2026安徽中考几何创新

安徽中考数学研考会结束了，针对二零二六年中考到底考啥中考，数学专家给了明确的建议。杰克分解出来四句话，对孩子中考帮助太大了，帮孩子点赞收藏！第一句，继续增加中考计算难度， 千万不要想着给孩子买本计算练习册，那就大错特错了。几个建议啊，每天坚持刷一道抛物线型二次函数问题，或者二次函数存在性问题，或者二次函数最值问题去训练就行了。这样既训练了计算能力，又锻炼了二次函数难题解析能力，一箭双雕。第二句啊，出 高中数学接轨几个长期教九年级到高三数学这个问题很有发言权。记住，下面几个都是高一非常喜欢考，并且初三也完全可以考的题型，第一个，函数数形结合问题。第二个，函数零点问题。 第三个，函数定值和定点问题。第四个，二次函数定区间变角问题。以上题型在中考前必须要有所训练。结合研究了过去十五年安徽中考数学的必考题，发现啊，安徽中考综合难题就三十九类，我把这三十九类编写到了这本安徽中考数学极致培优里面， 二零二五年首发，直接压中了二零二五年的两道压轴题。第十题，刮豆原理问题和第二十三题二次函数定式问题。您家孩子啊，只要是安徽的中考生，想冲数学一百四十五分刷这一本书就够了。第三句，考察阅读理解能力，说白了就是题目文字特别多，在气势上先吓到孩子。 这种题目啊，都是高考玩剩下的。记住，面对大量的文字，题目就两句话，第一，文字特别多，一般题都不难，要建立起信心。第二句，提取出文字中的有效信息，屏蔽无效信息， 好！最后一句，中考数学会稳中求心，不断的有新的题型出现，这个信息量太大了，几个给大家两个建议。第一个，一模、二模、三模，合肥各个区的试卷，孩子都要刷一下合肥的模拟卷，每一年质量都非常高，很多新颖的题目出现，是一个非常好的训练基础，并且多次出现了模拟题 和中考题很接近的情况。第二句，几何最值问题啊，创新度越来越高，强烈建议学生要把瓜到圆里阿是圆胡、不规定弦、定角等常见的几何最值模型全部掌握掉。以上四句话，一定要告诉自己，家娃中考一定考的更好！

同学们好，今天我们来讲解 c。 二零二模数学几何压轴体正方形 a、 b、 c、 d 中 e、 f 分 别是边 b、 c、 c、 d 上的点 b、 e 等于 c f， b， e 等于 c、 f。 那我们读到这个条件的话，你应该要想到全等三角形啊，三角形 a、 b、 e 是 全等于三角形 b、 c、 f 的， 因为正方形嘛， ab 等于 bc， 然后还有两个直角 s， a、 s 可以 证明全等。好，继续读题。 em 是 垂直 ap 的 em 垂直 ap， 那 么这个角是直角，这个大角 b 也是直角。读到这里的话，你应该要想到四点共圆。 哪四点共圆？ a、 b、 e、 m 这四个点共圆。为什么要考虑四点共圆呢？因为在解几何题的 第一步，我们想到的应该是要倒角啊，推倒角与角之间的数量关系。好，那我们来看题目啊！第一小题，证明角 a、 g、 b 等于九十度。第一小题是一个很简单的十字架模型。好，这个我们就不讲了啊，正，这两个三角形全等。第二小题， 若 a、 e 等于 e， p 等腰三角形等边对等角，如果这个角是阿尔法，那么这个角 p 也是阿尔法。两直线平行内缩角相等， a、 b 和 b、 p 是 平行的，所以这个角也是阿尔法。 然后啊，我们刚才想到了四点共圆， a、 b、 e、 m。 四点共圆，我们根据圆珠角定义倒角 角 c、 b、 m 也可以用阿尔法来表示，因为这个角啊，角 e、 b、 m 等于角 e， a、 m 同弧所对的圆周角相等， 然后有一只三角形 a、 b、 e 全等于三角形 b、 c、 f。 所以 这个角 b、 a、 e。 我 们也可以用阿尔法来表示。 好，我们导角导到这里，我们就可以求得阿尔法等于九十度角 b， a， d 等于三，阿尔法等于九十度，所以阿尔法等于三十，阿尔法等于三十度，那么这个角 p 就 等于三十度。 角一等于角二，角一等于角二，还有三角形全等啊！三角形 b， a， e 全等于三角形 d， a， n。 根据这两个三角形全等，可以得到 e， c 等于 c n， 而让我们求的是 c p 与 ec 的 比值，那么就等于 c p 与 c n 的 比值， c p 比 c n， 那 我们先求这个 c， n 比 c p 啊，为什么呢？因为 c n 比 c p 就 等于三十度角的正切值啊，等于三分之根号三， 所以 c p 比 c， n 就 等于根号三分之三等于根号三， 那么我们就证出来了啊， c p 比 e， c 等于根号三，所以第二小题的答案是根号三。下面我们来看第三小题， 好先导角 a， b， e， m 四点共圆。刚才第二小题已经导出来了啊，这里是角平分线， a， g 平分角 b a m， 所以 有等腰三角形，三角形 a， b， m 是 等腰三角形， 等腰三角形。两个底角相等，如果这个角是 betta， 那 么这个角也是 betta， 这个角也可以用 betta 来表示。然后啊，在平行线进行倒角啊，角 a， b， m 等于角 m， f， n， m， f， n 也可以用 bet 来表示，就是个小角啊， m f， n， bet 等角对等边，所以这个 m n 是 等于 f n 的， m， n 等于 f n， 然后这个三角形 a， b， m 是 等腰三角形。结合这个条件， b， e 等于 e， c 等于二，一点是中点，那这个 f 点也是中点，对吧？ d， f 等于二， a， d 等于四， a， m 是 等于 ab 的 等腰三角形嘛， a， m 等于 ab， a， b 等于四， a， m 也等于四，那我们就可以用勾股定律了。在这个 r t 三角形 a， d， n 当中，我们先设一下啊，设 n， f 等于 x， m， n 也等于 x， 这个时候 a， n 就 等于四加 x， d， n 等于二加 x， a， d 等于四。好，直接用勾股定律建立方程，四加 x 括号的平方等于二，加 x 括号的平方，然后加上四的平方， 然后我们可以解这个方程啊，方程解出来之后， x 等于一，所以 n， f 等于一， n， f 等于 c， f 不是 等于二吗？ d， f 等于二， c， f 等于二。所以呢，可以求出 n， c 等于 一， n， c 等于一，那么 n， c 等于一的话， d， n 就 等于三，然后我们根据让我们求的是 c p 的 长度啊，我们根据这个八字形相似 这个三角形 a， d， n 和下面这个三角形 p， c， n 这两个三角形是相似的啊，相似比是一比三，所以 c p 比上 ad 就 等于一比三啊，就等于 c， n 比上 d， n， c， n 比 d， n 一 比三嘛，那么 c p 就 等于一比三，三分之一乘 a， d， a， d 等于四啊，所以 c p 等于三分之四。好，那么这一题我们就解答完成了， 实际上啊，这一题有没有难度呢？我个人认为难度是不大的啊。难度是不大的，但是呢，你前提是要想到啊，能想到这个四点共圆，用四点共圆倒角还是比较方便的啊。我看参考答案上给的是摄影地理啊，那个摄影地理的话不是很好想啊， 官方答案是用摄影地理来做的啊，它用摄影地理去证明这个 a， b 等于 a， m 有点麻烦啊，我个人感觉有点麻烦。我们根据这个引圆问题啊，引圆问题倒角还是 很方便啊，而且它步骤写起来的话也很流畅很只有两步啊，就是因为角 a、 b、 e 等于角 a、 m e 等于九十度，所以 a、 b、 e、 m 四点共圆， 进而我们就得到一个非常关键的条件，三角形 a、 b、 m 是 等腰三角形。好，这题就讲解到这里，再见。

各位同学大家好，今天张老师呢，给大家分享一下合肥包河区的高考的异模数学试卷。第二题啊，他要如图啊，正方形 a， b， c， d 对 吧？这正方形，然后呢， c， e 和 c、 f 相等，那这相等的话，那 ab 和 c、 d 相等，那 be 和什么？和 d f 也是相等的，而且 g 呢是什么？ g 是 b， f 的 中点，看到中点大家能想到哪些知识点呢？看到中点能想到哪些知识点？第一个是什么？中位线对不对？中位线中点还有什么叫做倍长中线对吧？ ok， 倍长中线， 如果想到等腰三角形，或者是等边三角形对不对？就会存在什么三线合一，它里面有中线对不对？对吧，三线 合一对吧？ ok 啊，所以说呢，这个呢，中点呢，非常重要，给的信息非常多啊，你要有联想到这三个常见的关于终点的支点，第一条问的话， b， f 等于第一对吧？ ok， 太简单了，我只要证明这两个三角形，干嘛全等就行，那能不能证明出来呀？啊啊，大概能把这个两个三角形的画一下，能不能证明出来，很好证明出来啊？ ok， 来看一下啊，来看一下。首先呢，这个直角都是他们的什么公共角对不对？直角，那 bc 等于 cd 是 正方形的什么边长？还有呢？还有是 e， 这给的条件对不对，对吧？ ec 等于什么？等于 fc， 说明是什么叫做边角边，这个呢，是边 角边，说明这里有个三角形 d， e， c 全等于什么？ b， f， c 这两三相全等过后，说明他们的斜边对应干嘛相等，第一小问就能求出来了，简单吧， b， f 就 等于什么？ b， d， 只要证明两个三相全等就行了，用的是什么？用的是？嗯， 用的是边角边，对不对？两三分全能啊，用的是 s a s 边角边， ok 啊，没问题，那第二小问的话， ab 是 等于二的， ok， ab 是 等于二， 对吧？这都等于，哎哎。然后呢，让你求什么对应？这个题的话，我感觉我很做过，之前做过类似的，你看到这个终点到现在我们还没用，就会想到什么呢？备场中线，首先的话， 中位线的话，嗯，可能说目前呢，没有想到啊，你联系他，这是什么中位线？还有呢， 但是呢，没有关系啊。然后呢？三线合一没有等腰三角形对不对？是不是？ ok， 这样呢，也用不到，用不到，我想到什么？背长中线，我只要连接它，对吧？我 这是什么？ a g 对 不对？对吧，这个边和这个边相等，我连长 a g， ok， 好，然后呢，把这个延长下来，好， ok， 你 说这个三角形对吧？ a b e 和什么？这个是 h 吧？好，这个是 h 和什么？和 g f h 这两个三角形干嘛 全等？为什么全等？因为这个边和这个边相等，对不对？那这个边呢？和这个边相等，还有一个什么对顶角，对吧？那全等过后呢？我们知道这两个角是什么 是相等的，所以说正好是平行的，所以说这两个交点一定你 f 是 吧，移下来正好，什么交于 f 点啊？所以呢，这两个三角形干嘛 全等？让我们求 b e 对 不对？那我就设什么？我设置 x 行不行，对吧？那 e， 那 这是 x， b bc 是 i 对 不对？所以说 e c 就 等于几？就等于 i 减去 x， 对 吧？就等于多少 i 减去 x， ok， 再来， 因为第一小问知道了啊，因为这个边和这个边相等，这个边和这个边相等，所以说这条边和这条边呢，是相等的，对吧？ b、 e 是 等于什么？ d、 f 对 不对？那我设它为设它为 x， 那 这个呢？也是多少 x， 对 吧？那剩下呢？是多少？ i 减去 x 对 不对？谁说什么？这是 i 减去 x， 那 因为这个三角形对吧？和这个三角形全等，那 ab 是 等于 i， 那 f、 h 呢？也是等于 i， 对 不对？那这是等于 i， 这个是多少？ i 减 x， 那 这个呢？是多少？是 x 对 不对？是 x 啊， ok， 所以 c、 h 的 话就是 x， 能跟他上吗？能不能？ ok？ 再来，你看这是什么形？明显的什么形？ 八字模型对不对？八字模型的话，就是拿 a、 b、 e 和这两个三角形干嘛？相似就行了，相不相似对，顶角还有什么垂直，垂直对不对？相似，相似的话就存在什么相似比，所以说就是什么 x 比上多少 x 就 等于 i 比上多少 i 比上它的直角边对 x 对 不对？你解的 x 就 能求出来了呀，对吧？ ok 啊， x 求出来过后就能求出什么 b、 e 的 长度， ok 啊，那 x 求出来是等于等于多少？算一下，嗯，算一下 多少，经过计算是多少？五倍杠一啊，五倍杠一，所以 b、 e 的 长度就等于多少？ 五倍根号 e， 就 这么简单啊。第二小问。第二小问呢？很多同学想不到什么用的是倍长中线啊，这个中点呢，一定要想令好啊，令好，来，我们看你看的第三小问。第三小问的话，让你来判断。判断的是什么呢？是 o、 g、 h。 为什么？什么形？你这样一看的话，明显的是什么？等腰直角三角形对不对？那 o o 是 什么？ o 是 这个 o b 的 终点，在 o b 的 终点，因为 g， 对 吧？人家说了 g 是 什么？ g 是 b f 的 终点，说明 o g 是 什么？平行于，对吧？ d f 的 什么 平行啊？平行且等于什么 d f 的 一半，因为中位线吗？对不对？所以 o g 对 不对啊？ o g， o g 是 平行且等于二分之一，什么 d f 对 吧？平行且且等于啊？ ok， 那 我想知道，对吧？你这个 o h 要平行于 b e 不 就行了吗？对不对？对吧？主要证明什么？因为为什么呢？因为 b e 和什么和 d f 是 相等的，为什么它这两个边是相等的？那大的减去这两个边就等于什么？ b e 是 等于 d f， 那 目前的话， b e 和 d f 相等了， 对吧？我只要证明呢， d h 是 什么？ h 是 b e 的 终点，所以说 b h 是 什么？平行于且等于 b f 的 一半，也就 b f 平行于且等于什么？ d e 的 一半，所以这两个是什么相等且什么相等的？而且呢？对吧？ 平行它垂直，平行它垂直，所以说这个就是什么垂直的，对吧？那目前如何就把问题中转化如何点 h， 对 不对？是 a e 的 终点呢？目前呢，就证明它就行了。我们看一下 这个三角形和这三角形全不全等？好，大家画一下， ok？ 全不全等？明显全等，为什么呢？啊？你看一下啊，这个三角形， 对吧？这个三角形和这个三角形干嘛全等？第一问就知道了，对不对？所以说什么这个角和这个角是相等的，对吧？因为 b e 是 等于什么 d f 的， 那还有一个条件呢？ 这个角和这个角可相等，相等，为什么呢？因为我们知道这个 a、 b、 e 和什么和 adf 是 全等的，为什么？边边垂直垂直，还有了 b、 f 等于什么？ d、 f， 所以呢？ a、 b、 e 和什么和 adf 这两个三，这两个什么三用全等，所以对应角相等， 所以这个角和这个角相等，这个角和这个角相等，这个边和这个边干嘛相等？谁能能推出来什么 b g、 e 和什么 d、 h、 f 这两个三角形干嘛全等？全等过后说明什么？全等过后说明什么？说明 bg 就 等于什么 dh， ok 啊， bg 等于 dh 了。再来再来，我们知道 g 点是 bf 的 终点， bg 是 等于 bh 的 一半，对吧？那同样的话，这个三角形和这个三角形干嘛也是全等的，对不对？因为这个三角形和这个三角形全等，所以 bg 是 bf 的 一半，所以呢？ d 什么 d h， 对 吧？也是什么也是 b、 e 的 一半？可能听懂，可能听懂，这样的话一步步来吧。好吧，那由于这两个三角形全等，所以呢？ b、 f 和 d、 e 是 什么是相等的？因为这两个三角形是全等的，所以呢？ b 啊，全懂。所以说 b g 是 等于什么 d、 h 的， 因为 b g 是 等于什么？ b、 f 的 一半，所以呢？ d、 h 是 什么？是 d、 e 的 一半，对吧？那证明了 h 是 什么？ h 是 b、 e 的 一半，所以呢？ 这就是它的什么中位线，能听懂了吗？ ok， 所以呢？ o g 就 平行于且等于什么二分之一的什么 bg？ ok 啊，那根据这两点的条件，大家就能求出来了，为什么呢？来看走啊， 你 o g 是 平行于且等于 d、 f 的 一半，你 o g、 o h 对 吧？是平行于什么？ b、 e 的？ 一半又因为什么这两个边相等，你说这两个边干嘛？也就相等了呀，对不对？ ok 啊，所以什么 d f 和 b、 e 干嘛？这两个边是相等的，所以呢，这两个边也是相等的， 因为这两个对吧？是互相干嘛？垂直对不对？所以呢，这个是平于它， o g 呢？是平于它，说明这两个边上也是垂直的，所以就能推出来。什么这个三角形啊，三角形 o g、 h 是 什么？是等腰啊，直角 三角形，能听懂吗？ ok 啊，我们复盘一下啊， 第一小问就是证明什么这两个三角形全等。第二小问的话，用的是什么背长中线啊？用的是背长中线来进行什么？来进行？求求解啊？背长中线对吧？来结合什么相似三角形八字模型来进行求解。 第三小问的话，根据终点，根据终点用的是什么？用的是中位线对不对？用的是中位线来进行什么纠解啊？啊？看到终点，看到终点，又有这种什么这种三个意识，中位线，倍长中线啊，叫截长补短对不对？再加一个啊？啊？截长 补短对不对？ ok， 如果题目给你等腰或者等边的话，一定要想到什么三线合一，好，有这种思想在里面，今天呢就分享到这了，大家给张老师点点关注，点点赞， ok， 陪你们到中考，拜拜。

来吧，朋友们，包河区的异模试卷，这份试卷是我认为这几张异模卷当中最值得推荐的一份，如果我们是安徽其他区的学生的话，一定要打印下来做一做。除了第十四题我没有搞懂他出这个题是啥意思之外，其他的 选择题，第九题，第十题，计算题、圆的题目，二十二、二十三，都非常值得我们去研究。好吧，选择题的第九题，这道题多元变量求最值问题，无论是咱们初中还是高中都是研究的重点， 多元问题一般的是两个方向，要么是给了变量关系让你去消圆，要么就是整体代换。这个第九题考的非常好啊，把这个类型放在二十三题的最后一问，也是非常合适的。 第十题呢，他虽然说和包河区的题目是一模一样的，但是也不妨碍这个题目是一个好的题目。好吧，考的能力非常多，要会画图，要会知道翻着里面的等腰，要会找全等，会找相似，会求最值对不对，非常综合啊，虽然有点难，但是值得我们去研究的。 然后这个填空题第十三题呢，之前的安徽中考卷是考过类似的题目的，只不过之前是一个选择题啊，这里他给的是一个填空题， 嗯，圆当中含有菱形，这个结构也是非常经典的。第十四题，我也没搞懂他这个题目出的是啥意思，我这里写的话呢，是用两个长两个方法，一个是都是高中的，一个是主元法， 一个是主研方，一个是用这个伟大定律求的。这些方法安徽一般都不会考的。好吧，所以我也没搞懂他这个啥意思啊。 然后计算题里面前面题目都是中规中矩，然后难度不算大。呃，从这个圆开始啊， 原这个题目考的也非常好，切线的知识对吧？切线里面非常经典的结构叫弦切角定力结构。这个地方考了考了相似。嗯，考了各部分理，对不对？求关系啊。知识点非常综合，考试的时候 如果说是技术还不错的话，应该是写的出来的，但是基础一般的学生想写出来挺困难的。 然后这二零一题找规律，这个题也挺不错的。好吧，也挺不错的，是一个新定义问题。这种问题呢，也会也是咱们安徽的一个考的主要方向。之前呢，找规律都是比较固定对吧，要么是给你式子，要么是给你图像，让你找规律，但这里这里啊，稍微综合一点点，需要你自己探讨。 然后从二十二题开始就一定好好看一看了。二十二题是非常典型的安徽中考题的这种特征，考全等考相似啊，各种知识综合，还考中卫线，甚至你还可以去倒脚。就是答题方式有很多。 这个第一小问，你可以过点 g 做 a b 的 平行线可以解的出来，你也可以延长 a， a e 交 d， c 去点 h， 这样解也能解的出来，但是方法可能还不止这两种，其他方法也是可以尝试的好吧。第二题 啊，第三题证明这个是一等六三角形，你可以去倒角计算，倒角是可以的，你也可以去用中位线去计算，这就是安徽考试的特特征。呃，图形的结构不算特别复杂。然后呢，解法多，考的知识点也综合非常好啊， 二十三题更是不用说。前面两位非常经典，一种是求三数的值，一种是求面积。 这个球面积呢？呃，没有给你画图对吧？你要会画图，然后面积最值问题非常经典，这是必会的，是必会的。第二题 也是非常好，不能说他模仿模仿中考卷啊，去年中考题不就是考了一个什么呃，与参数无关的问题吗？对不对？考归考，但是这种题目非常好，首先消元 对不对？其次求对直，然后表示一系列的，到最终的时候。哎，你发现还要考察你什么样？还要还要考察你这个等式的变形的能力 好吗？在考试的时候。嗯，有时间敢做的话，这个题目是有机会写的出来的，特别是对于咱们成绩比较好的学生，一定要认真看一看。

一起看一下二零二六年安徽中考数学模拟的瑶海，一模二十点圆，如图所示， ab， ab 为圆 o 的 直径弦 cd 啊，交 ab 于点 e， 连接 acad 过 d 做圆 o 的 切线，交 c 的 平方线于点 f， 已知 a， d 等于 c d， 看到 ab 这条圆的直径，立马想到这个角 acd 等于九十度，并且想到这个 abd 等于九十度， abd 等于九十度。那么这里我们点一下这个 d、 b， 我这里用实线考试的时候应该用铅笔画虚线，那么 a、 d、 b 也等于九度。看到这个圆 o 与 d、 f 相切于点 d， 渐切点连半径 o， d， 根据切线的性质定理，那么这里角 o、 d、 f 等于九度。 那么看到这个 d， a 等于 d c， 那 立马想到我们这里这个角一加这个角二，应该是等于这个角三，我们把这个角称之为角四，这个角称之为角五，这个角称之为角六，这个角我们称之为角七，这个角我们称之为角八。 那么这里我们想证明这个 d、 f 垂直于 c f， 即证明这个角 f 等于九十度，证明角 f 等于九十度，我们可以证明角四加角五加角六等于九十度即可。那么我们这里整理一下思路。 首先啊，首先 ab 为直径， ab 为直径， 那么可以得到角八加角七加这个角五等于九十度，那么根据这个圆 o 与这个 d、 f 相切， 我们可以得到角七加这个角五加角六等于九十度。那么这两个根据等式的性质，我们可以推出角六等于角八， 那么有又由 o a 等于 o d， 我 们可以推出角二等于角八，那么所以，所以啊， 角二等于角八。另外啊，另外由于这个弧 d b 等于这个弧 d b， 我 们又又可以推出这个角二等于 等于这个角四啊，等于这个角四。那所以这个三个一罗列起来，我们就可以推出角六等于这个角 二等于这个角八等于这个角四。 其中啊，我们重点强调一下这个角六等于角二，这个其实本质上啊，就是一个弦切角定力，弦切角定力这个书本没有提到，但书本那个稀体有体现，复合版数学稀体有体现，就什么意思啊？就是一个圆的一个切线与切点，这里过切点的一个弦 弦，这个角我们角六，我们称之为形切角，这个形切角等于这个切线与这个弦所夹弧 d b 所对的圆周角，所以这里角六是必然等于角四等于角二的，但这里我们也已经证明出来了，考试这个结论选择填空我们可以直接用，遇到解答题需要证明，那么再接着看啊， 还有个条件，那么这里 d a 等于 d c d a 等于 d c， 我 们就可以推出角一加角二是等于角三的。那么又因为啊，这个弧 c b 等于弧 c b， 弧 c b 等于弧 c b， 那 么就可以推出这个角一是等于角五的，角一等于角五的。那我们这里 挪了一下啊，挪了一下，那么我们现在啊，现在是角三加角四， ab 为直径啊， ab 为直径， ab 为直径，我们可以得到角三加角四等于九十度，角三加角四等于九度，我们把角三换掉啊，角三实际上就是 角一加角二等于九十度，那么这个角一我们又可以换成角一，又可以换成我们的角五，那就角五， 这里写错了，角三加角四等于九十度，角三是等于角一加角二加角四等于九十度，那么就可以把这个角一 换成角五，那么就是角五加角二加角四等于九度，然后这个角二又等于角六，我们再把这个角二等量代换成角六，那就可以推出角五加角六加角四 等于九度，那么这个时候就推出了角 f 等于九度，那么即 d、 f 垂直于 c、 f 好 看第二文，那么 a、 d 是 等于四倍根号五，那么所以 c、 d 也是 四倍根号五。告诉你 d、 f 等于八。第一题，证明这个是直角，那么所以这个 c、 f 就 等于根号下四倍。根号五的平方十六乘以五，应该是八十，八十减去 减去，这个减去错，这里不是八，这里应该是四，那就是减去四的平方，那么这个根号下八十减去十六，应该是等于根号六十四，根号六十四的话，那就是就是八， 那么由由啊，角六等于角二，这个角 a、 d、 b 等于角 f 等于九十度，我们可以推出这个三角形 a、 d、 b 是 相似于三角形 c、 f、 d， 那 么所以这个证明相似一定是为了用相似性质，所以 a、 d 比上 c、 f 就 等于这个 a、 b 比上这个 c、 d， 那 么就是即四倍根号五。比上这个 c、 d， 那 么就是即四倍根号五。比上这个 a、 b 比上四倍，刚好五，那么就可以得到八倍的 ab 是 等于八十的，那么可以推出 ab 就 等于十。那么答一下，答一下。直径 ab 的 长， ab 的 长为十。感谢收藏！

刚刚考完的合肥蜀山一模，是最贴近安徽中考的试卷。那首先呢，这套卷子它完全贴合安徽中考的命题逻辑，整体是中等偏上的中考失分难度梯度设置的非常科学，没有偏难怪题。 第一，基础考点全覆盖了，送分题不玩套路，选择题的前六题、填空题的前两题，全部是中考必考的绝对值。科学基础法、整式分解等课本的核心内容，没有设陷阱，就是考察大家的基础功底，杜绝不该有的基础失分。那第二呢，新课标导向拉满了 重实践重应用，不管是劳动实践的统计题、归正目标的利润应用题，还是合宽测量的解三角形题，全部都把数学知识和真实生活、本地文化深度结合起来，不再是死记硬背公式。那核心考察大家用数学解决实际问题的能力，这也是未来中考的核心命题趋势。 第三，压轴题分层设问，精准区分能力。二十二题的几何综合，二十三题的二次函数压轴，都是安徽中考的核心压轴题型。那第一问呢？送分入门后，两问综合考察相似，终点模型函数与方程的融合运用，既能够让普通的学生拿到基础分，也能够给尖子生留出合理的拉分空间。 这套卷子的核心拿分逻辑啊，就是基础不丢，中档稳，拿压轴题，能抢基础薄的同学，建议先抓牢前百分之八十的基础中档题。那冲高分的同学啊，一定要重点练好多模块融合的综合解题能力。最后呢，给各位家长预告一下， 下周一，也就是四月六号，我们特邀了一线名师解读安徽中考的最新方向，以及一模后各分段学生如何针对性复习。想要观看的家长可以点击主页联系老师获取直播链接。

hello， 各位同学们大家好，我是合肥奶爸，那接下来呢，我们沉浸式的给大家去讲解一下蜀山一魔的这套卷子的选填 啊把呃重点部分全部都给大家一一的沉浸式的讲解一下啊，全网最全。好吧，来，首先第六题，第六题很多同学就已经中档的学生就有点会出错了啊，这道题目说什么呢？说这边挂了一个法码是三十克啊，然后的话呢，要求这四个里面选两个，让 这个杠杆恢复平衡。很多同学啊，说实话他可能没有重视物理的话呢，上来就认为我要选一个三十克和的，然后平衡，但你要注意啊，物理上这个砝码挂的应该叫什么？动力乘动力币等于阻力乘阻力币 对不对？你数一下，这里有几个呢？这里五格对吧？这里五格，你挂了三十克，那这里几个呢？这里三格你要挂多少克？哎，五乘 三十应该等于三乘 x， 所以 我们这个 a 应该要挂五十克才对啊，那我们挂五十克的话呢，那我们四个里面选两个，我们第一次选择应该有四种情况对吧？第二次选择的话，选了一个之后，第二次都有三种。那五十克的一共有几种情况呢？五十克的一共有四种情况啊，所以很多同学 认为他选这个里面十克二十克的，那就选错了啊，那是这个应该是十二分之四啊，也就是三分之一。这第六题 好。然后的话呢，第七题啊，是个一次函数的一个动态分析问题，说 a 点是从零五，按照这个箭头什么意思呢？就是下右下右呃，这个规律运动好问啊，这三位同学哪些是 正确的？好？ a a 九的坐标是 c 一 啊，这个没什么好说的啊，你一直下右下右，多标几个，你就可以标到 a 九， a 九在这个位置啊， c 一， 这是对的。第二个说，呃，现在有一条线，一条线，那应该正比点函数两侧让这么多个点 个数相等，那我们会发现啊，他在整个到 x 轴上的时候，一共十个点啊，一共十个点个数相等，那应该每个五个，对吧？每个五个，那怎么样才能让他每一个都是五个呢？那也就是说，哎，我这边 a 一 到 a 五，我这边 a 六到 a 十，对不对？所以应该在这个之间 啊，应该在这条线之间，对不对？那我极限情况就是什么极限情况，那过 a 五就包含不了往下来一点是不就可以了， 对吧？往下来一点一直到哪呢？但我也不能过 a 六，过 a 六也不行，对不对？往上再去一点是不就可以了？所以呢，我把 a 五和 a 六这两个点坐标来， a 五的坐标是多少？二三， 你带到这个正比例函数 y 等于 k， x 里面算出来 k 等于二分之三， a 六的坐标是二二，对吧？你带你去这个算出来 k 点一， 那我在这两条线之间对折范围也就是一到二分之三，哎，所以这个是对的啊，这也对的。然后丙呢？丙说，呃，这条 y 等于 k x 啊，从 a 三到 a 五， k 的 值，什么叫 k 的 值？ 我们知道叫绝对值， k 越大，图像越陡，对不对啊？那这个从 a 三到 a 五的 k， 那 a 三在这，哎，然后呢，我往下往下往下往下往下往下往下 往下往下，一直在往右，往右往右。那我们会发现，其实他一直是往这边转的啊，他一直是往这边转的，所以这个 k 呢？应该是一直减小啊。这是第七题啊，所以只有加一正确。第八题是一个什么问题呢？第八题是一个叫做二倍角的问题啊。什么叫二倍角啊？我换句话说，贪念十五度，你们会不会学？ 弹力十五度你们会不会求？什么叫弹力十五度？我为什么冒了？弹力十五度？一个角等于另外一个角的两倍，叫二倍角，比如说我们给那个三十度的直角三角形一根号三二，对吧？怎么求？弹力十五度延长？哎，让这个三十度变成原先的一半是不就可以了？让这个变成二，那这个 跟这个相等是不是就各自十五？看这十五度是不是就一比二加根号三，哎，这个叫二倍角。那二倍角一般来说两种思路啊，大角减半和小角加倍。那我们这道题其实两种都可以啊，但我个人认为这种稍微简单一点，你看啊，把图画一下，一个是四，一个是六，一个是 r f， 一个是 r f， 你 怎么做出来这个辅助线呢？ 关键就是两个办法，一个是大小减半。那其实这道题你做角平分线也可以啊，不过做角平分线麻烦一点，你往外延长，让他这个等于四往外延长，让他这个等于四之后啊，让他这个等于四之后，那这个三角形不就等腰了吗？对不对？因为 这个时候，那我这个是 r 法，这是 r 法。注意，这个角也是 r 法，所以这也是等腰，对吧？所以这个 a d 也等于六啊，这 a d 也等于六，最后求 bc， 怎么求 bc 呢？哎，找一组相似就可以了啊，利用这两个角相等。 我把它当成公共角啊，这里是不是有个母子形啊？也就是 d a b 和 d c a 是 不是一组母子形相似，对吧？把这个当成公共角呢？这两个都是 r 方吗？那因此就得到它的平方等于它乘它啊，有六的平方等于四乘九，所以呢，算出来这个等于九，这个等于九的话，把四 e 减，这就是五啊。这道题目就出来了啊，这是第八题， 第九题。第九题给了个新定义，说如果存在一个变量， x 等于 m， 然后对应的函数值，呃，也是 m。 什么意思？其实就是就是与 y 等于 x 这个函数啊，与 y 等于 x 这个函数啊，只要有焦点就可以了。 与 y 等于 x， 因为 y 等于 x 就是 恒通坐标相的嘛，只要有交点就可以了，对吧？好，你要如果这么能理解的话，那这道题目就特别简单， y 等于负 x， 怎么画的？ y 等于负 x， 二四相距与一三相距的整边平行，是不是只有一个交点，对吧？是的，所以 a 就是 对的，而 e 就是 对的。第二个呢？ 第二个 y 等于负的，这个跟这个 y x 没有交点，对不对？所以就是错了。而第三个 y 等于 x 平方， 呃，是不是自反点函数？这肯定是的呀， y x 平方，跟这个 y x 肯定是有交点的，对不对？你一连立啊，这还有两个交点呢，这还有两个交点，其中有一个就是零零啊，所以三二队的第四个， 如果他是自反点函数。首先我们刚刚讲了啊，其实跟他就是有交点。什么叫有交点？我连立好的方程，有解是不就可以了， 对吧？我这两个函数有解，连立好的方程，连立好方程之后，得到这个有解什么就可以了？什么叫有解点？它大于等于零就叫有解，对吧？但是这个呢，它是算出来应该 c 小 于等于四分之九，这没有带等号啊，所以这个四错了。那因此的话呢，对的就是一三四啊，一三四，这第九题， 第十题啊，第十题，我把这个选项啊，每个选项拆开来给你们讲一下。这道题目还是不错的。这个第十题给了我们什么条件啊？ 告诉我们，这个矩形啊，这段宽是三，这个长是四啊，然后呢？ e d 是 三， e d 是 三，意味着这个三角形是个等值，对不对？然后有两个动点 m a 啊，另外个动点 m a， 并且 b m 等于 b a， 那 这个三角形也是个等值啊，这个三角形也是个等值，然后 p 也是一个动点，所以这道题三个动点 啊，三个洞点。好知道这个之后来第一个啊，求 p m a 的 面积。嗯，那我们会发现，首先这三个点全是洞点，对不对？但他有个特点是什么呢？我们刚讲了啊，这个三角形是个等值， 哎，这个三角形也是个等值，所以你要抓住一个关键点。什么呢？这个 m a 和 e c 其实是平行的，为什么？因为这四十五度，这四十五度吗？ 对不对？那我们现在要去求它的面积，我不妨把它表示一下啊，怎么表示呢？因为全是动点，对吧？我们把它表示一下，设这个为 x 啊，那因为 b m 等于 b m， 这就是 x， 呃，一比一比根号二，那 m a 就是 根号二 x， 对 不对？那我只要把高表示一下是不就可以了？哎，这高的话呢，因为平行线之间距离处处相等，我可以把它挪到这来， 哎，这段高是一样的，对不对？那这个好，表示这是 x， 这是四减 x， 刚说了，这四十五度对不对？所以利用什么？利用四十五度，直角三角形，一比一比根号二，那这个也就是四减 x 除以根号二，对吧？那我们这个高，也就是啊，二分之根号二，四减 x， 那因此就是 s 等于二分之一来乘根号二 x， 这是底啊。乘，这个时候二分之根号二，乘四减 x， 然后呢？来根号二乘二分之根号二，这就没了。 x 乘四减 x， 把它配个方，哎，就可以算出来啊，这个面积最大值。就是啊，所以 a 是 对的啊， a 是 对的。呃， b 的 话呢，挺简单的， 这个点 p 是 个动点，但是这两个我讲了啊，这俩平行线对不对？他距离是处处相等的， p 到 m a 的 距离不就是这条线吗？这条线刚刚已经表示过了，就是二分之根号二，四减 x， 对 不对？哎，那我想让这个东西最小，你观察一下 x 的 取值范围就可以了。这道题他说什么？他说 x 啊 x， 我 要保证 b m 等于 b a 啊，那我也就是说我这个 x 最大，又到 b a， 也就是 x 应该在零到三之间， 其实如果 m 点跟 a 点重合的话，那这个时候的话呢，其实 p 点到这条线明显就最小了，对不对啊？你算一下就可以了。那这当然了，你，你如果利用 x 取值范围零到三，他是， 呃，这个是距离底，你也可以直接能看出来，我 x 取三的时候直接带进来，是不是就取值了？你要是利用这个图形算也简单。利用这个图形算的话呢， m 点就在这， a 点就在这，对不对？这是三，这是三，这不就是一吗？这是一的话，这个距离有多少？ 哎。阿分之根号二，对不对？阿分之根号二，所以这也对的啊，怎么搞都是对的啊。 c c 的 话就将军印码啊，也很简单，说 bm 是 一， bm 是 一的话，它就不是动点了啊，那 n 点也不是动点了，对吧？只剩一个定点了，那不就是两定一动的将军印码问题吗？定定一动 对不对啊？我用下面这个图画一下啊，这是定点，这是定点，那这是动点。我应该怎么办？是不是做对称？是不是？是不是做对称？那 n 点对称过去是什么？还记得你这里做垂直吗？对称过去，那对称过去 n 点是不是在这？所以最小值是不是就这一段， 对吧？我重新画了个图啊，你看，因为你说 b m 等于 b， m 等于一啊，那这一段就是三了，这也是三啊，那我最小值就是 m n 一 撇， 那屁在这的时候，对吧？这就是最小啊，就是最小的，就这一节，那这节怎么算呢？因为这个地方，这里是四十五度啊，这里也是四十五度，所以这个是九度，那因此的话呢，这里用勾股定律算就可以了啊，这是根号二，这是三三三倍，根号二，勾股定律，它的平方是二，它的平方十八， 也就是二十二十开，根号二十多，哎，二百根号五，所以 c 也对的啊，那就没有没可以了啊。 d 选项的话呢，其实一定是错的啊，为什么呢？其实考试不用算，它也是错的。 pm 加 p a 等于四啊，其实这两前两年蜀山也考过这个题， pm 加 p a 等于四，求 pc 的 长度， 我们会发现啊，你比我的最小值大一点，对不对？你比我的最小值大一点，那我 pm 加 pi 等于四。讲句实话，你想一个问题，如果 pm 加 pi 啊等于四，我这个地方能等于四？比如 pe 啊，那我对称过去这个位置是不是也可以等于四？ 我这个位置是不是也等于四？所以这个线段 p c 的 长度，他百分之一百有几个呢？百分之一百有两个，所以这个题算都不用算，对吧？啊，那因此的话呢，这个题目啊，就是选择 d 选项啊，错的就 d 选项好，这个是前十题，然后十一十二就很简单就过了啊，十三题也简单，给你们讲一下，十三题还真的，有的同学估计会写错， 这个题目也是个点餐问题。什么呢？他给了一个条件啊，说 ab 等于 a o， 说这两相等等幺，然后呢，给了一个平行啊，说 bc 平行 a o， 并且这个比例是 bc 比 a o 是 m， 你 看啊，反比例 k 没给你，这 m 没给你，并且让我们求 m 的 值。 很多同学说，老问我什么信息都不知道，一个长度都不知道， k 也不知道，怎么办？说明什么你知道吗？说明 k 对 于这个 m 没有任何影响，所以我要是你的话，我就随便假设一个 k， 对吧？哎，我要是你的话，我就随便假，你不假设也可以啊，你解答题你不假设也可以啊，那设外等于这个，比如说啊，负的 x 分 之四，我就把这个 k 当成负四啊，随便假设什么都可以，我对 m 肯定没有影响，那然后你给了这个比例是 m 比，你能，你觉得你能想到什么？给了这个比例 比例是不是要构造相似，对不对？然后这又是等腰，你能怎么构造相似？等腰的话，哎，我这做个垂直对不对？三线合一很好相，所以我们不妨构造一个什么？构造一个这两个相像，相似，做个哎， c 点往上做个垂直， a 点往上做个垂直，是不是构造一个这样相似并且相似比 m 比一，对吧？好，那 我要去 m 的 值啊。比如就假如他 m 这是一，这是一的话，重坐标就是一了，重坐标是一，带到这个简易式横坐标是不是负四，所以这个呢？ a 的 坐标就出来了啊。然后 c 呢？因为你重坐标是 m， 带到简易式横坐标就是负的 m 分 之四，对吧？那这一节就是负的 m 分 之四啊， 因为我这等腰三角形对不对？三线合一，你这告诉我，这是横坐标是负四，那长度就是四，那这里也是四，对不对？哎，那如果我能利用相似比把它搞搞出来，那相加在一块不就等于它的长度吗？ 对不对？那怎么办？哎， b d 比上一个什么？ b d 比上一个，这里的 o e 等于 m 啊， b d 比上一个 o e 等于 m， 那 o e 是 四，往这一带就四 m， 哦，这里是四 m， 那 简单四 m 长度啊，加四再加四等于多少？等于整个这个长度，这个长度。把它符号去掉，是不是就 m 分 之四？解下这个方程， m 就 出来了，对吧？核心思想是什么？首先我这里用了透入值，你不用透入值是不是也可以利用表示坐标 和相似构造相似去解决，对不对啊？所以像这种题目，呃，关键点就是你得搞，就是设参数，然后表示坐标，然后的话呢，利用题目的题目的信息去解决问题啊。好，这是十三题啊，十三题还是有同学错的啊。最后一个十四题就是我们上课讲过的一个叫什么叫最大章角问题，也叫弥勒章角问题 啊。这个题目讲句实话，就用我们上课教的结论就轻松秒杀他这个，因为他有固定的结论，对不对啊？做这种题目有固定的结论 说啊，两个定点在这，如果一个洞点在一条线上面跑的话啊，一个洞点在一条线上面跑的话，呃，这个角什么时候最大呢？我们讲是这个有三角形的外接圆和这条线相切的时候最大。哎，因为只要你这个点跑出去了啊，那我们会发现那很好证明啊，你只要连下这个， 你看啊，为什么相切的时候最大，只要连上这个啊？你看，我我我，如果这个点跑出去了，我只要证明这个角比这个角大不就行了吗？那我连上这条线，你看，根据圆周角定义，这个角是不等于这个角，对不对？而这个外角是不大于它。什么意思呢？就是圆外的角肯定比圆内的角 是比较小，对不对啊？那我只要什么呢？只要这个两个定点和一个动点那条线啊，就两个定点都画的外接圆啊，和这条线相切就可以了啊，比如说你这个歪着的也是一样的啊，你看我画了一个这个相切的圆啊，这个时候呢，这个就大一点，这个角就是最大的，只要 过这两个定点，和这条和做了一个圆，和这条线相切，那这个就是点就是最大的啊。那你要想证明你比他大的话，我这个图，这这里有点实在是有点不太清楚啊，你要是看的话，你看这个角肯定等于他，如果你这个点不在圆上的话，那我根据外角这个角是不一定比这大，对不对？所以他不就是最大的吗？ 他不就最大的吗？啊，这是第一个啊，所以这个第一空就没了啊，就是六十度啊，就是六十度，因为我正好跟他这个相切的时候，他这里是最大。那第二个你要算长度的话啊，这种题目的话呢，关键点就是什么呢？因为这里涉及到这个相切，所以涉及到我们之前讲过的一个知识点叫弦切角定力 啊，有的老师把它叫切割线定力。什么叫弦切角呢？就是圆外一个点做圆的切线，形成夹角，等于这个弧所对的圆周角 啊，这个你可以正一下啊，你可以正一下，也特别好正，对吧？我之前上课讲过啊，比如说呢，可以这么正，对不对？这个绿色的角啊，那因为圈交叉等于九十度， 你过圆心沿上的话啊，圈交叉等于九十度切线吗？对不对？这个圈加这个叉也是不也等于九十度，因为这个就是那圈加叉等于就是圈加的，所以这两个圈相等，再利用等弧转换一下，这两个角是不是相等啊？关键点就是你这个有了这个角之后，这个图里面有个母子形， 他是公共角， p a c 是 不相似于 p b a， 对 吧？具有 p a 方等于 p c 乘 b b 啊，就是我们这个米的长角问题，第一结论是什么？结论是这两个定点 和这个动点的外基圆跟线相切的时候取决于的，如果算长度，就得用这个斜斜角定力，这个造成的母子形相似算。而那你再结合一下这道题，这道题他说什么呢？ 啊？他说现在这条 l 垂直 a c 啊，这个 l 垂直 a c 垂直 a c， 然后的话呢，让我们说这个点 p 到 ab 的 距离是 d 啊，那我们首先第一画一个圆，对不对？过 ab 画一个圆跟这条线相切，那这个点呢？相切的时候，这里就是最 大的角啊，这里就是最大的角啊，这里就最大的角了，那我们这个 d 就是 这条线的，对不对？啊？那我要 d 比 ab， 因为他没给 ab 的 长度，那我们不妨假设 ab 为二啊，或者为一都可以。如果这个是二的话啊，那这个也就是二，你告诉我这个垂直对不对？你告诉我这个垂直，那这个， 这里这个角度这六十度，这个角三十度，这是二。一比根号三比二，这就是根号三分之四，因为我们这里是九十度吗？ 这里是六十度，对不对？这里就是三十度，所以的话呢，呃，这三十度对边比他也就是根号三倍，把他再乘个根号三，也就这里是四，这里是四的话啊，把这里二减掉，这里是二啊。我讲这边讲的有点快啊，就是你假设这个边长是二， 假设这个边长是二的话，你其实你可以把这些线段呢，能算的都算出来啊，能算都算出来，能算的都算出来之后，那这里两个都是二啊，那我们这个母子形在哪？来？各位，你看这个不就是弦切角吗？那这切线啊，那这圆的切线和这个弦的夹角，弦切角等于 弧所夹的弧所对的圆周角，这两个角相等啊，衔接角等于这个弧所夹的圆周角，那跟这个是一样的啊，证明方式也是一样的。好，知道了这个之后，那我们会发现，那把它当成公共角，也就是 d a p 啊， d d a p 和这里的 d p b 是 一组母子形，那利用这组母子形的话，有它的平方等于它乘它啊，它的平方等于它乘它啊，那它的平方等于它乘它的话，这是二啊，这是四啊，所以二四得八，这不就二倍根号二吗？知道这二倍根号二，那这个距离不就出来吗？用这三十度对不对啊？对边是斜边一半，那就是根号二， 那根号二再比上一个二，哎，大家不就出来了吗？对不对？这种题目其实套路很明显啊，就是你会这个套路，同学就很好做，你不会套路同学你考试上也想不出来啊，这种题目，所以说中考可能性，可能性我觉得不大啊，二零二二年书刊考过一次，对吧？好，以上啊，为这次选填的一个讲解。

hello， 各位同学们大家好，我是合肥奶爸，那接下来呢，给大家去讲解一下二零二六年 c 二零二模的这个几何压轴题 啊，这是一道关于正方形的呃，相似综合题啊，呃，难度的话呢，其实比较适中啊，我们来一起看一下。首先的话呢，第一题啊，告诉我们，这个正方形 a b c d 当中呢，有一些条件啊，第一个条件的话呢，就是 b e 等于 c f 啊，这两条边相等。 然后其次的话呢，告诉我们啊， e m 垂直 a p， 也就是这里有个九十度啊，这是除了正方形之外啊，唯一的就是给了一条边啊，给了一组垂直好，然后的话就开始第一空了啊，让我们证明 a g b 等于九十度啊，这个就是老生常谈对不对啊，典型的就是十字架模型。那给了这组边相等，我们首选想到的是什么 啊？就是这个图里面有一组全等对不对？也就是 a b e， 那 a b e 和 b c f 是 不是首选这两这一组全等啊，特别好，这 s a s 就 可以整啊，你一旦把这组全等了，整完了之后啊，那把这组全等整完了之后，那我们通过全等就可以知道，哎，这个角一跟这个角二是不是相等， 对吧？那因为二跟三互余，哎，等角转换一下，那一跟三就互余，一跟三互余，那我们就可以利用三角形内角和哎推出这个九十度。所以第一空的话呢，很简单啊，没什么好说的。呃，第二题，第二题，呃，给了 a e 等于 e p， 给了一组 等腰啊，然后的话呢，让我们去求 cp 比 e c 啊，呃，让我们去求现在比的话呢，其实我们有很多种想法，比如说相似，对吧？比如说，呃，这个社会之数去表示啊？那我们关键的还是要干嘛？结合具体的题目情境，那人家为什么要给你一个等腰，对不对啊？给你个等腰你能想到什么？ 那我们说实话，这个题目当中，我们知道刚刚除了这个边相等之外，这个题目当中还有组这个垂直的，对不对？这里有这组垂直的，那我们是不得尊重一下这个条件，给了你这个等腰，你还有个垂直。所以所有的同学应该首先脑海当中蹦出来一个四个字，叫三线合一，对不对？那我根据三线合一我能得到什么呢？ 我根据三线合一是不能得到，哎，各位等腰三角形对吧？角四应该等于角 p， 等三线合一是不能得到，这个 m 点应该是什么？这个 m 点应该是 a p 的 中点，也就是 am 等于 mp， 对不对？那这两个东西。各位，如果你把这个条件再往下只要再挖一步，其实我觉得所有同学都能想到三线合一，但是你只要把这两个人再往下挖一步，哎，对于你去求这个比例，其实这个题目就迎刃而解，什么叫再挖一步？各位，我们想一个问题，这个等腰三角形，角四等于角屁， 我们能够得到什么？还能够再得到什么？你要知道这个里面它是有什么的？这个是平，有平行的，我们知道角平分线，平行线，等腰三角形之二退一，对吧？角平分线，平行线等腰三角形之二退一。你这里有平行，你这有等腰必有角平分线 啊，这是一个很基础的模型啊，对吧？所以怎么导的呢？就是角 p 可以 导到哪？角 p 是 不是可以导到这，哎？角 p 是 不是可以导到这个角五的位置，对不对？角 p 可以 导到角五，因为内错角啊，那角四又等于角五，所以，哎，四就等于五，也就是说你看这个，其实 a p 应该是这个 d a e 的 角平分线， 对不对？所以我们首先第一，对于角四等于角 p 这个条件大家能反应过来，哎，其实这个地方有个角平分线能推出来，角四等于角五，我觉得这是第一个，但还没有，还没有，还要继续推，哎。 am 等于 mp， 这是终点，终点你能想到什么？ 你说老师终点我能想什么？哎，无非就是什么三线合一，对吧？三线合一是等腰三角形的，那还有什么？这个 m 点，你要知道是 a p 的 终点，它还在什么三角形当中， a b p 对 不对？ a b p 对 不对？那这个终点是不在直角三角形当中？直角三角形的终点，你要像什么 斜边中线了吧？所以这个时候其实大家反应过来，那这三条边，也就是 m a m b p 是 不是都相等，对吧？ m a m p， 哎， m b 是 不是都相等？那我觉得如果这道题你能把这两步再挖一下，其实等腰三角形，我说嘛，第一步你能挖出来，你能把这两步再挖出来，这个题目就出来了，为什么出来了？你一旦有了斜中线，这个角屁又等于谁？ 这两个边相等，角屁是不是等于角二？我们知道角二又等于谁？角二呢？等于第一位的角一呢？刚刚说角屁等于四等于五吧，所以我画的五个角呢？五个这个圈是不全部都相等，各位秒了，为什么？因为这个角是三十度啊， 三十度，三个度，对不对？哎，这个角是三十度，那这个角是三十度的话，你能想到什么？哎，这个角是三十度的话，我们是能想到这个角，什么？一比根号三比二，对不对？一比根号三比二，那正方形的边长就是根号三，所以这里是个根号三减一， 对吧？这里是个根号三减一，那因为这个 a 是 二吗？这 a 是 二，那我这也是二，那二把根号三减一，减的这一段就是三减根号三，然后呢？把这个一比， 这就出来了，对吧？简简单单，那这个题目是不是出来了？那你要想清楚，你哪一步没搞出来，我更让人觉得，你看三线合一，你想到了有没有把三线合一继续往下推，这个延伸的条件，继续往下再深推一步，哎，这个题目是不是出来了，对吧？这第二题啊，第三题也很简单。第三题说什么呢？说这两个是二，然后求 cp 啊？说这两个是二，然后求 cp， 题目的条件还是原条件啊？什么原条件呢？就是，呃，两个九十度啊，给大家复述一下啊。两个九十度，对吧？然后的话呢，这个是二，这个是二，所以正方形的边上是四，对吧？求 cp。 还是那句话，求一条边啊，我们能选的就是什么啊？我就两种选择，勾股或者相似，那在这个直角三角形当中，我讲句实话，那可取性就比较多，对吧？你想一下，你可以选这个三角形，对不对？你也可以选这个三角形 啊，而是这个图里面一眼看过去，相思啊，勾股啊，都比较多，难的就是什么呢？难的就是我目前光靠这几条边肯定是不够的，因为放到这个三角形里面，他俩一无所知， 放到这个三角形里面，他俩也一无所知，对吧？我们信息当中啊，还有什么信息可以被求出来呢？来，各位，我们来看一看啊，这个题目当中，因为我们知道啊，这是九十度，这里是九十度。那这个题目当中，首先这里我们能看出来啊，它这里面是有一组摄影定律的， 哎，这里面是有一组摄影定律，对不对？那这个九十度，我们各位能给我们带来什么信息呢？那这个九十度可以带来什么信息呢？这个九十度，坦白来说，你看，比如说啊，这里是有反 a 字的啊，能看出来，对不对？那这个除了这个之外，还有什么信息呢？哎，各位，你要知道，这是九十度，这也是九十度，其实在这个位置，它也是有一组木字型的， 它也有时候有一种目的，你把这个角当成公共角，哎，那是不是也可以得到 am 的 平方等于 a g 乘 a e， 对 吧？那 a g 乘 a e。 注意了，我们在左边的射影力里面，母子心里面 ab 的 平方是不是也等于 a g 乘 a e？ 所以 我们利用什么呢？我们利用这边有一个母子心，这边也有个母子心，哎，可以推出来什么？其实这个 ab 跟 am 肯定是干嘛哎，相等，所以这个就是四，那这个是四的话，这两个三角形其实就干嘛了，哎，这两个三角形就全等了，对不对？这两个三角形全等，那么就可以得到什么？这两个三角形全等， 是不是就可以得到这个是二啊？那这个是二的话，哎，这个是四，这是二的话，这个题目当中一瞬间已知的信息就变得多了起来，那现在的话呢？你可的可选性就比较多了啊，比如说我们可以看嘛，我们可以把这个 x 放到这个里面，我们是不是可以用一次反一次相似，那反一次相似的话，这个四比的是，这个比的是 这个二加 x， 这个斜边比的是谁？比的是这个二加 x 乘以个二比上多少？二加 x 乘个二，就是四加二 x， 对吧？四加二 x， 把这四一扣，所以你看这里是不是二 x， 所以 mp 干嘛呢？哎， mp 就 可以表示了啊，我们利用这个反 a 字相似来绿色这个反 a 字相似呢？再来一遍啊，一比二啊，等于这里的一比二，那二加 x 乘二就是四加二 x， 对 吧？所以就可以推出来。什么呢？就可以推出来 a p 是 四加二 x， 那 把这个一减啊，把这个四一减，所以 m p 就是 多少呢？哎，这个 m p 就是 二 x， 那 这个是二 x， 这个 x 是 不就能算出来了？哎，这个是二 x， 这个 x 是 不就能算出来了？可以，怎么办？可以在这个三角形列个勾股方程，对不对？二的平方加上一个二 x 的 平方， 等于一个二加 x 的 平方啊？等于二加 x 的 平方，那这个 x， 呃，算出来，那等于三分之四，所以呢，这个 c p 啊，就出来了啊。以上为这道题目的一个讲解，其实总体来说难度还是不大的啊，难，难度还是不大。

今年合肥中考数学有三类题，你现在可能一分都拿不到，尤其是这三类题。大家好，我是在合肥滨湖教初中数学的刘老师，今天把二零二六年合肥中考数学的高频考点全给你扒出来对着记！第一个，函数压轴，这是必考必难的题目。 近五年安徽中考最后一道大题呢，全是二次函数，二零二六年只会更难考。什么动点问题面积最值存在性证明。记住一句话，看到亚洲题，先画图，再设坐标，分类讨论，一个都不能少。第二个，圆的综合题 基本每年稳定的出现，像垂径敬礼、圆周角敬礼，三个敬礼，缺一不可。 二零二五年呢，安徽中考原题就考了切线和三角形相似的综合，计算分值在十五分以上，很多同学啊，直接白送。第三个，几何变换 旋转题是高频考点，三角形旋转、折叠证明等，腰全等相似，这几年考频极高，本公式全等判定和相似判定 背的滚瓜烂熟。二零二二版新课标已经落地，中考会新增数学建模和跨学科情景题，比如用数学方法计算成本最优方案，或者结合物理场景解实际问题。 这类题呢，不难，但是得看得懂题转化的了，模型靠死背解决不了后，给你一张备考表，这五类题呢，加起来将近七十分，你现在开始刷还来得及！关注我，每天分享初中数学学习技巧。

好，我们来一起看一下这道题。如图，四边形 a、 b、 c、 d 和四边形 c， d， e、 f 均是正方形 啊。点 g 是 对角线， d， f 上一点，点 g 是 对角线， d， f 上一点，那么 d g 等于 d c， 那 它的声肯定也是等于 d a 的 连接 a， g 过点 d 做它的做用 d， h 是 做这个角的角平分线，然后 d， i 垂垂直 分别连接好。第一问，若 d i 等于 e， 求 tan 角 d， a， i 的 值。 那首先我们根据题目里面呢，我们先分析一下这道题啊，那么 d g 等于 d， c 等于 d a， 那 么三角形 a， d， g 就是 一个等腰三角形， 它是个等腰三角形，它让你去求这个角的弹力值，那这个角和这个角是不相等，它其实也就是我们也可以去求弹 力角 d， g， r 啊，也可以去求弹力角 d， g， r 这个这个边是一 要求角，那我们肯定要去求它的值，肯定是需要知道这个边的值，那么这个边的值我们怎么去求呢？那我们因为它是正方形，所以这个角肯定是九十度，那它就是 四十五度，所以角 a， d， g 就是 等于一百三十五度， 那角 d， a， g 是 不等于角 d g， a 等于二分之一百八十度，减去一百三十五度，等于二十二点五度，它是二十二点五，它也是二十二点五。那么角 g， d， c 是 不是等于四十五度？因为它是正方形的角平分线所平分出来的，所以 d h 是 平分角 c， d， g 所以 角 c， d， g 是 等于二十二点五度， 但是它是二十二点五，它也是二十二点五，这个三角形的外角，那么所以角 d， h， i 是 不等于四十五度啊？ 那么 d h i 等于四十五度，那三角形 d h i 是 等腰直角三角形， d h i 是 个等腰直角三角形，那 d h 就 等于根号二。刚才说的这两个角也是相等的，所以 也是等于 h g。 那 么同时 tanning 角 d a i 是 不等于 tanning 角 d g i 等于一。比上根号二加一，那么分母幺零化等于根号二减一，这就是第一问。

我上课你点赞。好，各位同学，大家好，我是你们的八戒老师，今天讲一下关于高考的 c， 二零的啊，联盟的按摩的第二十题，那这个题的话，直接可以说，秒杀啊，秒杀， 那张老师你是不是在吹牛啊？秒杀，如果你听过我的课的话，这个题呢？五，呃，两分钟不到啊，两分钟不到就能解决这个问题啊，来我们看一下。首先呢，这是一个圆对吧？然后呢，直径锁定圆周角是多少度？ 九十度对不对？那这个角是九十度，对吧？然后呢，你看到他一定要去想到呢，同弧所对应的，或者是等弧对不对？锁定圆周角是多少？哎， 圆周角怎么办呢？相等对吧，你的意识感比较强对不对？所以说什么？这两个角是什么是相等的？为什么？它们弧相等，对吧，对不对？所以说它们什么对应的圆周角是相等的。再来用那句话看到九十度想的， x 加八等于多少度？等于九十度来进行干嘛？ 进行倒角对不对？ x 加 y 等于九十度，一定要记住我的口诀，这个是九十度，说明这多少度啊，这个就是 y， 对 不对？所以呢，在这个三角形中， x 加 y 等于多少等于九十度？这就是来了，人家说了什么呢？ 他说这是一个切线对不对？那 d， 然后呢，这个什么是切线？说我们连接他 e， 连接过后， ok， 好， 连接过后，那这个呢，就是垂直，那老师为什么垂直？因为切线呀，切线对吧？和直径或者半径的什么交？这什么 夹角是九十度， ok 啊，比较简单 d。 小 问，让我们求什么呢？求的是 a， e 与这个什么 e， d 是 垂直的对吧？九十度太简单了呀，对吧？你看这是 x， 这是 x， 对 不对？那这个呢？半径，半径说明这多少，这也是 x， 对 不对？那这也是 x 的 话来看，对吧？那这是 x， 这是什么叫内错角相等干嘛呢？ 两直线平行，那两直线平行同旁内角干嘛？互补对不对？所以说什么就求出来了，对吧？你这互补，这个就是多少度？九十度就能求出来了，太简单了呀。啊，秒吧，啊，对不对？是不是秒？ ok 啊，来，紧接着看第二题，秒不秒 来。 d 等于几？等于四，对不对？ b、 d 是 等于几？是等于五？我在想 如何来求什么 a、 c 呢？我们通常说 a、 c 的 话，它不在 r、 d 三角形里面，那通过什么相减或者相加，那 a、 c 的 话，是不是就等于 a e 减去什么 e c？ 那 e、 c 怎么求啊？啊？怎么求好来进行来转化， 那我想到什么？这一个什么同弧所对应的，对吧？等弧对不对？ ok， 圆周角相同，那他们弦相不相同也相同，对不对？所以我就想到什么连接，什么 c、 d， c、 d 一 接连接过后呢？所以说什么 c、 d 的 长度就等于什么 b、 d 的 长度就等于几？就等于五。 那根据第一问可知的话，对吧？第一问往往不可能让我们单独求的，肯定会和第二问有关系，对不对？而且呢，第一问的结论可以作为第二问的条件来使用，所以这个是垂直，这个是四，这个是五，说明这是几。勾股定律，这是几，这是三，对不对？所以 c、 e 是 等于三了。 ok， 好， c 求出来的话，我怎么来，如何求呢？我们看到啊，这个公共角对不对？还有一个什么公共边就能想到什么。这个三角形和这三角形什么 相似？什么形叫子母形？是不是直接秒了对不对？你经常听我的课是不是有这种感觉，对吧？叫什么叫共角共边，子母形直接秒。好吧，那我就设什么？ 是啊， ac 等于几？等于 x， 对 不对？所以 ac 就 等于什么？就等于 x， 就 来进行求解。那老师你怎么知道？你能不能证明一下？好呀好呀，你怎么证明这两个三角形相似的？好呀，公共角对不对？再来找一个角相等不就行了吗？你看一下啊， 这个对不对？对应的什么弧是什么？是它 c d 对 应的什么这个角对吧？对应的弧是 c d， 那 这个弧对应的是角什么是？指的是这个 x， 对 不对？所以干嘛呢？所以这是 x， 那 这个呢？也是 x， 还有一个公共角对不对？所以说什么 有两个角相等了，所以说这两个三角形干嘛呢？就相似了呀？那相似的话，我们看看公共的部分是什么是 e c， 所以 说什么 e c 的 平方就等于什么呢？ 就等于什么 e c 乘以什么？乘以 a， 对 不对？所以就所以说就等于几就等于 e c 乘以什么 e c 啊？不是平方是 e c 对 吧？是 e c 就乘以什么乘以 e a， 对 吧？就迎刃而解了呀。来看一下，多少四的平方就等于三，乘以多 e a a 就 等于几，就等于多少三加 x， 对 不对？所以说就等于几，就等于 三加 x 来求解不就行了？多少十六等于几？等于九，对吧？然后呢，加上三 x 这边移过来就等于几，就等于七，就等于几？三 x， 对 吧？是不是？所以 x 就 等于几？就等于三分之七，那 x 等于三分之七了，你说 a c 就 等于多少？就等于三分之七就迎刃而解了呀， 对吧？简单吧，没有人和绕了，这就用一个什么相似三角形对吧？子母形就出来了。好吧，我最后那句话，我讲课你点赞，咱们一起冲刺中考。评论区回复中考，对吧？加油。 ok， 好， 拜拜。

好，我们先来看一下刚考完的百校联营的英模试卷，这是第二十二题几何的压轴题啊。如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c， 角 b， a、 c 等于九十度啊，那么这个三角形就是一个等腰直角三角形 啊！ d 是 在 bc 的 延长线上连接 ad， 将线段 ad 绕点 ad 时针旋转，九十度啊，得到 a、 e， 所以 三角形 ade 也是一个 等于二 t 三角形啊。第一问，判断 b、 d 与 c 的 数量关系和位置关系，那 b、 d、 c， 那 么首先位置关系很明显是垂直，数量关系应该是相等， 那有判断垂直和相等，垂直相等的话，正常我们是需要判断全等的 位置关系，那九十度垂直，这个四十五度，那么证明他是四十五度就可以了。那么在中考的过程中，你不管你会不会写，只要你能看出来的东西，你先写上理由会不会再说啊，最起码能得到个一分两分，这样子，你如果你一个字都不写，那肯定一分都没有， 那我们来看一下这有什么条件全等的话， b、 d 和 c、 e， 那 么看他在哪两个扇形里面也很，一个是在 b、 a、 d， 那 一个是在 c、 e， 那 那就考证呢？那第一问，因为 ab 等于 a c， 角 b， a、 d 等于角 b， a、 c 加上角 c、 a、 d， 角 c， a、 e 等于角 e， a、 d 加上角 c、 a、 d， 那 b、 a、 c 和 e、 a、 d 都是九十度，所以角 b、 a、 d 是 等于角 c、 a、 e 的， 然后 a、 e 等于 a、 d 啊，所以三角形 e、 a、 c 全等于三角形 d、 a、 b， 那 就可以得到 b、 d 是 等于 c、 e 的， 同时角 a、 c、 e 是 等于角 b 等于四十五度，所以角 e、 c、 b 是 等于 九十度，那就可以得出，所以 b、 d 垂直 c、 e， 且 b、 d 是 等于 c、 e 的 啊。这是第一问，还是比较简单的。第二问， 入图啊，延长交一点 f 连接 b， 既为 ab， 中点连接 g、 f 啊。第一问，当 ab 等于二，那它也是二， g、 f 是 垂直， g、 f 是 垂直，就是终点，又有垂直，它垂直，那 b、 c 是 不是？ b、 c 是 不是也是垂直？所以又有题义可得， g、 f 是 平行于 b、 c 的， 就平行于 b、 c， 那 g 是 中点，因为 g 为 b、 e 中点，所以 f 为 ec 正点，那他考的不？其实考的不就是中微线吗？那 bc 等于根号二倍的 ab 等于二倍，根号二， 那所以 g、 f 等于二分之一 b、 f， bc 等于根号啊。哎，第一问和第二问还是比较简单的，这样难在第三问，如图三过点 c 作 c、 h 平行于 b， a 交 a、 d 于点 h 啊。 a、 e 和 g、 f 相交于点 p， 如果它俩全等，注意它坑在这里，它俩全等，它并没有用全等符号，它中间写的是雨， 是吧？所以因为全等和相似中，我们字母要什么一一对应， 它这里没有给符号，所所以它的字母不一定是一一对应的，懂吗？那比如说 a、 c、 h 是 九十度，因为平行它 a、 c、 h 是 九十度，那 a、 p、 f 一定是九十度吗？ a、 p、 f 一定是九十度吗？ 不一定，但是它是确定它不一定。然后再来看， 求 c、 h 比上 c d， c、 h 比 c、 d， 那 很明显相似它两平行，那和三角形 c、 h、 d 是 相似于三角形 b a、 d， 也就 c、 h 比 c、 d 是 等于 a， b、 b 比上 b、 d， 然后你怎么办？那我们来仔细来看一下这道题，所以第一问的条件你是判断，所以我们是可以用的。把这下面擦一下， 因为它是延长，所以 u、 t 可以 得到什么？ 这个三角形 b、 c、 f 是 个等腰 直角三角形 b、 c、 f， 它肯定是个等腰直角三角形，那它有中点，所以 c、 a 是 垂直于 b、 f 的， 所以 a 为 b， f 中点， a 为 b， f 中点， g 又是他中点，正常遇到两个中点是需要连接的，所以连接 g、 a， 然后应该怎么办？ 连接 g、 a， 要想让它俩一一对应，那 u、 t 的 三角形 b、 c、 a、 r、 t 三角形 a 为 中点， 所以 a、 f 是 等于 a、 c 的 啊，刚才我们在说的字母要一一对应，那么 a、 f 等于 a、 c， 它是不动的，那我们现在应该是三角形 a、 f、 p 是 全等于三角形 a、 c、 h， 那角 a、 c、 h 是 九十度，所以也就是角 a、 f、 p 是 等于角 a、 c、 h 等于九十度。再写，也就是 a、 f、 p 是 九十度，那把这个图给它重新画一下， 记在这里。这是九十度， 那它是九十度，那应该怎么办？ g、 a 是 不是平行且等于二分之一的 e、 f， 对 吧？它平行写等于二分之一 e、 f， 那 么 e、 f 是 垂直 bc， 那 么 ga 是 不是也是垂直 bc， 所以 它垂直下来的话，那这个角就四十五度，所以，所以角 ga， f 等于四十五度， 所以三角形 g， a、 f 为二 t 等腰二 t 三角形， 那它也是个等腰直角三角，它也是个等腰直角三角，这里还是个等腰直角三角形它们三个，所以三角形 a、 b、 c 是 不是全等于三角形？ a、 f、 c 也全等于三角形 f、 g、 a， 它们三个三角形是相等的，三个全等的三角形， 那么全等。那么假设 a b 等于 a， 那 么 a， b 等于 a 是 不等于 a， c 等于 a， f 等于 g， f， 那么 bc 是 等于 f， c 等于 g， a 是 等于根号二 a， 那 么 ef 就 等于二倍根号二 a， 所以 ec 就 等于三倍根号二 a， 所以 b， d 也是三倍根号二 a 刚讲的是 c， h 比上 c， d 应该是等于 a， b 比上 b d， 那 a， b， a 比上三分之根号二 a 也就等于 六分之根号二啊。所以最后一题六分之根号二。难点是正因为你不确定好这是这一题。

这道题是刚刚考过的合肥蜀山区中考一模的填空压轴题，这道题想要顺利的做出来，你需要掌握引元的最大章角模型。什么是最大章角呢？它指的是如果有两个定点 ab 在 一条直线 m 上，还有一个动点 p 在 直线 l 上， l 和 m 这条直线位置是固定的， ab 两点是定点，那么 ab 这个线段的长度也是固定的。由于点 p 是 在运动的，所以这个角 a p b， 它的大小是在变化的。那么这个模型研究的是 p 点在什么位置，角 a p b 是 最大的。 先说结论，我们做 p a b 这个三角形的外接圆，当这个外接圆与直线 l 相切的时候， 那么此时这个切点屁撇就是我们要的是 a p b 最大的这样的一个点 p 的 位置。这个结论比较好证明，我们只需要连接切点屁撇和 a 点以及 b 点，那么就会出现一个圆周角， a p 撇 b， 我 们在 l 上任选其他一点，这一点与这个屁撇不重合。那么我们连接 ap 与这个圆交于点 q， 我 们再连接 q b， 根据同弧所对的圆周角相等，我们知道角 p 撇肯定是等于角 q 的 好，这两个角是同弧所对的圆周角，而这个角 q 是 肯定大于 这个角 p 的。 因此我们就证明了，当三角形 p a b， 它的外接圆与 l 相切的时候，这个切点就是我们要找的这个 p 点的位置。 来看蜀山区中考一模的这道题它的解析的过程。这道题呢，更像是一道作图题，如果你会引元做大章角模型的话，那么我们只需要做两个外接圆就可以了，这两个外接圆都要和 l 相切。 第一种情况，这个 y 结源于 l 相切的时候，我们是能够判定 p 点是要在 c 点的位置，也即是此时这个最大张角就是 a、 c、 b。 因此第一个空它，答案是六十度。我们重点来讲一下第二问，就是如何求 d 比上 ab 这样一个比值。 首先你要把这个外接圆做出来，假设这个外接圆和 l 相切于屁撇这个位置，那么我们从屁撇往 ab 做垂线，那么这个 ph 就是 题目中的这个小 d， 它比上谁比上 ab？ 由于题目中已经给了 a、 c 是 垂直于 l 的， 我们不妨将 ab 和 l 都延长，使它们交于 m。 这样的话呢，我们就构造了一个三十、六十九十度的直角三角形， 也即是三角形 a、 c、 m， 它是一个特殊的直角三角形。我们假设 ab 边长为二， 由于角 a、 c、 b， 这是六十度，那么角 b、 c、 m 这个角就是三十度，因为 a、 c 是 垂直于 l 的。 没问题，这个角是不是就等于这个角 都是等于三十度的？因为这个角 a、 b、 c 是 六十度，那么 c、 b 这一段是不是就等于 b、 m 这一段都是等于二的？由于 p 撇 m 是 切线，那么 p 撇 m 的 长度的平方就等于 b m 乘以 am， bm 等于二， am 等于四。所以我们推出 ppm 是 等于二倍的根二， ppm 是 二倍的根二。由于这个三角形依然是三十、六十九十度直角三角形，我们就推出了这个小 d 是 等于二倍的根二。再除以二是等于根二的 最后一步， d 比上 ab 是 不是就等于根二比二结束了？

有同学问张老师，那我们安徽省有没有考察过引缘 啊？引缘有没有考到那张老师呢？啊，给大家讲一下咱们往年的二零二三年的安徽中考第二题，这个几何题就考察了引缘。 那引圆的话，各位同学大家都知道啊，如果一个圆，对吧？他们所对应的直径所定圆周角一定都等于多少度？等于九十度，对不对？对吧？只要是直径所定的圆周角都等于多少度？九十度，对吧？ 如果说，对吧，给你一条直线，如果这个是多少度？九十度，这个是多少度？九十度说明 a、 b、 c、 d 这四点一定，干嘛 一定共圆啊，也有这种什么逆向思维啊，逆向思维啊，就是隐形圆，咱们平时啊，课本上没有，但是呢，嗯，这也是一个什么要掌握的一个什么 方法啊，要掌握的方法啊，一定要掌握，叫引圆。那张老师呢，给大家分享下第二题的解析的思想或者是逻辑。什么思维？ 那第二题的话，我们看一下，他说 r、 t 三角形 abc， 对 吧？而且呢， m 是 什么？它的终点？看到 r t 三角形中点，我们一定要想到什么呢？ 想到的是这个角为直角，而且是直径，这个什么想办法连接它，为什么呢？因为这个 半，嗯，中线对吧，就等于什么？斜边的一半，对不对？中线就等于斜边一半，这是一定有这种意识在里面啊，中线对吧，就等于斜边的一半啊。继续走，他讲什么？ m a 对 不对？绕着什么 m 点 旋转到什么地点，对不对？说明这旋转什么？这两个什么角？这两个直线是相等的，而且呢，这个是什么三角形？等幺三角形，对吧？等幺说明这两个幺，说明这两个什么？两个底角是相等的，对吧？能得到这些什么？这个条件能得得到这些结论。 第一小题，他让你求什么 a、 d、 b 的 什么度数，我们一看有点像什么直角，对吧？那如果来证明呢？好特别简单，进行什么 倒角啊，大家跟我上过的时候，我们这要把相等的角都写成什么 x 和什么 y 来硬啊， x 和 y 来硬，这样的话就比较什么明了 啊，简单明了。你看一下两个相等的角，我都设为多少 x， 对 吧？ x， ok， 又因为 这个这个小，你看 m 是 ab 的 中点，所以说 am 就 等于什么 md， 又因为 md 是 它什么旋转过来的，你说这三条边相不相等，相等说明这个三角形也是什么？等腰三角形， 那这个也是等腰三角形的话，那他们两个底角是什么？也是一样的，那相等的角就是多少 y y， 所以， 对吧？在三角形里面，内角和两，你看 x 加 x 加 y 加 x， 也就是说三角形的内角和是多少 x 加上 x 加上 y， 对 不对？再加上 y 等于多少？等于一百八，对吧？三角形的内角和等于一百八， x 加 x 加 y， 也就是说两个 x 加上两个 y 等于多少？等于一百八。所以呢，两边同时除以几除以二，对吧？就等于几？ x 加 y 等于多少度，就等于九十度。你看一下 题目，让我们求什么 a、 d、 b 的 这个是什么？也就是 x 加 y 对 不对？多少？九十度，所以说什么？所以角 a、 d、 b 就 等于多少 x 加 y 等于多少度？ 等于九十度， ok 啊，第一小问呢，就解决了啊，是九十度没问题吧？一定要记住，张老师的话，相等的角就设为什么 x， 另外一个相等的角就是 y， 这样的话就迎刃而解了。 如果说你写什么这个角，再写什么 d， a m 又是 a， d， m 又是什么 m d b 又是什么？ mbd， 这样的话，全部都是字母，全部都是字母的话，就会什么看的什么。呃，乱啊，有点乱对不对？你画成这样的话就迎刃而解了呀，对吧，这是一个解析的什么？呃，小小的什么技巧啊？小小的技巧，来看一下第二小问，第二小问的话， 他说这什么是垂直，那这个角是垂直的话， ok 啊，那这个角是垂直，对不对？ ok 啊，那刚刚已经证明。第一小问已经证明了这个角是多少度？是九十度， ok 啊，画一下啊，各位同学看一下， 看到九十度，看到九十度，而且他们所对应的什么，所对应的都是一条直线啊，你要有立刻脑子，大脑又有反应，什么叫做引元 啊，一定有引圆这种感觉。题目让我们证明是什么， b d 与 c、 d 是 否相等？如果说啊，画一下啊，如果说，这对吧，四条四点更圆， ok 啊，那这四点更圆的话，要想证明题目说 b d 等于 c d， 对 不对？ 证明这两个，我只要证明什么，他们的圆周角相等不就行了吗？对不对？圆周角相等对吧？那后面的什么对应的什么悬就相等？逻辑思维啊，就是 共，就是同圆啊，同一个圆同圆，对不对？ ok 啊，能推出什么？是如果是什么圆周角相等，圆周角啊，圆周角 相等，就能推出什么玄相等，对不对？玄相等 好，这种思想对吧？就问题中转成这样子，那我如何证明这两个角相等呢？ ok， 好， 来，首先我只讲思想啊，首先这个题目已经给了，对不对？ d e 与这个什么 ab 是 平行的，这条直线平行，这是垂直，这是垂直，说明什么？ 同位角相等两直线，什么平行四边形， 这个是平行四边形的。所以说 ed 与 mb 是 什么平行且相等的，又因为 ad 和 d， 又因为 ad 和什么和 md 是 什么是相等，所以说导致什么 ed 等于 mb 也等于什么 am， 所以 a e， a d 等于 am， 且也平行，所以说 a m d e 是 什么平行四边形，对不对？平行四边形，再加一个对角线垂直，说明这个角就是什么菱形，那菱形的话，对角线是什么？ 互相平分对吧？对，角线是平分什么这个角的谁能推出什么？这个角和这个角什么就相等了，对不对？ ok 啊，所以呢，这个角是相等的，角就是 x 吧，好吧，所以说这个角和这角相等，那相等的话，那同圆对不对？所， 对吧？同一个圆，他们的圆周角是相等的话，那锁定的弦不就相等吗？对不对？ c d 就 等于什么 d， b 就 推出来了呀。 ok 啊，没问题吧。第一小问啊，就是什么考察的是引圆啊，引圆好，来紧，看第三个。 第三题的话啊，我们安徽省中考，嗯，基本上元就是第十八题是十七题啊，是十十九题就考单独考元的话是不考什么相似的， 单独考元是不考相似的，但是二是二题的话，他是考着几何，一定是结合什么相似来进行什么考察，对吧？那第一、 第一小问和第一小问没有用的相相似，那第三小问的话，你要有这种意识在里边了，肯定会考察什么相似三角形，要有这种意识，对吧？ ok， 那 看已知条件， a c 是 等于八的，对吧？ bc 是 等于几？是等于六的，那这垂直根据什么勾股定律说明 b d 等于几， b d 就 等于六八十。因为 m 是 什么？是 ab 的 中点，所以说这是几，这是五，这是五，对吧？ ok， 让我们求什么？弹顶 abe， 我 们知道 三角函数大前提在哪里？跟背景来背景使用是在什么？是在直角三角形，对不对？ 直角或者是什么？在啊，在大前提是在 r t 三角形啊， r t 三角形也就在直角三角形，那这里面有没有直角三角形？没有，没有。要，要在什么？要怎么办呢？要构造对吧？要构造直角三角形，那我连接什么？我连接 这个， ok， 去到 h 吧。好吧， ok， 那 这是垂直的， ok， 那 做垂直过后呢？现在就转化成了多少这个弹性的比值，就转化成什么 e h 比上什么？ 比上 h b， 对 吧？ ok 啊，它这个弹性就转这样的，我只要求出什么 e h 和 h b 就 行了，因为在这个三角形使用什么弹性，对不对？拿 e h 比上什么 h b， 那只要求出这个边和这边相等就行了，对不对？好，我们再来，因为有第二问，知道，对吧？这个三角形为什么为菱形，对吧？为菱形，因为这个边多少五，这个边是五五，所以 a e 也是五，对不对？ ok， 菱形， ok， 那 这结 我给你这几八减五等于几？等于三，对吧？这是三， ok， 我 在想，哎，这个是垂直，这个是是垂直，这是不是对折过来的，有没有可能这个是三呀？如果这是三的话，这勾股定律，这是四，对吧？那五五对吧？我，我在想有没有可能， 但是呢？人家没有说，但是我要证明，对不对？我要证明，你看，看到九十度，看到九十度，你看到这两个三角形干嘛？ 什么？什么形？反 a 字型，对不对？相似三角形里面的反 a 字型共角九十度，对不对？对吧？九十度。所以三角形 a、 h、 e 和什么？和 a、 c、 b 这两个三角形干嘛？明显的相似，对吧？相似过后我们看一下。 嗯，这个三角形的斜边是五，这个三角形的斜边是十，对不对？也就是 a、 h、 a、 e 比上什么 ab 是 多少？是五比十，多少？一比二， 那这个呢？他的直角边 x 对 应的什么？直角边 x 对 应直角的直角边是多少也是多少？二比一对不对？那这是六的话，那说明这只能等于几，等于三，对吧？三比六是二比一嘛，对不对？所以说这个点，这是三，那这是三的话，根据在这个三角定力，对不对？这是五，这是三，说明这是几， 这是四，对不对？那这是四的话，好，这是四，那这个是的是多少？ h m 是 多少？那五减去四等于几？等于一，对不对？那这是一的话，那 h b 是 多少？一加五等于几？ 等于六，对不对？ ok， 这是一，所以这个总长就等于多少呢？一加五等于六，所以啊， h b 就 等于几，就等于六，对不对？ ok？ h b 就 等于几，就等于六， 那 e、 h 是 刚已经算出来等于几，是等于三的，对吧？往里面一带就等于几，就等于二分之一，所以呢，最终答案应该是多少？应该是二分之一。 ok 啊，二分之一，所以弹琴呢就能求出来了呀，对吧？ ok， 我 想讲这个题呢，就是大家在做题的时候要有这种思想。什么思想呢？看到两个直角三角形的话，对不对？是不是，对吧，要想到什么 引援对吧？你平时用不到的话，但在考场上的话，你脑子里要有啊，对吧？要有啊。而且是第二十二题的话，安徽省中考往年的经验是一定会考察什么相似，如果你没有用到相似的话，前两位你没有用到相似。第三小问的话，你一定要想办法用到用，用到相似， 好吧。 ok 啊，今天呢，就啊，再再复盘一下吧。好吧，第一小问就用到什么？关于这个设相等的角就是 x， x， y， y， 对 吧？第二个就用到什么引元，第三个用的是什么？反 a 字型，求什么。 呃，是相似三角形反 a 字型的模型和勾股定律对不对？还加一个勾股定律啊，对吧？还有三角函数，好吧，考察这几个点啊。行，就给张老师点点关注点赞，陪你到中考，拜拜拜。

各位同学大家好，我讲题你点赞，很多同学刚刚考完了四二零的试卷，对不对？反应的难度呢？比较大啊，难度比较大，那从这个试卷整体来看的话，重点是考察的主要是什么？几何啊，与什么与 这个结合的代数再去考察啊。难度呢，就是考察的方向，因为结合从安徽省考题的方向来说，从二零二三年到什么二零二五年的话，对不对？他主要是，嗯， 这个让你们什么计算能力，以及以及他就是备考的方向，咱们备考的方向一定要倾向于什么叫初高啊，初高衔接啊，初高衔接， 嗯，主要就是什么英式分解啊，英式啊，英式分解，对吧？英式分解和什么和，让你求带什么参数？ 带参数让你求什么？求最值啊？求最值啊，从这两点呢来进行结合，来，我们来备考，好吧，那这个题的话就是结合着这个来考察的。来，我们一起来看一下四二零的自由题，二三题关于函数的压轴题啊， 来，他说这是什么抛物线，对吧？这是一个抛物线，他呢给了这题目就是一丢丢，对不对？ oc 就 等于 ob 没了，是吧？然后呢？这是什么对称轴，然后让你求什么？ b 是 在这里对吧？求 m， 那根据已知条件的话，我们能不能求出来啊？能，对吧？因为当 x 等于零的时候，这个抛物线，当 x 等于零的时候，它对应的是什么？ y 对 不对？ ok， x 等于零的时候， y 等于几？ y 是 等于三，对吧？所以 c 点的坐标就得就是多少零度三，那 c 点的坐标是零度之间，也就是 o， c 的 长度是几 是三，因为 oc 等于什么？ ob， 所以 说 ob 是 几， ob 也是三，所以 b 点的坐标也能求出来是多少是三到零， c 点是多少？是零到三，对吧？ ok， 那 知道， 知道 b 点的坐标了，那往里面一带对吧？因为 b 点是满足什么这个抛物线呢？把？ b 点的坐标呢？往里面一带是不是就能求出来了？这个 b 好， 往里面带就等于多少？零就等于负的什么？三的平方加上的三 b 对 不对？然后呢，加上三对吧，这个 b 就 能求出来？ b 就 b 就 等于多少？ b 就 等于个经过计算等于几 等于二，对吧？ b 就 等于二， ok， 所以呢，这个方程就等于几？负 x 平方加上什么二， x 加一， 那 m 怎么求？ m 是 对称轴对吧？对称轴又等于多少？就等于负的 i 一 分之 b 对 不对？好，你往里边一带就等于多少？就等于一个，这边是 i， 这边是多少？ i 乘以几， i 乘以负一， 对吧，是不是就等于几就等于一对吧。对数是等于一了，说明 m 就 等于几， m 就 等于一。好，现在来说呢，还是比较简单的， m 是 等于一，对吧？ b 等于二没了吧。啊，第一小问的话，大家都能拿到分啊，至少四分吧，我觉得啊， 来继续第二小问，第二小问的话，他给的是，嗯，说这是一个什么一次函数对吧？表达式， 然后呢，与这个什么对应，轴交点是 m 对 不对？就是 p 点，然后根据这个面积让你求 k 的， 我们这要想，你这 k 是 哪里的？ k 是 什么？一次函数这里面的，你要想求出一次函数的 k， 我 只要什么，找一个点满足它对不对？你 c 点满足它了，但是你 c 往里面带能不能求出？ k 不 能，对不对？ p 点，你 p 点往里面带是不是就能求出来了？所以说我只要把 p 点的坐标求出来就行了，那 p 点的坐标如何来求啊？那根据已知条件来，对吧？他说了什么？这个是面积，嗯？这个面积和什么？和 amp 的 面积，这两个面积的话啊，我看到什么？他们什么？他们高是一样，对不对？对吧？高是一样的，那底呢？其实它面积之比就等于几，就等于 cm 比上什么？比上 mp 来转化一下， 所以就等于几，就等于 s， 对 吧？ a c m 比上什么？比上 s， 三角形， a p m 这个三角形面积之比就等于几？把这 i 呢？把这三除过来，对不对？那你，你高是一样的，对吧？你高是一样的，说明什么？他们底 就变成底之笔了，对不对？是不是？你看二分之一，对吧？乘以 c， m 乘以高，这边呢？二分之一乘以多少？乘以 m p 乘以高就等于几？三分之一，对吧？高，高约掉二分之一，二约掉，其实就能推出来。什么 mc 比上什么比上，这是 m p 啊， ok？ m p 之比就等于多少？就等于二比三，所以说这个是二，对吧？这个是，这个是三。我们知道 m 点的坐标又是什么？它的什么对准轴，这几等于几？等于一，对不对？ 那这个点 x 等于一的话，那说明的话，我延长它行不行？然后呢？做它， ok， 那 这个三角形和这个三角形干嘛呢？相不相似是什么形，对吧？平行吗？是吗？八字形。那八字形的话，这是二，这是三，对吧？二比三，那这个呢？长度不就是吗？多少？一，对不对？那这是一。所以说根据这两个三角形，干嘛说 相似就能求出什么？就能求出这个点的？这个点的什么坐标？我不，这就是这个长度吧。 a， b， c， d？ 嗯，这是 d 吧。好吧，就能求出什么 md 了，对不对？来看一下他比他是多少？ 这是二，这是三，这是一，对不对？ ok， 来，就等于二比三就等于一。比什么 md？ 谁说 md 就 等于多少？二分之三，你 md 是 二分之三了，这是几？这是一。说明这点的就等于多少？就一。加上二分之三就等于几，就等于二分之五，对吧？是不是？所以 p 点的坐标就等于几？ 嗯，红坐标就等于二分之五，对不对？ ok， 那 屁点的正坐标怎么求？我只要能求出屁点的正坐标，那屁点坐标不能求出来吗？屁点坐标又什么又满足？这个什么意思？函数比特市往里面一带开不就能求出来了吗？那红坐标就知道了。我们知道屁点是不是也在什么 抛物线上，对不对？你把什么二分之五，对吧？带入这个抛物线就能求出什么对应的 y 了。好，往里面一带就等于多少？往里面一带？ 嗯，我要不要算一下我在哪里？我在哪里算？我在这里算。好吧，行不行？好，往里面一带， y 就 等于几？就等于负多少？嗯，二分之五对吧？平方加上二乘以多少？二分之五对吧？加上三对不对啊？所以说 y 就 等于多少？看看 y 就 等于四分之七，对吧？ ok， 口算四分之几。所以说 p 点的坐标就等于几，就等于四分之七。那 p 点的坐标已经知道了，满足这个什么表达式。往里面一带不就能求出 k 了吗？好，再算一下。所以往里面一带就等于几？等于四分之七就等于多少？ 就等于个二分之五开，对不对？加三，所以开就等于多少？等于负多少？二分之一，所以这个题开不就能求出来了？各位同学，简单不？对吧？也挺简单的啊，没问题， 那紧在第三章的话，考察难度就有点大了。这个就是刚刚我说的什么含参数问题来进行什么因式分解呀，求它的最大值，最小值啊，对吧？这个你要分清楚，不要把什么把已知条件和参数问题搞混，好吧，这个就是衔接着什么高中的你们高一的内容。 ok， 好， 来看一下。 嗯，第二个，对吧？他把这个图呢，整体向下平移多少？平移 s 对 不对？整体向下平移 s， 这个是 s， 是 吗？是已知条件啊，这个，这个高度是 s 对 不对？又是，嗯， c， d 是 s， 对 吧？ 然后呢？这个是什么？还是 x？ 等于几？等于几，对吧？比较简单。然后呢？这个垂直对吧？ ok， 然后呢？ d e 对 吧？乘以什么？嗯， d f 就 等于什么？就等于 t。 首先看这个平移下来是平行，这个呢？平行说明这个四边形 是什么形？是什么形？明显的什么？平行四边形的话，那这是为底， 这个是为高，对吧？你这本来不好看，你给他移到移到这个位置行不行，对吧？因为平行吗？他们的距离是相等，这个是以为底，这个就为高，对吧？是不是？而且呢， 平行以这个是为底行不行，对吧？以这个是为底，那这个为高，这高是多少？是一对不对所而已，对吧？那平行四边形的面积啊，四边形啊，其实平行四边形的面积啊。 ok， 就 等于几？嗯，平行 好，平行的面积就等于几？就等于。嗯，这个 t 对 吧？就等于 s 乘以 d， s 乘以 e， 对 不对？底乘高嘛？ s 乘以 e 乘高，所以就能得出什么， 就能推出来了。 t 就 等于 s， 对 吧？你 t 的 时候，你把 t 都给它换成什么？换成 s， 换成 s， 换成 s， 给它换掉不就行了吗？所以呢，这个就等于多少？就等于？ 嗯， s k 的 平方加上 s， k， 对 吧？加上什么？四分之 s 减去几？减去一，对吧？ ok， 好， 那这里面哪个是常数？我们知道 s 是 什么？ s 是 常数，对不对？那 k 呢？就相当于什么？ 其实这个就相当于这是 a， 这是 x 平方，对吧？你该看成什么？看成 y 等于 x 加上什么？加 c 看成什么？一元 x 方程问函数就行了，对不对？是不是？所以说这个什么？这是常数，对吧？这是 x 加上什么？加上 b， x， 对 不对？ 是不是，对吧？这个呢，就是一个常数，对吧？ ok， 那 你进行干嘛呢？进行。呃，进行那个玩玩具平是，对吧？经过一划减就等于多少？就等于？或者你，或者你直接应， 或者是你直接用多少？ x 等于负的 a 分 之 b 啊， y 等于几？ c 分 之什么？ c？ c 减去 b 的 平方，这也可以，对吧？ ok， 那 这个明显的是什么？ s 是 什么？ s 是 大于零的， s 相当于 a， 对 不对？ s 是 大于零，说明是什么？开口向上，开口向下。在对准轴取到什么最小值，能听懂吗？对不对？在对准轴取到最小值，所以你给他画一下，对吗？就加上多少二分之一的平方，然后呢？减 e， 对 吧？所以什么？所以当 k 等于负的二分之一时候，这个角的最小值是几？嗯，令他，我又挖一把，好吧，令他挖一下对吧？所以挖一下嘛，最小值啊，最小值就等他就等于负一，对不对？是不是？这是我自己令的啊，自己令的，和他没关系。那我就为了区别一下吧。用看成 m， 嗯， z 吧。好吧，令它为 z 啊，好吧，这样的话就有什么区别度，对不对？ ok， 好 啊，令它整体为 z， 令这个整体为 z 啊， ok， 就 能取得最小值几最小值为 e 啊。嗯，最小值。这又是它的什么啊？ 最小值对吧？其实呢，如果你平时练到位的话，这样题也挺简单的，主要是就是结合的是什么 叫含餐问题的最值啊？他是结合第一个，我再复盘一下。就是什么因式分解啊？因式分解，因式对吧？ 分解来什么？就是和代数啊，几何啊，因式分解还有什么？含参数，含参数求什么？求最值问题？求最值。值 值问题对不对？最大值，最小值。那你们高一的时候对吧，函数对不对？单调递增啊，单调递减啊，有什么最小值，它就是结合的什么？你们出来学的？ s 函数来学的。 ok？ 好， 今天就分享这里了，希望给大家呢能带来点收收收获啊。你点赞 呃，我你点赞我讲课陪你到什么？中考评论区回复中考必胜，拜拜。

来吧，朋友们，蜀山区的一模数学试卷，这个试卷考完之后，不知道多少学生要崩溃了啊。先说一下整体情况，选填题的话难度挺大的，特别是在考试的情况之下，要先把每一个题目都分析好，然后写对的话，不是一件容易的事情。 计算题整体还行，除了二十二题的第三小问，还有二十三题的话，其他题目中规中矩。二十三题呢，和其他区的考试的试卷题目是一模一样的啊。如果说你写过的话，那么你很幸运。好，我们看一下每一个题目考的什么知识点，然后他的一个作题思路是什么样子的。 第一题绝对值，这个不用多说啊。第二题，三式图，这个三式图的话呢，先看俯视图，可能更好去选一点，如果说你直接看这个主视图和左视图的话，可能不太好看。 第三题，科学基础法不用多说。第四题，逆的运算。第五题，三角板。三角板的往年考过很多次啊，但是我感觉不会考这么简单的。 这里呢，我是用外角来算的，当然你用其他方式也可以。这个角一啊，是这个小三角形的外角，那么角一的度数呢，应该是等于九十度加这个角三的，先算出角三，角三和角二是同位角， 快速推理也是可以的啊。第六题考的挺好的，这个题目呢，是咱们近些年的一个考试的方向，叫学科综合，考的是物理的杠杆，还有数学的概率放在一起的。 首先要用物理知识计算出，在 m 这个地方需要悬挂五十克的砝码，两边才能够平衡。这第一步，第二步去计算概率，一共是有十二个情况，其中符合要求的是四个，所以这个，嗯，选项应该是三分之一的啊。这题挺好的， 第七题，第七题虽然说是一个正比的函数问题，但是也没有这么的简单好吗？ a 选项不用多说啊，只要你会数格子就能算。难点在于乙和丙。 先看一，若在直线 y 点， k、 x 两侧点的个数相等，要想在两侧点的个数相等啊，直线只能位于 l 一 和 l 二这两个直线之间，在其他位置都是不可以的，而且 l 一 和 l 二这两个直线也是不能取的。 先计算出 l 一 和 l 二这两个直线的 k 值， k 值怎么算呢？直接在直线上取一个点，比如说 l 一 这个直线，我们就取 a 六这个点， a 六的话呢，是二二， 因为它是过圆点的，所以直接拿 y 除以 x 就 可以了，对吧？这个 l 一 的 k 值呢，是等于一的， l 二选择 a 五这个点，坐标是嗯，二三， 然后直接计算 k 值， y 比 x 是 三比二，所以说让 k 大 于一小于二分之三就可以了。注意啊，不能取等号 柄的话呢，也不好分析啊。直线与折线段相交，注意啊，这是一个折线段相交。我们先看从 a 三到 a 四， a 三到 a 四这一段，这些点，他们的纵坐标是不变的 啊，不是横坐标是不变的，纵坐标是在减小的，我们算 k 值，怎么算？是不是拿 y 比 x 啊，对不对？在这个阶段上，横坐标不变， y 在 减小，那是不是意味着整个比值在减小啊？ 从 a 四到 a 五这段，横横着的，也就也就是 y 不 变， y 不 变， x 在 增大，那是不是意味着整个比值还是在减小呀，对不对？所以从 a 三到 a 四再到 a 五， k 值始终在减小的饼是错的。好吧，第八题这个题呢， 我最开始的时候画的是这个图像，画的是一个大概的一个锐角三角形啊，但是画完之后发现，嗯，好像 不太行啊，不是，画的是一个钝角三角形，这个角 a 啊，角 a 画的是一个钝角啊。但是后来我也把答案写出来了，写出来之后我去分析了一下这个，这个图是不太合理的啊，不知道你们有没有去尝试。为什么不合理？首先考的什么知识？我们分析一下 角 b 是 角 c 的 二倍倍角问题，一般是对称或者是直角分线的，做 b、 d 平分角 b， 那 么这三个小角度数是相等的。 首先因为这两个角相等，再结合公共角相等，可以得出 a、 b、 d 和 a、 c、 b 相似，这么形相似，相似完之后，根据对应边比例相等，在这里啊， 求出 a、 d 的 长度， a、 d 是 等于三分之八的， a、 d 知道了，那么 c、 d 这段以及 b、 d 相等，为什么相等呢？因为这两个小角相等啊，对不对？相等之后，嗯，再根据刚才的相似 b、 d 和 bc 对 应边， 已知 ab 和 ac 的 对应边比值是二比三，那么 bc 长度呢？是可以求的， bc 应该是等于呃，等于五的，在这里啊，计算的话没有问题，答案也是对的，但是在分析的时候发现一个问题，什么问题呢？看这里啊， ab 边长度为四， b、 d 边长度三分之二，根据大角对大边， ab 这个边对你的脚按理来说应该是比 b、 d 边对你的脚还要大呀，对不对？那如果说按照这个图来画的画的话，不就不合理了吗？ 老铁，这个意思吧，就是答案能算，但图像画的不是很合理啊。然后的话呢，我又重新画了一个图，我把脚壁这个位置画成一个钝角，这时候就合理了好吗？脚壁画完钝角之后呢，计算过程跟刚才是一模一样的，但是分析的时候就合理多了。 第九题，第九题呢，看似是一个新定义问题，实际上考的是函数图像消僵的问题。 对于一个函数而言，如果存在，注意啊，这个地方是存在，存在 x 取 m， y 也取 m。 把这句话给它重新翻译一下，就是在一个含。对于一个函数而言，如果它能与 y 等于 x 相交， 注意啊， x 取 m， y 也取 m， 那 这个点不就是在 y 的 x 这个直线上吗，对不对？对于一个函数而言，如果它能够与 y 等于 x 相交，那么这个函数就被称为什么自反点函数。把一个新的定义转化成咱们学过的知识啊。 那后面的话呢，就非常好看了。我要想判断 y 等于负 x， 以及 y 的 负的 x 分 之二，他们 与 y 等于 x 有 没有焦点，去画图不就可以了吗？对不对？要想判断他们是不是自反点函数，直接画图，这个是 a 选项啊，这是 y 点负 x， 这是 y 点 x 有 焦点，而且只有一个焦点， 这个是 y 等于 x 分 之负二，这是 y 点 x， 这个时候是没有焦点的，对不对？那没有焦点你还能是自反点函数吗？根本不可能的呀。第三个也可以画图，这是 y 点 x 平方，这是 y 点 x 画完之后也是有焦点的，其中一个焦点就是零零， 对不对？所以说第三个是没问题的，第四个注意了，他说已知这个函数是自反点函数。什么意思？翻译一下，这个函数与 y 等于 x 是 有交点的，把函数交点问题转化成方程的根的问题，令它等于 x 转化成一个方程，这个方程有根就可以了。好吧，判别式大于等于零这个地方 c 是 小于等于四分之九的。这个题啊， 考的挺不错的，我们中那个安徽中考题啊，之前考什么题目啊，都是给你画一个图像，让你通过图像判断函数的焦点位置，或者是让你去选图像，考这个比较多对不对？但是这两次的模拟卷，我发现啊，他现在 不再单单的说我给你一个图像让你去观察，不是这样的，而是更灵活了，好吧，需要你对吧？对这个知识点啊，掌握的更加的呃，灵活一些。第十题，这个题呢，也不好写啊，直接上来 a 选项，直接一棍子给你干蒙了。 好吧，这个题我是画了四个图像，画的有点乱，我们一个一个看。首先看 a 选项三角形 p m n 面积的最大值，这个 p m n 的 面积肯定是等于什么，等于底边 m n 乘以这个高 ph 的。 这里呢，我们可以去用代数法求最值，这也是一个常见的方式啊。 假设 b m 和 b n 长度为 x， 那 么 m n 的 长度应该是根号二 x， 这是第一步，第二步， b n 知道之后， c n 长度应该是四减 x， 然后这个三角形是一个等腰直角三角形，所以说 p h 的 长度应该是等于 c n 除以根号二的， 把 m n 和 p h 用 x 表示完之后，根据面积公式就可以建立一个 式子。注意看啊，这个你们自己看过程，我只是讲一下思路，然后我们发现啊，这个式子不就是一个关于 x 的 二次函数吗？二次函数求最值不就可以了吗？对不对？当 x 去二时，最大值是二，这个二是最大的，这第一位啊， 第二问他说点 p 到 m n 的 最短距离，画的在在这，在这一块这里呢， m n 和 ec 啊，应该是互相平行的，要想让 p 到 m n 的 距离最短，我是不是想办法让这两个直线 尽可能的离近一点对不对？又因为 m 点只能在线段 a b 上移动，所以当 m 放在 a 这个位置的时候，这个直线和 ec 距离应该是最短的，没问题吧。再结合已知信息，此时的 a e 长度应该是等于一的， 点 p 到 m n 的 距离应该就等于这个 e h e h 长度根据它是一个等腰三角形，可以快速写出来。 e h 应该是一比根号二，也就是等于二分之根号二的。 这第二题呢，倒还行，第三题考的是一个什么呀？将军一马结构啊，线段值和最值问题一般都是将军一马结构，这里已知 b m 取一， b， m 是 一， b n 的 长度也是一，这个时候非常的凑巧，注意啊，很巧合，怎么巧合呢？我把这个 e n 啊连起来之后，我们发现 e n c d 正好是一个正方形，正方形有什么用？帮我们进行线段的转换，把 pm 加上 pm， 然后把 pm 呢？关于 e c 对 称，对称到地点对称之后就变成了 pm 啊，不好意思，应该是这段啊， pm 加 pd 对 不对？ pm 加 pd， 接下来就是经典的。 呃，三线叫什么啊？三点攻线， m 点 p 点和 d 点三点攻线式，也就是说， 这个线段长度就是我们要求的两线段之和。对折问题，计算一下，这是二，这是四勾股定力，这长度就是二倍，跟上五了。好吧，这个地方有巧合啊， n 点，当 b n 取一的时候，这个地方正好是一个 正方形，然后 p n 转化到 p d 去了。第四问，第四问的话呢，我没有去计算，而是借助这个对称型来分析的。什么意思？注意看啊， 这个三角形 b m n 是 一个什么呀？等腰直角三角形，然后呢，我过点 b 做了一个垂线，这个垂线两边应该是对称的。我现在假设啊，假设在这个位置 能够使得 pm 加 p n 取四，根据对称性， p 一 如果和 p 二对称的话，那是不是意味着 p 二 m 加 p n 也能是等于四的，对不对？所以说，要想让两线段之和为四，那么 pc 长度肯定不是只有一个值的， 明白吧？那你可能又会讲了，有没有可能存在一个情况，使得这个 pm 加 p n， 它的取值正好只有一个值，这个值还是四呢？当然是有可能的，当点 p 恰好处于这个位置的时候，同时呢，又让 pm 加 p n 取值为四，这个就非常特殊了，对吧？但是这个地方求出来之后， p t 长度肯定也不是等于二分之三倍。根号二的我没有算啊，我没有算这个 d 选项呢，就排除了，所以这里选 d 的。 这题挺好的啊。第十题，挺好的一个题目，考察这个垂线的最短考的将军一马。最值问题，考的一个代数式，求最值的问题， 十一题解不等式，十二题因式分解。这个不多说，看第十三题，十三题反比函数问题，也是安徽的这个常客啊常客，这个地方呢，我写的并不算简单，如果说你有好方法的话，我希望你能够分享一下。我是， 嗯把这个斜线段转化成水平线段的，什么意思啊？他不是告诉我 b、 c 和 i o 比例为 m 吗？我过点 a 做个垂线，过点 c 做个垂线， 这里可以出现相似三角形 a， d， o 和三角形 c， e、 b 是 相似的，这个思路叫什么？叫？呃，通过构造相似，把斜线段转化成水平数值线段，这个思路在二十三题这个位置也是经常去使用的。 那接下来有相似之后，我就开始设点了呀。假设点 d 的 横坐标为 a 零，那么点 a 的 坐标应该是 a， a 等于 k， 注意，因为 a、 b 和 ao 相等，所以点 d 应该是 b o 的 中点。 接下来就是去表示线段 o， d 长度可以表示负 a， a， d 长度可以表示 a、 b， n、 k， 然后再利用相似， 相似的话不就产生关系了吗？对不对？然后接下来把线段长度用 m 表示一下，表示完之后把点 c 的 坐标算好，接下来根据点 c 在 图像上建立一个等式，建立完之后，最终就剩下了一个关于 m 的 方程了 好吗？这个计算过程你们可以自己看一下，我主要是讲一下我的思路。好吧，最终求出来之后呢， m 应该是等于根号二减一的，而且在考试的时候你要想写出来 没有这么简单，所以我才说选择题和填空题难度偏大那么一点点，你想一想，十三题我就写不出来的，那十四题怎么写？直接崩溃了对不对？这第三十三题啊，呃，我感觉算的时候也不好算，需要耐心的算 十字题。这个题啊，我看很多老师都讲这个叫什么弥勒定律，什么最大的角问题。没问题啊，谁都会，只要你研究过这个题，拿出来之后都知道是一个最大角问题，但是我跟你讲，第二题你真不一定好写。当然了，可能李老师是因为水平有限，我在写的时候花了大概有十几分钟 才把这个东西非常确定的知道确实是等于二分之二的，也可能是错的，但是我还是讲一下我的分析思路啊。 第一题不多说啊。嗯，平行的时候，然后当。嗯，这个什么叫啊？画一个外接圆，画一个外接圆，这个圆呢？圆，嗯，圆心在 o 这个位置，然后点 p， 正好是介于点 c 这个位置的， 这个最大角正好是 a c b 啊，如果说你对最大张角研究过的话，这个 a 选第一个选项是很容易写对的，如果你没没研究过，你肯定也不知道我讲啥，那你就去研究一下就可以了，好不好？我们重点讲第二位。 第二位难点在于什么？在于我不知道圆心在什么地方，假设点 p 在 这个位置。注意看啊，假设点 p 在 这个位置， 假设圆心在这。我只能判断 o d 和直线 l 肯定是垂直的，但是这个角度是不知道多少度的。我看作业帮上面的答案啊，给我来一个什么六分的根号三，当时我一看，我有点 有点蒙，因为我答案写的是二分之根号二，对不对？然后呢，我又研究了一下，我发现他纯扯，答案就纯扯的好吧，根本就不对啊， 怎么写的呢？首先 o p 和直线 l 垂直，之后通过这个垂直可以先得出来这个小角和这个小角是三十度，看到三十度我非常的兴奋，因为他的线段关系可以快速求解。 过点 p 向 n c 边做个垂线，假设这是 m 点。啊，这是 m 点好射线段，我是从较小的片段开始射的，假设这是 a， 那 这就是二 a， 这是跟上三 a， 因为这是三十度，所以说这段三 a 也可以快速表示。接下来向 o n 和 b n 的 长度就没有办法用 a 表示了，为什么？关系不知道， 对吧？没有关系怎么办？再设一个参数，假设 b n 的 长度为小 b， 那 么这个 c n 长度应该是根号三 b， 接下来把 o n 表示一下， o n 应该是等于根号三 b 减去四 a。 啊，注意啊，在这个地方我挡住了，我的头像挡住了啊，不好意思，在这个地方 o n 是 根号三 b 减四 a， 然后在这个三角形里面使用勾股定律。这个关系的目的是什么？目的是建立 a 和 b 的 关系，消元。好，这后面一系列你们自己看啊，自己看，最终可以得出 b 和 a 的 关系， b 等于 a 乘以根号三加根号二 求出。这之后，先把 ph 表示一下，这个不是 ph 吗？ ph 就是 点 p 的 ab 的 距离， ph 是 等于根号三 b 减去这个小 a 的， 这就是这个是 ph， 然后这是 ab， 一 笔就可以了。好吧，这一题我感觉难点在什么地方？第一个难点， 你要先去画一个草图，然后把这个点 b 的 位置大概找一下，接下来假设圆心在这个地方，因为圆心肯定是在线段 a b 的 中垂线上的，这点是没问题的，但是圆心具体在什么地方不知道，你要去假设一下。所以这第一个难点啊。第二个难点，在 表示长度的时候，我们可能习惯性的也知道，我设一个参数，但是设一个参数之后，后面没有办法算了，怎么办？再设一个参数好吗？多变量问题啊。我感觉这个地方对男学生来说是很难的。呃，我自己写都写了十几分钟，你想下考试的时候能写的出来吗？ 当然了，还是那句话，可能李老师水平确实有限啊。嗯，好，这个题的过程呢，就放在这个地方，如果说你有更好的方法，呃，你也可以跟我分享一下好不好？ 选择题，填空题讲完之后，这个难关已经过了一大半了，学生呢，基本上也已经崩溃了，因为到这个地方，他确实真正有把握的题目也不算多的啊。十五题不多说，十六题也不多说。十六题第二问考的是一个复杂问题啊，这个要会识别。十七题找规律，找规律也不简单 好吗？这题别看十七题啊，也不简单，因为他不太好发现。四十六、三十六、四六十四，他们的关系不太好找啊，你发现先给他提个四出来，后面的一四九十六就好找了啊。这是一个小难点。 十八题，三角函数还行啊，中规中矩。十九题，一元二次方程的利润问题，这里有一个易错点，这句话为了让顾客得到实惠，说明什么？说明你的这个上涨的幅度要稍微小一点。解出一元二次方程之后， x 应该是有两个解，我们取 x 较小的那个值。 好吧，十九题啊，二十例，这个题考的挺好，挺好的啊。首先第一个圆周角定里 b、 a、 c 四十五度，那么 b、 o、 c 是 九十度， o， b、 c 是 等于这个三角形，这第一个知识，圆周角定里，第二个知识，一线三垂直的相似。 呃，你的方法可能不一样，没有关系啊，就是我是这样思考的，看到这个结构，看到 b、 o、 c 这个结构，我就想到了一线三垂直过点 c 向 e、 d 边做垂线，这个垂线两个好处。第一个好处 啊，也也不是吧，就是直接，呃，就直接，就是等下这个三角形了，能看出来吧。 c， f、 d 啊，和 a、 d、 e 不 相似的吗？四十五度，这四十五度对不对？等下这个三角形，这第一个，第二个 c， f、 o 和 o、 e， b 能全等，那接下来这个题目就好写了，对吧？题目不算难啊，但考的知识挺好的。 二十一题，这一题有一个很容易错的地方在哪里啊？在这，在求这个中位数的时候，呃，你不要直接上来，就找什么找第十位和第十一位啊， 这一写就写错，先排序，懂吧？先排序，再去求中位数，这才是可以的，估计这个地方要错一大片了。 二十二题，二十二题呢？前两问都还好，第一问正相似，正相似的话呢，这个取方式有很多啊。方式有很多，呃，看你怎么选择，我呢是用两角对应相等 a， d， g 和 a、 e、 h， 他的两个底角呢，是可以相等的，所以是相似的。第二问，肯定是全等吗？对吧？这个考的是中卫线的性质多，重点问题一般会考察中卫线，然后用。用什么呀？用的是边角边吗？还是什么角？边角 啊，应该是边角边啊，用的是边角边来挣全等的这个过程。在这个地方，这是一个解析啊，你们也可以看一下。难点在第三位。第三位啊，第三位，我当时也写了挺长时间的。呃，所以说你让学生现场写的话，你让他怎么写呢？除非你一下子想到了，但是我感觉这可能性也不算很大。第三题啊， 第三题呢？我，我，当然，我是想肯定要去射鬼之术的，但是射谁呢？射谁都不好表示。最终啊，我用一个咱们八年级学过的飞镖模型去写的啊，看这个结构，这里 d， b， g， f， d， 这是一个小飞镖。 假如这是 r 法，这是 r 法，这是 x， 这是 x， 这个角就可以用 r 法表示一下，这个应该是里面这几个角之合，对吧？二倍的 r 法，加上 x 加 y， 然后前面已经证过了，这个 g、 f 和 a、 c 啊，是平行的，然后 ab 和 e、 f， h 呢，也平行的，所以这个角就等于这个角， 然后通过全等第二个的全等，这个角和这个角是 x， 这个角是 y， 然后就可以把这个表示一下了。好吧，如果你看出来了，看这个结，看到这个结构，或者说看到其他结构，写的可能也很快，因为他不需要证明啊，只需要你写答案就可以了，对不对？但如果没看出来的话，很不好写啊。 好看。第三问，呃，二十三题，二十三题，第一小问，解析式没难度啊。第二小问，横乘力问题。这个横乘力问题呢，我看这这几次的模拟试卷考的挺多的。 嗯，前面我记得好像是安师联盟吗？还是 c 二零考的一个存在性问题。这个地方考的是一个横乘力问题啊，我们需要关注一下。首先呢，可以分来讨论一下。看这个图像啊，对称轴是已知的对称轴好像是 x y 轴，对吧？ 这是 x， 这是 y， 对 称轴是 y 轴。那接下来，要想在这个范围之内始终让 y 一 大于 y 二，怎么办？注意，这个 y 二的横坐标是取三的。先根据对称性得出，这边这个点应该是负三，为了让 点在这个范围之内都是大于一的，怎么办？要么是所有点都在负三左侧，要么是让所有点都在三的 右侧。所以说有两个情况，第一个，让让这个右端点三七加一，三七加一小于或等于负三。注意啊，是能够取等于号的，为什么？因为 x 取不到三七加一。好吧，这是一个细节啊， 要么是让三七加一小于等于负三，这是第一个情况。要么是让 t 减一大于等于三，这是第二个情况。然后 这个注意啊，不等式，左边这个 t 减一应该是要小于三 t 加一的，所以说 t 应该也是大于负一的。把这三个情况综合起来之后，可以求出来， t 是 大于等于四的。这个要会画图像，图形结合我感觉会更方便一点。好吧，这个重点啊，重点去观察一下。 第三题，注意了啊，第三题啊，不是就是第二小。这个首先呢，呃，消元 图像经过二三这个解析式里面有两个变量，当你读到这个题的时候，第一反应就是把多变量通过消元转化成单变量，把点代入，可以求出 n 等于负八加七，那么这个不等式就可以变形，变形，变形到这， 这是一个关于 x 的 一二次不等式，要想让左边这个式子横大于零怎么办？转化成二次函数的知识。 我把左边这个式子呢看成是一个二次函数，这有点有点高中的知识那个感觉了啊。把左边这个是是左边这个式子看成是一个二次函数，要想让这个式子的值大于等于零怎么办？ 两种方式，用最直的思路求出这个式子的最值，然后让最值大于等于零就可以了。这是第一个，第二个可以用图像与 x 轴交点的思路来分析，注意看啊。 呃，要想让让一个二次函数，要么大于零，要么等于零，说明什么？说明这个图像要么在 x 轴的上方，要么是在和 x 轴有一个交点，对不对？那是不是意味着 我只需要让这个二次函数与 x 轴，要么没有交点，要么有一个交点不就可以了吗？对不对？所以这个地方才有了什么判别是小于等于 零的对不对？但是呢， 再结合判别是小于零， m 加一的平方小于零，那么 m 加一只能取零，所以 m 等于负一的，求出 m 等于负一之后解析者就知道了。 然后他求的是什么？求的是抛物线与 y 等于四的交点问题。把函数图像交点问题转化成方程的根的问题。跟那个第九题有点类似， 另两个函数解析的相等求出方程的根，一个是四加根号五，一个是四减根号五，水平方向零点距离等于右边点横坐标，减去左边点横坐标，所以说这个长度就等于二倍根号五的。好吧，我也看了答案啊。答案写的稍有繁琐，我感觉我这样写更加的简编一些。 好吧，如果说你有其他的想法的话，我也欢迎你来咱们共同交流一下。好吧，我这个地方本身也就是提供一个思路，如果你有更好的方式，咱们交流一下啊。