2024年仙桃中考数学几何压轴题

同学们好，我是蔡老师，今天蔡老师给同学们分享几何思维，那我们几何题中考试最多的一个方向就是求解线段长。求线段长我们有一些固定的思路，比方说把这个线段放到一个直角三角形中，用勾股定力去求解，或者是把这个线段啊， 我们通过相似的比例关系去转换出来，从而求线段长。那我们今天通过一道题来讲解一下，我们在求线段长的时候应该具备怎么样的思路，以及如何去思考。 这里呢，是金属联盟的一道题啊，正方形 a、 b， c， d， e 和 f 分 别是在这个边 a， d 和边 b c 上，现在我们把这个正方形沿着 e、 f 这个线段去折叠，翻折之后， a 点啊， 这个顶点 a 恰好落在 c、 d 的 这个终点处，所以我们就可以标注一下啊，这里的 g 点，它就是一个终点。好，同时呢，这个点 m 是 g、 h 的 终点啊， 我们翻折过来之后，这个 m 同时也是一个中点。好，那中点我们现在的一个想法就是代表出了线段的长度啊，因为它的这个边长我们是知道的，边长是四，所以我们就可以同步得到 d， g， c， g 还有这个 mg， 还有这个 h， m 都等于二啊，是我们可以同步的信息。好，那我们来想一下，题目突然一下就戛然而止了啊，就让我们求这个 b、 f 的 线段长， 那现在我们刚刚的思路就是求线的长，把它可以放到直角三角形中，或者是通过放到一个三角形中去构造相似啊。我们看如果说把 b、 m 放在一个三角形中，上面暂时是没有一个具体的三角形给它放进来的，所以我们在这里的辅助线可以去往下做一个垂线啊，取一个 n 点， 使得这 b m 他 就放到了一个直角三角形 b m n 中。好，现在我们的目标就来到了，求解这个线段 b n 和这个 m n 啊，如果把这两个线段长求出来，我们这个题就可以大功告成了。好，那再来啊，我们就去思考题目里面的信息，现在还有这个 c g 啊，是已知的，以及这里的 m g 是 已知的。哎，那有的同学就会想到啊，我们的相似里面是有 a 字形相似， 如果一个三角形中有一组平行线，这个时候啊，我们在八年级下册学了中位线的原理，现在啊，中位线就是这个横着的线段，等于底下的这个线段的这个一半，那如果说我们把这个点啊，不是中点啊，是三等分点，我们就变成了三分之一的关系，对不对？ 那这样就可以延伸到这个相似啊，同理，如果说是这个啊，八字形啊，依旧是一样的，我们在这个中线被长里面学到的模型是上下相等，那如果说现在他们比例关系不是相等的，假如是一比二的话， 我们就可以得到其他的边啊，也是一比二的关系好。那基于这样的一个原理，我们来看，这一道题现在要求 m n 是 不是就可以把它和这个 c g 是 同等的地位，对不对？那我们就去限定两个三角形啊，也就是 在这个地方取一个 q 点啊，我们的三角形 q m n 和这个三角形 q g c 啊， 他们俩就是相似的，现在我们的一个目标啊，就是去求解这个 m q 或者是这个 n q 的 长，如果把这些线段求出来啊，我们就这个题就可以转换一下。好，那我们来看一下啊，在这个信息里面呢， 由于这个翻折下来，我们会发现啊，翻折过来之后，这个直角是同步过来的，这个时候游戏的同学就可以想到了一线三垂直这个模型啊，如果是一线三垂直，我们会发现啊，在这个里面 三角形 g、 q、 c 啊，和这个三角形 e、 g、 d 它们俩是相似的啊，也就是我们这里要表示的这个 g、 q、 c 和这个三三角形啊，我们对应字母分别写 q、 g、 c， 那 就是和这个 g、 e、 d 啊， 和这个绿色的三角形相似，如果它们俩相似，哎，这个三角形又有什么样的相 相似比，我们在这个三角形中也拥有一样的相似比啊，那具体的线段长，我们就可以去转换出来。好，我们由于翻折可以得到啊，这边 a e 翻折过来，就是我们巴黎下侧非常常见的一个购物经理的考点，我们设这个 a e 是 x， 那 eg 就是 x， 同时这就是四减 x 啊。 好，那我们就可以快速去转换一下信息啊，得到 x 的 平方是等于这个四减 x 的 平方加上四啊。 好，我们做一个简单的计算，这个 x 是 等于二点五啊， x 是 二点五，四减 x 就是 一点五啊，所以我们同步一下信息，这里是二点五， 一点五，那由于这个比例关系，我们就会快速得到这个三角形，实际上是一个三比四比五的三四五的三角形啊，那我们在做题的时候就可以用分数去表示它，也就是在这个三角形 q g c 中啊，这个 g c 它占的是三份啊，所以呢，一份我们就是三分之二， 大家就可以得到这个 q c， 它占的是四份，所以它的长度就是三分之八啊，那我们得到这个 q g 啊， q g 它占的是五份，所以它的长度就是三分之十。 又因为 m g 的 长度是等于二，也就是三分之六，所以这个 q m 的 长度就是三分之四。啊， 那我们得到了 m q 是 三分之四，在这个三角形中依旧是三四五的一个关系啊，三分之四它占的是五份，而 m n 占的是三份，我们用三分之四除以五，就是十五分之四， 再乘以这个 m n 占的三份啊来约分计算，那这个高度就是五分之四啊， m n 求出来是五分之四。好，接下来只需要求 b n 就 行了。好，这个 b n 我 们也就是快速的可以把这个 c n 去给它求出来啊， 如果 c n 求出来，我们用总的长度四去减去 c n 即可。刚刚已经求出了这个 q c 是 等于三分之八，所以只需要把这个 q n 求出来就行了。现在这个 q m 啊，它是五份，是三分之四，所以一份是十五分之四。现在呢，这个 q n 它占的是四份，我们乘以四就行了啊， 那就等于十五分之十六。好，这个 q n 它等于十五分之十六。我们现在要求这个 c n 啊， c n 就 等于这个三分之八，减去十五分之十六，给它通分，就是十五分之四十，减去十五分之十六， 也就是等于十五分之二十四，给他约分一下，那就是五分之八。 好，我们知道这个地方啊， c n 是 五分之八，那我们就可以转换出这里的 b n 就 等于四，减去五分之八， 也就是等于五分之十二。好，现在呢，它是五分之十二，以及一个是五分之四啊， b n 是 五分之十二，我们发现他们的分母题上是一致的，对不对？那依旧用比例来做，也就是五分之四和五分之十二， 五分之十二可以写成五分之四去乘以三啊，所以他们的关系就是一比三，那这个斜边就是根号十，所以他的答案就是等于五分之四倍的根号十。 好，这样我们就可以把这道题给它做出来。在这个计算的过程中，我们全程都是用的是比例去转换啊，实际上就是利用相似再转换，尤其是做这样的压轴小题啊，我们就可以快速的用一些计算技巧，增加我们的这个 计算速度，从而更好的把这个题解出来。好，至于今天给大家分享的几何题，你学会了吗？

相似作为我们中考里面的几何压轴题的必考题型，他考来考去其实还是只有那些常见的图形， 所以今天我们给大家归纳一下，关于中考的相似，里面哪些基本图形是我们必须掌握的，以及常见的辅助线该怎么构造好？我们一起来看一下。我给大家归纳了六类。 第一个是给大家先梳理明白相似的基本的图形有哪些，以及结论有哪些。因为我们后面所谓的辅助线构造，都是围绕着基本的相似图形展开的， 比如说相似的第一类常见辅助线构造，我们可以构造平行的相似，而第二个里面相似的辅助线构造一线三等角，其中就包括了三垂直的相似，所以一类是平行，一类是特殊垂直，那么延伸出一线三等角。 那么接下来还有呢？还有常见的十字架，包括正方形十字架，还有平行四面形的十字架。问题 好，还有最后一个关于辅助线构造，那就是构造旋转手拉手，这个旋转型的手拉手啊，从八年级开始就一直考到了，他从全等考到了相似 好。那么最后一个是我们中考里面考察了一个非常流行的方向，那就他往往给出的是一道材料题， 这道材料题他的第一问是让你去证明一个基本的相似图形，第二问呢去用这个相似图形解决问题， 第三问可以构造这个相似图形，然后进行综合，所以说他考察的是一种递进式的构造思维，这个思维的话极其重要。 好，那么今天我们第一个视频呢，给大家先把相似的基本图形和结论梳理一遍，首先 常用的相似的基本图形，我并没有给大家整理很多，那些啊花里胡哨的特别多的什么二级结论图形，我觉得我们还是把基本功打扎实， 这样的话呢，你没有必要去花太多的时间记忆太多的东西了，毕竟我们的学科也不只有数学，对吧？所以我们给大家整理的是一些常用的高频考察到的一些图形。 好，第一个是 a 字型，第二个八字型，第三个子母型，第四个旋转手拉手型，一共分为四类。首先我们来看 a 字型的相似，它也可以分为两大类型，你看这两个图形是不是看起来很像一个字母 a 字呀？ 所以在这里我们这两类分别对应哪两类呢？第一类就是 ef 平行于 bc， 我 们称为平行 a 字形相似。那么在这个平行的条件下，我们可以推导出的是三角形 a、 e、 f 相似于三角形 a、 b、 c， 那 么这两个三角形的相似，我们可以得到非常重要的对应边的比例，那就是同侧的边对应相等。 a、 e 比上 ab 等于 a， f 比上 c， f， 同时也等于 e、 f 比上 bc， 这是平行 a 字形相似的结论。那么与此同时呢，它还得到一个等分线段的比例，也是可以使用的，那就是 a 一 比上 b 一 等于 a， f 比上 c、 f， 所以 是第一个平行 a 字形相似。那么第二个 a 字形呢，它就不再是平行的，它是一个斜对过来的角相等， 所以我们称为斜 a 字形相似。好，那么在这两个角相等的情况下面，此时的三角形 a、 e、 f 它相似，注意对应点发生改变，应该是 a、 c、 b 了， 所以这样的话呢，利用这两个相似，我们得到了那个边的比例呢，也要做一个位置的切换。那么此时的 a 一， 它所对的边不再是 a、 b， 而是 a、 c 了， 所以 a、 e 比 a c 等于 a f 比上 a b， 与此同时呢，也等于第三条边 e、 f 比上 b c， 所以 这就是它的基本相似的结论。当然呢，我们可以给它做一个推导式，就得到一个非常好用的乘积式。 那这个时候的话呢， a、 e 和 ab 不是 对边，那我们可以做一个上面比例的交叉的乘法，你看一下啊，那么 a、 e 乘以 ab， 是 不是等于 af 乘以 ac 啊？那你会发现这些线段的位置很有特点， a、 e 在 这里， a、 f a b 在 这里， a、 f 在 这里， a、 c 在 里，所以就是在共线的两条边的乘积是相等的。接下来我们来看第二个相似基本图形，八字形。 你看这两个图看起来是不很像一个八字，所以它叫八字形的相似，也分为两个基本图形，第一个平行八字形，第二个斜八字形和 a 字形也非常像。那么在第一个图形中，题目中会给出 a、 b 平行于 c、 d， 那么在这个条件下，我们可以得到角 a 和角 d 就 相等了，再结合对顶角，所以呢，我们得到三角形 a、 b、 e 就 相似于三角形 d， c、 e， 那 么在这个相似的情况下，我们就可以得到对应边乘比例， a、 b 比上 c d 就 等于 a 一 比上 d 一， 它也等于 b 一 比上 c 一， 所以这就是平行八字形相似的基本结论。 好，我们再看这个地方，它是一个斜八字形，也就是它不再平行了，但是呢，它给了我们一个角， b 和角 d 是 相等的，再结合对顶角相等，我们也可以得到三角形 a、 b、 e 就 相似于三角形啊，这个 c、 d、 e 了， 那么这个箱子一样的得到对应边的比例，那么此时的 a 一 对应的边就是 c 一， 它就等于 b 一 比上 d 一， 也等于 a， b 比上 c、 d。 那 么在刚刚前面的鞋子的 a 字形中，我们把比例式改为乘积式，是不得到一个非常有意思的结论， 那我们在这里，我们同样道理，我们把斜的八字形也改一下，你看看啊，根据前面这两条边的比例改成乘积式，那就是 a 一 乘以 d 一， 就等于 b 一 乘以 c 一， 那你会发现 a 一 在这里， d 一 在这里， c 一 在这里， d 一 在这里。所以是共线的这两条对应的边啊，不叫对应边， 共线的两条边的乘积相等和斜 a 字形的结论是不是完全一致呀？所以这些都是有特点的，有规律的。好，这是第二个八字形，接下来我们来看第三个子母型，那什么叫子母型呢？我们看这个图形， 首先三角形 a、 b、 d 和大扇形 a、 b、 c 啊，它们里面有一条公共的边是 ab， 然后呢，还有一个对应的角相等，再结合他们这里还有一个公共的角，看到没有？ 那你会发现他公共的东西比较多，那我们想子母，那就是拇指之间，他们相似的地方是不是很多，所以我们把它叫做子母形，在大三角形里面包括一个小三角形，然后有公共的一部分的边，有公共的一部分角，所以称为子母形。 那么根据这个地方的两个角对应相等，我们得到三角形 b、 a、 d 就 相似于三角形 b、 c、 a 了。 好一样的，根据这个相似呢，我们来看看它的比例关系， ab 对 应的，这是最长的边，对 bc 就 等于 b、 d 对 ab 也等于 ab 比 ac， 这是它对应的三条边的比例。 同样的道理呢，它也会有一个非常重要的结论，那就是我们把有公共的边呐啊这两条线段拿出来，把它的比例式也改为乘积式，我们交叉相乘得到什么？得到 ab 的 平方等于 bc 乘以 b、 d， 看到没有？所以你会发现这个时候我们得到了直母形相似的一个非常好用的结论，那就是公共边的平方等于从公共的角这里开始的， b、 d 乘以 b、 c， 你 看好不好记？公共边的平方等于公共角的顶点为出发点的两条线段的乘积，所以这就是直母形相似以及它的结论。 那么由子母型的相似呢，我们就延伸出了一种特殊的情况，那就是当它是直角三角形的时候，我们也可以称为摄影定理，其实摄影定理本质上就是子母型相似的一种特殊情况， 所以我们来看一下这个地方啊，我们会发现，如果说最大的三角形为标准，那这两个小的就是它的子，最大的就是它的母，所以我们可以得到两组子母形的相似，那就是三角形 b、 a、 d 相似于三角形 b、 c、 a。 看到没有啊，跟这个很像。这个角的推导应该比较简单， 这个角加上它是等于九十度的，而这个角加上它也等于九十度的，所以肯定相似吧。 那么这个相似的话，我们就可以把比例式换成乘积式，快速得到结论。那么对于三角形 b、 a、 d 和最大的三角形而言，它们公共的边是不是就是 ab？ 所以说我们得到了 a、 b 的 平方等于，那公共的角呢？那公共的角是 b 这个角吧，所以从 b 出发，那就是 b、 d 乘以 b、 c， 这就是第一个子母型的结论。那么除之外，这一个和这个最大的是不是也是一个子母型？它公共的角是 c， 公共的边是 a、 c， 所以 才可以得到三角形 c， a、 d 相似于三角形 c、 b a， 那么此时公共边的话呢，就变成了 a、 c 了，所 a、 c 的 平方等于公共角是谁？公共角是 c 这里的，所以从 c 出发的两条线段 c、 d 乘以 c b， 对 吧？这就是它的第二个。那么接下来真正的摄影定律是什么呢？那就是你想想这个小的和最大的相似吧， 这旁边一个和最大的是不也相似，那么说明这两个小的它也是相似的。那你会发现这个地方就有点意思了，这两个三角形的相似，它们也有一条公共的边是 a、 d， 但是它们没有公共的角，有非常特殊的一个位置的角，那就是地点的位置呢？这里有个九十度，那么这边也有一个九十度。所以呢，我们先写出三角形 a、 b、 d 肯定是相似于 三角形 c、 a、 d 的， 那么结论是什么呢？一样的还是有公共边的平方，那么公共边的平方等于什么呢？那就是这两个特殊的角的顶点 d， 这个地方的两条线段乘积， 那就是 d 作为公共点 d 这里，那么左边有一个 d b， 右边有一个 d c， 所以 它等于 d b 乘以 d c， 所以这就是子母型相似的这个基本图形以及它的结论。当然还有如何去巧妙的快速的把这个结论记下来的原理，所以这个地方大家一定要重点关注了。好，这就是子母型的相似。 接下来我们再来看，作为一个手拉手型的相似，也称为旋转型。什么叫做手拉手的旋转型呢？ 那就是啊，有两个相似的三角形，公共的一个顶点。比如说在这个图形中，题目条件中会给出三角形 abc， 相似于三角形 a d， 这是两个相似的三角形，它们公共的一个顶点 a， 那 么利用这一个相似，我们可以推导出一个全新的旋转型的手拉手相似，它和手拉手非常像。 那么什么叫做旋转型呢？你看一下啊，在我们左边这个地方啊，有一个三角形，有一条边是 ab， 有 一条边是 ad， 也就是我们原始相似的两条对应边。 除此之外呢，那么右边这里还有一个三角形，它的一条边是 a c， 一 条边是 a e， 也是这两个相似三角形的对应边。 那么这两个三角形就类似于是一个旋转过去以后放大缩小的一个图形，那么他们两个也是相似的，那这又是为什么呢？往往他都是我们考试的第一问，需要你加以证明，所以这个证明原理以及证明的方法一定要搞明白， 那我们就一定要用题目所给出的原有的相似来进行推导，那么相似可以得到什么？第一可以得到对应边乘比例，第二呢，可以得到对应角相等。好，我们先看一下它的对应边的比例，那么此时 根据这两个三角形 a、 b， 它比上的是 a、 d， 就 等于 a、 c， 比上的是 a、 e， 对吧？这两条是对边，那么两条边成比例，我们这两个三角形不能相似呀，你要注意了，相似我们用的最多的是对面成比例，但是角相等难道不能用吗？所以一定不要忽略了角相等的问题。 那么根据小数我们得到角 b、 a、 c 肯定是等于角 d、 a、 e 的 嘛，那你看，根据这两个大的角相等，我们将中间公共的部分去掉，是不是可以得到这两个小角相等啊？ 也就说根据它我们可以推导出谁啊？我们可以推导出的是角 b、 a、 d 等于角 c、 a、 e。 那么时你会发现两条边乘比例夹角相等，我们就可以推出三角形 a、 b、 d 相似于三角形 a、 c、 e。 所以 这就是手拉手旋转相似的基本图形以及它的证明过程，这个也是非常重要的， 所以今天我们先给大家讲到了四个最常用的基本图形，那么在接下来的视频里面，我们就会给大家来更新如何去构造这些 a 字形、八字形、拇指形和 手拉手旋转相似的图形呢？因为真正的难题是不会直接给你的，需要你人为的增加辅助线去构造我们所需要的基本相似图形。

今天我们来看一道初三数学的几何压轴体，已知角 a、 c、 b 等于九十度， a、 c 等于 b、 c， 角 b、 d、 c 等于九十度。括号一的圈一，我们要证明角 a、 c、 e 等于角 cbd， 而角 a、 c、 e 加上角 d、 c、 b 等于九十度，角 c、 b、 d 加上角 d、 c、 e 也等于九十度，所以这两个角就相等了。圈二，若角 b、 c、 d 等于六十度， a、 e 等于根号六，我们要求 c、 d 的 长。 而在这个直角三角形里面，我们知道它是六十度，所以它的三面关系比就是一比根号三比二。 而因为 bc 等于 ac， 所以 cd 比上 ac 也等于一比二，我们现在只要求出 ac 的 长就可以了。我们还知道 a、 e 等于根号六， 角 a 等于四十五度，所以我过一点向 ac 做了一个垂，我们就能得出这两个底边是根号三。 而在这个直角三角形里面，因为它是三十度，所以它的三边关系比也是一比根号三比二，所以这条边就是三， a、 c 就是 三加根号三，而 c、 d 就 等于二分之三加根号三。我们再看括号二， 将线段 c、 d 绕着点 c 逆时针旋转九十度，得到 c、 f， 这时我们就知道三角形 c、 d、 f 是 一个等腰直角三角形，我们要证明这是 ab 中点， 而这个小的等腰值和大的等腰值构成了手拉手，我们连接 a、 f 就 能得出三角形 a、 c、 f 和三角形 c、 d、 b 是 手拉手形的全等角 afc 就 等于九十度， 因为这个角是四十五度，所以角 a、 f、 g 就 等于四十五度。我们要正中点，所以应该做平行，也就是做 b、 q 平行， a、 f 交 f、 g 延长线于点 q， 这样角 q 就 等于四十五度，而现在只要证出三角形 a、 f、 g 和三角形 b、 q、 g 全等就可以了。我们现在做的平行，所以角等的关系是有的，再证明一组边等就可以了。 我们看 af 和 b、 q， 我 们之前证过 af 等于 b、 d， 现在就要证明 b、 d 等于 b、 q， 而三角形 c、 f、 d 是 一个等腰值，所以角 f、 d、 c 等于四十五度。角 c、 d、 b 等于九十度，所以角 b、 d、 j 就 等于四十五度， 而这两个角就相等了，所以 b、 d 等于 b、 q 就 等于 af。 三角形 a、 f、 j 和三角形 b、 j、 q 就 全等了，我们就证出了这是 ab 的 中点， 括号三， a、 h 是 三角形 abc 的 中线，我们连接 c、 m， 绕着点 m 顺时针旋转了九十度，得到 m、 n， 还知道角 a、 n、 d 等于九十度， a、 c 等于四。我们要求三角形 a、 d、 n 的 面积。我们现在把已知条件标注一下， a、 c 等于四， bc 也等于四。因为 h 是 中点，所以 c、 h 等于 b， h 等于二。 因为我们从大条件就能知道角 c、 d、 b 是 九十度，所以直角三角形斜边中线等于斜边一半， d、 h 也等于二。而在这个等腰直角三角形里面， a、 h 就 等于二倍，根号五， a、 d 就 等于二倍，根号五减二。 我们还知道角 c、 a、 h 的 正切值是一比二，我们要求三角形 a、 d、 n 的 面积， 而这时我们只要证明 d、 n 平行， a、 c 就 知道了这个角它的对边比邻边是一比二的关系，这样就能求面积了。 我们要证明它俩平行，也就是要证角 c、 a、 n 等于九十度，因为我们已经知道角 c， a b 是 四十五度，所以只要证明角 n a m 等于四十五度就可以了。 而题里面是将 c m 旋转了九十度得到 m n， 而它的辅助线很明显就是要做旋转，我们可以把 am 绕着点 m 旋转九十度得到 mp， 然后再将 ac m p 等于点 p， 这样我们就能得出角 c m p 等于角 a m n， 而我们还知道角 c m 是 四十五度。三角形 a p， m 就是 一个等腰值， a m 就 等于 mp， 因为这两个三角形还有一组边等和角等的关系，所以它们就全等了， 我们就证出了角 n a m 等于角 p， 而因为这是一个等腰值，所以角 p 等于四十五度，进而角 m a n 就 等于四十五度。我们就证出了 a c 是 平行 d n 的 角 adn， 它的对边比邻边的关系就是一比二，我们知道它的斜边是二倍，根号五减二，在这个三角形里面它占根号五分，所以我们就能求出 a n 和 d n 的 长，进而求出三角形 adn 的 面积。

家人们谁懂啊，这种正方形在坐标轴滑动的最值问题太容易难到孩子们了，今天我教你两种方法彻底拿捏，尤其是第二种，最锻炼几何思维。已知正方形 a、 b、 c、 d 边长为六点， a 在 x 轴上运动点， b 在 y 轴上运动点， e 是 a、 b 的 中点，求 o、 d 的 最大值。 首先第一种方法非常直观，三点共线直接秒，我们先连接 o、 e， 因为角 a、 o、 b 始终是直角，所以三角形 a、 o、 b 是 直角，三角形点 e 又是斜边 ab 的 中点。根据直角三角形，斜边中线等于斜边一半， o、 e 就 等于二分之一， ab 也就是三，这个长度是固定不变的。 接着我们再连接 d、 e， 在 正方形里， b， e 等于三， b、 d 等于六，所以 d、 e 也是固定值，各股定律算出来就是三倍，根号五。 同学们，你看，当正方形的 a、 b 两端在坐标纸上滑动的时候，不管它怎么运动，在三角形 o、 e、 d 当中都有 o、 d 一定小于等于 o， e 加 d e， 当它运动到 o、 e、 d 三点共线的时候，也就是这样变成一条直线，这时候 o、 d 就 取到最大值，也就是 o、 d 等于 o， e 加 d， e， 也就是三加三倍根号五。 重点来了！第二种方法，隐形元思路，也是最锻炼思维的一种。大家看， a、 b 两点一直在动，整个正方形也跟着划来划去。 来。同学们，你们想象一下，你现在就站在线段 ab 上，跟着 ab 一 起动，这时候你相对于 ab 就是 静止的。你看这圆点 o 是 不是感觉明明是 ab 在 动，却像是 o 在 动一样，这不就是我们物理常说的吗？物体的运动是相对的，你们就别跟着转了，容易头晕。我直接给你们展示一下，我们让 ab 静止，反过来看点 o， 你 看 点 o 是 不就在运动啊？你看，这就是物体的运动是相对的。关键来了，不管 o 怎么动，角 a o b 永远是九十度， ab 长度永远是六，典型的定角对定边。所以点 o 的 轨迹就是一个以 ab 为直径的圆，我们把这个圆画出来。 接下来求 o d 的 最大值就简单了，经过相对运动过后，点 d 就 变成了静止的定点，点 o 在 圆上运动，一箭穿圆心，过圆心的远端点就是最大值，也就是运动到这种情况的时候，过圆心这条 o d 就是 他的最大值，也就是 d e 加上半点 o e， 结果也等于三加三倍，根号五。

来，我们讲一下这道题啊。嗯，先从第一问讲起，所以首先他在一个直角三角形 abc 里啊，那个角 abc 是 九十度，而且告诉你了，这个 ab 等于六， bc 等于八，那么实际上我比较好求的就是这个 ac 吧， 所以你就可以直接写了，对吧？因为在直角三角形 abc 中， 那么角 abc 等于九十度，然后这个 ab 等于六， bc 等于八，对吧？所以我这个 ac 就 等于六的平方加上八的平方，再开始算数，平方根等于十吧。 好，这样写上，然后继续往后，他说 p 呢，是写边 ac 上的一个动点，所以 p 是 动的， 对吧？而且在 a c 上动，现在他以这个 b p 为直径做圆 o， 那 么这个时候又可以写了，因为 b p， 他 是圆 o 的 直径， 对吧？所以，那么我这个 e 点在这的话，那这个角是多少度啊？九十吧，对不对啊？这个角也是九十吧，是不是？所以角这个 b d p 等于角， b e p 等于九十度， 是不是啊？所以已经有两个直角三角形了，而且斜边是公共边。然后我们继续往下走，他现在呃，第一问，他说因为 p 为弧 d e 的 中点，好了，根据咱们的定理，你能不能得到？所以 p d 是 不是等于 p e 啊？好了，来，在直角三角形，这是 b d p 和 b e p 中， 斜边是 b p， 有 一条直角边，对应相等斜边直角边，这俩三角形全等吧，是不是？好，万事俱备了？那我们先来写一下在这边吧。 好，我们来写啊。那么在直角三角形，这个是 b d p 和直角 直角三角形 b e p 中， 对吧？因为写边 b p 等于 b p， 直角边 p d 等于 p e， 对 吧？所以直角三角形 b d p 全等于直角三角形 b e p h l， 对 吧？那么所以我这个 b d 是 不是等于 b e？ 而我现在要求 b d 的 长，实际上就求 b e 就 行了吧，对吧？那么刚才我们已经求出了 a c， 那 么在直角三角形， 那么因为在直角三角形 a b c 中， 对吧？然后二分之一的 ab 乘以 bc 等于二分之一的 ac 乘以 b e 的 面积法，是不是啊？那么所以这个时候 b e 就 等于 ab 乘以 bc， 再出一个 ac 带进去， ab 等于多少六吧？ bc 等于八， ac 求出来等于十，所以 b e 等于四点八，那么所以 b d 就 等于 b e 就 等于四点八。这就是第一问啊。 好，咱们来走第二问，那么我们实际上知道 p 在 c e 上移动，它是一个动点，所以这个时候他就问你，当 c p 的 长为和值的时候，这个三角形 b d、 e 是 等腰三角形，那么只要提到等腰三角形，实际上我们就要想到分类讨论， 因为这一问里来说的话，你并不知道到底谁是腰，谁是底边，所以这个时候我们就需要分类讨论，按情况一二三来走了，来，我们写写啊。所以第一个我们肯定是用我们第一问搭桥的情况。情况一，因为刚才我们已经证明了，实际上我这个，嗯，在这个等腰 三角形 b d、 e 中，第一种情况是 b d 等于 b e 吧，对吧？这是第一问，刚才已经做出来，实际上，呃，但是那个 是用了它这个特殊条件的，是不是？那我现在我就直接，我就告诉你，我这等腰三角形 b d e 里边 b d 等于 b e， 这是不是第一种情况，对吧？好了，那么现在我们来求一下，我们要求的是 cp， 那么刚才 b e， 我 把这些条件都写下啊，因为 ab 等于六， bc 等于八，来照旧 ac 我 求出来是十，这个 b e 也是好求的，你不管有没有条件，这垂直他这个 b、 e 肯定都是这么求的，是四点八吧， 对吧？先把这些条件都写出来，然后这个时候我又知道我这个 b d 和 b e 相等，所以这个 b、 d 是 不是也等于四点八， 对吧？那么既然 b、 d 等于四点八，那么你看 b、 c 是 八，然后所以那这个 c、 d 等于多少？是这个八减四点八等于三点二吧，是不是？我为啥用 c d 啊？来，你仔细的观察一下 我这个三角形 c、 d、 p， 换句话说，这个角是垂直的，对吧？那么这个就是 九十度的话，和这个角是不是相等的？所以这样来说的话，因为这个三角形 c、 d、 p 是 不是相似于三角形 c b、 a 是 不是啊？那么所以来用比，所以 c d 比上这个 c b 是 不是等于 c p 比上 c p 是 我要求的 c a 是 十， 对不对？所以 cp 就 等于多少等于四吧。好了，第一种情况出来了，来，我们现在来讲第二种情况，你看情况二。 第二种情况是，若这个三角形 b、 d、 e 是 等腰三角形，刚才是以 b 作为顶角的顶点，那么我现在换一个，我现在以 d 作为顶角的顶点，然后我这个图画出来了，就是这个 啊，实际上这道题啊，这个图一出来，这个题就出来了啊，自己要动手画一画，然后所以情况二就是当这个 d e 等于 d b 时， 对吧？那么你来想一下，当我 d e 和 d b 相等，它是个等腰三角形的时候，我现在我过 b， 我 能不能做这个 b f 垂直于 b e 于 f 没问题吧？而且根据等腰三角形底边上三线合一我就知道了，所以我这个 f b 是 不是实际上等于 f e， 对 吧？这些都是很好求的，对不对？所以他就等于什么二分之一的 b e 吧。那么根据刚才我求实际求出来的 b e、 b e 是 四点八吧，对吧？所以是二分之一乘以四点八等于二点四吧， 对吧？那么这个是二点四了。然后又因为我这个仔细的来观察一下，那么你想这个 b f 和这个 b e 实际上是不是一比二， 对不对？而且我刚才做的是垂直吧，对吧？我还能得到，所以是不是 df 实际上它也平行于这个 c e？ 那 既然平行，那么所以三角形 bdf 是 不是相似于三角形 bce， 对吧？那么所以你想我这个 b d 比上 bc， 是 不是等于 b f 比上 b e？ 那 b f 比上 b e 是 不是一比二，对吧？所以我这个 b d 等于多少？二分之一 bc 吧，是不是？所以二分之一乘以和 bc， 还是吧？等于四吧， 对吧？那 b d 等于四，那 c d、 c d 是 不也等于四？好了吧？数据位还是它， 那么还是刚才说的，只要我 b d 是 直径，它所对的这个圆周角就是九十度，这就是九十度，它这也是九十度，是不是 d p 和 b a 平行，对吧？所以这样来说的话，我是不是还是三角形 c d p 相似于三角形 c b a， 是不是啊？那么所以我还是 c d 比上 c b， 是 不是等于 c p 比上 c a 啊？来带进去 c d 的 话等于四， c b 的 话等于八，等于 c p， 对 吧？ c a 还是十， 那么所以 c p 在 这种情况里等于多少啊？等于五。第二种情况结束，来，我们现在走第三种情况，情况三， 刚才我们已经讨论了，我们已经完成了我们的第一种情况，我这写一下，是 b d 等于这个 b e 的 情况，对吧？第二种情况，我们完成了这个 d， e 等于 d b 的 情况吧，是不是？所以分别我们以 b 和 d 做过这个等腰三角形顶角的顶点了吧，那现在轮到 e 了吧？所以第三种情况是 e d 等于 e b 吧， 对不对啊？所以这样来说的话，那么我还是照旧我过 e， 我 还是做 e f 垂直于 b c 于 f， 对 不对啊？所以实际上啊，那么咱们都应该知道我这个 e f 它也过点 o， 这个是好震的啊，你只要连接 d o， 你 就会发现，那么 d o 和 b o 相等等幺三角形，是不是？所以这样来说的话，实际上这个 o 点也在这个 e f 上的啊？那么我们现在来仔细的观察一下，当然实际上我们用不上这个 o 啊， 那么你看一下这个三角形，我在旁边写一下三角形 b e f 和这个三角形 b c e 什么关系啊？ 相似吧，是不是？为什么？因为你看这是公共角吗？对吧？那么角这个，嗯， f b e 和角 e b c 相等，公共角，对吧？而且这边是垂直，那这个角也是垂直的吗？只要我 b p 是 直径，那么他所对的圆周角就是直角，对吧？所以这样来说的话，因为三角形 b e f 相似于三角形 b c e， 是不是啊？所以我们就能用我们的笔了吧？来，所以 b e 是 不是还是照旧？比 bc 等于什么呢？等于 b f 比上 b e， 而 b e 没有变化，还是四点八， 所以这样来说的话，四点八除以八，等于 b f 除以四点八，对不对？所以我能不能求出我这个 b f 啊？ b f 最后等于二点八八， 那么 b f 实际上等于是不是二分之一的 b d 啊？那么所以是不是 b d 等于，这样来说的话，是二点八八乘以二吧，是不是二百一十六， 五点七六，对吧？那么这个时候，所以 c d 等于啥？等于 b c 减 b d 嘛？等于八减五点七六，等于 二点二四吧，是不是？那么还是照旧，对吧？因为三角形 c d p 相似于三角形 c b a， 那 么来 c d， 哎呦， 来，我们继续学啊。所以这样来说的话， c d 对 吧？比上 c b 是 不是等于 c p 比上 c a， 那么带进去 cd 是 二点二四，对吧？然后 cb 是， 呃，还是八吧，对吧？等于 cp， 然后 c 还是十，那么所以这个 cp 就 等于二点八，你看，这就是我们的这一道题的三种情况，对吧？啊？

是不是一看到动点加最值的问题就头大？因为总是想不到怎么构造辅助线。今天我们利用构造中位线的方法来秒杀这道菱形最直体 点击点 h 分 别是 a， e 和 b f 的 中点。此时我们很容易联想到 g h 是 某个三角形的中位线，那么它是谁的中位线呢？这就需要我们连接 b g 并延长交 a d 于点 m 点 g 此时即为 b m 中点。那么我只需要连接 m f， 我 们会发现在三角形 b m f 中， g h 就是 它其中一条中位线，此时 g h 等于二分之一。 fm 题目里让某求 j h 的 最小值，我只需要求 f m 的 最小值即可。那么由于 f 为定点， m 在 a d 上运动，点到线的距离为线段最短，所以 当 f m 垂直于 a d 时， f m 取得最小值。 那么接下来在三角形 d f n 中，已知角 d 为六十度，那么这个绿色三角形即为一个含三十度的特殊直角三角形。 f 是 c d 的 一半， 等于四，那么我们可以利用特殊三角形三边关系轻松求得。此时 f m 或 f n 为二倍根号三， g h 即为二倍根号三，一半为根号三。搞定收工 so easy， 你 学会了吗？

今天我们来看一道中考几何的压轴题，我们来看二十二题。在三角形 a、 b、 c 中，已知 a、 b 等于 b、 c、 b、 d 垂直 a、 b、 c、 d 是 垂直 bc 的， 还知道 a、 e 平行 c、 d。 第一问，我们要证明三角形 a、 b、 e 全等于三角形 b、 c、 d， 所以 角 e 就 等于角 e、 d、 c。 而我们通过条件还有一组边等和一个九十度，所以这两个三角形就全等。 第二问，我们知道 b、 f 等于一， b、 e 等于四，而通过前一问的全等，我们知道 c、 d 也是四，这时我们就再没有其他的条件了，所以我们可以先倒一下角。 而我们因为知道三角形 a、 b、 c 是 一个等腰，所以我们设它的底角是而法， 因为这个角是九十度，所以角 a、 f、 b 和角 c、 f、 d 都是九十角。而法， 因为角 b、 c、 d 是 九十度，这个角是 r 法，所以角 a、 c、 d 也是九十角 r 法。三角形 d、 f、 c 就是 一个等腰，三角形 d、 c 就 等于 d、 f 等于四， 而 b、 d 就 等于一。在这个直角三角形里面，我们能求出 b、 c 和 b、 a 都等于三。 而在三角形 a、 b、 f 中，我们已知 b、 f 是 一， ab 是 三，那么自然就能求出 a、 f 是 根号十。 这时我们再根据 a、 e 平行 c、 d 这个条件，能得出三角形 c、 f、 d 和三角形 a、 f、 e 是 相似的， 所以 a、 f 比上 c、 f 就 等于 e、 f 比上 d、 f， 而这些边我们都是知道的，所以就能求出 c、 f 的 长，进而就能求出 c、 e 的 长是五分之九倍，根号十。我们再看第三问， 以 b、 c、 c、 d 为邻边作平行四边形 b、 c、 d、 j。 而我们从这个题目的大条件我们能知道角 b、 c、 d 是 九十度，所以这个四边形就是个矩形， 而 a、 h 比 b、 e 等于一比根号二， b、 h 等于根号二。我们要求三角形 a、 d、 h 的 面积。 在这个三角形一点一式中，我们一个边也不知道，并且没有已知的角，所以我们可以先倒角。我们根据前一问设的参数 看这个角 h、 b、 c 也是九十度，这个角又是 r 法，所以角 b、 h、 c 就是 九十减 r 法等于角 b、 f、 h。 所以 这个三角形 b、 h、 f 就是 一个等腰三角形 b、 h 等于 b、 f 等于根号二。 而这时我们知道 b、 j、 d、 c 是 一个矩形，所以 c、 d 平行， b、 j 也平行 a、 e。 而因为 a、 h 比上 b、 e 等于一比根号二。我们根据平行线分线段成比例定里就能得出 h、 f 比 b、 e 也是一比根号二，所以 h、 f 是 一。 而这时我们再看这个三角形 a、 d、 h。 我 们可以设 a、 h、 v、 x 让 a、 h 做底，我们过 d 点向它做一个垂。我们现在只要求出 a、 h 和 d、 p 的 长度就可以了。 我们根据比例线段就能得出 b、 e 也是根号二 x。 根据第一问的全等能得出 d、 c 也是根号二 x。 根据第二问，我们正的等幺能得出 d、 f 也是根号二 x。 而这时我们发现三角形 a、 b、 c 和三角形 b、 h、 f 都是等腰三角形，所以我们根据等腰对称性就能得出三角形 b、 h、 a 和三角形 b、 f、 c 是 全等的，这样 a、 h 和 d、 f 就 都等于 x。 这时我们看三角形 a、 f、 e 和三角形 d、 f、 c 这组相似的三角形， 他们的对应边都是能用含 x 的 式子来表示，所以我们列一个等式， x 加一比上 x 等于根号二， x 加根号二，比根号二 x， 我 们能求出 x 的 长， 而现在我们底 a h 就 知道了，我们再求高 d p 就 可以了。而因为这是一个等腰三角形，我们过地点作垂垂直底边就平分底边，所以 f p 就 等于二分之 x， 我 们在这个三角形里面勾股定律能求出 d p 的 长，这样我们就能求出三角形 a d h 的 面积是四分之九倍，根号七。

中考几何模型汇集在直角三角形 a、 b、 c。 中，角 ab 等于九十度， a、 c 等于 bc 等于四 d、 m 是 边， bc 上的动点，连接 am 一 样为边，在其右侧做正三角形 a、 m， n 连接 c、 n。 求 c、 n 的 最小值。 题目点 m 在 线段 b、 c 上运动，点 n 跟随 m 运动，约束条件为三角形 a、 m、 n 为正三角形，也就是角按背 n 等于六十度， a、 m 等于 a， n。 有 定角、定底、定点 a 符合刮斗原理， 所以主动点 m 的 轨迹为线段。从动点 n 的 轨迹也为线段。画出点 n 的 轨迹，只需要首尾两个端点，当点 n 与点 e， 当点 m 与点 c 重合时， 点 n 在 轨迹的末端，点即为点 d。 线段 d、 e 即为点 n 的 轨迹。我们以点 m 与点 c 重合时做辅助线。写法为以 a、 c 为边，在其右侧构造正三角形 a、 c、 d。 然后再证明点 n 轨迹。 根据正三角形性质有， a、 c 等于 a， d 等于 c， d 等于四角 c， a、 d 等于六十度。因为角安被 c 加角 n， v， d。 加角 e 等于六十度，所以角安被 c 等于角 n v， d。 又因为 a、 m， a、 c 等于 a、 d。 所以三角形 a、 m、 c 与三角形 a、 n、 b。 全等，所以角 a、 d， n 等于角 a、 c、 m 等于九十度。所以点 n 在 过点并且垂直于 a、 d 的 直线 d 上， 由垂线段最短。当 c、 n 垂直于 d 一 时， c、 n 最小。在直角三角形 c、 n、 d。 中，角 c、 d， n 等于三十度， c、 d 等于四，所以 c、 n 的 最小值为二。

胖叔四月的十二号会开一个中高几何亚洲的专项强化，这是胖叔哎，讲哪些内容？全等相似几何变换和动点轨迹， 这是只要你考几何，你绝对绕不过去的板块，尤其是全等相似几何变换，这是你只要考几何，这必考内容 好吧，所以呢，就是如果想在最后再强化，因为各个地区对几何亚洲的要求普遍都还是比较高的，对函数其实有些地方要求是很低很低的，但几何要求都是蛮高的。所以如果想最后再强化一下几何，可以四月十二号跟胖叔好吧，怎么去了解课程？点头像留言或者加群。

今天我们来看一下这道几何压轴题，我们来看二十二题。在 r、 t。 三角形 a、 b、 c。 中，角 a、 b、 c 等于九十度， ab 等于六， bc 等于八。所以勾股定律我们能得出 a、 c 等于十， o 是 a、 c 的 中点，所以 a、 o 等于 o， c 等于五。在 r、 t。 三角形 d、 b、 e。 中，角 d、 b、 e 是 九十度， d、 b、 e 是 三， b、 e 是 四， 所以我们根据勾股定律能得出 d、 e 是 五。而因为我们之前还知道 ab 和 bc 的 长度，所以 a、 d 等于 b， d 等于三， b， e 等于 c， e 等于四， d 和 e 就是 ab 和 bc 的 中点。 而这时我们就得出了 d、 e 是 三角形 abc 的 中位线， d、 e 是 平行 abc 的， 我们连接 e、 o 并延长到点 f， 使 o、 f 等于 o， e。 第一问，我们要求出角 d、 a、 f 的 度数和 a、 d 比 a、 f 的 值， 而我们现在知道 o 是 ac 的 中点， o 也是 ef 的 中点，所以我们就能证出三角形 a、 o、 f 和三角形 o、 e、 c 是 全等的， 这样我们就能得出角 c 等于角 f， a、 c 等于 r 法，所以 af 是 平行 bc 的， 角 b 就 等于角 b， a、 f 等于九十度。 而因为全等，我们就能得出 c、 e 等于 af 等于四，所以 ad 比 af 就 等于三比四。 我们再来看第二问，将图一中的三角形 d、 b、 e 绕着点 b 逆时针旋转一定角度，我们要证出括号一的结论。 而我们在第一问就知道三角形 d、 b、 e 和三角形 abc 是 相似的，所以旋转之后我们也一定能得到手拉手的相似。 我们发现角 d、 b、 e 等于角 a、 b、 c 等于九十度。减去公共部分，所以角 d、 b、 a 等于角 e、 b、 c。 而我们还知道 d、 b 与 b、 e 的 比值是三比四， ab 与 bc 的 比值也是三比四， 所以三角形 a、 b、 d 和三角形 b、 c、 e 是 相似的，这样角 b、 c、 e 和角 b、 a、 d 就 相等，标记为叉角。 而我们现在要证角 d、 a、 f 等于九十度。 我们还知道 o 是 a、 c 的 中点， o 也是 ef 的 中点，所以四边形 a、 e、 c、 f 是 平行四边形，因为它的对角线互相平分， 这样 c、 e 就 平行 a、 f 角 a、 c、 e 就 等于角 f a、 c 标记为点角， 我们发现点加叉等于角 abc 呃等于角 a、 c、 b。 而角 a、 c、 b 加角 b a、 c 等于九十度。 而在 d、 a、 f 中点加叉，加上角 b、 a、 c 也应该等于九十度，所以我们就证出角 d、 a、 f 等于九十度。 而我们之前正过这两个三角形是相似的，它们的相似比是三比四，所以 a、 d 比 c、 f 等于三比四。 呃， a、 d 比 c、 e 等于三比四，因为这是一个平行四边形 c、 e 等于 af， 所以 a、 d 比上 af 就 等于三比四。我们再来看圈二， 当四边形 a、 e、 c、 f 的 面积最小时，我们要求线段 a、 d 的 长。我们可以把这个问题简化一下， 要求这个平行四边形的面积最小，就是求三角形 a、 c、 e 的 面积最小， e 点是动点， a 点和 c 点是定点，也就是说这个三角形的底 a、 c 是 已知的， 我们只要让他的高最小，然后找到一点的位置，这道题就可以做了。 而我们发现一点，不管如何运动， b 的 长度都是已知的，这就让我们想到了圆的半径是定值，所以这道题他其实是一个引圆问题。 我们首先要找到一点的运动轨迹，我们以 b 为圆心， b 一 长为半径作圆，这个圆就是一点的运动轨迹。 而我们要让三角形 a、 c、 e 的 面积最小，那显然垂直的时候是这个高是最小的。 所以我们过 b 点向 a、 c 做垂与圆的这个焦点就是 e 点的位置，我们把这个图形抽象到这个图形里面， 而这时我们知道 b、 e 等于四。我们过 b 点向 a、 c 做垂，是直角，三角形斜边做高，构成了一个摄影形， 我们就能根据等面积法求出 b、 p 的 长是四点八，所以 e、 p 就是 零点八。 而射影型我们还能求出 a、 p 是 五分之十八，因为 a、 o 是 五是不变的，所以 o、 p 就是 五分之七， o、 e 就是 五分之根，号六十五。 而我们要求 a、 d 的 长，我们从前几问就能知道 a、 d 比上 af 等于三比四，所以我们只要求出 af 的 长就可以了。 求 af 的 长就是要解这个三角形 a、 o、 f， 我 们现在知道 a、 o 是 五，我们还需要知道另外两个关系。 而我们现在知道 e、 p 是 五分之四， o p 是 五分之七。这个角 a、 o、 e 的 三角函数值我们知道，所以它的对零角 f、 o、 q， 我 们也知道它的三角函数值。 这时我们就应该过 f 点向 a、 c 作垂，得到 f、 q。 因为 o 是 ef 的 中点，所以三角形 e、 p、 o 和三角形 f、 o、 q 是 全等的， o、 e 等于 o， f 等于五分之根，号五十六。 这时我们再看这个三角形 a、 o、 f， a、 o 是 五， o、 f 已知，角 f、 o、 q 的 三角函数值也已知， 而 f、 q 还等于零点八，所以我们解三角形能求出 a、 f 的 长是五分之四倍，根号六十五，所以 a、 d 就是 五分之三倍，根号六十五。

初三几何压轴必考的将军野马模型，很多同学找不到最短路径，今天教你一招压轴题，也能轻松拿分。好，我们来看一下。 首先模型特征是一动点，两定点定直线，求最短距离，核心技巧是什么呢？那就是做对称点，利用两点之间线段最短，转化为线段长度。 好，我们来例题里面看一下将军仪马模型是什么样的哈，拿到一道题，看到不是证明题对不对，那就先把解字写上去， 解好，读题目。在直线 l 同侧有 a b 两点，在 l 上找一点 p， 使 pa 加 p， b 最小，求最短路径。好，我们看到了上面的核心技巧是做对称点对不对？我们就做点 a 关于直线 l 的 对称点， a 撇，一起来写步骤， 做点 a， 关于直线 l 的 对称点， a 撇。好，我们在图里面做一下。关于 l 对 称，在这里对不对？那就 a 撇，在这再连接 a 撇 b 看，在这里利用对称性， pa 等于 pa 撇，所以 pa 加 p， b 要最小，我们最好换到一条线段上去求，对不对？ pa 等于 pa 撇，那就等于 pa 撇加 p， b 等于 a 撇 b， 看这个交点是 p 点，是不是最短路径？好，我们来看一下，如果 a b 两点给了我们数字的话，应该怎么去求这条最短路径呢？ a 为一，三对不对？那 a 撇是什么呀？ a 撇，关于这个对称， x 坐标是不变的，对不对？那 y 轴坐标变为它的相反数。好，很好， 一负三， b 不 用动，对不对？好，我们来看 a 撇 b 怎么求啊？可以看出来这里是是一个直角，利用勾股定理呀。来看 a 撇 b 等于根号， a 方加 b 方呀，那 a 方是什么？就是横坐标的差值对不对？横坐标差值怎么算？ 找到 b 点的横坐标是四， a 撇的横坐标是一括号平方加 y 轴坐标的差值对不对？那就是一减去负三 等于根号三平方加四平方对不对？计算过程我们就不写了啊。 那就等于五。这个模型不仅考基础最值，还会结合。呃，坐标系啊，四边形啊。出压轴题不管是怎么变形，核心都是做对称转线段， 两条线，你求他的最短路径肯定是转成一条线之后再去求，比较简单对不对？掌握方法之后压轴题也能突破哈。好，我们今天课程就到这里为止。

胡不规问题，中考数学的隐形杀手，很多孩子连名字都没听过，但每年中考必考，今天三分钟讲透，帮孩子多拿八分。各位家长，这条视频依旧全是干货，建议先点赞收藏。 咱们话不多说，直接来开始上干货。按照我整理的口诀，必定能够让胡不规问题变得简单好做。 第一点就是动点的轨迹必须是条直线，在读题的过程中，我们要分析这个动点，他到底是走直线还是走曲线是不一样的。第二点， 在读完题的这个过程中啊，我们要寻找到的这个目标形式是线段加上 k 位的另一条线段，然后问他的最小值 就是，若 k 在 零到一之间，我们可以接着往下走，若 k 不 在这个零到一之间的区间，我们先要提取这个整数倍进行调整。 之后呢，我们要构造一个 alpha 角，就让这个 sin alpha 恰巧等于 k。 然后就是过定点向构造的射线做一条垂线， 那就是利用了一个非常基础的知识点，叫做点到直线的距离是垂线段最短，既为最小值。那么接下来我们来看一道例题，对应着这一二三四五六。 咱们先来看题。首先如图，四边形 a， b， c， d 是 菱形，且 ab 等于四，然后 ab， c 是 六十度， 那 m 为对角线， b、 d 上一个点 m 就是 一个动点 m 在 这移动，满足序号一，动点的移动轨迹是直线。第二， 最后问线段 am， am 在 这加上二分之一倍的线段 b m， 也就是满足线段 a 加上 k 倍的线段 b 这样的一个结构， 且 k 在 哪？零到一之间，二分之一当然在零到一之间，第二条满足，那么第三条直接跳过来看。第四条，构造， sine alpha 等于 k， 那 sine alpha 等于 k， 这个 k 是 二分之一， k 是 二分之一，所以 向量法要等于二分之一，向量法就是多少度，就是三十度。我们已经知道向量是三十度了，第四条就已经结束。第五条过令点向构造的射线做垂线。那这个构造的射线怎么去构造呢？这是一门技术活， 首先是要以 b m 为一个基础边，然后呢，以 b 点为三十度的顶点， 向这边做一条射线，那我为什么直接就将 bc 延长，难道这个就是三十度吗？当然这个就是三十度，因为这是一个菱形，菱形的对角线平分一组，对角原来是六十度，那么一半一半就各是三十。所以说这个三十度的射线如何去寻找？ 直接将 bc 反向延长即可。好，那么现在二分之一的 bm 是 谁？ 你就可以理解，二分之一的 bm 是 不是就是要过 m 做一个垂线形成的这个 n？ 众所周知，三十度所对的直角边是斜边的一半，所以 m n 其实就是二分之一的 bm。 那 现在 am 加上 m n， 它有折角吗？ 就来到了第六步，垂线段最短，直接过 a 点 做一条垂线，那么此时与 b d 相交的点即为最佳的这个 m 点，那 n 点当然也在这。如图所示， m n 仍就是二分之一的 b m。 此时 am 这段加上 m n 这段就一定是最短的了，因为其他都有折角，都会绕路。 那好，我们再来看一道，看一道它的变式训练。首先第一读题，三角形 a b c 中， a b 等于四角， a 是 三十度， d 是 a， c 上一个点动点好，那么 d、 c 又在移动， 而且移动的轨迹是直线。满足第一条问， a、 d 加上二倍的 d， b 这个二出现了，这个 k 是 在不在零到一之间，所以我们要进行倍数的调整，我们先要将 a、 d 加上二倍的 d， b 转化成为二倍的 d， b 加上二分之一 a d 啊，那这这个地方是不是就有二分之一了？好，我们就可以接着往下去做来看， d、 b 是 这条线，那么公共的节点是 d， 所以要以 a 这个节点去做一条射线。做一条射线，这个射线的夹角是多少度呢？我们要让 sine 而法等于二分之一，而法啊，还是三十度，所以我们就是要再做一个三十度的射线，这个夹角就是三十度。之后呢， 将已知点 b 点和所作射线进行垂直，那么垂直之后形成的这条绿色线段必定是最小， 那么所交的这个点必定是最佳地点。那我们过这边，我们比如说做一个 h 点吧，根据三十度所对的直角边是斜边的一半，那 h、 d 看 h、 d 是不就是二分之一的 ad 呢？满足二分之一 ad 这个结构，那至此绿色的线段就是我们所求的这个最小值，但别忘了前面还有个系数二， 所以绿色线段的二倍才是我们所求数据的最小值。那么今天胡不归问题是否听懂了呢？

瓜豆园来了，你要不要来挑战一下？先看题，三角形 a、 b、 c 里 a， c 是 定长六角 a， b， c 是 定角三十度点 b 是 动点，点 d 是 bc 的 中点，求 a、 d 的 最大值。哎，看着是不是就头大？解决这道题的方法有很多种，今天我们就用瓜豆原理来解决它。首先我们要明确瓜豆原理有三大前提条件， 定点、定角、定比。我们来对比这道题，逐一核对。我们把点 c 看做定点定点 c 到主动点 b 的 距离是 bc 比上 d， 点 c 到从动点 b 的 距离 cd。 因为点 d 是 中点，所以说它们两个之比横定是二比 一，又因为它们是在同一条直线上，所以说它们之间的夹角是零度。瓜豆的三大前提条件全部集齐。接着我们就要判断主动点 b 是 带着从动点 b 到底是在做直线运动还是在做圆周运动呢？咱们看题目条件，定角加定长， 主动点 b 很 明显就是在一个圆上运动，对吧？所以说我们要找到点 b 运动的圆弧的圆心。找圆心怎么找呢？还知道吧？先画出线段 a、 c 的 垂直平分线，那么圆心一定在这条垂直平分线上。然后我们又学过同弧所对的圆心角是圆周角的两倍。 所以说我们只需要在这条垂直平分线上找到一点 o， 使角 a、 o、 c 等于六十度，那么这个点 o 就是 这个圆的圆心。这样我们就把点 b 的 运动轨迹的圆心给找到了，顺势画出这个圆。接着我们在 c o 这条线上找到一点 e， 使 c o 比上 c e 也是二比一， 那么点 e 就是 c o 的 中点，你看 c、 b 比上 c、 d 等于二比一， c、 o 比上 c、 e 也是二比一，而且它们的夹角是同一个公共角。根据相似三角形的判定定律，两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形必然相似。虽然现在还没有构造出完整的三角形，但是我们已经能判断出相似关系， 所以说我们顺势而为，把这两个三角形补出来。小三角形连接 d、 e， 大 三角形连接 b、 o。 你 看辅助线，不是凭空乱连，而是根据相似自然就出来了。两个三角形相似过后，对应边乘比例，所以 d、 e 比上 b、 o 就 等于一比二。接着看三角形 a、 o、 c 角， a、 o、 c 等于六十度， a、 o 和 o、 c 都是半径，所以相等。 那么三角形 a、 o、 c 就是 一个等边三角形， o、 a、 o、 c 都等于 a， c 也就等于六， o、 b 也是半径，所以 o、 b 同样等于六。因为点 c 和点 o 都是定点， o、 c 又是定长，点 e 是 o、 c 的 中点，所以点 e 也是定点。又因为 d、 e 等于 o、 b 的 一半， o、 b 等于六，所以 d、 e 等于三。你看定点加定长，所以点 d 的 运动轨迹就是以点 e 为圆心， d、 e 为半径的一段圆弧。现在点 d 的 运动轨迹我们也找到了，把这个圆画出来，要求 a、 d 的 最大值，也就是我们常练习的一个知识点，一箭穿圆心 远端点就是最大值，也就是当点 b 带着点 d 转圈圈转到 a、 d 三点共线的时候， a、 d 取到最大值，就像这样。 那么怎么计算它呢？因为三角形 a、 o、 c 是 等边三角形， e 是 o、 c 的 中点，所以三线合一， a、 e 垂直于 o c， 用勾股定名计算， o a 等于六， o e 等于三， a e 就 等于三倍根号三。算出 a e 之后再加上小圆半径 d， e 等于三，所以 a d 的 最大值就是三加三倍根号三。此时如果题目改成求最短距离，你知不知道怎么求？

哈哈哈，本期视频咱们教一个中考的高频考点，同时也是易错点逆等线模型。那么首先大家需要了解什么叫逆等线模型。当题目里面出现运动方向相反、长度相等或笔直为定值的两条线段，那么这就是逆等线模型。 而逆的线模型呢，通常是用来求解两条交叉形线段和的最小值，一般分为两类，标准型和加全型。标准型即 b e 加 cd， 它前面系数都是一，那就是标准型加全型。咱们后期视频会有提到，接下来看一道具体的题目。等边在型 abc 边长为四 abac 上有两个动点 d 和 e， 且 ad 等于 c e， 求 b e 加 cd 最小值。此类问题，咱们的做法通常是构造全等三角形或相似三角形进行线段之间的转换。对此题而言，咱们可以选择 b、 e、 c、 e、 b、 c 三条边所在的三角形，去构造一个与它全等的三角形，进行 b、 e 这条线段的转换。那么接下来咱们可以选择过点 a 作 bc 的 平行 a、 f 使得 a、 f 等于四连接 f d， 此时因为 a、 f 等于 b c 角 f， a、 d 等于角 a、 c、 b 等于六十度 a、 d 等于 c e。 由 s s 可证得三角形 f a、 d 全等于三角形 b、 c、 e。 那 么根据对应面相等 b、 e 此时等于 d f。 问题进一步由 b、 e 加 cd 的 最小值转化为 d f 加 bc 的 最小值，那么这个时候大家会发现，当且仅当 f、 d、 c 三点共线式取得最小值。接下来咱们构造特殊三角形，过点 c 做 b、 c 的 垂线，同时延长 fa 交这条垂线于点 h。 此时啊，咱们很容易可以求出来 f h， 它垂直于 c、 h 前三角形 a、 c、 h 为三十度、六十度、九十度的特殊三角形。很简单可以知道，因为 a、 c 等于四，三十度绕所的角边等于斜边的一半， a h 等于二， c、 h 等于二倍根号三。又因为 a、 f 等于四，则 f a 等于六。因为在三角形 f、 c、 h 中， f h 等于六， c、 h 为二倍根号三。接下来啊，大家可以用勾股定律很轻松求得 f、 c 的 长度为四倍根号三。那么此题得到答案 b e 加 c d 最小值为四倍根号三。 此题为逆等线模型第一类，标准性做题方法，利用三一升等进行题目转换。这样看来，本题没有那么复杂，但是对学习数学而言，大家需要勤奋重负，大量的练习，一切就会变得 so easy！

这是一道中考几何最值压轴题，这道题考的还是不错的，我们先看看这道题它的一个基本的条件，三角形 a、 b、 c 中角 a， 这里是一百二十度， b、 c 的 长是十倍 啊，根号三， d、 e、 f 是 三角形三条边上的三个洞点满足三角形 d、 e、 f， 它是一个等边三角形， 我们的问题就是来求这个等边三角形它面积的一个最大值。那么通过读完题，我们应该感受得到这个图当中的这六个点， 只有 b、 c 两点可以看作定点，其他的这四个点， a 点、 d 点， e 点、 f 点，它其实是四个动点，那么我们如何在这四个动点当中来转化判断得到三角形等边三角形 d、 e、 f， 它面积的一个最大值呢？ 要解决这个问题，首先我们要解决要拆解两个基本的信息。第一个信息，由于我们的问题是要来求三角形 d、 e、 f 这个等边三角形它面积的这样子，那么等边三的面积它是可以关联到这个边长的，也就是等边三角形 d、 e、 f， 它的面积是等于四分之，根号三倍，边长边长。这里我们用一个 d、 e 来表示 d、 e 的 平方， 这就是任何一个等边三角形它面积的一个公式，它应该是等于边长平方的四分之根号三倍。这里我就不再来进一个细讲了，因为这个比较的简单，那么这是第一步，你要去求面积的最大值，最终要回到去求它边长的一个最大值上来啊，这是第一个基本的信息。 第二个基本的星期，我们看条件里面的这个角度以及数据角 a， 它是一个一百二十度，那么 d、 e、 f， 它是一个等边三角形，那么角 e、 d、 f 这里它就是一个六十度， 所以这里有一个对角互补模型，所以说四点 a、 e、 d、 f 它肯定是共圆的，这里我就不画圆了，因为非常的明显，直接连接这个 a、 d， 连起来之后可以得到一个与 a、 d 有 关的一个角度，那就是角 e、 a、 d， 它应该是一个六十度， 对不对？因为同弧所对的圆周角是相等的，所以这个地方可以得到第二个信息，角 e、 a、 d 等于六十度，其实也就是啊 a、 d， 它始终是啊平分角 a 的 好，这是我们通过审题之后得到的这两个基本的信息，接下来我们要通过这个基本信息来进一个逐步拆解，来找到啊这个面积的最大值和这个边长他的一个关联，应该在哪个地方可以让这个边长取得最大，然而这个地方你也可以看得出来， 这个看得出来什么呢？这个 d、 e 和 a、 d 他的一个关系，我们可以看得出来，这个角啊 a、 e、 d 啊，它里面，这里它是一个六十度，对不对？它肯定是大于角啊 e、 a、 d 的， 这个等于六十度，左边这个角 a、 e、 d， 它是大于六十度的，对不对？这个是非常的明显的，那么我们根据大角对大边，在三角形 a、 e、 d 当中肯定满足这个 d、 e 对不对？它应该是小于这个 a、 d 的， 它也可以等于这个 a、 d 等于 a、 d， 它就可以取得 d、 e 它的一个最大值，所以基于这一点，我们就可以把我们这个问题就来进行一个简单的转化，也就是三角形 d、 e、 f， 它的面积等于四分之根号三倍 d 的 平方，根据这个边长 d、 e， 它小于等于四分之根号三倍 a、 d 它的一个平方， 也就是我们通过这样的一个简单转化，把最终的问题的面积的最大值转化为求 d 的 最大值，那么 d 的 最大值又转化为求 a、 d 它的一个最大值，那么 a、 d 转换到这个位置来就非常的有利，为什么呢？因为这个 a 点它的运动轨迹，我们接下来可以来研究得到，它的轨迹是非常的明显的。好，我们接下来研究一下 点 a 的 轨迹，以及如何来求此时 a、 d 的 一个最大值。好， 这里我们简单的把基本的信息在写的这个地方，那个角 a， 它是一个一百二十度啊， bc 的 长它是十倍 啊，根号三，这个 a、 d 我 们刚刚已经研究了，它始终是平分角 b、 a、 c 的， 它左右两边是两个六十度，那么接下来我们要来研究 a、 d 在 什么地方它取得一个最大值，当然第一点这个位置呢？ a、 d 这条线呢？它是一个平分线，研究它的最大值离不开去关注 a 点它的运动轨迹是什么，对不对？由于角 a， 它是一百二十度啊，对边这个 a、 b、 c 的 长，它是一个定长十倍光色坐这里就是一个定角以及定长的问题，我们就可以把 a、 b、 c 这个三角形它的外接圆直接做出来， 做出来之后圆形这里我们可以标一个 o 点，连接 o、 b、 o、 c 这两条半径来进研究它的半径长度。根据原理的知识，我们可以简单的推到这个角 b、 o、 c， 它是一个 啊，一百二十度，由于 b、 c 的 长，它是十倍高三， o、 b 比上 b、 c 就是 一比高三，所以此时半径的长 o、 b， 它肯定等于这个十， 对不对？然后再来我们，我们怎么来？接下来我们来研究一下这个 a、 d， 它是平分角 b、 a、 c 的， 也就是 a、 d 的 左右啊。在三角形 b、 a、 c 当中， a、 d 的 左右，它平分的话就是两个六十度。那么这两个六十度在圆里面如何来进一个体现它的一个运动呢？ 这里方便来进一个找那个角平分线它是怎么运动的？我们可以在 b、 c 的 下方做一个等边三角形 啊，六十度，这里我们可以标一个 h 点啊，这里做一个六十度的啊，等边三角形，也就是 b、 c、 h 是 一个等边三角形。做等边三的目的我们就是来构造啊，同弧所对的圆周角是六十度，来找到 a、 d， 他 是如何运动的？这里我们直接连接 a、 h， 连接起来之后，很明显这个 a、 d、 h 这三点他肯定是贡献的，为什么贡献？因为 a 点这里他本来就是平分六十度， 然而你根据连接起来之后，同弧所对的圆锥角也是六十度，对不对？因为下边是一个 b、 c、 h， 它是个等边三角形，所以这里就可以来了解到 a、 d、 h 它肯定是共线的，并且可以看得出来这个 h 点它是一个定点， a 点的运动轨迹就是在 b、 c 的 这个烈火上运动，那么 d 点的轨迹就是 a、 h 的 连线与 b、 c 的 一个交点，对不对？那这个地方就非常的直观和形象，明白了，对不对？我们要来求 a d， 它的最大值应该在哪个地方来取得最大呢？为了方便来进一个观察，我们把 啊那个 o h 啊，半径以及直径给它做出来啊，上方这里我们可以标一个 q 点，对不对？好，因为什么呢？ 因为这个 a d 它应该是等于这个 a h 啊，减去这个 d h 的， 对不对？我们要求 a d 它的一个最大值，就来就来找 a h 减去 d h 它的一个最大值， 也就是要找 a h 的 最大， d h 的 最小，那么 a h 要取最大， d h 要取最小，很明显就是这两个要同时满足的话，也就是当 a h 成为 啊这个 q h 直径的时候就可以了，对不对？就非常的明显，对不对？在这个地方我们可以标一个 m 点，对不对？也就是此时这个 a d 等于 a h 减 d h， 它应该是小于等于这里的 q q m 的 非常的明显，也就是 a 点和 q 点重合， a h 成为直径的时候， a h 就是 最大， d h 它就等于 m h， 它就是最小，对不对？因为这里它 m d h 下方它是一个直角三角形，这里非常的明显，对不对？ 所以接下来我们只需要求啊 a d 它的最大值，也就是 q m 它的一个值就可以了，对不对？由于半径等于十， b c 的 长是十倍高三，那么这个 b m 的 长就是五倍高三，很明显，根据边的关系可以看得出来，此时啊， 我们就可以求得出来，这个 o m 的 长就是五嘛，对不对？上方 m q 的 长也就是一个五，对不对？所以 a d 它的最大值，它就等于啊等于五，对不对？所以根据前面的推理啊，三角形 啊， a、 d、 e、 f 它的面积，它应该是等于四分之根号三倍啊，这个 d 的 平方，它小于等于四分之根号三倍 a、 d 的 平方，那么这个 a、 d 平方，它又小于等于啊，四分之根号三 乘以啊，这个五的平方拿进来等于四分之二十五倍啊，根号三。 好，这个四分之二十五倍根号三，就是我们这个题当中啊，动态等变三角形 d、 e、 f 它面积的一个最大值， 所以这道题相对来说综合性还是有点强的，它不是让你直接来求它面积的一个最大值，在什么地方，它是需要有一定的 转化的，就是面积要转化到这个边长边长，再来转化到和 a、 d 的 一个关系，那么 a、 d 这个地方的最大值又来找到通过 a 点的轨迹这个圆来确定 a、 d 它的一个最大值的一个位置，所以这道题相对来说 还是有些难度，在转化上这个地方还是有些难度的。好的，这个题的方法就是这样，大家也可以参考一下。

学辅助线一定要学明白本质原理。比如说前面视频中，毕老师就给大家讲过二倍角本质原理是什么？说，我们见着一个角的两倍的时候，对吗？那我们就两种方案，嗨，那就是两倍跟一倍之间的关系，对吗？第一个方案，哎，大家咱就找角平分线， 哎，我大的是二倍，那每一个都是一倍，哦，二倍跟一倍的关系在这里面就有。第二个，咱就是造等腰三角形，你看， 如果你这是二法，我这是二法，咱还是等腰，哎，那么外角等于不相邻的两个内角，那不就是两倍二法吗？所以已知二倍角的时候就这么干，这是二倍角构造的本质原理， 哎，各位，但是这些都是让二倍取一半，主动去跟一倍相等，哎，那我倒过来呢，一倍，我怎么样变成两倍呢？这个太简单了，一倍角甭管它长什么样，你主动把它翻译一下，大家二倍 不就有了吗？毕老师，说清楚了没？好，那这道全校都不会的压轴题，咱又能轻松秒了，一起来看吧！ 说，已知条件，告诉我们， e 点是中点，然后这个角等于九十度，并且它等于这个家伙得两倍，哦，我是一倍， 这是两倍，毕老师，说清楚了吧？好，紧接着又告诉我们， c d 这边长等于十， a d 这边长等于十四。最后问， de 等于多长？大家是这个道理吧？ 哦，那我们来看一看。第一个，如果我已知二倍角造等腰呢？哎，各位，二倍角在这呢吧？啊，我把它延长一个十，然后这边装一个等腰。各位， 这两个一倍角，他跟他相等有什么好处吗？有全等吗？没有。有平行吗？没有。什么都没有，对吗？没好处。 毕老师说清楚了吧。那接下来我这道题，到底是二倍角造等腰，还是一倍角轴对称呢？各位，我们关键点就在于，你看哪个角在特殊的三角形中，因为根据特殊化原则，越特殊条件越多越好用。 大家，我这个一倍角是不是在这个直角三角形中？显然谁特殊？直角三角形特殊，那我怎么对称？哎， 我就把它延长一倍。延长了一倍以后，不就是把 b、 a、 c 给它 翻过来了吗？那翻过来以后，翻之前你是一倍而发，翻之后还是一倍而发，哎，这个时候你是两倍而发，剩这边还是一倍而发。哈，二倍角我就用好了。 不仅如此，你看你把它反过来，那边长延长了一倍呀。延长了一倍，也就是 a 点是 b m 的 中点，那 e 点呢？又是 b、 d 的 中点哦，中点，中点，中位线吧，也就是这条边哎，平行得它 一半啊。哦，你可是平行都有一半啊，那我现在倒角呢？平行很好用啊，因为平行再加角分线就会有等腰。三角哪来的？ 你是阿尔法，两直线平行内错角相等，我这就是阿尔法吧。那你是阿尔法，我是阿尔法，两个阿尔法相等，咱是不是就等幺三角形哦？等幺三角形，这边得十，这边就得十吧。不仅如此，咱俩平行哦，我这可是九十度的。那你这也是多少 九十度的哦，所以这个边长十四，这个边是不是就能算出来了？ 四倍根号六，勾股定律人人都会。那紧接着 a 点是中点，这一段是四倍根号六，这一段呢，也是四倍根号六吧，所以整个这个长的就是 八倍。根号六啊，那这段短的就是十。你想求 d e 我 不知道，但是 d e 的 两倍就是这个三角形的斜边，对吗？啊，所以斜边的平方就是两个直角边的 平方，和毕老师说清楚了吧？ ok？ 哎，这个东西算出来不多不少，刚好 四百八十四，所以一旦把它开方变成边长边长就是二十二，两倍的长得二十二，我这是终点，一倍长就等于十一，毕老师说清楚了吗？

想不了这道题，我们要学会刮豆原理。刮豆原理只需要记住两个条件，定角和定比。定角是指两个动点到定点之间的夹角是一个定值，也就是角 a、 p、 b 是 一个定值。定比就是两个动点到定点围成的这两条线段的比值 是一个定值，也就是 a p 与 b p 的 比值不变。只要能确定这两个条件，就能使用刮豆原理了。基础结论呢，就是两个动点的运动轨迹是一样的，因此我们只要知道一个动点的运动轨迹，就能知道另一个动点的 运动轨迹。点的运动轨迹有两种，直线和圆圆轨迹，可以在合集里找到。今天要解决直线形轨迹，假如点 a 是 在一条直线上运动的，那么点 b 的 运动轨迹也会是一条直线。 同时我们还能得到一个结论，就是这两条直线的夹角会等于定角，也就是角 a、 p、 b。 回到题目中，直接找问题， 求 c 距的最小值得题先标条件，菱形， a、 b、 c d 边长是四角， b 等于一百二十度， e 是 b c 的 中点，所以 b e 等于 e， c 等于二、 f 是 a、 c 上的动点，将 e、 f 绕点， 逆时针转三十度，因为 c 是 定点，要求 c 距的最小值。我们要先判断距点的运动轨迹，因为角 e、 f、 g 是 三十度， e f 等于 f g， 所以 f、 e、 g 呢，是一个三十度的等腰三角形， 所以角 f、 e、 g 是 一个定值。七十五度定角记得先写下来，最后求长度的时候会用到。因为是三十度的等腰三角，所以 f、 e 和 e、 g 的 比值也是固定的。确定了定角定底，那么就能用刮豆原理了。 因为 f 是 在直线 a、 c 上运动的，所以矩点也会在一条直线上运动。接下来要确定矩点所在的直线，我们可以先找几个特殊点，一般去找主动点的起点和终点。比如说当 f 运动到 c 的 时候，此时 ef 绕点 f 逆时针转三十度，就转到了大概这个位置。旋转角 e， c、 g 等于三十度， e， c 等于 c， g 等于二。这里直接连接题目给的原始点 g， 就 可以确定 g 点所在的直线。同时利用瓜豆原理的结论，两条直线的夹角会等于定角， 就是这个角是七十五度。直线确定后，求一个点到直线距离的最小值，做个垂线段就可以了。因为 abcd 是 菱形，所以角 a、 c、 b 等于三十度。因为内角和是一百八十度，所以角距等于四十五度。那么这是一个等腰直角三角形， 三条边比呢？是一比一比根号二，所以最小值就是根号二。