27武忠祥高数基础篇目录

大家做一个具体的分析，就是我们整个高等数学这个内容呢，一共是四十八个学时，也就是一共只有二十四次课，那么其中数学二要求的内容最少，那么所以对数二的同学的话，那么只要求前面九章的内容， 那么这个呢，一共是三十八个学时，也就是十九次课。那么大家注意，我们数学一二三三个卷子当中，数学二要求的内容是最少的，所以初二的同学只要学完前九章的内容，你的考卷里边对高等数学所要求的内容就全部学完了。 那么数学三呢，是要比数学二多一个无穷级数，那么所以数学三的同学呢，到第十章叫无穷级数一讲完，你所要学的内容就全部学完了，那么这个呢，一共是四十三个学时， 当然数学一是要求内容最多，那就是所有内容都要求啊，一共是十二张，那这个呢是一共是四十八个学时，二十四次课。所以大家注意，你看我们在编这个教材的时候，就把大家共同要求内容编在前面， 那么这个单独要求，比如说数学三，数学一他有多要求内容，我们就把它放在后面，那不至于大家在听前面课的时候，一大段都是我们不要求的内容，大家时间也非常宝贵，这就是我们这个基础班的这个一个基本的教学计划。

考研复习时间很紧张，高校复习才是王道！高等数学基础篇就是专门为同学们高校复习打好高等数学的基础而编写的。 高等数学基础篇从基础入门，能带领同学们解决从学习概念、公式定义、理解考点，到看懂题型、掌握知识点的考场点。 这本书只有两百多页，我就能带领同学们学会高等数学的三基，高效打牢高等数学的基础。 那么这本书怎么用呢？同学们可以先预习一张高等数学基础篇，再听基础课对应的视频课，整个基础课只有四十八个课时，很快就能学完。再做同步练习册，也就是这本书所对应的新增加的演选题。 大家放心，我不仅会教会你概念知识点，还会告诉同学们这个知识点是怎么考察的，常考哪些题型，常用哪些方法。在此基础上，还会教会同学们更高效的解题方法，一题多解， 高效复习是指时间高效，做题高效，没有门槛的，学会概念，最便捷的解法，做对题。 只要同学们能够沉下心来，无论是基础薄弱或者是完全零基础的同学们跟着学习，就会循序渐进，建立信心，拿下高数。同学们加油！

主要可以归纳为第一维风的概念啊，那维风呢？简单讲，维风就是函数改变量，德尔塔外的一个镜子值 啊，但是他是他的信信主部，这是关于维风的概念。那么另外呢，维风的几个亿，我们讲了这个德尔塔外函数改变量，他是曲线上函数的改变量，那就曲线上的改变量 以外呢，维分它就是期限上的改变量，这是关于维分的定义。那么另外一个呢，就是给这个函数可微不可微怎么看？判定，然后说可微就等价于可导， 因为可导性的判定用定义比可威胁好判定，所以这个呢，他解决了关于可威胁的判定问题，同时也解决了微分的计算问题，因为微分就等于谁， 就等于这代导数乘上写 d x。 所以 刚才讲的这个定律，它既解决了微分存在性的判定以及微分的计算，它把可微性的判定和微分的计算都归结为导数的或者存在性的判定和导数的计算。 那么另外呢，我们又讲了求微分的一些法则，它使得本来我们求微分可以用这个直接求， 当然讲了一些法则，就是有理用算法和微分形式不变性。问我们求微分又提供另外的路子，所以这个用算法里边呢，一个就是有理用算法，一个就是微分形式的不变性， 那么他呢，给我们微分的计算会带来方便，所以简单归类总结一下啊。这个内容里边，主要第一是微分的概念啊， 那微分就是函数改变量，一个近似值，找到准确点，切线主部。第二就是微分的结义和切线上改变量。另外呢，这个结呢给我们解决了微分的存在性和微分计算的基本方法， 然后后来又介绍了这个有理算和微分形式不变性，他给我们微分的计算又提供了一种更便捷的方法，这就是微分这一节的全部内容。 那为了使得大家能够尽快掌握这部分的内容，所以希望大家做一些练习题。那这个练习题呢，就是我们教材上一百二十页第二大题， 第三大题的二四六小题，还有第四大题的一三五七小题 这一说。我们教材上这个节还讲了一个关于微分在近似计算当中的应用，这个内容我们就不讲了， 作为考研卷子里边关于我们大学教材高等数学书上凡是近似计算的内容都不作为基本要求， 所以有关微分净值计算这个内容，那么我们就不一定要去看了，这就是微分这一节的全部内容。

高数基础阶段到底主要要掌握哪些内容？那么复习到一个什么样的程度啊？这是很多同学关注的问题，那么在这呢，吴老师很快逐章逐节给同学们做一个复习期，那么大家可以跟着吴老师这个节奏，想想你自己是不是达到了这样一个要求啊？ 好，下面呢，我们来看这个我们高等数学基础，第一章就是函数极限、连续，所以内容呢是三大块，那就是函数极限连续，当然这三块里面重点显然是极限， 那这个内容比较多。我们教材里面第一节是函数，函数这个地方呢，身上我们主要内容就两块一块呢，就是函数概念，常见函数。 那么这个地方呢，常见函数身上主要就是那个五类基本出等函数，还有这个出等函数，另外一个就是复合函数，反函数，这个基础阶段我们就应该掌握。那么另外一个就是函数的性质是单调性、基友性、周期性。 那么这个地方呢，主要就是关于函数四大性质的概念，以及如何用定义、判定掌握就可以了。而这个考题呢，你看考来考去通常是两种题，一种就是函数的性质，那主要是围绕着单调性，然后呢，既有性、周期性，有界性。 那么这个第一基础阶段只要达到什么，就是会用定义判定函数的单调性，既有性，周期性还有有界性这个要求就达到了。 那么另外一个就是复合函数啊，那就是给你两个函数，你会把它附合成一个函数，特别是两个分段函数会附合成一个函数，这是这个地方对内容以及这个题型的要求，这是关于函数这部分，但是这部分的重点是什么呢？重点当然是这个就是函数的性质啊，这个我们在强化阶段还会强调，这个是年年必考。 好，那么再下面呢，就第二节，这是个重点极限，那么极限呢，内容，我们把它分为是五个内容，那么大家注意极限的概念，这个同学来讲是个难点， 但是注意极限概念主要是竖列和函数，但是注意啊，这个考研不会考那种用定义来证明竖列极限，或者证明函数极限在大学教材里面有，考研不会考这个，但是呢，这个极限概念不是不要求，是要求，那主要是要理解这套呢，特别是竖列极限的概念，这个考的比较多， 但这个概念呢，他这个对我们同学来讲是个难点，不可能在基础阶段就能够理解到位。所以呢，关于这个极限的概念，特别是竖列极限概念， 在基础阶段只能说是一个初步的理解啊，这个就够了，不可能理解到位啊。那么另外呢，就是关于极限的性质，这趟主要就是两个性质，一个呢就是有界性，一个就是保耗性，保耗性是重点，那么这个呢，也是初步的理解会用。 那么另外一个呢，就是极限的存在准则，这个地方主要是两个，一个呢就是加 b 准则啊，就会用加 b 准则，算一些 n 项和的简单极限要求就达到了。那么另外一个就单调有界准则，单调有界准则这种出题往往是出难题，单调有界准则，求地推关系定义，树立极限，那显然不是我们基础阶段的要求， 这个阶段只是了解一下就行了，那个是我们强化阶段要突破的。那么再下来，关于无穷小呢，掌握什么东西？一个就是无穷小的概念，另外一个就是无穷小的阶的比较，那么什么高阶、低阶、同阶等价。那么关于无穷大呢，主要是无穷大的概念， 无穷大和无界变量的关系，无穷大量和无穷小量的关系，这些内容搞清楚就可以了，这是内容方面的要求。那么另外一个呢，就是常考的题型，这地方呢，是有三种题， 那么一种呢，就是关于极限的概念，性质、存在准则。注意这个在基础阶段不可能一下就复习到位，这能说是一个初步的了解啊，会做一些简单的题就可以了。 那么这个地方呢，重点应该是谁？重点应该是求极限，但是求极限也有难题目，实际上呢，这个求极限我们会后面会具体讲，就是我们在基础阶段啊，主要是学会用一些常用的方法，求一些比较简单极限就可以了， 那这是一个重点。那么另外就是无穷小量阶的比较啊，那就是知道无穷小量阶的比较的概念，会用这些概念做无穷小阶的一些比较的简单题就好就可以了。那整个这一部分的重点应该是求极限，因为求极限是我们高等数学三大基本用算之一，这就是关于这一部分的要求。 那么再一部分呢，就是连续性，这部分它的内容，第一就是连续的概念，我们应该知道，那么另外呢，就是间断点进行分类，这个应该是重点，这个不难，那个基础阶段就应该基本就掌握它。 那么另外呢，应该知道连续函数的性质叫用算及其性质啊，还有一个呢，就是 b 区间上连续函数的四大性质啊，这个有界性最大最小值界值零点定点，整个这个内容里面的重点就是间断点及其类型。 那么最下面呢，就这部分的考题，主要是两种，那么这个呢，就是我们基础阶段重点要掌握的就讨论函数的连续性及其间断点类型。 那这道题呢，往往呢，这个专门考考的很少，一般是跟维方装饰典礼证明题放在一起，综合性的去考，所以这个呢，在基础阶段了解就行了。那么重点就是关于函数连续性渐变点类型的判定，这个我们在基础阶段就应该掌握 好，这是关于第一章我们应该掌握的内容，以及掌握到什么程度。那么第二章呢，导数与维方，那这个内容呢，应该是这样一些部分啊，第一就是导数与维方的概念， 那么这个导数这个概念显然是考察的重点，基本上是年年都考，但是呢，我们基础阶段不可能把这个导数的概念理解到位，只能说是一个初步的理解啊。那么另外呢，就是导数公式求导法则，这个应该是我们的重点啊，复合函数求导法、应函数求导法、流利用算法则，这个作为一个基本用算，我们基础阶段基本上就应该掌握到位。 高阶导数那我们一些基本方法应该会，但是高阶导数也有难题，所以呢，高阶导数只要掌握一些基本方法，会做一些基本题就可以了，有些难的题目，这个基础阶段做不了，这个很正常 啊，这是关于这个这部分内容方面，那么常考的题目呢啊，就是一个，就是导数定义，注意这个对我们同学来讲它是一个难点， 所以不要求你基础阶段导出电影的题目都能够做会，就是会做一些简单的就可以了，所以这个地方呢，是一个难点，也是个重点，但是呢，这个真正要突破基础阶段是不可能突破的，只是会做一些简单的题就够了，哪一类的题目我们强化阶段会再训练， 当然这个地方大家注意，这个基础阶段就应该掌握啊，什么负函数求导、引函数求导函数求导函数求导、函数求导，作为三大基本用算的第二用算求导数，这个在基础阶段就要掌握 高阶导数，我们刚才说过了，那么这个会做些基本题，哪一类的题目，这个技术界的做不了，很正常啊，导数的应用，这个地方应用主要讲的什么？实际上主要讲的什么？主要讲的是切线，还有谁发线，这个就应该会啊，切线发线还有一个呢，就是相关变化率 啊，相关变化率，相关变化率数三，不要求数一数二要求。那么在基础阶段呢，我们对相关变化率那应该有个基本的了解，所以这个导数应用主要就是一个几何应用，切线法线，这个就应该掌握。那么另外一个呢，就是关于物理应用数三不要求这一数一数二要求，就相关变化率啊，我们应该知道 这就是关于这个导数维分这部分，那么另外呢，就是关于维分中值定律及其导数的应用，那么这个里边的内容就比较多了，一个呢，就是维分中值定律，那么这个地方呢，一共有四大中值定律，罗尔拉格朗日科西，还有泰勒啊，定力的条件截断啊。那么另外呢，就是导数的应用一些基本内容， 那么围绕这个地方呢，考题主要有这些题啊，那么一个呢，就是函数的极值曲线的凹向拐点，这是个基本要求，这个呢，在基础阶段就应该掌握， 那么另外呢，就是求精进贤，这个基础阶段也应该掌握，但是从这个地方呢，你看这个地方就属于叫难题了啊，这就叫难题，这呢就是难题。 那么所以呢，对于这个地方的不要求我们在基础阶段全部掌握啊，就是这个地方呢，会做关于方程根证明不等式，会做一些基本题就可以了，因为这个方程根和不等式的证明他也有难题，所以这个难的东西呢，我们会在强化阶段 去重点，去突破它。还有一个呢，就是微分中直定的证明题，我们考卷里边一旦考这个地方的题目，往往就是卷子里边最难的题，所以这显然是一个重点，它也是个难点。 那你看吴老师在基础阶段讲微分中直定的证明题，那地方只是举了几个比较简单，比较典型的几个例子，没有展开讲，因为吴老师认为这个中直定的证明题，既然是做下的最难的题，那来出，那显然不适合在基础阶段去突破它，更适合在强化阶段。所以呢，我们基础阶段重点应该是这两类题， 那么对于方程根和不等式，这为哪些简单题会做就可以了，终止定力证明题这个地方不会做，没关系，我们强化掉它才会去突破它， 这就是关于这个微分终止定力和导出应用这部分的一些要求。那么另外呢，就是这个积分里边的不定积分啊，不定积分呢，这个地方的内容不定积分的概念，这个应该知道性质也知道不定积分的基本公式 啊，这个基本公式呢，通过做题一点点要记。那么另外呢，就三种积分方法，那实际上主要就是两类还原加分布啊，这个方法应该知道，还有就是三类常见可记函数积分，那就是有理函数，三角有理式，还有后面的简单无理式的积分。 但是大家注意啊，有同学说，老师我这个不定积分复习了很长时间，但是我怎么还是有好多不定积分做不了，我这个是不是没复习好？大家注意，不定积分这个地方是一个可以直观的讲叫无底洞， 就是你要多难的题都有多难的题。即使你把考研一年半的时间全部用在复习不定积分，是不是就是拿到一个不定积分，你都会做的非常顺手？那是不可能的。那有同学就问他，那老师这句话到底是什么要求？那你注意啊，在我们考卷里边考到的不定积分，直接考或者间接考，比如说你维元方程里面考，都是比较基本的题目， 但是这个现在有很多书上的呀，特别是网上很多老师拿来给我们炫耀的那些题目，都是高技巧的题目，所以弄得我们同学心里都很慌，但实际上呢，很多老师拿到在网上来给我们同学炫耀的那些题目啊，考卷里面根本不可能考，一般人家过去考过不定积分，不管是直接考还是间接考，都是考一些基本题， 所以这个地方呢，就三种基本方法，知道会做一个基本题，有同学说什么样的题是基本题，吴老师这个高数辅导讲义啊，高数基础篇上面的立体那样的难易程度，那就是基本题练会就够了啊，所以不用在这花太多的时间。 那么另外呢，那这个地方常考的题目实际上就求不定积分，但是这个地方两个最基本的方法，那就是换元分布啊，常用的五大方法，要知道会用这五大方法计算一些简单的定积分，不要求你掌握一些特殊技巧。 那么另外呢，就是变上限积分始终是考他的重点，那么在这呢，特别是关于因为题，不管怎么变，这往考来考去，考的往往更多的就是变上限求导，所以关于变上限求导，吴老师也给大家总结过，通常变来变去有三大花样，这个掌握要求就达到了。 好，这就是关于这部分内容的要求。那么再下来呢，就是关于反常积分，反常积分呢，我们是有两种，一个是无穷区间，一个是无限函数的反常积分，那么大家注意这个两两个内容，一个就是概念，一个就是链散性判定的方法。 那么在这呢，大家注意常考的题目啊，反常积分的练算性，作为练算性判定，对我们同学来讲是一个难点，那么基础阶段呢，我们首先应该知道两种反常积分，练算性判定常用的一些基本方法，会做一些简单题， 有些题目呢，所以这个对我们同学来讲有难度，这个很正常，因为真正要在突破这个练算性判定，我们在强化阶段才能突破，强化阶段我们还要做训练， 那这个呢？所以这个不要求你在基础阶段啊，这个练三阶段一定要非常熟练，这个对我们同学来讲有些困难啊，这个主要放在强化阶段来突破，但是这个呢， 反常积分的计算，它是个基本功，所以我们在基础阶段，关于反常积分啊，就是一些常规的计算，这个要尽可能的要掌握，但是你说计算里边也会有一些特殊技巧的题目，那个就不是我们基础阶段的要求。 好，这就是关于反常积分这个内容，那么这下呢，就定积分的应用啊，这个应用题考的最多的就是定积分的应用，那么这个里边呢，一个就是几何应用，一个是物理应用，当然数三只要几何应用，不要物理应用。那么这个常考的题型啊，几何应用，这个几何应用里边考的最多的也就是谁啊，也就是面积和 谁啊？和体积啊，面积和体积，那在基础阶段什么要求呢啊？就是一些常规的有关面积、旋转体积、体积的计算，这种题目要会啊，那么物理应用呢？大家注意啊，这个物理应用只是数一数二，要求数三不要求，那么物理应用呢？那么要么就是，要么就是压力 啊，这个吴老师在基础阶段讲了，举个例子，先知道这个做压力问题的基本思路。那么这个呢，我们在基础阶段都举了例子，关于引力， 还有关于谁啊？啊？关于这个直性的问题，吴老师的基础阶段没讲啊，有的同学说，哎，吴老师怎么漏了这么多知识点？因为吴老师觉得有的东西可能放在强化更方便，那为什么要把那个引力，还有包括这个？呃，这个直系的问题放在强化阶段讲，他倒不是很难，但是大家讲的早了以后很多同学会忘掉。 但是真正比较难的一个是压力和功，压力功，我们在基础阶段要讲，强化阶段讲就后面讲，不至于讲的太早，你把它忘掉了。所以呢， 吴老师这个基础和强化这个内容是有个整体安排，肯定是不会缺知识点啊。好，这就是关于电竞文应用这个地方的这个要求，但这地方重点就是几何应用啊，那就是特别是面积和旋转体的体积。 然后呢，再下来就是维文方程，这个呢，维文方程相对来说就比较简单啊，它的内容呢，一个就是超维方方程的一些基本概念，这个了解就行了。那么另外第二个内容就是关于一阶维方方程求解，所以呢，就这个在技术阶段，首先得知道可方力变量，其次线型方程，特别是这三大类方程求解的基本方法要知道，并且会做题目。 那么对数学三呢，不要求这个，这可降阶方程，那对这个数三不要求这有数一数二，要求可降阶三类方程，以及他们求解的方法应该知道。那么另外呢，就高阶向量型，高阶向量型始终是考察的重点，那么这个地方呢，主要是高阶向量性长系数，其次和非其次，这个维方程求解的方法应该知道 啊，那么另外呢，数学三有特殊要求插方方程，那就是一阶向量性，其次非其次插方方程以及求解的方法应该知道， 这就是关于内容方面的要求。这个我们考卷里面文员方程考题呢，你看考来考去，经常是这样三类题啊，对于我们技术阶段，重点是第一类题叫文员方程求解啊，给你个文员方程，让你求这个文员方程解，这是个基本要求啊，所以这个在技术阶段就应该解决。 那么这种综合题，还有这地方应用题，这就有一定的难度了，我们技术阶段只是了解，真正要突破他们，我们在强化阶段还要再二次再规范总结。所以对后面的文员方的综合题和应用题，我们基础阶段呢，只是了解这个地方的基本方法，知道一下就行了，但重点是解方程， 这就是关于文员方程这本内容以及这个内容的要求。那么再下单呢，就是多元函数的微分学，大家注意，多元一定要跟一元做对照，因为多元的很多东西就是一元的这个推广， 那么所以一定要给一元做对照。那这个地方呢，内容比较多，我们把它分为三块，第一个是多元函数的这个地方的基本概念，第二是微分法，第三就是极值和最值。 那这个地方呢，要求是什么啊？关于这个地方的第一部分，那就是实际上这个地方就有几个重要的概念，一个呢就是多元函数的极限， 关于这个重极限是什么要求呢啊？概念知道就行了，但是呢，重极限比一元函数极限要求低多了，一元函数求极限不但要会，而且要熟练的掌握，但是多元函数重极限在我们卷子里边几十年没有专门考过一道题，但是一些基本方法要知道我们在基础版也讲过，那就是求重极限常用的基本方法，要知道 另外双面成绩线不存在的方法，要知道这个我们在强化阶段还会训练啊，这个是一个比较低的一个要求。那么另外呢，连续性，这个你跟一元一对照，他这个内容就少了好多，因为多元没有这个地方对间隔进行分类，那么所以就是个什么东西，就是个连续的概念 啊，偏导数啊，这当然是我们的重点，那么这个呢，就是会计算偏导数啊，特别是一些简单的具体函数，复合函数、引函数，求偏导这个的基础阶段就得掌握，这是偏导数的定义，用定义解决一些问题，有时候有难度，我们只要知道基本方法就行了。 权威风，大家注意，这个呢是个重点，但是也是个难点，那么在医院里边吴老师讲过，喜欢考的是导数的概念，可导性的判定，而在多元里边喜欢考的是权威风的概念，可危性的判定，所以这个是个难点，这不要求我们在基础阶段关于可危性判定掌握的很好，只是了解一下就行了。 另外一个呢，就是多元的连续可导可维的关系，这个也不可能在基础阶段就能理解到位，我们只是呢了解，然后到强化阶段我们再提升，我们不但要知道这些关系，还要知道这些关系依然和多元有什么区别，谁导致了这个区别？那为什么会有这个区别？这些东西属于概念理论，这应该是在强化阶段突破 的，而我们在基础阶段呢，重点就应该是我们基础阶段重点要掌握的东西。 好，这是从内容方面。然后呢，你还考题啊，一种就是讨论连续性、可导性、可微性，这属于概念理论，我们基础阶段呢，知道些基本方法，那么重点掌握它应该是在强化阶段。 那另外一个呢，就是多元函数微分法这部分啊，那这部分呢？这个比起一元就花样少了，多元里边的话，就剩下个复合引函数，他没有参数方程，也不会考你高阶导数。 那么所以呢，这地方是两个内容，一个就是复合函数的微分法，一个是引函数的微分法，相对来讲，这地方要这个比较简单，那么考题呢，考来考去，要么就复合，要么引函数。但是这些基本方法我们在基础阶段就基本上要掌握啊，就是这个多元复合函数引函数求导法，这个基础阶段就应该掌握啊，这个相对比较容易。 那么再下来呢，就是多元函数极致最值，这个对应的一元函数微分中值定义进行倒数应用，因为多元里面没有微分中值定义多元呢，那这个地方呢，也没有单调性，所以最后就剩下个极值和最值。 那么这个内容呢，主要是这样几个，一个就是无约束极值，这个无约束极值也就是对应我们一元函数的极值，多元里边多了一个条件极值和拉格函数乘法。那么另外一个问题，就最大最小值 这三块内容里边的基本内容，要知道啊，什么是条件即值，什么是拉格老师陈述法啊？那么他的考题呢？实际上考来考去就这样几类题， 那么一类就是求即值啊，这个就是无条件即值。对，这个在基础阶段就应该掌握啊，因为我们知道这个时候呢，求无条件即值，那第一步求导数找住点，第二步用那个 a c 解 b 方进行判定，这个基本方法要会。 那么另外一个呢，就求最大最小值，这个基本方法要会，那就说这个最大最小值的应用题有时候有一定的难度，那么这个呢，我们放在强化阶段的突破基础阶段会做一些简单题就可以了。那这就是这一部分的这个题型和这个地方的 啊。好，这是关于这一部分内容呢，就是关于第九章这个二重积分啊， 二重积分呢，我们三个叫做多要求，那么这个内容呢，一个就是二重积分概念性质，这个了解就行了。那这个计算是重点啊，就我们计算二重积分这些基本方法是我们基础阶段复习的重点。嗯，那么这个里边主要就是一个直角坐标，还有什么极坐标，还有什么极有性啊？包括对称性。 那围绕这个呢，在我们考卷里面考题啊，一个呢就是累计积分交换次序，还有个呢，我们在基础阶段就基本上应该掌握，还有一个呢就是二重积分的计算， 那么大家注意一些基本的题，基本方法在基础阶段就得掌握，比如说用直角坐标来计算，用极坐标来计算，还有什么，还有有时候要利用这个变量的对称性，或者利用奇偶性， 就这些基本方法应该知道会做一些基本题，但是这个有时候有些题目也就是四种方法，他会要灵活使用，所以我们在基础阶段不可能一步到位，那我们在强化阶段还要提升，但是基础阶段呢，就是这些基本的题型，我们这基本方法首先要会啊， 好，这就是关于这个二等积分这个内容，那这到这为止，数学二所要要求的内容 就就到这啊，数学二就只要求这么多内容。然后再下面呢，就是数学三和数学一要求的那无穷极数啊，这个地方有三款内容，一个是常数象极数，一个是密极数，一个是复列极数，这一张对我们数一数三同学来讲实际上也是个难点啊。那么在这呢，我们首先来看 这个关于这个常数象极数啊，那么常数象极数呢，这个里边呢，主要是 那么一个呢，就是极数的概念啊，另外就是极数的常数象极数的几条基本性质，还有呢就极数的这个省略准则啊， 那么在这呢大家注意啊，就是啊，极数的概念性质身上最后围绕的是一个核心，就是链散线的判定，但是我们这地方呢，对极数链散线判定的准则，我们是把极数分正向交错，任意向介绍了他们相应的一些判别方法，所以你复习这个时候，你不要忘记整个极数这块内容就是围绕的链散心。 那么我们在基础阶段呢，就是知道极数的概念性质，以及各类极数链算性判定的方法，会用这些来判定一些简单的极数链算性。那么这个地方呢，对我们同学来讲呢，它是一个难点啊，这个我们 这个东西呢，也是一个难点，所以我们不可能在基础阶段就全部突破，所以基础阶段呢，只要会做一些简单的题目就可以了。 那么另外呢，这个地方关于常数象棋，你还考来考去，就是这个练散性的判定，但这个呢，对我们同学是个难点，所以基础阶段会做一些基本题就可以了，我们在强化阶段还会再这个再训练，再练习。 那么再下一个就是秘籍书，它的秘籍书的内容呢，主要是这些，一个呢就是收敛半径，收敛区间、收敛玉，还有一个就是如何来求收敛半径，如何来求收敛玉，这个样会。 那么另外一个就是关于密级数的一些性质啊，两类性质，一类是由零算性质和萨奇商，另外是主项求导，主项求积分，这基本性质应该知道。那么另外呢，就是关于函数展开为密级数概念方法，这个方法主要是间接法，就是利用已有的展开式，然后把函数展开为密级数，基本方法应该知道， 围绕这个呢考题，你看考来考去就三类题。那么第一类呢，就是求收来半径，求收来区间，求收来域，这个相对比较简单，这个呢我们一般要求在基础阶段就应该掌握，还有一个呢，就将函数展开为密级数，这个相对也比较简单，这个也希望大家在基础阶段就尽量能掌握，但是求和 这是个难点啊，这个我们在基础阶段不可能掌握到位，所以基础阶段关于求和，只要知道一些求和的基本方法，会做些简单题就行了。真正要突破这个求和，那我们是要在强化阶段，因为求和是整个阶段难点，所以我们在基础阶段重点是掌握这个求，收了，拜见，收了区间，收了域，还有就是函数展开为密集数， 这就是关于密级数这个地方的要求。再下来呢，就是复列级数，这个只有数学一要求，那么这个呢，一个就是知道复列系数，知道什么叫复列级数，知道这个迭的概率，它是判定链算性的一个定律。 那么另外呢，知道把函数展开为复列级数的基本方法两步，第一步算系数，第二步把它带到带进去，写出相应的这个三角级数。 那么围绕这个地方的考题呢，实际上就两种题，那么一种呢，就是有关收敛定力的题目，这个在基础阶段就能拿下。那么另外一类呢，就是将函数展开为复列级数，这个呢也不难，这个在基础阶段也能够拿下。所以关于复列级数这一块呢，我们应该在基础阶段就能复习到位，因为这个要求比较基本 好，这是关于无穷极数这一块。那么再下来呢，就剩下的内容就数学一的要求了啊，那一个呢，就相当代数空间几何以及多元维分在几何上的应用，我们放到这个地方，那么大家注意相当代数空间几何这个内容， 这个呢，在我们大学书上一张很多页很多内容，但这个在我们卷子里边基本上不专门考，只是后面考多元维分积分的时候顺带考，所以考的非常基本。 那么所以呢，这个内容呢，我认为你只要把我们这个基础篇上那些立体把它做会要求就达到了啊。那么向量代数这个地方，主要是向量的这个叠乘、差乘、混合极，那这个第二节这个里边呢，主要是平空间的平面，去空间的直线，常用的各自的三种方程要熟悉。 那么另外呢，这个地方取面与空间曲线这个吴老师也专门讲了二次取面，我们大学书上讲了很多，但是站在我们后面用的就那几个啊，什么球面、椭球面、锥面、旋转抛面、柱面啊，什么单叶双曲面，双叶双曲面那些东西了解一下就行了啊。 那么另外呢，就是都要微分在几何上应用，因为这个数二数三不要求只有我们数一要求，所以我们把内容放到这了。但这个呢，在我们数学家这边还很喜欢考一个呢，就曲面的切平面与法线，一个是曲线的切线，法平面啊，要会求曲面的切平面和法线曲线的切线法平面， 所以整个这个内容里边的重点应该是它啊这一说，空间几何这部分内容要求达到了。 好，那么数学一还有一块内容就多元积分学及其运用，因为数二和数三只考二重积分，我们数学一呢，除了二重积分，我们还要考很多积分， 那对我们这个数学一同学啊，第一个就是三重积分，对多元积分这一段主要就是计算，所以呢，那我们基础阶段呢，主要是三重积分计算常用的那几个方法啊？五个方法。首先要知道啊，这个直角坐标、柱坐标、奇偶性、变量对称性这五种方法，要知道会算一些简单的三重积分。 那么另外呢，就是曲线积分两类，曲线积分，一型积分，二型积分概念积分，二型积分概念。知道重点应该是计算，当然是会算一些简单的积分， 那么这个取面积分里边也是两类啊，一型的，二型的概念，知道啊，这个应该知道一型二型面积计算常用的几种方法，会做一些简单题就可以了。那么另外一个就多元积分的应用， 这个重要结构的应用呢？这个我们在基础阶段我们也讲了啊，讲的比较少，但是真正呢把它归类全，我们是在强化阶段会用一个表给大家做归类总结。 那么另外呢，就是场论初步，这个场论初步考来考去就是三个度啊，就梯度、玄度、散度这些东西呢，就是老早就复习了，最后也就忘掉了，所以这个场论就三个度，到强化阶段，最后记住三个度，它的计算方法要求就达到了。所以呢，这个我们基础阶段重点是谁？重点就是三重积分线面积分计算的基本方法。 但是呢，这个在我们考卷里面，真正考我们的时候，他重点是考什么？重点应该是考二型的线 和二型的面啊，你看在我们考卷里边，这数学一的卷子，这个多元积分对吧？一般是有一道大题，而这个大题考的时候不是二型线就是二型面，很少考这个作为大题来考一型线、一型面，所以二型线二型面是重点，并且题目出的也很有规律， 那么今年考线，明年考面，好，这就是这个多元积分这部分的要求。那么这样子吴老师就带领大家从第一章到最后一章这个内容题型做了一个梳理，以及每一部分对内容、对题型在基础里面到底是什么要求，应该达到一个什么程度，我们做了一个相应的分析。

等数学基础班教学的计划啊，这个第一章是十个学时，那也就是说五次 课作为我们高等数学基础篇，这个内容在编的时候，章节跟我们大学这个教材基本上是完全对应， 这个呢主要是便于大家跟大学的内容衔接啊。那第二章呢，就是导数为分，三个学时，那就是一次半课。 第三章潍坊中职定力机器应用，四个学时，两次课。第四章不定积分，三个学时，一次半课。 第五章定积分及反常积分，四个学时两次课。第六章定积分的应用，两学时一次课。第七章潍坊方程，三个学时，也就是一次半课。 第八章多元函数微分学及其应用，六个学时，三次课。第九章二重积分，三个学时，一次半课。第十章无穷极数，五个学时，两次半课。 第十一章空间几何及其应用，一个学时。那第十二章二三重积分及线面积分，四个学时，也就是两次课。 那么大家肯定要问了，这个数学一二三要求是不一样的，那我们区别在哪里？我应该主要学哪些内容？ 然后在这呢吴老师给大家做一个具体的分析，就是我们整个高档数学这个内容呢，一共是四十八个学时，也就是一共只有二十四次课， 那么其中数学二要求的内容最少，那么所以对数二的同学的话，那么只要求前面九章的内容， 那么这个呢，一共是三十八个学时，也就是十九次课。那么大家注意，我们数学一二三三个卷子当中，数学二要求的内容是最少的，所以数二的同学只要学完前九章的内容， 你的考卷里边对高等数学所要求的内容就全部学习完了，那么数学三呢，是要比数学二多一个无穷极数， 那么所以数学三的同学呢？到第十章就无穷极数已讲完，你所要学的内容就全部学完了，那么这个呢，一共是四十三个学时， 当然数学一是要求内容最多，那就是所有内容都要求啊，一共是十二章，那这个呢？是一共是四十八个学时，二十四次课。

第一个，那就是极限存在的两个准则啊，这呢哪两个准则呢？一个就是加 b 准则啊，这个竖列有，函数也有，当然竖列用的更多。 第二准则呢，就叫单调有界准则，竖列有，函数也有，但这个地方基本上用在竖列， 那竖列就是单调增上有界一定有极限，单调减下有界一定有极限。所以有了这两个准则以后，给了一个极限，让我们来判定有没有极限，那这两个准则往往会给大家方便。当然这个加 b 呢， 更多的用在谁啊？就是那种 n 项和。而这个单调有界准则呢？我们比较多的用在那个地推关系定义的数量极限。我们没有举例子啊，就是 x n 加一等于谁啊？ f x n， 这是关于两个准则。那么有了两个准则以后呢，我们利用这两个准则又得到了两个重要的极限。哪两个重要的极限呢？一个呢，就是 x 去向零的时候，塞以 x 比 x， 这个极限等于一，这是个零比零，但是它的极限等于一， 当然我们也可以把这个接呢更一般化啊。那就是你看我们是不是可以这样写啊？就是三引三角比上三角啊，抱歉，这地方应该是三角去向零啊，就这个三角去向于零， 这个极限一定是一，但是这个三角，大家注意是趋向零，你不能等于零啊。啊，好，我们比如说看这个，那就是 x， 比如说趋向零，我们这赛点里边是 x 平方，除平方， 那你看这个极限也应该等于谁？一，这个三角就是 x 平方，当 x 取下零的时候，这个 x 平方是取下零而不等于零，所以可以把这个减为一般化。那么下面呢，我们再来看另外一个重要的极限，就是一， 这个呢，我们证明了 x 去向无穷，一加 x 分 之一的 x 方极限等于一。到后来呢，我们又得到 x 去向零，一加 x， x 分 之一次方，极限等于一，跟上面一样，也可以把它一般化， 那就是这个三角去向零啊，把这个地方一般化，那就三角去向零，一加三角，三角分之一次方，只要三角去向零。但是要注意还有一个不等于零，这个极限一定等于一。 实际上有了这两个重要极限，我们很多极限可以算的比较方便了啊，可以算一些更复杂的极限，比如说我们这地方也可以举一个例子啊，大家看，那比如说像这样的极限， 你看 x 趋向于零的时候，这底下呢是 cos， 上面呢是 x 方分之一， 拿到极限以后啊，来判别类型，选择方法，这什么类型呢？ x 趋向零的时候，底下趋向一，肩膀趋向谁啊？无穷，所以我们把它叫做一的无穷大次方。 那么大家注意这个基本极限，他是个什么类型？他是一个一的无穷大次方，你看底数去向一，肩膀去向无穷。 所以呢，拿到一的无穷大次方极限，那我们是不是可以考虑能不能用这个极限？而我们上面这个基本极限呢？他是个什么类型？他是个零比零，所以拿到零比零的极限，我们是不是可以考虑第一个重要极限？

一个分段函数的不定积分，咱们接着多次考到，那当然有同学说，哎，老师，这题还不简单，你就拿来做就行了啊，这个的一 x 就 等于，我们就分段做呀，你 x 大 于等于零， e x 做不定积分，那不就是 e x 加常数吗？如果你 x 小 于零， cosine 做不定积分，那不就是 cosine 的 x 加常数。做完了， 这这就是经典错误，标准的零分，那以后就说哪里错了。那你注意，做不定积分是找元函数，什么叫元函数？就是右端这个函数求导要等于这个倍增函数， 那在非零点上，他确实都是可导导数，就等于倍增函数，出问题就出在哪里？关键就是分界点零点，那么零点呢？这个时候你要用定义验证他的可导性，但是就有点麻烦，但是实际上你只要用定义验证他的可导性，你看零点的右极限是一加谁啊？一加 c， 而零点的左极限是 c， 那 他就想你这个一加 c 就 不可能等于 c， 那 这就说明谁啊？他在零点都不连续， 那不连续肯定不可倒，你说对不对啊？要可倒他就连续了，既然都不可倒，那就谈不上是圆函数，所以这问题就出现在分界点那个地方， 那大家肯定要问，老师，那这题怎么做？那我们说是可以这样分段做，但是要做一个处理啊，那就说我们这个 f x d x， 那 这呢？这个 x 要大于等于零，那这是 e x， 我 们把它写成 c e， 然后呢， x 要小于零，那这是塞眼 x 加上 c 二，这个时候要注意，就别的点上导数肯定都存在，并且等于 b 级函数，现在主要是零点，如果说你要用左右导数验证零点可导，确定 c c 二关系可以，但是就比较麻烦，有没有简单的方法呢？ 大家想，可导 b 连续连续是不是比可导验证起来更方便？为此，那我们就求它在零点的，因为右侧是右极限，那这应该是谁？就是一加上 c 一， 而在零点的左极限，那这个式子应该求，那应该是 c 二，就是根据这个呢，是根据他的分界点的连续性，我就可以得到这两个的关系。得到这个点关系以后，底下怎么办？那就令 c 一 等于 c， 那 么这样子把 c 二呢？也就用 c 表示出来了，那就是一加 c， 所以 最后就写答案了，那这个题的正确的答案是什么？就是把刚才上面的结果里边 这个 c 一 呢换成 c， 这是 x 大 于等于零，如果 x 小 于零，那 c 二就换成一加 c， 那 这就是赛引 x 加一再加 c， 那 这样子就是标准答案，慢分。当然也有同学有问题，有问题也很好啊，没有问题反倒不好。这同学有问题说老师，连续，那推不出来谁啊？推不出来可导啊，你怎么做到这就做完了？按理说你要验证它在零点的可导性， 别的导数等于背景函数，你知道吗？你怎么只练个连续性？但是很多书都是这样做的，那为什么就做完了呢？啊？这个同学注意一下背景，你看这个小 f 虽然是个分段函数，但是呢，大家注意一下，它是连续的，包括在零点。 那我们数学上可以证明，对这种连续的分段函数，只要分段做不定积分，做完只要保证它的连续性， 这个时候他一定在零点分界点可导，并且导数就等于被减函数，这个数学上可以证明，所以这样做就做完了。 那么这个节呢？大家知道一下就行了，就是说只要被减函数是一个分段的连续函数，我这样做虽然我看似只保证了连续性，但是他实际上也保证了在分界点处的可导性，并且导数等于被减函数，这就是为什么做完了知道一下这个就行了，这是解法一。

好，学员们，大家好，今天给大家讲一下啊，就是鸿开的呃用书计划，然后学习计划。呃基础阶段呢？我们一般来说就是呃这个高等数学基础篇，然后还有六六零和真题真刷的基础篇，这个是金榜时代推出的呃考研基础三件套。然后我们分开来给大家讲。 首先第一本是呃高等数学基础篇，这本书的话今年新增了一个配套的研试卷，然后我个人认为这个研试卷是非常非常行的 啊，他真的是我觉得真的是一本就非常精髓，然后他也很好的弥补了，就是前几年，嗯，很多，可能我看很多学长学姐他们会说，就是呃做六六零的话做不动，然后演习就很好弥补这一点。然后这个高等数篇的话，我觉得是编的非常棒。然后我们可以看一下他的目录， 嗯，他的话就是每一张里面他都会先讲一下考试内容概要，然后再讲一下常考题型与典型例题，他就是分这两部分讲。然后呢第一部分呢，主要就是他是会集中的介绍一下这张会考什么东西啊？考试的题型，然后呢配合立体来讲， 我们拿呃第四张来举例。第四张呢？第四张他这里有四种，就是不定积分的概念性质。不定积分基本共是三种主要积分法，三类常见可积函数积分。然后他前面就是讲这些，呃，讲这些概念，然后呢配套一些具体来讲， 然后呢？后面呢？他在讲这个长考题型典型问题的时候，他就是比方说这一张他只有一个长考题，就是求不定积分，然后他会配很多，就是这这个部分就几乎全配立体来讲解做这类题的方法。 然后在在这个呃章节的末尾呢，他会配一个就是超链接，就是他会跟六六零联动起来啊，他卷接六六零就是在你刚开始学完这一张时候比较适合做的一些题目。 好，这个是呃高等数学基础篇。然后关于演选题呢，我觉得演选题他非常，他真的是非常非常好，尤其是你刚刚学完这个，刚学完这个高等数学基础篇之后，你去做演选题，你会发现他， 嗯，怎么说能让你错很多吧？可以这样说，就是他对你的基础，对你的概念把握非常好。然后这个选选择题呢，我觉得就是大家刚开始学完错很多是很正常的，因为你看我这里也标了很多，就是在目录这里标了很多我错的题。 就是大家如果一开始错的话，我觉得考研数学就数学，考研数学的学习呢，就是不断的错，然后再不断做错题吗？所以大家错的话，也可以像我一样把错题标在这个，就是目录这里，然后随时就可以回去翻看，也不需要做成错题的，因为那样的话太费费时间精力了。 然后就是这个演选题呢，他也是配有解析的，但是是电子版的解析，然后好像是舞蹈的公众号他也发了。然后 就是这个演选题呢，他题量不是很多，他一张的话，但是也是比较足够的，你可能写一张大概也需要一到两小时，他一张的话，嗯，我算下来就是大概就是看了一下，就是每一张大概是有二十二三十道题这个样子。对，然后都是分为这个选择题、填空题、解答题。 对，我觉得这个演选题真的是他今年呃金宝时代团队做出了一个最好的改编，他这个演选题非常非常棒， 就是他能在你学完知识点的第一个，第一第一时间让你巩固一下这些知识点。而且他对概念的考察非常深刻，我觉得他们就是就跟他们团队做六六零。是，就是风格是一贯，就是他们六六零做的也是很考察那个概念吗？考察你对概念深刻的理解，所以我觉得英语真的是真的非常值得一做。

下面来我们来看二十四，这是二零零九年数二跟数三的一道大题，十分还是九分？我忘记了，计算不定积分，他，那么拿到以后啊，选择什么方法呢？这个时候注意，可能有的同学说烙印这个，我分部分部问你，这个求导数是不是很啰嗦，那还有什么思想呢？你看这个麻烦在哪里，是不就在这个根号， 哦，那看到这个，那你注意这里边呢，是根号里边是两个一次式的比，所以这个时候立马应该联想到我们学过这个，就是这种 根号的 a x 加上 b， 然后这呢 c x 加上 d， e x， 这叫做。还有简单无理式的积分，简单无理式就是这开多少次方都行，里边是两个一次式的比，而这种题做的一般方法就是令它等于 t， 所以 这个题就有相反了，就是一般方法直接令它等于 t， 然后两边平方，这个时候把 x 用 t 表示出来，那么这个时候大家注意这个前面这个就写成谁啊？前面就是烙印一加 t， 然后 d x 呢？我也不用把这个后面这个尾数算出来，就写成 d 的， 它为什么不用算出来？大家看这已经是一个很好的分布积分的形式啊， 你把那个后面那个微分算出来，你还不知道后面怎么做，这就很好的分布积分。为什么一分布以后，这个出来这个求导，这一求导就变成一加 t 分 之一了呀？所以这地方呢，是先换元， 然后第二步这地方就直接分布，那么你看一分布以后，他的第一项好把这个擦掉，对吧影响。 嗯，那第二步这个地方呢，就是用的是分布啊，就是这个地方是分布积分， 那么一分不积分呢？大家看第一项就这个，第二项呢，就是这个出来，这个球倒就出现他，那么大家注意再往下做，这就是我们通常说的有理函数积分， 有理函数积分呢，一般方法是不分方式吧，但是我们说不到万不得已不用他，那经常用什么方法？经常用简单方法，简单方法要么就是这个拆加项减项拆，要么就是凑为分加密。 那么大家注意这个拆的时候拆的目的是什么？为了把分母的次数降下来，所以你要拆的时候要看一下分母到底有哪些因子，实际上呢，它分母有 t 加一，这个因子也有 t 减一，因为这个一分解以后就是 t 加一乘 t 减一，所以它分母上有两种因子，一个是 t 加一，一个是 t 减一，所以我们希望这个地方出现谁啊？ t 加一， t 减一不是等于二吗？所以这个分子这个一，我们是不是可以写成 t 加一减去 t 减一二分之一， 就是因为你分母上出现的就是这两个因子， t 加一和 t 减一，这样我一拆以后，你看第一项把 t 加一消掉，那么这样子是 t 方减一， t 方减一不是直接就是烙印的形式吗？第二项呢，把 t 减一，这个里边 t 减一消掉，后面是不是 t 加一平方？ t 加一平方也很好记分啊， 那么这样子这个答案有了，然后完了以后呢？最后把这个 t 呢？再用谁啊？再用我们这个根号带回去，就是这个地方要的这个结果啊。 那所以在这个题目里边的话，他首先第一步是换元，第二步是分步，那么另外一个呢？就这个地方也是个要点，这也是常用的思想，就是碰到这种有理函数积分的时候，我们这个地方用的是加项、减项拆，那这个呢？会给我们带来方便，这就这个题的几个要点好。

呃，这个呢，我们讲了三大种植定律，第一是谁啊？第一是罗尔定律，第二呢是拉格纳日定律，第三是谁？第三就是科西定律， 这叫中值定律，中值定律就是三个菲律，是个引理啊。那么这三个中值定律的伟大意义在什么地方？我们看一下拉格朗定律，那么这个拉格朗定律可以写成谁啊？ f b 减 fa 除以谁啊？ b 减 a 等于谁？ f 一 撇的克 c， 实际上呢，他的伟大意义在于哪里？在于就是他给我们建立了局部和整体的关系。 大家注意导数，他是个变化率，他是个局部形态，他才能反映那一点的变化率。 但是呢，注意这个左边是谁，左边实际上是这个函数在这个区间上的函数改变量，自变量改变量之比，他实际上是这个区间上一个整体形态，所以他建立的整体和局部的关系。 当然大家知道，如果这个 f 表示一个做变速直线运动的位移函数的话，左边这个是谁？实际上就是路程除以时间，位移除以时间，这应该是整个这个区间上的平均速度， 那他应该等于某一个时刻的那个损失速度。所以呢，这个几个中指定律，那他是给我们建立了整体和局部的关系。往往用导数是个局部形态，而我们用这个局部形态研究整体形态架起桥梁， 其他两个是一样的，但从另外一个角度讲，右边是倒数值，左边是函数值，所以呢，他也给我们建立了谁啊？建立了这个函数值和谁和倒数值之间的关系， 这是把这两个联系起来了。你看这是导数值，这是函数值，那我们科奇定律是不是左边也是函数值，右边导数值？所以呢，他们的第二个意义就在于根本建立了函数和导数之间关系。我们用导数研究函数，是不是就奠定了一个理论基础？ 这就是维分中值定律的伟大意义，主要是给你们建立导数和函数之间联系，那为我们利用导数来研究函数奠定这个理论基础。所以你看这一章后面的很多重要的定律和法则的证明，都是用维分中值定 好第二，这个中值定律的关系，罗尔定律、拉格曼定律、科西定律。 那么在这呢，我们来看他们的关系是什么啊？从右向左看科席定律，科席定律，这不是就谁啊？这不就是 f b 减 fa 除以谁啊？除以大 f b 减大 fa 等于谁？等于小 f 一 撇的克 c 除以谁，大 f 一 撇克 c。 大家看，有了克希定律以后，如果在克希定律里边，这个大 f x 取谁啊？ x， 那 你看这个下面就是 b 减 a， 这就是一。所以呢，拉格朗的定义实际上是加克希定律的，谁啊？特例 啊？你拉格朗定律是科西定律特例，只要在科西定律里边呢，这个大 f 的 x 曲线 x 就 立马得到你拉格朗定律。 然后我们再来看罗尔定律，罗尔定律不是说有一点倒数等于零吗？实际上大家看，你罗尔定律就是你拉格朗定律的特例啊，这个也是个特例， 因为你看，如果在拉格朗定律里边给一个条件 f a 等于 f b 的 话， 给一个你的罗尔定律的第三条，那这个左边不是就等于零，左边等于零，不是就有一点倒数等于零啊？所以从右向左看是特例，那这样子从左向右看，那数学上就叫什么？就叫推广。 所以你看你这个 logan 定律，那就是你罗尔定律的推广，而科西定律。

二期考研的同学大家好，我是魔气学长，今天这期视频是关于高数部分跟武忠祥的基础加强化阶段的学习情况说明，关注我，今年一定带你从双飞上九二！ 高数选择红开，很重要的一点就是不要在基础阶段停留太久，你要抓紧结束高数基础，快速与强化期的武忠祥老师见面。 五中强的强化课真的是憨爆了，讲的非常细致啊，他还会顺带过基础的内容，所以你完全不用担心基础不牢，反而恰恰是进入强化学习后，更能巩固基础，学好高数。很多同学选择红开，他以为我反复的刷这个高等数学基础篇，或者是停留在这个高数的基础阶段， 还额外去做一些习题，这就是巩固基础。但是因为课程体系的原因，这恰恰不是在巩固基础。 高数基础学习建议两个月左右的时间完成，那么甚至数二的同学呢，可能都不需要两个月啊。基础阶段学习呢，你就做配套的基础篇研试卷就可以了。基础阶段学习，做一本习题册完全足够啊。 基础阶段更多的是要熟悉下知识点，了解一部分的题型，因为有很多的知识点呢，我们在基础阶段还没有学习，所以一些题目不能做也是正常的。 上课之前呢，你就先预习一下知识点，看完课后梳理知识点，做一做讲义。例题没有做出来的，就可以当做错题处理啊。学习完一个章节的课程之后，搞懂例题，再去做这一章节对应的基础篇。严选择题， 做完后看答案解析。要是还不懂的题目呢，可以去看一些博主的视频讲解啊。比较推荐的是考研数学陈汉老师的这个严选择题讲解讲的非常不错啊。如果学有余力，基础篇这一章节对应标注的六六零， 那其他一些难度星级比较高的题目呢？可以不做啊，因为你可能还做不动。那为什么我说学有余力可以再做一部分六六零呢？那是因为基础篇有选择题，除了第一章的题目比较多之外，其他章节题目的这个数量都是比较少的。 六六零呢，他也是比较有难度的。基础阶段你做不动是很正常的，这大部分不是你的原因，而是因为我们课程体系的原因，因为我们大部分知识点啊，放在了强化阶段。 如果你按照我上面所说的进行学习，讲义加基础，严选题的正确率还是普遍低于三十，那你就要考虑换老师了。可能五中选老师啊不太适合你，又或者说你的学习方法真的有一定的问题， 所以不要硬跟一个老师，适合自己的才是最好的。然后再说一下错题的重要性，讲义的例题大于习力侧的错题，讲义上面的例题一定是优先的。 然后高速强化学习。这个呢，就要建议多花点时间了，可以花二点五个月左右的时间完成。对应的教材呢，是高等数学的辅导讲义，也是有配套严选择题的。对于高速强化， 你可以基础学完后紧跟着强化，也可以学完现代基础加强化后再来高数强化。如果你的基础阶段题型正确率在百分之四十到五十，那我更建议高数基础和强化一起学，那如果基础阶段的题型正确率在百分之七十以上，那可以先学现代，也可以直接进行高数强化，自己自行选择。 要注意的就是你在学现代的时候呢，不要忘记复习高数啊，这可以通过翻看讲义，知识点加做错题进行。 那如果是高数基础加强化一起学习，同学进度比较快的话，那可能二七考研的这个强化课程还没有开始啊。那你看二六的课程也是完全没有问题的，因为我们每年的这个课程的内容呢，变动不会太大，二七版的高等数学基础篇啊，也完全适配二六的强化课。 那如果是先学现代，再学高数强化的，那就不用担心这个问题了，因为到你学习的时候，二七的强化课程也更新差不多了。 那首先第一类基础题的正确率在百分之四十到百分之五十的，更建议直接强化，即使你是三月份才开始学习的，那我觉得也基本在五月份左右，你就能结束高速基础的学习。这时候呢，直接开始高速强化，也是预习一遍知识点，看课，梳理知识点，加做例题， 学完一个章节，再去做对应的强化研试卷。如果觉得题目呢，可能比较简单，那你也可以去做八八零的强化篇和拓展篇。 第二个就是正确率在百分之七十以上的同学，如果选择直接开高速强化，也是和上面一样的学习过程，学习完一个章节后，做对应的强化，严选题学有余力呢，可以补做八八零的强化拓展篇。 那么第二类同学呢？我们说你可能已经做过部分的六六零了，那所以说这时候强化阶段还可以补做了习力测，那就是八八零，因为八八零的质量也是很高的， 如果先开现代，那你就复习高数，有余力的。你做完剩下的六六零，后面进行高数强化时，你按照我们上面刚才所说的进行学习就可以了。 在学习完高数强化之后，你进行其他部分的学习，不论是现在还是概率，你都不要忘记复习高数，翻看强化讲义知识点和做错题。当你学完高数强化之后，强化的讲义就已经成了你主要的复习资料，那你这个基础的资料呢？可以不用了，同时可以完成没写完的高质量习例册，比如八八零或者是一千。 那好，以上就是这些全部内容，希望对你有所帮助。如果你有更多的问题，可以加入主页粉丝群，了解更多考研信息。

你把些要害东西抓住，你就发现他这个出题出来，出去就是考那几个要点，那么这种题目我们想大家一看就是考导数的概念，导数的概念，我想这个吴老师讲的时候讲的很详细啊，但是呢，你怎么能够就是把导数概念听完以后做这种题你能够做的很好， 那我想你抓住几个要点啊，你看他说 f 在 这个上有定义啊，那好了，你看这是他最后问的零点，这是负一到一，这上有定义，但这一代的极限概念， 然后他说这个极限等于零，这点的导数就等于 m， 对 不对？既然你问这点导数，那这个时候你先会写这点的导数，那么这点导数呢？按照定义的话，那这个时候是 x 趋向零，那 f x 减谁啊？ f 零 除以谁啊？ x 这个极限存在，它叫做这点导数存在啊。在这个时候呢，大家注意，你看它是说这个极限存在，那么我们需要这个极限存在，那现在就牵涉到这个，那实际上从这个定义可以知道这个导数，这点的导数，它是与这点的函数值是有关的。 你想你这个极限存在，那你都跟这点函数值都没有关系，那你怎么能决定这点导数呢？我们立马就知道这个是错误的，但是也有同学说，老师有这个条件啊，这个条件人家说极限等于零，那么极限等于零，可没有说 f 零等于零，但是如果要这个等于这个的话，这需要什么连续啊？ 那这又恰恰概念这点的极限，他跟这点函数值是没有关系的，那你决定不了这点函数值，这个极限也跟那点函数值有关的，那你怎么能决定导数呢？立马就知道是错的 啊，那同样的道理，大家看这个也是错的，因为 x 趋向零，二不等于零，那么这个呢，也跟那一点的函数值无关，那你你这点的导数，它是跟这点函数值有关，你这个绝对不了那点函数值，当然绝对不了这点导数。所以这个地方呢，就抓住一个函数在零点的导数，它是与零点函数值有关的， 但是这个极限，这一点的极限，因为 x 是 曲线的二，不等于零，这个呢是与 f 零无关的，这都是关于极限的概念和导数概念里边最基本、最核心的东西就让我们听懂，概念是要把这些最基本、最核心的东西要听懂 啊。那么大家注意看，这个时候再注意，你看这个呢，他说这点导数等于 m， 那 注意，这点导数等于 m， 那 可导 就能推连续，那么推连续呢？这一点的极限就等于这点函数值，那就知道 f 零等于零， f 零等于零，那这个导数的定义不是变成 x 去下零， f x 除 x 吗？哦，那这点导数等于 m， 那 这个极限就等于零点导数，那立马就知道这个。对了， 你注意这个里边就概念性很强，那么实际上呢，你抓住两点，有一个函数在这点的极限，它与这点的函数值是无关的， 而这点的导数，它是与这点的函数值有关的。这两个核心点抓住了，那这个题就能做对。所以我们在学概念的时候，一定是要理解这个概念的来龙去脉，它的本质以及这个概念如果是个量的话，这个量跟谁有关，跟谁无关，这些东西一定要搞清楚，而不是简单的备注这个概念。 当然这个呢，我们通过做不同类型的题，一点点把这个概念里边的很多内涵的东西才能理清楚。一开始做这些题有困难很正常，但是做几道题，那实际上你把些要害东西抓住，你就发现他这个出题出来，出去就是考那几个要点，把那几个要点抓住，那这个概念就解决了，好。

强化阶段的复习呢，正好就是要把书由后再读薄。强化阶段复习的策略，那就是把握整体行政体系，那你要由后读薄，要做规范和总结，那就是对每一章的内容、题型、方法要做规范总结。比如说求极限是我们考卷子高等数学常考的一个基本用处， 那求极限常用的到底有哪些方法呢？求极限常见有哪些题型呢？每种题型常用哪几种方法？那么这几种方法，你什么时候用，哪个方法可能更方便？这些东西就需要我们在强化阶段做系统的规划总结。 那么也有同学可能说，老师就算你让我把求极限方法规划一通，我规划完了，我心里也没数我规划的全不全，规划的好不好。那确实是这样子，这个规划总结如果让我们同学自己做， 那是有相当的难度，并且还不一定能做得好。注意，一定是要借助于老师的规范总结，在老师规范总结基础上，用你自己喜欢的方式和语言，把它变成你自己的规范总结。一个是内容，一个是题型和方法。这个强化阶段呢，我们复习的重点仍然是三基，我们基础阶段就是了解、会用， 强化阶段是要理解掌握。那么大家注意在基础阶段的概念和理论就是了解，了解就是知道就行了， 理解就不一样。理解，我不太知道这个概念，知道这个理论，还要理解这个概念来龙去脉，这概念的数学意义，这概念的作用，这个定力，他的数学意义，这个定力，他的本质是什么？他到底有什么用？这叫理解。对于这个方法，我们在基础阶段叫会用， 但是在强化阶段呢，我们对方法是叫掌握，就是我们不但要会用这个方法，而且要能够灵活的使用这个方法，因为同样一个题目有多种方法，我能够根据题目立马选择出恰到好处的方法，这叫掌握， 要达到这个程度，所以呢，基础强化包括冲刺，我们每个阶段复习重点都是三级，但是每个阶段对三级的要求是不一样的。强化阶段首先应该看到一本书，就是吴老师的高等数学辅导简报，是吴老师专门为考研的同学强化阶段编的一个教材，首先对内容做一个汇总总结， 然后再通过典型的例题给大家总结一下，这一张通常在我们考研卷子主要靠哪几种题型， 而每种题型到底有哪几种方法，什么时候用，什么方法可能来的更方便。所以吴老师这个书在编的时候， 就是在帮同学们规范总结内容、题型和方法，那这个时候当然需要做一些练习题，这就是跟这个高书辅导讲一配套的这个演讲题。有的同学说，老师我还有时间，我希望再做题。吴老师和李永乐教授为大家强化阶段专门编的叫数学强化通关三百三十题。 那么另外还有注意就是六六零，我们在基础阶段没做完的，也可以拿到强化阶段来做，在强化阶段，高等数学如果把这几本书上的题目都掌握了，那就够了。好，这是强化阶段的复习。

这个阶段呢，那就是基础阶段，对我们二十七考研的同学注意，吴老师讲的是最晚应该在这个二六年的七月，就暑假之前一定要完成基础阶段的，这个复习不 能再拖。但是吴老师一般是希望大家在这个五月底之前应该基础阶段完成，这阶段就是低变复习，那低变复习的一个主导思想就是要全面，要打好基础。所谓的基础就是我们通常说的三 d 基本概念、基本理论、基本方法。 基本概念就是我们大学书上的用定义写的。基本理论呢，就是大学教材上的定义性质。基本方法一般是用法则写。这个基本概念和基本理论呢，它在我们卷子里差不多占百分之三十 啊，这个就四十五分左右，基本方法差不多要占百分之七十，差不多有一百零五分是要通过计算来得到。就看出这个三七里边重点是什么，那就是计算，你不但要会， 而且要非常熟练，还要准确率高，你就要才能得高分。基本概念和基本理论呢，虽然占的比例不是很大，但是我想大家都知道这个是难点，往往比较多的，就在选择题和证明题里边， 但它是难点，每个阶段也有每个阶段的要求，这个阶段呢要求不高，就是达到了解会用啊，因为我们学数学的，大学一年级学的高等数学，很多东西都忘掉了，然后呢会做一些简单的题目， 这个基础阶段要求就达到了。你基础阶段就是打基础，不要一开始就把大把的时间放在那些难题，技巧性强的那些题目，这个方向就错了，这个数字效率也很低。 那么大家肯定要问了，那老师具体的基础阶段，我到底应该怎么复习？我应该看什么书？我应该做什么题呢？好，那么下面吴老师就给大家具体建议复习资料 一个呢，叫教材，这是大学的教材。那么基础阶段呢，作为高等数学，应该首先看的第一本书就是吴老师的高等数学基础篇考研复习第一个阶段，复习考研所编的教材，这个教材跟我们大学的高等数学教材呢，是无缝衔接，包含了我们基础阶段高等数学这门课 所要求的一些二七版呢。还有一个好消息，就是为这个基础篇专门配了严选，对，这个严选题是按章配的， 所以我们复习的时候就按章复习。首先呢，看第一章的内容，听第一章的课，做严小题对应的第一章的题目。有同学说，老师我还有时间，我其实还想再做点题，那可以做什么？这是吴老师给李永乐教授编的这个数学基础过关六百六十题。 那么大家注意这个顺序是这样子，就是按章先复习高等数学基础课的第一章的课，先做严选题的第一张的练习，再来做六六零第一张对应的题，按章做数学基础过关六百六十题，难度要比严选题来的大，他实际上是选择填空题，我们最后要达到要求， 那么他的难度大，他的综合性更强。所以呢，我们在基础阶段做六六零，有些题我们可能做不了很正常。 那六六零在基础阶段，吴老师建议大家能做多少做多少，做不了的话给技校放在强化阶段做，这是个科学的选择。而有的同学呢，啊，就我在基础阶段，我非得把这个六六零要拿下，但是因为六六零他是选择填空最后的要求，那么他里面有些题要用到后面的知识点， 有些题用到的一些方法或者原理，我们在强化阶段才能讲到。你在这个基础阶段，那么内容呢？就高等数学基础篇做题，就可以做这个基础篇的严卷题和六六零的部分练习题，这个完成好要求就达到了。第一点呢是全面复习，打好基础，讲的通俗一点就是把书由薄读厚。

公式为例，结合近几年的一些考题，我们来看怎么来学懂学活这个泰勒公式，这个童年数学一的考题，他说 f 等于他，那这个时候在零点三次泰勒多项式 是什么？那这个时候呢？我们知道三次泰勒多项式，就是写到泰勒公式，把它写到三次项，这个前面的这个多项式叫三次泰勒多项式，怎么求它呢？得求 f 零 f 一 撇零，两撇零，三撇零。那么大家注意，这个一撇还好，求两撇三撇就很麻烦了， 当然你说你把这个拿来求零点的一节、二节、三节都算，能不能做？能做，但工作量就太大，所以这个题呢，直接法能做，但是太麻烦，所以我们就想也没想到。间接法，间接法呢？大家注意，你看 你有已有展示，那我们知道赛引这个泰勒展展示我们是熟悉的，哎，那么这个时候呢，我可以写出赛引的泰勒展展示， 然后呢，一加 x 方分之一，一加 x 分 之一，这个泰勒展开式大家都知道，那好了，把这两个一乘，这就叫做间接法啊，我写他的泰勒展示，我写他分之一的泰勒展示，然后两个一乘，我就可以把他泰勒展示写出来，这就是用的间接法写他的泰勒展示，那么这个时候呢，我们立马就可以知道 a 是 正确的， 还有没有别的方法呢？间接法我也可以这样做啊，我只写塞映的展示，底下呢，已经是多项式，我不用写了，那这个时候当然就是他乘上他 就应该等于分子，利用这个关系，我就可以把 a 和 b 点出，这个过程不去看第三个方法能不能用等价代换呢？那么大家注意，这个东西是趋向于零的。哎，这个趋向零，它等价于谁？我们说它应该等价于 x， 因为上一个等价于 x， 底下这个是趋向 e 的 呀。 那么这个时候你只能得到二， f x 等于谁？ f x 正好等于 x 加小 o x， 这是一节泰勒展开式，这不是三节啊，那怎么得三节呢？把这个 x 移过去啊，所以我们就考虑 f x 减 x， 那 么 f x 减 x， 这个是无穷小数，怎么写它的等值代换呢？把这个东西提出来， 这个结论等于一，先算出来，我们就得到谁啊，赛它等价于赛赢，减去它，然后大家可注意啊，可以把它拆开， 你说以这是地方，这个等价于谁？这个等价于负六分之 x 的 地方。注意，这两个减项不等价，可以用等价代换，那这个用这个一等价代换的话，那最后就等价到负六分之七 x 的 地方。 注意， f x 减 x 等于负六分之七 x 的 地方，那我是不是立马移过去，就得到 f x 就 等于 x 减六分之七 x 的 地方加小地方， 那这个就是他的三次泰勒多项式。所以我们立马就知道， a 等于一， b 等于零， c 等于负六万分之七，这就是利用等价代换。那么这个题呢，也可以利用排除法，由于这个显然是一个奇函数，你说对不对？分子奇函数，分母函数，这是个奇函数，奇函数在零点展开时，只有奇次项， 所以马上知道偶次项的系数。 b 一定是等于谁啊？零的，那我知道 b 等于零，这两就错了。 然后前面两个呢？就是这不一样，一个时候 c 等于负六分之七，一个时候 c 等于六分之七，但是我只要确定 c 的 正负就可以，如何确定 c 的 正负呢？一旦 b 等于零， f 就 等于它， 那么怎么确定 c 的 正负呢？啊？这个时候大家注意，你看这个当 x 大 于零，在零二分之派，那么大家都知道赛引赛引， x 是 小于 x， 那么所以呢，这个时候呢，你再除一个大于一，这个就变得更小，左边要比这个小，左边要比这个小，那俩要相等，那这个东西必须是负的，当 x 大 于零的时候，这个要是负的， 那 c 就 必须怎么样？小于零。好了，有人就错了，你说这个 c 大 于零，这个就错了，那好了，这个再一错，三个都错了，剩下一个一定对，这就是排除法。大家看这两题是二零二一年我们数学一的考题是给了一个 f， 求他的泰勒多项式， 你看我们两题都给了四种解法，那么这样子能够把数学的方法灵活的用到题目里边，这才叫做学活了数学，那么上了考场，我们才能速度快，准确率高呀。

考研数学基础章宇强化武中强到底怎么样？这是网上一直很有争议的一套打法，怎么样才能学好呢？今天我就联合二六考研数学一一百四十九分，且本科是双非的学长，给大家出一期详细的规划，因为他备考期间高数部分就是基础章宇强化武中强， 所以各位想选择这种打法的同学，一定要看看这期视频，这是我和他耗时打磨的，而且是二点零版本，比之前那期更加完善，肯定会对你有所帮助，拿下数学高分。还是那句话，关注魔系学长，今年带你一战上岸！ 基础张宇强化我中强这个打法，每年都会有不少同学选择，但是选择这种打法作为获得高分的选手并不多，主要原因之一，大部分选择这种打法呢，都是基础不太好，本科是双非的同学，这就很有可能导致自己的学习方法出现问题，花太多的时间去听课， 而减少了自己思考和做题的时间，所以说不是很介意这种打法。但是针对要选择这种打法的同学呢，我就联合了一位二六考研本科是双非，然后数学一一百四十九分的学长， 除了这一期比较详细的备考经验和规划。那为什么要选择本科双非的学长呢？这是因为啊，看我视频，大部分同学呢，都是本科双非，更多是二本三本的同学啊，那这样同学呢，我们看一些本科九二的高分经验呢，可能不太适用啊， 因为毕竟有些本科九八五的同学，他们的基础确实比较好啊，他们会跟你说，他在备考的时候其实比较轻松的，或者说他的学习方法是比较简单粗暴的，那我觉得如果你也学习他那种简单粗暴打法，或者是比较放松打法的话，不一定能考到他那个分数啊，除非你本身也比较有基础啊。 所以呢，双飞的同学呢，最好就看看双飞高分上岸的经验，那九八五二幺幺同学上岸的这个经验呢，也可以适当学习一下， 但是肯定不能盲目跟随的。那首先我们来说一下这个学长个人的情况，他本科呢，是河北某双非啊，数学基础还行，大学高数现在的期末分数呢，都是九十分以上， 然后高中的一些数学考试呢，基本上也是一百二十分以上，但是高考的时候发挥失误，最后高考数学就有一百加，英语呢是比较差的，所以这位学长考研数学的目标就定在一百三十分以上。他是一月中旬开始备考的，一共是十一点五个月左右的备考时间，那如果我们备考的同学也是这个时间线的话， 那你就更加可以参考一下了。 那在开始之前还是提醒一下高数部分基础章宇加强强化五中强这套打法呢，非常耗时间啊，如果不是在寒假以前就开始学习，基础差人讲的 非常不建议这样做，因为这种打法大部分是数学基础比较差的人的选择，基础好的同学呢，他会选择跟一位老师，甚至可以自学啊，正是因为基础差，不知道该怎么学才好，选择这种打法获得低分的概率远远大于高分啊。 那主要有两类同学可以选择基础章鱼和强化武中强的打法。首先第一种就如果你在四月初就结束了基础三十讲高数部分的学习，那你可以选择数学二的同学，你甚至可以把这个时间延后到四月中下旬啊。其他情况的同学呢，比如三月以后才开始，我都不建议这样高数你要么安心蓝开，要么红开， 如果红开蓝开都听不懂，还可以选择黄开，也就是跟周洋新，他的高数基础阶段讲的是比较详细的，很易懂，那么只要你安心的跟着一位老师走下去，并且自己多思考，多做题，分数一定是不会太差的。 然后第二种类型的同学呢，就是高数部分学完之后才能讲，你每一章节都是按照预习、听课、梳理做题这样的流程进行的，高数还是没有学明白，那这种情况其实基本已经很少了，或者说基本没有了，那你就可以选择五种项强化，但是如果真的是第二种情况的话，那就说明章宇不太适合你啊，你早就应该换老师了。 那总的来说，数学二同学会更适合这种打法，因为我们学的内容比数一数三的要少很多啊。 那好，我们接下来就具体看一下该如何进行。首先高数基础阶段，数学一的同学呢，建议时常在二点五个月左右，数二的同学呢，时常建议在两个月左右啊， 那我们二六考研的这个学长呢，他高数基础是在一月中到四月初完成的，同学们呢，可以按照我建议的时间完成啊，那他在三月之前的这个数学有效学习时间呢？是三小时左右啊，那么从三月开始，他这个数学有效的学习时间是每天四到五个小时啊，注意是有效学习时间哦。 教材那不用多说，三十讲和一千题，在看课之前呢，我们先看一遍，讲一下内容，上完这一讲的课程之后，那上课呢，可以用一点五倍速进行啊，先翻书辅助回忆或者是理清这一讲知识点，并把例题自己完成做一遍，将它搞懂。例题做错呢，直接当成错题处理啊，再完成这一讲对应的课后习题和一千题的基础篇。 那一定不要在题目上做标记，还有写过程啊，这会导致二刷的时候成为提示啊，不能真正检测到是否学会这道题。可以打印一个对应的做题本。那做题本呢？市面上都有啊，一千题的做题本的话，在魔性学堂上面也有啊， 我们打印出来做题本，可以在做题本上做标记，不会写错了题呢，先自己看答案学习，如果看不懂，再去找对应的习题讲解。那么一千题的讲解呢，比较推荐这个楚江湖之远和考研数学千羽啊， 在此过程中一定要注意自己是哪一步没有想到，或者是哪个知识点不记得了，并用红笔在做题本上标记出来。然后是高数强化阶段，建议时长两个月左右。 那二六考研学长，他是先学的现代，再学的高数强化，那我们同学你想选择高数基础，学完之后紧跟着强化也是没问题的，或者你跟学长一样，先去学这个现代的基础加强化，再回来学高数强化。但是要注意的是，现代和概率的学习一定是要基础和强化连着学的， 那学长是五月到六月中下旬完成的高数强化，那各位同学的话就按照我的建议时长完成就可以了。数学有效学习时间是每天四到五个小时啊， 教材是高等数学辅导讲义和研小题，先自己看一遍，讲义上的内容哪一块不是特别清楚了，重点标记起来， 看课的时候多多留意。对于一些比较熟悉的知识点啊，那可以快速过看课呢，可以用一点五到两倍速进行啊，因为五中小老师讲话比较慢， 后续还是一样的流程，梳理，做题，盯正，看一章的课，做一章的这个研试卷。那有变化的是强化阶段，我们应该降低视频讲解的比例啊，不会的题先自己研究研究答案，在这个阶段自己研究出来的思路比听别人讲更有收获，可以形成自己的思维体系，为以后的整体阶段做好铺垫。 那要注意的是，在强化阶段要不断复习基础三角上的知识点和做错题啊。好，那接下来是二六考研学长在过去一年的备考中得出的一些心得体会啊，也可以说是高分思维，因为内容不少，那我就不一一赘述了，大家可以截图观看并学以知用啊。 比较关键的就是如何高效写题，还有如何处理计算失误啊。 这个如何处理计算失误呢？也和我备考期间的这个思路差不多啊，但是我是等到十月十一月才开始落实起来的，导致我最后考题的时候还是算错了不少的题，所以大家可以尽早开始这个处理自己的计算失误。 好，然后下面还有一页，大家可以截图自己观看。接下来是现代基础和强化的学习，那这一时长呢，是在一点五到两个月左右的时间，那我们数学二同学的这个内容呢，就已经结束了， 那这位二六考研学长呢，他是四月中到五月结束了，现在学习同学们呢，可以根据我的精意神上来啊， 现在的学习呢，和我们之前的那期视频中的策略差不多。然后有一点变化，就是关于这个李正源全书啊，大家可以在学完基础强化之后看一看，作为知识点的补强啊， 还可以写一写里面的例题和习题，都是比较有质量的。现在如果大家觉得跟教材不好的话，还有其他的选择啊，就是全程没咋了于老 kara 或者李永乐，大家都可以去试听一下，那么比较适合基础薄弱考生的是这才位老师啊，没咋了于老 kara。 然后就是要再注意，在现在学习的时候呢，不论你是接触高数基础还是已经接触高数强化，都要复习高数的内容，通过翻看讲义的知识点和做错题进行，尤其是强化完的，更不要在这期间不管高数啊。 然后接下来就是概率论的学习，也是基础加强化一起进行建议时长是一点五到两个月左右，那我们数一数三的同学呢，也结束了学习内容，二六考研的学长是在六月中到七月中旬结束的，这个概率学习基础和强化这样都是方号，大家的这个学习进度呢，可以按照我这个建议的时长进行啊， 除此之外，概率的其他选择呢？还有李良和江小倩啊。那如果你的概率论选择跟方浩的话，在基础的强化学习时间，可以只写方浩的讲义题型，讲义的题型很多，而且很有质量，足够应对考试了。八八零的概率论部分相对而言还不如这个方浩讲义的题型啊，这是我们二六考研数学学长的一个经验， 在概率学习的时候呢，我们已经学完了高数和现代的内容，这时候复习任务更重了，那么每天的学习时间安排建议这样，一小时高数，一小时现代，三小时的概率要复习高数加现代讲义知识点和做错题啊。 学完数学全部内容后，如果还有时间，那么可以先完成八八零，然后再整体复习一遍这个知识点讲义例题还有错题，再开始后续阶段的学习。那数学二同学呢，就更建议这样做了，咱们的时间肯定比数一数三的同学时间多。 那好，然后最后就是学长的过渡阶段和他的真题模拟卷阶段了，那么这些呢，为时上早，大家可以先截图看一下他的思路，等到中后期我们会有更加完备的规划，现在你就当做学习一下经验，看看高手都是怎么做的。那好，以上就是一些全部内容，希望对你有所帮助。

我想告诉纪录片第一张啊，这个函数极限连续这一张，这一张呢，其实内容很多，因为他有五个课时，所以很多小伙伴刚开始学的时候会觉得，啊，怎么一直在听课听不完？好像 因为这张也比较重要，后面很多的内容都跟这张有关，所以即使是吴老他技术喜欢讲戏，这张也不能再戏了。对，所以而且这张他内容内容也是很多，然后你有很多需要去记的地方，像求极限他就有特别多种方法，我没记错的话应该是有七种吧。 啊，反正就是挺多种方法啊，然后你这张的话是非常重要的，后面很多的内容，包括你学到了啊，这个高数高数下册的时候啊，其实很多内容都跟这张是有关系的， 所以我觉得这张是一定要好好的去学的，把不会做的，不会没听懂的、没搞懂的，全都得写会。然后看一下我这张的演选题，这张演选题的题量呢，也是比较多的，一共又有啊，四十啊，三十九道题。 对，其实这张，呃，尤其是他涉及到这个函数极限连续这边，他就会有一些概念题，需要你去辨析的话，就会错，就会错的比较离谱 啊，当时这是我做的。嗯，其实看就是错误率是非常高，你看全都很多都划错，有一 些是概念题，有一些是自己知识的理解不到位，包括后面的一些证明题啊，一些这种啊，很多都不会当时，但是，但是呢，刚开始学这都是很正常的，所以我觉得啊，这一张好好搞，然后把不会的都给它弄懂了，然后我们再去看后面，刚开始学就不要特别急。

键的一种方程叫做一阶方程，而一阶方程呢，它的一般形式应该是 y 一 撇等于 f x 的 y， 这应该是一阶方程的一般形式。那么在这呢，我们首先来看，如果这个右端这个二元函数 f x y 可以 写成谁啊？可以写成两个一元函数的乘积， 这种逆极方程，我们就叫做可分离变量的微分方程。为什么叫做可分离变量的微分方程呢？因为大家知道左边外一撇就是 d y d x， 那 这个呢，就等于两个异函数的乘积。 在这注意，我们原来一开始介绍导数的时候，这个时候这个记号是一个整体，它表示导数学上为分。以后我们知道这个记号呢，就可以看作两个为分的商， 既然是看到两个商往两边同乘 d x， 好 把这个地方，这是 g y， 把这个 g y 呢，可以怎么样除下去？所以我们由这个式子呢，我们可以得到谁 d y 除以谁 g y， 然后就等于谁 f x d x， 这样子，大家看这个右端只出现变量 x， 而左边呢只出现未知函数 y， 那 这样子的话，就把这个自变量 x 和函数 y 两个就分离到两边了， 那所以就叫做可分离变量的微分方程。所以让大家注意，主要原因是这是两个异元乘积， 这个地方要不是两个一元乘积，你就不一定可分离变量，这就是为什么叫可分离变量。 然后可分离变量方程怎么求解呢？那实际上就是把变量分离开以后，两边怎么样直接积分，这个解就求出来了，这就是可分离变量的方程以及可分离变量方程求解的一般方法。 好，那么下面呢，我们来看一个具体例子，二零零六年数一跟数二的一道考题， 他说微分方程这个的通解是求通解，我们拿来以后啊，首先判断类型，然后选择方法，那大家看，左边是外一撇，右边呢就是两个一元函数的乘积， 但这样子一看就是可分离变量的方程。可分离变量方程如何求解呢？那首先是把变量分离开， 那好，左边这个 y 一 撇，我们就写成 d y d x， 它等于谁？等于右端 x 分 之 y， 然后一减 x， 变量分离开，把 y 除过来，把 d x 乘过去，所以我们就得到 d y 除以外，就等于 x 分 之一，减 x d x， 这就把变量分离开了。 然后呢，两边就怎么样？两边积分，然后作为左边积分，那这地方呢，就应该写成 l y 的 绝对值， 然后呢，等与又再拆成两项，第一项积分就是 log x 绝对值，第二项减一，一积分就是 x， 然后呢，这头呢，加上一个谁，加上一个 c 一， 然后完了以后，注意通解是我们当然希望把 y 用 x 表示出来，由这个地方呢，我们首先得到的是 y 的 绝对值，就等于 e 的 洛，以 x 的 绝对值解 x， 然后再加 c e， 但这个等于谁呢啊？这首先有个 e c e， 那 么这呢，还有个 e 的 负 x， 注意 e 的 烙印， x 绝对值就等于 x 绝对值，所以前面应该有个 x 绝对值， 那这两边都有绝对值，那这个 y 应该等于谁？就应该等于正负 e c， 这呢 x 这个绝对值，这个正负号也放到前面去，然后后面呢就是 e 负 x 啊，这是用 c 一， 然后完了以后呢，我们把整个这个它是一个常数啊，我把它记作一个 c， 所以 我们就得到它的通解，就是 c 乘上 x e 的 负 x。 好，那这个通解就找到了，所以就拿到以后呢，我们首先看出它是可分离变量的方程，然后变量分离开两边积分通解就找到了， 这是一阶方程里边比较常见的一种类型和它的结法。那下面呢，我们再来看叫其次方程，注意它的右端呢。

今天一个视频教你把考研的高数备考攻略讲的明明白白，接下来我将会从每个阶段该做什么书，然后买什么细题，以及该看哪个老师的课。我们将从以下的三点来进行描述。很多人是不是觉得有点早啊？其实我跟你们说，真的不早，当年我也是这个时候开始收集各种资料，然后给自己 做了一个形成规划。因为大家也知道，二五二六年的数学题都偏向于简单基础一点的重理解、定义这些，而不是说难点。然后如果是今年二级考研的话，我严重推荐选择五中祥老师的，因为他的书比较重基础，然后定义、概念理解，而不是说那些技巧性的一些 题。我买的书是高等数学基础年，为什么推荐买这本书呢？因为他讲了全部的知识点，而且重点难点有侧重，就是今年还增加了一个二期的延答题，往年的延答题是在后面阶段的，今年买了二十七年的题，我打开之后发现他一道题有五种解法，甚至更多的解法，这可以让我从不同的角度来 思考这道题，然后有不同的解法突破我的思维，让我选择一个最适合自己的方法。而且他的重点难点，比如说呃定积分的证明中制定理，以及一些 那竖列极限这些比较难的，他放在了呃强化阶段，而不是说这个基础阶段。当年我觉得这些部分我当时不知道这个是难点重点，我以为也是基础部分的，然后我就一直学，我发现学不懂，来来回回一直就是脑子就 刻在这里了。然后我现在才知道吴老把他们画在了强化阶段，而不是和基础阶段。也就是说数学是一个由易入身的过程，如果有些东西特别难的话，放在基础阶段其实不太容易理解，所以说吴老把他们放在强化阶段重点讲，当然基础阶段也会有一些经典的例题来解释。 然后基础阶段如果有余力的话，也可以做一下六六零，我当年就是选择了六六零，但是基础阶段千万不要气馁，六六零虽然有点难，但是就是基础阶段正常，做不出来，不要太难过，我觉得到了强化阶段做不出来也还正常，所以说大家不要太焦虑这个错题率。当然数学如果 一开始学的话，就要跟紧了。吴老师的每日一题，在微博上，我当时每一道题都跟，当然在 bilibili 上也有。然后这个每日一题他也是分阶段的，是一开始都是简单的，然后后来越到越来越到考研的时候了，他就 变得越来越难了，大家一天要跟好的话，一年就是三百六十五道，然后我们就比别人多了三百六十五道经典的题。第二个阶段就是四月底到六月初的一个阶段，就是一个现在的学习，我推荐了书 复习全书的基础篇现代基础是李永乐老师编写的，当然今年他也附带了一个严选题。然后基础阶段的话，现在的这个基础书和严选题两个可以一起买。 大家也学过高数的，学过现代的，可能知道现在他不像是每一个章节就是毫不相干的，而是他像一张王，一无一失的把所有的章节都给联系起来的，而李永乐老师真的是现代里的王中王了。其实很多人从高等数学过渡到现现代书的话还不是特别的 清晰，可能是有点乱的，思维比较混乱，而且现在本身又很抽象啊。然后李永乐老师的这本书的话，可以教你完全的把现代形成一个完整的知识体系。当年做题的时候，其实我当年就想着是，嗯， 这个题我就记住这么做，然后套公式，然后其实我遇到一些新的题型比较创新的话，我就完全不理解，我就想着你套公式也不对啊。其实我觉得现行袋鼠要是学好的话，必须要了了解它的深层含义。 然后六月份到七月份的话，就是一个高数的强化阶段，然后现在的高数二七年的高数的强化阶段的书还没有出，每年其实都一样，就是高懂数学辅导讲义也是武忠祥老师的，他真的是数二的神。我当时是学数二的，我觉得吴老真的是完全了按照了我的一个逻辑去设计的，这本书真的让我受益很多很多。 然后八月份的话就是一个数学的现代的一个强化阶段，强化阶段的话也是买的是利用乐老师的现代的强化的书，现在阶段的话二级考研还没有出。呃，每年都这样就行。然后习题的话就选择那个严选题当时没做完的， 或者是说六六零里边，其实六六零里边的现代题比较简单，如果大家有余力的话，可以选择八八零里的现代部分，它真的也是很经典，八二零也是像经典中的经典，它每年也是不是变化很多的，所以说如果觉得六六零里的现代题简的话，可以看一下八八零里的现代 月份，十月份的话就是做一些强化的书，就是我刚刚说的这些题，然后及时的复盘，就是也不用太开始 做真题，就是分数不重要，重要的是是不是你每一套卷子是不是在同一个地方就是出错，那就是你的弱区，然后你再回到六六零里那一章节，然后进行具体的练练，然后六六零这一本书把每一个就是类型都归结在一起了，然后我们正好做真题的时候，不太会的话，然后我们 就去六六零里找相应的题型，然后我们就一直练，找相似的题型练，而不是说让你就是看分数。十一月的话，十一月十二月的话我们就可以开始我们的 什么了，我们就可以开始我们的模拟题了，我当时是真的是也是做了大量的模拟题，其实我发现我在前面视频也讲了，这样做也不是正确的，我们不能说一一味的刷题，然后这样的话其实对我们自己 脑子也消化不了，而且又又没有什么收获。翻模拟题我们就要及时的复盘，然后一周的话就复盘一次，然后把以前所有的错题都复盘一次，然后每一日一题，千万不能落下，每天都要跟，然后这就是我的一个大致的一个攻略吧。所以说大家现在二期考研的人还在等什么呢？抓紧学习起来高数吧，越早开始越好呀。

二期考研五中强高速强化到底怎么学？众所周知，武神的强化是非常非常狠的，精华也基本都在强化，所以接下来我就会详细讲解哪些适合武神的强化，以及强化阶段该买什么书，听什么课，做什么题，时间怎么安排，还有什么注意事项，以及有没有什么相关的分决。 第一个，如果说你的基础是跟着武神，那你毫不犹豫的话，强化是只能跟武神的，而且是必听的。如果说你的高数基础是跟着其他老师，并且你已经把这个基础学的差不多了，那我建议你可以进行一个专项补充，就比如说你在这个不定积分或者奥数积分这块学的不行，那你可以针对性的去看一下武神的辅导讲义，以及他所对应的课程补充。 第二个，关于什么时候开，如果说你进度非常非常快，就说你已经把高速基础过完了，就可以直接开始高速强化了，因为很多老师现在可能现在还没有开始，或者说有的人进度更快，已经把去年的这个老师的高速现代基础全部听完了，那你就可以过完现在直接开始高速强化了。 第三个，五神的课程到底怎么学怎么听？大家可以参考一下二六的这个时间的官方时间安排。二六的话，五神的课程如果是数二的话，你只需要听前面的十九节课，差不多两个小时一节课，你总共四小时左右，一般来说两个月之内是肯定能学完的。 同步的话，你可以去刷今年配套的高速辅导讲义的迎选择题，但是我还是建议买一本配套的三三零，因为今年全新改版的全部是大题，是专门用来突破高分的，这强化阶段是必刷的。 如果说你基础上六零还没刷完的话，可以先刷六零，刷完之后直接去考虑刷三三零。总体来说，强化阶段一定是少听课多做题的。大家说如是基于你在基础上学的很扎实的情况下来说，如果说你的基础跟的是武神学的很一般，那我建议强化还是跟着武神仔细的再过一遍，你强化完之后肯定会有不一样的想法的，做题一定会更加顺畅。 关于怎么看课，我是这样建议的，你跟武神的话，强化阶段一定要开倍数看课，在他讲完基础概念之后先暂停，再把后面这个立体先做一下，如果说能做出来这个地方直接跳过，如果说做不出来，再去详细看武神讲解。如果武神的方法跟你的方法一模一样，就快速跳过，如果他的话跟你的方法不一样，就把这两个方法融合一下，全部给他记下来，给他学会。 如果说你做不出来这个立体，那这地方一定要重点去复习这一块的地方，这也是二刷讲义，怎么刷？刷哪里，并且好好听武神看他是怎么讲的。 关于这种强化辅导讲义，确实非常非常精华了，我建议大家可以尝试去二刷，要去大量的做题，不管做三三零也好，六六零也好，配套的学习题也好，做完之后你再去对应的去进行一个薄热专题，进行二刷奖励就行了。大家如果说有其他问题，也可以在评论区补充出来。最后还是那句话，关注熊三，带你二期考研以上逆袭九八五二幺测试。