八年级下册数学手抄报音乐与数学函数

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清晨的马路上，汽车保持匀速向前行驶，时间在悄悄流逝，车子开过的路程也在不断增加，这两个变化的量之间藏着一种固定的对应关系。 上节课我们已经发现，路程和时间的关系可以用式子 s 等于六十 t 来表达，只要给出一个行驶时间 t 就 能唯一确定对应的行驶路程。 yes！ 我们还可以把这些一一对应的数值整理成一张表格，用罗列数据的方式呈现，直观又清楚。不用计算，一眼就能看出不同时间分别行驶了多远。如果把这些对应的数值放到平面直角坐标系里，描出一个个点，再把点连起来，就会形成一条完整的线条。 这条线条又能告诉我们哪些隐藏规律？接下来我们一起探求其中的奥秘。 同学们，路程和时间的关系能用式子表格和图像表示，很多函数难以用式子清晰表达，但图像能一眼看懂，即便有式子，配上图像，变化规律也更直观。今天我们就来学习如何画出函数，通过图像读懂函数的变化规律。

好，再来看到函数概念的拓展探索，第七题，在同一个平面直角坐标系当中，分别画出函数 y 等于 x 与 y 等于 x 分 之一的图像，利用这两个图像来回答下面问题，第一个 x 取什么值的时候， x 比 x 分 之一大 啊， x 取什么值的时候， x 比 x 分 之一小。好，那么这里叫我们画图，我们就先把表格画出来啊，第一行呢，就写 x 的 取值，第二行就写函数第一个函数，第三行写第二个函数， 把它算出来，那么就取什么呢？比如说就取负二负一，负二分之一，零二分之一一二。好，标这么多点应该是够了的。好，我们这里如果第一个函数 y 就是 等于 x 的 话，那你就直接写就好了，对吧？ 好，那这里呢，就是什么呢？就是负二负一，负二分之一零二分之一一二。啊，那如果是 y 等于 x 分 之一呢？那么这里用一除以负二分一除以负二等于负二分之一啊，一除以负一等于负一， 这个负二分之一啊，一除以负二分之一，它就反过来等于负二了，对不对？一除以负二分之一，它就等于一，乘上负二就等于负二。好，那么这个呢，不可取，不存在，为什么呢？因为分母不能有，不能作零，知道吧？所以这个就不存在 啊。然后呢，这个等于二分之一，它就等于二，然后一，这个一除以一，它就等于一， 然后一除以二的话，等于二分之一。好，那么在这个第一个函数里面，我们可以得到的点有哪些点呢？就是有负二、负二、 负一、负一，负二分之一，负二分之一零零啊，二分之一，二分之一，一一二。好，那么从下面我们可以得到哪些点呢？就是负二，负二分之一，负一， 负一，负一，然后是负二分之一，负二，二分之一，二 一一二，二分之一。好，你会发现它们这里是有两个点是同一个点，发现没有？好，我们先不管，我们把图像画出来再说啊， 咱们这里画一下啊，这个轴是 x 轴， 这个轴是 y 轴，那么最多是两个点，这里是二，这里是一，这里是二分之一零，然后这里呢也是二二一二分之一，对吧？ 负二负一，这里是负负一，负二， 负一负二，这里是负二分之一。好，开始标点，先标 y 等于 x， 好， 这里从哪里出发呢？从这个点负二负二，开始， 负二负二，然后负一负一， 负二分之一和负二分之一，还有零零这个点，二分之一，二分之一，一一和二。二。 好，你把这些点全部连起来，它大底是一条直线，如果不是啊，说明咱们画歪了啊，说明咱们画歪了，好，这条直线就是 y 等于 x， 好， 再画这一条，那么这里是负二，负二分之一，那就在这个位置， 然后呢，负一负一在这里，然后负二分之一，负二就在这里。好，你把这三个点连起来，它大概是一条弧线， 是一条曲线。啊， 就长这样啊，然后呢，下面这三个点，二分之一，二在这里，一，一，在这里把它画出来， 好，就长这样，那这两个图像，这个就是 y 等于 x 分 之一，然后在这里，这个是 y 等于 x 分 之一， 这个是 y 等于 x， 那 么由于当这个第二个像第二个函数解析式当中，这个 x 等于零的话，它是不存在的，所以这里你不能做比较啊。零这里你是不能做比较的，它都不存在，你怎么比较？对不对？好，所以我们再回答第一个问题， x 取什么值的时候， x 大 于 x 分 之一， 这条直线表示的就是函数 y 等于 x， 这两个表示的是 y 等于 x 分 之一， x 要比 x 分 之一大，那么在图像上来看，就是函数图像在另外一个函数图像的上方，比如说这里就在它的上方， 所以 x 想要大于 x 分 之一，这个 x 的 取的范围必须大于一，知道吧？所以我们这里就写这个时候，就是 x 大 于一的时候，我们这里写当 x 大 于一。还有一种情况啊，你不能光写右边，还有左边，你想让这个 x 分 之一，这个就是 x 大于 x 分 之一，这一段是 x 分 之一，那反之，这一段 x 分 之一在上面， x 在 下面，这个时候是 x 分 之一的啊，在这里的时候呢，是什么呢？是 x 大 于 x 分 之一，所以这一段负一到零之间，所以 x 负一到零的时候 啊，咱们就说 x 比 x 分 之一到就可以了啊。这个是通过图像直接去看的，你看这里通过它的焦点一共分成了几段呢？ 以及这个点，它一共分成了四段，这里有一段，这里有一段，这里有一段，分成了一二三四，分成了这四段，知道吗？然后每一段去看，谁在上面谁就是大于它， 它在上面， x 在 上面，那么这个时候 x 就 大于 x 分 之一，然后这个时候是 x 分 之一在 x 上面，对吧？所以就是第二个 它的 x 取什么值的时候， x 比 x 分 之一小，所以这个时候 x 就 比 x 分 之一小，还有哪一段呢？还这一段， x 在 这里的时候也比 x 分 之一小，所以呢，它的取值范围是零到一和 x 小 于负一，明白吗？所以第二个，当 x 小 于负一，或者是 x 在 零到一之间的时候，这个 x 比 x 分 之一小，这个纯看图像啊，纯看图像， 这里再啰嗦一下啊，多写一段，多写一段。当这个 x 大 于一，或者是 x 在 负一到零的时候， x 大 于一啊，这是一和负一到零的时候，这个什么呢？ y 等于 x 的 图像， 在 y 等于 x 分 之一的上方， 就是看谁在谁的上方，知道吧？在上方呢，就是更大的那一个，那下面这个呢？就看图像，反过来了， 就是 y 等于 x 分 之一的图像，在 y 等于 x 的 图像的上方就 ok 了。 再看第八题，四边形有两条对角线，五边形、六边形有多少条对角线呢？那 n 边形呢？多边形，对角线，它的条数 y 是 边数 n 的 函数吗？如果是，写出函数解析式，并且画出函数图像，那么这个呢？对角线公式其实我们以前是学过的啊，这里我们再推一遍。对角线的公式呢？它这里是 n 乘 n 减三除以二， n 乘 n 减三除以二。好，现在给大家解释一下为什么是这个？好吧，那你从四边形开始，我这里多画几个，画个四边形，它有两条对角线，它只有两条对角线的，它怎么用它算出来呢？你看 这个 n 呢？是等于四的啊， n 等于四啊，这是四边形对不对？它有两条对角线，怎么算出来的呀？你看这里，一个顶点可以射出一条对角线，这里有四个顶点，对吧？ 分别都可以射出一条对角线，但是呢，他这个对角的时候，这两条对角线是不是重复了呀？对不对？所以他就除以二。好，我这里再画个五边形，可能会更好理解一点啊，画个五边形 啊，五边形，他从一个顶点出发可以射出两条对角线，他一个顶点可以引出两条， 那如果五个点呢？哎，一个点可以引出两条，两个，第二个顶点也可以引出两条，第三个顶点也可以引出两条，对不对？第四个引出两条，第五个引出两条。你看每个顶点都可以引出两条对角线， 四条边的时候可以引出一条，五边的时候一个顶点可以引出两条，我这里写出来。所以我们这里啊，再画个六边形吧，再画个六边形啊， 它从一个顶点可以引出三条对角线， 看到没有？好，那么四边形一个顶点可以引出一条五边形，一个顶点可以引出两条六边形，一个顶点可以引出三条，看到没有？你再到了七边形，它一个顶点就可以引出四条对角线。 o 不 ok， 你 看它引一个顶点引出来的对角线永远比边数少三，看到了吗？所以我们就可以总结， n 边形的一个顶点 可以连 n 减三条对角线， 然后这里 n 边形就有 n 个顶点，所以一共有 n 乘 n 减三条对角线。但是每两个顶点之间会怎么样？会重复地连接一条对角线啊？每两个顶点， 或者是说对角的两个顶点 连接的对角线 是同一条，那既然是同一条，比如说这个点连过来，这个点连回去，它连的是同一条，对不对？那么是不是就多数了一次啊？也就说一条对角线数了两次，所以我们可以理解为一条对角线 数了两次，那么所以它这里对角线 的条数就等于什么？有 n 边形就有 n 个顶点，一个顶点连出 n 减三条对角线，那么就是 n 乘 n 减三， 然后一条对角线被数了两次，那我们想要求出对角线的条数，你要除以二，明白吗？那么接下来的话，你就可以把它的解析式写出来了，知道吗？你就可以把它解析式写出来了，它的解析式就是这个对角线，我们把它写成 y， 这个边数还是用 n， 就 等于 n 乘 n 减三除以二，这里也要对这个 n 进行约束。那么你想要有一个形状，那么至少是三边形起步嘛，对不对？从三开始吧，对不对？所以这个 n 呢？ 要大于等于三，并且 n 为整数， 咱不可能说是四点五条边嘛，对不对啊？所以 n 为整数，这个就是它的解析式，这个就是自变量 n 的 取值范围。好，那么叫我们写出解析式了，对不对？ 然后他说有两条对角线，五边形和六边形分别有几条对角线，那我们就数一下五边形，一二三四，是不是五条啊？对不对？五边形 有五条对角线， 六边形呢？一二三四五六，对吧？七二八等一下，我们直接用公式算就可以了啊，直接用公式算就可以了，那就是六乘上六减三除以二，那就九条，所以六边形 有六乘六减三除以二，等于这个九条对角线。 好，那么他说多边形对角，这个多边形对角线的条数 y， 是 喊这个边数 n 的 函数值吗？那肯定是的啊，肯定是的，我们就直接说啊，这里要判断一下嘛，对不对？所以我们就说啊，对于 这个 n 的 边数 n 的 每一个确定的值， 这个对角线条数 y 都有唯一的值，唯一确定的值与之对应， 所以这个对角线条数 y 是 边数 n 的 函数，所以对角线 条数 y 是 边数 n 的 函数， 就可以了啊，就可以了。那么这里最后一个要求就是叫我们画函数图像，那么从这里呢，你可以看出几个点？四边形有两条，所以这个点就是四二， 不过是按这个点，五边形呢，有五条，所以它就过五五，这个点。六边形呢，有九条，所以它就过六九，这个点，对吧？好，最后他说这个 n 大 于等于三，对吧？当我们这里写一下， 当这个 n 等于三的时候，这个解析式 y 就 等于三，乘上三减三， 对啊，等于零条，所以就是三零这个点，那我们再把它画在直角坐标系当中，这个是 x 轴，啊，不对，写错了，这个是 y 轴， 这个是 x 轴，这是零，对吧？我们就数了三四五六，那就六吧，到最多到六，这里是三一二四五，然后最多是到九这里是九，那这里就是六三 二一四五七八，好，那么现在我们把点描出来，一个是三零，从三零开始，对不对？然后呢？再怎么样，再四几啊？四二， 然后呢？五五五， 最后一个就是六九， 千万不要连线，千万不要连这个，这些点就是它的函数图像，为什么呢？因为 n 只能是整数， 不能连线，知道吗？啊？答案，它可能就是直接写成这个样子了。那如果你画蛇添足连个线，那这道题就错了，知道吗？这里写上不能连线， 为什么呢？因为 n 为整数， 所以不能连线，记住了吗？

好，再来看到函数表示的复习巩固。先看第一个，叫我们画出下列函数的图像，第一个是 y 等于零点五 x， 我 们画图像要描点，描点呢，你就要列表格，把它画出来，我们先画第一个，把这个表格给它画出来， 这里咱们画一个表格，你也不用画太多点，对吧？三四个点就够了，我们这里就画三个点好了，上面写 x， 下面写 y， 画三格出来， 当 x 等于负二的时候，我们就拿负二零二吧。好吧，当 x 等于负二的时候，那么这个 y 呢？就等于零点五乘负二，零点五乘负二等于几呢？它就会等于负一，对吧？好，我写在里面嘛，零点五乘上负二， 它就等于负一，然后这个写的有点小，算 零点五乘上负二，它就等于负一，然后把零带进去，就变成了零点五乘零等于零，把二带进去就是 x 换成二，那就是零点五乘上二，它就等于 一。那么你自己画表格的时候，这个是不用写出来的啊，这些四值不用写出来，你直接写结果，负一、零一就可以了，那么它就会经过哪些点呢？它就会经过负二、负一、零零以及二一这三个点， 它就会经过这三个点，那我们再把它画在直角坐标系当中， 这是 x 轴，这个是 y 轴，这个是圆点，这里写一，这里写二，这里写负一，这里写负二。你自己写的时候呢， 就画，就用尺子去画，会画的标准一点。好吧，我这里就是随手画的，只能画个大概会有一点偏差，然后开始描点，负二，负一，负二，负一，在这个位置，这里是负二，这里对齐负一， 然后零零这个点，然后还有一个二，一二一在这里，反坐标是二，中坐标是一，你把这三个点连起来，你会发现发现它是在同一条直线上的，因为我这里是随手画的，所以会稍微有点偏差。好吧，这条直线就是 y 等于零点五， x 的 函数图像。 好，再看第二个，第二个是 y 等于负 x 分 之三啊，负 x 分 之三， x 要大于零，那么你就只需要画第一象限的图就可以了，对吧？那么这里也描三个点啊，也来描三个点 画表格，那么这里因为是用三去除，我们尽可能用三的倍数，好吧，用让三可以整除，那么三肯定要写上去， 然后这里写 x， 这里写 y， 那 么就野描三个点，就拿一三，然后这里来个六吧。啊，来个六， 好，把一带进去，负三除以一等于负三，把三带进去，三除以三，再加符号等于负一，把六带进去，三除以六，它就等于负二分之一， 那么它就会过哪几个点呢？过这三个点，一负三，三负一，六负二分之一。哦，它不是经过第一象限，它是经过第四象限，对不对？它都是在第四象限的，那我们就 画第四象限就可以了，因为这些点都是在第四象限的，这个是 x 轴，这个是 y 轴，这是垂直的，这个是圆点。好，这里我就画这个是六， 这里是三，这里是一，这里是二，这里是四，这里是五，然后下面呢，就画负一负二，负三，负四好了。第一个点是一负三，一负三在这个位置， 第二个点是三负一在这个位置，然后最后一个点是这个六负二分之一，负二分之一在这个位置， 把这三个点连起来，它肯定不是直线，它是一个曲线，这样去画，大概画啊，大概画一下， 好，经过这三个点就可以了。这个呢，其实是我们九年级要学的反比例函数。好吧，好，那这样的话就把它的图像画出来了，这三个点，我再着重的瞄一下这三个点就 ok 了。 第二题，下列各曲线当中哪些表示 y 四 x 的 函数？那么 y 四 x 的 函数，它的定义是什么呢？就是对于 x 的 每一个值， y 都有唯一的值与值对应，对吧？好，我们把这句话写上去啊，这个函数我们要根据这个定义去做， 它的定义是对于 x 的 每一个值， y 都有唯一的值与值对应。 好，那么反映在图上是什么意思呢？就是你从这个点，你从 x 轴上随便找一个坐标，你看一下 y 在 这个图像上能找到几个 y， 知道吗？能几道找到几个重坐标，那么比如说像这里，你给随便给一个值， 你对上去，这里是不是只有一个点？只有一个点的话，它就只有一个 y 值，那么这个就是唯一的啊，那这里也是唯一的，你看这个也是 啊，只能找到一个点，那这里呢？你随便找一个，也是只能找到一个点，你看是不是只能在这个函数图像上只能找到一个点，但是这个第四个就不一样了，你如果在这里去找，你看你从这里往上去找，看一下有几个点， 它有三个点，它有三个点说明什么？有三个点说明有三个 y 值，那么它就不唯一了，知道吗？啊，前面几个都是唯一的啊，都满足这个函数的定义，而这个不一定啊，你看有些 是唯一的对吧？有些甚至有三个 y 值，对吧？好，这里这种情况， x 给了对应的有三个 y 值，这里一个 y 值，这里一个 y 值，这里也有一个 y 值，所以 它下面表示这个 y 是 x 函数的，是一二三，不包括是，所以一二三都是，第四个就不是了。 好，再看第三题。漏壶是一种古代的计时器，壶内壁是有刻度的，在它的内部装一定量的水，水从壶下的小孔漏出来，壶的底面有一个小孔，这个水会从这个小孔里面漏出来，人们就根据壶中水面位置来计算时间， 用 x 表示漏水时间， y 表示湖底到水面高度就是这个，这个 y 呢，表示这个湖的底面到这个水面的高度，如果水面在这里，那么高度就是这么多，知道吧？ 下列图像当中哪一个适合表示 y 与 x 的 对应关系？这里注意，他不考虑水量变化对压力的影响。那么 学过物理同学都知道啊，这个水他是有压强的，水的深度越大，他的压强就越大，不过这里呢，他是不考虑这个问题的，那么也就是说他这个水流出去的是匀速流出去的，知道吗？啊， 那么对于这个问题，我们就可以直接把这个注意事项把它转换，为什么呢？把它转换为水从湖底的小孔流出，小孔匀速流出来，那么这里是漏出的话，我们就写匀速漏出来， 那么这个表示什么呢？它既然是匀速漏出来的，对不对？说明它的这个函数图像是直线，你就可以通过这个条件 判断它的函数图像为直线， 函数图像为直线，那么你就可以直接把第三个给排除掉了，对不对？然后你再看它这个呢？这个图像是 y 随 x 增大而增大，这个是 y 随 x 增大而减小，它这里的 y 是 什么？ y 为水面， y 为高度， x 为时间。那你来看一下，随着时间的增加，它的高度是越来越大还是越来越小啊？是不是时间越多，它漏出来的水就越多，漏出来的水越多，这个漏壶里面的水就越少，对吧？好， 我们把这个逻辑写一下啊。时间增加 就可以得到，漏出的水越多，漏出的水 就增加，漏出的水增加，你就可以得到它壶内的水就越少， 就减少。壶内的水减少，那么高度就减小， 高度就减小。那么也就是说，随着 x 这个时间 x 的 增加， 时间 x 的 增加，那么高度 y 就 会逐渐减小，所以这里就是 y 随 x 增大而减小，所以 y 随 x 的 增大 而减小，所以就选第二个图，所以第二个图就符合这个 x 和 y 的 对应关系。 好，再看第四题，已知刘伟家体育场、文具店是在同一条直线上的，下面的图像反应的过程是这个刘伟从家里跑去体育场，然后在体育场那里锻炼了一段时间之后，又走到了文具店去买笔，然后再散步回家。 图中 x 表示时间， y 表示刘伟离家的距离，那么你看一下他一开始是不是先去体育场，他用十五分钟 跑了二点五千米，对吧？是不是就到体育场了？因为他的第一个这个墓点，这个目的地就是这个体育场。好，就到了体育场，然后锻炼了一段时间，那你看在这里他是不是就待在体育场没动过，对不对？然后呢？走到文具店去买笔，那么他走到文具店，那距离发生了改变， 他的距离有没有去增加？没有，他是到家的距离减小了，说明什么？说明他在往回走，他在往家走。所以你可以这样去理解。 比如说这个就是刘伟的家，他向右跑，这个就是体育场，这个是体育场，然后他在体育场锻炼完之后往回走，往回走了一段路，假如说这个点就是这个书店啊，文具店， 这个就是文具店，它是先从家出发到体育场锻炼了一段时间，再走回文具店，买了个笔再走回家的。所以你看它这里就是什么呢？从家这个刘伟距离家里的这个距离 y 就 一开始增加到 二点五千米，说明他从家到这个体育场是二点五千米啊。然后呢他又往回走，走到了一点五千米的地方，他走到文具店的时候，这个时候文具店，他在文具店里，离家里的距离是一点五千米，所以这一段 从家到文具店就是一点五千米，那是不是就可以说明文具店到体育馆体育场是二点五，减去一等于减去一点五 等于一千米，对吧？好，这个我们就判断出来了，好吧？然后至于这个时间呢和路程呢？我们看一下他的题目要求，他说体育场离刘伟家有多远，那我们就可以直接回答多少。从图像上来看，这是二点五千米。 然后刘伟家，刘伟从家到体育馆用了多长时间？他到这里的时候用了十五分钟，对不对？所以我们就直接写用了十五分钟，当然你也可以用十五减去零，十五减零等于十五分钟。 好，再看第二个体育场离文具店有多远？你看我们刚刚已经分析过了，他从家跑到体育场跑了二点五千米，然后呢？他回过头来去文具店买笔的时候，这个时候离家的距离是一点五千米，说明体育场到文具店是二点五减一点五等于一千米， 所以我们就直接写二点五减一点五，等于二，等于一千米等于一千米。 好，再看第三个刘伟在文具店停留了多长时间？是不是回过头来 第二次停留的时候就是在文具店停留的？他是第四十五分钟的时候，待到了第六十五分钟的时候，所以他停留的时间就是六十五减去四十五等于二十五分，等于二十分钟，所以他在这里停留了二十分钟，知道吧？好，最后一个， 他这里说刘伟从文具店回家的平均速度是多少？你看他从文具店回家是不是走一点五千米？ 那么时间是什么？时间？是从第六十五分钟走到了第一百分钟，对吧？那么中间用了多少？用了多少时间？他就用了三十五分钟，对吧？好，一点五千米用了三十五分钟，那你就可以算出来了，对吧？好，我们算一下， 这里是一点五千米，除以时间是一百减六十五， 那么它等于一点五除以多少？除以三十五，它就会等于七十分之三，那么单位呢？就是千米每分钟。好，就可以了。

来咱们说一下一次函数啊，一次函数的话本身是不难的，本身的话就那些基础概念的话，只要掌握了就很轻松就能拿分。然后难的是一次函数的不等式和一次函数。咱们的二十五题压轴题，也就是期末考试的压轴题，这个咱们需要训练。好，咱们来看一下题， 来，咱们看一下五一期间这个函数啊，一飞冲天的函数。函数这一章它分了两大章，一个是一次函数，一个是函数， 然后函数这张考察的是这个基本定义问题，然后我看了一下大家问题应该都不大，这个都是基本定义，然后 该讲的题都讲过，然后咱们主攻的是依次函数，依次函数的话，我看了一下大家的这个错题，错题的话前面应该是都对了，都是上课练习过的题。然后我们现在说一下这个十六、十七、十八题吧， 把这三道说一下，十六题，十六题的话，这道题也是我们上课说的一些普通题型吧，但这个题的话难度呢？稍微有一些，为什么说有一点呢？就一开始咱们做一次函数，不太熟的话，这个题可能做不出来。那咱们来简单说一下，十六题的话， y 等于负二 x， 所以 这个咱们肯定要画一个一次函数的图像，然后呢负二 k， 那 肯定是过什么过二四象限，那过二四象限的话，这个 k 是 正的，是负的，我也不太确定，所以说咱们就大概先画成一个这个样子， 然后那肯定的话，这个地方我不知道他是正的，是负的，所以他大概率就上下各有一个这个能理解的意思吧，所以说我就拿以上面这个为主，然后他呢与两个坐标轴所围成的三角形面积是九，那说白了就是这个三角形面积是九，好，那么现在让你求 k 值， 那这种题呢？是一个非常典型的题啊，你看三角形的面积，那这个其实就是三角形二分之一底乘以高等于九，就这么简单的一个公式，那么这个公式该如何去用？看这个题目，这个地方， 这个长度，这个长度是这个 k， 能理解的意思吗？为什么把这个 x， 把 x 等于零带进去，那等于零带进去之后，这块是不是就 y 等于零啊？ y 等于 k 啊？把 x 等于零带去， y 等于 k， 那 y 等于 k， 不 就 y 等于 k， 所以 这块长度是 k， 所以 咱们可以理解为就是二分之一乘以一个 k， 那 再乘以谁啊？ 还是看这个函数。那么咱们把这个 y 等于零带进去，这个点点，是不是 y 等于零啊？所以就是零等于负二， k 负二，然后 x 加 k， 然后这个地方是负 k 了，对不对？负 k 等于负二 x， x 等于二分之 k， 那 x 等于二分之 k， 是 不是就这一段等于二分之 k 啊？所以这个式子是不是再乘以一个二分之 k， 然后最后等于多少等于的是九，然后再一看，这个是四九三十六，所以 k 方等于三十六， k 等于正负六， 肯定是正负的啊，因为他没有规定我们这个一次函数在那个那个象限中，所以咱们这个肯定是两个答案，一个是上面这一块，有可能是下面这一块，看明白了吗？ 好，那咱们再来说十七题，十七题基本就是上课讲的原题了，咱们来说一下，他交于的是这个点，这两个一次函数交于这个点，那咱们以这个分界线为邻界点，然后看 x 加 b 是 谁， x 加 b 是 这个， 也就是 y 一， 我们这个地方就说 y 一， 把这块标 y 一， 但这个就是 y 一， 然后 k x 加， 就这个地方我写 y 二，所以说 y 一 大于 y 二，什么情况下 y 大 于 y 二，咱们看看图，是不是只有在这个点的右边，再都大于 y 二，所以 x 大 于等于不能是等于啊， x 大 于三，这个题应该也没什么难度吧？十六题，十七题， 我去对一下答案，然后十六题是正负六，十七题 x 大 于三，应该没什么问题，然后再往下十八题，十八题的话，这个题我们来仔细读题， 在平面直角坐标系中， a 点三到零， b 点零到三，那这个也得重新画图，那咱们来画一下， 就在这画了啊，按照这个三到零和零到三，咱们应该是在这个第一项线，所以呢， a 点咱们大概是在这个地方是三到零，然后 b 点大概是在这零到三，那么这一看就是一个等腰直角三角形，对吧？然后咱们再往下读 直线这个，然后这里面给你标注的是 k 大 于零，所以这个图像他肯定是要这么画，那具体画到哪呢？经过 c 点， c 点的话是负一一到零，这个是在这， 因为这个 a 点是三到零，所以按三等分的话，这个点是 c 点，那么想过这个点，而且还是 k 大 于零的话，那他必然是这样的一条线能理解的意思吧。好，那么咱们再来往下看， 把三角形 a o b， 就是 这个直线，把三角形 a o b a o b， 那 咱们还得把这个地方连一下，然后哪个是 a o b 呢？就是这个三角形是 a o b， 就 上面这个三角形 a o b， 这个三角形是固定的面积，对吧？这个二分之一三乘以三， 然后把这个三角形面积分成了两部分，其中靠近原点部分，这句话一定了解靠近原点的部分，那说白了就是这个四边形就画我现在画的这个四边形面积是四分之十五，整个这个四边形面积啊，好，那咱们这个四边形面积该怎么求？这是一个非常重要的关键点。 咱们来看一下这道题的话，其实上课咱们讲那个最难的难题的时候也说过这个点咱们就写成地点吧， 那么这个他告诉你的是这个面积是四分之十五，这是一个不规则图形，如果我们想要看这个四分之十五要用上的话，那我们是不是可以用三角形 aob 这个面积减去三角形 aoc 面积就等于四分之十五， aob 面积是固定的，然后这个 这个面积的话，咱们只需要求出地点的这个重的这个坐标，对吧？把这个地方写出来就行了。那么咱们来看一下这个该如何去求 d 点坐标，这个地方很简单，因为这个点过了这两个这个函数，所以我们只要把这个函数交点算出来就行了。那么 a b 这条线是什么？ y 等于 负 x 加三，这是 ab 这根线，对吧？ ab 这根线，然后第二根线是这个这根线，这根线的话我们是过一斗零的，所以我们把这个点带进去，那这个地方是 k 加 b， 所以 得出了什么 b 等于负 k， 所以 这个地方应该可以写成什么 k， x 加上一个，这个是负 k， 负 k 的 话这么写，所以这两个式子，这个是叫 cd 吧， cd 这条线，然后这两个线呢？构这构建出一个二元一次方程组，然后我们解出这个地点的坐标就行，解 d 的 横坐标不用解，对吧？求这个坐标，这个长度我们不要，我们只要这个长度， 这个长度我们有完之后就二分之一底乘以高就行了嘛，所以我们只需要求这个长度，那么按照这个图来说的话，感觉的话就是把这个 x 要换成这个，那么咱们看上面这个是不是可以改成 x 等于一个三减 y， 所以 把这个代入到下面，所以就 y 等于 k， 括号三减 y 减去一个 k， 然后 y 等于三 k 减去一个 k， y 再减去一个 k， 然后咱们把 y 和 y 的 都合并在一起，这两个 y 是 很明显可以合并的，所以这个地方我们把 y 合并在一起，是 y， 然后等于什么？一加 k， 看明白了吗？这俩合并在一起，然后右边还剩什么等于的，这个是 k， 三 k 减 k 吧，然后等于 y 等于一加 k， 分 值上面是三 k 减 k， 得的是这个，这个数没有什么太大问题吧？然后我们把这个数字再往后算， 三 k 减 k， 我 可以写成二 k， 不 用写，那么麻烦，这个地方写二 k， 然后再往下该怎么办呢？ 这个四分之十五，那咱们就可以写了。三角形 a、 o、 b 的 面积是多少？刚才我们说了一下，三乘三再除以二，对吧？所以是二分之九，所以这个地方我们就把三角形 a、 o、 b 的 面积是二分之九写这儿，然后呢再往下写哪个写这个这个面积，这个面积应该等于多少？ 减去一个二分之一，这个这个边长是多少？是二乘以一个二，再乘以一个，这个一加 k， 然后上面分之二 k， 然后等于谁？等于这个面积？这个面积多少是四分之十五， 然后我们求这个 k 就 行了，这样的话就明白了。然后 k 解完之后，应该最后答案是五分之三。 好，所以这道题的关键节点是我们要知道两条这个一次函数的焦点，这个是其实就是我们把这两个结合在一起， 组成一个二元一次方程组，然后解这个式子就行了。然后按照这道题来说的话，我们只需要知道 y 就 行，然后 y 的 话是可以用 k 来表示的，所以整个最后边这个式子里面，它就变成一个只含 k 的 式子，所以这个式子就算搞定了。 然后再往下说的话是第二页，第二页，第二页的话是这个二十三题和二十四题，也就是最后两道大题。

一次函数的话本身是不难的，本身的话就那些基础概念的话，只要掌握了就很轻松就能拿分。然后难的是一次函数的不等式和一次函数。咱们的二十五题压轴题，也就是期末考试的压轴题，这个咱们需要训练好，咱们来看一下题， 二三二四题是有难度的啊，咱们来看一下，在平面直角坐标系中，已知直线 y 等于 k， x 加三与 x 轴交于 a 点，那 a 点的话是二到零，然后与 y 轴相交于 b 点， 求 k 的 值与这个，那这个第一问是纯送分的，然后就是说白了把它带到上面这个式子就是零等于一个二， k 加上一个三，然后 k 就 等于 负的二分之三，然后再看三角形 a、 o、 b 面积其实也是一致的，这个长度是二，这个长度是三，这个长度为什么是三？大家知道吧？就是把这个 x 等于零带进去，这个不就是它的这个 b 吗？所以这个的话就是二分之一这个，所以这个 s 的 面积都等于三。这个是第一问， 第二问的话点 c， 然后在 x 轴上点 c， 在 x 轴上三角形 a、 b， c 的是以 ab 为幺的等腰三角形。这个题的话我们在上学期还有上上学期都遇到过，看到等腰三角形的话，我们无非就要考虑有三个答案，对吧？ 就是它分别与不同边那三个答案的话，第一个答案是最简单，在这就是是这个边等于这个边，这个是不是最最简单？那么咱们这可以写成圈的。第一个第一小问的话，这个点是二斗零，所以第二个点这个地方一下就写出来了，是负二斗零，就是它的对称点吗？ 然后这个边和这个边写完了，那么还有没有别的可能？有啊？这个地方往这边画是不是也等腰？就这个边就等于这个边了，看明白了没有？那这俩边相等完之后，这个就要涉及到什么？涉及到勾股定律，根号 a b， 根号 a b 啊？不是直接写 a b 吧？ a b 等于多少？ ab 等于这个，这个底下这个边是多少？底下这个边是一二 o a 等于二，然后上面这个边是三，所以是根号十三，能看明白吧？就勾股定律一下四加九，然后开根号，然后这个是根号十三的话，那是不是这一段长度就是根号十三？ 所以第二个答案是不一下就有了，等于根号十三，然后加上一个二，等于零， 能理解吧？就根号是三，加上一个二都零，你看这块是不是二，然后加上这段根号是三，那么写完两个之后我就图了啊，然后还有一个，还有一个在哪？是不是还有可能在这边？就是他往这边画，往这边画完之后，然后让 ab 等于谁？让 ab 等于这一段， 让 ab 这个等于这段，这个不也是等幺吗？以它为幺，以它为幺，所以这个 ab， 那 这个这个相当于下面这个长度是根号十三，能看明白吧？那下面这个长度是根号十三的话，那所以这个答案就来了，等于一个二减根号十三， 二减去根号十三逗零。好，那这个二减根号十三逗零是怎么来的？你们要是不太会的话，可以这么写， 因为 o a 这个长度是二，那么根号十三减去二，是不是就等于这段长度了？我说的是长度啊，然后我们把长度换成坐标系的话，是不是要把这个东西加一个符号，那加完符号的话，这个结论就变成了二减根号十三了吗？ 所以这段长度看明白了吗？第二题不难，难的是我们的这个几何思想，能不能有这个分类讨论，就多个答案的思想，然后能不能想全。如果要是上学期都是已经练过这种题型的话，那这学期就咱们说说这道题的话，应该不会有问题，就第二问， 然后咱们再来说第三问，第三问涉及到动点问题了，这个题就稍微难一些了，那么动点问题的话，无非就要看 你想的话是分类讨论对不对？咱们如何去分？那咱们来看， m 点是固定点，那 a 点是二斗零的话，那 m 应该差不多很离它很近，对不对？然后这个地方是三斗零的一个值，然后点 p 是 在 a b 上这条线遇上运动 p b m， 那 咱们先把 b m 这根线先连上 b m， 因为它是这样的。然后 p b m 和三角形 a o b 的 面积， a o b 的 面积，咱们在这个第一问求出来了，也就是说这个地方我们直接可以改成三，说白了就是这个面积等于三，那这个面积怎么等于三呢？咱们把这个图画一下， 嗯，有没有可能在上面一个，就在上面很远，一个就这个地方有一个屁，然后在下面这个地方还有一个屁，那么我们就可以理解为上面是屁一，下面是屁。二，这个大家会不会画？如果不会画的话，你们这个分类讨论就有些问题就不能想出多个答案， 那这个情况一般情况下都能写出来啊，那咱们来看屁，一 b m 是 上面这个三角形，这个三角形三条边都是斜线， 三条边都是斜线的话，对于我们来说是没法求的，对不对？然后这个时候我们就要想到什么用一个拼凑法嘛，或者是用这个大的三角形去剪这个三角形，所以我们这个三角形 p b m， 我 就不写 p e 了啊，就大家知道我现在说的是第一个情况， p b m， 然后它应该等于谁？等于三角形 a m p 减去一个哪个？就这个 bmp 能明白吧？我没写三角形啊，大家注意一下，就我写的不是太规范，然后这样的话是不是就写完了，然后 pbm 等于谁？这个地方不是说了吗？与它的面积相等，所以这边的话我纯天然就可以写成三。 然后三角形 a b p 是 不是等于二分之一的乘以底底，这个长度是多少是一啊？再乘以高，高是什么？高是这个，看我给你们画一下这个虚线是不是这段，这段长度也就说白了就是 y y p 一， 能理解这意思吧。然后高再减去一个谁，这个这个长度是固定的，这个是多少？二分之一乘以一个 一是这个底边啊，高是多少？高是 o b， 所以 再乘以一个三，所以最后答案是这样的，然后我们把这个二分之三挪过来，就是三，加上一个二分之三，那就是二分之六加二分之三是二分之九，等于一个二分之 h h 等于九。 好，那么现在我们得出了 h 九零九，然后在上面的话，我们只能取正的，对不对？因为我们这个是第二项线，所以我们这个 p 点的坐标是求的是 p 点坐标，那我们把这个 y 等于九，还要带到这个式子当中，这个式子刚才我们算完了， 是 y 等于 k x， 那 个 k 我 们刚才也算了，是负的二分之三 x 加二分之三， x 加三，然后把这个这个是 y 等于九带进去，负的二分之三 x 加三， 六六减去六，然后十二十二等于负三， x x 等于负四，然后这个坐标就出来了，这个坐标是负四。都，就能理解这个过程吧。那么咱们同理算，下面下面这块是不是也等于什么？ 下面这个 p b m p b m 等于下面这段加上边这段这两个相加的关系，这是相加关系，能看明白吧？这两个相加，那我就不写这么写了啊，所以这个下面我就可以写成什么三等于上面这一块刚才他们算完了，是二分之三的， 对吧？这一块的面积是二分之三，然后再加上底下的这一块多少？二分之三，二分之一乘以，乘以一个一，一是这个底边，然后这个高是多少？就是 y p 二乘以一个 h 就是 这个，这个这个高相对应对应的就是它的 y p 二，能理解的意思吧？这个就是 y p 二， 那这个 y p r 怎么求？就这么求，求完之后二分之三，然后二分之三等于一个二分之 h， h 就 等于三。好，那再把 h 等于三，然后我们要带到哪个地方？ h 等于三带进去吗？肯定不是啊，因为这个是在第四象限，所以我们求出这个 h 之后，然后它要画到坐标系当中，它肯定是要带负三，带负三进去的话，那就是 y 等于， 咱们直接就写吧，负三等于一个负的二分之三 x， 然后再加上一个三，然后负六等于负的二分之三 x， 然后 x 就 算出来了，这个是二六十二三四，所以 x 等于这个 四，然后这个坐标就是四都负三，看明白了吧？所以最终答案是两个，第一个答案在这，然后第二个答案是这个写的很不规范啊，因为这个是难题的话，我就没有按规范的讲，然后把思路整体的要明白一下，其他的就没有了。 再来说一下第二十四题，第二十四题也是一个比较有难度的题啊，然后咱们的期末考试一般不会考这么难，然后一般会考的比较简单一些，咱们来看一下这道题， 这道题前面都是废话，然后到 ab 这个扶贫计划，这个地方是一个节点，然后咱们看这个地方说什么一共有一百五十二项余，然后分这个共十五辆，恰好能运完。 已知两种大小货车载客，这个十二辆，八辆，然后求这十五辆车，这个大小货车各都舍量，那咱们先说大货车咱们就是 x 量， 小货车咱们就舍 y 量，那这个好列式子吗？这个我觉得是非常传统的，这个式子我觉得大家都能列啊。第一问我觉得没什么难度， x 加 y， 那 肯定总量数不是这写的十五辆嘛，所以是十五辆。 然后第二个他用这个恰好运完，恰好运完一百五十二箱，那咱们用箱数来顶一下，那这一包二十五箱是大货车运了多少箱大货车，这不十二箱吗？也就十二 x， 再加上一个小货车是八箱，所以一共一百二五十二箱，所以 x 就 解得八，然后 y 就 解得了七，这个能明白吧？这第二问，先安排其中十辆货车前往 a 存，十辆货车前往 a 存， 然后其余货车前往 b 村。设前往 a 村的大货车为 x 辆，前往 a b 两村总费用 它直接给你设好了，大货车是 x 辆，然后这里面有十辆货车是前往 a 村的。 看明白十辆货车前往 a 村，然后那该该怎么去列式子呢？这个是稍微有一点点复杂，咱们来观察一下，那前往 a 村的总的这个费用应该是多少呢？ a 村总前数，那我们直接写吧， y a 总前数，那肯定这个十十里面的话，咱们不知道咱们可以先写什么八百， 这不前数吗？前数的话，这一辆是八百，然后这有一共几辆车？ x 辆，所以是八百 x， 这个大家问题是不是没有？ 然后咱们再来看那十辆里面剩余的是不是就是那个小货车的？小货车的话，那是不是咱们这个地方应该写成什么？是不是四百乘以一个十减 x， 因为一共有十辆车吗？那这个减去 x 不 就小货车的吗？所以这是前往 a 村的费用，那前往 b 村的费用该怎么算呢？咱们来看一下前往 b 村的费用，这个是 第二个是大货车，是九百，那九百的话应该乘以谁？咱们一共有几辆大货车？是不是非常清晰？在这个第一问求出来了，是八辆，所以这个剩余的那辆数是不是往这走 剩余的量数，然后最绕的是后面这个加上六百乘以多少？这个是比较绕，这个咱们来仔细研究一下啊， 咱们小货车一共有多少辆啊？小货车总共有七辆，那么咱们前往 a 村的这个小货车是多少辆啊？在这呢？在这第一问，这写完了，所以这个地方应该减去什么？十减 x， 然后这个就是我们的这个前往 b 村的， 然后咱们不是说总费用吗？总费用那肯定是 y a 加 y b， 所以 就是 y， 就 等于这个把这个式两个式的就写一块就行了，等于一个八百 x 加上一个四百，然后十减 x， 然后再加上一个九百 八减 x 很 大啊，这个数字是不是很大啊？再加上一个六百，然后括号七减去一个十减 x， 这个就是我们的总量，然后我们我就不解了啊，这个太麻烦了，我就直接给你们写这吧。最后答案是一百 x 加上一个九千四百块钱， 这是一个这样的数字，然后咱们再来下这个取值范围，然后是也是一个非常不好估的一个数，能理解为什么吗？取值范围也是一个非常不好估的数，那么取值范围的话， 讲道理来说，一共十辆车的话，我们可以是不是可以直接写成这个样子，但其实是不是的，为什么我们要结合整个题目啊？ 这个咱们这个大货车是不总共只有八辆啊，所以这个能取到十吗？不可能啊，所以这个地方上线是八，那么下线是零吗？那你们看小货车最多只有七辆啊，那只有七辆的话，那这个下线是不是只有三呢？十点七得三，能理解这个意思吧？ 我们不可能派出十辆小货车，那么富裕的三辆只能是用大货车，所以这个取值范围是三到八，不是零到十，这个取值范围是稍微有一点绕的，然后注意一下啊，这个地方，然后不能这么写完，要写什么？ x 还为整数， 要写 x 为整数，因为货车不可能是小数点的，然后这样的话是一个取值范围。然后再来说一下。第三问，在二的条件下，咱们现在这个总费用的这个函数已经出来了啊， 运往 a 村的鱼苗不少于一百箱，请你写出总费用最少。好，最少，那肯定要配不少于一百箱。那咱们来说运往 a 村不少于一百箱，那是不是应该是有这么一串数字？应该是大于等于一百， 所以咱们这个底写完了，对吧？是大于等于一百箱。那么 a 村咱们总共运了多少箱啊？看一下咱们一共有多少辆车， 多少辆车，是不是非常清晰明朗？一共是有 x 辆的大货车，那 x 大 货车一，那个能运几箱？一共一车能运十二箱，所以咱们这个地方要写十二 x， 这个很好理解吧？十二 x， 然后咱们再说第二个， 这个小货车是不是能运八箱？那八箱咱们一共有几辆小货车？是不是十减去 x， 所以这个就是我们的这个相数关系，相数关系解完之后，然后应该是这个十二 x 减去八， x 等于四 x， 然后四 x 等于这个二十 x 就 大于等于五。好， x 大 于等于五，这个就是我们的这个 不小于多少项。然后呢？这个大于等于五解完之后完了吗？我们要看这个，他不说的是求出这个总费用吗？就是我们如何能把这个费用最小，那我们在第二问已经串出了这个 ab 两寸的总费用了，那这个总费用是一个限性的依次函数，依次函数是限性的， 然后如果我们画线的话，肯定是这么画，对吧？大概是这么画的一个式子。那这么画的话，我们想想一次函数如果是过一三项线， y 随 x 的 增大而增大，能理解这意思吗？ 听懂了吧？ y 随 x 的 增大而增大，所以最小值的话肯定是五啊。因为 y 随 x 的 增大而增大，所以把 x 等于五带到上面这个式子一解就行了。所以 y 等于五百，加上一个九四零零，最后等于多少？等于九九零零。对， 能看明白这个意思了吗？然后咱们这个费用求完之后就完了， 其他的话就没有什么。这个题的话也就第三问，然后用了一下一次函数，你不用的话，你们那个靠那个理解也能理解，对不对？然后整体来说的话，它其实 整体只有这个。第三问是考的一次函数，前面这些都是考的我们这个上一学期学的知识，甚至是七年级下册我们的应用题。好，今天回到这。

恶心但管用，带你搞定八下数学死穴，别再按课本顺序磨蹭了，那样你只会越学越懵。我初二数学九十分掉到及格线，换了套打法，一个月后直接拉回高分。今天把这个顺序分享给你。第一步，先别刷题，给我按死权等三角形。 初二数学两级分化根源就在这里。一个口诀，记住所有判定定律，边边边边角边角边角角角边，看到终点就被长，看到角分线就向两边做垂直辅助线的四大模型，飞镖、八字一线三等脚，手拉手练到走火入魔， 几何大题直接锁定思路。第二步，攻克一次。函数图像是灵魂，数形结合是钥匙，盯着 b 看焦点方程不等式函数图像三合一，互相转化，应用题理形成收费方案，选择套死模板，答案就摆在明面上。第三步，代数二次根式与勾股 计算，不能只求快，要绝对稳。勾股定律的折叠和最短路径，这是期中期末压轴题的常客。模型固定就那三四种，非模型，笔刷一百道题都有用。第四步，总结错题本是纲易，不是让你抄题，是记错的类型概念不清晰。 计算事务型，辅助线，没想到型每周复盘一次，下次看到同类型提大脑自动预警。现在刚五月初，期中刚过，期末不远，如果你真想翻盘，就从现在开始，按这个顺序把你的知识重新组装。视频里提到的我都整理好了，五百四十分享给想逆袭的你！