微积分怎么跟喝水一样简单啊

如果你看过一些优秀的微积分科普视频，大概率会觉得自己学懂了积分。毕竟我们看过太多次那样的演示，一条曲线之下，被小心翼翼的切分成无数个细长的矩形， 他们不断变薄，无限逼近，最终求和。大多数人都告诉你，这就是积分的本质，一种用无穷分割来求面积的精妙技巧。然而，作为牛顿的忠实粉丝，我每次看到这里都难免感到遗憾，因为这只是莱布尼茨建立微积分的思路。 虽然历史上牛顿和莱布尼茨关于微积分的发明权存在争议，但却鲜有人知他们是已截然不同， 甚至可以说是互补的思路，各自构建出微积分的体系。莱布尼茨从静态的几何问题出发，他研究曲线下的面积，通过分割与求和，逐步摸索出导数的概念。 而牛顿则从动态的物理视角切入，他在计算运动物体的瞬时变化率时，先定义了流数，再从变化率的逆过程得出积分。这其实非常有意思，因为两位大师的研究手法真的能鲜活的反映出思维的风格。莱布尼茨的入局是比较自然的， 通过技巧去慢慢解剖，逐步建立起重要的数学概念，这个流程精巧的像在做外科手术。而牛顿的方法则非常霸道，直接从运动的本质入手，构建整个体系，那种颠覆性和力量感堪称是一粒顶十惠的暴力美学。 历史上，牛顿确实更早创立了微积分，但由于莱布尼茨的符号系统实在太简洁太好用，随着微积分日渐数学化、工具化，牛顿那套充满智慧与物理直观的原始思想反而逐渐被掩盖，这无疑是可惜的。 所以，牛顿为什么是神？在谈论这个问题前，我想先说说其他数学家，相较于牛顿，究竟差在哪里。莱布尼茨的面前摆着一个三角形，长和宽都知道如何去计算面积，小学生都知道是长乘宽除以二。然而，莱布尼茨当时恰好在潜心研究数列的问题。 有句话说的好，一个手上拿锤子的人，看什么都像钉子。莱布尼茨非要用竖列来捣鼓。他是这么做的，把这个三角形一层一层撕开，面积就被分割为 n 块，其中每一段的宽就是 n 分 之一。计算其中的一个个长方形，面积 加起来就是一串竖列。这个竖列的最后结果和嗯，这个变量有关。莱布尼茨意识到，如果分割的足够多，嗯，足够大，这个式子的最后比值将会逼近三角形的真实面积，也就是两分之一。 这个方法看起来绕，却有一个好处，他能推广到一般函数。于是莱布尼茨继续思考，原来求曲线下的面积可以先找竖列的求和公式，然后令间隔系数趋于零就行了。 那在已知通向公式的情况下，怎么得到求和公式呢？他们的关系式就是这样，这就是最关键的转折点。怎么理解这个式子，其实就是牛顿与莱布尼茨的区别所在。莱布尼茨思索片刻后，豁然开朗， 为什么要让通向公式求和，必须要把它表示成两者之差？因为这样一相加，就刚好能产生列项相消的效果，使得中间的求和全部抵消，结果就只需要一前一后两项来表示， 所以面对一个一般的函数，我们用同样的方法来探讨如何计算其面积。首先先将面积分成很多块，然后求和。根据前面说的，为了计算出这个求和，需要把其中每一项单独拆分为作差的形式， 因为这样在求和的时候才能像多米诺骨牌一样把中间项全部互相抵消。那么最关键的任务就是找到能表示成这种形式的函数。 从图像上看，上面这段微小的面积就会对应着下面这个函数在这个区间内的出没差值，也就是这一小段。如果把德塔挨克死除过去呢？左边就是函数值， 而右边是一个需要被定义的重要数学概念。我们先看看它的几何意义是什么？ 它代表这个函数值的增量比上自变量的增量，也就是这条连线的斜率。当增量非常短， 出没位置非常接近的时候，这条线段也就成了在对应位置点处的切线。莱布尼茨意识到这是个重大的发现，为了方便表达，他在变量前面加一个字母 d， 代表着取这个变量的极短增量，也就是微分， 所以切线的斜率就被表示成了 d y 比上帝艾克斯，这被称为导数。好，我们重新梳理一下来，布尼茨发现了什么？ 他发现要求一段曲线下的面积，首先要将这段区域无限分割，然后将中间每一段微小的面积求和。 同样的，他用这个符号来代替这个求和方式，也就是积分。根据前面说的，要算出这个积分，需要去找一个能使得中间列项相消的函数，使得刚好中间全部抵消，只剩下了末端减出端。 这个函数被称为圆函数。那么具体形式是什么呢？刚才讨论出来了，他在一点处切线的斜率就是 f 函数的值，而这就是著名的牛顿莱布尼茨定律。举个例子，比如这个函数，我要计算从零到一的面积，该怎么去运用这个定律呢？ 他告诉我们需要找到一个函数的导数，是他注意到这个函数在求极限变化率后，恰好就是艾克斯的平方，所以他也就是我们要找的原函数。那么我们只需要把出末位置带入这个原函数，然后做差，就得到了答案。所以牛顿莱布尼兹公式很简单， 简单的就像是一句废话，无非就是在说最终的积累量等于中间所有积累之合。但他解释的规则非常深刻，因为一切事物的发展都有两个要素，就是端点与过程。而原出形式的牛顿莱布尼茨公式告诉我们， 一维坐标轴上内部的形式累积和临维端点处的值存在着密切联系，内部的信息会反映于边界处，这是未来物理学的场论和现代数学中流行理论的基础思想。 一流的数学家就像魔术师总能跟变戏法一样，把重要的数学概念引出来。但切换到牛顿的视角，你会发现，天才看见的是常人看不见的东西。回忆一下，我们前面是怎么得到面积的，是靠不断累积， 这非常符合直觉，因为我们的目标就是求面积，貌似需要靠不断的努力求和来得到它。但牛顿不那么认为，他认为没有预先存在的面积快。面积是一个正在被创造出来的东西，函数值以及函数下包围着的面积都是随着自变量的变化而在运动。 换句话说，面积是生长出来的，它的形式也是天然存在的，我们用累积求和得到它只是一种片面的理解。 于是牛顿直接把面积作为函数假设出来。从运动的角度说，面积不是由函数值积累得到的，而是和函数具有同等地位，都是关于位置的函数。那现在目标很明确了，如何在已知 f 函数的情况下求解面积函数的表达式呢？ 这启发我们需要去探求面积的生长过程。观察一条运动的垂直线段，从初端移动到末端，他像一把刷子一样扫过平面，是不是有感觉了？很明显，函数值越大，略过的面积越大，这意味着函数值其实就能反映这段面积的变化率。 这是不是莫名熟悉？前面我们说过，牛顿发明了流速法，用位移关于时间的极限变化率得到了瞬间速度，那么这里直接类比，立马可得。 s 的 流数就是 f， 而 s 也就被牛顿称为 f 的 逆流数。这反应在函数图像中就是 s 会在一段自变量区间内产生增量， 当这个区间取得非常小的时候，左右两端的函数值是近似不变的，这个增量和 f 就 显现出了关系， 面积的留数就是函数值。一句话，道尽微积分最核心的关系，整个过程没有做任何累积求和。所以并非牛顿不懂发明符号，而是他根本没有发明符号的机会，他凭借强大的物理直觉，一眼看穿了变化与积累之间本质的联系。 这种从运动与生长中洞察数学真理的方式充满原始的力量感，也让我们看到微积分不仅是计算工具，更是理解世界如何变化的语言。 但这里有一个小问题，细心的观众肯定也注意到了，这个方程中要想解除面积函数也并非意识，因为这个关系式只是面积函数的必要不充分条件，哪怕函数再加上任意一个常数，两者作差后，这个增量仍然不变。为什么会这样？ 因为我们的面积函数貌似从头到尾就没有规定过起点，只有选定起点后才能解除具体形式， 这个起点对应的就是物理学中的边界条件。另一方面，我们也可以这样想，我们在乎的其实本来就只是一段区间内，中间的面积。 起点是什么不重要，因为在给定前后端点做差后都抵消了这种积分，被称之为定积分。而没有确定边界条件时，得到的面积函数形式就被称为不定积分。 当我们回顾这段历史时，会发现莱布尼茨的工作像一位技艺高超的工匠，为我们打造了一套无与伦比的工具。 牛顿的工作则像一位洞悉宇宙奥秘的哲人，为我们揭释了变化如何创造积累的物理学原理。微积分基本定律的伟大之处正在与他完美融合了这两种视角。 他最直接的表述是，要计算一个连续变化过程的净积累。你不需要进行无穷次复杂的加法，只需找到描述该过程的原函数，并比较其起点与终点的状态。更深刻的说，一个区域内部的全部信息可以完全由其边界上的信息所 决定。这种内部蕴涵于边界的思想是近代物理学和现代数学的基石。所以，微积分远不止是关于切磋型或求谐律的计算学，它是一门关于变化与积累的通用语言。莱布尼茨给了我们语法和词汇，让这门语言得以书写和传播， 而牛顿则直指这门语言所要表达的终极真理着既然万物皆在流动，那么把握其流变之律，便知吸其整体之行。 下次当你使用微积分时，希望你能同时感受到莱布尼茨符号之下的精巧优雅与牛顿思想之中那股源于自然法则的磅礴力量。

v t 图里面呢，它的斜率就表示加速度，这个大家都好理解，那我现在想问一个问题，这个 v t 图线与横轴所围成的面积，也是刚才我们图中画的这块阴影部分的面积，请问它表示什么物理量呢？ 有些同学可能预习了课本，知道这块面积应该是表示未知，对吧？但是同学们你严格的证明过吗？为什么这块面积就表示未知呢？来我们现在可以尝试证明一下。在数学里面呢，我们把这个图形称为曲边梯形， 它长得有点像梯形，但是有一条边是弯曲的。那我们现在想证明的结论就是，在 v t 图像里面，这个曲边梯形的面积就表示这段运动的微移。来，我们看什么证明。 首先先画一个大家都比较熟悉的简单的运动，叫匀速直线运动，初中我们就学过了啊，它的图示是一个水平的直线对吧？它的速度不变啊。那我要求在 t 时间内，它走的微移是多少？怎么求呢？很简单，每个同学都会应该说速度直接乘以时间就是什么？注意看，速度就是这段长度， 时间呢，就是水平方向的这段长度，这两段长度的乘积是什么？是不是这个矩形的面积？也就是说在一个匀速直线运动里面， v t 图像围成的面积确实表示了这个运动的唯一。那你想这个结论可以拓展到一般的运动吗？ 如果它是一个变速运动，这个图像围成的这块面积还是否能表示它的微移呢？这个问题呢，就要用到牛顿提出的微积分思想了，大家可能都听过，那今天我们就以这个为例来给大家简单的讲一下什么叫微积分，你看哦，当我们研究一个变速运动的微移的时候， 它没有办法像匀速运动那么简单的算，比如说这段运动就是一个变速运动，我要求这段时间的微移，我能不能像刚才一样直接微乘以 t 得到微移呢？ 很显然是不行的，那怎么办呢？我怎么才能把这个变速运动看成一个匀速运动？怎么才能把这个变速运动跟这个匀速运动关联起来？如果我们研究的这段时间是很长的一段时间，这个变速运动的速度变化当然是很明显的， 它是不能当成一个匀速运动的，对不对？但你想，如果我们研究的这段时间非常非常的短，几乎是一个盛典，它的速度变化就没有那么明显，如果我们研究的时间足够短，它的速度几乎就不变了，而在这个足够短的时间里面，它的运动性质跟上面的匀速运动就近似相等了，那么这个思想呢？就叫 微分。那现在我们来看怎么微分啊？如果我把这个运用分成无限段，当然这里为了大家看的更明显，我还是不能把它画的太细。实际上如果你分成无限段的话，这一小段你是看不到的，非常非常短，相当于一个点，但是我还是把它画的宽一点啊，为了大家看的清楚一点， 那这里的每一小段的时间呢？我们都叫做 d t， d t 呢？就是一个微圆时间，就是一个很短的时间，每一段都是一个 d t， 我 把它分成无限的这样的 d t 了， 现在我只研究其中的一小段，请问在这一小段里面可不可以这个匀速运动？当然是可以的，因为在这一小段里面它的速度几乎不变。那你说这一段的运动性质跟上面的匀速运动有区别吗？其实没有区别的，那我们就可以这么写了， 我随便取某一个点的速度值，用这个速度乘以这段时间，在图像里面当然表示的就是这块面积，就是一个小矩形面积。这块小矩形面积它的物理意义是什么呢？这个 s 取它就表示这一段微圆时间里面，我们随便取的一个速度值乘以这段时间近一次，表示这一段时间里面的什么 v 原位移，叫做 dx。 那 么其他每一小段的矩形是不是也可以表示类似的意思？第一个矩形可以近似表示第一个 dy 里面的位移，注意是近似表示啊，那近似这个误差在哪里呢？就实际值跟我们表示出来这个值差在哪里？注意看，就差在上面黄色的这一部分曲边三角形。 那第二个矩形是不是也同样可以近似表示第二个 v 原时间里面的 v 远位移，它差在哪里？其实都是这样一个意思，那既然这样的话， 我把每一小段的这个式子做一个累加，就是我把所有的矩形面积全部加在一起。在物理里面或者数学里面，我们有一个符号用来方便表示求和的，叫 c 个吗？在一个物理量前面加 c 个吗？就是说把这个物理量的所有的段全部加起来的意思啊，所以这里表示把所有的矩形全部加在一起，那它就相当于什么？矩形面积？是 v 点 t， 你 矩形面积全加在一起，就相当于把 v 点的 t 全部加在一起了，那也就近似等于把每一段的微圆微移全部加在一起了，对吧？ 把一个运动每一小段的谓语全部加在一起，请问是什么？是不是这段运动的主谓语就是 x？ 这里我们还有近似这个符号，这个近似怎么样才能消掉呢？很简单，只要我把时间取的足够短，如果我取的是无穷段，这段非常非常的短，那这个时候上面这一部分黄色的 取边三角形的面积会趋向于几？是不是趋向于零了？所以只要我把时间得 t 趋向于零，在这个情况下来讨论，这里的约等于他就变成严格的等于了，那同理，这里的约等于也就变成严格的等于了。 也就是说，我们得到了，在时间趋向于零的情况下，所有矩形面积的和就等于总为零。而如果时间趋向于零，这些小的三角形都没了，那请问所有的矩形加起来不就是这个取边形形？ 所以此时这个 sigma s 角刚好就是这个曲面梯形的面积，那么也就等于整个运动的微粒，这就是牛顿提出的微积分思想。 所谓的微积分呢，就是把它先微分，分成一小段，方便我们去处理这个变量问题。用完这个式子以后，再把它干嘛再积起来？先微后积，就牛顿的微积分思想。

同学们好啊，是不是感觉微积分入门之后想再进一步，却有点摸不着方向？今天就给大家带来一份两到三个月的微积分初学者进阶方案，帮你从入门到精通，轻松应对期末考和考研基础题。首先咱们得明确这个方案适合谁， 如果你已经掌握了极限四则计算基本求导积分公式，简单定积分计算和牛顿莱布尼茨公式，那这个方案就非常适合你。 咱们的目标是在两到三个月内达到本科非数学专业高数期末八十分以上考研数学基础题无压力。熟练掌握全体系常规计算与核心应用，建立完整的微积分知识框架。 这个方案按十周设计，每周学习十到十二小时，也就是每天差不多一个半小时，时间上还是比较灵活的。在开始之前，有几个核心原则大家一定要遵守。第一，运算优先，先熟后深， 先把核心运算练到条件反射再去深究。理论证明，百分之九十的初学者失败都是因为基础运算没练透，就盲目攻难题。 第二，练大于看做题和听课的比例，至少要三比一。微积分是练出来的，严禁只看视频不做题， 每学一个知识点，必须配足量练习来闭环。第三，限性递进不跳步，严格按阶段推进，前一阶段自测不达标，绝不进入下一阶段。 第四，错题闭环，定期复盘，每道错题必须标注错误，原因是概念不清，方法不对，计算失误还是粗心。每周都要重做，杜绝重复踩坑。接下来我们分三个阶段来学习， 第一阶段是基础夯实和核心预算突破，这需要四周时间，目标是把半懂不懂的入门知识打牢，攻克一元微积分。所有核心预算技巧正确率稳定在百分之九十以上，解决会公式但不会做题的问题。 第一周我们重点学习极限进阶与连续型，内容包括泰勒公式求极限，这可是核心，能替代等价无穷小，还有秘制函数一的无穷大型的解法 无穷大阶比较落必达法则的禁忌、间断点分类以及 b 区间连续函数的性质。 练习方面，每天要做十道极限题，其中泰勒公式的题目不少于五道，再加上五道连续性题，一周累计要做两百道左右， 这里要注意严禁在加减场景乱用等价无穷小落笔打法则是最后手段，还要记住五个核心的泰勒展开 e、 x、 sinx、 cosx、 l、 n 和 alpha。 第二周学习导数进阶与中值定理，内容有高阶求导，可以用莱布尼茨公式规划法或者泰勒公式 引函数和参数方程的二阶求导。导数的应用像判断单调性、求极值，判断凹凸性、求渐近线函数作图。还有三大微分中值定理的基础 练习上，每天八道高阶求导，十道应用题，三道中值定理题，一周累计一百五十道， 还要完成至少五个函数作图。这里要注意参数方程二阶求导严禁漏除 dx 除以 dt。 求极值和拐点必须验证符号变化，中值定理要先死记适用条件。 第三周功课不定积分，核心技巧包括第一类换元法，也就是凑微分。第二类换元法，比如三角换元、倒代换根式换元 分布积分法，记住反对逆止三的顺序，还有有理函数和三角有理式的积分练习量要加大，每天至少十五道不定积分题，一周累计两百道。 这里要知道，百分之八十的题目靠凑逼分，严禁一上来就用分布积分， 分布积分中优的选择要遵循，反对密指三结果必须加长数。 c。 第四周学习定积分、变现积分与反常积分内容有定积分的性质，比如基友性、周期性换元法，要记住换元币换现 变现积分求导，这可是高频考点。还有反常积分敛散性的判断。练习上每天十道定积分，五道变现积分，五道反常积分，一周累计一百五十道。 要注意，定积分换元无需回带瑕积分要先找瑕点，变现积分被记函数含 x 时要先提出来或者换元。 第一阶段结束后，大家要进行验收，找一套本科高数期末试卷，完成一元微积分部分，正确率要达到百分之八十以上， 如果没达标就要延长一周，补全薄肉模块。第二阶段是综合应用与难点攻坚， 同样是四周时间，目标是将预算能力落地到实际应用，攻克微分方程、多元微积分两大难点，形成完整知识体系，能独立解决百分之九十的常规综合题。第五周学习定积分应用与一元综合， 内容包括几何应用，像面积、体积、弧长测面积的计算。物理应用可以根据自己情况选择。还有一元综合题，比如极限倒数积分的综合， 不等式证明根的存在性问题。练习上，每天五道几何应用，五道综合题，一周累计一百道，这里要注意，几何应用的核心是微元法，必须先画草图，即坐标面积公式，不要漏掉二分之一 不等式证明，优先用构造函数加单调性的方法。第六周搞定常规方程全题型 包括一阶方程，如可分离变量，其次限性不努力方程，二阶限行方程。要掌握特征方程和待定系数法，还有可降阶的高阶方程。练习上，每天八道求解题，三道应用题，一周累计一百道。 要注意，一阶限性方程要先化成标准型，再算积分因子。二阶非其次特解，要注意自由项与特征根的关系，通解中常数的个数要与方程的结数一致。 第七周，学习多元函数微分学，内容有二元极限连续偏导数的定义、 复合函数列式求导，这是核心引函数求导权威分。多元极值，包括无条件极值和拉格朗日陈述法。练习上，每天十道偏导计算五道极值题，一周累计一百二十道， 这里要注意，多元函数偏导存在和连续之间没有必然联系。列式求导公式不要漏掉负号。 第八周功课二重积分全题型，内容包括定义性质、直角坐标和极坐标计算积分换序、对称性简化以及几何应用。练习上，每天八道计算题，三道应用题，一周累计一百道。 要注意，计算前必须先画区域草图，即坐标的面积元素，不要漏掉 r。 对 称性的应用需要区域与函数同时满足条件。第二阶段验收要完成一套完整的本科高数期末必卷考试得分要在八十分以上， 如果没达标，就要针对薄肉模块进行专项攻坚。第三阶段是复盘整合与提速提分需要两周时间，目标是整合全体系知识，查漏补缺，提升解析速度与正确率， 完成从会做到做的快、做的对的进阶。第九周进行知识点复盘和错题闭环。首先要搭建知识体系，用思维导图梳理极限导数、积分、微分方程、多元微分、重积分的逻辑关联。 然后是错题重做，把前八周所有的错题都重做一遍，按错误类型分类，针对高频错误进行专项练习，每天不少于二十道， 还要默写公式，完整默写所有核心公式，做到烂熟于心。最后是薄热空间， 针对自测的薄弱点集中训练，直到完全掌握。第十周进行套卷模拟和应试优化。首先是全真模拟，每周做两到三套期末或考研基础卷，严格闭卷，限时培养时间管理能力。 然后是提速训练，目标极限题三十秒一道，求导一分钟一道，常规积分两分钟一道。 还要总结技巧，整理选择填空题的特殊技巧，比如排除法、特殊指法、数形结合。最后是最终复盘，把全知识点过一遍，高频错题再复盘，调整好心态。当然时间上也可以灵活调整， 如果只有两个月，也就是八周时间可以压缩。第三阶段为一周，合并多元微分与二重积分为两周，优先保证一元微积分和微分方程的核心内容。 如果有三个月，也就是十二周时间，可以把第一、二阶段各延长至五周，第三阶段保持两周。还可以补充拓展模块，比如三重积分、曲线曲面积分、无穷极数数学分析基础理论。 同学们，这个进阶方案可是经过很多学长学姐验证，有效的关键在于坚持和执行。 记住，微积分没有捷径，只有通过不断练习才能真正掌握。你们之前学习微积分遇到的最大困难是什么呢？可以在评论区告诉我，我们一起讨论解决。

停，你现在看到的不是一条普通的曲线微积分，真正关心的是这一瞬间有多快，以及这一整段加起来有多少。 如果你只记住公式，微积分会很难，但如果你先看懂画面，它其实只有两个动作，切开和累加。 先看导数，这里有一条最简单的曲线， y 等于 x 的 平方点，在曲线上走，每一秒它上升的速度都不一样。 我们先拿两个很近的点连一条线，这条线的斜率就是这一小段的平均变化速度。现在把第二个点无限靠近第一个点，割线慢慢贴住曲线，最后变成切线，这个切线的斜率就是倒数。 所以导数不是背出来的符号，它是在问，如果时间只剩下一个瞬间，这个东西正在怎样变化。对 y 等于 x 平方来说， x 越往右，切线越陡。导数二， x 就是 把每个位置的瞬间速度写成一张地图。 再看积分，假设曲线下面这块面积，就是一段时间里累积出来的总量。问题是，弯曲的边界很难直接算， 怎么办？把它切成很多小矩形，每个矩形很粗糙，但它们加起来已经开始接近真正的面积。当矩形越来越窄，数量越来越多，既取边界就会贴近曲线，无数个小量相加就是积分。 你会发现，导数和积分刚好反着来。导数把整体切成瞬间，积分，把瞬间重新拼回整体，这就是微积分最核心的关系。变化率积累起来会变成总变化，总量反过来求瞬间变化，又回到变化率。 比如开车速度表，告诉你此刻有多快，这是导数的感觉。把每一秒的速度累加起来，就是走过的路程。 所以微积分不是数学家的炫技，它是一副眼镜，让你看见变化如何发生，也看见结果如何累积。 一句话，记住，导数看瞬间，积分看总量。真正学懂微积分，就是学会用变化理解世界。

简单的介绍一下什么是微积分，相信不少人都有这样的经历，不管是出于对微积分纯粹的好奇也好，还是因为出于工作或者学习的需要也好，总之呢，满怀期待的打开了一本微积分的教材， 结果没翻职业呢，就产生了这样的心情。对于纯粹出于好奇的同学来说呢，可能还好啊，无非就是默默的把书和尚放回书架上，说一句对不起，打扰了。但是对于要考试工作的同学呢，可能就比较惨， 至少在未来的半年到一年里啊，都要接受老师这样的折磨，有的甚至在结课之后，甚至通过了考试，还是不知道危机分到底在讲什么。如果你有这样的感觉，那么我可以很负责的告诉你， 你不是一个人，我自己的身边就有很多这样的朋友，想必你也听出来了，我所说的这个朋友呢，也包括我自己。后来我自己总结啊，微积分这么难入门， 主要有几个原因。首先呢，大部分的教材为了追求严谨，从一开始就使用了现代数学的这个所谓极限的概念，在他的基础之上向你介绍为积分。 问题是，他是一个非常抽象的概念，对于大部分在接触微积分之前，主要的学习经验就是刷题啊，甚至是连题也不刷的同学们来说呢，这种抽象语言会很陌生。 而且如果你去了解微积分的历史的时候，你会发现，极限这个概念啊，是微积分创立之后大概一两百年才出。 见到这么个东西，你等于说我们现在公认的这些微积分的创始人，这些大佬们，牛顿啊，莱布尼茨，欧拉啊，连他们都不知道极限是什么， 但是人家就是凭着直觉创建了微积分。当然作为教科书嘛，追求严谨无可厚非啊，虽然对于我来讲，过早的追求这种严谨，导致学习的人入门困难，甚至入不了门，是有一点得不偿失。 当然，除了教材之外呢，市面上关于微积分的资料大部分也都是教辅啊，甚至大部分视频也是以考试为导向制作的，对降低入门的门槛来讲呢，帮助不是特别大。但是说实话，如果你 选择从微积分刚被创建时候的那个视角来理解的话，他还是比较直观的，并没有 有那么难理解。首先微积分这个名字呢，他是咱们中文的翻译，当然这个翻译的非常好啊，他基本上是总结了微积分这个计算的精髓。 当然这个好呢，你也得在学习了一段时间之后啊，才能体会到。微积分的英文是什么呢啊，是 coclus， 它是一个拉丁语词，本来指的呢是他们古代的人用来计数的这种小石子，后来呢，就直接隐身成了计算的意思。 他不是像咱们理解微积分啊，是个高深的学问，高大上的东西。按照他们选的这个词呢，就是有了 coclass， 人类才算学会了计算。之前那些什么加减乘除啊，什么乘方开方啊，那顶多叫算数。所以微积分为什么可以这么嚣张呢啊，有了它之后才叫计算，因为他和他之前的数学真的不 不一样，最核心的区别就是对待无穷的态度。在微积分出现之前呢，人们基本上对于无穷这个概念是敬而远之的，顶多顶多就是有一些说法，比如说自然数有无穷多个，仅限于此。就无穷存不存在这个事， 数学家是尽量回避的，更不用说计算了。但是人家牛顿老爷子是吧？艺高人胆大啊，你们不敢碰，我敢碰。人家把无穷引进了计算，然后就产生了这么一套计算方法，从此开创了数学的新时代。那怎么个引进法呢？稍微再具体点说，就 就是把有限的东西呢，分割无穷多次之后，你去观察他，反过来呢？你也可以把这个分割了无穷多次之后的这个无穷小呢？ 哎，把他再累积回去观察他，停到这，你大概有点感觉了，这个核心就是无穷小，对不对？最早呢，这个微积分其实就叫无穷小计算，因为你太思慕 coclass。 听到这你可能会想，都已经无穷小了，还怎么观察？无穷小也能计算？ 我们从直觉出发，你很快就能发现无穷小他不是一个数值，他只是一个概念啊。这无穷和无穷是不一样的，你比如说一和二之间，他就有无穷多个数，对吧？比如说一后面还有一点，一 后面还有一点一亿后面还有一点一，一一。你就这么一直一下去，子子孙孙无穷愧无穷多个数，那好，同样的道理呢，二和三之间也有无穷多个数，那现在问题来了，一和三之间，那首先肯定也 只有无穷多个数了，对吧？因为它既包含一和二之间的数，还包含二和三之间的数，那一和三之间的数，是比一和二之间的是多还是少啊？ 还是一样多啊？直觉上来说呢，他应该是不一样的，对吧？因为毕竟一和三之间的这个距离比一和二之间的要大。那好，既然不一样，那不同的无穷小是不是可以进行比较呢？ 而且这个无穷小既然是从有限值里面这么分割出来的，那么是不是通过某种方法把它累计回去，还可以变成一个有限值呢？这种问题呢，咱们一般人想起来肯定头大，但是牛顿不是一般人， 虽然他想起来可能也头大，也想不明白。牛顿选择了想不明白就不想了，直接干直接发明了 微积分的计算方法，并且应用到了自己研究的物理问题上，毕竟微积分作为一个工具，能用才是王道。那么微积分到底有什么用呢？为什么要学微积分呢？首先 当然是因为他创造了大量的就业机会，当然这个是开玩笑啊，微积分呢，由于引入了无穷的概念，所以产生了一种划时代的效果。在很多人看来呢，微积分是现代数学的基础，标志着从古典数学 到现代数学的转变，而数学呢，又是科学的基本工具，所以说他又是现代科学的基础。微积分的强项呢，是研究变化的规律，而物理呢，研究大量变化的关系。其中很典型的也是当年牛顿研究的重心就是天体运动，因为运动 本身就是一系列变化之间的关系，时间的变化，位置的变化，速度的变化等等。退一万步说，就算是对科学没有兴趣， 以后要是到了这种咖啡馆，也是可以蹭人家的免费 wifi 的是吧？简单的举个例子，大家初中的时候应该都学过匀速直线运动，那么一个物体如果是在做匀速直线运动呢？那他的速度就是固定不变的。 如果我们把时间当作横轴，速度当做竖轴的话，那么我们可以画出这样一个图像，来表示他的速度和时间的关系。 如果我想求出他在某个时间点已经走过的路程的话呢，我直接可以用这个速度乘以时间，表现在图像上，就是这个长方形 他的面积，然后稍微复杂一点的运动，匀加速直线运动，这个时候速度不停的在变， 但是他这个速度的变化呢，本身是均匀的，画在图像上呢，就是他这个速度和时间的关系是一条斜线， 换句话说就是他有一个指标叫加速度，这个加速度是不变的。最早我们计算这种运动的运动距离的时候，用的方法是先求这个平均速度，然后再用平均速度乘以时间。 但是如果从图像上来看的话呢，其实也是在求速度的这条线下面的这个区域的面积，它是一个梯形，对吧？我们学过梯形的面积公式，所以说也不是很难。那好，如果这个运动再 稍微复杂一点，他现在连这个加速度也在变。我举一个例子，这个速度和时间的关系是一个二次函数，画在图像上呢，就是一个抛物线这样， 那我们想求他一段时间之后运动的距离，虽然我们可以推想也是在求这一块的面积， 但是这个面积要怎么算呢？用我们以往学过的这个方法就不是很好算了，对吧？但是微积分的强项呢，就是解决这种问题，他大概的思路就是呢，我们把这个图形平均分成很多份，然后其中 每一份呢，你把它放大了来看， 形状就很像这么个梯形，但这个梯形的面积我们是会算的，对吧？所以说我们只要知道怎么把这个分成无数多份，这么个小梯形，把它加回去就 就可以了。具体怎么做呢？我们后面的视频会讲到。好，我们简单的概括了一下微积分到底是什么。那现在话说回来了，微积分他到底难吗？其实他本质 不能说是难，或者说理解危机分是什么并不难，他难在什么呢？首先就是他有很多抽象的概念， 比如说极限啊、连续啊这些东西，他们的出现是为了让微积分建立在一个更严谨、更坚实的基础上。但是说是 实话，这个是数学家的工作，大部分人学习微积分主要是为了使用他，你要是实在理解不了，对你最大的影响可能也就是成为不了数学家。 但是我们可以换个思路嘛，比如我们可以当一个物理学家嘛，牛顿也不知道什么是极限，人家还发明了微积分呢，对不对？那还有什么比较难呢？就是这个微积分研究的对象，他研究的对象呢，是一些变化关系， 在数学上讲呢，也就是函数，那么你就得熟悉这些函数的性质了，对不对？它的一些特性，比如三角函数了，双曲线函数了，密函数了，指数函数了，等等等等等等。 比如说一个厨师，他要学刀工，他不能只学怎么切，对吧？他还要知道他要切什么啊，有的菜适合切厚点，有的菜适合切薄点啊，有的 要切滚刀块，也要切丝切条是吧？你怎么按他都不一样，数学也是一样的。还有呢，就是他的这个运算规则，因为微积分是一套新的运算规则， 有些地方是完全陌生的，有一些地方呢，可能和之前学过的内容很像，但是又有着不小的区别，这个时候除了去适应之外呢，就是需要大量的练习去熟悉它。规则这种东西啊，光理解了不行， 光记住也不行，就好比说你把这个篮球的规则背的滚瓜烂熟，倒背如流，然后你跟 nba 的球队经理说，选我吧啊，我去给你们打球，那是不可能的对吧，估计裁判都不可能让你做对 对不对？一个好的裁判都需要很多年的经验，他们对这种规则的熟悉不是说死记硬背，而是说在规则和场 场景之间已经有了一个深刻的理解，能够做到在什么场合就能反应出来用什么规则，这才可以。所以会有很多数学老师说，数学这门课呢，不是用眼睛学的，是用手来学的，所以一定量的练习是 是必不可少的。那当然了，对于我们中国学生来而言，微积分还有一个额外的难点就是你会见到大量陌生的语言，可能英文字母都还不熟呢啊，突然蹦出来好几个希腊字母，长得也稀奇古怪的， 发音还特别不好发。我觉得这个倒是小问题啊，你要是刚开始实在不会念呢，可以起一些自己记得住的小名嘛啊，比如叫什么张三，叫个狗剩。不过我相信只要你有足够量的练习，几个字母而已嘛，很快就熟悉了。当然了，还有 这些因素呢，确实不是我们的问题。这个微积分呢，相对于来说还是算一个比较年轻的学科， 一般来讲呢，越是年轻的学科，他的符号系统就越不同意，越混乱。微积分经过长期的发展呢，其实现在已经比较统一了，但是即便如此，我们看这里这五个符号，他分别是什么意思呢？其实都是同一个意思啊， 有牛顿发明的，有莱布尼茨发明的，还有拉格朗日发明的，还有这个，我不知道是哪个老哥发明的， 这个在你上中学的时候是不可想象的对不对？如果说加号有五种写法的话，那我估计百分之五十的小学生都得疯。但是很不幸，你如果要学会积分，就得熟悉至少中间这三种写法，当然了，他们 各有各的好处，不然也不会经过两三百年的淘汰，还可以留到今天。还有一些符号呢，他和我们之前学过的东西长得很像啊，但是不是同一个意思， 比如说这里这个符号呢，他不是这个负一次方的意思，这个符号呢？啊，他也不是二次方的意思， 具体是什么意思呢？后面遇到了再说。总之呢，这个符号系统是现在这个样子， 他不是我们可以改变的，如果你硬要去记住啊，也是一件非常痛苦的事情。所以说回来还是什么呢？还是要用微积分，他本来是什么呢？他本来就是一个工具对不对？他就像一把螺丝刀一样，你想学好他最好的 方法就是去拿它，就是去使用它。比如说你拿它装一套家具，把这个螺丝刀的说明书呢当做一个参考，而不是一部经文。 在你使用他的次数越来越多、频率越来越高、场景越来越丰富之后呢，你的水平自然就会得到提高了。

微积分这门学科的相关知识，在咱们国际课程的三大体系，无论是 i b， a p 还是 a level 都有相关应用，但是呢，很多同学反应概念太晦涩难懂了，而且呢，跟实际生活也没有什么联系，不过没关系，从今天开始，我会带大家一步一步的通关有趣的微积分。 那么在学微积分的开始，我们都会讲的一个概念叫做 limit， limit 是 我们打开微积分世界的钥匙，很多的人后面很多公式啊概念他听不懂了，实际上就是因为 limit 没有学好，但是相信我，他也不难。首先呢，我们先写一个 limit 的 符号，这个就是 limit 了，不过很多同学看完之后也蒙，对不对，相信我，数学呢，它本身就是门语言，语言一定会表达的清晰和准确，我们把它各个符号弄明白了，你们就会发现它其实一点都不难。首先我们来看这个 l i m， 它就代表 limit 的 意思， 那么接下来我们看到了 x 一个小箭头零，实际上它代表的是 x 在 approaches to 无穷接近于零的意思。 那么这个呢，其实我们都应该明白它是一个什么啊，函数表达式，它代表了一个方式，因为我们要研究的是当 x 无限接近于零的时候，这个方式到底是怎么变化的。我们这个时候发现， x 既然在无限接近于零，我给它后面加上个一，那么它不就会无限接近于 一了吗？是不很简单，我们这样就求到了什么这个极限的值，那我们完成了认知，学会了计算。那接下来我们来看一下 a p v 级分类间一个重要的考点就是 approaches to， 它并不是 很多同学觉得微积分的概念可能在生活里面用不到，我觉得那可不一定。我们来看这这个时候呢，学校里面有一个男生，他想追一个女生，女生其实很爱学习的，他担心早恋影响他的学习成绩，他就跟这位男生说，你很好，先发个好人卡，但是呢，我觉得你在 无限接近我。如果这个男同学学过了微积分，他就会发现 无限接近并不是到达，他就会知道自己被很委婉的拒绝了，所以我明白了吧， approaches to 他 一定不是依靠 to， 无限接近，你永远到达不了。 接下来我们来看微积分里面一个常用考题， f of x 是 一个 piecewise function， 当 s 等于零的时候，它的数值为二，当 x 不 等于零的时候，它是一个 x 加一的表达式。那为什么呢？当 limit x approaches 零的时候， f of x 等于多少呢？我刚刚不是说了吗，无限接近并不是到达，所以说我们不应该认为 x approaches 零就是 x 等于零。很多同学会选二，其实二这个答案是错的，因为它无限接近没有到达，所以说它 x approaches 零的时候， 我们要选择 x 不 等于零的这个表达式，也就是 s 加一，我们完成表达式的 plug in。 那 么跟刚才一样，当 x 在 无限接近于零的时候，加上一，它就会无限接近于一，所以我们正确答案等于一。怎么样，没积分也没那么无聊吧。

上学时我最想不通，买菜又用不上微积分，学他到底干嘛？今天用一个西瓜讲明白，微积分就是拆碎看细节、拼起来算大局的本事。微分是切西瓜看细节，积分是拼回去算全貌，专管所有一直在变的事。 你天天用的导航，全靠微积分活着！小学学的路程等于速度，乘时间只能算匀速开车。可现实里，你一会加速，一会堵车，速度每秒都在变。导航就是把车程拆成无数个零点一秒的小瞬间，算清每个瞬间开了多远， 再加起来，就精准算出了到达时间。这就是微积分的核心用法。不止导航，房贷算月供、美颜磨皮不糊脸，抖音越刷越懂你 背后全是微积分。你说买菜用不上没错，但你用的电子秤、超市定价、扫码支付、蔬菜物流，全靠微积分撑着。更重要的是，微积分会教你用动态的眼光看世界，而不是死盯着眼前的静止。 你当年被微积分折磨过吗？评论区聊聊，关注我，下期用大白话讲透更多硬核知识！

漫画微积分这本微积分的入门科普读也非常好，那就感觉有点像普林斯顿微积分读本的漫画版，它是真正的从函数讲起，带你零基础入门。 你看它从函数讲起，讲极限导数，就函数这一章内容一共有四十二亿，所以小学生也可以从函数这一张看起。然后后面导数的应用正式定义积分入门，不定积分、定积分，微积分基本原理，积分变形。最后是微积分的应用循序渐进。 带大家翻一翻函数这一章节的内容一共是十一页到五十二页，花了四十二页的内容帮我们入门函数的基本知识概念。说实话，如果你不入门，函数这部分技术知识后面内容没办法讲， 这样入门之后，我们从小学就可以零基础去看去学了。再看最重要的一章节，定积分，也不是上来给你讲定积分公式，也是带你一步步用图解。漫画带你理解定积分的公式是怎么来的，有图解，也有非常严谨的证明。然后再来三道例题，例一是从三级的在零到二趴上的定积分， 第二是一道物理上应用定积分的题例三是求 y 等于 x 在 零到一上的定积分。我想学完前面九章内容，你再学这个定积分这几个例题都不难。

大学里面非常难的微积分其实在我们小学阶段就已经学过了，只是说很多学生是不知道的，大学里面微积分会解决什么问题呢？你比如说我手上现在拿了一个红色的按摩仪，你看这个按摩仪的形状长得很奇怪，对吧？很不规则的东西，我们怎么求它的体积啊？那么在大学里面我们微积分第一个先微分给他拆小球细节，你比如说可以把它 切成一层一层的很薄的薄片啊，那每一个薄片呢？你切完之后，它可能就比较近似是一个小的圆柱体，每一个的体给它求完之后，最终叠加在一块，就能和小球整体，把它的整个的体给它求出来了。那这个思想在我们小学阶段是怎么应用的呢？其实也很简单啊，你像第一个 微分，我们说要拆小球细节，那拆到多小是小呢？其实这个小它里面蕴涵的就是一个数学中的极限思维。 这个极限思维呢，其实在我们小学四五年级左右啊，就学到小数分数的时候，大家其实已经接触了，我给大家举个例子，你就知道了啊，你比如说咱们学到小数的时候，对吧？那零点一是个小数， 那比它再小一点呢？有什么呢？有零点零一，还有零点零零一，还有零点零零零一，以此类推。好，那同样的，我们学分数的时候，这个小数对应的分数是什么？十分之一、 一百分之一、一千分之一、一万分之一。那么问题来了，如果我们把这个数一直不停的写下去的话，你说它最终会趋近于哪个数啊？趋近于一个非常非常小的数，小到多少呢？ 无限趋近于零，趋近这个东西，它其实就是一种极限的思维。那么像这种微积分的思维呢？在我们小学阶段，其实五六年级开始已经有微积分的应用了。学圆的面积的时候， 你像很多孩子经常会把这个面积公式和周长公式给弄混，我们知道面积公式是 s 对 吧？等于拍 r 的 平方，而周长公式呢，是等于二拍 r。 今天我给大家讲一下咱们用微积分的思想，这个圆的面积怎么来的？你听完之后，我保证你一辈子都不会把这两个公式给记混的。我们先给大家画个圆啊， 你不管是大圆还是小圆，所有圆的周长都是它直径的拍，就是圆周率啊，所以你看 直径呢，包含了两个半径，两个半径就是二 r， 所有的圆的周长都是直径的拍背，所以周长就是二 r 乘个派，也就是二拍 r 啊。顺便给大家把周长的概念也解释了一下啊，那圆的面积怎么求呢？咱们这个地方就得用到微积分的极限思想了。 第一步我们先对它干嘛进行微分，那这个怎么微呢？我们可以把这个里给它切出一个小的 小块出来。那么你想假如这个圆足够大的时候，这个地方是有弧度的还是说是平的呢？ 大家想象一下，你把这个圆想到非常非常大，你像咱们在地球上走路的时候，你能感受到你是先上去再下来吗？没有这种感觉是吧？如履平地切出来的小块，你只要切到足够小，这一小块它其实就是一个三角形，那现在我们就把这个圆当成一个西瓜一样，我给他多切几块， 无限的进行一个微分，切出很多小块。切完之后干嘛呢？对他进行一个摆盘，来给他这样摆啊？ 就摆完之后你会发现这个图形他竟然有点像一个什么图形呢？像一个长方形，你可以忽略这个弧度，因为我刚说了，咱们只要微分到足够小，他其实就是接近于一个 三角形，没有弧度了，所以上面和下面其实都可以近似成是一条直线了。最后其实也拼成了一个规则的长方形，你看它的宽是什么呀？ 它的宽你看不就是圆的半径吗？这不就是宽吗？那它的长是什么呢？你可以把它想象成是个西瓜，上面是瓜皮，下面你看是不是也是瓜皮，相当于是整个一圈的瓜皮，上下分成了 各一半。那整个圆的周长是多少啊？是二拍 r 吗？那圆的周长的一半呢？那是不是上下都是拍 r， 你 看圆的面积不就出来了吗？一个长方形求面积，长乘宽，拍 r 再乘 r， 那 就是拍 r 的 平方了。我们总结一下啊，首先第一步对它进行一个拆小球，细节拆的越小，你的细节越丰富，越接近一个三角形。第二步呢，我们再和小 和小的意思就是说把这每一个小块我给他啪叽啪叽啪叽啪叽拼在一块，把它拼成了一个新的整体，这个整体呢，它是一个长方形，所以我们就通过 把圆化取为直的方式，把它变成了一个长方形，就把它的面积给他求出来了。啊，那其实类似的呢，在我们小学六年级学这个圆柱的体积的时候，也是用到过这种微积分的思想的。我们在书本上面是不给大家规定棱长为一厘米的小正方体，它的体积 是一立方厘米，这是我们人为规定的啊。比如说我给你一个长方体，你怎么求它的体积啊？咱们就可以把长方体给它进行分割， 分割成这种标准的小正方体，我们去求它的体积。我现在告诉你，长是三，宽是二，高也是二，那你都把它分成一个一个的小块，对吧？你看看这里面有多少小块，一层有 六个，有两层，长乘宽再乘高呗，简称 a 乘 b 再乘 c。 当然我们还可以把这个公式给它进一步优化，你比如说长乘宽相当于这个长方体的 底面积，对不对？那所以我把长乘宽写成一个底面积，而这个高呢，我就给它写成一个新的字母，叫高 h， 所以 长方体的体积公式又可以写成 s h。 那 问题来了， 那圆柱体的体积公式为什么也是底面积乘高呢？这个是有说法的啊，圆柱体其实也是可以把它经过微积分的方式把它给拼成一个长方形的， 这个大家信不信咱们来试一下啊？第一步也对他进行一个微分，你可以把人飞到天上啊，用一个俯视图去看，第一刀，先给他竖着咔嚓切下来劈木材一样，对吧？咔嚓，把这个木材给他切成两半，我要拆到足够小才能求出细节啊，所以我就再给他咔嚓又来一刀，再切， 再切。你就把这个木头想的特别大，切的每块特别小，切完之后整个木头被切的七零八碎了啊，那么接下来我要干嘛呢？要开始用积分的思想了，对吧？要核小，求整体了，拼成一个新的形状，咱们可以参考圆给大家拼一个， 大家仔细看啊，就是我相当于是把其中的这一个小块，它本身的形状大致是长这个样子的， 我就给他先拿出来往这一放，然后再放一个倒过来放的俯视图是这样看的，咱们主视图就这样看，给他一正一反，一正一反去拼，你只要切的足够小，切的足够多，他最终肯定能够啪叽拼成一个非常近似的一个 长方体。刚刚我们切的时候，它是有弧度的，你只要切到足够小，就像地球一样的，它无限的微分，细节就会更加的丰富，像一个平地一样了，所以这个弧度就可以忽略不计了，那他就近似的看成一个长方体了，那就用长方体的体积公式呗。底面积 乘高底面其实还是刚刚这个面，只是说我把这个面给它打乱了，重新组合了，但是底面积你看 是不是还是这个面？所以圆柱体的体积，它也是拿这个底面积再乘高啊，那底面是个圆对吧？你把圆的公式给它换进去，也就是拍 r 的 平方再去乘高。所以大家发现没，其实数学里面很多公式看似复杂，但是它们的原理都是相通的， 都是化取为值，化取为值。讲完这个微积分呢，很多同学肯定会觉得说，这个思维真好用，对吧？那以后我再看到什么不规则的东西，我都可以去求了。但其实我跟大家说，数学这个学科，他思维的培养一定要综合的培养，有时候你单独的只学一个数学思维，在某些具体场景下不一定是最优解， 什么意思呢？你比如说我现在就手上拿了一瓶水啊，我想让你帮我求一求这瓶水它的体积，或者说它的容积是多少。那如果你要是只学过微积分这种极限思想，先微分，把这些不规则的给它切成一个一个近似的小圆柱体，那你只要把这个小圆柱体的体积给它求完之后，把所有的圆柱体给它 加在一块，是不是就求出整个的体积了？那得算到猴年马月呢，对不对？我跟大家说，在小学阶段他不是最优解，我们还有一种更神奇的思维啊，更适合咱们小学阶段，叫什么呢？叫做等量代换思维， 也就是相等的东西可以互相的替换。比如说我们现在告诉你啊，这个瓶子他正着放，你看这个水面它是高度是多少？我给你量一下啊，这个水的高度它是十厘米那么高 啊？然后底面呢？是个圆，就四十平方厘米啊，这是正着放，如果我倒着放呢，因为下面比较细，水面的高度肯定会比正着放的高度要怎么着？你看啊，肯定会变高嘛。我们假设现在水面变高了，他现在水面和这个上面之间的距离是五厘米， 假如就已知这三个条件的情况下，你能不能把这瓶水它的体积给求出来呢？如果我们有这个等量代换的思维的话，其实做这个题是非常简单的，怎么个等量代换呢？大家想啊，我不管是正着放还是倒着放？水变了没有，这个水的体积是没有变的， 那同样意味着什么呢？你正着放上面有一段空气，我倒着放上面也有一段是空气，那空气和空气的这个体积大小会不会变呢？也不会变吗？对吧？那既然什么都没变，那我们就找到等量关系了，水和水是相等的 啊，空气和空气也是相等的，那么接下来我们就要做一个非常神奇的操作了啊，就是我打算把这个不规则的空气给它替换掉呗，你就把它替换成这个规则的，不就完事了吗？所以相当于是我对这个瓶子做了一个新的组合，下面是一部分规则的 形状，装的是水啊，然后上面呢也是一个规则的形状，装的是什么呢？装的是 空气，对不对啊？那么你看他们组合在一块，是不是就组合出了一个非常标准的圆柱体了？底面积是四十，然后高呢？水的高度是？呃，是十，然后这个气的高度呢？是五，这不就是个圆柱体求体积了吗？底面积乘高，那底面是 四十，高呢？是十，再加五等于六百六百立方厘米啊，如果写成这个毫升的话，那不就是六百毫升吗？你看这就通过这个等量代换的方式把它给求出来了， 那你说在这种场景下你非要去用微积分吗？那你记个半天，那你也记不完呢，对不对？所以这就是我们跟大家说的数学思维的培养，综合的培养， 你不能说我只练一个思维，我就天下无敌了，不是这样子的，数学的思维一定要灵活的运用，其实在我们小学、初中、高中阶段核心的数学思维不多了，极限思维是一个等量代换思维，思维是一个，像我之前给大家讲的树形结合思维是一个啊，正向思维、逆向思维、整体思维一共是十六种， 如果大家感兴趣的话，你们可以点个关注我下一次给大家通过咱们的数学的以及生活中的一些案例，给大家把每一个思维做一个详细的拆解。

为什么有人在八岁就能学会微积分？关键在于是否有人引导。这本超图解微积分就是非常棒的老师，他并不侧重微积分的解析技巧，而是用图解的形式把微积分讲透了上来。先告诉你微积分是怎么来的。通过当时各国研究炮弹轨迹的故事，引出如何求切线的问题， 皮卡尔和费马创立的坐标系和解析几何，为此做好了基础工作。之后是牛顿先使用微分法解决了求切线斜率的问题。这里用图解的方式介绍了微分法，然后介绍积分法，最后是微分和积分的统一带来的强大威力，至此微积分才真正被创立完成。 同时书中还深入讲解了微积分的应用，像如何预测火箭的飞行高度、计算彗星的运动轨迹等等。很多同学在学习微积分时只会死记硬背，并不理解它为什么是这样的，而这本书可以帮助读者真正理解微积分的原理和用法。特别精彩的一本书，强烈推荐！