53数学八下一次函数答案

八、下函数压轴王依次函数的动态问题读题这道题目给到你点 m 呢，是一个动点，并且 a q 平行于 c m， 其中 a 点三斗零， c 点负一斗零是给到你的 m 点呢，它的运动轨迹其实也是可以分析的，你现在不认识它，没关系，我们到了初三好好的了解一下啊， 给你这些条件之后，人家让你求的是 p q 的 长度。来，我们先来做一个简单的分析，由于 m 点是一个动点，那整个 a m 直线应该也在动，那直线与我们 y 轴产生的这个焦点 p 点应该是在不断变化到，所以 p 点应该是一个动点。 同理， a q 平行于 c m， m 在 动的话， c m 的 倾斜程度也就是它的斜率应该也在动，那我 a q 的 斜率是不是也随之运动？所以对应的 q 点的坐标也是不能确定的。 两个点都在动，却让你求这两点之间形成的线段长度是多少？我大胆猜测一下出题老师的想法，这两个点虽然都在动，但是它们所夹的这条线段长大概率是一个固定的值，不然不可能让你去求它呀。 但很多同学分析到这里，已经被整道题目的动点个数给吓跑了，完全不知道应该从何下手。没关系，曾曾老师带你一起来拆解一下这种题目到底应该怎么做，再配合曾曾老师为你贴心整理的一次函数十三大题型解密，手把手的带你从一次函数求解析式的问题，到信息提取问题、 求面积问题、动点最值问题，以及依次函数与方程不等式的联系，带你一次通关依次函数所涉及到的所有高频考题，刷完这套资料，期末还能再提十分来回到这道题目吧。 这道题目最明显的是给到你 m 点的坐标，虽然它在动，但这个信息我是可以用起来的。由于我涉及到的第一个点 p， 它应该是 a m 这条直线与 y 轴的交点，那这条直线的解析式你能不能求呢？当然可以， m 点对应的坐标是给到你的，如果你把这里对应的小写字母 m 当成一个具体的数字来用的话，待定系数法两点求坐标一定是能解的。 当然，如果你看过村村老师之前教你的快速求 k 法，你也会知道，纵比横为 k， 所以 纵坐标做差得到 m 方减二， m 减三，横坐标做差得到 m 减三。 中共都有这里的 m 减三，所以我只需要把这里因式分解成 m 加一乘 m 减三，最后 k 其实就是一个 m 加一了。当然这里再把 a 点的坐标带回去，我的 b 应该也知道了，所以这边减去一个三倍的 m 加一。 注意这里的计算过程我直接省略掉了。如果你觉得这里很吃力的话，记得撕一下孙孙老师我细细的给你讲来，它到底是怎么来的哦。在做这一步计算的时候，你发现啊， m 减三这个整体呢，作为我的分母，所以我的分母不为零， m 是 不能为三的。先把这个前提条件写在这里，我继续往下看。 p 点不是知道直线与 y 轴的交点吗？令横坐标为零，所以纵坐标得到一个负的三 m 减三，我把 p 点就已经找出来了。接下来呢，我应该不遗余力的去把 q 也给表示出来，那 q 怎么表示呢？注意，题目给到了 a， q 是 平行于 c m 的， 这说明什么呀？ 平行嘛，倾斜程度应该是相等的，也就是我的斜率，也就是我的 k 值应该是一样的。那么 c m 的 k 我 能不能求出来？ 大胆动手操作一下？非典坐标是负一到零，根据纵比横为 k， 我 没开二度。我要算的应该是这么一个式子，所以再次英式分解成 m 加一乘 m 减三，约掉之后， m 减三也是一个很好算的数，当然这里 m 加一变成了的分母，所以 m 又有一个范围，它是不能等于负 一的。由此呢， a q 直线所对应的 k 值呢，应该也是 m 减三。那有了它，我的 a q 解析式不就能大胆地写了吗？所以 k 为它加上一个 b， 把 a 点的三勾零带进去，就可以把这个 b 给算出来了，算出这里的 b 值得到一个九减三 m 这个呢，其实也就是我 q 点的纵坐标，因为 q 点呢，也是这条直线与 y 轴的交点嘛，所以截距带进去，零到九减三 m， 这是 q 的 坐标， p q 都用含有 m 的 式子表示出来了， 所以整个 p q 的 长度用它们纵坐标的叉就可以做出来。你也有负的三 m， 你 也有负的三 m 减一，减减没了，那得到就是负三减九，负的十二加上绝对值就是最后的结果，所以 p q 的 长度为十二。注意，大前提， m 不 能等于三， m 不 能等于负一。 这道题目我们反复采用了一个技巧，就是快速求 k 值。当然，如果你对这个技巧不够熟练的话，你也可以用待定性算法从头到尾去计算一遍，算完这道题，依次来数相应的压轴题，你应该也就开窍啦！重数选李家强青青草原我最狂，关注我，获得更多好题！

八下数学一共有两大亚洲难点，一个是平行四边形，一个就是一次函数。这道题好了，他把平行四边形和函数结合在了一起，下面我将会用两句口诀，轻松的带着大家秒出这类选填亚洲题的答案。 那有 v i p 向量数与几何图形这类综合题，老师特别给大家做了一个专题，就是考验大家知识综合和复合压轴题型答题能力。如果咱们孩子现在做这种题目，还经常有困难， 没有思路，家长们一定要打印出来，逐个题型的，咱们来进行练习。下面呢，咱们就来一起看看这道题啊！说平行四边形的一边在坐标轴上， b 的 坐标已经知道了是哪个二 直线 f n 呢？它是 y 的 k x 加 b， 把平行四边形的面积分成相等的两部分，这是不是考察平行四边形的基础性质？什么性质啊？之前老师就给大家总结过，哎，过平行四边形 对角线交点的直线，可以任意把平行四边形分成面积相等的两部分，无论你怎么分怎么分，左右两边都是相等的。 所以你明白这个道理，你就知道，他既然能把平行四边形面积分成相等两部分，那就说明这条线一定过一点，这一点就是什么。 对了，平行四边形对角线的焦点了，而对角线的焦点是什么？是不是两条对角线互相平分呢？ 他是不是一定是任意一条对角线的终点呀？所以求出我们对应这一点的坐标就比较容易了。这是六二，这是零零 终点坐标公式，终点求平距，我们很容易可以求出终点坐标为三 e 终点的坐标已经有了，你又知道他与 x 轴的交汇点，这点是六零，已知两点。想求直线的解析式容不容易？ 非常容易，叫做待定系数法，直接待定就可以了。设 y 等于 k， x 加 b 一 就等于三 k 再加 b 了。来，同样零就等于六 k 再加 b 了。哎，我们解这个关于 k 和 b 的 方程就可以求出答案了。 在这里啊，我们可以解出来 k 啊，不是负的三分之一，当然 b 点呢？求出来 a 的 二，而这道题直接问你 k 的 值，那你就可以直接求答案了，也就是负的三分之一。

函数这个章节太重要了，因为依次函数光图像性质，这里我们就有十大类题型可以变形去考大家，所以要求我们的孩子对函数图像性质这里相当大的熟练度了。 那有关于函数这里面的十大题型，老师也给大家做了一个系统的总结，基础知识不过关的家长们打印出来分类去带孩子进行练习。下面借着这道题呢，我再带着大家复习一下我们函数图像性质这里的一个易错点， 这里说一次函数，它的函数值 y 随 x 的 增大而增大，哎，说明这里面什么？对了， k 值啊，也就是一减二 k， 它是大于零的。这是我们根据题目得到的第一个信息， 第二个信息说他不经过第二象限。好了，能不能告诉我，不经过第二象限的图怎么画呀？哎，他是不是，哎，可以这样去画呀！有同学觉得哦，画出来之后，看他的 b 值 b 是 小于零的，所以在这里 b 的 部分复 k 小 于零，完事了， 结果这道题就选错了。为啥呢？为什么这道题有这么多同学算错呢？因为他们都忽略了一个关键点，他不经过第二项线。还有一种情况，那就是这个函数图像经过原点的情况，这个时候 k 怎么样？ 哎，这个时候 b 怎么样？ b 等于零啊，所以对应这个复 k， 除了小于零，他还可以等于零，漏了情况，这不就选错了吗？ 所以，综上啊，我们在这可以求出第一个 k 是 小于二分之一的。第二个负 k 小 于等于零， k 是 大于等于零的，所以综上，我们的 k 是 大于等于零，小于二分之一的我们正确答案就选出来了。正确答案选择的是 c 选项。

行，那我稍微的先讲一下吧。啊？呃，这个一次函数图像与性质。啥叫一次函数啊？一次函数它的解析式就是 y 等于 k， x 加 b 嘛。 呃，这儿你已经有一个知识点了，没讲没讲是吧？这里边这个 k 一定不能等于零啊。如果你有一个表达式，它形如 y 等于 k， x 加 b 括号，这个 k 如果不等于零，那它就是一个一次函数，这就是一次函数最最基本的一个形式。 这个里边它只有两个未知数，一个是 k， 一个 b， 这个 k 和 b 的 正负就会影响你这个函数长什么样子。 简单的说就是这个 k 和 b 会影响你图像。那首先你就要知道 k 大 于零怎么怎么样？ k 小 于 k 小 于零怎么样？这个 k 它影响的是函数的上升或者是下降，影响的是上升或者是下降， 什么意思啊？就是如果这个 k 是 大于零的，那你整个函数图像就是向上走的，就是这么这么一个图像，所有的一次函数，它的图像首先都是一条直线。 你先把这个记住啊，所有的一次函数图像都是一条直线，那这条直线你想嘛？一条直线要么就是向下走的，对吧？没有平着的啊。这个一次函数图像没有平着的， 那你要么向上，要么向下。如果这个 k 大 于零，它整个图像就是向上走的，那就是这种往上哎，往上的这种感觉。如果这个 k 是 小于零的话， 那它整个图像就是向下走的，就是往下走，这就是 k 对 你图像的一个影响。这好理解吧？ k 大 于零，整个图像向上走， k 小 于零，整个图像向下走，这是 k， 那 这个 b 是 什么意思？这个 b 其实好理解啊，对吧？你 y 等于 k， x 加 b， 那 如果 x 等于零，你会发现这个 y 它就等于 b。 如果令 x 等于零，那这个 y 就 等于 b， 也就是说，你这个一次函数 经过零逗号 b 这个点，对吧？当你横坐标是零的时候，它的纵坐标就是小 b， 所以 依次函数会经过零逗号 b。 那 你如果画一个平面直角坐标系， 你经过零逗号 b， 那 零逗号 b 就是 在外轴上边。如果这个 b 大 于零，那你就是经过外轴正半轴上某一个点，如果你这个 b 小 于零， 那你就经过图像这个外轴负半轴的一个点，能理解吗？ 因为你一定经过零逗号 b 嘛。如果 b 大 于零，我画一个图啊，如果 b 大 于零，它，哎，就经过外周正半轴的一个点，如果这个 b 是 小于零的，那它就经过外周负半轴一个点，这就是你 k 和 b 对 这个函数图像的一个影响。 一次函数的图像是非常非常好画的，因为你一次函数，它就是一条直线嘛，对吧？你这直线非常好画呀。两，咱们说两点就能确定一条直线，你只要知道这个直线是向上走还是向下走， 或者是说我知道它经过外轴正半轴还是负半轴，我这两个同时知道，我就能把它大概图像画出来啊。举个例子，比如说啊，咱们画几个图，你试一试，如果 k 大 于零， b 也大于零，那这个函数图像长什么呀？ 你可以自己试着画一画啊。 k 大 于零必大于零， k 大 于零必小于零， k 小 于零必大于零， k 小 于零必小于零。 如果你的 k 和 b 同时大于零， 如果你的 k 和 b 同时大于零，那就说明你这条线它既要向上走，又要跟外轴的正半轴有一个交点，对吧？那你画出来之后就这样的嘛。 既要向上走，又要和外轴的正半轴有一个交点，这就是那个交点零多号 b。 如果 k 大 于零， b 小 于零，那说明你这个图像向上走，但是焦点在外轴的负半轴，那画出来就这样啊，这也是零。逗号 b， 如果你 k 小 于零， b 大 于零，说明你图像向下走，然后与外轴正半轴有一个交点，这是零。逗号 b， 如果你 k 和 b 都小于零，那你这个图像既向下走，交点又在外轴的负半轴，那画出来就这样。 这是一次函数最基本的四个种情况，就是你 k 和 b 的 正负会影响你这个图像。 你学一次函数之前，你要把这四个图记得特别特别清楚才行。不是不是死记硬背啊，你理解着去记，就是， k 大 于零，我就向上走，小于零往下走， b 大 于零，我就在外周正半轴有交点， b 小 于零，我就在外周负半轴有交点。 你先把这个记住，咱们才能做题呢， 可以吧？好， k 和 b 的 正负对图像的影响啊，你，咱们一会做的所有的题都是建立在你对这四个图特别熟悉的基础之上，而且也不需要你用到什么别的知识点啊，这四个就够了， 来吧，开始开始试着做一做。那这第一个，第一个，这是基本概念啊，你每次学完一个新的东西，都会有这种基本概念，是吧？这，这非常简单，基础题中的基础题， 他说这里面 y 是 x 的 正比例函数，那正比例函数就是 y 等于 k， x 括号 k 不 能等于零， 那这里边你就选四 d 呗。你 a 选项，这是 y 等于 k， x 加 b， 它是一次函数。二 b 选项，它也是 y 等于 k， x 加 b 的 形式。一次函数 c 选项，这玩意，它是二次的，这是二次函数，咱们九年级才选啊。四 d 选项， y 等于 x， 这是正比例函数，没问题。 第二题，第二题，他说这是正比例函数，你是正比例函数，所以你的形式就应该符合 y 等于 k， x 的 形式。但是你现在这里边有一个 x 方这一项， 那你是正比例函数，你怎么能出现这一项呢？你怎么办？你只能把这一项消掉，那怎么消？那就是二 m 加一等于零呗。所以 m 就 等于负的二分之一。 搞定了。选四 d。 第三题，第三题，八年级的一次函数，这第三题更简单，你看第三题，他也是说这这里面是一次函数的事，他问一次函数，你就找 y 等于 k， x 加 b， 括号 k 不 等于零的形式就可以了。 这里边选谁呀？那就选二 b 呗，是吧？ y 等于负二， x 加一，这不就是 y 等于 k， x 加 b 的 形式吗？这个 c c 虽然长得非常像，或者说一模一样，它就是 y 等于 k， x 加 b， 但是它不行，因为它并没有说这个 k 不 能等于零，它少了一个条件啊， 必须要说 k 不 能等于零才行。私立选项，私立选项，这玩意，它是反比例函数，这是九年级才学的啊，有的版本可能呃，八下也学了。这不是，这是反比例。第四题，第四题，他说这是关于 x， 又是一次函数， 又是一次函数，那一次函数你这个一眼望过去，它只有一个 x， 那 这个 x 它必须得是一次项， 对吧？他的次数必须是一，所以二，他的指数位置二减 m 的 绝对值就只能等于一，所以 m 的 绝对值等于一， m 等于正负一。这种题你先别着急选，你看看他有没有其他的位置出现这个 m， 你 前面有这有一个 m 加一， 那你既然是一个一次函数，你这个 k 不 能等于零，所以 m 加一不能等于零， m 就 不能等于负一，他就只能等于一，所以选 a 啊，基础题啊。好，然后第五题，第六题，你你我我把这两个题同时放出来，你就看吧，这个题型二，它就叫一次函数的图像和性质，也是咱们今天主讲的一个内容啊。 这题都是长这样的，你，你看吧，这五六七或者是第八题是吧？包括后面的九十、十一、十二，都都差不多，你只要会画图，那这个题就好解决，你当然也得稍微会一点什么这种平移的基础知识啊。你比如说这个第五题吧， 他说 y 等于二， x 减八，问我下列结论正确的是？你先别管那么多呢，你，初学者，你，你只要看见一个一次函数解析是，你就画图，你把自己这个画图能力锻炼锻炼， 你熟悉了之后，在脑子里边自动就会浮现出来这个图， y 等于二， x 减八，它是不是 k 大 于零， b 小 于零，所以它整个函数图像怎么走啊？ k 大 于零，他整个图像向上走， b 小 于零，交点在外轴的负半轴，所以他画出来之后就大概就这样呗，这就是 y 等于二 x 减八。哎呀，你做这种题不用给他画的特别像啊，我还得量一量，拿尺子量一量，我给他画标准一点没有用。 他不是考你做图呢，你画个，你只要能画出来他在第几象限就可以了。然后你就看选项吧， a 选项说他经过一逗号负四， 那你就把 x 等于一带进去， x 等于一的时候带进去， y 是 等于二减八等于负六的，那也不是负四啊。所以 a 就 不对 二 b 选项他说与 y 轴的交点是零，逗号八，那你令 x 等于零，那 y 不是 等于负八吗？是吧。所以二 b 选项也不对， c 选项他说不经过第一项线， 这是第一项线吧，这不是已经经过了吗？所以 c 也不对。那这个时候选正确的就是四 d 呗。他说向左平移，呃，你现在如果不会左右平移的话，这个四 d 你 还真做不了啊。左右平移这个你 学了吗？肯，如果你一次函数图像和性质没学这个平移，肯定也是没来得及学。 你记住啊，这个平移是左加右减， 他跟你之前学的那玩意可不一样，你之前学的是点的平移，这个点向左走，哎，他横坐标就向减，向右走，横坐标就加，这是图像的加减。他的解析式是左加右减。 你把 y 等于二 x， 我 给你写一遍啊，你本来是 y 等于二 x 减八，对吧？他如果向 左平移四个单位长度，那就会变成 y 等于二倍的括号， x 加四再减八化减后就是等 y 等于二 x， 你 这个左右左加右减是对 x 进行加减，所以你如果原来是二 x， 那 这个二就先要提出来，给这个 x 加一个括号啊，在括号里面给这个 x 去加四，再化减 y 等于二 x 没问题，所以四 d 选项是正确的。 这就是考察一三数的图像和性质啊。当然，这种题是基础题中的基础题啊。你，你真正的考试，这种也就能就是炮灰题的位置， 出个前几道选择题，后面就考不了了。后面的大题，第一问第二问简单一些，第三问都是综合题。 嗯，然后你可以试着做一做这个第六题，你看这个第六题选什么呀？你做选择题不用四个都会，你会三个你就能把这个题做对。 你们看这第六题选什么啊？你可以跟着做一做，哪怕你学校里没完全学，你可能做几道自己就能悟出来。这个规律比较简单， 开到几点讲着看吧， 这准备的题也不多，我估计讲不到十点就讲完了。这第六题选什么呀？ y 等于三， x 减二，你先把它大概图像画一画吧。 还是那句话啊，你只要关注 k 和 b 就 行， k 和 b 的 正负你不用管他。呃，我，我跟 x 轴交于哪， b 轴交于哪，你画出来再说啊，你让他在哪他就在哪， k 大 于零，往上走的， b 是 负二小于零，焦点在负半轴，所以他图像就这么画 啊。这就是 y 等于三， x 减二，我说他是，他就是。那你就看呗。 a 选项，他说 y 随 x 的 增大而减小，那很明显不对嘛，你 k 大 于零，应该是随增大而增大，所以 a 不 对 二， b 选项，他说这个函数图像经过一二三，那很明显也不对呀，应该是一三四啊，二 b 也不对。 c 选项，他说这个点一定在函数图像上没问题，你把 x 等于负一往里一带，那 y 就是 负五，所以 c 选项没没问题 啊，四 d 选项，他说什么？这两个点是图像上的两个点，则 y 大 于 y。 二，咱们说了，你 y 随 x 的 增大而增大，你 x 越大，那 y 就 越大，你这负三和二谁大呀？二大，所以 y 二就大于 y 一， 那四 d 选项也不对。 简单吧，非常非常基础的题目啊，就是反复的考你一次函数的图像和性质，初学阶段别管你看到解析式你就画图就行啊，多重复重复来。第七题， 然后你顺便可以把错的改对 steele 对四 d。 啊， a 选项那一眼就不对，人家 k 小 于零嘛。所以咱们画画图像啊， k 小 于零， b 小 于零，所以画出来之后就这样呗，它就是 y 等于负二分之一， x 减三， 然后二 b 选项，他说经过这个点，你往里一带，那很明显也不对啊， c 选项，他说不经过第二，应该是不经过第一，所以 c 也不对，所以就选四 d。 还是那句话啊，你四个选项只要会仨，你就能选对你别管你会哪仨，你都能选对来。第八题， 他说关于 y 等于 k， x 加三括号 k 不 等于零的说法 啊，其中正确的是八年级的一次函数图像与性质， a 选圈一对不对，他说函数图像与外轴的交点，你求它与外轴交点的坐标，你就令 x 等于零就行了。 令 x 等于零， y 就 等于三，所以焦点坐标就是零。逗号三，圈一没问题，圈二他说，如当 k 大 于零的时候， y 随 x 的 增大而增大，这没问题啊，是吧？圈二也对，圈三，他说如果 k 小 于零，经过的是二三四，哎，你画画嘛，哎，咱们画草一点啊， k 小 于零， b 大 于零，那他就是这么这么走的呗。哎，整个图像向下走是吧？然后焦点在外轴的正半轴上，经过的明明是一二四，所以圈三不对，这个题就选 a， 可以吧？再重复一遍啊，你如果想学好一次函数，你在初识的阶段必须要搞定一次函数的图像与性质，慢慢熟悉， 只要给你解析式，你就能立马在脑子里面想出来他长大概长什么样就可以了啊。题型三题型三叫做根据一次函数解析式判断其经过的象限，说白了也是画图嘛。你比如说第九题啊， 他说这个点在第二象限内，第二象限内的点就是横坐标是负的，纵坐标是正的，对吧？ 那就说明 a 小 于零， b 大 于零，你现在是 y 等于 k， ax 加 b， a 是 小于零的，所以整个函数图像向下走，焦点又在外轴的正半轴，所以它就这么画， 怎么可能会是不经过第四呢？这不是不经过第三吗？ 你画出来再说啊， a 小 于零， b 大 于零， k 是 小于零的向下走， b 大 于零的，焦点在外轴正半轴就画出来了 啊。这题都一样，你再比如说第十题吧，他说 k 乘 b 小 于零， y 随 x 的 增大而增大， k 乘 b 小 于零，说明 k 和 b 是 一号的，这知道吧？这七年级学的啊，两个数相乘小于零，说明这两个数是一号的， y 随 x 的 增大而增大，那说明 k 是 大于零的，那所以 b 就是 小于零的。 k 大 于零， b 小 于零，它长什么样？这么长这样吧， 所以一定不经过第二项线搞定，简单不？ 那这个第十一题你要是不会的话，说明你，说明你七年级下册二元一次方程组没学好啊。这个方程组什么时候无解啊？会吗？有同学估计早就忘了，或者是当时就没学会。 这方方程组怎么会无解呢？是吧？一个二元一次方程组什么时候会无解呢？ 好，你要不知道我开奖了，如果你 这个二元一次方程组无解，说明什么？说明 y 的 系数之比等于 x 的 系数之比，不等于那个常数项的系数之比。 也就是说你这个目测啊，你看它的 y 和它的 y 系数都是一，如果你没有解，就说明这个 x 的 系数是一样的啊。 x 的 系数是一样的，那就是负四等于 k 加二，所以 k 就 等于负六， k 等于负六，那负二 k 加一这玩意它就是十三，那就是 y 等于十三， x 减二，它不经过第几项线，你整个函数图像向上走，对吧？然后 b 又小于零，所以它这么这么来的嘛，就不经过第二呗。 到现在为止，几乎每一个题都要你画出来图像，然后判断它不经过或者是经过哪几个项线 好。第十二题你要是二元一次方程组没学好，那没办法啊，这个又是跟二元一次方程组结合的，他说 p 是 坐标系内的一个点，横纵坐标是这个玩意二元一次方程的解， a 为任意实数，当 a 变化的时候，这个点 p 一定不在第几象限， 一定不再低级象限。这个姐，你是不是得先算一下再说？你别管他能不能求出来，具体的你带着 a 你 也得先算一下。呃，咱们试试啊。哎，好像他俩好像他俩一， 这俩这俩一，这俩一减，好像能能消掉，是吧？你看啊，它俩一加啊，它俩一加，你让圈一加圈二，圈一加圈二，那是不是就是三 x 减去三 y 右边是个负一， 那也就是说这个点，这个屁点，它满足三 x 减三 y 等于负一，那也就是说三 y 等于三 x 加一，那也就是说 y 等于 x 加上三分之一， 你说这玩意一定不在第几项线？你 y 等于 x 加三分之一， k 大 于零， b 大 于零，所以他肯定这么走呗，就不一定不经过第四项线。有九年级的课， 暑假八年级、九年级都有，不经过第四是吧？正上英语课呢。这个点它的坐标是 x， 逗号 y， 那它的坐标就满足 y 等于，又经过提个 e 分 析之后啊。满足 y 等于 x 加三分之一，那也就是说你这个点在这条直线上，那条直线是咱们如图所示经过一二三的，所以不在第四吗？ 你其实要是学会了这些题，你会觉得这些题做着非常非常的无聊啊，不过马上题型四里面有有难有这个易错题，你们注点意啊，如果你手里有这个电子版的话， 这个易错题易错到什么程度？就是一个班里面刚开始学的时候，如果有五十个人做这个题，错的就得有四十往上 啊。前提是这个老师从来没讲过啊，绝对有四十往上，而且每个人写的时候都觉得自己写的是对的。这个第十三题 我好像已经看到错误答案了。这个一人浅笑最长安说是大于号，小于号， 他不经过第二项线，哎，然后你觉得自己特别聪明啊，就这么一划，不经过第二吗？哎，就这么一划，所以 k 是 大于零的， b 是 小于零的，就这么写上了。好，你不觉得你这么做有什么问题吗？ k 大 于零， b 小 于零，我画出来是这样的，但是他只是说不经过第二象限呢，我给你画一个，我这条红色的过原点的，他经过第二象限吗？经过吗？我这条红色的 他过原点，如果他过原点的话，他也不经过第二象限，但是他是，他是那个正比例函数，他也是一次函数， 这个时候我画的红色的线是不是满足题干里面的要求？此时这个 b 是 不是等于零的？所以这种题你千万小心啊，这个 b 可不一定就是你想的那么简单，就是大于零，就是小于零，在这个题里面， b 是 小于等于零的， 你看刚才有多少人错了，是吧？哎， k 大 于零， b 小 于零，这个题做出来了， 这个题只要考就会有人错啊，你说三遍，你说五遍，还是会有人错的。 好。第十四题，第十四题，这，这种题简单，这个 k 没事，他说这个直线不经过第四象限，那不经过第四象限，他就就，他就是经过一二三呗，一二三，你就按你随便这么一划， 那我这个函数图像得是向上走的，对吧？向上走，向上走说明 k 减二要大于零，所以 k 就 大于二嘛。 我这么写对吗？ 哎，如果觉得我这么写对的，你扣个一啊，如果觉得不对的，你就扣个二，这个答案对的，你扣一， 你觉得你不是这个答案的，你扣个二， 这个答案对不对？ 我如果要是不问，你们是不是就觉得是对的啊？我一问就就觉得是不对的是吗？ 哎呀，我，我要是让你们做这个题，你们多数人都得写 k 大 于二啊。现在我一问，你们又说觉得不对了，为什么呀？ 为什么不对呀？你先入为主了。什么叫先入为主啊？你总觉得我在做一次函数的题是吧？这个 k k x 的 这个系数不能等于零，你读题，他说的是直线， 整个题就没有出现一次函数这几个字，看到没？没有出现，你凭什么你上来就 k 减二大于零， 那我 k 减二等于零不行吗？可以啊，我如果 k 减二等于零，那说明 k 等于二嘛？ k 等于二，它就变成了 y 等于一，这个图像长什么样呀？ y 等于一，就说明你这条直线上所有点的纵坐标都是一，那它就长这样啊。这就是 y 等于一， 这是跟 x 轴平行的，在一二象限也不经过第四象限，所以 k 等于二也可以。如果 k 不 等于二，那它就是一三数， k 就是 大于大于二的。所以最后综上，在这个题里面，答案应该是 k 大 于等于二才对， 你看你是不是又错了， 长点记性啊。连着两道易错题，再来一个第十五题，这个题还是不是易错题？ 首先看题啊，一参数有了，一参数经过第三项线，经过第三项线，让我求 k 的 取值范围。 这个题不是易错题了，是，是难题，又不会了，什么都注意到了，但是又不会了，我等你们的答案啊，我看你们说什么的应该都有。 前面明明都是不经过为什么他突然来了一个经过第三项线我又要怎么办。 一会我给你们讲一个好玩的啊。你先做吧我看你们能做做做对吗。 经过第三项线 k 的 取值范围是多少。 呃另外直播间如果有学生啊 明天是母亲节你明天表现好一点哎平常表现如果就不错的话明天说点好听的 准备个小礼物。 k 大 于二或什么 k 可以 等于任。怎么可能呢怎么可能呢怎么可能是任意的时数呢 这能对吗那 k 要是任意时候你怎么保证他经过第三项线 动脑筋想一想如果你觉得难的话你大不了你就把那四种情况你都试三种情况你都试一下呗。他要么过一二三要么过二三四 对吧要么过一三四。 k 大 于二那 k 大 于你你这么说本身就是有问题的什么叫 k 大 于二并不等于二你 k 大 于二它本来就不等二 能理解吗。你说了 k 大 于二了那都没有等于二你为什么后面还要再跟一个不等于二也不对也不对 k 小 于负二 也不对都不行了是吧。那这个题你们你们是要听 正常方法步骤多的呢你们还是要听带技巧的减步骤少的呢。 两种方法都能做啊。正常方法就是你分类讨论分类讨论的话情况就比较多算起来麻烦一点带技巧的就是换一种思维不需要分类讨论了。 都需要都需要 啊。那这个不用留这么多位置啊。啊那这边是正常的做法吧 这边是偏向技巧性一些的。那你想一个问题他经过第三象限有几种情况呀？有三种呗，要么就是经过一二三，要么就是经过一三四， 要么就是经过二三四， 对吧？那是不是就这三种可能呢？没别的了吧？ 你要么一二三，要么一二四，要么一三四，要么二三四，这四种他现在已经说了经过第三项线，所以就这三种情况，你一个一个算呗。第一种，如果他是一二三，那说明 k 减二。哎，一二三，你可以画个草图啊，一二三就长这样， 对吧？一二三长这样，那就是说明 k 减二大于零，并且这个 k 还得大于零，你这两个要求要同时满足，那大大取大，所以算出来之后就是 k 大 于二。哦，这是第一种情况，你再来第二种，一三四， 一三四，一三四，一三四，一三四，这么画是吧？不经过第二，那一三四的话，不就是 k 减二大于零， k 小 于零吗？ 这玩意是怎么可能呢？对吧？你 k 减二又大，你 k 又大于二又小于零，所以这是无解的， 这是无解的第三种。第三种，过二三四 二三四，那就是这么画呗。那这么画的话，说明 k 减二，它整个图像是向下的，那 k 减二就小于零， k 也小于零，小小取小，所以所以 k 就 小于二。 那现在你想啊，是不是是什么呀？是是，这个也可以，这个也可。哎。哦，这写错了，小小取小啊， k 小 于零，小小取小，那你 k 大 于二也行， k 小 于零也行，是不是这两个都可以啊？综上所述， k 大 于二或 k 小 于零 就搞定了吗？ 你先把这个笨的方法理解了啊。 你说经过第三项线，那我就分类讨论一下，要么是一二三，要么是一三四，要么是二三四，然后我分别给你去列啊，求解。解出来之后啊，第一个情况可以的， k 大 于二，第二个情况它是无解的，不存在。第三种情况， k 小 于零， 那你这个情况也可以，这个情况也可以，两种情况都可以。所以最后综上他或他这个题搞定， 这是你也不能说他笨啊，这就是正常一点的做法，只不过是需要分类的讨论的情况比较多而已。然后什么叫技巧性的方法呢？我就问你一个问题啊， 他说他经过第三项线，让咱们求取值范围，咱们是不是可以去算一下他不经过第三项线的范围呢？哎，不经过第三项线， 你不经过第三象限，你是不是就是经过一二四，那就你就是这么画的，对吧？你不经过第三象限，你这么画，那就是说明 k 减二要小于零，这个 k 要大于零，你这么一算就是零到二， 对不对？ 忽略了什么了啊？对对对，什么对不对啊？不对， 你 k 是 可以等于零的，又错了又错了，他说不经过第三项线，我过原点也是不经过第三项线，所以这个 k 是 大于等于零的，那算出来之后就是 k 大 于等于零小于二， 那也就是说你不经过第三项线，这个 k， 他 算出来的范围是这玩意，那你现在经过第三项线， 你经过的你这个一次函数，你要么就经过，要么就不经过，不经过的时候算出来是这个结果，那你经过的时候就是他的反面，就是他剩下的情况，那就是 k 小 于零 或 k 大 于二啊。当然你这个 k 不 能等于二啊，因为你本身这个这个题干里面就隐藏的一个就是 k 不 能等二，这个结果就出来了， 这个不需要你分类讨论，你看你能不能理解这个思路啊？ 好云好云，说明你没没有这个，没有这个思维。 再重复一遍，你是一个一次函数啊，一次函数要么就经过第三项线，要么就不经过第三项线， 你现在让我去算他经过第三项线的范围。第三项线，我一想啊，有三种情况，情况太多了，我不考虑我，我去考虑考虑那个不经过第三项线的，这不就只有一种情况吗？我把这种情况算出来，这个情况剩下的就是我题里面要的， 能理解吗？我虽然题干里面要的是经过第三项线，但是他情况太多了，我不想一个一个的去讨论，我反过来去求一下他不经过第三项线的情况，那剩下的就是他经过第三项线的吗？ 这也是你数学或者说概率题里面经常用的一个思路，就是正南则反， 你正着想不好，想你就想他倒着的过了啊。这个题我我觉得这两种方法，呃，你老老实实的，你能使这个正常的方法平稳着陆也行。然后第十六题，第十六题 经过一三四 a 的 取值范围 经过一三四。 你这么画呗，是吧？那这么画的话，就说明二减 a 大 于零，二 a 加一小于零，所以就是 这是 a 小 于二，这是 a 小 于负二分之一，小小取小嘛，所以就是 a 小 于负二分之一。哎，搞定了啊， 为啥这个题就不用考虑过原点呢？因为人家说好了过一三四的，过一三四的， 你只有做那种不经过第几象限的，你才需要考虑过原点呢。好吧，你说这个题为什么咱不考虑 a 等于二呢？你 a 等于二，他怎么可能过三个象限？你 a 等于二，他是一条啊，这样的直线，他只经过一二象限，对吧？所以就算出来就是 a 小 于负二分之一啊。 呃，这四道题吧，前三道题都是重点易错的。第十五题是 不太容易想到的，或者刚开始学啊，容易容易想不到，你自己可以可加一会，你再重新做一遍这个题型五就比较简单了。题型五是一次函数图像与坐标轴交点的问题。那这随便随便做吗？ 你求 y 轴交点，你就令 x 等于零，你求 x 轴交点，你就令 y 等于零，你把它往里一带，那剩下那个自然而然就出来了。你比如说这个 d 是 七题啊，他说与 x 轴交点，你脑子里面一想， x 轴，那就是 y 等于零，那 y 等于零， x 就 等于负三， 所以焦点坐标就是负三，多少零？怎么是三呢？什么玩意？就是三 与 x 轴交点，坐标 y 是 零 啊， y 是 零。 那你再看第十八题吧， 又与 x 又与 y 轴了，那你与 y 轴交点，你就令 x 等于零，那就是零多少二啊，就这么简单，零多少二。 好，然后第十九题，嗯，第十九题，发现没有图，没有图，你就自己画一画吧。啊，这个，这个直线它也是固定的，图像也是固定的，你自己画一画， 你八年级，下次马上升九年级的同学了，你自己画个图应该没什么问题吧。 y 等于负四分之三， x 加六 试一试啊。第十九题， 我也我也画画 啊，你这个题就得稍微画的准一点，不能太，不能太偏，因为你后边要还要折叠，你画太偏的话，你折不过去了。 这条直线它是一个确定的，那你可以算一算，它跟 x 轴交点是多少啊？跟 y 轴交点是多少啊？ 呃，算完之后啊，这个点它的坐标就是零点 b， 它的坐标就是零多少。六、 原点是 o 吗？他说 m 是 线段 o b 上的一个点， m 在 这个上面不知道在哪啊，您随便吧。你比如说我就在这， 他说把三角形 a b m 沿着 a m 折叠，使这个点 b 恰好落在 x 轴上的 b 撇的位置，问这个 m 的 坐标是多少？ 能想象一下子不？想像想象，你把这个玩意儿沿着 a m 一 折，它不就变成这样的了， 对吧？这不就是那个 b 它所谓的 b 撇的位置吗？这能想到吧？把上边这个三角形 abm 沿着 a m 一 折，夸，这个 b 落在 b 撇，正好在 x 轴上，就是这么一个图形。他现在问我这个 m 的 坐标是多少， 怎么整啊？这里边啊，是有勾股定律的，咱们先瞅一瞅这个 ab 是 几， 你要对三、四五六八十这种数特别特别的了解啊，看到六八就想十，看到三四就想五，这是六，这是八。勾股定律，这就是十，它是十，你翻过来之后，这也是十， 它们俩是一般长的啊，这也是十，那你 o a 是 个八，所以左边这个 o b 它就 o b 撇，它就是个二嘛。 我 m 坐标，我不就纵坐标不知道吗？我是它纵坐标是小 m 啊，那这就是 m， 上边是不是就是八减 m， 你 折过来之后，这也是八减 m， 所以 勾股定律整上了。在这个小的直角三角形当中啊， m 方加上二的平方等于八减 m， 括起来平方， 那算被 m 方加四等于八，八六十四减二，八十六加 m 方，所以十六 m 等于六十，那 m 就 等于个 算错了吗？哦，怎么是八减六减 m？ 我 说这个数咋没见过呢？六减 m， 那就是三十六减去十二 m 加上 m 方，所以十二 m 等于三十二，那 m 就 等于个三分之八，所以点 m 的 坐标就是零。头号三分之八 搞定了。是，是六减 m， 刚才我算出来那个数，觉得以前没见过，我就意识到自己应该是写错了。这种勾股定律不会算出来那种数的 对吧？折叠就是全等，全等就容易出勾股定律，勾股定律去解这种三角形，所以 m 的 坐标就有了。 这个题你说难吗？也不难啊，就是得自己先画个图，如果你前面那些折叠勾股定律学的好的话，这个非常非常简单，如果给给出来你图让你直接去做， 这就是最基本的一个折叠。好，这是第十九题啊，自己画图，然后咱们再翻回来看第二十题。 第二是题，这也是一类题，就是横过什么什么定点，这种题出现频率非常高啊，横过什么？什么定点？高中也考。 什么叫横过一个定点？就是不管你这个 m 取什么值，我这条直线永远都经过这个点，那也就是说 我这个点的坐标带到这个式子里边，永远成立他跟 m 是 没有关系的。这是人教版八下一次函数， 对吧？你跟 m 没有关系，咱们是不是七年级的时候做过这种题？ 你跟 m 没有关系，那我就把所有 m 的 给你整出来就可以了。来，咱们把它乘出来啊。那就是 y 等于 mx 加上四， x 加上二， m 加二， 你说 m 取什么值的时候都不影响，那就是说明与 m 无关，与 m 无关，我就找到所有的 m 这一个，这一个，你把它俩合起来，那就是 m 倍的括号， x 加二加上四， x 加二，对吧？你不是与 m 无关吗？ 那我怎么才能与 m 无关呢？我要把 m 给消掉，那怎么消呢？就是 x 加二必须得等于零，所以 x 等于负二，你把 x 等于负二往里面一带，那 y 就 等于个负六， 是吧？所以这个点它永远都经过负二多或负六这个点。 你之前学的某种题，就很有可能会在你未来的某一天又碰到一个熟悉的。如果你当时偷懒了，你早晚会遭报应的。 这个报应就是若干天后你做的某一道题，发现啊，就是那个回旋镖击中你自己了，当时我偷懒了，我清楚的记得老师讲过这个题，但是我当时没搞懂，现在又考到了，我又，我又在这个问题上丢了分。 这不就是你初一时候学的那种题吗？是吧？啊，这个整数的加减里边算着算着，他说，嗯，这个整数的值结果与 m 无关，然后问怎么怎么样，不就一样的吗？ 你 m 取任何值我都过这个点，那就说明我过的这个点跟你 m 没有关系，跟 m 没有关系我就把你 m 消掉。哎，我就把所有带 m 的 给算出来，再合并到一起，最后就可以了， ok 吧？这已经二十道题了，你这二十道题做到这，应该对一次函数的图像和性质掌握的差不多了。还有多少题？ 我的乖乖哦，还有，也不多也不多，来吧。题型六，利用一次函数比较函数值的大小。那这种题就简单了嘛， y 随如果 k 大 于零， y 随 x 的 增大是增大，如果 k 小 于零， y 随 x 的 增大是减小啊，就。就利用这两句话就都能做了，现在来吧。第二十一题，他说这两个点在这个图像上问 y 减小啊，就就利用这两句话就都能做了， 现在来吧。第二十一题，他说这两个点在这个图像上问 y 怎么办？我一瞅， k 是 等于负二的， 那你 x 越大， y 就 越小，所以这个五大，那 y 二就小小余号就这么写呗。啊，其实就是大于号呗，对吧？ y 也就大于 y 二嘛。你再看二十二题， 二十二题，虽然我不知道 k 是 谁，但是它是 a 方加二， a 方加二肯定是大于零的，那你大于零， y 就 越大，所以 x 一 大于 x 二，那 y 一 就大于 y 二， 是不是搞定你？再包括二十三题，一函数都给我了，这个 k 等于负二，那就说明他的图像是向下走的，你 x 越小， y 越大，他问我， y 最大是几啊？那你就找 x 最小的时候，最小是负二， 你把福尔往里边一带，那就是七，所以最大就是七，简单吧。好，然后这个二十四题啊，我考考你们吧，二十四题你们来做，你告诉我最后这个题的结果是多少 啊？这个题要是会了，那这一类题你就都会了啊，无所谓，别的题也就这样了，以函数的基本图像和性质，考不了什么难题的。 最近这天气比较赶早，你们多喝点水，别再生病了。 let's do it。 能行吗？再做不出来，做不出来我，我要睡着了， 不知道 k 是 几？他问我，他，他说这个 x 在 这个范围之内， y 的 最小值是负六， 六，嗯，六只有六。 行了，行了，不等了啊，再再再再等，不行了，再等一会都讲不完了。这种题他还是在考，你分类讨论。 分类讨论的这个思想在数学题里面无处不在啊。你不是不知道 k 是 几吗？你就讨论呗，对吧？你这个一次函数，它有可能是往上走的，也有可能是往下走的， 所以分两种情况，第一种， k 减一大于零。第二种， k 减一小于零， g k 大 于一， g k 小 于一，那如果你这个 k 减一大于零，说明你图像是向上走的，这个图像是向下走的，那你图像向上走什么时候有最小值啊？ 是不是 x 越小， y 越小？那也就是说 x 等于负三的时候， y 是 等于负六的，那你往里带，你就会发现负三倍的括号， k 减一加上二， k 减三等于负六， 那就是负三， k 加三加二， k 减三等于负六，所以 k 就 等于六， 你算出来之后千万别着急，你算出来这个 k 等于六，你跟前面这个 k 等于 k 大 于，一定要去对比一下，看他符不符合这个前提啊。这是你的前提， 前提是 k 大 于一，那我算出来 k 等于六，就是符合要求的。第二种情况，如果你这个图像是向下走的，你什么时候取最小值？是不是 x 越大越小？也就是 x 等于二的时候， y 等于负六，那你把它一带就是二倍的 k 减一加上二， k 减三等于负六啊，这一算就是 四， k 等于负一，所以 k 就 等于负的四分之一， 那你 k 等于负四分之一，跟这个前提还是要比较一下，前提是 k 小 于一，你算出来是 k 等于负四分之一，那也是符合要求的，它也可以。最后综上就是两个结果，一个是六，一个是负的四分之一。 这种题就是考一个分类讨论啊，他最后你分的是两种情况，但是最后真不一定算出来是两个结果，有的时候有一个结果要舍掉的， 过了啊。第二十四，这是二十四题了，来二十五题。 二十五题， y 随 x 的 增大而增大， y 随 x 的 增大而增大，那说明 m 加二大于零啊，所以 m 大 于负二。 简单，二十六、二十六，他说 y 一 小于 y 二 x 一 是小于 x 二的，现在你说 y 一 也小于 y 二啊，它们的这个大小是一样的嘛。所以说明这个一函数，它是向上走的， y 随 x 的 增大而增大，它向上走，向上走，那 a 减三就是大于零的， 所以 a 就 大于三。 二十七题又来了，二十七题，你们做吧，好吗？ 你们做二十七题， y 等于 a， x 减四， a 有 最大值，八 正负八，是吧？这个题还是跟刚才那个题一样的，你不知道 a 是 正是负，所以你可以分两种情况去讨论。 第一种，如果 a 是 大于零的，那它向上走，向上走， x 越大， y 越大，那就是五。 a 减四， a 等于八，非常好算啊，那 a 就 等于八，可以要第二种情况，如果 a 小 于零， a 小 于零， y 随 x 的 增大而减小，所以当 x 最小的时候， y 最大，那就是三。 a 减四， a 等于八， a 等于负八，哎，也可以要，所以 a 就是 正负八 是吧？下面这个第八题跟刚才还是一样的，你看你能不能算快一点，一分钟时间算一下二十八题， 加快你的运算速度，这种题你得把时间压缩到一分钟。 let's go， 我写完了啊，你可以自己对对答案，咱们就不讲了。一个是 k 等于一，或者是 k 等于负的三分之二，两种情况， k 大 于零走一个， k 小 于零走一个。 你只要保证你思路清楚，计算功底扎实，学什么都简单。 计算不行的，你先练练计算吧，然后这二十九题还有这么多， 然后题型八是一次函数的平移问题。呃，平移问题呢？你们可能还没学是吧？没学我给你们先讲讲知识点吧。好吧， 一次函数的平移问题，咱们以一个具体的为例，比如说啊，现在有一个 y 等于二 x 减一，它的平移，咱们向上两个向下三个向左两个向右 一个，分别去表示一下，它的这个函数表达式会怎么变啊？或者是咱们可以用 ab 来表示，用 ab 吧， 这样的啊，用 ab 向上， a 向下， a 向左， a 向右， a 帮助你理解。 如果是向上或者是向下，这俩这哥俩是一组的，上和下就是直接在这个表达式的后面加或者是减，你向上平移 a， 那 就是 y 等于二 x 减一，再加上 a 啊，就是上加 向下，那就是减，你向下平移 a， 那 就是 y 等于二， x 减一，再减 a， 所以 就是下减。 容易搞混的是下面这个左右，如果你向左平移 a 个单位长度，它会变成 这是左加。向左平移就是对 x 进行一个加，你向左平移 a， 我 就让 x 加 a， 那 举一反三啊，向右的话就是减呗， 这就是一次函数图像平移跟它这个表达式之间的一个关系，上加下减，左加右减上和下是在整个函数表达式最后进行加减，左加右减是对这个 x 进行加减，你看能不能区分 左和右是对这个 x 进行加减。而且你加减的时候，要把这个二先给它提出来啊，把它的系数先提出来，然后写个括号，在括号里面去给它加减 啊，你可以记住这个口诀，上加下减，左加右减，记得差不多之后咱们来做几道题，你试试。试试啊，你比如说这个二十九吧， 他把这个一次函数向上平移了四个单位，那上简单的上就是直接加呗，那就是 y 等于三， x 加 b 再加四，是吧？那他平移完之后表达是长。这样说，这个一次函数图像经过原点， 经过原点，那你就把 x 等于零带进去， x 等于零的时候， y 等于 b， 就 等于负四， 看能理解不啊？我先让他向上平移四个单位，表达式变成 y 等于三， x 加 b 加四，他说经过原点，那我把零零带进去，就是成立的，所以算出来 b 等于负四。 第二个第三式题其实也是一样的思路，你把他的图像向下平移两个单位长度，那向下就是减二，就是 y 等于三， x 加 b 再减二，他说平移之后经过点负一，逗号二，那你就往里带，那就是二等于负三加 b 减二，所以 b 就 等于个七。 好，然后第三十一题啊， 第三十一题，你看清楚人家问什么，他说把这个直线向沿外轴向上平移两个单位长度之后，新的直线与坐标轴为成三角形的，面积增加了多少？注意是增加了多少？ 你两个思路嘛，对吧？你要么就把这两个图画在同一个图里边，你要么就分开画，分别去求，然后再相减，你怎么做都行。你可以先画一画它最开始的，它没平一之前， y 等于负 x 加一，它图像就长这样 啊，这边交点是一，逗号零，这边的交点呢，是零逗号一，这是你没平移之前的，你沿着外轴向上平移了三两个单位长度之后，它的表达式就变成了 y 等于负 x 加三， 那平移完之后就变成了这样 啊，整个坐标变成了三逗号零，这个坐标变成了零逗号三。 他问你面积增加了多少，这不很明显吗？你里边这个面积，这是一乘一乘二分之一，这是二分之一，这个是三乘三乘二分之一，这是二分之九，所以面积就增加了四。 ok 了啊，面积增加了四， 好。然后第三十二题，第三十二题，他说把这个一次函数图像向上平移，得到了直线 ab， 这个直线 ab 是 经过二逗号十一的。问 ab 的 函数表达式是多少？ 我管你是多少，你原来是 y 等于二， x 加三是吧？你不知道怎么的，向上平移之后变成了 ab， 那 ab 肯定也是 y 等于二， x 加一个，呃，小 b 的 形式嘛， 对吧？你上和下只是对这个三进行加减。我设 ab 是 y 等于二， x 加 b， 那 你经过二十多号十一，我把它往里一带入，那就变成了十一等于四加 b， 所以 b 就 等于七，那 ab 的 表达式就是 y 等于二， x 加七， 你都不用设什么二 x 加三加多少。那没没必要啊，因为他也没问你，你只需要知道我向上平移，向下平移，我这个 k 是 不变的，我还是 y 等于二 x 就 可以了。 这个位置你给他的待定个系数嘛，对吧？待定个 b 就 可以了 啊。快了快了快了，还有两个啊。第第三十三题也比较简单，三十三和三十四是题型，求一次函数的表达式。 你三十三题，这个，这个白给的吧。 x 等于二， y 等于负三，你就往里带嘛。那就是说明负三等于二， k 减四，那 k 就 等于个二分之一，所以就是 y 等于二分之一， x 减四。 第一问啊，第二问，他说求这个一函数图像与 y 轴啊，与 x 轴交点坐标，与 x 轴交点坐标，那就另外等于零，另外等于零，咵一算，这个 x 就是 八，所以交点坐标就是八，逗号零。 搞定了啊，最后一道了，最后一道了，最后一道了。三十四题， 他说已知这条直线与这条两条直线相交于 a， 逗号一，而且与 x 轴交于点 b， 咋办咋办呢？哎，你这两条直线相交于这个点，那这个点既在这条直线上，也在这条直线上，那我怎么求这个小 a 呢？我得找一个没有未知数的。那谁没有未知数啊？这没有未知数是吧？ 所以把它带入到这个解析式里面，那就是一等于负二分之一 a， 所以呢， a 就 等于负二， 你算出来 a 等于负二之后，这不就简单了吗？ a 等于负二，那 a 点的坐标就是负二，逗号一， b 点的坐标是负三，逗号零，他让我求直线 bc 的 解析式，你们现在会求吗？我问问，我问一下啊， 如果你已经知道这条直线经过两个点，这两个点的坐标也都告诉你了，你会求它的解析式吗？ 它这个题干里面已经给我设好了啊，就是直线 y 等于 k， x 加 b 嘛，对吧？那你这条直线 y 等于 k， x 加 b， 我 现在又经过 a 点，又经过 b 点，我可以代入，代入进去你就能得到一等于负二， k 加 b， 零等于负三， k 加 b， 所以 k 等于多少， b 等于多少，就能算出来。也就是说，如果我知道一条直线经过哪两个点，任意的两个点啊，我把这两个点的坐标往里一带，就能得到一个关于 k 和 b 的 二元一次方程组， 我就能解这个方程组，那算出来之后就是 k 等于一， b 等于三，所以 bc 这条直线，它的表达式就是 y 等于 x 加三， 明白吗？因为两点确定一条直线，所以只要知道经过两个点的坐标，咱们代入就能求这条直线的解析式。 基，基本操作啊这是。然后第二问，让我求三角形 a， o， c 的 面积， 那 c 点的坐标是多少啊？ c 点的坐标，它是 bc 这条线跟 y 轴的交点，所以是 x 等于零一带，那 c 座坐标就是零。逗号三， 那你看第二问，三角形 a， o， c 的 面积是不是就是二分之一乘上 o， c 乘上二，那就得 o， c 是 三嘛？所以最后面积就是三嘛， 没问题吧？这个三角形的面积，我让 o c 当底，高就是这么高嘛？ 高就是 a 点横坐标的绝对值啊，就是二，所以二分之一乘 o， c 乘二， o c 是 三，最后结果就是三。第三。 这个也跟咱们录制的那个存在性问题的专题课里面面积问题是同一类题型啊，非常非常喜欢考这种，属于初级题目。就是如果这个 p 是 直线 b、 c 上的一个动点，如果三角形 p、 o、 b 的 面积等于二倍的三角形 a、 o、 c 的 面积，让我求这个点 p 的 坐标， 这种题统一都是这么做啊。我们先观察一下，我们在第二问求了三角形 a、 o、 c 的 面积是个三，他这说二倍的三角形 a、 o、 c 的 面积，那就是六吗？ 对吧？这就是六啊，你就不用管这个东西了，也就是说，你要在直线 bc 上找到这么一个点屁，让三角形 bo、 b 的 面积是六，哎，这是那个直线 bc， 这是 bo， 这两个点 bo 的 面积是个六， 我是不是可以让 ob 当底啊？让这个屁点的纵坐标的绝对值去当高， 因为你屁还有可能在第三象限，所以这种题啊，它是让咱们求点屁的坐标，你得有对应的步骤才行。我们设屁点坐标，设它的横坐标是小 m， 因为它在 bc 上动，所以 它是不是就在这条直线上？ y 等于 x 加三上，它在这条直线上动，如果横坐标是小 m， 那 纵坐标就是 m 加三吗？ 这是人教八下的一次函数，那 p 点坐标就是 m， 逗号 m 加三，你就表示呗。三角形 p、 o、 b 的 面积就等于二分之一乘上 ob， 是 吧？乘上这个 m 加三的绝对值， 那其实就等于二分之一乘三乘 m 加三的绝对值。现在他说这个三角形 p、 o、 b 的 面积是六 啊，所以它等于六，那你会算不？那这个 m 加三的绝对值，它不就等于四吗？所以 m 加三等于正负四，所以 m 等于一或者是负七。 那所以 p 点的坐标就是一逗号四或负七。逗号负四 这个题就搞定了。 讲完了，一共三十四道题，还可以吗？

来，各位初二同学，一函数呢，是初二下半学期的一个难点，那我这里呢，整理了一函数的十个必考点，这些题目呢，很有可能就是你本次期末考试的原题。那第一个必考点就是函数的概念，第二个函数自变量的取值范围。 第三个一函数的定义，第四个一函数图像与系数的关系。第五个一函数的图像与坐标轴的焦点及面积问题。第六个一函数的平移。第七个一函数的增减性。第八个一函数的解析式。 第九个一函数的实际应用。第十个一函数的图像问题。那这些题目呢，全部都有详细的答案解析，有需要的家长在粉丝群回复一函数拿去练习。

八、下数学的一次函数，求参数的取值范围，是一种必考的题型，很多孩子呢，明明图绘画也会分析图像，却还是丢分了，原因就是他们在做分类讨论的时候啊，少考虑了一种远点的情况。 那究竟当时是怎么回事呢？我们还原一下案发现场，来给大家避避坑。学完这道题之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去练习巩固一下， 只要把里面的题搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题。那现在呢，我们就假设今天做错这道题的同学的名字叫做小明同学， 那么带入他的视角，看他从哪一步开始犯错的。若一次函数 y 等于括号内 k 减二， x 加 k 的 图像不经过第三象限，然后呢，要求 k 的 取值范围。小明同学说，老师，这道题要画图啊，好，咱们把图画起来，第三象限在这个位置， 所以呢，不经过第三象限，他就说这样画好。接下来呢，小明同学又说，老师，这个图像往右下方走，说明他的斜率啊，这个 k 减二啊， 必须小于零啊，这是他找到的第一个关系。接下来他又说，老师，后面这个常数，这个加 k 指的是这个图像和 y 轴的这个交点啊，我用红色标起来啊，表示这个交点， 他说这个焦点呢，从图可知，他在 y 轴的上面，所以说明这个 k 啊，他要大于零，对吧？啊，就是这个点。所以呢，他要列出第二个式子，他说 k 要大于零哎，所以他是这样列的， k 大 于零。好，然后呢，他就把这两个不等式给他结合起来解了一下，解得这个 k 呢，是大于零小于二啊，然后呢，他看了一下选项，就很快乐的选了这个 a 选项啊，结果就丢分了， 你们知道问题出在哪里吗？其实问题就出在啊，这个不经过第三象限，除了他画了这种情况之外， 还有一种什么情况呢？我是不是这条直线还可以往下继续移啊？我最低最低，我是不是可以移到我刚好过圆点，这样子也叫做不经过第三象限呢，对不对？所以也就说我的这个斜率的分析，这一步没问题， 但是呢，关于这个截距这个点呢，我不一定是在 y 轴的上面的，我最低最低最低可以去到 圆点，这里也是符合题意的。所以呢，这一步呢，我们就是说 k 大 于零，要变成 k 大 于等于零都是可以的。所以最后呢，我们的答案呢，就跟小明同学的答案就差一点点，就是这个地方要补个等于号 啊，所以最后答案呢，不应该是选 a， 而应该是选 b 啊，这里呢，要加一个等于号好，是不是很坑呢？你学会了吗？

八年级的一次函数中，已知平行求解析式是期末高频的易错题型，但是呢，刚学一次函数的孩子，他根本就不理解在函数里面平行是什么意思， 他们的脑袋瓜里面在想说，哎，平行不是几何里面的事吗？怎么函数也关他事啊，然后也不懂得带变去求逼，所以呢，经常丢分，十分可惜。 而且我要告诉你，一次函数还只是个开头，后面我们还有二次函数，反比例函数都在等着他们呢， 所以呢，我们一定要开个好头，把基础学好，一点一点的进步。那今天林老师呢，就手把手带着大家把这类题型吃透， 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数八大题型拿去练习巩固一下，期末考可以多拿二十分。好，我们来看题，若一次函数 y 等于 x 加 b 的 图像 与直线 y 等于负二， x 加一平行，而且呢，过这个点三动，问这个一次函数的解析式是多少？ 那么在刚开始学一次函数的时候呢，孩子们对于平行这个几何的概念怎么用在函数里面还是不太熟练的。那么今天呢，我就给你讲清楚它的底层逻辑。 我们知道一次函数的解析式啊，它叫 y 等于 k， x 加 b， 然后呢，你得知道这个 k 和这个 b 分 别代表什么？那么今天呢，就来讲讲这个 k， 它有一个专门的名字，叫做斜率，那么大家可以想象一下，斜率是什么意思， 是不是代表它倾斜的这个程度啊，对不对？那么你想想看，当它跟另外一条直线平行的时候， 平行的时候，那是不是代表着它们的倾斜程度是一样的，对不对？所以呢，我们今天要教的方法，就像如果你看到平行，那就意味着它的斜率相等，也就是 k 相等， 所以呢，我们可以由这个平行条件直接得出它的 k 就 应该是这个负二，所以我们可以这样写， y 等于负二， x 加 v， 你 看我们已经解决了一半的内容啊，已经把这个 k 解决了。 好，那接下来我们再看第二个条件，他说过这个点三斗五，那过点又是什么意思呢？你看有这么一条直线，然后呢，里面过了这个点，这个点呢叫三斗五， 那说明什么呀？是不是说明这个点它得符合这条直线的算法呀？那现在我们知道这条直线它长，这个算法就是 y 等于负二， x 加 b， 所以呢，我们这个三动五是不是也带进去，它也得成立呢，对不对？所以呢，我们就可以啊，把它带进去， 三带进 x， y 带进五啊，那就得到了这个五等于负二乘以三，再来加个 b， 哎，那这个就轻松解的，把这个移过去， v 等于什么？十一，那至此 k 和 b 都被我们解决了，所以这道题的最后答案就是， y 等于负二， x 加上十一，搞定，你学会了吗？

八项数学一、自然数求表达式最核心的方法就是待定系数法，但是很多的孩子呢，在一开始学待定系数法的时候，没有掌握它的标准步骤和方法，导致常常丢分，还影响了后续小题的得分，非常可惜。 那今天呢，林老师就会给大家展示待定系数法的标准三个步骤，只要把林老师给大家整理的 依次函数十大题型拿去巩固练习一下，只要把里面的题型搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题， 已知 y 是 关于 x 的 依次函数，且点 a， b 的 坐标都给你了，它都在函数图像上，求这个依次函数的表达式，这种已知两个点要你求表达式，就是最经典的待定系数法的题目。那么它一共分为三个步骤啊，请大家记住， 第一个步骤呢，叫做设框架，第二个步骤带两点，第三个步骤解方程，那我来操作一遍给你看。首先第一步设框架，我们知道一自然数的框架呢，就是 y 等于 k， x 加 b， 这个是它的标准式。然后呢，我们把这两个点分别带进去，就可以得到两个方程， 分别是来把这个零带入 x， 四带入 y， 我 们就可以得到四等于零乘以 k 加 b， 然后呢，再把这个负二和零带进去，那么就是零等于负二， k 加 b。 好， 接下来第三步 解方程，我们把这个方程解一下，就可以得到，这个是零， k 加 b， 所以 b 就 等于四啊， b 等于四， 然后呢，负二 k 移过去变成正二 k， 正二 k 等于四，那 k 就是 二，所以呢，你看 k 和 b 我 们都有了，然后再带回这里面，它的表达式就出来了，我们写一下啊， y 是 等于二， x 加四。好，那这就是第一个小问，我们轻松拿下第二小题， 当 y 大 于等于负一时，求 x 的 取值范围。那么这道题我们需要用画图的方法来辅助解决。咱们先画出一个平面直角坐标系来 好，然后根据第一个问的表达是 y 等于二， x 加四，我们可以画出它的草图来，你看 k 是 大于零的，所以它的图像是往上走的， 然后这个 b 呢，是截距是四，所以它 b 过这个点，四在这里，然后呢，斜率是往上走，所以它大致是长这样子的一个图出来。然后呢，当 y 大 于等于负一在哪里呢？我们不妨假设这个 y， 这个负一它就在这里， 那么此时我们只要把这个负一带进这个表达式，是不是就能求出它对应的 x 在 哪里啊？哎，我们这里先画一个草图来找一下，你看我们这边做个辅助线过来， 对应的这个 x 是 不是在这个位置，这个我们是可以求出来的吗？对吧？把这个 y 等于负一带进去，就可以求出这个 x 出来了，我们求一下啊，我们令 y 等于负一啊，就是这个带进去就可以得到负一，是等于二， x 加四的，所以呢，此时解一下，得到 x 是 等于负的二分之五，把这个四移过去除以二嘛，所以呢，这个地方呢，它其实就是二分之五啊，负的。 好，那接下来我们通过画图就能解决了，你看 y 要大于等于负一，说明 y 要取上面的这个部分，那么对应的这个函数是不是要取这一个线段呢？ 这边这一段对不对？那么你这段过去呢？ y 就 能取到上面了是不是？那么与此同时 x 在 哪里呢？ x 是 不是相当于这个负的二分之五的右边都是符合这个直线的？ 所以呢，我们就由图可知，直接得到 x 呢，就是大于等于负的二分之五，轻松搞定，你学会了吗？

初中阶段一共有三大函数，一次函数，二次函数，反比例函数，而其中我们最早接触的就是一次函数，可以说，一次函数学的好不好，会直接影响另外两个函数的学习，最后直接影响中考分数。 所以啊，一次函数我们一定要学的扎实，明白，那孩子们刚开始接触一次函数的时候呢，碰到的第一个坑就是这种平移的题目了。 很多时候呢，孩子一看到题目里面啊，说图像去进行平移，然后就开始吭哧吭哧的画图了。但是这种题啊，恰不是用画图的方法做的，而是用一个方法大招，哎，今天我会把这个大招教给你，并且带着你把这道题给他搞定。 学完这道题之后，再把林老师给你整理的依次函数的八大题型拿去练习巩固一下。平时做题没有思路，你只要对着老师给你的解析，一步一步按步就把它练习，考试能多拿二十分。好，那我们来看题， 将 y 等于三， x 减二的图像向左平移五个单位，再向下平移三个单位，然后求平移之后的图像解析式是多少。 那这种题呢，千万不要去画图解决，因为我们有方法大招啊，叫做左加右减自变量，上加下减常数项，老师来教你怎么操作。咱们呢，先把这个原式给他写下来， y 等于三， x 减二， 好来第一个左加右减自变量啊，那他这里是左五对不对啊？所以呢，我们要进行一个左五的变形，我们呢，就对自变量向左进行加五 啊，那就是 y 等于三，自变量是谁？自变量就是这个 x， 所以呢，我们给它括个号啊，变成 x 加五，其他照抄啊，其他照抄。这样子呢，我们的左五就变形完毕了， 接下来再来变这个向下移三。哎，那么这个口诀的后半句，上加下减长竖项，我们呢长竖项就是这个，后面这个减二，所以呢，我们只要给它变成一个啊，下三啊，那就是 y 等于三， 其他不变啊， x 加五，然后呢，减二的基础上，我们再来减个三啊，那最后把这个答案给它化简一下就出来了，我们来化简一下啊， 三， x 加上十五，然后呢再减二减三，也就是减五，那加十五减五，最后就变成了加十啊，这个也就从最后的答案 y 等于三， x 加十。好，你学会了吗？

求下列函数中自变量的取值范围，好了，大家来看啊。那你先看第一个，哎，这个 x 加三是不是在分母上，所以 x 加三不等于零，那么 x 不 等负三 好，它的范围就是 x 不 等于负三好，再看第二个，哎，第二个，这个自变量的取值范围怎么来确定啊？首先，这个 四减 x 是 不是要被负，对吧？四减 x 大 于等于零，那么 x 是 不是应该小于等于四，对吧？ x 小 于等于四，同时这个分母不能为零， x 减三还不等于零，所以 x 还要不等于三，对吧？哎，那它俩结合起来， x 的 取值范围就是小于等于四，且 x 不 等于三好，这是第二个。再看第三个，哎，那你看第三个 x 的 范围是什么？是不是可以取任意的实数，对吧？你 x 取谁都行，所以这的取值范围就是 x 为任意实数。好，那今天的这道题目大家听懂了吗？

八项数学求依次函数的解析式是考试的重点，上次我们讲了已知两点求依次函数的解析式，那么今天讲根据图像求依次函数的解析式看题如图，求该函数的解析式。 这种题也是分四步走，一找点我们是能够看出来的吧，把它写出来，零四 二零。找完点之后呢，我们就要设一次函数的解析式为 k， x 加 b。 接下来呢，将这两个点的坐标带到解析式中来，得出方程组。 再解方程组把 k 和 b 给解出来，求出了 k 和 b， 我 们再把这两个数带到这个解析式中来，得出 y 等于负二， x 加四，这就是这个函数的解析式标准答题步骤在这，大家私下呢再去找一些题来巩固一下。

今天我们来讲解一下八年级下册正比例函数与一次函数的综合几何题。嗯，在我们期末考试考试当中，哎，常考的一些题型，我们来读题十四题，如图，直线 l e， y 等于 k e s 加 b。 我 们读到这，要知道它是一次函数，与 x 轴外轴分别交于 a 点负三零， b 点零三啊，也就说这两个点都在一次函数上，那我们就可以用待定系数法来求 l e 的 解析式。 直线 l 二， y 等于 k 二， x 与直线 l e 相交于点 c 是 这两条直线的交点，既过 l e， 也过 l e 二。 但是对于这两条 l 一 和 l 二的直线来说，我们这个 ab 带入之后，它的解析式是有的， l 二目前是没有的。我们要想求得 c 点的纵坐标，我们得把它的横坐标带到已知的解析式上，那也就得把 c 点带入 l 一 的解析式，对吧？ 然后解得 c 点的总坐标，就可以得到 c 点的坐标。 c 点坐标这个 y 等于 k 二， x 是 正比例函数，它只需要一个坐标，正好 c 点在 y 等于 k 二 x 上，我们再把 c 点坐标代入，这是我们读完题，其实他就有求 l 一 l 二解析式的一个做法，对吧？那你看第一问，他说求 l 一 和 l 二的解析式，那我们根据刚才的思路给他去解答解， 我们将 a 点 b 点代入 y 等于 k 一， x 加 b 中。就如果说你对这个 l 一 的解析式与 y 轴交点坐标熟悉的话，它叫零逗号 b， 这个 b 是 零逗号三，也可以直直接得到 b 等于三。那我就直接用 a 点 b 点代入的方法就可以了啊。将 a 点 负三零， b 点三零带入 y 等于 k 一， x 加 b 中列得方程组负三 k 一 加 b 等于零。 哎，抄错了吧，零，逗号三，然后 b 等于三，这样解得把 b 带到这来，是吧？负三 k 一 就等于一， b 等于三， 所以 l 一 的解析式是 y 等于 x 加上三，这个 l 一 的解析式就可以求得了。然后我们说把 c 点， c 点是他们两个的交点，把 c 点要带入已知的解析式上。将 c 点负四分之三，逗号 n 带入 l 一， y 等于 x 加三中， 也就是 i 负四分之三，加上三等于 n， 也可以说 y 也都行啊，我直接等于 n 了，也就是 n 等于四分之十二，也就是四分之九，所以 c 点坐标得到叫负四分之三，四分之九。再将 c 点代入 l 二的解析式，叫 y 等于 k 二， x 中带入 l 二的解析式， y 等于 k 二等于四分之九， k 二等于负的负三，再给它往回带，所以 l 二的解析式 y 等于负三 x。 第一问求解析式就可以了， 所以说求一次函数解析式，我们就是带入两个坐标，求正比例。函数解析式，就是带入一个坐标，你就要根据题意看谁在他的坐标，谁在他的，谁在他的直线上就可以啊。第二问 第二个，他让我们再求三角形 b、 c、 o 的 面积，求三角形的面积，我们首先肯定是要找底，要找高，对于三角形 b、 c、 o 来说，我们 b、 o 作为的底， c 肯定是在这做垂直，作为了高，那做完垂直之后，其实这个高就是 c 点的，记住横坐标的绝对值，因为 c 点的横坐标是个负数，你的高肯定是一个正数，所以一定要加横坐标的绝对值，对吧？ 那我们把这个 s 三角形 b c o 的 面积等于 b o 乘以 c h 乘以二分之一，你辅助线添加自己再再描述啊。 b o b 点坐标是零三，所以角三 c 点，刚才求了它的坐标是负四分之三，多少四分之九，它的横坐标的绝对值就是四分之三，再乘以二分之一， 给他算出来角八分之九，第二个就可以结束了。因为这个三角形对咱们来说，其实你要我说它就叫规则的，可以找到水平的底，水平高直接底乘高乘二分之一就可以，对吧？然后第三个 第三问， m 为 y 轴上的一个动点啊，这是一个动点，连接 m a m c， 当 m a 加 m c 的 值最小时求 m 的 坐标，那你读到这的时候，也就是 m a 加 m c 来，你要是读到这能翻译出来，它就是我们学过的什么叫将军印马，将军印马就是 c 点是个动定点， a 点是个定点， m 是 个动点，在这条直线上，所以它的模型就是做其中一个对称点，再连接其中一个定点与这条直线的交点，则为 m 就 可以了。所以说我们的模型出来之后，可以做 c 的 对称点，也可以做 a 的 对称点，那在这我们做 a 的 对称点是比较方便的，所以说 过外轴做 a 对 称点为负三零，所以它的对称点就是 a 撇三零。 然后我们再去连接 a 撇 c 与 y 轴的交点则是 m， 那 现在他想求 m 点的坐标，那你这 m 点的坐标是怎么产生的？是连接了 a 撇 c 与外轴的交点是 m 点的坐标，所以说我们要求 a 撇 c 的 解析式。 a 撇 c 对 咱们来说它是什么？叫一次函数，对吧？所以设 a 撇 c 的 解析式为 y 等于。呃，没有用 k， 咱们就用 k 啊， k， x 加 b 一， 上面不是用 b 了吗？咱们给它区分一下，就 b 一 代入两点坐标，也就是 a 撇三零和 c 点。 拿了这负四分之三，逗号四分之九，我这占不下了，我就不不写到这了，我写到这吧，负四分之三，逗号四分之九，然后是三， k 加 b 一 等于零和负四分之三， k 加 b 一 等于四分之九。解得 k 一 k 是 谁， b 一 是谁？这个算出来， k 等于负五分之三， b 一 等于五分之九。那也就说这个 a 撇 c 的 解析式我写单了啊，写不下了。 a 撇 c 的 解析式是， y 等于负五分之三， x 加上五分之九，那这个 m 点是这条直线与 y 轴的交点，与 y 的 交点就是让 x 去等于零，所以当 x 等于零时， y 等于五分之九，所以 m 点坐标交零，逗号五分之九。哎，这道题就结出来了， 看这里边应用到求 l 一 l 二的解析式，也就是一次函数，对吧？还有 l 正比例函数的解析式，在第三问当中也求到了一次函数的解析式，也是两点确定一条直线，也就是待定系数法。第二个求三角形的面积倒是 还可以。第三问这个当中用到了，还用到了一个角最短路径的问题。角将军印嘛，你们可以把这个模型下来去记一记，做一个点的对称点，再连接其中一个定点与动直线的交点，就是 m 点的位置。

一次函数和将军密码结合的这种待几综合的题目是八下数学的必考点，百分之九十的孩子呢，一做就错， 根本的原因就在他们不懂得如何在一次函数的背景下使用将军密码的知识点来解决。那今天林老师就教你一个方法叫对称找焦点，彻底的搞懂这一类题， 学完之后再把林老师给你整理的依次函数专项练习拿去巩固练习一下，只要把里面的题目搞定啊，期末多拿二十分。好，我们来看题，如图，已知点 a 和点 b 的 坐标，并且 p 呢是 x 轴上的一个动点，好， p 在 这上面动， 要使三角形 a b p 的 周长最小。问此时 p 点的坐标？好，我们来画个图理解一下。提议， a 点和 b 点呢是定点，而且是已知的。然后呢，要你在这个 x 轴上找到一个点 p 啊，然后呢，要你把 a p 和 b p 连起来啊，还有这个三角形 a b p 的 周长最小值， 那么你想啊， a b 呢是定长，不用管啊，那么要的就是 a p 加 b p 的 最小，对吧？那这个就是我们典型的将军印嘛，相当于这里是个和， 然后呢，将军要从这个 a 点呢去合上，遛个马，喝个水，然后呢再赶去 b 点，然后要求这个最小距离。所以我们可以用对称的方法来找到这个最短路径的点在哪里。那我们既可以把 a 点去做对称，也可以把 b 点去做对称，例如说我们这里选择把 b 点做个对称， 我们对称到这里来，叫它做 b 撇点，然后呢，再把 a 和 b 连起来， 那么此时的这个焦点呢，就是我们的最短路径的那个焦点 p 点啊，再把这个 b p 也连起来就搞定了。好，那接下来 p 点位置已经有了要求 p 点的坐标呢？是不是要先把这条 a b 撇的直 线表达式给它求出来啊？好，我们已知两个点要求解析式，用的方法叫做待定系数法，对吧？我们第一步设框架， 我们设这个 l a， b 撇是什么呢？是 y 等于 k， x 加 b 啊，把这个框架给它设好，然后呢，将 a 和 b 撇点的坐标带进去， a 的 坐标我们知道了一一，那 b 的 坐标呢？你看三是一样的，是三 二呢，翻下去变成了负二。好，所以我们将 a 的 这个一漏一 和这个 b 撇的这个三动负二，我们代入，就可以得到两个方程，分别是一等于 k 加 b， 还有负二等于三， k 加 b。 好， 我们解一下，这个方程可以解得 k 等于负的二分之三， b 等于二分之五。 所以啊，这个表达式我们就有了， l a、 b 撇就等于 y 等于负的二分之三， x 加上二分之五。 好，那么此时你要求 p 点的坐标很简单， p 点在谁上？在 x 轴上，那么在 x 轴上的点，它的纵坐标都是零的，所以我们对我们刚刚求出来这个直线呢，令它的 y 等于零，就可以解除 p 的 坐标了，令 y 等于零，那么可以的，这个 x 是 等于三分之五，那么 p 点坐标就有了，三分之五都零搞定，你学会了吗？

好，今天我们来讲一下如何利用牵垂法求依次函数图像围成的有关三角形的面积问题。我们来看一下这道题目。如图，在平面直角坐标系中，点 a 的 坐标是二勾二，点 b 的 坐标是负四勾零，直线 ab 交 y 轴于点 c， 因为求直线 ab 的 解析式和点 c 的 坐标， 那么如果求解析式的话，我们知道咱们这个两点确定一条直线，我们用待定系数法求直线的解析式，这块已经给出了 ab 两点的坐标，那我们只需要把 ab 两点呢，给它带入解析式。 首先第一步设 y 等于 k， x 加 b 啊，然后把这个 ab 两点坐标带入，求出 kb 的 值，这块 k 是 三分之一， b 等于三分之四， 所以这个时候我们的解析式就出来了，应该是三分之一 x 加三分之四。然后我们要求 c 点的坐标的话 啊，因为咱们的 c 点呢，是直线 ab 与 y 轴的交点啊，那也就是说它的横坐标为零的时候，我们令 x 等于零，这个时候 y 呢，等于一个三分之四，所以 c 点坐标呢，就是零到三分之四。接下来我们看一下第二问，在直线 o v 上有一点 p， 使得三角形 b c p 的 面积为四， 求点 p 的 坐标啊，我们遇到这种情况呢，一定要考虑到啊，有可能这个 p 点的话，它不是只有一个需要分类讨论的啊，因为这个直线上面它的这个 p 点呢，它的位置是不固定的。首先我们看一下 a 点的坐标，它是二到二， 那么直线 o v 的 话，应该是 y 等于 x， 那 么这个 p 点呢，它在直线 o v 上，所以我设 p 点的坐标啊，是 m 勾 m， 这个三角形 b p c， 它的三边呢，都不在 x 轴或者 y 轴上 啊，不在坐标轴上，那这种情况该怎么办呢啊？我们可以利用牵垂法进行分割求和， 什么叫做牵垂法呢？牵垂就是竖直方向啊，给它做一个高啊，我现在过 p 点做垂直于 x 轴的一条直线，然后它交直线 a b 于点 q， 这样的话，我们就把三角形 b c p 给它分成了两部分啊，一个是三角形 b p q， 一个是三角形 c p q， 我 们把 q 点坐标写出来， q 点和 p 点的话，它的横坐标相等，因为它是平行于 y 轴的一条直线，所以这个横坐标是 m 啊，因为 q 点它在直线 ab 上，那么它应该是符合直线 ab 的 解析式。咱们直线 ab 的 解析式呢，应该是 三分之一 x 加三分之四，这咱们在第一问就算出来的，那么这块把这个 x 用 m 来代替，也就是三分之一 m 加上三分之四啊，这就是 q 点的坐标。 好，接下来的话，我们来写一下它的面积。这个三角形 b p q 和三角形 c p q， 它们俩其实是一个同底不等高的两个三角形，那么它的这个底边的话，都是这个 p q， 三角形 b p q 的 高呢，就是这一段 啊，然后三角形 c p q 的 高呢，是从 q 点往 y 轴做的垂直啊，然后你可以观察一下啊，这两段加起来，其实就是 b 点到 y 轴的 这个距离，也就是 b 点和 c 点的横坐标的差的绝对值。那么这块的话，其实也就是等于二分之一 p q 啊，乘以 c 点的横坐标减去 b 点的横坐标，所以这块应该就是负四的绝对值。然后我们再来看一下线段 p q 怎么表示， p 点和 q 点的话，他俩的横坐标相等，那么他们之间的距离呢，就是纵坐标的差的绝对值，那么这个时候的话，我们就是把它的面积给它表示出来了， 面积呢等于四，而我们解这个方程得到 m 等于负一或者是五， p 点坐标就是负一到负一或者是五到五， 因为 p 点在咱们的直线 o a 上啊，所以它的横纵坐标相等，那么这就是咱们的牵垂法，这个三角形 b p q 它就等于什么呢？二分之一乘以水平宽，水平宽就是 bc 之间的横坐标的差的绝对值， 乘以这个再乘以铅垂高，铅垂高呢就是 p q 两点之间的距离， 也就是说这个 q 点的坐标减去 p 点的坐标，它的绝对值。好，我们来总结一下这道题目，这道题的关键呢就是铅垂法， 遇到一次函数动点三角形面积，先设出动点的坐标，再用水平宽乘铅垂高除以二啊，可以列方程，然后计算出咱们的要求的坐标。

八下必选一个就要感化压入难题，一个是平行四边形，另外一个就是一次函数了，而一次函数对应的图像变换、平移旋转又是我们在另年期中期末必考的一项技能，而且在中考当中还会结合着最后一道题，二次函数出综合的压轴大题。 今天啊，一个视频，老师将带大家捋清楚有关一次函数图像变换的几种结论。那有关一次函数这样的图像变换，老师也给大家把历年考过的一错真题做了一个梳理，如果咱们孩子遇到这种题还经常出错，马后家长一定要打印出来， 逐个类形题，带孩子去练习记结论好不好？下面啊，咱们就来一起看看这道题。若依次函数的图像沿着 x 轴平移 n 的 单位长度来这里设置到平移了。平移，它的口诀是什么？ 对了，叫做上加下减谁？对了，就是那个 b 长数项，接下来平移左右，怎么平移啊？还是让左加右减？口诀记住了，左加右减谁啊？ 字变亮是那 s， 而且注意，平移的时候我们还要把它关上禁闭，只平移它。 好，那接下来他又说得到的图像是原图像，关于原点旋转一百八十度得到。关于原点旋转后的图像有什么特点 哦， x 变为它的相反数， y 也变为它的相反数。哎，知道这两个特点和口诀，这道题就容易错了，下面咱们来一起写一写。哎，是不是原图像是 y 等于二， x 减二啊， 它平移 m 的 单位长度，是不是左右平移啊，对不对？所以沿着 x 轴平移，是不是在 x 轴的基础上加减 m 的 单位长度对不对？减二，这是平移之后的图像，把它整理一下，就是二 x 加减二， m 再减二。 接下来得到的图像是关于原点旋转一百八十度得到。咱们得知道这个图像 y 等于二， x 减二。关于原点旋转一百八十度后到哪了？ 它旋转一百八，它有什么变化趋势啊？哦， y 变成负 y 了， x 变成负 x， 它就变成这样， 再整理一下， y 就 等于二， x 内乘二了。所以旋转一百八十度得到的图像是它，而原来平移之后得到的图像是它，那把它俩对应相等就行了，对不对？所以我们就有正负二， m 减二就等于二， 看到了吗？所以有正负二， m 就 等于四，所以 m 就 等于负二了。爸特别着急，在这一写，俩答案就完。那你不就错了吗？这里 m 是 哪呀？ m 个单位长度他一定是啥？长度是正的，所以平移多少个单位长度？两个单位长度对不对？那左右平移，他才算到加二和减二。那这种题目平移旋转的均相变换，你现在弄明白了吗？

一次函数和将军密码结合的这种待几综合的题目是八下数学的必考点，百分之九十的孩子呢，一做就错， 根本的原因就在他们不懂得如何在一次函数的背景下使用将军密码的知识点来解决。那今天林老师就教你一个方法叫对称找焦点，彻底的搞懂这一类题， 学完之后再把林老师给你整理的依次函数专项练习拿去巩固练习一下，只要把里面的题目搞定啊，期末多拿二十分。好，我们来看题，如图，已知点 a 和点 b 的 坐标，并且 p 呢是 x 轴上的一个动点，好， p 在 这上面动， 要使三角形 a b p 的 周长最小。问此时 p 点的坐标？好，我们来画个图理解一下。提议， a 点和 b 点呢是定点，而且是已知的。然后呢，要你在这个 x 轴上找到一个点 p 啊，然后呢，要你把 a p 和 b p 连起来啊，还有这个三角形 a b p 的 周长最小值， 那么你想啊， a b 呢是定长，不用管啊，那么要的就是 a p 加 b p 的 最小，对吧？那这个就是我们典型的将军印嘛，相当于这里是个和， 然后呢，将军要从这个 a 点呢去合上，遛个马，喝个水，然后呢再赶去 b 点，然后要求这个最小距离。所以我们可以用对称的方法来找到这个最短路径的点在哪里。那我们既可以把 a 点去做对称，也可以把 b 点去做对称，例如说我们这里选择把 b 点做个对称， 我们对称到这里来，叫它做 b 撇点，然后呢，再把 a 和 b 连起来， 那么此时的这个焦点呢，就是我们的最短路径的那个焦点 p 点啊，再把这个 b p 也连起来就搞定了。好，那接下来 p 点位置已经有了要求 p 点的坐标呢？是不是要先把这条 a b 撇的直 线表达式给它求出来啊？好，我们已知两个点要求解析式，用的方法叫做待定系数法，对吧？我们第一步设框架， 我们设这个 l a， b 撇是什么呢？是 y 等于 k， x 加 b 啊，把这个框架给它设好，然后呢，将 a 和 b 撇点的坐标带进去， a 的 坐标我们知道了一一，那 b 的 坐标呢？你看三是一样的，是三 二呢，翻下去变成了负二。好，所以我们将 a 的 这个一漏一 和这个 b 撇的这个三动负二，我们代入，就可以得到两个方程，分别是一等于 k 加 b， 还有负二等于三， k 加 b。 好， 我们解一下，这个方程可以解得 k 等于负的二分之三， b 等于二分之五。 所以啊，这个表达式我们就有了， l a、 b 撇就等于 y 等于负的二分之三， x 加上二分之五。 好，那么此时你要求 p 点的坐标很简单， p 点在谁上？在 x 轴上，那么在 x 轴上的点，它的纵坐标都是零的，所以我们对我们刚刚求出来这个直线呢，令它的 y 等于零，就可以解除 p 的 坐标了，令 y 等于零，那么可以的，这个 x 是 等于三分之五，那么 p 点坐标就有了，三分之五都零搞定，你学会了吗？