2026成都中考一模压轴二次函数

然后我们来看一下这个二次函数的第三个问的第二个小问号， 他说 m 呢大于负一， m 大 于负一的意思，因为 a 点的横坐标这里是负一，哈，说 m 大 于负一的意思，那么我们就知道我们要求的这个 动点，我们的 npm 呢，就在我们的这个 a 点的右边，那我就随便画一个线哈，我们任意的这里画一个线哈， 任意的在我们的 a 组上的一个点 p， 然后呢做垂直于我们抛物线交点就是 n 点，与我们直线交点就是我们的 m 点， 现在呢这个 m a 呢，绕点 m， 顺时针转九十度，得到 m f， 所以 说就是老师这里的蓝色的这个出的这个线哈 m a， 我 们用蓝色的线呢给它画出来，然后顺时针转九十度，得到 m f m a， 用蓝色线画出来，顺时针转九十度的 m f， 那 么就转九十度的 m f， 就 把 m f 呢画出来， 然后呢让我们连接 f b， f c 和 o a， 那 我就连起来啊， f c 连起来， f b 也连起来，然后呢 o a 也连起来。 接下来最关键的话就是我们要去解读这个，他说这个角 f b a 加 a o 大 减 b f c 等于四十五度。 好，那么这角呢，我们就给它先找一下这三个角哈，我们发现这个 fba 就是 我们这里下面这个角， fba 加上 a o 大， a o 大， 就这里这个角 a o 大， 然后呢再加上我们再减去我们的 b f c b f c 就是 我们这里这个角啊， b f c 点下来啊， b f c 就是 红点点，这个角哈等于四十五度，你看又有加又有减，我们去觉得是有点绕的，对不对？而且呢，这三个角是隔得有点远的，这三个角它们之间呢有一种关系，就是加两个角加起来减一个角就等于四十五度，而目前呢，在图中这三个角呢，是 就他们是分散的，对不对？所以说像这样的问题哈，我们就要想办法把这三个角要给他放在一起，就要集中起来，集中起来我们才好去研究他们的关系，那怎么集中起来呢？哎，我们又发现这个 a o 大 呢，是在我们 y 轴的左边对不对？而我们另外两个角呢，都在 y 轴的右边，所以我就想着把这个 a o 大 呢转化过来，那怎么转变过来呢？你看我们的角的转化的方法有哪些呀？ 我们最先接触的角的转化方法，那就是我们初一的时候学的呀，初一是我们下侧学的是平行线，两直线平行哦，内错角相等，同位角相等是不是？ 那如果我们做平行线，是不是可以试着把角转换一下？所以说我们在这里我们就想着做平行线去转化角。其次呢，这个体面还有一个很关键的点是什么呢？就是我们前面这个直线 ab 直线 ab 的 解析式，它是 y 等于负 x 加一它的 k， 这个直线 ab 的 k， 它等于负一，等于负负一说明什么？直线 ab 的 k 等于负一，就说明它与 x 轴的夹角是四十五度 啊，大家知道我们四十五度是很特殊的，我们直线 ab 与 x 轴夹角是四十五度，哎，等一下，我们可能会利用这个四十五度，如果在这三行中就是一比比杠二可能会需要它，对不对？所以我们把题中这些四十五度呢给它标出来。 好，然后呢现在现在我们看到图这里哈，老师把这个 a、 o 大 呢就标一个 r 法， 然后呢这个 o、 a、 b 呢边有个白糖，那么阿尔法加白糖呢？我们就知道阿尔法加白糖外，根据外角就等于这个这个外角，而这个直线呢，与 a 轴夹角是四十五度，与外轴夹角也是四十五度，所以我们这里呢就可以知道，阿尔法加白糖呢，就等于四十五度， r 法加倍等于四十五。那么刚说了我们做平行线去转换，所以我就干嘛嘞？陈老师这里就做，做 b 做 b g 平行于 o a， 做 b g 平行于 o a， 我 做了 b g 平行于 o a 以后，那么我们就知道我的角 这个 ab 角 a、 b、 g 就 等于角， o、 a、 b 都等于我们的别套，角 a、 b、 g 等于 o， a 都等于别套。那旁边这个 g、 b、 f 标一个舌头。 好，然后呢现在我现在把题中的这个角度这个等量关系我单独写下来，现在我的 f、 b、 a 呢，就是别套加舌头， a、 o 大 呢就是 r 法减 这个 b、 c、 f 等于四十五度。好，因为我们的阿尔法加贝塔等于四十五度， 阿尔法加贝塔等于四十五度。刚刚前面说的为什么呢？因为阿尔法加贝塔等于它的外角，而外角就是有直线 a、 b 与 a、 y 轴的夹角，直线 a、 b 与 y 轴夹角就是四十五度，阿尔法加贝塔等于四十五度。就说这里的阿尔法加这个贝塔等于四十五度。你看 今天这个等式，阿尔法加倍到零四十五度，所以说我们就可以得到这个斜塔就等于的是 bfc， 就是 我们的 bfc， 它就是斜塔哦， bfc 就 这个角， bfc， 它等于斜塔，那就等于这个角，这个角斜塔。 你看 bfc 等于斜塔，说明我们的 fc 这个线段呢，和我们的 gb 这个也是平行的，所以我们就有 b g 呢，是平行于 f c 的 b g 平行， f c 也平行于 o a， 那 么我们就知道那直线平行哦，那么我们就知道 k 的 值是一样的，所以我们就有 k c f 就 等于 k， b g 也等于 k o a， 而我们的直线 o a 呢，它的斜率 k 呢，是等于负二的直线 o a 的 k 是 负二，所以 c f 的 k 呢，也是我们的负二 c 点坐标知道是五度零，那么怎么算 f 的 坐标呢？这里还有一个四十五度的应用， 就是我们直线 ab 与 x 夹角是四十五度，那么我们就可以知道，看这里哈，看我们图中好，看我们的图中，那由于我们的这个 a b 与 x 轴交界是四十五度。角老师这里再标两个标个字母啊，我们直线与 a， b 与 x 轴这个夹与 x 轴这个交点呢？角老师再标一个 h， 然后呢，我们的 m f 与 x 轴交界，只要加一个 q 点，那显然我们就知道，我们的 a m 等于 f m， a m 等于 f m， 而 h m 呢，又等于 q m， 为什么？因为四十五度等要转三角形， h m 等于 q m， 所以 a h 等于 f q， a h 等于 f q， 而我们的 a h 呢，是二倍根号二，为什么知二倍根二呢？我们过点 a 做垂轴，我们就可以知道 我们的 a h 是 二倍杠二，所以做我们的 f q 也是二倍杠二， f q 是 二倍杠二，过点 f 做垂直 过点 f， 假如说做我们的 f k 垂直于 x 轴， 过点 f 过点 f 做 f k 垂直 x 轴，那么我们的 f k q 呢，就是一个等腰直角三角形哦， f k q 是 一个四十五度的等腰直角 三角形哦， f k q 是 等腰直角三角形， r t 三角形。而我们的这个 f q 呢，它就等于二倍根号二，因为 f q 呢，是等于 a h 的， 那么 f q 等于二倍根号二，所以说我们就可以知道我们的 f k， 它就等于二，一比 b 杠二，那么 f k 等于二，就说明我们的 f 的 重坐标是二， f 的 重坐标是二， f 的 重坐标是二，那么加上我们刚刚说了，这个 f c 的 斜率呢，等于的是负二，所以 f 的 横坐标就是四， f 的 横坐标是四，那从而呢，我们就知道了 f 的 坐标是四度二，那么 f 的 坐标知道了，那么我们的这个直线 谁呢？就是我们的直线 o f， 我 们就知道了，原声换一下啊，那么我们的直线 o f 就 知道了，因为 f 坐标知道了，那么直线 o f 知道了，直线 o f 的 解析式呢，就是二分之一 x， 当直线 o f 知道了，它最后要求的是我们的直线 a o f 与二次函数的交点的横坐标，当与二次函数这个交点，那怎么求交点呢？我们就将直线 o f 和二次函数连立， 那连立起来就就得到我们的焦点，那焦点呢？有两个，那由于呢，我们要算的这个点呢，它是横坐标算大于负一的， 肯定是比在我们的 a 的 右边的，所以说我们就把就得到了我们的横坐标就是四分之一，加根号六十五，另外一个点就舍去了。 好，这就是这个题啊，说这个题呢，我们最重要的话就要抓住一个什么呢？就题中给了两个角加起来减一个角零四十五度，而这三个角呢是分散的，那怎么把三个角给他联系起来呢？我们就是做平行哦， 做平行线呢，把三个角给它联系起来，这第一个由这个关系呢，最后就得到了斜，它就等于 b、 f、 c， 而有了平行以后呢，我们这里呢，在去求长度的时候呢，还要抓住我们直线 ab 与 x 轴和 y 轴夹角是四十五度， 任何一个 k 的 绝对值等于一的时候，那么原九加减就是我们的四十五度，像这种我们就要用起来啊。好的，这就是我们的这一个提哈。

这类二次函数结合三角形面积最值的问题，中考年年考，孩子年年错，你像这道题啊，问，抛物线上的动点 d 跟这里的 b 和 c 组成的三角形，什么时候面积最大？让我们对应求低点坐标， 常规方法呢？计算量特别大，今天姜老师教你用我的方法千锤法来系统的推导一下这道题的前因后果，前世今生。好，我们来看这道题有什么迅速的解法？ 首先呢，这道题的抛物线解析是给到我们了，是 y 等于什么？负 x 方加五， x 减四，对吧？学过一元方程的人都知道，可以干嘛？因式分解对吧？求出这里的 a 和 b 的 坐标，我们来简单算一下啊，其中这里的话，就是负 x 方加五， x 减四等于几，对吧？你想， 抛物线跟 x 轴相交，这两个点的什么纵坐标是不等于零，对吧？所以说令它等于零。好，它等于零的话，也就是 x 方减五， x 加四等于零，十字相乘，那就是 x 减四乘以 x 减一等于零，所以 a 点坐标是一零， b 点坐标是四零。 这应该是所有准初三以及初三备战中考的孩子基本功练习好不好？好，那么根据题干呢，我们可以得到我写一下啊， a 点坐标是一零， b 点坐标是四零，当然 c 点坐标对吧？ x 等于零，那么 c 的 坐标就是零。逗号负四 是不是好？这个题呢，他问的比较干脆啊，他问的是哎， d 点在这个直线上方，且在抛物线上，对吧？可能是这儿对吧？这样的话，这样三角形 对吧？可能是这儿，就这样，三角形可能在这儿，对不对？等等等等，这么多三角形中，什么时候 a、 b、 c、 d 的 面积是最大的呢？求对应地点坐标。 好，先跟大家分享一个技巧啊，这个技巧是非常之简单啊，怎么回事呢？大家记好了，我们只要找到什么呀，这个 b 点和 c 点的横坐标，求它的平均数，就是我们地点的横坐标。 好，大家可以记笔记啊，就是 d 点的横坐标等于二分之啊， b 点的横坐标加上我们这里 c 点的横坐标。一会给大家解释一下为什么，咱们详细的给大家推导一下，那所以这个题而言，他如果求 d 坐标的话，横坐标你是可以算出来的，对不对？横坐标，横坐标，那么就等于几？ 二分之四加零，答案是等于二对不对？第一点的横坐标是二，那么代入的话， b 点的纵坐标等于什么？是不是带到这个解释式里面，对吧？就是负 x 方加五， x 减四， 答案就是负四加上二五一十减去四啊，所以答案就是，哎二，因此呢，第一点的坐标就是二，逗号二， 可以直接秒杀。好，那接下来呢，佳老师是一个负责任的数学主讲，一定不会让大家死记硬背。结论，好吧，我们来推导下为什么是这样？首先从第一种方法来推导，用铅锤法来推导一下 啊，什么意思呢？大家去想啊，你这个 b、 c、 d 的 面积呢？我可以用什么不规则图形的面积切割对不对？过地点向下作垂相交，这个地方于 m， 对吧？然后这条线呢，注意它跟 y 轴是平行的对不对？所以三角形啊，拨 cd 就 变成了三角形 cd， m 加上三角形拨 dm， 对 不对？然后呢，我们拿谁当底呀？拿这一段去当底，二分之一， dm 乘以高是这里做垂，这里是 c n 加上二分之一，好，这个三角形的面积也是它当底，这里当高啊， b p d m 加上 b p， 好， 别眨眼好吗？那我们提取共因式的话，就是二分之一 d m 乘以几？ c n 加上 b p， 各位，大家去想， c n 加上 b p 是 不是恰好就是什么？对，就是 c 点的横坐标到 d 点的横坐标的水平宽，对吗？所以大家就是这一段呢，就是我们的水平宽， 对不对？那最后呢，你会发现这一段是什么？没错， dm 就 决定了哎，因为它水平观是固定的吗？对吧？ c 点横坐标， b 点横坐标，距离就是四，对吧？就是四，乘以二分之二倍的 dm， 大家发现没有，这个三角形的最大值其实取决于什么？是不是 dm 什么时候最大？ ok， 好， 那我们来分析一下啊， dm 什么时候最大？首先呢，我们是向下做的一条线，相交于 m 这个位置，能理解好，大家想低一点的坐标能不能设一下？ 好，我们假设啊，答案是 m 逗号满足纵坐标就是负 m 方加五， m 减四 啊，这个步骤呢，准初三的人啊，面临中考的孩子是必须要牢牢掌握，熟熟拿下的啊。好，那么 m 点的什么坐标有题可得，它的横坐标也是一样的，小 m 纵坐标来了， 各位，什么纵坐标呢？因为 m 点在这条什么直线上，所以我们要把 b c 直线的解析式求一下 好，怎么去求 k 呢？对，纵差比横差，那就是负四减零，比上零减四就是一对吧？ x 对 吧？然后再过这个点是零负四， x 减四， 各位有没有问题？所以说呢，解析式求出来，那么这个点的纵坐标就是什么啊？就是 m 减四。 好，大家现在去想，我不是求 dm 的 最值吗？这就是它的纵坐标减去它的纵坐标。好，我们来求一下啊， dm 等于什么？它减它，你看负 m 方 五 m 减 m 是 加上四 m 对 不对？负四减负四，哦，是不是没了？所以答案就是负的 m 方减四 m， 想到了什么？ 各位是配方一比四比四，再加个四，负四在前面再加个四， ok， 所以 答案就是负的 m 减二的平方再加四。因此我们 dm 什么时候取到最大？是不是当 x 等于，就是当这里的 m 等于几的时候，等于二的时候。好，当 m 等于二的时候， dm 是 有最大值，对吧？开口向下，这里是加四，最大值是四。这个题没有问你面积最大，问什么时候取最大，是当它横坐标等于二的时候， 对不对？好，然后你再带入到我们的纵坐标，就可以把纵坐标，横坐标是不是就都求出来了？各位啊，这就是千锤法，你详细写过程的话，需要搞定的事情。 好，这是第一点，第二点，全网没有一个老师给大家推导一下，为什么这个公式会存在？就是当你的第一点的横坐标等于二分之他俩横坐标的平均数的时候，面积最大。好，今天我来给大家推导一下，为什么？认真听啊，记好笔记， 就为什么这个时候三角形的面积是最大的，我给大家用最一般的方法来推导一下哈，我们看一下怎么推导。 假设这是一条很普通的抛物线，那 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c 啊，这是一条直线，就是 y 等于 k， x 加 n 吧，对吧？直线的解析式。那我想问大家啊， b、 c 两个点是什么？ 是不是抛物线和直线的交点？所以说看到交点，我问大家联想到什么？是不是连力方程？ 好，我们就连立 y 等于 k， x 加 n， 以及 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 我 们连立一下它好不好？连立完以后我们发现对吧，它俩是不相等，所以说 a x 方加 b， x 加 c 等于 k， x 加 n。 好，整理一下， a x 方加上 b 减 k 倍的 x 加上 c 减 n 等于零。好，老师你要干嘛呀？请大家想啊，连立完的交点的横坐标是不是 x 一 和这里的 x 二 b c 的 横坐标，对吧？根据尾答定理， 那么两根之什么？两根之合是不等于负的？ a 分 之， b 就是 它， b 减 k， 能理解吧？我们现在要正的事情是不是 d 点的横坐标等于二分之，它 能理解，所以二分之 x， b 加 x， c 就 等于二分之 x， 一 加 x， 二等于二， a 分 之负的括号 b 减 k。 我们要想方设法证明取到最大值的时候，那个 d 点的横坐标就是这个式子，能跟上我的思路哈，好，那我们来看一下 d 点坐标怎么求？因为你 d 点是在一条更一般的抛物线上，所以它的坐标就是什么 x 逗号啊， a x 方加上 b， x 加 c， 大家说对不对 是吧？然后呢，刚才已经验证过了，这里的坐标等于什么？用牵扯法是不是它最大的时候面积最大对不对？ ok， 那 它的坐标就是 x 逗号，注意哦，纵坐标是它在直线上是不就是 k x 加 n， 好，那现在我要求的是什么？是不是这一段的最大值？所以说纵坐标减纵坐标，我们来求一下，我写在上方啊，得到的是 a x 方加 b， x 加 c 减去它减 k， x 再减去 n 等于 我的什么？ dm 这个线段，是吧？我现在要求什么？大家想是不是求它的最大值？ 我能不能把这个想成是一个函数抛物线对不对？那就是 a x 方加上 b 减 k 倍的啊， x 再加上 c 减 n， 好， 这是我们的还是这个 d n 对 不对？那现在我要求它的什么值？最大值？所以说呢，我就把它再变形，等于 a 倍的 x 方加上 b 减 k 除以 a 倍的 x， 回想一下配方怎么配，是不是就是它的一半， 也就是加上二 a 分 之 b 减 k 扩注的平方，这里变成中括号，对吧？多加了一个，再减去 a 倍的二 a 扩注 b 减 k 的 平方，然后再加 c 减 n， ok， 好， 这个都不重要，重要的是看这里，看这里，大家想是不是 a， 如果是开口向下的话，你这里是负的，就是 x， 什么？减去二 a 分 之？ sorry， 加啊，这里是加号加上二 a 分 之 b 减 k 括住的平方再减。我就不写了，这一坨 把，这边可以想成一坨。好吧，现在我们去思考有什么问题，是不是求它的最大值？回想一下所有的平方配方，求最大值，是不是平分为零，取最大值开口向下，所以说你会发现，是不当 x 等于它等于零，是不是 x 等于负的二 a 分 之 b 减 k， 对不对？这个时候的 x 谁的坐标是不就是 d 的 横坐标，你看 d 的 横坐标，各位看这个式子哦，是不是 d 的 横坐标就等于 b 和 c 横坐标的一半？来看一下是不一模一样？二， a 分 之负的括号二， a 分 之负的，这里是括号， 对不对？所以我们知道结论了，下次遇到小题，直接代入，什么时候面积最大，当地点坐标等于二分之 b 横坐标的 平均数就可以了。好老师应该是全网第一个，给大家系统证明完了你看大题可用千锤法写过程，如果是小题，用我推导完的结论直接去用就可以了啊。关于这个题，三角形面积最大，求动点坐标，各位你学会了吗？

咱们看一下昨天的二三的第一题，最后一问，稍有难度啊，稍有难度，但是根据咱们的套路来的话啊，看到最大字，这里在函数当中肯定是要构造新函数， 构造新的二函数，在于这里怎么去构造它？还结合了几何的知识来。三角形 pae 找到了吗？ pae 几个小三角形，三角形 cae 是 几个三角形，它们最大的问题是同底， 所以三角形 pae 比上三角形 cae， 它们是同底，我们事实上是比较的高，咱们做 c m 垂直于 a e， 做 p n 垂直于 a e， 事实上我们要勾到它的最大值来。 嗯， ab 这条直线是可以求出来， y 等于 x 减三，关键在于 y 等于 x， 当 k 等于一的时候，比例系数是一的时候，我们与坐标轴的夹角是四十五度。这里我们之前提示过，也就是说 角把 c n， c m 放在三角形二 t 三角形 b c m 中， 它是一个等腰直角三角形。也就是说 c m 比上 bc 等于一个 cos。 四十五度 等于二分之根二，所以二分之根二。 b c 是 四 c m 等一个二倍的根二。 ok， 第一个求出来了，它是固定值， 那么写反了，这里是我说的 p n 比 c m 啊， p n 比 c m， c m 是 固定值。我当时一瞬间我想，如果分母上有未知数，那你肯定是不会做的。所以我们要解决的是 p n， p n 放在哪个三角形当中？看好了，是 p n e 二 t 三角形 p n e 当中，为啥看这里啊？ a e p 和 p e d 是 对顶角三角形 二 t 三角形 b d e 二 t 三角形 p n e 都是等腰直角三角形， 这里是四十五，这里也是四十五，也就是咱们的 p n 比上 p e 等于一个 cos 四十五度，也是二分之根二。 那么 p n 不知道，我们要解决的就是 p n， p n 就 等于 p e 乘以一个二乘以二， p e 等于什么？ p 点的坐标舍出来，舍 a， 咱们的二次函数减去式，舍 x 方减二， x 减三， 好， e 点的坐标 e 点在哪里？ e 点在直线 a b 上 a， a 减三。所以咱们的 pe 的 长度就是一点坐标减去 p 点坐标 a 减三，减 a 方减。括号里的 a 方减二 a， 那 就是写在大草纸上啊。 a 减三，减 a 方加二， a 加三，打个折啊，那就是负 a 方 加三 a， 这是 p， 所以 我们把它写出来，用 w 表示。 p n 比上 c， m 就 等于个 二分之根二乘以一个负， a 方加三， a 比上二倍，等于二。 根二和根二约掉，最后它就等于一个负四分之一， a 方加四分之三 a。 我 问你是不是构造出了新的二函数，那 要它的最大值求减，当 a 等于一个负的二， a 分 之 b 的 时候， 也就是等于二分之三，十二分之三，显然在零到三之间，我们再把二分之三代入到这个解析式当中，你的最开口向下，最大值就出来了。 负四分之一乘以一个乘以二分之三，就等于一约一，约 三分之哦，约不掉八分之三，八分之九，这里是减去负的十六分之九，那算出来应该是十六分之九之。

老爸，中考数学最难的亚洲题有哪些啊？中考数学难的亚洲大题就这八道，第一个，二次函数的最值问题。第二个，曲值范围问题。第三个，二次函数与一次函数的相交问题。第四个，二次函数的图像与几何综合问题。第五个，存在性问题。第六个，二次函数与相似三角形。第七个，最值问题，第八个，公共点问题。 其实中考最大的黑马就是中等生，从现在开始练起来，吃透了中考直接躺赢！中考数学，不管谁出题，就这八道亚洲题，吃透了，考试就是送分的，考前不知道如何准备的，可以直接给孩子准备这套新华书店出的中考数学亚洲题，它包含中考会考到的所有压轴题型。 科学规划了三十天的练习计划，每天就练四道题，选择题、填空题和新题型循序渐进。像二次函数与相似三角形，中考常考必考，他考察多个知识点的综合运用，很多孩子一看题就蒙了，答案解析非常详细，直接，把解题方法、答题 步骤以及设计考点标注的清清楚楚，一步一步教孩子踩准得分点。就连新情境、新考法也整理好了你像数学传统文化题、跨学科综合题等等，中考怎么学就怎么练，每天二十分钟，把这些压轴题练透了，不会的扫码看老师视频讲解中考数学就不用担心了！

近几年中考压轴题中经常会出现二次函数与三角形面积综合求最值问题，二五年中考也出现了像这道题求抛物线上动点 p 所构成的三角形 p a b 面积的最大值，常规方法需要十多分钟，而掌握了牵垂法之后，只需要三四分钟就能轻松拿下 来，老师今天带你彻底学透千锤法，学会以后考场直接秒杀！来看题说呀， y 等于负 x 方加三， x 加十，给了这个抛物线，它的解析式上面有一个动点点 p 啊，抛物线上一个动点，那接着呢？说与坐标轴啊。抛物线与坐标轴 标于 ab 两点，那么此时 ab 两点的坐标我们是很容易计算的， a 点是与 y 轴的交点，所以 a 点横坐标是零盖进去，纵坐标是十，同样的 b 点呢，是与 x 轴的交点，那么纵坐标是零，横坐标是多少？我把 y 等于零盖进去解这个一元二次方程，算出来 x 正的是五，所以 b 点坐标咱们很容易计算。接下来我们再看说当这个三角形 p a b 此三角形的面积取到最大值的时候，让我们求抛物线上动点点屁，它的坐标是什么？那么这道题是我们非常经典的二次函数背景之下的几何综合题，并且是求三角形面积最大值这样一个待几综合问题。好，那么这道题目呀， 如果说跟老师学过的孩子们，你是可以直接口算的，填选择题，我们是有口算方法的， 我用眼睛一看我就知道屁点的横坐标怎么来看屁点横坐标啊， a 点横坐标零， b 点横坐标五，我说屁点的横坐标一定是二分之零加五，也就是二分之五十能够取到三角形面积的最大值， 那这时候屁点纵坐标怎么算？非常简单，把 x 等于二分之五带到这个解析式中，带入计算就可以了，这里算出来四分之四十五说，老师你这个口算方法是怎么来的啊？ 别着急，接下来呀，如果作为一道解答题，说咱是需要写过程的，那老师呢，就带大家来书写一遍过程，那么过程怎么去书写？首先呢，我想要的是此三角形面积取到最大值。我们先试着来表示一下这个三角形的面积啊， s 三角形 a b p 三角形面积怎么算呢？我们说一般来说，三角形利用面积公式来表示其面积，可是此时三边都是斜了吧唧放置在坐标系中的， 也就是说呀，我任何一边作为底选底定高，都没有那么容易去表示相应的底和高的长度，所以遇到 二次函数背景之下有这样斜了吧唧放置的三角形时，表示其面积，我们通常会用到的就是 千锤法。千锤法啥意思？其实就是出现了斜放的不规则的三角形的时候，我们想到的割补思想， 它其实就是割补思想的应用，只不过说二次函数作为了背景，那这时候的割补方案呢？我们就可以啊，相对来说比较固定了。 画一个大铅锤啊，什么是铅锤？大家有没有看到那个建筑工地有个很重的大铅做的铁锤，哈哈，一个大铅锤吊着根绳，为的是看齐这个竖直的墙有没有砌齐，所以类似原理。我过点屁这个洞点呢，我做一条竖直方向的直线， 这就是我所谓的铅垂线。那么这样一刀切下来，就把三角形 p a b 呢，分成了左右两边自铅垂线和 a b 线段的交点，我叫做 q 点， 所以这时候三角形 p q a 再加上三角形 p q b 两部分的面积之合，其实就是胳膊啊， 只不过我们用数值方向或者水平方向去分割会更加简单。那么此时大家来跟我看，我想表示左半边三角形 p a q， 它的面积怎么来表示呢？ 悬底定高，有水平或数值方向的线段，在坐标系中我们是更加喜欢的，显然我的 p q 是 数值方向的，我过点 a 呢，向数值方向的 p q 做个垂，那么这节小粉线段就是我画出的左侧三角形的高，我用 h 一 来表示。 同样的道理，我过点 b 还是向它的底，也就是我选定的这一个 p q 啊所在直线去做垂， 那么这一截粉色就是我右侧三角形的高 h 二的长。因此两三角形的面积之合就是二分之一底乘高， p q 乘 h 一 加二分之一底乘高， p q 乘 h 二。显然呢，我可以把二分之一的 p q 提取出来，括号里头 h 一 加上 h 二，对吧？那么看图说话， h 一， 哎，这节是 h 一， h 二，这节是 h 二，所以 h 一 加 h 二的长是不是就是圆点到这个 b 点之间的距离呀？那这里面啊，我就直接把它换成了 o b 乘上这个 o b， 而 o b 显然是一个定长，它的长度是五，所以此三角形的面积也就是二分之五倍的 p q。 好 了，刚才题目中说的是什么呀？当三角形它的面积取最大值的时候，所以这个三角形的面积取 最大值之时，也就是说我的 p q 长度取最大值之时，能够达到， 对不对？所以啊，三角形面积最大，也就是让 p q 长最大，我只需要知道什么时候这条数值的线段 p q 的 长度取最大值就可以了。所以接下来任务我就是去表示 p q 长啊。那怎么来表示呢？依然非常的简单，我可以去设 p 点的坐标，动点 p， 横坐标我用小 m 来表示，那么纵坐标代入解析式中，负 m 方加三， m 加十。接下来我还想去表示那个 q 点 q 点横坐标显然跟它是一样的数值方向的，还是小 m。 那 么 q 点的纵坐标怎么来表示呢？我们首先先要去书写一下这个 直线 a b 它的解析式，那么当然这里的过程我就稍微的省略一下了， a b 两点坐标，知道写直线 a b。 解析式我们有口算法，口算 k 叫做纵差比横 差，纵差十减零是十，横差零减五是负五，所以纵差比横差就是负二 k 值口算出来了，负二 x， 那 么加上那个小 b， 显然零逗 b， 也就是加十，那么解析式过程省略了啊。因此有到解析式之后， q 点的纵坐标带进去，也就是负二 m 加十， p q 两点坐标都有了。我想表示的是 线段 p q 的 长，用 y p 减去 y q 两点纵坐标大减小即可。负 m 方加上三 m 加十减去负二 m 加十，括号里头去掉小括号，整理一下，负 m 方 加上五 m 长，数项减掉没有了。这是什么呀？把 p q 长看成字母 y 的 话，这是不是一个二次函数解析式的形式？所以求 p q 的 最大值怎么办？我只需要进行配方法，所以负号二次项系数提取出来，括号里头 m 平方减去五， m 减去依次项系数一半的平方，也就是减二分之五的平方，剩余的常数项看好了，符号啊，这里边是减掉了四分之二十五，所以我要再加上四分之二十五，所以此时 把 p q 长看成是 y 的 话，这样一个二函数，它的图像依然是一个抛物线开口方向向下，所以当我的小 m 等于这个二分之五的时候，再对称轴这样一个位置能够取到 y 值，也就是 p q 长的最大值， p q 取最大值。好了，那么让我们求这时候的 p 点坐标，此时的 p 点坐标横坐标二分之五纵坐标。同样的道理，把二分之五带入原二次函数解析式中，算出来是四分之 四十五，那么这就是我们这道二次函数背景之下三角形面积最值的相关问题。首先第一点，我们需要知道这个三角形的面积怎么去表示和计算呢？利用牵垂法割补之后，一分为二，三角形的面积也就是 变成了二分之五倍的数值线段 p q 的 这个值啊，所以三角形面积取最值之时，也就是让数值线段长度取最大值之时即可。那 么接下来去表示数值线段 p q 的 长度，设点坐标表示之后，配方再来求得对应的 p 点坐标。那么两种方法，一个是写过程，一个是口算，你学会了吗？

哈喽各位，我是脖子哥，今天呢给大家带来的是这一道百校联营二零二六中考一模的选择。第九题，我们来准备开始讲解这个题，一看它是一个非常非常标准的二次函数图系关系问题说我有一个二次函数的图像，我不告诉你它的解析式，它是 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 然后如图所示，他说给你四 四个关于系数的代数式，可能是等式，可能是不等式，几个是对的呢？首先咱们来总结这类题型啊，只要你见到了这个二次函数的图系关系问题，到底你能先求的是什么？ 你要记住几个事情，第一个，我能求出来的是 abc 这三个系数的正负型。第二个，我能求的可能有 a 和 b 的 关系呢？开想，朋友们在二次函数里面，哪一个因素利用到了 a 和 b 是 不是对称轴？ 所以我一定要根据我的对称轴来判断 a 和 b 的 某种关系，可能是倍数关系，可能是正负性的关系。同时在除此之外，你能看到图里有什么，图里是不是有零点啊？ 那你就能看到这个二次函数的特殊值，比如说我们能看到这个题目，哎，我的这个二次函数竟然是过负一零的，竟然是过五零的，我就能够把特殊值带出来。第一个， 二次函数开口向下，说明 a 是 小于零。第二个，二次函数的对称轴啊，在整个 y 轴的右边，我们有一句话叫左同右异，指的是 a 跟 b 的 正负性，我在右边证明 a 跟 b 是 一号的， a 又是小于零的了，证明 b 是 大于零的。 第三个，关于 c， c 怎么样看 y 轴截距 c 在 y 轴上，在上方，所以我的 c 是 大于零。好了，这是我的 a、 b、 c 的 正负性。接下来我们来研究第二件事情啊， a b 有 什么关系？你看这图，我能不能知道这个二次函数的对称轴呢？ 当然能了，左边位置是负一，右边零点是正五，说明我的对称轴就是负一跟正五的中间值。轴是谁？ x 等于五加负一除以二， x 等于二，那如果你的对称轴是二了，说明负的二 a 分 之， b 就 等于二，也就是说 b 等于负四 a， 这是关于对称轴能得到的。那跟 c 有 关的呢？只能看负值了，对不对？我的这个二次函数过负一零，过正五零。所以我可以把 x 等于负一或者 x 等于五带进去，分别是 x 等于负一的时候啊，那就是 a 减 b 加 c 等于。还有什么，你 x 等于五的时候是不是二十五， a 加五， b 再加 c 等于零。 ok 了么？各位，现在你看啊，咱们得到了这么多的条件，我们可以做题了。第一个选项说三 a 加 b 大 于零或啊，第一个选项，你所谓的这个三 a 加 b 到底等于谁？ b 是 不是负四 a 刚才已经研究出来了，所以你就等于三 a 加上负四 a 就 等于负 a， a 是 小于零的，所以负 a 当然大于零了。来圈一对不对？正确？ 来看圈二啊，咱用一样的逻辑，圈二。你问我的是 a 乘 b 的 正负性，不用说了， a 小 于零， b 大 于零，全都求完了。一负一正乘积当然是负的，圈二也是对的。来看圈三圈三。说，如果我告诉你五 a 加 c， 嗯，有意思，五 a 加 c 看起来好像感觉不太可能会出现，但是你想朋友们，到底我能怎么样 把 b 消掉？如果我想得到一个只跟 a 和 c 有 关的式子，是不是我可以考虑在一个 a、 b、 c 都存在的式子里面把 b 给消掉？现在根据我们的第一个负值， a 减 b 加 c 等于零，所以是不是 a 减负四， a 再加 c， 那就等于五， a 加 c 等于零喽，圈三也是对的。再来看最后一个圈四，圈四说的是四， a 加 b 加一小于零， b 是 什么？ b 是 负四 a 啊，所以你的四 a 加 b 加一就等于 四， a 减四， a 再加一等于几就是正一，它怎么可能小于零呢？所以四是错的，那一二三都是对的，四是错的。本期选择 c 选项，所以我们的这个百校联盟二零二六最新的中考一模一个很难的选择题。第九题，同系关系我们讲完了，希望这道题你能 get 到二次函数的同系关系。到底你的分析，你的步骤应该是什么样的顺序？下一节咱们来讲这张卷的选择压轴题。好了，拜拜各位。

今天我们看一下中考的二十四题，压轴题型 有三十三，角形有定点定线定值的问题。首先我们来看抛物线， y 等于二分之一， x 方减三， x 加四。已知的抛物线与对称轴有三个焦点坐标。第一问，我们把三个焦点坐标把它描出来， 那么呢，首先我们来看与 y 轴的焦点坐标，令 x 等于零，所以这条直线叫做直线， x 等于零，那么就是零。逗号四， 那么与 a、 b 的 焦点坐标是令 y 等于零，减一于二次方程，我们口算一下，所以 a 的 坐标二逗号零， b 的 坐标是逗号四吗？零。那么第二问，第一点是抛物线一下线上面的一个动点， 但是我们看一下 a、 c 啊，是一条定线段，是固定的线段，现在 a、 c 平分了角 o， a、 d， 也就是角平分线，让我们找出弟弟的坐标，求出弟弟的坐标是多少，那么呢，我们在求定点的时候，抛物线上某一个点的坐标的时候，一般用运用的手段，大家一定要听老师说的内面生成的逻辑关系，不仅仅是会解这一道题， 尽管是中考的二十四题的压轴题，百分之八十七十的学生在丢分，但是我们三分钟可以把它搞定。那么怎么样找低点的坐标呢？你不要盯着低点来求它的坐标，你要在这条直线上面找两个好找的固定的点，把这条直线的解析式把它求出来， 然后连立。一般是这么一个思路，那么我们看在 a、 d 这条直线上，已知的有一个 a 点， a 点是已知的，那么两点定线，除了 a 点，我还要找一个点呢，那么我们找哪一个点呢？这个地方方法比较多，我们不妨就利用 这个角平分线和两点之间的距离公式来做了算的。我们过 c 做 a， d 的 垂垂足标，一个字母为 h， 那 么呢，角平分线上面的点到角两边的距离怎样呢？相等，那是四，因为 o c 是 四，所以 c h 是 四，那么 o a 是 二，那么 a h 是 加啊，也就是这是方子，这两个三角形怎样呢？全等。 那么目前我既然在这个 a、 d 上面找了一个垂足为 h， 所以 我的核心思路就是把 h 的 坐标找得到，那么 a、 h 两个已知点就把这条直线固定了，连立以后， d 的 坐标就出来了。就是这么一个死思维， 那么 h 的 坐标怎么找呢？我们不妨设 h 的 坐标为 m 到 n， c， h 的 距离是可求的，比如说老师，他们是四吗？四 是我们方，则得到了一个已知数，这个距离可以用 m n 来表示出来，那么就是 m 减零的完全平方 加上 n 减四的完全平方，那么它就等于四的什么平方。同样的道理， m 减二的完全平方加上 n 减零的完全平方，就等于二的什么完全平方，所以 m， n 就 出来了。我们书写一下 作 c， h 垂直于 a， d 垂足为 h， 设 h 的 坐标为 m 和 n， 那 么四的平方等于 m 减零的平方，加上 n 减四的平方，且 二的平方等于 m 减二的平方，加上 n 减零加上 n 的 平方， m 等于多少？ n 等于多少？当然这个地方就有那么一点点 超过了我们九年级的常规的知识点。你学的东西，那你总共有百分之五左右是没学的，但是他要考学考分，那么这个点呢？怎么求呢？我们来看一下。十六等于 m 方加 n 方减八， n 加十六， m 方加 n 方减八， n 等于零，这是一式二式， m 方 减四 m 加四加 n 发等于四，那么就是 m 发加 n 发减四 m 等于什么零，这就是一是二是化简以后的结果。减负四 m 加四 m 等于零，减零还是一个零 m 等于减二 n， 那 么 m 等于二 n 四 n 发 加上 n 方减去 m 等于二， n 减去几 m 呢？八 n 等于零，那么五 n 方减八 n 等于零， n 倍的 五 n 减八等于零，肯定要怎样呢？舍掉，然后呢？ n 二等于五分之几啊八，记住， m 等于二 n 五分之十六。 杜老师已经把往年中考必考的压轴题汇总好了，大家可以自行领取，进行练习。

hello， 各位同学，大家好，我是新里程数学王静王老师，那么接下来我们看高新一模倒数第二个， 哎，抛物线的题型啊。首先我把这个题进行了拆分，嗯，把一二问咱稍微先讲讲，然后第三问，哎，单独讲是吧，咱这样的话写的空大一点，这个样我觉得有点太密了啊。来，呃，第一问的话，给了一个抛物线， 然后这里面需要把 a 和 b 求出来，那因为 o a 是 二， o b 是 六嘛，那也就意味着 a 的 坐标负二，逗号零， b 的 坐标六都零，那么我们只需要把这两个点给它代入进去第一问就 ok 了，是吧？所以第一问最后结果， y 等于负的四分之一， x 方加 x 加三，哈。那么接下来第二问，如果的的横坐标是 t， 那 t 都，哎，带到抛物线里，那它的纵坐标负的四分之一 t 方 加 t 加三。呃，因为抛物线知道那 c 的 坐标肯定是零斗三，那 b 六斗零 c 零斗三 b， c 的 一次函数也是没问题的。 y 等于负的二分之一 x 加三啊，那这样的话，哎，第一问让求得 e 的 线段长度，那得的横坐标是 t， 那 e 的 横坐标肯定也是 t 啊，所以 t 等于负二分之一 t 加三嘛，然后得 e 的 线段长度的话呢，竖直哎，上减下即可哈。那所以得 e 就 等于得的总坐标负的四分之一梯方 加 t 加三，然后减去 e 的 总坐标，然后接下来该去括号去括号，该化减化减啊，那么这样我们就得到负的四分之一 t 方，然后加二分之三 t， 那 加三减三就中间就会约掉了，所以第二问 的第一个是吧，拿分啊。呃，但是下面这个，嗯，在那个高新一模做题的过程中，可能有很多同学藏住，所以接下来我们也分析分析，他说 是否有点得，那这个得就在抛物线上嘛，让 c 得 e 成为一个等腰三角形，那 c 得 e 成为等腰三角形的话， 这个就是咱们得分类讨论了，那他等幺没有说谁和谁是幺，所以接下来咱就分三种情况，包括这个题背后计算量有点大哈，那比方说，哎，第一个，我让 e 当做等幺的那个顶点，那是不是就这两个就变成幺了？哎，所以第一种呢， ce 的 线段长度等于得一，那其实得一，你想，哎，上一问已经求了得一的线段长度，那我是不是只需要把 c e 表示出来啊？那所以我们在这里，哎， c e， 咱们可以用两点之间距离公式， c e 的 平方等于横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方，是吧？哎， t 减零的平方， t 方 加上这个减这个，那三和三就会减掉，那也就是负的二分之一 t 的 平方，那么也就是四分之一 t 方，所以 c e 的 平方，也就是四分之五 t 方。 c e 的 平方有了， 我们就可以知道 c e， 那 c e 的 话，哎，对它进行开放，那么二分之根五 t 吧，是吧？那所以当我有了这个 c e 长度， d e 长度，那我就给它写上二分之根五 t 等于得一负的四分之一 t 方加二分之三 t， 那 这样的话就是相当于我们解一元二次方程。我们把这个解出来的话，是有两种，要么等于零， 嗯，要么等于六减二根五哈，但是这个零的地方你肯定得省略了，所以这样的话有了第一个啊，第一个这个 t 的 值啊，人家问这个得的坐标，所以这个题说实话它计算量真不小啊。那么当这个 t 等于六减二根五的时候 啊，带回去，是吧？带回去啊，一点一点仔细去给他算一算，那这样我们就可以得到第一个得的坐标，六减二根五都好， 四根五减五啊，六减二根五，逗号，四根五减五，这是第一个。那然后紧接着再来第二种情况，就是我刚才是以 e 作为一个顶点引出来的两个幺，那现在我们还可以让谁啊？我们还可以由得 得这个地方作为一个顶点，那 c 得和得 e 变成两个幺嘛。那所以第二种情况，也就是当 c 的 哎，等于得一的时候，那我们依然用两点之间距离公式啊，把 c 得表示出来，哈，那这样的话， c 得的平方就等于横坐标相减的平方，是吧？然后呢？哎，加上纵坐标相减的平方，负的四分之一 t 方加 t， 那 这个地方加三减三就没有了，哎，横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方，哈，那此时这个你这个地方再开方，你肯定不好开，是吧？你这开方你肯定开不了，那所以我们第二种情况就可以这样， 那 c 得方等于得一方，那咱把这个得一方给它表示出来，负的四分之一 t 方 加二分之三 t， 哎，得一方也表示出来，那面上感觉这两个比较复杂，但是我给你解一解啊，他能解，他能解，那所以这种情况下也就代表了 t 方加上这个 c 得方先找抄哈， 然后等于得一方那负的四分之一 t 方加二分之三 t 的 平方，也就是他们各自的平方，这个教大家去解解这个 t， 能做能做。嗯，第一步咱先硬拆，就这个是十六分之一首平方， 然后尾平方二 ab 的 话，那就二分之一 t 的 三次方，是吧？就我先硬拆后面这个首平方，然后尾平方， 然后接下来减按二 ab 四分之三 t 的 三次方，那接下来这样大家就观察，虽然有四次方的存在哈，但是 能够被约掉是吧？那呃，剩下的你该移移，该合并合并，你比如说，呃，这两个三次方的就可以对它进行合并，那移过来，负的四分之二加四分之三 四分之一 t 的 三次方，考你扣算能力啊，这两个是二 t 方，二 t 方，那减四分之九 t 方减四分之一 t 方就等于零了呗。那接下来我们把这个 四分之一呃梯方可以给它提出来，那第一个或者别提四分之一了。两边同乘四是吧？两边同乘四梯的三次方，减梯方等于零。把梯方提出来， t 减一等于零，你看好解吧。我说要么 t 就是 零，要么 t 就是 一呗。那咱说把这个零又给他舍了，你比刚才那个还好解是吧？那这样我们 t 不 就等于一吗？把这个一仍然是 带入到这里面，哎，一斗带进去还是挺好算的啊。最后一斗四分之十五，对吧？所以这个中间的步骤我就给大家省去了啊，这样的话，咱们中间就省去了，大家就看看能解吧，虽然他样子有点吓人，但是完全可解啊。来， t 等于零，折了 t 等于一，要把它 t 等于一，哎，带进去，那这样我们有了第二个结果啊，所以得二的点坐标一斗四分之十五。 那么接下来我们再来看第三种，这三种就该谁了呀？老师，我可以让肺为一个等腰的顶点，那么这样的话，我们的第三种情况往哪写？嗯，往下写。好吧，那我把这个图往下放，再重新放一个图啊。 来，我们再来看第三种。第三种就是刚才我们说我们可以以 c 为一个顶点，那这样的话， c 的 长度就等于 c e 的 长度，那这种情况下，当然你说老师我两点之间距离公式还是按照刚才的套路做，能行吗？能行， 能行啊，但是这里我想再教你一下别的方法吗？就如果两点之间距离公式硬算的话，那第二种，这不这种就代表了全部了吗？能解。然后，但是我还是再多想讲讲，因为此时你看，如果这是一个等腰三角形， 我就给你往这做个垂直，那如果你看这是 m， 那 这个 m 的 纵坐标它肯定还是三，是吧？那等腰三角形你具备什么东西啊？三线合一，你除了是个高线， 这个地方也是一个中线，是吧？那既然你是个中线的话，那也就代表 m， 也就是得益的中点， 那我完全可以用中点坐标公式。 m 的 纵坐标，这个三啊，其实就等于的和 e 的 纵坐标，你纵作这个是中点的话，那这不是相加除以二吗？所以二分之， 那负的四分之一 p 方加 t 加三，然后再加上负的二分之一 p 加三，也就是把的的纵坐标和一的纵坐标加起来除以二。哎，等于你这边这个纵坐标可解，完全是可以解出来的，那还是变成了一个解一元二次方程的问题，是吧？所以我们加下来解这个的话，解出来仍然要么 t 等于二， 要么 t 等于六啊。但是如果 t 等于六的话，你会发现那的跑到这里跟 b 重合了， 所以这个仍然舍掉，那这个 t 等于二的话，代入到点坐标上，那么第三个结果就全都出来了。二逗号四啊，所以我们对于这个题的话， 二逗号四，嗯，一逗号四分之十五。那还有一个是六减二根五，逗号四根五减五。背后一共有着三种情况，大家别忘了啊。而这个的话，第二问相较而言计算量稍微大一点，那接下来我们再来看第三问啊。首先 心里你得开心，开心什么开心呢？你第二问计算量已经这么难了，那第三问他肯定在一定程度上会稍微弱化一下难度嘛来结果不相信的话，我们就看看啊。第一个 e， e 是 哪里哎， e 是 bc 的 那个直线上的一个点，那我们再把 bc 拿出来， y 等于负二分之一， x 加三。呦， 那然后紧接着这样的话，这个一点坐标我可以给你设上坐标，比如说 t 豆，哎，那我给你带进去负的二分之一， t 加三，那按照他说的做是吧？把线段 o e 绕点 o 顺时针旋转九十度，好，顺时针往这旋转九十度，然后这样的话，我们给他找到点，这 这样，哎，你顺时针旋转旋转了个九十度。然后，呃，首先我先不管他问题问什么啊， 这个旋转九十度好熟悉好熟悉，而且你这个坐标有了，我可以去推一下这个的坐标吗？ 咋熟悉了？一线三垂直啊，对吧？一线三垂直啊，哎，在垂直的位置横平竖直。因为我是一比一旋转的嘛，所以它不是相似，它是全等，那么 e 的 坐标有了， 这个对应的就是 t， 这里呢，就是负的二分之一 t 加三，来，根据这两个三角形的全等关系，那这里也是 t， 这个线段就是负的二分之一 t 加三，所以这样咱们就可以把 g 表示出来了，那 g 的 横坐标 负的二分之一体加三， g 的 纵坐标，那纵坐标就是这一块，但一定注意，负的负的，负的线段长度是正的，但是你在第四项线，他的纵坐标肯定是负的啊，所以，哎，那他就是负梯喽。那 g 的 坐标有的时候这个题问 哎，问 a j 的 长度最小值，哼哼，我可以干嘛呀？我可以两点之间距离公式吗？因为 a 的 坐标有啦， 负二负零，所以来我们演示一下， a 是 负二负零，然后 g 的 点坐标也被我们发现了，负的二分之一 t 加三，逗号负 t， 那 咱可以怎么样啊？ 表示出来，哎， a g 的 平方，哎，就等于横坐标相减的平方，负的二分之一 t 加三，减去负二，那就再加个二 啊，加上纵坐标相减的平方，是不是？那所以我们可以给他化减出来嘛。那这个地方加二加三，就是加五， 四分之一 t 方加上二十五，然后减去五 t 加 t 方合并一下，四分之五 t 方 减五， t 加二十五，那然后人家问他的最小值，这不是一个开口向上的抛物线，那最小值就是我们要对称轴的时候最小呗，所以 t 等于负的二 a 分 之 b 是 吧？那也就是相当于五除以二分之五，那你想五乘五分之二， 也就七等于二的时候，它会最小，那最小我给它带进去是吧？最小带进去，那么也就是四分之五乘四，减去二五一十加二十五，所以它的最小值 这不就算出来了，但是我们一定注意，这个算出来的最小值是 a j 的 平方的最小值啊，那这个题问你长度的最小值啊，一定注意开方，别忘了最后一步，那么 根号下二十，哎，那么最小值二根五出来了，是吧？好，那么接下来这是，嗯，二次函数，但是你明显这个题就是第二问 他因为计算量大，会稍微砍你一下，以至于第三问你就不看了，你就那个心态就是有点崩了，是吧？所以大家一定记住，就静下心来嘛，你比方说当我看到四次的能解啊，那他两边都会被相约嘛。呃，然后如果中间计算量比较大的话， 第三问说明稍稍放水了是吧？好，那么接下来这是我们抛物线这个大题啊，今天给大家讲到这里。

hello， 各位同学，大家好，我是新里程数学王静王老师，那么接下来我们看高新一模倒数第二个， 哎，抛物线的题型啊。首先我把这个题进行了拆分，嗯，把一二问咱稍微先讲讲，然后第三问，哎，单独讲是吧，咱这样的话写的空大一点，这个样我觉得有点太密了啊。来，呃，第一问的话，给了一个抛物线， 然后这里面需要把 a 和 b 求出来，那因为 o a 是 二， o b 是 六嘛，那也就意味着 a 的 坐标负二，逗号零， b 的 坐标六都零，那么我们只需要把这两个点给它代入进去第一问就 ok 了，是吧？所以第一问最后结果， y 等于负的四分之一， x 方加 x 加三，哈。那么接下来第二问，如果的的横坐标是 t， 那 t 都，哎，带到抛物线里，那它的纵坐标负的四分之一 t 方 加 t 加三。呃，因为抛物线知道那 c 的 坐标肯定是零斗三，那 b 六斗零 c 零斗三 b， c 的 一次函数也是没问题的。 y 等于负的二分之一 x 加三啊，那这样的话，哎，第一问让求得 e 的 线段长度，那得的横坐标是 t， 那 e 的 横坐标肯定也是 t 啊，所以 t 等于负二分之一 t 加三嘛，然后得 e 的 线段长度的话呢，竖直哎，上减下即可哈。那所以得 e 就 等于得的总坐标负的四分之一梯方 加 t 加三，然后减去 e 的 总坐标，然后接下来该去括号去括号，该化减化减啊，那么这样我们就得到负的四分之一 t 方，然后加二分之三 t， 那 加三减三就中间就会约掉了，所以第二问 的第一个是吧，拿分啊。呃，但是下面这个，嗯，在那个高新一模做题的过程中，可能有很多同学藏住，所以接下来我们也分析分析，他说 是否有点得，那这个得就在抛物线上嘛，让 c 得 e 成为一个等腰三角形，那 c 得 e 成为等腰三角形的话， 这个就是咱们得分类讨论了，那他等幺没有说谁和谁是幺，所以接下来咱就分三种情况，包括这个题背后计算量有点大哈，那比方说，哎，第一个，我让 e 当做等幺的那个顶点，那是不是就这两个就变成幺了？哎，所以第一种呢， ce 的 线段长度等于得一，那其实得一，你想，哎，上一问已经求了得一的线段长度，那我是不是只需要把 c e 表示出来啊？那所以我们在这里，哎， c e， 咱们可以用两点之间距离公式， c e 的 平方等于横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方，是吧？哎， t 减零的平方， t 方 加上这个减这个，那三和三就会减掉，那也就是负的二分之一 t 的 平方，那么也就是四分之一 t 方，所以 c e 的 平方，也就是四分之五 t 方。 c e 的 平方有了， 我们就可以知道 c e， 那 c e 的 话，哎，对它进行开放，那么二分之根五 t 吧，是吧？那所以当我有了这个 c e 长度， d e 长度，那我就给它写上二分之根五 t 等于得一负的四分之一 t 方加二分之三 t， 那 这样的话就是相当于我们解一元二次方程。我们把这个解出来的话，是有两种，要么等于零， 嗯，要么等于六减二根五哈，但是这个零的地方你肯定得省略了，所以这样的话有了第一个啊，第一个这个 t 的 值啊，人家问这个得的坐标，所以这个题说实话它计算量真不小啊。那么当这个 t 等于六减二根五的时候 啊，带回去，是吧？带回去啊，一点一点仔细去给他算一算，那这样我们就可以得到第一个得的坐标，六减二根五都好， 四根五减五啊，六减二根五，逗号，四根五减五，这是第一个。那然后紧接着再来第二种情况，就是我刚才是以 e 作为一个顶点引出来的两个幺，那现在我们还可以让谁啊？我们还可以由得 得这个地方作为一个顶点，那 c 得和得 e 变成两个幺嘛。那所以第二种情况，也就是当 c 的 哎，等于得一的时候，那我们依然用两点之间距离公式啊，把 c 得表示出来，哈，那这样的话， c 得的平方就等于横坐标相减的平方，是吧？然后呢？哎，加上纵坐标相减的平方，负的四分之一 t 方加 t， 那 这个地方加三减三就没有了，哎，横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方，哈，那此时这个你这个地方再开方，你肯定不好开，是吧？你这开方你肯定开不了，那所以我们第二种情况就可以这样， 那 c 得方等于得一方，那咱把这个得一方给它表示出来，负的四分之一 t 方 加二分之三 t， 哎，得一方也表示出来，那面上感觉这两个比较复杂，但是我给你解一解啊，他能解，他能解，那所以这种情况下也就代表了 t 方加上这个 c 得方先找抄哈， 然后等于得一方那负的四分之一 t 方加二分之三 t 的 平方，也就是他们各自的平方，这个教大家去解解这个 t， 能做能做。嗯，第一步咱先硬拆，就这个是十六分之一首平方， 然后尾平方二 a b 的 话，那就二分之一 t 的 三次方是吧？就我先硬拆后面这个首平方，然后尾平方， 然后接下来减按二 a b 四分之三 t 的 三次方。那接下来这样大家就观察，虽然有四次方的存在哈，但是 能够被约掉是吧？那呃，剩下的你该移移，该合并合并，你比如说，呃，这两个三次方的就可以对它进行合并，那移过来负的四分之二加四分之三 四分之一 t 的 三次方，考你扣算能力啊，这两个是二 t 方，二 t 方，那减四分之九 t 方减四分之一 t 方就等于零了呗。那接下来我们把这个 四分之一呃梯方可以给它提出来，那第一个或者别提四分之一了。两边同乘四是吧？两边同乘四梯的三次方，减梯方等于零。把梯方提出来， t 减一等于零，你看好解吧。我说要么 t 就是 零，要么 t 就是 一呗。那咱说把这个零又给他舍了，你比刚才那个还好解是吧？那这样我们 t 不 就等于一吗？把这个一仍然是 带入到这里面，哎，一斗带进去还是挺好算的啊。最后一斗四分之十五，对吧？所以这个中间的步骤我就给大家省去了啊，这样的话，咱们中间就省去了，大家就看看能解吧，虽然他样子有点吓人，但是完全可解啊。来， t 等于零，折了 t 等于一，要把它 t 等于一，哎，带进去，那这样我们有了第二个结果啊，所以得二的点坐标一斗四分之十五。 那么接下来我们再来看第三种，这三种就该谁了呀？哎，老师，我可以让肺为一个等腰的顶点，那么这样的话，我们的第三种情况往哪写？嗯，往下写。好吧，那我把这个图往下放，再重新放一个图啊。 来，我们再来看第三种。第三种就是刚才我们说我们可以以 c 为一个顶点，那这样的话， c 的 长度就等于 c e 的 长度，那这种情况下，当然你说老师我两点之间距离公式还是按照刚才的套路做，能行吗？能行 能行啊，但是这里我想再教你一下别的方法吗？就如果两点之间距离公式硬算的话，那第二种，这不这种就代表了全部了吗？能解。然后，但是我还是再多想讲讲，因为此时你看，如果这是一个等腰三角形， 我就给你往这做个垂直，那如果你看这是 m， 那 这个 m 的 纵坐标它肯定还是三，是吧？那等腰三角形你具备什么东西啊？三线合一，你除了是个高线， 这个地方也是一个中线，是吧？那既然你是个中线的话，那也就代表 m， 也就是得益的中点， 那我完全可以用中点坐标公式。 m 的 纵坐标，这个三啊，其实就等于的和 e 的 纵坐标，你纵作这个是中点的话，那这不是相加除以二吗？所以二分之， 那负的四分之一 p 方加 t 加三，然后再加上负的二分之一 p 加三，也就是把的的纵坐标和一的纵坐标加起来除以二，哎，等于你这边这个纵坐标可解，完全是可以解出来的，那还是变成了一个解一元二次方程的问题是吧？所以我们加下来解这个的话，解出来仍然要么 t 等于二， 要么 t 等于六啊。但是如果 t 等于六的话，你会发现那的跑到这里跟 b 重合了， 所以这个仍然舍掉，那这个 t 等于二的话，代入到点坐标上，那么第三个结果就全都出来了。二逗号四啊，所以我们对于这个题的话， 二逗号四，嗯，一逗号四分之十五。那还有一个是六减二根五，逗号四根五减五，背后一共有着三种情况，大家别忘了啊。而这个的话，第二问相较而言计算量稍微大一点，那接下来我们再来看第三问啊。首先 心里你得开心，开心什么开心呢？你第二问计算量已经这么难了，那第三问他肯定在一定程度上会稍微弱化一下难度嘛来结果不相信的话，我们就看看啊。第一个 e， e 是 哪里哎， e 是 bc 的 那个直线上的一个点，那我们再把 bc 拿出来， y 等于负二分之一， x 加三。呦， 那然后紧接着这样的话，这个一点坐标我可以给你设上坐标，比如说 t 豆，哎，那我给你带进去负的二分之一， t 加三，那按照他说的做是吧？把线段 o e 绕点 o 顺时针旋转九十度，好，顺时针往这旋转九十度，然后这样的话，我们给他找到点，这， 这样，哎，你顺时针旋转，旋转了个九十度。然后，呃，首先我先不管他问题问什么啊， 这个旋转九十度好熟悉好熟悉，而且你这个坐标有了，我可以去推一下这个的坐标吗？ 咋熟悉了？一线三垂直啊，对吧？一线三垂直啊，哎，在垂直的位置横平竖直。因为我是一比一旋转的嘛，所以它不是相似，它是全等，那么 e 的 坐标有了， 这个对应的就是 t， 这里呢，就是负的二分之一 t 加三，来，根据这两个三角形的全等关系，那这里也是 t， 这个线段就是负的二分之一 t 加三，所以这样咱们就可以把 g 表示出来了，那 g 的 横坐标 负的二分之一体加三， g 的 纵坐标，那纵坐标就是这一块，但一定注意，负的负的，负的线段长度是正的，但是你在第四项线，他的纵坐标肯定是负的啊，所以，哎，那他就是负梯喽。那 g 的 坐标有的时候这个题问， 哎，问 a j 的 长度最小值，哼哼，我可以干嘛呀？我可以两点之间距离公式吗？因为 a 的 坐标有啦， 负二负零，所以来我们演示一下， a 是 负二负零，然后 g 的 点坐标也被我们发现了，负的二分之一 t 加三，逗号负 t， 那 咱可以怎么样啊？ 表示出来，哎， a g 的 平方，哎，就等于横坐标相减的平方，负的二分之一 t 加三，减去负二，那就再加个二 啊，加上纵坐标相减的平方，是不是？那所以我们可以给他化减出来嘛。那这个地方加二加三，就是加五， 四分之一 t 方加上二十五，然后减去五 t 加 t 方合并一下，四分之五 t 方 减五， t 加二十五，那然后人家问他的最小值，这不是一个开口向上的抛物线，那最小值就是我们要对称轴的时候最小呗，所以 t 等于负的二 a 分 之 b 是 吧？那也就是相当于五除以二分之五，那你想五乘五分之二， 也就七等于二的时候，它会最小，那最小我给它带进去是吧？最小带进去，那么也就是四分之五乘四，减去二五一十加二十五，所以它的最小值 这不就算出来了？但是我们一定注意，这个算出来的最小值是 a j 的 平方的最小值啊，那这个题问你长度的最小值啊，一定注意开方，别忘了最后一步，那么 根号下二十，哎，那么最小值二根五出来了是吧？好，那么接下来这是，嗯，二次函数，但是你明显这个题就是第二问 他因为计算量大，会稍微砍你一下，以至于第三问你就不看了，你就那个心态就是有点崩了，是吧？所以大家一定记住，就静下心来嘛，你比方说当我看到四次的能解啊，那他两边都会被相约嘛。呃，然后如果中间计算量比较大的话， 第三问说明稍稍放水了是吧？好，那么接下来这是我们抛物线这个大题啊，今天给大家讲到这里。

二零二六年中考数学二轮复习培优专题而函数代数综合来一起来看这一道题啊！ 已知抛线 y 得负 x 方加 b 加 c， 经过点 a 负一点。 那第一问啊，若抛物线经过点 b 二三，那第一个求抛物线表达式。那第二个，若抛物线上的点 m 在 直线 ab 的 上方，且当 t 大 于零时，求 m 范围。 那么先解决第一问吧，求表达式。我们利用带点式法，所以我们将 a， d， s 负一零，还有 b， d， s 二三码这个代入。呃，抛物线 y 等于负 x 方加 b， x 加 c， 那可以得到关于 b c 的 一个方程组，那负一零代入是负一解， b 加 c 等于零，二三代入是负四加二， b 加 c 等于三。那我们进行解方程。先消元 字母 c 系数一样，两式相减，我们用下解上号两个就是负三加上三， b 等于三，所以解出来 b 等于二， 然后带回去带第一个，负一减二，负三，负三加 c 等于 c 等于三，所以表达式 y 等于负 x 方加二， x 加三。 那第二个讲到抛物线上的点啊， m 呢？它在直线 a b 上方，然后 t 二大于零，求 m 上，那相当于我们先做图像好了。 那根据题目意思啊，它这个是开口向下嘛，二次向西数负一的小于零，然后呢，经过与 y 的 交点是零三， 然后又经过点 b 是 二三。那其实你有对称性啊，这两个坐标都等于三嘛，那它的对称轴应该是 零跟二的正中间嘛，其实就一嘛。那你一带一下，可以算出来，当 x 等于 y 等于四的，其实就是它的顶点坐标了，然后再将它沿下去，左边有一个 a 点是负一零嘛？ 那有对称性，对称手是一，右边的自然有一个是散了，所以剪图是这样的。好，然后再来看抛物线上的点， m 在 直线 a b 上了，大家把 a b 画出来， b 点是二三嘛？标记一下，那么将 a b 连起来先，而且 t 又要大于零， 并且在 ab 上方，那 b 点横坐标是二吗？所以我这个 t 的 值啊，其实应该是大于零要小于二，并且 mt 是 存在关系的， 将它带到抛物线，所以有 m 就 等于负地方加二， t 再加三， 然后并且这个 t 是 要大于零小于二的，所以相当于是已知自倍量和对应关系嘛，求函数值范围嘛，那么简单，配方一下， 从图也可以得到了。顶点是一四吗？所以是负 t 减一，扩大平方再加四，那么他在一的时候取得最大值四吗？ 所以首先 m 是 小于等于四，然后呢？零根二位置啊，它对应函数值都是三，但是它这两个端点取不到，所以它应该是大于三， 所以第二个相当于是已知对应关系，跟自变量去求函数值差 啊。那么看到第二个啊，这个是第二个。第一小题第二小，如果抛物线与 x 轴的另一个交点是 c 啊，与 y 的 交于多，那你证明 c 轴等于根号二倍的 b 加 e 的 绝对值。那这里注意一下， 我第一题用过的，是没法用了，对吧？ b 点二三用不了了，那我们看下如何写。那首先点 a 还是可以用的，所以我们继续带，因为这个是题干嘛？ 所以把 a 点带入抛物线， 那么先来带一下，所以是得到负一减 b 加 c 等于零， 那稍微整理一下， c 是 等于 b 加一的，那么这个时候就可以消掉一个字母了。所以抛物线表达式是， y 等于负 x 的 方加上 b， x 再加上 b 加一，那然后再来看 c 跟 d 的 一个关系。 那先解决点 d 嘛， d 是 与 y 的 交点，那相当于令 x 等于 y， 所以导点坐标就相当于是 x 等零，然后带入以后， y 是 得到是 b 加一的， 那另外一个是要解决这个点 c 问题，因为它最终要求 c 到长度等于根号二倍 b 加一绝对值。那我们来写一下 c 点的函数表， 那第一个我们来看啊，其实由于点 a 还有点 c 是 与 x 轴交点，那可以看的是方程的解， 所以我们由负 x 方加 b， x 加 b 加 e， 等零可以得到 那么有 g 点的函数表 x， c 加上 a 点函数表负一， 根据系数关系就等于负的 a 分 之 b 相当于负的负一分之 b， 所以 就是 b 嘛。所以得到 c 点的函数表就是 b 加一，也就是 c 点坐标就是 b 加一零。好，那这个时候 c 到两点间距离就可以利用勾股定律了。我们再从上节来标一下嘛， 就等于根号下 o， c 方加 o 多方了，其实就等于 b 加一的平方，加上 b 加一的平方， 再开根号，那整理一下，等于两倍括号 b 加一括号平方，那开出来前面是二，那后面根号 b 加一方式等于 b 加一的绝对值， 所以我这个长度就算出来了，直接利用勾股定律就可以了。 所以第二问啊，它其实是跟方程结合嘛，考察二次函数跟方程关系了。

咱们来看一下昨天的第二个第二个题目，最后一问有难度啊。嗯，百分之九十九的同学做了最后一问的时候，真的是可以直接放弃的三分，毫无意义啊，性价比极低。如果前面 一个半小时，保证前面全对， ok， 花半小时研究一下没有问题啊。但是在这里，嗯，对于大部分同学来说，完全没意义了。但是我们可以讲，第一题， o， a 是 二， o， b 是 六， a 在 复半中负二零， b 六零， ok， 直接代入两个点，可以求出来。解析式，第一问结束，第二问不可以不要错 点 d 的 横坐标是 t， 直接带入到抛物线当中，可以写出来 d 点的动作表。 b 点坐标有了， c 点坐标零三 bc 这条直线有了，可以求出来。是 y 等于负二分之一 x 加三，把横坐标 t 带入负二分之一 t 加三，直接用点 d 的 动作表减去点 e 的 动作表，可以得出来 d， e 的 长度是它 好。第二题的第二问，等腰三角形，三角形 c、 d、 e 等腰三角形分为三种情况，因为我不清楚谁是底边。比如第一，以 c、 d 为底， 那 c， e 等于 d e， 第二，以 d e 为底，一共有三种情况， cd， 这是第一种，这是第二种。 cd 等于 d e， 第三种就是 c， e 等于 cd， 一共是三种情况。在这里最好用的办法就是两点之间距离公式分别， c 点坐标零三，一点坐标已知， d 点坐标已知。 根据两点之间距离公式，比如说我们写一个 c， d， 就 等于根号下 t， 方加上一个三减三，没有了负四分之一 t 方加 t 的 平方， c、 d 就 等于把它化简出来就可以了。方加上 十六分之一 t 的 四次方，加上减去二分之一 t 的 三次方， 再加上梯方，然后进行化简。这 c、 d 的 平方可以写个十六分之一 t 的 四次方，减去二分之一 t 的 三次方，加上二梯方， b、 d 的 平方就等于都有先提取公因式都有它。十六分之一 t 方，减二分之一 t 加二进行推方就可以了， 计算量非常大，非常大，每一个都要这样写出来。第一，第一在已经知道，第一在这里是负四分之一梯方加二分之三 t， 负四分之一梯方加二分之三 t 啊，你还需要算一个 c e 的， c e 的 在这里是根号下 梯方，四分之一梯方，这个简单，二分之根五 t， 只有 c、 d 比较难办， c d 比较难办，去化解一下，分别根据三种情况去计算。 然后来咱们看最后一问，可以吧？最后一问啊，在这里。第三问，很难啊，很难，还是动点问题来连接 o e， 连接 o e 之后按顺时针旋转得到 o j 连接 aj， 求 aj， 在 这里我们求最小值，依然是给你讲过的 最小值，两种两点之间距离公式，点到直线的垂线段最短，在这里来考察的是垂线段，但是很难，最后你很难得到它，最终是考察垂线段的，我来看到底是怎么回事，谁是重点呢？点一 这一步就把很多人给难倒了。第一，我如何把点意去构造到我想要的那个三角形当中来看？这里 在纵坐标，因为 d e 始终都是一个动点， o e 始终就是动点，那 o e 它是哪里的动点呢？我可以一直连接。连接是啥呀？点 e 是 沿着 bc 运动的，也就说我需要先构造和三角形 b， o c。 全能的是谁呢？在纵坐标，在纵 y 的 负半轴找到一点 n n 零负六，也就是构造出来的长度和 o b 的 长度是一致的。 连接 n g 并延长交于 x 轴与点 m， 也就是说，三角形 b， o c 全等于三角形 m o n。 这个三角形是全等的。也就是说，我点 e 在 b c 上运动，那点 g 就 持续在 m n 上面的。我要找的 a g 的 最小值，什么时候最小？ a g 垂直于 m n 的 时候最小，很难把它构造出来啊！构造的是全等，很难啊，很难， 我们要着眼于大的方向。有的同学呢，喜欢构造小的，比如说它为什么去找到这个点 n？ 是 因为它构造出来的 b o e 和 c o b， o e 和 o g n。 也就是说两种情况，第一个，还有一个是三角形 b， o e 全等于三角形 n， o g， 这两个都可以。我认为构造大的是更好构造的啊，构造大的是更好构造的。那么 a g 垂直于 m n， 我 们就需要去找出来 a g 的 长度最小值吗？那 m n 好 求吗？ m n 好 求， 因为 o c 是 三， o o m 就是 三，所以 am 长度是五， m n 也可以求 m n。 在 直角三角形 m o n 当中三倍的根五。用什么方法去求点到直线的距离呢？等积法，等面积，三角形 a m n 的 面积等于二分之一， a m 乘以一个 o， n 还等于二分之一， m n 乘以一个 aj， a m 是 五， o n 是 六， m n 是 三倍的根五。 ok， 就 剩了 aj 了，可以求出来，懂了吗？构造全等法很难啊，这个题啊！