南开一模数学最后一道题满分标准

二零二六南开区一模的十二题，这个题我觉得出的很好，他说四边形 a、 b、 c、 g 呢？他俩是平行的角， b 是 九十度。呃，然后又讲这个 ab 是 等于四的， ab 是 等于五的， bc 是 等于八的。 就当你读题读到这的时候呢，因为这玩意垂直又平行，所以就是一个直角梯形，这是四，这是五，这个地方是八，然后如果我在这咔嚓剁一刀，那这块就是五，这块就是三，这块是三，这块是四，那么这条边就是等于五的， 是我初步的一个想法。然后接下来接下来说什么呢？他说动点 m， 从 c 出发，速度是一厘米每秒啊，这是一个涉及到动点的问题，然后经过这个 m 呢，做一个垂直， m 也在动， n 也在动，所以说这块的这个 m 和 n 呢？ n 是 随着 m 的 移动而移动的。 呃，这个地方还有一个动点动点，这个点 p 呢，是从 b 出发，也就这一段而言，它应该是一个三 t， 当然这段刚刚忘说了是一个 t。 呃，然后接着再往下走。呃，说什么呢？规定点 n 与点 p 相遇的时候，这个运动停止，所以你需要感受一下什么时候会停。 呃，当点 n 往上逐渐走啊，点 n 往上逐渐走，其实你就看 m 就 行。比如 m 是 从右往左来移动，这个点 p 呢，是从 b 到 a， 再从 a 到 d， 然后还拐不拐弯，是这个意思啊。 呃，那你来感受这个点 p， 从这到这，从这到这，一共是九，三， t 等于九，这个 t 就 等于三，哎，正好是不是正好是等于三的？你说他们两个应该是在 d 的 这个位置相遇的。好了，大致的这个图形的分析呢，就讲到这，这个题我相信大家都有啊，我直接拿这个图像来给大家看一看 他的整个的运动轨迹，就是啊，我这个 t 等于零的时候，这个地方刚刚开始，这个单已经逐渐成立啊，逐渐走，逐渐走，逐渐走，也就说当这个 p 到了点 a 的 这一瞬间的这一下，这是一段， 什么时候到这一段呢？因为我们刚刚在推断的时候呢，得到了这段是等于四，然后这一段是等于五，斜着的这一段也是等于五，然后横着这一段，如果我从这做一个垂直，那这个位置是等于三的。下边这块呢？是等于八的， 因为点屁吗？他是三 t， 所以 当他到达 a 的 那个位置，你说分两段走，第一段，这个 t 应该是大于零，小于三， t 等于四， t 就 等于三分之四，这是第一段。第二段呢，这个 t 得是大于三分之四，然后小于 三啊，小于等于三吧，这个地方可以等于这个地方，也可以等于这个等号，其实上下都是 ok 的。 嗯，基本的图形我们的分析也就到了这个地步，然后继续往右走走走，大约是这个样子，到点 d 的 这个位置呢，二者进行了一个重合，我们 一个选项一个选项来，他说第一个 t 等于一的时候，当 t 等于一的这个瞬间， t 如果是等于一的，那你观察这个图像，问我这个 mc 和 ap， 呃， mc， 那 这块就是一呗，因为这块就是速度乘以时间就是一，那这块不是三吗？ 他的速度是等于三的，时间是等于一的，这块等于三，这块是等于啊一的。这个圈一太简单了啊，没有问题。第二个，当 t 等于二的时候，我把这些都去掉啊，你们先知道有这个东西， 当 t 等于二的时候，逐渐往右再进行推进，大约到了现在的这个位置啊，它的图像就长成这个样子。其实你就想嘛，这块是等于四二， t 的 话有二乘以三，拐个弯，那么这块的长度就等于二。他问我三角形 p m、 n 的 面积， 现在的这个面积，那么这块是等于二的。呃，其实你还可以这样来想，就是对于这个角而言，它的勘探值你是知道的。经过点地向下做一个垂直，这个地方如果写一个 h 的 话，这个角是个阿尔法，它的比值就是四比三，勘探的比值就是四比三，所以这块比上这块也是四比三，也就是 n m 比上二就等于四比三，那么这个 n m 就 等于八比三。好了，这个底儿就解决掉了啊，这个地方是八比上三，那这个高的话，其实也也容易去求啊，就是通过点 p 向这个地方做一个垂直，你，你完全可以 从这个地方往这边一延伸，这边一延长好了，因为这块是等于二的，然后这块是等于二的，整个的大的不是等于八吗？所以这个高应该就等于四。那么这个三角形的面积呢？就是二分之一乘以三分之八，再乘以一个四，这个 二和八去掉一个二，它就是三分之十六。哎，圈二也是对的。然后看圈三， 他说当 t 大 于一小于二的时候，大于一，小于二，大于一，小于二。我刚刚给的那两个范围当中，大于一小于二。第一种情况的话，这个 t 得是大于一，小于三分之四。第二种情况的话呢，得是大于三分之四，然后来小于二。当然随便一个等号 就都可以啊。他说在这个范围里头， p m n 的 最大面积是多少？哎，有点像是二十四体的那个味道。你要分情况来聊啊，但凡是遇到这种一个点运动，但是他处在不同的边上来运动的时候，你肯定是要去考虑这个问题的。比如我这个三角形吧， 它的面积应该是怎么求呢？看这啊，这个地方的速度是一，所以这个地方是 t。 刚刚又聊到了，这个角的是阿尔法，它的值是四比三，所以这条边你是可以用 t 来表示的，它就是啊，三分之四倍的 t。 那 如果像现在这种情况，我从点 p 往这边做垂直，长度也就是 b m 的 这个长度好了， b m 就是 八 减 t， 所以 对于圈一的这个情况而言，他的 s 就 等于二分之一，乘以三分之四 t， 然后再乘以括号里头的八减 t。 好 了，这是第一种情况，我就写 s 一 吧。 到了第二种情况，也就是当 t 大 于三分之四啊，大家知道，当 t 大 于三分之四，小于等于二的时候，他的图像会长成这个样子，这个高 还是三分之四 t， 这个没得说是吧？这个高还是三分之四 t 来啊，圈二对于这个 s 二而言的话呢，就是二分之一乘以三分之四 t 再乘以 这个，哦，不，说错了，刚才是底啊，这个底还是三分之四 t， 这个高就会变了，变成多少呢？你得从这个点 p 向这边做垂直，你除了要去掉这个位置的 t 啊，这个地方 m c 不是 t 吗？除了去掉这一块之外，是不是还得去掉这个 a p 这一块？那么从点 b 一 直运动到这个位置是三 t 减去四，所以这段的话呢，就是三 t 啊， 三 t， 然后减啊四，呃，所以对于圈二它的高而言，应该是等于八减去 t， 然后再减去三 t 加上一个四，这是两个指数，然后你分别从这两个二次函数它给的这个范围当中来求出它们所对应的 最大值就足够了。这个圈三啊，最后算出来是错的，具体的计算你们来进行啊，我主要给大家看这个思路。

南开区的一模，凭心而论，这个题的难度有点大啊，给大家讲一讲这个题目。首先第一问就不用多说了，他这个题的大概的感觉就是，我有一个固定的等边三角形，这个等边三角形呢，边长是等于四倍的，根号三的。 然后呢，有一个小个的等边三角形， p m n， 这个三角形随着点 p 向右来移动，这个三角形是在逐渐长个的，从这么小变成了这么大，大概的意思就是如此啊。当然还有一个 o p 的 长和 m p 的 长是一样的，并且 o p m 也好呀， m p n 也好呀，什么 n p d 也好呀，就这些所有的角度都是六十度。 有了这样一个初步的感觉之后，我们来看这个第二个图，也就是当点 p 逐渐向右来移动，走走走走走。哎，在这一瞬间的时候，他问我 c g 的 长度，我觉得这里边比较简单，除了第一问的啊， 比较简单的就是表示 c g 的 长度，你来感受啊，就是我要表示的是这一段，那我去表示线段的长的时候，肯定是要跟别的线段产生一些关系， 那么唯一能用的这个 t 只有 o p， 不 像别的啊，像常见的那种平移的话，可能会有好几个 t， 像这种的一平移一放大，好像只有 o p 是 等于 t 的。 所以我想要表示 c g 的 话，你脑海当中来想，这个三角形是一个三十度、六十度、九十度的三角形，这比较好。正，我就不多啰嗦了，我可以从这条边或者这条边或者这条边任意求一个就可以，你就去感受哪一个更好。求啊，等你挣扎完之后你会发现哦，这个 c g 是 落在了 c g 上的， 这个 c g 你 知道 c g 应该就等于 b g， 等于那个大的等边的一半是二倍的根号三。哎，那我要求 c g， 其实就是求 d g， 然后你再观察 d g 所在的三角形啊， b g p， 这个三角形是一个 三十度，三十度，一百二十度的这样一个三角形，怎么样来正的啊？就这个角是六十，这是垂直的，然后这条边三，这条边是等于根号三，所以这个角就是三十，当然这个也是三十，当然这个 也是三十，就你再去推三十，三十一百二的时候呢，还是比较简单的。然后接下来到 d p 的 这一段啊，我得表示这段啊，它比较好求，就是 t 减三，那么这条边也是 t 减三，那么这条边就应该是根三倍的 t 减三。往这一划啊，根三倍的括号里 t 减三。 然后我再来去表示这个 c g 的 时候呢，就应该等于二倍的根号三，长的吧，长的减去这个减去根三倍的 t 减三，就这玩意算出来，应该等于五倍的根三。减去根三倍的 t， 表示这个线段相对来说还比较友好一点。它没让你表示面积吗？是吧？表示线段还友好一点。呃，然后第一个难关就已经出来了，就是说，呃，重叠部分，如果是一个五边形，想要让我们求 t 的 取值范围， 无非就是你看着这个图，把这个图像左挪一挪，然后向右挪一挪，如果这个图像左平移，你感觉一二三四五，这五条边哪一个容易被消灭掉？向左平移，当点 p 向左平移的时候， p g 是 越来越小的 p g 是 越来越小的 g h 是 不也得是越来越小的？ 那么这个 m e 啊，是往左平移，它是不是应该是越来越大的，所以它也不会消失， ef 也不会消失，这个 m h 也不会。然后你再来看这块，这块因为你是向左平移，所以这块的这个交集，也就是和大三角形的这个焦点 f 和 g 是 不是也并不会消失？你就找到了这个瞬间，当点 p 到了 d 的 这一下的时候， 满不满足要求，只需要判断这个事，哦，也就我这个地方是不是那个临界点呢？呃，大家看我这个图，能明显的感觉到里边的这个小三角形等边正好和这个大的等边呢相交在了这个位置，但是你自己你说我，我画图感受不出来啊，哎，我就要给大家看这个事啊， 我怎么判断？当点 p 到了 d 的 这个位置的时候，刚刚好这个 n 到了 a c 去感受这个过程，呃，这一块到了这，当点 p 到了这的时候呢，也说 p n 的 长等于 o， d 的 长等于三，这段的长度呢，是等于二倍的根号三。那你想我从这做一个垂直的话，那我说这块啊，这块是根三， 这块是不应该就等于三哦，我这个 n 恰好落在了这一上边啊，那我这个地方就能够明显的感觉到这个 t 应该是比三要大的， 当这个点向右平移一下一点点的时候，是不是已经是一个五边形了啊？从三角形过渡到了五边形， t 呢？是大于三的等于三的时候，通结部分还是三角形，所以不行。 然后接下来你又开始观察他给我们的这个图啊，这个瞬间的时候，然后你开始想，呃，当这个三角形向右来平移，什么时候达到那个临界点呢？ 你可能会有两个选择，第一个就是我这个 m 向右挪，大约和 ac 交集落在 ac 上这一瞬间。第二个就是我这条线 刚好平移经过 c 点的这个位置，使得 f g 是 不是没有了啊？这两个你都可以考虑，然后把这个临界点的图呢都画出来。首先第一个让 m 落在这上边的时候，也就是说我使得 o p 转上去，那么这一段的长度你明显的看到点 p 是 在这个位置，那么目前这条边是不是还没有经过点 c？ 你也可以强行的让它经过点 c， 然后反过来推这个点 p 在 什么位置。比如我强行让它经过点 c， 你 会发现这段就是二倍的根号三，那这段既然是二倍根号三，这个三角形还是一比一比根三的那个三角形，所以这块是啊二，这块也是啊二啊，也就是这个时候的点 p 呢，刚好落在了五的这一瞬间。好了， 当你把这个瞬间画出来之后，你发现 m 早就出来了。好，那我这个地方就应该是让 m 落在 a c 的 这一瞬间，是我想要的五边形的另外一个临界值，现在重合，现在的重合部分是一个四边形，然后我们再来看啊，呃，这块的 o p 怎么求？ 你在琢磨这个 o p 的 时候，其实你想我求 p m 也行，我求 p n 求 m， 我 只要任意一条边求出来就可以。然后这个地方的六十度我感觉有用了。为什么说有用？因为你把 o m 就 能连起来， 这玩意连起来之后，这个 omt 这个三角形是不是也是一个等边？也就是我只要把这条边求出来是不是也可以？ 为什么要求这条边呢？因为这条边这个角好表示，这个地方不是三十吗？这个地方是三十，这个地方是六十，这个地方是垂直的，这条边你是小的，是等于三倍的根号三，那么这条边就是二分之三倍的根号三，那么这条边应该是从这个乘以根三来的，就是二分之九， 那么对于这个 t 呢，就是大于三小于二分之九，两端都取不到啊，你要特殊关照一下这个事啊，两端能不能取到好了，也就是说在这个范围里头呢，是一个五边形的存在。 第二问讲完之后，我们来聊第三问，第三问给我的 t 呢，是大于一小于五。呃，因为刚刚我们在去思考的过程当中啊，就是这个五是刚好到这一瞬间的时候，也就是说重合部分应该是这样的一个三角形，这一瞬间是一个三角形， t 等于一呢，往这走走，走到这个位置，也就是哦，现在来讲，这个三角形是一个边长为一的，等边三角形 有了这样一个感觉之后，你再去呃，拖动这个点 p， 你 会发现，当他在零到三之间的时候，你看啊，当他在零到三这个之间的时候，是不是就是一个三角形放大缩小的这样一个感觉，当他到三这一瞬间的时候呢，刚刚好 n 落在了 a c 上， 也就是说从零一直到三的这一块都是三角形，并且这个三角形的面积是在逐渐的增加的。呃，这个地方不能写 x， 应该写个 t， 是在逐渐的增加的啊。从零，我别写零了，就写一吧，因为他也没让我求那个零。从一到三这个地方是一个三角形，随着我从三向右来平移，刚刚第二位当然就用上了，这个时候是一个五边形，到几呢？刚刚也求了，应该是到二分之九之间，那这个地方应该是一个五边形， 再往后从二分之九得到五，这是四点五到五吗？从二分之九的这一瞬间直接往右再动啊，也就当 m 落在 a c 上的时候呢，是一个四边形，然后继续向右动，继续向右动，当他点屁落在五的时候，也就是刚好经过了 c 点的这一瞬间的时候，是一个三角形，也就从这到这是一个四边形。 我写这个东西呢，其实用处也没有那么的大，主要是为了让你感受在三角形的这个部分，同轴部分的面积是在逐渐的上升的，然后五边形这个位置你得思考一下了。 当我这一瞬间向右平移这一下下的时候啊，整个的大三角形是在变大的，但是这个小角出来了，这个小角也出来了， 那么这个大三角形变大的速度肯定一开始比这两个小角要大一些，所以在这应该是往右再走，往右再走 出来的，会越来越大，所以你感受。我说这个地方什么时候取到最大值呢？并不太清楚，或者说在五边形这有可能是上升下降，甚至也有可能是逐渐都是在上升的，所以我觉得最大值呢，应该在五边形的这个位置取到，需要把它的解析式求出来，你像这个三角形也好，像这个四边形也好，这个解析式就可以不用求了。 那当点 m 落在这一下的时候呢？这是一个四边形，明显的是不是看着比五边形的地方要小一点，然后再向右经过点 c 的 这一瞬间，这个部分重合部分应该也算是最小的。那你现在的感受就是要么一这个位置取到最小，要么五这个位置取到最小，这个好求。 呃，这条边是等于二的，这条边是等于一的，这条边是等于根号三的，这条边等于根号三，所以这条边是等于三的。当然你也可以不用求那个三啊，他这个地方就应该等于二分之根三倍的根三的平方，三 十度，六十度，九十度的这个三角形呢，它的面积就等于最短的这条直角边三十度所对的这条直角边的根二分之根三倍的 a 方。把它当做 a 来对待啊，那这个一算出来就是二分之三倍的根号三，刚刚的这个一边长是一， 它的面积呢是等于四分之根号三乘以一的平方，所以一这个位置会更小一点，如果你画图比较好，明显看着这个就比那个要更大一点。好，接下来就到了五边形的这个 最小值，我们已经解决完了。接下来到五边形，我把这个图呢放在现在的这个位置，我要把这个五边形的解析式给他求出来。这是这个题里边比较困难的一个点， 但是我已经把这个 c g 是 不是已经求出来了，也就是这个是可以拿来用的。看这啊，我要求这个五边形把它写上一个圈一，把它写上一个圈二，把它呢写上一个圈三。所以我只需要把一加二加三求出来，然后再把这个三求出来，然后再把这个二求出来。用大的减去那几个小的是不就够了？ 这个大的是一个等边，边长是等于 t 的， 所以这玩意就等于四分之根号三倍的 t 方。 为什么先把圈三拿出来呢？他好欺负一点。这个圈三再去表达的时候是一个三十度，六十度、九十度的这样一个三角形，我只需要知道 hp 就 可以。当我知道的是不是应该是这条边是等于 t 减三，那么这条边呢，就等于二分之 t 减三，那么圈三就等于二分之根三倍的二分之 t 减三的平方。最难的出来了就是圈二这个三角形。哎呀，前不着村后不着店的， 这三条边我得挑一个来欺负，哪一个比较好欺负呢？完了，我觉得啊，应该是这个。呃， n f 好 求一点，为什么？因为我知道了 c g 就 可以知道 f g， 然后这块这个 g p 的 这一段是不是就等于 t 减三？我把它写一下，它就等于啊 t 减三，然后这一段刚才我们已经求了是五倍的根三减去根三倍的 t， 当你有了这个之后，就可以求 f c 是 它的一半，然后再到这就乘以根三，所以就是用它除以二，再乘以根三，那么这段的长度就是 二分之根三倍的五倍的根三再减去根三。 t 这段有了，这段有了，那么这段也就表示出来了，那么圈二的这个面积也可以表示的出来啊，也可以表示出来。行了，从思维上的难关上呢，基本上也就讲到这了，剩下的就是大家自己来算，这个题算起来也非常的麻烦，但是我觉得听完这个讲解啊，应该明白这个题到底是怎么样一个东西了。好了，讲完下课。

二六年的模拟题陆续的都已经出炉了，我会选择每一套卷子当中这种比较经典的题目呢，给大家讲解一下。今天的第一道题，就是关于南开的一模的二十一题，这个题其实比较简单啊，我给大家聊一聊 他这个地方说了一件什么事呢？他说 a、 b 是 直径，然后 b、 c 是 切线，这个地方既然有切线，那垂直自然而然就出来了啊。然后说 d e 和 a、 b 是 垂直的，那这个地方如果也垂直的话， 他们两个平行自然而然就产生了。呃，我在这再强调一下，就是你们在读题的时候，不是干巴巴的读题，而是一边读一边加工条件啊，有了两个垂直，他们两个就平行，然后说垂足为点 f， 又告诉我说这个 b e 和 c g 平行啊，这段 和这段是平行的，自然而然就会想到就这个这个四边形，就是一个平行四边形。他说如图一呢，如果这个角 c 是 二十五度，因为你刚才已经有加工的这个条件了，平行四边形吧，那这个是二十五度，那这个就会是二十五度， 并且你从心里边来感觉啊，一定是这个二十五度用处更多一点，因为这个在外边，这个属于是二十五度，并且也属于这个圆的圆周角。 又告诉我说角 b o d 啊，让我求这个，那这太好求了啊，让我求的这个角在圆里面的角色，是啊，圆心角，就去看这段的弧，那么这段的弧正好对的，就是这个 e 的 圆周角，那么这个角就是五十度。 第二个说这个 e， d， b， e， d， b 啊，这个角，那这个角自然而然应该是跟角 e 是 相等的，为什么相等？你在正的时候呢？肯定是要用上这个。 刚刚在说这个垂直的时候，因为我聊了一下平行，还少说了一句话，当你在圆里边看到了垂直于弦的时候，自然而然会想到垂径定律，那么有这个垂径定律的时候，就可以得到这个半径就是 e、 d 的 垂直平分线，那么这个角和这个角就一样了。第一问比较简单， 第二问，在做这一问之前，一定要把其干当中的条件再读一遍，他说 a、 b 是 直径，然后告诉你，这玩意是切线，那这个地方是垂直的。 嗯，弦又是一个垂直的，这个地方也垂直的，所以这两条线仍然是平行，又加上这两条线依然是平行的，那么这个平行四边形 e、 g、 c、 b 仍然是存在的，只不过从这往上走了，对吧？包括这个地方垂直垂进令里是不是也依然是存在的？ 后边说这个 c g 是 等于十的， bc 是 等于十二的，那这个地方是十，那这个地方就是十，这个地方是十二，那么 e g 就 得是十二。又因为这是垂直径理，所以这就是六和六的一个组合。它说让你求圆 o 的 半径和 a f 的 长， 圆 o 的 半径和 a f 的 长，你就观察这个图，这个地方有个六，这个地方有个十，这有一个垂直，自然而然这个 f b 是 不就出来了？ f b 就 等于八，那 f b 的 话呢？是不是包含了半径的这样一个存在？那我这个三角形 垂镜镜里的这个三角形当然就用上了啊。呃，求半径射半径吧，这个地方是 r， 那 这个位置呢？就是八，减去 r 这个地方就是 r， 在这个三角形当中就可以得到一个式子，就是八减 r 的 平方加上六的平方，就等于 r 的 平方。通过这个式子呢，把半径一求，半径求完了之后，呃，这一段知道了，那么 a f 也就知道了。好，讲完下课。

和平考的那一天，南开也一摸也考完了，我觉得南开这个卷子给人非常非常有这个词啊，非常有分寸感，我觉得出的比较理想，并不是像大伙说的多难多难， 觉得和平的一样，出的非常到位，非常理想。现在这个教员们水平确实很高啊，咱们来欣赏一下这个第十八题。十八题呢，条件非常简练，就点 a 是 格点，点 b 也是格点，让我们干什么呢？让我们把 abc 绕着点 a 转九十度， 那所以说跟中考一样，而且比中考还简单了。第一个 a b 三乘二小根对角线，你转九十度以后点 m， 你 是转二乘三是吧？所以点 m 直接就在一根，那么当然咱不用连到考试手，你这个 a、 b m 是 个等腰值，如果你真能实现 把这个 a、 c 也也转这个九十度，比如说你看人家说了叫点 n， 那 我首先想到的是手，拉手能行啊，就我我说我第一遍。咱们先说第一个思路，我当时做的时候，一看旋转形全等，所以 m a、 d 是 等腰值， n a、 c 也是一个等腰值， 所以说呢，拉手线 m、 n 一定得和 b、 c 的 夹角，也得九十度，所以我第一个做法，我的思路就是我找到 b、 c 的 垂线，然后平行。 就跟老题一样，我第一遍做的时候，所以说我怎么办？我的做法就是我连接 co 并延长和原有一个交点，比如叫点 d， 我 连接 b， d 连接 b d， 现在这个 b、 d 直径随圆周角九十度啊， b、 d 肯定是跟 b、 c 垂直的，所以我再 过点 m， 一 条 b、 d 的 平行线，当然你做完这个平行线没完呢？做完这个平行线以后，我只能知道 点 n 在 这条直线上，那点 n 还在哪呢？这个 a、 n 不 还得跟 a、 c 垂直吗？所以说同样 c、 d 是 直径，我再连接 d， a 再延长这个点 n 肯定也在这条线上，我连接 d a 并延长，这不九十度吗？ 所以说他肯定 a、 n 点在这条线上。我最后我做过 m， 做 b、 d 的 平行线，我们把平行做一下，这个之前咱们专门讲过，就是过格点做已知直线的平行线，就非常简单了。比如说你看 b、 d 和这有个焦点，咱们连上 它和横格线的焦点，也就是中点，我们再把 d、 d 延长一下，它这个横线不有个焦点吗？我连接它俩再延长， 这边是不是有个焦点跟这个横格线有个焦点啊？连，很非常草率啊。现在这个焦点，这里是点 n， 就是 d a 直线 d a 和刚才 m 横格线的焦点的连线，就是真正点 n， 这个肯定是你描述清楚了，阅卷的时候绝对不会算你错。 但是这是我在直播间处于应试的状态下快速做完的一个情况。但是当我做完了以后呢，直播间的粉丝们分享了两种新的思路， m 还是在这里，是吧？没毛病。这样，我们如果连接 b m， 因为三角形 abm 是 个等腰值，所以这个角是一定是四十五度，这角一定是四十五度， 那我们本来本来 a、 c 在 这，我想做 a、 c 的 垂线，和刚才的思路是一样的，连接 c、 o 交于点 d， 然后我再连接连接 d a 并延长， 是吧？我们想找什么呢？我本来不是想找这个 a、 c、 n， 注意， a、 c、 n 不 也得是等腰值吗？画上它，画上它不要紧，如果那真能找到这个 n， 你 这个 a c n 不 也得是四十五度？ 所以说，上哪找这个 a c n t 呢？同学们很聪明嘛，刚才 a m b 和这个圆有一个焦点，如果叫点 e 的 话，我现在弧 a e 所对的圆周角本来就是九，这四十五度， 所以说，我直接连接 c e 和这个 d a， 延长线的焦点必然是点 n， 就 比我快了十万八千里了。估计出卷人就这么想的，这是第二种方法， 通过这个方法呢，又想到了第三种方法，这第三种方法就把它提回了，怎么个意思呢？两两根线，我先连接 co 与它交于点 d， 然后再连接 d a， 并延长和横格线的交点，就点 n， 别的都不用画，我就画两根线，行，为什么呢？因为本来啊，这是一个一线三之角，你过点 c 向这做个垂，比如这有个 a c f， 然后咱这是 a n， 至于吧，你本来九十度，九十度是吧？然后 a g 得一， c f 也得一，已经是垂直的了呀。所以你可以正这两个小角相等， 那么现在这两三角形本来就全等，所以说这条延长线上这个点一定能满足这条线段的长等于 a c 的 长。 所以说，呃，如果你是用的这个思想，相当于这个题有点出漏了。当然你回过头来看一看，咱们刚才不管是用的一方法一，方法二还是方法三，这个点 c 在 格线上这件事情我们从来都没有用到， 所以说呢，应该是有一点小出漏的的感觉。但是这里边通过我们去思考，发现这个同弧所对的圆珠角相等这件事情确实很好用， 并且呢，刚才的最后一个方法也体现了格线上的这种旋转的效果。通过构造一箭三只角，可能未来也能在某些题中起到重要的作用。

南开区一模数学刚考完，这套卷子到底难不难？有哪些坑？今天肖老师一条视频给你讲透，初三的家长跟孩子赶紧收藏！先说整体，中等偏上，基础题占不少，但压轴的，比如说十二题、十七题、十八题、二十四题、二十五题，非常考验思维 拉分的关键，关键是这套卷子跟中考的分值难度基本上吻合，在一定程度上其实是很有指导意义的。先说说选择题里边最容易出错的几个问题。第七题的反比例函数比大小，很多孩子直接带数值， 忘了看象限，结果马虎出错。第九题，平行四边形加尺规作图加斜边中线，很多孩子啊，不是不会做自己，把自己给绕晕了，说白了还是基础不过关。第十一题考旋转加圆，千万别硬算，找角度关系其实就不难了。十七题，正方形综合需要正全等 勾股定律，计算量不小，平时没列的话很容易卡住。十八题的网格作图旋转九十度画线段，关键是利用格点构造垂直相等长，基本上大部分孩子选择直接跳过。 二十四题等边三角形加旋转加动态面积，很多孩子不会根据图形变化进行讨论，导致丢分。二十五题，二次函数压轴题，典型的将军印马加二次函数综合题，难度非常大，普通孩子写出第一问就成功了。最后给大家一些建议， 一百分以上的孩子每天一道天津中考最后两个题总结，旋转全等面积最值模型，限时训练。九十到一百分的孩子整理错题板，专攻二十四题动态几何。八十到九十分的孩子 确保第一题到第八题，十三到十六，十九到二十拿满分。重点练习二十一到二十三题规范步骤，八十分以下的孩子一定要抓计算能力，掌握解不等式组回归课本，先拿下选择题的一到八，填空的十三到十五， 解答题的十九到二十，这些就将近七十分了。先把这些分数拿到手，然后再做针对性的训练。关注我，今晚我们一起聊一聊这次一模考试。

hello， 同学们，大家好，今天我们来讲一下刚考的这个南开一模呃，重难点的题目，我们基本的题目像十十一以及二一二二三，我们会放到下一个视频里， 好吧，这个这这个视频我们讲一下十二十七，二四二五。确实这套卷子比较难，大家应该也有感受啊。一个是延续了我们往年的 来看一模这个计算量比较大，他这个特点，那另一个呢？就是也是贯彻这个教育改革的思想吗？就是我们去看二十五题的时候，他已经清模型，对吧？他更多的其实是我们的转化思想以及构造能力，对吧？那我们现在来看一下这几道题。 先看一下十二题，十二题他说四边形 a、 b， c， d 中 a、 d 平行 bc， 角， b 是 九十度，那么他这就是一个直角梯形， a， b 是 四， a， d 是 五， bc 是 啊八，那我们此时也能算出 dc 是 五， 这其实往下做条高就可以出现了，好吧，他说 m 从 c 出发，然后以一厘米每秒的速度沿 c、 b 运动，过 m 做 b， c 的 垂线，交四边形于 n， 然后同时 p 从 b 点出发，以三厘米呃每秒的速度沿 b， a、 a、 d 边运动，规定 n、 p 相遇时停止运动， 然后设运动时间为 t， 然后 t 的 一表示，如图所示。所以我们由图可以得到这个 m， n， m 永远是垂直于 c 的， 对吧？所以我们 c m 是 t， 那 么 n m 就是 三分之四 t， 如果非要说 c n， 它其实是三分之五 t 啊，但是其实这没啥用，因为它不用表示。 ok， 那 我另一个点是 p， 点是 bp 是 三 t， 他 们说他俩相距是平行运动，我们是不是要算一下他们什么时候运动，什么时候停止？结果我们算出来其实是在 d 的 时候，三秒的 t 等于三秒的时候，他们就停止了。 那我们现在来看一下这个题。说 t 等一表示 m c 等于 ap， 这个算出来 t 等于的时候， c， m 等于 ap 都等于一，这个没问题。第二是 t 等于二的时候，呃， pm， 此时它的图像其实是如这个图所示， 对吧？所以它等于二，然后 n m 是 三分之八，我是不是让 p 到 n m 的 距离，所以这是不是四，这是二，所以这是三。我们再往这如果做垂直的话，高应该是一个四，因为这是一嘛， 所以我算出来它的面积是三分之八乘四乘二除以等于三分之十六，这个也没问题。然后最后一个，当 t 大 于一小于二等于三分之十六，这个也没问题。然后最后一个，当 t 大 于一小于二，最大面积，此时我们就要用它的二函数的 面积求最值。我们表述起来，呃，一开始不用表述，一开始因为它呃 p 到 m n 的， 呃距离在变小，呃 m n 在 变大。其实一开始也可以说，呃，我们此时 p m n， 嗯， t 到一的时候，我们只需要关注呃，从 p 从一到 a 的 时候，也就是三分之四的时候，我们来画出来他的图像，其实就可以，此时图像是逐渐上升的， 对吧？那我们来看一下他的第二段，也就是 p 从 a 到 d 的 时候，我们需要判断一下他此时的最大面积是多少，那我们我把这个图变在这，这是 p， 那 此时 a p 是 不是变成了三 d 加四，这 t 是 大于三分之四的啊。 好吧，这是三 t 加四，那我 c m 是 t， 那 我的 b m 是 不是八减 t 啊？那我们算出来。呃， p 到 m n 的 距离其实是这段我们标一个 h 吧，也就 m h， 其实是八减 t 减去三， t 减四，我直接去括号了，得到十二减四 t， 所以 我们此时直接算，它最大面积就是三分之四， t 乘十二减四， t 乘二分之一，我们把它变成焦点式，是负的三分之八， t 乘 t 减三，所以当 直接取他们的中间 t 的 二分之三时候，最大值算出来是六，所以不是五。你说老师我还用考虑第一段吗？你此时在这段中他最大，都能到六了，他还用考虑最大值是五的事吗？所以直接打叉就行了。所以这个题应该选 c， 我 们现在现在来看下一题。 ok， 我 们现在来看一下十七题，十七题，这个题。嗯，其实是考察了我们的直角三角形，斜边上中线等于斜边一半，我们来看正方形，边上为六， o a 对 角线 a， c 的 中点 e 为 c， d 上，然后过 c 做 a， e 的 垂线于 h， 呃，然后连接 o h， 此时 o h， 因为它是个直角三角形，所以斜边上的中线。直角三角形，斜边上的中线等于斜边一半，所以这三个边相等，所以 o h 是 三倍根二。好吧， a c 等于六倍根二嘛。 然后第二个它说 f 为 h， c 的 延长线上一点，且 c， f 等于 a e， 它俩相等， 然后此时连接 a， f 交 b， c 于 g 点，然后连接 o g 连接 h， g 说 d 等于二，所以很多边我们就可以出了，所以它是二根十，所以它是二根十。那我们此时来看啊， g o h o h 我 已经知道了 关键点，你说 g o 上 g o 怎么求 o 点坐标？我是 a c 的 终点，可是我是不是碰到一个终点，我是不是中位线，它就等于二分之 c f， 所以我是不是可以构造一下试试？所以我做 f m 垂直于 c g 于这，那我们来看 它倒角的情况下，这是不是 r， 这是不是 r， 它也九十，它是九十度减 r， 别忘了这是个九十度，所以它也是 r， 所以 这两个三角形啊， a s 全等， 对吧？所以我们可以得到它俩是全等的，那此时它俩全等，此时我们是得到了 f m 等于 d a， 那 同样是不是等于 ab？ ok， 那 是不是这两个三角形也全等？它全等完之后，这些边一出结果，我发现这四个三角形都是全等的。就我们要求的是什么 a b， g 啊， f m， g 啊， f m， c 啊， d e a 啊，其实都是全等的，都是二比六比刚好十， 那我们此时就比较简单了，所以我的 c f 二被根号时，所以我的啊 o g 等于根号时， 然后 o h 等于三根二。那我的 f 呃， g h 等 g h 不 也是直角三角形，斜边上的中线能斜圆一半吗？ 所以啊， h g 是 不是也等于二分之一的 a f 也等于二倍根号十，所以算出来应该是三倍根号十加三倍根二。好吧， ok， 那 我们就这个题就到这里。 ok， 我 们现在来看二十四题。通过平面直角坐标系中 o 为圆点等边三角形 a b c， 然后 ab 的 长度是四倍根号三，所以这是一个边长为四倍根号三的等边三角形 c 在 第一象限 bc 的 边与 x 轴交于地点， p 为 x 轴上正反轴一度点，将 o p 绕着 p 旋转。六十度和一百二十度，所以都是六十度了。这些我们就画出来的这两个都是六十度。然后那么 p m、 n 就是 一个等边，此时得到 mp 和 np， 对吧？连接得到 p m n 这一个等边第一个 c 点的坐标，这个不用说啊， e b 根号三比二，所以恰好一半，所以它是六六度，根号三 c d 的 长度，呃，这是二根三，这是二根三。 好吧，这些都没问题。然后第二个，这个其实是由旋转所得到的重叠面积啊啊，此时他说重叠面积为 s。 第二个说，当它们交于 e、 f， 然后交于 s g， 然后重叠为五边形。问，它求的是，求的是 c g 的 长度， 并且写 t 的 曲值范围。这个第二个相对来说，它变成边之后还简单了一点啊，没有那么麻烦。所以我们先来看，这是二倍根三， o d 是 不是三啊？所以 o p 是 t， pm 也是 t， 所以 它其实是 t 减三。我们通过导角度，这是不是三十度？然后这是不是一百二十度， 所以这是不是也是三十度？所以我得到了一个 p g， 其实也是 t 减三，所以我的 d g 呢？ d g 其实是根号三倍的 t 减三。好吧，由此我们就可以得到 c g 其实是等于写在这吧， 等于四倍，根号三减二，根三减去根号三倍的 t 减三，等于五倍，根号三减根号三 t。 但是这有一个一分挺不好得的，就是这个取值范围 说什么时候会出现，我们因为在画图嘛，他此时我们的前一个点由这个图往前，其实是大概是 p d 重合的时候，对吧？ p d 重合此时是不是还是四边形？我往外一出一变大， 是不是就变成我们图中要求的这五边形？所以此时我们要求 d 点坐标 o d 是 不是就等于三？所以 t 是 大于三的，那么 t 的 终点在哪？这关键点在于我不断地放大，其实 pm 是， 我们理解是 pm 这条直线是往右移的， 能理解吗？ pm 这条直线是往右移的，那么现在说，那我是不是要考虑 m 是 先到 a c 上， 还是 p n 过 c 点？所以这个就要求一下，我们要算一下这两个到底谁先到？所以我们现在来看，假如 m 已经到，这个 我们不用用第一个图，第一个图还好画一点， m 如果交呃到 a c 上的时候， 是不是出这样，它是不是 t？ 这是不是六十度？所以我往下做垂直，这是不是二分之 t， 所以 这是不是二分之 t？ ok， 那 此时我假如往这个点做切减，这是不是也是三十度？六十度，所以二分之 t 除以根号三，所以是六分之根号三 t， 这呢是二分之根号三 t， 所以我们出来一个六分之根号三 t 加二分之根号三 t 等于三倍根号三吧，所以算出来此时 t 等于二分之九，那我们此时要算一下它什么时候过 c 呢？ 是不是这样子，对吧？此时 p 十在这，那它是不是还是 t 减三？它是不是还是 t 减三？ 那它是不是还是根号三倍的 t 减三？所以此时出来一个根号三倍的 t 减三等于二，根三，算出来 t 等于五，所以二分之九先出现，所以 t 就 小于二分之九即可，都取不到，等，好吧？ ok， 这个 t 等于五，其实在我们的第三个还有用。 然后现在来看，呃，第二个，第二个说，一到五的时候，它这个本身还是我们的 s t 图，它是一个上升和无限下降，对吧？那一和五的时候我们直接画出来就行了。嗯，标准作图。 所以当一的时候， t 等于一时， s 等于四分之一的平方，等于四分之一，那他五的时候是不是刚才恰好是这样， 对吧？如如，如果你画图画的比较准，你一眼就能看出来，肯定是第一个比较小，如果你说老师我实在是看不出来，你就算呗，你算出来他不恰好是一半吗？这不就此时五减三，这不是二，这不是一，所以根号三，所以这根号三。所以我们 t 等于五十， s 不 就等于二分之根号三乘以根号三的平方嘛，等于二分之三倍根号三。好吧，这个你一比较，其实它是更小的，所以最小值 应该等于四分之根号三，好吧，现在关键是在于最大值。怎么求最大值？我们是不是如我们这个图 所是，你说老师他是不是有可能在下一个？但是我们要先算出我们此时的这个面积，他的最大值是否在我们要求的这个三到二分之九的范围之内，如果在的话，最大值就是他，如果不在，他就要考虑下下一步，也就是 m 与 ac 重合之后所出现的四边形了。 好吧，那此时我们来算一下，嗯，他的面积不就是四分之二三立方大三角形，减掉这两个小三角形吗？ 这一个是八分之二三 t 减三的平方，这是小圆。这个 p h g， 那 上面我们是通过算出来，算出来了这个 m f， m f 等于二分之三， t 减二分之九， 它算也是通过我们，嗯，这个边算出 c、 c g 之后再算出 f g， 再算出 n、 f， 好吧，他这个也是来回算，这个计算量确实稍微有一点点大。 ok， 那 此时算出来他之后，我们是不是用我们平常的去乘除项法，可以直接取出他 t 等于负，二分之 b 等于四分之十五的时候，那四分之十五是不是恰好是我要求的这个范围 啊？就是大于三小于二分之九，对吧？大，这是四点五，这是三点，这是三点多三点七五吧。 ok， 此时我们直接代入算入十六分之四十五倍根号三，这就是最大值。所以 s 范围是大于四分之五根号三，小于等于十六分之四十五倍根号三， 这是我们的二十四题，计算量稍微有一点点大。 ok， 我 们来看最后一道题，这二十五题稍微有一点点难，很多同学我估计第二本都没做下来。这个题其实我 个人认为啊，就是说稍微难度可能稍微有一点点高，但是我认为他是比较符合我们整个中考未来的出题方向的， 就是他弱，弱化了我们经常所说的什么胡不龟模型啊，弱化了，弱化了我们平常所说的你说将军一马啊，这个题，其实你说老师他是一个胡不龟，其实我们用的是胡不龟的一个思想，叫转化思想嘛，构造 会不会是构造，而我们这进行的是构造加转化两种方式。第一个不用多说，直接写出这个。你有没有发现，这个题除了第二分的求抛物线集式，其他全部都是直接写出，也就是说这个题的计算量一定非常大， 老师已经考虑到你几乎是没有时间在写过程了，只能硬算。你只要在你的草纸上算下来这个结果，把答案写出来就给分，写对了就给分，好吧？ ok， 那 此时我们来看呃，第二本。第二本是说了一个点的坐标，他第一题干中除了给了我们一个对应轴是呃一，其他什么都没给。 他说，若 m 点坐标 m 到一和 n 均在抛物线上， m 大 于二， n 在 第四象限 m d n 九十度， d m 等于 d n， 所以 这是一个等式，这样三项形。哇，你说终于找到一个比较熟的点，结果他后面说了， e g 分 别是动点 f 为线段 d n 的 中点，且 d e 等于根号二倍的 d g， 你 说老师它忽然出了这个，这种只能进行构造， 明白吗？通过构造把它转化为我们的等边，那此时我们来看，说 m n 等于根号十，因为它说它是根号十，等下绕行 d， m 等于根号五，对吧？ 又因为 m 的 坐标是 m 斗一，所以这是一，所以算出来二，所以 m 的 坐标三斗一， n 点坐标二斗负二，所以这个很容易算啊。解疑是， 特别是我们通过这个问可以观察到，其实我要求的 n 点和我们与抛物线相交的这个 c 点，它其实它们的坐标是一样的，因为一是对称的，对吧？ ok， 把握好这个点就可以。那我们现在来看 eg 加 f g 到底怎么进行转换。 首先我们把这个等式加减乘零给我放正了，放正了之后，我们发现这个 n g d e 等于根号二倍的 n g， 我 是不是可以把根号二转化成一比一比根号二，所以我在左边 做了一条直线，构造了一个直角，所以很多老师在描述这儿说，其实这是胡不归，也没有毛病。只不过我们这个题其实是在 构造一个直角三角形，进行一个等量的转化，因为我要出现有一段和 n g 相等了，所以我这样一垂直，得到了 d g 永远等于 n g， 对 吧？ 这构造一个四十五度的等量直角三角形，所以一比一比根号二，所以 d g 是 d g 撇，是等于二分之根号二倍的啊， d e 的， 那么 n g 是 不也是二分之根号二倍的 d e 吗？所以我们得到了 d g 撇， 平行且等于 n g， 所以 我们此时连一下 g g 撇，我们会发现一个很重要的这个 g 撇。 e g d 其实是我们平常所说的那个正形，但是这跟正形关系不大，就是 g g 撇，其实是把 d e 垂直平分了， 所以我们取一下 d e 的 中点，标一个 m 怎么样啊？不能标 m， 标一个 h 吧，标个 h， 所以我发现 g g 平。把 d e 垂直平分之后，他要求的这个 e g 加 f g， 我 就能进行转化了。 e g 是 不是转化成了 d g？ 他 要求的这个直接写出的这个东西，我们是不是成功转化为了 d g 加 f g， 这个你大家就会了呀，这个不是很眼熟吗？所以我是不是翻折然后连接，所以我把 f 翻折过去，形成 在这取出一个 f 撇，然后连接 d f 撇，所以我发现因为 f 撇其实是取得我们如果这有一个 k 的 话，其实连接上这个 m， d， n， k 其实是一个正和形， f 撇其实是 n k 的 中点，所以 df 撇 n 其实是一比二比根号五的一个直角，三角三角形，所以我连接 df 撇，然后我刚才不是算出 d， d， m， d， n 不是 根号五吗？所以那我的 f 撇 n 不 就二分之根号五，那我的 df 撇就是二分之五，这就是我们的最小值， 好吧，同样把这个东西导出来之后，我们来看第三个，相对来说就会简单一点，因为我的 d， f 撇 n， 它是一个一比二比根号五， d， f 撇是最小值，所以它是二分之五倍根号十的时候，我们算出来了 d， n 是， 呃，五倍根号二， 好吧， d， n 一 旦出五倍根号二，我们是不是就能把 m n 的 点子坐标求出来？然后我们还是这样切割，发现 dm， d， n 都是五倍根号二情况下， m 点坐标是八到一， n 点坐标是二到负七，所以此时我的解密式很容易算出来， 因为算出 c 等于负七嘛， a 就 等于六分之一，所以是六分之一， x 方减三分之一， x 减七，然后到这我们是他又给了一个让你算此时点记的坐标。大家如果算到这时候，如果你心态还没有崩， 那你就根本就不会去想，老师我这是不是有一个特殊的位置，我们有没有可能用一个相应的比例？我们所想到的其实就是用我们最普通的 mn 的 解析式出来， d， f b 的 解析式出来，然后求焦点记点， 好吧，如果我们确实，你说老师有没有简单方法，他可能通过这个一线三垂直其实是能做出来的， 但是现在我们没有去，正因为我在做这个题的时候，我也是，哎，根本就不会再想了，因为我们现在只能算了，对吧？硬着头皮算下来，所以 y m， n 的 直接解式我们算出来是三分之四， x 减三分之九，那 f 撇的坐标呢？所以你可以取这，然后让他这样除， 你也可以这个 k 的 坐标标出来。因为因为我们刚才说了这是个正方形嘛，所以 dm 的 横轴坐标差就等于 n， k 的 横轴坐标差，所以 k 的 坐标一出出， f 撇的坐标， f 撇的坐标一出， d， f 撇截式一出，算上几点的坐标？四等负的三分之十三。 好吧，所以这个题相对来说更多的是数学思想的考察。你说老师刚考了几年模型，怎么又开始数学思想？ 其实模型生化下去就是我们的数学思想，特别是在二十五题中，他就很喜欢考这个叫做转化的数学思想。好吧，那这就是我们难开一磨的这个重难点的题型，拜拜。

考试了，那咱们首当其冲的是南开区的这个一模，整体来说难度还是挺大的。那对比往年南开卷来说，其实差不多是吧？都是计算量会比较大。其实题目类型咱们基本都说过， 可能你的十二题、十七题、十八题、二四二五这五道题做的不算是太好，其他题其实还是挺套路的。那其他题我就不多说了，重点给大家说，这五道题估计也是十分最多的五道。那咱们首先来个十二题，那考前说大家练了很多这种动点面积的题，大家这一块你不能出错呀，这种动点面积类的问题 怎么去做？所以分段的话我自己已经分好了，为啥分这两段？那你的 m 在 bc 上动对不对？ cm 长度是 t， 那 剩下就八减 t， 这个好说，那 p 分 两段 b， a 上是零到三分之四吧，因为三分之四秒到达 a， 然后在 a d 上的时候，相当于是从 a 走到 d， 对 吗？所以相当于整体的话，是三秒的时候走到 d 没问题吧？而三秒的话， c 恰好到达 d， 往 h 做垂直等于 h 值，对吧？所以也就是说，咱们相当于的话，我的 m 在 c 到 h 上动 b， d 上的话， p 在 b 走到 a， 再从 a 走到 d， 所以 咱们是零到三分之四是一段，三分之四到三是一段，这样做吧。那你写面积的时候，比如零到三分之四的时候，那底的话，是不就是 m 的 长度？那根据相似这个 dhc 三角形是三四五的三角形，所以这是 t， 它高出它的三分之四倍就三分之四 t， 那高的话是不是 p 到它的距离，那 p 到它的距离的话，也就是不是八减 t 啊，所以底乘高再除以二，对了吗？所以结果是这个式子，那它的最值的话，自己去求去，对吧？三分之四处取最值，因为轴是四，所以三分之四处是最大的，得到这样一个式子 可以了吗？那第二个的话，那三分之四到三的时候，也就是说你的这个 p 走到这个位置上来了， p， 你 再计算面积的时候， 那你自己看看，比如粉色的这个，那它的底是不是还是三分之四 t， 这好说，那高的话，你自己看看，那高的话，是不是得从这个 p 的 这个长度，你看是不是到这个这个长度了？所以首先你要观察出来，这是四，对吧？它走了三 t， 那 这就是三 t 减 四，而他这是 t， 所以 高就是几啊？相当于八减 t， 再把三 t 减四减去吧，八减 t 减三， t 减四，所以相当于就是一个八 t 减三分之八 t 方，所以轴是二分之三在范围内，所以在轴数就会打六，所以这打的更大的话，一定是六更大，所以第三问是错的对不对？ 只有第三个乘以二是难算一点，一号半就简，一二就简单了吧，这大大只要会写出来是不就行了？像第一个的话， t 等于一的时候， m c 是 一， a p 是 不是也是一，这就不用多说了吧，这是没错的。那第二个 t 等于二的时候， p m n 的 面积，那具体位置的面积二的话，相当于在上面呢？你自己去算一下就行了吧。或者你用我的解析式往里带，是不也可以 带进去发现十六减去一个三分之十六，对吧？有三分之二减去一个三分之三十二，结果三分之六，是不是也是没错的？所以咱们这个题选的是 c， 只有第三个是错的，其他都对了，行吧？所以这个计算会写这个东西，分段去写 面积，这很像你的中考，对吧？二五的那个中考题，所以大家好好去做。那第十七题，这道题你不见期，见期期都能做，就考一个。你的 正方形等于十字计算，对吧？十字模型或者是你的长度计算，那第一个的话， o h 的 长度靠一个直角三角形的中点，问题呢？ o 是 中点，这有直角，那直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，所以它是对角线 a c 的 一半吧？斜边中线，所以答案是三倍根二，对角线是六倍根二，那它的一半不就三倍根二了吗？ 那第二个的话呢？ c f 等于 a e， 那 c f 和 a e 相等的话，那你自己想一想，并且这个指指甲的话，你往上延长出去的话，那你自己看看，那这个长度和它是相等的，那它在这样一个三角形当中 没问题吧？所以你自己右看，圈和圈相等，圈加叉九十度，对吧？这就是圈，这个圈和它又相等，倾斜角度又相等，并且你看看，所以我直接往它做一个垂的话，是不是相当于这个三角形就和这个三角形是全等的了，所以这是六和二，这不就是六二，这个边是不是算成二倍根十了， 没问题吧？这些都能算出来，然后咱们再继续的话，然后再去看题目说的是 d 一 等于二这些东西，让你求 g o h 的 周长。首先刚才 o h 咱们算出来了，是吧？ o h 三倍根二 没问题吧？那 o g 的 话呢？ o 是 终点，那这个 g 的 话，它为啥是终点？所以这样画的话， 那大家来看一看，相当于怎么办呢？我现在这个长度它是不是已经知道了？那这占了二，可以吧？那底下的话，那题目给了你一个什么条件？ d e 是 二的话，连接的是谁？连接 o j h j， 对 了吧？那所以那这个上面的话，咱们现在目前已经知道它是二了， 对吧？那对于这样一个大的直角三角形来说，你题目给的条件 c f， 它要等于 a e， 对 吗？那所以呢？这就是六对了吗？这也是六，那所以你自己看看，这俩小三角形是不是一定是全等的？因为两个边长已经相等了，对顶相等，直角相等，所以这是二，这是二， 所以是不是算出来了？所以 j 又是中点，那两个中点是不是有个中位线？那中位线是不是 c f 的 一半？所以根号是是不就有了？那最后是不还差一个？ h j 又是直角三角形斜边中线， h j 是 大的，最大直角三角形斜边中线，等于 a f 的 一半，也就等于 aj， 对 吧？ aj 是 二倍根十，加到一起不就三倍根十加三倍根二了吗？ 行吧。那网格这道题其实还好，没有那么难。那网格的话，首先你起码这个这条线是不用画，是吧？ m 这条线其实不用画，我这里解释为什么，那相当于你看 ab 就 在格格线上， ab 长度根号十三，好说，就是横三竖二的，对吧？那我要做它的等腰值，相当于把 b 线，他不让你把 b c 绕 a 转吗？那就是把 b 转九十，把 c 转九十，对不对？然后顺时针，那 b 转九十的话就是 ab 长度是 横三竖二这样一个号是三的，那就横二竖三做垂直呗。所以 b a m 的 m 是 不可以直接写出来，所以直接点 m 就 可以了，如图， m 极为所求是不就行了？ 这个解释出来，你为什么他是这样去转的，可以吧？那第二个，你说我把 c 绕，他转九十度，怎么去转？那首先 c 在 这样一条数值格线上，对了吗？他是横一竖几不知道数三点多，那你就横三点多竖一，所以你的 n 已经在这样一条水平线上，对了吧？ 然后怎么办？咱们这个水平线知道了，虽然这个数值是几不知道，但是这个 c 是 不是在格线上，对吧？所以那我问你，我现在相当于只要做出一个 c a n， 他 是九十度，也就说把这个 过 a 做 a c 的 垂线做出来是不就可以了？那你想想，往左边做垂直不好做，但是这是个圆啊，你往右做是不是非常好做？利用直径所对圆角九十度，那 o 又给了你了，你把 c o 一 连交于 d 的 话，再把 d a 连上，那 d a c 是 不是九十度？因为 c d 是 直径九十度，那左边这是不是九十了？ 所以也就说 ca 转到了 an， 那 an 是 不是就直接找到了，可以了吧？那所以这道题不就结束了吗？让你找 m n 可以吧？所以这是咱们的网格这样一道题。然后第二十四题计算量比较大，所以大家还是按咱们的分析过程，你先分析，跟上课给你讲了好多好多这种平移充电面积，对了吗？ 这不是一个典型的平移，那从左往右的话，相当于怎么办？哎？这俩相等对吗？长度你如果把它连上的话，把 o m 连上，这一定是一个等边三角形，对了吗？或者是一个菱形，木有问题吧？所以想想最开始是不是一定是三角形？什么时候？那他走到 d 的 时候，咱们看这样一个图像呢？是吧？ 你往这边坐的话，他此时落在了哪？你看三的时候，咱们来算一算数不就知道了吗？这是三， 可以吧？那这个长度是不是也就是三？这也是三，对吧？那这些是不是都是三？木有问题吧？那你想想，咱们来看，很像恰好落在上面，看看是不是恰好落在上面？咱们要想看的是不是我这个 p 到 d 的 时候，你这个短点，你这个 n 点到底有没有出去，对了吗？也就看这个多少呀？这个是六十度，对了吗？ 然后这个长度是二倍，根三可以吧？这是根三，正好他是三，所以就说我等于三的时候，他恰好我这样一个点， 我的 n 点落在你的 a c 上，所以这是最后一个三角形，可以吧？所以零到三的时候，他是三角形的形状，这能听明白吧？那继续往后的话，你想想，只要他出去一点，那 d 也出去，他也出去，是不就是第二个图了？就从三开始，对吧？那从三开始到几的时候呢？那你得看看 是 m 先到这条线上来， a c 上来，还是说这条 p n 先过 c， 所以 咱们就把两个特殊位置都算一算，可以吧？那比如 m 恰好落在了 a c 上，那此时是多少 m 恰好落在 a c 上，那我问大家， 你的 mp 啊， o m 那 是不是一样的套路呢？ o m 这还是一个什么东西？ o m 相当于怎么做啊？你等于说的话，那 o m 是 一定在这条一条线上动，对了吧？ 没问题吧？因为它怎么办？你 o p m 无论它怎么弄， o p m 三角形一定是直角，你相当于把 m 沿着这条线往这边移，对了吗？你说恰好 m 落在上面的时候，此时是几呢？ t 我 们算算是不就可以了？这个是三倍根三， 对了吧？那这个是二分之三，没跟三，所以就是这是二分之几啊，这是二分之九的时候，也是二分之九的时候，我 m 恰好落在这，那此时 p 走到了，这，对不对？那你过他做的话，做一个角的话，那你想想，过没过 c， 过没过 c 取决于怎么办？ 你这俩边长是不是相等的？这俩长度和他交点，这个长度是相等的呀，所以这个点一定是他俩交点的中点，没问题吧？那我问他们来，简单来算一算，也就说这是三倍跟三，对吧？这是二分之九，那前面占了三，但这还剩一个二分之三， 没问题吧？那这是四分之三，是四分之三倍跟三，那这俩合到一起是二分之三倍跟三，而你 d c 是 d， c 是 几啊？ d c 是 二倍根三，所以是不是还没有到 c， 所以 说明这是个几边形，也是这样画图还没有到 c， 此时是不是一个四边形，对了吧？没有问题吧？也得说三到二分之九，五边形从二分之九开始变四边形，那什么时候变 东西和 c 重合，是不是又变三角呢？什么时候和 c 重合呢？所以咱们把和 c 重合呢？所以咱们把 c 重合的特殊位置找到，继续往右画，也得说他继续往上走这个 m， 哎， 比如走到这儿，我恰好过 c， 那 屁，这这个位置，它过 c 的 时候，对了吗？比如说咱们画草图有点丑啊，应该这样去画 m， 比如走到这个位置上，咱们画草图的时候，哎，这是一个一下两下这样一个三角，是吧？ 他恰好过 c 了，那恰好过 c 的 时候，也就是这个长度和这长度不是相等的吗？对吗？也就是说这个得是几，这个得是几，他整体不是二倍根三吗？这不是根三，这不就是根三吗？懂了吗？那不就是一，这不就是二了吗？ 所以前面有一个几，前面已经有一个三，再加个二，是不是五了？就，所以二分之九到五，它是四边形，你再往右五 那七，到最后不用多说了，这三角形。所以也就是说这样一个图形是咱们要求的，这是一个分析的过程。所以首先咱们来看这样一个五边形，咱们是不是范围就能写上了？从三到二分之九，对吧？这种怎么去写？这很套路，那你自己去看看，这是 t， 先标 t o p 是 t， 那 这是 t 减 三，对吧？ t 减三没问题吧？所以这个长度是我先把这个长度求出来，这个长度根号三倍的 一减三没问题吧？那这个长度 c j 就 用你的 c d 二倍根三，那减去它也就是五倍根三，减去根三 t， 所以 这是你的三到二分之九，可以了吧？ 然后咱们看重叠部分的形状，这个形状是不是又是先增后减的？从三角形，这是不是一直是，一直是增的，对吧？一直到三角一直增的，那五边形是不是先增后面越来越小，对吧？所以最大这大大率在五边形，这取咱们来验证一下五边形的面积是不就可以了？看他是不是一个先增后减，所以把减值算出来是不就可以了？所以 先算后减五边形的话，那咱们来看，也就说我需要减几块，这样一个五边形，我可以用等边三角形的面积减去一块，减去两块，我这么算的，可以吧？那五边形去减的话，底下这块好说，这是几？这是一个 e 减三，那这是不是也是 t 减三，没问题吧？那所以斜边是 t 减三，这是二分之 t 减三，这二分之根三 t 减三，所以面积是八分之根三 t 减三的平方，这是第一个 p h， 可以 吧？那第二个的话， 那这有了之后，那咱们继续往后看，那这有了，大家来看，我像刚才已经表示 c j 了，对不对？那 c j 有 了的话，那这个长度是几啊？ 对吗？这个长度是不是 f j 是 它的二分之根三，对了吗？ f j 二分之根三也是这个式子， 所以 c p j 有， f j 有， 那所以这个长度 f n 相当于就是用谁去减，用你的整体减这两块是不就行了？减成这两块，我再到一个二分之三， t 减二分之九，二分之三， t 减二分之九，那短直角边有了，这是它的根号三倍对底乘高除二，就是面积是二分之根号三倍的它的平方，算出来这个式子，你发现和它很像，对不对？所以用整体，整体面积边长不是 t 吗？这个大三角 四分之根三 t 方减去这两块，这个是八分之根三，八分之九倍，一共是八分之十，也就是四分之五倍根三，行吧。这俩一做差得到这样一个式子， 可以吗？那这样一个式子的话，这是一个开口向下的抛物线，那对称轴是几？那想想轴是负二， a 分 之 b， 四分之十五，可以吧？那四分之十五的话，在不在这个范围内？四分之十八，四分之十二在范围内，对吧？正好它中间的位置吧。所以咱们再轴出去最大。咱们的方法快速教大家怎么快速去算呢？ 这种在轴出去最大的话，带一次向除二，再加 c 吧，带一次向除二就八分之二五倍根三，所以结果是十六分之四十五倍根三吧，所以最大值正好。 那最小值的话，请看一到五，对吧？那一的话和五是不是先增后减？只要看一和五就行了。那 t 等于一的时候，好说，还是个三角，那一也就四分之根三乘 一的平方有四分之根三，那等于五的时候，刚才说了，恰好正好是这样一个三角吧，对吧？此时这是根三，这是三，对吧？根三除三乘三，再除二，也就二分之三为根三，很明显大大多了，所以咱们只要这个四分之根三吧。但是注意这不带等，因为他没有带等，所以最后的范围是不是有了 跟上了吗？那最后一道题难度会稍微大一点，对大家来说，可能第二位开始是不会做的，不会转化，所以你斜着的不会看，咱们一会给你平着，再跟你说，你就简单了。那第一个不多说了，一和一斗零，那第二个，那咱们来看前面其实比较简单 这个式子对了吗？ m a 是 根号十，这是个等腰直角三角形，那 dm 是 不是根就是根五，所以题目肯定提示相当于那 dm 有 了，这是一斗零， 这个长度是根号五，所以两点间的距离公式，我能把 m 三到一算出来， m 有 了，根据三垂直自己去算，二都负二，然后这个东西就有了，对了吗？那最后且极式有了，这个最小，这怎么去求？其实套路很固定，那咱们来看这里面两个动点 没问题吧？所以两个动点的话， f j 加 e j 他 俩的和那 j 和 e 在 动，有的，这不叫对 e 吗？做对称，他直接连垂直，但是注意这里面有一个这样的限制条件，把它固定住了。 d e 等于根号二倍的 n j， 他 不不是直接是边长的时候是最小，所以你不要那样去做，因为这个限制条件你得保证住， 所以两个动点咱们要想办法转换成一个动点，所以也就是说我把它变成水平的，你就好看了。那这个图的话，那相当于怎么办？你做谁对称都行，一会啊，咱们一会再说对称的事。俩动点怎么变一个动点呢？也就是说我这个是 x 的 话，那这是它的根号二倍，那你想想这样一个等腰直角三角形或者正方形当中四十五度是不是很多？ 那你想想它的水平分量是什么？这水平分量水平长度是二分之根二， x， 这也是二分之根二，也就是说这个水平长度和它是什么的关系，和它是 二比一的关系，也就是说无论这个点怎么动，它的水平长度一定是它的一半，比如说它的一半的话，那咱们画个长取中点的话，也就说这个长度和 g 的 水平长度是一样的，对了吧？所以就说 g 的 话一定，如果做个垂的话，那 g 是 不是一定落在它的中点上？ g h， 所以这个 h 是 在中点的 jh 利用三线合一，我求 jn 不好求，那 ej 不好求，那 ej 就 直接转换成了 dj， 这俩等腰三角形边一定相等的，因为 d 不 动，无论 e 怎么动，那 ej 长度都能转换成 d。 所以也就说我把 e 加 f j 转换成了 d j 加 f j， 那 d j 加 f j 后面你怎么做就行了。你可以找直接找 d 对 称点 d 撇对吗？也可以找 f 对 称点 f 撇，你找谁都行，行吗？所以 d f d 撇 f 或者你的 d f 撇，找谁是不都可以？这俩长度是不一样的，都是谁呀？边长一半的边长对吗？也就是二分之五倍的边长吧， 没问题吧？所以你的第二问的话呢，二分之五倍的 dm， 那 dm 刚才已经算出来是几根号五根二分之根，五倍的根五，也就二分之五呗。然后第三问的话呢，也就是二分之根五倍的 dm， 等于二分之五倍根十。所以咱们把 m 是 不是能算出来是八 m 八到一，根据三垂直算出二到负七算解析式，解析式这个东西就有了。 那解析式有的话怎么求 g 的 坐标啊？你要么求 d f g 撇 f 的 解析式，要么求 f 撇 d 的 解析式，然后和 m n 解析式，然后 m n 解析式，把两个一连力得到 g 的 坐标，这就是这样一道题， 难度会偏大一点，尤其是转化成两个动点，转化成一个动点，然后再去做，难度很大，对大家来说，大家回去可以好好做。

今天来看南开一面的二十五题，这题非常有意思啊。呃，之前咱们讲过一个南开祥语的，有一个十八题跟这个有点像，当然那道题最早，最早是二零二三年虹桥的一个十八题，做这个题呢，受做那道题的启发， 其实一开始也受那题误导，咱们看一下怎么个意思啊，就只讲这最后一关了啊，因为前圈一的时候也是这个东西最小，只要你明白了，第二问前面也就会了，他说呢，二 a 加 b 等于零，所以说呢，就是负的二 a 分 之 b 等于一。其实这个条件就告诉我们，对伸轴得一。再说，咱们得先画个草图，对，伸轴是一， m 是 一 n 也在抛物线上，而且呢，这个点 n 在 第四项线满足 m d n 等于九十度， d m 等于 d n， 这是点 d， 点 d 咱们也知道是一零， m d n 呢，等于九十度， d n 呢，等于九十度，并且呢，这个 d m 还等于 d n， 这很明显，我们都能想到构造一线三角。其实你在做第二问的时候，这么做没问题， 但是他后边又说了一个事，点 e 是 dm 上的动点，咱们随便画一个点 e g 呢，是 m n 上的动点，连上 m n 以后，点 g 在 m n 上， 而且永远满足啊，这 d e 比 ng 大， g 等于 ng 的 根号二倍。 直接来最后一问，说他们俩相加，如果最小值得二分之五倍，根号十，让你求结式，求点 g 坐标。当然我们的关键就是找到它如何什么时候最短，还是得考虑线段的转化。我们先把 e g 连上，点 f 呢，是中点， e g 加 f g， 那 他们相加什么时候最短呢？我们先得把这个根号二倍给它转换一下。当时呢，红桥那个题啊，是在正方形里边进行的， 所以我不妨把这个也补成一个正方形，补成一个正，其实你不补成正方形也没关系，补成正方形以后啊，咱们近几年天津的一摸二摸的十七题， 很多时候呢，都让我们正点 g 在 对角线上，如果 e g 垂直于另一条线段，那么两条线段应该相等。所以说当时看到这里，我就我就 也是得到一种猜想了，有可能 e g 正好等于这个就是相等。当然呢，比如这个点叫点 d 撇，这个 d 撇 g， 它永远等于 d g。 所以 我做这个题的时候，我连了一下 d g， 因为我们要想让它出现根号二倍的 n g， 你 要么往这边做垂，出现四十五，你要么就直接做垂。我们现在或点 g 做一条垂线 啊，但是我们我是做了很多尝试才往这想的，一开始我总想着直接出现根号二倍的 n g， 但是我直接构造根号二倍的 n g 没做出来，所以我这样做垂以后呢，这条小线段就等于二分之根号二倍的 n g。 比如说这条小线段是 d e 的 一半， d e 不是 根号二的 n g 吗？ 那当然也说明这个小线段就是这咱起个名叫点 k 吧，比如说这个 d k 也等于二分之二倍的 n g， 也说白了， d k 等于 e k 才九十度，还有公共边。所以呢，这两个小左右，两个小三角形全等，这两个三角形全等，也有三角形 d g k 和 e g k 全等。那忒好了，把 e g 转化成了 d g。 其实这是这道题最难的地方，把 e g 转化成 d g， 当时我想了很久， e g 加 s g 要想最小，那我当然就做对称了。我觉得最难的就是构造这个折叠型全等，而且正好能出现根号二倍的关系。 我现在就做对称，出现了这个大正方形。我要想让 d g 加 f g 最短就是连接 d 撇 g， 连接 d 撇 f， 连接 d 撇 f 以后和这个焦点就是真正的点 g。 那 我们现在分析清楚了以后呢？呃，他说 d 撇 f 不是 等于二分之五倍，根号十吗？所以说我就可以求值了。这个 d 撇 f 等于谁呢？ d 撇是正方形的顶点， f 是 终点呀，所以这个 d 撇 f 其实就等于 m f。 所以 在这个地方算的时候还挺好算的。正方形嘛，这个 m f 也很好办。 dm， 咱们先算两点距离公式算一下 dm 方啊。 dm 方应该等于减 d 一 零， 也就是 m 减一的平方，加上一减零的平方， dm 方就有了 dm 方七十六，它的四分之一 dm 方加 dm 方不就是 m m 方吗？勾股定律， 所以我们拿四分之一个，这个加一个这个也就是四分之五个，这个应该等于 m f 的 平方，也就是这个最小值的平方一平方就是四分之二百五，非常好解了，四也约了，这边变成五十五，十减一四十九，所以 m 减一等于正负七，你解出来 m 一 等于八， m 二等于负六，人家告诉 m 大 于二了，这题里边就说 m 大 于二，所以这个负六咱们就舍去了。现在我们求完了给 m 的 这个值了，后边就都有了 点 m 是 八一，根据一线三直角，我们捣一下点 n 向对称轴做垂，向对称轴做垂，这个是别忘了八点一得七啊，这也得七， 所以点 n 的 纵坐标是负，七得一，所以这也是一，一加一得二，横坐标是二，所以 m 坐标也有， n 的 坐标也有，对称轴也有，我们就可以求解氏了。解氏本来是 y 等于 a， x 方加上 b， x 加 c， 不是等于负二 a 吗？所以我们把这两个点带进去求一下就可以了。我给你算一下八一，现在这个这个好算的，带完还有精细。把二带进去四， a 减四， a 相当于 c 等于负七， c 等于负七，我们再带第二个点八一，也就是六十四， a 减去十六， a 减负加上七等于一，所以四十八 a 等于八，求出小 a 等于六分之一。为此呢，我们算出来的解式就是， y 等于六分之一， x 方减去三分之一， x 减七， 因为人家问你解式是吧，还没完，你还得算那个点 g 去，就算你思路清晰了，这个点 g 也得算半年。 点 g 没法转化了，你只能求 d 撇 f 和 f 的 交点，它连立它，那咱们就只能算了，干就完了是吧。先把 f 分 之几算算， 点 m 是 八一点 n 是 二，负七，所以咱们先算它的 k 啊，是三分之四，是 y 等于三分之四， x 再加个 b， 咱们算 b 得几啊？把八带进去 三分之四八三十二加 b 等于一，所以小 b 等于负的三分之二十九才算完。 m 还没完，你还得算 d 撇， f 还得算 d 撇 f， d 撇也不知道 f 是 它俩的中点， f 好 求 f 的 坐标，这是一零，它的中点减 f 的 横坐标就是一加二除以二，二分之三，纵坐标就是负七加零除以二，负的二，分之七，还得 算地撇的坐标。地撇的坐标咱可以平移比较好。你看，从这变成这，横坐标加七，所以我们从这变成这，从 n 变成地撇，也得横坐标加七就是九， 从零变成一加一，所以负七加一得负六。那 d 撇和 f 的 坐标也都有了，我们就得算 d 撇。 f 减一式，还是先算它的 k， 这个 k 也不好算，先算这个 k 啊，是负六减它二分之十，二减二分之五，负的二分之五 除以 x， 二减 x 二分之十八减二分之四，二分之 十五，所以小 k 得负的三分之一。所以这个简易式就是 y 等于负的三分之一， x 又得加上 b， 我 们在算那个 b 的 时候，把九带进去，九就是负三 加 b 等于六，是六吗？哦，负六，所以这个小 b 得负三。把简易式终于算完了，连理一下，它俩相等是吧？我们算一下，就是三分之五， x 等于三分之二十，九减三分之二十。哎，算出来还挺整。横坐标最后得四， 所以这个点 g 最终横坐标得四，纵坐标咱们带进去，负的三分之四减三分之九，负的三分之十三就完事了。所以说，我觉得当时考完这个卷子，各区一模完了，大家都反映难开的比较难，其实难开就这一道题难， 难看，就这一道题上，其他都很正常，一点也没偏。那么这个题呢？我觉得出的也很理想，大家得珍惜对于这种题的训练，因为你以前应该是没做过的，你以前可能做过别的关于正方形的题，都 对这个题有一点铺垫作用，但是一定不是完全一样，所以我觉得这个题很适合你这种沉浸式的思考。我也不是上来就发现这样做的，想很久其实很有练习的价值。

同学们，呃，通过这几套卷子的数学十七题，我明显感觉到了，就是十七题在变难，他要往小压轴去转化，因为大家我们想这个趋势啊，因为大家都觉得十八题第二特别难，在真实的考试过程中呢，每年也没有多少同学做出来，所以十八题第二默认，那就是没有他，那就不做，他满分幺幺八，那 填空题里的压轴还有吗？就没了，填空题里没有压轴了，那怎么办？十七题第二问，逐渐转化思路了，逐渐转变，变换角色了。我们应该知道的是，你通过这几套卷子，你应该做到查漏补缺，你应该做到把它的考点给它梳理出来， 然后集思广益去学习，去网上去罗列，去搜，有什么样的方法能够把这题做出来？多种方法去做十七题，咱举一个例子啊，你为什么十七题做不出来？因为你看到一道题，你的脑海中只有一种方法，而这一种方法时而走得通，时而走不通，那你考试的时候，你是做不出来的，对吧？一条路还有的时候堵死 你，得多条路去走。有的同学，人家十七题一条路走不通，还有最后一条呢，他一定一定能做出来，做出来只是时间长短问题。 所以一到十七题，如何去把它做好？就是把它的考点罗列出来，然后再用多种方法去进行计算。 大家可以看看我刚发的这个河西的这段十七题，对吧？几个方法，你去拓展自己的思维，在逐渐长脑子的过程中才能拓展思路。 不是说在咱自己的一亩三分地里使劲的折腾，你折腾不出来什么方法，你就学不会更多的，一定要从基础然后拓展，从拓展的路上再回归基础再看。哦，哪些是初中的知识点？我的思路走不通了。那我为什么走不通了？我的这个伯乐点在哪？慢慢慢慢的你的几何水平会呈指数的增长。 练几何永远要比练代数更难，因为练代数纯算就好了。现在在初中阶段，很多几何的题你用代数是解不出来的，因为你的代数没有办法对你的几何降维打击。我们间隙法，很多同学核心的十七题他不会用间隙法，为什么？因为他基础的一些题干他就没读明白，所以他就没有具备这个从代数的角度去解决几何题的降维打击的能力。那你多练多种方法去练，不就相当于去具备这种能力了吗？

二六天津中考数学二十四题变了！南开一模的几何压轴二十四题考法大变，打破了二十四题固定的图形平移、折叠、旋转的传统命题套路，是今年几何压轴的重要风向标。与往年考法不同啊，这次创新性的采用了动点生成动态图形， 以动点为核心，通过线段双角度旋转生成动态等边三角形。还在死磕老套路的孩子这次束手无策了。 别慌，成哥总结好了，二十四题几何变换创新题目会编，一共三十九页，都挑的是天津本地二十四创新题，帮助孩子们应对创新，顺利拿分。领取方式，老样子，点点关注看评论！

咱河西、河东、南开、和平，包括北辰啊，考试都结束了，家长们问我最多的问题，说，张老师，你作为专业的数学老师，跟我们说哪个区的数学学院最好？ 首先从难度上来讲，核心的难度最大，难开。其次，河西这个题确实难，创新度很高，尤其是二十三题、二十四题、十七题，是远高于中考难度的。 南开区呢，其实是非常贴近中考的，尤其二十五题，跟别的区比，出的太好了，这是中考没有出过的新模型。 这两个区基本上你家孩子中考想上一百一十四五分，这次考试考个一百零三四分，一百零五分左右就能达到。 那像我们和平和东、北晨这三个区，基本上跟中考难度没有区别，甚至压轴题二十五题直接照抄照搬了。往年的二十五包括格点，压轴题的难度反而比中考难度还小。所以这次考试 基本上这几个区啊，你们家孩子得分加上五分，就是最后中考的分数。

零二六南开一模的十七题这个题还挺有味道的，跟大家聊一聊，他说如图呢，在边长为六的正方形 a b c d， 它的主体是一个边长为六的正方形，然后点 o 呢？是对角线 a c 的 中点点 o 是 在中点的位置，就是两条点线相交的那个点点 e 在 这个边上，然后经过点 c 做了一个垂直， 也就是说这个位置是垂直的，这个位置是垂直，然后再看，呃，问你线段 o h 的 长是多少？ 在观察这个图的时候啊，这个 o h 连接起来，这个位置是垂直，很自然会想到直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因为 它的边长是等于六的，那么 a c 呢？就是六倍的根号二，一比一比上根号二，那么 a c 的 长是六倍根号二，那么这条边的长度就是三倍的根号二。第一问还还可以啊，第一问还可以， o h 的 长是三倍的根二。然后第二问告诉我们说，这个 f 是 线段 h c 延长线上的一个点，在这， 呃，告诉我说这个 c f 这一段应该等于 a e 这一段 c f 和 a e 这段是相等的。然后说这个 a f 与 b c 边相交于点 g， 又告诉我了 d g 的 长是等于二的。 具体的题目啊，我为了把这个图放大，具体的题目你们看自己的那个就行了。然后他告诉我，这块是等于二的，当然这块是等于六的 d g 如果是等于二的，那么 ec 的 长就等于四。 那他这题问我什么呢？问这个三角形 g o h g o h 啊，看这个三角形 g o h 这个三条边的长，这个你已经知道了，等于三倍的根号二，所以其实你只需要知道这个 o h 的 长度以及 h g 的 长度就可以了，那这个题的突破口会在哪呢？ 我一开始琢磨谁呢？我说这两个线段不是相等吗？那我说这两个线段八竿子打不着的，这个相等应该怎么用呢？并且他说这个地方是二，这个地方是六， 也就是说我这个 a e 所在的三角形三条边当中有两条边已经知道，并且还是一个直角三角形，所以我就开始考虑我能不能让这个三角形构造出来跟这个三角形相同的一个三角形啊？所以我做的第一小辅助线呢，就是经过点 f 向 c g 这做一个垂直，那么我这个垂直做完了之后，比如说是个 n， 我就开始想了，那么我说这个三角形和那个三角形最起码有一条斜边是知道的，这个垂直和这个垂直也是一样的，看起来好像是全能的，是吧？还缺点什么呀？ 啊？我如果能挣出来这段等于六，这段等于二，这题就好说了，但是不好挣是吧？那么当题目当中直角比较多的时候呢？我有一个想法，就是让另外两个角加起来等于九十度就可以了，所以我会去假设说 这个角如果是一个阿尔法，这个角如果是一个贝塔，用边不好，正好我就去正角，也就是我在这个三角形当中得到阿尔法或贝塔就可以了。那么继续来转移，这个地方是贝塔呢？这个角就是贝塔，这个角是阿尔法，这个角是阿尔法，这个角就是贝塔。 为什么？因为这个地方是垂直的，他俩加起来是不是也是九十度啊？他是贝塔，他这个角就是一个阿尔法。好了，这个三角形和这个三角形就全等了。我觉得这个题一个很重要的辅助线的思路，经过了这样一番全等之后，那么这条边就等于二，这条边就等于六。 呃，接下来我们要求的是这个 o g 的 长度和 h g 的 这个长度。我就开始想啊，这条边既然是等于六的，并且是垂直的，常规的思路，当然这两个三角形全等嘛， 横着是六，横着是六，又是平行的，是吧？所以这个全等自然也就出来了。那么我说这段和这段是相等的，整个的是六，那么整个的这块是啊四，那这块是二，哎，这块也是二，哎，这个题太舒服了啊。二，二，二，那么这个就是一个等腰三角形。 那有了这样一个概念之后的话，我说对于 og 的 这条边要求的话，常规的思路就是构造一个垂直呗，经过 o 点的位置，向这儿做一个垂直，在这个三角形当中，横着是三，竖着也是三，因为这块是二，所以这块就等于一，这是一，这是三，所以斜着的 og 就 等于根号 十。好了，解决了一个线段，剩下的就是到了 h g 的 这一段，你观察这个 h g 啊，当你看到它的时候，这么长的一条斜着的边，我说可以把它考虑成谁，它是不是在这个 h a f 这个直角三角形当中， h a f 这个直角三角形当中，因为全等，使得这个线段等于这个线段直角三角形，斜边的中线等于斜边的一半。又用了一次， 哦，那么我说 h g 就 等于 ga 这段是二，这段是六，一比三比上根号十啊，你当然没有这个比例关系，你去购物经理来求也可以啊，这条边算出来呢就是二倍的根号十，所以这个题最后的答案是三倍的根号十再加上三倍的根号二，打完收工。

关于这两天和平、南开、河西的卷子看了一下，数学方面，河西呢，最难，创新度最高，第一次出现物理和数学结合起来，出题 难度非常大。我这不少河西的家长说，这次考砸了，别担心，没考好是正常的，就这种题，谁看了都懵。不过这种新的形势很有可能被中考借鉴，家人们一定要注意。其次，南开难度比中考借鉴，家人们一定要注意。其次，南开难度比中考高，而且也出了新题型了，十二和二十四题， 孩子能考到一百分以上其实就算不错了。最后是和平，这次和平保守了，不过出题的形式和往年中考保持一致， 有计算要求是要高一些的。孩子如果能考到一百分以上算优秀，能上一百一以上的，那就是无所水平了。

核心难度几颗星？绝对四颗星啊。我们酸草莓说十七题全班没一个对的，昨天学生很多卡在十七题。其实我觉得核心这套试卷只要能过百就非常优秀了， 能过九十分就真是过关了。和平数学一模到多少分才是无锁水平？一百一十分。南开的数学的话如果说呢，能过到一百零五，一百零六绝对是优秀的，幺幺零绝对无锁水平。

昨天，南开、河西、和平三区的数学一模落幕了。今年天津市中考要大变天，南开最难，河西最创新，和平最贴合中考。最关键的是，今年中考数学命题组整体做了更换，去年命题组组长刘老师已经退休了， 因此今年各区的模拟试卷参考价值绝对拉满，市内六区加四教五线的卷子全部都要重点关注。来看一下， 河西区整体最贴合中考，其中二十三题是一个非常创新的题，特别像一道物理题，很贴合新课标多学科融合的要求。而且今年河西出卷的老师大概率要进入今年中考命题组。南开区题型与中考一致，前半部分做起来非常顺手， 十七题就不是很友好了。十七题这道题是不能间隙的，他考察的是高频考点，直角三角形斜边中线。而结合去年中考的一个趋势，张老师有依据的猜测一下，二零二六年中考十七题大概率也不能间隙。所以中等生如果你还在相信我们十七题有一个最通用的解法可以间隙，那 今年中考你很有可能要吃亏。所以建议中等生要把几何法去做一个专项训练。难看，这套试卷的二十一题是比较简单的，二十四题和二十五题计算量就太大了。二十四题是一个小的创新，属于放大型平移。他有点参考二零二三年核心一模的那道二十四题，今年难度 整体降低，很贴合中考和推荐生的政策。二十题改编了一点点，是二次函数的题， 组合节课考的定位，这三套卷子，初三的学生必须要做。而这三区的二十五题第二问，张老师要重点说一说，他对于中等生非常不友好。如果你是一个缺乏专项训练的中等生，我觉得你现场思考 绝对是做不到的。所以张老师做了一个临时的决定，下周一到周四晚上，每天两个小时，共八个小时，我要带中等生专项突破五十到二十五题第二问，彻底打通你的人多二脉。如果你想参与评论区扣一，我让小助手联系你。

大家好，我是沈老师，咱们今天来看南开区一模的题目，咱们直接来看第十七题， 来先看一下条件，条件里面给到了边长是六的一个正方形 之后呢，这块是等于九十度，因此呢，咱们根据呃，边长是六，所以呢， a c 的 长度等于六倍根号二，而这个三角形 a c h 的 这个是直角三角形，所以呢，斜边的中线等于斜边的一半，直接等于三倍根号二。答案就出来了， 重点呢，来看第二个，他给到了 c f 的 长度等于 a e 的 长度之后呢， d e 等于二，这块咱们等于二，让咱们求这个它的周长， 它的周长。现在呢，咱们已经知道了 a h 的 长度，只要把 o g 的 长度和 h g 的 长度求出来就可以了，因此呢，咱们想要用到这个边长和边长的关系，所以呢， f 点往这边给它做一个垂线，看一下能不能勾到一个全等三角形。 m 点，好在这个三角形里面 和这个三角形里面，咱们看一下条件，知道了 c f 这个长度等于这个长度，直角等于直角，两个条件， 再加上这个角度，加他等于九十度，他呢加这边等于九是相等的，所以呢，能导出来这个角度等于这个角度，因此呢，他们两个是全等三角形，那得到了他的长度就等于二。 再看一下上下这个八字的三角形，咱们通过上个的全等，咱们知道这个边长等于这个边长，同样呢，也能证出来他俩是全等的，因此呢，咱们得到了他的长度，就等于二和二占一个关系 好了，有了知道这个关系之后呢，咱们呢， g 点就是 a f 的 中点，所以呢， o g 就是 三角形，它的中位线，因此呢，咱们把 c f 给它求出来， 这块等于六，这块等于二，因此呢，得到二倍的根号十，所以呢， o g 的 长度就等于根号十。 而在大的三角形里面，在这个大的三角形里面，我同样呢，还是这角三角形，斜边的中线等于斜边的一半，对吧？这是二倍的根号十，所以呢，加起来之后呢，是等于这边根号十加二倍根号十，三倍的根号十，再加上这个 o h 的 长度，三倍的根号二，所以呢，我的答案就出来了。 好，咱们来看第二十四题。先看一下第一问，他的边长给到了，他的长度是三倍的根号三，这边呢是根号三，所以呢，总长度是四倍的根号三。 咱们 c 点往这边做垂线，就可以得到四倍的根号三和二倍的根号三，那所以呢，根号三倍就等于了六。 好，咱们第一个 c 点坐标就出来了，是六到根号三。再看一下 cd 的 长度，咱们知道这块是根号三，这块是三六九，所以呢，它是根号三，这块等于三，这块呢，是等于二倍根号三，所以呢，剩下的长度也是等于二倍的根号三。 好，这是第一个。再看下面的第二问，当它重叠部分是五边形的时候，让咱们求 c g 的 长度，并写出来 t 的 曲的范围， 咱们先看一下取的范围，看第一个图，当这个 p 点跑到点 d 的 时候，对吧？这个长度等于三，咱们给它画一个等边三角形，看一下是不是正好卡在 a c 上面。咱们需要来验证一下， 这块长度等于三，这块呢，咱们是二倍根号三，咱们知道这块是垂直的，所以呢，这块是等于根号三，那所以呢，这个长度等于三，因此呢，他正好卡在这个 ac 上面，因此呢，咱们呢，取之范围正好是等于 t 大 于三， 那咱们再看，当他往前面移动的时候，对吧？变大的时候，那是 m 点先过点 c， 所以呢，咱们需要来验证一下。 例如第二个图形，咱们先先把 m 跑到这里，咱们给它连起来，连起来，咱们知道呢，这个长度等于三倍，根号三，所以呢，这个长度就等于二分之三倍的根号三，因此呢，我这个边长就等于二分之三倍的根号三，再乘以根号三，就等于二分之九。 那下面这个图来，咱们假设它过了咱们点 c 的 时候，因为呢，它这个长度等于二倍的根号三，所以呢，它正好垂直卡在这里，所以呢，这块长度是等于根号三，它是等于一，因此呢，这个长度等于二， 它等于二，这边等于三，所以呢，这边长度总共是等于五，相当于这块的 o p 的 长度呢，是等于五，因此呢，咱们是到这边，对吧？ m 点是先到达，所以呢，它是小于二分之九。 好，取的范围就出来了，咱们再来看一下它的一个表达式， 咱们的 o p 的 长度等于 t， d p 的 长度 o， d 的 长度是等于三，所以呢， d p 的 长度就等于个 t 减三， 他的 t 减三，咱们 p g 的 长度也等于 t 减三，那咱们 d g 的 长度就等于根号三倍的 t 减三，那就等于根号三。 t 减去个呃三倍的根号三， 而咱们的 d c 的 总长度是等于二倍的括号三，所以呢，咱们 g c 的 长度就等于二倍的括号三，再减去一个 根号三， t 减三倍的根号三，所以呢，我的答案就等于五倍的根号三，再减去个根号三， t 这个答案就出来了。 t 在 一到五的时候，求 s 的 一个取次范围，那咱们先看一下，当它等于一的时候和等于五的时候，它的一个面积应该是咱们的最小值， 对吧？当 t 等于一的时候，咱们给它算一下，它是一个小的等边三角形，所以呢， s 的 话呢，就等于四分的根号三，乘以一的平方就等于个四分的根号三，那当 t 也等于五的时候， t 等于五的时候， 应该是正好是这边这个图，对吧？咱们刚才已经算了，这边正好这个这个图形在这个图形里面呢，它这块呢是一个三角形 三角形，咱们知道这个长度等于根号三，所以呢，这个长度呢也等于根号三，这边呢是等于呃，三，所以呢，我的面积 s 就 等于根号三，再乘以三，再乘以二分之一，那就等于个二分之三倍的根号三，所以呢，值呢，应该是四，四分的根号三，就咱们的最小值， 而咱们的最大值呢，应该是在五边形的时候，咱们需要写出来五边形的面积，来求它的最大值， 来看一下五边形的面积，那用最大的这个三角形的面积，用最大的这个三角形的面积，咱们去减去这个旁边的三角形的面积和这个小的三角形的面积， 而咱们呢，最大的三角形的面积应该是 s 等于四分的根号三的梯方就可以了，而这个旁边这个小的面积，咱们给他写一下 s 三角形 p、 h、 g 的 面积，对吧？它的面积咱们知道呢，这个长度， 这个长度是等于 t 减三，这个长度呢也等于 t 减三，所以呢，这个长度呢，是等于二分之一的 t 减三，那这块呢，是等于二分的根号三倍的 t 减三。因此呢，咱们可以得到我的面积就等于二分之一的 t 减三，再乘一个二分之根号三倍的 t 减三，再乘一个二分之一，所以呢，就等于个八分之根号三倍的 t 减三的平方。 好，这边呢就出来了，咱们再来看一下三角形这个 e、 f、 n， 它的面积， 咱们需要从这边给它慢慢倒过去，对吧？咱们知道这个长度总共长度是等于二倍的根号三，那咱们这边的话呢，已经求出来了，是等于这边是等于那个 t 减三，所以呢，咱们这块是等于根号三倍的 t 减三。咱们求出来之后呢，通过 g、 c 的 长度求出来这个 f、 f、 g 的 长度之后呢，用这个总长度减去它的长度，再减去它的长度，就得到了 f、 n 的 长度， 对吧？这块的话呢，应该是等于 f、 n 的 长度，咱们这块写到这边 f、 n 的 长度就应该等于 t 减去个 t 减三，再减去个二分之十五减二分之三倍的 t， 这样的话呢，咱们就得到了二分之三， t 减二分之九这样一个表达式。 好，所以呢，我的面积的话呢， s 等于二分的根号三倍的二分之三， t 减二分之九的平方， 这样的话呢，我就可以得到我的五边形的面积就等于四分的根号三， t 的 平方再减去个八分的根号三， t 减三的平方，再减去个二分的根号三倍的二分之三， t 减二分之九的平方，这样给它化简出来，就得到了负的根号三倍的 t 方减去个二分之十五倍的根号三，加上一个，再减去个四分之四十五倍的根号三。 好，这是咱们的面积的表达式，因此呢，咱们这个最大值，咱们最小值已经求完了，咱们的最大值的话呢，就是当他的对中轴 x 等于负的二， a 分 的 b 也就相当于等于四分之十五的时候，我的面积的话呢，就等于十六分之四十五倍的根号三。答案就出来了。 好，咱们来看一下第二十五题，咱们直接来看第二问，看条件里面给到了点 m 的 坐标是 m 勾一之后呢， n 点都在抛物线上面，那假设 n 点在这边之后的话呢？ m 点在这边， n 点在这边之后呢？又知道 dm 和 d n 这块是垂直的， 呃，之后呢，当 m n 等于根号十的时候，让咱们求抛心的解一次，并且直接写出 eg 和 f g 的 一个最小值，咱们来看一下，那这块呢， d 点的坐标，咱们根据这个 对称轴，咱们可以求出来 d 点坐标是等于 m 到一，咱们根据两点间距离公式，或者根据勾股定律，咱们可以求出来这个 m 的 值，给它带进去相当于 m， n 的 长度等于根号十，就可以求出来 dm 的 长度等于根号五，那所以呢，套到两点间距离公式， m 减一的平方，再加上个一的平方等于个五，所以呢， m 呢就等于三， 所以呢，咱们可以求出来 m 的 坐标是三到一和 n 的 坐标来，往下面给他做垂线， 往这边给它做垂线，就可以挣出来这个三角形和这个三角形呢，它两个全等，对吧？就可以挣出来 n 点的坐标是等于个负二，二到负二，这样一个。 好了，有了 m 点坐标和 n 点坐标，咱们带到咱们的解一次面去，就可以求出来咱们的解一次 y 等于 x 平方减二， x 减二。 好，再看一下第二万啊，咱们求 eg 和 f g 的 一个最小值，那咱们假设这个点， g 点和 e 点分别是 dm， 在 这上面一个点之后呢？嗯， m， n 上面这个是 g 点，求他的一个最小值，从 g 点往下面给他做垂线， 这样咱们得到这个长度。假设是 h 点，就可以得到 nh 的 长度，就等于个二分之根号二倍的 这个 ng 的 长度。而咱们呢， eg 的 长度， d， e 的 长度是等于根号二倍的 n g， 那 所以呢，咱们的 d， e 的 长度应该是等于二倍的这个 nh 的 长度，这样咱们给它转换过来， 转过来目的是什么呢？咱们转换过来就表示往上面给他做垂线，正好呢是 d， e 的 中点， 因此呢，咱们就能得到我的这个 e， g 的 这个长度，等于呢 e， d 的 长度。这样咱们转换的目的就在于他， e 点和 g 点本来是两个动点，对吧？这两个动点，因此呢，咱们不好算，因此呢，把它转换成 d 点 和 e 点，它俩是关于这个线是对称的一个动点， g 点。好，那这样呢，咱们长度的问题， e g 加上个 f g 的 长度，就转换成了 d g， 再加上一个 f g， 它的长度，因此呢，转换完了之后呢，变成了这个长度加这个长度它的一个最小值。那这个呢，是咱们的标准的一个将军野马问题。因此咱们给他做一个， 把它做一个，相当于做一个正方形出来，做正方形出来之后呢，咱们找到 d 点，他往这边的一个对称点 找到一对称点，那之后呢，把 f 点和这个对称点连接起来，当这个 f g 和这个假设是 d 撇，当他们三点共线的时候，就达到了咱们的最小值，因此呢，咱们 m 点 和 n 点咱们都是知道的，所以呢，咱们这块呢，就很容易求出来这个它的一个坐标，对吧？或者说呢，咱们直接求它的长度就等于咱们 m f 的 长度，因此呢， m 点坐标知道了， f 点坐标呢，咱们是 和 d 和 n 的 一个中点，因此呢，这个长度直接就可以通过两点间矩阵，或者通过咱们这个的一个勾股定律就可以求出来了。因此呢，咱们最小值应该就等于个二分之五。 好，这是咱们的第二问，看下第三问，第二问能够理解之后呢，咱们的第三问就比较好做了。 在第三问里面，咱们知道它的最小值就等于五分之二分之五倍的根号十，也就相当于这个长度也就相当于 df 的 长度，那它呢最小值等于个二分之五倍的根号十。 而咱们知道 df 是 它这个正方形的，它的中点它的一半，而这个长度咱们是可以求出来的。因此呢，咱们在这个三角形里面，咱们可以得到 dm 和 mf， 它的长度的比值关系就是 一比上个二比上个根号五的关系，因此呢，咱们呢 f m 就是 dm 的 一个二分的根号五倍，所以呢，咱们现在知道我的最小值就相当于 d m f 的 长度是等于个二分之五倍的根号十， 所以呢，把它呢除一个二分之根号五，就可以得到咱们这个 dm 的 长度，而 dm 的 长度咱们通过两点间距离公式就可以得到。 dm 的 平方就等于 m 减一的平方，再加上个一的平方， 那它除完之后呢，它的结果是等于个，呃，根号五，再乘一个根号十，就等于个根号下五十它的平方，对吧？它的平方， 那所以呢，就可以求出来 m 的 值的话呢，是等于八。好，这样的话呢，有了 m 的 坐标，咱们就可以求出来，呃， m 的 坐标是八到一和 n 点的坐标来是二到负一。好，这样的话呢，咱们就可以把咱们的解一次给他求出来了， 得到 y 等于六分之一的 x 平方，再减去个三分之一的 x， 再减七，这样咱们还是跟刚才的一样的，咱们看一下怎么样来求这个 g 点的坐标。 有了 m 坐标和 n 点坐标，咱们可以求出来，对吧？这块是知道的，这块知道的，咱们 m n 的 这个解一次是能求出来的。 m 的 解一次求出来之后呢，咱们这个 f 点和这个 d 平，对吧？或者说咱们 d 点跟这个 f 平都可以的，咱们再找 f 点和 d 平，对吧？找到一条线，找到一条线之后呢，把这个解一次求出来和这个解一次求出来，它俩的交点就是咱们的 g 点的坐标， 最后的话呢，咱们答案就可以解出来了。好，我来写一下这个解意式。那咱们 d f 撇往这边坐就可以得到它的解意式是 y 等于负的九分之十三倍的 x， 再加上个九分之十三 之后呢？ m n 它的解意式是等于 y 等于三分之四的 x， 再减去个三分之二十九。这样的话呢，他们两个连立就可以得到基点的坐标是四到负的三分之三。答案就出来了。

今年的南开一模数学试卷，相比较于去年一模和中考试卷，难度有所上升，有一定的创新变化，特别体现在了压轴题第二十四题上。那选择题呢？前面的题也有一些的新意，比如说科学计数法，反推原数，但是不难。 十二题仍然是仿照去年中考题的考点，考察了几何双动点的问题，但是难度有所提升。那像填空题第十七题相角与去年上了难度，考察直角三角形、斜边中线的性质。那第二问结合了全等三角形中位线比较综合， 用间隙法也比较难算。那解答题的前面几道题与去年一模难度持平。第二十一题考察圆的垂径定力，结合平行四边形，难度适中。第二十三题最后一问与去年中考一样的问法， 最大的亮点是在第二十四题，不是考察普通的平移折叠或者是旋转，而是由线段旋转构造三角形，进而求线段和面积，可以理解为平移加上放松。 以前基本上没有类似的题型作为训练，孩子们普遍都感觉到有些棘手。那第二十五题二次函数综合题 第二问考察了一线三垂直的模型应用，进而求解方程。后面是热门的考点，将军引马模型，属于正常的中考难度。 总的来说，这次试卷难度比较于去年的一模中考都有所提升，甚至可以比你今年和平。一模的难度，优等生呢，可以冲到一百一十分以上，中等生可以冲到一百零三分，非常值得中考想冲高分的孩子们进行练习。