 f 都是常数。 下一个例子是，日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电，而交流电 i 与时间 t 之间的关系一般也可以写成这样的。正弦型函数的形式， i， m， omega 和 f 都是常数， 是吧？很显然，这两个例子里头的一个是 x， 一个是 i， x 和 i 都是 t 的 函数。 那么这一类函数具有什么性质呢？怎么去研究这类类型的函数的性质呢？这就是我们今天要学的内容。 好，接下来我们来看第一个知识点，正弦型函数的概念。一般的形容 y 等于 a 倍的 sine， 我 们应该 s 加 f 这样的函数，在物理学和工程学等学科中经常会遇到，这类型的函数就称为正弦型函数， 其中 a、 omega 反都是常数， a 和 omega 都不带零。下面我们就通过具体的实历来研究这类函数的性质和图像。我们来看例题一， 我们先来研究一个简单的，就是 y 等于二倍的 sin x， 它的一些性质和图像。首先看它的定域，它就是把 sin x 成了一个二，不会影响它的定域，它定域还是 s 属于二。 然后值域呢？ sin x 的 值域我们知道它是负一到一，那么二倍的 sin x 呢？就是负二到二呗。所以说 y 的 取值范围就是负二到二，值域受到了影响，值域是变为原来二倍这样的一个范围。 然后周期的话，我们要画一下它的图像，那再考虑它的周期。那么我们用什么方法去画它图像呢？就用之前学过的五点法画图， 五个关键点横坐标分别设为 x、 x 的 零、 s 的 二分之派派二分之三派和二派，那么对应的这些重作标的值，如果是三 s 的 话，那就是这个应该是零， 这是一零负一零，那再乘以二倍的三 s 就是 零二零负二零，那么我们需要画的是 y 等于二倍的三 s 图像， 对吧？我们可以先把这个 y 的 三 s 图像画出来，就是这个图里头的这个蓝色的这个曲线，就是 y 的 三 s 的 图像。 然后再通过描点法把零到零，二分之 pi 到二，这些点都找到，然后用圆滑的曲线给它连在一起，零到零，在这第一个关键点， 第二个关键点是二分之派斗二，然后派斗零二，这是二分之三派斗零，然后最后一个是二派斗零，然后用圆滑的曲线把它连在一起，就得到了 y 等于二倍的四 s 的 图像。 那么通过这个图七杠二，三杠八可以看出来，实际上 y 等于二倍的三 s 的 图像，就可以认为是 y 等于三 s 图像，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的二倍得到的。 那么由此我们就可以总结出来，一般的函数 y 等于 a 倍的三 x， 它的定域呢，和三 x 的 定域是一样的，都是二直域呢。受到了这个 a 的 影响， 实际上这个 a 就是 对原来的三 x 图像进行了横向的拉伸或者压缩，如果 a 大 于它的绝对值大于一的话， a 的 绝对值大一，那它就是拉伸了， a 的 绝对值小一呢，它就压缩了， 所以说它的值域就变成了 a 的 绝对值负的，然后到 a 的 绝对值，这是正的，在这个区间范围内就是它的值域周期呢？周期没有变化，还是原来的二 pi 好。 我们再来看例题二，研究这个函数 y 等于 sin x 加三分之 pi， 它的定义域周期，并作出它在一个周期内的图像， 还是五点法，五个就关键点的横坐标零，二分之派派，二分之三派和二派一定要他和谁呢？ x 加三分之派对应，这个时候我们要把 x 加三分之三分之派当做一个整体，他去与五个关键点去对应。 对应完之后，我们要把 x 分 别求出来，它等于零，那么就意味着 x 应该等于多少负的三分之派，然后它等于二分之派的时候，那么 x 就 等于二分之派。减三分之派，那就是六分之派。 下一个那就是三分之二派。再来，那就是六分之九派。减去六分之二派，那就是六分之七派， 然后二派减去这个三分之派，那就是三分之六派。减三分之派，那是三分之五派 对应的纵坐标呢？那么 mu 等于 x 加上三分之 pi， 那 么 sin mu 在 mu 等于零的时候，它就是零，这个呢是一，这个是零负一，然后这个又是零， 那么我们又找到了 y 等于 sin x 加三分之 pi 的 五个关键点， 对应的这蓝色的这个都是五个关键点，我们把五个关键点给它找到一个是负三分之派逗零这个点，然后是六分之派逗零， 这是六分之七派逗负一和三分之五派逗零。把这五个点用圆滑的曲线连在一起，就得到了 y 等于 sin x 加三分之派它的图像， 那么我们通过这个图可以看出来，这个是标准的正弦的 y 等于 sin s， 在 零到二 pi 的 图像，实际上我们就可以认为是蓝色的这个曲线向左平移了三分之 pi， 就 得到了 y 等于 sin x 加三分之 pi 的 图像。 啊，那我们来填一下，它的图像是由 y 点三 s 图像向左平移三分之派个单位得到的。一般的函数 y 等于三 x 加 f， 它的定义域呢？还是 r， 它的值域，值域没有变化，还是负一到一，它和三 s 的 值域是一样的，周期也没有变化，平移它周不会影响周期。 也就是说，通过这个例子我们来判断这个 f 对 整个函数有什么影响，实际上它的影响就是决定了这个最开始的位置就是图像的左右平移，对吧？ 好，我们再来看例题。三，研究函数 y 等于 sin 二 x， 它的定域值域周期，并做出一个周期内的图像， 还是用五点法画图，对吧？他的定域实际上我们不用说了，他就还是二。直域的话还是负一到一，因为前面这个没有成 a， 这个 a 是 一， 对吧？直域也不受影响，这个定域还是二，主要是研究周期。研究周期我们需要先画一下它的图像，用五点法来画图，那么把 x 当成一个整二 s 等于 mu， 找到五个关键点，零二分之派，二分之三派和二派， 然后求出对应的 x， x 的 话，这是零，四分之派，这是二分之派，这是四分之三派以及派 对应的 y 值就是三二 x 在 这五个关键点的纵的标就是零，然后这是一零负一，这是零。 然后在坐标系里找到这五个关键点，这是第一个点，第二个点，第三个点，第四个点，第五个点，这五个关键点用圆滑的底线给它，一连就得到了。 y 等于 sin 二 x 在 零到 pi 的 它的函数图像，这也是它在一个周期范围内的图像。那么对比 y 等于 sin x 图像， 实际上我们可以认为这个 y 等于三二 x 是 由 y 等于三 x 这个图像进行了纵坐标不变，横坐标压缩为原来二分之一的这样的一个变化， 纵坐标不变，保持不变，横坐标变为原来的二分之一。 那么由此我们就可以总结出一般的函数， y 等于 sin omega x， 这个 omega， 它影响的是这个函数的周期 是吧？它的定域不会发生变化，它不影响定域。定域是二值域呢，它也不影响，它是负一到一周期呢，也叫二 pi 比上 omega， 这把 omega 加对值，因为有的时候 omega 可能是个负值 啊，比如说 omega， 它越大，这个 omega 越大，二的时候，对吧？它的周期就会越小。 sin x， 它这 omega 的 一周期是二 pi， sin 二 s 呢？这个 omega 是 二，它的周期就是 pi。 再来看例题四，研究函数 y 等于三倍的 sine 二 s 加三分之 pi， 它的定义域周期，并做出一个周期内的图像。 它的定义域的话，当然还是 r， 值域的话，取决于这个系数，这个 a a 是 三，那么它的值域 y 的 系数范围就是负三到三，这两个比较简单。再来看周期，还是要先画图像五点法， 我们把二 x 加三分之派当成一个整体，找到对应的五个关键点的横坐标，然后把 x 算出来，当它等于零的时候， x 应该等于负的六分之派。 当六等于二分之派的时候，那就是应该是十二分之派，就是三分之派减二分之派减三分之派除以二，就是十二分之派。派的话，那就是派减三分之派除以二，三分之派。 然后二分之三派减三分之派，那就是六分之九派减去六分之二派，六分之七派除以二，那就是十二分之七派。 二派减去三分之派，再除以二，二派减三分之派，那就是呃六分之。呃六分之多少呢？不对，应该是三分之六派减去三分之派，那么三分之五派除以二，那就是六分之五派 对六分之五啊。那对应的 c m u c m u 的 话，由于它前面是系数是一对吧？它这个三个关键点对应的这是零，这就是一负一，那这应该还是零，不是负一，写错了， 零，这是负一，然后这是零，然后再乘以三之后，它就是零三零负三零， 相应的这个是第一个关键点，这是第二个关键点，第三个关键点，第四个关键点，第五个关键点，这是什么呢？ y 等于三倍的 sine 二 s 加 f 都不关键点。我们在坐标系里在这个图里找到对应的五个关键点，这第一个负六分之 pi 到零， 这是十二分之派逗三，这是三分之派逗零，这个是十二分之七派逗零，这个是六分之五派逗零。然后用圆滑的曲线把它一连，就得到了 y 的 与三倍的 sine 二， x 加 sine 加三分之派它的图像。 那么我们仔细观察，在这个坐标系里，我们不但画了这个 y 等于三倍的 sin 二 s 加三三分之 pi 的 图像，还画了这里头的 y 等于 sin x 这个蓝色的， 嗯，还有 y 等于 sin 二 x， 紫色的三倍的 sin 二 s， 这个绿色，以及 y 等于三倍的 sin 二 s 加三分之 pi 它的图像 啊。那么比较这些图像，就可以看出这些图像之间的一些关系。我们可以从最开始的 y 点三 s， y 点三 s， 这个蓝色的曲线， 它怎么去变化得到 y 等于三二 s 呢？是不是纵坐标不变，横坐标压缩为原来的二分之一，变为原来的二分之一， 就得到了这个紫色的 y 等于 sin 二 s 的 图像。然后再从 y 的 sin 二 s 图像变化到 y 等于三倍的 sin 二 s， 实际上就是横坐标不变，纵坐标拉伸为原来的三倍， 就得到了 y 等于三倍的 sin 二 x 图像。最后我们再把这个绿色的这个曲线向左平移六分之 pi， 就 得到了 y 等于三倍的 sin 二 x 加三分之 pi， 它的图像 向左平移六分之派，得到了这样的一个图像啊，那么我们就完成了从最开始的最原始的 y 等于 sin s 图像，怎么去得到 y 等于三倍的 sin 二 s 加三分之派， 然后这个位置涉及到了一个平移。呃，高一上学期，其实我们已经接触到了平移平移有个口诀叫做左加右减，上加下减，但是你要注意的是，这个左加右减 针对的是 x 来说的，那么也就是说，我们可以把它写成这样的一个形式，它变成 y 等于三倍的 sine， 一定要把这个二提出来，二乘以 x 加上一个六分之 pi， 那 么我们就可以看出来，它与三倍的 sine 二 x 之间， 就是它与 y 等于三倍的 sine 二 x 之间，实际上是对 x 加了六分之派，对 x 加六分六分派，那就是左加右减，那就是向左平移了六分之派。 好，接下来我们来看四十八页的常识与发现，结合图七杠三杠十一思考就是这个图是否可以按照以下，呃，可以按下列的指定的顺序，将一个函数的图像 变为以下一个函数的图像。那么我回顾一下，刚才说的就是这个。要想得到 y 等于三倍的 sin 二 s 加三分之派，实际上就是从最开始的 y 等于三 s 图像，先给它进行一个伸缩变换，纵坐标不变，横坐标是压缩，然后呢，再进行纵坐标的拉伸， 然后再平移。得到了 y 等于三倍的 sin 二 s 加三分之派，对吧？这是先伸缩变换，然后再平移。 那么我们看这个路径它是怎么处理的？是把 y 等于三 x 先进行平移， 平移了三分之二，这是左左加向左平移三分之二，然后呢，再进行横坐标的拉伸，这个欧米伽变为二，那么横坐标进行压缩了，实际上就是压缩为原来的二分之一， 然后再进行纵坐标的拉伸，这个三纵坐标拉伸为原来的三倍，对吧？所以说我们可以总结一下，把这个函数 y 的 三 s， 它的图像上的所有点向左平移了，相平移的是三分之一， 就得到了 y 的 与三倍的 y， y 的 sin x 加三分之差它的图像，然后再把它呢图图像上的所有点横坐标，呃，纵坐标不变吧，应该是纵坐标不变，横坐标变为原来的二分之一， 得到了这个图像。然后再把这个图像上所有的点，它的横坐标不变， 纵坐标变为原来的三倍，就可以得到这个图形。也就是说现在我们掌握的两套路径去伸缩变换这个函数。通过这个平移和伸缩变换，把 y 等于三 x 转化成什么呢？ y 的 三倍的 sine， 二 x 加三分之二。一种是刚才我们讲的，前面讲的就是先进行伸缩变换，比如这个图的先伸缩变换，再去平移，然后这个路径呢，就是先平移，然后再进行伸缩变换。 一般的正弦型函数 y 等于 a 倍的 sin omega， x 加 f， 它的定域呢？总结一下就是 r 值域呢，由这个 a 决定 负 a 的 绝对值，到 a 的 绝对值周期呢，就是二 pi 比上 omega 的 绝对值 好。最后的内容就是正弦型函数的三个常数，我们要总结一下，它的实际意义就是 a， omega 和 f。 在 前面我们说情景有问，情景有问题的时候，就是小球套在这个光滑的杆上，它做减弦运动，对吧？ 在这个运动的过程中，我们用照相机去记录小球的位置，比如说最开始这个位置是平衡位置，然后把这个小球拉离了平衡位置，之后这个小球在这两个位置进行一个往复运动， 然后在运动的过程中就开始拍照积累零时刻开始，每隔零点一秒就给这个小弹簧和小球拍张照片， 拍完照片，比如说这个是 t 等于零的时刻，那么下一个就是 t 等于零点零一这个时刻它的照片，对吧？很显然在这个位置它小球是向左运动的下，再过零点一秒就跑到这个位置了，然后继续向左运动， 然后记录完之后，每隔零零点一秒去记录一个照片，然后把这些照片呢就按照这个顺序进行一个排列，就会得到这样的一个图像， 然后实际上得到这个图像呢，就是正弦型函数，就是 x 等于 a 倍的 sine om， 一个 t 加 f， 而这里头的 a 的 绝对值，它能表示的就是小离小球偏离平衡位置的最大距离，就是最开始它不有个平衡位置嘛，在这个位置弹簧受力是零， 然后把这个小球拉离到平衡位置。解，假设在这个位置，然后释放小球，他会运动，应该是在这个位置吧，假设这个位置有点太远了，就是这个是平衡位置，然后拉离到这个位置，然后小球施放 在这个平衡位置，运动完之后，然后运动到这，然后小球在这两个位置之间进行减弦运动，来回运动，然后 a 的 角值表示的是小球偏离平衡位置的最大距离，它就称为什么呢？正负 的名字叫振幅，然后再看这个斐，斐由什么决定的？它的决定就是在 t 等于零的时刻，小球的位置实际上还有它的运动方向有关，有可能有正的，有可能是负的， 对吧？ t 等于零的时候，决定着这个斐的位置，它叫做什么呢？出象 除以，然后周期 t， t 呢？就是二 pi 比上欧米伽，这绝对值， 嗯，这欧米伽实际上它就和这个弹簧的性质有关了，是吧？这个欧米伽就是欧米伽与这个频率之间的关系。我们再说一下，这是 f 等于周期的倒数， 这个 f 呢，在物理上用的用处比较大，数学上很少用，我们都很多的时候用的是周期，但是我们要知道这个频率就等于周期的倒数， f 是 频率，频率等于周期的倒数，然后就等于 omega 等于除以二 pi 就 表示单位时间内能够完成的运动次数，就称为频率。

hello， 大家好，我们今天来看正弦函数与弦函数的图像。我们先来看正弦函数的图像，其实不管是正弦还是与弦函数图像，它大概都是一个这样波浪线，只是说它的点不太一样。 然后在书课本上我们也有那个正弦函数的图像的一个几何的画法，就是它的定义就很长，这个我们就不看了，我们来看我们正，我们一般来用的就是这个五点法来画这个正弦函数的图像， 就是大家可以这样记啊，就是如果你让你直接记这五个点，其实很难记，但是我我我本人是这样记这个正弦函数的，就比如说我画出来一个一个平面直角坐标系，对不对？正弦函数你要知道他过的，他一定是过零零的，你记住就可以了。正弦函数过零零，所以说我从零零开始 往上走，然后往下走，然后往上走，往下走，你会发现这个图像他是每二派，你看每二派就是循环一次，我们就把零到二派当做第一个，你看又循环又循环，我这边也是又循环又循环，所以每二派循环一次。我们一般只看零到二派的这个这个从这， 那就说从这到这分别哪哪五个点，一个是零零，然后一个是这里是二分之派一， 这是派零，二分之三派负一，二派零，就这五个点，就是你只要知道他的最最高点是一，最低点是负一，然后图形大概是这样子的，你这五个点就随之也可以知道，也就可以出来了，因为你光单记这五个点是非常不好记的。 你看这五个点，那比如说啊，我现在知道了这五个，这这个图像，我就这样画上，然后把五个点标上了，然后他有的，他有的题目可能不止二排，那你就往下，往下连续，连续之后你接着往下标就可以了， 这边也是你反过来标就行了，这是负二分之派，负派负二分之三派，这个图像大概就是这个样子。然后余弦函数的图像跟正弦函数图像，其实就是我们之前学有老公知道，你也知道，他其实就是差了一个二分之派，那也就说整体把这个图像往左边移一个二分之派，那也就说本来在零零的这个图像，我现在 本来零零，对吧？本来是这样子的，那我现在往这边移一下，变成了这样，这就是我的正弦函数的。呃，余弦函数的图像，那就是我余弦函数图像是过这个点的，是过的是零一，那我平常画的时候，我就一样的，我就知道了，我过零一，那我的图像肯定是这样上来的， 那这就是一个一个图像，一个一个周期的，然后我们以这个周期为循环，那这样标点的时候，我就知道这是零一， 这是零一，那这是负二分之派零，那这里是二分之派零，然后这里是派负一，然后这是二分之三派零。如果你要找二派的话，你就这样在这里二派一，就是这样子的五个点， 然后连接起来就可以了，就是关于正弦函数和余弦函数的图像，就是就是这两个图像。然后我们大概看，我们来看一道例题啊， 我们来看这道题目啊，看起来好像没什么头绪。已知零小于等于 x 一 小于 x 二小于等于 pi， 嗯，然后满足 x 一 等于 x x 二，然后让我求 cosine 三分之 x 一 加 x 二。 我通过这个题目我可以得到我的两个值， x 一 和 x 二都在零到派，然后 x 一 等于 x 二。那我先来看一下，那我先把图像画出来一下啊，再它是 sin， 那 sin 的 图像。我们刚刚我刚刚说了，就这样子画，画完之后我再标这是二分之派，这是派。好，那我就到这，因为我就指零到派嘛， 我的 x 一 x 都在这里，那我的 c x 一 等于 c x 二，我的 c 隐值相同的。那也就是说，那也就是说我比如说我任意画一下，那我，那我这里就等于 x 一， 对吧，这里就等于 x 二， 那只能这样，它们两个 c 隐值才是相同的。那这个时候其实你会发现什么？我的二分之派其实是 x 一 和 x 二的中间，那，那我通过那个中间点的那个定 那个定例，我是不是可以得到二分之 x 一 加 x 二就等于二分之 pi 的？ 对啊，然后那我的 x 一 加 x 二其实就等于 pi？ 好， 只要你写过来，这个下面的题就很好解了。那 cosine 三分之 x 一 加 x 二，其实就等于 cosine 三分之 pi， 其实就等于多少啊？ cosine 三分之 pi， 三分之 pi 等于六十度就等于 二分之一，对吧？题目啊，这题目是不等式， c x 大 于等于二分之根号三， x 属于零到二， pi 的 解集为多少？他说我的 c x 大 于等于二分之根号三，然后 x 是 属于零到二 pi， 那 我还是一样，我先画图像，我在图像上找这个大于等于二分之根号三， 零到二派的图啊，零到二派的图像都到这二分之派派，二分之三派，二派。然后我来观察，我来想一下 cx 如果等于二分之根号三，那我的 x 值是等于多少？ 首先在第一项线看， x 的 值是可以等于六十度，也就是三分之派。然后他还可以是还有是正的时候，就在第二项线，第二项线的话，那就是三分之二派， 第三个点和第四项线 x， 嗯， x 值都不可能是正的，所以只能是到这两个了，那这个时候我就可以这样画一下，那我这里是二分之根号三，对吧？ 那我这样画过来，那我这两个这个，那这里就是三分之派，那这里就是三分之二派。那我的 c x 要大于等于根二分之根号三，那也就是在这一段是不是就这一段？那我，那我的这个剪辑很好找了，我的 x， 你 就在三分之 派和三分之二派的中间就可以了，那这就是这是我的剪辑，我们这个剪辑最后是写成集合，就是区间的形式也可以，或者写成集合的形式也可以。啊。好，我们今天关于这个图像的问题就讲到这里，我们下节课再见。

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上课同学们好，请坐前面！我们学习了三角函数的概念，那谁来回顾一下它的内容呢？嗯，第二排那位同学，非常好。正弦函数是 y， 等于 sin 的 函数， 定义域是 r， 余弦函数是 y 等于超赞 x， 定义域也是 r。 正切函数是 y， 等于贪婪的 x。 要注意，它的定义域是 x 不 等于二分之派加 k 派， k 是 除以 g 的。 好，那哪位同学可以说一说，我们是如何得到三角函数的定义的呢？第三排那位同学，哦，非常好！通过研究单位圆上点的运动，得到了 射线 o a 绕着点 o 逆时针旋转角阿尔法， 其中边与单位圆相交于点 p， 那 么点 p 的 纵坐标 y 就 表示 alpha 的 i 正弦函数，点 p 的 横坐标 x 就 表示 alpha 的 i 与弦函数。非常好，请做 那本节课呢？我们就从三角函数的定义出发，来研究正弦函数与弦函数的图像。我们先来研究正弦函数的图像， 我们知道单位圆上的任意一点， 在圆周上旋转一周，就会回到原来的位置。那这个现象我们就可以用公式表示为 sine x 加减二 pi 等于 sine x， 那就说明自变量 x 每增加二派或减少二派，正弦值是不变的。那么利用这个特性，我们就可以大大简化正弦函数的作图过程。那我们是不是只需要做出正弦函数在零到二派上的图像， 然后呢，通过不断地向左向右平移，就可以得到整个定域域上的正弦函数的图像了。 那下面呢，请同学们分成小组来思考这样一个问题，在零到二派上，任取一个点 x 零， 我们该如何利用正弦函数的定义来确定它的正弦值 sin x 零呢？进而做出正弦函数图像上的一个点 t x 零， sin x 零。好，给大家一些时间， 好，哪个小组？第二小组哦，你们组先做出 x 零，然后呢，记其中边与单位圆相交于点 b。 根据正弦函数的定义，点 b 的 纵坐标就是 sine x 零。 那你们是如何确定出横坐标 x 零的呢？ 非常好！弧度值的定义，根据我们之前所学习的弧度值的定义，弧长 a b 与半径的比值就是 x 零，那因此 x 零的大小就是弧 a b 的 长度。 那我们可以将弧 a b 拉直，将其平放在 x 轴的正半轴上，那这样呢，我们就找到了 x 零。接着呢，我们就可以确定点 t 的 坐标。 第二小组对之前指示的掌握非常到位，很好，请坐。那下面我们将零到二派分成十二等份，那分别就是零，六分之派，三分之派。 那同时呢，这些角中边与单位圆的交点，也将这个单位圆分成了十二等份。 那接下来，如果我们要是按照化点 t x 零， sin x 零的方法，我们就可以做出自变量取这些角时对应的函数图像上的点。 当 x 等于六分之派的时候，对应的函数值是二分之一，这是二，分之根号三，这是一。 其实当我们用信息技术软件在零到二派上取足够多的值，做出足够多的点，将这些点用一条光滑的曲线连起来， 于是呢，我们就得到了正弦函数在零到二 pad 上的图像。接下来，我们通过将图像不断地向左向右平移二 pad 单位，那么我们就可以做出哎，正弦函数在整个定义域上的图像， 我们向右平移可以得到二派到四派上的图像，通过向左平移就可以得到负二派到零上的图像。 我们发现这是一条哎波浪起伏，连续不断的曲线，我们把正弦函数的图像叫做正弦曲线， 让同学们观察一下，我们做正弦函数图像的时候，我们应该抓住哪些关键点呢？那下面我们介绍一种作图方法，五点法来作图。 我们在正弦函数图像上，零到二派之间取五个关键的点，分别为零二分之派 派二分之三派二，然后呢，相应的函数值就是零一负一零，然后呢，我们做出这些点， 我们发现这五个点就大致确定了正弦函数图像在零到二派上的形状。如果我们对图像的精确度要求不高，那么我们就可以用一条连续光滑的曲线将其连接起来， 那么我们就可以得到正弦函数图像在零到二派上的减图了。那这种近似的五点作图法在我们今后的学习当中是非常常用的，同学们之后在画正弦曲线的时候，我们都是采用的五点法来作图。 好，那以上呢，便是正弦函数图像的内容。 利用三角函数的定义，我们知道正弦函数与余弦函数之间存在着紧密的联系，那下面呢，我们就利用这种联系来由正弦函数的图像画出余弦函数的图像。 那我们应该利用正弦函数与弦函数的哪些关系，通过怎样的变换来做出余弦函数的图像呢？ 哎，非常好，右等公式，我们知道利用右等公式 sin x 加上二分之 pi 是 等于 cos x 的， 那这是不是就说明我们只需要将正弦函数的图像向左平移二分之 pi 的 单位，就可以做出余弦函数的图像了呀， 那么这条红色的线就是正弦余弦函数的图像，我们将其称为余弦曲线。 同样，对于余弦函数图像上，我们也是取五个关键的点，我们来计算一下相应的函数值， 然后呢，做出这些点， 用光滑的曲线连接起来，我们就得到了余弦函数在零到二拍上的简图了。 那在今后的学习过程当中呢，我们都是采用五点法作图，来做出正弦函数余弦函数的简图，然后呢，通过向左向右平移，我们就可以得到其他去进行的图像了。好，那本节课的理论内容我们就介绍这么多，那我们做一道练习题， 请同学们画出 y 等于一加三 x 在 零到二 pi 上的图像，以及 y 等于负的 cosine x 在 零到二 pi 的 图像。 好，谁来说说？嗯，第三排同学好，非常好，采用五点法作图，我们取零二分之派派二分之三派，二派， 我们可以先计算一下 sin x， 然后呢，就可以计算出一加 sin x， 然后呢，我们再做出这五个点， 再用光滑的曲线连接起来，于是呢，我们就得到了这个函数图像在零到二 pad 上的图像， 那 y 等于负的 cosine x 呢？我们也是采用同样的做法，我们可以计算出 cosine x， 然后呢，再计算负的 cosine x， 描出这些点，再用光滑的曲线连接起来，我们就可以得到它的图像了。好，本节课呢，我们从三角函数的概念出发， 利用它的定义来研究正弦函数与弦函数的图像。同学们课下一定要掌握利用五点法来作图的方法，在今后的学习当中，这是非常常用的好课下呢，请同学们完成相关练习题，本节课就上到这下课。

各位同学你们好，今天我们来讲解两角合叉的正弦与弦和正切。首先哈，对于余弦 cosine， 两角和的余弦呢，就会变成什么呢？ 扣扣塞塞就是余弦，余弦，正弦，正弦，符号呢，和括号里面相反，正弦呢？塞引塞引，阿尔法加贝塔。打开以后就变成正余，余正就是塞扣扣塞，然后符号呢，和括号里面一样， 正切呢，打开它会变成一个分数形式，上面呢，拆成两个相加，下面是一减去两个相乘啊，如果你们是负号，打开以后就怎么样呢？上面一样，下面相反， 来我们来看一下哈，我们主要讲这几个方面哈，我们先讲正弦公式， 只要记住正弦了，其他的都可以去推导哈。首先我们来看第一个，其实我们只需要记住这个公式，其他公式都可以用类似的方法去推导就行了，因为前面我们讲过哈， 正弦余弦和正切，正弦它是个奇函数，负号可以什么啊？提出去，余弦它是个偶函数，负号可以抵消， 正切呢，它是个基函数，负号提出去，那记住这个 si， 阿尔法加 beta 等于什么呢？ si 阿尔法 cosine beta， 加上 cosine alpha， sine beta， 记住这个，那下面这个是不是也一样的去可以去推啊，那就我们在这个地方推导一下哈，那是不是可以写成 si 这个哈， 什么阿尔法加上负的 beta， 然后这是不是阿尔法这是 beta 呀？啊，来我们来看一下，那是不打开以后就变成什么？ cine cosine， cosine， cosine cosine， 所以 记住啊， cosine， 然后加这个地方就变成加，那我们来嘛，那就是 cine cosine， cosine si， 那 就是阿尔法这个地方的父贝塔，对不对？这第二个角又是阿尔法，然后又是什么啊？父贝塔，那 这个地方是加号，然后这个地方就仍然是用加号就可以了。好，我们来看一下哈塞亚尔法，它是奇函数啊，不管 cosine f beta， 鱼弦是个偶函数，负倍它就变什么 cosine f beta， cosine f beta 是 不是要写 sine 负倍？它符号是不可以提到最前面来啊，就变负的，什么塞倍它，你们看是不得到了这个公式啊， 那当然其他的也是一样啊。好，既然我们听明白了哈两角和与差的正弦公式，接着我们来看两角和与差的余弦公式。 好，他这个东西能被担当最好，不能被我们来推导一下嘛。那是不是前面我们知道哈诱导公，在诱导公司里面，我们能够得到阿尔法加贝塔的余选等于什么？ 二分之 pi 减去什么阿尔法，加上 beta， 它的正弦基变偶不变嘛，对不对？基数个它就变余弦，然后这个角照抄，然后它第一项弦角为正啊， 我们现在把里面稍微的处理一下，变成什么塞盈二分之 pi 减阿尔法，又再减 beta， 好，把这个看做一个整体，我们是不是可以用前面的方式把它处理出来啊？ siing siing， 而这是我们的前第一个角，这是第二个角，那就变什么 siing cosine cosine cosine sine。 那 二分之 pi 减阿尔法 bet， 二分之派减阿尔法 bet。 好， 这个地方是减正弦，打开仍然是减，那这个地方用诱导公式我们处理一下，是不是变成什么基数个，变成什么 cosine 阿尔法，前面什么为正？ cosine betta 减去这个地方也是用诱导公式处理一下变什么 si 阿尔法 si 贝塔，好，我们得到了两角和的余弦公式，那同同理哈，正切公式你们自己去推导一下就行了， 然后我们再来看哈正切呢，自己感兴趣啊，自己去推导一下，我们要借助哈 si 阿尔法比上 cosine 阿尔法等于我们的 tanthan 阿尔法，那在这个地方，那它是不就是我们的什么 tanthan 阿尔法加上 beta 等于 si 阿尔法加上 beta 除以上 cosine 阿尔法加上 beta。 好， 推导过程自己去推导就行了哈，我们在这个地方看就是，哎，拆分以后，上面变成两个角的正切相加，下面去什么加，下面就变成减一减去两个角的正切相乘。来，我们来看一下 总结啊，自己去记一下哈。当然，这个变形公式相当于做一个基本的代数计算，基本的代数计算去计算一下就可以了哈，二倍角公式，感兴趣去推导一下就可以了。我们来看一下立体 sin， 已知 sin 阿尔法减 beta 等于什么？三分之一 cosine 阿尔法， cosine beta 等于六分之一，我们去算 cosine 二阿尔法加上二 beta 的 值，这是某一年的一个高考题哈，我们来看一下，我们 知道 sin alpha 减 beta， 我 们就用什么两脚叉的证券公式把它打开嘛。 alpha 减 beta 等于什么？ sin alpha cosine beta 减去符号一样嘛。 cosine 阿尔法塞英贝塔，又因为 cosine 阿尔法塞英贝塔等于六分之一，对不对？哎，那我们是不是可以代减来就是塞英阿尔法？ cosine betta 减六分之一等于，这个结果是多少啊？三分之一对，三分之一。那我们是不可以把三乙二法 cosine 法算出来呀？塞，三乙二法 cosine betta， cosine betta 等于什么？三分之一加上六分之一等于几啊？嗯， 二分之一，六分之二加六分之一嘛。那这个地方我们先把它提出来。 cosine 二倍的 alpha 加上 beta， 在 这个地方把它看出个整体。前面有个二倍角公式啊，它等于一减去二倍的塞盈 alpha 加上 beta 的 平方的。我们自己去看一下就行了哈。把它看出个整体，它是 five 嘛，对不对？这是不就 five？ 好，那全部往里面带。我们是不是还知道塞因阿尔法加贝塔呀？它是个整体嘛，为什么好带呗？那就是塞因，我写字哈。阿尔法加上 betta， 它又等于什么？ 嗯，塞因阿尔法 cosine betta 加上 cosine 阿尔法 cosine betta 三元二法 cosine beta， 它等于几啊？刚才算了。对，二分之一加上 cosine 二法 cosine beta 等于几啊？六分之一加上六分之一，那等于什么？六分之四就是三分之二。那这个地方是不是一减去二乘上 三分之二的平方？好，算一下，这是九分之四，九分之八，一减九分之八等于几啊？九分之一，所以我们就得到了我们最后的结果，答案是九分之一。好，今天的课就讲到这个地方。

今天我们来看正弦定理啊，在各种考试和练习当中最广泛的一种应用场景。边角互化。首先呢，我们来讲边画角的基本原理， 什么是边画角呢？由正弦定理我们知道， a 比三 a 等于二 r， 如果我们对这个式子呀进行一个简单的变形，就可以得到 a 呢是等于二 r 三 a 的， 同理 b 等于二 r 三 b， c 呢是等于二 r 三 c 的。 如果我们面对的是一个方程，或者是不等式或者是分式的话，他满足这样一个条件，就是每一项呀都带有次数相同的边， 那么我们就可以通过正弦定理呢，将所有的边都转化为角，这里的角呢当然就是指正弦。我们举几个简单的例子，比如说我们看这样一个方程， 他的左右两边呀都带有次数相同的边，比如说这里的 a， 这里的 b 以及这里的 c。 由上面我们得到的这个转化关系，我们就可以将这里的 a 边呢改写成 二 r 乘以一个三 a， b 呢改写成二 r 乘以一个三 b， 而 c 呢改写成二 r 乘以一个三 c。 由于啊，这是一个方程，每一项呢，现在他都带着一个二 r， 就 可以把这个二 r 给他约掉。最后呢我们得到的其实就是算 a 考，算 b 加上一个 考三 a 乘以一个三 b， 而右边呢就是三 c 的 平方。这样的话呢，我们就可以通过三角恒等变换的知识呀，对它进行后续的处理。 可见我们在这个式子当中啊，进行编号角的时候呢， 要保证啊，他这个边必须是一个其次形式的结构，其次的目的，其实呀就是为了将这里的二 r 给他消掉。 再来举一个例子，我们来看这样一个方程，那很显然呀，左边呢带有一个 a 边，带有一个 c 边，由于右边啊，它是一个零，它显然呢，它怎样都能。其次， 这样的话呀，我们将左边的 a 呢换成二 r 乘以一个 三 a， c 呢换成二 r 乘以三 c， 这样的话，就可以约掉这个二 r， 它就变成了根号二三 a 乘以三 c， 再减去 三 c 乘以 cosa 等于零。这样的话呢，我们就把原本还有边的一个方程转换成了只含有角关系的一个方程。再来看下一个例子，这个例子呢， 右边这个位置呀，他是一个分式，这个分式呀，分子分母的每一项他都含有次数相同的边， 那么我们就可以把这个次数相同的边呀，进行如下的转化，比如这个 c 就是 二 r 乘以一个三 c， 减去二 r 乘以个三 a， 在 b 上， 二 r 乘以一个三 e， 加上二 r 乘以一个三 b g r 呢，我们就可以将所有的二 r 呀都给它约掉，那么还是转换成只含有角关系的一个分式。 在我们正常解决问题的过程之中啊，当我们熟悉了这种其次的转化之后呢，就可以不用写这个二 r， 直接进行编号角。 接下来呢，我们再来看角化边，只要你能够理解什么叫做编号角，角化边呀，原理是一模一样的，还是从正弦定里出发，我们进行一个简单的变形，就可以得到 a 比二 r， 它就是散 a， b 比二 r 就是 散 c。 如果现在我们面对的方程啊，不等式呀，或者是分式， 他每一项呀，都带有次数相同的正弦，注意一定是正弦，我们就可以用正弦定理啊，把这里的角也就是正弦值转化成边， 这个过程呢，我们就称之为角化边。举两个简单的例子，比如说我们看这样一个例子，这是一个方程， 左右两端呀，每一个位置他都带有次数相同的正弦，因为左边每一项都是二次，而右边呢，两个成的一起呢，也是一个二次。我们就可以啊，把这里的三 a 给他换成 a 比二 r 括号外的平方，加上 b 比二 r 括号外的平方，再减去 c 比上二 r 括号外的平方。 而右边呢，就是二倍的 a 比二 r 乘以一个 b 比 r， 我 们会发现呀，每项他都带有二 r 分 之一的平方， 那么我们就可以把这个二分之一的平方给它约掉，约掉之后，最后就剩了一个 a 方加 b 方减 c 方等于二以 b， 这样的话呢，就完成了从 角的奇次式向边转化的一个过程。再来举一个例子， a 加 c 等于二 b， 让我们去证明三 a 加三 c 等于二 b 的 三 b。 我 们一观察左边的这个式子呀，很明显他左右两边每个位置都是边的一次式，我们呢就可以直接把这个边的一次式呀，给它转换成 三 a 加上三 c 等于二倍的三 b。 还是在我们写的熟练了之后呢，也可以不用再去写那个二 r， 可以 直接进行转化。 那在我们解决具体问题的过程之中，我们面对着一个式子，究竟是要边化角还是要角化边呢？ 刚开始的时候呢，我们对边画角或者是角画边啊，这个方向感可能还没有那么直接，但是呢，你通过几个简单的练习之后呀，你很快就能够掌握对应的方向。那下面呢，我们就来解决几个有关的问题 来看这样一个问题，满足 c 等于二 a 乘以一个考算 b。 你 看到这个题之后呀，你马上就能够察觉到 它是一个含有边的其次式，那么我们就可以对它进行编号，角就是三 c 等于二倍的三 a 乘以一个 考算 b， 那 接下来怎样进行处理呢？我们知道这个三 c 啊，它其实就是三 a 加 b， 我 们就可以给它改写成三 a 乘以一个考算 b， 加上考算 a 乘以一个算 b， 右边呢，还是二倍的算 a 乘以个考算 b。 下面呢，我们一项把左边的每一项都给它挪到右边来，它就变成了 算 a 考算 b 减去考算 a 乘以算 b 等于零。那么这个式子横等变换， 算 a 减 b 等于零。我们知道算 a 减 b， 想要等于零的话，要么 a 是 等于 b 的， 要么 a 减 b 呢，是等于 派的。而这个答案显然是不可能的，所以说角 a 呢，一定是等于角 b 的， 那既然角 a 等于角 b， 这个三角形呀，他就一定是一个等腰三角形。 在这个题目之中，由于他给定了一个边的，其次是向着角化减呢，肯定是唯一的一个解决问题的方向。所以呢，我们边画角，再来看一个问题。 二， a 呢，是等于 b 加 c 的 三 a 的 平方等于三 b 乘以一个三 c， 还是问我们这个三角形的形状， 那如果我们仔细观察这个式子啊，这个式子呢，属于一个边的奇次式， 而右边这个式子呢，属于一个正弦的奇次式，所以这个题目啊，他就会有两种解决问题的方向。第一种方向呢，我们可能会想呀，把左边这个改成二倍的三 a 等于三 b， 再加一个三 c， 就是 把边画角， 那右边这个你就不能再画了，就是三 a 的 平方等于三 b 乘以一个三 c， 这是变化角，但是变化角完了之后呢，你很明显感知到啊，现在我们面对着一大堆的三角函数，就要对他们进行各种复杂的恒等变换等等，解决起来啊，可能就没有那么的容易。 所以呢，我们再来尝试一个方案。二，就是我们把呀角画成边，角画成边呢，我们只画这边这个式子，给他改成 a 方等于 b 乘以 c， 那 你左边那个式子就不能再画了，就是二 a 呢是等于 b 加 c 的， 因为这两个式子必须得是同类的式子，我们才能够进行进一步的处理。 那接下来呢，我们只需要简单的去处理这些边的关系。通过这个式子呀，我们可以知道， a 呢，它是等于二分之 b 加 c 的， 然后呢，将这个式子呀给他带入的上边，左边呢就是四分之 b 方加 c 方加二 bc， 他 呢是等于 bc 的， 把这个四乘的右边一整理，就可以得到 b 减 c 的 平方呢，是等于零的，所以啊， b 呢是等于 c 的。 当解决的这一步的时候，我们能够确定呢，他至少呀是一个等腰三角形。但 是呢，我们的仔细观察这样一个条件啊，因为 b 跟 c 是 相等的，那么你把 b 等于 c， e 带到这里边来，你会发现呢， a 呢，也是等于 c 的， 那就证明 abc 三边是相等的，所以呢，这个题啊，他应该选择 等边三角形，这个题目呢，我们在化简的时候呢，他就有两个方向，而这两个方向呀，需要我们进行一个简单的尝试。 呃，如果我们非要说边化角或者是角化边哪种应用更多的话，我个人更倾向于呢，边化角，他比角化边呢多那么一点点。再来看一个问题， 根号三 a 乘一个算 c 减去 c 乘口算 a 等于零，让我们呢去求这个角 a， 我 们去观察这个式子，那我们很容易发现啊，这个式子呀，它肯定是一个边的起次式，我们只能呢进行编号角，那就是 根号三三 a 乘以三 c 减去三 c 乘以考剩 a 等于零。 那么我会发现呀，每项都是有三 c 的， 由三角形内角正弦值的特点，我们知道三 c 是 一定不可能等于零的，那么我们可以把这个三 c 给它约掉，就是根号三 a 减去 考算 a 呢，是等于零的。那处理到这里啊，我们就发现呢，我们可以使用辅助角公式提出一个二，它的内部就可以整理为算 a 减去一个六分之派是等于零的。 所以啊，这个 a 减去六分之派，他要么等于零， 要么呢是等于派的，而等于派这个位置显然是不可能的，所以 a 减六分之派一定等于零，那么角 a 呢，就等于六分之派。 我们再来看一个问题，那这一个问题啊，与上一个问题就非常非常的像，他也是呀，就是只有一个单一的换箭方向， 因为现在我们面对的这个式子，显然是一个角的其次式，每个地方都是二次的，所以呢，我们直接进行角化边就可以了，就是 a 方等于 b 方加 bc， 再加上一个 c 方 整理，就是 b 方加 c 方减 a 方是等于负 bc 的。 那很显然呢，这个位置啊，它非常非常的像鱼线令里，左右两段同时除以一个二 bc， 我 们就会得到 cos， a 呢，是等于负的 二分之一的，那就证明呢，角 a 呢，等于一百二十度。再来看一个双条件的问题， a 减 c 等于六分之，根号六， b 算 b 呢，等于根号六 c， 问算二 a 的 值。 那这又是一个双条件的问题，这个呢，属于一个边的其次式，而这个位置呢，属于一个角的其次式。那我究竟要边画角，还是要角画边呢？ 我们还是呢要将角呀给他转换成边，相对而言呢，更容易算一点， 如果我们把这个角化成边，他其实就是 b， 等于根号六 c。 当我们确定了 b 等于根号六 c 之后啊，我们会发现这个边的条件，他特别容易向着这边进行带，我们给他带进去，就是 a 减 c 呀，他就等于 c， 所以呢， a 是 等于二 c 的， 这样的话， a 与 c 有 关系， b 与 c 也有关系。那么呀，我们就可以先来计算这个考算 a， 因为这是一个比例性的问题， 考算 a 呀，它等于 b 方加 c 方减 a 方比成一个二 b c， 我 们将 a 和 c 的 关系，以及 b 和 c 的 关系啊，都给它带入其中， 我们就可以算出来。考算 a 呢，它是等于四分之根号六的，显然这是一个正数呀，既然它是一个正数， 我们就知道这个角 a 呢，它一定是一个锐角，那么我们根据同角三角函数的基本关系就可以算出，算 a 呢，就等于根号下 e 减去 cos a 的 平方， 把数值给他带入其中呀，他就是四分之根号十。这样的话，我有了三 a 跟考三 a， 你 要求三二 a， 他 就等于二倍的三 a 乘以一个 考三 a， 把我们得的数值啊带入其中，你很容易发现呀，正确答案呢，就是 c 选项。 再来看一个问题，这个题目呢，告诉我们， a 是 等于根号三的，然后呢，有了后边这样一个条件，然后问外界圆半径， 如果我们直接去观察他给定的这样一个式子，你会发现呢，这个式子呀，他既不是一个边的其次式，也不是一个正弦的其次式，我们选择这个出发点呀，都是不太容易的。 但是呢，我们不要忘了这里边的 a 啊，它是等于根号三的，而这个位置呀，他正好有一个根号三， 那我不妨把这个根号三呀，先给他改成 a， 那 你看这个式子是不是就变成了 c 减二 b 加上二 a 乘以一个 cosc 等于零。这样的话呢，我们就人为的呀，创造出来了一个边的其次式， 得到了这个边的奇次式呢，我们再进行变化，角就是散 c 减二倍的散 b 加上二倍的散 a 乘以一个 cosc 等于零。 那接下来呀，我怎样进行转化呢？我们观察到这个位置呀，它是散 a 乘以一个 cosc， 而这个位置呢，有一个散 b， 这个散 b 啊，正好可以将其进行展开，展开之后呢，就是散 c 减去二倍的散 a 考散 c 减去二倍的考散 a 乘一个散 c 等于零。那么换解之后呢，我们就会得到呀， 三 c 呀，是等于二倍的 cosa 乘以三 c 的， 还是根据三 c， 它不能等于零，所以呢， cosa 呀，自然就等于二分之一。那就证明啊，角 a 呢，它是六十度， 所以啊，这个三 a 自然就等于二分之根号三。 本题让我们去求外接圆的半径，由正弦定的，我们可知， a 比上三 a 就 等于二 r， a 呢是根号三，三 a 呢是二分之根号三。所以啊，这个外接圆的半径 r 呢，就等于一。 再来看一个问题，角 b 呀等于六十度， b 方呢，是等于四分之九 a， c 的 问三加上三 c 等于多少？ 角 b 等于六十度，这是一个固定的数值条件，而这个 b 方等于四分之九 a， c 呀，我们观察可以发现呢，左右两端呀，它其实都是边的二次式， 如果我们进行编号角，就可以得到三 b 的 平方是等于四分之九，三 a 乘以一个三 c 的。 由于角 b， 它是六十度呀，所以啊，这个三 b 的 平方呢，它就等于 四分之三。那么四分之三等于四分之九，三 a 乘以一个三 c， 所以 我们就知道三 a 乘以三 c 是 等于三分之一的。 那由于本题让我们求的是三 a 加上三 c， 我 们并没有求出三 a 加三 c， 我 们只得到了三 a 乘以一个三 c。 所以呢，我们还要继续对这个问题啊进行处理，那接下来的处理方向呢？那你只能围绕着余弦定律进行展开， 这个角 b 呢，他是六十度，那考算 b 自然就是二分之一，而考算 b 呢，等于 a 方加 c 方减 b 方比上二 a c， 由于我们已经知道了 b 方呢，它是等于四分之九 a c 的， 把这个东西给他代入，就会得到 a 方加 c 方减四分之九 a c 比上一个 二 a c。 整理这个条件呀，我们就会得到 a c 等于 a 方加 c 方减四分之九 a c， 把这个四分之九 a c 呢给他挪过去， 我们就得到了 a 方加 c 方呀，是等于四分之十三 a c 的。 现在我们仔细观察得到的这样一个表达式，我们得到了一个 新的边的其次式，那如果我们把这里的边给它画成角，左边是不是正好是三 a 的 平方 加上三 c 的 平方，它就等于四分之十三，三 a 乘以三 c 呢，它是 三分之一，所以呢，他就是十二分之十三。这样的话，我们得到了三 a 的 平方加三 c 的 平方，又得到了三 a 乘以一个三 c， 那 我们怎样得到这个三加上三 c 呢？哎，这个就很简单， 我们在这个式子的左右两边呀，同时给他加上一个二倍的三 a 乘以一个三 c， 那 右边呢，自然就是三分之二， 左边呀，就变成了三 a 加上三 c 括号外的平方，而右边呢，也就是 四分之七。所以啊，这个三 a 加上三 c 呢，就等于二分之根号七。本题呢，自然是选择 c 选项的，这个题目呀，他处理起来就非常非常的绕。 首先呢，我们要先进行编号角，在编号角的时候呢，找到了三 a 跟三 c 它的乘法关系，然后呀，再用余弦定理，用余弦定理呢，再次得到了一个 边的其次式，再进行一次编号角。最后呢，还要进行一个巧妙的构造处理，才能够得到最终的答案。 在解决这种问题的时候呢，我们一定要多加的尝试，只要我们知道呀，我们想要解决问题的基本方向，那向着这个方向去前进，总能把这个题给它算出来。 好，我们再来看一个问题，这个题目的条件呢，我们仔细去观察， 我们就会发现呀，它既是一个边的，其次是，那我到底是边画角还是角画边， 你只需要观察他要求的是角 c， 那 既然他要求的是角，那如果我左边呀都给他整成边，他是不是就有可能向着余弦定里的方向进行靠拢呢？ 你看，左边是 a 加 c 乘以一个 a 减 c， 而右边呢，正好是 b 乘以一个 a 减 b， 左边打开就是 a 方减 c 方，而右边打开呢，就是 a， b 减 b 方，整理就是 a 方加 b 方减 c 方等于 ab， 那 么两边同时除以一个二 ab 角 c 呢就是三分之派。你看这个处理啊，他就要简单的多的多。 再来看一个问题，这又是一个双条件的问题，有这样一个条件，也有这样一个条件，既满足边的，其次是也满足角的，其次是， 那我怎样处理更加容易一些呢？哎，我们先冷静的去观察啊，不要着急的去边画角，或者是角画边，我们先观察观察这样一个式子， 你会发现这个式子呢，如果我们进行简单的处理，就是 a 方加 b 方减 c 方，等于 ab 乘以一个三 c。 在 前面的视频之中我们讲过，像这种啊，带有平方关系的表达式，我们更容易向着于先定力的方向进行一个简单的思考， 我在这个式子两边呀，同时给他出一个二 a b， 那 左边呢，其实就是考三 c， 而右边呢，就变成了一个二分之三 c， 于是乎呀，我们就可以得到这个弹天的 c 呢，是等于二的。 这样的话呢，第一个式子，其实我们并没有采用冒然的变换角，或者是冒然的角化边， 而是呀，向着我们更加熟悉的方向进行了一个简单的配透。现在我们再看第二个条件，第二个条件呢，他理解起来就要容易的多了，因为他显然是一个边的。其次式，我们就可以将其改写成三 a 乘以一个 三 b 乘以一个 cosc， 再加上三 c， 三 b 考算 a 等于二分之根号二散 b。 你 观察呀，每个位置都有散 b， 就 可以把这个散 b 给它约掉， 约掉这个散 b 啊，左边剩散 a 考算 c， 加上一个考算散 c， 它其实呢，还是散 b 等于二分之根号二， 那就意味着角 b 啊，他要么是四十五度，要么呢是一百三十五度。 而由于啊，弹天的 c 呢，已经等于二了，那这个角 b 啊，他一定不可能是一百三十五度，所以角 b 啊，一定是等于 四十五度的，那么就意味着弹天的 b 他 一定等于一。现在我们观察，我们既有弹天的 b， 又有弹天的 c， 而我想要去求弹天的 a， 那 就要容易的多了，因为他就等于负的，弹天的 b 加 c， 也就等于负的弹性的 b 加弹性的 c， 也就是一加上二，比上一个一减去弹性的 b 乘以一个弹性的 c， 最后呢，它就等于三。所以啊，本题的正确答案呢，就是 a 选项。 再来看一个问题，三 a 等于二 b， 问这样一个东西的值是多少？ 那这个题啊，他处理起来就要简单的多的多，因为我们知道三 a 等于二 b 呢，他其实呀，就是三倍的三 a 等于二 b 的 三 b。 那 接下来呢，我们可以把这个关系呢，带入到这里边去。 当然后边的这个表达式呀，我们也可以整成二 b 方减 a 方，再比上 a 方，然后呢，把这个式子给他带入到这里面，这两种运算呢，都是比较容易的。 那本题的正确答案呢，带入之后呀，很容易发现他就是 d 选项，这个题目呢，他就要容易的多得多。再来看一个问题， 第一个条件呢是 a 乘以三 a 减去 b 乘一个三 b 等于四 c 乘一个三 c。 第二个条件呀，是 cosa 等于负的四分之一。那第二个是一个具体的数值条件，我们就要把目光呀集中到第一个条件的处理上来。 很显然呢，这个式子呀，它既是边的其次式，也是一个角的其次式，那我到底是边画角还是角画边呢？ 由于后边是一个 cosine 的 表达式，那如果我前面都是边的话呢，那后边还可以用一次余弦定理吗？所以啊，我们将前面的角呢，给它画成边，就是 a 方减 b 方等于四 c 方， 而后边这个 cosine 等于负的四分之一，也就是负的四分之一，它就等于 b 方加 c 方减 a 方变成一个二 b c。 那由于本题之中呀，让我们求的是 b 与 c 之间的比值关系，我们最好呢将这里的 a 呀给它消掉， 上面呢，就变成了 b 方加 c 方，减去 b 方，减去四 c 方，再比上一个二 b c， 那 么我们很容易得到呀，这里呢，三 c 比上二 b 呢，它就等于 四分之一，所以啊，这个 b 比 c 呢，自然就等于六。我们再来看一个分式形的问题啊， 这个题目呢，谈谈的 b 啊，是等于三倍的谈谈的 a 的， 然后呢问我们后面这个表达式是等于多少的？ 那么这个后面的这个表达式呢，我们仔细去观察，我们很容易发现呢，他是一个边的，其次是我们可以把它转化成四倍的三 a 考三 b， 减去三倍的三 b 考三 a， 再比上一个五倍的三 c， 那 由于我这里都是角 a 跟角 b 之间的关系，我们不想出现这个 c， 我 们就可以把这个 c 啊给他拆了，五倍的三 a 考算 b， 加上五倍的考算 a， 乘以个算 b， 这样的话，我整个这个表达式啊，这就只有 a 跟 b 之间的关系，而且呢都是弦。 接下来呢，我们有两种处理方向啊，其中有一种处理方向是这样的，就是我对这个表达式呀，分子分母同时给它除以一个 cosine， 乘以一个 cosine， 它就变成了四倍的弹性的 a， 减去三倍的弹性的 b， 再比上一个五倍的弹性的 a， 加上五倍的 弹性的 b， 也就是说我化弦为切，这是一种处理方向。那接下来呢，我们只需要呢， 把弹弹的 b 啊，给他改成三倍的弹弹的 a， 他 就变成了一个四，减去一个九，比上一个五，加上一个十五。最后的答案呢，自然就等于负的四分之一，这是一种处理方向。 还有一种处理方向呀，就是你可以把这里边的这个切呢，都给他画成弦，左边呢改成三 b 比烤算 b， 右边呢是三倍的三 a 比成一个 烤算 a， 交叉相乘呀，再把它给带到右边来，也可以得到同样的答案。但是呢，我个人认为呀，这种弦画切的方式呢，它相对而言呢，更容易处理一些。 最后呢，我们再来看这样一个问题，满足的条件是这样的，让我们去求这里的角臂， 那无论是左边还是右边啊，他们都是一个其次分式。那么我到底是边画角还是角画边呢？你还是去想啊，他让你去求这个角臂， 如果左边都是边的关系，你就可以使用余弦定力。所以呢，我们还是把角给它画成边，也就是 b 减 a， 比上一个 c 等于 c 减 a， 比上一个 a 加 b。 然后呢，我们交叉相乘，左边就是 b 方减 a 方等于 c 方减 a， c 整理就是 c 方加 a 方减 b 方等于 a c。 那 显然呀，两边同时出一个二 a c， 我 们就可以得到这个考算 b 啊，是等于二分之一的，那么角 b 呢，自然就等于六十度。

来，我们讲一下这个正弦函数啊， y 等于三 x， 咱直接来啊，咱直接来。它的图像 x y， 它的图像是长成这个样子的， 这样，这边这边继续啊，这边继续啊，有很多啊，就这种啊，就这种有周期性的，这种波浪性的啊。来，我们知道这个这个地方是零多少零，经过原点的一看，从这个图像上也能看出来，这个函数是个奇函数，对吧？ 然后这边是零，然后这边呢？这边是二派逗号零，哈，这个点是二派逗号零，那这个点就是派逗号零，那中间这一个，那这个是二分之派，那这个点是最高点，最高点是一 一，那最低点这边是负一哈，这边是二分之，那这个数就是二分之三拍啊，二分之三拍。好吧，来，那有了这个公式，我们去分析一下它的性质啊。分析它性质，第一个， 第一个是定义域哈，定义域是全体实数，它的值域是负一到一哈，值域是负一到一， 这个三角函数 y 等于三 x， 这个函数有范围的，我直域是有范围的，我们也把它叫做有界性啊。第二个，第二个是单调性哈，这个函数不具有在整体上不单调，但是它有它，它有存在单调递增区间，以单调递减区间，对不对？ 我们看单调性哈，单调性里边，我们先看单调性里边的增区间，那第一个就是增区间， 那么我们能找到一个增区间，一个增区间，就比如说从这到这， 那这个是谁呢？这个是负派，这边是负二派，那中间这个就是负的二分之派，所以一个单位的增区间就是负的二分之派到二分之派是一个，对不对？ 然后后边还有，对不对？后边也有哈，一共有无数个，对吧？一共有无数个，然后这些单子，这些单调递增区间的这个差别就是从这个单调递增区间到后一个单调递增区间是加了个二拍，然后再到一个又加了个二拍， 所以就是单列递增区间，就是负的二分之二拍叫二 k 拍，到二分之二加二 k 拍， 然后 k 除以整数，这就是它的单调递增区间哈， k 等于零的话就是这一个， k 等于一的话就是这一个， k 等于二的话就是这一个，那 k 等于负一的话，就是后边的这个，对不对？ k 等于负一的话，就是后边的这个 不能叫后边，这个也得叫左边的这些是不是？看好了有无数个哈来，那这是它的增区间，那它就在单调递减区间。 减区间，减区间。减区间的话我们去找一找哈，找一找，那在这 在这在这，但在减区间哈，在减区间，那就是二分之派到二分之三派，哈，二分之派到二分之三派，就二分。二分之派加二 k 派到二分之三派加二 k 派， 然后 k 属于 z， 二分之派到二分二分之派加二 k 派到二分之三派加二 k 派，哈， k 属于 z 哈，二分之派到二分之三派是一个。那然后呢？这边是不是还有啊？对不对？这边还有，那这个和这个是差了 二派，差了一个周期，差了二派啊？二派它加上个二派就是这个，再加上个二派就是这一个， 对吧？所以它的单调的递减区间就是二分之二加二 k 拍到二分之三拍加二 k 拍单调性。 第三个就是奇偶性，那这个函数很明显它是个奇函数哈，奇函数从图像上也能看出个大概，因为因为我们知道 f 负 x 等于个 三负 x， 根据有导公式，这个结果等于负的 x， 对 不对？所以意味着 f 负 x 等于负的 f x 吗？所以这个函数就是一个奇函数。 第四个，周期性，单六性、基五性，周期性，周期性。这个函数它有，它是一个周期函数啊，周期函数，周期呢？它的一个最小正周期是 二拍啊，来，我们去看一看啊，最小正周期就是从这 到这，这就是一个周期，一个周期哈，一个周期后边的图像或者别的部分图像都可以看成由他复制平移得到的哈，复制来的都可都可以看成由他复制来的。所以周期性就是他的周期就是二派， 二派是他的，就我们把它叫做最小正周期哈，正周期。 同时我们知道四派或者是负二派，或者是负四派，甚至是负六派，或者是二派，四派、六派、八派等等，这些都是他的一个周期哈，都是在一个周期，但这是最小正周期哈。 来看哈，一二三四五，但是星期五周期性。再看对称性哈，再看它的对称性， 呃，这个图像既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，它的第一个，它的对称轴哈，对称轴，我们去看一下它的对称轴，哎，这个是一条对称轴，对不对？那这也是一条，对不对？你看哈， 从这个对称轴到这个对称轴是加了谁？是加了个派，加了半个周期，加了派，对不对？他们加的是派，然后呢？到下一个对称轴也是加派，再到下一个对称轴呢？加派， 再到下一个对称轴，又加派，对不对？所以在二分之派的基础上，加上若干个派，或者减掉若干个派啊，减掉若干个派，都能得到它的对称轴，所以它的对称轴就是 x， 等于二分之派加上 k 派啊， 加上或减掉若干个牌哈，就加上一个 k 牌，然后 k 除以 z， 这就是单对称轴，然后第二个，第二个，然后它的对称中心哈，对称中心。 对称中心是写叫 k 牌多少？零哈，嗯， 对称中心，嗯，对称中心。怎么说呢？这，哎，这个什么叫对称中心呢？就是绕着某个点旋转一百八十度之后，能够与原原来图形重合，对不对？那这个点， 这个点，这个点，这个点，这个点，都是他，都是他，对称中心，对不对？看这个来，零，零派，零，二派，零三派，零四派，零五派，零六派零，一直往后走，对不对？所以对称中心就是 k 派，逗号零哈，然后 k 属于 z， 好 吧， 对称中心哈。嗯嗯嗯，一般都是这几大性质哈，单调性、基有性、周期性和对称性。函数的四大性质嘛，对吧？那对于这个函数来说，我们再加一个哈，第六个，再加一个它的最大支点哈， 最大支点，最大支点。我们要注意一下这个事， 什么是最大值点呢？最大值点跟零点一样，它不是点，它是函数取得最大值的时候所对应的 x 的 值。 当函数取得最大值的时候，对应的 x 值函数，比如说那函数取得最大值，我们知道函数最大值是一，对不对？当 x 等于一的时候，当 y 等于一的时候， x 等于二分之派也可以，那这个呢？从这到这是不是一个周期啊？二分之派加上二派， 那这个呢？再加上个二拍，那就是二分之拍的基础上加上若干个二拍，就可都可以得到这个函数值。就是当 x 等于这个数的时候，都能得到这个函数的 y 都是等于一的，对吧？所以它的最大值点是 x 等于二分之拍，加二 k 拍，然后 k 属于 z， 这是就是来再强调一下，最大值点，不是点啊，是函数取得最大值的时候所对应 x 的 值。那最小值点呢？那最小值点就是 x 等于负的二分之派加二 k 派， 然后 k 属于 z。 好 了，这就是它的最大值点和最小值点。最小值点。也很好理解啊，很好理解，我们去换一个啊，换一个， 嗯，这吧。呃，最小值点在这嘛，对不对？在这，那个函数的最小值是负一，当 x 等于 c 的 时候，当 x 等于负二分之派， 这个这个也行。在负二分之派的基础上再加上一个二派，就是二分之三派，再加个二派也可以，再加二派也可以，或者在负二分之派的基础上减二派也可以哈。就是负二分之派加上二 k 派， k 属于 c， 哈， 当 k 是 负的的话，那是不是就是减了？ ok， 这就是函数的基本性质哈。来， 那我们可以用这个三角函数的图像用来干什么呢？那它的作用就大了哈，它的作用就大了。来，我们去研究研究哈，我们去研究研究。嗯， 哎呀，画的有点点丑。嗯， 这样啊，这边我就啊，我我，我再稍微稍微画一点点吧。 好吧，那有点丑了。这样吧，这边是拍，这边是二拍，这边是零，这边是。这个最大值是函数的最大值是一，最小值是，这边就是负一，是不是？ 来，我们可以用来干什么？第一个，我们可以用来解方程，解方程和解不等式哈。 啊？这个解方程关于三 x 的 方程哈，你比如说？最简单，你比如说我告诉你说三 x， 你 比如说我们解，比如说我们解三 x 等于一，对不对？你看三 x 等于一的话，你再去看看啊，那三 x 等于一的话，就是 y 就是 y 等于一，对不对？这这，这是 y 等于三 x， 对 不对？ 三个就是 y 等于一，那就是那就是，那就是这些呗，对不对？那 x 等于谁啊？ x 等于二分之派，也可以二分之派加上一个二 k 派啊，所以 x 就 等于二分之派加上二 k 派， 对吧？这不是减三 x 等于一吗？没问题哈，那再来，那如果我减三 x 等于零的话，三 x 等于零的话，那 x 等于谁啊？再去看看啊。 三 x 等于零，那你那像你看那，那是不是找这些点，对不对？这些点的 y 是 不是都是零啊？这些点？那 x 等于谁啊？零也行，拍也行，二拍也行，三拍也行，四拍也行，五拍也行， x 等于 k 拍， 嗯，对吧？然后第三个，你比如说解三 x 等于你不是大就等于负一，三 x 等于负一的话，那 x 等于谁啊？你找找 y 等于负一吗？对不对？你找找 y 等于负一的这些点，哎。 y 等于负一，那这个，这个 x 等于谁啊？这个 x 等于负二分之二， 这个 x 等于谁啊？二分之三派，对不对？那就是负的二分之派加上一个这个呢？这个是负二分之派，到这是加个二派，到这呢？再加个二派，对不对？那就是 x 等于负的二分之派，加二 k 派加若干个二派吗？对吧？ 好了，那再来哈，再来，那如果我要减你的下一个，如果我减三 x 等于二分之一的话，当然了，我们用三角函数线一样可以操作，然后我们就用它来看一看哈。三 x 等于二分之一，那就是找 y 等于二分之一呗，对吧？ 来找 y 等于二分之一，这个是二分之一在这，对不？你看这一些，你看这一些啊。好了，那首先看这个，先看这个，这个是谁？ 这这个 x， 这个 x 当然是在零到二分之派之间，这个是二分之派，对吧？零到二分之派之间，就是第一象限里边的，都在第一象限里边哈。那三 x 等于 三 x 等于二分之一的话呢？ x 等于谁呀？那这个 x 等于谁呀？这个 x 等于三十等于二分之一，肯定是三六分之派吗？对不对？ x 等于六分之派。 还有一个，你看这个是谁啊？这个，这个他，他和他，他俩肯定是关于二分之拍对称的，对不对？所以这个是六分之拍，那这个一定是六分之五拍，对吧？或者 x 等于六分之六分之五拍， x 等于六分之五拍， x 等于六分之五拍啊？这个六分之五拍，可以吧？来，那，那这个呢？那这个 x 是 谁啊？ x 是 谁啊？那这个 x 实际上就是六分之拍的基础上加上了一个周期嘛，对不对？在这个周期上是不是加上加二拍啊？对吧？那这个是谁啊？ 这个三它的 y 也是二分之一，那对呢？ x 是， 那就是在六分之五拍的基础上加了二分之一， 对吧？我换个颜色哈。我换个颜色，我就用红色吧，我就认识黑色和我就认识红。这个，这个是 这个是这个。这叫什么颜色？不知道，就这个吧，就这个吧。哎，不太清楚，就这样吧哈。这个叫绿绿色吧，好不好？是，这是叫绿色吧。来，那你看。哎他，你看，这是六分之五拍，那这个呢？就是六分之五拍加二拍，对不对？ 然后然后，然后这个呢？这还有一个。那这个是不是这个是不是？他在他的基础上是不是又加二拍啊？对不对？ 那后边是不是还有一个无数个哈，那他呢？他是在这个基础上再加二拍，对不对？所以是分为两大阵营哈。我叫两大阵营哈。那这个 x 等于六分之派加上二 k 派可以， x 等于六分之五派加上二 k 派也可以，可以除以 c 哈， 可以数一岁，对吧？好了啊，这就是，那这个，这个蓝色的就是六分之派 再加上二派加二派得到的，那这个绿色的就是六分之五派加上二派再加二派得到的，对不对？好了，这不就解空了，别的都是同样的道理，我就不啰嗦了哈。这是解等式，然后我们还可以解不等式哈。 解，解不等式哈？解不等式，那当然解不等式。解不等式只能解一些特殊的哈。特殊的，你比如说我解三 x 大 于等于二分之一吧啊，别用二分之一了啊，别老用二分之一换一个哈。 但是也得特殊的。三 x 大 于等于，比如说二分之根三吧，好不好？这个有点乱，把它擦掉哈。 就这样吧啊， 来，它的图像长成这个样子的，哎哎哎哎哎， 这样哈，这样哈，来。嗯，三 x 要大于等于谁呢？要大于等于，这是二分之根三。找找这个最大最大值是一，对不对？找二分之根三，在这找二分之根三。啊？ 二分之根三，这边是二分之根三，对不对？二分之根三。那三 x 大 于等于二分之根三，那找找大于等于二分之根三，是哪一块呢？是哪一块呢？是这一块， 对不对？那这一块，这一块，其实这一块和到这一块，其实我们把第一块求出来就行了。第一块求出来，第二块呢？第二块是就再加一个周期吗？就加 ipad 吗？对不对？加一个周期。那这个呢？继续往后加一个周期， 这是在这一个就相当于在第一个周期里边，我们只求在第一个周期里边的就可以了。哈。来，我用红色的吧。啊，那这个是谁呢？这个是谁？你想想上谁？ 三 x 等于二分之根三，对不对？那 x 在 零到二分之派之间是谁啊？那当然是三分之派了，对不对？所以这个是三分之派，这个是三分之派。这个红色的三分之派。那这个绿色的呢？ 这个绿色的是三分之二派。根据对称性是不也知道，对不对？他们关于二分之派对称的，那这边是三分之派，这边肯定是三分之二派，这个好理解吗？ 那这个是零，因为这个是零，这个是拍嘛，对不对？这个间隔也行，这个间隔，这个间隔是三分之拍，这个间隔也是三分之拍，对不对？对称嘛，所以这个就是三分之二拍，这个是三分之拍。好吧，来，再继续看。那这个是谁啊？那这个红色的，那肯定是在三分之拍的基础上再加个二拍， 对不对？那这个红色呢？是在三分之拍的基础上再加个二拍，对吧？那这个蓝色的呢？ 那这个蓝色就是在三分之二的基础上加二拍，在三分之二的拍的基础上再加个，在在这个基础上再加个二拍，就是他的，对不对？如果我让你解三 x 等于二分之根三的时候，你一定解出来， x 等于三分之拍，加二 k 拍，或者 x 等于三分之二拍，加二 k 拍， 是这个样子的哈，是这个样子的，那如果王胜杰他大于呢？那如果三 x 大 于，那就这个这边红色这一块，对不对？那就是 x 大 于等于三分之派， x 大 于等于三分之派，加二 k 派小于等于三分之二派，加二 k 派是不就可以了？然后 k 除以 c， 好 了，这不就这样吗？这不就是它在单调，这不就解出这个不等式了， ok， 哈，就是这个意思。 然后这是我讲的这个事啊，我把它的基本的一些东西再一讲啊。来，这是它的，我们可以用它来解决的几个小问题， 那在这里边，同样，如果我告诉你个 x 的 范围，你可以求 y 的 范围，对不对？就是这个意思啊，来，我们再看， 嗯，再看一个什么？再看一个图像的变换吧，哈，图像的变换，基本的变换哈， y 等于三 x， y 等于三 x 的 图像，是，我们当然知道是长成那个样子了哈。来， a x y， 它图像长成这个样子， a a， 好哈，那个我要干什么来着？我现在要把它说说变变形哈，我现在要得到 y 等于三呀，负的三 x， 哈， 我现在要得到 y 等于三三幺负 x 吧。三幺负 x 啊，三幺负 x， 三幺负 x， 是 不就是这个？把 x 变成符号了，对不对？ x 变成符号了， x 变符号的。这个函数图像，它是长成什么样子的啊？它是长成什么样子的？ 实际上它就是这个图像，实际上就是 y 等于负的三 x， 对 不对？那负三 x 长什么样呢？负三 x 就是 原来 x， 原来 x x。 同样取一个数的时候，原来是 y 等于三 x， 原来是正，原来是正的的话，那后来就变成了同样的 x， 后来变成相反数了，后来是负的了，对不对？就是在函数值在自变量相同的情况下，函数值变成负负相反数了，所以它的图像就会长成这个样子，就翻过来了， 就翻过来了，好吧，就这样了哈，画的不好看了哈。这就是这就是 y 等于负的向量 x 的 图形，或者是 y 等于或者是 y 等于向量负 x 的 图形， 好吧，就这么回事了哈，再去看。这是第一例哈。第二例，我们再去看 y 等于向量 x 的 绝对值的图形， 他有什么变化呢？你看，我们会发现他的函数值不可能是负的了。函数值如果原来是负的，那变成正的，如果原来是正的呢？是保持不变的，对吧？所以他的图像如果我们要画一下的话，他应该是长成这个样子的哈，这个样子的，哎，这个样子。 这边是零，这边是派，这边是二派，这边是三派啊，这边是负派，对吧？周期变了，这个函数的周期变了，周期变成了派了，对吧？我的人指的周期 就是说的是最小正周期哈。第三个，你比如说 y 等于三 x 的 绝对值，对不对？三 x 的 绝对值，我们明显知道，这个函数已经是一个偶函数了，当 x 大 于零的时候不变，当 x 小 于零的时候， 关于 y 轴对称过去就行了，所以它图像会长成这个样子的哈，会长成这个样子，哎，这边右边是这样，左边呢？因为它是偶函数，左边关于右边对称，所以也是这个样子的哈， 就这么画，画的有点丑，就这个意思。好吧，去找就行了哈。所以这就是他的图像，然后再找第第四种哈，就是 y 等于 sin x 加上三分之配，这就完全符合左加右减了哈， x 加，那就往左平移三分之配，左加三分之配哈， 那原来图像我们知道是大概长成， 现在出来大大概长这个样子，对不对？往左平移三分之派，我们去看看，哎呦，不对哈，来往左平移三分之派，上去往左平移三分之派，就这个样子，对不对？就这个样子哈，这个样子的话，那这个数，哎， 那这个数，那这个数就是负的三分之 pi， 对 不对？能理解吗？这个数原来是 pi 的， 现在减三分之 pi 就 变成了三分之二 pi， 就 这个意思哈，就这就往左偏移了三分之 pi， 对 不对？ 那么同样的第五个 y 等于三 x 减掉三分之拍，就是往右平三分之拍了，对不对？我就不画了哈。那第六个 y 等于三 x 加上一，就是向下向上平一个单位哈，就把这个函数图像整体向上平一个单位， 我在这里感受感受。什么感觉呢？就这样往上平移了一个单位啊，好了，就这样了啊，哎，稍微往下靠一点，就这个意思啊？就这个意思，就这个意思啊。这就是往上平移了一个单位，好吧？他突然就长成这样了。 ok， 好， 我们就过。

大家好，我是教中值数学的曾老师，这个视频呢，我来通过这个单位元呢，来画一下这个余弦函数的图像来，根据诱导公式呢， cosine alpha 加上二 k pi 等于 cosine alpha。 我 们知道这个余弦函数呢，也是一个周期函数了，这个二 k pi 呢，那就是它的周期 t 等于二 k pi， k 不 能等于零了，这时候，那么当 k 取一的时候呢，我们知道它的一个最小正周期呢，那就等于二 pi 了。嗯， 那么根据前面画这个正弦函数的图像呢，我们知道，我们只要画出这个零到二派，零到二派这个范围内的一个图像呢，根据这个右到公式呢，可以推到其他范围内的图像是通过零到二派的图像平移而得到的。上一节呢，我们介绍了用五点法画这个 正弦函数在零到二派的一个图像，那么同样我们画余弦函数呢，也是可以用五点法，那么是这个 x 等于零，二分之派派，二分之三派和二派，把这五个角的一个余弦值呢写一下， 我们也可以记住这个图像来，零是在这二分之派，在这派，在这，这是二分之三派，然后这是二派，然后呢中间转的过程中呢，我们看他与这个单位原交点的一个横坐标就好了。零的时候呢，横坐标是这个一 二分之派的横坐标呢，是零派的横坐标啊，这是负一的。二分之三派又回到这个零了，二派回到原点啊，二十一。所以呢，把这五个点呢给描一下， 嗯，零二分之派派，二分之三派，二派，嗯，对应的纵坐标。描一下，零的时候呢，我换个颜色， 零的时候是等于一的，嗯，一，嗯，二分之 pi 是 零， pi 是 这个负一，二分之三 pi 呢是零，二 pi 是 一。 然后呢，把这五个点呢，用这个连续光滑的曲线连接就好了。 好，就是画成这样子了。那么这是零到 ipad 内的一个啊图像，那么在其他位置呢，我们只要平移就好，那么左边的话啊，这边是继续往下平移过来，应该是这样子的， 右边也是把它平移过来， 嗯，应该是这样一个，嗯，可以发现呢，它的形状呢，跟正弦函数的这个图像呀，非常类似，只不过呢，嗯，它的一个位置不太一样啊，每个点的位置不一样，我们就用红线来画一下啊，我们正弦函数图像呢，是从零的时候是零啊，我们这是这里， 然后再画下来是这样，嗯，就像错开了一样。 呃，剩下的不画了。呃，我们可以发现呢，只要把这个余弦函数的图像呢，整体啊，你往右，你往右一个二分之派就能跟这个正弦函数的图像重合了。呃，或者呢，你把正弦函数的图像往左，呃，一个二分之派也能跟余弦函数的图像重合 啊。这里呢，我还是借助这个单位元呢啊，直观的展示一下它。这里面啊，我们这个余弦行数在各个象限啊，它这个在转动的过程中，它这个横做不要的变化，这里我画横线来表示啊，取几个点，它的长度呢，代表的是这个啊，余弦值的大小。 在零到二分之派的时候呢，可以发现啊，我越往上转呢，这个横线是不是越来越短了，这时候 x 是 啊，单调这个递减的， 那么再往这边二分之派到派的话啊，可以看到横线呢，是越来越长了啊，同时也要注意这时候横坐标啊，是负的了，这时候说明呢啊，它是越来越小的啊，这个余弦值说明这里也是单调递减的 啊，所以我们这里零到派的过程呢，都是单调递减的啊，那么图像你看是不是递减？那么接着是派到二分之三派 啊，这个横线呢，越来越短啊，因为它是取负值了啊，所以这里面越短的话，代表值越大呀，所以这里是单调递增的 啊，那么二分之三派到二派呢，这里的横线呢是越来越长了，同时啊，鱼弦，鱼弦值是取正的啊，那么这时候代表的是啊，值越大，说明这时候也是单调递增的，可以看到啊，单调递增。

余弦函数基本性质？哈喽，同学们大家好，今天我们来学习一下余弦函数的图像 啊。首先第一个，我们在之前学到过正弦函数的图像，还学过一个知识点，叫诱导公式啊，叫奇变偶不变符号。看下弦函数的图像，那我可以借助于正弦函数来画一下余弦函数的图像。那我可以知道塞 x 加二分之派，它是等于 cos， 所以 相当于把整个正弦函数的图像往左平移了二分之派的单位得到了余弦函数的图像在这里。 啊，那对于余弦函数呢？第一件事啊，他的最小正周期啊，那最小正周期从正弦左右平移啊，可以知道最小正周期呢，和正弦是一样的，也是二派。或者你说我从这个图像上看， 从最高点到最高点，那他们之间可以作为一个最小的正周期，所以最小正周期等于二派，这是第一个第二个正弦函数的对称轴方程。 首先我先找到一条对称轴的位置，比如说 y 轴可以， x 等于派，这条线也可以，二派也可以。所以我们在写的时候呢，从零开始间距派，那我在写的时候，零加 k 派，也就相当于是 k 派好写的时候， x 等于 k 派， k 属于 z。 第一个，第二个中心对称点的坐标 啊，首先第一个二分之派都零，这里可以叫做一个中心对称点，下一个二分之三派都零，二分之五派都零都可以。那我从一个二分之派开始，它们之间的距离呢？是派，所以写的时候叫二分之派加 k， 派 都零啊， k 属于 z。 再下一个单调区间， 单调区间，比如说我们在这里面写一个单调减区间，我们可以从零这个地方 y 轴这里开始啊，零到一开始往下走啊，一直走到派到负一，这里算是一个完整的一个减区间。所以写的时候啊， 可以说零加哎，加多少？下一个减区间，我看是从二派到三派写的时候，零加二 k 派 好到右端点 i 加二 k i 啊，这是他的一个单调减去键，那单调增去键蕾丝好，这是他的一个基本的图像的一些性质，就需要大家把它记熟了。

x 零，三 x 零，因此我们来回答一下啊，正弦函数画出了点，其中三 x 零的几何意义就是点 p 的 纵坐标啊，很好好，这是我们今天的第一个知识点啊，那这个东西我们怎么画图呢？来简单的说一下啊，我们可以取一根没有弹性的绳子， 绕着点 a 进行旋转，包裹住这个圆，如果这段长度可以测量出来， 包裹到点 b， 那 么这段长度我只要把绳子拉直，以 o 为起点，往后延伸拉，直到这个点 x 零，那么这段长度就被量出来了，那这个点的坐标也能最后被求出来，没有问题吧？ 啊，优点是很精确是吧，我只需要根据绳子的长度来比划就行了。缺点是什么？ 我要我只瞄一个点吗？我画还是图像只瞄一个点？不止吧，应该有很多很多个点，那每一个都要量的话， 操作起来很麻烦，所以这种方法我们只适用于哎一个啊，信息技术里面。举个例子啊，我们来简单的操作一下，当 x 零在第一象限取三分之派的时候啊，这个点 p 就 旋转， 把这个位置最后得到 t 零，点的坐标在这里，位置在这儿。再来一个，当 x 零第二象限的时候，取七分之四派，那么同样的绳子的长度这么长， x 零的位置出现了，那么此时 t 点的坐标在这儿，再来试几个吧。第三项线上的点，当 x 取四分之五 pi 的 时候，就旋转到第三项线， 那么所对应的 t 零的值啊，就在这个位置，还有个第四项线，那就比较辛苦啊，大家稍微等一等， 一点八判 好此时对应的 t 零点啊，位置在这里， 那么请注意啊，还是回顾一下我们刚才所讲的点 a 到点 p 旋转一周所对应的这条弧的长度就等于此时这条线段的长度，它们两个是相等的，都长为 x 零。 ok， 好， 接下来，那么我们刚才讲了，这样测量太麻烦了， 因为随随意任取还不是很合适。那么呢，我们已经学会会制正弦函数的图像上的某一个点了，那么如果类比指数函数、对数函数的图像的画法，那接下来如何画出 y 等于 sine x 在 b 区间零到二倍的图像？你用什么方法？既快捷哎，又准确， 应该跟我们刚才的方法是差不多的，只是我取的只是任意的角度，对吧？我瞄点作图，我肯定是要朝着一个比较精确的点去瞄啊。那我们熟悉的角度有哪些？ 三十度啊，说专业一点，六分之派啊，二分之派，三分之派，然后还有三分之二派，是吧？所以。

三花猫讲数学，欢迎来到必修二的系统课，今天这节课全程高能，我将用一个视频呢，给你彻底讲透咱们余弦定律，正弦定律的解析方法论，以及相关的高频考点和题型，赶紧开始数学启动。 那首先就是三角函数与解三角形，或者说正弦定律与解三角形的做题方法论。愣着干嘛，赶紧截图呀，这个也记录在了三符号的数学笔记里面，那首先呢，就是这个边角互化了，其实咱们解三角形研究的就是边和角如何进行互化， 题目呢，可能会给这种关于哎，三个边 a， b， c 以及三个角大 a， 大 b， 大 c， 他 们三角函数，比如散 a， 靠散 b 等等，以及和这个边的关系大概率是一个等式。 那么根据这个等式啊，你可能需要把这个角和角之间进行相互转化，角和边之间进行转化，叫做边角互化，以及边和边进行一个相互的转化。那做题思路是啥呢？ 角和角的互换，咱就用这个三角函数，尤其是恒等变换公式，比如像什么两角和差呢，二倍角呢，半角公式等等，以及同角三角函数的关系。三角函数呢，可以实现角与角之间的互化，而角与边之间的互化呢，咱一般就是把一个 等式里面的既含有角还有边的式子给它全化成角，或者化成全还有边的式子，那这个题就好解决了呀，所以有时候需要你把角化成边或者边化成角，那咱就用咱的中线定律呗，你看余弦定律，不就是哎结识了这个角的余弦和边的关系吗？ 而正弦定力来结识了这个对边对角的正弦，他们之间的关系，还有边的关系，那就可以实现了边角互化了。那最后还有一个比较特殊的，这个考的比较少，但也有可能会出现。如果题目中仅仅是一个关于边的等式呢？那咱就用一个音式分解，比如可能是这一坨 等于零，这个就是关于边 a、 b、 c 的 一个等式，我记为一个 f、 a、 b、 c， 那 给他做一个变形之外，变成一个音式分解，咱就可以得到其中一个音式为零了呀，或者另外一个音式为零，完美，这个就是边角互化的一个思路了。究竟是用三角函数还是正弦定律以及音式分解， 那么再回归到一个更小的地方，就是正弦定理，这两个定理我们旋去哪个是比较合适的呢？这个就需要你观察题目的条件，来来往下拉一点。余弦定理呢？首先你要牢记它的形式， cosa 等于 b 方加 c 方减一方，除以二 b， c 相当，还有 cosa， cosa 这个形式比较对称啊，所以写成这样子比较好记一点， 那很明显呀，它不就结识了三边 a、 b、 c 都有，以及写成这样子比较好记一点，那很明显呀，它不就出现了三边一角，你就有余弦。 当然可能不一定是三个边和一个角都出现了，可能题目只给了你两个边，比如给了 a 和 c， 然后又给了一个角 a， 那 此时此刻我就可以用余弦了呀， 因为余弦是接受这个 cosa 和小 a、 小 b、 小 c 的 关系。那用一个余弦定式，是不是可以把这个小 b 给人家算出来呀？那这样三边角是不是都知道了？所以相当于三边角里面缺了这么一个条件，缺了一个角或者缺了一个边，咱直接用，可以把另外一个算出来，这样就能解三角形了。 那第二个应用呢？就是你观察一下这个比较高频，也比较高级 cosine a 是 这玩意分子呢，是 b 与 c 的 一个平方和减的一个 a 方，看到了这个 b 方加 c 方，你想到了啥呢？ 哎，是不是有它的二 b c 二倍乘积项呀？还有一个 b 加 c， 它们的和的这个形式，也就是 b 方加 c 方， b c b 加 c， 这三者之间是不是存在一个等式关系呢？这个等式就是 a 加 b 的 平方等于 a 方加平方加二 a b， 这个咱们初中学过的完全平方公式。 所以当题目中乘对出现了这种什么 a 方加 b 方和的形式，或者说 a 乘 b， 或者说 a 加 b 的 形式，你也想到用余弦定力，因为用完余弦定力，你相当于这个 b 方加 c 方，或者说 a 方加 b 方，你知道了，然后分母的是二倍乘以二 a， b 你 也知道了。那最后我要求这个 a 加 b， 是 不是也好求呢？ 欧耶，这是第二个应用出现了这些，当然这些还有另外一个，就让你去解这个不等式，或者解这个最值和放量问题，等会再说。那我们再说这个正弦定理吧，正弦定理其实看着就我就知道咋用了，你看嘛， a 除以三 a 等于 b 除以三， b 等于 c 除以三 c 呀。呼，对边对角用正弦哦，你看它分别是 这个边 a， 他 所定的角是不是大 a 呢？哎，对边对角，对边对角，对边对角，咱直接想到正弦定里，另外出现外接圆的半径，咱也用正弦，因为这个整体就等于外接圆半径的二倍，等于个二 r 呀，完美。以及其次是用正弦， 这个也特别好理解啊，就是说 a 比 b 比上一个二 c， 是 不是就等于三 a 比上三 b， 再比上一个二倍的三 c 呢？啊？因为它们是对应成比例的，所以你直接其次是给它对应的转化，也都是 ok 的。 那当然呢，这个在之前三皇猫的笔记，也就是正弦练那块，也都单独给大家列过详细的讲解，各位可以查到之前的视频，也就是我的主页，三皇猫的数学笔记合集。这个呢，主要是把做题的方法论给大家整理一下， 那么第三个刚既然提到了咱的鱼弦定律的解析技巧，那咱直接看一下吧，不要头晕呢。 有同学可能看到这方面，嗯，就记住了，判断新状态， cos 等于 a 方加 b 方减 c 方，所以二 ab 海绵宝宝我们去抓水母吧， 但四号猫呢，给大家梳理一下就不会晕了，里面就结识了 a 方加 b 方， a 加 b 以及 ab 之间的关系，那它会考你啥呢？一方面考你面积 s 是 不是等于二分之一 ab 散 c 呢？ 面积公式嘛，另外一个还会靠近周长，你求出来 a 加 b 了，那么整个周长就是 a 加 b， 再加上一个 c 就 好了。所以说如果看到面积的话，你就想到把它往 a b 上转化，看到周长就往 a 加 b 上转化，然后再进入这两个公式，周长面积的范围，或者说周长面积的值就出来了。 另外等式关系，咱们刚讲了这三者， a 方加 b 方 a b 以及 a 加 b， 三者可以知二，求一呢，就知道圈一，圈二，圈三，知道这三个里面的两个就可以求另外一个喽，因为他们是有一个等式关系的耶。 另外呢，不等关系，呃，这个就是基本不等式呀。 a 方加 b 方大于等于二 ab， 那 你知道了 a 方加 b 方的值，是不是可以求这个 ab 的 最小最大值了？ 另外呢，有时候题目给那是 a 加 b， 那 咱直接大于等于二倍，根号下 a b 就 行了。当然在基本公式里面还有很多的变形，大家把这两个最基本的记一下，那么相信其他的值也好求。比如让你求这个 a 加 b 的 一个最值，那题目告诉了你 a 加 b 的 一个最值，那题目告诉了你 a 加 b 和 a 方， 那咱是不是要找这个 a 加 b 和 a 方加 b 方的一个等式关系了？如果你找不到，完全没得事，那你给他平方写成二次，那就是 a 方加 b 方 加上一个二 a b 了。比如题目告诉你 a 方加 b 方等于一个四，那这个就是一个四加二 a b 了呀。哦，所以你把这个 a 加 b 转换成了四加上一个二 a b， 我 只需要知道 ab 的 最值，这个 a 加 b 的 最值是不是也出来了呀？哎，所以不需要起这么多的不等式，完美。 那继续。还有最后一个最恶心的最值与放原问题，其实思路很简单啊，要么你把这个题目中给的这个让你求最值的一坨，比如说 a 加 b， 除了一个 c， 给它全画成边，或者全画成一个角就好办喽。再比如，一个三 a 加上三 b， 是 不是都全画成边或者全画成角了呀？那这么一画的话，如果你全画成边，咱再用这个余弦内里加基本公式，基本上就可以把这玩意给它解出来了。因为刚刚你看我有这些不等关系的嘛， 但你会发现呢，这些不等关系适合的是这种对称的形式，比如这个 b 加 c 啊，它前面系数都是一个一，或者前面系数都是一个二，那可以用，但不对称的形式呢？你就要想想全化成角了。全化成角之后，咱就这个三角函数关系啊，咱们学的辅助角呢，都可以用， 因为它可以适用这种非对称的形式。比如 b 加二 c， 你 可以先通过正弦列给它画成一个三 b， 加上一个二倍的三 c 啊，比如说，这咋整呢？你再乘个二二不就完了吗？二二就是 a 除以三 a 呀，这个一般题目中可能是知道的，那比如它等于一个根号三啊，求根号三 b 的 三 b 加三 c， 再比如，这个角 a 等于了一个三分之派，哎，那么这个三 b 是 不是就是 a 三 三分之派减 c 喽，那再加上一个二倍的三 c 哦，这个再用个辅助角公式给它化解一下，那答案是不是就出来了呀？根据 c 的 范围就出来了，相当于是一个关于这个 c 的 一个三角函数喽，思路就是这样子的，完美，请把六六六扣在弹幕里。 那最后呢？还有一个这个加角的范围。呃，这个其实之前讲过的，大家简单看一下就行了。那废话不多说，我们赶紧开始讲题型，数学启动， 那首次登场的就是余弦定的，直接应用了余弦定力呢，就是考点 c 等于这玩意儿。刚刚讲过了，两个应用场景，三边一角用余弦， 以及出现了这种结构， a 加 b， a 方加 b 方，还有 ab 这种结构。咱也想一下余弦定力。好，咱们直接看题第一题哎，在三角形 abc 中，这个角 abc 对 应的边是 abc， 说了个废话，记住啊，以后这个题目如果没有说，哎，咱就剪辑为角 abc 所对的边分别是小 a、 小 b、 小 c。 那么你看人家是不是就给了三个边呀，却让你求一个角，这很明显的三边一角呀，咱直接用余弦定义就完事了， 给的是这个角 a 嘛，那我需要用下角 a 的 余弦里 cosine a 开始吟唱 i cosine a 啊，等于 b 方加 c 方减 a 方除以二 b c 完美。那直接一带，答案就出来喽， 把这个数字全带一下，最后的结果呢，就是一个负的二分之根三了，这个 a 又在零到派之间，那所以 a 毫无疑问就是一个一百五十度了。 当然你写成这个弧度值也是 ok 的， 咱们写个角度值嘛。那第二题，在三角形 a、 b c 中有这玩意儿等于三 b c 问你角 a 等于多少？ 这个你看是不是一个全关于边的式子呀？我却要求一个角，相当于你把这个边化成角，那就是边角互化了，但其实没那么高级。咱观察一下嘛，里面这个三个边是不是都有呀？ a 和 b 和 c， 却问你这个角 a 三边一角用，请在它们里扣出来，还是余弦定律呢？ 那这个东西我观察一下， b 加 c 减 a 哦， b 加 c 加 a， 所以 这玩意就是一个 b 加 c 的 平方， 平方差公式减去了一个 a 方，等于了一个三 b c， 哎，它不仅是三边角，它里面还出现了 b 加 c b c。 那 好疑问，是不是咱们刚说的用这个余弦定律。 ok， 人家问的是角 a， 那 就用角 a 的 余弦定律呗。 这个我再给人家化解一下。就是一个 b 方加 c 方减 a 方等于了一个 bc， 而咱的这个 cos a 呀，等于 b 方加 c 方减一方除以二 b c， b 方加 c 方减一方等于 b c， 那 就是 b c 除以二 b c 就是 一个二分之一。 cos a 等于二分之一，那么 a 这里我写一个弧度值吧，就是一个三分之派，完美欧耶， 这两个题呢，简直就是一个送分题啊！那咱们接着看第三题，在三角形 a、 b、 c 中呀，角 a、 b、 c 所对的边分别是，小 a、 小 b、 小 c， 且二 a 靠上 b 等于这玩意 b 等于二 a。 问你，这个 b 和 c 或者 a 和 c 的 一个关系？呃，这看着有点难受呢， 这个 b 等于二 a， 还好意思前面这一坨，这是啥玩意啊？有个靠上 b， 那 当然，你见到这个靠上 b 是 不是可以直接用余弦定力啊？把这个带去就行了呀， 相当于边角互化了吗？因为你看这个等式，它里面既有边也有角。那刚刚说了，咱们思路就是把这个式子化成全含有边或者全含有角的式子。 那我们利用数学线定律，是不是可以把这个 cos 变成全含有边的一个等式呀？ a 方加 c 方减 b 方除以二 a c， 然后再乘了一个 a， 你 化简一下，肯定能出来一个关于边的等式的。 ok， 那 咱直接在这里就是二 a 乘了 cosb 开始吟唱， a 方加 c 方减 b 方，除了一个二 a， c 等于 c 减二 a， 欧耶，那直接这边你会发现呢，二 a 和二 a 人家约掉了这个 c， 你 往右边一瞅，是不是变成了 c 方减二 a c 啊？所以最后化简一下，整个式子整理一下，就变成了 这一坨，两边的这个 c 方你又约掉了，哎，那就是 a 方减 b 方等于负二 a c 哦，得到了一个关于这个 abc 的 一个边的等式，并且题目告诉了你， b 是 等于二 a 的， 那咱们把这个 b 等于二 a 带进去呗， a 方减四 a 方等于负二 a c 两边的 a 约下就变成了三 a 等于二 c 呀呼，答案直接选 b， 哦耶，舒服了。 所以这个呢，就是余弦定的一个，直接应用了三边，一角用余弦，以及出现这种结构，咱也用余弦，并且别忘了边去互化，把它全化成边或者全化成角，完美。 那接着题型二，解三角形问题，刚刚咱们遇到的题啊，我用一次余弦定力就出来了，你比如这个二杠一啊， cos 二分之 c， 再比如这个二杠二 哦， tangent， 二分之 a 加 b， 它这个东西是不是要用到三角函数了呀？ 也就是说在解三角形里面呢，角与角之间的互化用三角函数，而角与边之间互化用正余弦定义，也就是刚刚讲过的方法论了。那咱们直接实操一下，你看，第一题给了个 cosine 二分之 c， 这是个半角公式对不对？那就三角函数里面，也就是三角和等变换的公式， 我们求下 cosine c 才舒服呀，各位小小们，二倍角公式还记不记得？过了一个寒假忘完了吗？来，记得同学在弹幕里面扣一个六六六，扣一个 ok 也行，或者扣一个 oh， yeah。 那 cosine c 呢？就等于啥玩意呢？是不二倍的 q 方减一啊，因为题目给的是二分之 c 嘛。那带你去算一下，整个式子呢，就等于一个负的五分之三的 哦，拷出来负五分之三，这两个啥呀，咱给他写一个小写字母，看起来舒服一点。小 a 等于二，呃，还有一个小 b 等于五，现在问你啥，问你这个 ab， 也就是小 c 等于几？哎，拷出来 c 知道，一个角知道了，然后这里又出现了三个边三边一角，用 w 扣下余弦，所以直接一次余弦定理答案就出来了， 咱直接把余偏底里往这一摆， cos 乘 c 负五分之三等于啥玩意儿呢？哦， a 方加 b 方减 c 方除以二， ab 就是 二的平方，加五的平方减去了一个 c 方， c 不知道再乘一个二倍的 ab。 那 这样是不是可以直接把这个 c 给人家解出来呀？这是个解方程的问题啊，我加猫都会算。最后的结果呢，就是一个根号下四十一 欧耶，那继续嘛，咱们再看这个第二题， a 等于二， c 等于二哦，这个条件给了两个东西呢，一个是 a 的 值，知道了，是一个二，另外一个 c 的 值，咱也知道是一个一呢。呃， 但是给了一个这么奇怪的东西， tan 里才二分之一加 b， tan 里才二分之 c 等于四。这里是个 a 加 b， 这里怎么突然冒出一个 c 了呀？ a 加 b 和 c 有 没有关系呢？ 别忘了在三角形里面，三角形 a， b， c 中， a 加 b 加 c 是 等于 pi 的 哟，那所以这个 a 加 b 直接换成了一个 pi 减 c 了呀。哦， tan 的 二分之 pi 减 c， 那 就是 tan 的 二分之 pi 减去了一个二分之 c， 加上 tangent 二分之 c 等于四。呃， tangent 二分之 pi 减二分之 c 等于啥呢？这是一个公式呢，三角函数变化里面的 tangent 二分之 pi 减去了一个 x， 不 就等于 tangent x 分 之一了吗？ 哇，死去的回忆突然攻击我了，这就是上学期刚学的三角函数呀，有相关的笔记，这个题型呢，都记在三角函数的笔记里面。 那所以这里呢，就变成了一除以 tangent 二分之 c o 加上一个 tangent 二分之 c 啊，等于一个 o 四。可是到这一步又难受了呀， 因为我得到了 tangent 二分之 c 和 tangent 的 关系。但是呢，你想用正弦定理，我是不是需要找三和 cos 的 关系呢？那这个 tangent 怎么化成三和 cos 呢？正切化成正弦和弦。哦，切化弦啊， 就变成了这一坨了，所以相当于第二步来了一个切化弦，或者说就是同角三角函数的关系哦，大家得构建自己的知识体系呢，不然这个接起来非常难受啊。所以有时间把前面的三角函数复习一下， 然后这样你通分一下不就行了吗？你看，分母是个散成口，分子呢，是个口方加散方哦，分子就是一个一了呀。那所以通分完之后，这个式子整体变成了， 哎，分子散，二分之 c 成了一个 cos 二分之 c， 这是分母啊，分子呢，是口方加三分就是一个一，所以它等于一个四，那相当于散二分之 c cos 二分之 c， 你 是不是算出来了，散成 cos， 这是个啥玩意呢？各位同志们， 屏幕前的各位小小萌们，该用什么了呀？哦，二倍角公式呀，因为三二 c 是 不是等于二倍的三乘以 cosine c， 那 所以我直接这里给它多来一个二，那下面这一坨就是啥呢？是不就是三 c 了呀？二分之 c 的 二倍了吗？所以三 c 呢，就等于了一个二分之一。 从这到这，咱用的是一个哦，二倍角公式，谁讲了这么多呀，都不是正位线这里的内容，而是三角函数里面的。哎，相当于给大家复习了，那继续。呃，我现在知道了 a 和 c 的 值，想求这个小 b 的 值，是不是三边 一角用余弦呢？可是呢，这个角是个正弦，所以你需要把它的余弦求出来。那散 c 等于二分之一，各位屏幕前的小小猫们，这个 c 有 可能是多少度啊？呃，你想一下，在零到派那么散的图像，这个可以牢记啊，咱直接从这个圆点出发。 呃，我只看这零到派吗？因为他是个三角形里面的角，他等于二分之一的话，是不是有两个值呀？一个是六分之派，一个六分之五派。呃，咱能去哪一个呢？ 你看前面 a 是 等于二 c 的， a 等于二 c 呢，就意味着 a 是 不是大于 c 呢？那 a 大 于 c， 大 边对大角，这个角 a 也应该大于角 c 的， 那所以角 c 绝对不可能是个钝角呢。一个三角形里面怎么可能有两个钝角呢？那 c 肯定是一个锐角，那所以 c 一定就是一个六分之派了，完美！ 所以刚撒哈猫又讲了一个知识点，大边对大角，这个经常用，那么接下来 c 等六分之派， c 知道了， a 和 c 你 也知道了，是不是就是一个与弦对应的问题啊？各位小小毛自己解一下，然后把这个题扣在 w 里，撒哈猫马上公布答案， ok， 撒哈猫要公布答案喽！ 最后的答案，这个小 b 就 等于根号三，计算过程我也放在这里了，大家算错了可以看一下过程。完美，那其实这个题综合性真的蛮强的哦！诱导公式，切化弦的二倍角公式全考到了，然后又来了一个预先定义，所以一定要把前面三角函数好好复习一下。 题型三，根据三角形的形状求范围，就是题目告诉你什么锐角三角形，钝角三角形，然后让你求某一个边的方位，或者某种比较复杂的方位问题。 因为咱在初中学过呢，我家猫就知道，在一个直角三角形里面， b 方加 c 方是等于 a 方的，如果角又是九十度，那其实根据这个余弦定律，我们推广到更一般的情况了， cos a 是 等于 b 方加 c 方减 a 方除以二 b c， 那如果 a 小 于九十度的话，是不是这个 cosine 相当于 a 在 零到九十度，这个 cosine 是 大于零的呀？那分子大于零喽， b 方加 c 方大于 a 方，完美！同理，当这个 a 如果大于九十度，是个钝角三角形，咱就得到了 b 方加 c 方是小于 a 方的。 那有了这三个不等式，咱就可以做题了呀！来，我们直接看题。第一个，人家说锐角三角形 a b， c 中 a 是 一， b 是 二，问你 c 的 取值范围，呃，他说了锐角三角形，但到底哪个是锐角咱们不知道。 那如果你希望他锐角三角形，是不是每个角都要是锐角呀？那所以其实每个不等式都要列第一个。如果 c 是 锐角， a 方加 b 方大于 c 方， 那如果 b 是 一个锐角， a 方加 c 方大于 b 方，同理，这个角 a 是 一个锐角，那么就是 b 方加 c 方大于 a 方，相当于 a， b、 c 都是锐角。然后你把这个 a 和 b 带进去，每个不等式解一下，这个 c 的 范围就出来了。 这个没什么难度呀。肖二科，借用法国赌神的话，我要验牌牌没有问题。 那这个第一个你带进去的话，是不是发现了 c 方就小于五的呀？ a 方加 b 方是五吗？第二个带进去就是 c 方大于三，大家自己算一下。第三个是 c 方大于负三，那最后你取一个交集，这个 c 方呀，其实就在三到五之间。哇，小学生计算问题啊，那这个 c 就是 一个根三到根号五喽 呀吼，答案直接出来了，那我们再看一个比较复杂的啊，比较难受的题，来了一个钝角三角形，第一个条件是钝角的， 然后满足这个 a 加 c 等于二， b 就是 三个角之间满足这么一个关系。人家现在说的是 a 最大边长 a 与最小边长的比值为 m， 问你 m 的 取值范围，这不好整呀，还是个比值问题，还给了一个奇奇怪怪的一个条件， 但其实没啥好奇怪的，这个三边两边相加等于二 b， 咱们知道三边之合，三个三角之合， a 加 b 加 c 三角形，三个角之合是等于 pi 的， 那么这样 a 加 c 是 二 b， 那 二 b 加 b 是 不是三 b 等于 pi 这个 b 啊？他就是一个三分之 pi 哦，相当于这个角 b 其实六十度，他说这个条件让他说人话，就是角 b 等于六十度， 那么角 b 等于六十度的话，你这个角 b 所对应的边小 b， 它肯定不是一个最大的边了吧？因为大边对大角，肯定那个钝角所对应的是最大的一个边。 那假如说咱就设这个呃 a 是 最大的一个角吧， a 肯定是大于九十度的， 那你想想，当 a 等于九十度的时候，这个 c 是 一个三十度，那么 a 越大，这个 c 是 不是越小？所以 c 肯定比 b 还要小，因为它比这三十度还要小。那所以咱就可以假设呃角 a 大 于角 b 大 于角 c 大 边越大角，也就意味着这个小 a 大 于小 b 大 于小 c， 边角的这种不等式关系就出来了。那么其实这个 m 是 不是就是小 a 比上小 c 啊？ 哎，因为你这个 a 是 一个钝角，人家说钝角三角形，那么最大的角肯定是一个钝角，咱就只需要满足 a 方大于 b 方加 c 方就好了，或者 b 方加 c 方小于 a 方。 现在呢，给了这三个边的不等关系，然后又给了一个角，三边一角用余弦，所以直接这个 b 来一个余弦， cos 等于二分之一，就等于一个给它展开 二 a c 分 之， a 方加 c 方减 b 方，那么是不是可以得到这个 a 方加 c 方减 b 方等于一个 a c 啊？ 哎，得到一个等式，而前面是 a、 b、 c 的 一个不等式，后面是 a、 b、 c 的 一个等式，然后你把这个圈二代入圈一，就能得到二， c 方减去一个 a， c 是 小于零的， 相当于下面这个 b 方是不是就等于 a 方加 c 方减 a c， 那 把这个 b 方给它替换成 a 方加 c 方减 a c， 就 得到了不含 b 的 一个式子。完美， 咱要求的是这个最大边与最小边的比值。呃，不就是 a 比 c 等于 m 吗？所以我要求 a 比 c 的 一个比值。 那这个好球了，你看两边是这玩意儿了，我是不是直接两边同时除了一个 c 方就变成了二，减去一个 a 除以 c， 效果令，哦，那这个 c 分 之 a 是 大于二的， c 分 之 a 等于 m 大 于二。哇，答案出来了呀，选哪个来扣在弹幕里直接选 boy， 完美，六六六呢？ 所以再给大家梳理一遍这种题怎么做的？首先，你会发现这个条件，它的这个角 b 呢，是一个六十度，那角 b 六十度，这样我就可以假设这三个角的一个关系了，因为你不知道哪个是钝角，咱不妨设这个 a 是 钝角吧，那 c 肯定是另外一个锐角，并且比 b 更小， 这样就能得到咱的 m 呀，其实就是这个 a 比上 c， 哎。然后呢，得到一个不等式，在三边一角用余弦，这个余弦一带。然后呢， b 方和 a c 的 关系出来了，把这个 b 方等于这一坨给它带进去，那这样，把这个 b 方给消去了， 咱就只剩一个 a 和 c 的 一个不等式喽。这样我再化解一下哦， m 的 范围就出来了。完美。继续 讲完了余弦定律，咱们再看一下正弦定律题型四，正弦定律的直接应用，这是正弦定律的内容，咱刚也说了，首先对边对角直接用正弦，其次是用正弦，以及出现了外接圆，这个 r 外接圆，还有面积，咱也用正弦，因为面积公式是不是涉及到正弦了呀？ 等会进行专题的讲解，那么直接看题，来看几道比较简单的题吧。哎，你看这个讲义的四杠一，在三角形 a， b， c 中， b 等于二 a， 小 a 比上小 b 是 二分之根二，问你这个角 a 是 多少？ 呃，发现没有， a 和 b 凹边角， a 和角 b 凹角对边对角呀， b 对 应的这个不就是大 b 吗？小对应的大 a， 那 我直接用正弦定力。想用正弦定力，你先把这个画成正弦呀，就变成了三 b 等于散二 a。 哦，二倍角公式呀，那么散 b 呢？就等于一个二倍的散 a 靠散 a。 呃，接下来直接正弦定理，这散 b 散 a， 那 可以把这个散 b 直接变成一个小 b， 右边这个变成一个小 a 了， b 等于二 a 乘以靠散 a 了， 因为你会发现它这个三 b 比三 a 是 不是就等于 b 除以 a 呢？我根据这个式子嘛，所以这个就是对边对角用正弦，或者说其次是用正弦，因为两边都是关于这个三的一个一次式。我们不看这个 cos， 那 可以把这个三呢，直接变成这个小 a 和小 b， 完美。 那我相信到这一步，我都不好意思讲了呀，散花猫，不好意思讲了哟，因为这个东西呢，算出来，哎呦， cosa 呀，一不小心答案就出来了哟。 cosa 等于一个小 b 除以二 a， 而 a 除以 b， 你 是知道的，咱带进去，答案是不是就出来了呀？ a 除以 b 二分之根二，那么 b 除以 a 是 一个根二，那这个式子就是二分之根号二咯？ cosa 二分之根号二哦， a 是 一个四分之派，完美 欧耶！那继续咱看一下第三题。呃，在三角形 a、 b、 c 里面，角 a、 b c 的 对边这么多条件，问你什么什么条件？呃，居然涉及到了之前的逻辑问题， 我们先看这啥意思呢？ a 大 于 b 哦，这个角比它大，大边对大角，那它是不是就等价于小 a 大 于小 b 呢？ 另外还有这玩意， a b 的 三 a 大 于 b b 的 三 b， 它出现了什么？各位对比对角吗？你看，与 a 对 应的不就是角 a 与 b 对 应的是一个角 b， 那 只用正弦定理，两边都有这个散了，不妨把这个角画成边吧。哎，散 a 和散 b 两边同时成了一个二 r， 那是不是就变成了三 a 变成一个小 a， 三 b 变成一个小 b， 所以 这个整个式子变成了 a 乘以 a， 也就是 a 方是大于 b 方的， a 方大于 b 方， a 和 b 大 于零啊，它是不是就等价于 a 大 于 b 哦，所以这个条件翻译一下是 a 大 于 b， 前面这个条件翻译一下也是 a 大 于 b， 它俩是一模一样的哟，那么毫无疑问就是一个充分必要条件呀乎，答案直接出来了，完美 讲完了余弦定律，也讲完了正弦定律，那其实考试他最喜欢出啥呀？把正弦和余弦放到一块给考了。 那这里我就不把这个正弦和余弦给大家单独写出来，以及啥时候用，希望大家自己能识别一下。我们直接看题实操一下。在三角形 a b c 中啊，给了一个这个东西， a b 的 cosine， c 等于三， c 等于三分之一。也告诉你了，问你角 a 是 多少，这咋整呢？ 前面这个等式挺复杂的，所以肯定想办法把它变一下形。哎，你发现没有，这边有 a， 这边有 c 哦，这边有个角 c， 这边有个角 a， 对 边对角，先用什么呢？弹幕里扣一下哦，正弦定理，所以第一次我用一次正弦定理，那就变成了一个散 a 扣散 c 等一个三倍的三 c cosa。 到这辈的同学可能说了，我能不能把这个 cosa cosa 再用一次余弦的定理吗？ 能够传传呀，当然是不可以的，因为你现在好不容易把它们都画成一个角的式子，接下来用三角函数就行了。如果你想用余弦定理也行，那么你直接在这就用一次余弦定理，把这个 cosa 画成 a 方加 b 方减 c 方除以二 a b， 把 cos a 化成一个 b 方加 c 方减一方，除以了一个二 b c， 然后你再去化解一下，可能就出来了。 因为题目后面给的是 tan 的 c 啊，所以这化到用知识点有个好处，就是你可以把 tan 的 c 求出来啊。你看， cos c 散 c， 哎，那散 a 是 不是就等于三倍的 tan c 乘除了过去，成了一个 cos a 了？ tan t c 是 一个三分之一，那散 a 直接等于 cos a 了呀。哦，散 a 等于 cos a， a 是 多少度的？或者说 tan t a 求出来，是不是就是一个等于一的 a 又在零到派之间，那么 a 就 等于了一个四分之派了哦，第一问直接出来了。所以看起来，第一问他有余弦，也有这个啊，对边对角，但我其实只用了一次正弦定力，没有用余弦定力，但是大家可以试一下，这种余弦定力，估计做不出来，因为后面给了你是一个三角函数，它对 c 有 关系。 ok， 那有没有可能预先正弦都要用？当然是有可能的，我们直接看第三题。在三角形 a、 b、 c 中，三 a 比三 b 比三 c 等于二比五比六， a、 c 等于根号三十九，则三角形 a、 b、 c 外接圆的面积为。 这前面很明显了呀，给了三个角的正弦之比，那肯定要用正弦定理的呀，你发现没有？发现，它是个奇次式哎，都是一个三 a、 三 b、 三 c 的 一次。那是不是直接用正弦定理可以给它转换成 a、 b、 b、 c 等于二比五比六了呀？ 哦，相当于这个三角形，它的形状是确定的，大小还不知道，就是三边之比是二比五比六，那么可能是这样子啊，也可能是这样子，反正这个三个边都是二比五比六，那这样相当于每个角应该是确定的， 因为咱可以用余弦定力啊。那先别着急，我们再继续看嘛。这里 a、 c 等于根号三十九，那就是一个小 b 等于根号三十九。 问你啥呀？问你这个外接圆的面积。哎，看到外接圆，咱们是不是要用正弦定了呀？题目就给了一个小 b 的 长度，所以这个二 r 呀，直接等于一个小 b， 除了一个三 b， 哎，那咱把三 b 算出来不就舒服了吗？所以我要求这个角 b 了呀。呃，可是给了三边之笔，怎么求这个 角 b？ 这是一个问题呢，三边一角用啥呢？大拇指扣一下，又是用弦定里的嘛，考三 b 等于啥玩意儿呀？哦，考三 b， 弦定里， a 方加 c 方减 b 方出了一个二 a c， 你 发现没有，这个分子分母都是关于 a、 b、 c 的 一个奇次式呀。 所以其实三边之比，二比五比六出来了，你可以直接把这个二五六带进去，那么 a 方就是二的平方加上 c 方，六的平方减去五的平方除以二 a c， 二乘二乘六。 有同学说这三个边一定是二和五和六吗？当然不是，我只是带了一个比例啊，比如我们设它是一个二 t， 五 t 以及六 t， 那这个 a 方是不是二 t 的 平方，这个 c 方是不是有五 t 的 平方都有一个 t 方呢？相当于分子有个 t 方，你分不也有 t 方呀？二 a 乘 c， 那 么就是二 t 乘六 t 再乘一个二也有 t 方，所以 t 方和 t 方直接消掉了，因为这玩意它就是一个纯天然的其次式呢。 所以你其实不用管那个题究竟是几，他们的比例是一样的，我直接带就完事了。那么大家自己口算一下，我家猫都会算，算出来呢。这玩意考散 b 就是 一个八分之五了。哎呀，还不是一个特殊值。但是我不用管他嘛，我只用求散 b 就 行了呀。 那接着这个散 b 是 多少呢？这好算呀，散 b 就 等于根号下 a 减去八分之五的平方 等于多少呢？呃，这个素材挺复杂的，八分之根号下三十九，来往中间移一点，大家方便看一些。 好，那最后我求这个外接圆的面积，咱把外接圆半径一求，面积是不是就出来了呀？二 r 等于 b 除以三 b， 那 给人家带一下， 很明显，根号三十九除以八分之。根号三十九这题目逗我玩呢，那不就是一个八吗？所以求出来，二等于一个四，那这个面积 s 等于哇，小学二年级都知道，派二的平方直接就是十六派了，完美 nice！ 所以大家以后遇到这种三个边的正弦之笔，用次正弦定里。其实就是啊，三个边的长度之笔，再用次余弦定里，咱就可以把每个角的余弦值解出来了，然后问你外接的面积。这个题迎刃而解， 本节课的最后提醒了，有面积公式的问题咱知道呀， s 是 不是等于二分之一 a b 三 c 在 之前知识点可是讲过的哦，大家直接看三画猫的书写笔记合集， 那他还等于什么玩意呢？其实很好理解呢，两个邻边再乘这个加角的正弦至那还等于一个二分之一 a c 散 b 还等于一个二分之一 bc 散 a。 所以你看一下题目条件，他给的究竟是哪个角以及哪个边，直接减就好了。但往往这个面积公式他不会单独的去考，只是一个小点，所以你还需要掌握这个三角函数与正弦定义。咱们直接看题，在三角形 a b c 里面这么多条件， 其中最恶心的是这玩意好长啊，二倍的三 b 加 c 乘以 cos 等于一减去这玩意呃， b 加 c， 大家要对这个条件足够敏感哦！在三角形 a b c 中， b 加 c 是 不是等于一个派减 a 啊？因为 a 加 b 加 c 是 等于派的哟，那三派减 a 其实就是一个三 a 啊，所以这个数字画出来就是二倍的三 a 再乘了一个 cosine c 是 不是等于一减去二倍的 cosine a 三 c 啊？那我把这个二移过去吧，那就是二倍的三 cosine c 加上一个二提取出来，再加上一个 cosine a 三 c。 哦，散口加口散等于了一个一散口加口散，这啥玩意儿硬呢？哎呦，不就是恒等变化里面的吗？两角合杀的正弦定律，所以这一坨就等于一个哦，散 a 加 c 啊， 而 a 加 c 加 b 等于 pi， 所以 散 a 加 c 是 不是就等于了一个散 b 呢？所以，其实咱可以算出来，二 b 的 散 b 等于一，那么散 b 就 等于了一个二分之一。你看，这么一长串的东西，咱用了三角函数 直接给它翻译过来，就是一个散 b 等于二分之一。两个好点。第一个就是你要牢记 a 加 b 加 c 等于 pi。 第二个恒等变换的公式也要记住，完美 角 b 的 正弦，知道了，咱接着解嘛。那这里是一个 b 和 c， 呃，咱就是说这个角 b 的 角度能不能知道呀？ 三 b 是 二分之一，那么 b 可能等于这个六分之派或者六分之五派，但是你别忘了，这个 b 是 二， c 是 二倍根三。所以呢，其实这个小 b 是 小于 c 的 大边对，大角。哎，咱是不是可以推出来这个角 b 也小于角 c 的？ 所以这个角 b 肯定是一个锐角 a 在 三角形里面，那么 b 只能是一个六分之派喽。哎呀， b 都出来了，我现在要算这个面积，人家题目这里是 b 和 c， 而角 b 知道了，我想算这个面积 s 是 不是等于二分之一 a c 散 b 啊？ 相当于你把这个 a 再算出来，题目就迎刃而解喽。可问题就在于，这个 a 再算出来，题目就迎刃而解喽！可问题就在于，这个 a 咋求呢？各位小小猫要用什么呀？ 我知道了这个角 b 又知道了 b 和 c 两个边和一个角，我还想求这个小 a， 还想求另外一个边，三边一角，用大拇指再扣一下哦，余弦定里，所以这个考伞 b 再用余弦定里，把咱的 c 一 球，那么 a 球直接带进，这个公式是不是就结束了呀？ 用子余弦定里数字这么一代，得到了关于 a 的 一个二次方程，解出来 a 是 二和四的，这两个都满足吗？那你看，这个 b 是 一个三十度，然后 b 和 c 分 别是二和二倍根三。当 a 是 二的时候，你可以画一下，它就是二比二比根三啊，一个一百二十度，两个三十度的，一个等腰三角形了。 而当这个 a 等于四的时候呀，它会是个直角三角形的，两个都是 ok 的， 所以有这么两种情况，那么这个面积是不是有两个情况呀？ s 等于二分之一， a c 三 b， 咱这么一代， c 和三 b 呢，分别是二倍根三和三十度，所以就等于二分之一。 a 乘一个二倍根三， 再乘了一个二分之一，那么就是二分之根三倍的 a， 而 a 又等于二或四，那么直接一代，答案就是根三或二倍根三。 nice， 这个六杠一啊，数量还是蛮大的。首先你由三角形三个角之间的关系以及恒等变换，得到了三 b 等于二分之一，然后再由这个大边对大角， 小编对小角得到了 b 是 等于三十度的。那最后呢，再用了一次这个余弦定底，咱把另外一个 不知道的边，也就是小 a 算了出来，再用了一次这个面积公式，真的是千呼万使出来呀，终于是使出来了，这个东西，真正的答案是出来了呦， 那接着我们再看一个更恶心的题，在三角形 a、 b、 c 中，呃，这一坨，然后 a 知道来了一个中线问题。哎呦，这个中线和角分线问题啊，也是一个考点，我们先通过这个题说一下中线吧。 那首先先翻译一下嘛，前面这一坨很明显它都是正弦的，那直接对边对角用正弦，并且还是一个奇次式，关于三的一个奇次式哟，所以直接就变成了，哎呀， b 方加 c 方减 a 方等于一个小 bc。 哎，那其实咱可以把这个 cosa 解出来呀， cosa 等于 b 方加 c 方减一方除以二 b， c 相当于 b， c 除以二 b c， 那 么就是一个二分之一的，那相当于 a 是 一个六十度了 哎，所以第一个条件告诉了你 a 的 这个角度，而第二个条件呢，告诉了你小 a 的 长度对边这角出来了，那另外的这个长度你不知道，所以咱先不妨随便先画一个呗。呃，上面这个是一个六十度，我记为一个 abc， 下面这个小 a 呢，是一个四， bc 上的中线是一个根号六，那咱找一个中线吧，中线一分，这两个边是不是分别是二呀？咱记为一个 m。 然后现在问你这个三角形 a、 b、 c 的 面积，这个中线长度是根号六。就这么多的条件啊， 那这个中线一般怎么去找呢？三角形 a、 b、 c 的 面积，我想求它的面积，我得知道啥呢？各位， 咱假设这个是小 b， 这个是小 c， 我 是不是用一次这个二分之一 bc 乘以三 a 啊？ a 是 六十度，那所以 bc 你 得知道吧？你要把这两个边之积给人家算出来，问题是怎么算的？ 这里是 bc， 咱们知道这个角 b， 那 看到这个 bc， 是 不是想到了咱要用这个余弦定律呢？ 余弦定律 cosine a 就是 一个二分之一，二分之一等于 b 方加 c 方减 a 方 a 是 四嘛，那就减十六，出了一个二 b c。 哦，所以你可以得到这个 b 方加 c 方和 b c 之间的一个等式关系。我想求 b c， 是 不是把这个 b 方加 c 方求出来就好了？ 好了，问题来了， b 方加 c 方怎么求？咱这个中线等于根号六还没用呢，那所以我肯定需要通过这个中线把 b 方加 c 方、平方和求出来。呃，我想问一下大家，看到这个中线，你觉得该怎么用呢？ 这确实不太好想，你看这里，这个边长度根号六，我知道，这个二，我也知道，这个二呢，我也知道，相当于是不知道这三个边的长度呀。那这三个边和哪个东西有关系呢？ 哎，他是和这两个角有关系的哦，这里我记为一个角一，这里记为一个角二，那这个角一加角二，他毫无疑问是个一百八十度的。这个在角一里面来 x 余弦定律是不是可以得到 c 二根号六的关系？在角二里面来 x 余弦定律是不是也可以得到二根号六和 b 的 一个关系？ 所以第二步呢，咱其实用了一个中线里面的叫做贴贴模型，或者说靠山模型，相当于这如果是一个中线的话，呃，你这个三角形和这个三角是不是靠一块了？这里就是它们交界的一个地方， 会说是贴贴，或者说是靠山，铁山靠的一个模型，那直接这么一贴，你角一在这个三角形里面来个余弦定律，角二也来一个余弦定律，因为角一角二它们分别是啥哦，互补的，所以它俩的余弦值是互为相反数的。我们列一下嘛， cos 啊， c cos 角一 是不是等于这个负的 cos 角二呀？因为角二是派减去角一，那么就是一个负的 cos 角二了。 cos 角一咱用一次余弦定理，它不就是 b m 的 平方，二的平方加上根六的平方减去 c 的 平方，再除以二乘二乘根六， 然后这边是负的 cos 角二，你在这里面用次余弦定理，那人家就是一个还是二的平方加上根六的平方， 只不过这里变成一个减小 b 的 平方，除以二乘二乘六，因为人家是一个中线哦，那所以其实下面这两个二和二是相等的，你会非常惊喜的发现， amazing 了，分母直接消掉了哦，所以就变成了这一坨东西了，那这坨一个项其实 b 方加 c 方就出来了， 我移过去之后别忘了前面是有个符号的呀，那所以 b 方加 c 方就等于一个二十了， 欧耶，这个就是中线里面一个贴贴模型啊，看到中线咱就想到了这个贴贴模型，或者说， 呃，靠山模型，相当于你把这个中线形成两个夹角，分别用一次余弦定律，这个角一和角二都用一次余弦定律，然后可以得到这两个边 b 和 c 平方和的一个关系，那这样我就可以用这个平方和咱是不是可以把这个 bc 求出来了呀？ b 方加 c 方等于二十，我带到这个式子里面， 哎，不就求出来了， bc 等于一个十六完美，那二分之一 bc 三 a， 这个面积咱就求出来了呀，最后的答案就是一个四倍根三， nice， 关于这个角的角分线以及中线问题啊，现在讲了一个贴贴模型，那另外角分线里面还有个角平分线定义以及面积之比，这个后面也是会进行系统上讲解的。 下节课呢，接着给大家讲这个解三角形问题，里面的专题，包括一些高考正题以及角分线 中线都怎么去处理。那我们来一个浅显的总结吧。这节课的总结，三角函数解三角形的做题思路已经给大家讲了，就这个方法论，后面要牢记哦，这些思想非常的重要，边角互化究竟应该用哪一个？是正弦定逆 a 还是三角函数呢？或者说更少见的因式分解， 以及如果用正弦定里哪个该怎么用呢？看到题目条件，到底用正弦还是余弦也教大家了，当然还有余弦的解析技巧，这个在后面将咱们周长面积范围的问题经常用到，以及范围对准问题的一个思想。 咱们这节课呀，从这个余弦定里的一个题型，哎，三边角用余弦以及出现在这三种式子，再用余弦，再到 解三角形问题，角与角之间想三角函数，角与边之间想正与弦并离，所以你要把三角函数的恒等平方公式好好复习一下。接着呢，又到了划不过去，划不过去，再来再来， 划过去了，形状求范围问题就知道了。钝角或者锐角呀，咱就用这个余弦定律，或者说是由余弦定律推出来一个小角的结论，直角是相等嘛，那么这个锐角的话就是 a 方小于 b 方加 c 方，钝角是 a 方大于 b 方加 c 方。哦， 那接着咱们的题型四我再推一下啊，这次很顺利。正弦定律这边这角其实是外界面以及面积问题，都想到这个正弦相关的一些公式， 再到最后正弦的综合性问题以及最难的这个。呃，面积公式问题，因为他一般考面积不会单独的考，配合其他正弦定律和三角函数结合在一起，甚至有时候还会用到一些中线模型以及角平分线的模型。 那各位小脚猫大家在里面扣一个六六六。听的舒服的话，咱们下节课再见。拜了个拜。

哈喽大家好，上期咱们将政弦、余弦、政切知识点讲完了，这期咱们直接上历年真题，看看考试到底怎么考。不管是中考还是高考，基础题出题套路全一样，学会方法，同类题通通秒杀真题基础定义题中考高频真题题目在 r、 t、 a、 b、 c 中， c 等于九零度， ac 等于三， bc 等于四，求 c 呢， cos 它那的值。第一步，先找直角定边， c 是 直角，所以斜边 ab 咱们先用勾股定律算出来，三的平方加四的平方等于五的平方，斜边 ab 等于五。第二步，找准 a 的 对边和邻边面对角， a 对 边是 bc 等于四，邻边是 ac 等于三，斜边 ab 等于五。 第三步，套公式， c 的 等于对边，斜边等于五分之三， cos 等于零边，斜边等于三，它那等于对边，零边等于三分之四。 这道题就是送分题，核心就是找准对边和零边，千万别搞混，一混就出错。真题二，特殊角计算题历年选择填空必考 计算二， sin 三十度加 ten 四五度， cos 六零度的值。这种纯计算题就是送分题，只要记住特殊角函数值带入计算就行，零难度。第一步，带入数值， sin 三十度等于二分之一， tan 四十五度等于 cos 六十度等于二分之一。第二步，列式计算，二乘以二分之一，加一减二分之一等于一加一减二分之三。 提醒大家计算的时候别马虎，符号别搞错，这类题完全是拿分题，不能丢分。真题三，综合应用题型高考基础真题 在 a、 b， c 中， b 等于九零度，若 tan 等于一，求 c 纳的值。这道题没有给边长，需要咱们先推导角度，再算数值，稍微绕一点，但思路很固定。第一步，根据 tan 等于一，结合咱们记的特殊角摊正四十五度等于一，所以 a 等于四五度。 第二步，这个三角形就是等腰直角三角形，两条直角边相等，设边长为一，斜边就是根号二。第三步，套正弦公式 c 纳等于对边，斜边等于一，除以根号二等于二分之根号二。这类题核心就是逆向运用，通过函数直推角度再算边长，思路通了，怎么做都对。第三部分，避坑总结加答题技巧， 最后给大家总结三个答题关键点，考试避开所有坑。一、先找直角，再定对边，临边千万别搞反搞反，直接错。二、特殊角三角函数值一定要记牢，记不住就用三， cosine 推 tangent， 省时又准确。 三、正切切记，分母不为零，遇到九十度直接排除，别踩坑。其实正弦余弦正切真的不难，核心就是记定义，找对边套公式。历年真题考来考去都是这几个套路，把基础吃透。这类题就是送分题， 今天的知识点和真题讲解都听懂了吗？觉得有用的同学赶紧点赞收藏，免得下次找不到。想要更多三角函数真题汇总的评论区，扣三角函数我直接发给大家，下期还想听什么知识点评论区留言，咱们下期再见 nice！

ok， ok， 这节课开始呢，咱们来讲三角函数的图像啊，讲课之前呢，我先把这个里边有什么东西梳理一遍啊。首先呢，咱们要先解决一个三角函数线，理解它非常重要啊，你就知道 sum cosine tangent 的 图像是怎么来的了，没问题， 哎，这里面呢，涉及到单位元，它的目标呢，就是把它式子化成分母为一的式子啊。然后呢，哎，画出这些图像之后，你要关注它，重点是有幸，比如说还有一些特殊的位置，什么时候等于零，什么时候等于一， 什么时候没有意义，对不对？完事之后呢，哎，谁是最大值，谁是最小值，什么时候等于二分之一，二分之二，三二分之二，这 些特殊位置要熟记啊。然后呢，这个是一个部分啊，这解决完事之后就开始了，哎，这个式子呢，里边有几个参数？ a， omega， five 和 d， 一 共是有四个参数，涉及了三角函数的这个变换啊， 有伸缩变换，还有平移变换，没问题啊。然后这些呢，哎，这个，这个一定要学好这个变形啊。然后，哎，会给你一个图像，给你一个一般的图像，让你根据这图像把它的解析式给写出来。有了这个式子之后， 哎，下边呢，就是三角函数特殊值的这样一个计算了啊，包括 sign 是 谁，呃，包括 sign 的 对象是谁，这是非常重要的一个点啊。 然后借尸还魂呢，是借着一个标准图像来求对应的 x 的 这样一个情况啊，完了之后呢，哎，有里推外和外推里两种考法 好不好？哎，现在不用想那么多啊，咱们先来解决这个三角函数线的这样一个问题好不好？哎，把基础图像掌握了，这第一部分的任务就完成了啊。

手标出来，是吧？六零二八找到，然后将它十二等分，得到这十二个点的横坐标，那么这里对应的是这一个角，那么它这一个角 这中间与这个单位圆是不是有交点？然后将这个单位圆等分成多少等分，十二等分。好，那我们就可以按照上面的这个方法， 那么可以假设 x 零是六分之派，那我可以把这一个怎么样移到这里来，那么对应的这一个纵轴杆呢？ 嗯，三一六分派可以，是不是可以把它移到这里来？对，这一个用直尺可以把它移到这个位置来吧。好，我们用动画演示一下， 是这种，是不是那同样的，如果 x 零是三分派呢？那么是不是也可以把这一段把它移过来，移到这个位置， 同样的对应的阿根斯坦呢？接下来请同学们自己把这一个其他的点描出来，然后用一条光滑的曲线把它连接起来，让它取。啊。 要拿我们的直尺和铅笔规范做图， 朋友们停笔，我们一起来看一下各种纸的。