中考四边形几何模型大全

今天要讲的是特殊平行四边形正方形，认识并理解正方形模型如何应用。同学们好，我是蔡老师，今天蔡老师给大家讲我们四边形里面最重要的一个几何图形，也就是正方形。 正方形它集万千宠爱于一身，它有一个非常特殊的模型是需要我们掌握的，那就是十字架模型。那我们通过一个整体来看一下，并且看一下它怎么和复杂知识点去结合。我们先快速了解一下十字架模型的背景。 好，这个正方形呢，它的四边是相等的，并且有一个垂直的直角在里面啊， a e 和这个 d h 它是垂直的好，由于垂直，我们就可以得到里面会有一些角度的一个 相互的关系，比方说这个角 b a e 啊，它和这个角 d a e， 它们的和就是个互斥的关系，而这个角 d a e 和这个角 a d h， 它们两个角也是一个九十度的关系。这样我们就可以明确出来，这两个小的尖尖角是相等的， 我们再加上一组等边， a d 等于 ab， 同时角 a b e 等于角 d a h 等于九十度，我们就可以反映出三角形 d， a、 h 和三角形 a、 b、 e 是 全等的。 由于全等，那我们就可以推演出这个 a e 和 d h 是 相等。那反之，如果题目告诉了 a e 等于这个 d h， 那 我们是不是就可以去推演出这里是一个垂直呢？或者是啊，题目告诉了我们 b e 等于 a h 是不是也可以推演出这个垂直？那十字架模型，他通常在正方形里面就会出现这样的一个垂直和线段等之间的一个转换，通过几何特征转换成数量关系啊， 去看一下啊，当这个图形他现在啊不是贴着这个正方形的顶点，而是进行一些平移的挪转的时候，我们这个结论是否依旧成立啊？那我们来看一下可以怎么去证明呢？我们就 可以利用正方形它的一个特殊性啊，我们就可以过 g 点往 a、 b 上做垂，过 f 点往 b、 c 上做垂，垂足去标为 m 和 n。 啊，好，那我们就可以得到这样的两个小的三角形啊， 他们应该是全等的。好，那依旧啊，去帮我们，我们依旧是去倒角。好，这里有九十度，我们的倒角不再是像刚刚这个样子，我们刚刚的倒角是利用这个 垂直啊，双垂直里面去倒角，那现在倒角，我们显然是利用这里的这个八字形倒角啊，所以八字形倒角在双垂直里面非常常见。 给了两个直角，一个是直角已知直角，一个是我们推演出来的这个小直角啊，我们就可以得到这个角 n， g， h 和这个角 m， f， e 是 相等的。好，这两个角相等，我们又有这个 n， g 是等于 f m。 好， 再加一组直角，就可以快速去挣钱等，从而把我们结论推演出来。好，这里呢是我们给到的一个这个关于正方形的十字架模型的一个应用，那如果出来的直角我们是第一个啊，你快速得到的一个东西，那， 那直角可以用来得出线段等，那由于线段等也可以推演出直角。好，直角出来之后，我们再来想第二个模式是什么，直角怎么去用啊？好，直角我们通常的用法，第一个是和勾股定力结合， 有勾股定力我们可以快速的去得到线段之间的一个勾股方程啊，所以直角我们要定向的马上思考到勾股定力， 那直角还有什么呢？比方说直角他还可以啊，去帮助我们去实现一些倒角，比方说像我们这个题目里面这里的直角，我们 两种倒角方式啊，一个是这样的双垂直，一个是这种八字形的倒角啊，那拥有这样的一个意识，我们做题会更加的清晰一点，再延伸到我们比较常见的一个叫这个垂美四边形啊，就会出现了直角之后我们会出来一些新的关系。好，这个垂美四边形老师也给大家简单证明一下， 把这四个点跟它连起来。我们说 a 点、 b 点、 c 点、 d 点啊，我们可以得到什么呢？可以得到一个快速由于垂直带来的结论啊，那就是 a、 d 的 平方加上 d、 c 的 平方是等于 a、 d 的 平方加上 b、 c 的 平方。 好，这个结论该如何去证明？我们可以引入几个小的参数啊，好在这里可以设这个小的边长啊，这里取个 o 点小的边长是 a、 b、 c、 d 啊，我们得到 a、 b 的 平方是等于 a 方加上 b 方， c、 d 的 平方等于 c 方加上地方，而这个 a、 d 的 平方是等于 b 方加上地方，这个 b、 c 的 平方是等于 a 方加上 c 方啊，那我们快得到这两个 的和啊，等于 a 方加 b 方加 c 方加地方啊，这两个线段它的平方和也是 a 方加 b 方加 c 方加地方，我们就可以把这个结论给它证出来，那接下来我们就通过一道真题来加深一下对这个知识点的理解， 看一下这一道题啊，它的背景是在正方形 a、 b、 c、 d 中，这个 e 和 f 分 别是 b、 c 和 c、 d 的 中点。好，然后连接了这个 b、 f 和 a e 之后，我们去需要去正两个三角形，是这个地方啊，我们需要去正 a、 e 和 b f 是 垂直的，那是不是就可以非常快速的去转换出这两个三角形？全等 从它得出这里是垂直，对不对？也就是一个这个十字架模型的一个快速识别和应用啊？好，那第一问解决完之后，我们再来看第二问啊，第二问给的背景是将三角形 b、 c、 f 沿着 b f 翻折下来啊，那由于翻折我们就可以得到啊，这是一个角平分线。 好，现在给到我们的信息是要求这里的 a q 这个长好， a q 这个线它比较短，我们现在可以发散一下思维。第一个能不能利用八琴相似啊？这个 d f 是 一 a q， 要求它的长的话，可是我们在这个地方，这个焦点是不是没有去明确？所以这里啊，可以把这个想法先放一放。 那我们再来看啊，这个 a q 除了啊直接去求，就直接求的话形不通，那我们是间接求，如果间接求，是不是就线段间的和差关系啊？间接我们用和差法， 那现在这个 a q 是 不是可以表示为 b q 减 ab？ 因为我们知道正方形它的边长是等于 二，前面题干告诉我们的，所以我们这里把 b q 求出来之后，减掉一个二，这个 a q 就 出来了，好像这个思路似乎要好一点。好，那我们再来看啊，这里给到的这个地方啊，它的一个关系，我只是知道 这里的这两个角相等，那这个角能不能倒一下角呢？正方形有什么背景？是平行线，三线八角，所以我们可以把这个角倒下来啊，那我们就快速得到这里的 b q， 是 等于这里的 f q 啊， 好，那这两个线段相等，我们就可以去快速的设为数啊。好，那我可以啊，把目标要求的这个线段 a q 啊，就给它设为 x， a b 就是 二啊，这个线段就是二加 x， 所以 f q 啊，这个线段长就是二加 x。 好， 那它是二加 x。 现在这个信息我们需要放到一个三角形里面去列勾股方程，对不对？好，那我们就要寻找题干里面给到的一些其他的关系啊，由这个三折过来之后，是不是可以得到这边是一个 垂直的，对不对？把这些直角全部给它展现出来啊？展出来之后，哎，好像我们发现了这个地方 b p 是 不是 随着翻折过来 b p 的 长，它可以去描述出来啊， b p 的 长，它就也是二。哎，那这里 f c 翻过来是不是一啊？好，它是一的话，那你的 p q 是 不是就可以写成这个 f q 减去 f p， 也就是 s 加一？ 那我们就可以根据题目信息反映出啊，在这个 r t 三角形 b p q 中啊，在 r t 三角形 b p q 中啊，我们可以得到的是 b p 的 平方， 加上这里的 p q 方，是等于你的 b q 方。好， b p 啊，是等于二，二得四，加上你的 p q 是 x 加一的平方，是等于这边的 x 加二 的平方。好，我们给他快速的去算一下啊，给他算一下，就是四加上 x 方加上二， x 加一， 等于 x 方加上四， x 加四啊，好， x 方 x 方给它消掉，然后四和这边的四给它捏掉了，好，一下过来，二等于一，所以 x 等于二分之一啊，你就可以把这个第二位去解决掉。那再来看一下这个第三问 好，我们发现前面第一位的这个背景十字架并没有用于这个地方啊，我们第二位是用的是翻折里面同步信息的这样一个要点。 那看一下这个第三问啊，第三问，哎，他有没有去把十字架用出来呢？第三问，就是开始来考相似了啊，我们发现一下逻辑，第一问啊，就是一个普通的小模型，我们就是烂熟于心的。 第二问啊，就是怎么做呢？可能是用勾股定律，求线段长啊，是我们所用的和差法或者是勾股定律啊。那第三问这里涉及到相似的知识点了啊，我们给到的是将这个三角形 a b e 啊， a b e 绕着这个 a 点啊，逆时针方向旋转，旋转呢，使得 a b 刚好就是落在了 a e 上。好，我们旋转过来之后，依旧是同步信息啊， a b 落在了 a e 上，那这里是一个直角哎，我们有同学很流行的，同学你就可以把这一个给它传递过来啊，这边是不是也是个直角？ 如果双垂给我们标出来之后，就会发现这个地方 g n 和这个 m h 是 平行的，为什么我这里能快速识别平行，因为在这个地方它这些字母是不是都给我们标出来了，所以在题目指引你要去操作这个点啊，好，现在题目要求的是这个四边形 m、 n、 g、 h 的 面积， 那我们可以理解为其就是这样落着的，是不是这个空出来这一块就是我们要求的，也就是如果我们把这个 a 字型的相似识别出来了之后，三角形 a、 g、 n 是 相似于三角形 a h、 m。 好， 那两个三角形的面积之比，现在求面积，所以想到相似点的关于面积的点是面积的比，是相似比的平方，那我们识别出了这个相似之后，我们其实可以列出三组相似比啊，分别就是 a g 比上 a h 是 方案一。好，方案二就是这里的 n g 比上 m h， 这是方案二好，方案三就是这里的 a n 比上这里的 a m 啊，好，这三种方案我们看 a m 啊，它是具体的线段长，是等于 a e 等于根号五。 好，然后这里的 n g 和 m h、 m h 知道是等于一啊，这个 n g 不知道。然后 ag 呢，它是等于它不知道，但是 a h 啊，我们知道是等于二，所以在这个三组关系里面，我们都知道它的分母都要求上面的分子，对吧？其中找到一个就可以做出来啊。 那我们来看现在由于这个旋转带来的东西，哪一个更好求啊？好，如果我是要求这个地方，它的一个 背景是这啊，他是一，这是二，这里是斜边，是根号五，所以在这个里面实际上也是存在一个一比二比根号五的三角形的关系。要走这条路径啊，走这个第一条路径的话，那就是 认准目标去求 a g。 好， 那如果要求 a g， 我 就来看一下啊，这边是垂直的话，它是一，它是二，那这边比例关系是不是也是一比二比根号五，相当于现在二，就是占根号五的分数啊，占根号五的分数，那就是 a g 比上 ab， 它是等于这个地方的二比根号五好。 ag， 它的数值是我们要求的，我们把 ab 的 二给它乘过来，也就是五分之四倍的根号五。好， ag 是 五分之四倍的根号五。 二 a g 在 这里是五分之四倍的根号五，而 a h 的 长啊，我们就旋转上来，所以 a h 是 等于二，我们就会反映出 a g 比上 a h 就 等于五分之四倍的根号五比二，那就是 五分之二倍的根号五。那相乘之比出，知道了它们的平方啊，把两边同时平方，那就是 a g 的 平方比上 a h 的 平方是等于二十五分之四乘以五。哎，这里五和五跟他约分了啊，也就是五分之四。好，所以我们就可以知道啊，这个地方看似是这个十字架模型，在这个地方啊，我们第一问到这一问，第二没用，但第三问又给他拿出来用了 这一个垂直加旋转带，一个垂直带它平行，所以如果转换出面积的关系，我们就会想到有没有相似这面积的比例关系啊，所以呢，就会发现上面比下面的面积之比是 四比五，所以那这个地方啊，我们目标要求的这个四边形的面积，实际上就是我们整个三角形，这个五份里面是不是就占一份呀？所以就等于五分之一倍的 s。 三角形 a h m， 也就是 a b e 啊，好， a b e 就 好求了，二乘以一除以二就等于一啊，所以答案就等于五分之 一啊，这个是题的第三问，这题三问啊，我们还可以用别的方法，比方说求其他的线段啊，也是可以的。你也可以求这里的 a n 啊，那它相对来说就稍微复杂一点点。那第二种情况啊， 我们也可以用这个策略去做啊，那可以有，题目可以知道，也是用这个。这个十字架里面的倒角，这是个九，这是互余关系，这里也是互余关系，然后旋转上来，这里是不依旧相等啊， 好，依旧相等里面是不是就会出现平行线，所以这个角也相等好，那就是角 a n g 和角 a b g 是 相等的， 相等，我们就可以知道 ab 如果是二， a n 是 不是也是二好， am 是 等于 a e 等于根号五啊，这个数据来的就更快一点，但是需要我们去导个角多证明一下。 刚刚在这个里面去求这里的 a g 的 话啊，它就是求的会更快一点，我们也可以用什么去求呢？也可以用摄氏定力去求啊。这边是可以得到 ab 的 平方是等于 ag 点乘以 a e 好， a e 等于根号五， ab 是 等于四， ab 的 平方是四， a g 就是 等于五， 五分之四倍。根号也可以啊，方法很多啊，但你一定要想到这个十字架模型的使用啊，因为后面的都是以它为桥梁去操作这道题的，所以依旧是得到他们的这个比例关系是四比五啊，依旧是这么去做 好，因为这边如果是正出来就是垂直，加上这两个角又相等啊，再加上这个地方公共边，所以出来全等。其实我们知道 n， 这个 n g 它和这个 b g 啊是相等的， 那 b g 啊，它就是可以快速通过等面积法去求出来啊， b g 乘以 a e 是 等于这里的 a b 乘以 b e 啊，所以 b g 的 长度也可以去直接求出来，把 b g 求出来之后， n g 就 出来了，用这套方法也是 ok 的， 所以三种方法啊，都是可行的，只是看你怎么去 操作它啊，唯一的核心就是把这个十字架模型的这个直角去给它用出来。好，我们在这里没有去用，是因为翻折它的效用更大，它的强度来的更大啊，翻折带来这个角的，我们利用平行线啊，考的是正方形里面更清楚的平行线，没有考这个模型带来这个威力的这个垂直点。 还有就是为什么想到不是用这个呢？因为这个地方如果我们要用到这个十字架的话，那这里应该会涉及到一些角倒角，这里没有标点，所以他也说明就是可能不是在这个地方发力啊。好，这是关于这一道题的一个讲解，他看到是长一个垂面四边形啊， 两个正方形现在叠在一起，正方形 a b c， d 和正方形 a e， f g 和正方形里面和我们手拉手一个简单的结合，那我们就可以推演出这里的 b e 和这里的 d g 啊，拉手线是相等，并且位置关系垂直啊。好。然后再来这个地方啊，他 扭转的角度就不是九十度，而是随便的一个随机的角，那随机的这个角度的旋转的话，我们依旧能得到这里的 d g 和这里的 b e 是 相等的，并且他们的位置关系啊，是垂直依旧倒这个角就行了。 好，我们重点看这个第三问啊，他说要这这里的 d e 的 平方加 b 的 平方是个定值，看到这种两个平方的和，就要想到刚刚讲的这个结，结论啊，这个结论好，我们问的是这里的 d e 的 平方和 b g 的 平方， d 极在这， d 极在这，那我们就四点定位啊，把这四个点定出来之后，发现他们间是不是刚好由于这个手拉手变成了矩形之后，我们就是得到的是两个三角形的相似啊，但是相似依旧不妨碍这里倒角得到的是一个直角啊。 好，这如果是直角，我们就可以快速清晰的去反映出啊，我们需要去证明的，这个地方的两个平方的和啊，就等于这两个虚线蓝色的这个平方，我们就迅速套数据啊，就可以把这种题去 突破出来。这就是今天老师给大家分享的四边形里面的考法，那正方形它作为一个非常特殊的四边形，我们最先来讲它讲它的目的是因为正方形的十字架模型以及这个一比二比根号五的三角形考的是非常多的。 再来就是正方形里面啊，我们会和手拉手去结合，带来拉手线，相等于拉手线，他们是垂直的一个位置。关系这样的考点，并且再去用垂直去隐身到沟谷地里去讲解，那这样我们就可以把 三到四个知识点去给他实现一个串联啊，这样我们在解析时候就会比较清晰。好，这位老师今天给大家讲的第三个几何体系知识点，你学会了吗？

好，我们继续看四边形第六个模型， t 字模型。首先它给你的条件是，线段 a、 b 的 两端点在坐标轴上滑动，角 a， b， c 等于九十度， ab 的 中点为 q， 连接 o q c q o c。 它的结论是，当 o、 q、 c 三点共线时， o c 取得最大值，最大值为 o q 加上 c q。 我 们一起来看一下这道题。 三点共线，这个 o c 是 最大的证明， 因为角 a、 o b 是 不等于九十度，同时 ab 的 中点 为 q， 对 吧？所以 o q 是 不是等于 q b 等于二分之一 ab， 对 吧？ 然后在二 t 三角形 b q、 c 中，就这个 b q c 这个三角形 能得到什么？ three 角的 c q 等于根号下 q b 的 平方，再加上 b， c 的 平方，等于 二分之一 ab 的 平方，再加上 b c 的 平方，对吧？ q b 是 不是等于二分之 a b 啊？给它等下，再换一下，然后再三角形 o q c 中 o c 小 于等于谁呀？三角形 两边之隔是不是大于第三边？小于 o q 加上 q c， 对 吧？所以当 o q、 c 三点共线时， o c 取得最大值， 此时什么？此时？是不是所以 o c 等于 o q 加上 c q 共线了吗？这个 o c 是 不等于这个 o q 加上 c q 啊，对吧？ 所以继续。所以 o c 等于二分之一 ab， 再加上 根号下二分之一 ab 的 平方，再加上 b c 的 平方，对吧？ 最大值为 o q 加 c q， 这个 o c 怎么求？是不是等于这个公式，明白吗？你做这种题，你就知道它 a b， d， c 的 长度，然后这个 o c 就 可以直接求出来， 明白吗？求最大值是不是比较简单？大家理解怎么样？

中考常考的平行四边形八大模型、绊脚模型、中点四边形滑梯模型、对角互补垂美四边形十字架模型等等，你掌握了几个？赶快收藏学起来吧！

四边形的综合考察堪称初二下册考试当中的绝对拉分神器，这是一道正确率不到百分之五的初二下册半级填空压轴题，它的难点之处在于综合了四边形和对角互补模型的综合考察，难度系数 特别大。来，同学们，我们一起来分析一下哈。首先来，我们先来一起读下题，题目是这样做的，那告诉我们四边形 a、 b、 c、 d 呢？哎，它是一个菱形。然后呢，告诉我们的 e、 b、 f 和角 a 啊，这两个角相等都等于六十度。好，接下来告诉我们菱形的边长 a、 b 等于四。题目最后求的是三角形 d、 e、 f 的 面积的最大值应该等于多少。 徐老师已经把初二四边形板块中所有必考经典题型，包括平行四边形十大题型、菱形十大题型、正方形十二大题型、中立线八大题型等，再结合往年考试真题 u 中选 u， 整理成了初二四边形 经典一百题，练完四边形考试直接拿满分。需要的家长我来同学们，我们一起来分析下这道题哈。 这道题呢，主要考察我们四边形当中一个非常重要的结论啊，叫做我们的对角互补模型。来，同学们，我们一起来学习下这个模型哈。来看这个图，这个模型呢，是这样说的，首先告诉我们两个条件， 第一个是 b、 d 平分角 abc， 所以呢，角一和角二是相等的好。第二个条件，那就是角 b 这个角和角 e、 d、 f 这个角呢，它们俩相加等于一百八十度，哎，就是互补的对吧？那么这个时候呢，我们一定会得到一个条件啊，就是来我们的 e、 d 是等于 d、 f 的， 就是这两个边一定是相等的。好，我总结下哈。最后结论就是啊，角平分线 b、 d 上的任意一个点，选个点 d， 对 吧？然后过这个点 d 呢，向这个角的两边发射一个角， 这个角呢，和角 b 是 互补的，相加等于百八，那么这个时候呢，我们形成两边 d， e 和 d f 就 一定是相等的啊，下面呢，我们来证明一下子们， 怎么来证明这两个边是相等的呢？哎，我们最应该想到全等三角形，对吧？哎，全等三角形对应边是相等的，那如何去构造全等呢？很简单来，我可以过地点分别向这两个边 做什么？做垂线，你看，我就可以把这两个斜边包含在我们的两个直角三角形当中来，这个是 s， 这个是我们的气垫，对吧？来，这个时候呢，我们只要证明这个三角形跟这个三角形它是全等的不就可以了啊，来证明一下，首先做了垂线之后，有一直角是相等的，角 t 等于角， s 等于九十度。好，第二个， 这组边 d， t 等于 d s， 角分线上一点到角，两边距离应该是相等的，所以看做了垂线之后，我们就有一组角和一组边相等。好，接下来我们还需要找一个等量关系，怎么找呢？来，从这个互补的角去出发， 看一下。啊，我们这个角跟这个角是互补的，对吧？所以我把这个角设为 r 法，那么 e、 d、 f 就 应该是一百八减， r 法没问题吧。好，再来看，在这个四边形当中， b、 t、 b、 s、 d 来这个四边形当中，这两个角 都等于九十啊，也是互补的，相加等于多少？一百八，那么四边形，我们知道内角和等于三百六，对吧？好，它跟它互补，所以剩下的这个角 跟这个角，对吧？也是互补的，所以这个角为一百八减二法，那这个角呢，也是为一百八减二法，哎，这两个角是正好相等的，而且这两个相等的角呢，中间还有一个公共角，就是 e、 d s， 对 吧？好，所以呢，他们两个都减去公共角以后， 剩下的小角，角三和角四呢，也是相等的，所以两个角一组边相等，所以呢，这两个三角形一定是对应全等的，所以得到什么？哎，我们的 d e 和 d f 是 相等的，就出来了，没问题吧？好，这是我们的对角 互补模型，那么来这个模型好，我们总结下就三个条件，第一个角平分线，第二个 互补好，第三个边相等啊，对吧？这三个条件，其实呢，我们只要知道其中两个啊，任意知道其中两个，都可以推其余的一个。比如说，现在我只知道角分线和互补推边相等，好， 我可以反过来，比如说，我知道角一等于角二， d， e 等于 d f， 哎，我也可以推，这两个角是互补的，对吧？好，再比如说，我知道 d， e 等于 d f 边相等，好，这两个角互补的，我也可以反推小一等于小二，反正这三个条件，我们只要知道其中两个都可以推其余的一个，好，叫做之二 推一啊，任意知道两个推其中的另一个，好，这是我们的对角互补模型，大家听懂了吗？好，学了这个模型之后来我们看这道题，那就非常简单。好，什么？他说来四边写 a、 b、 c、 d 是 个菱形 啊，我们的 e、 b、 f， e、 b、 f 这个角等于六十度，好，角， a 呢，也是为六十度，那么它是菱形，所以这个角呢？为一百二十度。看到这里正好有一个互补的角，我们来找找哈，这里面当中有没有对角互补模型？首先我们已经找到一组 角是什么互补的，好，再来，因为这个 a、 b、 c、 d 是 吗？是菱形，菱形的对角线。同学们，菱形的对角线什么？它是平分对角的，所以我连接 d、 b， 哎，连接 d、 b 之后啊，干，哎，连接 d、 b 之后，那么所以这两个角是相等的角平分线了。好，角，平分线，再加一组角是互补的，那么所以这个时候呢，我们一定可以得到那个 b、 e 和 b、 f 这两个边是相等的，对吧？哎，这里面存在一个对角互补模型啊，证明呢，也非常好证明啊，我们怎么样做垂线就可以了，过 b 点来向我们的两边做一个垂线，我们就可以证明啊，很好证明。来做垂 线啊，这个是我们的 s 点，你看到啊，我这证明这两个三角形它是 全等的，不就可以了吗？很好证明啊。首先来，我们的 b、 t 等于 b、 s， 因为角分界上一点到角两边距离是相等的。好。再来，还有一组相等的九十度，好，还需要找一个角，哎，冲稳对角互补去出发。好吧，那这个是 一百二，那这个角是多少？六十。好，再来一个，这个角是六十，你看没有，哎。然后呢，在这个新的四边形当中，我们的四边形内角和等于三百六。好，这两个角是互补的，相加等于一百八，所以剩下的咱们这个角跟这个角 也是互补的，他为一百二，所以这个角呢，也是为六十，你看没有？哎，一样的，好，什么看他为六十，好，这个角呢，也是为六十，两个六十度中间有一个公共角，减去公共角，我们剩下的这个角一和这个角二自然就是相等的，所以呢， 三角形 t、 b、 f 和 s、 b、 e 就 一定是全等的，对吧？好，我们再来看哈，那么这个时候看，既然它们俩是全等的，那面积就应该是相等的，对吧？所以看什么这个四边形，我们瞄一下啊， 这个四边形虽然我们有两个动点， e 点和 f 点是动点，这个四边形呢，也在动，对吧？但是它的面积是一个定值，因为我可以把这个三角形 转移到这个三角形，把它旋转过来，因为面积相等吗？啊，补过来好，补过来之后呢，哎，我们就会发现，咱们这个四边形 d， e、 b、 f， 它是等于这个 四边形的面积，对吧？补过来，这个四边形又正好等于两个相等的直角三角形的面积，对吧？来，所以呢，我们就可以把这个三四边形它的面积是固定的，然后算出来，好来算。算。这个时候呢， s 四边形，我们的 d、 e、 b、 f， 它就等于 s 四边形，那个 d s， b t， 对 吧？ d s b t 好， d s b t 呢？又等于两个直角三角形的面积相加啊，我们去算算哈， s 三角形 d， s、 b 该怎么算呢？啊？题目告诉我们，这个菱形的边长 ab 等于四， 那么它是一个等边三角形，那所以这个呢，也是为四啊，也是为四。好，再来，这个角是六十度， 所以这个角呢，三十度，对吧？三十度对的边等于斜边一半，那么这个边就为界，这个边就为二啊，就为二。好，这个呢， b、 s 就 为界，为二倍根号 二倍根号三，一比根号三比二嘛。来，所以 d、 s、 b 的 面积得啊，等于二分之底乘以高，那就是二，乘以二倍根号三， 等于二倍根号三，那所以四边形面就出来了，我们的 d、 e、 d、 f， 对 吧？哎，就等于它的两倍等于四倍 根号三。 ok， 好， 接下来我们求什么呢？它是求 d、 e、 f 的 面积的最大值，那么你连接吗？ e、 f 啊，连接 e、 f 之后，同学们，你看，首先我们知道了这个四边形，它的面积是个定值啊，是定值。好，这个小三角形呢， 它是包含在这个固定的四边形当中，你看，没有。好，这个四边形呢，又是由这个三角形跟这个等边三角形构成的，那么你想它们两个之合是一个定值，我要求这个三角形 面积最大，那所以呢，我只要求 s 三角形 e、 b、 f 的 面积的最小值就可以了啊，这个最小， 那么这个三角形面积就应该是最大的，对吧？好，来，它的面积最小，怎么求呢？哎，我们知道它是一个等边三角形，等边三角形，你想面积要最小，我只要让这个边 b、 e 和 b、 f 最小不就可以了吗？那 b、 e 和 b f 什么时候最小呢？哎，垂直的时候，你看到它是斜边，它是斜边，当这两个斜边变成直角边，就必点到 我们的 dc 垂线的最短， b 点到我们那个到 a、 d 的 垂线段是不是最短？所以呢，当我们的斜边变成直角边， 这个等边三角形的边长就应该是最小的，那边长最小就应该等于 b s 啊， b s 正好是垂直的，等于二倍根号三，没问题吧？好，那么就出来了。哎，所以呢，我们知道等边三角形的面积等于到 四分之根号三倍边长的平方啊，这是我们等边三角形的面积的公式哈，没问题吧，四分之根号三倍边长平方，边长最小是等于二倍根号三，所以乘以二倍根号三的平方，那就出来了吗？等于几？等于四倍根号三， 再乘以十二点到三倍根号三，所以来这个面积最小，用它减去它剩下的 s， 三角形 d、 e、 f 的 面积就应该是最大，对吧？哎，等于四倍根号三固定的值减去三倍根号三，那么最大值就应该得到等于根号 三啊。知道四边形的综合考察你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！

这道题太难了，八下几何填空的最后一个压轴题，咱们很多同学都做不出答案，那像这种题目，他其实考察的就是我们菱形特殊图形的性质， 为什么你做不出来，一定是在其中有哪一步断层了，而在我们菱形证明的过程当中，全等三角形是一定 逃不开干系的。所以如果这种题目你卡壳了，一定是我们之前的全等轴对称有漏洞，抓紧时间去补啊！ 那有关于我们这一学期的四边形，结合着上一学期的全等出的这些综合题目，老师已经把常见的这十三大类题型都总结好了。 家长们，如果咱们的孩子经常做这种题，都没有思路，找不到入手的关键点，大题做不出辅助线，一定要打印出来，逐个题型，带孩子查漏补缺。尤其是上一学期，这我那个几何模型还有问题的， 一定要回去啊，系统的来进行学习，否则你往后学到圆，学到相似，学到初三，你的几何题没法做， 下面咱们就来一起看看这道题。菱形 a、 b、 c、 d 当中告诉你角 a 等于六十度， e 和 f 分 别在边上，而且告诉你 a、 e 这条边等于二，那 b、 f 这条边也等于二。 现在告诉你 d、 e、 f 的 周长为三倍，根号六，让你求 a、 d 的 长。由于这道题啊，有什么菱形 菱形四条边都相等，两条对角线互相平分，那我们知道啊，菱形的对角线咱们连上和这六十度肯定有关系，因为这是六十度菱形，对应四边都相等，所以这里形成的是一个什么， 是不是一个等边三角形啊，对不对？我往这一连，你会发现这是个等边三角形，这三条绿色的边都是相等的，对不对？ 而这一条小黄和一条小黄还是相等的，所以咱们就可以得到这里有一组全等三角形，这个三角形和这里的这个三角形，它俩是全等的。为什么呀？来绿的等于绿的，黄的等于黄的，而且这个角又都是六十度啊，对不对？ 两个三角形全等，就可以得到对应边相等，那我们这就有 d e， 这条边是不是和这里的 d f 这条边相等啊？合着这个是一个等腰三角形。 再继续看，由我们第一步，两个黄色的三角形全等，咱们是不是有两个黄色的三角形对应角相等，小点等于小点。 而由于我们菱形有一个角是六十度，必然这是一个等边，所以这里小点和小叉是六十度。 等量代换一下，这里小点和小叉就是六十度，所以这还不是一个普通的等腰，它是一个什么？等腰当中的黄金贵族等边三角形， 所以由它的周长是三倍，根号六，咱们就知道它的每一条边不都是多少啊，根号六吗？对不对？好了，现在想要求啥？ a d 的 长，不就是求菱形的边长吗？那怎么求 a d 啊？ 你看这有一个特殊角，可以用六十度，看见了没？那有六十度的角，咱们不妨就利用上这个六十度的角。我在这啊，做一个垂线 e h 垂直于 a d， 那这不就是一个三六九三角形吗？由三十度角所对的直角边是斜边的一半，这是二，那这不就是一吗？ 所以下面咱只需要求出 h d 的 长度，就可以求出 a d 的 长度， h d 的 长度怎么求啊？看这又是一个直角三角形，这条边是根号六， 这条边的长度是根号三，因为三六九三角形三边比是一比，根号三比二嘛，对不对？所以这是根号六，这是根号三，这条边的长度也能求出来。勾股定律，根号下根号六的平方减根号三的平方也就是根号三了， 所以最终求出来 a d 的 长度不就是一加根号三吗？所以这道题比较综合啊，凡是我们的几何模型，之前全等这还会有卡壳，会出现问题的，抓紧时间家长们可以带着孩子去学一下我之前的几何模型辅助线的专项，对孩子整个思维会有一个质的提升。

八下平行四边形一定是我们本学期要突破的一个重难点，因为这里面不仅图形多，而且涉及到模型和变形也特别多。 光拿正方形来说，他涉及到模型和辅助线就有九大类，那今天我们就把正方形这种特别特殊的四边形再拿出来来看一看与他结合的角平分线模型和截长不断辅助线的做法。 那有关于正方形、平行四边形、菱形、矩形这一张结的特殊图形，老师都已经给大家把常见的这些易错题做了一个总结。 如果啊，咱们孩子做几何综合的大题，还经常没有思路，做不出辅助线，一定要分题型，咱们来进行练习，把它刷透了纠错好，我们再做这种题绝对是没有问题的，下面一起看看。这道题 说四边形是正方形， m 是 bc 上一点， e 是 c， d 边上的中点有中点，必然有这两段相等啊。先标上条件，上图， 接下来 a e 平分，那这是角平分线，让你求证， a m 等于 a， d 加 mc 怎么正啊？哦，在这里看到 a 加 b 等于 c 形式的式子。 上学期我在我的几何模型专项里特意给大家做的这个模型的专项叫做截长不断。凡是看到 a 加 b 等于 c 形式的式子，立马想到这道题的解法就是截长不断，谁是长啊， 这肯定是长啊，它俩是短呢。于是我们想到辅助线的思路就是在长上哎，我截这么一咕噜，让它和其中的一个短的相等，然后再去连接看没看见。这是我做题的第一个思路，在长的上面截一咕噜和短的相等。 接下来我只需要正另外这一咕噜短的和这个 m c 是 相等的就可以了，看没看见，所以在这我再去连接 m e， 那这个时候就可以通过哎，正这两个三角形全等，进而得到最终的答案了。来，这是我的第一个思路，叫做截长补短，具体的正法已经在我上一学期很多课程视频当中都讲过了，这里不赘述了，咱们今天要讲思路的连通性好不好？ 这道题还有第二个思考的方式在哪？在这个角平分线上来涉及到角平分线，咱们上一学期学过什么叫做角平分线的四大名辅，还记得吗？ 有角平分线，有角平分线，一点向角的两边做的一个垂直，那下一步你的思想是干嘛呀？ 对了，由角平分线入手做啥？做双垂直对不对？是不是？哎，叫做双垂直，所以由这个思考我们就可以做出。哎，那我过点 e， 我 这可以做个垂直，我做 e f 垂直于 a c， 那 我们做完垂直以后，你可以发现，哎，是不是这两边三角形有点关系啊？干嘛全等啊？为什么全等啊？你可以发现 a a s 就 可以正 这两个三角形全等，那这一边和这一边的长度是不是就转化过来了？那还是又回到这里了，我要想证 am 等于这一段加 m c， 就 再证他俩相等就行了， 还是给他连上啊，连上之后，我们再通过证这两个三角形全等，是不是就可以得到最终的答案了？所以你看啊，同一道题，同一个解析思路，我们是不是可以从两种路径上去解析呀？ 哎，一种这样从 a 到 b， 哎，一种走这个从 a 到 b， 就 跟我们选上路、中路和下路走一样， 最后殊途同归对不对？所以这两种方式做辅助线的做法和证明的过程略有差异，我把详细的解析过程发在咱们群里了，大家做完了之后可以去找我去对答案，一定要把这种多个方法多个维度思考的能力培养孩子建立起来。

哈喽呀，宝子们，我们今天继续来讲让大家都能听懂的中考真题哈，这个也是一个二五年的一个中考真题，而这道题的综合程度呢，他也很强，他串联了特殊四边形，还有全等，还有三角函数。那是怎么讲到三角函数解析的呢？我们来看题，他说 点 e、 f 在 矩形 a、 b、 c、 d 内，直角三角形 a、 b、 e 与这个全等，若 ab 等于二十五好，这也是二十五， a、 d 等于三十， a、 e 等于十五好，给了我们很多条线段哈，然后问我们 ef 的 长是多少？如果我们按照正常以前的思维的话，我们说是不是求线段就勾股定力啊，或者放到三角形里面，然后去求线段长，那在这道题里面，我们来看 ef 这条线段的位置啊，它特别特殊， 你说他现在在不在三角形里，不在是吧？然后如果想把它放到哪个三角形里呢？他又很麻烦，因为现在 a、 e、 f 不是 在一条直线上的，是吧？那所以我们想到了什么？我们就构造呗， 因为呀，我们最终的目的还是怎么样？最终的目的还是想要把它放到三角形里，对吧？所以我们来看怎么样去构造我们想要的三角形哈，我们先梳理一下条件，看给了什么，给了三条边，那在这个直角三角形当中二十五十五，那这个边肯定是 二十，不知道有没有用，但是我们顺着条件是可以求出来的，然后再往后看啊，好像目前有的就是这些，是吧？那直角三角形 a、 b、 e 当中三条边都给我们了的话，那就证明三个角的三角函数我们就都是可求的， 那在一个三角形当中有三角函数的话，那与它相等的各个角是三角函数也都有了，因为在这里面它是矩形，所以这个角加这个角是九十，那么我画圈的这两个角怎么样？ 是不是就相等？那么这两个一相等的话，正好你看如果这个角也在直角三角形当中，且斜边是三十的话怎么样？哎，是不是这个直角三角形也是可解的呀？所以我们就怎么样延长 a e， 延长了 ae 之后，我们是不是很容易就得到什么呀？很容易就得到了，其实这个就是九十度，对吧？那么我们是不是就很成功的把 e f 放到了直角三角形 e f 再来个字母 m 当中，而且这个鞋垫是不是也用上了？那么这个角的三角函数值都有什么呀？ 看看三，我，我以这个为一哈，这是角一，这是角二，那么三角一就等于多少？是不跟三角二是就相等的，所以就是十五分之二，十五，那就是五分之三， 那么 cosine 角一的话是不是五分之四，是吧？这是我们知道的。然后我们看看题里面让我们求的是 e f 嘛？ e f 是 这个直角弦斜边，所以我们现在要知道什么？想求的就是 em 和 fm 是 吧？ 那 d f 跟谁相等啊？ d f 不是 跟 b e 相等吗？所以是二十。那么我们在这个三角形当中想求 f m， 我 只需要求 dm， 是 不就可以看在直角三角形 a m d 当中， 已知这个角已知斜边，我想求它的对边，所以用什么？用正弦是吧？所以就有了什么 dm 比上谁呀？ 比上斜边 a d， 它就应该等于五分之三，那这条边可不可求？它是不是就等于 dm 比上三十，那 dm 是 多少？ 所以 dm 是 不是就是十八？那 dm 是 十八的话，剩下这个小小的边就是二是吧？好，一条直角边解决了，我们再解决另一条直角边， 这条直角边是不是就是 am 减去 ae 啊？ ae 是 已知的，所以我们求 am 是 不就可以？那 am 是 谁啊？是不就是 cos 角 e 等于什么？ am 比斜边是三十，那等于多少？五分之四是吧？ am 可不可求？ a m 就是 多少呀？三十二十二除以五是不应该就是二十四吧，没算错是吧？那么 a m 就是 二十四，那好， a m 是 二十四的话， a e 是 十五，所以什么 e m 等于多少就等于九是吧？好了，我们想求的两条直角边解决没？是不是解决了， 所以最终 ef 就 等于多少呀？根号下谁加谁？ em 九平方加多少？ 二的平方就等于根号八十五是吧？所以这道题最终结果就是根号八十五 是吧？老师每天呢，就是尽量给大家摘出来一些考点，就是很重要的考点，但是呢，又想用很通俗易懂的方法让大家都能听懂啊，就让大家知道中考题真的没那么难，你们都可以哈，一定可以哈，一定要记得哈。好，今天就这样，拜拜。

同学们好，欢迎来到初中数学课堂数学模型专题。今天我们要学习第二十四个模型，四边形之梯子模型。这个模型呢，就像下面这个图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直的墙面上，当梯子顶端滑动时， 探求梯子上某点，如中点，或者梯子构成图形上点的运动轨迹，如图二，就是所谓的梯子模型。一般情况下，梯子模型的话，我们都是探求中点，因为它靠的是一个墙， 墙的话，这两个形是垂直的，也就有一个直角三角形，因为梯子长度是不会改变的，它是长度一定的。在直角三角形中碰到了中点之后，我们说直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 假如说这个中点是 a 的 话，那我连接 o a， o a 的 长度就等于这个梯子长度的一半，所以说 o a 的 长度就是不变的，因为 o 点也不动，所以说 a 点的运动轨迹就是在以 o 为圆心，这个梯子长度以半为半径的一个圆上进行运动。也就是如右边这个图， 这个黑色线表示的这个运动轨迹，它是一个圆弧状的。我们这个题的考察方向呢，一般情况下是已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段的最值问题。就像这个图 形线段 a c 的 两个端点在坐标轴上滑动，这里边呢，有两个直角相向角， a c b 等于角， a， o c 等于九十度， a c 的 中点是 p， 那所以说 o p 就 等于 a c 的 一半。那么屁点的运动轨迹就是以 o 为圆心， o p 为半径的圆，连接 o p、 b p 和 o b。 当 o p、 b 三点共线的时候，一定要注意 o p、 b 三点共线的时候， o、 b 会起到最大值，因为象形满足 三边关系，也就是两边之合大于第三边。那么 o p 加上比 p， 它是大于 o b 的， 那什么时候等于呢？当三点共线的时候，等号是成立的。 那为什么用 o p 和 b p 呢？因为 o p 的 长度是一定的，它就等于 a、 c 的 一半， b、 b 的 长度也是固定的，因为 bc 的 长度不变， pc 的 长度不变， b、 p 也是固定的。我们用两个已知的确定的线段长去求 未知的变化的线段长。这面来看例题，如图，将 m、 o、 n 等于九十度，也就是这是直角象形 矩形 a、 b、 c、 d 的 顶点。 a、 b 在 o m、 o n 上，当点 b 在 o n 上运动的时候， a 也随之在 o、 m 上运动，矩形 a、 b、 c、 d 的 形状保持不变，那意味着 a、 b 的 长度是不变的， 那就取 a、 b 的 中点。假如说中点是 p 的 话， o、 p 的 长度也不会变，其中 a、 b 等于八， bc 等于三。运动过程中点 d 到 o 的 最大距离是多少？我取 a、 b 的 中点为 p， 连接 o p 和 d p， 那 这个时候就有了一个三角形 o p、 d， 那我们知道 o p 加上 p、 d 是 大于 o d 的， 只有三点共线的话是等于的。所以说我们就求三点共线的情况，那 o p 的 长度是多少呢？ o p 就 等于二分之一的 ab， 因为题干中说 ab 等于八，所以 o p 就 等于四。再来求 p d 的 长， p d 的 话，就等于 a、 d 的 平方加上 ap 的 平方。再开根号 ad 的 话，题干中说 bc 是 三，那么 ad 就是 三，也就是根号下三的平方加上 ap 的 话，因为是中点，是 ab 的 一半，也就是四加上四的平方，这样能求出来 pd 等于五，所以说 op 加 pd 的 和是九，那么 o d 是 小于等于九的，它的最大值就是九。所以说本题答案是九。 第二题，如图所示，一根长二点五米的木棍， a b 斜靠在与地面 o m 垂直的墙 o n 上，此时 o b 的 距离为零点七。设木棍的中点为 p， 若木棍 a 沿着墙向下滑， 则 b 点沿着地面向右滑。如果木棍的顶端 a 沿墙向下滑零点四米的话，那么木棍的底端 b 向外移动多少距离？ 那我们来看一下。这个是二点五，用勾股定律能求出来， o a 等于二点四。假如说 o a 往下移了零点四，那么 o a 一 撇的长就是二， 因为 a 一 撇， b 一 撇的长还是二点五，这样能求出 o b 一 撇的长，用勾股定律求出来，它就等于一点五， 因为 o b 一 撇等于一点五， o b 等于零点七，所以说 b b 一 撇，也就它向外移动的距离就是一点五减零点七，也就是零点八米。这个同学们用鼓鼓定力球就可以了。 括号二，请判断木棍滑动的过程中，点 p 到点 o 的 距离是否会发生变化。因为 p 是 中点，在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，所以说 o p 等于二分之一的 ab， 因为 ab 是 不会变的，所以说 o p 不 会变化。 这是这个题的步骤，同学们可以看一下本节课的模型，分享就到这里，谢谢同学们的观看，下一个模型，再见！

妈，我以前几何压轴题根本就做不出来，现在我用了它都能秒出答案了，真的！嗯，你看这燕尾模型，原来凹四边形的燕尾角就等于另外三个内角之合，记住这个结论，三秒就能出答案了。你发现了吧，其实初中的几何呢，根本就不用死刷题， 更不用乱补课，你只要把这六十八个模型给他吃透，题长什么样你都认识，每一个模型他都有视频讲解，而且呢，还有这种动图演示， 孩子一看就懂了，从每一个模型怎么认，条件是什么、做法是什么，结论是什么，怎么去画辅助线，考试会怎么辨识，全都教给你了。最 后，他再用一个例题，让孩子把刚才所学到的模型应用到题目中，举一反三，活学活用，会用了之后，再去找几道真题去练一练， 难度呢，都是层层递进。实在不会的，他扫码全部都有这种视频讲解，整个初中三年的几何模型都在这了，重点必考的还做了标记，每天吃透一个模型，不到百天，这本书就能全部学透了，哪还用得着滴滴答答的学三年呀？不管是初一初二打基础，初三冲刺，什么时候用都不晚。孩子如果能把它给吃透，你会发现，几何真的没有那么难！

八下数学啊，有两大压轴难点，一个是依次函数，另外一个就是这里平行四边形了，平行四边形他往下考，还有菱形、矩形、正方形，每一个图形他都有那个九十条的性质和判定， 综合在一起，同学们就不知道该怎么做了。而且这种题还有一个难点就在于他不仅是只考我们四边形啊，他四边形的题必然会结合着八、上学期三角形全等三角形轴对称去出题， 所以一旦你上一学期的知识有漏洞到这，你不可能把这道题做完善，做完整，所以在这就要把整个几何的网状思维给建立起来了。 这个学期是我们升入九年级最后一个能有大块的时间查漏补缺的下假期，所以同学们发现漏洞，抓紧时间去补，尤其几何模型辅助线这一块啊， 那老师啊，也给大家把有关于平行四边形这里常见的二十三大类模型辅助线都做了一个总结，如果咱们孩子现在还经常遇到大题做不出辅助线，没有思路的，抓紧时间带着孩子逐个题型去突破。下面啊，咱们就来一起看看这道题。 这道题啊，他证明的是正方形当中一个典型的模型十字架模型。正方形这个家族由于他太特殊了，他自己设计到的模型和辅助线就有八九种，所以这个视频咱们单拿出来这个十字架一起来正一正。 什么是十字架呀？就是说啊，在这里哎，有两条线十字交叉形成这个形状，他研究的是哦，这两条线给了你垂直的关系，我想推他们的数量关系是不是相等，那该怎么正啊？ 同学们来看一看这里这个图形咱看着是不是有点眼熟啊？是不是和我上一学期几何模型专项里讲到的互与倒角模型是一模一样的呀？什么意思？来看正方形是不是有九十度啊？ 九十度的话，那另外两个角是不互余啊？小叉加上小圈是不是等于九十度啊？来继续看，这是不是九十度啊？那这个是个小直角三角形，这两个角互余，这是小叉，这是不是就是小圈呢？ 同理，看整个大的，这又是一个直角三角形，这是小圈，这不就是小叉吗？合着这个图上我所有标记相同符号的角，它都是相等的， 所以你会发现正方形它本身就有一边是对应相等的，又有两角，甚至三角咱们都能推出来相等。所以现在这两个三角形什么关系？ 三角形 a、 b、 e 和三角形 d、 a、 h 是 什么关系？全等的两个三角形全等对应边相不相等 一定相等，所以咱们就推出来了。所以十字架模型简而言之去说，他的结论，给你两条线在正方形当中垂直，那么一定可以推他俩相等。反过来给你他俩相等，一定可以推垂直。

八下数学最难的平行四边形，八大技巧全部吃透，逆袭班级前三！八个平行四边形中求最值技巧！技巧一，做对称点技巧二，取斜边中点 技巧三，确定轨迹技巧四，做垂直构造直角三角形加做对称点技巧五，旋转构造全等技巧六，一箭穿心 技巧七，构造手拉手全等技巧八，平移线段可分享！

好，同学们好，我是李老师，那么今天呢，我们给大家讲解的是衢州市科城区的一道模拟考试的题目，那我们通过这道题目呢，来给大家讲解一个平行四边形的一个半面积结构啊，给大家总结一下这个关系。好，那我们先来看这个例子啊，他说呢，在矩形 a， b， c， d 中啊，四边形 a， b， f， g 和四边形 c， d， h， e 呢，都是正方形， 那么对角线 a c 交 f， g 跟 e h， m， n 两点，对吧？现在呢，要我们做这个可以形成一个阴影部分图形，若要确定这个阴影部分的这个面积，那我们只要知道是谁就可以了。好的，同学们，我们来看这个问题啊，首先呢，我们方法挺多的，最简单的一个方案在这里呢，这两块应该是一样的，对吧？应该是全等的， 大家应该没有问题，我们只要搞定一块就可以了，对吧？那搞定一块的话呢，同学们看我们说这个 s 三角形 m， a， l 啊，它是不是应该等于 s 三角形 m， a， b， 减去一个 s 三角形 l， a， b。 好， 那大家注意，那我们在这里呢，我们有一个半面积结构，同学们看，我们说呢，这个三角形啊，应该是我们这个正方形面积的一半吧，对吧？好，那所以呢，我们就可以得到这个 s 三角形 m， a， b 呢，它就是二分之一的 s 正方形 ab， f 七，这个三角形 a， b， l 啊，这个三角形它是不是应该正好是我这个矩形面积的一半呢，对吧？所以呢，减去一个二分之一的 s， 矩形 a， b， d， h， 是不是啊？好，那我们说呢，在这里呢，我们就把这个二分之一拿掉啊，那么这个 s 正方形，也就是我们这个 a b f g 减去一个 a b e h 啊，它是不是刚好是我里面这个矩形的面积，对吧？所以呢，它就应该等于我的二分之一 s 矩形 h e f g， 对吧？所以呢，我们就很快的就可以把这个问题解决掉了，是不是？所以同学们要注意，你看在这里呢，关键就是我们这个一半面积的题目，对不对？那当然这个题目呢，我们还有其他的方法啊，我们可以考虑设圆，那么我们设圆的话呢，我们可以假设这条边为 x， 对吧？那这中间的 e f 呢？为 y， 对 吧？好，那我们把这个我们说阴影部分的面积给它表示出来，我们说最关键的就是把 n l 表示出来了，同学们看这里有一个 a 字形相似啊，那这个 a 字形的话，我们写一下啊，就是 n l 比上一个 ab ab 呢，其实就是 x 加 y， 它会等于它的高比吗？是不是？那它高呢？我们说这个 m n l 的 高呢，其实就是 y 了，好，那么我们说这个，呃， m a b 的 高呢，其实就是 x 加 y， 所以呢我们可以得到呢，这个 n l 啊，它其实就是 y， 对 吧？那是 y 的 话呢，我们说这条边我们让我们搞定的话呢，那我们剩下的这个工作呢，就 很简单了，那我们接下来呢，就不说这个问题了，对吧？好，那同学们注意，我们通过这个关系呢，我们要给他们讲解一下，我们说平行四边形里面关于面积的关系啊，也就是 所谓的半面积模型，对吧？那平行四边形里面呢，我们有很多是面积一半的关系的，对吧？叫平行四边形半面积，只要看到这些关系的时候呢，我们要很快的就能分析出来哦，这个地方是一半的面积，那我们把这几个图呢画出来， 首先第一个呢，我们说这个在我们平行四边形的边上面任意取一点啊，随便哪里。那我们说这个时候呢，这个阴影部分面积应该就是平行的， 对吧？那么当然也是阴影部分等于空白吧，我们现在第二种结构呢，我们把这个点呢放到平行四边形内部任意的位置，那么这个时候呢，我们也依然可以得到阴影部分等 于平行四边形的一半，对吧？也就是阴影等于空白。那么证明的话呢，我们可以过这里做一个平行线来进行等值变形就可以。我们现在呢，我们把这个点呢放在平行四边形的外面去，那放到外面去的话呢，我们这里呢也有一个一半面积的结构，对吧？也有一个一半面积的结构，我们给大家写上字母啊， p a b cd。 好， 那在这里的话呢，我们说谁是一半呢？应该是 s 三角形 p a b 啊，加上一个 s 三角形 p c 倒啊，它会等于平行四边形的一 半，对吧？好，那注意这里除了我们这个和是一半呢，还有一个差是一半，也就是 s 三角形 p b c 减去一个 s 三角形 p a 倒，它也等于平行四边形面 一半，对吧？好，那大家注意，我们也可以呢，用这个来建立等量关系，对吧？这两个相等在我们考试的过程中经 常是会涉及到的，像这个有一年宁波市的中考啊，他的最后一道选择题考察的就是这个关系，所以同学们一定要非常注意，我们一旦看到这个关系的时候呢，就要立马知道这里是一半的面积，对吧？好，那下面一幅图呢，我们依然呢可以把这个 p 点放在这外面， 好，那放在这外面的话呢，那么这个连起来的话呢，我们一样的可以得到一半面积，那这里呢，我们说跟前面的这种呢是类似的，它应该是什么呢？它应该是 s 三角形 pa 倒加上一个 s 三角形 pbc 啊，它等于一半。 好，然后呢，我们说呢， s 三角形 pa 减去一个 s 三角形 pc 倒，它也是等于平行边， 对吧？所以呢，我们要很快就能发现这个关系，那么其实第三幅图跟第四幅图是一样的，对吧？他只是说表示这里这个 p 点呢是放在他的 右边，对吧？那上下两边呢？是第三幅，左右两边应该是第四幅，对不对？好，那接下来呢，最后一幅图呢，我们给同学们画出来，也就是我们在平行四边形的对角线上 啊，随便取一个点，我们分别做他的边的平行线。那我们看到这个图以后呢，我们就立马要能发现这里有两块阴影部分是相等一个呢，是这块应该等于这块。 好的，这个证明呢，也很简单，我们说呢，这个应该是跟这下面的这个三角形相对，对不对？然后呢这块又等于这块，这块又等于这块，所以剩下的这两块应该是相对 对不对？所以同学们一定要注意。就说我们以后呢，在考试的过程中啊，只要发现了这些半面积的结构，那我们就要立马发现这里有一些一半面积的关系， 但是呢，我们总的来讲呢，大家一定要注意，我们说虽然说我们较半面积模型，但是呢，同学们一定要注意，这其实是一个怎么样关系，对吧？也就是说这些阴影部分是一半，那么剩下的也是一半，那我们能得到的怎么样关系呢？其实就相当于说这两个东西应该相等，对吧？相等，所以同学们在考 试过程中呢，我们如果遇到了这些关系的时候，一定要很快的反映出来，所以呢，我们要把这五幅图啊，深深的刻在我们脑子里面。

好，今天我们要讲初中几何中的四边形重点模型。第一个中点，四边形模型。首先我们看条件，他说了 e、 f、 g、 h 分 别是四边形 a、 b、 c、 d 边、 a、 b、 b、 c、 c、 d、 d、 a 的 中点，然后能得到三个结论，第一个四边形 e、 f、 g、 h 是 平行四边形。第二个 四边形 e、 f、 g、 h 的 周长等于 a、 c 加上 b、 d。 第三个四边形 e、 f、 g、 h 等于二分之一 s 四边形 abcd 我 们一个来看。首先看第一个四边形 e、 f、 g、 h 为什么是平行四边形？我们来证明 差一，由图可知，四边形 a、 b、 c、 d 被 a、 c 分 解成两个三角形，又因为 e、 f 分 别是 ab、 bc 的 中点， 所以 ef 为三角形 a、 b、 c 的 中微线。 同理， h、 g 为三角形 a、 c、 d 中微线。 利用中位线定里，中位线是什么？是不是平行于第三边，且等于第三边的一半，然后往下？所以是不是 e、 f 平行于 a、 c 等于二分之一 a、 c、 h、 g 平行于 a、 c 等于二分之一 a、 c 往下，所以 e、 f 平行于 h、 g， 且 e、 f 等于 h、 g， 能理解吧？所以 四边形 e、 f、 g、 h 是 平行四边形。 然后我们看第二个，他说了四边形 e、 f、 g、 h 等于 a、 c 加 b、 d， 怎么正啊？是不是因为 由第一问可得，就是这四边形 e、 f、 g、 h 是 平行四边形，我们直接给他用上，我们就不写了。所以 e、 f 等于 g、 h， f、 g 等于 e、 h， 所以 c、 e、 f、 g、 h 等于什么？是不等于二倍的 e、 f 加上 g、 h 对 吧？这会是 f、 g、 e、 f 加上 f、 g， 对吧？然后往下，又因为 e、 f、 f、 g 分 别是 三角形 a、 b、 c。 三角形 b、 c、 d 中位线， 所以 ef 这个等于二分之一 a、 c、 f、 g 等于二分之一 b、 d。 所以 c、 e、 f、 g、 h 等于什么？是不是等于二倍的这块 e、 f 加上 f、 g 等于 a、 c 加 b、 d， 对 吧？利用的是什么？是不是还是中位线？中位线平行于第三边，且等于第三边的八， 它的 f、 e 等于 a、 c 的 一半， g、 h 等于 a、 c 的 一半，所以说是不是转化到 a、 c 了？ f、 g 等于 b、 d 的 一半， e、 h 等于 b、 d 的 一半，是不是转化到 b、 d 了？所以说是不是等于 a、 c 加 b、 d， 对 吧？理解吧。然后看第三个，第三个有点复杂， 第三个他说 e、 f、 g、 h 面积是四边形 a、 b、 c、 e 面积的二分之一，是不是还是利用中微线定力？我们来看一下 是不是 e、 f 为三角形 a、 b、 c 中微线 g、 f 为三角形 b、 c、 d 中位线 h、 g 为三角形 a、 c、 d、 a、 c、 d 中位线 e、 h 为三角形 abd 中位线， 对吧？中规线，这个我就不写了，这块就简写了。然后所以它的面积有什么关系？所以 s 三角形 b、 e、 f 等于什么？ 是不是等于四分之一的？因为面积嘛，要平方四分之一 s 三角形 a、 b、 c 对 吧？ s 三角形 c、 g、 f、 g、 f 都行，是不是等于四分之一倍的 s。 三角形 b、 c、 d 对 吧？再往下， s 三角形 d、 h、 g 是 不等于四分之一？ s 三角形 a、 c、 d 对 吧？ s 三角形 a、 h、 e 是 不等于四分之一 s 三角形 a、 b、 d， 对 吧？然后我们再往下， 所以你看啊， s 三角形 a、 b、 c 加上 b、 c、 d 加上 a、 c、 d 加上 s 三角形 a、 b、 d， 它是不是等于什么？我们往这写 c 加上 s 三角形 b、 c、 d 加上 s 三角形 a、 c、 d 加上 s 三角形 a、 b、 d， 是 不等于二倍的 s 三角形 s 四边形 a、 b、 c、 d 能理解吗？就 a、 b、 c、 b、 c、 d， a、 c、 d 加上 a、 b、 d， 它等于二倍的就是大的三角形，大的四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，理解吧？ 所以，所以在这画行，所以比较长。所以 s 四边形 e、 f、 g、 h。 等于什么？是不是 s 四边形 a、 b、 c、 d， 再减去 s 三角形 ef， 加上 s 三角形 c、 g、 f， 再加上 s 三角形 d， h， g， 再加上 s 三角形 a、 h， a， e， 是不是等于 s 四边形 abcd， 减去什么四分之一倍的乘以二倍的 s 四边形 abcd， 四分之一乘以二是不等于二分之一倍的 s 四边形 a、 b、 c、 d， 能理解吗？我来理一下它这个四边形 e、 f、 g、 h， 你 看啊，是不等于四边形 a、 b、 c、 d 减去 b， e、 f 加上 c、 g， f 加上这个 d， g、 h 加上这个 a、 e、 h， 对 吧？ 所以说是不是等于什么？等于 s 四边形 a、 b、 c、 d， 它们四个相加等于什么？是不是在这块的？你看啊， 它们四个都是四分之一，然后你本来这个 a、 b、 c， 这个大的三角形相加是不是等于二倍的 s 四边形 a、 b、 c、 d， 它们都是等于四分之一，是不是四分之一乘以这个二倍的 s 四边形 a、 b、 c、 d 这款比较绕，主要是这款 能理解吧。这个四分之一从哪来的？这个四分之一是从这块等于四分之一等于四分之一，等于四分之一等于四分之一二分之一的平方来的，所以说 四分之一来这块是存在的，然后第二个这个二怎么来的？这个二是它们四个面积相加等于二倍的 n。 四边形 a、 b、 c 的 面积。 把四边形 a、 b、 c 的 面积转化为这四个小的三角形的面积相加减去之后是不等于二分之一，还是四边形 a、 b、 c 的 面积？这道题我们总结一下它这三道题你看用到了什么？是不是都用到了中位线、 中微线？中微线是什么？是不是平行于第三边且等于第三边的一半？就看这个三角形 a、 c、 d 吧。 这个 g、 h 是 不是平行于 a、 c、 g、 h 等于二分之一？ a、 c 能理解吧？ 这是中点四边形几何四边形中的第一个模型，中点四边形比较复杂哦， 所以说这道题需要反复的理解，把它消化，消化之后再进行转化作为自己的东西。

好，我们来看四边形第四个模型，对角互补模型。我们首先看第一个九十度角的对角互补模型，第二个是六十度一百二十度角的对角互补模型，首先我们看第一个， 我们把第一个好好研究研究这个对角互补模型，它的结论是怎么来的。首先我们看条件是讲 abc 等于讲 adc 等于九十度，然后 bd 平分讲 abc， 首先是什么？首先是不是 两个九十度，对吧？然后 b、 d 平分角 a、 b 型有角平行线会有什么？是不是角平线上的点到角两边距离是相等的，所以说做弧线怎么做？是不是做垂直，对吧？做两个垂直。 然后结论，第一个 a、 d 等于 c、 d， 我 们来证明一下这块证明， 因为 b、 d 平分加 abc 加 a、 b、 c 等于多少度啊？是不是等于九十度？ 然后 d、 e 垂直于 b、 c、 d、 f 垂直于 b、 f 是 不是有角平分线的性质可以得到，所以 d、 f 等于第一，这里面就是这个辅助线啊，正常来说也要在证明里写一下，因为它是一写的，所以说我就没写。又因为什么？ 角 a、 b、 c 等于角 a、 d、 c 等于九十度。 四边形内角和是多少？是不是三百六十度？所以角 b、 a、 d 加上角 b、 c、 d 是 不是等于一百八十度？ 然后因为角 b、 ad 加上角 f、 ad 等于一百八十度，所以 角 f、 a、 d 是 不等于哪个是不等于角 b、 c、 d 啊，对吧？角 b、 c、 d， 然后全等了。在三角形 a、 f、 d 和三角形 c、 e、 d 中， 条件减 f 等于减 d， e、 c 减 f， a、 d 等于减 e、 c、 d、 df 等于 d， 所以 三角形 a、 f、 d 全等于三角形 c、 e、 d、 a、 s， 这是它的判定条件，全等的判定条件。所以什么？所以我们第一个结论，所以 a、 d 等于 c、 d， 对 吧？ 结论一，正娃子，我们看结论二， 由结论一可得可得什么？这块我们再加一个 a， f 等于 c、 e， 为什么加呀？因为我们第二个小问，我们要用得到就加一个，因为 减 f 等于减 f， b、 e 等于减 b， e、 d 等于九十度。 由此我们可以判定什么？是不是判定四边形 f、 b、 e、 d 是 一个，什么？是一个矩形？矩形它的邻边相等就变成正方形，再加一个 d， f 等于 第一，所以是什么？四边形 f、 b、 e、 d 是 正方形， 对吧？所以这里面是关键啊！ f、 b 等于什么？等于 b， e 等于 根号二分之 b、 d， 对 吧？因为它是等腰直角三角形嘛，所以大家换写 根号 r、 f、 b 是 不等于 b、 d， 所以 ab 加上 bc， 你 看 ab 还有 bc 是不是转化到哪了？ a、 b 加上 b， c 是 不是等于 a、 b 加上 b， e 加上 e、 c 啊？这个 e、 c 是 不是转化到 af 的？ 实际上是什么？实际上是不是二倍的 f、 b 啊，对吧？ 等于二倍的 f、 b， 又因为 b、 d 等于根号二倍的 f、 b， 对 吧？ 所以二倍的 f、 b 等于什么？等于钢化二倍的 b、 d。 是 不是把它左右两边同时成一个钢化二变形了？所以 a、 b 加上 b、 c 是 不等于根号二倍的 b、 d， 对 吧？第二个问求出来了， a、 b 加 b， c 等于根号二倍的 b、 d。 第三个圈三， 你看啊， s 四边形 a、 b、 c、 d 的 面积等于二分之一 b、 d 的 平方。我们是不是先把 a、 b、 c、 d 这个四边形的面积拆成什么？拆成三角形的面积给它拆一下 s、 a、 b、 c、 d 等于什么？是不是等于 s 三角形 a、 b、 d 加上 s 三角形 b、 c、 d 等于 s 三角形 a、 b、 d 加上 s 三角形 c、 e、 d 加上 s 三角形 b、 e、 d。 这里面我多写两部，为了让大家理解的更好。等于 s 三角形 a、 b、 d 加上 s 三角形 a、 f、 d 加上 s 三角形 b、 e、 d， 对 吧？是不是等于什么？等于 s 正方形 f、 b、 e、 d 的 面积了？那正方形的面积就是边长平方呗，是不等于 f、 b 的 平方，对吧？ 那正方形中 b、 d 等于什么？会因为 b、 d 是 不等于 根化二倍的 f、 b， 所以 f、 b 的 平方等于二分之一给它整体平方呢？对吧？要分布有序化 b、 d 的 平方， 所以 s、 a、 b、 c 的 面积 是不等于把 f、 b 的 平方化了，换成二分之一 b、 d 的 平方，对吧？这三个问就证完了，理解了吧？ 然后我们看一下六十度，一百二十度，这个大家回去自己证明一下。然后我给大家讲一下思路，首先第一个，你看他说一个是一百二，一个是六十， 还是角平分线，对吧？是不是还是做垂线的？理解吧，还是做垂线？正第一问还是在那个 f、 a、 d 和这个 e、 c、 d 这两个很狭小的，这两个三角形是全等的，全等之后 a、 d 和 d、 c 就 等了。第二个 a、 b 加上 b、 c 等于 b、 d， 你 看啊，这个 e、 c 是 不是转化到 a、 f 了？实际上是不是相当于相当于什么？两个 b、 f， 对 吧？ a、 b 加 b、 c 是 不是相当于两个 b、 f？ 然后你看它是一百二十度，它是六十度，它加它等于六十，然后它过去了，这块是不是也等于六十的一半啊？三十 能理解吗？三十度左右的直角边是不是等于斜的一半？这个 b、 f 是 不是等于 b、 d 的 一半啊？然后二倍的 b、 f 是 不是等于 b、 d 的？ 是不是就是 ab 加 bc 等于 bc 的， 理解了吧？第三个，它的四边形 abc 的 面积等于 四分之根号三 b 的 平方，同理还是按照这个去算，为什么？因为你看一下 a、 b、 c、 d 的 面积，是不是可以把它转过去，对吧？把它转过去 我们理解一下，把它转过去是不是它有三十度？三十度垂直于斜边的一半，然后它的面积等于什么？是不是底乘以高啊？如果这个话是 设设这个 b、 d 为 x 吧，它是二分之一 x， 它是二分之根号三 x， 对 吧？然后它的面积等于什么？面积是不等于？我们看一下， 二分之一乘以二分之根号三，是不是 x 平方， 再乘以二分之一，哦，不，乘以二分之一，为什么？因为它是两面相加嘛，就不乘以二分之一了。是不等于四分之根号三 x 平方，这个 x 平方是谁？是不是就是 b、 d 啊？是不是等于四分之根号三 b、 d 的 平方，理解了吧？九十度和六十度、一百二十度原底形是差不多的， 都是 a、 s 全等，第二个不一样是什么？第二个你可以用 h、 l， 也可以将出来全等，大家回去自己尝试一下，然后对角互补，这是一个关键模型，而且我们在巴黎上册的时候，三角形那块其也学到了这个模型，对吧？ 当时比较难的就是这个，其实当时理解的好不好不重要，重要的是什么？重要的你现在学四边形之后 又学了一遍，是不是要理解的更加透彻一些？好，今天就讲到这。

你永远也考不过一个假期每天学一个几何模型的孩子，因为初一下册数学百分之五十都是几何。能帮你快速解析的几何模型要趁早掌握，比如说这个三线八角模型、铅笔头模型、八字模型、燕尾模型等等。可以看看这套万维的初中数学几何模型，它包含了初中常考的六十个模型， 学会用模型去解析千变万化的难题都可以迎刃而解，不理解的还有视频讲解，手把手带你理解彻透，会举一反 i love you i。