深圳初三数学模拟答案评分标准

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中考冲刺，别人刷一百份烂卷，你只吃透这一份，谁赢谁输！这套试卷把初中数学所有核心考点，几何模型、思想方法全装进去了。三小时一百二十分，超过三十分就算及格。五分钟你就开始恒温，做到一半想摔笔，但只要坚持下来，你就知道自己离满分还差几步。 nice！ 像这种题目特别长，然后呢，这个图形呢？看起来很高级，并不是我们所学的数学问题，看起来对吧，是一个实际问题，那这种应用题呢，通常就不会太难，关键在于什么呢？ 在于理解。哎，这道题啊，前面的背景我就不说了，这期呢，大家自己可以看，我们直接看问题。第一问， 当开放三条通道的时候，安检时间为 x 分 钟，已入场的人数为多少？那我们来看啊，要求已入场的人数，其实就是这三条通道， 从安检开始，持续了 x 分 钟，进去了多少人，对不对啊？哎，那每条安全通道每分钟通过六个人，那三个安全通道每分钟就是十八个人，安检了 x 分 钟，于是就是十八 x 人已入场。非常简单吧， 排队人数和安检时间的函数关系看起来很复杂，其实我们根据这样的一个等式啊，排队的人数等于总的人数减去已入场的人数，那 x 分 钟的时候，已经入场了 十八 x 人，那当时的总人数是多少呢？总人数这里有和安检时间，对吧？ 所以 x 分 钟的时候，总人数就在这里，那就是负 x 平方加六十 x 加一百。 x 分 钟时的总人数在这里， x 分 钟已入场的人数在这里相减，就是 排队的人数。哎，就左边这个排队的人数，那就是负 w 等于负 x 平方加上四十二， x 加上一百。 再来看第二问，在一的条件下，排队人数在几分钟达到最大值， 那排队人数和分钟时间的表达是在这里的吧？那就是求这个 w 的 最大值吧。这是一个什么函数啊？二次函数对吧？开口向下，那于是呢，在顶点处， x 等于负二， a 分 之 b 就是 二十一。二十一分钟时 最大值，最大的人数是多少？就是把 x 等于二十一带入到 w 的 表达式中去，很容易算出五百四十一人。再来看第三问，最后一问，排队人数在安检开始的十分钟内要减少， 什么意思呢？其实啊，你看这个二次函数，这个二次函数，它的顶点 x 的 位置是在二十一，那大概就是这样的，也就是说，从零分钟到二十一分钟，这个人数是逐次递增的吧。 现在的要求是十分钟内开始减少，而原来是什么呢？原来是二十一分钟之后才开始减少了，那也就是说要把这个对称轴向左移移到小于十， 这是我们的一个思路，而且要尽量的减少安全通道，那尽量减少安全通道就是我们，另安全通道是 m 个通道，安全通道是 m 个，那就是求 m 的 最小值吧，因为它是尽量减少嘛。好，那现在我们如果是 m 个通道， 安检的 x 分 钟入场的人数是不是就变成了 六 mx 啊？这没问题吧，因为每分钟每个通道是六个人， m 个通道每分钟就是六 m， x 分 钟之后入场的人就是六 mx。 把六 mx 和这个 y 做一个相减嘛，现在的 w 就 变成了负 x 平方加六十， x 加一百，这是现场的总人数，减去六 mx 就是排队的人数。好做一个化简，负 x 平方加上六十减六 m， x 再加一百，此时就是 排队的时间。 x 和排队人数之间的函数关系。现在要求排队人数在十分钟内开始减少，那就是这个对称轴 二分之六十减六， m 要小于等于十，对不对？刚才我已经分析过了，好求 m 的 最大值，那这个不等式可以做一个化简， 最后解得 m 大 于等于三分之二十，好， m 是 通道的数量对吧？它是一个整数，所以 m 取最小的整数， m 就 等于七 就做完了，所以至少要开放七个安检通道。这道题其实并不难啊，关键就是理解题义。而且这些参数之间的关系，排队人数，现场总人数和已入场人数以及 安检的通道数量，安检通道数量，他们之间是有函数关系的，函数关系体现在这一个。最后我们写的这个 w 中， 只是说这第三问啊，和第一问的区别是什么呢？第一问，他的安检通道是三个固定的，我们就得到了 这样一个 w 的 表达式。而第三问呢，他的安检通道我们是要求的，所以我们设为 m， 但是方法是一样的，我们就得到下面这个 w 的 表达式。 这道题呢，大家好好体会一下，并不难，关键在于理解题义，而应用题难在建模这道题的模型，它其实都已经建好了，我们只需要去理解它的模型就可以了，因此并不难啊。 中考数学背后有无规律最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考压轴正题汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律，这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。 nice， 呃，它的特点呢，就是第一问啊，比较难啊，这第二问呢，其实思路清楚的话很容易。这第一问呢，它的难点就只有一个啊，而且它的题型呢，非常的明显，思路也很直接啊，就是要你求这个二次函数的解析式， 哎，通常来讲，求解析式一定是什么方法？待定系数法，对吧？哎，这道题呢，其实也不例外啊，但是呢，啊，有一个难点，就是他引入了一个不等式，哎，好，我们来看一下，二次函数有三个参数 abc， 而且过了其中一个定点， 好，要满足这一个不等式的关系，并且呢，求他的解析式，哎，那既然过定点，我们肯定要带进去，对吧？好，那么第一个关系就是 a 减 b 加 c 等于零，这个没问题吧，把定点带到解析式中，好，但是呢，我们发现呢，只有一个方程，对吧？这一个方程要想把 a、 b、 c 给解出来 还非常的困难。好，那么还有一个不等式，我们也把它写上啊，这个 a x 平方加 b x 加 c 要大于等于二 x 平方减八 x 加六。哇，这看起来就很长，对吧？ 上面这个很好理解，下面这个不等式该怎么理解呢？我们如何通过下面这个不等式啊，把 a、 b、 c 都给求出来，就是这一问的难点啊，好，很多同学呢，就一直在算啊算啊，你算不出来的，这个时候我们 从代数的角度已经无法去突破了，不妨想一想几何。哎，所谓数形要结合嘛，那么我们通过这个 不等式啊，我们可以看见，它是由三个部分组成的，左边是第一部分，中间是第二部分，右边是第三个部分。 实际上啊，这个不等式给了我们一个什么信息呢？这个二次函数的解析式，或者说这个二次函数的值一定要大于等于左边这个，小于等于右边这个，对吧？这个比如说，你这不是说很明显的吗？你就说废话啊，其实我们从几何的角度来想想，就是 左边这个图形是不是一条直线呐？右边这个二次函数是不是一个二次函数的图形啊？那也就是说，中间我们要求的这个二次函数，它是介于直线以上，并且右边二次函数以下的位置。 好，那么换句话来讲，我们首先呢，把左边的直线和右边的二次函数图像先给画出来，看一下他们有没有一些什么特点，然后啊，说不定就有解析的突破口了。好，我们来看一下啊， 画一个数轴 x， y， 然后呢，先把左边这个一次函数的图像画出来，这很好画吧，过三和零这个点，同时还过零和负十二啊，负十二就在这里吧。好，这个一次函数就是这样一条直线啊， y 等于四， x 减十二。好，接着呢，我们再把右边这个二次函数的画出来，这个二次函数图像很容易画吧，它这个解析式也不复杂，它很明显过 x 轴的两个定点，一个是一，一个是三，好三，哎，你看这个三，这个点是不是在一次函数的图像上啊？ 好，一，这个点呢？大概在这里我们就记住一，它的顶点呢，很容易算出来啊，就是把对称轴二带进去啊，等于负二啊，也就是这个大概是这个位置二和负二，这是它的顶点。 好，而且我们还发现呢，这个二次函数肯定是大于等于这个一次函数的吧，那也就是说这个二次函数的图形是不可以画出来了，用紫色画一下， 你看他经过一零这个点，三零这个点，而且他永远要大于一次函数，大概就是这样的一个二次函数啊，就画的有点丑啊，但是你大家可以大概可以看得出来，这就是一个这个右边这个二次函数。 好，现在图形画出来之后，我们找到一些特殊的关系，就是这个二次函数永远在这个一次函数以上，对吧？因为他要大于等于这个一次函数，并且他们有一个焦点是三和零，接着我们就看到我们的目标上来，我们要求的这个二次函数， 哎，我们要求的这个二次函数是介于这个直线以上，在这个二次函数以下的位置，那么无非就是 这样的一个二次函数了，对吧？绿色的就是我们要求的了嘛。好，那么我们看到这个要求的二次函数啊，他就找到了一个隐藏的条件呢，他一定要经过这个公共点三和零，哎，一定要过这个定点三和零，大家可以看了吧。好，有同学问，为什么怎么想到的啊？你大家看呢？ 首先这个二次函数如果要画在这个图像上，首先我们可以把它分成两段，第一段 是不是这一段绿色这一段，因为他要小于紫色的，也就说比紫色的要矮，比红色的要高，比红色这个直线要高，是不是就只有这一段啊？好，那这一段画完了之后，就到三这个地方为止了吗？还需要左边还是要画一段啊，左边的也是在绿色以下，在红色以上，对不对啊？哎，那么 左边这一段呢，是不是就是接着这个三这个点这样画出来啊？好，那这样看起来的话，他一定要经过三和零这个点了，你自己画一个，如果不经过三和零的话，就不能满足这个条件了。所以从图像关系上来看的话啊，我们的这个二次函数一定要在左边这个直线以上的位置， 要在右边这个紫色的二次函数以下的位置，所以他就一定要经过直线和我们二次函数的一个共共点啊，三和零这个点号。那么接下来就好办了，我们把三和零也代入到要求的解析式中去，好，又得到一个关系， 九， a 加三， b 加 c 等于零。好了，那么接下来我们就可以干什么？连立这两个吧，这两个等式把它连立起来啊，用一式，二式，对吧？用二式减一式 啊，二减一就是八， a 加四， b 等于零，那也就是说得到 b 等于负二， a 好， 同时把 b 等于负二， a 带进去，随便带到哪里面去，然后就能得到 c 等于负三， a 好， b 和 c 都用 a 来表示了。我们这个时候啊，原来是有几个参数啊，原来有三个参数，我们找到了两个定点，所以呢就消掉了两个参数，最后这个二次函数就变成了什么 y 等于 a x 平方， b 是 负二， a 负二， a x c 呢？是负三 a， 好， 也就是说要求这个二次函数的解析式，我们只需要把 a 给求出来是不是就可以了？这个时候难度是不是就降低了，由原来的三个未知数变成了现在的一个未知数了？好，那么接下来呢，我们就 继续得利用下面这个不等式了吧。哎，你看上面这个等式我们已经被我们用完了吗？那么用下面的不等式，那么同样的就把这个函数可以改成 a x 平方减二 a x 减三 a， 好， 那么这个不等式呢？它实际上是一个连续的，对吧？我们只随便取一边，我们取左边， 来看一下能有什么样的一个结果啊？我们把左边给端单独取出来了，就是把这一块，哎，取出来之后，实际上就等于 a x 平方减去二 a 加四倍的 x 减三， a 加十二，要大于等于零，对吧？这是一个横不等式，也就是永远要成立。 为了解这个不等式，我们首先还得知道 a 的 范围，对吧？哎，你看，要让它恒大于零，实际上就是左边这个二次函数，这又是个新的二次函数了，它要恒大于零，那么要它恒大于零，必须要保证什么 a 要大于零，对吧？开口要向上，同时德尔塔要小于等于零嘛，哎，好，那么 a 大 于零， 这是我们的一个条件呢。其实从我们右边这个图也可以很容易看出来啊，就从这个图形出发的话，也能看出来，我们做出来的这个绿色的二次函数一定是开口向上的，对吧？你开口向下，你试一下可不可以啊？肯定是不可以的，所以 a 大 于零很容易啊。那么判别式要小于等于零，我们就把判别式给写出来嘛，就是 二 a 加四的平方减去四， a 乘以负三加十二嘛。好，要小于等于零，那么我们就可以把它展开化减看一下啊，四倍 a 的 平方 加十六倍的 a 加十六加十二， a 的 平方减去四十八， a 小 于等于零。然后呢，我们做一个化减继续啊，就是十六倍的 a 平方 减三十二倍的 a 加十六小于等于零。好，那就是 a 的 平方减去两倍的 a 加一小于等于零。好，这个时候基本上就做完了，你看，继续化简，就是 a 减一的平方小于等于零吧。 好，那肯定只有得到 a 等于一了呢，因为这是个平方数，一定是大于等于零的，所以就只有让当 a 减一等于零的时候成立了，那 a 就 等于一。好， a 等于一求出来了，那么这个二次函数的解析式是不是就求出来了？把 a 等于带进去嘛？ y 就 等于 x 平方 减二， x 减三。好，这就是第一问。那其实回过头来想一想啊，这第一问最关键的就是什么？最关键的就是找到这个二次函数，它要过这个定点三和零右边这个图啊， 过这个定点三和零，怎么分析？怎么得来的？我把这个思路和过程呢，也就讲清楚了。好，第一问做完了啊，第一问做完之后，这第二问其实并不是特别难啊，我先把这些给擦掉。 这第二问呢，其实是一个平行四边形的存在性问题啊，其实就不是很难了，平行四边形的存在性问题，它是有套路的啊，我们来看啊，一中的解析式和坐标轴啊，分别交于 a 点和 c 点好， 哎，大概就是这样啊，这个二次函数，我们可以直接画出来，它与 x 轴两个交点，一个是负一 啊，一个是三好，那么与正半轴的交点呢，就是这个 a 这个点了，对吧？与外轴的交点就是 x 等于零的时候，那交点为 c 啊，其实就是这是负三的位置好，那么二次函数基本上这个大概的图像呢，就已经画出来了。 哎，这样的一段，它的对称轴呢，是 x 等于一对吧，哎， x 等于一好，这是它的对称轴好，顶点呢，暂时不用求啊，反正也没有说要用得到，我们就大概画一个视域图， 好，现在呢，有一个动点 m 点，这 m 点呢，是二次函数上的动点啊，然后呢，还有一个动点 n 点啊， n 点呢，是这个 x 轴上的动点。那也然后现在呢，要 a、 c、 m、 n 啊，分别为顶点的四边形，要组成平行四边形，能不能存在？如果呢，存在，就求出所有的满足条件的 n 的 坐标，也就是 x 轴上这个 n 的 坐标。 好，如果不存在，请说明理由。那么在这种平行四边形的存在性问题中，大家一定要首先要注意一个地方啊，比如说，如果是存在平行四边形 a、 c、 m、 n 的 话，那么一定就是按照这个 顺序去的， a、 c 就是 零边， a、 m 就是 对角线， c、 n 就是 对角线这种。但是呢，它现在这个题目条件给出来，就是只要以这四个点作为顶点，它没有安排顺序，那么这个时候条件就会变得，情况就会变得复杂一些了。好，那么首先一定要区分啊，有没有顺序，这道题是没有顺序 的。好，那没有顺序的话，接着我们这个平行四边形的存在性问题，要看它的题型，无非就是两种，一个叫两定 两洞，还有呢，三定两洞啊，这些问题呢，我在百题闯关中有详细的介绍啊，这你就不再赘述了，那么这个题目中呢，大家看啊， a 点和 c 点是不都是定点啊？ a 点的坐标是三和零嘛， c 点的坐标是零和负三嘛， a 和 c 是 定点，那么动点呢，就是 m 点和 n 点了，所以这是属于两定两洞的问题。 而且 n 点呢，它是在 x 轴上的啊，大概 n 点，我就写一个大概，大概的示图的位置好， m 点呢，是在这个二次函数上的。 哎，然后要组成一个平行四边形，该怎么办？这道题肯定要干什么？分类讨论，对吧？哎，分类讨论，那么我们该怎么分类讨论呢？我们可以画一个图啊，假如说 a 点在这里啊， c 点在这里，我们假如画一个图好，然后要来讨论平行四边形，那我们首先得确定顺序，对吧？如何确定顺序呢？ 这道题中用对角线去确定顺序是最好的，因为我们知道平行四边形，它的对角线是互相平分的，对不对？那也就是说，如果以 a、 c 为对角线的话，那么假如 m 点在这里， n 点在这里的话，那么 a、 c 的 中点和 m、 n 的 中点是不是都是重合的？那也就是说， a 的 横坐标加上 c 的 横坐标是等于 m 的 横坐标加 n 的 横坐标，对吧？重坐标也有这个关系啊，这是点对称的问题啊，这你就不再赘述了。好， 那么讨论情况，刚才说了，这个分类讨论有几种情况呢？我们就分别啊，三种情况，当 a c 为对角线， 这是第一种情况，第二种情况， a m 为对角线啊，第三种情况， a n 为 对角线，就全部讨论完了，还有比如说第四种啊，还有 a a， 那 不可能，对吧？哎，好，那么当处于这三种情况的时候，分别列三组方程就可以了。哎，好，其实这道题啊，我们对对，对于这个图形，基本上也就不用去看什么了。那么我们的已知条件，首先呢， m 点它的坐标，我们可以设横表，重吧，就宁等于 m， 然后呢，重坐标就是 m 的 平方减二， m 减三，这是 m 点好， n 点呢，因为在 x 轴上，所以它是 n 和零。好，以及呢， a 点是三和零，以及呢？ c 点是 零和负三。好，我们坐标都有了。好，接着呢，我们就直接分类讨论，当处于第一种情况的时候， a c 为对角线的时候，那也就是 a x 加上 c x 除以二吧。啊，等于 m x 加上 n x 除以二，这是第一个方程，以及呢， a y 加上 c y 除以二，等于 m y 加上 n y 除以二，对吧？这就是中点中点重合嘛，也就是说， a c 对 角线的中点横坐标等于 m n 对 角线中点的横坐标。 a c 对 角线的重坐标等于 m n 对 角线的重坐标嘛。哎，这，这就是这个意思啊，中点重合的意思。好，那么二，二二就取，取消了啊，我后面在分类讨论的时候，我就不写这个二了啊，我就直接把分子和分子相等了啊。好， 那么就就解嘛， a x 等于多少？ a x a 的 横坐标是三嘛？ cx 等于多少？ c 的 横坐标是零，对吧？哎，三加零等于 m 的 横坐标就是 m 嘛，加上 n 点的横坐标， n 点的横坐标是 n 嘛？ 加 n。 好， 这是第一个方程。第二个 a y， a 点的重坐标是零，对吧？哎，零加上 c y c 点的重坐标是负三，那就是减三。好，这里就写快一点了啊，然后 m 点的重坐标 m 平方减二， m 减三，然后 n 点的重坐标加零，对吧？好，加零就不加了，这里零就去掉了，这里也就去掉了。好，那我们很容易解得啊，根据这个方程组，其实我们要求的是什么呢？我们要求的就是 n 点的 坐标，对吧？就是把这个 n 给求出来就可以了。好，那么我们首先解下面这个方程嘛，很容易解得， m 等于零或者 m 等于二。 好，那么我们来看一下啊， m 等于零表示什么意思呢？ m 等于零表示在这个二次函数上，它的横坐标为零，那不就是 c 点处啊，那也就是说这个 m 点啊， 必须要和 c 点重合，那当然是不行的，所以 m 等于零就舍掉了，那么 m 等于二当然是可以的。好，当 m 等于二的时候， n 等于几啊？ n 就 等于一。好，所以当 a c 为对角线的时候啊， n 点的坐标为 一和零。好，这就解完了第一种情况了啊，这个上面这个把它框起来是我们的条件啊，这个下面第一种情况解完了。好，接着呢，我们再来看第二种情况，当 am 为对角线的时候， 这个过程其实很简单啊，并不难了啊。 am 为对角线的时候，我再写一遍，就是 a 的 横坐标加上 m 点的横坐标，就等于 n 点的横坐标加上 c 点的横坐标，这没问题吧？好，以及呢， a 点的重坐标加上 m 点的重坐标等于 n 点的重坐标加上 c 点的重坐标。好，同样的方法，还是带进去 a 点的横坐标 三， m 点的横坐标是 m 等于 n 点的横坐标， n 加上 c 点的横坐标零。好，这是第一个方程。第二个方程， a 点的重坐标是零，加上 m 点的重坐标 m 平方减二， m 减三，等于 n 点的重坐标零加上 c 点的重坐标负三。好， 同样的解下面这个方程， m 等于零或 m 等于二，对吧？哎， m 等于零，舍掉了，刚才已经说了好， m 等于二， m 等于二，带进去 n 就 等于 n 就 等于五，对吧？哎， n 等于五。好，那么 n 的 坐标就是五和零。哎，第二种情况也就说完了。好，接着呢，我们再讨论最后一种情况，对角线为 a， n 的 时候，好， a 的 横坐标加上 n 的 横坐标等于 m 的 横坐标，加上 c 的 横坐标， a 的 重坐标加 n 的 重坐标等于 m 的 重坐标加上 c 的 重坐标。同样的啊，连立方程嘛， a x 啊，就是三啊，然后 n x 呢，就是 n 等于 m， x 就是 m 加上零啊， a y 是 零，加上 n y 零等于 m y m 平方减二， m 减三，加上 c y 负三啊，那也就是减去三。好，同样的去解这个方程组嘛。好，那我们把下面的解出来，很容易解得啊，下面的 m 等于一加，减根号七啊，这看起来都是可以的，满足条件啊。好， m 等于一加减根号七了， n， 那 就可以带上去了吧， n 是 等于 m 减三的嘛， n 就 等于负二加减根号七嘛。好，所以呢， n 的 坐标就是 负二加根号七零，或者 n 的 坐标就是负二减根号七零。好，那么一共就是这么四个 n 点，我们分别记住， n 一、 n 二、 n 三和 n 四啊，一共是四个 n 点，三种情况啊，全部都分类讨论完整了。好，这个题呢，就讲到这里啊，我们回顾一下，其实这道题最关键的还是第一问啊，求二次函数的解析式。 第一问的突破口就是，当我们代数无法看的时候啊，我们不妨从几何的角度来进行分析，找到另外一个定点三和零。 好，这第二问呢，平行四边形的存在问题，它是属于两定两动这个类型的，那么我们这道题呢，因为已经知道了 a 点和 c 点的坐标了啊，而且 n 点的坐标非常的特殊， n 点的重坐标，你看， n 点的重坐标啊，它是等于零的，所以呢，于是我们就用中点的公式就可以了，因为这里面的常数实在是太多了。你看啊，这里面只有两个方程这个特点啊，你看啊，这四个点的特点就是 所有的坐标中只有两个未知数，一个是 m， 一个是 n， 而且我们根据对角线的关系，是不是可以列两个方程啊， 构成一个方程组吧，那两个方程解两个未知数 m 和 n 是 不是就很方便了？哎，所以啊，这个题目它的特点呢，大家好好的去体会一下，这是背后的内在原理啊。好，这道题呢，就讲到这里， nice， 你是否对于相似三角形中的比例关系特别的苦恼？因为很多时候根据比例关系所构造的方程，最后呢是无效的，因为有时候这个方程根本解不出来，未知数越来越多，为什么呢？我给大家一个最简单的方法去判定。我们根据相似三角形啊，很容易得到三个 连等的比例关系，对不对啊？那这三个连等的比例关系，它其实可以构造两个等式，建立一个方程组，那为了让这样的方程能解有效，大家一定要注意，我们至少要知道三个边， 相似三角形是两个三角形，一共是六个边吧，一二三四五六。那我们至少要知道三个边，三个边中。还有要求， 这三个边中至少要有两个边在一个分数分别位于分子和分母的位置，也就是说，你至少要知道这样一个比例关系啊，一个边，两个边，或者是你知道中间这一个，或者是知道右边这一个，好，也就是说其中的两个边就是 相似比，对不对啊？哎，我们经常说相似比，也是相似三角形中的最关键的部分，好，你知道了这三个边中的两个边，也就是相似比之后剩下的啊，这四个，一二三四，你只要知道任意一个，那这样的一个方程呢，就一定能解。如果 假如你找到了一对相似三角形，但是这一对相似三角形，它的边只有两个，那这样的相似三角形构造方程呢，基本上就是无效的。或者说我们最多只能知道相似比，也就是说这两个边恰好在分子分母，如果这两个边，一号边和二号边是这样的两个边啊，你这样的一个方程能解吗？是不可能解出来的。 好，那有同学说，我知道了三个边，是一个边，两个边，三个边，三个边，那这三个边他没有在分子分母上吧，所以你也是解不出来的。那如果我知道了四个边，四个边，就一定能解出相似三角形的，而且可以全部解出来。 所以我们的要求我再总结一下，至少要知道三个边，而且这三个边呢，其中两个边构成相似，比 另外一个边任意，这样的方程就是有效的好，这是我们关于相似三角形比例关系中最重要的一点啦。大家在解析的时候，尤其是在有限的时间内，考场上解析的时候，这样的一个思路就给大家解析奠定了一个非常好的依据。 接着我们再来看看相似三角形中比较难的就是辅助线该怎么画，对吧？哎，你有时候需要构造相似三角形，那么我们辅助线构造相似三角形的依据，尤其是在平行四边形中，我们的突破口是比例线段， 什么意思呢？给了一个线段，我们知道了这个线段是 n， 这个线段是 m， m 比 n 是 已知的比例，那我们就根据这个比例出发，然后去构造相似三角形，因为这两个线段的比例关系，是不是就意味着相似三角形中这六条边中已经知道了两条边了， 那很有可能还知道一条边，这也是固定的，只是说我们得画辅助线给画出来。好了，这些呢，是解析的依据和经验非常的重要，这道题体现的淋漓尽致，我们来看题啊，提供的条件很简单啊，有三问，我们先来看第一问， 一个平行四边形，一点是中点，然后把 a e 当做对称轴，左边和右边对折， 其实就是左边和右边是全等的三角形。现在要证明另外一对全等三角形，也就是这个蓝色和这个蓝色这两个三角形首先有一个公共的角，这没问题吧？然后我们一定要利用翻折的关系，既然是翻折，所以呢，大家看这个红色的角是不是等于这个红色的角？ 同时再根据平行四边形这个条件，这个红色的角是不是等于这个红色的角相等？好，那么这两个红色的角相等，大家看啊， 也就意味着他们的零补角是不是也相等啊，就这个角绿色的等于这个绿色的角。好，大家看这两个绿色的角是不是也是分别在这一对全等三角形中的对应角啊？接下来我们只需要再找一对边相等就可以了吧，这对边大家看根据中点的关系， 这条蓝色的线段是不是等于这条蓝色的线段？再根据翻折的关系，这条蓝色的线段是不是等于这条蓝色的线段，那也就说这两条蓝色的线段相等，这两条蓝色的线段也是这一对全等三角形中的对应边，那根据 a a s 啊，或者是 a s a 啊，都可以。 接着我们来看第二问，第二问难度也不大，在第一问的条件下，那也就是说这两个三角形全等的条件下，知道了两个线段， c g 等于三， q g 等于五，要求 d q， 我 们就令 d q 为 x。 根据平行四边形对边相等，这一段呢是八加 x， 所以 ab 呢就是八加 x， 再根据翻折， ab 是 等于 af 的， af 也是八加 x。 再根据上一问三角形全等，这两个红色三角形全等，那这个红色的角是不等于这个红色的角啊？再加上一对对顶角，所以我们至少得到了一对相似的三角形。 q f g 是相似于三角形 p c g 的， 这个思路是很容易得到的啊，因为上一问的上一问的这个要证的这个结论可以当做下一问的条件嘛，而且题目也明显的给我们在第一问的条件下，所以这个全等三角形一定不要浪费这个条件。好，关键的地方来了，我们关注这一对相似三角形中的边啊，大家看啊， 根据全等的关系，这段绿色的是不是等于这段绿色的？因为上一步的全等，同时再根据中点的关系结合翻折，首先中点这段蓝色是不是等于这段蓝色？再根据翻折，这段蓝色是不是等于这段蓝色？好，大家看啊，你看绿色的相等，蓝色的相等，那绿色减去蓝色是不是就是这段红色？ 下面的绿色减去蓝色是这面红色？最后我们得到这两个红色线段相等，红色线段相等，是不是就意味着这一对相似三角形的相似？比是一比一，那就是全等好，有了全等就有对应边相等了，所以 g p 等于五， f g 等于三，这是我们第二问的关键。 接下来要求这个 d q 是 不是就好求了？为什么呢？因为我们很容易得到这个三角形和这个三角形是相似的，为什么要找这样的一对相似三角形呢？因为我们有比例线段。大家看啊，这是五，就这段是五，这段呢是十一加 x， 而这一段呢，是五加 x， 这段是三。哎，这些是不是都是已知的比例线段啊？我们都用 x 表示出来了吧，刚好是不是就能构造一个方程啊？这也和我们一开始讲的要找比例线段解决相似三角形的时候，这是突破口吗？好，再根据我就不写了，这个绿色和这个绿色三角形相似，也就意味着这一段 五加 x 比上这段的三等于这段十一加 x 比上剩下的五，很容易解出 x 等于四。前两问轻松搞定，关键来到第三问， 第三问，此时 e 点就不再是终点了，而是一个三等分点，也就是我们可以令 b e 为 x， 那 e c 的 长呢？是二 x。 好，剩下的条件就是该相连的相连延长，然后再相交。如果这一对线段是一比 n c q 令它为一 d q 为 n 的 话，要用 n 的 代数式表示。 c g 比 d q， c g 在 这里， b q 在 这里啊。其实大家看啊，这个 c g 比上这个 d q 是 不是就是 c p 比上 a d 啊？因为这一对三角形是相似的，六条边中我们一条边都不知道， 这是不是就是我们的问题了。哎，有同学一开始就觉得这你直接用它的话，似乎是解不出来的，但是你找不到原因。现在我们根据一开始讲这个三条边针对相似三角形的，我们就找到依据了吧。 哎，你看这一对相似三角形和这一对相似三角形是不是一条边都不知道啊？我们只知道什么呢？我们只知道这半条边 cd 好， 那肯定呢，就要想办法再去解决新的问题，也就是利用转化了，或者是构造辅助线了。那接着我们再来看啊，我们知道什么？ 我们首先知道一比 n， 一 比 n， 就是 这段绿色比，这段是一比 n， 它是不是一个比例线段呢？那我们就围绕一比 n 做辅助线呢？那就是把 eq 给延长，把 ad 给延长，这个焦点我们记作 w 点， 这个时候我们发现这一个红色三角形和这个红色三角形是相似的，而且我们知道了三条边，那就可以了呀，而且这三条边中，其中这个一比 n 是 相似比，还知道 ec 对 不对啊？那我们就很容易把 dw 给表示出来了吧。 哎，这就是思路啊，三角形 d w q 包括这个辅助线，这个 w 点是怎么做出来的？我都讲了啊， d w q 是 相似于三角形 c e q 的 好，那相似比 d q 比上 c q， 等于 d w 比上这条已知的 e c， 那 很容易啊，就把 d w 给求出来了吧。二 n x 我 就不解释了啊， 因为这个是已知的，这个是已知的，而这个 e c 也是已知的，是不是啊？四个里面知三求一嘛？ 好，我们接下来呢，我把这个 dw 就是 用二 n x 来表示，那有个人就说了，你就算求出 dw 有 什么用呢啊？我们先放在这里，条件越多越好，对不对啊？我们再来看， 根据平行四边形对边相等，就是一加 n， 那 我们就把这里也写成一加 n， 上面的 a d 呢，就是三倍的 x， 而 af 呢，也是一加 n。 好，有同学在这里就卡住了，因为我们再解，或者说你现在找不到其他的比例线段了呀，你也就找不到相似三角形了吧。你看，我们刚才是找到了这一段比，这一段是一个比例线段，然后从而有相似三角形，现在你还能再找到比例线段吗？ 有，这是一比二的关系，但是由这个一比二，你好像找不到相似三角形，对不对啊？那这个时候又遇到了一个困难，通常压轴题就是这样设置的啊，那就干什么？需要去挖掘隐藏条件，对吧？哎，你肯定是需要找一个中间量或者是隐藏条件了，那该怎么办呢？这个时候我们又回到了这个经验啊， 前两问要正的，我们可以当做后面的结论。那我们前两问的条件不一样啊，这是终点嘛，但是也给我们提供了一个思路，这两个三角形原来是全等的，我们现在再来看一下，这个红色三角形和这个红色三角形现在有什么新的关系吗？现在变成了相似，有没有发现 好？有同学问，为什么？因为首先这个红色三角形和这个红色三角形有一个公共的角，我们只需要再找一个角相等，是不是就相似了？你看这个绿色角等于这个绿色角，那这个绿色角的补角 是不是等于这个蓝色的角？因为平行线同旁内角互补，而上面这个绿色角的补角是不在这里，那也就是说这两个蓝色角也相等，所以这两个三角形相似。好，我们写上三角形 e、 p、 f 是 相似于三角形 e、 q、 c 的， 这一对相似三角形中我们又知道三条线段，为什么呢？大家看， 首先 e c 是 知道的吧， e c 同时 q c 是 不是也知道 q c 还有一个 e f 等于 b e， 对 吧？这也是 x 嘛，所以 e f 我 们也知道，你看，你看，我们首先知道了三条线段，而且你看这个 e f 和 ec 是 不是对应的线段啊？所以 e f 比上 ec 等于 p f 比上 q c e f 我 们知道等于 x， 我 写这里啊， x 比上 ec 二 x， 那 p f 我 们不知道， 但是 q c 等于一相似比，是不是一比二啊？那 p f 是 不能求啊， p f 等于二分之一吧。好，我们得到了一个隐含条件， p f 等于二分之一， p f 等于二分之一。有了之后，比例线段是不是就出来了？因为 af 和 p f 这个 f 点是不是就是一个比例线段点啊？于是我们又能够得到相似三角形了吧， 这一个绿色和这一个绿色，而且这两个绿色三角形中，我们知道第一条是 a w 这条边，我们知道第二条是 a f 这条边我们知道第三条是 p f 这条边。 其实我们还知道第四条 e f 这条边，我们知道四条边。那就可以把这三个这一对三角形的六条边全部给表示出来了吧，但我们需要的只是其中一部分。哎，好，我们首先把这个相似三角形写出来啊，三角形 a w f 是 相似于三角形 e f 的。 好，接着我们把能够写出来的边啊就都写出来。首先 a f 和 p f 是 不是相似比啦， a f 比上 p f 等于 aw， 我 们是已知的吧， aw 比上 pe 好 pe， 我 们不知道这个二 x 不是 pe 啊，二 x 是 ec， 但是大家想一想，我们如果能够把 pe 给求出来，表示出来啊，那 pc 是 不是就表示出来啦？因为 pc 是 ec， 二 x 减去 pe 嘛，而我们要求的其实就是 pc， 为什么呢？因为 pc 比上这个三 x， 它就是 c g， 比上 b g 吧，就是我们的目标了呀。 好，所以呢，到这里呢，我们虽然后面还有两个线段乘比例，我们可以不用了，用不上。好，我们把这个给解出来， a f 一 加 n p f 二分之一等于 a w 三 x 加上二 n x， 这没问题啊，比上 pe 好， 我们很容易把 pe 给求出来，等于二分之三倍的 x 加上 n x， 比上一加 n p e 给求出来啦。这一段红色的，那 p c 是 不是就等于 ec 减去 p e 啊？ ec 是 二 x 减去 p e， 一 加 n 分 之二分之三 x 加 n x， 很 容易得到。 p c 等于 一加 n， 分 之二分之一 x 加上 n x。 好 了， p c 是 不是用 n x 来表示了？这个 p c， p c 比上 ad， 就是 我们要求的 c g 比上 d g。 我 写在最上面了， c g 比上 d g， 就是 p c 比上 ad， 而 p c 我 们知道了，是二分之一 x 加 n x 比上一加 n， 而 ad 呢，是三倍的 x， 你 这样一比，首先 x 就 消掉了， 然后三写在这里了。最后就是二分之一加 n 比上三加上三倍的 n。 好， 你可以把分子分母同时乘以二，就是一加上二 n。 然后呢，这里是六加上六 n， 这道题就做完了。 所以这道题呢，它虽然综合的考察了全等和相似，但是呢，还是以相似三角形为基础，它里面有很多相似三角形，而且有正八，也有歪八， 但不管是正八还是歪八，是不是需要构造辅助线？我们都需要利用什么？都需要利用相似三角形的比例关系，对不对啊？而这个比例关系，它里面有六条线段，这是我们最没有底的地方啊，也就是 题目的难点。但是什么时候我们心里才有底呢？我们就要根据数这比例关系中边的个数，对吧？你如果有三条边的两条边要构成相似比，那如果你只有两条边呢？那肯定就用不上。 如果有四条边呢？那是最好的。而且我们如果要构造辅助线的话，那么我们的突破口也是寻找比例线段。好，这道题就讲到这里，大家好好体会一下 中考数学背后有无规律，最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考压轴专题，汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得。我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。 nice！ 这道题有一定的难度，首先，它是一个新定义问题，定义了一个中外比点。第二问，需要一定的几何想象力。第三问，它对于函数 与方程思想的综合应用考察的淋漓尽致，尤其是对于方程思想的理解。关于方程思想，我在之前的网课讲过很多次，现在就这一题，我再来提一下， 方程思想其实就是求的是未知数，对不对？假如我们有两个未知数， a 和 b， 要把 a 和 b 两个未知数求出来，我们要构造几个等量关系呢？也就是构造几个方程呢？关于 a、 b 的， 我们需要构造两个才能把 a、 b 给解出来。但有时候我们不需要把 a、 b 的 比例关系，或者是 a 和 b 的 某些关系。那此时我们还需要列两个等量关系吗？ 不一定，我们往往只需要一个等量关系，就能把 a、 b 之比给表示出来。但是对于这个等量关系有特殊的要求，通常是其次，是什么意思呢？我举个例子，现在啊，我们要求 a 比 b 等于多少， 那你得找两个等量关系，把 a、 b 分 别给解出来吗？也就是 a 等于多少， b 等于多少，分别要解出来吗？不一定，因为在题目条件中，有时候会因为条件不足，我们无法找到两个等量关系，我们只能找到一个等量关系，怎么办？ 比如说，我们找到了 a 乘以 b 加上 a 平方，再加上 b 平方，或者是减去 b 平方等于零，我们找到这样一个关于 a、 b 的 等量关系，能不能把 a、 b 给求出来呢？能， 因为我们在这个等量关系，等号左右两边同时除以 b 的 平方，这就变成了 a 比 b， 这就变成了 a 比 b 的 平方，这就变成了一。哎，你把 a 比 b 当做一个整体，是不就是一个二次函数能求出来了吧？好，刚才这个例子是可以满足条件的，因为我们是 a、 b 加上 a 的 平方，再加上 b 的 平方等于零，我们构造了这样的一个等量关系，我们只看等号左边。 这个等号左边有什么特点呢？它是一个其次式。我再讲一遍啊，什么意思呢？因为 a 和 b 两个都是未知数，那两个未知数都是一次方，所以整个呢，就是一个二次方，这里呢是一个二次方，这也是一个二次方。 每一项的次方数，也就是每一项的次数都相同，这叫其次啊，在初中我们就这样理解了啊，在高等数学里面有其他的理解方法要满足其次，就能够求得 ab 之比，而且只需要一个其次式。我再举个例子，比如说 a 的 三次方加上 a 平方， b 减去 b 平方， a 加上 b 的 三次方等于零，这是不是也是一个其次啊？每一项的次数都是三，对不对啊？ 你把等号左右两边同时除以 b 的 三次方，你就会构造出一个 a 分 之 b 的 整体，然后解一个三次方程，从理论上也是可解的，但通常不会给三次的。其次是只会给二次好，那什么情况下是非其次呢？比如说 a 的 平方加 b 加上 a， b 等于零，大家看，这就是一个非其次，因为中间这一项它是一个一次，旁边这两项呢，是二次。你这个时候你同时除以 b 平方，就变成了 a， b 的 平方加上 b 分 之一，再加上 a 除以 b 等于零。你看，因为非其次项， b 就 多出了一个 b 分 之一，它与旁边两个 b 分 之 a 的 整体不一样吧。所以这个呢，就不能解除 a 比 b 的 关系，因为你多出了一个啊，中间这一个非其次的这一项 好。所以呢，我把这个基本原理给大家讲啊。最后总结一遍方程思想，首先，如果你把未知数确定下来是两个，你要把这两个都给求出来的话，那通常是构造两个等量关系，难点就在于如何去寻找这个等量关系了吧。 但如果你设出了两个未知数，可是你要求的并不一定是这两个未知数的关系。你求的是 a 比 b， 那通常我们就构造其次式，而且只需要一个其次式就可以了。那如什么是其次式？刚才讲了不再对数好这道题啊，我们正式的开始从第一问开始。其实这个新定义，中外比点就是我们所熟悉的黄金分割 某一个线段，由于一个点一分为二，整个线段比上长的线段等于长的线段比上短的线段，这个点就叫中外比点。就黄金分割点， 现在有一个线段长度是二，然后呢， p 点是中外比点，而且呢， p m 要长， p n 要短，要求 p n 的 长，那就直接根据已知条件列关系是不就可以了？我们要求 p n， 我 们就令它为 x， 那 长的呢，就是二减 x， 整个是二，那就是二比上二减 x 等于 二减 x 比上 x， 你 很容易求出来啊。交叉相乘 x 就 等于三加减根号五，那到底是三加根号五还是三减根号五呢？ x 肯定要小于二，大于零，对吧？所以呢，最后就得到 x 是 三减根号五， 就是 p n 的 长。第一问送分，关键来看第二问和第三问。第二问用无刻度的直角圆规做一个点 c 点 c。 假如在这里把 a b 线段中外比，其实就是我们假如 a b 的 长是二的话，你要做出一个三减根号五的长度来，这该怎么办呢？ 哎，我刚刚讲到了啊，假如 a b 长是二，我们要做出一个三减根号五，那有同学说，为什么要假如 a b 长是二呢？因为上一题中 m n 是 二，上一题中的过程和结论能够为下一题带来提示和启发吗？ 好，那有同学说你这个长度是二，你现在是无刻度的直角和圆规，该怎么做呢？其实很容易啊，你把 a、 b 做出一道，怎么做呢？你用圆规是不是很容易做出中垂线啊？也就是说你很容易把 a、 b 的 中点给找到吧。 好，你把 a、 b 的 中间找到之后，左边这一段你令它为一，右边这段令它为一，因为两段是相等的嘛，那整个长度是不是就是二啊？可以这么理解吧。好，那关键就是你把二做出来了，这个三减根号五，这个点怎么做呢？好，那我们就来研究一下三减根号五啊，这就是我们的目标了。三好不好做？ 三是很好做的吧，你想一想，你这里这是一段，这是一段，你把 a b 延长，然后用圆规截取这样一个，那整个这一段长是不是就是三呐？ 哎，你把这个地方我们记住 q 点吧。好，三做出来了，根号五，怎么做呢？很多同学难在这个地方了，根号五啊，我们可以根据 一、二和根号五这样的一个直角三角形嘛，因为我们有了一，很容易做，也有了二，所以呢，根号五我们就做一。首先做一个垂线，这个垂线能不能用圆规做啊？很容易吧，因为你以这个中点，这个中点叫 m 点吧，中点和 q 点 为端点的线段，你做出一个中垂线，是不是可以用圆规和直尺啊？这你就不再解释了，做出了中垂线之后，你在这个上面再截取一段，这一段长度为一，能不能截取啊？能吧，你在这里截一段上去就可以了吧。 好，你这里做出了一个一，这边做出了一个二，那最后这个斜边是不是就是根号五啊？好，你得到了根号五了， 三是不是也有啦？你整个长度是三，对不对啊？ a q 的 长是三，然后你这段长叫做 p， 也就是你用 a q 减去 a p， 是 不是就是三减根号五啊？那有朋友说 a p 不 在 a q 上，你用圆规，同样的以 a 点为圆心，然后圆规打到 p 点上，然后你再画一个弧下来嘛，这个地方， 这一段是不就是根号五啊？那整个长度是三，所以三减根号五，就是红色的这一段三减根号五，你再把红色的这一段截取，从 b 点开始，往左边截一段三减根号五，那这个 c 点的位置就定下来吧。三减根号五，这就不再追数了，自己去画图。 所以这道题第二问需要一定的想象力，我们首先可以根据第一问的提示，想办法得到一个三减根号五的线段就可以了。三很容易得到，那根号五呢？就通过这样一个一二根号五的直角三角形。好，我们重点来看最后一问，第三问， 第三问。首先是一个动点问题，有一个动点 b 在 第一象限内，那么无论 b 运动到何处，就能得到一个矩形，这个矩形和一个反比例函数会有两个焦点 e 和 d 点，同时这个反比例函数和矩形的对角线有一个焦点 f 点。 刚才我们讲的这些都是动态问题，没有限制条件。什么叫限制条件呢？我们不知道矩形的形状，也不知道反比例函数的形状。好，现在限制条件来了，限制条件是这些焦点啊， e 点、 d 点和圆点构成一个三角形，这个三角形是等腰直角三角形。你看啊，这种限制条件就是非常重要的解析，关键呐，你想想动点问题， 他是天马行空的，动点可以到处跑，那你要把动点的相关位置或者是关系求出来的话，一定需要限制条件对不对？所以这就是一个限制条件，或者叫静态关系。换句话来讲，无论这个 b 点怎么动， 无论这个矩形是如何形状，无论这个反比例函数出现在哪里，但一定要满足等腰直角三角形，这就是静态关系。 现在问的是，在满足等腰直角三角形的情况下，这三个点是否为这三个线段的中外比点并证明好。大家看啊，我们的目标 是限制条件出发，这个限制条件给的是等腰直角三角形，但它并没有说明哪一个角是直角，对不对啊？所以很明显，我们首先要看什么分类 讨论，这是我们的出发点。那如何分类讨论呢？就讨论角 e 是 直角，角 d 是 直角，或者角 o 是 直角的时候，那首先就能排除角 o 是 直角，对吧？所以就只有两种分类讨论的情况，第一种情况是当角 o、 e、 d 等于九十度。第二种情况是当 角 e、 d、 o 等于九十度。那我们分别就这两种情况来判断，做三次判断，中外 b 点一共要做六次判断， 那看起来就比较复杂了。好，那我们首先呢判断，当角 e 为九十度的时候，再回到我们的目标，要判断中外比点，其实就是线段之间的比例关系，对不对啊？ 那换句话来讲，我们只要把 c、 e 和 e、 b 他 们的比例给求出来，并不用把 c、 e 等于多长， e、 b 等于多长给求出来好。但是呢，现在呢，有有三条线段啊，都需要我们求中外比的关系，那我们得一个一个线段，具体求吗？不用，我们可以设 而不求，这就是方程思想了。我们可以设这一段长是 a， 这一段长是 b， 根据矩形的关系，下面就是 a 加 b， 再根据等腰直角三角形这两条线段相等，很容易得到。这个三角形和这个三角形是不是全等的关系啊？也就是啊，我们先写第一种情况， 三角形 e、 c、 o 是 全等于三角形 d、 b、 e 的 这两个三角形全等，也就意味着这一段 a 就 等于这一段的 a， 这一段的 b 就 等于这一段的 b。 好， 那这一段呢，就是 b 减 a。 哎，我们把很多线段都给表述出来了吧，利用的是首先设两个线段，再利用等腰直角三角形，有一线三垂直的三角形，全等。 好，那我们现在要求的中外比点， e 点和 d 点就很明确了，求 e 点呢，其实就是求 a 比 b， 求 d 点呢？就是这段 b 减 a 比上 a。 但是我们要满足中外 b 点，这两条线段的关系到底是多少比多少呢？我们现在是不是还不知道啊？于是我们需要根据第一问，进一步去做准备工作。 这里 p、 n 是 三减，根号五，而 mp 是 长的线段， 根号五减一。好，那么无论是长比短还是短比长，我们是不是都可以把它们的比例给求出来？长比上短等于 二分之根号五加一，这很容易得到啊。短比长呢，也很容易得到。短比上长等于 二分之根号五减一。好，那换句话来讲，我们不管是 a 比 b， 到底谁长谁短，只要是两条线段， a 和 b 之比为二分之根号五加一，或者是二分之根号五减一，只要满足这两个中的一个，那加一定就是 中外比点，对不对？好，这也是我们的一个准备工作啊，这是我们的目标，我写在这里了，现在我们把 a、 b 给设出来之后，你现在直接去求 a 比 b 等于多少？你能求出来吗？ 不能求出来对不对啊？我们还差什么？根据刚才我们讲的方程思想中要求两个未知数 a、 b 之比，我们可以把 a 和 b 都给求出来。那最好，如果求不出 a 和 b， 我 们至少要找到 a 与 b 的 其次关系，对不对啊？哎，要找几个？只要找一个就可以了。 那 a 和 b 的 其次关系是什么呢？你如何去寻找呢？接下来我们就要看题了啊，这给了我们一个反比例函数，对不对啊？ 反比例函数，这个条件你用上了吗？没有用上啊，条件你都没用完，这题你能解出来吗？不能，所以接着我们再来看反比例函数，反比例函数出现在几何图形中，我们只能用什么？只能用这个 k， 对 不对啊？哎，这里给出了 k 大 于零这个一点中， k 是 不是等于 a 乘以 b， 这没问题吧？根据 d 点呢？我们又能得到 k， 同时还等于 b 减 a 乘以 b， 对 不对啊？ b 减 a 乘以 a 加 b。 好， 大家看啊，这个时候我们得到这个等式，做一个化解了， ab 等于 b 平方减 a 平方，这是不是一个关于 ab 的 其次式的等量关系啊？ 那我们有了这一个式子之后，能不能求出 a 比 b 了，就能了吧。哎，那接下来的思路啊，剩下的所有事情都是体力活了。好， 我们把这个其次关系啊，再做一个化简吧，减去 ab 等于零。好，这个式子呢，我们记住，一式是一个非常重要的式子，接下来我们就来讨论 e 点、 f 点和 d 点是不是中外比点了。首先来看 e 点， e 点关于 e 点的讨论， e 点呢，就是用 a 比上 b 是 不是就可以了？哎， a 比 b 等于多少呢？ a 比 b 等于多少？我们就根据这个一式， 根据一式把一式做一个化简等号左边两边同时除以 b 平方，得到一减去 a 除以 b 的 平方，再减去 a 除以 b。 好， 你把 a 除以 b 当作一个整体，换个圆就可以了吧，很容易求出 a 比 b 等于二分之负一加减根号五。那你想想，两个线段都是正数，对吧？不可能出现负数，所以这个减根号五就没有了，就是加根号五，大家看， a 比 b 等于二分之根号五减一，那是不是就是 这一项啊？短比长，对不对啊？所以，哎，就得到了。所以 e 是 中外比点我就不说了。好，我们再来看 b 点关于 b 点的讨论， b 点是不是中外比点，就是用这段 b 减 a 比上 a 就 可以了吧？ b 减 a 比上 a。 哎，那直接可以化简，就是 b 比上 a 减去一，而 a 比 b， 我 们是知道的吧，那 b 比 a 不 就是一个倒数啊，就是根号五减一分之二，再减一，你做一个分母，有理化，最后很容易得到 二分之根号五减一好，二分之根号五减一，刚好也是短比长啊，所以 d 点 d 也是啊，等分比点好，我们得到了 e 点和 d 点了。在角 e 等于九十度的情况下，还有一个点 f 点，这个 f 点呢，就稍微麻烦一点了， 我们再来讨论关于 f 点，这个 f 点呢，就稍微麻烦一点了，我们再来讨论。关于 f 点。首先你可以把它认为是一个反比例函数 和这个 o b 一 次函数的交点，你把反比例函数的解析式我们有了一次函数的解析式是可以表示出来的，因为 b 点我们能够用 a， b 来表示，就是用这个小 a 和这个小 b 来表示，那你把这个一次函数和反比例函数连立，就能得到 f 点， 这是一种方法，可以的。那如果不用这种方法，直接用几何关系做，可不可以呢？也可以，我们这样做，我给出第二种方法，我们可以令 f 点的坐标是不是可以用横坐标来表示啊？这叫设横表中啊。 f 点的坐标我们用 m 和 k 来表示了，而这个 k 是 不是可以写作 k 是 等于 ab 的 吧？哎，我们尽量用未知数 ab 来表示。再根据相似三角形，你过 f 做一个垂线下来，这段长 b， a 比上 o a 的 长，是不是 f 的 重坐标比上 f 点的横坐标啊？这没问题吧？ 好，就得到一个关系， f 点的重坐标 ab 比上 m 比上 f 点的横坐标 m 等于这段长 b 比上这段长 a 加 b， 这个时候我们就可以把 m 给解出来， m 可以 用 ab 来表示， 根号下的 a 平方加上 ab， 这没问题啊，好了， f 点的坐标是不就求出来了， 因为 f 点的坐标中只有 m 这一个，我们要设的多余的一个参数，对不对啊？好，那接下来我们就可以把 o f 的 长以及 b f 的 长都给用未知数 ab 来表示了吧。然后又回到根据其次式去求比例关系了，很容易得到。 o f 的 长等于根号下就是 m 的 平方和 ab 除以 m 的 平方，而 m 呢，又用这个来表示。我们直接解结果了， a 的 平方加上 ab， 再加上 a 平方， b 平方除以 a 平方加上 ab， 这个计算过程是有一点点复杂度的，但没有难度。 o f 求出来，再求 b f， 这个 b f 就是 o b 减去 o f 吧，我就直接写了啊， b f 等于 根号下的 o b 的 长， a 加 b 的 平方，再加上 b 的 平方减去 o f 的 长，就这一段直接写了 a 平方加 ab 加上 a 平方， b 平方除以 a 平方加 ab。 好 了，那有同学说，你现在要求的就是 o f 比上 b f， 对 不对啊？你这个 o f 比上这个 b f 全都是 ab 这种复杂的，还有根号的，还有叉的关系，那你该怎么求呢？就会很麻烦， 这该怎么办呢？这个时候我们再做一个换元的处理。什么叫换元呢？根据一点和地点的讨论呢？我们已经得到了 a 比 b 的 关系了吧， a 比 b 的 关系是不是在这里啊？那我们可以另 a 等于负一加根号五倍的 t， 你 有没有这个 t 的 无所谓啊， b 等于两倍的 t， 可不可以？那也就是说，我们接下来把 a 和 b 全部都用什么表示了？都用 t 来表示了吧，这个 t 最后肯定会消掉的。把 ab 带入到这样的一个表达式中去， 是不是就能够得到线段的比例关系了？哎，没问题，好了，那我们接下来继续求线段之比啊，求这个线段之比。我给大家一个经验，你看这里是一项 o f， b f 是 两项，那两项肯定比一项要复杂，对不对啊？那我们尽量的让复杂的再分子， 而不复杂的简单的再分母，这是我们常用的一个思路啊，倒数法也是这个思路，所以我们尽量的用 b f 去比上 o f， 是 一样的嘛。好， b f 比 o f， 把这个 a b 带入到这个里面去，用 t 来表示，最后很容易得到。 现在你把 ab 带进去，然后写，你会写一个长长的式子。那我们不妨呢，先把 o f 和 b f 啊，先给求出来吧，做一个化简。我们先来化简 o f， o f 等于根号下的，你把这个 ab 用 t 来表示，带进去之后， 六减二倍，根号五加上二倍，根号五减二，再加上有点长啊。分子二十，四减八倍，根号五比上分母，六减二倍，根号五 加上二倍，根号五减二，虽然比较长，但是有些是可以消掉的倍的 t。 好， 最后化简，得到根号下十减二倍根号五的 t。 再来看 b f， b f 六加二倍，根号五加四，而减去的第二项就是 o f 减去根号下有一个 t， 十减二倍，根号五倍的 t， 那这个六加四，我们这里就直接写成十了，十加上。好，现在 o f 和 b f 都用 t 来表示了吧。好，你做一个比例关系， b f 比上 o f， 最后就得到 t 就 消掉了，根号下十加二倍根号五， 减去根号下十减二倍根号五，再比上根号下十减二倍根号五。大家有朋友觉得啊，根号里面有根号是很难算的，其实啊，并不难，我们做一个 分母有理化，我把这个过程写在上面吧，很容易得到。十减二倍根号五，就分子分母同时乘以根号下十减二倍根号五啊，所以你就变成了根号下八十 减去十加二倍根号五，而根号下八十又变成了四倍根号五。四倍根号五和二倍根号五又变成了六倍根号五啊，减一十，然后再做一次分母有理化，同时乘以十加二倍根号五，分母呢，就变成了八十， 再把这个式子做一个最后的化简。四十倍根号五，我就写在下面了，加六十减一百，再除以八十，很明显吧，二分之根号五减一，所以这个 f 点也是啊， f 点是中外 d 点。 好，那我们刚才呢，就讨论了两种情况中的第一种情况，当角 e 等于九十度的时候，接下来我们再来讨论，当角 d 等于九十度的时候，就全部做完了，这个计算过程和方法思路是一模一样的，那接下来呢，我就快速的讲一下了。第二种情况，我先把现在的给擦掉， 好讨论。第二种情况，当角 e、 d、 o 等于九十度的时候， e、 d、 o 等于九十度，那就是这个蓝色三角形和这个蓝色三角形全等了吧。三角形 e、 b、 d 全等于三角形 d， a、 o， 这个是 a， 根据全等的关系，这就是 a， 这个是 b 的 话，这个就是 b， 然后 c， e 就是 a 减 b， 这一段 co 就是 a 加 b， 再去寻找 a b 的 其次式关系。同样的，根据反比例函数，你看这一块的面积是不是等于 k 啊？也就是 我写在下面分割一下， k 等于 a 减 b， 乘以 a 加 b， 同样的等于这一个矩形的面积 ab。 好 了，我们得到新的这个其次是和上面这个其次是是不一样的啊。上面是 b 减 a， 看到没？这里是 a 减 b。 所以 当 等腰三角形的直角在不同的位置的时候，会出现不同的全等三角形，也会构造出不同的奇次式，这个奇次式最后化简为 a 平方减 b 平方减 ab 等于零。好了，同样的方法啊，如法剖制。 关于 e 点，我们先来讨论这个 e 点啊， e 点呢？我们就用 a 减 b 去除以 b 就等于 a 比 b 减一。那现在只需要求 a 比 b 等于多少就可以了吧。那这个其次是等号，左右两边同时除以 b 平方，就是 a 比 b 的 平方减一，减去 a 比 b 等于零，你令 a 比 b 为一个整体，就是一个一元二次方程吧，很容易解得。 a 比 b 等于二分之一加减根号五，那你二分之一减根号五行不行啊？是一个负数吧，所以 a 比 b 只有是二分之一加根号五，你再把 a 比 b 带入到这里面去，就变成了二分之一加根号五减一，那不就是二分之根号五减一啊。 好，同样的满足短比长啊。所以 e 点呢？它是中外的点。关于 d 点，这个 d 点呢，就更好求了。 这个 d 点我们直接用 a 比 b 嘛。 a 比 b 等于二分之一加根号五。说这个二分之一加根号五，不是二分之一根号五减一啊，它就不是中外比点了吧？不是的，还有一个长比短，哎，是二分之一加根号五吧，所以 d 点也是 好。最后的。最后，我们就只来讨论这个 f 点了，我们用同样的方法来讨论关于 f 点，这个 f 点呢，每次都稍微复杂一点。首先 of 和 bf 都给表示出来， of 用 ab 来表示，我们用同样的方法啊， 首先 f 点的坐标我们记为 m 和 k 比 m， 然后呢，根据三角形相似 f 点的重坐标 k 比 m 比上 f 点的横坐标 m， 就是 这段长比上这段长等于 a 加 b 比上 a 吧， 等于 a 加 b 比上 a 很 容易啊，这个 k 我 们就记住 ab 啊， k 就 记住 ab 很 容易得到， m 等于根号加 a 的 平方， b 比上 a 加 b 好， m 求出来了，其实这个 f 点的坐标就知道了吧。哎，都是用 a b 来表示了，那么 o f 和 b f 呢，也能够用小写的 a b 来表示了，那我们直接写了 o f 的 长是根号下 a 平方 b， a 加 b 加上 a， b 加上 b 的 平方，大家计算的时候千万不要出错。 b f 的 长呢，又长一点，因为它是两个线段相减嘛。 a 的 平方加上 a 加 b 的 平方，其实 a 的 平方加上 a 加 b 的 平方就是 o b 吧。哎，我们开了一个根号勾股定律啊，再减去，减去 o f， 减去这段 o f a 平方 b， a 加 b， 其实后面都是体力活了，大家自己去算就行了，也没有什么新的方法可讲了。 再根据刚才一样换元令我们 a 抵 b 不是 都知道了吗？那令 a 等于一加根号五倍的 t， 而 b 呢，等于两倍的 t。 好， 你把 a 和 b 都用 t 来表示，代入到 o f 和 b f 中，很容易得到。最后 o f 长等于根号下十加二倍根号五的 t， 而 b f 的 长等于根号下 二十加八倍根号五的 t。 我 都没有化简啊，减去根号下十加二倍根号五的 t， 我 们最后做化简。好了，现在我们再来比较，用 b f 比 o f， 因为 b f 作为分子更加方便一些。 我把右边这一对给叉掉了吧，我们直接写在右边最后一次最后一步的计算， b f 比上 o f， 就 等于根号下二十加八倍根号五，减去根号下十加二倍根号五，再比上 根号下十加二倍根号五， t 都消掉了。首先这一块和这一块相同啊，就减去一，最后就得到根号下二十加八倍根号五，比上根号下十加二倍根号五减去一。 好，我们只管左边这一项就行了。左边这一项把上下两个根号写在一起，就是二十加八倍根号五，比上十加二倍根号五，这是在给大家计算啊，减去一，然后这个分子分母同时除以二是可以的吧，就变成了十加四倍根号五比上 五加根号五。这个地方呢，又稍微有点计算技巧啊，大家，大家一定不要算错，你可以把里面的啊分母有理化，就变成了 分子分母同时乘以五减根号五，就变成了二十，然后一十加上四倍根号五，乘以五减根号五，然后还有一个根号啊，我把这边左边的一个叉掉了吧，等下我们再把计算过程写在左边减一 好，最后呢，分母就变成了二倍根号五，分子写作三十加十倍，根号五减一。 你把上面的分子提一个根号五出来，其实就变成了我自己写吧。变成了根号五倍的根号下六加上二倍根号五，比上二倍根号五减一，这没问题吧？把这个根号五和根号五就消掉了。好，现在就越来越简单了吧。这个根号里面这一项是不是可以写成 一加根号五的平方啊？好，平方和根号又去掉了。好，最后就得到这一项。这一项的话是不是减去一个二啊？最后就是二分之根号五减一。哎，是不是也是短比长就做完了？ 因此 f 点啊，也是啊，中外 d 点。这道题的关键是什么呢？是设而不求。我们设出了 a 和 b 这两个未知数，构造出一个关于 a、 b 的 其次式，求的是 a 比 b 就 可以了。我们只通过一个式子来解决两个未知数的问题，这个思想大家一定要好好体会。什么是其次式啊？大家一定要好好体会。 计算过程有一点点复杂性，我给的是用几何关系，就是这个三角形和这个三角形相似，来得到 f 点的坐标，当然你也可以构造啊。刚才讲过了一次，函数和反比例函数求焦点， f 点的坐标复杂程度差不多，大家可以尝试一下。这道题呢，就讲到这里，大家好好体会一下 中考数学背后有无规律，最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考压轴正题汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得。我发现了很多很多有用的结论和规律，这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。 nice， 武汉的这道题呢，是方法谁都会，但是呢，大部分同学都算不出来，或者呢，只能半途而废。 那在讲这道题之前呢，我把依次函数解析式的求法中的一个非常特殊的方法叫两点式，专门的来讲一下，虽然这个两点式是高中的内容，但是呢，一点都不妨碍我们在初中阶段，甚至在考试中去用它。为什么呢？我给大家简单的先解释一下， 所谓的两点式是在坐标系中，如果知道了 a 点是 x 一 和 y 一 的坐标，同时又知道了 b 点是 x 二和 y 二的坐标，只要 ab 不是 平行于 y 轴的，不知道两个定点就能确定一条直线， 而且这两个定点是不是可以构造两个方程，用待定系数法去做啊？那么用高中的办法就是可以直接通过这两个点把解析式给求出来，就是 y 减去 y 一 等于 y 一 减 y 二，比上 x 一 减 x 二乘以 x 减去 x 一。 好了，有同学对于这个解型式呢，看起来是比较复杂对不对？其实根本就不复杂，我们把它分成等号左边 一部分，等号右边有两部分。我们先来看等号左边的这一部分和等号右边的这一部分，那么这是 我们任取 a 点或者是 b 点，然后呢，用 y 去减去你选的这个点的重坐标，再用 x 去减去你选的这个点的横坐标，那这里呢，我们选的是 a 点对不对啊？其实也可以写作 y 减去 y 二等于这一块的 x 减去 x 二，结果是一样的。 好，那么我们讲完了这三个部分中的，你看这一个部分和这个部分，还剩下这一个部分，这个部分呢，其实就是斜率，这个斜率其实就是这两个点的重坐标相减比上横坐标， 你可以用 a 点去减去 b 点，那就是 a 点的重坐标减去 b 点的重坐标比上 a 点的横坐标减去 b 点的横坐标，你也可以用 b 点减去 a 点，也就是说，你也可以用 y 二减 y 一， 比上 x 二减 x 一， 那其结果是一样的，其实就是斜率 好。那大家想一想啊，我们这样写这种新的方法有什么好处呢？它的好处就是可以根据两个点的横重坐标，直接得到 依次函数的解析式，你只要做一个简单的化简就可以了，而不需要通过待定系数法去解方程，对不对啊？ 那有同学说，你这个方法其实并没有待定系数法好用，并不是的。为什么呢？我们刚才说了，待定系数法需要解方程，而这个呢，是直接写结果，当 a、 b 两个点的横中坐标特别复杂的时候，你解方程就会很难，很复杂，那就直接写出来就体现出很大的优越性了。比如说这道题。好，那有同学说，你直接写，这是高中的内容，高中的方法， 或者叫高中的公式，你在初中会扣分。那怎么办呢？我们可以假设 y 等于 k， x 加 b， 这是我们的代定系数法。然后呢，分别构造一个方程组嘛， y 一 等于 k 倍的 x 一 加 b， y 二等于 k 倍的 x 二加 b。 好， 然后呢，虽然 这个方程我们写出来了，但我们不用去解，我们可以直接解得，我们就直接写结果，解得 k 等于 k 是 多少呢？ k 就是 这一块，你直接写结果嘛， y 一 减 y 二比上 x 一 减 x 二，这个 k 的 得来到底是不是你解方程得来的呢？没有人会去计较， 哎，你把这个过程写出来，如果你直接解方程得，你解得了，这个结果呢，却是你直接用公式得来的，你 k 都知道了，你 b 是 不是也可以直接解出来了，或者叫直接写出来了？能理解我的意思吗？也就是总结起来叫用待定系数法去写过程， 用两点式直接写结果，这个时候既用到了高中的待定系数法不会扣分，同时又用到了两点式的公式，节约了时间啊，我这就不再赘述了啊。下面我们来看这道题， 给出一个抛物线和 y 等于 x 交于两点，要求焦点的坐标。这里呢，啊，我就直接写了。第一问，特别简单，负二和负二， b 呢，是六和六，因为 ab 的 主流关系也知道了好。第二问呢，其实也很简单， p 点是在 ab 下方抛物线上的点，那 p 点我们可以令他的 坐标横坐标为 t 重坐标呢，就是四分之一的 t 平方减三，这叫设横表重，因为在 a b 下方的抛物线上，所以横坐标的范围是大于负二小于六，这个范围非常的重要，因为后面呢，我们会作出根的取舍 过 p 点做 x 轴的平行线交于 m， 做做 y 轴的平行线交于 n。 啊，那我们很容易把。呃，最后呢，有一个 pm 等于 pm， 求 p 点的横坐标，这就是个典型的寻表列检查啊。 首先我们可以把 pm 给表示出来，就是两倍的绝对值的 t， 对 不对啊？你看，我在这里画一个示意图，假如 p 点在这里， m 点是过 p 点做 x 轴，平行线和抛物线的交点， m 点在这里，那 pm 是 不是就是两倍的 p 点的横坐标的绝对值啊？这就不再解释了。然后呢，再做平行于 y 轴的线，交于 n 点， 很容易得到啊， p n 就 等于就是 t， 因为 n 点呢，在 x 等于 y 这个直线上， 再减去 p 点的重坐标四分之一 t 的 平方减三， 好化简，得到负四分之一 t 的 平方加 t 加三。现在我们的关系是两个线段相等，那不就是这一块负四分之一 t 平方加 t 加三等于两倍绝对值的 t。 好，最后呢，我们只需要求 p 点的横坐标，就是求 t 就 可以了。那就是解这个方程嘛，解这个方程看 t 的 解是多少。 那这个方程中有绝对值对不对啊？那我们就分类讨论呗，去掉绝对值，当 t 大 于零小于六的时候，因为 t 是 有一个负二到六的范围内嘛，我们肯定是在这个 t 的 大范围内去进行分类讨论好，我们就可以得到绝对值， t 呢，就等于 t 最后四分之一 t 平方 加 t 减三等于零，最后我们解得 t 等于负六， t 等于二，我们发现讨论的范围是零到六，对不对啊？那 t 等于负六呢？就舍掉，留下 t 等于二，满足条件。 第二种情况，当 t 小 于等于零大于负二的时候，那这个绝对值的 t 呢，就变成负 t， 所以 这个方程呢，就变成了四分之一的 t 平方减三， t 减三等于零，我们解得 t 等于六加四倍根号三和 t 等于六减四倍根号三， 而我们很容易得到，这个范围是不在的，而这个呢，是在这个范围的，为什么呢？因为根号三是一点七三五嘛。哎，我们可以大概的估算一下，很明显呢，是在负二到零这个范围内，那综上所述就是 t 等于二和 t 等于六减四倍根号三。 好，这第二问呢，也很简单啊，但是这第二问的计算量就开始体现了，第三问的计算量呢，就更大了。我们来看第三问。第三问的提议其实很简单啊，过远点的直线 c、 d 交抛物线于 c 点和 d 点，那这个 c、 d 其实或者说这条直线它其实是过远点，但是到底呃是一个什么样的直线，具体的解析式我们是不确定的，也就说 c 点和 d 点呢， 它是两个动点，只要满足这个 cd 直线过远点，那是不是有无数种这种情况啊？但是却要满足 c a 和 b、 d 这两条线与 x 的 交点是 e 点和 f 点，而且这个 e、 f 两个点呢，和其他的定点构成了两个三角形，这两个三角形呢，有面积比为三比四的关系， 那也就说这个 c 点和 d 点就不再是动点了吧，因为有三角形面积 为定比。换句话来讲， e 点和 f 点的位置呢，就得是固定的位置，那 e 点、 f 点的位置固定，所以 c 点和 d 点也固定。现在要求的就是这个 c、 d 的 解析式。这该怎么办呢？直接法啊，没有任何技巧可言的直接法。那我们就首先 把 a 点的坐标已知条件负二和负二， b 点的坐标已知条件六和六都写出来，然后呢，我们就令 c 点的坐标为 m， 重坐标四分之一 m 平方减三，同时令 d 点的横坐标为 n 重坐标四分之一 n 的 平方减三。好， 这是我们很容易想到的，那接下来我们想一想啊， c 点和 d 点我们表示出来了，可是呢，我们设了两个未知数， 这两个未知数我们只有一个限制条件，是面积的限制条件，两个未知数都得求出来，我们才能得到 c、 d 的 直线，对不对啊？那该怎么办呢？似乎少了一个关系，对不对啊？因为你看，两个未知数只有一个限制条件，面积相等， 其实还有一个隐藏的就是 c、 d， 这个直线要经过圆点，又是一个等量关系。好，那所以呢，首先我们就把 c、 d 的 直线给表示出来，有了 c、 d 之后呢， e 点和 f 点其实也可以通过 c 点和定点 a， 以及 d 点和已知的 b 点给连立，都可以表示出来。因此这道题的思路其实我们就出来了。我再说一遍，我们虽然设出了两个未知数 c 和 d， 但是这两个未知数是一个 d， 就 能把另外两个未知的 e 点和 f 点给表示出来， 也就是说两个未知数是一个 d， 就 能把问题中的所有点给表示出来。那我们要解这两个未知数，得找两个关系，一个关系是过圆点是一个关系，还有一个关系就是面积之比。 好，接下来我们就来表示了啊， c 点和 d 点，我们知道了这个点的坐标，那你用待定系数法做解方程，麻不麻烦啊？非常的麻烦，我们不如用两点式 啊，我这里过程就省掉了，我就直接写结果了，你可以先构造一个方程啊，就是这样的啊，假装构造一个过程啊，方程。然后呢，你解得 k 和 b， 我 就不再写了啊，我就直接写结果，很容易得到 c d 呢？我们用两点式来表示， y 减去四分之一， n 的 平方减三等于分号， 分母是 m 减 n， 分 子是四分之一 m 平方减四分之一的 n 平方，然后乘以 x 减 n， 做一个简单的化简啊，化简得到 y 等于四分之一的 m， 加 n 倍的 x， 减去 m 乘以 n 除以四减三。其实啊，就是你解得 k 等于这个， b 等于。这个好， 因为过原点对不对啊？所以零就等于 x 等于零的时候啊，负 m， n 除以四减三，所以 m 乘以 n 等于负一十二。好，这是一个关于 m n 的 关系式吧，我们叫一式，再来一个关于 m n 的 关系式二式，我们把 m n 是 不是就求出来了？ m n 求出来了， c、 d 的 坐标是不是就求出来了？一切就迎刃而解了吧。或者 大家看，因为这一块是零，对不对啊？所以这一块呢，就是零。所以推出 cd lcd 的 解析式啊，是 y 等于四分之一的 m 加 n 倍的 x。 那 也就是说，如果能够把 m 加 n 给求出来，是不是 lcd 的 解析式也能求出来啊？ 好，不管怎么样，我们这是我们的第一步，第一步处理的是 c 点和 d 点这两个点所在直线的关系。接着我们再来看，因为 c 点我们设出来了 a 点，也是已知的，很容易得到。同理， lca 的 直线， y 加二等于分号四分之一 m 平方 减三加二，分母 m 加二乘以 x 加二。哎，你这个要是去用代进技术法解方程啊，都会非常的复杂的。这没办法，湖北就是这样的，它，它其实就是要你用高中的方法。 好，那摆明了就是这个意思，对不对啊？那我们也可以就是意思一下把，这个过程啊，我上面已经给出来了，去写一下，你或者你干脆直接就不装了啊，直接就这样写啊，应该也是可以的。我觉得啊，湖北这个地区应该是可以的，其他地区呢，还是建议写过程啊，保险一点，按照我之前的方法。 好，那么这个解析式我们写出来了之后呢，接着我们是不是还得到一点的横坐标啊？那当 y 等于零的时候， x 就是 x 是 一点的横坐标， 那我们就很容易得到一点的横坐标。等于二倍的 m 加二，除以四分之一 m 平方减一，再减二。好，最后做一个化简， e 点的横坐标就等于八除以 m 减二，再减二。你可以继续化简啊，就是通分 m 减二分之一十二减去二倍的 m， 这个计算其实不复杂啊。好，这个时候呢，我们就得到了 e 点的横坐标呢，因为这个三角形和 e 点有关嘛。好， 这就是我们的第二步。接下来同样的道理，我们就求 d 点的横坐标， l d b 我 们也可以直接写了， y 减六，因为 d 点和 b 点的坐标是不是都知道啊，还是两点式啊？等于四分之一的 n 平方 减三减六，除以 n 减六，乘以 x 减六。 同样的道理，我写在这里，当 y 等于零的时候， x 就是 f 点的横坐标啊， f 点在这里，为什么要求 f 点呢？因为这个三角形和 f 有 关，对吧啊？等于 负六倍的 n 减六，除以四分之一 n 平方减九加上六，其实算到这个时候，我们心里应该是有底的，因为这个四分之一 n 平方减九，其实刚好都是可以用因子分解的，而且和上面的 n 减六呢，刚好是一个二分之一倍的关系， 然后进而化简，得到 f 的 横坐标等于负二十四除以六加 n 再加六。那你可以做一个通分， 六加 n， 一 十二加上六倍的 n。 好 了，有同学算到这个地方呢啊，就不知道怎么算了。大家看啊， e 点的横坐标是用 m 来表示的， f 点的横坐标是用 n 来表示的，这是两个未知数。 那未知数越多越好，还是越少越好啊？当然是越少越好，对不对啊？那如何去掉未知数呢？我们的方法就是要消元，对不对啊？那你看这个一式是不是就提供了一个消元的思路啊？一式里面，你是不是可以令 m 等于负一十二除以 n， 或者是 n 等于一十二除以负 m， 这都没问题吧？好，那我们就令 m 等于负一十二 n 带入到下面这个 e x 的 表达式中去，很容易得到 e x 等于 一十二加上二，因为负负得正二十四除以 n 比上负一十二分之 n， 就是 m 减二，然后进而化简，得到 一十二 n 加二十四，比上负一十二减二 n， 那 其实就是一十二加六倍的 n 比上负的六加 n。 好 了，我们看一下啊，这个 e 点横坐标和 f 点的横坐标是不是互为相反数啊？ 那是什么意思？大家看 e 点在左边， f 点的右边互为相反数，也就意味着 e o 的 长度等于 f o 的 长度， 那也就意味着这两个目标三角形的底是不是相等啊？那也就意味着面积之比就等于高之比，对不对啊？ 好，所以我们就写在最左边啦。所以，而这个高是不是就是 c 点的重坐标和 d 点的重坐标啊？所以我们就容易写得 d y 等于负四分之三倍的 c y， 这就是根据面积之比的关系啊。因为这两个三角形的底是相等的嘛，所以高呢，就是四分之三的关系。但，但是呢，它又有一个相反数的关系嘛，所以加了一个负号，好再来看啊。如果你现在把 d 外用 这一块四分之三 n 的 平方减三， c y 呢？用四分之一 m 平方减三，带进去就比较麻烦。其实它们重坐标的比，其实就是横坐标的比，也就是 d 点的横坐标等于负四分之三倍的 c 点的横坐标。为什么呢？ 因为这两个三角形是相似的，那这条红色线段比，这条红色线段是不是等于这条红蓝色线段比上这条蓝色线段啊？ 所以高之比，重坐标之比就等于横坐标之比好，那等于横坐标之比是不就简单啦？因为 d 点的横坐标是 n 等于负四分之三倍的 c 点的横坐标 m。 好， 大家看看，我们得到了一个 m 和 n 的 关系， 同时这个一式里面，这里是不是又有一个 m 和 n 的 关系啊？那我们连立啊，一个是这个式子刚刚得到的，一个是 m， n 等于负一十二。我解这个方程很容易就解出来， m 等于负四， n 等于三， m 等于负四， n 等于三，那 m 加 n， m 加 n 等于负一， m 加 n 等于负一，大家看 c、 d 直线的方程， m 是 不是我们只需要求 m 加的，那不就变成了 l c b 啊，我就最后写出来了， y 等于负四分之一的 x， 这道题就做完了，所以这道题难不难呢？嗯，它的思路是非常直接的，没有任何技巧可言，就是设未知数， 然后表示直线，然后求另外的点，也就是 e 点横坐标和 f 点的横坐标。 然后根据我们最开始的分析思路，我们设了两个点， c 点和 d 点，也就是两个未知数， m 和 n， 必须找两个关系，第一个关系是过 o 点，哎，过 o 点得到了第一组关系，我们写在这里的右边这个地方，我们叫一式的。第二个关系呢，是根据面积得到的，那其实就是最后的这个方程，大家看左下角这个方程 一式，这个是面积关系。第二个式子呢，就是我们一开始得到了这个过圆点的关系，哎，两个关系解决，两个未知数都求出来了，那一切就迎刃而解。所以这道题呢， 他不难，但是特别的复杂，尤其是在计算的时候。这个一次函数解析式，如果你不知道两点是你去做的话，那几乎是做不出来的，而且的，而且啊，不光是武汉啊，很多地区啊，近年来很多地区 涉及到一次函数，在二次函数关系的时候，这个要求一次函数的解析式的时候呢，通常来讲，这个两个点，给出的这两个点啊，他一定会给出两个点，如果只给出一个点的话，是求不出直线的嘛，你必须得给出两个点才能确定一条直线，这两个点有时候他的坐标会比较复杂，那你必须得用两点式去做，不然的话，你几乎是算不出来的啊， 很多地方都是这样的，现在大家这个呢，要引起重视，我在四年前都已经讲过这个了，因为在四五年前就已经出现这个情况了，近期啊，出现的是越来越多了，大家好好体会一下 中考数学背后有无规律，最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考亚洲真题，汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。 nice！ 针对这样图形复杂，条件特别的多的，看起来很难的几何压轴题，我给大家一个解决的办法， 按照如下四点去做，那么再难的题你都会有思路，而且不会再去直接被劝退了。那么哪四点呢？第一点，我们要学会标注， 标注已知的条件。也就是说，你看，我们以第三问为例啊，有垂直，有线段相等，有垂直，还有线段相等和已知线段哎，有 一二三四五六七个条件，所以这个条件多的话，我们就得把它按序号给标注出来，这就是第一个叫标注已知条件， 同时条件非常的多，我们就需要把条件给聚合起来。什么意思呢？可能一号条件和 二号条件要放在一起去解决我们的问题，千万不要把它们孤立出来，因为你只看一号垂直，你只看线段相等是不可以的。 这一点是很多同学犯的错误啊，要把它给聚合起来，有可能一二三是要一起来看的。那如何聚合条件？我在二零二二年的这道哈尔滨的压轴题，也就是二零二三版的压轴通关，是有详细的介绍，大家自己去看就可以了啊，这是第一点非常关键。第二点要注意的就是 挖掘谁啊？挖掘隐含条件呐。什么叫挖掘隐含条件？说者容易做者难呐，这种隐含条件往往是特殊的图形 哎，这个特殊的图形往往是我们学过的，比如说这道题就是圆，有可能还有正方形啊，平行四边形啊，这样的一些图形，那总之这个圆 有的一些隐含条件，那圆周角的关系，弧弦角距之间的关系，垂径定律这些他就不会写在已知条件中， 他只要告诉我们的圆，就有和圆相关的一些基本性质了。所以这一点是最难的啊。要挖掘隐含条件，尤其是找到特殊的图形，这是最难的。 你找到了条件之间的关系之后，接下来我们就要利用条件了吧。第三点需要注意的就是要充分的利用条件。这句话说起来很轻松啊，其实是很难做到的，我们要分成以下三个点，第一个叫已知 不能少，这是什么意思啊？已知条件，你看一号、二号、三号、四号、五号、六号、七号这些已知条件一个都不能少，你千万不能遗漏，你漏掉了一个没有用，那这道题你几乎就解不出来，因为条件不可能白给你，这一点非常的重要啊，已知不能少，同时 引寒不要忘。哎，引寒条件你不要忘记了，也就是说，你只凭这七个条件，能不能解出来呢？很难，你得抓住引寒条件， 比如说圆就有弧弦角距啊，同弧所对的圆周角相等，垂进定律这一些，所以引寒条件你千万不要把它给忘了。 最后啊，还有就是一个经验呢，叫顺序使用就可以了。什么意思啊？你这些条件有一二三四五六七的编号，你往往就是先用第一个条件，再用第二个，或者是先用前面的两个，前面的三个。 也就是说大的方向来讲呢，是先用前面的条件，再用后面的条件。当然这不是绝对的啊，但是大部分的题都是这样的一种方法和经验。 好，这就是第三点。如何去利用条件。最后一点呢，就是我们的目标了，我们的目标是求某个线段的长，那么我们千万不要把目标给忘了，有些同学解着解着就糊涂了，对吧你，你连求什么，你要挣什么都忘了，所以我们要 明确目标，时刻都要明确目标，那么这个目标一旦明确之后，我们往往直接求目标是不可能的，因为这个题目是有难度的，所以需要转化。如何转化呢？叫逆向转化。 什么叫逆向转化啊？就是要求 a b， 那 有可能就变成了求 a c， 要求 a c， 有 可能变成了求 o h。 我 只是举个例子啊，就是从目标出发，逆向转化，转化到我们能求的那个量就可以了。那么在这个过程中，最重要的关键突破口是什么呢？叫 定量是关键。什么叫定量是关键啊？定量指的是题目条件中明确的给出了线段长和角度关系。 比如说这道题中的定量就是这个四倍根号二， a t 线段长是四倍根号二，这是我们的关键，以及定量的比例关系。你看两个线段比是三比二，这些就是定量的关系，它往往就是我们解决目标的最重要的条件，也就是突破口。 这以上呢，就是解决这类复杂几何问题的一般方法啊。这个方法呢，前面两点是和条件有关，第三点呢，是如何利用条件，最后一点就是我们的目标啊，其实这个是以中为始啊，终点就是起点逆向转化。那么 这道题啊，是比较复杂，但是啊，我们可以透过这一道题，把这一类题的思路都给到大家了，大家以后呢，在过程中去强化它就可以了。好，我来看题啊，前面两问很简单啊，我就直接简单的讲一下，题目条件是给了一个圆 圆有一个内接的三角形，其中一条边是直径，那 c 呢，就是九十度 n 点是这个弧的中点，那么 o n 是 不是就满足了垂径定律了，所以这里有垂直，而且 h 点呢，是 a c 的 中点，所以 o h 就是 这个三角形的中位线。因为 o 点也是 ab 的 中点嘛，所以第一问就正完了。好，再来看第二问，第二问。图二在第一问的基础上又多了条件， d 点 其实就这个 bc 弧的中点，那么 d 点平分的这个弧就会平分这个弦啊。总之呢，这里就是一个等腰三角形，然后有三线合一的关系。 根据 o h 是 中位线，这是直角，这也就是直角，这也是直角，所以就平行的关系就出来了啊。啊，这前面两问啊，我都不再讲了，因为对比第三问来讲呢，前面两问完全就是送分的关键就来看第三问呢，我们严格按照刚才的思路去执行一遍， 大家看一下啊，如何把复杂的问题变简单。第三问条件就很多。首先把条件都标注出来，在第一问和第二问图的基础上，有一个点， f 在 b d 上， f 做垂线，哎，这是第一个条件，叫一号，那么垂足在 这里啊，这是垂直的关系，同时呢，有线段相等，这是二号条件。 d g 等于 c h 啊，就 d g 等于 c h。 好， 我们根据前面第二问的关系和第一问的关系垂直定，你是不是也是等于 a h 的， 哎，这没问题吧， h 点呢，是这个 a c 的 中点嘛。 然后第三个条件，再做垂直的关系， fr 垂直于第一，哎，这又有一个直角，同时比例线段啊，三比二，这是四号条件了，这三比二呢，就是这两条绿色线段之比啊，长的比短的三比二。 第五个条件，又有垂直的关系啊，这是垂直的关系。好延长线呢，我们就很容易看得出来啊，这是第五个条件。第六个条件，还有两个线段相等，这是第六个条件。 f r 等于 c m， 这两条红色的线是相等的。 第七个条件，显然就是一个非常重要的一个定量关系吧，四倍根号二， a t 是 四倍根号二。好， 我们把这七个条件都给写出来了，标注出来了，哎，这是不是很多条件啊，于是我们就要充分的去利用聚合我们的一些条件，把一些条件给放在一起，通常呢，是按顺序的啊，你一般不会把一号条件和七号条件放在一起的啊，通常不会，但并不是绝对的。 那如何挖掘隐含条件又是我们的第二个需要注意的关键点呢？这里有缘对不对啊？ 啊，还有同弧所对的圆周角，大家发现了吧，以及平行的关系，这些都是我们的隐含条件，慢慢的我们的思路就有了，这个蓝色的角是不是等于这个蓝色的角，这两个蓝色的角相等吧， 同时根据上一问平行的关系，你看平行的关系，那么这个角内错角相等，是不就等于这个蓝色的角了？ 好，再根据这一问的第二问啊，三线合一，是不是你左边这个蓝色的小角也相等啊？那也就是说途中啊，这里有两个蓝色的角，第三个，第四个，哎，这四个蓝色的角相等， 这四个蓝色的角相等，同时这个直角也是显而易见的，这个角是直角，也是显而易见的。那么我们再根据这一段， a h 等于 d g， 那 是不是就有全等的三角形呢？ 三角形 d f g 全等于三角形 a e h。 好， 也就是，呃，这个绿色三角形和这个绿色三角形是全等的。三角形全等，对应边和对应角相等，就能给我们带来很多启发了。由这一对三角形全等，再根据我们的一些 图形中的特殊关系啊，我们很容易得到。第一个关键点来了， d a e f 为 矩形，哎，这就是我们的引含条件了。 d a e f 为什么是矩形呢？首先， d f 是 等于 a e 的， d f 是 平行且等于 a e 的 同时 把 d、 a 给连起来，为什么要给圆呢？我们多次利用圆的性质， d、 a 连起来之后，这个角 d， 也就是这个大的角是不就是直角了？它是直径 a、 d 所对的圆周角，有一个角是直角的平行四边形，是不是就是矩形啊？同时呢，我再写上啊， 角 a、 d、 b 是 等于九十度的圆周角，所以就正出矩形了。 好，这就是我们的第一步矩形。大家想一想，这个矩形是不是就是我们特殊的图形啊？是不是隐含条件呢？ 而这个矩形是怎么得来的呢？它是不是根据条件一和条件二，再加上圆周角以及平行线、三线八角的关系得来的？还有第二问的结论，那这些条件是不是都是结聚合在一起的？我们都是把一和二用了，后面的条件三四五六七还没用到，对不对啊？ 哎，但是我们已经得出了一个非常特殊的图形了，接下来我们时刻不要忘记目标，我们的目标是求 ab 的 长， ab 是 我们的直径。哎， ab 如何求？我们能不能把 ab 转化成其他的线段去求呢？可以的。为什么呢？ 根据第四个条件，三比二的关系，大家看啊， e、 f 比上 d f 是 三比二的关系，而 d f、 e 这个三角形很明显是和 a、 c、 b 是 相似的。大家看啊，因为这个大的红色角角 d， 这个角是不是同弧所对的圆周角啊？而第二步 角 f、 d、 e 是 等于角 b、 a、 c 的 啊？这个 d 这个角呢？就这个我把标注出来和这个是不是同弧所对的圆周角啊？根据这里是直角吧，矩形的这个角 f 是 不是直角啊？和 这个角也是直角吧，就很容易推出三角形 f、 d、 e 是相似于三角形 c、 a、 b 的， 也就是图中这个红色三角形和这个红色三角形是相似的。我们为什么要找这两个相似的三角形呢？因为左边这个小的红色三角形中，这两条边的比是二比三，是不已知条件，四号条件啊。 而右边这个大的三角形，我们要求的 ab 是 不是也会满足二比三比根号一十三的这样关系啊，就可以做转化了，所以很容易得到。 ab 比上 a、 c 是 等于根号 e 十三比上二的，因为 d f 比 f， e 是 二比三，那 d f 比上 f e 是 二比根号十三，那么对应边 a c 比上 ab， 是 不是也就是二比根号十三啊？好，所以呢， ab 比 a、 c 就是 根号十三比二。 哎，那这个时候是不是我们就做了一个转化啊？大家看是不是明确的目标，我们要求 a、 b 转化成了什么？把 a、 b 转化成了二分之根号十三倍的 a、 c， 那 也就是说我们要求 a、 b 就 变成了求 a c 了， a c 好 不好求呢？因为 我们要求定量的 a、 b 一定要依靠一个条件，就是四倍根号二，这个定量的条件对不对啊？ a、 b 和我们的四倍根号二隔得很远，那么现在把 a、 b 转化到了 a、 c 上来，而 a、 c 和四倍根号二是不是在这样的一个三角形中啊？ 而这个三角形是一个直角三角形。好，我们现在已知这个直角三角形的一个斜边，要求它的另外一个直角边该怎么求？现在思路是不是越来越明确了， 那如何根据四倍根号去求这个 a c 呢？好，我们发现现在遇到了困难了，做不下去了，做不下去了，怎么办啊？条件要充分利用，已知不能少。大家看到了没？已知条件我们用到了哪一些啊？ 一号、二号用到了，四号用到了，三号、五号、六号、七号是最后用的，对吧？那也就是说现在三五六 这三个条件能够帮助我们去根据 at 求 ac 啊。哎，这就是已知条件，你不能漏掉啊，对不对？ 那我们再来看三五六，这条件你不能漏掉啊，对不对？那我们再来看三五六，这条件是垂直的关系，也就是说我把这都给擦掉了啊， 我们现在的目标，其实我把这都给叉掉了，其实就是求这个 a c 嘛。好，三号条件是垂直的关系，在这里垂直，而五号条件呢，也是垂直的关系，在这里，这个直角六号条件是 fr 等于 cm， 那 就是这条垂直的这个线段， fr 等于这一段 cm。 好， 我们现在把没有用到的条件做了一个分析啊，那如何根据刚才这些条件去求我们的 a c 呢？大家看啊， 刚才说了，这里是一个直角，对不对啊？好，这个直角是不是在这条直线上啊？直角的顶点，那我们很容易想到的是什么？一线三垂直，是不是可以做一个出来啊？过 a 点做一个垂线， 好，垂足呢？我们记住 s 点，这是我们这道题唯一的辅助线，那这道题就做完了，你当这这个辅助线做出来之后啊，大家看看 这个三角形和这个三角形是不是相似的关系啊？第三步了啊，第三步的目的就是求 a c 的 长，那如何求 a c 的 长呢？首先做了垂线之后，根据一线三垂直的关系，三角形 a s c 是 相似于三角形 c m t 的。 好，这两个三角形相似，如果知道了相似比，哎，那么 a c 是 不是就求出来了？根据勾股定律嘛，因为还有一个斜边四倍根号二。那相似比是多少呢？我们不知道，但是我们知道啊，另外一个直角三角形就是目标。 另外，这个相似三角形中有一条线段 c m， 它是等于 fr 的 吧？好，那也就是说，如果能够得到 fr 和对应边 a s 的 比，那就是三角形的相似比了吧。而我们很容易得到 fr 是 等于 a s 的。 为什么啊？ 因为这是一个矩形，矩形的对角线，然后矩形的两个顶点往对角线做垂线，那这个垂线呢？肯定相等啊，你用三角形全等就可以了，这里我就不再赘述了。 a s 是 等于 fr 的， 而 fr 是 已知条件，等于 c m 吧，所以 a s 是 等于 c m 的， a s 是 等于 c m 的。 那这两个三角形的相似比就是一比一了吧。所以这个三角形是一个什么三角形啊？等腰直角三角形，等腰直角三角形。知道了斜边，那直角边 a c 是 不是就求出来了？等于四吧，所以推出 a c 等于四， a c 求出来了。那我要求的 ab 是 不是求出来了？ ab 就 等于二倍根号十三，那不就做完了？你说这道题难不难呢？图形很复杂， 但是我们的解析步骤只有几步呢？三步，第一步，第二步和第三步。第一步是根据已知条件和隐含的原中的一些关系，找到一个矩形啊，把这都给擦掉， 找到了这样一个矩形。第二步是明确目标，逆向转化，把要求的 ab 转化成了 a c， 其中的原因我也讲到了，因为 ab 离这个已知条件四倍根号二很远，所以就把 ab 转化成了 ac， ac 和四倍根号二在一个直角三角形中。哎，这就是第二步做了转化，那第三步就是求 ac 了，那 ac 怎么求？就把剩下的三号， 五号还有六号没有用到的条件再聚合起来，就找到了一线三垂直和三角形，全等过渡。哎，得到了这个三角形和这个三角形不但是相似的，还是全等的，那既然全等就是这一段，等于这一段就是个等腰直角三角形，那一切迎刃而解。所以这种类型的问题， 复杂的几何图形，这种，不论是证明还是计算，大家一定要牢牢的抓住这以上这四点啊，好好的体会。 解析的时候，你不会没有思路的，肯定不会没有思路，那更多的需要大家去画功夫的就是把这种方法和思路掌握了之后，不断的去强化，多找几道 比较复杂的题啊，或者是几何问题去练习一下啊，以后你遇到了复杂的问题，就用这四个步骤啊，你掌握好了，当然如何聚合条件去看我。呃，二零二三版的亚洲通关哈尔滨那道题也是有讲到的，你把它 这些方法啊结合起来，变成自己的套路啊，慢慢的熟能生巧，难题也会迎刃而解，再难的问题啊，都会有突破口的。 nice， 这道题的最后这一问是难点，它是一个动点锥子问题，但却不同于我们以往的动点锥子，因为它既不涉及几何模型，又不涉及坐标系中的待几综合，而是一种纯粹的利用代数工具来解决几何问题。 而且最后这一问，你要顺利的解决，至少要做三件事情。我先写出来，第一件事情叫转化条件，第二件事情， 求转化后的目标。哎，什么意思呢？你把条件转化了，那目标呢？也会随之变化。求完转化后的目标，我们还需要进行第三步，要验证可行性。 好，这三步我们先放着，从第一问开始。菱形啊，菱形的边长告诉我们了，那整个四边形就固定下来了，要求这个角的正弦，我就不解释了，五分之三。再来看第二大问的第一小问， 现在动点来了， e 点是 a d 延长线上的 e 点，那么 e 点的位置是在 a d 的 延长线上，既然是在延长线上，所以 e 点呢，也不能和 d 点重合，而是在 d 点的上面这样的一段射线上。其实， 所以这个已知条件，大家要审好题呀，连接 b e， 也就是说，不管 e 点运用到何处，把 b e 给连起来，然后左边这个三角形做轴对称到右边去，然后就会有一个 e f 线，这个 e f 直线 交射线 a c。 哎，大家看啊，他这没给的直线啊，是射线 a c 于 p 点。好，那换句话来讲，因为 e 点是在这样的一段蓝色线上运动，所以呢， f 点也就是一个动点了， f 点是动点， 而 ef 这个运动线段和固定射线 a c 的 交点 p 点呢，也会是动点，于是就有一个动点，两个动点和三个动点。第一问，当满足垂直的时候，也就是这个角是直角的时候，求 a e 的 长。 第二问，要求其中的一个动点 p 到 a b 两个线段与 a b 两个线段构成的差的最小值。我们先来看第一问啊，当垂直的时候，要求 a e 的 长，这该怎么办？那我们就把已知条件给写出来呗，这一段是五，这段是三，这段是四，这没什么好说的啊， 要求 a e 的 长，大家看啊，在菱形中这些，这个，这个菱形能不能白给我们？不会吧，菱形有垂直的关系，也就是说，呃，这两个同旁内角互补，于是这两条线平行，哎，同时 对称，是不是一个非常大的一个条件啊？他有很多隐含条件，推出来吧，至少左右两个三角形全等，那也就意味着这是一个角平分线，这是很容易看到的吧。大家看啊，有两个关键词，一个是角平分线， 第二个呢，是有平行线，对不对啊？平行线，那角平分线加平行线很容易得到等腰三角形，哎，这是我们的模型吧，那为什么这个三角形是等腰三角形呢？大家看看，根据平行的关系，有内错角相等，这个角和这个角是不是内错角啊， 然后再根据角平分线左右相等，那于是呢，就是左边这个红色的角等于左边这个红色的角，于是就有等幺三角形，那等幺三角形的幺是不是等于 d b 的 长六啊？所以这段长是六五加六，等于十一，就做完了前两问呢，算是送分的。最后我们来看最后这一问啊， 最后这一问，现在就不再满足垂直的关系了，而是一个动点，屁，那动点问题啊，最重要的是什么？轨迹对不对啊？好，那这道题中 p 点的轨迹是什么呢？ 我们来看， p 点是射线 a、 c 和对称后的直线 e、 f 的 交点，那至少我们知道 p 点的轨迹啊，它是在 a c 射线上的，对不对啊？因为它是射线和另外一个直线的交点嘛？好，现在的问题在于，我们并不知道屁点的具体位置， 或者说在射线上，它并不是这段射线上的所有位置，而是在射线中的某一段位置，或者是某一些位置。这就是我们的难点啊，诡计。我们能知道啊， p 点的轨迹一定是在设线上，但是是设线上哪一段或者是哪几段我们并不知道，那这样的一个问题呢，就为解决我们的最值带来了麻烦。好，我们这个时候呢，就要想办法再来分析提议了， 从第一步开始要转化条件。我们先来看我们的目标是什么呢？目标是 pa 减去 pb， 而 ab 是 两个定点， p 点是一个动点。 我们发现 p b 线段，目标线段和 p a 这个目标线段啊，并没有关系，这两条蓝色线段没有关系，那如果能够建立这两条蓝色线段的关系， 那是不是就多了一个条件，那就更容易解决我们的问题。能理解我这句话吗？我们从已知条件来看，这两条蓝色线段没有任何关联， 或者说直接去盯着这两条线段单纯的去看，而不是把这两条线段结合在一起看的话，就很难解决问题，因为这两个是孤立的。现在我们能否建立一个联系呢？ 当然可以，因为中间有一个绿色的直角三角形，大家发现没，这个对角线的交点，我们记住 o 点，这个直角三角形是不是就有一个关系？是勾股定律吧。哎，我们能不能利用这个直角三角形建立 pa 和 pb 的 关联呢？当然可以。 好，我这里呢，写详细一点啊，利用 r t 三角形，也就是勾股定律，能够多构造一个条件。哎，多一个 条件，条件越多，就越能解决我们的问题好。于是我们把 pa 和 pb 啊， pa 等于 po 加上 a o 没问题吧？而这个 po 不 变啊， po， 而 a o 的 长是等于四的。接着我们再来看 pb， pb 等于根号下 p o 的 平方加上 b o 的 平方，就等于根号下 p o 的 平方加上九。好了，那我们原来要求的 pa 减 pb， 是 不是就转化成只和一个未知数 p o 有 关呐？就变成了 p o 加四，减去根号下 p o 的 平方加九，这没问题吧？我们要求的就是这个目标代数式的 最小值，而这个最小值中有一个常数四，那就继续转化成 p o 减去根号下 p o 平方加九的最小值，对不对啊？然后再加上四就行了嘛。好，我们现在呢，简单地回顾一下， 要求 p a 减 p b 这两条线段一开始找不到关联，根据中间的勾股定律，我们把这两条线段之差就转化成一个线段的关系了，这一个线段变成了，就只和 p o 线段有关了吧。 好，那接着我们继续看这个代数式啊，要使这个关于 po 的 代数是最小，我们看左边减去右边，而左边随着 po 的 增大是越来越大，右边随着 po 的 增大也是越来越大，那两个同时都在增加的，再去相减，我们看不出它们的最值，问题 只有什么情况呢？如果是 po 加上根号下 po， 平方加九，如果是加法的话，它的最小值是不是就是 po 取最小的时候啊？ 这个能理解吧，如果是减法呢，就带来问题了，但是我们知道加法是可以解决问题的，我们就要想办法把不能解决的转化成解决的吧。那如何把减法变加法呢？我们可以 p o 减去根号下 p o 的 平方加九，就是原来的式子，把它当做分子，然后呢，分母为一， 然后再乘以分子，分母同时乘以加法， p o 加上根号下 p o 的 平方加九， p o 加上根号下 p o 的 平方加九，构造出一个完全平方的关系，在分子上 化简之后，等于分母 p o 加上根号下 p o 的 平方加九，而分子变成了负九。 那有同学就说了，你这个线段怎么变成了负数呢？因为我们要求的最小值 p a 减 g b 的 最小值是这一块还要加上四的吧，所以最后我们就转化为 p a 减 p b 就 等于四加上这一块， 也就是减去九，比上 po 加上根号下 po 的 平方加九。现在我们来看啊，要求代数式的最小值，是不是就是减去最大的数， 要让这个右边这一项最大，是不是就是分母最小啊？而分母最小，大家看是不是就是 po 最小啊？ 哎，那我们最后就转化为求 po 的 最小值，好到此为止呢。我们的第一步就算做完了，要求的 pa 减 pb， 两条线段之差转化成求一条线段的最小值，而且这个一条线段中，其中的端点 o 点呢，是固定的，只有另外一个端点 p 是 动点。 我们转化了条件之后，这道题的难度呢，就降下来了，也就解决了我们的最难的难点，转化条件。这其中用到了一些代数的方法，这和我们之前所做的任何几何问题呢，都有所不同， 这也是这道题的最大难点。好，接着我们再来看啊，要求 p o 的 最小值，我们来看 p 点，在这里，我们知道 p 点是在 a c 射线上的，那有同学说 a c 射线上要求 p o 最小值，那不就是 p 点和 o 点重合啊。 来，我们先来分析一下这个问题， p o 重合，大家可以想象一下，如果 p o 重合的话，这道题就太简单了啊。当然这个不是我们的理论依据啊，我们只是这么随口一提。我们来看一下 p 点，它的难点在于 p 点 在 a c 射线上，但是，但 p 点不是在 a c 射线的全部位置吧，也就说 c 点不会是 a c 射线上的所有位置，也就是说我们并不知道动点 p 的 范围。我们是不知道的，是这道题的难点，也就是说，也有可能 p 点是只能在这一段， 或者是这一段，或者是某一段，虽然 p 点刚才这些段都在 a c 射线上，但并不是任意位置。 好，那 p 点到底在什么位置呢？我们很难去求出来，因为这道题中对称轴是个洞的，你看这个 e d 对 称轴啊， e d 在 这里的时候，对称轴在这里，然后在这里，有可能在这里，然后再去做轴对称。那 p 点的位置呢，是很难确定它的范围的。于是我们又需要干什么？ 继续转化啊，我们就继续转化，要求 p o 的 最小值，大家看，还是这个直角三角形中 求 p o 最小值，是不是能转化成求 p b 的 最小值呢？为什么？因为在这样一个直角三角形中，这个直角三角形是不是动点问题的静态条件啊？它不会随着动点的位置的改变而改变这个直角吧， 那另外一个直角边是三，如果 o p 越小，是不是 b p 就 越小啊？好，要求 o p 的 最小值，是不是转化成求 b p 的 最小值？ 那有同学说，你这样有什么意义呢？你求 b p 和求 o p 都是求不出来的呀。我们再来转化求 b p 的 最小值，是不是就是过 b 点做一个垂线过来？ 有朋友说，为什么这个垂线是坐在 e f 线段上，而不是在坐在外面呢？因为这个角是一个锐角啊！为什么这个角是锐角呢？因为这个角是一个锐角，大家自己根据三角函数去求啊！好，所以这个高一定是坐在 e f 线段上的啊！所有的 大家值得怀疑的地方，我都给出合理的解释啊。那么垂足呢？记住 m 点，大家想一想， 无论这个三角形是什么形状，也就是一点的位置如何发生改变，那总会做出这样的一个高，也就是说总会有一个直角三角形，这个直角三角形的这个 b m 边， 它是固定的，为什么呢？因为根据轴对称的关系，这个 b m 是 不是等于左边做一个垂线这个点呢？我们记住 n 点， b m 是 等于 b n 的， 而 b n 是 很容易求出来的啦， 你可以用等面积法， a d 的 长我们知道等于五五乘以 b n 这个高等于整个这个三角形的面积的两倍嘛。哎，这个自己去算吧，我就不再解释了，很容易得到这个长度啊，是五分之二十四。 好，那有同学说，你求出了这个 b m 长是五分之二十四，有什么用呢？大家看， 我们要求的是 b p 的 最小值，而在这样的一个直角三角形中，又有一条直角边是固定的。五分之二十四啊，五分之二十四要求 b p 最小，那是不是就继续转化变成了求 pm 最小了？哎，求 pm 最小，那 pm 最小是小到多少啊？小到零。哎，那 pm 等于零的时候，所以 p b 就 等于 bm 等于五分之二十四为最小。好，现在的问题是不是就解决了呀？我们要求的是 p b 的 最小值吧，已经求出来了，你求出了 p b 的 最小值，是不是就能求出 po 的 最小值？求出了 po 的 最小值，是不是就求出了目标的最小值啊？ 大家看，当 pm 等于零最小的时候，那 bm 是 不就等于 pb 是 最小值了？那 pb 就 满足最小，它等于 bm 嘛，因为 m 点和 p 点是重合的，距离为零，那 pb 求出来了， pb 是 五分之二十四。 在这样的一个直角三角形中， o b 的 长是三，那 o p 的 长是不能求了。哎。 o p 等于根号下 p b 的 平方，减去 bo 的 平方，等于自己算呗。你把这个五分二十四代入到 p b， 而 p o 呢，是用三来表示，五分之三倍，根号三十九。好， p o 求出来了。我们要求的 p a 减 p b， p a 减 p b 是 不是用 p o 表示了？表示在哪里？这个绿色的圈圈部分吧，你把 p o 带上去，最后经过一系列比较复杂的计算，很容易求出 p a 减去 p b， 等于 你就是把这个 o p 啊，跟你的 o p 用五分之三倍根号三十九代替四减去九除以 p 五分之三倍根号三十九， 再加上根号下 o p 的 平方加九五分之二十四，然后继续化减 五分之三倍根号三十九减四啊，这些呢，又是一个比较复杂一点的计算，难度不大，是比较复杂。好了，这道题就算做完了吗？ 从理论上来说，其实已经解决了，因为我们已经找到了最小值，但是这个最小值的前提条件是什么？ 最小值的前提条件是 pm 为零，对不对啊？也就是 p 点和 m 点要重合，那现在 p 点能不能和 m 点重合呢？就是我们需要讨论的问题。 我们知道 m 点是运动的， p 点也是运动的，这两个动点能否重合呢？我们需要做一个验证啊，我们把这个验证呢写在第三步，最后验证 p 与 m 是 否重合。好，我们假如重合，也就是说呢，在验证这些问题之前呢，我们可以先画一些示意图，比如说 e 点运动到蓝色的位置， e 点在这里 用你自己画个图去尝试一下，如果你图形的大概的定性都不能画出来的话，那就有可能不重合，对吧？如果我们大概的画一下 e 点在这里的时候，那 b e 给连起来，于是呢做左边这个三角形，关于 b e 对 称，那大概啊在这里 好，然后呢？ p 点大概在这个位置，然后过 b 点做 这条蓝色线的垂线，就是我们的 m 点的垂足位置。哎，大概这个 m 点和 p 点是能重合的，对吧？我们从图形上是能看出来的。 好，那怎么去说明这个问题呢？那首先我们要把我们的问题做一个简单的转化，大家想一想，这个 m 点和 p 点重合了，而这个 p 点一定是在 a c 这条射线上的，那也就是说这个 m 点也是在 a c 这个射线上，因为 这条蓝色的对称后的线和我们的 a c 只能有一个焦点，而 n 点的对称点 m 点又是在 e p 这条只能有一个焦点的直线上，那也就是说这个 m 点呢，一定就和 p 点重合了。我再说一遍啊，我再说一遍，假如这里有垂直的关系， 这个垂足 m 点其实就是这个 n 点关于 e d 的 对称点，对不对？好，那这条红色的线，这条红色的线和我们的已知射线，它的交点两直线只有一个交点，相交的时候， 这个垂足 m 点也就是 n 点的对称点，如果首先它是一定会在这条红色直线上，它如果能够又落在 a c 上的话，是不是就是这条红两条红色直线的交点，而这两条直线的交点 一定是 p 点，对不对啊？因为这是已知条件嘛，你看 p 点。所以，哎，我们把这个问题呢，就转化为 只需要去确定定点 n 关于运动的，也就是动态直线动直线 e b 对 称点，这个对称点呢？我们记住 m 能落在能在 a c 射线上，那就满足条件了吧。刚才我已经分析过了啊，你想想，这个 n 点， 它的对称点 m 一定是在 ef 这个直线上，而这个 ef 直线和 ac 的 交点只有一个，那如果这个点首先已经在 ef 上了吧，如果这个点它能够落在 ac 上，它就一定是 ef 和 ac 的 交点吧。 而 e、 f 和 a、 c 的 交点，根据已知条件，它又是 p 点，为二的两个点只能出现在同一个交点的位置，那这为二的两个点是不是重合啊？啊？我已经讲得很清楚了，大家自己再理解一下。好，那我们只需要去做这样一个判定就可以了。那如何去判定呢？我们再来把条件捋一下， 定点 n 啊，这个定点 n 是 固定的动直线 e b， 这个 e 点是不是在这个 d a 延长线运动啊？那这个动直线，你看这条蓝色的线，这条蓝色的线，这条蓝色的线是不是运动的直线？这个动直线 e、 b， 它其实也不是完全自由的， 它有一端点是固定的，哎，有一端点固定，这个固定的端点是不是这个 b 点是固定的，而另一端点，另一端点是有轨迹的，另一端点有轨迹，那其实这个 e b 线啊，这个 e b 线 e b 线，也就是对称轴，它其实是半自由状态，也就说只能是这样，这样，这样其实有点像绕着这个 b 点，只是说长这个 e、 b 的 长度不一样而已。在旋转 好，这是一个特点。接下来我们再回到我们的目标，我们的目标就是只要这个 n 点固定的 n 点。关于 e、 b 线段，这里有无数条蓝色的 e、 b 线 的对称点，这个 n 点的对称点能够落在 a、 c 这条蓝色的线上就可以。那什么时候能够落照呢？我们首先知道，当 e 点足够远的时候，这个对称点是不是在 a c 的 下方啊？是在这里吧，一开始我们画的嘛，是在下方，而当 极限位置 e 点和 d 点，你看一切的动态，问题是不是从这个 e 点出发的？ e 点在不同的位置，于是就有不同的 p 点和 f 点嘛？好，当极限位置当 e d 重合， e d 重合的时候， e d 重合的时候，此时这个 m 点是不是在这里？这才是我们的 m 点，因为 e d 重合的时候，左边这个蓝色三角形关于 d b 关于，你看这是 e 点吗？ e b e b 这条线轴对称，是不是就对称到这边来了？其实就是菱形本身关于对角线的左右对称吧，那此时 m 点是不是在 a c 上方了？ e b 所以 起点极限位置 e d 重合的时候， m 在 a c 上方，而运动到一定位置的时候，我就不写啊，运动到一定位置的时候， m 又在 a c 的 下方，那其实这个 m 点就是相当于是有一个移动的过程吧，从 a c 的 上方， a c 在 这里， a c 的 上方，慢慢的移动到了 a c 的 下方来了，随着这个 e 点不断的运动， 那肯定会经过 ac 吧，经过 ac 的 时候， m 点就在 ac 上了，我就不再写了，这只是一个分析的思路，所以我们能够去验证 pm 是 重合的还是定性的分析。那总之呢，这道题呢？最后这一问是比较复杂的，也是我们很少见的一种类型啊， 需要经历三个大的步骤，条件转化。利用过渡的直角三角形的勾股定律，多一个条件，把两条线段之差，两条线段的问题，转化成一个线段 o p 的 问题。第二步，求转化后的 o p， 那 o p 也不好求，最后我们转化成求 b p， 最后呢， b p 不好求，我们又能转化成求 pm。 pm 很好求，一切就迎刃而解。那在解完之后，我们还要验证一下 pm 它是否能够重合，那用一些动态的分析，找出极限位置就可以了。这道题呢，就讲到这里，大家好好体会一下。有一定的难，有一定的难度，而且呢，是一道比较新的题啊，这种类型很少出现。 中考数学背后有无规律？最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考亚洲真题，汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得。我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。

哎，聊到二零一九年的深圳中考数学卷，我估计很多同学都有印象，当时考完感觉是不是特别好，觉得自己稳了， 结果呢，分数一出来，哎，傻眼了，这背后到底藏着什么玄机呢？今天呢，咱们就来把这份试卷给他掰开了，揉碎了，好好分析分析，看看他到底在考什么，又在告诉我们些什么。 没错，你没听错，这份试卷啊，他就是有秘密，而且这个秘密呢，就藏在三个关键点里头，一个是难度，一个是创新，还有一个就是未来的出题方向。 那咱们就先从大家最关心的那个点开始聊起吧。好，我们来看第一部分，难易度评判。 所以说，他到底是比去年难了还是容易了呢？这个问题啊，特别关键，因为很多同学考完的那个直观感觉，跟咱们坐下来仔细分析之后得出的结论，哎，可能还真不太一样。 你看啊，从数据上来看，非常明显，二零一九年的试卷，他在计算复杂度和文字阅读量上都给你降下来了， 这说明什么呢？简单来说，就是你做题的那个体感一下子就变好了，你不会轻易的被那种特别烦的计算或者绕来绕去的文字给卡住了。 所以你看，分析报告给出的结论是非常明确的，跟去年比，整体难度确实是下掉了，但是这就是全部的真相了吗？嗯，当然不是， 这张图表就把问题说的很清楚了，你看，虽然你做题的感觉变好了，但是整张卷子的基础题中，档题和难题的分值比例，还是那个雷打不动的五比三比二， 这个结构啊，可以说非常稳定，这才是真正的玄机所在。你看那些压轴的大难题，难度其实是降低了，但是呢，那些中档题的难度却悄悄的给你提上去了， 这就说明什么？说明考试现在越来越看重你在面对中等难度问题时候的解析策略和应变能力，而不仅仅是看你能不能死磕最后那一道大题。 好，既然这个难度结构发生了这么微妙的变化，那试卷在内容上又玩出了什么让人意想不到的新花样呢？来，我们接着看第二部分。 总的来说啊，二零一九年的试卷主要是在三个方面打破了常规，他开始引入一些新概念，然后呢，特别鼓励你一题多解，最后还给亚洲体来了一次大换血。咱们一个一个来看 这种新定义体啊，说白了，他特别考验你的现场学习能力，他考的根本就不是你背了多少公式，而是你能不能就在考场上面对一个全新的定义，立刻理解他，并且马上就能上手用。 就比如第十一题，他直接就把高中阶段那个定积分的思想给搬过来了。再来看这个一道题，多种解法，这句话可以说是完美的概括了这份试卷的第二个核心特点，他非常鼓励你思维的灵活性。 咱们拿第二三题来当个例子，就第一小问同一个问题，你既可以用几何的方法，比如斜边中线定律，也可以用代数的解析几何方法去解决，甚至用相似三角形也行。 它奖励的就不是那种死记硬背的学生，而是那些真正理解了数学概念，能够灵活地从自己的工具箱里调用不同知识的学生， 这个变化我跟你讲，绝对是最近八年来头一回。你想想，过去那么多年，二次函数题一直稳稳的坐在压轴题的宝座上对吧？结果二零一九年，圆的综合题居然取而代之了， 这个信号可以说非常强烈了，几何，特别是跟圆相关的综合应用，它的重要性正在被提到一个前所未有的高度。 那么，在这些变化之下，这张试卷到底考察了哪些核心的知识点呢？咱们来看看这个知识图谱。从这张知识点分布图来看呢，结论可以说是一目了然了。你看考试里八十 percent 的 内容都来自初二和初三， 这不就明明白白的告诉我们复习的重点到底应该放在哪了吗？当然了，虽然试卷在不断的创新，但总有那么几个铁打不动的核心考点，他们是每年都会跟你见面的。 你看看这个数据，像因式分解概率，还有数据统计，连续三年，他们都在几乎固定的题号位置上出现，说白了，这些就是所谓的必考点，也是你必须牢牢掌握的基础分。 所以你看这句话就点明了中考数学最底层的逻辑，不管题型怎么创新，他对三基的考察是永远不变的。 什么是三级呢？就是基础知识、基本技能和基本的思想方法。好啊，分析了这么多，现在到了最关键的部分了，咱们聊这些到底对你有什么用？ 根据这些分析，你应该怎么去调整自己的备考策略呢？我给你总结了一下，你的备考策略可以分成这么三步， 第一步，把三级砸的牢牢的，确保那些基础分一分都不能丢。第二步呢，要特别强调实际应用， 多去做那些跟生活实际有联系的题目，锻炼自己建数学模型的能力，最后也是最能拉开差距的一步，要有意识的去练习一题多解，把自己的数学思维给练活了。 所以说啊，这份试卷分析到最后，他告诉我们一件事，中考数学正在进化，他已经从单纯的考察知识点转向了更多的去考察你的思维方式和应用能力。 那么这个问题就留给大家去思考了，考试在进化，你的备考方式跟上节奏了吗？

嗯，初三的这一次模拟考试吧，这次咱们是初三开学的第一次的大型的模拟考试，咱们把这份试卷稍微分析一下。这份试卷我觉得选择题对于部分学生来说难度还是不太小。 前几个吧，不说了，前四个或者前五个都不用说，第六个我就觉得有的孩子根本就想不出来，他说是求这个线段的长度，好多孩子一想到线段的长度，立刻马上去想到 是不是要用到什么放到直角三角形用的，或者是用的两点之间的距离公式呢？实际这个题不是，这个题考的是什么，直角三角形的中线等于斜边的一半，如果你能想到这，那这个题就比较简单了。而第八题咱们是每年肯定是必考的圆圆，这里面肯定考试 圆心角和圆周角，你要能想到这，那这个题就比较简单了。第九题呢，好多人觉得这个题的题干比较长一点，并且看不懂，这就是咱们未来题， 考试的方向就是考试什么未来，肯定是他和现实去结合起来，实际去结合起来。咱们第一个要读懂题，第二个要看通图，他表达的什么意思，特别是当 h 等于零的时候，说明说明什么意思，你要注意这个问题。嗯，这个第九，我觉得第九题实际上比第十题难。第十题他你只要求到会求坐标就非常简单。知道。嗯，等边三角形，他那个 底边和高有什么关系？他实际上就能求出这个点的坐标。呃，下来就是一个什么题， 下来就是一个填空题，填空题吧，填空题，我觉得第十四题对于好多孩子有点难度，特别是有的孩子爱学的什么两点之间的距离公式，你 a 点和 b 点都能知道， a 点和 b 点知道了，用两点之间距离公式求出 ab。 但是有个问题，求出 ab 之后，你 aob 这个角度求不出来啊， 求不出来，所以说你求出 ab 白搭。这个题实际上你要求出什么呢？你 o b 和 x 轴的夹角和 o a 和 x y 的 夹角，实际上他两个刚好相同，各是三十度，算出来之后刚好把 o、 ab 就 算出来，他刚好也是三十度，然后咱们用 用圆就求出来了，理解吧。十五题呢？这个题不是太难，这个题你见到终点，一般来说咱们就是倍长中线延长吗？并且他出现一个比例关系，出现比例肯定是考什么东西考平行线的，那就延长跟把 b、 d 延长， 过 a 做它的平行线，以及把 c、 f 延长，刚好构造了两三个相似，三两两个全，一个全等三角形，两个相似三角形就可以算出来。这里面算出来之后，咱们少了个 abab， 怎么算呢？你过点 d 做一个垂线， 过 bc 的 垂线，然后直接就求出它的高的二分之一，然后就可以把这个等幺三角的高求出来之后就可以把 ab 求出来。说这个题不是太难啊，不是太难， 然后下来这个计算不说了，下来这计算第十七题要会画图就行，十八题容易错的就第二位，设的时候别的不能设，最多你要设能采采购多少套，一定不要设置最多能采购多少套。 十九题，这个统计题咱们就不说了，十九题统计最还有二十题和二十一题，二十二十题，咱们在锐角的三角函数，不管在任何时候咱们都不能去出错，知道吧？ 二十一题呢？这个题说实话不难。这个题挺简单的。这个题，我觉得这个题的阅读思考非常非常简单， so easy。 这个题咱们不能出错吧？三个都不能出错，你说这个题再出错，咱们就有点过了。 现在咱们说下什么二次函数，就是二十二题。二十二题。这个题，嗯，我不知道你第一个用一般式还是用顶点式，我觉得顶点式稍微快点，你一看啊，零和零零 他对成轴平是十四，然后顶点就出来了，用顶点是，然后又过了圆点，就可以把第一位，第一位就求出来了，然后以及他的图像也都画出来了。 第二位呢？说实话，你这个题不难。这个题你要把题看的就是令什么让 y 等于五，就是求出来之后，然后你大的减去小的，刚好就求出来了，第三个就是一个。第三个这个题也差不多，和第二位也差不多，他就是什么，他说四十五， 那在四十五左侧的五厘米和右右侧的五厘米，就相当于他过，他要过四十零这个点和五十零这个点，说明最终的这个落点要在四十到五十中间，那就说明什么意思？你令他等于零，令外等于零， 是不是刚好？就是这么？你把 x 就 相当于说变成了零负的零点零四 x 加上 t 等于零，那 x 刚好属于四十到五十，是不是把 t 就 求出来？这个二次函数不难啊。这个二次函数不难。嗯，算的时候认真点， 包括最后一个题，最后一个题，这个，嗯，集合题吧。这个集合题第一位和第二位不是太难，特别是第一位，非常简单，他就是一个矩形吧， 先证明他是平行四边形，再加一个直角是九十度。第二位来说，你看一下他这里面的位置关系和数量关系，数量关系咱们干嘛呢？肯定是一个 垂直这个位置关，这个不是数量关系，肯定是几倍的关系，位置关系，肯定是一个垂直的关系，位置关系。但是这个题如何去证明呢？你要记住，问题，这个题见到了终点，咱们没办法处理 a p 和 c d 那 么长， a p 那 么短的。咱们这个题肯定最简单一个方法，就是 倍长中线延长，和十五题是一样的，过点 p 做 a p 延长一下，刚好和 c、 b 交一个点，张好，就证明这两个三角形刚好是全等的， 全等完了之后，就说明 c d 就 等于二倍的 a p 是 不就完了？这不是数量关系吗？那垂直关系呢？通过倒角关系咱们就可以得到九十度了。 最后一位呢？还是在这么倒数第二位的基础之上呢？你就想一个问题，如果 m 点，如果这个 m 点在 a c 上， 那你这个点，这个点 p 应该是接近于哪个点？应该是接近点 b， 二比一，那二比一根据咱们的还是根据全等？全等的刚好出现了，那你就说明什么的？他的是一比二的关系， 如果 m 在 ac 的 延长线上， ac 的 延长线上，咱们就干嘛呢？也是按照一个什么 第二位的全等，就得出了边，他那边是一个二 a， 然后他只是二比一的关系。所以这个题来说，呃，只要你会把第二位会了，我觉得第三位就非常简单。如果你第二位想不出来，那第三位就比较难。所以说咱们干嘛呢？做题的时候，特别是最后一个集合题， 咱们干嘛呢？前两位好好去做，第三位你第二位如果能搞定，第三位就好做。如果你第二位搞不定，那第三位就没办法去做，包括十五题也没有咱们想那么难。但是我不知道咱们在，嗯，第一次考试有多少孩子把十五题和最后一个题最后一位写出来呢？实际上这两个 题你说难吗？也不简单，但是只要你在考上那一科写，立刻马上写出来，我觉得真的有点难度。

啊啊啊。

大家好，我是树瑶学姐，今天带大家看一下广东省数学中考第一次模拟试卷，整体贴合广东中考考点分布，兼顾基础中档与压轴难度，全面考察初中数学核心知识与解析能力。需要解析版试卷的可以给我留言。

这道题是深圳地区最近九年级数学中考魔力题中的一道非常经典的题目啊，这道题目你学会了，你对平面几何的知识的理解绝对是达到一种非常高深的程度。 龙哥今天跟大家把这道题讲透，网络上公布的方法，以及很多视频上公布的一些方法都非常不实用，你去看一下就知道，不是思维反就是计算反， 总之没有一样是你正规考场中能做出来的。你们听龙哥讲完之后，你们再看一下这道题，你们是不是能够通俗理解，为了让大家啊，能够起到举一反三的效果，我把这道例题讲完之后呢，我还给大家呀，举一反三的三道题， 这种类似题，还连每道题配了答案的，看到了没有？这个答案都是网络的答案啊！如果说你们需要这完整的讲义的，私信留言。好， 我跟大家来把这道题解放一下。这个是深圳地区非常热门的一道题啊，这道题还非常有难度，你们看 如图，这个六十度，这个三十度，这个是一好，这是 bc 的 根号起求 a， d， 你 看风马牛不相及对不对？ b， a， c， 度数有了 a d， c， 度数有了 b， d， c。 一 bc 的 根号起好 a、 d。 有 些学员说，这还不简单，拿个尺去量， 你去量，我看你真的把人家出题人当傻瓜吗？人家现在出题人给出的结果都是那种带根号的，你给我去量，我就不信你这个尺子能量出根号来。 所以说旁门左道不管用啊，我们如何用正规的逻辑去理解他呢？六十度，哎，三十度，哎，想到了什么东西啊，这也三十度，这个六十度， b， a、 c 是 个六十度，这有三十度，如果用反 a 的 模型把它反过来搞个相似，哎，三十度，六十度，放到一个三角形里面，做成一个特殊的直角，能不能想到这一点？这点如果你能想到，那么辅助线就可以。怎么做呢？你看啊， 过了一点，我做一个，跟谁啊？跟 a、 d 垂直的一条线，然后再把这个延长， 延长之后你们自己再看，这里加个字母，这个字母呢，我就标为一点， 那么这个角就多少度？六十度，我这么做的目的是干嘛？我要把它三十度，六十度联系起来，要求 a d， 我 就不妨设为 m， 对 不对？好，那么 a e 的 长呢？你们看啊，都是这个 m 比它正好长， 那么第一的场呢，你表个是不是根号三分之二 m？ 对 的，因为一般来说，问什么射什么，这是最方便的，这一步大家能跟得上吗？ 那么呢，我刚才说了，用到了呢，这是六十度， b， a、 c 也是个六十度，那么三角形 b、 a、 c 是 相似于三角形，什么东西？ b e， a 这么一相似，我们就可以知道一个什么特征呢？哎， b c 比上 b a， 是 不是就等于 b a 比上 b e 来，我们进而就可以得出这样的东西， b a 的 平方，哎，就等于 b c 乘以 b e。 好， 现在来看啊， d e 知道了， bc 呢？是有的，很好奇， b 一 呢，我发现呢，这个 d 一 加一加根号三根加， 这个大家能懂吗？你都懂这些了，那么无非就是把 b a 的 方，我们能不能找出一个，哎，另外一个方程，把它换掉就解决问题了。你的 b a 方哪里会有啊，很明显，要干嘛呀？勾到勾股定律，勾出一些， 你这么一坐下来，这是 f 了，对不对？有些人说这怎么办呢？好，我们来看啊，这三十度 a f 呢，是有二分之 m， 好，来，我们写这里。那么 b f 呢，是二分之根号三倍的 m， 那 么 b f 呢，就是 b d 加 d f 就 得一加上它，这个没问题。好，来， 这个我们根据格五定律，我们写在这里， b a 方就等于 b f 方，加上 a f 方，这个没问题。好，我们继续往右一写， b f 方，哦，这个根号不能要啊，这一要就错了。 来，我们继续化解 b f， 这里有了一加二分的根号是 m 平方 a m 方，二分之 m， 这个没问题。这个方程一解出来，问题不就解决了吗？ 这个计算过程是有点麻烦，你们这些算，你们算完之后就会发现，这个就一步到位，最后 m 呢，就是根号二乘以加上根号三比。 你们用龙哥的思维来理解这个，你们在对比网络上那些所谓的什么高级结构。来，我给你们看一下，你们看一下，这就是网络上的一些高级结构，你看啊， 你看他需要多少个步骤，你们自己看。嗯，解法一，我的妈呀，稀里哗啦上了一堆，看到没有？他把这小题目做成大卷。解法二，你自己看， 罗里吧嗦讲了一堆，看到没？还做了这么多辅助线，你们自己想，这是考场中没想出来的解决方式吗？我相信绝大部分看到这个辅助线就不想做下去，但是你没有龙哥的思维来去理解他，你会发现一个道理，哎， 非常简单，我们这个对比，这个过程呢，放到这里再去对比，就几步就出来了。所以说学数学选对老师非常关键，就这个原因。好吧，还是那句话，需要完全讲一的，私信留言就可以了。好，今天就讲这么多。

辽宁押题最好使的七中，他的临摹卷出来了，整张卷纸向我们全释了什么才是把情境化，出题做到极致。天气预报 app logo、 中国天眼望远镜、虚拟现实纪念品、牛奶的营养物质、 无人机的紧急救援，居然都能被七中的老师融合在这一张小小的数学卷子当中。但七中老师别骄傲，你这美中不足，还差个文言文。那么整体的难度非常贴合中考，尤其那十五题出的太哇塞了，把那使规作图和待己中合融合到一起了， 只要孩子能反应过来，发现并不是很难。二十二题，七中老师把河北的真题进行了更新改造，该说不说，你的图整完密密麻麻的，心态不好的孩子不得跟考长老闹心了。那么二十三题，七中这回还是押宝新定义，说明今年新定义 考的可能性还是非常高的。那么总体来说，七中作为辽宁押级的天花板，这张卷子非常值得一试，想让孩子尝尝的回七中铃木。

第十三题，这道题呢，作为填空压轴题，难度很大，很多学霸都放弃了，包括我的学生中，很多学霸也放弃了， 是不是难得不可攀登呢？也不是啊，你们听陈老师讲完之后，你们就会发现，其实也是很简单的， 一定要看到视频结尾，你就知道这道题怎么做。来，九十度，二，倍根号六，根号三，我们依次标上去，二倍根号六，根号六。 最终呢，只告诉你这个笔子，好让你求 b、 d 的 对称。首先啊，单线的对称模型，我们立马就要想到一个结构特征，我们立马就要构造出这样一个模型， 什么样的模型？只要这是 m， 这是 n， 你 说这个 s 的 范围，也就说 m 和 n 是 一致的，那你求这个 s 的 范围，我们要想到这样一个模型，那么这种类型就好办。 那么怎么去想呢？好，你的 b、 d 是 在这里，如果你知道 b、 c 的 值就好办了，但实际上你不知道啊，那怎么办？但是有个九十度，有个九十度，我们怎么办？如果说我们这么办，你看啊记，我用多种方法跟大家证明啊。第一种方法，把一 共点角模型。好讲的什么意思？ 这一个九十度对不对？那我也继续。嗯，过 b 点做 b、 d 的 垂线可不可以？好，你看 b c 比 b， a， c 一 比二，那么 b、 d 呢？我也做一个垂线，我做过来， 我保证。什么东西啊？ b、 d 比上 b e， 我 保证这个东西，这里标个一点， 你这样一标，然后呢，拿过去这样一标，我们干嘛呢？我们再连接这里的一点， 为什么那么干？首先我们来看看啊，我们这个方法就是着 b 垂直 b、 d， 并且保证 b、 d 比上 b、 e 啊，等于一点。 这样做的目的我是为了干嘛呢？你看啊，这是一个共点角模型，共点角模型，你只要保证有这样的线段比，你可以发现这个角 e 是 不是等于角 r 的， 这样立马就可以知道三角形 b、 d、 c 相似于三角形 b、 a， 对 不对？ 这样么，一相似过来，你就会发现一个问题呢，这个 d、 c 比上，这里的 e、 a 就 等于多少呢？ b、 d 比 b 等于几呢？一比二看到没？也就是这是根号三，那么 a 一 呢？这就推出来了， a 一 就是多少？二倍根 和这个 d 跟 b 一 有没有关系？有。 b、 d 是 比 b 一 是一比二，也就是说这是一分，这是两分。 b 一 就是根号五分，也就说这个 d 一 啊，它就等于根号五倍的多少。 b、 d 这个 d 呢？他是什么？他是小于或者等于 a， 加上 a、 d 好， 这个等于几？ a 一 是二倍根号上 a、 d 是 二倍根号看到没？所以说你可以得出这个 b、 d 就 小一点，把根号五除过去。好，这个就是根号五， 正值多少呢？二倍根号三，加上二倍根号五。好，三样都选根号五，那就是二倍根号十，加上二倍根号三，再垂直四四呢，这个就是最大数。 看到没有？这是第一种方法，叫反共点角模型。好，这个思路还是很简单的吧，对不对？ 好，还是到第十三题，我今天用第二种方法来跟大家讲，这种方法叫什么呢？叫动静触发， 有很多人可能听都没听说过，这个名称是什么含义，什么意思啊？我们发现 a、 d 和 d、 c 的 长度是一致的，但是没有说，哎，题目并没加在它们这个定点，所以我们第一步我们就固定 a、 d， 你固定 a、 d 之后，这个 dc 啊， c 就 绕着 d 在 转动，是一个圆，这个没问题的。好，接下来如果找出 b 的 轨迹，那么就是 d， b 的 长就可以确定下来了，对不对？ 那么现在的问题是什么呢？ a、 d 是 固定的， d 是 定点， a 是 定点，我们的第一步思路就是说把定点跟动点先连着再说， 现在我知道，哎， dc 也在这里，对不对？现在 abc 这个三角形有个特符号，有个什么特符号呢？我们来想一个问题， 现在呢， ac 比 ab 等于几？根号五比二，这是一比二比根号五，对不对？好，来，你发现 ac 比上 ab 等于多少呢？根号五比二， 但是 a、 c 又是在三角形 a、 d、 c 里面的，对不对？那么呢，我们能不能想象出这样一个模型呢？ a、 c 跟 ab 的 比值我们是清楚的，对不对？ 那么能不能围绕这个逻辑把这个 a、 d 也找出一个什么东西呢？哎，跟这个三角形啊， abc 这种边的关系一样的，也就 a、 d 比某个边也得变化五遍。好，我们来沿着这个思路往这里， 往这里来。 好，这个点呢，我标了一点，然后呢我们再连接 b 点， 也就是说我们这样去做的目的就就说我们做出这个边呢？做出什么呢？做出啊， a、 d 比上 a、 e 等于多少呢？根号五比二，做出这个东西啊，并且啊， 还保证呢是角 d， a、 e 等于角 c a、 b， 这是可以做出来的，对不对？就创造出这样一个三角形，那么有这个我们可以知道，三角形 d、 a、 e， 它是相对三角形 c、 a、 b 的， 对不对？好，来，我们把等量方程写一下，它就会有 a、 d 比上 a、 e 等于什么东西？ a、 c 比上为 b， 你 说这么写的目的是干嘛？我肯定是要交换位置的， 要变成 a、 d 比上 a、 c 就 得 a、 e 比上为 b， 再加上本身的这里的角一和角二也是相等的，因为它有个公共部分，这个呢，我已经保证它相等，结合这个角一等于角二，你们看是不是勾绕出三角形 a、 b、 c 相似三角形什么东西？ a、 b， 那么呢，有什么用？那就可以得出 a、 d 比上 a、 e 又等于 b， c 比上 e、 d 等于几啊？根号五比二， 这个 d、 c 呢，已经有了四个根号差，所以说这个 e、 b 我 们知道了，是多少呢？是根号五分之的二倍根号 好， a 点是定点， e 点呢？ a 一、 d 一 都可以求的，我们刚才说的是根号五比二，我们把 d 也求出来， d 就 占一份，也就是 a、 d， 那 就是二倍根号的比上根号好，你发现 b、 d 刚好就满足这样一个模型， b、 d 呢，就小于等于这两个相角。这根号五分子多少？二倍根号三，加上二倍根号 好，大家再乘以根号五，哎，那就等于五分之多少？二倍根号十五，加上二倍根号三十，看到没？这就是第二种方法，是不是也很简单，对不对？ 还是第十三题，我给大家用第三种方法把三，这个方法也是动静互换， 只是现在呢，我固定的对象不一样，我现在固定谁呢？固定 b、 c 好， 它的逻辑呢，其实也是一样的， d 和 c 都是定的，然后连接 c、 a。 现在我们来想一个逻辑， c、 a 比 c、 b， 由于它是九十度一二根号五的关系，和它是根号五， 他们想一个概念，我 c、 d 比上某个量也等于这个值，并且呢，我就相当于勾绕出跟分点角 abc 怎么相似， 就听了第二种方法的人，应该很能理解这种方法的精髓所在，我们这样去做，然后再把它一拧 好，这里还是标个一， 现在呢，我怎么办呢？我继续，我做什么东西呢？就保证它相似嘛，我就知道做 c、 d 比上 c、 e 等于号，且 角 b， c、 e 啊，要等于角 a、 c、 d 这样做的目的是干嘛使三角形 d， e、 c 相似三角形 a、 b、 c 好， 这个目的是干嘛呢？我一方面呢，就是要得到一个编制，那个 c、 d 比上 c、 e， 哎，现在就等于 c， a 比上 c、 b， 紧接着我们互换，那就 c、 d 比上什么东西？ c、 a 就 等于 c、 e 比上什么 c、 d， c、 d 比 c 呢？前面的这个角上呢，一加起来就角 d， c、 a 等于角 e、 c、 d 根据这么一些逻辑，我们可以知道三角形 e 好 d， c、 a 相似于三角形 e、 c、 d 这一项是我们重点设想，得出什么呢？得出 d、 a 比上这里的一 b 究竟等于什么东西呢？ d、 c 比上这个 e、 c 就 等于根号五， 也就是说一 b 就 知道了，它就等于根号五分之 d， a， d， a 是 几呢？二倍根号六好，同理，这个 d、 e 呢？ 在哪个三角形？在直角三角形 d、 c 中，因为我们是不是做出来的 d、 c 是 根号三，对不对？ 然后呢， c 一 占几分一份， d 一 占两份，所以它应该就是二倍根号三 b、 九， 然后对不对？所以我们这个 b、 d 就 应该小于等于这两个相加，这个根号五分子二倍根号六，加上根号五分子二倍根号。 好，这个呢？再多乘以根号就变成五分之二倍，根号十五，加上二倍根号。好，这就是第三步啊。

啊。

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