数学八下一次函数正比例函数的画法！

要一起学习过函数的表示方法，函数有哪些表示方法？ 一、函数表达是一种表格法，它有一项请做。当我们知道函数有表示方法有三种，其中 图像法很直观，对不对？他能够清晰的呈现两个变量的变化规律，那么今天 我们就要开始研究函数的图像。首先研究一次函数的图像， 依次函数 y 等于 k， x 加 b 化啊， k 不 等于零的图像。 为了便于快速的宝物 一次函数图像的规律，我们先选一次函数当中较为简单的正比例函数，先来研究。今天我们先研究正比例函数的图像， 正比例函数 y 等于 k， x， k 不 等于零的图像。 为了更加方便，我们先选择一种最最简单的正比例函数来研究。那最最简单的正比例函数，你认为是什么样的一个表达式呢？ y 等于 k， x。 我 们先研究一下 y 等于 x， 然后再去研究 y 等于 r， x， y 等于负 x， y 等于负 x， y 等于负 x， 对 不对？好的，请坐下。那现在我有个问题， 什么叫函数的图像？ 作为一个回忆，大家都知道，图是有点生成的，对不对啊？图是有点生成的， 点生成图啊。 那么函数的图像是怎么生成的呢？它是用什么样的点来生成的呢？ 这个点是怎么来的？这个点是以自变量作为点的，是吧？ 横坐标相应的函数值作为其重坐标，这样我们就得到一个点，对不对？ 那么字一样的取值可以取若干个，对吧？因此这样的点就有若干个，对不对？就若干个，典型的图就是函数的图像了，理解了吧。行，请做一下。那么第一个小问题，请问 函数 y 等于 x 的 图像上的点，它的坐标有什么样的特 征？函数 y 等于 x 的 图像上的点的坐标有什么特征？你可以回到，你要回过它去讲，对不对？ 你就说点的坐标有什么特征，我没有问几何特征， 你看这个点是怎么来的？点的横坐标是质比量重，坐标是它的函数值，你想一想我的我的质比量。取一函数值是几啊？ 取二函数值二自变量。取三三函数值三自变量取一万，函数值一万。请问这条这条 函数图像上的点的坐标有什么特征？坐标特征什么特征不对？说的好啊，横坐标等于纵坐标，对不对？我还没画图呢哈，他说横坐标等于纵坐标， 再根据前一段时间的学习说，如果是说说，说什么样的那个那个点的坐标变换什么什么什么。呃，很坐标等于中坐标呢？是哪个线上的？我都忘了 啊。哪条线上的？这个这个 点的横坐标等于中轴位呢？是哪个角平分线呢？一三相线？一三相线角平分线上的点的横坐标等于什么？中轴位？那现在综合这些信息，你现在做出大胆的猜想 一次啊，这个正比例函数 y 的 x 的 图像是长得什么样的？ 不敢说。过远点的 直线，你还可以说的更具体一点，过远点还过第几项线？一三一三项线对不对？过远点且过一三项线的直线。 你还可以去说的具体一点，其实像这个更加特殊，他就是一山向心的人嘛，对不对？平分一山向，请坐。好了，那么说是说了，具体怎么玩呢？请看黑板 来，小朋友，刚才是先研究点的，那么就刚才研究点，所以呢，我现在取值取负二，负一零一二，左边省略号，右边省略号属于什么？ 说明还有无穷多个数没取啊。四十三，实际上这个之间也是三十号啊，这之间负二和一之间没没数的，还有好多数啊，我没取，对吧？是不是它当中也有好多数？我们先取这个五个典型的，然后算一下 口，算出来，说明我取了几个点， 五个点，五个点的坐标分别说出来，负二，负一，负一，零零零一二二，那么把这个五个点一秒 描出来了，他说一连，这不行，这咋可以连呢？我现在就描五个点呢，你怎么可以连呢？你为什么可以连呢？哦，还有其他的点还没描呢，对吧？那行，那我说还有其他的点没描呢， 哎，其他的点在哪呢？其他的点可以吧？可以，为什么可以复制？ x 有 负 y 等于负四啊，对不对？ x 有 负 y 等于负，这个点还还有好多，对吧，是不是？哎，还有好多，这些点有什么共同特点？ 我不是，我坐标了，我说这些点有什么共同特征，好像在 我们还深深的知道这两个点之间还有若干个点，对不对？是不是？这些点是不是也在这个线上呢？ 你想一想，是不是 x 取二分之五二点几， x 取一点二，五二点多，少一点二，那也就是说在这两点当中还塞满了无数个点，对不对？ 特别是一样的吧，因此你可以做到大胆的猜想， let me。 一 次函数的图像，一次函数 y 等于 x 的 图像是什么样的形？ 好，所以下面我们干了一件事情，把它连起来， 你连起来就说明里面的点全出来了，对不对？懂了吗？请坐下，我们得出第一个重要的发现。 重要的发现是什么呢？是它的图像 四一条过不过远点啊？过啊，零零吧，对不对？过过远点啊，直行 留意哈。那么下面归纳一下我们画函数图像的一般的步骤。第一步，你在干什么？ 干什么？没有啊，往前跑了。不是列了个表吗？对不对？列了个表，第一行是自变量取值对不对？然后算函数值是不是？所以第一个步骤， 画函数 图像的一般步骤，你也干什么？ 列表，列表是目的是为了呈现 x 和 y 的 什么关系，对不对？省略号，省略号，省略号中间取几个对不对？ 列了表了，关系也成仙了。根据这个表就可以得到几个点的坐标，对吧？好，根据这个坐标呢，就可以去描出点了。这第二步是描 点，点描出来了以后呢？还要进一步的分析，这图像就这几个点吗？ 质比量就取了几个值吗？质，质质比量就只能取了几个值吗？不是， 只是你取了几个。其实还有无穷多个是吧？但是无穷多个具有共同的特征，都在这根线上，是吧？所以我们把它连成一条直线，所以第三步连线 沉了，三步倒下了，咱们走了，不玩了。好，小朋友， 下面有一个问题没有回答，来，一起读，减 a 负三点五，负三点五， b 三四是否也在函数外的原来的项上成立？ 你看，你看，他在干什么？他已经把这两个点描好了，对吧？一看一个在上面，一个不在上面，你观察一下他这个判断的方法叫什么方法？ 哎，你看不知道这个点在不在图像上吗？点是否在函数图像上？ 一看看出来了，把。这个方法我们称之为叫 描点法，一般描出来的话对不对？描点法，但是有个前提。描点法有个前提？什么前提啊？他有图像啊， 对不对？小朋友，他有图像，前提他，他没有图啊，他没有图，你描图啊，对不对？他前提他已图像已经有了， 所以描嘛，我精描嘛，对不对？当然描也有缺点，描有近视啊，对不对啊？你放大一万倍发现不在旁边玩是不是？那么还有一个数学上面还有精确的方法， 今天教你一招，你得好好学习，不然不教你的。来，我要教你一招。教这个来啊，你看好了，后面 站起来。傻孩子嘛姐，老铁们， 我这样的哈，横坐标是负三点五，对吧？ 我当 x 等于负三点五十，我用这个函数来算一下函数值，代入 y 等于 x， 我 就得到函数值等于多少。 这个这叫函数值，对不对？这叫众数标，对不对？ 你看啊，同样数字角色不一样哈，又不叫函数的一个重读标，结果这个函数等于重读标，说明什么？ 所以点 a 负三点五，负三点五，再图像，再再 在 y 等于 x 图像上，对不对？图像上，那么下面你说我写 当 x 等于三十，代入 y 等于 x， 得 y 等于三十，跟那个跟那个中注标不行， 不等于中。杰瑞，你站起来，女生女的看老三们的看我就对了，上课。所以点弊不在 直线 y 等于 x 上耶，它的图像就直线吧，那就是直线 y 等于 x 也可以哈，你说一次函数正比的函数 y 等于 x 也行，说一次函数 y 等于 x 也行，但是我说直线 y 等于 x 更加形象。直线吧，好会判断了啊。嗯， 我刚才在判断的时候我看这里了吗？我瞄了瞄了瞄了一眼， 算，所以此方法算一下计算。 那么现在就开始计算法。他是他一般不都是什么第一步干什么？代入谁代啊？ 带水啊。对，韩带自带。自带自力量带还不如韩带是吧。韩注标。那是韩注标啊，韩带 恒代算什么算什么？算重的吗？算函数值，你这要搞清楚。所以上课要听啊，要认真听啊，我这里面都不一样的，恒代算函数值，算成函数值跟谁比？ 哎，函数值与纵坐标去比比比。这有两种结果，一种是等，说明 在在不等，不在不在，你看 等与不等是数的关系，对不对？是数的关系，在与不在是形的关系对不对？你看我通过数来判断形， 有话你的位置关系点在不在线上，我就可以通过等与不等来判断。 数学神奇就在这，看似简单，你能想的到？好的孩子们继续 继续了。 这个也玩过了，来什么也不来。我是看错了，除了这一眼就最简单了，不过来稍微来一次错。 y 等于 r x， r x 负 r x 对 吧。那是例表嘛，对不对？通常取几个点？刚才一个，两个， 两个加数，刚才取几个？五个。那么你要取的时候你先看看自比量的取的范围啊，它的范围可以取一切是吧，但是有时候不一定好，有的函数不一定啊，函数还是可以，对吧。 好的，一切实数。那当然你就随意取喽，你可以取几个代表性的？这个这个这个，还有个你这个，你这个列表的时候你这个取成几个数？还是从表到大排？不是重组方优惠不大吗？是不是？好的，这个也不说来列表了， 都会啊，算你们会了。然后，嗯 哇，现在你看一下。先看什么？刚刚才好像结果都是一样的，他也是一条人啊，也进步圆点对不对？对， 这是不是可以很富于结论？慢慢，难怪现在这也是条直线。进步圆点的直线走走啊， 来开始归纳可以吗？特殊到一般嘛，对不对？哎，来一起读一遍。 正比函数向下相反的，正比函数 y 等于 k， s 变为函数 k 等于零的值向是一条经过原点的直线。 那么至于经过一三相距还是二四相距呢？请听下回分解。我们这里不说。对，我们现在得到正比例函数的图像是一条经过原点的直线对不对？是不是 事实上大家现在已经知道了，你看刚才那个 k s 一 的时候是经过一三项链， k s 二的时候经过二四项链。 好了，下面到这里了，小朋友 刚才是取了几个点画的字形，当你学了初一的时候，你深深的知道 两点就可以确定一条主线了，你看到五个点活活度了三个点，有必要吗？没有必要，所以规范一下正比例函数图像的画法来和他说话。 正比例函数图像他是条直线，因此他的画法只需取几点，所以我们把他的画法称之为叫两 暴力智商了。哈哈哈哈，是干到两点，五点，五点减到两点，这就是说两点确定到直线吗？那你还大惊小怪的智商有 多高？ 好，那下面能不能交流一下取哪两个点比较合适？哎，你看小朋友，他一下子说他取个零点，都过零点嘛？都过零点，零零，再取一个点，你看取哪个 横坐标，取个一纵坐标马上就得到了吗？ k 是 不是好的，但是具体取第二个点拿什么取？还看具体情况来，小朋友，看，这里 三个函数在同一坐标系内，那么我们例表首先就是一个大的表了，你看我这样一根横线， 这个是 x， 省略号，大家都知道这一周期 函数表，这里要取零嘛，这边取一一一，我不写，我等一会你看就知道了。 来，第一个函数 y 等于 o x， 来，小朋友，是不是省略号省略号。第二个函数 y 等于负 x， 一 根横线不够再来 是吧？ y 等于负二分之一 x。 小 朋友，来来来来 来来，来了好了，来，先把第一个说出来，这个求零，这个角零，函数值零，函数值零，现在这个求几 一，这个取一差多少？二二，这个这个 负二，负二分之一。负二分之一是这里的整点吗？不是，横坐标，纵坐标都是整数点，好瞄啊， 对不对？不是整数就不太好瞄了。那你能不能选个整数，瞄一下都多好啊。那你能不能选个整数，瞄一下都多好啊。所以对于本题而言，由于塔 确定了，我选择啊，理解了吧，只有体现了灵活性好，那么算一下结果多少？四，负二负一。 来先我们先画第一条直线，第一条直线上有两个点，第一个点是他，第二个点来 描第二个点，第二个点做不要做出来，看这里二十来描，看到描啊， 你的详色社会主义制度的 u 性。 约好了啊，两个点约好了，哎，好了就就好了，立定慢走， 谁先停留啊。两点好了，我就说这个点在图像上，这个点也在图像上，而且我们知道直线点的这个图像是直线，对不对？那我这个图像啊，我划出来了，过这个两点画一条直线还是线段呢？ 直线，直线，然后我过两点画的直线，不能画线段啊，对不对？像这样的直线，本题应该有几条啊？三条，这是谁的 y， 把它写在边上， y 等于 o， x 会完了吗？来，回到位置上，大家快速完成第二根，第三根， all go ahead， sir call a t o k。 嗯，画的都好啊，画好了，对吧？我们一般在下面继续完成，来往上走，画第三个图 好了。美啊，好漂亮啊，对不对？三根线出来了啊，红绿蓝啊，出来了， 没问题吧？农业坐标心里画出来的，你看好，你自己看。这一根经过一三相线，经过圆，同时这三个直线都经过圆点，这两根都经过二次相线。这两个有没有共同特点？ 它的功能特点就是在式代数式上嘛，就在这函数上面。函数的区别在哪里啊？就在那 k 上面嘛，这两个 k 都是负数，这个 k 是 正数。好，已经透露激烈了来，同学们刚才体会了 正比例函数图像的画法，我们将这个画法也取个名字，哎，这个名字是函数图像的通法，这个叫描点法， 此方法把它定义为描点法。将来你画反比例函数图像，画二次函数图像，均用圆点法。 直线是很特殊的，你画两个点，其他的图像两个点肯定不行了，你想一想对不对？是不是 只有两点确定直线的，那么图像不一定全是直线的，是不是曲线有两点行吗？肯定不行啊，所以我们今天学的是最最简单的函数图像好了两点，而且今天这个点还经过圆点， 特别的特殊。好了，各位同学请看黑板，看这里，这边少。我刚才为什么没有划出来，我还不知道它的图像的形状，现在同学们，你告诉我图像是长什么样子 的？是条直线。哎，现在我来了。 完整的题目呈现了正比例函数 y 等于 k x k 的 一个图像，如图所示，经过点 a， a 读了四一，求正比例函数的表达式。要判断这两点是否在图像上先快速完成。 引词栏上后面记住 前面没粉的那笔没有粉的吗？有没有那笔？有没有，有没有？有！去哪 复古了一次，我看又慢了。般配 写上作业本几啊？作业本三写清楚， 下一次乱写一泡。不认真。我继续把你扔到垃圾桶里去你知道吗？你现在垃圾桶待了一个晚上了， 此时此刻是重生知道吗？哈哈，不要再动腰子。 腰腰子 计算法吗？是在这，在这还行，很带算函数。 对呀，那方法你要记住的，上课记不住要背啊， 很带对 横带进去代表函数表达式，横作为横，竖不要作为质比量值代表函数表达式。算函数值。 再向上再干 啊， 感冒了 别问， 有问题吗？ i want to show you， how to do it？ 我们来看看啊。李子涵同学给这个题目来解读说，如图所示，当 x 等于四十， y 等于一，就是根据这个坐标，我们就知道自变量取四的时候，函数值是一对吧， 然后就带入到函数表达式，说的 k， 这叫待定系数法，我的学的要点对吧？待定系数法，求函数表达式，这个 不仅仅求真比例函数，求一次函数，将来求反比例函数，求二次函数，求什么函数？嘿，常用的方法，待定系数法，当然前提知道这个函数的类型 是吧？你都不知道函数的形是正比的，反比的好，算出来了，然后判断两个点，在这个图像上，我们用的是计算法， 计算法的要点是这样的，别走乱了。有人说，老师我把这个点带入，哪位老师教你？我没教过啊，不是把点带入， 不是把点带入啊，你又不知道点在不在上面，你怎么敢带入呢？在才可以带，对不对？像昨天那个点，像这个点就可以带入，对吧？是不是？那这个点在上面，那当然也可以带入，那这个点不在上面，你敢带什么呢？所以我们怎么带的看我们怎么带的，看怎么带的。 横带，把横注标带入。算，不是算重度标，算的是函数值。函数值算出来怎么样？跟重度标比， 如果等就在，如果不等就不在，学会了吗？林子涵，现在不用再看立体了，对不对？嘿，在这里好了，今天学习的主要内容是，今天揭示了什么正比例函数的图像的 长什么样子，来归到一下，长什么样子，过圆脸的。 那么今天在它的过程当中得出画函数图像的一般方法是三个字，描点法。 这是一般性的函数，所有的函数都可以用描点法来画。描点法三步骤，一列表，二 两点三连线。但是今天的函数图像比较特殊，是条直线，因此他有特殊的方法。正比例函数图像 直线的话，两点法。

那么接下来呢，我们来看一下图像，那图像的话，我们先从最特别的开始看起，也就说我们从正比例图像开始看起来看一下，那我要研究图像，我得先绘画图，我要画一个函数图像来需要哪几步？ 其实一共就需要三步，我要给它列表秒点连线，那我们从这个以它为例子，我们来走一遍，好吧？首先呢，来列表，来列个表， x 和 y 对 应的值给它列个表，列完表之后，哎，我就要找点了，比如说我 x 取负一的话，那么 y 就是 负二， x 取零的话， y 等于零， x 取一的话，它就是二，那么给它把这几个点都给它列出来。列了点之后呢，我知道这些点呢，都在图像上，那我把这几个点在图上给它找出来呗。 ok， 找到点之后，那我用给它直接连线，那么这条直线呢？它就是 y 等于二 x 的 它的一个函数图像。好， 我知道他的图像之后，那么通过这三步，我就能够画出来所有函数的图像。能不能想啊？那包括接下来我们学了二次函数，其实画图也是这个思路，那么这块你想明白之后，我会画 y 等于二 x， 那 同理，通过这三步我是不是也可以画，比如说 y 等于三分之一 x， y 等于 负五 x， 这些图我都是能够画出来的。好，那这几幅图你可以自己画试一下，画完之后呢，你会发现，哎，这几幅图里面，它 x 变的话，它的对应的 y 值是会跟着变的。 ok， 在 这几幅图里面， x 发生变化的话，对应的 y 值是一定会发生变化的。好，但是呢，哎，唯一不变的一个点是啥？ 你会发现呢，不管 x 咋变，它永远经过零零这个点，那么它既然经过原点，哎，也就说，正比例函数的图像呢，它是一条过原点的直线，而我们又知道两点呢，是能够确定一条直线的。 两点，确定一条直线，他永远过远点。哎，那我要确定一条正比例函数的图像的话，再需要几个点，那只需要再来一个点呗，有一个远点，我只需要再来一个点，我就会画图了。理一下这个思路， 通过画图呢，我发现所有正比例函数的图像呢，它是必过原点的，而两点呢，又能够确定一条直线，所以说，除去原点之外，我只需要在一个点，我就能够把这个图像给他画出来。好，会画图之后呢，来看一下，会画图之后呢，二 x 我 就可以重新画了。 除了原点之外呢，再来一个点呗，比如说，我就取一一二一逗二， ok， 这个点一瞄，哎，这两个点，我就能够把图像确定下来。图像定下来之后来，你再想，这条直线，他会随着 x 的 值的变化而变化吗？ 显然不会，为什么，因为他这个图像是由解析式确定的，那么解析式定下来了之后，就相当于图就给我定了。 ok， 解析式呢，它是不会发生变化的。解析式定了之后，图就给我定下来了。那我就要想，哎，那到底谁在影响着这个解析式呢？那么太直接了，显然就是它的解析式呢，就长这样子， y 等于 k， x， k 是 不等于等于零的，唯一的一个参数就是 k 吧。 ok， 唯一的一个参数就是 k， 也就说我们接下来要研究的是，哎， k 到底是如何影响图像变化的？这是我们接下来学习的目标。 ok， 目标明确之后呢，哎，我要研究 k 是 如何影响图像变化的，那我就多选几个不同的 k， 我 把图画出来吧。 ok， 我 就把图画出来，那我们一起画一下， 首先呢， y 等于二 x 刚刚已经画过了，那么 y 等于 x 的 话，过远点，我再取一个点，那么就取这个一到一吧， 那么能够确定下来，这是 y 等于 x。 好， y 等于负二分之一 x 的 话，那我取负二，就是一百负二逗一，然后过远点， y 等于负的二分之一 x， 然后还有 y 等于负三 x 负三 x， 那 我取负一逗三 负一带进去得三，那么这个点就是 y 等于负三 x。 ok， 抛开原点之外，我只需要再来一个点，它的图像，我就能够给它定下来。好，图画完之后来，你看一下， 在这几幅图里面，我能不能看出来这个 k 到底是如何影响图像变化的呢？这里呢，其实给的还是比较直接的，你会发现黄色的两条线呢，它俩的 k 呢，对应的是大于零的，而绿色的两条 k 呢，对应的 k 呢，它是小于零的。 哎，那么他俩显然是不太一样的，所以说我就把他俩单独摘出来，我们看的更清楚一些来看，那么在这幅图里面呢，哎，显然 k 是 大于零的， 在这幅图里面呢， k 呢，他是小于零的。好，那我们就来对比一下这两幅图，哎，到底有啥不一样的？来，首先看到啥了？那么比较明显的是他们的位置不太一样， 这里 k 大 于零的话，你会发现，哎，这个图像呢，它永远是在什么？永远是在一三象限， k 大 于零呢？首先我发现图像呢，是在一三象限， ok， 而小于零的时候，那么图像呢，只在二四象限，这是我们一眼能够看出来的。好，来，再来， 象限确定之后，那么再进一步你会发现呢？哎，这里 k 大 于零的时候，这个图像整体走势是 向上的，能不能感受到走势是向上的？走势向上的话，你会发现 x 增大的话，对应的 y 也是增大的，也就说走势向上的话， y 是 随着 x 的 增大而增大的。好，那么再来，那么走到这幅图，哎，那我对照前面我总结出来的，我就可以写了。那么这幅图呢，显然它两条函数整体都是走势向下的。 ok， 首先走势 是向下的，走势向下以及 x 增大的话，你会发现 y 是 越来越小了，也就说这里呢， y 是 随 x 的 增大，它是减小的， y 是 随 x 的 增大而减小的。那么走到这里呢？对于它，哎， k 大 于零和 k 小 于零，我就能够总结出来比较明显的特征。首先 k 大 于零的话，它是在一三象限走势向上， y 随 x 的 增大而增大， 而 k 小 于零的时候，首先呢，在二四象限走势向下， y 随 x 增大而减小，这是我们一眼能够看到的。 ok， 那 么除了正负之外，你想一下， 除了 k 的 正负之外，还有其他哪些因素在影响着这个图像的变化呢？那我肯定还要考虑一下，哎，有没有什么？有没有大小？ k 的 大小是如何影响图像变化的？那这个大小的话，我就要单独分开看了来看一下。那么比如说在第一幅图里面，在第一幅图里面，这是 y 等于二 x， 这是 y 等于 x， 那么这个 k 呢？显然是大于它的。那你看一下这两幅图怎么样？那么这里它 k 大 的话，哎，这条函数大的这一条呢，它显然是越靠近 y 轴的，它越靠近 y 轴，也就说，哎， 它的这个函数，它是函数，图像，它是越陡的，能不能想来，它越靠近 y 轴，它是越陡的， ok。 而反过来再来看这里， 那么这里呢，谁大？那么显然是负二分之一更大的， ok， 而负二分之一更大的话，它，哎，它是越缓的，而这个负三，它是越靠近 y 轴越大的。 所以说我们可以统一一下，我们可以看看吧，我们可以直接去看 k 的 绝对值，也就说，哎， k 的 绝对值它越大的话，显然这个图像越靠近 y 轴，它是越陡。 而在这幅图里面，是不是也是如此？在这幅图里面，陡的，这个陡的，这个它的 k 呢？是负三，它的绝对值更大一些。绝对值越大，图像越靠近 y 轴，它图像越陡。好，那我们来总结一下，也就说 k 呢，它的大小是如何影响呢？它是绝对值越大， 它的图像是越陡的。我们再来理一下这个思路，走到这里呢，我要去研究这个函数的图像到底是谁影响的？那么解析式呢，就是 y 等于 k， x 能显示只有 k 呗， ok， 明确了，只有 k 影响，那么 k 到底如何影响呢？画几个图看看。 ok， 我 就只能画几个图瞅瞅。那么通过画图呢，发现，首先正负是有明显的区别的，那我就把正负画了两个图吧， 正负给他画了两幅图，那么首先呢， k 大 于零的时候，最最直接的，我一眼能够看到的只在一三象限，只在一三象限。还有就是，哎， k 呢，图像呢，走势是向上的， 走势向上， y 是 随着 x 的 增大而增大的，而 k 小 于零的时候也非常直接。那么首先呢，在二四象限走势向下以及 y 是 随着 x 的 增大而减小的， ok， 这个里正负带来的影响是我们一眼能够看到的，那我就在想一下，哎，还有没有其他因素呢？那么显然， k 除了正负还有它的大小。那么来看大小的时候，在这幅图里面，哎，我发现 k 大 的这条线， k 大 的这条线，它是越靠近 y 轴， k 大 的这条线越靠近 y 轴，这个图像是越抖的，能不能感受到？而这里呢，我发现越抖的这条线，它反而不是 k 大， 它更小一些， 但是呢，他的绝对值越大，所以说，哎，我们可以总结出来，那 k 呢？他什么？他是绝对值越大， 图像是越陡的，来个框架理一下。首先呢， k 是 如何影响图像的呢？我们可以分为什么，我们可可以分为正负和大小，那么正负的话，哎， k 大 于零， k 小 于零， 我们就来填空来看一下， k 大 于零的时候，我们发现呢，图像走势是向上的走势向上以及 y 是 随着 x 的 增大而增大的， y 随 x 增大而增大，并且再进一步，我还知道，最最明显的，我还知道它是在一三象限， ok， 那 么对应的， k 小 于零，它的走势是向下的， y 是 随着 x 的 增大而减小的， ok 以及呢，它是在二四象限， 这是他的正负，带着正比例函数的影响，那么再进一步，你会发现他的大小也同样影响着他大小，如何影响呢？他是大的，角是绝对值，越大， k 的 绝对值越大。 然后呢，他的这个图像是越抖的，图像是越抖的。 ok， 我 们给他列出来了。那有人又会问了，哎，我把这个总结出来，到底有啥用呢？我们来看一下他到底会咋考，比如说来看一下，比如说，哎， 他给了这幅图，给了这幅图，他让我们去判断 y 等于 k x， k 不 等于等于零，他让我们去判断 k 的 这个范围能不能定下来，那么你会发现呢？这里呢，图像是在什么？图像是在二四象限，而二四象限的话，对应的 k 它是小于零的，也就说 已知图像我能够去确定参数范围，那么反过来，反过来来看一下，如果说，哎，我说这个图像 y 等于十 x， y 等于十 x， 那 么能够告诉我这个图是在第几象限吗？那么 k 是 大于零的，大于零的话，它在一三象限，所以说我能够得到它是在一三象限。那么再进一步，比大小的话来看一下，比如说在这里来看一下，这有一条，这是 y 等于 a x， 这有一条， 这是 y 等于 b x。 来根据这个图像能不能得到 ab， 谁大谁小，那显然是可以推的。 ok， 首先呢，我根据 a， k 的 绝对值越大，图像越陡的话，我能够得到 a， a 的 绝对值， a 的 绝对值它是更大的， a 绝对值越大，而且呢， a 和 b 它俩还是小于零的。首先呢，它俩的函数图像呢，是在二四， ok， 在 二四象限的话，我就能够得到 a 是 小于零的， b 是 小于零的。 第二步呢，发现 a 的 这条函数图像，它显然更陡，也就说 a 的 绝对值呢，它是大于 b 的 绝对值的， 所以说我是能够得到 a 小 于 b 的 这块。明白之后，那我们再接着走来看一下，那么走到这里呢？哎，我明白了 k 是 如何影响图像变化的，以及给了图像我能够判断 k 的 范围，那么给了 k 的 这个范围，我能够进一步确定它这个图像的一个位置。 好，这会想明白之后来再来，这会想明白之后，你会发现，哎，我就能够进一步画草图了。但是画草图呢，我也不能随便画呀，我也不能说只根据一个绝对值，我就随随便便画，我还要在不影响做题的前提下，我去画草图。 ok， 所以 说一定是要有一个参考的。那么，哎，我们就用最最特殊的两条图像来给它做个参考，那这两条图呢？我画出来你看一下，那么你会发现 特殊在哪里？那么它俩呢，其实是 y 等于 x 呢？它其实是一三象限的一个角分线， y 等于 x 呢，它是一三象限的角分线，而对应的 y 等于负 x 呢，它就是二四象限的角分线， 也就说它俩的位置呢，我是能够直接画出来的。 ok， 知道它俩的位置呢？接下来我画图就有个参考，比如说，哎，我要画一个 y 等于二分之一 x， 那么首先 y 等于二分之一 x 的 话，它 k 是 大于零的，它就在一三相线，它在一三相线的话，那么它是在 y 等于 x 上面还是下面？那么比大小呗，这里呢？ k 是 一，这里是 k 是 二分之一，那显然它大一些呗，它大它抖，所以说它要 相对于它再缓一些，我给它就画的平缓一些，那就长这样子呗，那它就是 y 等于二分之一 x， ok， 哎，有个参照的话，我这个图能够画的更加精确一些。那么再来，那么紧接着，如果说我要画一个 y 等于 y 等于负三 x， 我 要画 y 等于负三 x 的 话，那么我就要想一下，他在 y 等于负 x 上面还是下面呢？怎么判断？还是要看绝对值吗？ 那么这里显然他的绝对值更大一些，那么他就更抖一些，他更抖的话，哎，那这个图我就可以画成这样子了， 那么他呢，就等于 y 等于负三 s， 那 么这块想明白之后，那我们就来练几个吧。那么首先呢，这里给了个啥？他说这个函数呢，他是正比例函数，他是正比例函数，要满足什么要求？他正比例函数呢？首先 a k 是 不能等于零的，也就说，哎，这一下 m 加一呢，它是不能等于零的。紧接着呢，它是正比例函数，它的 x 的 次数得是一，也就说，哎，这一块得是一吧，那么五减去 m 方，那么等于一，哎，我就能够得到关于 m 的 这两个式子，那我就能够再进一步求解了， ok， 那 我接着求吧，直接求吧，那五减 m 方等于一的话，我能够得到 m 呢，是等于正负二的，这里呢， m 不 能等于负一， ok， 那 你会发现呢， m 呢有两个值，那到底取谁呢？再往后读， 他说啥？他说图像经过二四象限，啥意思？经过二四象限，也就说图像长这样子呗，我随便画一个啊，经过二四象限，还长这样子呗， 经过二次相切，也就说，哎，它的走势向下 k 怎么样？ k 呢，它是小于零的。 ok， k 呢，它是小于零的。 k 小 于零的话，也就说，哎，这里就有个新的范围了，它的这个 km 减一呢，它是小于零， m 是 小于一的，那 m 小 于一，哎， 结束了， ok， 一 共两个值，要求小于一的话，那我就能够得到它是负二。我们来理一下这个思路。 首先呢，我明确了，它是正比例函数，正比例函数的话，次数得是一。紧接着呢，他说图像要经过二四象限，也就说 k 呢，它是小于零的，经过二四象限， k 要小于零。 k 小 于零的话， 让它小于零，解不等式。结束，来第二个题里头看一下。那么在第二个题里面，他说，哎，这个图像呢，它是经过点一逗负三，哎，其实 已知一个点，他的解析式能不能求出来？那其实我们前面刚总结了吗？他是必过原点，哎，那只要再来一个点，解析式其实就可以定下来。 ok， 也就说他的这个解析式呢，其实我能够求出来，那当然，你说不求也行，不行，那当然也行，不求的话，也就说，哎，你看一下 一斗夫三在这里，一斗夫三在这里，要过远点，还在一斗夫三，图像就能够定下来，定下来之后直接是在二四象限。好，这是第一种啊，那你说，哎，我要求解稀世的话，咋求呢？求解稀世，我们应该是下一节课要讲的内容，我们先说一下吧，解稀世呢，它就长这样子吧。 ok， 点呢，在这条直线上，我见点，我就直接给他带入。 ok， 那 么就能够求出来对应的 k， 已知 k 呢，就能够确定它的一个范围。好，那么再来啊，再来，他说正比例函数的图像，它经过这个点，哎，经过点怎么办？ 这个点他在这条线上，那么间点我是不是给他带入呀？ ok， 间点是不是给他带入呀？那么他带 x， 他 带 y 的 话，我就能够得到负四呢，其实就等于负 m 的 平方， 那么负四呢？等于负 m 的 平方，我就能够得到 m 方呢？等于四， m 就 等于正负二。紧接着呢，他说 y 随 x 增大而减小，这句话什么意思？ y 随 x 的 增大而减小，也就说这个图你是不是能够想到呀？图就就长这样子吧， x 增大， y 还减小了，也就说图像是长这样子，走势向下，也就说，哎，它对应的 k 呢，它是小于零的。 好， k 小 于零，哎，解出来两个值，要求小于零，那我就能够得到 m 呢，其实就是负二。理一下啊，首先第一个点，第一个点呢，它要求 图向上呢，经过这个点，所以说第一步呢，我肯定给他渐点带入，给他渐点带入， ok， 带入之后呢，他说 y 随 x 增大而减小，如果说你想不来，你就画一个这样的图， 画出来之后呢，发现 a k 是 小于零的，那我直接就取之结束。第二个题呢，他说这个点呢，是在一三象限坐标轴加角平分线上，什么意思？那么首先要想明白一三象限的这个角平分线长什么样的，你如果说还是想不来，你不要硬想画图， ok， 最简单明了。画图，那么一三象限角分线，它这这个呗， 就是这条线呗，那么显然它就是 y 等于 x 吧？ ok， y 等于 x， 它说点呢，在这条线上，那我同样的怎么办？我给它代入， ok， 我 给它代入，代入之后呢，你会发现，其实就是二 m 加三呢，它就等于 三 m 减一，那么整理一下 m 就 等于四吧。 ok， 整理一下 m 就 等于四结束。那这里呢，你要掌握的是，哎，你知道它在什么？它在角平分线上，那我要想到这条角平分线呢，其实就是 y 等于 x， 它在 y 等于 x 这条线上，那么渐点代入，直接求值结束来再来。那么这里呢，他说给了这几条函数，让我去比较它们的一个大小，那么首先最直接的就是， 那么这两，这两它俩是在一三向前，那它俩显示大于零的。 ok， 它俩显示大于零的，它俩显示小于零的，也就说 c 和 d 呢，它一定是大于 b 和 a 的。 首先第一步呢，能够得到 c 是 大于零的， d 是 大于零的，然后 它俩走势向下，我就能够得到 b 小 于零， a 也小于零。那我只知道正负，我还不能足以判断进一步的大小。怎么判断？我们也说了呀， 哎，我们刚研究图像的时候，总结出来了，它的什么，它的绝对值，哎，也是影响图像的，它的绝对值越大，图像就越抖，哎，那么根据这一条我就可以比了，那么显然 c 和 d 谁抖呀？那么显然 c 更抖呗， c 更抖， c 的 绝对值更大，而且它还是正数，所以说我就能够得到 c 呢，它一定是大于 d 的。 ok， c 呢，一定是大于 d 的， 那么来同理，这边 b 的 绝对值呢，它是大于 a 的 绝对值的， 而他俩呢，都是小于零的，所以说我其实是能够得到 b 呢，他是小于 a 的。 那么根据这一条，哎，我就能够得到答案呢，其实就是 d 选项。好，那么如果说，哎，你没把一眼看出来怎么办？我带个纸，带个纸来看一下，我就带一个比较特殊的纸，我让这条线呢，是 x 等于一， 你看一下， x 等于一，那么对应的，哎，这个点对应过去，他就是多少，这就是 c 吧，能不能想来， 那么这个点对应过去就是 d， i 相应的，这个点对应过去就是 a， 这个点对应过去就是 b， 那 么这样的 c 大 于 d， 大 于 a， 大 于 b， 它这个大小也能够整出来。 ok， 来回顾一下，今天到底讲了啥，大家看一下。首先呢，我明确了定义， 它的定义呢，我们是举了一个现实生活中的例子，我们去理解，哎，我们还在这里给到了一般式以函数的一般式呢，它就是 y 等于 k， s 加 b， 那为了保证一次性的存在， k 呢，它是不能等于零的。 ok， 以及这里还有一个非常容易出错的点是啥？ 那么这里呢，要记住， a， x 的 次数呢，它必须是一次。 ok， x 的 次数必须是一次。那么进一步， k 是 不能等于零，那 b 能等于零吗？ b 是 可以等于零的， b 等于零的话，那么它就是 y 等于 k， x， 此时呢，它就是一个什么正比例函数， ok， 正比例函数，那么了解完定义之后，我能够认识，能够辨别出来谁是正比例函数，谁是一次函数， ok， 那 么再进一步，哎，我还能够根据这个定义去 求对应的参数，能不能下来，这里要关注什么？ k 呢？是不能等于零，以及这个次数必须是依次，这是常考的点， ok， 紧接着呢，图像的话，我们今天是研究了正比例函数的图像，正比例函数图像呢？通过画图发现它是一条过圆点的直线， 它既然是一条直线的话，那我知道两点确定一条直线，那我要画图的话，只需要再额外一个点，除去圆点之外，再来一个点，就能够把它图像确定下来。 确定好图像之后，到到底谁在影响着图像的变化呢？它就一个参数，显然是 k 版。 ok， 所以 说我们进一步通过画图。哎，总结了 k 是 如何影响的，那显然 k 是 分为大小和正负这两个方面，它影响着图像的变化。

再想想我们有没有更简单的方法来画正比例函数的图像？刚才我看到有人说五个点，仨， 几个，一个点，一个点怎么画直线，想想应该要用几个点，几个？三个？三个点，你说应该取哪些点来？谁说的？三个范博来说说。一个正数一个 好，一个正数，一个负数一个零。好，可以，没问题。那还能不能比他再简单一点？两点为什么可以选两个点？谁来谁来。来，说一说。 大点声说两点，确定两点，确定一条直线，那因此我只需要取几个点就可以了。两个点就行了。那这两个点我怎么选取？可以怎么取？随便任意取都行。但是通常情况下我们怎么取会更简单一点啊？ 选取哪一个点会更简单一点？零选取哪个点？因为这些图像都经过哪一个点圆点，所以我们是不是可以只要过哪个点是最简单的圆点，对吧？因为零零这个点你还需不需要换？ 不用，只需要一瞄坐标原点就行了。那么再任意的选第二个点，那就随便选了。是不是只需要过这两个点画直线，它就是什么函数的图像？正比例函数的图像。那我们也把这种方法叫什么方法来画函数图像呢？ 两点法，你记在你的表格的下面啊。两点法最简单的，先过零零点，那接下来另外一个点你就可以任意去取，但是任意去取的时候，通常情况下我们怎么取？ 选什么样的点？你是想选那种带小数的呀？还是整的呀？还是分数的呀？选什么整数的点？那整数的点最简单的。其实带哪一个 x 值进去就最简单， a 一 好，当 x 得一的时候，相对应的函数值是谁呀？ y y 应该得几了？ k x y 应该等于 k， 对 吧？ 好，把它写在你的表格下面啊。 那么后面大家在画函数图像的时候就可以用几个点来画了呢？两个点来。

那正比的函数图像是啥了？它的图像叫过原点的直线。哎，那如果我这个是正比的函数的时候，那我怎么画？ 比如说我这个是 y 等于它这个 k 等于零，那这个时候呢？我也是列表看见没？还是列表横着我取啊？可以取的时候，因为正比例函数 x 是 可以等于零的，我取中间， 中间的时候留下来零零，我这个 x 如果是零带进去，它乘 k 就 等于零。然后呢，我可以取右边是正一，左边是负一。那好了，我正一乘二得二，负一乘二得负二，完了，右边呢，是取正二的时候，这个就是正四， 然后呢，这个是取正三的时候，这个就是正六，而这个反过来负二，这个就是负四，然后负三的时候就是一个负六。注意啊，我列表的时候一定留有余地，这个地方写省略号，这个地方写省略号，明白了吗？ 嗯，假如说我还用这一个函数的话，那我一对着的就是二，我这个点就描到这，二对着的四描到这，然后三对着的六描到这下面，那个时候圆点的时候零对着零，然后负一对着负二在这，然后在这，在这。啊，我就这么给你描上了。 那这条直线你能不能用尺去画？我想说这句话啊，能吗？不能，不能，他也用平滑的线连接，听到了吗？ 嗯，哎，那我就怎么连，就看我们的美术的功夫了，这个点连这个点，这个点连这个点，给他平滑送过来，明白了吧？ 哎，由于是直线，你一定让他出两个端点，我就发现有的同学画直线的时候，哎，他就到这个点就截止了，我说你要不是画线段呢，对吧？你要线段，我有两个端点，我直线的时候是没有端点的，一定要超过这个点，明白了吗？ 嗯，哎，所以你看我当我是直线的时候，我也不是用直尺画的，我用平滑的线给他画出去的，懂了吗？嗯，哎，所以，哎，连线的方法就是平滑的线。那好了啊。

我们知道一次函数的图像呢，是一条直线，我们又知道两个点呢，可以确定一条直线，所以要想画出一次函数的图像呢，我们只要找到两个点就行了，那这两个点要怎么找呢？通常情况下呢，我们是找与坐标的交点， 那么以下面这两个函数为例，我们画一下它的函数图像。我们先看第一个函数，令 x 等于零，则 y 等于负二， 令 y 等于零，那么 x 就 等于负一。那现在呢，我们就已经有两个点了，一个点是零和负二， 另一个点呢是负一，零，我们在平面直角坐标系上把这两个点找到就行，用一条直线把这两个点连起来。好，这条直线就是这个函数的图像 一样的，我们画出下面这个函数的图像啊，令 x 等于零， y 等于一， y 等于零， x 等于负一， 那么它的两个点就是零一，负一，零。在平面直角坐标系上找出这两个点连起来 很简单吧，两点确定一条直线，只要找出两个点，就能把直线画出来了啊，那我们再观察一下，红色的线是往下走的，蓝色的线呢，是往上走的，为什么会这样子？这个问题我下次再给大家讲。

hello， hello， hello， 今天的这个视频呢，我们将用一二三四五个案例啊，用几何画板来探就我们这个依次函数的图像和性质啊。首先，我们知道，形如这个 y 等于 k， x 加 b， 其中呢，我们的 k 不 等于零 b， k b 为常数啊， 像这样的函数呢，我们就是把它叫做依次函数，其中呢，当 b 等于零时，哎，我们又把这个函数呢，单独取个名字啊，叫正比例函数。像 y 等于 x， y 等于负 x， y 等于三倍 x， 那它是一次函数当中的特殊情况，它又叫正比例函数啊，这通通都叫一次函数。好的，首先呢，我们来画第一个 y 等于 x， 确定， 通过观察，我们可以得到这个 y 等于 x， 它呢？欸， y 等于 x 啊，它是一条直线，经过哪一个？经过圆点，经过圆点，还经过什么呢？还经过 一三象线。欸，我们把这个平面直角坐标写啊， 左右上角叫第一项线，左上角是第二项线，你按逆时针方向啊，这个是第三项线，这个是第四项线。很显然，这个 y 等于 x 经过的象限是一三象限。那么我们随便在这个图像上找到一个点啊，假设这个点为 b， 标注一下点 b 的 这样一个坐标， 度量它的坐标，哎，我们发现看一下这里啊，随着 x 的 这个增大， 这个函数值 y 它也在增大，为什么呀？ x 等于三点九一，那么 y 也等于三点九一啊，那随着这个 x 的 减小呢？哎， y 也在逐渐的，哎，减小啊，减小。那如果说我们 过这个点 b 轴或者 y 轴的垂线啊，那我们也不难发现， 它与我们的坐标系构成的是一个什么呀？哎，有点太聪明了啊，构成了这个三角形，它是 等腰直角，哎，三角形，这样啊，我们就把这个函数和和这个几何，哎，有效的就结合在一起了啊，有效的结合在一起了，这个是 y 等于 x 的 函数图像，它经过圆点和 e 三象限，哎， 在每一个象限内都是 y 随 x 的 增大而增大， y 随 x 的 这个减小而减小啊，这个是它的情况啊，它的情况。然后呢？哎，我们还可以发现啊，这个 y 等于 x， 它是将我们的平面直角这边细，哎， 就是平均分成了，嗯，两个完全相同的部分啊，然后如果我们把我们的这个二三四二三上线，哎，这个， 这，这个，这个红色部分的上面这一块沿着这个红色这条直线折叠，两旁的部分是能够完全重合的啊，好，这个是我们的 y 等于 x， 这是我们的 y 等于 x 呢，同样，我们画一下啊， y 等于负的 x， 决定 a， 是 这样一个函数图像，我们显示颜色用蓝色表示啊，哎，这是我们 y 等于负 x。 大家这个时候还可以发现啊，这个 y 等于负的 x， 它的这个图像经过了象限，是什么呀？二四象限也经过原点啊，也经过原点，那同样，我们在上面如果找到一点，我们可以发现啊， 度量一下这个点的坐标点 c 的 坐标啊，我们就可以发现， 显示一下颜色是蓝色，你就可以发现啊，它是随着 x 的 逐渐增大，那我们的 y 呢，它逐渐在怎么样？哎，逐渐在减小啊，逐渐在减小，你看 x 越大， y 越小，于是啊，我们说这个， 这个 k 值这个时候是小于零，那么图像经过圆点，经过二四上线， y， x 的 增大了，怎么样？哎，减小啊，减小，那我们往往呢，为了使大家好记，还可以这样，你看一下啊，这个是我们的啊， 啊，一二三，第三声啊啊，第四声是二，很显然，我们 经过一三象限的这条直线，相当于是我们的第二声，所以是 y 随 x 的 增大，怎么样增大？它是上扬的啊，我们的这个 y 等于负的 x， 当 k 小 于零时，经过二四象限， 它是我们的，可以看成是第四声。 a 是 y 随 x 的 增大，怎么样减小啊？减小。那继续看一下， y 等于负 x 加一呢？我们来绘图啊， 负的 x 加上一，确定，哎，颜色，弄一个这个颜色， 哎，我们这个时候发现这两条直线，它们的特点是互相平行，所以我们还说这个 y 等于负的 x 加上一啊，它是由我们的 y 等于负 x 向哪里啊？向上平移一个单位长度则得到 他。既然是向上平一个单位长度得到他原先经过的象限呢，是二四，那现在向上平一个单位长度，很显然经过第一象限啊，所以我们的 y 等于负 x 加一呢，经过的象限是一二四。增减性呢？ a 不 用说了啊，就是 由于 k 值它是小于零的，所以 y x 增大了，怎么样减小减小啊，好，那 这个 y 等于负 x 减三， a 就 不用说了啊，它实际上是我们的 y 等于负 x 向哪里向下平移呢？三个单位长度得到，哎，我们就是把它图画一下啊， 负的 x 减三，确定，你看一下这个函数图像，这三者啊，它们都是互相怎么样？ a 互相平行的啊，互相平行的，同样它是往下平移的三个单位长度，所以它经过了象限。原本是二四 二四是由什么决定？是由 k 小 于零决定，减三向下平行三个档档位长度，所以是三，哎，经过的相线是二三四上线啊。 y 数 x 的 增大了，怎么样减小啊？太对了啊，太对了，好，我们来最后看一下 y 等于三倍的 x， 超级简单啊。确定，你看一下弄一个颜色， 我们一个什么颜色呢？好的，我们用这个颜色显示线形为出现啊，你看一下它 发现 k 大 于零，所以经过的象形是什么呀？一三象形增减性呢？ a， y x 的 增大而怎么样增大？ y， x 的 这个减小而怎么样减小？ a， 所以 它就是 经过一三象限啊。 y 数 x 是 增大还是怎么样增大？好的，这个有同学或许会有兴趣啊，数学老师， y 等于三， x 加五呢，我们可以给大家会指这个 y 等于三倍的 x 加上几加上五。确定啊，你看一下 这个出现，弄一个颜色，弄一个什么颜色？弄个黑色啊，黑色， 哎，你看这两条直线是不是互相平行了，哎，相当于是我们的 y 等于三倍的 x 向上平的几个单位长度，五个单位长度，原先它经过一三象限向上平移就经过多少，哎， y 等于三倍的 x 加五，它经过的象限就是 k 值决定经过一 三象限啊，然后呢，加五向上平移五个单位长度，哎，所以经过象限呢？是一二三象限， 所以这样一看就超级简单的啊。另外，我们还可以发现啊，当 k 的 绝对值越大的时候，哎，我们发现他离这个 y 轴是越近的啊，就是这个斜率的问题啊。好的， 今天的这个讲解呢就到此结束啊，有点复杂，但是慢慢听呢，哎，又很有趣又很简单啊，哎，感谢大家的这个收听，谢谢大家。

好，今天我们来讲一下正比例函数在平面直角坐标系当中的面积问题，这类题型是八年级期末必考高频考点，百分之九十的同学都会踩坑，那今天我们来看一下这道题目。如图，正比例函数 y 等于 k， x 经过点 a， 点 a， 在 第四项线 过点 a 作 ah， 垂直于 x 轴，垂足为点 h， 点 a 的 横坐标是三 啊，三角形 a o h 的 面积为三。第一问，求正比例函数的解析式啊，那么的解析式呢？正比例函数它是经过圆点的啊，这条直线是吧？ 所以它的解析式是 y 等于 k， x， 首先应该是知道一个点的坐标啊，给它带入到咱们的解析式里边，取出 k 的 值，然后进而写出它的解析式啊，这么一个思路，只需要知道这个 a 点的坐标就可以了， 它在第四象限。第四象限的话，首先我们知道它应该是一个正负，是吧？它的坐标，那么现在这个 a h 是 垂直于 x 轴的， 那这个三角形 a o h， 它的面积呢？是三，那我们来看一下三角形的面积公式，二分之一底乘高是吧？底就是 o h， 高呢，就是 a h， 所以 它应该等于二分之一， o h 乘以 a h 等于三，那点 a 的 横坐标是三，也就是说这个 o h 的 值应该等于三，是吧？那就是二分之一乘以三，再乘以 a h， 那 么我们这一块的 a h 可以 求出来等于二， 也就是说 a 点的纵坐标的绝对值等于二，但是呢， a 点是在第四象限，所以它的纵坐标是负的，那这块应该是负二， 所以 a 点的坐标呢，它就是三个数二。然后接下来的话，我们可以把 a 点的坐标给它带入到这个解析式里边儿，带入 y 等于 k x， 那 我们就可以求出 k 的 值，应该是三分之二，所以 我们的解析式呢，就是 y 等于负的三分之二 x， 那 么这是我们的第一问就解出来了，这一步的核心依据呢，就是我们三角形的面积公式啊，二分之一底乘高，非常简单。还有这个第四项先的点的特征啊，横坐标为正，纵坐标为负， 然后呢，我们把这个 a 点坐标算出来之后，代入咱们解析式，可以求出 k 的 值，进而写出解析式。 好，接下来我们看一下第二个说，在 x 轴上是否存在一点 p， 使得三角形 a o p 的 面积为五，若存在，求出点 p 的 坐标不存在，说明理由。那遇到这种问题的话，一般情况下百分之九十九点九啊，都是存在的啊 啊，不然的话，他问你这个也没有什么意义，那我们就先假设他存在啊，我们设这个屁点的坐标，因为他在 x 轴上，所以他的这个纵坐标为零，是吧？你假设是 a 到零啊，我现在不知道他在哪个位置，那假设说我在这个位置， 这样的话，这个 a o p 的 面积应该是二分之一 o p 乘以 a 点的纵坐标的绝对值，它就等于五，因为 p 点的这个横坐标是 a， 那 么 o p 的 话就是 a 的 绝对值，然后再乘以这个 a 点的纵坐标的角值，因为 a 点的话，它是三度负二，那纵坐标就是二， 等于五，那这样的话，我们可以把这个 a 的 绝对值算出来，应该是一个五， a 就 等于正负五，那所以呢， p 点的坐标就是啊，五斗零或者是负五斗零，对吧？ 也就是说它左边一个，右边一个。那么这个第二问呢，咱们的核心依据就是第一个 x 轴上的点的纵坐标为零， 第二个呢，就是咱们三角形以 o p 为底，高至点 a 到 x 的 距离，也就是说 a 点的纵坐标的绝对值啊，这个是比较关键的。好，我们来简单总结一下这道题 正比例函数的面积问题。首先呢，咱们第一步如果要求这个函数的解析式啊，我们先给出坐标，用面积公式求纵坐标，结合象限定符号，然后呢代入咱们的解析式，求 k 的 值。 然后我们第二问的话，我们找坐标轴上的点啊，是以坐标轴上线段为底点的横坐标或者纵坐标绝对值为高，用面积公式来列方程 绝对值，一定要考虑到正负两种情况啊，这类面积问题呢，还有就是在这个 y 轴上啊，刚才我们算的是在 x 轴上找点的考法啊，我们也有在 y 轴上的这种情况啊，要不要我出一道同类变式题，评论区扣一下次直接讲。

清晨的马路上，汽车保持匀速向前行驶，时间在悄悄流逝，车子开过的路程也在不断增加，这两个变化的量之间藏着一种固定的对应关系。 上节课我们已经发现，路程和时间的关系可以用式子 s 等于六十 t 来表达，只要给出一个行驶时间 t 就 能唯一确定对应的行驶路程。 yes！ 我们还可以把这些一一对应的数值整理成一张表格，用罗列数据的方式呈现，直观又清楚。不用计算，一眼就能看出不同时间分别行驶了多远。如果把这些对应的数值放到平面直角坐标系里，描出一个个点，再把点连起来，就会形成一条完整的线条。 这条线条又能告诉我们哪些隐藏规律？接下来我们一起探求其中的奥秘。 同学们，路程和时间的关系能用式子表格和图像表示，很多函数难以用式子清晰表达，但图像能一眼看懂，即便有式子，配上图像，变化规律也更直观。今天我们就来学习如何画出函数，通过图像读懂函数的变化规律。

我们一起来认识一下一次函数，好，一般的形如 y 等于 k， x 加 b， 其中 k， b 是 常数， k 等于零的函数叫做一次函数。其中 x 是 自变量，在特殊的情况下就是 b 等零时，它可以写成 y 等于 k， x 这种形式的函数呢，叫做， 叫做正比例函数。其中 k 呢，叫做比例系数。这是我们对一次函数的一个定义。那么举些例子帮助大家来区分， 像第一个可以满足外等于 k x， 它是一次函数，也是正比例函数。第二个对于这个 x 呢，是在分母上，它不能叫一次函数啊。第三个，这个属于一次函数， 也属于正比例函数，因为二 pi 呢，相当于它的这个比例系数是 k。 然后第四个，这里有平方，所以它不是一次函数。最后这个经过化解，我们可以得到二 x 减八，它属于一次函数，但是不属于正比例函数。

咱都知道一次函数的解析式，也就是 y 等于 k， x 加 b， 那 这里的 k 和 b 会对它的图像产生啥样的影响啊？比如咱就先来看看 k 大 于零时， y 等于 x， y 等于 x 加一， y 等于 x 减一这三函数的图像 列个表，把这三函数在 x 等于负二、负一零一二时对应的 y 值求出来。显然，由于 y 等于 x， 那 这一行竟然就和上面的 x 一 模一样，而这里是 y 等于 x 加一，也就是说它的每个数字都比上面的大了个一，分别是负一零一二三， 而这一行当然就比这一行的都少了个一，也就分别是负三、负二、负一、零一。表搞定了，接下来画出坐标系， 把这三条直线对应的点都标上，也就是这样，接下来用三条平滑的线连接起来，也就得到了他们三的图像了。之后咱再把 k 小 于零时， y 等于负 x， y 等于负 x 加一和 y 等于负 x 减一这三图像画出来， 和刚才一样，列个表，把这三函数在 x 等于负二、负一零一二时对应的 y 值求出来。也就是这样， 接下来把它们对应的点都标在坐标系中，用三条平滑的线连接起来，就得到它们三的图像了。现在咱把依次函数总共的六种图像都搞定了，那咱就接着来分析分析它们的特点。首先不能发现这六个图像都是直线， 上面这组是 k 大 于零的图像，都从左下上升到右上， y 就 随着 x 增大而增大。而下面这组是 k 小 于零的 图像，都是从左上下降到右下， y 就 随着 x 的 增大而减小。可见 k 的 正负决定了一次函数图像的增减性，而这点和 b 的 大小完全没有关系。那反过来，你也可以通过图像所展示的增减性来判断相应 k 的 正负。递增时 k 就 大于零， 而递减时 k 就 小于零。到此， k 的 事咱就搞定了。那 b 又决定了啥呢？来围观一下这俩。当 b 大 于零时，直线与 y 轴交于正半轴，而当 b 等于零时，就过了原点。 当 b 小 于零时，就与 y 轴交于负半轴。可见， b 的 正负决定了意思函数与 y 轴的交点位置。其实回到解析式里，当 x 等于零时， y 就 等于 b， 这说明意思函数与 y 轴的交点就是零 b， 所以 你也可以通过图像与 y 轴的交点来判断 b 的 正负。 到此， k 和 b 的 事情咱就都搞清楚了。小节一下， k 大 于零时，直线都是斜向上的， k 小 于零时，直线都是斜向下的。 而当 b 大 于零时，直线与 y 轴交于正半轴， b 等于零时，直线与 y 轴交于原点， b 小 于零时，直线与 y 轴交于负半轴。反过来，你也可以通过图像来判断 k 和 b 的 正负。比如告诉你一次，函数 y 等于 k， x 加 b， 经过了第二、三、四项线，让你求 k 和 b 的 曲折向量， 经过二、三、四象限，把它画出来。也就大概是这个样子，从左上到右下，所以 k 是 小于零的，而图像与 y 轴交于负半轴，那 b 就 也小于零，这就是最后的结果了。搞定！ ok， 总结一下。 因此，函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像总共有这六种情况。知道了 k 和 b 的 正负，你就可以大致画出图像。反过来，通过给出的图像，你也可以判断相应 k 和 b 的 正负，而判断的关键就在于 k 决定了函数的增减性， b 决定了函数与 y 轴的交点位置。听懂了吧？可可。

今天咱们来看一下八项函数，根据函数的图像性质来解析哈，若一次函数 y 等于二， m 加一， x 加上 m 减三的图像不经过第二项选择， m 的 取值范围是什么？它，我们 一次函数它不经过第二象限，又说这个象限它是不经过的，那我们它可以有几种情况，一个是它经过的是一三象限，对吧？再一个呢，它可以经过一三四象限，这两个的时候，那我们可以说明是什么呀？ y 等于 k， x 加 b 是 它的解析式，是不是一次函数解析式，这个 k 应该是什么？大于零的哈，经过一三项线的函数，它的 k 是 大于零的，放在这里面是不是就是二 m 加一是大于零的？ 如果它不，它不经过第四项线，说明它是一次函数，这里的 b 应该是什么？ 等于零，但是他如果经过第四象限的时候，说明他与外轴的交点是在外轴的副半轴上。比如说我们的 m 减三应该是什么？小于零的哈，你的 m 减三应该可以是什么？小于等于零， 他既可以是正比例函数，只经过一三象限，也可以是依次函数，经过什么呀？一三四象限，那我们解这个不等式组啊，对吧？ 那第一个是什么？ m 要大于负的二分之一，第二个呢？解的是 m 是 小于等于谁啊？我们给它写成减极的形式，就是 m 大 于负二分之一，小于等于三。 这道题他的突破口是什么？你可以给他画出来哈。根据函数图像的性质，我们来解题，他不经过第二项线，是不是要经过一三或者是一三四项线？那先判断这里面 k k 决定的是什么？你 x 前面的系数决定的是你经过的是一三下线还是二四下线，对吧？然后呢？这个 b 是 决定了你这个函数图像与外轴的交点在哪一个位置，我们两个列，两个不等式来解。

函数这个章节太重要了，因为依次函数光图像性质，这里我们就有十大类题型可以变形去考大家，所以要求我们的孩子对函数图像性质这里相当大的熟练度了。 那有关于函数这里面的十大题型，老师也给大家做了一个系统的总结，基础知识不过关的家长们打印出来分类去带孩子进行练习。下面借着这道题呢，我再带着大家复习一下我们函数图像性质这里的一个易错点， 这里说一次函数，它的函数值 y 随 x 的 增大而增大，哎，说明这里面什么？对了， k 值啊，也就是一减二 k， 它是大于零的。这是我们根据题目得到的第一个信息， 第二个信息说他不经过第二象限。好了，能不能告诉我，不经过第二象限的图怎么画呀？哎，他是不是，哎，可以这样去画呀！有同学觉得哦，画出来之后，看他的 b 值 b 是 小于零的，所以在这里 b 的 部分复 k 小 于零，完事了， 结果这道题就选错了。为啥呢？为什么这道题有这么多同学算错呢？因为他们都忽略了一个关键点，他不经过第二项线。还有一种情况，那就是这个函数图像经过原点的情况，这个时候 k 怎么样？ 哎，这个时候 b 怎么样？ b 等于零啊，所以对应这个复 k， 除了小于零，他还可以等于零，漏了情况，这不就选错了吗？ 所以，综上啊，我们在这可以求出第一个 k 是 小于二分之一的。第二个负 k 小 于等于零， k 是 大于等于零的，所以综上，我们的 k 是 大于等于零，小于二分之一的我们正确答案就选出来了。正确答案选择的是 c 选项。

八年级的一次函数中，已知平行求解析式是期末高频的易错题型，但是呢，刚学一次函数的孩子，他根本就不理解在函数里面平行是什么意思， 他们的脑袋瓜里面在想说，哎，平行不是几何里面的事吗？怎么函数也关他事啊，然后也不懂得带变去求逼，所以呢，经常丢分，十分可惜。 而且我要告诉你，一次函数还只是个开头，后面我们还有二次函数，反比例函数都在等着他们呢， 所以呢，我们一定要开个好头，把基础学好，一点一点的进步。那今天林老师呢，就手把手带着大家把这类题型吃透， 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数八大题型拿去练习巩固一下，期末考可以多拿二十分。好，我们来看题，若一次函数 y 等于 x 加 b 的 图像 与直线 y 等于负二， x 加一平行，而且呢，过这个点三动，问这个一次函数的解析式是多少？ 那么在刚开始学一次函数的时候呢，孩子们对于平行这个几何的概念怎么用在函数里面还是不太熟练的。那么今天呢，我就给你讲清楚它的底层逻辑。 我们知道一次函数的解析式啊，它叫 y 等于 k， x 加 b， 然后呢，你得知道这个 k 和这个 b 分 别代表什么？那么今天呢，就来讲讲这个 k， 它有一个专门的名字，叫做斜率，那么大家可以想象一下，斜率是什么意思， 是不是代表它倾斜的这个程度啊，对不对？那么你想想看，当它跟另外一条直线平行的时候， 平行的时候，那是不是代表着它们的倾斜程度是一样的，对不对？所以呢，我们今天要教的方法，就像如果你看到平行，那就意味着它的斜率相等，也就是 k 相等， 所以呢，我们可以由这个平行条件直接得出它的 k 就 应该是这个负二，所以我们可以这样写， y 等于负二， x 加 v， 你 看我们已经解决了一半的内容啊，已经把这个 k 解决了。 好，那接下来我们再看第二个条件，他说过这个点三斗五，那过点又是什么意思呢？你看有这么一条直线，然后呢，里面过了这个点，这个点呢叫三斗五， 那说明什么呀？是不是说明这个点它得符合这条直线的算法呀？那现在我们知道这条直线它长，这个算法就是 y 等于负二， x 加 b， 所以呢，我们这个三动五是不是也带进去，它也得成立呢，对不对？所以呢，我们就可以啊，把它带进去， 三带进 x， y 带进五啊，那就得到了这个五等于负二乘以三，再来加个 b， 哎，那这个就轻松解的，把这个移过去， v 等于什么？十一，那至此 k 和 b 都被我们解决了，所以这道题的最后答案就是， y 等于负二， x 加上十一，搞定，你学会了吗？

这个视频我来给你讲讲正比例函数 y 等于 k， x 的 图像和性质。先看 k 大 于零时，以它俩为例，对于 y 等于 x， 当 x 等于零时， y 等于一，当 x 等于一， 当 x 等于二时， y 等于二。同样的，当 x 等于负一时， y 等于负一，当 x 等于负二时， y 还是等于负二等等等等。然后上坐标系，依次把负二、负二、 负一、负一、零零一一以及二二这些点都找出来。最后用一条光滑的线把它们都连起来，就得到 y 等于 x 的 图像了。嘿，它居然是一条直线！ 接着看 y 等于二， x， 同样把 x 等于这些值时对应的 y 值都求好。然后上坐标系，把负二负四、负一、负二零零一二二四这些点都描出来，同样再连起来又是一条直线。 现在擦亮你的眼睛，仔细看一看这两个图像，找找共同点。首先，图像都是一条直线，而且都过圆点。其次，他俩都是经过一三象限的从左下往右上上升，那外就随着 x 的 增大而增大。 共同点找完了，咱再找找不同点。这条直线可比这条要陡一点，那是因为 x 前面的系数二要比一大一些，那随着系数的增加，画出来的直线就越陡。可见，对于一般的 y 等于 k， x， 这个 k 就 决定了图像的倾斜程度，他就有另一个名字叫斜率。 现在斜率 k 大 于零的咱都搞清楚了，如果 k 小 于零又会怎样呢？那咱把他俩都添个符号看看。 对于 y 等于负 x， 同样把 x 等于这些值时对应的 y 值都求好。然后上坐标系，把负二二负一、一零零一负一二负二这些点都描出来，接着连线图像就画好了。 再看这个， y 等于负二， x 图像上的点有负二四负一、二零零一、负二二负四， 把它们连线同样轻松搞定。图像画好了，又到找共同点的时候了。这俩图像还是一条过圆脸的直线，不过是经过二、四象限的，从左上扎到右下，那外就随着 x 的 增大而减小。 最后找找不同点，它可比它要陡一点。因为负二小于负一，所以此时是 k 负的越多，画出来的图就越陡。 现在正比例函数的图像和性质是不是都清楚了呢？我再给你总结一下。 y 等于 k， x 的 图像是一条经过圆点的直线， k 大 于零时，直线会经过第一、三象限， y 随着 x 增大而增大斜率， k 越大，直线就越陡。 反过来，当 k 小 于零时，直线会经过第二、四象限， y 随着 x 增大而减小斜率， k 负的越多，直线就越陡。好了，内容就讲到这，速速刷题去吧！