历城区一模反比例函数

各位同学大家好啊，我是江老师，今天给大伙讲讲这个二零二五年济南市历城区数学一模二这个压轴倒数第三个题，二十三题，这个反比例函数的压轴大题啊。好了，废话不多说，咱直接开始啊！ 来，如图，依次函数它和反比例它给大家领第一项先的啊，这图像分别交与这个四斗 m 和 n 轴，环 与 x 轴交于一零吗？与 x 交于这个一斗零啊。把这个一斗零带到这个里面去，这个一次函数就出来了， 带进去之后，这个一次函数是二分之一， x 减二，看到吗？然后再把这个四斗 m 带过来， n 斗这个负二带过来啊，解得这个 a 点的坐标能解出来啊？四斗二分之三， 这个 b 点的坐标啊， b 点坐标， b 点是个负三负二，这个双驱是 y， 等于乘起来百分之六啊。好了，这样第一问，这些准备工作就全都做完了啊。来，再继续看这个。第二问， 将这个它向上移的这个单位啊，向上移的这个单位平移后与它交，点是个 p 啊，点是个 p， 然后你这个 p c a 等于四分之五是吧？咱求这个平移的距离是吧？ 来吧，咱把这个三角形给朋友们劝一下啊。这个三角形给朋友们劝一下这个三角形的面积啊，三角形的面积，咱不是学那个叫铅垂钩了吗？看见没？这不能这样画， 这样画是吧？然后他的面积是个四分之十五，他不等于二分之一，这不乘以水平宽吗？水平宽这个 a 点是四到二分之三， c 是 个一零，这一块不是四减一，这不三吗？水平宽再乘以铅垂钩， 铅垂钩这块是个做做垂直，这是个得吧？铅垂钩，这不是皮得吗？对不对？然后才能求出这个皮得来了。 这个 p 得等于二分之五，你看看他不往上平移吗？这个竖着的是垂直的得点，这不往上平移，这不移了。二分 得个单位，这不移了得个单位吗？所以他往上是移了得个单位啊，移了得个单位，所以这个得就等于这个 p 得等于这个二分之五。二分之五啊，这个解析式，他没让球，没让球就算了，咱就不要了啊， 来第三位啊，如图二，这个球是第二项线点是吧？球 c o 啊，球 c o， 这是个四十五度，四十五度是吧？连接这个球比啊，球比 这个将球 c b。 这个三角形啊，求证。是绕 o 顺时针转九十，顺时针转九十，然后这个球呢，对应的点恰好落在这个反比头像上，咱求的是这个球的坐标是吧？ 来吧，人家题目出的非常清楚，是吧？绕 o 点，转球点对应点，意思就说这个球绕 o 点，看到吗？然后转这个九十度，顺时针转九十转九十，这不 转九十啊，稍微不大远一点，咱不较较真了啊，咱不较真了啊，大体意思就是转了个九十度，好了吗？这个点是个 j 吧，然后正好落在双区上了，好了吗？然后呢？转了个九十，这不 k 型吗？ 这不 k 型吗？啊，这等他图画的不大很准，咱就不较真了啊。这个旋转的话，这个 o 球不等于 o j 了吗？对不对？这不明显是个 k 型的，这不是个 全等了吗？对不对？咱设这个点是个 m 吧，这个 a 吧，咱设这一块 是个小题，是个小题，因为全等，所以这一块不就是个题了吗？对吧？因为这是个一， 这是个一啊。这一块是个 t 减一，这不告诉这是四十五度了吗？所以这是个等腰值，这是个等腰值，这是个 t， 这是个一，这是个 t 减 t 加一，四十五度，所以这个求 m 就是 个 t 加一啊。全能。 这一块不就是个 t 加一了吗？所以这个 z 点坐标是 t 加一等于 t。 双曲不是乘起来等于六吗？所以 t 乘以 t 加一等于个六。杰德啊，杰德杰德，这个 t 等于这个二或负三。咱设的这块长度是 t， 所以这个就不要了啊。 t 等于二的话， t 等于二的话，他求这个求点坐标，这是第二项线，所以这可是二，这不是负二吗？所以求点坐标是负二，再加一，这个三负二到三处理完毕啊。

今天我们来看这道题，遇到反比例函数当中垂线，我们要学会做垂线勾到相似三角形。 这道题当中 o、 d 垂直， c， d， o， d 等于二 c， d 要求 o， d 分 之 a， d 的 值， 我们可以想到把这个比例进行转化，利用相似三角形把它进行转化。设想，如果我们过地点做 x 轴的垂线垂直为 f， 那么 a、 d 和 o d 的 比值会不会等于 d， f 和 o f 的 比值呢？当然是因为三角形 d、 f 与三角形 a、 o、 d 相似， 到后面我们会把它写出来的，那除此以外，我们想要构造相似三角形，我们要利用这个垂直的条件， 我们还可以构造一线三垂直线的相似，往往上围成这样一个模型，把这个垂足标为 e， 辅助线的语言我就不写了， 我们开始解答这道题。 我们可以设地点的坐标 为 a， 撇 a 分 之 k， 反比例函数都要去先设点的坐标才能解决题目。 现在我们要利用其中一个相似，我们先利用一线三垂直线来相似， 我简单写，因为三角形 d、 o、 f 与三角形 c、 d、 e 相似，所以我们就可以得到线段的比例关系。因为 o、 d 等于二 c、 d， 所以 对应下来 o， f 也等于二 d， e， 并且 d、 f 也会等于二 c、 e， 因为这里 o， f 和 d， f 的 长度我们都知道的，它们的长度分别等于地点的横坐标和纵坐标，所以就得到 d， e 的 长度应该是 d 点横坐标的一半，也就是二分之 a， 那 c， e 也就是它重坐标的一半。 十二 a 分 之 k， 这样子我们就可以得到 c 点的坐标了， c 点的坐标就是 d 点的横坐标，往回扣得到 c 点的横坐标，所以 c 点的横坐标应该要是 d 点的横坐标减去 c、 e 的 长度， d 点的横坐标是 a， c 点的横坐标就应该要是这样一个式子， 那这样子写，我们还漏了个重坐标，那重坐标应该怎么计算呢？ 计算重坐标，我们应该用原来递减的重坐标，再加上 d、 e 的 长度得到， 也就是 a 分 之 k 加上二分之 a， 那这个式子还未进行通分。我们接下来的思路是根据 c 点的横纵坐标乘积等于 k， 因为 c 也在这个反比例函数的图像上。 我们到最后需要把 c 点的横纵坐标乘起来，为了方便把它们乘起来，我们需要对它们进行通分， 通风后我们会得到 c 点的坐标 长，这样 做，数学代数题目都是这样的，算到一个地方可能就不敢算了，但是如果继续算下去，一定会有发现， 所以我们就要把 c 点的横纵坐标相乘， 因为 c 点的横坐标之 g 等于 k， 所以 把它们相乘，我们会得到这么一长串的式子，它们的结果等于 k。 这个式子的计算过程我就不写了，就是分子、分母分别相乘， 最后等于 k。 现在我们需要去解这一个方程， 如果我们能够求出 a 与 k 之间的关系，那么我们就解决了这道题。为什么呢？ 我们到后面就会知道 a、 d 与 o、 d 的 比值如果转化为一个分式，那么这个分式里面含有的未知数就是 a 和 k 刚刚好可以解决。 我们把它拆开， 大家稍等一下，我要把它拆开， 然后呢把分母乘到后面去， 现在我们发现前面这个式子当中有一项三 k a 平方，后面的结果当中是四 k a 平方，这就是一个同类项，我们可以对它进行合并， 但是现在这个方程看起来还是很棘手，为什么呢？因为它有四次啊。我们遇到这种高次方程，我们就要把平方设为参数， 把未知数的平方设为参数，对它进行降次。我们就要设我们想要解出的， 比如说是字母 a 的 平方为 p， 随便一个字母都可以，因为这里 a 的 次数更高， k 的 次数更低，我们要设的是 a 的 平方，而不是 k 的 平方，这样才有利于降四， 我们就会得到二 p 平方减 k， p 减二， k 平方等于零， 这个时候我们可以把它看成一个关于字母 p 的 二元一元二次方程，说错了，是一元二次方程。然后我们用求根公式对它进行解下， 就会解出 p 等于根号十七加一倍的 k 除以四， 那得到 p 有 什么用呢？ p 就是 a 的 平方，因为我们前面有提到三角形 a、 o、 d 与三角形 d、 o、 f 是 相似的，所以 ad 与 o、 d 的 比值 对应下来，就应该要等于 d、 f 与 o、 f 的 比值，也就是地点的纵坐标与横坐标之比， 纵坐标是 a 分 之 k， 横坐标是 a， 纵坐标除以横坐标就是 a 平方分之 k。 因为我们把 a 平方设为 p 的， 所以 ad 与 o、 d 的 比值就是 p， 分 之 k， 我们把它代入，代入的过程，计算的过程就先不展示了，代入之后 我们就得到 a、 d 与 o、 d 的 比值是四分之，根号是七减一， 这样我们就把这道题解决了。总结一下，遇到反比例函数的压轴题， 一般会涉及垂直和线段比例，我们要利用垂直构造一线三垂直线的相似，再利用线段比例去找到各个线段之间的比例关系， 然后表示出各个点的坐标，最后再利用这个垂直构造一个子母形的相似，把我们所要求的比例进行一个转化。就像在这里把 a d 与 o d 的 比值通过相似三角形子母形的相似转化为了 d f 与 o f 的 比值， 这就是我们所设点的纵坐标与横坐标的比值，解决起来就会轻松很多。今天的讲解就到这里。

初中数学，除了三座大山圆相似二次函数外，哪个板块同学们最讨厌呢？反比例函数一定有它的一席之地。上个视频亮亮给大家介绍了反比例函数的十大核心结论，今天我给大家介绍一下反比例函数七类常考的题型。噔噔噔噔， 前三个板块呢，他的难度不大啊，但是呢，比较喜欢考第四个板块，可以简单也可以难，纯粹就是看心情了。好，从第五个板块开始，他就有一定的难度了。那么第六个板块，那么难度呢？就整体来说啊，比较大。反面的函数应用题，其实我个人觉得难度不大，但主要考察你的理解能力。 首先第一个呢，你得知道反比的函数，它的图像与性质，比方说，现在我给出一个 y 等于 x 分 之四，那我们知道这里面的 k 呢，大于零的，所以整个反比的函数，它的草图呢，也就大概长这个样子，对吧？ k 大 于零，经过一三相线，一三相线好，图像位于第一三相线没有问题。 好，一四在不在这个函数图像上的，很简单，你把横坐标是一带进去吗？横坐标是一，纵坐标是不等于四，是的吗？所以很明显，他在图像上也是对的。好，接下来我们看第三个，在每个象限内，函数 y 随着 x 增大而增大，你会发现呢，这是不是在减小啊？ 那在这个象限内，它是不是也在减小呀？所以在每个象限内外，随着 s 的 增大而减小，对吧？所以 c， 它的说法是错误的。嗯，它不对啊。好，第选项图像关于坐标原点呈中心对称。其实我跟大家说一下啊，这是我们反比的函数呢， 他是个中心对称图形，什么意思？就是你把这半边，对吧？这个曲线绕着圆点旋转一百八十度，能够和这个曲线重合啊，他经常带给我们的结论，包括我们在做题里面一般可以怎么用的？比方说连一下啊，比方这里面有个 a 点好不好，你连一下 对吧？连接圆点并延长啊，来个 b 点，那么 ab 两点一定。关于圆点对称这个结论，在我们考试的时候是可以直接使用的。 那么在我们反比例函数里面呢，有一个性质经常考察，就是我们的增减性了，比方说给出三个点的坐标，他只知道横坐标，那纵坐标分别用 y 一、 y 二、 y 三来表示。好，他们都在我们这个反比例函数的图像上，但我告诉你怎么样呢？就是其中 k 是 大于零的， 所以咱们这个反比的函数，我们可以把它的草图画出来，也就是大概长尾长这个样子，对吧？哎，就像刚才经过一三相切。好，请问这些点的坐标，它的纵坐标的大小关系是什么？很明显考察我们的增减性了，其实反比的函数增减性，我们只需要做一件事，也就是 画图就可以了。嗯，好，负一 y 啊，横坐标负一，对吧？横坐标负一， 你对应的外一呢？差不多就在这里了。横坐标二二在哪？二，差不多在这吧，可不可以横坐标对应的是什么呢？对应的纵坐标是我们的 y 二，所以 y 二在这里。好，横坐标负二在哪？负二差不多就在这里了，对吧？ 哎，所以你发现他所对应的呢，也就是我们的 y 三，所以其实你会发现，那他们的高度是不是一目了然？ y 二大于 y， 三大于 y 一， 选哪个？很明显选择我们的 d 选项了，搞定，就这么简单。 好，第三个呢，就是我们的函数与不等式，他可以在选择题里面考，也可以在我们的大题里面，呃，比方说第二个呢？呃，单独考察，好，我们一起来看看。 给出一个一次函数 y 等于 a， x 加 b， 再给出一个反比的函数 y 等于 x 分 之 k， 对 吧？啊，二者呢？相交交于两点，那其实你不妨这个题，他索性把这个焦点的横纵坐标，横纵坐标都告诉你，其实我们只要知道横坐标就够了。 好，现在有这么一个不等式，请问这个不等式的解集是什么？哎，亮亮，那要不要把解析式求出来呢？带进去对吧？ 构造出这个不等式，然后呢？哎，利用不等式甚至解出来，哎，完全没必要。这你也只要知道所有的函数与不等式的联系，你只需要目测干瞪就可以了啊，也就直接看它，你会发现左边这个是什么？这不就是一函数表达式吗？右边是我们反比的函数表达式，对吧？ 所以我们知道啊，焦点左右望，谁大谁在上。其实这个我们在内部系统班里面啊，也是这么跟同学们讲的啊，哎，记住这一句话。好，那么接下来反比的函数和我们这个一函数相交所产生的这种不等式的问题，记住啊，我们需要画三条线 啊，就是有两个焦点，有两个焦点，对吧？我们过这两个焦点，分别做竖直的线，也是平行外折的线啊，过这个焦点也做一条竖直的线，平行外折的线，然后呢，我们再做，哎， 过外轴画一条与外轴重合的线啊，所以那方总共有三条线，这三条线呢，会把整个平面分成四部分，第一个呢是这条直线的左边第一部分， 第二个呢是这两条直线之间，这是我们的第二部分。然后这两条直线之间，这是我们的第三部分，以及我们这条直线的右边，这是第四部分。我告诉你啊， 所有反比例函数与和一函数的结合。这个题虽然非常简单，但我跟大家说的稍微细致一点啊，那么他一定要么怎么样最终取之范围啊？要么在一三之间，要么在二四之间，他的范围一定是不连续的。我们刚才说焦点左右往谁大谁在上，对吧？我一函数更大吗？ 也是我要使的一次函数在反比例函数的上面，喏，如果这个反比例函数呢？我用蓝色把它画出来好不好？反比例函数是蓝色的，反比例函数是蓝色的，可不可以啊？然后我们这个一次函数呢？比方说我们就用这个呃红色的把它画出来吧，可不可以？ 也就是我们要使的红色在蓝色的上方，其实你会发现他的范围呢，只有两部分吧，一个是红色在蓝色的上方，这一部分可以吧？ 你会发现第三部分行吗？我们从右往左边看好不好？第三部分，蓝色在红色上方行不行？不行吧？第四部分可以，第二部分百分百可以。红色是不是在蓝色的上方，对吧？所以这一部分也可以吧？好，第一部分一定不行，你会发现红色在蓝色的下方了啊，对吧？ 所以你会发现这个范围一定是不连续的，那这一块呢，他在这一条线和这条线之间吗？你这个焦点横坐标负一，所以呢，这是外轴，所以这个曲的范围是负一 小 x 小 零，而这块呢，这个焦点横坐标是二，你经过这个点做一条线，在他的右边，所以这个曲的范围 x 大 于二，因此呢， x 大 于二，或者呢负一到零之间，因此这里我们选择 a 选项，搞定 好第四个 k 的 几何 e， 那 么在我们中考里面呢，常见的难度一般就大概长这个样子。好，现在我们过 y 轴上的一个动点 m 啊，就这个 m 点呢，在整个 y 轴上动来动去的啊，上跳下窜的，在哪不知道。 好，现在过它呢？做 x 轴的平行线啊，会和两个反比的函数呢，交于 a 点跟 b 点。我告诉你，左边这个反比的函数表达式呢，它是 y 等于 x 分 之负四， 以及我们右边这个反比的函数表达式呢，是 y 等于 x 分 之十啊。 ab 两点在这里。好，现在 cd 在 x 轴上运动， c 点跟 d 点都是动点，但是满足一个要求，就是 dc 永远等， ab 就是 我这条线的永远等于它，所以我们知道 平行又相等，说白了它就是永远是个平行四边形，对吧？好，那问题来了，请问，哎，你怎么告诉我平行？你这个题是不是有点臭不要脸，对吧？ 那你要说平行四边形的话，你就直接不说这个好了，好吧。嗯，好，现在问题来了，你这个平行四边形的面积等于多少呢？照你这么说，好像永远是个固定的值，对吧？ 好，其实像这个题，你最起码可以用三种不同的方法啊处理出来，那么这样子在这里说最常见的一种，你比方说你这个平行四边形，你不管 c、 d 怎么移来移去的， 我的长度是不是永远等它以及你的高度，对吧？是不是永远是这条，我把这个底直接移到 a、 b 的 正下方去，行不行？比方说，当你的地点在这里吗？可不可以 以及你的 b 点在这里吗？行吗？哎，这个 c 点在这里，对吧？所以你把把 c、 d 移到这里来，你这个平行四边形的面积呢，一定等于我们这个矩形的面积。好，那这个矩形面积怎么求呢？你会发现 整个矩形的面积呢，我们把它分成两部分，一部分是它 o， 这就相当于过这个反比的函数图向上一点，向 x 轴外轴做垂线与坐标轴所围成图形的面积一定是 k 的 绝对值，也就这个面积等于几呢？等于四。 同样的，还有没有？有再把这一部分加起来，那这一部分呢？一样的，对吧？在反比的函数图像上取一点，嗯，像 x 轴， y 轴做垂线，与坐标轴所围成这个长方形的面积一定等于什么呢？ k 的 绝对值等于十嘛， 两个相加呢，所以我们知道答案等于几，答案也就是选 c 好， 搞定好 第五个坐标运算。有些题目呢，可能想让你通过反比例函数的性质求坐标啊，比方说像这个题，当然还有些题目呢，可能是想让你通过坐标求反比例函数的解析式啊，好，我们一起来看看。 在直角坐标系里面，我告诉你有一个矩形 oabc 的 顶点 ab， 在 我们反比例函数图像上，那这是一个大大的长方形，对吧？ a 点在上方， b 点也在上方。好，那么请问此时你能够想到什么没有？好，问题来了， 你这个 bc 呢？与我们 x 轴交于 d 点，嗯，现在我告诉你， a 点坐标是一二啊，就这个点的坐标呢？横坐标一，纵坐标二，没了。哦，现在问你了，请问他这个 b 点坐标是什么呢？反比的函数表达式，不知道 你这个矩形的，呃，这个长宽边长之笔，不知道这个线的长度多少也不知道。好，那这个 b 点坐标怎么求呢？因为我知道你是一个长方形，也就是这个角一定是直角，对吧？好，那么此时你会发现， 如果我过 a 点，哎，做一条水平线，好，大家能不能想到什么？在一条线上出现一个九十度，而且你过一个边，向这个线已经做了一个直角，做了一个垂线，对吧？所以很明显，我们可以过 b 点，也向对边做垂线，那么此时你会发现 我们左边这个三角形，对吧？跟右边这个三角形一定相似啊。那相似完毕之后，我们可以得到什么呢？因为在这里面，他告诉我们 a 点坐标是一二的，也就是你这个长度呢？是一，这个长度是二，也就是这个直角三角形，他的两条直角边，这比是一比二 嘛，所以咱们这个直角三角形，对吧？他的两条直角边也是一比二。那我索性大胆引入未知数，比方说，我离你这是小 m， 这个边一定是二 m， 对 吧？好，请问 我能不能用含有 m 的 式子把 b 点坐标表示出来呢？一定可以，比方说 b 点的横坐标一加二 m 啊，也就是二 m 加一，对吧？那纵坐标你想想整个高度是二吗？ 啊，就是你这个高度是二，你高度是二，然后你往下走了 m 个单位，对吧？所以剩下你这个 b 的 纵坐标呢？二减 m， 好 有量量，你这表述出来一点用都没有。 嗯，这 m 咋求呀？ b 的 坐标咋求？一定要注意啊。 a 点在反 b 的 函数图像上吗？ b 点也在反 b 的 函数图像上吗？我们知道反 b 的 函数，它只有一个未知的系数，它只有一个 k， 对 吧？而且这个 k 等于什么呀？等于反 b 的 函数上某一点的横坐标与纵坐标的乘积。说白了，咱们白说了，你这个 k 等于什么？你的 k 是 不是等于二？你的 k 是 不是等于二的， 没问题吧？你的 k 还等于什么呢？你的 k 还等于它乘以它，是不是？哎，我的横坐标乘以纵坐标就是二 m 加上一，我乘以你这个二减 m 一定等于 k， k 等于几呢？一乘二等于二吗？ 啊？等于二。所以你发现我们可以构造一个方程。哎，我们只要把这个 m 求出来，那么请问剩下的我们 b 点坐标可不可以搞定？好，我们求一下。用二 m 乘以里面每一项，也就是四 m 减二 m 的 平方，用一乘一块里面每一项加上二减去 m 等于几呢？等于二， 负二 m 的 平方加上三 m。 哦，咔嚓，没了，所以等于零吧。好，因为这个 m 很 明显不等于零啊。 m 指的是什么？指的是线段的长度呀。我直接左两边同时除以 m， 左边除以 m 的 负二 m 加上三，右边零除以 m 的 零，对吧？所以我们知道 m 等于几？ 二分之三。哦，你再把二分之三我们再带回去吗？ m 等于二分之三呢？二分之三带进去，四二分之三带进去，怎么样呢？二分之一吧，所以我们知道 b 点坐标四二分之一选哪个？选 b， 你 会发现，嗯，不过如此，简简单单。 好，接下来我们来到繁体的函数里面，我个人觉得最硬核的一个板块也就是几何综合了啊，如果他在中考里面以这样的形式考察，那么就已经算是非常难的压轴题了。好，那么整个题目呢？量的把它稍微的简化整理一下啊，大概长这个样子。好，我们先来看一下他的前两小问啊， 首先我们给出一条直线啊，就是一次函数啊， n 小 于零的，嗯啊，也是怎么样的？呃，从左往右是下降的对吧？哎，好，经过 q 点啊，就是经过横坐标数，纵坐标 a， 你 的相乘给了没给 好与反比的函数呢？ y 等于 x 分 之 c， 你 发现这个题目很讨厌，对吧？你这面有个 n， 不知道，这面又有个 a， 不知道。好，现在怎么样了？交于 ab 两点，那 ab 我 都给你锁死了。 b 在 左边， a 在 右边。好，现在 第一个啊，其实我我想问一下各位同学们啊，其实在这里面我们通过题干能够得到什么，大家能告诉我吗？ 你经过这个点吗？有点必带入，我能不能把这个点把它给带进去，我们试一下好不好？你把五 a 带进去，横坐标如果是五的话，五带进去，五带进去可以得到什么？得到五 n 吧。 好，后面我们照写减五 n 加上二分之三等于几？等于你的纵坐标 a 是 吧？横坐标五，带进去吗？等于纵坐标 a， 其实你会发现， no no， 你 说这个题目 你想给就直接给行不行？所以你发，你知道代替 a 等于多少？ a 等于二分之三， a 知道了，那我想问一下，请问四 a 能求出来不几啊？ 二分之三乘以四，这个计算不需要那样说吧？所以其实你会发现，整个反比的函数表达式，他是固定的，他就是 y 等于 x 分 之六，是吧？ 所以很多条件他其实想给，只不过怎么样呢？以这种比较复杂的形式呈现出来，那因此你会发现，也就是我不管你问什么，这个反比的函数表达式一定是固定的，对吧？啊，就是 y 等于 x 分 之六。 好，接下来我们看这个一。说什么呢？当 n 等于负二分之一，你是负二分之一，那么整条直线的表达式也就是 y 等于负二分之一，带进去啊，负二分之一 x 负二分之一带进去，你这个呢？二分之五，二分之五，再加二分之三呢？二分之八 加四，是这样的吧？哦，所以一次函数等于这么多，你的反比函数等于这么多？好，现在我想问一下，求交点，这太简单了吧。啊，令二者相等吧。负二分之一 x 加上四等于什么呀？等于 x 分 之六，所以我们左右两边同时乘以。呃，负二 x 好 不好？因为这个我们前面有个负数， 负二，你乘以负二 x， 也就是 x 的 平方，你乘以负二 x 减八， x， 你 乘以负二 x 呢？ 也就是等于负的十二，大家跟不跟得上？ x 平方减八， x 加上十二等于零，十子相乘，减二乘以减六，所以我们求出啥来着呢？ x 一 等于二， x 二呢，等于六，那么也就是我们求出来怎么样呢？啊？你这个横坐标二肯定就是 b 点了，对吧？ 也就是我们我们先求 a 点吧， a 点横坐标肯定是六了啊，就是我们求出 a 点的坐标呢，横坐标六，纵坐标呢？你不管把六带到这里面还是带到这里面，我们求出纵坐标呢，都是一。好，这个 b 点呢？嗯，横坐标肯定就是二了吗？对吧？你不管带到这里面 还是带到这里面，纵坐标呢？都是三。第一问搞定。好，接下来我们赶紧来看一下我们的第二问啊。第二问怎么描述的呢？好，现在注意啊，第一问是告诉你， n 等于负二分之一，所以你整个直线的表达式我们可以求出来，因此可以直接求具体的焦点，对吧？好，但是如果现在这个 n 段呢？不知道， 不知道呢，咋求？但我额外告诉你一个条件，点 q 是 ab 的 中点啊， q 点是五 a， 他 跑到 ab 的 中点去了，对吧？啊，你横坐标五，纵坐标 a， a 多少呢？ a， 其实我们刚才已经知道了，也就怎么样呢？啊？二分之三，对吧？其实你这个点的坐标本身就是固定的 a， 我 们刚才已经求出来了，也就是我们知道二分之三吧，对吧？ 好，接下来我们看看。可是 n 点坐标这咋求呢？有量，你把这个点代进，你可以代试一下， 你可以得到二分之三等于二分之三。横乘力啊，没有用，求不出来的，所以你一定要和 ab 结合起来。一样的， ab 是 怎么来的？是你这个一次函数和反比例相交得到了，所以你就依然令这个函数怎么样呢？跟我们这个反比例的函数怎么样呢？相等构造方程就可以了。 好，也就是怎么样呢？ n x 减去五， n 加上二分之三，等于什么呢？等于，哎，你这个东西对吧？等于 x 分 之六 啊， x 分 之六。好，接下来我们左右两边同时乘以 x 吧，左边乘以 x， n x 方减去五， n 倍的 x 加上二分之三倍的 x， 右边乘以 x 呢？等于六。移过来 n， x 的 平方减去五， n 倍的 x 加上二分之三倍的 x 移过去，所以我们知道减去六，因此我们知道等于零，对吧？好，那问题来了，哈哈， 那可是你这个里面这个 n 我 咋求？ a b 坐标根本没法求，对吧？好，那我想问一下各位同学们，就是在我们整个平面直角坐标线里面，一旦出现了终点，意味着什么？ 比方说吧，哎呀，你这个点横坐标是 x 一 好不喽？你这个点横坐标是 x 二，好不喽？所以我们知道， 既然是中点，两个端点的横坐标相加除以二，一定等于你的横坐标一定等于五，是吧？ 所以其实我们在旁边我们就知道 no， 也就怎么样呢？那 x 一 加 x 二，两个端点横坐标相加除以二，一定等于中点的横坐标等于五吧。所以也就是 x 一 加上 x 二一定等于几？等于十，就是 ab 的 横坐标值百分百等于十，而 ab 的 横坐标是什么？ 是一次函数和反比函数相交得到的。所以你这个方程的解是不就是我两个交点的横坐标？交点横坐标，对吧？ x x 二，也就 x x 二，是我们方程的解吗？ 一个方程的解。呃，两根之合怎么表示？哎，我们知道两根之合呢？根据我们的尾答定律，根与系数的关系吗？ 它等于负的 a 分 之 b 了。其实这里面我就特别想口算啊，我们慢一点吧，负的 a 分 之 b 就是 负的 a， 就是 n 喽， 对吧？ b 呢？ b， 大家记住啊。哎，亮亮，这个 b 是 不是负五 n 呢？其实不是的，我跟大家说一下，其实你有发现我们整个方程它可以变成什么东西呢？这个方程其实你有发现 n x 方，我写这啊， n x 方，对吧？我减五 n 加二分之三，其实就相当于是加上 负 n 加上二分之三倍的 x， 明白没有？有这么多 x， 有 这么多 x， 所以 是这个样子。好，减六等于减六等于零。所以你发我所谓的 b 等于这么多啊，你千万不要弄混了， 也就怎么样呢。其实你发每个地方难吗？求焦点难吗？伟大定律难吗？钟点公式伟大定律难吗？都不难，对吧？好，把这个 b 负五 n 加上二分之三，把它放在这里。我们刚才说它等于几啊？ 他是不等于十呀。好，你就令他直接等于十就完事了。好，我们左右两边同时乘以负 n， 因为前面有个符号，左边乘以负 n 呢？符号没了，分母没了，等于负 n 加上二分之三。 好，右边我们乘以负 n 呢，也就是负十 n。 好， 所以我们移过去五 n 负二分之三除以五，所以我们求知 n 等于多少等于负的十分之三。 好，当然这个题目我们知道啊， n 是 小于零的，我们求出来，小于零，小于零。搞定。好，接下来我们看这个题的最后一问，他说，在一的条件下，一的什么条件呢？就是当 n 等于负二分之一的时候，对吧？我们这个 ab 两点的坐标我们都求出来了，就是我们这个点的坐标呢，是六一， 以及呢，我们 b 点坐标呢，是二三。当然，与此同时，我们知道，反比的函数表达式呢，是 y 等于 x 分 之六， 以及我们 e 函数表达式呢，都是固定的多少？哎， y 等于二分之一， x 加上四。好， e 函数我们就不画了，因为知道这两点啊，我们随时可以求它。好，那 接下来在 e 的 条件下，如果屁是第一象限反比的函数，图像上一点啊，就是屁点指在第一个象限里面这个曲线上运动。好，我们随便放个屁，比方说呢，看到没有亮，在这里放个蓝色的屁。 嗯，好，接下来做直线撇，与 y 轴交于 n 点啊，就是连接 a 点跟 p 点，走走走走走走走，对吧？跟 y 轴呢，交于 n 点，好，这是我们的 n 点 好，不仅如此，还干嘛呢？呃，连接 b p 啊，连接 b p， 走走走走走走走走，对吧？跟我们这个 y 轴呢，交 f 点，就大概长这个样子。好，问题来了，你会发现我们会形成一个小三角形，请问， 当这个 f n p 哦， f n p 就是 你这个蓝色的三角形，是以 p f 为底哦，我是底边，那谁是腰呢？所以 n f 一定等于 n p， 就 这两个边一定相等，对吧？说白了，就是当 n f 等于 n p 的 时候，你不就是以 p f 为底的等腰三角形吗？请问，此时 求 p 点坐标， p 点在哪的时候，他才能构成一个等腰三角形呢？该怎么办？亮亮好像毫无思绪，对吧？那么其实在反比例函数里面有一个万能方法，其实我在内部系统班里面经常讲到啊， 不管是选择填空还是我们大地里面，只要你没有思路，只要你不知道怎么办，我们永远有个方法，就是大胆引入未知数，就是设点的坐标，比方你这个 p 点横坐标，我离你是小 m 好 不好？那纵坐标呢？ 你在反 b 的 函数图像上把 m 带进去，所以纵坐标一定是 m 分 之六。好，那接下来我想问一下，我知道 a 点坐标 我表示出来， p 点坐标，我能不能用含有 m 的 式子把整个 a n 直线把它给表示出来呢？一定可以。大家记不记得我们怎么去快速求一次函数两种方法？第一个方法呢，你直接把这个点，这个点带入我们 y， x 加 b， 对 吧？自己慢慢算，一定可以把 kb 求出来，那量呢？有没有稍微简单一点点的方法呢？有， 在内部系统班我是这么教我的学员的啊。首先这两你想想啊， ex 函数不就 y 等于 k， x 加 b 吗？对吧？我只要把 k 和 b 分 别表示出来，整个 ex 函数是不是就结束了？那这个 k 等于什么？注意啊， 两点，你用纵坐标减纵坐标，哦，就是用一减去 m 分 之六，对吧？比上横坐标减横坐标对不对？减去啊，六减 m， 那 么它指的一定是什么？它百分百就是我们的 k。 好，所以最终有时候亮亮，那这个东西接下来我们该怎么处理呢？呃，你会发现，下面你可以提个呃 m 出来啊，上面是一减 m 分 之六，下面提个 m 呢？那就是提个 m， 也就是 m 分 之六 减去一，对吧，所以你有犯，一减 m 分 之六和 m 分 之六减一，二者是互为相反数的，咔嚓咔嚓，剩下一个负一，对吧。所以你有犯他其实就是等于什么呢？负的 m 分 之一嘛。哦， k 等于负的 m 分 之一，所以 y 等于负的 m 分 之一倍的 x 再加上一个数，对吧？那我加几呢？同学们，哎，括号后面这个东就是后面这个尾巴，我又不知道了，你要知道啊，你可以把 m 带进去， 是吧？你可以把六啊，把这个 a 点六一带进去。比方说，我把 a 点带进去吧，横坐标是六，所以你带进这个东西会变成负的 m 分 之六嘛。纵坐标是一，对吧。哎，我加上谁等于一呢？ 我先把你这个玩意给抵消掉。你是得加上 m 分 之六呀，咔嚓就没了吧。我再加上谁变成 e 呢？我再加上 e 就 可以了嘛。所以 o 我 们后面这个屁股就是 m 分 之六加上 e 呐，这个 a n 的 表达式我们就求出来了，你求出来，然后怎么办呢？那 n 点坐标不就是这个东西吗？对吧？所以我们知道 n 点坐标，也就是横坐标是零，纵坐标呢？ m 分 之六 加上一拿。所以也就是大家一定要学会利用我们这种呃字母来表示我们一次函数它的解析式，那剩下我们这个 f p 这条直线可不可以表示呢？一样的，知道 p 点坐标，知道 b 点坐标，对吧？我的 k 等一段，用它减去它， 三减去 m 分 之六，我除以谁呢？用二减去 m 啊，二减去 m 上下五依然同时提个 m 吧。嗯，三减 m 分 之六，下面提个 m 呢？啊，就是 m 乘以 m 分 之二减去一。哦，有了亮亮，这个到时候我就看不出来，对吧？如果你说你能直接看出来，倍数关系最好，如果看不出来，没事，三和六我们可以提个三出来，上面提个三， 一减 m 分 之二。其实我告诉你啊，你只要大胆算，对吧？题纲中的每一个条件，每一个字母，每一个数，全都是通过精心安排过的。一减 m 分 之二和 m 分 之二减以什么关系？ 互为相反数嘛，对吧？所以我们求出来，等于负的 m 分 之三， o 也是 k 等于这么多，整条，我发现 y 等于负的 m 分 之三倍的 x， 再加几呢？ 你把二三带进去好不好？把横坐标二带进去，那么我们要加上一个数，对不对？横坐标二带进去，负的 m 分 之六嘛？纵坐标几三，对吧？我加上谁等于三呢？我要加几，我先把你抵消了， m 分 之六， 咔嚓，没了，我是不是再加上一个三，对吧？是不是跟你相等，所以后面加上是 m 分 之六加上三，整个表达式等于这么多，那你这个 f 点坐标，那纵坐标不就是它吗？所以也就是横坐标是零，纵坐标呢？ m 分 之六加上三，好，此时大家不知道有没有发现。嗯，那你会发现，那我的纵坐标 m 分 之六加三，你的纵坐标 m 分 之六加一。很明显来告诉我，整条线段的长度出来没有 纵坐标减，纵坐标三减一，那所以你换这个长度一定是二，对吧？哦，固定的啊，对吧？你 p 点，不管在哪，你连下这个条线段长度永远固定。所以我这个边是不是和你相等， 也就是我只要等于二就可以了？好，我怎么样利用这个边二去把 p 点坐标求出来呢？好，我要考考你们，接下来我们要用到一个什么样的公式来求出 p 点坐标三 二一，这是两点间的距离公式啦，这两个点之间的距离是二吗？啊，你用它们的横坐标减横坐标 m 减去零，那不就 m 吗，对吧？横坐标 叉 m， 把它平方加上，那纵坐标相差几个单位呢？你减我或者我减你都行啊，那我就用你的纵坐标 减去我的纵坐标。哎，你会发现咱们的纵坐标是不是相差刚好一个单位哦，纵坐标相差一个单位，把纵坐标的差也平方，对吧？横坐标相差平方，纵坐标相差平方再开方，那么指的一定就是二者之间距离几啊，等于二吗？ 所以你会发现剩下计算是不是超级简单？嗯，左右两边平方， m 方加上一等于几呢？左边平方，右边平方，是吧？所以 m 的 平方呢，等于三，而你要知道 m 是 个啥 啊？我在第一项线图像上运动，所以 p 的 横坐标百分百是个正数吗？哎，所以我们知道 m 呢，等于， 哎，就是 m 有 两个 m 一 呢，等于负的根号三，不用说咔嚓射掉啊。第二个 m 二呢，等于根号三，对吧？这个才是我们要求出来正确答案，你会发现反比例函数几何综合不过如此。搞定 好，那么第七类呢，就是反比例函数的应用题，就是大概长这个样子呢啊，也是一道非常具有代表性的题目啊，不管是题型还是难度啊，在我们中考里面都比较具有代表性。好，那么这题我们首先一起来看一下他的前两小问。 那如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系式，那也就是这边呢，指的是时间，这边呢指的是我们的温度。那么其中线段 a、 b b、 c 表示恒温系统开启阶段啊，就是恒温系统，就是我们有一个 呃，保暖系统，对吧？开完之后呢，温度蹭蹭蹭往上涨啊，涨涨涨涨，哎，不断，哎，就就是在这里不变了啊。然后接下来怎么样呢？ 嗯，双曲线的一部分 cd 啊，就是 cd， 表示什么呢？表示我们这个恒温系统关闭了，关完之后温度就降下来，对吧？哎，降，怎么降呢？按照我们反比的函数图像来进行下降。好，根据图中的信息解答下来问题。其实你可发现前两小问超级简单，那十到二十四， 十到二十四，那就是一段反比的函数，对吧？求什么呢？求反比的函数只要一个点 c 点就够了吧。横坐标十， 纵坐标呢？二十对吧？横纵坐标乘积两百就是我们的 k 啊，所以就是 y 等于 x 分 之两百。简单，我们过得稍微快点，解释下 bc 的 实际意义。这个实际意义是什么？ 你只要说的有道理就行啊。比方说，哎，我们开启之后呢，我们把这个恒温系统，我把它定成二十度不变了，对吧？或者我开启一个怎么样呢？保温状态使得我的温度等于二十度保持不变。 或者这一段呢，我们整个大棚内的温度呢，永远不变是二十度，你只要说的有道理就可以了。这种题我们最需要处理的也就是第三问啊，大棚里面我们摘这种蔬菜， 它的温度应该在十二到二十摄氏度之间啊，在这种情况下呢，我们最适合生长。嗯，如果某天恒温系统开启前的温度是十摄氏度，那刚开始的时候温度是十，对吧？慢慢的涨涨涨，保持不变，在下降。 好，那么这个蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？其实很简单，我们只需要做一件事，就是你只要画一条直线，对吧？哎，画一条直线使得这个直线干嘛呢？它的纵坐标等于十二就可以了。那你是十二到二是吗？ 咱们这个高度已经是二十摄氏度了，所以我只要舍得这条直线 y 等于十二就行了，对吧？它会产生两个焦点，一个焦点呢？哎，是跟我一函数产生的就是这个焦点，另外一个焦点跟反比的函数产生的，对吧？ 那么此时你会发现，从这里开始，我的温度十二度嘛，上升到二十度，二十度保持不变，再下降到我们的十二度，对吧？ 也就在蓝色这段方位里面，我们的温度永远满足条件啊。好，那问题呢，我只要把这两个点的横坐标求出来，整个题目就结束了。好，首先我想问一下，请问整条直线就是我们左边这个 ab 的 表达式，可以求吗？ a 点坐标多少？ a 点坐标是零十， 对吧？ b 点坐标呢？啊，横坐标五，纵坐标呢？二十知道两点坐标啊，你可以自己求，也可以用我们刚才的方法，亮了就直接口算了。好吧，就是整条直线，我们这条直线的表达是多少呢？它是 y 等于二 x 加上几呢？加上十的。哎，你给验证一下，我们求都没有问题。好，这是我们 a b。 好， 现在这个反 b 的 函数我们已经知道了吗？它的表达式呢？也就多少？这个反 b 的 函数表达式我们刚才已经求出来了，对吧？它的表达式是 y 等于 x， 分 之两百。 好，那你说接下来我们去求这两个焦点的横坐标，简不简单？当然简单，我知道纵坐标是十二嘛，对吧？你这个点的纵坐标是十二，你把 y 等于十二带进去啊。二， x 加上十等于十二，所以求了 x 等于几一， 对吧？你这个点的纵坐标十二，把十二带进去，我们求你这个点的横坐标是一，也就是在第一个小时的时候呢，我们的温度就已经达到了满足条件的十二摄氏度。好，那这个点怎么求呢？一样的嘛， 你的纵坐标是十二吗？对吧？那接下来这个点横坐标呢？你给把十二带进去，而且你要知道，反比的函数上横纵坐标乘以一万等于两百吗？ 你纵坐标是二，横坐标呢，所以这点横坐标就是两百。除以十二等于多少？等于上下同时除以四，也就是三分之五十，对吧？ 啊，也如我这个呢，等于三分之五十，从第一个小时开始到第三分之五个小时结束，都满足条件，所以我们持续的时间呢，适合生长的时间，用它减去它，对吧？ 三分之五十减去一，所以等于三分之四十七，对吧？单位我就不说了啊，搞定 反背的函数常考的题型就这些了，亮亮给大家呢，把这七类常考题型的练习题都准备好了，今天你只要听懂了，并且把练习题也顺畅做出来了，那么以后反背的函数的题目就再也坑不到你了，跟着亮亮无脑学习。

今天我们和大家共同的探讨学习一次函数与反比例函数的综合题型。 如图，在平面直角坐标系 x o， y 中，一次函数 y 等于 a， x 加 b 与反比例函数 y 等于 x， 分 之 k， k 不 等于零。在第一，三项线交于点 c， m 二 m， 这个点点 d 呢，是负四负二这两点。第一，求一次函数及反比例函数的解析式。第二， 请根据函数图像直接写出不等式 x 分 之 k 小 于 a， x 加 b 的 解集。我们说反比例， 他的函数的值要小于直线值的时候呢，就说明这个图像上他是在 反面的函数图像呢，要在直线的下方的一部分好。我们首先呢，根据题目的要求呢，先将解的式求出来， 由于它经过了 c d 两点，当然这个 c 它是 m o， m 它是在第一相间的，所以呢， m 呢，它是大于零的啊。减 y 等于 x 分 之 k， k 不 等于零，经过点 c， 它是 m 二， m 好 点 d， 它是一个负四，负二好，此时呢，我们就有二倍的 m 等于呢， k 比上 m 好， 这是我们其中的， 这是指点 c， 它也是在这个反比的函数。同样上，另外的一个点，负四负二，我们也同样写出来，它是负二，等于呢， 负四分之 k 好， 所以此时的 k 的 值呢，它是等于八的好。当 k 点八的时候， 当 k 等于八十，这个时候二 m 等于 m 分 之八，所以呢，二倍的 m 的 平方等于八， m 的 平方呢， 等于四。其实 m 有 两个字， m 呢，就等于呢，正负二。因为点 c 这个 m， m 它是在第一项线的， 所以 m 等于负二呢，要舍去，所以呢， m 呢，它实质上呢，等于二的好， m 等于六呢，所以减 c， 它的 坐标为二和四，那么呢，还这个解析式， 就 y 就 等于了 x 分 之八为反比的函数的解析式。同样，我们要将点 c 和 d 代入直线的解析式，求出 a， b 啊， y 等于 a， x 加上 b 代入 c， d 两点坐标 就会得到。我们首先看点 c， 我 们把它的值已经求出来了，点 c 点的坐标是当 y 等于四的时候，这时候 x 的 取二就等于呢二， a 加上 b， 同样的点 d 负四负二，那么呢，负二等于呢？负四， a 加上 b。 好， 我们把它调为第一个式子，第二个式子， 我们将第一个四值呢啊，乘以二，我们就可以与一相与第二个四值的相加，就求出 a 和 b 的 值。 那么呢，我们可以求出 a 呢是等于一， b 呢等于二，所以呢， y 就 等于呢 x 加上二，就是直线的解析式了。好， 所以呢，我们在第一小问呢，就可以分别求出反比例函数解析式与直线的解析式 啊。第二小问，它要直接写出 x 分 之 k 小 于 a， x 加上 b 的 解集， 这里呢，就指直线应该是在反比函数的上方了，那么呢，反比函数它要小一些，所以就从图像上来看呢， 这个反比例函数同样在直线下方的时候，我们取得相应的 x 的 取得方位。好，我们看这里 m 等于二，这个地方呢，就是二横坐标，这地方就是二，那么呢，这个地方 d 点 点 d， 它的横轴标是用是负四。当直线要在反比例图像的上方，是分分别在一三相距的两支里面呢，我们就看一下在这个部分， 这个区间。好，我们用英语部分表示一下，当他在这一部分取取值的时候，和在这一个部分取值的时候，我们所对应的这些点所对应的呢， 就是指反比的函数的值，它就小于直线的直啊，取直的时候啊，我们弯曲一点的时候，我们可以做比较，我们弯曲一点 啊，我们放在这地方来做垂直的时候，那么呢，它对于那个 y 好， y 一 y 二，这个时候是指 y 一 小于 y 二，这个 y 一 的指反面的函数图像，它要小于了直线，这个指同样在这个区间的时候呢，在这个里面。好，所以呢，这个 反面的函数，所以呢，他觉得要小于了直线的 这个解析式里的函数的值，所以呢，我们要对应的这个区间，这个地方是对应的横坐标是二，这个地方是负四，所以分开两只。有一部分呢，是指零 啊，负四要与零之间啊，小于 x 小 于零，这是它的一部分，另另外一部分呢，指 x 呢，要大于二。好，这样呢，是指 反比例函数的图像 在直线的 下方，因为它是小于，所以说我们就取舍怎样去取舍这个质变量的范围，它应该是分分成两支。 好，那我们这地方有没有加一个或啊，这个地方是或应该分开两只了啊，所以呢，这是根据函数的图像呢，直接就完成这个 取之范围。我们这样弄清楚，它是小于呢，是指函数图像在直线的下方， 如果这里面的 x 分 之 k 是 大于 a x 加比，说明是函数的图像要在直线的上方部分，因为此题中呢，是指要 求出反比的函数图像在直线的下方的部分的时候，所对应的这个 x 的 取值范围，所以说我们要分两个区间进行写， 所以呢一部分呢是负四小于 x 小 于零，另外一部分呢就是指 x 要大于二这一部分。好，这道题呢，我们就分享到这里，好，谢谢大家。

这道中考真题需要你对反比例函数图形的性质理解的非常透彻。如图是一个八个台阶的示意图，每个台阶高是一，宽是二。第一小问，如果反比例函数的图形经过 t 一 这个点，那么 k 等于多少？首先， t 一 的坐标很容易想到是负的十六。逗一， 这里一个高度宽度一共是八个，八乘以二等于十六，带进反比例函数，就能够求出 k 等于负的十六。再来看第二问，如果反比例函数的图形经过 t 四，那么它肯定还经过另外一个点，这个点是什么？首先要写出 t 四的坐标，这里 一共是一个高度，两个高度，三个高度，四个高度，所以它的纵坐标是四。横坐标呢，一个两个，三个四个五个， 所以是负十。逗四，这就是 t 四的坐标，把他们两个相乘，那么此时 k 等于负的四十，所以另外一个点啊，他的横纵坐标相乘也得是负四十，那么很容易想到五乘以八等于负四十。所以啊，我们考虑一下 t 五， 他的横坐标是一段、两段、三段、四段、五段 五、五八、四十。另外一个点恰好经过 t 五， m 等于五。再来看第三问，如果这条曲线啊， 使得 t 一 到 t 八，这些点恰好分布在它的两侧，而且每侧各有四个点，那么 k 的 整数取值有几个？这个问题不太好理解，我们来想一想，分布在它的两侧意味着什么？ 大概画出一个反比例函数图形，一侧四个，也就意味着这边四个，这边四个。如果你直接尝试在这个图形上去画，凭空想象这八个点到底应该怎么一边四个，那么这题难度会非常大。其实我们来考虑一个问题， 反比例函数图形上的点，横纵坐标之积恰好等于 k。 而且咱们课程中还讲过一个知识点，对于不同的 y 等于 x， 分 之 k， 如果 k 不 一样，那么这些反比例函数图形啊，是没有交点的。 你可以这么理解，每一条反比例函数图形都代表一个唯一确定的横纵坐标的乘积，而且这个曲线距离远点越近，这个乘积就越小，距离远点越远，这个乘积也就越大。 所以说，如果这八个点能够恰好分布在这条曲线的两侧，也就意味着这八个点的乘积啊，其中四个要大于 k， 另外四个要小于 k， 那么我们就需要把这八个点的成绩分别都写出来，一二三四五六七八。这八个点的序号，横坐标是负的十六，负的十四，负的十二，负十、负八、 负六、负四和负二，总坐标一二三四五六七八好乘一下啊，这个是负的十六，这个是负的二十八，然后负的三十六，然后负的四十，负的四十，负的三十六，负的二十八和负的十六。 这些横纵乘积，每一个具体的数值都对应了一条具体确定的曲线。所以啊，要想让这八个点一边四个，也就意味着咱们要找的这个 k 啊，它所代表的横纵乘积，恰好能够把这八个乘积分为两半，其中四个比它大，另外四个比它小。 而你恰好发现这八个数啊，其中两两相等，最小的是负十六和负二十八，这四个最大的是负三十六和负四十。所以说，咱们要找的这个 k， 只需要恰好处在二十八到三十六之间， 就能够使得这八个数一边四个。再来考虑一下临界值，二十八和三十六能取吗？不能啊，如果取二十八和三十六，那么就不是恰好分布在两侧了。所以说二十八、三十六这两个临界值不能取，那么能取的就是二十九、 三十三十一、三十二、三十三、三十四和三十五一共是七个数，所以 k 的 整数取值一共有七个。 第三问啊，难度比较大，要求你充分的理解反比例函数 k 所代表的意思，它表示这条曲线上所有点横纵坐标的乘积，那么充分理解这一个条件， 如果某一个点处在某一条曲线的凹向的位置，那么这个点它的横纵坐标乘积的绝对值就会越小。

各位同学大家好，欢迎来到纸上名师网络课堂。那么今天呢，我们进入中考的第二轮专题复习， 在这轮复习当中呢，我们主要是将中考当中的一些常见的难度比较大的一些题型进行一个专题性的复习。今天进入第一个专题，那么专题一呢，是依次函数与反比例函数的这个相关内容， 在这个专题当中呢，我们主要是围绕中考当中的一些考点进行一个复习。那么在中考当中，一次函数与反比函数考察主要有以下四个考点，第一个是给定焦点，求解析式， 第二个呢是比较函数值的大小，第三个呢是求面积， 那么这个面积呢，是比较常规的，因为我们一次函数与反比函数相交呢，可能就会构造出一些呃图形，比如说三角形，那么可能就会求这个三角形，或者还有一些比如说四边形，平行四边形、矩形的一些面积。 第四个呢是综合其他的几何问题，那么除了要注意计算方面的一些问题以外，可能还会涉及到一些数学思想，比如 数形结合分类讨论以及图形的变化，比如说平移旋转，还有呢我们这个方程的思想等等。那么常用的数学方法呢，就有待定系数法，因为我们要求这个解析式啊，这个方法就是比较常规的，还有图像法，比如说我们比较函数值的大小， 我们可以通过图像直接得到。那么第三个呢，就是整体代入法，那么这类题目呢，其实本身是不会太难的，因为它一般是作为一个中档题来考察学生对一次函数以及反比函数的这个掌握，所以在中考当中呢，面对此类问题， 大家在做的时候，除了基本的啊知识结构以外，思维上面呢，一定要做严谨，就可以得到全分。好，今天我们来看一下第一个例题。例一，已知一次函数 y 等于负二， x 加八， 就这个函数与这个坐标轴呢交于 ab 两点在这儿， 并且呢以反比函数 y 等于 x 分 之八呢，相切于 c 点。好，注意这个说法呢哈， 大家看一下，他说的是这两个函数相切，那么我们知道两个函数相切的话，哈，那肯定焦点就只有一个，也就是说 c 点其实就是这个反比函数与一次函数的这个焦点。那么现在第一个问题就问你这个切点 c 的 坐标是什么？那么我们要求 两个函数的焦点坐标，我们常规的方法就是将这两个函数连立起来， 因此我们就构造出了一个关于 x y 的 二元一次方程组，然后我们只需要解出这个方程组当中 x 和 y 的 值，那么就把这个焦点坐标 c 就 求到了。那么所以我们解的时候啊，我们用代入消元把 y 消掉，连一出一个关于 x 的 方程， 然后我们就可以进一步化简，得到 x 平方减去四， x 加四等于零，得到 x 减二的平方等于零，所以这个 x 应该是可等于二的啊， 那么这个 c 的 横坐标就已经求出来是二了，现在我们把它带进去， y 就 应该等于四，所以 c 点的坐标就出来了，是二到四。 好，第二个问题，若点 m 为线段 b， c 的 中点， 大家看一下， m 是 b， c 的 加 c 点，在这儿 b c 的 中点，将一次函数 y 等于负二 x 的 图像向左平移 m 各单位，然后点 c 和点 m 平移之后， 所对应的点同时要落在另一个函数 y 等于 x 分 之 k 的 图像上。那么现在让你去求这个新的这个函数当中的这个 k 的 值， 那么我们看一下整个图，就是 y 等于负二， x 加八，这条函数的图像向左平移之后，那么这个 m 和 c 也在这条函数图像上，是不是也就跟着带动地向左移动了？那么这个 c 点的坐标我们知道是二到四 m 点的坐标，我们可不可以 很快的把它求出来呢？大家想一下，要求这个 m 点的坐标有什么样的条件呢？他说了 m 是 b c 的 中点，所以我们可以利用中点坐标公式，就要求就可以求出 m 点的坐标。 那么要用中点坐标公式，是不是还需要把这个 b 点坐标求出来？而 b 点坐标呢，是比较好求的，因为这是一次函数与 x 轴相交的这个 b 点，所以只需要令 y 等于零就可以求出来，所以 b 点坐标我们可以快速求出来，是 四逗零。现在呢，我们用中点坐标公式啊，就可以求出 m 点的坐标，所以横坐标应该是二加四，再除以二就应该是三好，纵坐标就应该是二 好。现在 m 和 c 点的坐标已经知道了，那平移之后的坐标我们是不是也可以求出来？因为它是向左平移 m 个单位，所以我们设 c 点向左平移之后的坐标是 c 撇，它平移之后的坐标就应该是二减 m 到四， m 一 撇呢，是 m 向左平移之后的坐标，就应该是三减 m 二，那么平移之后，我们他说 c 点和 m 点的对应点都同时落在这个函数图像上，所以 c 撇 m 一 撇都应该满足这个函数关系式，所以我们把它带进去就应该有 啊，二减 m 乘以四等于二乘以三减 m， 那 么通过这个式子我们就可以求出 m， 而这个式子其实左右两边就是我们的这个 k 值，所以 k 也就求出来了。好，我给大家算一下， 所以 m 等于一之后，那么我们的 k 就可以等于，比如说在左边这个二减一乘以四，就可以算出来是等于四的， 那么我们的 k 值就求到了。那么我们看一下这道题目当中其实运用的知识点就是关于一次函数和反比函数的基本的一些知识。比如说我们涉及到了求焦点坐标， 那么它的对应的方法就是连立函数的这个解析式，也涉及到了求终点坐标，甚至还涉及到了图像的这个平移之后，对应的点的坐标应该怎么来表示， 然后也用到了点在图像上，那么满足函数的这个关系式，而构造出了这个方程，从而求出里面的参数以及我们最终要求到的这个 k 的 值。好，请大家再来看一下这道题的这个详解啊，这这。

hello， 大家好，那么今天呢，我们继续来分析关于历乘二六年一摸考试的二十五题，那么这个题的话，其实相对来说也是非常的简单啊，嗯， 那在第一问里的话，就是普通的去求这个函数的解析式，那另外的话，像在这个呃第二问里的话，它涉及到的是一些 特殊图形，那么当然在我们其实在这个复习的过程中有讲过像这个菱形啊，然后还有这个正方形，包括矩形，它对应的这个方法啊，如果是说还没有掌握的同学，可以自己课下再去做一下， 建议大家再去做二次函数的这类题的过程中，先可以通过反比例函数他的呃相关的练习题来去呃帮助我们去理解二次函数这这个模块的练习 啊。另外的话是关关于这个最大值的问题啊，那同时我们再去讲这个关于面积最大的这个问题的时候，我们说过，其实大部分考察的是什么呢？是通过 牵捶啊，来去构造两个三角形啊，去创造相同的底，然后去找高之间的关系。 那么当然在这个第二问里的话，他的距离最大肯定是跟第一问区相关，那也就说面积最大的时候肯定对应的高就是最大。 那么在这里去给大家提醒一下啊，那我们趋势日常所讲的这个距离啊，指的是垂直，所以你一定要去划掉垂直线，那么对应这个地方的考点就是高啊，由高我们可以延伸到去求面积。

初三，反比例函数里边有这样一种题型，就是和一次函数综合，根据函数图像来判断范围的问题，这几乎是必考题型 啊。然后在这必考题型里，这个是非常难的一种题型，带绝对值的来解决这类题，专门有一种方法，就图像法就可以秒掉这类题。一次函数 y 等于负 x 加四啊，这是一次函数 y 等于负 x 加四。好，现在又来个反比函数 y 等于负的 x 分 之五，反比例函数 y 等于负的 x 分 之五。然后问这不等式，它大于它的值啊，它大于它的解集为多少？ 有人没搞清楚，说前面这个负 x 加四的绝对值大于它，有的人还想去绝对值然后算呢，不是这么做的，你看这里的负 x 加四啊，负 x 加四是不是就是这个 y 啊？ 负 x 加四就是这个 y， 然后啊，然后那不就是一次函数 y 值进行了绝对值吗？相对把 y 进行绝对值。什么意思？ 大于等于零，绝对值之后的结果大于等于零，所以他最终的图像要的是什么呢？这个大于零这部分肯定要 一直到这，哎，就要折上去了，就要折上去了，来，把这个拐弯就要折上去了。注意啊，原来下面这负的因为加了绝对值就要把它翻折上去，所以真正的啊，我们应该是红色的部分， 哎，红色这部分，这是它的最后的图像，那现在它要大于，它的意思就是它的函数图像在上面， 它的函数图像在下面，反比例函数图像在下面。主要函数值大的图像在上面，或者图像在上面，函数值大，图像在下面，函数值小。好，这反比例函数它不就是 y 等于它吗？和 y 等于它的问题吗？ 好，那他在上面哪一部分是在反比例函数图像上面来看这，这有个焦点这有个焦点。反比例函数图像如果在上面， 注意啊，这个直线图像在上面，反比例函数图像在下面，那说明这一段 对不对？说明的是这一段他在他的上面，叫他在他的上面，能跟上吗？啊？他在他的上面来 看这啊，所以对应的值 a 点，比如说这 a 点的坐标是多少呢？ a 点是负一， a 点是负一。来来来啊， a 点是负一，这 a 点怎么来的？完全可以解方程解出来。负 x 加四等于负的 x 分 之五， 然后同时啊，这个先乘以负一吧，就 x 减四等于 x 分 之五，把 x 乘过来， x 方减四， x 减五得零。十字相乘法， 交叉相乘再相加，正好负四 x， 那 就是 x 加一乘以 x 减五得零，然后一个是负一，一个是五啊，一个是负一，一个是五， 一个负一，一个是五，好了，这个焦点就是负一，对吧？焦点负一，然后这个焦点。注意啊，这个焦点是五，但这块是什么呀？这个焦点是 直线和 x 的 焦点，先不用着急求它，我最起码知道当 x 小 于负一时， 这个图像直线在双曲线的什么呀？直，现在双曲线的上边小一负一的时候啊？直，现在双曲线的上面。好，我们再看啊，我们再看啊，直线在双曲线的上面 来，我们再看。还有哪一部分直线在双曲线上面看，这从外轴右侧这直线再加这直线 在这双曲线的什么呀？上面右侧啊，这直线，这直线在这双曲线的上面，所以这块是零，那么整个对应的答案是 x 大 于零， x 小 于负一或 x 大 于零这两部分拿下答案选的是第二个啊，选第二个还是非常有难度的，通过看图像， 首先带个绝对值，就把它翻到上面去，然后又大于它，说明它的图像底在双曲线上面，你这双曲线这不在下面吗？这个整个都在它上面，听懂了吧？来点赞收藏分享一下。

各位同学大家好啊，我是江老师，今天给大伙讲讲这个二零二五年济南市历城区数学一模二这个压轴倒数第三个题，二十三题，这个反比例函数的压轴大题啊。好了，废话不多说，咱直接开始啊！ 来，如图，依次函数它和反比例它给大家领第一项先的啊，这图像分别交与这个四斗 m 和 n 轴，环 与 x 轴交于一零吗？与 x 交于这个一斗零啊。把这个一斗零带到这个里面去，这个一次函数就出来了， 带进去之后，这个一次函数是二分之一， x 减二，看到吗？然后再把这个四斗 m 带过来， n 斗这个负二带过来啊，解得这个 a 点的坐标能解出来啊？四斗二分之三， 这个 b 点的坐标啊， b 点坐标， b 点是个负三负二，这个双驱是 y， 等于乘起来百分之六啊。好了，这样第一问，这些准备工作就全都做完了啊。来，再继续看这个。第二问， 将这个它向上移的这个单位啊，向上移的这个单位平移后与它交，点是个 p 啊，点是个 p， 然后你这个 p c a 等于四分之五是吧？咱求这个平移的距离是吧？ 来吧，咱把这个三角形给朋友们劝一下啊。这个三角形给朋友们劝一下这个三角形的面积啊，三角形的面积，咱不是学那个叫铅垂钩了吗？看见没？这不能这样画， 这样画是吧？然后他的面积是个四分之十五，他不等于二分之一，这不乘以水平宽吗？水平宽这个 a 点是四到二分之三， c 是 个一零，这一块不是四减一，这不三吗？水平宽再乘以铅垂钩， 铅垂钩这块是个做做垂直，这是个得吧？铅垂钩，这不是皮得吗？对不对？然后才能求出这个皮得来了。 这个 p 得等于二分之五，你看看他不往上平移吗？这个竖着的是垂直的得点，这不往上平移，这不移了。二分 得个单位，这不移了得个单位吗？所以他往上是移了得个单位啊，移了得个单位，所以这个得就等于这个 p 得等于这个二分之五。二分之五啊，这个解析式，他没让球，没让球就算了，咱就不要了啊， 来第三位啊，如图二，这个球是第二项线点是吧？球 c o 啊，球 c o， 这是个四十五度，四十五度是吧？连接这个球比啊，球比 这个将球 c b。 这个三角形啊，求证。是绕 o 顺时针转九十，顺时针转九十，然后这个球呢，对应的点恰好落在这个反比头像上，咱求的是这个球的坐标是吧？ 来吧，人家题目出的非常清楚，是吧？绕 o 点，转球点对应点，意思就说这个球绕 o 点，看到吗？然后转这个九十度，顺时针转九十转九十，这不 转九十啊，稍微不大远一点，咱不较较真了啊，咱不较真了啊，大体意思就是转了个九十度，好了吗？这个点是个 j 吧，然后正好落在双区上了，好了吗？然后呢？转了个九十，这不 k 型吗？ 这不 k 型吗？啊，这等他图画的不大很准，咱就不较真了啊。这个旋转的话，这个 o 球不等于 o j 了吗？对不对？这不明显是个 k 型的，这不是个 全等了吗？对不对？咱设这个点是个 m 吧，这个 a 吧，咱设这一块 是个小题，是个小题，因为全等，所以这一块不就是个题了吗？对吧？因为这是个一， 这是个一啊。这一块是个 t 减一，这不告诉这是四十五度了吗？所以这是个等腰值，这是个等腰值，这是个 t， 这是个一，这是个 t 减 t 加一，四十五度，所以这个求 m 就是 个 t 加一啊。全能。 这一块不就是个 t 加一了吗？所以这个 z 点坐标是 t 加一等于 t。 双曲不是乘起来等于六吗？所以 t 乘以 t 加一等于个六。杰德啊，杰德杰德，这个 t 等于这个二或负三。咱设的这块长度是 t， 所以这个就不要了啊。 t 等于二的话， t 等于二的话，他求这个求点坐标，这是第二项线，所以这可是二，这不是负二吗？所以求点坐标是负二，再加一个三，负二到三处理完毕啊。

三十秒玩转中考！今天我们学习的是反比例函数，上期视频给大家讲到了几何平行线，本期三十秒给大家速通反比例函数 k 小 于零时， y 与 x 递增，反之相反。利用几何意义竖形结合是大体的关键， 定域域不为零，函数性质及 k 的 符合是关键。接下来点赞收藏技巧，真题步骤走不会错！哈喽同学们，欢迎来到郭老师的中考真题分享时间，今天我分享题目依旧来自四川省南充市。中考的选择题是我们的第八道选择题， 一起来看题。在平面直角坐标系中，直角三角形，把 a、 o、 b 按如图位置摆放，直角顶点与圆点 o 重合点 a 在 反比例函数 y 等于 x 分 之 k 上 x 大 于零，在图像上角 b 等于三十度， 若点 b 坐标为一，负三和 k 的 值是等于是我们把图放大，一起在上面标记一下。首先 o 直角 b 三十度点 b 呢？ 要求 k， k 与谁有关？ k， k 是 不是和 a 有 关？ a 的 坐标有关吗？假设 a 的 坐标 x 轴坐标是 a， 那 么 y 的 坐标是 a， 分 之 k 不是 a， 分 之 k。 好， a， 首先那 a 要大于零到零。 这里面现在涉及到两个未知数，一个是 a， 一个是 k， 两个未知数。我们想想这个图形，或者说这函数图形里面有哪些等量关系？第一个，我们很容易看到的 o， a 长度 等于二分之一的 a， b 长度，另外是直角三角形三十度。第二个，并且很容易看到它是直角三角形，那么 o a 平方加上 o b 平方等于 a b 的 平方， b 平方是不是好好，那么我们一个一个来，通过坐标把这两个式子表示出来， 第一个 o a， 那 么就表用坐标表示啊，是不是通过得到这三角形坐标？两个坐标的平方等于这个长度，所以咱们要把第一个给平方开 w 的 后面计算，我们直接写成四 o， a 方等于 a， b 方， 所以第一个是能得到什么？得到 o a 平方是多少？是不是 a 方加上 a 方分之 k 方等于 ab 呢？ ab 是 a 减去一吧， a 减一块的平方加上 a 分 之 k 加三的平方。好解一下，左边是四 a 方加上四 a 分 a 方分之四 k 方等于 a 方减二 a 加一加上 a 方分之 k 方 加 a 分 之六 k 加九，是不是好？ a 方， a 方跟 k 方挪过来是不是三 a 方加上三 a 方分之三 k 方等于一加九是十八十加上 a 分 之六 k 减二 a 方， 这是发减后第一个式子。好，我们一起来看第二个式子。 o a 方加上 o b 方等于 a， b 方放进来是吧？ a 方加上 o b 方是多少？是不是十等于 a 方减二 a 加一，加 a 方分之 k 方加六分之 a 分 之六 k 加九，这边一和九是十， a 方和 a 方等于二 a 得到二 a 等于 a 分 之六 k， 这是不是等于三 三分之 a 方， k 等于三分之一方。带到我们这个十字里去，带进我们的就是来看一下三 a 方，依旧是三 a 方，把我们写在左边，三 a 方加上三分之 a 平方去平方九分之 a 的 四次方乘以一个 a 方分之三就等于三分之一方，等于什么？ 等于十减二， a 加二 a 吧，是不是？好，我们两边同时乘二 a 就 除以掉两边同时乘一个三，你的左边就是十， a 方等于三，十 a 方等于等于三， a 等于二，三。好，为什么？ 是不是我们前面有条件 a 大 于零啊？好， a 等于根号三带到我们又回到我们这个数字中去， k 是 不是就等于一啊？就等于一，所以着急选 c 啊。 c 选项是 e 也选 c。 ok， 今天讲解就到这里，老顾数学不迷路。

hello， 大家好，咱们再一块看一下二六年济南市历城区初三约好题。全区约好题的第二十三题，也是倒数第三个大题，如图一，在平面直角对称中，三角形 abc， abc 是 九十度，并且 告诉了 bc 等于二， a， c， b 这个角等于六十度，然后 a、 c， b 关于 a， c 和三角形 a 的 c 关于 a， c 对 肾所在直线， a， c 所在直线对肾， o， b 等于二的时候，求得点坐标，这个很简单， o， b 等于二，那 o， c 就 等于四，然后 bc 等于 c 的 折过来的，它等于二角， a， c 的 也等于六十度，对吧？要求得点坐标，那很明显，咱就过的向 x 轴做条垂线， 我把这个二给它擦掉它哈，要不那个大家看起来就比较乱哈。 c 得是二，那我就过得向 x 轴做条垂线， 垂足为 h， 那 很明显， c 得是二，这个角得 c， h 是 不也是六十度啊，对不对？一百八十度减两个六十度等于六十度，所以说 c h 是 二，得 h 是 根三，对不对？ 一比二比根三吗？啊，这是 c， 一 是一， c 一 是一，因为 c 的是二吗？对吧？一比根三比二吗？对不对？那所以说 d 点坐标，那就是二加二，横坐标二加二加一就是五，重坐标就是根三， 所以说得点坐标就是五度跟三非常容易啊。来第二位，若得和 a 在 同一反比的函数图像上求 o b 的 长，那很明显，第二位在求的时候就不能用 o， b 等于二了，对不对？那也是模仿他的思路，大家会发现只是 o b 变了， o b 仅仅影响呢？是不是这个 得点呢？是不是横坐标是没有任何影响的？这个地方给他换一下，我把这段长给他换成 a， 这个， 那他的重坐标很明显还是没改变，还是跟三，为啥？因为因为这段长，大家注意这个三角形得 c h 里边这三条边的长度仍然是二，这是一，这是跟三，是不是他不会扁的，对不对？那所以说的话，那这个得的横坐标就变为什么了？ a 加二，再加一，那就是 a 加三，是不是多少？跟三，然后再表示 a 点坐标， bc 是 二，三十度碳，那六十度，对吧？或者说用三角函数，或者说是一比零，三比二，那这更简单，这是二根三，那所以说 a 点坐标就是 a， 逗号二根三，那 a 的 在他俩在同一反比的函数上，说明他俩的横轴坐标相乘都等于 k， 那 就是横轴坐标相乘相等， 那就是二根三， a 等于根三乘。以括号里 a 加三的和根三和根三约掉，那就是二。 a 等于 a 加三，那 a 就 等于三，所以 o b 就 等于三，就把它很容易给它搞定了啊。 这个题的话，前两位还是比较容易的哈，但是难度大的是在第二位上，第三位上，如图二，将二的二中的平行四边形向右平移，将二中二中呢？说明 o b 等于三了呀， 对不对？然后进行平移，那现在的话，平移的过程中，然后四边形都平移过去了，对吧？那平移了多少不知道，然后平移完了之后，就出现了一些 a 一 b 一 c 得一，这是平行的四边形，对吧？然后经过得一的反比例函数，又和 b 的 直线所在交于点 p， 当 p a 一 得为顶点的三角形是直角三角形的时候，那我们就求 k 的 四。 拿到这个题的时候我第一想法，你看啊，他们在平面直角坐标系里边反比例和一次函数的结合，对不对？那我就想着去表示一下它的坐标 对不对？然后表示坐标的话，然后的话我再干什么了？再用两点间距离公式求出线段长来，然后线段长的平方要接结合于购物定的逆定理就行了，他说购物定理就行了，你看是直角三角形对不对？然后够两只脚边的平方和等于斜边的平方，这样的话就能求出位置数来了啊， 这就是我的做这个题的一个总的一个思路和方法啊。那所以说咱现在注意的要去表示坐标来先把已知的一个思路和方法啊。那所以说咱现在注意的做这个题的给他表示出来。 a 点坐标 很明显，那就是三斗二跟三， c 点坐标，那就是五斗零得点坐标，那就很明显就是刚才第一问已经求出来了，得的坐标是 a 等于三，三加三十六，它的坐标就是六，逗号跟三，这是多点坐标，对吧？那现在咱现在还要去求 a 一 啊，得一啊，对吧？ b 一 c 一 啊这些怎么办？那很明显它向右平移了单位。不知道，那我就假设我向右平移了 m 个单位， 向右平移 m 个单位，那很明显 b 一 的坐标， 那就是三加 m 都零， c e 的 坐标，五加 m 都零，对吧？ d e 的 坐标呢？那就是六加 m 都跟三， 那 a 一 的坐标呢？那就是三加 m， 逗号二根三，那这些坐标都给它表示出来了，对吧？那 p 点的坐标呢？很明显它的横坐标是三，那重坐标到底是多少呢？很明显，因为 p 和得一都在反比例函数上，那这个 k 值它就等于根三 乘一筐里边六加 m， 对 吧？那所以说的话，那 p 的 重作标呢？那就是用 k 除以三就可以了， k 除以三，那就是它的重作标，我给它化简一下，那就是六根三加 m， 加根三 m 再除以三，那所以说它就等于二根三加上三分之根三 m， 对 吧？那就化简了，那就是二根三 加上三分之根三 m 括号，对吧？哎，大家注意哈，这个地方的话，你看哈 p 点 a 一 还有的是不是就只有一个位数 m， 这时候我就可以用两点间距离公式了，然后给他表示出来就可以了， 对不对？这个的话我就不是过多的去追溯了哈，就是因为坐标线都有了，对不对？那就是 p a 一 的平方是不能表示， p 的 平方是不是也能表示 a 一 的平方是不是也是那种表示的，对吧？但是大家注意，这句话进行分类的时候， p 处为直角肯定不行，对不对？因为 a 一 和的都在 p 的 右侧，对不对？他不可能数值对不对？所以说到这时候他不可能有垂直的关系， 因为他俩的话啊，当然你也可以去判断一下哈，你就用两点间距离公式表出的减两乘的平方了，然后再用勾股定力，然后两直线的平方和等细平方，如果能算出来就存在，算不出来就不存在，对吧？ 这个基本上所有的同学都会哈，这个咱就不去过多的赘述了哈，那这个地方的话，我再给大家讲一个，相对来说，你会发现，哎呀，这个计算量还是挺大的，对不对？那讲的一个相对来说简单点的方法，那就可以用 k 相乘等于负一，因为有垂直，对吧？有垂直的话，两相之间垂直， k 相乘就等于负一了。 那第一种情况，那就是刚才说的 p 数不可能为直角，那 a 一 数可能为直角，那就是 p a 一 垂直于 a 一 的，这是第一种情况。第二种情况呢？那是不有可能得数为直角，那就是 p 的 垂直于 a 一 的，对吧？那这样的话，我就垂直的时候，那第一种情况，那就是 k p a 一 就是 p a 一， 这条直线的 k 值是不是等于负一啊？ 第二种情况呢？那就是 p 的 这条直线的 k 值乘以 a 一 的这条直线的 k 值是不是等于负一？上面这是 a 一 啊。 那所以说我现在关键点，我就要去求他们这条直线这些直线的 k 值了。哈。来，第一个，我就写在右边吧，用蓝色的写 k p a 一， 那就是用德特 y， 比方德特 x， 德特 y， 德特 y， 这是外差二根三，哎，减根三，二根三没了，是吧？等于三分之根三 m， 这是分子三分之根三 m， 再比上得它 x 三减去三加 m， 三减三没了，那是剩了一个负 m， 哎， m 和 m 约了，所以说等于负的三分之根三，这是 k p a 一。 大家看 k a 一 得可以 a 一 得 a 一 得也是得它 y， 比方得它 x， 得它 y 是 二，根三减根三是根三，然后得它 x 是 三，加 m 减六，三减六是负三，那就是 m 减三。 然后再看 k p 的 k p 的 的话，那很明显 p 的 也是得它 y 减去得它 x， 对 吧？得它 y 是 二，根三减根三是根三，那所以说分子那就是 三分之根三。 m 加上根三，再比上得它 x， 那 就三减六，那就是负三， 那就把它搞定了。这是三个三个 k 值，对吧？来往里带 k p 一， 那就是负的三分之根三，乘以 m 减三分之根三等于负一，对吧？ 有一发现，负的和负的约掉的 k 三乘 k 三和它约掉了，那就是 m 减三等于一， m 等于四， m 等于四的话，那此时得点的坐标，那就是六加四是十十度根三，那所以说 k 值 那相乘，那就是四根三。这是第一种情况的， p a 一 垂直于 a 的 就是 a 一 数是直角的，就把它搞定了， k 是 四根三。来再看第二种情况，得数为直角，关系式也有了。 k p 得，那就是负三分之 三分之根三。 m 再加根三，再乘以 k a 一 得 m 减三分之根三等于负一，对吧？还是那样负的和负的是不是抵了？ 大家会发现左边这个相乘的分子里边有根三，右边那个相乘分子里边有根三分母上又一个三，就给它约掉了，对吧？那就变成了 上的，约了之后是三分之一 m 加一，然后再比上 m 减三，是不就等于个 m 减三，对吧？移过来负的三分之二 m 等于负四，所以说 m 就 等于六， m 等于六，那此时得点的坐标那就是十二。逗号跟三，那所以说 k 值就是十二跟三。所以说的话，综上所述，咱都求出来了， k 值一个是 十根三，另外一个就是十二根三。大家注意哈，我因为这地方的空比较小，所以说这块这卷面布局不大合理哈，大家在写的时候一定关键的就是把这思路和方法给他捋顺清楚，自己刻下手，再去整理整理这些完整的步骤，再去算一遍哈。

同学们好，今天我们学习一道反比函数题型，请看题。在反比例函数 y 等于 x 分 之 k 上点 a， 点 b， 在 反比函数图像上延长 点 a， 点 b 和 x 轴相交于点 c， 点 b 是 ab 的 中点，并且三角形 a、 o、 c 的 面积等于三， 求 k 的 值。题目告诉我们三角形的面积，所以我们最终可以利用二分之一底乘以高这个条件算出 k 的 值。首先过点 a 和点 b 做 x， 垂线和 x 轴相交于点 e、 点 f。 因为题目告诉我们函数表达式是 y 等于 x 分 之 k， 所以 我们横坐标 设为 a， 则纵坐标为 a 分 之 k， 所以 点 a， 我 们设它横坐标是 a。 代入表达式之后， y 等于 a 分 之 k， 则纵坐标等于 a 分 之 k， 点 b 是 a c 的 中点， 我们再利用中点公式求出点 b 的 横坐标和纵坐标。点 a 是 一个端点，点 c 是 另一个端点。 有图可知，点 c 的 纵坐标是零点 c 的 横坐标未知。终点公式是 终点坐标的横坐标等于 x， 一 加 x， 二除以二。纵坐标是 y， 一 加 y， 二除以二。 x 一 x 二， y 一 y 二分别是 线段两个端点的坐标，这就是钟点公式。利用钟点公式，我们可以求出点 b 的 坐标，点 b 的 横坐标 需要点 a 横坐标加点 c 横坐标，点 c 横坐标未知。等待下一步求。先求出点 b 的 重坐标， 用 a 分 之 k 加上零除以二，所以他的重坐标是二 a 分 之 k。 下面我们再把这个重坐标带到表达式中，可以求出点 b 的 横坐标， 代入之后求出横坐标等于二 a。 我 们再次把表达式中的点 b 的 横坐标、重坐标以及点 a 的 横坐标、重坐标求点 c 的 坐标设点 c 的 坐标，横坐标是 x c a 加 x c 的 和除以二等于二 a， 由此求出 x c 等于三， a x c 等于三， a 是 点 c 的 横坐标，所以 o c 的 长度等于三 a。 因为点 a 的 纵坐标是 a， 分 之 k， 所以 a e 的 长度是 a， 分 之 k， 所以 三角形的面积就等于二。分之一乘以底，三 a 乘以高， a 分 之 k 等于三，由此求出 k 的 值。

好，我们来看一下这个今天的反比例函数的一个基础题啊，解答题很简单啊，一个一次函数 y 等于 k， x 加 b 于反比例函数， y 等于 x 分 之 x， m 的 图像交于 i 点，写一下啊，二勾三， b 点负三逗 n， 然后这两点，求一次函数以及反比例函数的一个表达式，这个很简单啊，你看这 a 点和 b 点都在反比例函数上，你可以直接把这个 a 点带入反比例函数里边去，对吧？带入到这里边去，那就是三 等于二分之 m， 那 么这个 m 呢，就等于二乘以三等于六，所以这个反比例函数的一个表达式呢，就是 y 等于 x 分 之六啊， x 分 之六。好了，然后我们再想求这个一次函数的一个关系是表达式，一次函数的关系是表达式呢，你已经知道一个 a 点了， 直到一个 b 点， b 点又是在这个反比例函数上，那直接代入到反比例函数里边去啊， b 点等于负三逗 n， 那 么也就是 n 等于负三分之六等于负二，所以 b 点那个坐标呢，就是负三逗负二， 看 b 点是负三，都负二，然后你再结合一个 a 点是二逗三，对吧？然后设这个 y 等于 k， x 加上 b， 对 不对？然后代入啊，代入呢，就是负二等于负三， x 加上 b， 然后这个三等于二， x 加上 b， 解一下啊，那么解出来应该是 k 等于几， b 也是等于一的，所以这个一次函数应该是 y 等于 x 加上一。哎，这两个都减啊，好减啊，好减。第三个啊，第二个啊，直接写出来不等式， k x 加 b， k x 加 b 的 一个阶结啊， 是什么？直线，这是直线 y 等于 k， x 加 b， 对 吧？然后小于这个反比例函数。我们先看第一项线，这一块哪一段小于？哎，这一段，这一段是小于它的，对吧？以这个角点为准啊，以这个角点为准。啊，那么这第四项，第三项线呢？这一块，这一块 对的吧？是小于这个反比例函数的，小于反比例函数的，那么我们取的一个范围呢？哎，取的一个范围，这是负三负二，那就是 x 小 于负三， x 小 于负三，或者是 这一段，你看这是从零开始啊，那就是零小于 x 小 于它的一个焦点，这一块小于二。啊，这样子的，这样子的啊， 然后再来看下一个，然后做过 bc 啊，做 bc 垂直于 x 轴垂直啊，垂直。你刚才已经知道 b 点的是负三到负二，那么 c 点的坐标呢？是负三到零，对吧？然后 bc 一个长度呢？是负二的绝对值，就是二了。啊，二， 这一块长度是二，然后让我们求出三角形 a， b， c 的 一个面积， a， b， c。 啊，三角形 a， b， c 等于二分之一乘以 b， c 乘以这个，这一段啊，这一段能看得明白吗？二减负三，也就是二减减负三， 嗯，那就是等于二分之一乘以二乘以五等于五，面积就等于五。啊，这个反比函数它很简单。

好，我们今天利用反比例函数一个二级结论来做个题啊。他说，如图， l 与两个反比例函数 y 一 跟 y 二，其中 y 一 已知， y 二未知交于 abc， 然后这个直线与 y 轴交于点 d 给它做三分之一， bc 等于 b， d 等于 ad， 是 吧？问我们这个 y 二 k 值等于多少啊？那么条件就是这几个线段它的关系 吧，也就说这个 bc 要我们假设是长度是三 m b d m ad m， 那我们这个反比的函数，它有个结论是吧？任意一条直线就是我们这个 l 与反比的函数，它图像假设，我们就以 y 一 为例相交，那么相交之后是吧？上下两端它的线段是相等的， 假设我们这个点是一点，他有这个 b， d 是 等于 c 一 啊，有这个结论啊，这个结论如果不知道，可以看主页有这个反比的数，各种二级结论的证明啊。那所以说我们就直接用这个结论来做 哇，我们假设这个 b 点，它的坐标横坐标 a 中坐标是不是 a 分 之八呀？那么 a 点呢？ a 点横坐标肯定是知道的， ab 两点到 y 轴，它的距离相等，横坐标负 a， 那所以说我们看重坐标等于多少就行了，我们就用比例来做啊，我们这个整体的长度是六比 b 点，这里是四，哇，是不是六比四的关系啊？ 哇，就是 a 点跟 b 点，它的重坐标是六比四的关系，也就是三比二 啊， a 分 之八乘以二分之三， a 分 之十二啊，那么 k 是 不是出来了呀？横中坐标相乘就等于负的十二啊？

同学们，我们今天来讲反比例，反比例作为中考中必考的一个知识点，它必有一道解答题，解答题可能是六分、八分、九分，那我们今天就讲反比例的一个小小的常论的常考的面积问题，那 常考的面积就是这里一条直线跟反比例 y 等于 x 分 之 k 交于 a、 b 两点问 a、 o、 b 的 面积， 这种问题作为我们常考的题型，在练习册中或者考试过程中经常出现，那么它的面积怎么去做呢？在我们课堂上，我们老师说过来， y 等于 x 分 之 k， 所以呢，那个 a 点， b 点都在这个反比例上，所以就 y a 等于 k 除以 x a， y， d 等于 k 除以 x b， 所以 就得到什么 k 等于 x， a 乘以 y a， k 等于 x， b 乘以 y b。 所以 一般老师在课堂上都会讲解出什么点，只要在反比例上，那么它代表的这个三角形的面积是不变的， 因为这里就是 x a， 这里就是 y a 相乘除以二，就是这个三角形面积，那就是利用这个思想，我们来推导一下这个 a、 o、 b 的 面积会等于几？来看看三角形与我们的 三角形 a、 o、 m 的 面积是不是等于我们的三角形与 ob 的 面积， 那么我们就可以得到什么，那么老师在这涂阴影的部分就可以转到这一部分来， g， 就是 说什么在这字母有 k 啊，这是相相交 k 点，那么这什么情况？我们的三角形 o、 k， a 的 阴影部分，它会等于什么？ k、 m、 n、 b 这种一个梯形的部分， 那所以我们就会得到什么三角形 a、 o、 b 的 面积，它可是等于什么三角形 a、 k、 b 这种空白的 a k b 再加上 a o k， 那 它也就转成了三角形 a k b 加上我们的 km b， 也就是三角形。不是三角形啊，也就是梯形。什么来着？哎？梯形 a m n b a m n b 这种梯形面，而我们知道梯形面积得什么，上底加下底，上底是谁？ b n 下底是谁？ a n a a m 高是谁？ m n 除以二。那在我们跟坐标联系一下， b n 就是 谁 y d a m 就是 谁 y a m n 刚好就是什么 b 的 横坐标，减去 a 的 横坐标，那就是 x b 减 x a 除以二， 这就是它的面积转换，所以这是一种常考的小点啊。然后呢，在有些考试的过程当中，这个东西还会再重开，孩子们你们可以自行探索一下，它重开之后还会有一些变化的东西。