河北邢台近几年中考数学的卷子及答案

今天距离中考只剩下七十七天了，所以数学要想考到一百一十分以上，根本不需要死记硬背，今天我将用五分钟的时间帮你搞定二五年河北中考压轴题。二五年河北中考压轴题是一道二次函数的综合类型的大题，一起来通读题目。在平面直角坐标系当中，第一条抛物线经过 a 点和 b 点，顶点为 p， 第二条抛物线经过点 c， 这两条抛物线在第一象限的部分分别记做 l 一、 l 二。 因为求 b、 c 的 值及 p 点坐标，二次函数一般是当中的 c， 它决定了抛物线与外轴的交点，而我们能够看到刚才提到的抛物线 l、 e 经过 a， 零逗号三，那么零逗号三实际上就是这条抛物线与外轴的交点，那所以这里的 c 等于三。 再来看 b 的 值，那么 b 的 值，我们再来观察这两个点，坐标，一个是零逗号三，一个是六逗号三，它们的纵坐标是相等的，那所以横坐标的和除以二得到的就是对称轴，对称轴就表示为二分之零加六等于三。对称轴的公式又为负二一分之 b， 它的 a 是 等于负一，那就是负的负二分之 b 等于负三等于三，那么 b 就 能够等于正六。 有了 bc 的 值，我们就得到了抛物线 l、 e 的 极值。那么再来看让我们去求 p p 点坐标， p 点是抛物线 l、 e 的 顶点坐标，我只需要把对称轴 x 等于三代入，那么得到它的 y 值， p 的 坐标就有了。然后我们来看第二问点 d 在 l e 上到 x 轴的距离为四分之二十三，我们所考虑的图像全部在第一项线，所以实际上到 x 轴的距离表示的就是 d 点的纵坐标。 有了纵坐标了，我们自然而然把它带回到简易式当中，能求出它的横坐标来，那么求出了地点的横坐标，那么得到了它的纵坐标之后，再去判断它是否在 l 二上。通过计算，我们能得到两个 x 的 值，一个是二分之一，一个是二分之十一，所以得到地点的两个坐标。紧接着得到两个坐标之后，我们需要去判断 l 二是否经过这两个点。 那观察题目，我们发现 l 二是经过 c 点二分之一，逗号二的，那 c 点和 d 点的横坐标是一样的，当 x 值一样时，它俩的 y 值却不一样，所以我能判定它 l 二一定不过第一个点，那当它不过第一个点，也一定不会过第二个点。好，接下来我们主要来看一下第三问， 直线 a e， y 等于 k， x 加 n， k 和 n 都是未知的， k 大 于零，将 l 一 于点， e 点 m 在 线段 a e 上，且 m 的 横坐标是点 e 横坐标的一半。 我们来看图像，直线 a e 交 l， e 于 a e 两个点，并且 m 点的横坐标是 e 点横坐标的一半。那这句话并且结合图像，我们能得到，实际上它的意思是 m 点是线段 a e 的 中点。 所以通过中点坐标公式，我们不仅能得到它的横坐标是 a 点和 e 点横坐标之合的一半，同样能得到它的纵坐标，等于它俩纵坐标之合的一半。好，来看第一问，若 e 点和 p 点重合的话， m 点恰好落在 l 二上。根据我们刚才提到的， m 点实际上是 e 点和 a 点的中点，所以我们能够把 m 的 坐标写出来， 它的坐标就应该为二分之零加三，逗号二分之三加十二，即二分之三，逗号二分之十五。 那我有了 m 点的坐标之后， m 又恰好在 l 二上，并且已知 l 二还过 c 点了，那将这 c 点和 m 点两个点坐标带入到 l 二的极式当中，就能够求出 a 的 值来。 也就是这样一个过程，把 m 点和 c 点坐标带入到 l 二的极式当中，得到一个二元一次方程组，从而解出这个方程组的解来。那么由于题干当中只问到了我们它的 a 的 值，所以你的 d 的 值求不求都可以。最后来看一下第二小问，若点 m 为直线 a， e 与 l 二的唯一公共点，请直接写出 k 的 直来。按照以往我们做题经验，直线与曲线与抛物线有唯一公共点，我们只需要将两个函数极式连立，组成一个 方程组，然后用带入销元的方法得到一个关于 x 的 一元二次方程，让他的判别是等于零，就能够表示出差是唯一的公共点了。那么由于这道题目当中的抛线 r 的 解释当中， a 和 d 的 值都是不确定的，并且直线 a， e 当中直线 a， e 的 解释也是不确定的，所以我需要对现有的现有的信息进行整合。 再来看依次函数解释，也就是直线 a， e 的 解释， k x 加 n， 那 我们已知直线 a， e 过 a 点了， a 点的坐标有了，它的坐标是零，逗号三，所以就能够得到 n 的 值， n 就是 三，那么就把直线 a 的 解释变成了 y 等于 k， x 加三的形式。再来看二三角形，也是 l 二的抛物线，也是因为它过 c 点，所以我们能得到一个关系式。那么有了这个关系式之后，我就能够用 a 来表示 d， 那 么 d 就 等于二，减去四分之二十五 a， 所以 l 二的结式就变成了 y 等于 a 倍的 x 减三，扣起来的平方加上二减去四分之二十五 d 三，四分之二十五 a， 把它整理成一般式，就会变成 a x 方减六 a， x 加上四分之十一 a 加二。现在我们按照我们刚才提到的方法，将两个结式进行连立， 连立之后，利用代入消元法得到关于 x 的 一个一元二次方程。直线与起线有唯一公点，实际上就是我们得到的这个关于 x 的 方程有两个相等的实数根，实际上也可以表示为 y 等于这个函数等号。左边的这个函数与 x 的 交点坐标只有一个， 我们画一个大致逃脱，类似于这种，那所以它的解实际上就是当 x 为对称轴时所对应的。所以我们就得到 x 一 等于 x 二应该都等于负二，一分之 b 负，负得正，这是负的负，负得正，那么它就等于二， a 分 之 k 加六 a， 也就是 m 点的坐标为 二， a 分 之 k 加六 a。 由于 m 点既在 l 二上，也在 a e 直线上，所以我把横坐标带入到 e 函数解析式当中，就能到达。它的纵坐标应该是二， a 分 之 k 加六 a 再乘以 k 加三。 而我们又知道 m 点的横坐标是一点横坐标的一半，所以一点的横坐标也能得到，应该是 a 分 之 k 加六， a 同样一点在直线 a e 上，所以它的纵坐标应该是 a 分 之 k 加六， a 乘以 k 再加分。同样的一点也在 l e 直线上，所以我要把它带入到 l e 的 解析当中。带入 y 等于负 x 方加六 x 加三种。把一点坐标带入到抛物线 l 一 当中，我们得到一个这样的式子，记作式子一。又因为我们刚才提到了想要他们有唯一公母点，也就是刚才提到的这个关于 x 一 元二次方程，判别式等于零，那我们能写出第二个式子， 第二个式子即为式子二连立，这两个式子组成方程组，那我们能最后把它进行求解。解得有两组织，当 a 等于负一时， k 可能等于六，减根号十，根号五，根号十五。或者 a 等于负一时， k 等于六，加根号十五。那怎么去进行验证来舍掉一组值呢？我们可以把这两组值分别带入到 m 的 点坐标当中，通过验证，当 k 等于六加十五时， m 点不在第一项线，所以这组值我们舍掉，那么最后 k 的 取值是六，减去根号十五。

好的。

这是二零二零年河北省中考数学真题。下面我们先来看选择题的前五个。第一个， 如图，在平面内做已知直线 m 的 垂线，可做垂线的条数有多少条？这道题考察的是垂线的性质，呃，如果他有指定的某一个点过这个点做垂线的话，那么只有唯一的一条，可是这里没有指定，所以就是可以做无数条， 所以这道题选 d 啊。墨迹覆盖的这部分，问他的符号是什么？ x 的 三次方， 什么 x 等于 x 的 二次方？根据我们学的乘法的公式，应该是 a 的 m 次方，除以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 减 n 次方，所以这是除号，所以这个地方应该是除号。第三个， 问，从左到右，哪个属于因式分解，哪个属于整式乘法？我们看第一个从左边，这是一个多项式，变成了两个单向两个因式相乘的形式。第二个，这是从两个因式相乘变成了一个多项式，所以第一种叫做因式分解。 第二个叫做整式乘法，它是属于乘法运算，所以选 c。 好。 再看第四个， 如图的两个几何体，分别是由七个和六个小正方体组成的，其实我们也都能看出来，他画的非常的清楚啊。比较两个几何体的三式图，首先我们先看他的主式图， 主视图看起来都应该是一个田字，所以主视图是相同的。好。再看俯视图，哎，俯视图从上面看起来他也是一个田字，这个从上面看起来也是一个田字，所以俯视图也是相同的。再看左视图， 从左面看起来也都能看到田字，也都能看到田字，所以左视图也是相同的，所以这道题是三个都是相同的。好，接下来看第五题。 第五题说小颖前三次购买苹果的单价如图所示。第四次又买的是 a 元每千克。好，发现这四个单价的中位数恰好也是重数。问， a 是 什么？好，这道题考察的就是咱们常见的几个 统计量中位数和重数。好，我们从图当中发现，他其实前三次买的苹果分别是六千六元每千克、八元每千克和九元每千克。最后一次买的苹果是 a 千克， a 元每千克。那么，呃，我们现在由于还不知道 a 是 具体的多少钱， 那么他的中位数和种数是相同的。由于前面六八九都没有相同的，所以要想有唯一的种数的话， a 必须和六或者和八或者和九相等。那么六六八九六八八九六八九九。这三种情况下， 嗯，都会出现唯一的一个中数，这种情况下的中数是六，这种情况下的中数是八，这种情况下的中数是九。又由于中位数和中数是相等的，那就只有这种情况。因为六八八九找的 中位数应该是八和八的平均数还是八，所以和它是相等的。所以第五题选二 b。

好，继续来看，这是第二十题。嗯，第一问比较简单，二分之负九加五，这个结果是负二。说，如果再添一个负整数 m， 且这三个数 的平均数仍小于 m， 这三个数的平均数仍然小于 m， 求 m 的 值。好，那么求平均数的话，就是负三加五加 m 仍然 平均数，就是除以三仍然小于 m。 好， 这是一个不等式。第二个不等式 m 是 一个负整数吗？首先他必须要小于零，解这两个不等式。最后综合一下，就是 m 大 于负二小于零， 然后满足条件的负整数，所以这样的负整数只有一个，就是负一，所以正确答案就是负一。好，接下来看二十一题。 说有一个电脑程序按，每次每按一次按键就会在 a 区自动加上 a 的 平方，在 b 区自动减去个三 a。 他 为了说明 刚才的这个程序，下面又举了两个例子。好，不再说了，我们看第一个。第一问，从初始状态开始按 a 的 初始状态是二十五， b 的 初始状态是负十六，按了两次，那么在 a 的 基础上就要加两次 a 方，整理一下，那就是二十五加二 a 方对于 b 来说，在它的基础上需要连续减两次三 a， 那 不就是减了六 a 吗？ 所以 a 最终的结果是这个， b 的 结果是这个，这是第一问。接着我们看第二问，从初始状态按四次后 求呃 ab 两个代数式的和好。我们先来看一下，按四次以后， a 其实是在二十五的基础上加了四个 a 方， b 其实是在负十六的基础上减了三 a 的 四倍，那就是负十六减十二 a 最后不是还要求他两个的代数和吗？所以 a 加 b 其实就等于这两个式子的和。我就不写太详细的过程了，最终加完的结果就是，四 a 方减十二 a 加九， 让我们判断这个和有没有可能是负数，以及为什么。首先他这种问法就让我想到了，哎，这个是不是能够写成一个平方数啊？他是不是可以写成谁的平方呢？我们再认真观察一下这个格式，他符不符合首平方，尾平方 g 的 二倍在中央呢？ 最后我发现他手是二 a 的 平方，呃，尾是三的平方，所以恰好符合二 a 减三啊，中间是二 a 和三的积的二倍啊，所以我发现恰好符合二 a 减三的平方这么一个格式。由于他写成了平方的形式， 因为二 a 减三的平方，他一定会是大于大于等于零的，所以 a 加 b 也就意味着 a 加 b 的 结果也一定会大于等于零。所以也就意味着啊， a 加 b 的 和不可能为负数， 不可能为负。然后这道题啊，请呢计算他们的和，好，我们计算了，然后请判断这个和为负数吗？所以咱们最好写上一下和，在前面答一个，和不可能为负数， 不可能为负，哎，然后最后再写理由，最后再写一遍， a 加 b 的 和不可能为负。

各位朋友们，大家下午好，咱们今天继续讲述河北省二零二五年中考数学试卷。看第十三题计算二 a 方加四 a 方。 本小题考察的是整式的加减，也指合并同类项。合并同类项指把系数相加减，字母和字母的指数不变啊。本小题应该等于啊， 只把系数相加减二加四过来的 a 方，字母和字母的指数变，最后结果等于六 a 方， 最后结果等于六 a 方。 看第十四小题。平行四边形一组，邻边长分别为三和四，一条对角线为 n 的 n 为整数的 n 的 值可以为。咱们看这图， 在平行角形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 是 三， a、 d 是 四， b、 d 是 对角线 a、 b、 d 正好构成了个三角形。根据三角形的性质，两边之和 大于第三边，两边之差小于第三边。说 n 应该大于两边的差四减三，小于两边的和， 所以 n 就 大于一，小于七。因为 n 是 整数，所以 n 的 取值是二、三、四、 五、六。这五个数随便选一个就行了，也可以是二、三、四、五、六随便选一个就行。 咱们看第十五小题小题甲、乙两张等宽的长方形的纸条，长分别为 a、 b。 如图，将假纸条的三分之一与纸条的五分之二叠合在一起，形成长为八十一的纸条，则 a 加 b 为。本小题考察的是二元一次方程组。第七解法 有提议，咱们可以知道，假纸条的三分之一和乙纸条的五分之二重合，说明三分之一 a 它等于五分之二 b。 再有由图可以看出， a 加上五分之三 b 它等于八十一啊，或者是 b 加上三分之二，或者是 b 加上啊， b 加上三分之二， a 也等于八十一啊。这两个取一个就行了， 加五分之三 b 啊， a 加五分之三等于八。是结这个方程组得啊，结得 a 等于五十四， b 等于四十五，所以 a 加 b 等于九十九。

今天我们来看一下二零二六年河北中考数学压轴大猜想。第一部分，依次函数变，那么我为什么先从依次函数开始呢？因为我们所有的图形都是由线所构成的，而所有的线我又都可以用依次函数来表示， 所以说我通过一次函数的表达式，再利用很多公式，我就可以进行相关的计算以及证明。那么我认为更重要的就是一次函数里藏着一个核武器，这个关键时刻是可以保命的，甚至救你命的。 所以我们先对一次函数的知识点来做一个大梳理。首先我们来看一次函数的表达式与图像，一次函数它的表达式就是 y 等于 k， x 加 b， 那 么在这里面 k 我 们在初中阶段是不做要求的，也就是说它的真正是名称叫做斜率，也就是直线的斜率，有的老师会提，有的就称它为比例系数， 而这个 b 呢，他对应的是拮据，也就是直线在外轴上的拮据。 其实我更习惯于称他，为什么呢？他是直线与外轴的焦点纵坐标， 也就是说你这个 b 他 对应的，比如这是三，那么这个就应该是 y 等于 k x 加三，如果这个点他的纵坐标是负四，那么这个直线他其实就是 y 等于 k x 减四， 这就是一次函数的表达式，还有他最基本的一个图像。那么接下来我们来看这个斜率的问题， 虽然我们在初中阶段不对这个做很深的要求，但如果我们要是掌握了关于斜率的一些知识的话，那么他会极大的提高你的这种计算速度，以及你解析的这个速度，特别是在选择填空或者是大题的一些运算里面， 那么斜率到底是什么呢？其实所谓的斜率，他指的就是一个直线的倾斜程度， 那么直线的倾斜程度也就是直线与 x 轴正方向的夹角。注意啊，这个是我把它进行了一个简单的描述，我是称它为直线与 x 轴正方向的夹角， 既然他是一个角度，那么我们来看这个角就是阿尔法角。那么我在上面如果任意选两个点，假设 a 点和 b 点的话， a 点 b 点，那么我设 a 点的坐标为 x 一 到 y 一， b 点的坐标 x 二到 y 二。你看我们学了三角函数，我们知道对于一个角度而言，它的正切值，也就是说 tangent 阿尔法，那这里面这个 tangent 阿尔法， 他知道阿尔法应该是什么呢？你来看，把 a 点，他的横坐标我表示出来，纵 b 点的横坐标 x 二，那么对应的 a 点的纵坐标也就是 y 一 和 y 二， 然后我把它进行一个延长相交，这个地方一定是垂直的。 假设交于 c 点，那你会发现里面这个贪婪的阿尔法，它其实就等于 b c 比上 a c， 那 么这个正切值也就是我们所说的这个斜率 k， 那 么 bc 又等于什么呢？你看我们利用数值方向这两点间的距离公式，那么这个 bc 的 长度是不就应该是这个 y 二减去 y 一 啊？ 同理，下面 a c 的 长度，这一段的长度也就是 x 二减去 x 一， 这就是我们所说的斜率的公式。那么对于这个公式我们要注意，你用 y 二减 y 一， 那么下面就必须是 x 二减 x 一， 当然如果你说我变成 y 一 减 y 二行不行？ 当然可以，但是下边你必须保证它的顺序是一样的， x 一 减 x 二，也就是说这里面我们其实并不是真的选择这个线段的长度，而只是在利用坐标， 所以说这个值它有可能大于零，有可能小于零。那么当 k 大 于零的时候呢，我们会发现它这个夹角它其实就是一个锐角， 那么 k 要是小于零呢？也就是变成了这样一种形式， 那这个时候如果它小于零， k 小 于零的时候，这个角你会发现它是一个钝角，也就是说这是我自己总结出的一个 小小的技巧啊，你可以按照这个方法去记一下，但一定要注意这个夹角是什么？是与 x 轴直线与 x 轴正方向的夹角是正方向啊， 我们掌握了这个斜率公式之后，你会发现任意两点，你只要知道它的坐标，比如说二到七，然后我就知道一个 b 点，它的坐标是三到负二。 一定要注意啊，我们按照这种纵向排列两个点，为什么？因为你这个斜率公式，它是坐标之间的减法，所以说你这样来排列的话，你会发现 k a b 是 多少啊？ 你直接就可以很轻松的写出来，用 y 减去 y 二， y 一 减 y 二，那七减负二，是不就应该是七减去负二，其实就是九， 然后接下来下面呢，你是 y 一 减 y 二，所以下面我就用 x 一 减 x 二，也就是二减三，所以出来它的奇率很快就计算出来应该是负九， 然后有 k 了。那你这个直线设为什么？你是不是就可以设成 y 等于负九 x 加 b 啊？你再选其中任意一点，把它一带入，你把这个 a 点或者 b 点带入都可以，这个直线解析式就很快求出来了。 那我们初中主要要求求直线解析是用的是待定系数法，你会列出两个方程，比如说 k f 加 b， 把 a 点带入，再把 b 点带入。注意，这个时候我们在计算的时候就不用去解这个二元一次方程组了，你只需要写出两个字，解得， 然后再按照我们的斜率公式，把 k 和 b 把它都求出来就可以了，这个速度就会快很多。好，这是斜率的问题。那么接下来我们来看一次函数的增减性与最值的问题。 在上面我们提到了 k 大 于零这个夹角，他一定是一个锐角，那么这个时候我发现这个直线他与 x 轴的正方向，他形成的是一个上坡， 这个我们称它为增函数，也就是说对于这条直线而言，它的 y 是 随 x 的 增大而增大， 随着 x 的 减小而减小，也就是说它其实是什么方向啊？你会发现它其实一个同向的。注意啊，我特别特别强调的，这是和 x 轴的正方向，这是一个上坡。同样，这是我自己个人总结的一个小技巧。 那么你再看，当 k 小 于零的时候呢？那么相对于正方向而言，他这是不是就构成了一个下坡呀？那既然下坡，那是上是增，那下就应该是什么呀？自然就是减函数了。 那么对于减函数而言，他的特点就是 y 随 x 的 增大而怎么样减小， 那么如果 x 要减小，那 y 自然就增大了。所以说我们他我一般来说是称他为反向， 这都是个人总结的一些小技巧啊，每个人根据自己的情况，自己来灵活的掌握，这是对于函数的增减性。接下来我们来看最值的问题， 既然他是一条直线，所以他就可以向两边无限的延伸，那就没有最值。那什么时候有最值呢？也就是说，比如说我取 x 在 这的话，这是 x 一， 那么这个是 x 二， 你当 x 的 取值它是大于 x 一， 小于 x 二的时候，比如说我再取上等号吧， 那么他对应的 y 其实就应该是什么，你看 x 一 在这，他对应的 y 在 哪？是不？这个地方就应该是 y 一 啊，然后 x 二对应的 y 值，这就应该是 y 二， 那你会发现此时的 y 他 最小就是在外一这个点，也就是 y 要大于等于 y 一， 小于等于 y 二。 所以说我们所谈的这个函数的最值问题，一定要怎么样结合 x 的 取值范围，只有 x 它有一定的取值限制的时候，这个时候我们才能够去谈这个所谓的最值问题。 当然这个主要在一次函数的一些实际应用里面，比如说这个运货问题啊，或者是也就是所谓的运费，还有这个销售的问题，以及这个电费、水费的问题啊。这里面我们通常会涉及到一次函数的最值问题， 那么接下来我们再来看依次函数和不等式的问题，两个函数如果要是相交的话，注意这里面这个所谓的不等式。在实际考题中，通常我们运用的是，比如说 l 一， 它对应的是 y， x 一 加上 b 一， k 一 x 一 加上 b 一， 然后 l 二对应的解析式呢？我们称它为 y 二 等于 k 二， x 二加上 b 二，那么对于这两个函数而言，他有可能会问你 k x 一 加上 b 一 大于 k x 二 加上 b 二，其实他是什么意思？是不就是问你 y 一 大于 y 二的情况？ 那么对于这种，我们一定要注意直接写出答案。怎么写呢？你对应的这个 y 一 其实是谁？是不就是这个 l 一 这条直线啊？ 那么我们对应的 y 二其实就是这条直线，那么这两条直线他会有一个焦点，我这个就直接把这个擦掉，直接利用他这个焦点了。 也就是说，对于此类题，我们一定要先找到这个焦点，你看一下这个焦点他所对应的 x 取值， 我们找到这个焦点，然后你看只要 y 一 大于 y 二，那是啥意思？也就是 l 一 在 l 二的上方， 那么前提我要先找到什么交点？交点也就是他们两个的一个分界线，那么交点我找到了，假设这个点他对应的坐标是 a 的 话，那你看什么时候他的这个 y 一 在外二的上方啊？ 是不就是在 x 大 于这个点，也就是在这个范围内啊？那很明显 x 要怎么样大于 a， 同理，如果下方呢？是不对应的就是这一部分啊。所以说对于这种不等式的问题，第一步我们要找焦点， 那么我们再隐身一下，如果再给出一个具体的范围限制，我说 y 一 要大于 y 二，而且还必须得小于零， 那你就要找了 y 一 y 二，你看对于 x 轴而言， x 轴在这，什么时候 y 是 小于零的？是不全部都在 y 轴的负半轴啊，那在这个负半轴这一部分， y 都是小于零的，那你就找呗，哪块啊？这个点，还有这个点， 这都是小于零的，对于 x 而言，而此时我又要让 y 一 在外二的上面，那是不是只有这一部分呀？这是 y 二，这一部分就是 y 一， 所以说你看我自己，当你自己可以自己随便画一个点啊。当 x 大 于 a 的 时候，如果你要比 a 大， 那么在这一部分 y 一 永远都大于 y 二， 但是要求是什么？你还要让他们两个都怎么样？小于零，哪部分小于零呢？是这个点还是这个点呀？那你自己画一下呀，你看我如果要是取这个点的话，我在这做一条垂线，那你会发现这个时候外衣怎么样了， 是不就大于零了？这个与已知条件就矛盾了，所以说两个都小于零，那只能在哪？这个点。假设这个点是 b 的 话，所以我得出来的 x 取之，就应该是既要比 a 大， 又要比 b 小， 那么在这个范围内既满足了。你看在这我再取一点的话， 这个 y 二是不也是小于零，那么他对应的这个点，也就是 y 一 也是小于零的，所以说一定要结合图像去找焦点，那么这个焦点怎么找？这个焦点找什么焦点？其实就是两个，第一个是直线的焦点， 第二我们要找什么？我们要找与 x 轴的交点，因为你要找的就是 x 的 取值范围，所以你既然要找，一定当然要去找这个直线与 x 的 交点了。 这是一次函数与不等式的问题，那么接下来我们看一次函数的交点和定点的问题， 对于一次函数的焦点与定点问题，这个相对来说定点呃，焦点比较简单，定点相对复杂一点， 所以说呢，我们放在下一个视频在和这个一次函数的平移翻折以及面积问题，实际应用问题，还有与几何模型的结，结合我们放在一起来讲。

这么近，那么美。周末到河北了，给河北的兄弟们安排两道题，明天咱们看二四年的这河北省的二十六题，这个题和往年还不太一样。我天，我就算了好几页这样草稿纸，最后发现不用算了， 咱们看看啊。他说四零，既然不四零，我们就可以把四零带进去，也就是，呃，十六 a 减去八等于零，所以小 a 呢，二分之一非常好算，然后顶点坐标小 a 得二分之一了。理解式就是 y 等于二分之一， x 方减二 x， 所以 顶点坐标我们就可以求出来，横坐标是 二，横坐标一带进去得负二。第一问小 a 的 值和整数坐标，非常简单，跟以往一样。第二问呢，两个猜想，一个是佳佳说的， 说 q 向左平移两个单位长度点， q 已经有了，向左移两个格就变成了，向左移，两个格就变成零圈。 佳佳说零负二一定在 c 二上。琪琪说呢， c 二通过一个定点，那咱们就验证一下呗。定点问题啊，如果把这个 c 二展开化简，是吧？求定点问题咱们专门讲过，所以把它变成关于 t 的 式， y 等于负的二分之一， x 方 加上 x， t 减去二分之一， t 方减二。 改约了，改约了以后我又这一项有 t， 是 吧？找到了关于 t 的 式子。那么要想和 t 无关， x 得得零啊，总算也知道 x 零， y 等于负二，所以说它永远过定点零负二，所以这两个同学说的都对。 第三问，第三问的时候让 t 得四了，所以难度应该也不大。第三问的时候让 t 得四，咱们把 t 等于四带进去就可以了。此时 c 二的解析式，也就是 y 等于负的二分之一倍的 x 减四，括号的平方加上 六得四，那么点 q 做六， 此时就四六，那么 p q 的 解析式当然很好办了。我们算一下 p q 的 解析式，这个是二负二，也就是八除以二得四，所以 k 得四， y 等于四 x， 然后再把四六带进去，求出来 b 应该等于负十。 没错，所以呢，第一问是 p q， 咱们直接求出它。第二问做直线 l 平行于 p q， 当 l 与 c 二的交点是六的时候，求它与 x 的 交点的和同高。 那么要想距离是六呢？本来应该是有四个点的，我们想最多可能有四个点，但是我们刚才已经知道点 p 就是 四六了，所以上面没有，没有。你一定是让纵轴标和负六的时候 才能到 a 轴，距离是六，因为上面如果你直线过点 p 的 话，那不就跟 p q 重合了吗？咱们说的是直线，然后跟它平行，所以那两条平行线一个得过纵轴标是负六的点，这也得过，这平行了， 这边也得过这，嗯，是负六的点。所以咱们得先让抛物线的重坐标得负六，也就是让这个式子得等于负六。咱们算一下，等于负六，也就是 x 减四的平方等于负十二乘二二十四，所以 x 应该等于 x 减四，等于正负二倍根号六，所以 x 等于四加减二倍根号六。这是这两个点的横坐标。 现在呢，横坐标有了，横坐标有了我们，我们纵坐标不是负六吗？比如说这个点是这个纵坐标都是负六， 这样子就可以求这两条直线的积式。本来直线是 y 等于四， x 加 b 是 吧？咱们得求这个 b， 我 把这点代你们，也就是十六加减八倍根号六，加上 b 等于纵坐标负六， 所以这个小 b 算出来应该等于移过去十六，移过去负的二十二，再加减八倍根号六。两条直线的 b， 所以呢， y 就 得等于 四， x 加 b 就是 减二十二，加上加上或减八倍根号六。我们不是求这条直线和 x 轴交点的横坐标吗？跟 x 轴交点就得让 y 等于零， 此时算出来 x 就是 横坐标。咱们这个就比较好算了， x 就 得等于四分之二十二，加减八倍根号六， 一约分就等于二分之十一，加减四倍根号六。到目前为止，到这个二到第三问的最后，应该对于 呃学习的同学来说，难度都不算大，这个计算量也不算大。关键最后一问，咱们看一下。最后一问，最后一问我得算个四十来分钟， 他说什么呢？说这 c 一 跟 c 二有两焦点是 ab， 然后呢，横坐标分别是 x a、 x b， x a 小 于 x b， 就 告诉你 ab 是 不是在这这个。然后点 m 在 c 一 上，点 m 在 c 一 上，而且横坐标是二到 x b， 所以 点 m 得在这个区间内，点 n 得在 c 二上，而且横坐标是 x a 到 t。 点 p 的 横坐标不是 t 吗？那有解析式，点 p 的 坐标永远是横坐标是 t， 纵坐标是二分之一， t 方减二。所以说呢，也就是说点 n 得在这边 点。在这个人说了，当点 m 到直线 t q 距离最大的时候，而且最大是 d， 点 n 也到它是 d， 它就含有 t 和 m 的 式子，表示 n。 这个我一开始就想连 t 是 个常数啊，所以说我们要想让点 m 到它距离最大，那就是得平移这条直线，让它和抛物线的这边相切的时候， 你正好是切点，所以这是叮当的，我算了得半个多小时，你要相切呢？可以，因为咱们这个 k 你 也可以表示啊。点 q 不是 二负二吗？上面求的，所以我就含有气的式子表示个 k， 所以 以后就 k s 加 b， 再设个 b b m 是 吧，它相切算得等于零，算完之后我确实能表示，关键我出来那俩式子，你看最大最大是一个，这个 削一个参，然后最大削一个参，比例相等，肯定还能削个参呢。我本来以为是这样的两个式子，从而罗出 t m n 的 关系，但是罗罗然削不动，也没有啥特点。算了很长时间，后来我发现其实出题人可能不太想让算。 我想起来第一问，求完了，这个小 a 应该等于二分之一，这个 c 二的小 a 不是 等于负的二分之一吗？ 所以说通过后来也是因为算，实在是算不动了。关键他以前河北省这个题都是考的纯代数，别说纯代数，几何式用的很少，都是得要求学生有一定的计算量，所以我做这个第四问，我完全没想到他这个变了，这家伙 竟然像咱天津一样考的这个几何。所以说呢，来我实在算不动了。算了四十来分钟，我发现没有什么特点，算，算不动了。以后呢，观察一下，这俩天都是二分之一， 也就是说，其实这个抛物线和 c 一 跟 c 二的形状是一样的，它就是先关于按头对称，然后再平移位才能得到这样，所以说这两条抛物线一定是关于某一个点成中心对称的， 因为你转完一百八十度，你不管怎么平移，它都得中心对称，而且呢，题里还告诉俩顶点，所以这个 p q 的 终点，比如叫点 k， 这个点 k 就是 两个抛物线的对称中心， 你这个 m 到它的距离对，呃，得 d， n 到它的距离不也得得 d 吗？其实 n 这边也得是相切的。 说白了，人家出题的人为什么告诉你点 m 到它距离最大呢？人家告诉你最大你才能做人，要不告诉你最大，你没法做，怎么没法做呢？如果他没说最大，那你平移以后 就会有两个 m， 当然距离一样，那边就有俩 n， 那 你说你是要这样的 m n 呢？还是要这样的 m n， 对吧？你不是要 m n 的 关系吗？所以在这个题里，这个人家专家出题非常严谨，说了 m 和 n m 得到它距离最大，也就说你直线在平移的过程中得平移到相切的时候，你这头只有一个 m， 那 边也只有一个 n， 表达了什么呢？ m 跟 n 不是 距离相等吗？所以点 m 和点 n 恰好也是一对对称点。哎，这本来左边这一段弧和右边这一段弧就是抛物线的弧，它们就是中心对称的。嗯， 那两边就只有一个点了。所以咱们用中点坐标公式，一秒完了。点 m 的 横坐标是小 m， 点 m 加 n 除以二，一定得等于 p 跟 q 的 终点的坐标公式，也就是 t 加二除以二， m 加 n 等于 t 加二。所以说，直接用含有 t 和 m 表示 n 的 话，那小 n 就 得等于 t 加二减 m， 你 说它难吗？其实挺难的，因为之前咱这 河北省好多种考题，就是计算量很大，你得三思算。所以说河北的，人家河北省的学霸们，他这个代数底蕴还是非常雄厚的。如果真的像我似的算半天完了交卷了，结果这一年考的是一个 中心对称啊，非常的巧妙，得看什么时候你说这题要放在某些省市，他总是以几何为难点，这题就有点简单。但是放在河北省的话， 确实对学霸们这个考场应变能力要求比较高。我感觉河北省这个中考确实高水平。

今天我们来看一道七年级的化整法解方程问题，看这个方程， 零点三， x 减零点四，除以零点二，加上二等于零点五， x 减零点二，除以零点三， 好多小数，那小数的时候在计算时候比较麻烦，容易出错，所以我们把它化成整数啊，系数我们来看一下， 嗯，这里面只有一位小数，所以我们整体给它乘一个十就可以了啊。乘一个十，那就是上下分数，上下分子分母同时乘以十，大小是不变的，那就变成了三， x 减四除以二， 这个是整体，它不变，所以这个二是不用乘十的，它是不动的，后面也是把它变成跟它等值的，变成五， x 减二除以三， 分子分母同时除以乘以十，它是不用变的啊，那么在后面就简单了啊，同分就可以了，同分的话变成一个 最小公倍数是六，最小公倍数就变成六倍的，这乘三九， x 减十二，这也要通分啊，这个不要忘了，加上一个十二， 这乘二的话，十 x 减四，那就变成九， x 等于一个十， x 减四， 那很明显呢， x 等于四。化整法遇到小数的时候是这样去解决问题的，一位小数，那乘个十，如果是两位小数乘以一百，以此类推。

今天我们来看一下二零二六年河北中考数学压轴大猜想。第一部分，依次函数变，那么我为什么先从依次函数开始呢？因为我们所有的图形都是由线所构成的，而所有的线我又都可以用依次函数来表示， 所以说我通过一次函数的表达式，再利用很多公式，我就可以进行相关的计算以及证明。那么我认为更重要的就是一次函数里藏着一个核武器，这个关键时刻是可以保命的，甚至救你命的。 所以我们先对一次函数的知识点来做一个大梳理。首先我们来看一次函数的表达式与图像，一次函数它的表达式就是 y 等于 k， x 加 b， 那 么在这里面 k 我 们在初中阶段是不做要求的，也就是说它的真正是名称叫做斜率，也就是直线的斜率，有的老师会提，有的就称它为比例系数， 而这个 b 呢，他对应的是拮据，也就是直线在外轴上的拮据， 其实我更习惯于称他，为什么呢？他是直线与外轴的焦点。纵坐标， 也就是说你这个 b 它对应的，比如这是三，那么这个就应该是 y 等于 k x 加三，如果这个点它的纵坐标是负四，那么这个直线它其实就是 y 等于 k x 减四， 这就是一次函数的表达式，还有它最基本的一个图像。那么接下来我们来看这个斜率的问题， 虽然我们在初中阶段不对这个做很深的要求，但如果我们要是掌握了关于斜率的一些知识的话，那么他会极大的提高你的这种计算速度，以及你解析的这个速度，特别是在选择填空或者是大题的一些运算里面， 那么斜率到底是什么呢？其实所谓的斜率，它指的就是一个直线的倾斜程度， 那么直线的倾斜程度也就是直线与 x 轴正方向的夹角。 注意啊，这个是我把它进行了一个简单的描述，我是称它为直线与 x 轴正方向的夹角， 既然他是一个角度，那么我们来看这个角就是阿尔法角。那么我在上面如果任意选举两个点，假设 a 点和 b 点的话， a 点 b 点，那么我设 a 点的坐标为 x 一 到 y 一， b 点的坐标 x 二到 y 二。你看我们学了三角函数，我们知道对于一个角度而言，它的正切值，也就是说 tangent 阿尔法，那这里面这个 tangent 阿尔法， 他知道阿尔法应该是什么呢？你来看，把 a 点，他的横坐标我表示出来，纵 b 点的横坐标 x 二，那么对应的 a 点的纵坐标也就是 y 一 和 y 二， 然后我把它进行一个延长相交，这个地方一定是垂直的。假设交于 c 点，那你会发现里面这个贪婪的阿尔法，它其实就等于 bc 比上 ac， 那么这个正切值也就是我们所说的这个斜率 k， 那 么 bc 又等于什么呢？你看我们利用数值方向这两点间的距离公式，那么这个 bc 的 长度是不就应该是这个 y 二减去 y 一 啊？ 同理，下面 a c 的 长度，这一段的长度也就是 x 二减去 x 一， 这就是我们所说的斜率的公式。那么对于这个公式我们要注意，你用 y 二减 y 一， 那么下面就必须是 x 二减 x 一， 当然如果你说我变成 y 一 减 y 二行不行？ 当然可以，但是下边你必须保证它的顺序是一样的， x 一 减 x 二，也就是说这里面我们其实并不是真的选择这个线段的长度，而只是在利用坐标， 所以说这个值它有可能大于零，有可能小于零。那么当 k 大 于零的时候呢，我们会发现它这个夹角它其实就是一个锐角， 那么 k 要是小于零呢？也就是变成了这样一种形式， 那这个时候如果它小于零， k 小 于零的时候，这个角你会发现它是一个钝角，也就是说这是我自己总结出的一个 小小的技巧啊，你可以按照这个方法去记一下，但一定要注意这个夹角是什么？是与 x 轴直线与 x 轴正方向的夹角，是正方向啊， 我们掌握了这个斜率公式之后，你会发现任意两点，你只要知道他的坐标，比如说二斗七，然后我就知道一个 b 点，他的坐标是三斗负二。 一定要注意啊，我们按照这种纵向排列两个点，为什么？因为你这个斜率公式，它是坐标之间的减法，所以说你这样来排列的话，你会发现 k a、 b 是 多少啊？你直接就可以很轻松的写出来，用 y 减去 y 二， y 一 减 y 二，那七减负二，是不就应该是七减去负二，其实就是九，然后接下来下面呢，你是 y 一 减 y 二，所以下面我就用 x 一 减 x 二，也就是二减三， 所以出来它的奇率很快就计算出来应该是负九，然后有 k 了，那你这个直线射，为什么？你是不是就可以射成 y 等于负九 x 加 b 啊？ 你再选其中任意一点，把它一带入，你把这个 a 点或者 b 点带入都可以，这个直线解析式就很快求出来了。 那我们初中主要要求求直线解析式，用的是待定系数法，你会列出两个方程，比如说 k f 加 b， 把 a 点带入，再把 b 点带入，所以这时候我们在计算的时候就不用去写这个二元一次方程组了，你只需要写出两个字解得， 然后再按照我们的斜率公式，把 k 和 b 把它都求出来就可以了，这个速度就会快很多。 好，这是斜率的问题。那么接下来我们来看一次函数的增减性与最值的问题。在上面我们提到了 k 大 于零 这个夹角，它一定是一个锐角，那么这个时候我发现这个直线它与 x 轴的正方向，它形成的是一个上坡， 这个我们称它为增函数，也就是说对于这条直线而言，它的 y 是 随 x 的 增大而增大， 随着 x 的 减小而减小，也就是说它其实是什么方向啊？你会发现它其实一个同向的。 注意啊，我特别特别强调的是和 x 轴的正方向，这是一个上坡，同样，这是我自己个人总结的一个小技巧。那么你再看，当 k 小 于零的时候呢？ 那么相对于正方向而言，他这是不是就构成了一个下坡呀？那既然下坡，那是上是增，那下就应该是什么呀？自然就是减函数了。那么对于减函数而言，他的特点就是 y 随 x 的 增大 而怎么样减小，那么如果 x 要减小，那 y 自然就增大了，所以说我们他我一般来说是称他为反向， 这都是个人总结的一些小技巧啊，每个人根据自己的情况，自己来灵活的掌握，这是对于函数的增减性。接下来我们来看最值问题， 既然他是一条直线，所以他就可以向两边无限的延伸，那就没有最值，那什么时候有最值呢？也就是说，比如说我取 x 在 这的话，这是 x 一， 那么这个是 x 二， 你当 x 的 取值它是大于 x 一， 小于 x 二的时候，比如说我再取上等号吧， 那么它对应的 y 其实就应该是什么？你看 x 一 在这，它对应的 y 在 哪是不？这个地方就应该是 y 一 啊，然后 x 二对应的 y 值，这就应该是 y 二， 那你会发现此时的 y 它最小就是在外一这个点，也就是 y 要大于等于 y 一， 小于等于 y 二。 所以说我们所谈的这个函数的最值问题，一定要怎么样结合 x 的 取值范围，只有 x 它有一定的取值限制的时候，这个时候我们才能够去谈这个所谓的最值问题。 当然这个主要在一次函数的一些实际应用里面，比如说这个运货问题啊，或者是也就是所谓的运费，还有这个销售的问题，以及这个电费、水费的问题啊。这里面我们通常会涉及到一次函数的最值问题， 那么接下来我们再来看依次函数和不等式的问题，两个函数如果要是相交的话，注意这里面这个所谓的不等式。在实际考题中，通常我们运用的是，比如说 l 一， 它对应的是 y 一 等于 k， x 一 加上 b 一， k 一 x 一 加上 b 一， 然后 l 二对应的解析式呢？我们称它为 y 二等于 k 二， x 二加上 b 二， 那么对于这两个函数而言，它有可能会问你 k x 一 加上 b 一 大于 k x 二加上 b 二，其实它是什么意思？是不就是问你 y 一 大于 y 二的情况？ 那么对于这种，我们一定要注意直接写出答案。怎么写呢？你对应的这个 y 一 其实是谁？是不就是这个 l 一 这条直线呀？那么我们对应的 y 二其实就是这条直线，那么这两条直线它会有一个焦点，我这个就直接把这个擦掉，直接利用它这个焦点 了。也就说对于此类题，我们一定要先找到这个焦点，你看一下这个焦点它所对应的 x 取值， 我们找到这个焦点，然后你看只要 y 一 大于 y 二，那是啥意思？也就是 l 一 在 l 二的上方， 那么前提我要先找到什么焦点？焦点也就是他们两个的一个分界线，那么焦点我找到了，假设这个点他对应的坐标是 a 的 话，那你看什么时候 它的这个 y 一 在外二的上方啊？是不就是在 x 大 于这个点，也就是在这个范围内啊？那很明显 x 要怎么样大于 a？ 同理，如果要下方呢？是不对应的就是这一部分啊。所以说对于这种不等式的问题，第一步我们要找焦点，那么我们再隐身一下，如果再给出一个具体的范围限制，我说 y 一 要大于 y 二，而且还必须得小于零， 那你就要找了 y 一 y 二，你看对于 x 轴而言， x 轴在这， 什么时候 y 是 小于零的？是不全部都在外轴的负半轴啊，那在这个负半轴这一部分， y 都是小于零的，那你就找呗，哪块啊？这个点，还有这个点， 这都是小于零的，对于 x 而言，而此时我又要让 y 一 在外二的上面，那是不是只有 这一部分啊？这是 y 二，这一部分就是 y 一， 所以说你看我自己，当你自己可以自己随便换一个点啊。当 x 大 于 a 的 时候，如果你要比 a 大， 那么在这一部分 y 一 永远都大于 y 二， 但是要求是什么？你还要让他们两个都怎么样？小于零，哪部分小于零呢？是这个点还是这个点呀？那你自己画一下呀，你看我如果要是取这个点的话，我在这做一条垂线，那你会发现这个时候外衣怎么样了， 是不就大于零了？这个与已知条件就矛盾了，所以说两个都小于零，那只能在哪？这个点，假设这个点是 b 的 哈，所以我得出来的 x 取之就应该是既要比 a 大， 又要比 b 小， 那么在这个范围内既满足了。你看，在这我再取一点的话， 这个 y 二是不也是小于零，那么他对应的这个点，也就是 y 一 也是小于零的，所以说一定要结合图像去找焦点，那么这个焦点怎么找？这个焦点找什么焦点？其实就是两个，第一个是直线的焦点， 第二我们要找什么？我们要找与 x 轴的交点，因为你要找的就是 x 的 取值范围，所以你既然要找，一定当然要去找这个直线与 x 的 交点了。 这是一次函数与不等式的问题，那么接下来我们看一次函数的交点和定点的问题， 对于一次函数的焦点与定点问题，这个相对来说定点呃，焦点比较简单，定点相对复杂一点， 所以说呢，我们放在下一个视频在和这个一次函数的平移翻折以及面积问题，实际应用问题，还有与几何模型的结，结合我们放在一起来讲。