高中数学立体几何洋马模型折纸

大家好，我们来看一下这样一道题，这道题是咱们最近合肥二模的啊，解答题都是个十八题， 呃，这道题的话，难度是属于中等的，大家努努力是完全是可以拿到满分的。 好，我们来看题，第一个在面积为三倍根号三的梯形 a、 b、 c、 d 中啊，它的面积是三倍根号三， a、 d 等于两倍的 ab， a、 d 等于两倍的 ab 等于两倍的 bc， 一 比一比二的关系 好， bc 是 平行 a、 d 的 好， e 是 a、 d 的 中点啊，那既然 e 是 a、 d 的 中点的话，那这个，这个，这些这四条线的长度应该都是啊一样的， 那么将 a、 b、 e， a、 b， e 这样沿着 b、 e 给它翻折到这个 a、 e、 b 这个三角形上来。 ok， 我 们来看一下啊，这个地方我们比较核心的条件其实就是这个长度关系啊，长度关系加上这个翻折起来的，我们这个翻折前后的话，这个长度应该是保持不变的，就这个应该是等于这个的， 然后 a、 e 应该是等于 a、 e 的 啊，然后我们这里面这些长度啊，是相同的， 在梯形中啊，我们如果遇到这些长度相同的话，我们会很容易去想的，如果我们去连接这个 c、 e 的 话，那我们立马就能得到一个菱形，菱形一，二菱形 好，那么这个题目还给了一个面积三倍根号三，这个到时候怎么用呢？面积的话啊，我们梯形面积可能想到是呃底乘以高除以二，对吧？但是这个地方我们可以看一下，其实这里 这里面把这个梯形分成三个三角形，三角三角形，那么这三个三角形的面积其实应该是一样的，其实应该是一样的，因为这边啊是菱形嘛，对角线平飞，他俩面积一样， 然后他俩呢？他俩是底是一样的，高是一样的，那么这三个面积是一样的， 所以每个面积应该都是这个根号三，根号三。 ok， 这个是咱们读完题之后啊，读完题之后应有的一些想法，我们来看一下能不能用到这个题目之中。首先我们来看第一道题， 第一道题让你去证明 a a e a e 垂直于 a e c a e c， 证明这里看能不能是垂直的，那么跟垂直有关，因为我们这里有菱形啊，我们有菱形，那么我们很容易去想到， 我们很容易去想到去连接它的对角线，因为有对角线的话，它就会有这个呃，垂直的情况发生嘛？ 好，假设连起来，这个是 o 点啊，连 a c 交 b e 与 o 点， 然后我们这个 c e 也是连起来的，那就再连一下 c e 了啊，我们这里很容易得到，我们这个 a c 是 垂直于这个 a c 是 垂直 b e 的， a c 垂直 b e 的， 那么并且的话， a o 是 等于这个 o c 的， a o 等于 o c， 那 因为啊，因为是翻折过来的，因为翻折过来的话，那么 a o 的 话，应该会等于这个 a e o a o 应该会等于这个 a e o 的， 也就是说由翻折可知， 这个 a o 是 等于 a o 的， 嗯，那再由于下面这个是个菱形了， 那菱形的话，我这个 a o 还是可以等于这个 o c 的， a o 等于 o c， 那 也就是因为，那也就是 a e o， 对 吧？是等于二分之一个 a c 的， 那这个其实就已经可以去证明这个 a、 a、 e 是 垂直于这个 a、 e、 c 的， 因为我们知道直角三角形，直角三角形啊， 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，斜边的中线等于斜边的一半，那么这个定力逆过来也是正确的逆过来啊，如果中线三角形的中线等于这个他这个对边的这个一半的话，那这个三角形就一定是直角三角形。 其实我们可以通过画圆来证明画圆，我们过这个 o 点做这个圆啊，这只是补充一下啊，我们实际用的时候就直接用就可以了。 ok， 那 你因为这个 o 点就是外心啊，三角形 a、 b、 c 的 外心，那么这个 a、 b、 c 都在这个圆上，并且 b、 c 是 直径，那直径所对的圆周角呢？就是这个九十度啊。 ok， 这样我们第一题能证明出来啊。 好，第二题我们来看一下。第二题说 a、 c、 a、 c 等于两倍的 a， a 一， a、 c 等于两倍的 a a 一， 我们来看一下 a、 c 等于两倍的 a 等于二倍根号三，二倍根号三呢？我们把长度标一标啊，那我们 a、 a 一 就是根号三， a、 c 是 二倍根号三，那这个，那这个一半都是根号三，都是根号三。好，那我们还能得到什么呢？我们好像其他的都得不到了，对吧？ 第一个问的是平面啊，平面 a、 e、 b、 c 与这个 a、 e、 c、 d 是 形成的夹角，那这个问的是面面夹角了， 那我们应该是想着去啊，间隙，应该想着去间隙啊，那我们细的话啊，这里比较明显这个 o 点，因为这里是垂直的，我们希望这个是 x 轴，这个是这个 y 轴，那我们 z 轴怎么办呢？ z 轴看上去只能竖直，是不是只能竖直向上去，这样去间隙啊？ 那么我们现在想一想啊，我们缺什么？我们缺什么？因为我们接下来是要找这些点的坐标， a， e， b 啊， c 啊 d 的 坐标， 其实我们会发现下面 c 点好办，但是这个 b 点不太好办，这个 b 点，因为 b 点这个长度 b、 o 的 长度我们还没有求出来，那这里该怎么办呢？ 请注意，我们题目中刚才讲了，我们有这个梯形面积是三倍根号三这样一个信息啊，那么其实我们可以得到这个 a e， b 的 a e， b 的 这个呃，面积应该就是根号三了。 那 a、 b 是 等于 a 一 的， a， b 是 等于 a、 e 的， 那么 a、 o 其实是呃，我们就可以通过这个 b e 乘以 a o 除以二，是不是能算出这个 b， e 的 这个长度啊？ ok， 那 么这里我们写一下啊。呃，这个， 这个该怎么写？由 e 为 a d 的 中点啊，我们这个长度先把它正好啊。 e 是 a、 d 的 中点， 那么且 a、 b e， a， b c， e 为菱形，可知 s 三角形 a， b、 e 的 面积是等于，呃，三分之一个 s t 型 t 型 a， b， c、 d 等于根号三的，等于三分之一乘以三倍根号三，你写一下吧， 那也是等于二分之一个 b， e 去乘以这个 a o 的 b， e 乘以 a o， a o 是 等于 a、 c 的 一半嘛？ 二分之一个 b， e 乘以二分之一个 a， c 啊，二分之一个 a c， 那 么 a、 c 长度是知道的，这个可以推出来， b、 e 的 长度其实应该是等于二二乘以根号三，再除以二，所以这个面积就是根号三， 那么我们接下来这个长度搞定了啊，长度搞定了二， 那么这个长度是二的话，其实我们可以发现，因为，呃，这个和这个现在长度是一样了，这个和这个长度其实也是一样的，所以这里其实是一个正三角形， 那么正三角形你要呃求 a 一 点坐标的话，那是比较简单，我们做垂直，做垂直下来就可以了，对不对？ ok， 那 么这些点坐标其实啊就好搞了啊，我们 b 的 长度是二呢，这个是一，这个是一，这个是不是都是二？ 好，那我们就是说以 o 为圆点。 呃，这个地方大家考试的时候自己去写一下啊，我这里就简单一点了，如图间隙， 这里节省时间，我写简单一点，大家考试的时候要去写一下，那么我们这个时候来写坐标了，接下来就是坐标的事情了，有哪些点？有 a 一、 a 一 的坐标，我们向下做垂直，向下做垂，它的横坐标肯定是零，那竖坐标是这个，这个长度不是负的二分之根号三， 也是负的二分之根号三，这个 a 一 的这个数坐标啊，这个是纵坐标数坐标的话应该是二分之根号二分之三吧，二分之根号三乘以根号三。 好， b 点坐标一零零一零零，那个 c 点坐标的话是零，根号三零 d 点坐标 d 点坐标的话，横坐标是负二横坐标啊，横坐标是 d、 c 长度的这个相反数，纵坐标是根号三，竖坐标是零啊。 ok， 那 么接下来就是去求个法向量的问题啊，那这个地方我给大家省略一下，大家可以刻下自己去求一下 a、 e、 b、 c 的 法向量，我们求出来结果是啊，假设是 n 一 是根号三， e 根号三， 这个还有一个是 a、 e、 c、 d 的 这个法向量 n 二是等于这个零一根号三的啊，那这个时候我们那个夹角的余弦值啊，夹角余弦值肯定是我们要正的啊，就等于这个， 这个大家算一下是等于七分之二倍，很好奇的大家，这里啊，这里的步骤，大家课下可以自己去练习一下啊，这里 求法向量的过程啊，自己去练习一下啊。 好，我们来看第三个问啊， 那第三个问的话，它题目告诉我们 b e 是 等于 a a 一 的，那现在没有这个没有第二题的条件了啊，第二题的条件就不存在了。 ok， 那 我把这个长度这个给它擦掉啊， 这是第一第二题的长度啊，那么我们现在这个是，呃，是用不上的。 b e， b e 等于 a， a 一 看一下 b e 等于 a a 一， 它们就是长度关系，问的是体积的最大值， 哎，我们底面积不是固定的吗？底面积是固定的，其实是不是就是问高的最大值？那我们过 a 一， 过 a 一 点，做 a o 的 垂线， 过 a 一 做 a o 的 垂线啊，交到这个位置 abcdef， 对 吧？那么这个 aef 其实是垂直于这个底面的，垂直于底面的 呃，因为我们这里是可以去证明这个，呃， a e， a c 是 垂直于这个底面的嘛，这个是比较容易证明的，因为有这个对角线垂直嘛。好， 那么我们再来看一下，我们其实只需要去求出这个 a e、 f 的 这个，呃， a f 的 这个最大值就可以了， 我们来看看这个长度啊， b 等于 a a 一， 我们把这个长度细化一下，我们假设 b 一 的长度是二 x， 这是 x， 这是 x， 这个就是二 x， 那么我们根据面积啊，我们是不是还可以求出这个 a o 和 a e o 的 长度， a a o 跟 a e o 的 长度仍然还是相同的嘛。呃，那这里啊，我们写一下这个三角形的面积 仍然是等于二分之一个 b e 乘以 b e 乘以 a o 的。 好，我这里设啊，设 b e 的 长度是二 x， 二分之一个 b e 乘以 a o， 也就是 x 乘以 a o 等于这个是因为这个面积啊，还是等于三分之一个梯形的面积？就等于这个根号三，这个解出来， a o 是 x 分 之根号三 x 分 之根号三啊， 好，那么我们再来看一下，我们把这个三角形啊，给它画出来啊，这个这个三角形 长这个样子的， a o a e， 呃，这个长度是二 x， 这个长度是二 x， 然后这个下面写的是根号三比 x， 根号三比 x 啊， 那我们要关键求的是这个这个长度 a f 这个长度 a e f 这个长度，那么我们可以想到用这个等面积法来求这个 a f 啊， a e f， 那 么 我们这个面积的话，底乘以高除以二，还可以是二分之一个 a b sin c 嘛，那么我们呃，最好是求一下 sin 这个角吧， sin 这个角，那我们这里做垂直， 因为是等腰三角形，等腰三角形过 o 点做这个 a a e 的 垂线， a b c d e f g 啊， 做这个垂线之后，这个，呃，这个角啊，这个 c 叉，这个角是 c 叉啊，然后这个长是 x， 这个长是 x， 那 么这个时候我们过程啊，省略一点啊。 sine c 叉是等于， 就是 a g 比上 a o a g 比上 a o 等于 x 比上根号三 x 根号三比，所以是根号三分之 x 的 平方， 那么这个 cosine theta 就 会等于一减它的平方开根号，那我们的 sine 角 a e o a 是 不就等于 sine 二 theta， 那 就等于两倍的 cosine， 这个咱们化简一下，是三分之二 x 的 平方，根号下一减，呃，根号三，三减 x 的 四次方。 好，这个是 sine 这个大直角，那 a e f 不 就出来了吗？ a e f 应该是等于 a e o 乘以 sine 角 a e o a， 这个是 x， 根号三，这个是三分之二 x 的 平方。三减 x 四次方，这个是等于三分之二倍。根号三 x 三减 x 的 四次方。 我们要求七个最大值，很显然是要构造这个方，构造这个函数啊，我们把这个 x 送进去， 就变成了三 x 平方减 x 的 这个六次方的六次方。那我们啊，方便一点，我们令 x 的 平方是等于 t 的， 这个 t 是 大于等于零 啊。然后 g t x g t 就是 三 t 减掉 t 的 这个三次方，我们求这个 g t 的 最大值，那就 g 撇 t 三减三 t 的 平方 啊，就这样，那这里都是正的。那啊，这个地方穿根图就是一减 t 的 这个穿根图， 先增后减，所以啊，这地方当 t 等于一时，当 t 等于一时的话， g t 呃取最大值， 当 t 等于一的时候， gt。 取最大值，那么 gt 这个最大值是多少呢？ g 一 g 一 的话是二嘛， 那也就是说 a e f 的 这个最大值，它就等于三分之二倍根号三，再乘以这个根号二，也就是三分之二倍根号六。 那整个体积的这个最大值为这个 a、 a、 b、 c、 d 的 最大值是三分之一个 a， 三分之一个这个高乘以底面积，这个底面积是题目给的是三倍根号三， 也就是三分之一乘以三分之二倍根号六，再乘以三倍根号三，这个大家来算一下，是二倍这个根号二，这样我们就把这个题给它呃，解出来了啊。 呃，当然我在中间省略了一些步骤啊，省略一些步骤，大家可以去补充一下，大家可以补充一下。 ok， 那 这道题咱们就讲到这。

拉绳几何演示模型安装教程首先找到相应的棱台和展开卡纸，取下展开卡纸，将小圆孔上的卡片去掉，将棱台上红色圆孔上的圆片去掉。注意看展开图上的数字，根据数字顺序将线依次穿进去。注意每次从一个孔 到另一个孔穿线时，要保持在同一个平面上，最后两根线头都在棱台的背面。随后取下一节双面胶贴在棱台粘胶处，并将展开卡纸对应地粘在此处。卡片粘好后， 将卡纸顺着相应的痕迹折一下，拉动底部的线头，就可以掩饰图形由平面展开图到立体图形的变化了。 ok。

同学们还在为立体几何头疼吗？是不是一看到那些复杂的空间图形就泛滥，怎么都想象不出他们的真实样子？今天给你们安利一个高中立体几何的提分神器，激又激不乐！有了它，再也不用死磕脑补空间结构了， 你只需要简单操作，它就能一键生成三 d 立体模型，不管是正方体、棱锥还是更复杂的组合体， 都能清清楚楚的展现在你眼前。而且啊，你还可以用鼠标随意拖拽，从各个角度观察 洁面怎么切，图形怎么翻折。还有那些让人头疼的空间位置关系，他都能动态演示给你看，简直就像把几何图形捧在手里研究一样，直观、空间感弱，看图猛，解题没思路，这些问题他都能帮你解决。 其实几何学习最重要的就是培养几何直观能力，用 g u g b 从小处入手，慢慢积累数学轻松逆袭真的不是梦， 赶紧去试试这个神器吧！相信我，你的立体几何学习会打开新世界的大门！你们平时学立体几何都有哪些小妙招呢？评论区一起交流一下呀！

你们是不是觉得空间想象能力不好，我立体几何就学不明白？你们的练习册中的很多模拟题，为了追求难度，给你把题目出的很偏，让大家误以为，哎，立体几何就是选学， 但其实真相是，在真正的高考当中，立体几何这个模块考察是非常套路化的。 胡老师教高中数学已经十三年了，我带的学生里面有很多函数真的学的一塌糊涂，但是他立体几何能考到一百三十分以上去， 关键就在于他们掌握了高考的二十五大核心题型的阶梯框架。今天呢，胡老师就把这些方法全部都给大家教给你，所以你认真听，立体几何也能够成为你们的强势模块，行不行？行，好， 那么我们要学好立体几何，咱们必须得过这五大关来。第一关叫什么？七大几何体，你要非常熟悉七大几何体，也就是说你要和我先写下来啊，圆柱， 圆锥还有呢？圆台好，圆台还有啥球球很好，还有棱柱还有啥能台？能锥 还有啥能台？哎呀，能台还有什么球球？对这些人做好朋友呀， 他们怎么画？他们的侧面展开图怎么画？他们拼接到一块基本的图形怎么画，你得清楚，这是空间感的第一步。你像这几年高考特别爱考的圆锥侧面展开图，让你求跟他有关的面积问题， 包括棱台有关的体积问题，是不是要非常熟练？是的好，你把第一关过了，那么基础分咱们稳稳拿下。 答案是，基础分拿下并不代表你能拿高分。所以这就到了我们今天要讲的第二个关，很多同学百分之九十的同学都会进入的同一个拉分陷阱，叫什么 球？哎呀，聪明啊，叫做球的问题，球里面要掌握哪些方法呢？ 大家要掌握的是对的，从两个方向下手，第一个是六大对的外接球的问题，第二个是常见的一些内切球，三大内切球的解法， 六大外接球，大家能不能想起来都有哪些方法？这个我没有讲过长方，比如说什么长方体模型，还有呢？圆锥，对了，圆锥模型并不是说只有圆锥可以用，是不是棱锥也可以用啊，是要注意它的识别条件，还有什么模型， 还有圆柱，还有什么模型？扇子，还有呢？两个终极大沙洲，一考就考你亚洲叫什么？ 双半径，哎，对了，双半径单交线，还有一个是双距离单交线的问题，都会啊， 会这六大模型，你做外接球的问题就是直接秒杀你不会，不好意思，你可能做五分钟你都出不来答案。 好吧，来看第二个内切球的问题，内切球，特别是常见的一些多面体的锥体问题，比如说对应的公式，我们给大家总结过，而等于三 v 除以 s 也很熟练，必须熟练于心，没问题吧？没有， 这些对应在咱们二十五大题型的第十三到三十七题，所以大家把模型吃透，你球类的问题就不在话下了。 那么搞定了球之后，很多同学最怕的坎来了，总觉得，哎呀，我没有空间想象能力，我这个立体几何就学不好，核心在于不会。第三个点叫什么？ 对了，平行垂直的证明问题，这是立体几何最本质的，最底层的东西就是你这个东西学不好，你整个立体几何的这个楼就塌了，明白没有？ 这也是我们二十五大题型里面的重头戏了，足足占了六大题型。来，先说第一个叫平行问题，平行问题需要掌握什么？ 常见的要让你证明吗？对了，让你证明我们给大家讲的是什么法？尺子法去证明，然后还有一些特别爱考的叫动点问题，是不是叫动点有关的探索问题？ 那你是不得我们讲的口诀还有人有印象没有，叫做谁不动平移谁，对了，这是诀窍。好，接下来下一个叫什么问题？垂直问题， 你记住哈，所有立体几何的核心都是垂直的问题，你垂直学不好，你立体几何底层楼是摇晃的，垂直里面一共分为三大需要大家掌握的。第一个叫什么？垂直线线，第一个叫做线线垂直 线线垂直的核心是什么？嗯，我这样写，横着写 线线垂直，核心是找一根线，把这个线放到面对去，那这根线应该怎么去找？是有套路的。除此以外，线面垂直这个好正。还有一个叫面面垂直，那面面垂直的核心是什么？ 先挑一个面，从面中挑一根线，对，这个面怎么挑，面中的线又怎么挑，是不全是有方法的？那可不是你看答案随便去找的哟，所以大家一定要去总结，不断的去用它， 然后考试中更多的是把这些杂揉在一块，综合去考你。然后我们就衍生出来了很多方法，比如说三垂线模型，对吧？矩形模型、勾股模型，你会了这些方法证明是又快又准的。 当然大家要注意哈，我们费了这么大劲搞平行和垂直，不是说只是为了让你做题挣着玩的，所有的工作都是为了给第几关做补点。 第四关叫做夹角问题，高考的大题以及我们平时月考、期中考，只要考到例题，几何大题的第二问非常重要，必考内容重中之重。二十五大题型里面，六道最拉分的题全都在这。 所以说这里一共是三大方向，哪三个方向？来告诉我夹角问题。什么角？ 谁和谁的夹角？线和线的夹角，线和线的夹角有哪些方法？第一个我，我们说的是意面之线，明白没有？我是不是可以通过平移把意面变成共面的？ ok， 我 们还给大家讲了一个大招， 叫空间余弦定力。注意，不是余弦定力，是空间余弦定力。如果你剩两个，你发现你都搞不定，还有个万能的方法，叫什么叫做向量法，可以通过间隙去解决问题。 ok， 三个方法，除了线线之外，还有什么？线面线面对大体主要就是考后两个叫线面和面面啊。线面，第一个方法拿什么去做？ 对了，所有的就是，哎，我先用定义找到线面对应的夹角。嗯，那如果我定义找不出来那个夹角怎么办呢？向量，我们还有个备胎的方法，忘了吗？ 叫做等微等高啊，求正弦，非常好用，规避了你不会找夹角的问题，再实在不行，有了一个保底的方法叫向量法，这是核心你要掌握的。 那下面搞定之后，还有一个爱考的叫什么叫做面面夹角的问题，好，面面夹角，哎，对二面角的问题，哪些方法？嗯， 定义方法，第一个特别特别爱考，这几年不管在高考中还是在你平时考试中，这两个一旦考小题，其实更多的用的是从定义的角度，你得会 ok 吗？ ok， 好。 还有大题中爱考的是什么方法？ 三锤宪法，我说的是都是高频爱考的啊，你是你必会的，实在前两个搞不定也是一样的，叫什么法？项量法， 很多高三的孩子最后说，胡老师，既然你说向量法比较重要，我就只学向量法，向量法，向量法，只靠空间向量去做题，结果考试一紧张，坐标写错，或者有的题目你发现那个细根本就见不出来。所以，尤其咱们现在高一的孩子，现在在学立体几何， 真正能让你跟别人拉开差距的。前面的这些几何的方法，我们要一开始把它学透，一开始就要去刻意训练，这些几何方法没有问题吧？没有好，前四个关过完，那很多同学觉得，哎呀，理论几何学完这些就没问题了， 往往在最后的关头，你发现你们会丢分，因为你忽略了最隐蔽的第五关叫什么？ 距离。哎！对了，还有一个问题叫做距离问题，距离在我们老高考中经常考点面具，点面具吗？是吧？点面具说白了其实就是体积的问题吗？转化成体积的问题，我们新高考中还增加了什么 意面？直线的距离，这是最容易被大家忽略掉的，必须重视。 所以呢类题结合就是以上五个大关，考来考去，翻来覆去，永远都是总结完二十五大题型，你把整套体系攻克掉，你的成绩一定是突飞猛进的。 所以大家不管是高一、高二还是高三，现在功课都完全来得及，那么这二十五大题型每一个类我们怎么快速拿下对应的方法，胡老师每一个全给你们配套了同类型的辨识训练，从基础到重，能到难，全部都总结好了。 你想快速搞定立体几何的，你可以，立体几何胡老师全都给你安排，抓紧时间打印起来，跟着胡老师拿下立体几何没有问题吧？没有好，下课！

高中数学最难的例题，几何模型规划全部练会考试我拿前三，模型一，墙角模型使用范围公式例题模型二，汉堡模型推导过程 三，对棱相等模型四，斗笠模型五，垂面模型 七，最直模型完整版分享！

你信不信，只要高考出现外接球的问题，咱们班百分之九十的人连球星都找不到。信，哈哈哈，球星都找不到，你还做个啥呀？ 当然不用担心哈，胡老师一线授课十三年了，我带了上万名差生跟胡老师成功逆袭的，那么外接球再难翻来覆去就是这六大模型，一个一个挨着带，大家去找球星， 就怕你们考场认不出模型。然后每个模型我又给你配套了专项的不同难度的训练题目，大家务必一定要亲自做一下好不好？好好，先来看第一个长方体模型，一定要搞清楚每个模型的适用前提哈，只要出现两两垂直， 有两两垂直，不是三根线。两两垂直或说对棱相等啊，一般说是四面体，你都可以把这个体给他放到长方体里面去，借助长方体去求。举个例子，非常经典的墙角模型，你看，比如说出现两两垂直，他可能是个锥体， 我给你画一下，就这个锥体呗，能看清楚吗？这个颜色比较浅，你看 这个锥体是不是就可以通过长方体把他的题给他找出来，没问题吧？没有，在这，那是不是他的外接球就是这个长方体的外接球？是没问题吧？那长方体的外接球怎么去求呢？嗯， 长方体的外接球的球心在于长方体的最中间，为什么呢？因为最中间这个点到长方体每一个点的距离都是一样的，而这每一个点不都在球上吗？是不是到球上的距离都是一样的呀？那不就是半径 r 了吗？对， 对啊，所以这就是球心，明白了没有？明白，那这个球心在哪呢？是不是在长方体的体对角线上？对了，所以长方体的体对角线的一半就是 r， 明白了没有？明白了，那这个 r 你 会求吗？ 会求吗？我写一下 r 等于啥？ r 等于长，不会求 r， 总归就会求二 r 吧。二 r 等于长方体，长宽高的， 把它放到这个直角三角形里面去，是不是根据勾股定律可求？对 c 方加这一这个方吗？对，这个方是谁呢？ a 方加 b 方，会了吗？会了，所以奥尔等于 a 方加 b 方加 c 方。开个根 没问题吧？没有，这不就可以求半径了。好嘞，这个说完完事了啊，识别特征得搞清楚。第二个叫扇子模型。就什么时候用扇子模型呢？ 出现两个共斜边的直角三角形，你看，这是一个直角三角形，这也是一个直角三角形，你俩共用的斜边 ab 在 这里，为什么叫扇子？它就像那个扇子折页的那两个页吗？对不对？那扇子模型你告诉我它的外接球球心在哪里？ 在哪里？球心嘛，它跟你看这些点是不是都在球上来？球心就在 a b 的 中点。对啊，球心它是不是到每一个点的距离得是一样的呀？知道到球面上每一点距离是一样的吗？你们不都在球面上吗？对不对？对外接球问题吗？那球心是不是应该在这中间？ o 直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半， o 在 这，那你是半径 r， 你 是 r 等于一半，这不也是 r 吗？是不跟这边一连连过去，这也还是 r 啊。 所以说 r 等于二分之 ab 有 问题吗？没有。好，这是我们的第二个扇子模型， 当然还有我们的第三个特别爱好的圆锥模型。圆锥模型并不只有圆锥才能用，看这里写的棱锥也可以。那么这个模型的核心第一步关键在于找到这个圆锥的 轴结面。那这个轴结面怎么找呢？顺着这个高给他往下切一刀，那这个圆锥就变成了什么三角形？等腰很好，叫等腰三角形，就这个等腰三角形吧，我给你切一下，把它的轴结面找到。棱锥也可以。为什么棱锥可以啊？因为 你从这个圆锥上取几个点就可以连出棱锥出来吗？一样的，对吧？那他的外接球的球心在哪里？告诉胡老师，有的人是死记公式的，不要记公式啊，一定要理解。嗯，比如说球心 o 在 这里没问题吧？ 没有，球心 o 是 不是一直在，一定在他的高上来？对，关键是这个半径怎么求？连接球心和球面上的任何一个点，这是不是就是半径 r 了？ 核心在于构造，而 t 三角形底面圆所在的半径是 r， 那 这段的长度是谁呢？告诉我，这是直角三角形吗？这段长度是多少？ 锥体的高是 h， 那 这个是不是也还是 r？ 对， 那是不是这段应该是 h？ 哎呦，减 r 没问题吧？没有，所以勾股定律来了，叫做 r 方，等于 h 减 r 的 平方加上小 r 的 平方， 然后你自己可以把它化解一下，得到一个你们经常在参考书里面看到的二级结论，就这么来的，会了吗？会了。然后来看第四个模型，叫圆柱模型。 圆柱模型不仅仅说是在圆柱里面能用，只要出现侧棱垂直于底面，我们就可以用 那侧棱垂直于底面，你比如说那圆柱就更不用说了吗？对吧？其实棱柱是不是侧棱垂直于底面也可以用？为什么呢？因为你看你从这里面可以给他画出一个棱柱出来吗？是的，我给你画一个棱柱啊，比如说，你看胡老师给大家画一下， 这是不是一个棱柱？对，来，我画的图可能不是很很标准啊。然后你把这个一连，你看这个棱柱的外接球是不是和这个 圆柱的外接球是一样的？是一模一样的？是的，所以它的适用条件，侧棱垂垂底面的圆柱可以用，没问题吧？没有棱柱可以用，没有问题吧？有棱锥。为什么棱锥可以用？前提条件啊？侧棱垂垂底面， 因为你把从比如说这个点跟这三个点一连，是不可以连出一个锥体出来？是的，是不是你们这些的外接球和这个圆柱的外接球都是同一个外接球？对，发现没有？发现了，你从这里面可以再截一个棱锥出来吗？是的， 没有问题吧？所以不要死记硬背，只要出现侧棱垂直于圆柱，他只要在这个圆柱里面能把他这个图形画出来，都可以。啊。啊？侧棱垂直于底面，只要在这个圆柱当中能把这个体画出来就可以，没问题吧？好嘞，那这种问题他的圆心在哪里？ 他的圆心，你看这是一个对称图形吗？对这个棱柱而言，是不是是上圆心下圆心？一连是不是高了？对，在你俩圆一连最中间吗？这不是球心 o 吗？ 是不是？对，那这个怎么求呢？是跟上一个方法本质是一样的，叫构造。而 t 三角形球心到 球面上任何一个点，随便连一个点是吧？对，然后这不是刚连下来的吗？这不垂直的吗？这不是底下圆的什么半径？底下外接圆，可能是一个棱柱吧。棱柱就是外接圆吗？ 那如果是圆柱的话，就算底面圆吗？对不对？就他的半径 r 吗？那这个是大 r， 那 这个是谁呢？高的一半，哎，对了，这个叫二分之 h， 所以 他是二分之 h 的 平方，换个颜色啊，他应该是二分之 h 的 平方，加上小 r 方，等于 r 的 平方， 会了吗？会了，你看到有的人或者你们看了你的教辅资料里面给你画了一个侧棱垂直于底面的棱锥，给你推这个，有的人他理解不了，把它放到这个里面去，是不是就瞬间很直观了？对，好，直接拿捏列方程就好了。前四个相对来说都是比较规则的一些题， 当然我们如果遇到一些那些体长得不怎么规则，比较流氓的这种题怎么办呢？比如说就像我们的这种题型五和题型六， 这两个题型识别条件都非常经典，但同时都是我们考试中的亚洲题。同时我们也给大家总结出了终极大招。你比如说像第一个叫做只要出现面面垂直， 只要有面面垂直，就是双半径单交线，只要出现夹角。这里我是不是漏写了，只要出现 两个面的夹角问题，那么我们的方法就是双距离单角线。 那这两个模型，因为这黑板真的是太挤了，我写不下了，而且在黑板上不太好画图，我觉得在我的电子 ipad 上画图会比较明显，所以胡老师把他的整个推导的过程全都给大家整理出来了 好不好？直接套用公式这种题做亚洲题，你直接三十秒一分钟就做完了，你同桌可能思考十分钟做不出来，所以一定前提是先把模型的本质是什么给他理解透彻， ok 吗？ ok， 不 用画图考试直接带公式。 这六大模型就是我们外接球的六大核心的所有的考法，当然大家光听 你不练肯定是不行的，考场上一变式，你发现你照样蒙。所以呢，胡老师真的是怕大家眼睛会了，你手下不会，我就把这六大模型，每一个模型对应的题型有详细版的步骤讲解，也给大家全部整理好了，包括推导，包括基础中等难的变式训练 全梳理出来了。所以我们放假期间，大家一定要跟着胡老师练起来好不好？如果你外接球有问题，你可以外接球，胡老师给你安排，抓紧时间打印出来，跟着胡老师外接球练完直接拿满分行不行？行，好，下课！

今天我们来看一下这个二五年全国一卷的高考真题，如图，在四棱锥中给了 pa 垂直这个底面，对吧？然后告诉了 ab 垂直于 ad， bc 呢？平行于 ad。 第一问，让我们证明面 p a d 就是 这个面，对吧？ 垂直于底底面面 p a d 垂直于面 p a b 垂直于这个面，对吧？这两个面垂直。 那如果说我们想证明面面垂直，我们是不是得正线面垂直啊？那怎么正线面垂直呢？那是不是平面外有一条直线与平面内的两条相交直线分别垂直？所以说这条线垂直于这个面啊，然后 线和面垂直了，我们再用嗯，这个线所在的这个面就垂直于这个面了，所以面面垂直。那我们先证明一下线面垂直，就能证明面面垂直了。 那线面垂直，是平面外的一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那我们是不是已知知道了，因为 pa 给了我们 pa 垂直于面 abcd 啊， 告诉了我们线面垂直，对吧？然后 ad 呢和 ab 呢，都在面 abcd 中，所以 pa 是 不是垂直于 ad， pa 垂直于 ab 啊？因为一一个线和一个面垂直，那这条线 就垂直这个平面内的所有直线，哎，对吧？因为他俩都在面内，所以说他们垂直。题干又给了 ab 垂直于 ad， 对 吧？看线， ab 垂直于 ad 呢，还垂直于 pi， 那 a d 和 p a 呢？又相交于点 a， 对 吧？那是不是就我们说的平面外的一条直线，就是 ab 与平面内的两条相交直线，那就是 a p 和 a d， 对 吧？相交于点 a a b 和垂垂直于 a p a b 垂直于 a d， 对 吧？那所以说 a b 是 不是和这个面和 p a d 这个面就垂直了，那 a b 和 p a、 d 这个面垂直， a、 b 又在这个面内，所以说这两面是不是垂直啊？然后我们写一下过程，因为 a、 b 垂直于 a d， 对 吧？ 嗯？ a p 呢，又在面 p a d 中， a d 呢，也在面 p a d 中， a p 交 a d 与点 a， 对 吧？平面外的一条直线，就是 ab 与平面内的两条相交直线垂直，所以说我们能得到 ab 垂直于面 p a、 d， 又因为 ab 在 面 p a、 b 中，对吧？所以两个面是不是就垂直？ p a、 b 就 垂直于面 p a d， 所以 第一位呢，我们就整满了。第一位呢，还是比较简单的，证明面面垂直。我们先证明线面垂直，然后这条线所在的平面就与这个面垂直了。 证明线面垂直呢，就用平面外的一条直线与平面内两条相交直线垂直，所以说这个线就和这个面垂直。然后我们看一下第二位。 第二问，给了我们 p a 和 p b 给了长度，对吧？给了所有的长度，然后说点 p b、 c、 d 在 球面上，让我们证明点 o 在 平面 a、 b、 c、 d 内， 那他给了我们这些线段的长度。第一反应是不是得建立直角坐标系啊？那我们看一下第一问，我们知道了 a p 呢垂直于 ab， a p 呢，还垂直于 ad， 对 吧？然后 ab 呢，还垂直于 ad， 这三个面互相垂直，那我们是不是建立直角坐标系？是不是能以它为 x 轴，它为 y 轴，它为 z 轴啊？ 那我们写一下，因为 ap 垂直于 ab， ap 垂直于 ad， ab 呢 也垂直于 ad， bc 呢还平行于 ad， 然后又给了这些边，对吧？ pa 得 ab 根号二， ad 呢，等于一，加上根号三。所以我们以 a 为圆点，分别以 a、 b、 a、 d、 a、 p、 v、 x、 y、 z 轴建立直角坐标系。那第一问，他让我们证明 o 点在 面 a、 b、 c、 d 内，我们是不是只需要证明 o 点的坐标是不是在这个底面，对吧？在这个底面上有什么特点？是不是它的 z， x， y， z， 它的坐标 o 点是 x、 y、 z 的 话，是不是 z 是 零，它就是在底面 b、 c、 d 上了。那我们根据什么来证明呢？我们是不是还有一个条件它没有用啊？ p、 b， c、 d 在 求 o 的 球面上，对吧？那我们在求 o 的 球面上，我们设一下球心， 设球心 o 呢为 x、 y， z， 呃，球的半径呢？为 r， 那点 p、 b、 c、 d 都在球面上，我们能得到的已知条件是不是 p、 b， c， d 到 o 的 距离为半径， 是不是就为半径 r 啊？因为我们能知道，只能只能得到这一个条件，因为这些点都在球球 o 的 球面上。那球面上所有的点到圆到球心的距离是不是都是半径？那我们就根据它两点间距离公式对吧？那点 p 到 o 的 距离 v， r， c 到 o 的 距离 v， r， d 到 o 的 距离 v， r。 那 我们是不是能列出四个式子呀？我们先写一下他们的坐标， 因为点 a 坐标是零，零零为圆点，对吧？ b 点呢是根号二，零零 c 点呢是根号二，二零 d 点呢是零一加根号三零。 p 点呢是零零，根号二。那我们根据两点间距离公式， p， o， b， o， c， o， d， o 是 不是都等于 r 啊？那 p o 呢？ p， o， 这是 p， 这是 o 吧？两点间距离公式，红坐标减红坐标加上纵坐标减纵坐标加上 z 坐标，再减 z 坐标等于半径 的平方，对吧？那我们写下，那 x 减零是得 x， 对 吧？那就是 s 方加上 y 减零是 y 方，因为两点间距离。公式嘛， 再加上 z 减根号二的平方等于二方，然后以此类推，然后 b、 o， b、 o 也是这样做，那他就是 x 减根号二 的平方加上 y 方加 z 方等于二方，然后 c、 o 呢？也是一样的，那就是 x 减根号二的平方加上 y 减二的平方加上 z 方等于二方， 那这个 d 油也是一样的， s 方加上 y 减去一加刚好三，扩回的平方加上 z 方也等于二方。那我们给这个式四个式子，两两连立，是不是能求出 s、 y、 z 啊？ 这是第一式子，第二式子，第三个式子，第四个式子。那我们看一下，如果说我们让第二个式子减第三个式子，是不是能得到 他减他，因为他俩都是一样的嘛，对吧？就没了，就剩下 y 方减去 y 减二的平方了， y 方减去 y 减二，括号的平方等于零，对吧？然后我们能得到 四， y 等于四，对吧？然后 y 等于一，然后又将 y 的 一带入第三个式子和第四个式子中。 将 y 得一带入三中，那把 y 得一，换一下呗。那就是 s 减根号二的平方加上 z 方就等于二方减一，这是第五个式子。那在 y 得一带入四中呢？ 那就是 x 方加上 z 方等于 r 方减三，这个是第六个式子。那然后第五个式子减第六个式子呢？就能得到负二倍根号二， x 加二等于零，所以我们能得到 s 的 零，对吧？ s 的 零 y 得一，我们能求出来了， 那我们再用一式减去二式，它减它，那就是 x 方减去 x， 减根号二的平方加上 z， 减根号二的平方减去 z 方等于零，对吧？ 那就是 x 方减去 x 方减二倍根号二， x 加上二，加上这方减二倍， 二倍根号二， z 加二减 z 方等于零，那 x 方和 s 方约掉了，这变成加了，对吧？二倍根号二， x， 这就变成减了。减二加上 z 方和 z 方约掉了，那就是减去二倍根号二， z 加二等于零， 那负二和加二又掉了二倍根号二，减二倍根号二， z 等于零，所以说 x 等于 z 等于零，那所以说我们是不是能求出 o 点坐标是 x 是 零， y 是 一， z 是 零，对吧？那所以点 o 就 在 平面 a、 b、 c、 d 内。嗯，第二问的第一问，我们就证明完了。我们看一下第二问，让我们求直线 a c 与 p o 所成角的余弦值，那余弦值我们是不是就用向量极啊？是不是口三极，它 就是 a c 向量和 p o 向量的域线值，是不是等于 a c 向量乘 p o 向量比上 a c 的 膜乘以 p o 的 膜啊？那我们是不是把 a c 向量和 p o 向量给它表示出来呀？那 a c 的 向量是不是就是 根号二二零用 c 减 a 啊？嗯， p o 向量呢？就用 o 的 o 向量减去 p 向量，这呢？ o 向量，这是 p 向量，就等于零一负根号二， 那所以那两条直线扣三 ac 向量于 p o 向量所乘角的余弦值，是不是 a c 向量乘以 p o 向量比上 a c 的 膜乘以 p o 的 膜啊？这是固定公式。 那 a c 向量乘 p o 向量呢？就每个向量分别相乘呗，那就是上面是二，对吧？因为零乘零都没了。比上 a、 c 的 膜是不是根号下根号二的平方就是二，加上二的平方是不是得四？再乘以根号下它方加它方加它方等于一加二，对吧？ 它就等于二。比上根号六，乘根号三，等于根号十八分之二，那也就是二乘九三倍。根号二分之二等于三分之根号二。所以直线 a、 c 与 p、 o 所乘角的余弦值我们是不是就能求出来了？所乘角的余弦值 就是三分之根号。那我们来总结一下这道题。第一问，我们证明两个平面垂直。证明一个平面上的一条直线，就是 ab 与这个平面内两条相交的直线垂直，所以说直线与面垂直，然后又因为 呃直线上直线，直线与面垂直之后，直线所在的面都与这个面垂直。 第一问，我们转完了，第二问，他给了我们这些距离长度，对吧？我们建立直角坐标系，建立直角坐标系之后呢，让我们证明点 o 在 平面 a、 b、 c、 d 内， 只要证明这个 z 坐标是零，那他是不是肯定是在这个平面上啊？无论说是在在哪个象限内，那我们根据已知条件， p、 b、 c、 d 在 球的球面上我们只能得到，因为这些点在球的球面上，所以说这些点到球心的距离是等于半径为 r 的。 所以说我们列出四个式子，然后就是解方程组嘛，之前都是两个方程，三个方程，这是四个，但也都是一样的， 给它代入能求出 s、 y、 z 是 零一零，所以说点 o 呢？在平面内。然后第二问的第二问呢？让我们求它的余弦值，余弦值呢？就是这个公式我们一定要背下来，写出两个向量的坐标，我们就求出来了。

二十分钟掌握空间角几何法，看完本期视频，你就是空间角的神！我已加入抖音精选应援联盟，欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟，对我的高考百日百课。 空间角作为我们立体几何中的老大哥题型，我们除了要会间隙法，一些简单的几何法我们应该也要去掌握，不可能每道题都去用间隙对不对？特别是出现在一些小题里面的时候。那么今天呢，我们就来讲一讲线线角，线面角以及二面角 他们一些常见的几何法该怎么去解决。在平面中，我们知道两条直线的夹角，我们在一起的话，那么取这个锐角零到二分之派的时候，这个呢就是我们两条直线的夹角对不对？ 那么如果在空间中怎么办？我们需要把它移到一起，有交点的时候，那么此时呢，他这个角就是我们两条异面直线的夹角。下面我们来看到一个具体的例题， 这种方法往往是最简单的，正方体中 p、 q 分 别是 a、 d、 e、 b、 d 的 中点，这里呢我图已经画好了，他问的是 p、 q 以及 b、 c、 e 这两条意面直线所成的角的大小。好，我们来看一下， 我们说了，我们是需要通过平移让他们两条直线有一个交点，对不对？那么我们的 p、 q 也可以去移动， b、 c、 e 呢？也可以去移动，这个题目比较简单，我们直接把 b、 c、 e 去移动会比较容易吧？移到哪里？ 移到我们的 a、 d、 e 这里，他们两个是平行的，所以我直接移过去，你发现 p 点呢，就是他们的交点，那么这两条异面直线所成的角呢？ 不就是我们的 a p q 这个角吗？我们这样一连把 a、 q 连起来，那么这个三角形的三边我们能不能求？来看一下各边长的关系？我们假设正方体的边长为二好了，那么这条线怎么求啊？我这样做一个垂直过来， 那这里就是一，这里呢也是一，这里是根号二，没问题吧？那么这条边呢，我们这样垂直下来，他这里也是根号二吧，这里是一，然后呢这边也是一，根号二，同样 这条长度怎么去求？我们只需要这样做一个垂直下来，然后这里垂过来，这里是一，这里是一，这里也是根二。所以你会发现这个脚踏其实就是六十度，对不对？这种平移当然比较简单，还有没有别的平移方法？有，只不过是比较麻烦嘛，你可以平移到终点，我们再讲一个， 把它平移到这条线上来，然后你会发现，此时呢他们没有终点，对不对？因为有些题目他可能不可以这样直接平移过去就能有焦点，然后你平移到这里之后，然后怎么办？与这条线没有焦点，那我怎么样才有焦点呢？我是不是得往 外面呢？呃，这个应该叫前面吧，得往前面去移，移成这个样子才有焦点，对不对？那么此时呢，我们连接 q 与我们底面，就我们的 d c c e d 这个面，它的中心，哎，是不是此时呢它们就有焦点了呀？当然这样平移需要那么一点点的空间想象能力，那么此时呢，我们去把这两个连起来，你会发现呢， 这条边的长度，我们这样做垂直过来，垂直过来他也是根二，没问题吧？那这条边呢？这里过去过去他也是根二吧，同样都是根二，那么这个角度呢，也是六十度，同样会得到 c 选项。第二种，线面角，如果我们要去求直线 a c 与我们这个平面 r 的 夹角， 那么最简单的方法就是过 a 点去做我们 r 法的垂线垂直呢？我们这个 r 法这个平面，然后去连接我们的 c b， 那 么此时这个 c 塔就是我们所需要的线面角，对不对？ 但是这里有一个什么问题，我这个垂足啊，往往不会去，很容易找到，你不知道它垂在哪个地方，哎，你说这个 b 点在这呢，这样子垂直的是不是也有可能呢？那此时我说这个角才是它的线面角， 所以我们这里的难点是什么呀？没有办法去确定垂直，如果题目里能够看出来的，当然简单了，什么情况？比如这是个等腰三角形，对不对？那我这样做过去，他当然就垂直了。 然后呢，如果此时我们有一个平面呢，你会发现他与我们的 r 法是垂直的，那我经过这个北塔这个面，我去做一条直线垂直交线，那么我们这条直线是不是就垂直我们的底面？ r 法能理解吧？ 那么，呃，既然他垂直我们的 r 法，那他当然就垂直我们的 bc 了。所以呢，此时，哎，这个角就是我们的线面角，所以我们往往会一拖，什么呀？面面垂直去找到这条 直线，从而呢，垂直这个 r 法，从而去找到他的线面角。当然这里都是比较常规的方法。那再难一点点怎么办？我们还要等体 积法吗？对不对？等体积法呢，我们是不需要知道它这个垂直在哪里，我们只要知道 a 点，它是垂直这个平面的，所以这条长度，哎，不就是这个我们的什么呀？ 高，对不对？那么通过等体积法是能够把这条高求出来，它的计数量可能会大一点点啊。这里我们不讲这个方法，我们只讲一下我们常规的一些方法。 看到题目在长方题 a b c d a e b c d e 中，他给了我们 ab 等于 bc 等于二，那么说明这个是正方形吧， a a 等于一，他问的是 bc 以及我们这个平面所形成的角的正弦值。好，这里图呢，我已经画好了，我们来看一下 你要求这条线与这个面的线面角，那我们刚刚讲过，我想过 c 点去做这个面的垂线，对不对？那么这个垂足在哪里，我们是不能够去确定的吧？那怎么办？ 我需要去找到一个面与我们这个红色的平面垂直，然后呢，在那个平面上，我们再去做一条与他交线垂直的，那么他必然就垂直我们这个红色的面吧。我们来看一下这里有哪个是垂直的面， 很明显我们的上下底面呢，都会与我们这个红色的平面垂直，没问题吧？这个应该，哎，不难看出来吧。然后再来看到这条直线 b c e， 你 会发现 c e 怎么样？他是不是在这个平面里面呢？ 所以我过 c e 呢，去做这条交线的垂线，好，这样垂直过来。那我想问一下 c 这个点我们取为 m 好 了， c e m， 他 是不是垂直这个红色的平面呢？是不是没有任何问题？好，那么既然他垂直这个红色的平面， 所以这个 m 点就是什么呀？我们做垂直的垂足嘛，我们只要连接 m b， 那 么我们这里的线面角不就是这个角吗？ c t 没问题吧？那么此时呢，我们的线面角就做出来了，然后我再来看一下它的各个长度就可以，这里是 二，这里呢是一，所以这个长度它不就是根号五吗？然后再看一下这一篇啊，这边如果同学们看不出来的话，我们可以把这个正方形呢拿到平面上来，它是个正方形，那么另外一条是对角线，那么要垂直，它当然就是对角线了， 所以这里它是一半的对角线的长度吧，这里是二，这里是二倍根号二，所以这条长度是根号二。再来看到这条线的长度，我们这里图画的没有那么标准，它应该是在这个地方没问题吧？ 啊，我们把它画标准一点吧，这样大家看起来可能会舒服一点啊。我们再来看到这条线的长度，那么这里呢，他是一，没问题吧，这里是根号二，所以这里你看他是多少 根号二加一，他不就是根号三吗？那我们去求这个角度的什么值？正弦值，所以这条边我们是不用求的吧，他就是根号二，比上我们的根号五好，所以最后等于五分之根号十，选到 d 选项。 接下来呢，我们来看看大家最喜欢的二面角的问题，那么什么是二面角啊？如果有两个半平面，他们所形成的角度呢？就叫做二面角。最简单的生活中的例子就是，我们把书本打开好，打开到某一个角度，那这个角呢？就是我们的二面角，对不对？他记住我们的 r、 f、 l 倍特，那么我们这个二面角怎么去求呢？我们肯定是以平面角来求它吧，如果我在阿尔法内某一点好，比如这里呢，我画的是 a 点，过这个 a 点，做一条垂直于他们交线的一条直线，垂直为 m， 然后呢，我再过倍特上一个点 b 点，他也去垂直我们的交线 l， 他 也的垂直呢？为 m， 那 么此时我们的 a、 m、 b 就为我们二面角所在的平面角。能不能理解，那么我们要做的是什么呢？两条垂直于他们交线的线，对不对？然后他们所形成的角， 他这个 c 塔就是我们二面角所在的平面角，但是啊，这里是定义，对吧？我们在题目中，往往你会发现，哎，我过这个 a 点，你去做，哎，你会发现做到 m 点，但是我过这个 b 点呢，他不一定做到 m 点呢，他可能做到旁边这里是垂直的，做到 n 点，怎么办？ 那么此时我们就没有办法去说它这个角是二面角吧，因为它已经没有形成一个角了，对吗？下面我们来看到可以用定义法直接找到的二面角。看到题目正方体中 二面角，第一好与我们的 a、 c、 d 这两个面的二面角，这里呢，图案已经画好了，就这个红色的与这个绿色的，对吧？那我们第一步干嘛 在某一个平面上，比如我们下面这个绿色的平面找到点 d， 然后呢去做我们 a、 c 的 垂线，这里很明显它是个正方体，所以 a d 等于 d c， 那 我过点 d 做垂线的话，它一定是交于我们 a、 c 的 中点，这里是垂直的， 然后呢，我需要在另外一个平面哎，也去做 a、 c 的 垂线，比如我过点 d 一， 那么我们这里看到 a、 d、 e， 它与 c、 d、 e 是 不是也是相等的呀？它都是正方形的，什么呀？面对角线嘛， 所以这里呢，它也是相等的，所以它也是一个等腰三角形。那么过点 d、 e 去做 a、 c 的 垂线，当然也是会垂直它的中点了，比如我们记中点为 m， 那 么此时呢，我们这里它明显的就是我们的二面角所在的平面角吧，他们求的是什么呀？ 它的正切值，那么这里是不是就是垂直的？没问题吧？那么正切值的话，我们只要用这条边比上这条边就可以了， 不会有些同学不知道为什么这里是垂直的吧？因为我们这个 d、 d、 e， 它是垂直底面的呀，所以它一定是垂直我们的 d、 m， 所以呢，这里它就是个直角三角形，能理解吗？ 那么这条边它的长度，我们假设正方体的边长为一好了，那它这条长度不就是一吗？然后这条长度呢，这里是一，这里是一，那么这里的对角线就是根号二，那么这里是一半的对角线，所以它是二分之根号，用一比上二分之根号二， 所以呢，就等于根号二分之二，也就是等于根号二。选到 d 选项。我们刚刚讲过用定义法呢，不一定能够做的出二面角，那怎么办呢？还有没有别的方法？肯定是有的，我们还有一个什么三垂线定律，什么意思？ 如果我们现在要去做出这两个半平面的二面角，首先我过点 a 做我下面这个面的什么呀？垂线，假设呢，这个垂足为点 b 好 了，然后你这里有两个方法，第一个，我过点 a 去做这条交线的垂线，好，假设这里我们垂到 m， 然后呢，我这里直接去连接 mb， 这里不再是做了直接连接就可以了。那么一定我们这个角 a mb 就是 我们二面角所在的平面角。为什么我们来证明一下，首先呢，我的 ab 是 垂直底面的，我这里写一下好了， a b， 它是垂直，我们上面记为阿尔法，下面记为贝塔，垂直贝塔，所以我们能推到什么呀？所以我们的 a b 这条直线一定是垂直 l 的 吧？那然后呢，我们的 a m， 你 不是真的是做的垂直 l 吗？ 然后我们又有 a m 垂直 l， 所以 你会发现这个 l 啊，它既垂直 a m， 还垂直 ab， 所以呢，我们能推到 l， 它是垂直我们的平面 a b m， 那 么当然 l 它还垂直什么呀？我们的 mb， 你 看看 l， 它既垂直 a m， 这是我们做的，然后呢，又垂直我们的 mb， 这是我们正的，所以我们这个 a mb 这个角，它不就是我们二面角所在的平面角吗？这里我们是过点 a 做 l 的 垂线， 那么同样我过点 b 去做它的垂线，然后连接 a m， 它是不是也是一样的呀？如果我们过点 b 去做 l 的 垂线，同样也交于点 m， 那 我们现在知道 ab， 它是垂直 l 的， 然后呢， bm 也是垂直 l 的， 所以我们的 l 同样垂直这个平面，那么它当然就垂直 a m 了。根据我们的定义法，那么两条直线同时垂直这个交线啊，并且在同一点，那么他们所形成的角呢？就是我们二面角所在的平面角吧。下面我们来看到具体的例题， 这是一道二四年的高考题，我们看一下题目，如图，四人追 p， a， b， c， d 中 pa 它是垂直底面的，我们知道它就垂直底面的任何一条线吗？看到每句题目一定要翻译一下， 然后呢，他给了我们 pa 等于 ac 等于二，好，我们就把它标上去，意味着这里是一个什么呀？等腰直角三角形，能不能理解？所以 pc 呢，我们顺手就把它算出来，这里就是二倍杠二， 然后他还告诉了我们 ab 等于根号三，那么 ab 等于根号三， bc 又是一，然后 ac 又是二，所以你会发现这里呢，它也是个直角吧，并且这里是三十度，六十度有没有用？不管我们先把它算出来对不对？ 然后再往下看，这里第一问，我们就不看了，我们直接看到第二问，若 a、 d 它垂直 dc 的， 那么这里呢？它说也是垂直的，我这里 标记已经打好了，那我们求二面角 a， p、 c， d 这个二面角，哎，不是让我们求二面角，它说这个二面角的正弦值为七分之，刚好四十二，那我们去求 a、 d 的 长度， 这里题目给了我们二面角的正弦值，那我肯定先得去做出二面角啊，那怎么做？我们说了最简单的就是做两条垂直它的交线嘛。我们先来看到 p a、 c 这个三角形， 哎，我们有 pa 等于 ac 吧，所以我过 a 点去做 pc 的 垂线，那么它一定在哪里？在它的中点，假设这里是 m 点，那它肯定是垂直，对不对？然后你再看到下面这个， 那我过 d 点做它的垂线会不会在 m 点呢？我们得去算一下吧。那什么情况下我们过点 d 也会垂直的话，交于点 m 呢？只有我们的 pd 等于 dc 的 时候，它也是个等腰三角形才可以吧，对吧？那我们来看一下 pd 它到底等不等于 dc， 我们来算一下 pd， dc 就 可以了，但是你会发现这个 pd 跟 dc 它算不出来，对不对？那我们这里要求的是 ad 吧，我们设 ad 为 x， 那 你设了它为 x 之后，那我的 pd 不 就可以求了吗？这里是一个直角三角形， 这里是二，这里是 x， 所以 p d 的 长度呢？根号四加 x 方。好，我们 dc 的 长度怎么算？题目里告诉了我们 ad 它是垂直， dc 的 长度怎么算？题目里告诉我们 ad 它是直角三角形，这里是 x， 斜边是二，所以 dc 的 长度呢？ 根号四减去 x 方，所以你会发现它这两条边怎么样不相等的，除非我的 x 为零，那我 a、 d 肯定不可以为零呢？ 然后所以它这里过点 d 去做 p、 c 的 垂线，不会交于点 m。 那 怎么办？那我们考虑三垂线定律，在某一个平面找一个点做另外一个平面的垂线。那我们这里是找点 d 做 p a， c 的 垂线，还是找点 a 做 p c， d 的 垂线呢？我肯定找这个 a 点吧，好画也好画一点，对不对？所以我这里过点 a 做我们 p、 c、 d 的 垂线，假设垂足为这，我们既为 h， 然后连接 h m， 那 么此时这个角就是我们的二面角所在的平面角 c， 它。注意哈，这里你要证明一下它为什么是二面角了，你要怎么去写啊？因为 a m， 它是垂直平面 p c d， 所以呢，我们知道 a h， 它一定是垂直，我们的 p c， p c 又垂直 a m 又垂直 a h， 所以 我能得到 p c 垂直平面，哪个平面呢？我们这个平面吧， a h m， 所以呢，我最后能得到 p c， 它是垂直 h m 的。 那我们的二面角的定义法就是这样的嘛，这条直线呢？它垂直交线，这条直线呢，它也垂直交线，那么它们形成的角度就是二面角。 好，那现在告诉我们，正弦值为七分之，刚好四十二，对边比斜边，那么就是 a h 比上我们的 a m， 所以 a h 比上 am 等于七分之，根号四十二。那么这里有没有已知的呀？我们的 a h 没有办法去算对不对？我们的 am 是 不是能算？这里是一个等腰直角吧，这里又是中点，这里呢是二倍，根号二，所以它的长度就是根号二，所以我们可以写成 a h 比上根号二，等于根号四十二，比上七。所以最后呢，是不是能把 a h 算出来？我们算一下 a h 啊， a h 呢？我们这里算出来应该等于 七分之二倍，根号二十一。但是这个题目让我们算的是 a d， 对 不对？那我这里只能求出 a h， 我 的 a d 怎么去算？同学们想想看， 你这个 a h 是 什么东西啊？是不是 a 点到这个面的距离，我们有点到面的距离，并且很明显 a p d c， 它是一个四面体，对不对？这个顶点到底面的距离，那我不就可以考虑到用等体积法吗？所以我这里有 va a 当顶点啊，然后呢， p d， c 当底面，它就等于三分之一的 s 三角形， p， d， c 乘以我们这里的 a， h， 没问题吧？我们把数据带进去了，那我们就是三分之一 pdc 的 面积，怎么求啊？你看看它这个是什么三角形，好像看不出来， 想想看，这里是不是有一个垂直的，然后呢， pa 是 垂直底面，所以它自然也是垂直 dc 的 了，所以 dc 你 又垂直 ad， 又垂直 pa， 所以 dc 垂直 平面 p a， d， 那 么 d， c 呢？它当然是垂直 p d 了，这里同学们自己在写的时候要写上去，这里是个直角三角形，所以它的面积能不能写了？就等于二分之一，根号 四减 x 方，乘以根号四加 x 方，然后再乘以我们的 a h 七分之二倍，根号二十一。好，那我们再来把它表示成另一个，那你觉得另一个拿什么当零点比较合适啊？ 很明显，把 a 啊，把 p 当顶点比较合适吧。这里都已经是垂直里面了，所以 pa 呢，就是它的高，没问题吧？那么就是 p， 然后注意是 a， d， c 啊，不要写成 a， b， c， d， 我 们这里是什么呀？一个四面体，所以呢，它等于三分之一的 s 三角形 a， d， c 乘以我们的 pa， 好， 同样带进去三分之一，那么就是 x 乘以根号四减 x 方了。 二分之一 x， 根号四减 x 方，最后呢，再乘以我们 p a 的 长度，是不是等于二号？ 那么他们两个是不是相等的令他们相等把能约的呢？约一下三分之一，约到了二分之一约下来，然后呢，根号下四减 x 方也约掉了吧，那这个二还约掉了，所以剩下的呢？他剩下了这么多，他剩下了这一项，我们把它写到上面去，所以最后就变成了 七分之根号，二十一倍的根号，四加 x 方等于 x， 把七乘过去，两边同时平方二十一倍的 四加 x 方等于四十九倍的 x 方，同学们这里自己整理一下，那么最后得到了二十八 x 方等于八十四，那么 x 方呢就等于三，那么 x 呢，就等于根号三，当然负的不能取，我们 a d 是 个长度吧，所以最后呢，我们 a d 求出来就是等于根号三， 这里呢就利用到我们的什么呀，三垂线定律以及等体积法去求助我们此题的答案。以上呢就是我们几何法去求空间角的一些常规手段，比较基础的一些东西啊，同学们一定要掌握，如果碰到更难的怎么办，那就去见戏吧。 以上呢就是我们本期视频全部内容，我想一想，我们下期视频再见。

一张十五厘米乘以十五厘米的正方形纸，不靠裁剪，靠粘贴，只用折叠就能变出饱满球形。它几何真身是立方八面体，对称 规整，充满结构美感。这作品由冰中志明设计并折制，每一道折痕都是精准计算，每一次翻折都在构建空间，从平面到立体，一步成型，极简材料，极致几何，这就是折纸的魅力。小象云印，让打印更简单！

嘿嘿嘿，给你们看看我给孩子做的立体图像机关书，孩子空间立体感不好的一定要试试！你看，一个扇形和一个圆形合起来是圆锥体，两个圆形加一个长方形，合起来就是圆柱正方。提示，六个正方形组成的 三棱锥展开是四个三角形。一个孩子难以凭空想象的立体图形，动手玩一玩就明白了！ 五年级下册要用的几何教具，一定要提前准备！小学数学最难的不是计算，而是孩子想象不出立体结构。圆锥体展开是扇形和圆形，正方体展开是六个正方形。立体图形的表面积公式不用死记硬背，动手变成平面展开图，孩子一下就理解了。 就是这套超有趣的立体几何机关书，把小学要学的知识点都做成了能动能玩的小机关。老师家长讲一百遍，不如一次直观的动手展示，孩子自己动手去发现知识才能记得更牢。快给孩子准备一套吧， 明天就得用了，老师现在才通知我，好多同学都没有买到。放心吧，我已经提前成套的给你准备好了，就怕到时候因为来不及买或者买不到而耽误你上课。 你知道从幼儿园就开始学习立体图形格式化的孩子，他的数学思维有多牛吗？那就是到了小学，无论怎么考，题型怎么复杂，他都能轻松拿下。圆柱体展开是两个圆形和一个 长方形，正方体有六个面，十二条棱。这本立体几何机关书，把小学要学的所有立体几何都做成的有趣的小机关，孩子动手拉一拉复杂的数学问题，瞬间明白！四棱柱是由四个三角形和一个四边形组成。孩子更直观的理解几何的底层逻辑，几何知识掌握的更牢固。 这些枯燥难懂的立体几何，都是小学数学的高频考点，给孩子背一套，把数学思维轻松玩进脑子里。我家孩子的数学思维就是玩出来的。圆柱体展开是一个长方形，和两个圆形似棱锥，展开有五个面，就是这本立体几何机关书很难想明白的问题， 孩子动动手玩一玩，瞬间就开窍了。正方体是由六个相同的正方形组成的，圆锥展开是一个扇形和一个圆形。当知识不再抽象难懂，变得简单又直观，孩子不用再去死记硬背，数学启蒙就是这么轻松！

做立体几何折叠题总丢分的同学举个手，到底是思路不对，还是基础没打牢？评论区说说你最头疼哪类题？这道高频易错题，我一步步讲清楚。今天这道立体几何折叠题，我用数理系统化提升模型，从头给你拆到尾，教你会一道通一类。 先别急着算百分之九十的孩子，第一步就瞎动笔，这道题藏着多个核心考点， 折叠前后不变量分析二面角平面角判定线面垂直判定定里面面垂直性质、定力空间、直角坐标系，建立平面法向量求解向量夹角公式应用。 很多孩子连折叠前后哪些量不变都搞不清，一看到二面角点到平面距离直接就蒙了，这就是基础没搭牢。 接下来跟着我四步把题拆明白，一步都不跳。第一步，分析折叠不变量，推导线面垂直，折叠前后边长不变，再结合已知的垂直条件，用线面垂直判定定律，直接推出 a、 d， 呈现 p、 o、 b， 找到二面角的平面角。第二步，用面面垂直性质锁定点到平面的距离。根据面面垂直的性质定理过 p 做 o、 b 的 垂线，就是 p 到平面 a、 b、 c、 d 的 距离，再用三角函数直接算出结果。 第三步，建立坐标系，写出所有关键坐标，以 a、 d 中点为圆点， a、 d、 o、 b 垂线分别为 x、 y、 z 轴，快速写出 a、 b、 c、 p 各点坐标，为后续向量计算打牢基础。第四步，求法向量算夹角，二面角正弦值直接锁死，分别求出两个平面的法向量，用向量夹角公式算出余弦值，再用平方关系求出正弦值， 完美解决二面角问题，听懂不是终点，课后一定要做好这几件事，才能真正吃透这一类题， 把这道题完整重做一遍。默写步骤纠正跳步漏步，找同类型辨识题练手巩固方法， 避开折叠不变量分析错二面角，平面角找不准坐标系见错法，向量求解失误，二面角与向量夹角混淆，这些易错坑。跟着这套方法，孩子遇到例题、几何折叠题，思路清晰，步骤规范，精准避坑， 不用盲目刷题，也能稳定发挥。关注徐老师学习梳理不踩坑，每天一道题，稳步进步！

这是南京三模的这个第十一题，也是全卷中选填最难的一道题目，那么这个题目其实呢，并不需要大家有特别强的这个空间想象力， 只要你能够去把几何的条件翻译成代数的条件，那么这道题还是可以去做的。第一问比较简单，我们就不做了，我们直接从 b 选项开始，它说 c p 方加 c， a 方加 c， b 方是等于三分之十六的，那么也就是说 c p 在 这里啊，就是 h 的 平方， c a 就是 b 平方， c b 就是 a 平方，我们要看它是否是一个定值，那么我们把所有的条件全部写下来，由于 pc 是 垂直于底面的，所以我们可以得到三角形 p c， a， 三角形 p c， b， 它全都是直角三角形，所以我们可以先写两个勾股定律的式子， h 的 平方加上一个 b 方，就等于 m 的 平方， 我们还有 h 的 平方再加上一个 a 方，是等于 n 方，然后我们有两个六十度，所以我们可以写余弦定的式子，所以我们可以得到 ab 就 等于 a 方加 b 方减四， m 零就等于 m 的 平方加上零的平方减四。好，那么这时候我们要去求证它是一个定值，那么我们就需要去找到这三者之间的一个关系， 那么三者之间的关系我们会发现一个问题啊，你看这两个式子，虽然它里面有 h 方，有 a 方，有 b 方，但是它里面是不是还混合了 m 方和盈方，所以我们就要去尽可能的去把它消掉，所以我们可以把这两个式子先加起来，我们就可以得到二 h 的 平方，再加上一个 a 方，再加上一个 b 方，就等于 m 方加上盈方， 而 m 方加上零方，是不是就可以写成 m 零再加上一个四，然后我们再把 m 和 n 替换掉，这边我们先移向移过来就得到二 h 的 平方加上一个 a 方，加上一个 b 方，再减去一个四，等于 m m， 我 们可以写出来它是根号加 h 方加上一个 b 方。 m 的 话是根号加 h 方加上一个 a 方， 那么此时我们已经得到了一个纯 a b h 的 一个式子。但是如果接下来直接平方，是不是还是挺麻烦的一件事情？因为你毕竟左边这里是四项的一个结构，所以我会选择啊，你看这里是不是就会出现一个这样的一个结构，我们可以把它替换成 a 乘 b， 所以 它就变成二 h 方加上一个 ab， 等于根号下 h 方加 b 方， 乘一个根号加 h 方加 a 方，那么这样平方是不是就会简单很多啊？所以我们就可以得到四 h 的 一个四次方加上一个 a 方， b 方加上一个四 h 的 平方 ab 就 等于 h 的 四次方加上一个 a 方 h 方加上一个 b 方 h 方，再加上一个 a 方 b 方， 我们可以把它约一约，所以我们就发现他每一项剩下的每一项是不是都有 h 方，我们可以约掉一个 h 方，然后再把它全部移向，移到左边来，我们就可以得到三 h 的 一个平方加上一个四 a b， 再减去一个 a 方，减去一个 b 方是等于零的， 而这边四 a b， 我 们是不是还可以把它替换成 a 方加 b 方减四，所以我们就可以得到三 h 的 平方加上一个四 a 方加上一个四， b 方减去一个十六，再减去一个 a 方，减去一个 b 方等于零。所以我们是不是就可以得到 a 方加 a 方加 b 方就等于三分之一十六， 那么我们会发现整个过程中是不是就是纯代数的一个计算，并没有任何的一个几何的一个啊使用，那么你几何是不是只给我们提供代数关系？所以这道题目他其实考的都有点像圆锥曲线的意思，那因为我们只要去翻译几何条件，然后转成代数关系去计算就可以了。那么我们接着来看 c 选项，他说当 h 等于一的时候，那么此时他的一个体积取到最大，那么我们看一下他的体积 v v 是 不是应该是等于三分之一乘以个 h 三角形 abc， 而 s 三角形 a， b c， 我 们肯定是用二分之一 a b sine c， 所以 像这个 a， 呃， sine 啊，我们都都可以不用管了，三分之一 sine 啊，都，这都不用管了。实际上就是要求当 h 等于多少的时候， h 乘以 a 乘以 b 这个东西，它获取了一个最大值，那么这个尺子我们肯定要尽可能的去进行削圆啊， 我们求最值，是不是肯定要变成单一元的一个最值？那么这里的 a 乘 b， 我 们是不是可以借助这个式子去替换，那么它就变成 h 乘以一个 a 方加 b 方减四，为什么要换呢？因为我们是知道 a 方加 b 方和 h 的 关系的，所以换完我们就可以彻底进行消元了。这边我们可以带进去就三分之一十六减去一个 h 的 平方，再减去一个四， 所以我们最后要求的实际上是负 h 的 平，负 h 的 三次方，然后再加上一个三分之四个 h， 要看它的一个最大值，那剩下的就是一个求导了，我们求导会发现，当 h 等于三分之二的时候，它取到最大，所以 c 选项就错了。好，然后我们再接着看最后一个， 最后一个 d 选项其实也不难啊，我们怎么去求他的一个外接球的一个半径呢？我们知道三人追的外接球，我们会先把它补成人柱，人柱我们再补成圆柱，所以我们可以得到啊，就是他的一个外接球半径，而实际上是取决于你底面的一个 外接原半径以及你的高的，所以它写下来应该是二 r 是 等于四 r 底下的半径，我们用小 r 表示四 r 方加上一个 h 的 平方再开根，这是一个最基本的模型啊，就是把三棱锥补成三棱柱，把三棱柱补成圆柱，当你把它一旦补成圆柱之后， 大家来看我们的这个圆柱的外接球直径是不是就这条线，而我们怎么去求这个二 r 是 不是取决于底下的这个两倍的小 r 和这个 h 啊？它是不会形成这样一个固定的关系啊。如果你不知道这个的话，那就说明你高一的时候学外接球的整个体系是不完整的，这是一个很基础的一个问题。 那么这接下来我们就只剩去进行一个运算了，我们只要算出它的一个这个 r 的 一个取值范围就可以了。所以我们本职场是在算四 r 平方加上一个 h 平方的一个取值范围，而 r 底面这个是一个定角对定弦引圆，它的外接圆半径实际上我们是知道的，我们第一问已经算过了，所以我们可以得到这个小 r 实际上是等于三分之二，根号三， 那么我们把它带进去，它平方再乘以四就应该是三分之十六，再加上一个 h 的 平方，所以在这里我们只剩下去求 h 的 一个取值范围了，那么我们怎么去求 h 的 一个取值范围？我们知道 h 的 平方是等于三分之十六，去减去一个 a 方加 b 方的， 那么我们就要知道 a 方加 b 方的取值范围，那么这里是不是就直接让我们使用基本不等式就可以了？所以根据基本不等式，我们可以得到 a 方加 b 方大于等于两倍的一个 a b， 在这里我们可以把这里的二 a b 去替换掉，利用这个式子我们可以得到一个纯 a 方加 b 方的一个取值范围，所以我们就可以得到 a 方加 b 方就大于等于两倍的 a 方加两倍的一个 b 方减去一个八，所以我们就可以得到 a 方加 b 方 小于等于八，而因为你自己作为 ab， 对 吧？你作为 ab， 他 是不是要一个正数啊？所以在这里的话，我们是不是可以看得出来，你 a 方加 b 方是必须要大于四的，所以我们 h 的 平方的范围就出来了， h 方应该是大于零，小于三分之四， 那么我们又有了 h 方的一个取值范围，所以我们这个整体的一个取值范围，根号下的这个取值范围就出来了，所以他应该是大于三分之十六小于三分之二十，然后我们再对他进行一个开根，所以我们就可以得到 r 的 取值范围，应该是大于三分之四根号三，小于三分之 二根号十五的，那么我们要求 r 的 范围，那么整个问题就结束了，也就是大家会发现整个这道题目里面，我们是不是根本就没有跟几何的内容沾了太多的边，全都是代数的一个运算。所以我建议大家遇到这种题型的时候，你可以考虑 把未知数设出来，把所有的关系式能列的就列出来，那么你就会头脑非常清醒，这样你就可以剥离掉你的立体几何的图形，然后进入一个纯代数的一个计算。

很多人留言问我有没有一本既能学还能玩的数学书，我会直接推荐这本折纸与数学，你会知道当数学遇见折纸，会碰撞出怎样的火花。这本书里，折纸和数学神奇的结合在了一起，创造出了一种全新的数学教学方法。 作者从两点折线、两点对折，到两线对折，过点对折，再到点折到线点线线点， 这些听起来像是折纸操作的步骤，实际上都是严格的几何学功理。通过折纸，学生可以直观的理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形等几何概念。更让人惊叹的是，这本书还能用折纸来解决数学问题， 从分数运算到一次方程，从平分根到二次方程，甚至立方根和三次方程，都可以通过折纸找到解法。 这不仅帮助学生理解题目，更重要的是教会他们一种解析思路。无论你是正在学数学的学生，是想给孩子做数学启蒙的家长，还是单纯对数学感兴趣的普通人，这套书都是你应该常翻的数学思想启蒙书，让你在玩中学。

老祖宗的数学黑科技，一分钟搞懂高考立体几何的隐藏模型！斜解立方得两欠堵 起，一为养马，异为憋闹。养马之二，憋闹之一，不亦知虑也。这是魏晋数学家刘徽在九章算术著里的经典论书，意思是把长方体沿对角线切开，得到两个三棱柱叫欠堵。再把欠堵切开， 底面是矩形，一条棱垂直，底面的四棱锥就是洋马，剩下四个面都是直角，三角形的三棱锥叫憋闹，它们的体积比固定是二比一，三者关系。长方题等于两个欠读，欠读等于一洋马加一憋闹。这三个模型 是立体几何球体机找线面垂直的万能模板。更重要的是，这种化整为零的分解思想，也是解决所有数学难题的核心方法。我是阿陆老师，每天进步一点，记得关注点赞哦！

小学数学几何图形不好理解？快来试试这款立体几何模型，轻轻一拉就能学会平面图形、立体图形的相关知识， 简直太方便了！把模型拆开组装好，在对照课本上的知识要点，就能更加直观的理解各种图形的性质特点了。每个模型的侧面都附有立体展示图和面积体积计算公式，帮助孩子更好的掌握知识点，让孩子动手又动脑，快乐学习不再难。

哈喽，大家好，我是刘子乔，今天我们一起来看一下立体模型，呃，时间说明一下，就是因为我这个画质并不是很好，所以有一些是采用了书上的内容。 然然后首先我们就，嗯，就要看一下立体模型首先都有哪些，呃，立体模型，嗯，按链子形状分类，呃，在小学目前学到的 是长方体、正方体、圆柱和圆锥，呃，这 呃，其中长方体和正方体是平面图形，呃，圆柱和圆锥是。呃，曲曲面， 呃，平面就是每个面都是平面，曲面就是有一个面是曲面构成的，然后点线，面体的关联是点动成线，线动成面，面动成体。 然后接下来的话我们就要看的就是他的表表，呃，他就是，呃长方体和正方体的特征，首先长方体他，呃，我们先跟他们念吧， 这就是他的面，呃，一，一共有六六个，六个面，呃，他分为上下前后左左右三组。呃，然后其中上下面的，呃，就是单座，一面的公式是长乘宽 左右面，单座的公式是，呃，呃，长乘高。 然后呢话就是面，面的形状，面的面的形状，嗯，形，形状就可以分为， 嗯，上上前左或或者说下后右，这三个面不相同，或者是其中，呃，呃，有 有两个面是相等的，也就是说其中一种情况是，呃，有每个面有六，呃，一共有六个长方形的面。 还有另外一种就是有两个正方形和四个长方形的面， 然后的话面对面，嗯，然后还有他就是每个面的面积就是相相对的面，比如说上下他能相对的面，他的面，嗯，他的面积是相等的。 然后接下来就要看他成方体的棱， 呃，棱的话，他是长四条一组宽四条，一组高四条，一组，每条每，每一组，他四条的面积是相等的，然后一共有十二条， 呃呃，接，然后这就是棱，再看，再看下一个点，呃，有八个三条相交的点，注意，这是这是三条棱的相交点，而不是两条或者一条，嗯，两条棱的相交点。 接下来的话就是呃，看长方形的特呃正方的特征， 然后接下来咱们就先来呃，咱们就继续看一看这个正方体，正方体的话它是有六个面， 呃呃呃，它同样也是有六个面，但是这六个面它每个面面积是相等的，而每个面的算法就是边长乘边，边长 边长，且每个面都是正方形，他们，呃这互相之间的面积相等。 呃，棱是有十二也是有十二条棱，但是与长方与长方体的不同点是它是十二条棱长度相等的。接下来就是点，一共有八只角，八只角点，呃 呃一，一共有八八个交点，每个每个交交点上，不不不，不是呃，他，注意这里也是指三个棱相交的交点。 好的，接下来咱们就来看一下这个呃表面积，然后的话，表面积它就是分呃长方体和正方体，但是长方体和正方体的它其实逻辑是一样的， 长方体的话它就是前前后上下左右这六个面相加，那么前前后面怎么算呢？长成， 呃长乘高，上下面怎么算呢？长乘宽，左右面怎么算呢？宽乘高。那么总结在一起，再用乘法分配律把乘二归到一起，就变成了长乘高加，宽乘高加，呃，长乘宽的和乘以，呃，这乘二 相比于长方体来说，正方体的表面积都好算多了，因为他们六的面面积相等，所以说我们就就需要呃先算出长方体每个面一个面的面积，再用它乘以六就行了。那么一个面的面积怎么算呢？就是用边长乘边长， 所以说这就是正方形的表面积。 然后接下来咱们就看几种题型吧。 呃，首先就是这种把一个长方形或者正方形他折成两种不同的图形，大家不用看我这个图画的很粗糙， 呃，忍忍忍。呃，然后呃他就他就是把一个长方体或正方体沿着他的一个面把他折裁出，增加增加了多少多少的面积， 然后叫你求它表面积增呃，哦，增加多少面积，让你求它的 呃长长宽高之类。其中如果只呃其中，如果只给你一个呃，其呃一种增加面积，它大概率是让你求呃表面积增加的。 呃，接接，接下来要先看一下就是呃这这种题型， 嗯，将一个长方形分别为两厘米、一厘米、一厘米的长方形木块，如果把它做锯成两个横长为一厘米的长方，正方木块表面就增加多少平方厘米。 呃，然，然后这里我们可可以知道，它呃锯成了两个能长为一厘米的正方形木块，那么呃，我们就要就要想想像一下，呃它增加的面就是它锯开的这两个面 锯锯开的这这两个面，呃 呃的中间面积，他有几种算法，一种，一种是很笨的方法，就是呃你先算出来长方体的表面积，再算出来两个正方体的表面积，再用长方体的表面积减去正方体的表面积，很绕，是不是？ 呃，然后这呃最为简单的就是你只要只要算，只要算出他就是你距他的那两个 心增加的面的面积就可以了。其实和上面那个道理一样，还有一种就是龙，嗯，还有一种就是呃和这个差不多呃，但是他这次是呃 锯了三次，一次是呃沿着高切呃，第二次是沿着呃嗯宽切，第三次是沿着 呃，呃，对，第第三次是沿着 呃宽宽斜呃，反正就是长宽中各沿这个各往下切切一刀，这样就就会呃增加的面积就是一倍， 因为因为你看你把长呃，你延长切切一刀，你增加的面积就是 呃长城高高然然然，然后你你再再沿呃宽再切切上一刀，你中间的面积就是 哦宽成高，你沿高切下面一条面积就是呃，这是长成宽。那么他们呃， 呃，他们呃每切每切开一次会增加两个面，然后每个面对应的就就是他，嗯，每切一次就对应他的呃相对的两两个面， 呃，所所以说就是呃一个长方体或者正方体整个面积你直接算就可以了。然后的话， 嗯，还有一种十分经典，经典的立体就就是告诉你一个正方体 它的表面涂呃涂满了什么颜色之类的，然后呃，比如说颜，呃，每条龙分三三次，分分分三框给它切开，然后问你三面涂色，两面涂色，一面涂色，没涂色呃，小正方体有几个？ 然后的话就是呃，你三个面永远都是呃八个，因为你无论是怎么切，只要你切的是一个自然数，呃零除外哈，他呃零和 一除除外，然后那么他呃一三个面涂色永远是八，因为三个面涂色的永远只是角，然后接下来就是两个面涂色的两面涂色就是你所有棱 长的和减去减去你八只角。那么我们怎么算呢？我们可以先算出每条棱有几个，再乘十二就算出来了。呃，两个面涂有涂色的面积，现在就是一个面涂色，它就是 呃呃呃减，呃，就比如说一一个面减去它周围的八，八个呃，八个乃至 n 个 呃，方框只剩它中心的一个一个或呃或几个， 这个就是他一一面涂涂色的。呃，然后那我们怎么算呢？因为他这个呃数量永远是根据他这个 呃冷场减二来算算的，因为你想他是里面一层吗？冷场肯定要减二，所以就先用 a 减二， a 是 冷场，然后再乘上六， 那我为什么呃 a 减二的平方再乘上六，那么 a 减二的平方就是他每个面的，那为什么还要乘六呢？因为 呃，他一共有六个面，最后就是就是零个了，这种需要一点点空间想象力，因为他零个就是他正方形剥掉外层壳，只剩中间一层。所所所以说你就必须用棱长减二二，然后 呃棱三减二，再乘以三。呃，然，然后的话，如果你想背这个不是很现实，因为你如果要背的话，背的是很多的， 毕竟考试你也不知道会给你出什么。呃，切成，呃，每条棱切成几份。 嗯，好，接下来咱们呃再来看另一种题型。 呃，这这这种题型就是，呃，你把几个长长方体拼成一块问你，呃，问你表面几只核少多少平方平方厘米，这种其实很很很好，很好理解。 那，呃， 就比如说咱们现在看的这道题，它是由八个小呃小正方体拼成一个大正方体体，然后然后咱们可以看看一下拼的它的横着的横界面。 呃，他呃分为两减少的面，有两个是，呃，分别是，呃四平方厘米和四平方厘米。呃，这个其实也就是他的表面呃算他的表面积， 呃就可可以了，因为因为他呃减减少，减少的每每一，嗯，每条每条虚线都是，呃，我就是 每条在正方体中间的，每条在呃正方体中间的虚线就代表他减少了上下哪只左右哪只，前后他一个呃 他两个面的面积，所以说你直接算这个表呃他这个正方体的表面积就可以了。 然后接下来咱们要看这道题，就非常需要这种空间旋转臂，就是三种完全一样的长方题目框， 嗯，每块长八里，呃，长八厘米，宽五厘米，高三厘米。当然这只是立体，它给的你不一定是一样的， 然后把它粘成一个长方体或者正方体，它这个长方体表面积最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米，这个主要就是， 呃需要空间想象力的事了。嗯，表表面积最大，你就把它们三三个最小的面拼在拼在一起。表， 呃，那，那是表面积最大，然后要是表面积最小，就把他们三个最大的面拼在一起。但，但是注意，这里千万不要不要算这个表面积，然后再减去， 减去什么拼在一起的面之类的，这样你会很乱。呃，你，你要算的是你要先把它拼好或者长方体体，呃，不是先把拼好的长方的长宽高先算出来，然后再求， 嗯， 然后接下来我们要看的就是长方体，正方体的体积啊， 嗯，呃，长，长方，长方体，呃，长方体。正方体的体积其实很其实很简单，它就是把一个长方体画的不好 长长方体，然后你把你把它的长宽高的厘米数都标标出来，把它分成不同的小小一边长为，呃一一厘米的粒， 呃，正，呃正方体。然后你再把这些正方体有多少个给计算出来，最后就就能知道它的面积了。然后，呃，这个其实算算法就是你用长乘宽乘高就可以了，正方体也是一样， 然后正方体的话，你就直接用棱长乘棱长乘棱长就可以了。呃，这个长方体和正方体的计算公式其实也是可以运用到一起起的，和正长方形，和长方形和正方形的关系是一样的。 接下来的话就是，嗯，一一种不算很难题，就是一个长方体或者正方体在这道题目里面是正方体， 然然，然后你 呃画的是 然然然，然后你就呃把它里面装上一点水，或者给它满了水，然后你把它丢进去的铁矿， 然，呃，说你溢出来，呃，多少厘米的，多少平方分米的水呀？呃，呃，上升多少平，呃多少分米呀？这种首先我们要知道一个概念，就是一厘米等于，呃一毫升， 呃， cm 是 厘米， ml 是 毫升，呃，然后 e d， 呃，呃，不，不是，这里是一立方厘米，呃，一立方分米等于一升， 呃， l 是 升，呃， dm 是 分， 嗯，这这这这这这，以后他就很很好做，你都要算出来原来水的体， 呃，原来水的体，嗯，你根据不同的吧，就比如说现在这道题，他你要先算出他原来水的体积，然后再通过水呃，再算出铁矿体积，除以他的底面积，这样就可以算出他上升多少多少厘米， 呃呃，厘米。其实你水的体积可以算，可以不算。然后还还有一些题，就比如说你水已经满了，你就算出他这个正方，你要说他溢出了多少 呃，多少升呀？多少毫升啊这些之类的，你要算这个投进去的东西的体积。 接下接下来的话就是，嗯，他他会铁棒溢，呃，他会投进去的东西，他不是呃呃，装好的，他会溢出来， 嗯，或者说他会凸出来一部分，那么你就要把把用这个高呀之类，呃，高，一般是高，然后减去这个正方体的边长边长，这样是不是算出来他呃长他这个长方形在 在这个水里面的呃水里面部分的高，然后你就得算算体积，最后呃，最后才能说溢出多少立方厘米的水。 然后的话接下来就是，嗯，一种漂浮， 呃，漂浮，呃，漂浮在水面就是一部分在水面上，一部分在水面下，但水面底，呃，水面里面那个图图形并没有触呃，触底， 呃，所所所以说，但是呢，这个跟你呃，跟你这个前两题其实差不多，因为他也是这种算水里水立方的面积，最后除以底面积啊，就可以算他上升或者下降多少厘米， 嗯，现在就是属于翻转型，就比如说原本是这样一个长方梯 梯，然后呢你要给它翻转过来，它就变成了立起来的， 嗯，就是立立起来的。那那么他一般说是先给你这个图形，就是原本的图形水面的高高度，然后 再把说立起来以后你这水面高度是多少，那么我们就知道一个核心元素，它水的体积是没有变的，你水的体积没有变的话，你就 哦你你就直接算这个水水的体积就行了，然后的话你再用水的体积除以表面的体积，就可以得到现在这个正方体的高，嗯 嗯，然后的话还有一种题，就是这这种 呃，他会给他会嗯告诉你长宽高，呃，然后然后的话会说把假水箱的一部分水倒入饮水箱，就是更小的水箱一部分水，然后让他们水面是相等相等的， 然后呃问现在这个，呃现现在问这个， 然后他会说这个假水箱他原来是满的，雨水箱原原来是空着的。然后问问问你说 呃他现在这个水面高多少多少？呃呃现在他这个水面高多少厘米？ 嗯，首先这个题我们只能用方程来解，呃，首首先我我们先设设一下，就是四十乘三十二 x， 就是 呃它从现在呃就现在假水箱里水的体积， 呃，然然后的话他这个就是你呃算出你把他假水箱现在水量算出来，把已水箱现在水量水水量算出来，然后你再除以他 我你你再除以它假水假水箱它是我在这它假水箱它的体积就可以知道现呃现在的水面高多少厘米，最终答案是十二点八厘米。 嗯，好，接下来咱们再来看下一种 这种这种题型的话，他一般一般是会把他呃一个正方体挖在一个地方，给你挖去一个 呃呃长方体之类的，然后就让你算这个 呃体积和表面积。呃，其实这这种很简单，就是你表面积，他，你把呃他挖下来的这这部分立起来，这部分平移， 呃平着的这部分也向上平移，就可以可以得到一个缺了这两部分的图形，然后你就算算减，减去，呃，用全部的表面积减去缺了的这两部分的面积就可可以了。 然后体积的话你就呃可以，可以把它聚彩分两个算，也可以用呃整体的面积减去它的呃面积的算， 呃接接，接下来就是呃和呃圆柱的表表面积了，呃圆圆柱的表表面积的话，你就是一个呃圆圆柱，它是分为一个底面，两个底面和一个长方形的 呃，这是底面， 这这是侧面。 然然后底面怎么算呢？他是用半呃，他是用半径乘以 呃半径的平方乘以三点一四呃来求的。接下来就是看这个长方形，他的呃他的呃高，呃他的宽，就其实就是高， 哎，就是高的意思。然后那么我们他他的长是多少呢？我们现在并不知道，但是我我们 我们可，但是我们可以知道他这个呃长就是他的底面周长，为什么？因为他你把它卷起来想，想象一下，你把它卷起来围成一个桶，那么他的呃长刚好是什么什么呢？他刚好就是这个 呃底面底面的周长，也就是说这两个圆的周长。 然然后的话，呃圆圆柱的侧面记就是呃底面周长乘高圆柱的表面积，就是侧面记加两个底面积， 嗯，然后嗯其他的就是 其他的话，我自我感觉不是很难，也没什么好讲的。在校内老师一般 不会不会讲，讲到啦啦啦，也不是在在校内老师一呃一般是会讲到的，比如说什么，嗯，把圆柱、圆呃直径、 盒装切开算数，然后给你增加了什么表面积，然后再让你算呃呃整个圆柱的表面积。呃，这种老师一般是会讲到的。 我接下来的话就是圆柱的体积。圆柱的体积，他和呃圆的推导过程是一样的，也是分，也是将他们从对爆切，然后呃，再把每每呃每一个半圆分成相同的。 嗯，这是扇形，有时候是呃两边做四折，有时候是两边做八折，然后再把它们拼起来，就是像现在这样，它是它是一个近似长方长方形的， 他是一个近似长方形的。呃，远处拼接图。那么他他这个的呃长是什么呢？呃，长长就是他的， 嗯，长就是它的二分之一周长，呃，长就是二分之一周长。宽是什么呢？宽就是它的半半径，然后呃高是什么呢？高还是圆柱原来的高？ 呃呃，但所以说，嗯，其实就是底面积乘高。 嗯，因，因为因为你这个呃长方体，它的公式是底面积，也可以理解为底面积乘高嘛，然后它底面积乘高，你底面积是什么呢？是圆的圆柱的底面积，它乘高就可以了。 然，然后接下来的话就是，嗯， 嗯，就是一种钢管，它是一个外圆柱，包着一个里里面的圆柱。这种老师上课一般会讲，但是我还是讲一下，就是一般图是这样画的， 就这样，这是外的外面的，里面的就是外面的圆柱给中间挖了一个圆柱形的洞。 呃，你听明白了吗？然后的话，它就是大圆柱的面积减小圆柱的面积就可以可以算出来了。嗯， 接下来还是盛盛水的问题，这个我就先不多不多讲了。然后接就是一个呃正正方正方体木块的把它削成一个圆柱形， 当然是最一般是最大的。哈。我这个画画的并不像，呃，把它削成一个最大的圆柱。那么我们首先呃可以回顾一下之前呃 呃。曲线模型里里面，呃，对，曲线模型里面方中圆圆中方的知识， 呃。知识就是方方中圆圆，他方比圆是四比派，然后圆中方他的面积比是派比 三，呃。具体呃就去看我上次发布的视频。呃。然后然后的话我们其实不用呃不，不用再重复的算了，我们可以先算出来正方体木块的体积， 呃。因因为他们他们层的都是相同的高，所以说他这个呃方中圆中方理论依然适适用。你就用正方体木块的体积除以这个四，再乘上三点一四就可以算出来体积了，这是一个 嗯斜修法。嗯。 然后接下来就是一种熔铸，比如说把一个什么长方体啊熔铸成一个呃圆柱体，这个我觉得吧，嗯。并不是很很难，他就是 你纯，你其实他就是，呃，因为他的体积是不变的嘛。 呃。这这呃。等一下，呃。对不起，我我我刚才刚才那个没没没讲错。嗯那嗯。那么首先我们就要先算出这个长方体的面面积，那那嗯那， 呃。这长长方底的面积，长长方底的面积算出来以后，我们要除以他这个呃底面，因为他一般会告诉你的底底面半径之类的，他会呃，然后我们就要算出来浇铸成这个圆柱体他的 底面积，呃然然，然后再用这个容体积除以底面积就会得到他的高。 嗯，接下来的话我们，呃再讲两，呃，再讲两道题。呃。又然后，嗯，接下来就是一个， 呃正正方体减去一个没有充满的圆柱体，这个你就用正方体减去，减去圆柱体体积，呃就行了。 哦。接下来的话是一个圆柱上面累了一个圆柱包括什么？呃，圆柱上面的圆锥啊，这这种，但是圆锥我们到下次再讲吧。呃，这种的话你就先算，呃，先算出来他的， 呃，这种你就先算出来他，呃。要求，要求体积很简单，他就把你就把体积算出来，他要求表面积，这个是需要一点方方法，但不过也不是很难，他就是你。 呃，这你这么一个，呃，你这么一个两两个圆柱垒起来，你就想象一下把上面这个圆他压到底下去， 它就变，它下面就变成了一个完整的圆柱体，你先算出来下面这种完整的圆柱体的表面积，再算上面这种圆柱的侧面积就可以算出来了。好的，先说。

好的，那么我们接下来会讲到我们的垂直模型，垂直模型里面我们也有四个定律，首先第一个就是我们的线面垂直的判定定律， 第二个就是我们线面垂直的性质定律，第三个就是我们面面垂直的判定和性质定律，那在这块垂直我们比平行要难挣的多，因为垂直呢，在空间中他没有这种像平行的这种空间位置关系，所以呢往往会出现这种情况，我们明显呢看见 肉眼观察到这两个线，这个线和这个面它不垂直，但是题目中就是让我们正它是垂直的，那到底应该如何去学好这个垂直？首先这儿呢它有很多的模型，那么点赞关注老师，老师会在后面的视频中把每一个模型给大家讲清楚，相信大家学了这些模型之后， 那么处理我们垂直的题目也像平行一样简单。 ok， 那 么我们废话不多说，先看第一个线垂直于面的判定定义，在线垂直面中它是非常重要的一个定义，首先呢我们要去看它的这个符号语言， 它的图呢长这样子，那它的符号语言我们表示出来，我要证这个线 l 垂直面 alpha， 那 我应该如何去证明？或者说我满足怎样的条件，我们可以证明 l 垂直于 alpha 呢？那首先呢，我们得证明 l 垂直于 b， 再说 a 交 b 等于一个 a， 同时还需要满足我们的 a 包含于 alpha， 并且呢 b 包含于 alpha， 这样我们就可以说我们的 l 垂直于这个面 alpha 前面垂直就得正了。根据它的符号语言，我们可以说它的文字语言呢也非常的重要， 大家在第一遍学习过程中一定要去理解他文字语言的意思，你可以按照自己的话说，但是必须确保他的意思是正确的，而且要非常清楚的知道他是如何表达的。首先他的文字语言我们可以直观的看到，若我要去正这个线垂直面，那么我们可以说什么？平面外的一条直线 垂直于平面内的两条相交直线，那我们可以说明则线垂直于面，那知道了它的符号元和文字元之后，我们看应该如何去使用，那像老师刚说的垂直里面它的模型会非常的多，那在这我们就从题目中给大家把每种模型讲清楚。首先第一个我们看一下这道题， 告诉我们已知矩形 a， b， c， d， 并且呢 pa 垂直底面 a， b， c， d， m， n 分 别是它的终点 d。 问，我们正平行平行在这样呢比较简单，自己下去正对吧？我们可以去得到直接去正吗？我们得到找 p e， d 的 终点 为 e， 连接我们的 n， e， 再连接我们的 a， e， 所以呢我 d 问去正这个平行四边形就可以了， 因为这个线平行于面，所以呢我们直接去正这个 m 平行于 a， e 就 可以了，自己把这个过程给它写清楚就可以了。主要正第二文它告诉我们 pa 等于 pa d， 那 pa 等于 ad。 求证 m n 垂直于平面 p， c， d。 啊，那有第一问的铺垫的话，我们发现我要证 m n 平行于这个面 p， c， d， 实际上就让我们证明 a d 平行这个面 p c， d， 那 么 a d 垂直于这个面 p c， d， 那 么 a， e 要垂直这个面的话呢？是不是线垂直面，我需要找到 a e 垂直于面 p c、 d 里面的两条相交就可以了，那也就是说在这呢，我们不妨去证一下，我们说由一只 我们的 m n 平行于 a e， 那 也就是说要正这个极正，我们的 a e 垂直于我们的平面 p c、 d 就 可以了 啊。那此时的话呢，首先有第一个模型，第一个模型出现了，因为你发现给了我们的这个条件是啥？ pa 等于 ad， 这是我们第一个模型，就叫做 等腰三角形，三线合一。那就说这如果在题目中我们出现了等腰三角形，需要去找到它的终点，并且呢连接它的终点，那我们会得到 a e 垂直于 p d 的 要正 a e 垂直面，是不是要正 a e 垂直面的两条相交直线？所以现在正了一一条，在正另外一条的时候，我们要去用到题目条件，我们要去正 a、 e 垂直于 这个里面的线，这个面里面完，我们把这个面给它画出来，我们的 p c、 d 长这样，那我们要去正另外一条线的时候，需要去找到这条线是谁，那就是说我要去找出 p d 已经找了，那现在要找 c d 还是找 p c？ 一 般来讲，我们要去找题目中条件给的多的，已知条件多的什么意思？比如说在这个题目中，它告诉你 a、 b、 c、 d， 它是矩形，所以你发现 c、 d 的 条件，它大于 bc 的 条件， c、 d 会有垂直，所以我们要证的肯定是 a e 垂直于 c d 这条面，这条这条线。那具体怎么去证？我们需要逆向思维。 首先呢，我们来先把前面的一些好吧，比如说因为我们的这个 pa 等于 ad， 然后呢 e 为 p d 中点， 所以呢我们直接就可以得到我们的 a， e 是 垂直于我们的 p d， 这是一条了，要正 a、 e 垂直这个面，我们再正另外一条。我们刚刚说是 c、 d， 那 在这有一个什么东西？逆向思维，什么叫逆向思维？往往我们在做一些正着去想的事情的时候会比较简单，如果逆着去想的话，我们往往觉得比较难想， 因为我们现在是不是要正 a、 e 垂直于 c、 d， 那 我们反过来能不能正 c、 d 垂直于 a、 e 呢？为什么要这么想？是因为 c、 d， 它在这是不是发现就没有了？ 因为你 a、 e 垂直于 c、 d 跟我们 c、 d 垂直 a、 e， 它是等价的，那么 c、 d 的 条件多，那我们就拿 c、 d 证明垂直于 a、 e 即可。所以你看我们在这的这样一个操作，因为我们的 pa 垂直于底面 a b， c d， 并且 c、 d 是 不是包含于这个面 a、 b c d。 所以 此时我们是不是就可以得到我们的 pa 垂直于 c、 d？ 又因为 矩形 a b， c、 d， 所以呢我们会得到 c、 d 又垂直于 a、 d， 这样的话呢，你发现通过这两个条件的话，我们会得到 c、 d， 它是垂直这个面 p a、 d 的， 也就说对吧？在这先正了一个线垂直面， 因为 c、 d 垂直这个面 p c， p a d 里面的两条相交直线 p a 交 a， d 等于点 a， 并且呢 p a 包含于这个面 p a、 d， 并且呢我们的 a、 d 包含于这个面 p a、 d。 所以 你发现是不是五推 e？ 我 们刚才符号线垂直面一定是五推 e， 所以 大家写的时候看自己能不能找到这五个条件，如果五个条件找到了之后，我们自然会推出来线垂直面，所以此时是不应该是 c d 垂直于这个面 p a d。 找到了，那么 c d 垂直这个面， p a d。 此时我们在这再只用说一句就行了， c d 垂直面的任何一个直线，所以呢，我们就说我们的 a e 包含于这个面， p a d。 所以呢，我们的 cd 垂直于 a e。 是 不是又找到了一个新的 cd 垂直 a e 了？那么现在我们发现我们有什么？我们的 c a e 垂直于 pd， a e 垂直于 cd， p d 和 c d 相交于点 d， 所以 能得到 a e 垂直这个面， p c d。 我 们把这个条件写就行了。那也就是说，所以又因为我们的这个 p d 交，我们把这过程给它写好，此时我们说 p d 给它交这个 c d 等于点 d， 并且呢， p d 包含于这个面 p c d， 我 们的 c d 包含于这个面， p c d。 所以我们会得到我们的 a e 垂直于面 p c d。 啊，此时的话是五推一，我们看红色的一二三四五五推一。就因为我们的 m n 已经平行 a e 了，所以呢，我们就直接可以说 m n 垂直于 我们想正的这个面， p c d。 就 得正了。怎么样，线垂直面是不是比我们的平行稍微能难一些？我们要再去找一条线垂直两条相交直线的时候，一定要去用到我们想要用到的模型，那么这道题用的模型实际上就是用了一个 等腰三角形，三角合一和逆向思维，你要去正这个线线可以去正它垂直于另外一个线，通过线面 垂直，我们可以得到线线垂直，再通过这个线线垂直，我们去得到这个线面垂直就可以了。 ok， 这个就是这个题目，那接着我们看第二个题，因为线面垂直刚开始比较抽象，所以老师在这可以去给大家多讲几个线垂直一面，并且让大家能熟悉这块的一个证明方法。首先第二个，我们去看 长方体里面 a b 等于二，并且呢 a a 一 等于一个四，那在这他给了我们所有的边长都知道了 点 p 为 d d e 的 中点，让我们证明 b d e 平行平面， p a c， 那 这个很简单，对吧？第一问，平行呢？大家自己去，正因为它连了，所以呢我们直接去连接 p 跟底面的交点，比如说是 o， 然后直接中立线就可以了，这个就不需要去正，我们看第二问，求证 p b e 垂直于这个平面， p a c， 我 们先找到这个 p a c 在 哪里？ p a c 在 这个地方，我们的 p b e 在 这个地方，那也就是说我要证明 p b e 见垂直面，要证明 p b e 垂直于面里面的两条相交直线就可以了。 那么这道题所用的这个模型是什么？发现如果在一个几何体中，我们已知边长和给了所有的边长，或者给了所有边之间的关系的时候，我们要用的这个定力，用的这个模型是什么？模型是我们的勾股定律的逆定律。 在这把这个模型给大家去讲一下什么时候使用这个勾股定律。逆定律就是说我们已知了边长或者边之间的关系，那么这道题目大半多半就要使用我们的勾股定律的逆定律。那什么是勾股定律？逆定律就是说我们知道了这个三边满足了勾股数，所以呢，我们能推出来直角，这就是我们勾股定律的逆定律。 看这个题应该如何使用勾股定力。定力，那就是说如果 a 方加 b 方等于 c 方边长，那我们是可以推出来角 c 等于九十度，角 c 等于九十度。是不是有垂直？有了垂直我们就可以去正线垂直于面了。 ok， 那 首先在这我们去看，我们要去连接 o、 b、 e， 那 我们先去证明第一个垂直连接 o、 b、 e， 因为四边形 abcd 是 正方形，所以呢，我们会得到的是 a、 c 垂直于 b、 d， 然后又因为我们的 b、 e、 b 垂直于底面， abcd， 因为它是一个长方体， 所以呢，我们会得到我们的 a、 c 就 垂直于这个面，我们连接一下这个面，这个面就是我们的中间的这个面，对吧？ b、 b、 e、 d， e、 d， 然后呢，又因为我们的 p、 b、 e 是 不是包含于这个面？ b、 b、 e、 d、 e、 d， 所以 我们就可以直接去证明我们的 a、 c 垂直于 p b、 e， 这呢又因为我们的长方体 a、 b、 e、 c， e， d， e， a， b 呢，等于 a、 d 等于一个二，并且呢， a、 a 一 等于一个四，对吧？此时的话，我们算它的边长，我们的 p、 b 一 的边长是不可以算的，就等于根号下我们的二的平方，再加上一个二倍根，二的平方等于一个二倍根三， 算它的边长就可以了。我们的 o、 p 的 平方是不是也可以算 o、 p 就 等于二分之一倍的 b d 一 二分之一 b d 的 话就等于梯的腰线，对吧？那就是二的平方加二的平方，加四的平方 等于一个二十四，二十四再给他乘以一个二分之一，那就变成了根六，变成一个根六了。然后呢， o b 一 的长度我们是也可以算的， o b 的 长度就等于一个根号下四的平方再加上一个根二的平方，那就等于一个三倍的根二。所以呢，我们发现在这个三角形 p o b e 中，我们的 p b， e 的 平方再加上一个 o p 的 平方，是不是就刚好等于 o b e 的 平方？所以呢，我们能推出来，我们的 p b， e 就 垂直于 o b 了，它是垂直于 p， b， e 就 垂直于 o p。 所以此时我们是不是得到了两条线线垂直 p b e 垂直于 a c， p b e 垂直于 o p， 那 我要五推一把，剩下的条件它写全就行了。又因为我们的这个 a c 交 o p 等于一个 o， 并且呢， a c 包含于这个平面 p a c， 我 们的 o p 包含于这个平面 p a c， 所以呢，我们就可以得到我们的这个 p b， e 垂直于这个平面 p a c 就 可以了。比如说我们在正的时候里一定要去用到对应的模型，对吧？并且呢，再去把五推一给他写出来，我们自然就可以得到线垂直面。我可以相信呢，大家通过这道题的讲解，线垂直面应该如何证明已经掌握的差不多？接着我们就要给大家去讲到的是 我们的线面垂直的性质定义。性质定义首先去看它的符号原比较简单，那就是我们垂直于同一个平面的两条直线，它们是相互平行的。很简单， l 垂直于阿尔法， a 也垂直于 alpha， 我 们就可以推出来我们的这个 l 平行于 a 线平行线。第二个，它的文字语言老师刚已经说过了，它的文字语言就是垂直于同一个平面的两条直线平行， ok， 那 这个东西应该如何去使用？我们在这儿给大家去证明一下。比如说告诉我们第一个题，他说了面交面， 阿尔法交贝塔等于 l， ok， 它是两面的交线， p a 垂直于阿尔法， p b 垂直于贝塔，垂足分别是 ab， 告诉我们 a 包含于平面，阿尔法 a 垂直于 ab。 求证我们的 a 平行于阿尔法。这个东西我们一眼就知道了，它要用垂直的性质定律去证明 线线平行，也就是说垂直性定律呢？怎么去证呢？我们知道了垂直于同一个平面的两根直线平行的，那也就是说我们如果都能证明 l 和 a 垂直于某一个平面的话，是不是可以自然说明它两平行的？在这他给的条件我们可以看一下，他实际上就想让我们证 l 和 a 垂直这个面， p a b 就 可以了，那我们分别去证 l 垂直于 alpha。 那 首先第一个我们先知道了 p a 垂直于 alpha， l 包含于 alpha， 所以呢，我们知道了这个 p a 垂直于 l， 又因为我们的 p b 垂直于 b， 它 l 也包含于 b， 它，所以呢， p b 是 不是也垂直于 l， 又因为它是不是已经有了相交了？ p a 交 p b 等于一个 p， 并且呢， p a 包含于这个面， p a b， p b 也包含于这个面， p a b 是 五推一了，五推一了，一二三四五五推一，所以呢，我们知道了 l 垂直于这个面， p a b 就 可以了，那接下来呢，我们只需要去证明 a 也垂直这个面就行了。 a 垂直面，又因为 此时我们会得到 p a 垂直于阿尔法， a 包含于阿尔法，所以呢， p a 也垂直于 a， 那 题目中又给了我们一个 a 垂直于 ab， 现在是不是就可以得到了 p a 交 ab， 因为它已经满足了 a 垂直面内的两条相交了，所以我们要写出来 p a 交 ab 等于 a， 并且 p a 包含于这个面， p a b a b 包含于这个面， p a， b 是 包含于不是属于，刚开始学的时候，很多同学把它叫属于，属于是不对的，一定是包含于一二三四五五推一，所以我们会得到 a 垂直于这个面， p a b 了，那么可以得到的是这两个线都垂直于这个面，应用它的性质定理，是不是就直接可以得到我们的线线平行，所以呢， l 平行于 a 就 可以了，只要我们证明它满足定定理了，我们就直接可以说明它是平行的， ok 啊，线垂直面的性质定理相对来讲比较简单，大家可以通过 我们刚刚讲的这个题去证明一下。我们练习 e 啊，练习 e 的 第一问就可以了，那我们如何能证明 e b 平行这个面 a c， d 呢？你直接证是不能证的，你需要去找到 一个线，找到这个线呢，实际上就是 c d 的 终点连接，大家需要把这个过程呢给它写好，对吧？老师可以给你提供这个思路，比如说是一个 o， 因为它是等边向量， a， c、 d 等边向量嘛，所以它也垂直。那也就是说我现在只需要证明 e、 b 垂直于 a， e、 b 垂直于这个这个面 b、 c、 d 听之一知了，所以咱现在只需要再证明谁 a、 o 垂直于这个面 b、 c、 d 是 不就可以了？ 那 a、 o 如果垂直这个面 b、 c、 d， e、 b 也垂直，所以它俩就平行。我们发现了 a、 o 是 不是在这个面 a、 c、 d 内，所以它满足它，平行于它就可以了。 ok， 下来呢，自己把这个过程呢给它写一遍。第二个呢，我们后面去讲角的时候来再去讲它就可以了。 ok， 那 么今天这个视频就讲到这里，我们主要学习了我们的线垂直面的垂直模型，希望大家下去呢认真观看，把我们每一个模型都要理解清楚，并且在做题中要灵活应用。 ok， 有 问题的同学再来及时跟老师沟通，我们下个视频再见。