江苏常州高二函数同构的题目

大家好，我是数学蔡老师。本期视频我们来看这一道导函数的问题，题目中给了我们两个正数 a b， 然后呢告诉我们一个不等式是成成立的，那我们求 a b 分 之一的一个最小值， 这个题目的话呢，有两个参数，然后呢结构比较复杂，那我们这里观察到又有对数又有指数，我们这里首先应该想到同共问题， 那这个同过跟我们上个视频讲的同过有所不同，同样的我们一起来学习一下。另外一种同过方式也比较简单，比如说我们的 x 乘以一的 x 次方， 那我们这里把 x 写成一的幺 x， 乘以一的 x 加上幺 x， 这是我们常见的一种变换形式。 那第二种呢？我们既然有乘，那肯定是有除，同样的也可以同底数 b 的 除法，底数变，指数相减。 好把这两个式子掌握了之后的话呢，我们再观察题目啊，再观察题目，首先我们这里 a 是 正实数，那我们首先第一步把这个 a 给它除过来，我们来观察一下， 我们化解成这样的形制了之后，首先我们来看右边这部分，右边这部分又有成又有除，我们来借助我们刚刚所学这个式子，我们对它进行一下变形，大家可以看一看。首先左边的话呢，我们照抄啊，抄一遍的话，那不用变， 那我们右边呢，右边这里的话呢，我们稍微写两个式子啊，首先我们的 b 可以 写成什么？写成 e 的 裸影 b， a 可以 写成 e 的 裸影 a， 那 我们把这两个式子带进去，不然发现的话呢，我们就相当于是 e 的 裸影 b 加上 a， 然后呢再除以 e 的 裸影 a， 那 相当于是底数不变，指数相减。 写到这里的时候，我相信大家应该不难发现，咱们这一坨和这一坨简直就是一模一样 啊，简直就是一模一样。我们呢稍微的给它整理一下之后，就可以发现，咱们的就是相当于是挪引币减去挪引 a， 再加上 a， 再加上 a， 再减去一个一， 我们既然长得是一样，那我们这里稍微对它进行一个换元的操作，那所以说等价于什么？等价于 x 大 于等于一的 x 减一之方， 那咱们这里的 x， 它应该等于什么？ x 应该是我们这里的换元这一坨，这一坨我们把它变成了 x。 好， 看到这个式子的话的话，我们应该想到一个切线缩缩 什么缺陷方说呢？也就是说我们的 e x， 它其实是大于等于我们的 x 加一，当前仅当 x 等于零的时候，等号成立，那这个的话应该是学过的啊， 好，那我们下面这个数字跟上面那个数字有什么不同呢？既然 e 的 x 大 于等于 x 加一，我们同时减一个 e， 那相当于是一的 x 减一次方，它应该是大于等于 x， 当前仅当 x 等于一的时候，等号成立。好了，我们来看 观察一下这个式子和这个式子，它想要成立的话，那是不是 x 本身的话，我们一的 x 减一是大于等于 x， 那 我但是我们题目要求要求 x 大 于等于一的 x 减一，那是不是只有取等号的时候才能成立？也就是说我们的只可能是 x 等于一的时候，等号才能成立， 对吧？这个切线方舟希望大家能记住，那既然只有当 x 等于一的时候能成立，所以说我们这里的裸引 b 减去我们的裸引 a 加上 a， 它其实是等于一的， 那这样子的话呢？我们就列出一个关于 ab 的 一个方程，我们把 ab 给它表示一下，那相当于是我们这里两边同时取 啊，取，我们进行一个子对互换的话，那我们 b 它应该是等于一的裸引 a 减去 a 再加上一，那 b 它应该等于什么？ b 的 话，应该是这一部分应该等于 a 吗？ a， 那 你既然是减，那我肯定是除以什么？除以一的 a 减一， 这里你要打括号嘛？那我们的 b 等于什么？等于 a 除以一的 a 减一次方，那这就是我们 a 与 b 的 一个关系。好，那题目中让我们求的是什么呢？题目中让我们求的这个 a， b 分 之一 a， b 分 之一，它等于什么？它其实就等于 a 分 之一乘以 b， 那 我们的 b 在 这里，那 b 分 之一呢？ b， a 分 之一的 a 减一次方，那所以说等价于什么？等于 a 的 平方分之一的 a 减一，那相当于是我们的 a， 它属于零到重五角。 a， b 分 之一等于这个东西，那这个东西是什么？是不是相当于是关于 a 的 一个函数，然后我们要求它的一个最小值，无非就是求它的一个最小值，那我们这里又涉及到了一个最值问题，并且这个最值是只含有一个未知数，它的未知的取值范围也有，那我们常规做法肯定是使用函数来去做，我们令 fa 它等于 a 的 平方分之 e 的 a 减一次方， 那要求这个函数的一个最小值五，肯定是要对它求导，判断出它的单调性，那我们对它求一个导 f 导 a， 它应该是等于 a 的 四次方，然后呢， a 的 平方乘以一的 a 减一， 减去二， a 乘以一的 a 减一，那所以说我们的导函数的话，应该是等于 a 的 三次方，然后呢， a 减二，然后再乘以一个 a 的 一的 a 减一次方。 好，首先 a 是 属于零的中位数，咱们的分母横为正，指数横为正，那所以说咱们导函数正负取决于 a 减 二这个一次函数。这里的话呢，不难得到咱们的 f a 应该是在零到二上是单调递减，然后呢，二到纵无穷上是单调递增，那我们的最小值应该就是等于 f 二代入进去应该得到是四分之一。好，那我们 a b 分 之一的最小值就是四分之一。好，那本期视频就分享到这里，好，谢谢大家。

我们一起来看一下这边第七题啊。第七题， a 大 于一， b 大 于一，一的 a 次方减 a 等于 b， 减去等于 b， 等于个四。下列说法错误的是， 这时候你去看一下 a、 b、 c、 d 这四个选项，是不是这里面都有两个变量啊？分别是 a 和 b， 对 不对啊？那很明显要去找什么？是不是找 a 和 b 之间的等量关系， 从双元变成一个单元，然后用函数的思想去解。那么 a 和 b 之间等量关系怎么样去找呢？这一题你看一下 e 的 a 怎么减？ a 等于 b 减去罗赢 b， 很 明显去找 a 和 b 之间等量关系的时候，用一个什么方法？ 什么方法？对，就是同勾。你看左边这个式子和右边这个式子， 是不是可以用同根去分析？比如说我这个 h， t 等于 e 的 t 次方再减去个 t， 那 左边 e 的 a 次方减去个 a 的 话，就是谁？是不是就是一个 h， a 就 等于 e 的 a 次方减去个 a， 那 右边呢？ b 减去零点， b 就是 h， 多少 是 h 罗赢 b， 那 么 a 和罗赢 b 有 个怎样的关系呢？那我们是不是要去讨论 h t 这样的一个单调性？以往你们所做的题目呢？都是 e 的 t 次方加长题，那个直接是单调递增的， 这一题不一样， e 的 t 怎么减 t 我 要通过求导去判断它单调性的，那我们先去看一下它的范围。首先在这一题当中， a 是 不是大于一， b 也是大于一的吧， b 大 于一，那就对应的罗隐 b 是 不是就大于零啊？那你觉得 st 这个函数，我们只需要讨论哪个区间范围内的单调性就可以了， 是不是零到正无穷？因为你的两个变量 a 和零 b 都是在零到正无穷这个范围内的， 那我们对它进行求到， h 撇 t 等于 e 的 t 次方减一吧。当 t 的 取中位是属于零到正无穷的话， e 的 t 次方减一，是不是始终大于的一点恒成立， 所以我就得到了 h t 这个函数呢？在零到正无穷里面是什么？单调递增吗？是不是只有唯一的单调性？既然只有唯一的单调性，那么 a 和 b 之间的等量关系就出来了吧，得到了什么的量关系，那就 a 等于 b， 那 接下来 abcd 这四个选项，我不就都可以转换成一个变量来表示了吗？ 而题目当中，题目当中给了我们这样的一个东西，这个函数值是等于四的，有什么用？我们是不是可以先写一个 a 大 致的这样的范围 不就相当于 e 的 a， 什么减？ a 是 等于四吗？那 a 大 致在哪个范围内呢？因为 h t 这个函数是在单调递增的。我们先来看 当 t 等于一的时候，它所对应的函数值是几？是不是一减一？ 它比这边的四来的什么？是来的小？ 当 t 等于二的时候呢？对应的就多少？是不一平方减二吧，那这个值比四大还是比四小？是不比四大？ 因为因为单调底端呢？这个图呢？这样画随便画一个 是不是这样子的？ 那你的函数值现在等于个四的话，那么 a 的 取中位是多少的？四？这条直线是不是画在这个位置啊？那所对应的 很多标就在哪个范围内，是不是一到二这个范围内，所以我们就知道了 a 的 取中位属于哪个范围，是不是属于一到二？ 那不就判断出 a 的 曲中轴了吗？有什么用？待会下面是肯定会用到的。好，那我们现在来判断，现在相当于我们知道了哪些东西呢？第一个 a 等于小于 b， 第二个 a 的 曲中轴是属于到二的，当然这边小 b 的 曲中轴呢？也可以求待会能不能用到呢？我们待会再说。我们先来看 a 这个选项， a 这个形象， a 倍的圆， b 加上 b 倍的圆， a 大 于一，怎么样去证明？先从两个变量变成一个变量的话，这个式子可以怎么样去写？ 随便你转换成指数还是转换成对数来表示。我们先来看圆 b 是 等于 a 的 吧，那这个式子是不是可以转换成 a 平方加上 e 的 a 次方乘一个圆 a， 是 不是证明这个式子大于一？ 而在这一题当中， e 的 a 次方又等于什么？是不等于 a 加四啊？ 把这边的指数把它转换掉，不然既有指数又有对数，太麻烦了。那这个式子是不是转化成 a 平方加上一个 a 加四乘一个圆， a 要大于一吧。那这个式子大于一吗？ 来看 a 平方， a 的 求幂幂是不是除以一吗？来看 a 平方在一到二， a 平方在一到二里面是不是单调？底端 二三十万后面呢？ a 加四乘一个 lo in a 在 a 到二上面是不是也是单调递增的？为什么你可以直接这样看，因为 a 是 大于一的，所以 lo in a 肯定大于零， a 加四是不是也大于零？ 随着 a 的 增大，它们的成绩是不是变得越来越大，所以就是单调递增的。那我现在是不是就得到了 a 平方加上个 a 加四乘一个 lo in a 是 不是就大于 a 等于一的情况 对不对？你 a 等于一的时候，在这里面等于几啊？是不是恰好等于一啊？所以 a 这个选项正确吗？正确了吧？ 哎，因为我们得到，如果你把它当成一个函数的话，左边这个函数不就是单调底的了吗？ 相当于是这样子，相当于是 g， a 等于个 a 平方加上一个 a 加四乘一个 lone a， 它在 a 属于个一到二上面是单调递增的，所以 g a 是 不是就大于 g 一 啊？而在这一题当中， g 一 是不是恰好就等于一，那不就乘以了吗？所以 a 这个选项是正确的？好，再来看 b， 那 b 是 不还是一样的道理， a 加 b 就 可以写成什么？是不是 a 加 b 就 可以写成 e 的 a 次方吧？ e 的 a 次方就证明它大于一加一吧， 是不是也可以证明出来？你把左边看成是关于 a 的 一个函数，你这个函数是不是在单调递增啊？它单调递增的话，那我 a 加上 e 的 a 次方是不是就大于 a 等于一的情况？ 就大于 a 等于一时， a 等于一的时候往里面弹，不就是一加一吗？所以 b 这个选项也是正确的。再来看 c， c 这个式子是不是转化成了 a 分 之一加上 e 的 a 次方分之一啊？ 那我们还是把它当成一个函数来看一下， g a 等于 a 分 之一，这个函数单量占多少钱？ 你 a 是 属于一到二的，前面这一块是不是单调递减，后面呢？ e 的 a 四方分之一是不是也在单调递减？两个单调递减相加，那整体是不还是在单调递减？那既然单调递减的话，所以我记 a 就 大于减，因为你 a 的 循环为是不是属于到二？ 那我 g a 就 大于 a 等于二的时候吧，是不是就大于一个 g？ 二 g 二等于几？是二分之一加上一平方分之一，而这个值和右侧的二一分之三什么大小关系呢？ 我们不妨把它变成同一个分母。二一方分子是不是一平方再加二？ 那你右侧二亿分之三变成同一个分子的话，那么是不是二亿方分之三亿？那你一的平方加二和三亿哪个大？很明显，一平方加二大，那是不是就大于它？ 那 c 这个选项不也是正确的吗？那错的是哪一个？错的就是 d， d 的 话还是一样的判断方法，你来看一下是不是等价于是 a 乘以一的 a 次方大于二一方嘛？是不是要证明这个东西？因为 a 是 数一到二的。左边这个式子是不是铁定在单调递增啊？它单调递增的话， 那么它是不是就小于 a 乘以一的 a 次方是不是就小于？因为它在 a 属于一到二的时候是单调递增的，所以它决定小于 a 等于二的情况吗？是不是就小于二 e 的 平方？所以 d 这个选项是错误的。那这一题呢？答案呢？就选 d， 也就是通过桶购呢，去找到 a 和 b 之间的等量关系，之后把 abcd 这四个选项呢，通过 削圆，把它当成一个函数的题目去解。

大家好，我是数学与星辰，今天咱们来做一道题，只对同勾问题，已知函数 f x g x， 如果对 x 属于一到一方不等式， f x 小 于等于 g x 横成力， 我们把 f x g x 换进去这件事横成力啊，记住， x 是 有范围的啊，一到一方， 那么碰到这个形式，看看我们能不能把它形式结构变成相同的。我们这么变，把这个 a 拿到 x 的 右上方啊，这个 x 我 们给它也写成 long 的 形式， e 的 x 次方，这回左右的形式它就变成了一样的啊， t 减 t 的 感觉啊， 那右边也是一个东西减去绕一个东西啊，这个形式就保持一致，那么我们就构造一个函数， g x 构造成 x 减 x 的 形式啊，你构造成 t 减绕 t 的 形式也是可以的。 这里边 x 是 由取值范围的一到一方，我们判断一下 g x 的 单调性，那就是求导数一减 x 分 之一， x 大 于一，很明显这个导数是大于零的，那么 g x 就是 单调递增的。 单调递增好，那么我们原来的这个不等式其实相当于什么呢？相当于 g 好， x 的 a 次方，小得 g e 的 x 次方。那么因为 g x 刚才说是单调递增的啊，所以我们把这函数值给它脱掉啊，自变量 相应的小于等于接下来我们要求 a 的 最大值。碰到这样的情况，我们两边给他取个对数 lo， 这里边真数都能明显是大于零的啊，左边就变成了 a lo x 小 的，右边正好是 x， 因为绕 x 它也是大于零的，然后把绕 x 除过来。要想保证这件事横成力，我们需要让 a 比 x 除以绕 x 的 最小值还要小， 那么我们再次啊构造一个函数， h x 是 x b x， 别忘了 x 有 范围，我们只研究一到一方。继续我们求 h 的 倒数，上倒乘，下不倒减去上不倒乘，下倒除以下边的平方，下边不用管它是个正数。 那么 h x 的 单调性我们也容易发现，在啊大于 e 的 时候单调递增啊，小于 e 同时也大于一是单调递减，在 e 到正无穷单调递增啊。我们写 e 到一方单调递增， 这样 h x 先减后增， h x 就 有最小值，它的最小值就恰好是在 e 处取得，那么我们带进去它的最小值也是 e， 所以 a 只需要小于等于 e 就 行。小得 h x 的 最小值，那么 a 小 于等于 e， a 的 最大值就是 e。 最后我们总结一下这题主要是要把这个已知左右两边的形式 调成一样的，这样我们就可以构造函数来求解了。

一分钟带你秒杀我们只对同构难题，它只有一个核心，就是对 x 变形 x 可以 写成烙印 e 的 x 四方，它也可以写成 e 的 烙印 x 四方。只需要记住这两个变形 x 等于它， x 等于它， 那么所有的折腾个问题基本上就可以迎刃而解了。我们直接来看立体，他们求这个函数最小值，我们来看是不是既有 e 的 x 方，又有浪 x， 直接求导研究会非常麻烦。不过你来看我们这里是不是有个 x， 我 们如果把 x 给他写成 e 的 绕引 x 方的话，那么是不是 f x， 他 就是 e 的 x， 加上绕引 x 方，再减去 x 加上绕引 x， 对 吧？回想一下，我们切要放松， e 的 x 方 减 x， 它是要大于等于一的，所以它最小值就是要大于等于一。不过这里需要注意一下取等条件是什么？是 x 等于零优势。我们先要来看一下 x 加上绕引 x， 它能不能取我们这个零呢？那我们注意到 它是增函数，增函数，对吧？所以整体必然是一个单调递增的函数，我们令它等于我们这个 g x， 那 么来看 j 一 分之一是不等于一分之一，减一是要小于零的，我们 j 一 是不等于一，他是大于零的，所以一定存在。我们 x 零属于一分之一到一，使得我们 j x 零 等于零，所以这个式子它是可以取零的，由此这个等号可以取到，所以它最小值就是我们一。

今日的每日一题由我们的 h 提供，他也是非常灵敏地感觉到这种含餐的要么是用桶购，要么是餐便分离。 但是我们观察发现，这里有出现 e 的 e a 减 k 次方，所以这两个 k 我 们不好合并，餐便分离， 所以他很大的概率是用同购。那我们一起来看一下这题要怎么同购呢？首先我们可以先将跟 k 有 关的分离到一边去 e 的 e a 减 k， 嗯，减去 k 把它移过来，那他就应该是大于等于 in a 加 e， 那 我们前面既然说了 e a 减 k， 我 们那个次数上分离不出来，那我们能不能给它构造一个相同的形式，也就是我给它两边同时加上一个 e 的 e 乘 a， 那 么我把它移一下，也就是化简成这种形式。 那这样我们观察一下，发现这两个就变成可以换元相同格式了。那我们接着再观察左边能不能把它也变成类似这种的形式。 因为我们知道 a 不是 a， 也就是 a， 它可以等于 e 的 另 a 次方，或者是等于另 e 的 a 次方。 所以我们待会的思路就是从这里入手，看看能不能通过化简得到它的一个格式。 那我们观察发现，这里的 a 是 不是就可以把它变成是 e 的 令 a， 再乘以前面的 e， 也就可以得到 e 的 令 a 加一次方，这样子的话，我们发现它的次数是不是都变成了那个令 a 加 e， 那这样子的话，我们是不是就可以发现它们的结构相同？那我们就设一个新的函数，嗯，比如说 f i， 我 们可以设 f i 等于 e 的 次方加 i， 那 么题目中给的这两个式子是不是就应该是 f 的 令 a 加 e 要小于等于我们另外一边是不可以看作是 f 的 e a 减 k， 那 接下来我们就分析一下 f a 的 一个单调性，我们知道 e a 是 递增的，那个 x 也是递增的，那么其实两个增函数相加，那肯定是递增，所以我们可以知道 f a 是 一个增函数， 那既然它是增函数的话，那我是不是就可以知道这两个的一个大小关系应该是令 a 加 e 一定要小于等于 e a 减 k， 那 我们接下来就可以用参变分离将它分离开，也就是 k 小 于等于 e， 另外一边移过来减，令 e 减 e， 那 题目已经告诉我们是横乘立，所以我们就只需要求这个部分的一个最小值， 那我们将它设成是 g a， 那 么我们对 g a 进行一个求导吧，求导之后能得到的是 e 减去二分之一，并且我们知道这题的一个定义域是 a 一定要大于零， 那我们求一下导数的一个零点吧，这个零点的话，是 a 要等于一分之一，而且我们知道 a 分 之一是递减负的， a 分 之一应该是一个递增的， 那它导函数的图像就应该是递增上去，那我们来区间标一下，就是零到一分之一，先负后正，那就是先减后增，那就会有最小值， 那就是 g 的 a 的 最小值就应该等于 g 的 一分之一。取到 我们带进去的话，能得到是一减去，这里是另的一分之一减一，那一的一，那个另的一分之一就应该是 负一次方，那其实负负的正，另一又等于一，也就是能得到的是一加一减一等于一， 那我们求出最小值是一，所以 k 就 应该小于等于最小值一，那么答案就应该是负无穷到一。

一道题检验你有没有真正吃透函数通扣，它是通扣体系里最基础、最核心的经典母题。 题目给了两个表面看起来毫无关联的方程，但只要稍加变换，吃透通扣，就能轻松拆解这类高频考题。我们看题， x 一、 x 二分别满足两个方程， 不用多下，直接摆入观察两个式子的结构。咱们先把目光聚焦在常数下，结构要想相同，常数下就得相等。那咱们在第二个方程左右两边同时加二， 左边这两项可以把二提出来。框里的这个整体和帧数只是差了一个符号，可以变成一样吗？当然可以，把前面这个符号拿到框里边就 ok 了。我们把一减 x 二看成一个整体， 也就相当于第一个方程当中的 x 一， 两个方程内在结构高度契合， 完全可以看作是同一个函数的两个分针。接下来构造同结构的函数，第一个方程转化为 f， x 一 等于三， 第二个方程转化为 f， 一 减 x 二等于三。关键来了，多问， t 和二 t 都是单调极增的，两颗增函数相加，仍然是增函数。 翻掉函数，函数值相等，那四变量必然相等。直接脱掉函数的外壳 f， 瞬间得出答案， x 一 加 x 二得一。 高中数学刷题不在于数量，而在于抓准题型的内核，吃透一道经典五题，就能打通一类题型的答题逻辑，高效提分。

导师中只对铜钩的目的是什么嘞？我发现没有几个老师能讲的明白，这节课我就用三步解例程序和三道模拟题带你彻底吃根魔镜，只对铜钩的压轴题， 那我们就来到震惊中外的只对铜钩哈，有很多同学问我，汤老师只对铜钩，它的意义是模子？那么我们就一节课，用三个程序，三道例题来大大彻底搞懂哈。 首先呢，我们来看一下程序。首先，第一步来，我们要去把 e 的 x 方放一边，把洛 x 放在另一边。然后呢，你会发现一般都是有参数的，因为这种题一般都是求求参数的取之范围， 所以说你要把参数移到同一堆，无论是你放左边还是右边，它一定是要一堆的。其次，第二步来，你要去构造一个结构一致的新函数 h x。 第三步来，就是说我们要去研究这个 h x 的 单调性，然后利用这个单调性去脱掉括号， 这就是只对同勾的通用解析步骤。而只对同勾它适用于什么情况嘞？这当 e 的 x 方和洛 x 同时出现时，而且还有一个参数 a， 最后问的是 a 的 取值范围是大概率就是只对同勾了。 那么我们就来看到第一道热身运动还是热身设 lambdas 大 于零的。然后若对于任意的 x 属于这么多，都有这个不等式，恒正零。唐老师 e 的 x 方路， x 方同时出现，只对同勾，再加上 lambdas 这个参数 e 出现，绝对的只对同勾。 好没跑了，我们三步走来看一下哈。首先 step one， 这是我们要把 e 的 x 方移到一边，然后呢 no x 移到另一边，然后此时呢，就形成这样一个局面，然后你就会发现，我们 lambot 还要移到同一边，那么咱们直接把 lambot 给它乘过来，这是 lambot 被 e 的 lambot x 大 于等于 low x 的。 那么接下来变魔术来了，你会发现呐，咱们的 lama x， 它是一个什么？是一个 logo， 是 一个徽章的，那么咱们在这儿应该是一模一样的出现 lama x 的， 但是这个 lama x 怎么出现嘞？那我就左右两边同乘 x 可不可以嘞？可以的，因为 x 是 属于一到正无穷的， 同乘一个 x 就 会得到 lamb 的 x 乘上 e 的 lamb 的 x， 它是大于等于 x 倍的 low x 的。 那么接下来第二步要干嘛？我们要去构造一个新函数，假设这个新函数是 h t 哈，我们可以写成什么来？ t 倍的 e t 的 同学们，为什么要这样写？ 因为我这种都是很老练的哈，我知道为什么要这么写，我告诉你们，你们看哈我左边，我左边这一坨是不是 t， 而这一坨是不是 t。 所以 说左边我们可以写成是 h number x 的， 而我右边同学们，是什么呀？同学们，右边的话，它其实是非常会隐藏的一个 x， 我们不妨调转一下顺序，写成是洛 x 乘上一个 x 的， 而咱们这个洛 x 可以 看成是 t， 而咱们的 x 可以 写成是什么东西？写成是 e 的 洛 x 次方，哦豁，你看这两个 e double q 了之后，它就变成 x 了。 所以这时候哈，我们就会发现，我右边变成了 h 洛 x 的 这一坨呢，也是咱们的 t 的， 它就完美的权势了。什么叫结构一致？ 那么接下来第三步干什么嘞？我们去研究这一个新函数 h t 哈，我们去求导，求导来就会得到 t 加一倍的一的 t 次方的。 那么我们看这一坨肯定是大于的，而这一坨是一个一次函数哈，它的零点呢，是负一的，你就会发现呢，在这一坨为负，这一坨为正。那么我们返回上一层哈，咱们的 h t 嘞，它肯定是在负无穷到负无穷上单调递增的。 那我们接下来来看一下咱们的 h 量子 x 量子 x， 它是属于哪个区间。量子打大于零，而咱们的 x 大 于一的，所以量子打 x 它是大于一的，那肯定是在右边的，对不对？而咱们此时我们的 lo x x 大 于一，那么 lo x 大 于零的，它也是在右边， 所以说咱们在这一坨上，它都是单调递增的。所以呢，我们马上可以利用单调性拖括号， 则 lambada x 大 于等于 lunax， 则 lambada 大 于等于 x 分 之 lunax。 那 么此时接下来这种题好不好做？好做，我只要咱们的 lambada 大 于等于右边这一坨的最大值就 ok 了， 所以它就转化成去求这个东西在一到正无穷上的最大值性问题。那么这道题就结束了。我们来看到中等强度的一个题哈，已知 f x 为这么多， g x 为这么多。若 f x 大 于等于 g x 在 这么多少横乘以，则 a 的 最小值为多少？ 同学们，我首先要纠正你们一个观点，就是很多同学看到唐老师 f x， g x 同时出现，这是双圆呐，双变量型问题，大错特错。同学们， 因为双变量指的是什么？咱们俩的命名的东西都不一样，一个 x 一， 一个 x 二，一个 x 三 x x 四，一个 m 一个 n， 它就是长得都不一样的， 那你看，我这是不同一个 x 啊，所以说是同一个 x， 那 就是单变量的一个变量，大家能理解吗？所以说哈，我们两边同时写开，也就是 x 加上 e 的 负 x 的 a 次方，再减去 a 倍的零 x 的， 哎，这时候哈，我们来看一下，又有 e 的 x 方，又有洛 x， 那 大概率是指对通勾，又有一个 a， 这个参数一出现，绝对就是指对通勾了， 那么我们这时候应该怎么去构造函数嘞？这是一个很大的问题哈，首先我们来看洛 x 是 非常善于隐藏的，我看我这个 a 啊，它是在前面的，那我可不可以放到指数向上来嘞，那么它看起来就会好像，呃，像那么回事哈，你就会发现，哎， 这里是 x 的 a 次方，这里也是 x 的 a 次方，它就对上了，对不对？但是接下来我们要怎么去构造函数来，同学们哈， 好，这时候呢，我们就来写一下，呃，第一步我们已经完成了，就是一的 x 方放一边儿，洛 x 放一半，参数放一图。然后其次第二步要去构造一个新函数，不妨来，我们去念这个 h t 是 等于多少？其实我们照着左边来写就可以了哈， 左边呢，我们可以写成是，呃，这里如果说我们写成是 e 的 th 方，那么这一坨就应该是减 t 的， 对不对？就这么多的， 因为这一个是 e 的 负 x， 再减一个负 x， 就是 e 的 x 负 x 再加一个 x 嘛，对不对？所以其实我们左边可以写出来是 h 多少的 h 负 x 的， 而我们右边可以写成什么？ 写成是哈，这儿呢？我们可以写成是 e 的 llinois x 的 it's on， 再减去 llinois x 的 it's on。 哎，那你看，我跟这儿是不是刚好对上，咱们的 t 就是 这一个 东西，对不对？所以说我们就不妨就化成了这样一个形式。 ok 了， 那么咱们接下来第三步干嘛呢？我们要去研究 h t， 它的一个单调型 h t 来就得一的一的 t 次方，再减一个一的，那么它是一个单调递增的函数，零点呢？是在零处取得，然后在这边为负，在这边为正， 所以回到上一层，咱们 h t 它应该是在负无穷到零上单调递减，在零到正无穷上单调递增的。然后回过头来我们看一下这两坨东西它的一个取值范围， 那么 x 它是在一到正无穷，那么负 x 嘞？负 x 肯定是在负无穷到负一上，那肯定就是在负的这一端，而咱们 lu x 的 a 次方嘞，那你来思考一下喽。 我们来看哈，我们 x 是 属于一到正无穷的，而 a 是 小于零的，那么咱们 x 的 a 次方它反而小于一了，对不对？因为我成立一个负数，在这，所以说 x 的 a 次方小于一的情况下，那 咱们论 x 的 a 次方，它就应该是小于零的，对不对？因为我们取的是哪一段？是不是取的是这一段，所以说它是小于零的？ 所以说我就发现了这两个东西，它都是在左边这段区间上是干什么的？是单调递减的哈，所以说它们俩都是在这一段上单调递减的。那么我们在利用单调性去拖括号的时候，这一个符号它就会变号， 负 x 就 应该小于等于 loi x 的 a 次方了，对吧？然后这个 a 呢，可以拿下来变成 a 倍的 loi x 的， 所以我们真正得到的是咱们的负 x， 它是小于等于咱们的 a 倍的 loi x 的， 那么 x 它又是在一到正无穷上，所以 loi x 肯定是代用的，所以除过来就是 a， 它应该是大于等于负 洛 x 分 之 x 的， 那么 a 要大于等于这坨横乘力，就是大于等于它的最大值，所以接下来就转化成去求这一个新函数在一到这种求上的最大值问题 over 了。我们来看到最后一个超高难度的题目，我们一起来 fighting 大 战一下哈。 已知一个 f x 为这么多，然后呢？ g x 为这么多，然后第二问，注意哦，这是一个大题的第二问，说明只对同勾它还是很好用的。 对于任意的 x 大 于零都有这一坨横乘力，它仍然是一个单变量型问题，因为都是 x 的， 那么此时我们分别列出来 a 倍一 a x 再加一个 a， 再大于一个二倍的 x， 加 x 分 之一倍的 洛 x。 那 大家来看一下，我是不是一 x 和咱们的洛 x 同时出现大概率值对同钩，但是呢，它还出现了一个参数，那绝对是绝对同钩了。所以说我们先来看一下第一步， 第一步的话就是说一的 x 方放一边，洛 x 放一边，其实已经达到了，然后呢，我们再去看参数也要放一边，哎，也达到了，然后这时候还要再整理一下，这是我们要使的这个 logo， 这个徽章一模一样的，你看，这里是 a x， 所以 这也应该是 a x， 这里也应该是 a x， 但是它少了一个多少，少了一个 x， 所以 我左边两把要同乘一个 x， 那 可以同乘吗？可以，因为咱们的定义域，在这定义域出现了洛 x， 所以 说定义域应该是零到正无穷的哈。题目也出现了， 好，所以此时我可以左右两边同乘 x， 也就是 a x e a x， 再加上 a x 大 于二倍的 x 方，加一洛 x 等。 那么此时接下来我怎么去构造这一个函数嘞？同学们，好，我们来看一下，那么我们先来写在左边哈，以左边为蓝本的话，哎，以它为 t， 那么我们不妨去拎一个 h t， 它就是等于 t 倍的 e t， 这里也是 t， 然后再加一个 t 的， ok， 那 么左边就是 h a x 的， 我们再来看一下右边，来它， 王老师，我右边真的一丢丢都看不出来。宝贝，很简单，因为你看这个二是谁，他不仅是系数，还是可以放在这来当一个上面的次数的，对不对？所以说咱们把二放过来就变成了这个样子喽。那你看我在这他应该是什么 t 倍的 e t 加一呀？ 所以你看我在这，我可不可以把它当成是一个 t 呀？可不可以嘞？我如果把它当成是一个 t 的 话，那么我后面就是 e 的 l e x 方加 e 的。 好家伙，你看这两个一削就变成了一个多少就变成了一个 x 方了， 所以说一模一样的，所以右边呢，是一个 h 罗耶 x 方的，那我又是一个，什么情况？又是一个大于符号的？那么接下来第三步呢？就是要去利用单调性拖括号，我们先来看一下 h 的 单调性哈， h p o t 嘞，它就应该等于多少 t 加一倍的 e t， 再加一个 e 的 哈，这时候你能看出来它的单调性吗？哎，其实看不太出来哈，所以说我们再去求一次的，就会得到 t 加二倍的 e t 的， 然后接下来这坨是大于零的，而这坨嘞，它是一个一次函数，而它的零点是在负二的，这边为负，这边为正，所以返回上一层，咱们的 h p o t， 它应该是在负无穷到负二上单调递减， 负二到正无穷上单调递增的。然后再来思考一个事情哈，我们来看咱们的 h 撇负二为多少？好，这一里带进去就是负一的负二次方再加一个一，也就是一减一的平方分之一，它肯定大于零的呀，宝宝 想，它的图像在这它先减后增，而且这个最低点还大于零的情况下，那它整一段都是大于零的，对不对？所以我们继续返回上一层，咱们的 h d， 它就应该在 r 上都是单调递增的啊，太爽了 对吧？这时候你就知道了，它一直都是单调递增的，太利于我们去做题啦。所以说我们在这儿哈，我们去利用单调线拖括号的时候，直接拖就是 a x 大 于啰衍 x 方的 对不对？然后这时候你可以把这个二拿下来哈，呃，就不要碍眼了，就变成一个二倍的洛 x， 那 么此时我的 x 大 于零， a 就 大于 x 分 之二倍洛 x， 那 么我大于右边这一坨横乘以大于它的最大值就 ok 了，所以转化成去求这一坨在咱们零到正无穷上的最大值形体。 所以听到这你会发现纸对铜构都是纸老虎，都是遵循我的三步答题程序的。所以说只要你听完我这节课，你就会做这些的题目。 视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货， 分别是四十页的逆袭北大题，一百招，还有两万次说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。 最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这个群聊，就可以免费领取。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！

函数的同构问题啊，一直是同学们的一个很大的痛哈，今天我通过一个题目教会你同构的基本思想，其实同构的题目啊，在考试中， 题目都会给你提示，你只要建立这种同构的观点，基础相对比较扎实，这种题都好做哈。来，我们看个题目而已。知啊，这个 f x 等于 x 乘以括号里面一减 lo x 显然属一个 高维的函数，得用导数了，是吧？下面告诉你俩变量哈， a 大 于零， b 大 于零，且 a 不 等于 b， 且满足这么个式子看看啊， b 乘以 long， a 减去 a 乘以 long， b 等于 a 减 b， 那 这一刻你不同够咋办呀， 是吧？给你函数和这个没有关系啊，这一刻其实就给了你同构的动机，然后你就把这个式子往上划，不就容易了吗？看看这个式子哈，啊，显然怎么样怎么样？同构啊，就是你要变换出这里面这个函数来，对吧？你看这，这是自变量， 然后括号里面的 e 减字变量，所以有一个 e， 所以 很容易想到我这个，这个我需要跟这个组合，对吧？不就有 e 吗？所以移过来， b 乘以了 a 加上一个 b， 从你右边移过去， a 乘以 long b 再加上一个 a， 你 说老师为什么要一项同构吗？你跟那个函数要变形吗？简单，我把 b 提出来， b 乘以 long， a 加上一个一等一个 a 乘以 long， b 加上一个一，是不是有一步了？起码这个一有了吧， 然后发现不一样了，这边是个一减，而不是一加，咱变变形哈，变成 b 乘以一加， 加上一个绕 a， 右边是个 a 乘以一加上一个绕 b， 再怎么变啊，怎么出个符号啊，好办啊，对数多简单啊，这里面只要出现 b 分 之一， 你这不就是减，不就是一个减吗，对吧？这只要出现 a 分 之一，你这不就减吗？横等变形啊。但是你再看哟，这是 b， 这是里边是 a 分 之一，是不是两边同除以 a， b 啊？这边除以 a， b 就 剩了 a 分 之一， 这边乘除 a 比乘到 b 分 之一，那不就是 b 分 之一乘以一减零 b 分 之一， a 分 之一乘以一减零 a 分 之一。也就是说，你这个你这个 b 分 之一和这个 a 分 之一，其实是这个函数 等于某个值的两个根，不就跟这个题恰好是 a 分 之一和 b 分 之一，你不就往下就好解了吗？用导数再进行出的这个函数，这个题就解出来说同共问题没有这么神秘哈，你把一个题吃透了， 知道同构的基本思想，这种题不需要你自己去找动机，题目都会告诉你，很明显告诉你，下面你要进行同构了啊，希望这个题能够启发到你。家长你好，我是吕树老师，我在北京教书， 创立了高中数学的底层逻辑教学，如果您家高中娃娃呀，学数学不开窍， 遇到变化的题呢，不会举一反三，或者是你是初三的家长啊，想预学高中，从起点呢就想掌握数学思维，您呢，可以点击下方的预约， 晚上八点左右啊，来我的直播间听听我的干货分享，或者呢，你点我头像，到小店里面看一下相关的课程，提前预祝咱家娃娃高考必胜！

好，每日一题的第十三道题，这道题目会涉及到我们的横乘六问题，还有我们的 不等式以及我们的导函数，对吧？以及同构这四个点啊，这道一个非常综合一道我们的填空题，我们来看一下这道题目怎样去做，通过这道题目的学习，我需要大家把同构以及我们的横乘六问题能够真正的理解到。好，来看一下我们的第十三题， 他给的是我们的这样的一个不等式，首先他这个式子看起来非常的长，不要害怕，这种式子他绝对是要进行相关处理的啊，我们来先观察啊，他说在零到中宫球里面横程里让你求一下参数范围问法其实比较普通，主要是这个式子我们应该先处理一下， 先来观察一下这个式子啊，左看看，右看看啊，先看右边，右边的话，左边的话是暂时没有什么太大的突破可以处理它啊，因为这个式子中既有指数又有对手，我们肯定等会要只对同购的，但是我们得要把这个事先处理一下。右边你们来观察啊，第一项是个 x 平方， 最后一项是个 l a 的 平方，而这一项中间这一项你如果展开的话，是不会出现一个二倍的 l a 乘 x， 是 不是这块后面隐藏了一个完全平方公式了？那我们应该把这个式子先整理一下，左边先不动， 右边的这个式子，我打开 x 方，加上我们的 r n a 乘以 x， 然后再跟后面这个 lon a 的 平方写在一块，然后是不是有个加 x 这个式子后，我们大家来看一下这三项是不是可以通过完全公式展开合并起来，变成一个 a 倍的 e 的 x 方，加上我们的 lon a 的 平方 大于等于。我们把这个式子经 x 加上 line a 的 平方，再加上 x。 好， 现在到这一步以后，我们看您是不是要把左边或右边进行画成同勾的形式，这个式子前面这两行不动，我们把这个式子是不是可以画成我们的一个指数和对数形式？这块是不是有一个 x 加上我们的 line a？ 我们为了保证同看这块有个 a b a b 的 e x 嘛？我可以把这个 x 写成 line e 的 x 方，加上我们的 line a， 然后我们这块是不是合一下变成 line a 乘以 e 的 x 方，是吧？这样来说形成一个我们的同构的形式了，是不是？它的 a 的 x 方是不是跟左边这边也形成一个同构了？变成一个 a 倍的 e 的 x 方不动，加上我们的 line x 的 平方 是不是大于等于？这边我们可以写成 sine a 倍的 e 的 x 方的平方，加上我们的 x。 然后这个时候变量找变量，对吧？同等同等的变量放到一块，是不是这个 a 倍的 e x 方，这 a 倍的 e x 方，它俩一样的，这个 x 跟这个 x 是 一样的，它俩变量是相同的。那我们就把放到一块去，是不是把这个 x 移到左边来，变成一个 sine x 的 平方， 减去 x 是 不是就大于等于这边是一个 ln a 倍的 e 的 x 方的平方，是不是减去 a 的 e 的 x 方？是这样的个式子。然后大家来观察一下这边是不是现在形成了一个统购了，左边是 ln a 方减 x， 右边是 ln 变量的平方， 然后再减去它的变量，是不是我们就可以找到一个同步函数，我们把 g x 设成我们的一个 ln x 的 平方，减去 x 好， 这边是不是相当于变量取得了我们的 x 本身，这边相当于是 g x， 这边是不等价于我们的 ga 的 e 的 x 方。那我们现在是主要目的就要把 g x 的 单调性判断出来，是不是我们可以通过这样的一个不等关系， 能把这两个变量就把它外函数外 e 脱掉，就能直接得到 x 跟 a a 倍的 e x 的 大小，从而得到一个不等关系再去解 e 了。那现在我们的首当其冲的目的就是要把这个 g x 它的一个 它的一个单调性算出来。那我们先接下来看一下，通过基本性质的方法是没有办法看它大小的，那我们是不是可以把它的一个求和导函数 求和导，求和导的话，是不是变成一个二倍的 log x 乘以我们的 x 分 之一再减一，我们求一个通分吧， 通分完以后，它变成一个二倍的 lo x 减去我们的 x。 好 了，现在来看一下，我们是不是得到它导函数，是要判断它正负嘞，但你观察以后，好像它的正负也不是很好判断，那我们是不是应该再把这个分子上设成一个新的函数，设成我们的 h x， 我们再求一下导，相当于二次求导，求一个二倍的幺 x 减 x 这个函数，它的导函数 变成一个 x 分 之二减一，通分完以后变成一个 x 分 之二减 x， 然后接下来我们就令这个导函数为零以后，它算出来的 x 应该是等于我们的 二，相当于二是它的一个我们的极值点，相当于在零到二里面，这个函数 h x 是 一个 h h p x 是 一个正值，是吧？所以 h x 是 一个单调递啊增的，然后在二到正无穷里面， 我们的 h x 是 一个单调递减的，所以它先增后减，是在二处取得它的一个极大值，也是它的最大值，所以 h x 的 一个最大值是等于我们的 h 二。我们把 h 二算一下， h 二是不是二倍的 ln 二减去我们的二 是不等于绕引四减去二，而绕引四肯定是比绕引一方小的，绕引一方是二嘛，对吧？所以绕引四比绕引一方小，所以这个应该是个小于零的，从而这个 h x 的 最大值，也就是这个 g x 的 分子的最大。 g p s 最分子最大，它是小于零的，那说明它很小于零，而我们分母横正，所以这个 g p s 很 小于零的，从而得到 g x 实际上是个单调递减的。 g x 单调递减， g x 单调递减了以后 是吧？ g x 代表递减，那还没完啊。因为你的这个最大值是一个横小数，从而它代表递减，从而我们就能把这个脱掉了。函数 y 跳掉， g x 要大于等于它，那是不是相当于我们的 x 应该小于等于我们的 a 倍的 e 的 x 方 还没完，因为它要求 a 的 范围是不是等价于它？要在 x 零到中无穷里面， a 是 不是要大于等于我们的 ex 分 之 x？ 然后这块是不是又出现另外一个新的函数，我们把它设成一个 p x 吧。 你要 a 大 于等于它，是不是等价于 a 要大于等于我们的 p x 的 一个最大值，所以现在我们要求的 p x 最大值，那这个函数也是我们常备的六种超越函数的其中一种， 大家背过的话，直接可以得到答案呢，它的大致时间就是我们的一分之一的，但是如果没背过，那我们就在考场证我们要算一算了，是不是求这个导函数的？求这个函数的导数是得到一个一方 e x 平方分之，我们的 这个 e x 乘以原先它是 e x 减去我们的 x 乘以 e x 整理化减以后，得到我们的 e x 分 之一减 x， 从而就得到它是在零到一里面， 是吧？零到一里面，这是一个正值，所以单增。在一到正无穷里面，它是个负值，所以单减，所以它的 p x 在 我们的一处是取得它的一个最大值。 p x 最大值是等于我们的 p 一 等于我们的。 把 ps 按一下，等于我们的一分之一，所以我们的 a 最终只要大于等于一分之一就行了。因为一 ps 值值是一分之一嘛，所以 a 的 取值范围就是 a 大 于等于我们的一分之一。 好，这道题目就结束了，其实它多次使用到了我们的求导去求它最值了，对吧？过程中其中还用到了一个二导的一个知识，这块是求了个二导， 我们需要用二导去佐证一下我们的一导的一个正负，是吧？然后通过，从而这一步啊，他还用到了我们的这个同构的一个知识。同构的一个知识， 嗯，你要把它处理成同构以后，从而我们通过单调性就能把函数的 y e 脱掉，从而求到我们的 a 的 曲式范围。好，这道题就是我们的同构及我们的横成令问题的一道综合的题目。希望大家下来可以把这道题多练练。其实你练后 这一道题你如果真懂了，其实你对同购这块绝对问题都不会太大的。而且对恒成立的这个我们的餐边分离这个方法其实也是能得到的一个相对的一个充分理解，对吧？好，这道题我们就说到，拜拜。

如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这是一道非常经典的导数压轴选择题，很多同学一看到横成力，就开始低头求道，这就直接掉进出题人的陷阱里了。想冲刺一百二十分以上这类题，咱们必须在三分钟内拿下。这题真正值钱的地方不是硬算，而是先观察等号两边的结构找对称。 题目是这样的，若 e 的 x 减 a， 次方大于等于自然对数 l、 n， x 加上 a 这个不等式横乘，力求实数 a 的 取值范围。咱们先别急着移项求倒，咱们用同构造配凑对称结构，再结合经典放松，直接秒杀它。 咱们先来看看为什么不能直接求导。你看不等式左边是带有 e 的 指数式，右边是带有自然对数 l、 n 的 对数式。如果你直接把右边的 a 移过去，然后构造函数去求导，你会得到一个既有 e 又有 l、 n 的 导函数。这个方程极难解，考场上基本就卡死在这里了。这就是我说的死胡同。 既然不能硬算，接下来我们要怎么做呢？我们要找同构，也就是让不等式两边长得一模一样。你看原式，左边是 e 的 x 减 a， 次方指数部分是 x 减 a， 右边有一个单独的 a。 为了凑出和指数一样的结构，我们可以在不等式两边同时加上 x。 咱们具体来操作一下，左边加上 x 变成了 e 的 x 减 a， 次方加上 x， 右边加上 x 变成了 x， 加上自然对数 l、 n， x 加上 a。 接下来这步很关键，我们要把右边的 a 移到左边去， 左边就变成了 e 的 x 减 a， 次方加上括号 x 减 a， 你 看左边的结构是不是很漂亮？一个 e 的 某个东西次方加上这个东西，那右边剩下什么呢？右边剩下了 x， 加上自然对数 l、 n、 x。 现在左边是完美的结构，右边怎么凑呢？大家注意，这里有个非常重要的技巧， 右边这个单独的 x， 我 们能不能把它写成和 e 有 关的形式？显然可以， x 其实就等于 e 的 l、 n、 x 次方，我们把这个替换进去，右边就变成了 e 的 l、 n、 x 次方加上自然对数 l、 n、 x。 奇迹出现了，大家仔细看看现在的不等式。左边是 e 的 x 减 a， 次方加上 x 减 a， 右边是 e 的 l、 n、 x 次方加上自然对数 l、 n、 x。 这两边的结构完全一样，都是 ft 等于 e 的 t 次方加上 t。 这种形式咱们想想，指数函数 e 的 t 次方是单调递增的，一次函数 t 也是单调递增的，所以它们加在一起，这个函数 ft 在 整个定义域上必然是单调递增的。 既然函数单调递增，我们就可以直接脱掉这层外壳，把比较函数值的大小等价转化为比较内部自变量的大小。也就是说，左边的自变量 x 减 a， 必须大于等于右边的自变量自然对数 l、 n、 x。 这就得到了 x 减 a 大 于等于自然对数 l、 n、 x。 到这里最难的一步已经跨过去了，接下来我们要解决横乘利问题，最常规的方法就是参变分离，也就是把参数 a 孤立出来。 我们把负 a 从左边移到右边，变成正 a， 把自然对数 l、 n、 x 从右边移到左边，变成减去自然对数 l、 n、 x 不 等式就变成了 a 小 于等于 x 减去自然对数 l、 n、 x。 题目说这个不等式横成立，既然 a 要一直小于等于这个式子，那 a 就 必须小于等于这个式子的最小值。所以现在的问题变成了，怎么求 x 减去自然对数 l、 n、 x 的 最小值？很多同学在这里又想去求导，其实大可不必。 大家回想一下我们极其熟悉的经典放缩公式，自然对数 l、 n、 x 总是小于等于 x 减一的，当且仅当 x 等于一的时候取等号。 我们把这个不等式稍微变个形，把自然对数 l、 n、 x 移到不等式右边，把负一移到不等式左边，就得到了 x 减去自然对数 l、 n、 x 大 于等于一。既然 x 减去自然对数 l、 n、 x 最小就是一，而我们的要求是 a 小 于等于它的最小值，所以 a 必须小于等于一。 这样我们就得出了最终答案，实数 a 的 取值范围是负无穷到一的左开右闭区间。这道题其实教了我们一个非常实用的考场策略， 下次只要看到不等式两边 e 和自然对数 l、 n 分 居两侧，并且伴随着加减法，永远不要第一时间直接求到立刻在两边同加或者同减 x 去凑出 e 的 替次方加 t 这种同构式。 同时一定要把自然对数 l、 n、 x 小 于等于 x 减一这个放缩神仙不等式刻在脑子里，它能帮你省下至少五分钟的求导画表时间。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。

又一次看到了函数的同构问题，但是这道题目还是有一些变化，咱们一起来看看它有什么变化。已知 m 和 n 都是正数，满足 m 加上 e 的 m 次方等于 e， 后面是 n 加上四的 n 次方也等于 e， 然后问这两个数的大小关系。 道题拿到了之后呢？看到这两个式子，感觉上就应该是同勾，但是你发现没有，这个地方是四的 n 次方，前面是 e 的 m 次方，所以呢，它还是有一点点变化的。那咱们怎么处理这个变化呢？大家来看， 这里面有 n 加上四的 n 次方等于 e， 那 这两个加在一起就一定是相等的。而本身大家一定要注意，当 n 大 于零的时候， 四的 n 次方一定大于 e 的 n 次方，所以 n 加上四的 n 次方一定大于 e 的 n 次方，再加上 n， 那 么 e 就 一定大于 e 的 n 次方，再加上 n， 而 e 本身就是 m 加上 e 的 m 次方， 所以我们通过一个变形就同构出了这个不等式， m 加上 e 的 m 次方一定大于 e 的 n 次方，再加上 n， 然后 x 加上 e 的 x 次方。咱们同构出这个函数之后，发现它一定是增的，那得到的结果当然就是 m 一定大于 n。 那 有了这个条件，咱们再来分析一下这两个数怎么去判断大小关系。 n 乘 log m， m 乘 log n， 要想比较它俩大小，我们直接把 m 放在一起， n 放在一起，也就是给这两个数同时除以 m 乘以 n， 咱们就得到了 log m 比上 m 和 log n 比上 n， 咱们直接比较这两个数大小就可以了。那接着同构一个新函数， j x 等于 log x 比上 x， 对 它研究单调性求导之后呢是 x 方分之上导下不导，对应的就是 x 乘以烂隐十分之一，再乘以整体 x 减去，上不导 log x， 所以 我们来看 分子就是烂隐十分之一减去，我们来看分子就是烂隐十。 所以 x 大 于零小于 e 的 时候，整体是正的，原函数是增的， x 大 于 e 的 时候，负的是减的。所以咱们来画一下它的图像， 在一的时候肯定是零， e 就是 最大的，所以整体的图像应该是这个样子。 画完之后，我们来确认一下 m 和 n 到底在哪。我们知道的是 m 一定大于 n， 并且都大于零，但是他们要满足这个等量关系，咱们分析它的具体范围。先看前面这一部分， m 加上 e 的 m 次方等于 e， 那 如果 m 等于一， 很明显这个数大于一，所以 m 这个东西一定小于一，那有了这个范围之后，我们再来找图形。 所以在零到一之间是一个增函数，那 m 对 应的值大，对应的函数值也应该是大的，所以这个地方应该是大于，那当然就是它大于后面，所以最终答案选 a。 对于这道题目来说，大家一定要注意的就是第一个它的结构不一样，我们需要做一个转化成同构函数。接着第二步，后面这个问题也要做一步同构，最重要的是找到 m 和 n 的 具体大小关系。

关于导数呢，有一个技巧，让人既爱又恨，就是这种同构思想。爱的原因呢，就在于，一旦发现这个同构结构，或者找到这个同构函数，那显然解析呢，易如反掌， 恨呢，也就在于，如果是一个刚接触导数横能力的一个学生来说呢，那找到这个同构函数呢，实际上还是有不小的难度，因为有的时候呢，确实把该操作的都操作了，还是找不到所谓的同构结构。那今天呢，我们拿两个小例子来说明一下，对于绝大部分能用同构来做的这个题来说呢， 实际上你只要做好这几个小细节，找到同构函数呢，并没有那么难。不过呢，这里确实有一些所谓的微操，你把这些操作呢做好 还是比较关键的，我们也是直接拿题呢来演示。首先想做同构的题呢，基本上呢，符合这四步，哪四步呢？第一步呢，就是拿到一个题之后呢，写完这个大于零之后，我们指对分离，这里指对分离啊，指的是指数部分单独放在一侧，然后对数和其他部分 都给它放在右侧。接下来呢，如果指数部分有细数，你就给他上头，通常是这样，然后再下一步呢，我们就需要老伯加减，这个呢，就利用老伯同乘我们指数部分，他是什么，你就给他加什么，配凑什么就可以了。最后解这个不等式的时候呢，注意定域取等就可以了。 实际上有的时候呢，可能说我把这四个数也执行了呀，但是这个同乘函数还是没有找到。那接下来呢，这两个细节呢，你就需要注意一下。第一个呢，关于对数的处理， 对数呢，有一个所谓的对数，单身狗，比如说他，他有细数，你需要两边都给他除一下，这是第一点。第二点啊，就在于对数这个式子，如果能因式分解，你需要把它因式分解，然后呢改写成一个相加的一个形式， 利用对数的运算公式，如果是一个比值呢，你就给它改写成一个减法，给它拆开，这样的话，你再去配凑这个通通函数呢，相对来说就会轻松一些。那这个入门一呢，我们就可以套用。你看这个题，一旦你调整好前几步之后呢，把这个系数也上头，并且呢你看到这个比值最关键的一步，你给它拆成一个减法，这个形式， 这个时候我们左侧的指数形式就是一个关键点了，它的指数形式是什么？你在左侧呢，就把指数的形式都给它加出来，所谓的缺啥补啥，那左侧加完这些形式之后呢？后一问呢，你右侧也得加这些形式吗？所以换解后呢，这个时候你就会发现左右两侧好像已经满足一个同轴了，也就是可以设一个 g x 等于 e d s e 加 x 嘛， 就这个母函数，所以左侧呢就是 g 浪 a 加 x， 右侧呢就是 g 浪二加 x， 所以 那后一问呢，这是个单增函数啊，那这个函数值的关系就是自变量的关系， 所以我们直接把这个 g 括号去掉，那再分离常数，那这个时候你再分叉去做，就非常好做了。我们再说一个函数，求一下这个最值，从而呢就能求出 a 的 范围，这里呢有的可能也得分叉，那我们一开始分叉多好啊， 就像你像同构这个技巧，它可不是说锦上添花的一个技巧，而是说有些题呢，你必须得用，不用它呢？甚至解不了，你像这种题直接分叉是不太好分的，这怎么分呢？对数部分也有 a， 外边也有 a， 这个你分起来是没法分的， 所以你像这种同构思想呢，它可不是说可有可无的一个思路。那现在呢，我们再拿入门二啊，来巩固一下我们刚才的一个做法，那这个呢，有的入门一的铺垫呢，我们还是先正常把这个不等式呢 给它指对分离。分好之后呢，这个时候呢，你就要注意了，由于我们对数结构啊，它前面有一个系数 a， 所以 两侧呢，我们就同除这个 a， 把这个系数呢消掉。因为对数呢，需要一个单深的一个形式，然后我们会发现对数它实际上是可以因子分解的，这可是非常关键的，你需要把它因子分解拆成一个相加的一个形式。 这几步都操作好之后呢，这个时候该系数上头，上头该配型，配型，配好之后呢，你会发现又满足了一个同构的一个结构，所以那这个时候我们还是可以找一下我们函数，那接下来的做法就与入门一档完全一致，所以找同构函数呢，关键点呢，就在于我们 对数结构的一个处理，首先你需要了解，如果能因子分解，这个时候呢，一定要因子分解给它拆分。第二点呢，就是如果有系数 需要给他变成一个单身的结构，相对来说呢，指数结构呢，我们需要记住一个系数上头，然后呢老伯家姐就够用了，再加上如果对这种题型呢，你稍加训练，有一些敏感型呢，随着你的练习呢，自然而然就能看出来了。前期呢，对于对数的处理还是比较关键的，它谋取性来说呢，就是个胜负者。

这两天看到这道题，也不知道为什么就变成填空题，都这难度了吗？实际上这道题目是很常见的同构题目，我们可以先把 a 移向，接着不等式，两边都加 x， 注意观察 x 等于 e 的 罗恩 x 方，再回到原式，整理一下，注意框起来的部分，看成一个整体， 这就是同勾呀。垂 f x 等于 e 的 x 方加 x， 这个函数是单增的，那么原式等价于 x 减 a 大 于等于六 n x， 这时候分离参数得到 x 减六 n， x 大 于等于 a， 而 x 减六 n x 我 们太熟悉， 最小值为一，所以 a 小 于等于一就是答案。这道题题目对做过同勾的同学应该没有什么难度，所以平时多练习可以直接秒了抖音。

猛超数学，数学超猛同构函数巧构造，只对混合秒化解。很多同学看到指数和密函数混合的不等式，第一反应是两边取对数，但取完后还是不好处理，用同构法将不等式两边化成相同的结构。核心思路，两边取对数，整理成形，如 log a 除以 a 和 log x 除以 x 的 形式在构造函数，研究单调性。第一步，两边取自然对数 i 的 起字方大于等于 x 的 a 字，方可以推导出 x 乘以 log a 是 大于 a 乘以 a x 的。 第二步，变行为相同结构，两边同除以 a， x 可以 得到小于 a 除以 a 大 于等于 log x， d 除以 x。 第三步，构造函数， 我们令 f t 等于拉 t 比上 t， 其中 t 要大于零，则不等式化简为 fa 大 于等于 f x 对 于任意的 x 大 于零是横成立的。接着我们研究 f t 的 一个单调性，对其进行求导，可得 令 f t 一 撇等于零时可以得到。第四步，当 t 大 于零小于 e 的 时候，我们可知 f t 一 撇是大于零的，那么 f t 这个函数是单调递增的。当 t 大 于 e 时，那么 f t 一 撇则是小于零的， f t 则是单调。极简单。 这里分析横成立条件， f a 横小于等于 f x， 即 f a 必须要大于等于 f t 的 一个最大值，那么 f t 的 最大值是多少呢？也就是取到了 e 的 时候代入， 所以 f a 必须要大于等于一分之一，且 a 要使这个不等式对所有 x 成立， 所以只有当 a 等于 e 时，那么 fa 等于 f 一 等于一分之一，此时我们的该等式横成立。下面是题目中涉及问题的通用解法，记得反复学习。

这两天看到这道题，也不知道为什么就变成填空题，都这难度了吗？实际上这道题目是很常见的同构题目，我们可以先把 a 移向，接着不等式，两边都加 x， 注意观察 x 等于 e 的 罗恩 x 方，再回到原式，整理一下，注意框起来的部分，看成一个整体， 这就是同勾呀。垂 f x 等于 e 的 x 方加 x， 这个函数是单增的，那么原式等价于 x 减 a 大 于等于六 n x， 这时候分离参数得到 x 减六 n， x 大 于等于 a， 而 x 减六 n x 我 们太熟悉， 最小值为一，所以 a 小 于等于一就是答案。这道题题目对做过同勾的同学应该没有什么难度，所以平时多练习可以直接秒了。

五分钟速通导数大招之朗伯同钩！别人求导，越写越乱，你用这招考试至少快十分钟。 那我们就来看到令人闻风丧胆的朗伯同钩哈，他听起来很麻烦，听起来像外国人名字，其实非常简 单，他指的就是说第一个我们有只对同钩，都学过吧，对不对？然后第二个是切线放松来搞一下子，其实非常的简单。 我们先来看哈，第一个指对同构，指的是什么东东？指的是指数和对数，也就是 e 的 x 方和洛 x 同时出现的时候，我们怎么把它构造成同一个结构？你们看哈，咱们的 x， 它其实是有大用处的， 我们第一个可以写成是 e 的 l o x 次方，那么此时我拿下来可不就等于 x 吗？对吧？我也可以写成是 l o e 的 x 次方，那我拿过来不就是 x b 的 l o e 也就是 x 吗？对吧？那你来思考一下，如果俺们的 x 和 e 的 x 次方我们俩碰一块了， 那我是不是可以写成是 e 的 l o x， 再乘上 e 的 x 次方？哎，两个加一块儿，感情好，就等于 e 的 x 加 l o x， 对 不对？ 你再来思考，如果说我们两个是相处的情况下，那么我下面这一坨也是可以画成 e 的 民族的，也就是 e 的 洛 x 方，那么此时我是相处就变成减号，所以是 e 的 x 减洛 x 方。我们再去看一下切线放缩，其实很多人他都只讲一种， 就是说咱们 y 等于 e 的 x 方，这条函数啊，它有一条切线，这在咱们 x 等于零这里，它有一条切线方程，也就是 y 等于 x 加一的， 那么此时呢，我的 e 的 x 方永远呢在它上方最多相切一个点，那么咱们是不是就会得到说咱们 e 的 x 次方大于等于 x 加一的？ 而如果说咱们再扩大一点的话，咱们把 x t 换成 t， 就是 说我上面无论多大一坨，我都能得到我 e 的 这一大坨大于等于这一大坨加一个 e 的， 这就是咱们更加广泛的一个推导哈。 而我们再去看另外一条切线，也是非常好用的，这是在咱们 x 等于一这里来，它会出现一条切线，这是 y 啊，等于 e 的 x 的 一倍， x 的 这么多一个一次函数形哈， 那么此时呢，我是不是有 e 的 x 次方，它也是大于等于 e x 的， 哎，它就转换成一个呃，这个正比零函数了哈。那么此时呢，我如果上面也是一大坨东西，我是不是就大于等于 e 乘上这一大坨东西啊？ 那么这两个不等式什么时候用呢？取决于说我要怎么去消去。那么我们接下来就给大家提供两种题目，你就知道怎么消了哈。我们首先来看 number one， 当 x 大 于零时，这一坨横乘以则 a 的 最大值为多少？ 那么遇到这种题目，它是一个横乘力，而且加参数类型的，首先你要考虑能不能分离参数，你再去考虑我们要怎么做哈。哎，我们来看哪个地方有参数嘞，只有一个地方感情好啊，那我肯定分离参数了，对吧？ 我们就写成是 a x， 它是小于等于 x 方，乘上 e 的 四 x 再减去二倍零， x 再减一个一等。 接下来我 x 可不可以除过去来？可以的，因为我的 a x 啊，它是大于零的，所以说 a 啊，它小于等于 x 分 之 x 方乘上 e 的 四， x 减二，洛 x 减一的。同学们，我现在要去看右边这一大坨， 我是横乘逆形问题，那么我右边这一大坨，它是上蹿下跳的，我左边都要小于等于它，那么我右边蹦到最低谷的时候，我是不是还要小于等于它呀？ 所以说我们就转化成了说我右边只要找到最小值，这个最小值大于等于 a 就 可以了，对不对？这就是横乘逆形问题， 那么接下来我们要怎么去找它的最小直行问题嘞？同学们，记住了，一定不要直接去求导，就是如果说当 e 的 x 和 x 同时出现时，很有可能就是只对同勾， 很有可能就是只对同狗，你们肯定也学过另外一个口诀哈，就是对数单身狗指数好朋友，什么意思嘞？就是咱们的洛 x 啊，一定不要跟人家凑对，因为只要跟他凑对了，那么你后面求倒多少次你都会带有洛 x。 而指数呢，就是这个 e 的 x 方，你一定要跟它结合在一块，因为你只要跟它粘在一块了，那么你后续求导了之后，它是可以剥离出来的，不要它了，理解吗？所以哈，这个口诀是存在的， 但是它适用的是什么情况？这是我单独出现洛 x， 或者说单独出现 e 的 x 方的时候，我是用这个口诀，如果说是两个人同时出现是不得了，一般都是只对同构，大家记住我这个法则哈， 那么我们来看这里洛 x 和 e x 同时出现，大概率是指对同勾，但是关键是我怎么要看出来它是指对同勾来，那你看我这里有 x 方，那我肯定要写成 e 的 e 的 多少呢？洛 x 方，对不对？洛 x 方呢？那我肯定要写成是什么？这个二是不要拿到前面去，就是 e 的 二倍洛 x， 哎，我再乘上一个 e 的 四 x 的 话，哎，那我两个一合并，它是不是就会变成 e 的 四 x 再加上一个二倍洛 x 啊？ ok， 而我后面呢，是减二洛 x 减一的，那你看我这一图是不是可以直接放缩啊？就是咱们 e 的 这一个方框，它是大于等于什么来方框加一的， 所以咱们直接干脆的大于等于上面呢，就变成了什么四 x 加上二倍洛 x， 再加一个一， 鸡眼二路 x， 鸡眼一个一，你看这两个 double kill 了，所以说我就剩下一个四 x 除四 x 就 等于一个四了。所以你看我这一坨的最小值，求出来没有，是不是四啊？所以俺们 a 就是 小于等于四了，选谁呢？是不是选 b 选项 over。 我们来看到第二个朗伯同共哈。已知 f x 为这么多，若关于它的横乘力求 a 的 取之范围，那也是同理啊。参数横乘力，那一定是要先看能不能分离参数，那么我们来分离一下呗。我先写成是 a e x e 二 x 哈，然后呢，再减二 x， 再减洛 x， 它是大于等于零的，我写到右边儿， 就应该视为这么多地，对不对？你不要去担心我这一坨除过去会怎么办？没怎么办，我可以除过去的。 然后呢，他没有说 x 的 取值范围哈。呃， x 在 这的洛 x， 所以 说 x 是 大于零的，所以我肯定这里大于零，这里大于零，我直接除过去 a 大 于等于等于 x， e 二 x 分 之二 x 加上洛 x 的。 其次，第二步只对同时出现，看能不能同够了。那 问我怎么同过嘞？那我肯定是要去看右边这一坨东西哈，我 x 乘上 e 的 二 x， 我 是不是可以写成是 e 的 幺 x 乘上 e 的 二 x， 所以 说这两个一结合，一加一块儿，也就是 e 的 多少二 x 再加上洛 x 的。 哎呀，感情好啊，你会发现我上下都存在这一个方框，那你想我下边到底采用哪一种放缩形式嘞？如果说咱们是大于等于二 x 加洛 x 再加一个一的话， 那么感情好啊，咱们现在分母就变成了二 x 加洛 x 加一，那么我上下可不可以同时约啊？约不掉，约不走，走不掉，对不对？所以说我们应该是采取什么样的放松方式啊？是不是另外一条切线呢？对吧？ 就是我直接给它转换成二 x 加洛 x， 再乘上一个 e 呀，对不对？也就是咱们的 e t， 它是大于等于一乘上 t 的 这样一条切线放缩， 那么此时来我这一个大于等于这这么多，那么此时我放在分母的情况下，我是不是就应该小于等于？下面就是二 x 加洛 x， 再乘上一个 e， 上面来是二 x 加上洛 x， 哎，我这里一削，哎呀，大削特削，它就等于一分之一了，所以这一坨它的最大值是为一分之一的。那么我们再回到这个横乘以上来看， 我们的 a 大 于等于右边这一坨上蹿下跳的，也就是说我右边这一坨无论蹦到哪里，我 a 都大于等于它，所以说 a 只需要大于等于它的最大值就 ok 了。所以说第二步其实是转化成去求右边这一坨的最大值，我们刚才求出来是多少，是不是一分之一呀？ 所以最后答案是 a 大 于等于一分之一。你看这道题圆满结束，那么我一直认为哈，做一道好题是要远胜于做一百道平庸的题目的， 尤其是在导数这里。那么我也给大家整理好了我从第一期到第 n 期所有的导数讲义，每一个题型来都包括了一道绝佳的好题，保证你学了就懂。这类题型 大家一定要及时下载打印。我还给大家整理了一份两万字的例题解答，解题一百招，它包括了高中十个章节所有常考的二级结论。大家一定要点击我的主页置顶群聊免费领取！我是北大堂，我们下期再见！

同学们好，今天咱们来看一道有关函数的题型。它的方程， x 乘一的次方等于 a， b 的 零， s 加 s 有 两实数根， 则实数 a 的 取值范围。首先它给的这个方程里面有值有值数，有对手，有测量，有变量，有测量 a 有 变量 x， 这个时候很容易想到只对同根， 所以咱们把它来可以走一走，它这是 s， 左边是 s 乘以 x 的 次方，你可以先不动右边，咱们，因为它是乘的右边，咱们能不能试着写成乘的，要乘的话，对手相加是不是可以整数相乘？所以咱们把这个谁 x 可以 写成 ley 的 x 乘以的次方，等于谁 a 背的谁 ley 的 x 乘以的次方了。 这个时候其实咱们看有共同的地方了，咱们就可以换元了。利用 x 乘 e 的 次方，比如说等于 t， 这题就是 t 等于 a 乘来引 t 了， 也就是转化成 t 等于 a 乘来引 t， 它有两实数根了。当然这个两实数根不是指的是 t 有 两个值，是指的是 x 乘 e 的 次方有两个值。此时这个区别大家要搞清楚， 因为 s 乘一的次方它还是个函数，比如你 t 就 算取到一个值了， t 是 等于 x 乘一的次方的，可能这个 t 与 x 乘一的次方又交了两个点，它也算是两个根。所以此事一定要看一下 x 乘一的次方，它是它的单调性怎么样？如果它是横增的，是不意味着 x 乘一的次方与有一些横这个线去交，最多交一个零点啊。 所以咱们其实很容易知道这个 x 乘一的次方，这个函数它在大零的时候是一个增函数，因为这个函数的定义是 x 大 于零啊。既然是增函数，其实就意味着什么？ 你 t 有 几个值， x 乘一的次方就应该对应几个值，所以此时咱们把这个函数走一走就行。你有两个根，不就变成了谁？ a 分 之一等于 t， 我不喜欢算 t 比 l t 的 函数，所以我就写成 a 分 之一就行。所以出现了一个新的函数叫 gt， 咱们就把 gt 的 函数画一画，先求导 e 减去 lin t 比个谁 t 方，咱发现当 t 等于 e 的 时候，应该是极大值点取到极大值，所以咱们把它草图来画一画。 取 e 的 时候， lin e 比个 e， e 分 之一，是不是在这 e 取 e 的 时候还是零？ 当然了，取小 e 的 话， lin t 比 t 肯定是小零的，大概是这种样子，然后 这个对应的是 e 分 之一，这当然对应的是 e， e 以后它应该是个减的，但是再怎么减， lin t 比 t 是 个正值，所以它在 s 轴上方去减。现在你 a 分 之一要与它交两个点了，是只能交到这个位置， 所以咱们得到的信息就是什么了， a 分 之一是比零大的，但是是比谁 一分之一小的。而这个题中咱们都知道 a 肯定这是正值了吗？所以 a 分 之一大，零和乘以咱们就不管了。 a 分 之一小一分之一了，是不是意味着 a 要大于 e？ 所以最终解出来的是 a 大 于 e， 选的是二 b。 当然这个题还可以有其他同构，比如说把左边 s 乘一的 s 方换成对手的样子也是可以的。 好， ok， 这道题咱们就先说到这，这道题也是咱们呃刚刚考完的咸阳市三模的单选的最后一道题，好，咱们就说到这了。