福建漳州2026数学中考几何压轴题

今天讲解漳州三月份质检选择压轴题，考了这二次函数的对称性与增减性问题，是福建中考的高频考点。这个问题主要有两种考法，一类是由抛物线上点到对称轴距离的远近，判断其函数值的大小关系。第二类是已知函数值的大小关系，反过来判断对称轴的位置。 本次质检就是第二类。讲解题目之前，先补充个小结论，假设抛物线上两个点的函数值及 y 值相等时，对称轴为这两点的横坐标相加除以二。 但是如果 y 一 小于 y 二，说明点 a 离对称轴更近，所以对称轴偏向点 a， 且点 a 在 左侧，所以对称轴应小于 x 一 加 x 二除以二，以此可以类推出其他情况， 这里不再赘述。接下来看题目。结合条件画出图像。结合条件以及图像可知，对称轴及 x 等于 m， y 一 小于 y 三， 因此 y e 所在点更靠近对称轴，也就是说对称轴更偏向 y e， 且 y e 在 右侧，所以对称轴应大于两点横坐标的中间值，即 m 应大于 t 加二除以二，结合 t 的 范围。可是 t 加二除以二大于一，且小于等于二分之三。 同理由， y 三小于 y 二， y 一 小于 y 二，可得 m 对 应的取值范围。因为 t 加五除以二比二分之七小，所以最终 m 的 取值范围为，大于 t 加二除以二小于 t 加五除以二。因为对于零小于 t 小 于等于一均成立，所以 m 大 于大于 t 加二除以二的最大值 小于 t 加五除以二小于二的最小值。由前面可知， t 加二除以二小于等于二分之三， t 加五除以二大于二分之五，可以得到最终答案为选项 b。

哈喽，同学们。哎，今天呢，我们再来分享一道题目啊。今天呢，来分享一道填空题啊，一个比较新颖的题目啊， 他说定义有一个圆呢，分别和一个三角形的三条边各有两个交点。嗯，那很好理解啊， 这一个三角形啊，我随便画一个先，然后他有个圆，哎，与每条边都有两个焦点，哎，就长这样的。 嗯，然后呢啊，他有要求，他说，呀，捷德的三条弦相等，哎，我们把这样的圆叫做等弦圆，然后呢，现在有一个 斜边长为二的等腰直角三角形，哎，那我这个三角形画的不对，我应该直接画一个，哎，斜边长为二的等腰直角三角形，那斜边长为二的话，哎，之前讲过很多遍了， 等腰直角三角形，斜边是直角边的根号二倍，那如果斜边是二的话，它的直角边就是根号二，画的稍微有点偏啊，讲解一下。然后呢，我们啊，等弦员，哎呀，这个画的不好 啊，将军，看一下啊，这明显三三条弦不一样长啊，但就大致啊，就是有这么个意境就行了啊。嗯，现在呢 啊，当等弦圆最大时，问这个圆的半径，那我们要注意啊，这道题的凸解题，关键一定是这个等弦， 那么在同一个圆中相等的弦，注意，我们有这样一个性质，就是相等的弦，他们的弦心距也相等，就是这条弦到圆心的距离也是相等的， 那么这三条弦呢？哎，哎，这条，这条，这条，这三条弦如果长度是一样的话，那么他们圆心到这三条弦的距离也是相等的。 嗯，这个性质，同学们，能记记住不？能记呢，你要知道，这个是通过垂静定律，哎，就是我们源中最重要的一个定律，哎，用处最大的啊，使用能力最强的垂静定律推导出来的很好推呀， 因为半径相等，这个弦相等啊，那么弦的一半也相等，他相等，他相等一个直角三角形，你的斜边直角边相等，哎，你有三，你就可以轻松做出三个全等三角形，哎， 那么你就能证明这三个弦的，哎，就这这第四到达圆心的距离都是相等的 啊，那么很明显，这道题我们把圆先放一放啊，就是重重要的就是这个点，如果三角形那一个点到三边的距离相等，哎，这个点 是不就是这个三角形的内心呢？哎，就是内接圆的圆心，他是三角形三条角分线的焦点啊， 嗯，它是我们的三角形三条角分线的交点，也就是说你这个等弦圆的圆心是固定的， 无论你放大还是缩小，你的圆心肯定是不变的，那么最大最小我们就可以简单的画一画了啊，我重画一下吧，这个图被我画烂掉了， 哼。啊，那么最小的时候呢啊，他一定是与这个三角形都有交点的，但是有交点，刚有一个交点，你那三条弦不是弦啊， 那边没有交上，在我直播间， ok， ok， 差不多，你刚开始可能三角形的三条边与圆相切啊，那其实这就是三角形的内接圆， 嗯，但是这个时候是没有等弦圆出现的，因为那三条弦弦没有出现，然后再扩大一点点，三条弦就来了，因为每条边都会与这个圆产生两个焦点了，弦就出来了， 那么这种情况呢，就是我刚才画的那种，那什么时候最大呢？我们也肯定要研究它最大的，最大的肯定是与这个我们的直角顶点，直角顶点在圆上的时候 不行，哎，非常完美啊，可以 哎，因为你再大一点点，不好意思，你这个圆与我们三角形其中两条边就不够两个交点了，那，那这个三角形这块和这块就不是弦了，那么你只有正好交在这个，哎，直角顶点上的时候， ok， 他 现在就是最大的等弦了， ok， 那 我们就可以进入到下一个问题了，我们要求出这个圆的半径，那这个圆的半径很明显啊，就是三角形的内心 到达直角顶点的距离，那这个 a 蛮好求的，我觉得蛮好求的，同学们， 因为啊，其实这里，你这里做个垂线过来，嗯， 还是有垂径定律，那你这个内心的宇宙，你知道这还是四十五度啊，这还是四十五度，那其实你如果这连下来， 嗯，它就是一个正方形，那么这个正方形是怎么推的 啊？怎么推的他不重要，你知道这个正方形就行，但是我们也可以尝试推一下，你过这两个垂直，两个垂直，然后这还有个直角，一个四边形，有三个直角， ok， 你 是一个矩形了，那你是矩形的话呢？你的对角线， 哎，正好呢，与啊，平与平分对角，那你这是什么性质啊？是不菱形的性质啊，其实你就是正方形了，但是这个不重要，我们要的就是 你这个正方形，你这个斜边，你这是四十五度，哎，你这个四十五，有这个四十五度实际上就行，因为我们这个是内心在角分线上，这是四十五度，你做个垂直过来， ok， 这是一个等腰直角三角形啊，我用蓝色的把它标出来，你标下面也行，等腰直角三角形，我们会知道啊，这个蓝边我们标一下啊，这是点 c， 这是点 o 吧， o c 是 直角边的根号二倍，那么这个直角边要注意，它就是弦心距啊， 那弦心距我们可以设为 h， 那 么 o c 就 等于根号二倍的 h， 那 么这个点到达这个也是弦心距啊，刚才已经说过了，它们的长度是相等的，所以啊，假说这个垂足是啊 m 啊，点 m ok 的， 那么 o m 就 等于 h， 然后 c o 就 等于我们的根号二 h， 那 其实 c m 和 o 是 三点共线的 啊，因为 m 这里你做了，你这是垂直，然后呢？我点 c 连接这个内心做过去的，其实也是垂直，因为我们等腰直角三角形，三线合一， 但他不是一个，他不是一个大题啊，要不然你这里解释起来，你一定要注意，你要解释这个三点共线啊，你要知道点 o 一定在 cm 上，为什么？因为你这个点 o 是 角分线，那么角分线势必垂直，那么 你过 c 点做它的垂线与过 o 点做它的垂线都是一样的，因为点 o 在 这个 co 上，那么呢，哎，我们坐到这之后，哎，我们发现整个 c m 就 等于根号二 h 加 h， 当然我们最终求的是根号二 h 啊，哎，我不想用分数，所以我这么射了啊，我们求的就是 o c 吗？那么 cm 的 长度要注意， cm 的 长度就等于二分之一的， 哎，这是 a， 这是 b 吧，就等于二分之一 ab 还是三线合一，然后再接着又，哎，三线合一，你是中线啊，你是中线，那么直角三角形哎，斜边中线 c m 等于二分之一 ab 怎么也得到了，那 ab 是 二，那好的， c m 等于一，一等于根号二 h 加 h， 我 们可以先求出 h 啊， 啊，那这么射，其实射我们，如果啊直接射 o c 为 h 的 话，会好算一点啊，我前面不想用分数，但到这就得多算一步了。那好，我射 o c 为 h 啊，那直角边就是二分之根号二 h， 那 么 这里就是 h 加上二分之根号二 h， 这样我们求出来的 h 就是 就直接是圆的半径了。那么一等于一加二分之根号二 括号的 h， 那 h 就 等于一除以二分之二加根号二，那就是二加根号二，然后我们分母有理化同乘二减根号二 就搞定了啊，不想算了啊，自己算一下，同学们，哈哈哈，这个计算永远是最次要的。什么是重要的啊？这个解析思路就整个过程中，这道题是非常好的，他考了啊三角形的啊，内心 考了咱们的纯静定理，然后呢，又考了三线合一的一些东西， 嗯，因为你看到这个等腰的时候，哎，势必也会考虑到三线合一，所以说这道题的考点非常不错呀，而且思路也是稍微有点绕的。嗯， 因为很多同学是不知道等弦啊，在同一个圆内相等的弦，他们的弦心距是相等的，就是学的时候你们老师一定讲了，但是很多同学会忽略掉，因为这个知识点平时确实用不上 啊，但是中考的时候，既然老师教了，他就是有可能会用上的啊，这些小知识点要记牢。那么 ok， 本次的分享就到这里，同学们再见！

二零二六年三月漳州质检第二十三题这道题最关键的是对第二题提干条件的理解。题目说，对于任意 x 二都有 m 小 于等于 b， 换句话说就是 x 不 论取何值， 其对应的函数值都大于等于 m， 因此可以得知 m 就是 函数的最小值，所以点 a 就是 顶点，且开口向上 x 一 等于对称轴二，剩下的就是常规计算了。

今天我们来看一道中考几何的压轴题，我们来看二十二题。在三角形 a、 b、 c 中，已知 a、 b 等于 b、 c、 b、 d 垂直 a、 b、 c、 d 是 垂直 bc 的， 还知道 a、 e 平行 c、 d。 第一问，我们要证明三角形 a、 b、 e 全等于三角形 b、 c、 d， 所以 角 e 就 等于角 e、 d、 c。 而我们通过条件还有一组边等和一个九十度，所以这两个三角形就全等。 第二问，我们知道 b、 f 等于一， b、 e 等于四，而通过前一问的全等，我们知道 c、 d 也是四，这时我们就再没有其他的条件了，所以我们可以先倒一下角。 而我们因为知道三角形 a、 b、 c 是 一个等腰，所以我们设它的底角是而法， 因为这个角是九十度，所以角 a、 f、 b 和角 c、 f、 d 都是九十角。而法， 因为角 b、 c、 d 是 九十度，这个角是 r 法，所以角 a、 c、 d 也是九十角 r 法。三角形 d、 f、 c 就是 一个等腰，三角形 d、 c 就 等于 d、 f 等于四， 而 b、 d 就 等于一。在这个直角三角形里面，我们能求出 b、 c 和 b、 a 都等于三。 而在三角形 a、 b、 f 中，我们已知 b、 f 是 一， ab 是 三，那么自然就能求出 a、 f 是 根号十。 这时我们再根据 a、 e 平行 c、 d 这个条件，能得出三角形 c、 f、 d 和三角形 a、 f、 e 是 相似的， 所以 a、 f 比上 c、 f 就 等于 e、 f 比上 d、 f， 而这些边我们都是知道的，所以就能求出 c、 f 的 长，进而就能求出 c、 e 的 长是五分之九倍，根号十。我们再看第三问， 以 b、 c、 c、 d 为邻边作平行四边形 b、 c、 d、 j。 而我们从这个题目的大条件我们能知道角 b、 c、 d 是 九十度，所以这个四边形就是个矩形， 而 a、 h 比 b、 e 等于一比根号二， b、 h 等于根号二。我们要求三角形 a、 d、 h 的 面积。 在这个三角形一点一式中，我们一个边也不知道，并且没有已知的角，所以我们可以先倒角。我们根据前一问设的参数 看这个角 h、 b、 c 也是九十度，这个角又是 r 法，所以角 b、 h、 c 就是 九十减 r 法等于角 b、 f、 h。 所以 这个三角形 b、 h、 f 就是 一个等腰三角形 b、 h 等于 b、 f 等于根号二。 而这时我们知道 b、 j、 d、 c 是 一个矩形，所以 c、 d 平行， b、 j 也平行 a、 e。 而因为 a、 h 比上 b、 e 等于一比根号二。我们根据平行线分线段成比例定里就能得出 h、 f 比 b、 e 也是一比根号二，所以 h、 f 是 一。 而这时我们再看这个三角形 a、 d、 h。 我 们可以设 a、 h、 v、 x 让 a、 h 做底，我们过 d 点向它做一个垂。我们现在只要求出 a、 h 和 d、 p 的 长度就可以了。 我们根据比例线段就能得出 b、 e 也是根号二 x。 根据第一问的全等能得出 d、 c 也是根号二 x。 根据第二问，我们正的等幺能得出 d、 f 也是根号二 x。 而这时我们发现三角形 a、 b、 c 和三角形 b、 h、 f 都是等腰三角形，所以我们根据等腰对称性就能得出三角形 b、 h、 a 和三角形 b、 f、 c 是 全等的，这样 a、 h 和 d、 f 就 都等于 x。 这时我们看三角形 a、 f、 e 和三角形 d、 f、 c 这组相似的三角形， 他们的对应边都是能用含 x 的 式子来表示，所以我们列一个等式， x 加一比上 x 等于根号二， x 加根号二，比根号二 x， 我 们能求出 x 的 长， 而现在我们底 a h 就 知道了，我们再求高 d p 就 可以了。而因为这是一个等腰三角形，我们过地点作垂垂直底边就平分底边，所以 f p 就 等于二分之 x， 我 们在这个三角形里面勾股定律能求出 d p 的 长，这样我们就能求出三角形 a d h 的 面积是四分之九倍，根号七。

每天练一题，中考肯定没问题，今天我们要来讲二六年漳州一次卷数学卷的最后一道题，那么这一道题涉及到的是圆内接四边形啊。来看一下题目已知条件， 正方形 a、 b、 c、 d 内接于圆，就只有这一个条件，那但是这个四边形它是一个正方形，所以我们可以得出每个角每条边都相等啊。接下来看一下第一道题，在二三二四的话，都是跟这个内接四边形结合在一起，还跟相似，对吧？求无常或者是求 这个边长。那我们来看一下要正这个三角形 b、 b、 e、 f 跟三角形 b、 p、 v、 f 这两个三角形，首先正它们相似，我们想一下要用哪个判定方法，哎，很明显它已经有一个什么同角，所以正它相似。我们已经有一个同角了，再去找什么？再去找一个角，或者是其他对边成比例，那明显这里没有边的关系，我们只能再找一个角，那找哪个角？ 看一下这是一个正方形，所以我可以知道这个角是几度。哎，四十五度啊，因为这一条是它的对角线，这个角是四十五度，那么同样它对应的弦就是正方形的边长，那同样的另外一个角，找到它的对角，就知道角 b、 p、 f， 那 这个角它对应的弦是不是 ab？ 哎，我们会发现它弦相等，在同一个圆里面，弦相等就可以推，推出圆周角干嘛相等？所以第二步就是同弧。哎，这个是等弧啊，这个是等弧，等弧它所对的圆周角会干嘛相等？推出圆周角，相等 那两个角，等，我就可以证出这两个三角形，干嘛全等，所以第一道题解决，再来第二题。第二题是要我们求弧长，而且还要告诉我们新的已知条件， b d 等于二。哦，那我们知道 b d 是 这个圆的什么 直径，因为它对的这个角就是什么九十度，而且它还过圆心啊，所以我们根据这个 v d 等于二，可以求出谁也可以求出它的半径 啊，这个圆的半径啊。好，再来 v e 等于 e c， 他 们有一个公共点是一点，所以我们根据这个等边可以得出什么等角。好，我讲上这个是一，这个是二，所以有这个我们可以得出角一等于角二，这个是题目给的第二个条件。那现在要来求这个弧长 d p 的 弧长， 弧长，求弧长的公式。你首先要知道， l 等于一百一百八十度分之 n 拍 r， 这个是求弧长的，如果求面积的话，就三百六十度分之 n 拍 r 的 平方。哦，那也就是说求这个弧长，我们得知道它的 n 角，对吗？这条弧所对应的圆周圆周角或者圆形角。好，那么这个 r， 如果你这个要求求它的圆周角的话，那我们就要找它的半径 r。 好， 那现在就先把它的半径画出来，连接 o p， 所以 你第一步是去连接 o p， o p， 然后现在去求这个二，就是 o p 了， o p 又等于什么？对， o p 又等于 o d， 所以 其实这一步是比较好求的，就是去求它的半径，那我们可以先求成 b d 啊， b d 已经告诉我们了，对吧？ b d 是 等于有 b d 等于二，那 b d 等于二的话，它的半径就是多少一，哦，二等于一。好，这一步解决了，那现在就是求角度， n 的 话， n 就是 哪个角，哎， 角 d o p 啊，这个角 d o p， 那 要求这个角等于多少？我们首先知道它 在这条直线上，所以我们其实可以去借助角 b o p 这个角，角 b o p 的 值怎么求呢？我们想一下，这个条件还没用到呢，所以可以从这一边入手。这两个角相等，那我就可以得出。什么呢？我可以得出 这两个角相加是不是等于这个角，然后我这个角又存在这个直角三角形里面，所以你看啊，如果我假设 角一等于角二等于 x， 对 吧？那现在的这个角是几 x？ 二 x， 那 你再看一下，在这个直角三角形里面，这个角是几 x 呢？ ok， 那 你看一下这边是不是有一个这种三角形， 这一条是看的什么线？角平分线，所以这两个角是相等，这两个角相等，这两条边又是正方形的两条边，所以我们可以用判定方法是什么？ a b f 全等三角形 c v f， 它的方法就是 s a s， 对 吧？这两个三角形全等，那就是假设这个是三角三就会等于角二等于 x， 所以 我们可以得到三 x 就 等于几度？九十度， x 就 等于三十度。好，那我们来看一下，求出这个有什么用？求出这个角是三十度， 得出这个 f e b， 这个角是六十度，对吗？那这个角跟谁相等？哎，第一题里面相似，我是可以得到它跟 f b p 是 相等的，所以这个 f b p 这个角也会等于到六十度啊，它是六十度的话，我们这个三角形 b o p 这个三角形，它就会变成一个什么等边三角形啊，所以这边求出三十度之后是角 v f 等于角 v f v f v f 等于角 f v p。 啊，这两个角相等等于六十度，所以又可以推出角 b o p 等于六十度，那个推出角 d o p 等于一百二十度。好，那把它带进去，那我们就可以用这个弧长公式求出它的弧长，求出来的话是 d p 等于一百八十度，分之一百二十度乘以拍，再乘以二二二，是等于一吗？乘以一，所以结果 三分之二拍，三分之二拍，第二题就解决了。第二题相对会比较复杂一点，因为你得去正全等，然后还要去推角的度数，然后求出这个角，再 求半径。半径比较简单，那你假如你这道题不会做，那你就根据他的这个直径求半径，那就差不多有一分了。边等推出角，等。好，这个也可以再加个一两分。好，那么现在来看一下第三题。第三题的话相对是比较难一点的，你来看一下三条线之间的关系， 我们重新拿一道题，拿一张出来，就是这个图会比较清楚一点。现在讲到第三题，第三题的话，它是探求 ap、 bp、 ap 四条， 然后还有 d p、 d p 这三条线之间的关系，我把它画出来，那我们会发现它其实这三条线分布在一个四边形里面，你会看到新的 a、 b p、 d。 啊，在这个四边形里面，那现在你来看一下这两条围成的三角形是这一个，这两条它是围成这一个，那我现在看一下 它们首先的关系，你看这两条的平方和是不是等于 b、 d， 哎，我第一次猜想的话是 b p 的 平方加上 d p 的 平方等于 b d 的 平方，所以我是在想 b d 跟 a p 会不会相等，很明显它们是不相等的，所以这个念头打消因，因为它是直角，它 比直角还来得大，它所对应的是直径是最长的，肯定不会跟它相等，所以这个先擦掉。那么接下来我们就要看一下能不能两条小的边，就是 b p 跟这个 b p 两个相加，或者跟第三条有什么关系？ 大家看一下这个三角形，如果我把这个三角形绕着这个点旋转，旋转到上面，对不对？旋转几度？哎？旋转九十度，为什么我会这样子想？是因为这条 a d， a d 跟 a b 是 相等的啊，所以我把这个三角形绕着点 a 旋转九十度，旋转九十度， 我现在用圆规，圆规也可以，不用圆规也可以啊，来，这个是这条旋转九十度，这条旋转九十度 是不是差不多在这里？然后我其实可以用圆规去截一下它的长度，这样子会比较准确一点，这样子画画过来，那我大致画一下就可以了，刚刚是五点多，快到六 哦，然后接下来这一条，这一个点就是 p 点旋转过来的，因为然后这一条是不是还是这个？所以我在连接旋转完之后，这个点 d 它就到点 b 了嘛， 对吧？好，现在我旋转过来之后，我来看看，你看这一条跟这一条是不是相等的，而且这个条还是一个什么直角，那我现在这这一条，这一条 b p 撇是不是刚刚的 d 撇？好，那现在的话我是不是可以得出他们的关系？就是 p 撇 d v 加上 v p 这一条对不对？它是不是会等于 他的平方？是不是等于 ap 平方加上 ap 平方，对吧？是不是这一个？那但是我们要看一下这一条跟这条是否会在同一个直线，从同一条直线上就是看这个角 跟这个角会不会互补。哎，很明显会，为什么呢？因为圆内接四边形对角是干嘛互补的？然后我这个角又是他旋转过去的，所以你看这边的角，角是五，这个是六七啊，角五加角七是不等于 一百八十度？然后我角五又等于角六，所以我可以得出角六加角七是不是等于一百八十度，对吧？那就在同一条直线上，所以这时候我们就可以得出这个 a p 的 平方两倍，那就是 a p 的 b。 撇 b 撇就是，其实就是谁 d p， b p 加上 d p 平方，那这时候左两边同时开方，对不对？开方就根号二倍的 a p 就 会等于 b p 加上 d p。 好， 那最后一道题就解决了，那么最后一道题其实相对会比较难一点点，但是整道题你也不至于说一分不得，对吧？第一题可以做，第二题可以去推一下，嗯，那我们第三题你可以去猜，然后去 将这个三角形旋转过来，然后再去正正这个三角形，这时候三边的关系就出来了。好，那我们这道题先讲到这边。

大家好，我是张老师的助教，今天给大家讲一下福建省漳州市初三数学质检，讲一下选择题啊的一个压轴题。第十题，看第十题啊， 第十题说的是一个 a 点， b 点， c 点的三个点啊，就是二 y 一 五 y 二，还有 t， y 三是抛物线的上的三个点啊， 都是抛物线当中底，然后其中 t 是 大于零，小于点一，然后有 y 一 y 二 y 三的一个范围啊。我们看一下，大致画个图，首先这个图 y 等于 x 平方减二 m， x 开口向上啊， 那对称轴，现在对称轴啊，不是 x n 负的二， a 分 之 b 啊，那是负的二， a 分 之 b 负二 m， 然后算一下，应该是 m 啊，对称轴是 m， 先画一下这条图形图像， 不用画这个坐标了，不画这个坐标，你画一下抛物线在这抛物线啊，对称轴是 m， 然后的话，它说 y 二是最大的，假如啊， y 二是最大的， 然后 y 一， 然后 y 三是最小的。其实我们就一个一个看啊，先看，先满足 y 三小于 y 二，这是第一个条件，第二个条件满足 y 一 小于 y 三，其实满足这两个条件，如果满足这两个条件，是不是就满足这个整体这个条件了， 对吧？那看一下 y 二 y 二的这个这个 b 点啊， y 二就是 b 点， b 点是五， y 二，然后 y 三的话是 c 点 t y 三，然后 a 点是二， y 一 二，这是个 a 点， 所以满足这两个条件。看，我写这两个条件， y 三小于 y 二，然后 y 一 小于 y 三，先算一下 d 满足第一个条件，需要满足什么条件，只看 y 三和 y 三和 y 二， y 三和 y 二，就是 b 点和 c 点，如何满足 y 三小于 y 二呢？ 你看我们是假如 b 在 这里啊，五 y 二，是不是只要 c， 如果满足 y 三小于 y 二，假如这是 b 啊，满足一个 y 三小于 y 二，是要只要在这上面运动就可以吧， 但是到这里运动，到这里就和 y 二持平了吧。假如这是 c 点运动，到这里再往左边移动的话，就超过了，就变成了 y 三大于 y 二了。我们要满足的是 y 三小于 y 二， y 二大的话，是不是这个 c 点只能在这里运动，在这里运动，我们互相满足一个条件啊，就是 c， 它的横坐标， 这是 c 的 横坐标相加，加上 b 的 横坐标啊，就是 y 除以二，就是从这里到这里相加除以二，它们应该是大于这个对称轴的，对吧？只要满足它相加除以二大于这个对称轴，对称轴就是 m， 只要它俩相加，满足这个大于大于大于 m， 我 们就可以判断这个 a 点就是在 b 的 这个下方的，就说满足这个条件，满足这个条件我们可以推出来什么呢？然后这道题让我们求的是 m 的 值吗？所以 m 小 于二分之 t 加五， m 小 于二分之 t 加五，是不是小于这个东西的一个？ m 就是 小于右边，是不是小于右边的一个小值啊？ 对吧？ m 如果小于它的最小值的话，那么 m 才会小于它，它最小值是什么呢？最小值 t 的 范围是告诉了零到一，所以 t 的 最小值是等于零的， t 等于零的时候取最小， t 等于零的时候，发现 m 应该小于二分之五， 然后的话会不会有等号啊？应该 t 是 不能取到零的，你看 t 是 大于零的，它不，它不能取等于零哈， 他不能取等于零，所以说这里取不到零的时候，二分之五，这里是二分之五，这个数是取不到的，所以 m 这里可以等于二分之二。如果 m 等于，意思就是你看 m 等于二分之五，他也是小于 t， 他 也是小于 t 加五除以二的，因为 t 是 取不到零，如果 t 如果 t 取零的话，这个就不满足小于号了。但是 t 现在是大于零，他这里取不到等于号，所以这里的话需要添加括号， 这里需要填个等号， m 就 可以。等于这个二分之五等于二分之五，照样满足。这个小雨可以看一下，仔细看，接下来这是满足了一个 y 三小与 y 二啊，还有满足 y 一 小于 y 三，那 y 一 小于 y 三的话，同理啊， y 一 在这里， y 三在这里啊。随便举一个例子， y 一 怎么小于 y 三呢？哪里 y 一 小于 y 三啊？我这里 y 三， y 三的话，你看 y 三， y 三想要高，现在画的是个 y 一 高于 y 三，而这是 y 三， 这是 t y 三，然后这是二 y 一 啊，这是 c， 那 y 三是大于 y 一 的啊。现在 y 三大于 y 一， 是不是要满足 y 三和 y 一， 它大于它，它大于它， 是不是要满足一个它的横坐标？ y 三的 y y 三的横坐标是 t 啊，再加上一个 y 一 的横坐标， y 一 的横坐标是二啊， 除以二，他俩相加的一个红轴标除以二，是不是应该是小于 m， 对 吧？就是这边加上这边应该是小于这个对称轴的，除以二得，除以他俩相加肯定是大于他俩相加应该是小于二 m， 所以 说再除以二，他俩相加除以二应该是小于这个对称轴的， 就要满足了，他小于对称轴的话就可以满足，相当于是得到了这个这样的结论，这个结论的话， m 大 于二分之 t 加， m 想要大于它， m 大 于 t 分 之加，那么说 m 应该大于它的最大值， 大于它的一个最大值，它最大值是什么时候？ t 取一的时候， t 取一的时候， m 大 于二分之三， 这里为什么不能取等号呢？因为上面这里右边已经有等号了，这个 t 相当于能取，这是说明这边能取到二分之三，这边如果取二分之三，你如果 m 还等于二分之三的话，写到这里二分之三就不会大于二分之三，所以不能取等号啊。 m 只是大于二分之三，所以整体来说应该是 m 大 于二分之三，小于等于二。

大家好，这里是乔乔屋，欢迎一起来看二零二六年福建晋江的质检题。第二十五题，如 图一，在等边三角形 a、 b、 c 中， f 为边 a、 c 延长线上的一个点，将线段 a、 f 绕着 a 点逆时针旋转六十度，得到线段 a、 d 连接 c、 d、 b、 f。 第一问，求证角 a、 d、 c 等于角 a、 f、 b。 要正这两个角相等的话，我们可以尝试着看有没有两个三角形是全等的。由等边三角形 a、 b、 c， 我 们可以得到 a、 c 是 不是等于 ab 的， 并且旋转又旋转的是六十度，所以角 f、 a、 b 会等于角 d、 f 都是等于六十度。进一步的旋转的是线段，所以 ad 等于 f。 进而我们可以得到三角形 a、 d、 c。 它会全等于三角形 a、 f、 b， 所以 角 a、 d、 c 等于角 a、 f、 b。 这是第一问，是比较简单的疑问 来看第二问。第二问是说把线段 b、 f 沿着 b、 a 方向平移 b、 a 的 长度，得到线段 a、 e、 a、 e 跟 c、 d 要相交于距点，连接 e、 f。 序号一，求证三点共线，这里已经连接的是 e、 f， 所以 我们可以先把 d、 f 给它连起来。由线段的平移，我们是不是可以得到一个平行四边形 a、 b、 f、 e， 那 就可以得到 e、 f 会平行于 a、 b。 进一步我们可以得到这边会存在着角 e、 f、 a 等于角 f、 a、 b 等于 六十度。我们现在是不是要看一下角 dfa 是 几度？而由旋转六十度，我们是可以得到三角形 a、 d、 f 为等边三角形，所以我们可以得到的是这里 dfa 是 也等于六十度的。 通过角 e、 f、 a 等于角 d、 f、 a， 所以 我们可以得到这边 d、 e、 f 三点共线。 我们来看序号二，序号二的难度跟刚刚序号一的难度完全不是一个量级的。序号二说这边 e、 g 等于两倍 a、 g 的 时候，让你去求这里 tangent 角 a、 d、 c 的 值。那么我们就要思考一个问题了，刚刚的第一问证的是角 a、 d、 c 等于角 a、 f、 b 该怎么用呢？而这里括号二是有个公共条件， b、 f 要进行平移，平移说明 b、 f 平行 a、 e， 进而由第一问以及这边 b、 f 平行 a、 e。 综合这两个条件， 我们可以得到这里存在角 a、 d、 c 等于角 a、 f、 b 等于角 e、 a、 f。 那 我们不妨给它设为 x。 好 了，接下来再看你刚刚序号一里面是不是正的共线，那由 d、 e、 f 三点共线能够推出什么结论？是不是比较直观的是，这边存在角 d、 e、 a 会等于角 e、 a、 b， 它可以由共线推出来，所以这个时候角 d、 e、 a 就 会等于 六十度加 x。 接下来你再看你要求的，你的目的是求 tangent 角 a、 d、 c 的 值，所以你是不是缺直角三角形该做垂直，该过哪个点做垂直呢？它给的是 e、 g 等于两倍 a、 g， 所以我们不妨过一点去做垂直。垂直做完了之后，你再看这里是不是存在角 a、 e、 p 是 等于九十度减 x 的。 刚刚求完了角 d、 e、 a 的 度数，所以你再看角 f、 e、 p 应该是几度呢？ 角 d、 e、 p 是 不是应该等于一百五十度？所以角 f、 e、 p 应该等于 三十度，是不是也是用到了刚刚序号一的贡献的结论？接着再往后看，你要求的是这一个角的正切值，说明你要表示出 e p 跟 a p。 婴儿，我们下一步可以尝试把线段给它表示出来，所以该设线段的长度了，设哪一个合适呢？我们可以尝试结合这边的三十度去设 e f 等于二 a， 这样的话， f p 是 不是等于小 a， e p 等于根号三 a， 然后再把 a p 设它为小 b， 这样你的目的是不是相当于你要去求这里根号三 a 除以 b 的 值，怎么表示出这一个比例关系呢？我们目前是不是还有信息是没有用到的， 所以怎么去用这里的 e g 等于两倍 a g 呢？ 那很可能是要找三角形是相似的， a g 是 在三角形 a、 g、 c 里面，那 e g 的 话，我们可以给他放大，放大到 a e 里面。所以三角形 a、 g、 c 会相似于三角形 a、 e、 f 吗？ 这里是不是可以利用角 d， a g 是 六十度减 x， 所以 我们可以得到的角 a、 g、 c 会等于角 e f a 都等于六十度。接着是不是还有角 g， a、 c 等于角 e a f 公共角， 进而可以得到三角形 a、 g、 c 会相似于三角形 a、 f、 e？ 由相似比例关系列出来，说明 a g 比去 f 会等于 a c 比去 a e。 进一步的，我们现在看一下线段能不能挨个给它表示出来。 a g 相当于是三分之一的 a e 吧， a f 呢？是 a 加 b， a c 呢？ a c 是 等于 a b 的， 那是不是等于 e f？ 所以 a c 就是 二 a， a e 照写。因此我们可以表示出来 a e 的 平方是等于六 a 平方加六 ab 的。 接着这一个 a e 的 平方是不是在 r t 三角形 a e p 中， 所以我们可以在这个三角形里面用勾股定律了， a， e 的 平方是六 a 平方加六 a， b， e， p 的 平方是不是三 a 平方， a， p 的 平方就是 b 平方？整理一下， 三 a 平方加六 a， b 减 b 平方等于零。我们进一步的把这个式子往根号三 a 除以 b 上面靠。所以我们可以尝试 方程两边同时除以 b 平方，这边是加上六 a 除以 b 减一等于零。那为了方便我们更直观的看出它们之间的关系，我们可以尝试去设这边的根号三 a 除以 b 是 小 m， 说明这个方程就是 n 平方，加上二倍根号三 n 减一等于零。 哎，不难算出来， m 有 两个值，其中有一个是负的要舍去，所以 m 为二减根号三。因此 tangent 角 a， d， c 是 不是就应该等于二减 根号三？我们来总结一下这道题，这道题首先要明确第一点，就是你刚刚括号一以及第二问的公共条件平移的关系，想要得到的是这边三个角是相等的贡献，想要的是这边的角 d， e， a 是 能够直观的由贡献推出来的。 而要求 tangent 值，那就需要九十度角，那就要做垂直，垂直过一点。做垂直是因为已知条件知道的是 e g 跟 a g 的 关系。 做完垂直，我们可以发现一个很特殊的角度，三十度角，而你要表示出这里的 tangent 值，那就难免要设线段的长度，所以我们是围绕着这边的三十度角去设线段长度的。设 ef 是 二 a， ap 是 小 b。 到了这一步，你就要明确你的目的，现在已经转换成了要去求根号三 a 比去 b 的 比值了， 所以我们的下一步尝试用这里的已知条件 e 去等于两倍 a 去找出相似的三角形，目的是为了表示出 a 跟 b 之间的关系，进一步表示出这里的根号三 a 比去 b。 这是二六年福建晋江质检的第二十五题压轴题，我也将会持续更新其他的质检卷，喜欢的同学可以点个关注，我们下期继续。

铁一三模大压轴，八年级就能做？哈喽啊，我们给大家分享一下二零二六年铁一中三模的大压轴，也就是全卷的最后一道题，十二分，前面的六分呢，还是好拿的。最后一问呢，不熟悉这个题型其实还真不好做， 但其实我觉得这个题出的一般，水平一般，他与九年级有什么关系？这不就一道八年级的期末考试吗？而且抄的就是公铁包里面的八年级的期末 啊。那咱不说那些啊，他考了咱们就讲一下，你看看你能做不？当然，如果你前两秒没问题，那就拖进度条，直接去看第三方啊。我们在这呢就挨个讲一下看看。 今天上来给了个等腰三角形，左右是十，底边是十二，它是角平分线，角平分线，那也是高线，也是中线，它是三线合一，所以这是六，这也是六， a、 d 就是 八六八十， 然后 p 是 上面一个动点，请问 p、 d 求出最小值，那也太简单，垂线段最短，过点 d， 把 a、 d 边上做垂直，当 p 在 这的时候会最小值，而且这个最小值怎么求？最快的应该是等面积吧，就是给这个三角形求它的面积，可以是六乘八，也可以是十乘 d p， 所以 我们 d p 呢，就是六乘八，再除以十，也就是四点八。 简单啊，继续来第二个，他来告诉我们，这是个等腰直角三角形，它是直角，左右呢是八， d 是 中点，等腰直角三角形，看见中点，那还是连接 a、 d， 它三线合一，对吧？而且马上可以证明，左边、右边这两个三角形，它都是等腰， 所以我们图中 a、 d、 b、 d、 c、 d 它都是相等的，甚至我们可以算出来就是四倍，根号二米。 好，他说在这给了个点 d 处做了个直角，那么直观一些，我们在这标个角一、角二、角三吧。角一、角二、角三，它的意思是角一加角二是九十度，那你一加二九十的话，我二加三本来不也是九十吗？ 对吧？所以我是不是可以说一加二等于二加三，是不是角一等于角三，那就太明显了。说明什么？说明我们这个三角形和这个三角形它是全等的， 对吧？因为角一和角三相等，然后这个角本来是四十五度，这也是角平分线四十五度，然后这个长度和它也是四倍，根号二相等， 所以 a、 s、 a 这两个算式全等。一旦这两个算式全等，它本来要求的是四边形 a、 m、 d、 n， 它本来要求是这个四边形，那么这个和它全等，所以这个四边形的面积是不是就是三角形 a、 b、 c 的 面积？ 而 a、 d、 c 的 话，它其实就是整个大的直角差，是面积一半嘛。所以八乘八乘以二分之一是总面积，再乘以二分之一就行了啊。或者反正都知道四倍和二等于，怎么着都能算出来。这个直接给答案啊， 这是六十四乘以四分之一等于十六。好吧，前面这个六分还是很好答的啊，来，上脸硬踩。刚才第三分 第三问题目也挺长的，我就不给你读了啊，我们直接把信息标注一下，题目意思告诉我们，这是个等腰梯形，上面左右都是四十度，然后呢，角 a 是 一百二十度， 角 a 是 一百二十度，那么说明什么？ b 说明角 b 是 六十度，该有计算的，比如说我过 a 点往下做垂直，则这是个三六九的三角形，这是四十的话，这边就是二十，这个就是二十倍根号三。如果需要的话， ok 啊，然后再来。 哎，一百二十度还能想得出一百二十度左右都是四十，这不是很明显的一个一百二十度的等腰三角形吗？ 什么意思呢？也就是说我们大胆的连接 b、 d， 则可以直接说，第一， b、 d 的 长是四十倍，刚好三，因为它是一比一比刚好三嘛。第二，它这个角是三十度，这个角也是三十度，也就说白了，这个东西它是个角平分线。 ok 啊，这个角也是三十度，这个角直角。如果如果有必要的话，这题里面有很多的数据都能用它说什么呢？它的意思是这儿有 e、 f 这样两个动点，然后围成了这样的四边形，这个四边形的面积是固定的面积。一个四边形的面积无非是割补法，你说我怎么割怎么补？已经知道对角线， 那肯定是直接以 b、 e 和 b、 f 为底，把它分成上下这两个三角形去那对角啊， 而且他们高，可以直接给分过点 d 往这边做垂直，这个高就是我们刚才做的这个垂直的高，也就是二十倍根号三。那么同理，我们延长 b 一 之后，往这个方向做垂直，他这个长也是二十倍根三。为啥这都不用算？因为角平分线上点到角两边的距离相等， 所以它的面积其实可以帮助我们确定一些信息。 s， 它给的是四边形 d、 e、 b、 f 这个四边形可以分成上下这两个三角形，也就是 s 三角形 d， b e 加上 s 三角形 d， b e 的 话，以 b e 为底，以二十倍，根号三为高，所以是 b、 e 乘以二十倍，根号三乘以二分之一。 然后呢，我们的 b、 f、 d 的 话，就是以 b、 f 为底，以二十倍，根号三为高，所以一样呗， b、 f 乘以二十倍，根号三乘以二分之一。如此两边把数据一处理，我们甚至能直接算出来， b e 加 b f， 它是等于五十， 也就是说，如果想保证面积固定不变为五百倍，根号三的话，则这个长和这个长加在一起是等于五十。 而他问什么？他问周长，周长无非就是四条边相加，也就是 b e 加上 b f 加上 d， e 加上 d f， 而前两个已经是五十了。 所以现在就一个问题，请问 b e 加 b s 的 最小值是多少啊？就这么个事儿， ok 吧，我把题目一分析， b e 加 b s 的 最小值是多少？好吧，现在清楚了啊。为了咱们看的更直观一些，我们重新起个图， 那因为它俩的总长是五十。我如果假设，比如说这个长度为 x 的 话，则这个长它是四十减 s， 因为总长是四十吗？那么我们的 b、 f 的 长就是十加上 x， 因为 b f 加上它，总共等于五十吗？你它俩相加是五十的话，这个就是十加 x， ok 啊。而且我们应该能算出这个 bc 的 总长，我看一下能给吗？ bc 的 总长可以太简单， 因为这是二十吗？这是四十的话，这就是四十吗？它是个等腰体形，左右对称，这，这也是二十吗？所以总长是二十加四十，再加上二十，所以总的总的这个 bc 我 们可以给出它是八十，那它是八十，左边是十，加上 x， 你 说右边是多少？是不是七十？减去 x， 对吧？然后看看我们还知道什么角度呗，这是六十度，这是四十，然后呢，这是一百二十度，这是四十。哎，这些都是未知的。 ok， 好， 现在就一个问题，请问如何才能把 d、 e 和 d、 f 加在一起？我们折线上求最值，肯定是要画这个位置的， 那请问我是对称啊，还是平移啊，还是旋转啊？因为几何变化无非就这些嘛， 其实应该是旋转，或者也可以直接说它是构造，旋转都可以。为啥？为啥我一眼就看出来旋转了？你可能说，哎，老师，我咋没看出来旋转呢？因为旋转有个很明显的特征，叫什么菱边相等， 你这两个旋转都是以 d 为顶点的，结果它 d 的 旁边还有个菱边相等。为什么一看到菱边相等，你就要想到旋转？因为菱边相等的话，旋转完它是可以重合的， 所以我们随便选一个三角形。随便啊，你既可以选这三角形，也可以选这三角形，都可以。我们将这个三角形绕着 d 点往这边转一百二十度，则 a 点会和 c 点重合，然后呢， e 点我们画个大概，这点距离一撇，我们会得到这样的三角形， 哎，并且我们可以证明一撇呢，就在这条线上，它不在上面，也不在下面，就在这条线上。为什么？因为这不是一百二十度，那你一百二十度转过来，这不还是一百二十度，所以是不是变成了一百八十度，所以证明它共线， ok 吧。那如此这样做个旋转之后，则我们的 d、 e 是 不是变成了 d e 撇？所以就是 d e 撇加减 f， 好。而且我们知道旋转前后这两个图形全等，则这段长是等于它们 a e 原来是我们假设的 x， 则这个长就是 x， 至此，有没有发现哦， 这个东西是七十减 x， 再加上 x， 也就是七十。好，最后一次转化。现在我再问各位同学， 你说 d 点和 e 撇点和 f 是 直线上两个动点，什么时候它加它有最值？而且它们之间的距离是固定的，你知道这叫什么吗？这个叫平移型的相距，两个动点共线距离。确定，我们可以的平移一下，所以来吧，直接平移， 我把 d、 f 向右平移七十个单位长度， 就是，其实变成 d 撇 e 就是 我把它平行到这来。你知道为啥？因为你原来两个洞点不在一起嘛？我们现在平行到一起的话，两个洞点变成一个洞点， 所以 d、 f 是 不是就变成了 d 撇 e 撇？好，来，我们顺便就在上面写啊，则 d e 撇为动， d f 变成了 d 撇 e 撇。好，现在应该很明了，很明了。你知道它加它什么数，有最值吗？ 这不是简简单单一个将军印吗？对吧？随便对称。比如说我就对称这个 d 撇吧，我接着对称 d 撇， d 撇往下对称，这个既为 d、 d 二，然后直接连接 d、 d 二。 我们可以说我们最终的它加它的最值，将军印码是大于等于我们图中的 d、 d 二码， 那剩下的就是 d、 d 二。怎么求？这样好求，因为这段长度咱刚才算出来是二十倍根号三嘛。那你这个就是二十倍根号三，这个总长就是这个总长，就是四十倍根号三， 对吧？那勾股进去就行了，七十的平方加四十倍根号三的平方，直接给个答案就行了，这个答案最终算出来的是十倍根号九十七 十倍，我写粗一点，十倍根号九十七，所以最终我们说这个周长它的最小值是五十，加十倍根号九十七。 ok， 那 前两个五十要加上这两个最小值是十倍八九十七。好吧，如果说你觉得做亚洲题没有思路，辅助线不知道怎么做的，你可以关注一下，我们专门讲亚洲题，中考真题和方法和五大的模考题都有。 另外呢，如果想系统化的学习的话，可以去看一下橱窗，我们橱窗里面有专门给学霸准备的一本神书，一百一十分以下，同学不要不建议啊，不要去看。

大家好，这里是恰巧屋中考数学想重高分压轴题必须拿下，让我们一起来看二零二四年福建中考数学的压轴题。第二十五题 如图，在三角形 a、 b、 c 中角 b a c 九十度， a b 等于 a c 以 a b 为直径的圆 o 交 b c 于 d 点， a e 垂直， o c 垂足为 e b e 的 延长线交弧 a d 于 f 点。 第一问求 o e 比去 a e 的 值，我们就可以关注到两个直角三角形，也就是 r t 三角形 a e o 跟 r t 三角形 a c o。 进一步可以发现， o e 比去 a c， a o 是 等于二分之一的 a b 的， 那它就是二分之一 a b 比 a c， a b 等于 a c， 所以 结果为二分之一。我们来看第二小问，是要去求证三角形 a、 e、 b 相似于三角形 b e c。 那 这里要从哪个地方入手合适呢？ 我们角 b a c 九十度， a b 等于 a c 第一问都用过，所以你看这里圆的信息是不是肯定是第二问的入手点？ 所以我们可以由圆的信息简单的先推出什么结论呢？是不是 ab， 它其实是圆 o 直径，那它所对应的圆周角角 a d、 b 就 应该为九十度，所以我们其实可以得到的是三角形 abc 与三角形 abd， 它们二者都是等腰直角三角形。随后我们要证明两个三角形相似，那肯定先看看有没有角会是相等的。这里 怎么用到这里圆 o 的 信息推出下一步呢？ o 点我们可以理解为是 ab 的 中点， 而如果要从中点入手，那不妨尝试着能否去背长中线，所以延长 e o， 并且使得 o g 是 等于 o e 的， 这样的话，因为 a o 等于 b o， 所以 我们可以得到三角形 a、 e、 o， 它会全等于三角形 b、 g、 o 有 两个三角形全等，这里角 e、 a、 o 标上角一，是不是就会等于这里的角二？而如果令这边的角 c、 b、 e 是 等于角三， 并且角 e、 b、 o 等于角四的话，我们下一步能否推出角一跟角三相等呢？哎，由刚刚第一问是 a e 等于两倍 e o， 并且 a、 e 是垂直 e、 o 的， 所以我们可以得到的是三角形 be g， 它实际上是一个等腰直角三角形，所以我们是可以得到角二加角四，是不是就会等于角三加角四都是等于 四十五度，所以得到的关键信息可以得到角一，这个时候会等于角二等于角三，已经有一组角相等，角一等于角三，还缺一组角相等， 而角 b、 e、 g 是 等于四十五度的，它的补角角 c、 e、 b 是 不是等于一百三十五度，而角 a、 e、 o 是 不是九十度？因此下一个信息我们就来源于角 c、 e、 b 是 等于角 a、 e、 b 等于一百三十五度，这样的话就可以得证这两个三角形它们会相似。我们稍微总结一下刚刚的一个思路，刚刚是首先确定一定第二问的入手点就是圆 o， 所以 由 a、 b 是 圆 o 直径这个已知条件肯定要先推出角 a、 d、 b 是 等于九十度。 进一步我们要找两个三角形相似，那先看看有没有角相等，这里用到的是 o 点，它还会是 a、 b 的 中点，所以才会想说用被长中线的思路得到三角形 a、 e、 o 全等于三角形 b、 g、 o 进一步还比较容易疏忽的一个点就是这里的三角形 b e 去，它是一个等腰直角三角形，利用到的是刚刚第一问的结论， a e 等于两倍 e o， 所以才有角一等于角三。那除此之外，对于第二问，有很多同学他并没有想到说要去用倍长中线这个方法，而采用的就是纯代数的暴力破解的方法了。可以说我们来看看，如果要用暴力破解纯代数的方法可以怎么办呢？ 第一问，是不是已经得到的结论是关于 a e 等于两倍 e o， 所以 你可以设 e o 等于小 a a e， 这个时候是不是等于二 a， 说明 a o 是 等于根号五 a 进一步表示出 a c ab 是 不是二倍根号五 a c e 也给它表示出来。四 a b c 表示为二倍，根号十 a。 所以 你要求两个三角形相似，相当于你现在只需要去把这一个 b e 给它求出来就得了。 所以下一步的目的就是去求 b e b e 的 求法，这里可以过一点，做一个垂线段，令垂足为 h。 下一步我们可以用锐角三角函数的相关知识了，这里散角 e o， a 会等于 a， e 比 a o 也会等于 e， h 比 e o， 所以 可以求出来 e h 是 二除根号五 a。 进一步用扩散角 e o， a 是 等于 e， o 比去 a o 也会等于 h， o 比去 e o， 把 h o 求出来， a 要除以根号五。 进一步我们可以求出 b h 的 长度，就是根号五，要加根号五分之一 a 求出 b， e 是 二倍，根号二 a。 这样的话三边对应成比例， bc 比去 ab 等于 b， e 比去 a， e 等于 c， e 比去 b， e 等于根号二，同样也可以去证明两个三角形相似。所以像第二种方法的话，它的思路就更直接一些了，就是把 e、 o 给它设为小 a， 其他边通通表示出来，然后下一步就是想办法把 b、 e 求出来， 因为这里两个三角形相似，它其实暗戳戳还有跟我们说的信息就是你看 a、 e 的 对应边是不是这里的 bc， 所以我们要找谁比谁是比较容易找的，目标也是相对比较明确的，所以不少人也是用这里的方法二来解决。两种方法都可以，我们来看第三小问，第三小问是要去求证 a、 d 与 e、 f 互相平分， 要正互相平分，我们可以把问题转化为去正，这里存在平行四边形 a、 e、 d、 f， 那接着把 df 跟 d e 给它连起来，怎么证它是一个平行四边形呢？我们可以考虑到刚刚第二问用到的一个关键信息，是不是角一等于角二等于角三，并且第二问已经证完的是角三加角四等于四十五度。 如果你要去证 df， 它是平行 ae， 可以 考虑到内错角相等，两直线平行，这里的角 f、 e、 a 是 不是就是等于角一加角四，那它就会等于四十五度。 角 d、 f、 e 是 几度呢？我们可以考虑到弧 b、 d 会等于角 d， a、 b 等于四十五度。 进一步我们可以得到第一个关键信息， df， 它会平行于 ae， 所以 如果我们能够证明 af， 它平行于 d、 e， 问题是不是就解决了？这里的角 a、 f、 b 是 不是等于九十度？所以我们其实只需要去证明这里的角 d、 e、 f 也是等于九十度，我们的问题是不是解决了？相当于如果我们能够证明角 d、 e、 b 等于九十度也可以，对吧？而这里一点关于它还有什么信息呢？是不是角 a、 e、 o 刚好九十度？ 那怎么把这里的九十度跟这里的角 d、 e、 b 证明它是九十度扯上关系呢？我们可以尝试去看一下这里的三角形 a、 e、 o 跟三角形 d、 e、 b 会不会是相似的关系，如果相似，我们的问题就都解决了。 这里两个三角形已经有角一等于角三了，那它边之间的关系呢？由刚刚第二问我们可以得到 a、 e 比去 b e 会等于 a、 b 比去 b c， a、 b 是 等于两倍 a、 o、 b、 c 是 等于两倍 b、 d、 a 是 不是刚好它会等于 a、 o 比去 b d， 角一又等于角三？所以我们可以得到三角形 a、 e、 o 会相似于三角形 b、 e、 d 这样的话，角 d、 e、 b 是 不是就是等于九十度了？说明 f 它会平行于 d、 e， 进一步可以得证它是一个平行四边形 a、 e、 d、 f、 ad 与 ef 互相平分。我们来总结一下刚刚的第三小问。 第三小问首先是要把正互相平分转化为正平行四边形，这是第一步。 然后第三小问还有很关键的一个点，就是刚刚第二问频繁在用到的角度信息，角一等于角二等于角三，所以我们是通过内错角相等得到 d、 f 平行于 a、 e 这一个 关键信息的。随后要证 a、 f 平行 d、 e， 这是一个难点，给它转化为的是证明角 d、 e、 b 等于九十度，而要证明这个角是九十度，我们是不是还考虑到了关于 e 点题目有没有给出其他的信息？ 就是这里会存在 a e 垂直 o c， 是 因为题目这里给了一个垂直关系，我们才会联想到说去证明两个三角形是相似的。我将为持续更新中考数学压轴专题，想冲高分的同学可以点个关注，我们下期继续。

中考数学最难的十三道压轴题，三天练会考试直接躺赢！中考数学二次函数十三道压轴题，考点一，二次函数与线段成竖线、横线、斜线。考点二，二次函数与等线段 三，二次函数与位置关系四、与面积计算。五，面积转化考点时与最值完整版分享！

几何快代数文新定义，还能提智商。 hello， 大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，来讲一下咱们任人大副初三下开学考的几何压轴题。那这道题呢，我们会用三种方法来讲一下。第二问， 好，那首先呢，我们知道做几何题就是条件提供工具，结论引导方向。这道题他虽然最后一问挺有难度的哈，但是如果说你知道哎，命题老师他上一位也在给你提醒的话，其实还是很好做的。 好，那我们来看一下命题老师他条件提供了哪些工具。首先是给了一个九十度，那只要给我们九十度，我们要想到第一标图倒角 他给一个阿尔法，那我们就知道这个就是九十减阿尔法。第二一定要想到就是在直角三角形里啊，就是你这样背长一下，其实就是给你个等腰。 那这道题啊，可可能考，为啥呢？你看这个，这一问就是出来一个哎，把 abc 翻折一下的等等腰， 对吧？可能下一问也是把 abc 翻到这，哎，这样的一个等腰，有很有可能，因为咱们哎二五年中考就考的这个，而我们的开学考，他很喜欢模仿中考题嘛。嗯，好，那接下来呢，再看，他说将视线 dc 绕点 d 逆时针旋转一百八减二 r 法。 好嘞，那你看，这是 r 法，这个角是一百八减二 r 法，显然面条在提醒我们这个角是 r 法哎，所以其实他在提醒我们，这个等于这个，这是一个等腰，只要我们看到等腰，我们马上想到公端等长提醒旋转圈等。 好，那接下来还有一个终点哎，那我们知道哈，咱们的中考啊，连续六年都考的是终点背后的八中写三，所以你看到终点一定要先确认能想到八全等中位线，斜面中线三线合一吗？ 哎，如果不能想到的话，得抓紧时间积累笔记了啊。来，看到这个终点就要想到八中写三， 而第一问，他在提醒我们的是什么？第一问说 b c 等于 b d， 完了， f 是 终点，哎，我们就会发现 b f 他 就是 edc 的 中位线 哎， ed 是 等于二倍的 bf 的。 这是第一问的一个提醒哎，中位线，所以这道题也可能考我们中位线。 好，那我们，哎，有命题嗅觉，知道命题老师上一位在提醒什么，还知道命题老师条件在提醒的工具，一个转 啊，一个八中斜三都是我们中考的高频考点，所以这道题还没读完题呢，我已经知道大概会有什么了，应该会考我们旋转和八中斜三中的其中一个，大概率是中位线。 好，我们来看一下啊，来，将线段 a d 右转，一百八减二 r 法来，那这又是一个共端等长，所以还是转，那这旋转圈能很高频了，对不对？然后它这个是一百八减二 r 法，哎，朋友们， 那你看，这是一百八减二 r 法，这个是九十减 r 法，他俩什么关系？一半对不对？那我们知道就是这种角度啊，他往往都是面条师特意给的提醒，尤其还别扭的角度，那所以他肯定是提醒，提醒我们什么呢？ 哎，本来我看到共端等长就想到旋转，那旋转的话呢，需要两个等腰共顶点，那现在他在提醒你，哎，你把这个 abc 啊 补一翻一下，哎，你再补个等腰，这样的话呢，面条是给你的提醒，你就能 get 到了啊，你看，只要你补个等腰，比如说我们做一个 b m 等于 bc， 补个等腰 amc， 这样的话呢，我们就很容易发现，你看这是 r 发，对吧？他俩相等，然后这个大的，哎，就是一百八减 r 发了吧， 哎，是不是等于这个绿，这个角 d a c， d a g， 哎，那这个时候你看两个等腰共顶点，并且顶角一样，所以这个角 d a m 和这个角 g， a c 就 相同了， 然后 am 等于 ac， d a 等于 ag， 所以 就有一个现成的旋转， 对不对？哎，这有一个现成的旋转全等啊，我们连接 c g 就 可以发现这个三角形 a m， d 和 a c g， 人家可全等了， 那这种全等呢？哎，就是我们中考的高频，所以在我们的这个一二摸考场上，哎，甚至中考考场上啊，他都很容易出现，像中考十一年，中考考了九年的这个旋转全等了，要重点关注一下。 好，那接下来呢，我们来看命题老师，他说用等式来表示 b f 和 d g 的 数量关系，并证明，那先找到啊， b f 和 d g， 那 要求两边的数量关系，我们都是先猜后正常考的，就两，就四种相等，两倍根二根三， 那这个我们测量一下，很容易发现，两倍，也就是二倍的 b f 等于 d g， 那 我们知道要正二倍关系，首先，哎，你要把边的二倍表出来，或者把边的一半给它弄出来。 好，那这个，哎，我首先先速度非常快的一个方法给大家讲一讲啊，就是我们的命题嗅觉， 哎，命题嗅觉就上一问式，对，下一问温暖上一的题型，上问提醒我们中问线，所以我就用上问的题型。我先把二倍的 b f 做出来，现在 b 是 mc 的 终点， f 是 ec 的 终点，所以我连接 m e， 那 么 m e 就是 二倍的 b f。 好， 哎，那这样的话，我只需要证明 em 等于 d g 就 可以了，对不对？ 那正边等首选全等，因为我们北京中考主要考全等，那我们发现观察一下，哎，要正这个边和这个边它俩所在三角形全等，现在有没有现成的呀？如果有咱就直接正，如果没有，咱就自己造。 哎，还挺明显的，是有的，是不是？哎，是有的，这个 e m 它和 d g， 这是要正的。然后这个 c g 呢？和 dm， 哎，粉色的旋转全等出来的， 这个 dc 和这个 d d e 本来就是人家等要出来的好，所以这个三角形和这个三角形人家是真全等啊，是不是？ 好，那看着全等，咱们来正一下啊，看看是不是来这个绿色的三角形 d e m 和哎 c d g 中，我们瞅一瞅条件是否足够哈。首先 d e 等于 dc， 哎，我们 标出来的一个等腰，然后呢，这个 d m 等于 c g， 这是旋转出来粉色旋转圈等出来的边等 d m 等于 c g。 好，接下来，哎，我们两个边了，插个角，这个角呢，已经知道是一百八减二 r， 那 我们要倒一倒这个角，哎，不对这个角了，对不对？好，那这个角好倒啊，因为在粉色长方形里，咱们知道这个角它和这个是对应的， 哎，那 d m a 呢？它是一百八减 r 法，对不对？所以这个角也是一百八减 r 法。又因为这个角 a c d 是 r 法，所以剩下的这个角就是一百八减 r 法，再减掉这个 a， c d 就是 一百八减两 r 法， 所以角 e d m， 它和这个角 c d， c g， 哎，人家就是相等的，都是一百八减两 r 法。好，边角边，我们粉色的，我们这个绿色的三角形全等，全等之后，那么 em 就 等于 d g， 而 em 就是 二倍的 b f， 对 吧？所以二倍的 b f， 它就等于 d g， 哎，出来了， 那这个速度之所以快的话，就是因为啥呢？咱们是有命题嗅觉的，咱们知道上一问他是对下一问温暖善意的提醒，同时我们是具备工具意识的，我们知道，哎，命题老师只要给我们公短等长，就靠我们旋转全等。 好，那如果说你也想快速有思路的话啊，接下来呢，彩虹老师也会开一个几何专题课，就专门教你看到一个条件就知道怎么去，有思路就知道思路是啥，以及看到一个结论就知道方向在哪。好，那接下来呢，我们讲第二个方法啊。

一分钟教你秒杀中考压轴题之九十度张角引圆模型。平面内有两定点 a、 b， 若动点 p 满足角 a、 p、 b 等于九十度，则点 p 的 轨迹是以 a、 b 为直径的圆， a、 b 两点除外。 接下来我们一起来分析本次初三期末考试选择题压轴题的考察形式。 等腰直角三角形 a、 b、 c。 中角 c 等于九十度， a、 c 等于 b、 c 等于四， d 为线段， a、 c 上一动点连接 b、 d 过 c 点作 c、 h 垂直 b、 d 与点 h 连接 a、 h， 则 a、 h 的 最小值为。本题解析核心为见定角九十度直接所引圆轨迹一出，最直描算点 h。 在 以 b、 c 中点 o 为圆心， b、 c 为直径的圆上， 当 a、 h、 o 三点共线时， a、 h 取最小值，由勾股定律的 a、 o 等于两倍，根号五原半径 h、 o 等于二，因此 a、 h 最小值为两倍，根号五减二。

二零二六中考数学十五道压轴题命中率百分之九十七，吃透逆袭前三中考数学二次函数十五道压轴题提醒一，存在性问题提醒二，对值问题四、二次函数与相似三角形 六、公共点问题八、取值范围问题、 定制问题。完整版领取！

ok， 同学们，今天维尼老师带大家学习二零二六年人大附初三的开学考几何压轴题。这道题呢，把咱们常考的旋转手拉手、中点模型，包括咱们常用的倒角 都考察了一遍，是模仿的二五年的中考题，很不错一道题啊，咱们来重点看一下。首先读题，在 rt 三角形中， abc 是 九十度角， c 是 阿尔法，那我们看到九十度一个阿尔法，那我们就首先想到什么呀？ 倒角对不对？首先我们在图中先标出来啊，角 c 呢是阿尔法，点 d 在 射线 c、 b 上 绕 dc 绕点 d， 逆时针旋转一百八十度减二二法。那告诉你了什么呀？旋转了，那就要构造什么呀？手拉手模型，这个时候我们要考察一个点啊，一会考试会用到。 ok， 那 edc 是 一百八十度减二二法，那么 ced 那 一定就是二二法了呗。继续看， 点 f 呢，是 e、 c 的 终点，我们就发现了 f 是 终点连接 b f， 他 说如图一， bc 等于 b、 d， 这两个边相等了，说明 b 他 就是终点，两个终点，咱们一定会想到什么呀？中位线。所以说要想求证 c、 d 等于二 b、 f， 我们首先看一下，那么 b、 f 跟谁有关系啊？那肯定是 ed， 所以 说 ed 就 等于二倍的 bf， 又因为角相等，所以 cd 等于 ed 等于二倍的 bf。 好， 第一问还是很简单啊，主要看第二问 好。我们来读题，如图二，连接 a d， 将线段 a、 d 绕点 a， 逆时针旋转一百八十度加阿尔法，又是一个旋转，那它肯定会出什么呀？同学们 肯定就会出手拉手啊！所以这个时候，咱们比如设为点 g， 获得线段 a g 连接 d g， 那 咱们先把图给它补齐， 那这个时候我们标清了，这是一百八十度减二法 股清图形，他说 b f 与 d g 的 关系，那引导两条线段的数量关系，那肯定就是先猜后正常考就四种，一，二根号二，根号三，所以咱们肉眼可以看到，那肯定就是二倍呗。 那么如果要想正二倍，那一定是谁啊？咱们一直说就是，如果要想正 a 等于 b 的 关系，那一定是 a 与 c 的 关系， b 与 d 的 关系，让他们再互相产生关系，要不然你就证明谁是谁的一半，或者说谁是谁的二分之一，对吧？那我们来看一下第一问呢， 是对咱们最温柔的提醒。第一问他告诉我什么呀？直角九十度角 c r 法，那么咱们能通过终点构造什么呀？考了一个中位线，而且咱们第一问还有出现个什么等腰对不对？ 你想想我什么跟 b f 有 什么关系对不对？那 f 已经是终点了，那咱们就可以设一个 bc， 不是 b d 截取一个点 m 吧， 做 b m 等于 bc。 那 么如果连接 em 的 话，我们可以发现什么呀？ b f 是 不是 em 的 中位线啊？因为咱们刚刚第一问求出来等腰是不是能设计等腰，所以说咱们继续连接 am， 那 这个时候你可以看出来 c 是 阿尔法，那么 amc 它也是阿尔法， 这个 d a g 它是一百八十度减阿尔法，那 mac 呢？它也是什么呀？一百八十度减阿尔法。所以这两个角是怎么样相等的？哎， d a m 和 c a g 啊， d a m 和角 c a j 它相等的，又因为两个旋转两个边都相等， a m 等于 a c， a d 等于 a j， 所以 咱们连接上 c j， 首先就能把 a， d， m 和这个 a， c， g 是 不是能挣全懂？同学们，哎，这旋转手拉手这考察的知识点，咱们是必须要挣的，他们已知条件吗？ 咱们之间说了，如果你已知条件都用不了，那这道题肯定整不出来。好，那我们去看第二个，现在我们要解决的是，那 e m 跟这个 d j 能不能相等呢？咱们刚刚题中说了，这个 e d 和 d c 还是相等的，对不对？ 那肯定是相等的，那通过相等，咱们北京的中考常见的就是正旋转手拉手， e d 等于 dc， 然后呢，咱们刚刚正了这个 dm 呢，还等于 c j， 这个时候还差什么呀？同学们，是不是差一个角啊？我们就看了这个 edc 刚刚给的条件是一百八十度减去 r 法，那我们就看一下 acd 呗， 因为这个 amc 是 r 法，那么 amd 一定是 一百八十度减 r 法，那所以那这个 d c g 呢？一定是一百八十度就是它的补角呗。老师，换一根笔给你标一下啊，激光笔吧，也就是 amd 的 角度是不是就是 a c d 这个三角形的补角？所以 d c g 啊，三角形 d， c， j 一定是一百八十度减二法，再减二法，所以这个角呢？ d， c j 这个角也就是一百八十度减二法。所以我们就发现了， 这个三个条件是不是能凑齐啊？首先， d e 是 不是等于 d c 角？ e， d m 就 等于角 d c g 咱们刚刚说的 d m 等于 c g 刚刚通过全等算出来的，所以我们就得出来了，三角形 e dm 就 全等于三角形 d c g， 所以 e m， 那 就一定等于 d g， 所以 d g 呢？就等于二倍的 b f。 好， 那咱们总结一下这道题。首先我们一定要知道条件，提供工具。首先一定要熟读已知，要有条件反射的能力， 看到九十度，看见旋转，一定要想到什么样手拉手，手拉手怎么勾的是共端等长啊， 咱们常考的手拉手模型。第二，看到中点，一定要知道什么呀？八中斜三啊，这里边就考到两个，一个中位线，一个等腰三角形。 第三，一百八十度减阿尔法，那一定两个角，一个是阿尔法，另外一个就是阿尔法，肯定会存在，是倒角。第四， 我们一定要明白，第一问其实是对第二问最温柔的提醒，一定要找到命题老师想给你留下的线索。好，那这道题咱们就。

二零二六福建中考数学如何突破压轴题，考上一百四呢？突破一百四对于综合能力要求是非常高的，首先第一点，我们基础还有中档的部分呢，一定要做的又对又快，想要考上一百四压轴题，二十四和二十五题当中， 这两题只能有其中一题的最后一问扣分，然后其他的细节呢，再扣一到两分，这样才有机会上一百四。所以前面的基础和中档的部分基本上是不能够出差错的，包括选填，基本上一道题都不能错，如果错了一道题呢，就是四分，基本上就没有什么机会了。 不仅我们要对基础中档的部分，我们的速度呢还要快，基本上五十分钟到一个小时左右啊，要把前面的二十三题呢都处理完，留下一个小时左右呢，做最后的两道大题，最后再留一点点时间检查前面的题目。 那最后两道大题当中呢，按照目前福建中考的趋势，一般是一道综合实践创新题，还有一道几何综合压轴题， 相对来说比较好把握的是我们的几何压轴题，这道题基本上是必考的一道题，所以说我们平时要把这一道几何压轴题所涉及到的知识点，方法、技巧，题型呢，全部都总结的非常清楚， 包括相似三角形圆综合问题，终点问题，射伤球距离等等。这样子考试的时候争取快速的把这道题做出来，留更多的时间呢，给不确定性更大，难度更大的综合实践创新题。考试的时候留足时间给这道题不断去琢磨，把题目读清楚， 提议理解清楚，争取把这整道题呢给做出来。那关于综合实践创新题以及几何压轴大题的专题部分啊，我这边都有整理的比较全面的专题。现在呢，每周天也会线上直播讲解压轴力，另外也安排了每日一题压轴题的打卡， 每天坚持去做一道题啊，那我相信你会有非常大的收获，有想冲刺的同学呢，可以说一下压轴哈，我们一起冲刺。

二零二六中考数学二次函数压轴题不用怕！二次函数压轴题二十大专题强势助力高分突围！二十大核心专题全面覆盖中考所有压轴题型，从基础综合到复杂拓展，无遗遗漏。内容分层细划，逻辑清晰，按考点归类， 由易到难编排，学生可循序渐进攻克难点。精选经典题型加最新模拟，深度贴合二零二六中考命题趋势，针对性极强，采用专题化集中训练，专攻薄弱环节，高效提升解析能力。每道题均提供多角度详细分析，不仅讲答案， 更讲思路、讲方法、讲技巧，帮你构建完整答题思维。吃透这二十大专题，就能掌握二次函数压轴题百分之九十以上考法，考场遇到同类题，直接套用思路，快速准确作答，轻松拉开分数差距，实现中考数学稳不提分。

大家好，这里是球球屋中考数学奖中高分压轴题，必须拿下！从今天开始，我会用最通俗直接的方法，带你一道道吃透中考数学压轴题。先是二零二五年福建中考数学的压轴题， 来看它填空题的最后一道，前面给出了弹簧秤的一个问题背景，并且跟你说了弹力 f， 它是等于弹簧伸长或压缩的长度， x 乘以 k， k 是 净度系数， 重力也告诉你了，是等于 mg。 接着他说，一把弹簧秤在不挂任何物体的时候，长度为六厘米，在弹性限度内，他跟你说质量为零点五千克的物体，弹簧长度是六点五厘米，说明这个时候弹簧是伸长了 零点五。根据 f 等于 k x， 所以 它的弹力其实是零点五。 k 弹力这个时候会等于重力，质量零点五，所以重力是零点五 g， 婴儿 k 会等于 g。 接着他说，那么弹簧长度为六点八厘米的时候，问质量是多少千克？六点八厘米，身长零点八， 所以是零点八。 k 会等于这个时候它的质量乘以 g， 所以 由 k 等于 g， 我 们可以得到 n 也会等于零点八。前刻 婴儿像这一道题其实是一个跨学科的题目，主要是要理解这个时候弹力会等于重力，得到关键信息， k 等于 g。 我们来看解答题的最后一道题，四边形 a、 b， c， d 内接于圆 o， a， d， e、 c 的 延长线要相交于 e 点， a， c， b， d 相交于 f 点。 g 是 a、 b 上的一个点 g， d 交 a， c 于 h 点。且跟你说了， a、 b 等于 a， c， b， g 等于 d， g。 我 们来看第一问。第一问让你去求证，角 abc 等于角 d、 b、 e 加角 e。 首先我们可以得到角 d、 b、 e 加角 e 是 不是就是角 a、 d、 b 的 大小？那相当于要求证角 a、 d、 b 等于角 abc， 由 ab 是 等于 ac 的， 我们还可以得到角 abc 会等于角 acb， 而弧 a、 b 会等于弧 a、 b， 所以 对应的圆周角角 a、 d、 b 会等于角 a、 c、 b。 进而我们的结论是不是出来了，角 abc 会等于角 a、 d、 b， 那 也就会等于角 d、 b、 e 加角 e。 我们来看第二问，第二问是让你去求证 a、 h 的 平方等于 h f 乘以 h c。 那 么我们来看第二问跟第一问他们之间有没有什么关联呢？第一问，我们主要是得到了角 d、 b、 e 加角 e 等于角 abc， 那 我们也有说这两个角之合是不是就是这里的角 a、 d、 b， 所以 我们不妨把各个角都用一二三、四给它标出来。根据目前的信息 可以得到角三加角四是不是等于角一加角 e 会等于角一加角二， 而且已知条件是不是还有一个 b、 g 等于 d g， 说明角二是等于角三的。 进而我们可以得到角一，它是会等于角四，而由弧 c、 d 等于弧 c、 d， 我 们可以得到角五，这里给它标上 角五会等于角一等于角四，说明 a、 h， 它其实是会等于 d、 h。 我 们就把已知的要求证的问题转换成了去求证 d、 h 的 平方是等于 h f 乘 h c。 那 我们再来看 d、 h、 f、 h、 c。 这里貌似是要这两个三角形是相似的。我们把 d、 c 连接起来，能否去证明 d、 h、 f 跟 d、 h、 c 是 相似的呢？我们可以由弧 a、 d 等于弧 a、 d， 因为这两个三角形已经有一个角是属于公共角了，而弧 a、 d 它所对的圆周角除了有角二，这里还有一个角六，说明角二跟角六是相等。 所以我们可以得到三角形 d， h、 f 会相似于三角形 c， h， d。 相似完之后，我们把比例关系写出来， d h 比去 c， h 会等于 h， f 比去 h d。 也就是说 d h 的 平方会等于 h f 乘 h c， 说明 a h 平方会等于 h， f 乘 h c。 我 们来总结一下这个第二小问。第二小问一开始是由第一问的信息梳理出了角一等于角四这个关键的角度，随后由弧 c、 d， 他 还会对应这一个角五，所以角一等于角五，我们把 a、 h 转换成了 d h， 这一步是非常关键的。 随后由 d、 h、 f、 h、 c 它所在三角形的位置去联想到，我们要可以正三角形是相似的了，那由相似的比例关系就可以马上推出它们之间的数量关系了。 我们来看第三小问。第三小问是说，如果 tangent 角 abc 等于根号 a， d 等于两倍 de c， d 等于根号六，求三角形 a、 g、 h 的 周长，那么我们再来看这个三角形 a、 g、 h。 我们在第二问里面得到的关键信息是不是 a h 是 等于 d h， 说明三角形 a、 g、 h 的 周长，它相当于是 a g， 加上 g d 有 已知条件， 就相当于是等于 ab。 所以 我们接下来是想办法要么求出 ab， 要么去求出 ac， 我 们的问题就解决了。那再来看一下条件给了什么信息呢？我们想要求 ab， 跟你说了是 tangent 角 abc 等于根号物， 你要用到三角函数，要找直角三角形，所以可以连接 a o 并延长 交 bc 于 n 点。我们可以由 ab， 它是等于 ac 的， 并且 bo 等于 c o 可以 推出来这里的 an， 它其实是会垂直于 bc。 说明如果知道了 tangent 角 abc 是 等于根号五的话，我们可以进一步设 b m 的 长度为小 a， 这样的话， a、 m 的 长度就是根号五小 a， a、 b 长度就是根号六小 a。 我 们下一步的目的是想办法把 a 给求出来，我们的问题就解决了。那怎么去求 a 呢？还有什么已知条件是没用到的？ a， d 等于两倍 d， e， 哎，这个二倍关系可以用在哪里呢？如果这个时候卡住的话，不妨冷静一下，想一下，你刚刚第二问得到的关键信息是不是在序号一这里已经用上了？而第一问的关键信息是什么呢？ 第一问是不是关键得到角 a， d， b 等于角 abc， 哎，这两个角是相等的，又跟你说了 a、 d 跟 d、 e， 它们的数量关系是不相当于跟你说 a、 d 跟 a、 e 的 数量关系。所以我们可以找两个三角形是相似的。哪两个三角形呢？ 这边还存在一个公共角角 b， a、 d 等于角 b， a、 e， 所以 我们可以得到三角形 a、 b、 d， 它是会相似于三角形 a、 e、 b 得到线段的数量关系就是 ab 比去 a， e 会等于 a， d 比去 ab， 哎，我们整理一下， a、 d 乘以 a， e 会等于六 a 平方，根据条件， a， d 等于两倍 d， e， 所以 我们可以得到三分之二倍 a， e 的 平方会等于六 a 平方。说明 a、 e 是 等于三 a， 进一步可以得到 d， e 是 等于 a， d， e 等于 a， 我 们要求的就是 a， 那 还有什么信息是没用到的？ 是不是这里的 c， d 是 等于根号六还没有用，所以肯定要通过这个 c、 d 来求出具体的 a 的 数值。进而我们下一步可以尝试去过地点做 e m 的 垂线段，令垂足为 q。 做完垂直之后，我们来看看还有什么线段是可以推出来的？ d， q 的 长度是多少呢？ 因为 d， e 是 等于三分之一的 a， e， 说明 d， q 是 不是也要是等于三分之一的 a m， 所以 d， q 就是 三分之根号五小 a， e， q 的 大小呢？是不是可以在 r t 三角形 d， q， e 中用勾股定律求出 e q 的 大小 e q， 它会等于 d e 的 平方减去 d， q 的 平方，我们算出来是三分之二 a， 这样的话可以求出谁呢？ e m 的 大小是不是可以求出来？它将会等于 二 a， 所以 c， q 的 大小应该是会等于 a， 要再减去 e， q， 所以 是三分之一 a。 进一步，我们可以在 r t 三角形 cd q 中开始用勾股定律了 cd 的 平方，那也就是根号六的平方， d， q 的 平方是三分之 根号五 a 平方加上一个三分之一 a 的 平方，所以我们可以求出来 a 的 大小应该是为三的。进一步， ac 等于 ab， 是 等于三倍根号 六。这样的话，我们的周长是不是解决了？所以我们来总结一下这道题。这道题一开始是由括号二的关键信息 a h 等于 d h， 联想到这一个信息是肯定要用的，我们把三角形 a， g、 h 的 周长转换成了去求 ab 或者 a c 这个关键信息进一步由已知条件天数角 a、 b、 c 是 等于根号五的，那就肯定要找直角三角形。所以联系到 a、 b 等于 a、 c， 我 们可以采取的措施就是连接 a、 o、 b 延长 得到一个关键的垂直 a、 n 垂直 bc， 这样的话就可以用到这一个三角函数值了。 进一步设 b、 m 的 大小，设出来我们 ab 的 大小就是根号六 a， 下一步的目的就是去求它的小 a。 小 a 进一步是用到了什么信息呢？ 用到了刚刚括号一的关键信息，角 a、 d、 b 等于角 abc， 找到两个三角形是相似的，进一步表示出 b、 e 的 长度是等于小 a， cd 等于根号六就是下一步的关键信息。所以过地点做一个垂线段，把各个线段挨个都给他表示出来，然后找到一个 r、 t 三角形 cd， q， 在 里面用勾股定力求出小 a 的 长度，进一步可以求出周长。这是二零二五年福建中考的压轴题，我会持续更新中考数学的压轴真题，想冲高分的同学可以点个关注，我们下期继续。