初中数学基础题必刷题

兄弟，马上就要中考了，那些基础不好老铁呢，你就跟着阿才哥来学喽。你们先暂停一下，把这四道题呢做一做，能不能全部做对呢？一个空是四分啊，一共是十六分啊，重题呢，一定要叫他满分拿下喽！这一块不就是二元一次方程组吗？ 让你求 x 减 y 等于多少？怎么搞呢？很简单喽，你这块是一四，就是二四，这个一四加上二四，马上得到二， x 加上 x 呢，等于三， x 这两个先加呢，就变成减去三 y 了，三加上六就等于九啊，对了，这一块提供因子喽，把三提出来就变成了 x 减去 y 了，等于几？你看， x 减去 y 就是 我们要求的结果啊，那么它呢，就等于九除以三了，对不对？ 那么等于多少？很明显，等于三喽，你看，就这么简单喽。接着音质分解都说了一万多遍了，第一步，优先考虑提供音质最快是不是可以把二提出来啊， 就变成 a 的 平方减去一了，一就是一的平方这一块马上想到平方差公式啊，就等于 a 加上一的和，再乘以 a 减去一的差，这二不变，这一块呢，就是它的结果喽。第三题，分式 首先，分子呢，是不能够等于零的，也就说 x 加一不能够等于零， x 呢，不能够等于负一，这一块呢，也不能够等于零啊， x 呢，不等于这个二，对不对？那么它的结果呢，是零，只有分子这一块呢，等于零啊， x 的 平方 减去四等于零，那很明显， x 呢，就等于正负二，因为 x 呢，不能等于二，那么 x 呢，只能等于多少？等于负二了，你看，就这么简单了。第四个， 让你求这个角的度数，哎，这是圆周角，就等于它圆心角的一半吗？只要把这个角求出来就可以了。

八下的期末数学想冲高分，只要搞定一次函数，这一张你就稳了很多。孩子呢，一次函数的基础题会做，但是考试一碰到中档题、压轴题就很容易掉链子。那究其原因是什么呢？那是因为中档题和压轴题啊，他根本就不是考单独的一次函数， 而是把一次函数跟其他的考点融合在一起了。我给你举个例子你就知道了，压轴题里面常考一次函数，跟三角形的结合，跟面积的结合， 跟最值的结合，跟动点的结合等等等等，所以孩子就容易掉坑里了。但其实啊，一次函数的综合题根本没你想的那么难， 前提是你得首先知道有哪些常考的考法，而且最好在考试前就先练习过。好消息是，我已经把常考的题型整理出来了，一共八个，从基础到压轴全面覆盖， 每一种题型我都给你配备了解题大招，只要孩子把这些题目彻底吃透，期末考试就能轻松的弯道超车。

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兄弟，这种计算题六分一道啊，在中考里面，这种题呢，它是一个必考的知识点啊，所以呢，我希望大家呢，一定要见他满分拿下喽！ 如果那些基础不好，老铁哦，看到 cosine 三一度都忘记了等于多少 t n 四十五度等于多少呢？都不知道，那怎么办呢？接下来认真听喽，阿才哥教你嘛！看到这种情况，马上想到他的公式， a 的 负 n 之方 就等于它的倒数， a 的 倒数呢，就变成了 a 分 之一，原来负 n 次方变成 n 次方了，这个分母呢，是不能够等于零的， 所以二分之一的倒数呢，就是二，原来负二呢，变成二二的平方呢，就等于四了，你看有问题吗？没问题别走。再加上这一方去绝对值，你就看绝对值里面的一减去括号三，你看是小于零的， 所以呢，要把绝对值去掉，要把它当成一个整体，变成它的相反数了。记住呢，把括号去掉就减去一，负负得正就加上根号三。 你把这个根号三写在前面，就是加上根号三，再减去一喽，有问题吗？没问题吗？再减去二乘以 cosine 三十度，如果忘记了，你就画出一个直角三角形出来，推倒一下嘛，这是三十度， 这里呢，是六十度，在一个直角三角形里面啊，三十度所对的直角边呢，等于斜边的一半啊， 你把这条边假设为一，斜边呢，就是二了。那么这条直角边通过勾五定底，马上算来等于根号三嘛， cosine 它是移弦啊，它是零边比上斜边啊。那么 cosine 三一度就是三十度角，它的零边比上斜边啊，就是根号三比上二，最快就乘以二分之根号三喽， 再减去任何数，零除外，它的零之八呢，都是等于一啊，你看这不是很简单，接着整理一下，这个呢，一定要等于根号三了，再减去一，这块照抄，那么现在根号三减去，根号三没有了，四减一又减一，那么就等于二了，这不是很简单啊，那么接下来第二题怎么做呢？ 一样的道理喽，根号是可以直接开出来吗？就等于二，这看很明显等于一啊，这里呢，是三减去三了，这样四十五度等于一啊，他是对边比上零边啊，就加上一，再整理一下，最后结果就等于一了，你看就这么简单了，兄弟，你学会了吗？

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今天给大家分享一道中考必刷题视频，有点长，可以点赞、收藏、关注，慢慢看。话不多说，直接上题。如图，四边形 a、 b、 c、 d 内接于圆， o、 a、 d 是 直径角 c 等于一百一十度， o、 a 等于六，则扇形 b、 o、 d、 e 的 面积为多少？ 好，我们要去求扇形的面积。看完题目之后，我们发现要求扇形的面积，我们必须要知道圆心角的度数，所以我们必须要求出 b、 o、 d 这个圆心角的度数是多少。所以我们先把题目的已知条件在图形当中完成标注。 首先他告诉我第一个条件是四边形 a、 b、 c、 d 内接于圆， o 好， 内接四边形，圆内接四边形。有一条非常重要的性质是什么？ 那就是圆内接四边形，对角互补，也就是说这个角和这个角相加等于一百八十度，这个角和这个角相加也是一百八十度。为什么呢？因为 a、 b、 c、 d 就是 圆内接四边形，而圆内接四边形对角互补， 告诉我 a、 d 是 直径，这是第二个条件， a、 d 是 直径，角 c 等于一百一十度，那么角 c 是 一百一十度。根据我们刚才所讲的，圆内接四边形对角互补，角 c 是 一百一十度，那么角 a 加角 c 等于一百八十度，那它是一百一十度。角 a 就 等于七十度， o、 a 等于六，那说明半径为六，那么 o、 d 也是六， o、 b 是 不是也是六了？所以他让我们去求扇形 b、 o、 d 的 面积，所以要求扇形 b、 o、 d 的 面积。我只需要知道这个角 b、 o、 d 这个圆形角的度数就行了。 而我们知道 o、 a 是 半斤， o、 b 也是半斤等边对等角，所以这个角这两条边相等，那么这两个角，这个角是七十度，那这个角也是七十度。我们可以得出角 b、 o、 d 一个外角等于与它不相邻的两个内角之合，所以 b、 o、 d 就 等于七十加七十等于一百四十度，从而我们这个题目就 计算，所以扇形 b、 o、 d 的 面积就等于三百六十分之一百四十。为什么整个圆的圆形角是三百六十度，而这个扇形 b、 o、 d， 它占整个圆的一百四十， 它的圆角是一百四十度，所以它占整个圆的是三百六十分之一百四十。再乘以圆的面积，圆的面积就是 pi r 的 平方，而这个 r o a o a 就是 六六的平方，所以就等于三百六十分之一百四十， pi 乘以六的平方就三十六， 这个约掉个三十六就是十，一百四十除以十就是十四派。所以最终我们求出扇形 b、 o、 d 的 面积就是十四派，好，你学会了吗？

今天这道题在抖音上很多老师都讲过，而且比较邪门的。是啊，绝大多数老师用的方法都是竖形结合的方法。那乍一看呢，挺有道理，但你仔细一想，用竖形结合这道题是错的呀。 如果咱们默认 x 它是一个正数的话，那么此时 x 是 可以看成一段长度的，这也是用竖形结合的基础。 但是这道题目 x 的 取值范围可正可负可为零，咱是不知道一定为正这件事的，那咱就不能用竖形结合了。那么不能用竖形结合，范围又不确定的时候，一定要用万能 k 值法。一起来看题 说，已知二 x 加 y 等于一，则 x 加根号下 x 方加 y 方的最小值是什么？ 那么刚才我们分析过了啊，这要小题呢，数形结合不好用，我们想想万能 k 值法能否帮助我们快速解题？所谓万能 k 值，其实核心思想非常简单，求啥咱就让啥去，等于 k 去认真计算就可以了，对不对？那么这里头我就令要求的这个式子等于 k。 注意同学们，这里头有个非常非常关键的引含条件，我令它等于 k 之后，请问大家， k 的 正负你是否知道啊？ k 大 于零，小于零还是等于零呀？对不对？我们一起来分析一下，通过挖掘题目的隐含条件，能不能把 k 的 正负给他先来写出来啊？首先我们看一下这个小 y， y 在 根号里头，并且它只出现了一次， 如果我的 y 它是不等于零的，不管它是正的负的，只要它不等于零，那么大家想根号下 x 方加 y 方， 我一定是大于 x 的， 对不对？因为根号下 x 方呢，我开出来是 x 的 绝对值，对吧？那我根号下被开方数变大了，所以开方之后的结果一定变大， 它一定大于 x， 所以 不管 x 是 正的，负的还是零，这个结果呢，它一定是大于零的，没错吧？此时 k 一定大于零。好，那如果我的 y 等于零呢？大家来看，如果我的 y 等于零，那 x 是 不是就是一个正数？ x 等于二分之一啊？它是一个正数，那这时候这个结果呢？ 二分之一加上二分之一，还是一个正的，对吧？此时的 k 他 一定也是一个正的。那所以经过以上这样的分析之后，我发现啊，甭管是什么样一个情况，我的这个 k 他 一定是一个 大于零的。这就是挖掘题目隐含条件，找到了我们设出的这个结果的 k 他 一定是大于零。这样一个信息啊，非常非常的重要，一会咱们会用到。接下来就是一个基本的代入计算的过程了， 有以这条件，我先整理一下， y 只出现一次，所以我写出来 y 等于一减二 x 往里头进行代入，那么我同时再进行一个一项整理，带根号的这一项，我放到等号一边，方便我等一会儿，两边同时平方去掉根号， x 方加上外方，也就是加上一减二 x 的 平方，剩下的挪到等号右边去 k 减 x， 对 吧？此时我两边同时进行一个平方操作，就可以成功地去掉根号了，变成 x 方，加上一减 四 x， 再加上四 x 方，等于右边 k 方减二 k， x 加 x 方。 我们来看啊，两边的 x 方啊，没有了一项整理合并一下，我们得到四 x 方，再来减去四 x 加上二 k， x 加一，减去 k 方等于零。所以整理得到这样一个关于 x 的 一元二次方程，方程一定有解，对吧？方程有十根，所以呢， 哎，它的得，它一定得是大于等于零的，也就是 b 方减 c c。 我 们来写啊， b 方二 k 减四的平方减去四 a， 十六倍的乘上一减 k 方 c c， b 方减 c c， 它一定是大于等于零的。来，接下来认真计算，这是四 k 方减去十六 k， 加上十六减十六加十六 k 方大于等于零， 来合并一下，这是二十 k 方减十六， k 加十六减十六。没有了大于等于零来约分，这是五，这是四，对不对？那也就是 k 乘上五， k 减四大于等于零，写成两项乘积大于等于零的形式。并且我们前提条件刚才是不是找到了隐藏的信息， k 呢？他一定是一个大于零的，他一定大于零， 最后一项一定得是大于等于零，对吧？所以五 k 减四一定是大于等于零的。因此我得到 k 的 取值范围大于等于五分之四，你看， k 就是 要求的代数式，那么它的最小值呢？大于等于五分之四，最小值就等于这个 五分之四完成。所以利用万能 k 值法，千万别忘了挖掘隐含条件，得到这里边的 k 是 一个正的，进而把 k 的 一个取值范围，也就是最后的一个最小值，把它求解出来，你学会了吗？

今天给大家带来亮亮中考数学的最强助力了，也就是最后五课系列，这五课是亮亮精选今年最新的模拟真题，最后五课第二个函数大盘点，全都是你会碰到的基础题啊，中等题啊！ 一，这个帮你把函数这块的分数稳稳拿住，这要完整的听完了，学透了，你至少能得到十六分。我们不绕弯子，直接开始。 那我们首先看第一题，关于反比的函数的实际应用，在温度不变的条件下，略略略，略略略，就说了很多 啊，就是我们产生的这个压墙与气缸内气体的体积，对吧？你看，纵向是压墙，横向是里面的体积，嗯，它们成反比例的关系。 好，那 p 关于 v 的 函数图像呢？如图所示，反比的函数其实在这里面你可以看到，对吧？这个点喏，它的横坐标一百，纵坐标六十。我们知道，反比的函数上所有点横纵坐标的成绩一定等于 k， 所以 也就是整个反比的函数一定是 y 等于 x 分 之多少，二者的成绩 六千，对吧？哎，就是 y 等于 x， 分 之六千就是函数表达式。好，接下来如果压强从七十五千帕加压到一百千帕，那么气体的体积压缩了多少？那，那我们首先看看， 如果当我们压强是七十五千帕，那么它所对应的横坐标，也就是它的体积等于多少呢？ 你想想，横纵坐标的乘积一定等于六千吗？你用六千除以七十五了，我们用六千，我们除以七十五，我们算出来等于多少呢？ 哎，等于八十对吧？啊，就是你的横坐标是八十，好，那一样的，那如果我的纵坐标也就是我们的屁，怎么样呢？它等于一百呢，那么此时你想想，谁乘一百等于六千呢？这个简单，我们知道六十，对吧？啊，就是你的这个压墙呢，从七十五变到一百的时候呢？ 哎，我们的体积从八十变到了六十，所以怎么样减小了二十毫升？选 c。 搞定。 好，我们再看第二题，这个题考察我们反比的函数 k 的 几个 e 啊。首先告诉你点 a 是 反比的函数，在第二象限内图像上的一点。啊，这个反比的函数图像呢，已经在这里了，那 a 点是第二象限一点，那表达式也告诉你。 好，另外呢，点 b 是 另外一个反面的函数，那点 b 是 我们 y 的 x 分 之四，那在第一项线内，图向上一点啊，就 b 点在这里。 好，现在我们直接连接 a 点和 b 点，与 y 轴呢，会交汇 c 点，但是在这里面有一个额外的条件，我告诉你， a， c 等于 b， c 也就是这条线段等于这条线段。哦，两条线段长度相等，我不知道大家能够想到什么，没有 好，连接 o a， 连接 o b， 那 么此时它会形成一个三角形，对吧？请问这个三角形的面积等于多少？好，那么其实很简单了，它跟我们 k 的 几和 e 有 直接关系，比方说，你想想你整个大三角形的面积，它相当于是左边这个三角形，对吧？ 加上右边这个三角形的面积，对不对？好，那么接下来如果我们过 a 点做垂线呢？我们过 b 点做垂线呢？那么此时你会发现，那比方说这个点，我把它叫做屁点，这个点，我把它叫做 q 点，行不行？那此时你会发现我们上下这两个三角形呢？ 哎，我把这个角标作是一个蓝角吧，能不能看到？因为两条直线都是水平的，两直线平行内错角相等，所以这两个小小的蓝角相等，可以看到吧？ 所以你会发现在我们这个三角形中，有直角，有蓝角，有一条红边。在我们这个三角形中，一样的，有直角，有蓝角，有一条，哎，红边。所以也就是你会发现咱们上下这两个三角形什么关系？ 他们是全等的，对吧？哎，就是我们这个三角形呢，一定全等于这个三角形，是不是？好，那接下来你会发现我们就可以等级转换的。 你比方说我们刚才说整个大三角形的面积，它是左边的 a、 c、 o 这个三角形，对吧？加它右边的 b、 c、 o， 现在 a、 c、 o 这个三角形呢？我们拿出一个绿绿的，怎么样？拿出来把这个三角形转化到到这里，对吧？是不到这里， 哎，就是把这一小块把它拼过去了，所以你整个三角形它的面积等于多少？ a、 o b 的 面积，它相当于是由 a、 p、 o， 对 吧？哎，三角形 a、 p、 o 的 面积，再加上我们整个三角形 b、 q、 o， 哦，加上三角形 b、 q、 o， 那 么此时 a、 p、 o 等于多少呢？ a 是 反比例函数，上一点向我们的外轴做垂线和坐标原点所围成这个三角形的面积，对吧？等于 k 的 绝对值的一半， 你是负二嘛，所以一半呢，就是一孬。那 b、 q、 o 呢？就是这个三角形一样的 b 是 反比的函数图，向上一点，向外轴做垂线与坐标原点所围成的这个三角形的面积等于多少？ 它也等于 k 的 绝对值的一半，你的 k 是 四，所以我相加呢。哎，你是二，加起来等于三选 c。 搞定 好，接下来我们看第三题，大题中的反比的函数结合综合啊。那么首先给出一个正比的函数， y 等于三分之一 x。 啊，就是这一条了，我把它标出来， y 等于三分之一 x， 好， 干嘛呢？ 与这个反比的函数图像交于 a 点，交于 b 点两点。那首先我们可以得到 a 点坐标呢？哎呀，其实这种题你就发现横坐标不知道，我知道纵坐标负二，对吧？你想想， a 点除了在反比例图像上，你是不是还在整个正比的函数的图像上？那请问我的纵坐标等于负二呢？你把负二带进去，对吧？三分之一 x 等于负二，所以我们求出 x 等于几， x 等于负六 嘛。哦，就是 a 点的横坐标，我们知道它是负六的，好，我们求出来。紧接着，因为 a 点，它在整个反比例函数图像上，反比例函数图像上一点横纵坐标的成绩一定等于 k， 所以 相乘的十二，也就是 y 等于 x 分 之十二。哎，我们把繁笔的函数表达式怎么样？写在这里可不可以？哎，你表示的就是这一条繁笔的函数图像 啊，它的解析式了，也就第一问呢，我们就直接搞定了。在此，大家注意啊，你怎么去求这个 b 点坐标呢？ b 点坐标是可以求的，你有两种方法。第一个呢，你另这个函数表达式等于它，对吧？一定可以求交点，把这个 b 点横坐标求出来，但是在这里完全没有必要。为什么呢？ 因为反比的函数，它是一个中心对称图形，什么意思呢？它的对称中心就是圆点嘛，如果你过圆点随便画一条线， 那么这个点跟这个点啊，说白就是 o a 等于 o b， 这两点一定关于圆点对称啊。所以你要知道， a 点坐标是负六负二，因此我们可以求出 b 点坐标呢，我跟你横纵坐标都是互相反射的，所以它的坐标是六 二。我们考试可以直接写，像他把我们这条直线呢，往上平移，平移 m 的 单位和反面的函数呢？在第一项线的图像的交于 c 点啊，就把它往上移，移，移移到这里，对吧？和反面的函数交于 c 点好，连接 ac， 连接 bc， 会形成一个三角形，我告诉你， 如果这个三角形的面积等于三十二啊，请问平移了多少个单位啊？让我们求平移 m 的 值，怎么办呢？ 其实这个题你可以有头有脸的，我要去这个在屁股上面加上 m， 把这个一次函数表示出来，对吧？然后呢，令它等于反比的函数啊，构造方程，求出 c 点坐标，再想办法把这个三角形面积表示出来，令它等于三十二，可不可以？当然可以了，但有没有更加简单一点点的方法呢？有， 首先我问大家一个问题啊，比方说呐，两条线平行可不可以？好，现在这个点呢，是我们 a 点，这个点是我们 b 点啊，这两条线平行的，好吧？好，有一个屁点在这里，我连接撇，连接 pb， 我 就问一个问题，哎，这个屁点在这， 请问我把这个屁点，哎，让它沿着我们这条线左右移动的时候，对吧？请问整个三角形的面积变吗？ 一定是不变的，为什么呢？你 p 点左右移来移去的，对吧？这个底边不变高呢？你要知道平行线间的距离处处相等，处处相等，处处相等，对吧？所以你 p 点，不管移到哪去，你到 a、 b， 距离永远相等，底不变， 高永远是相等的，所以我们的面积一定永远不变。所以其实我们在函数里面有时候遇到一些面积问题，你永远是相等的，所以其实我们在函数里面有时候遇到一些面积问题是平行的， 所以你把这个 c 点呢，在我们整个线上移来移去的，我们的 a、 b、 c 面积永远不变，那把这个 c 点索性移到哪去？移到非常特殊的位置，也就是它与外轴的交点，我把 c 点移到这，可不可以比方在这里呢？哎，这样呢，放个红色的屁，看到了吧？ 所以你 c 点移到这里，那我连接 b p， 我 连接啊，怎么样呢？ ap， 那 你这个三角形也就是 a、 b、 p， 对 吧？ 这个三角形的我把它画出来吧，就整个红色三角形的面积呢？它一定也等于三十二。好，那接下来我们这个三角形怎么去处理呢？很明显，我连一下啊， 有时候这样的我要用牵扯法，可以，但其实完全没必要。你比方说你把左边这个三角形的面积表示出来，可以吗？ 可以的吧，你把左边这个三角形呢？也就是你把 o p 当做底边，哦，它等于二分之一的，怎么样？ o p 是 底边，那高是什么呀？高，高不就是 喏，咚咚咚咚，对吧？你的横坐标负六嘛，所以这个高就是六了。哎，我们再怎么样呢，乘以六，这个就是左边这个阴影三角形的面积。好，右边，那我们这个三角形的面积怎么表示呢？一样的道理，对吧？哎，你会发现 还是 o p 把 o p 当底边，嗯，也就是加上二分之一的 o p 再乘以，那么这个高等于多少呢？是不一样的道理，对吧？你只要过 b 点欻欻欻欻欻做垂线就可以了，那你会发现你的横坐标是六，所以我们这个高呢，也是六，对吧？ 哎，我们知道高是六，那其实纽曼这两个三角形的面积呢，完全相等吧，你等于三倍的 o p， 我 等于也是怎么样呢？三倍的 o p， 所以 整个面积等于多少？等于六倍的， 我就防止大家以为是六是 p 啊，我就用一个这个点隔开，好吧，等于六倍的 o p， 你 面积不是三十二吗？所以也就是等于三十二。我们求着 o p 呢，等于六分之三十二，说白了也就是三分之十六， 而 o p 是 什么呀？我这条直线本来以外轴的焦点是圆点，移完之后呢，这条直线以外轴的焦点，对吧？整个长度等于多少？整个长度三分之十六。其实说白了， 你外轴焦点从这个焦点移到了这个焦点，往上移的不就是 o p 的 长度吗？所以 m 等于几？ m， 它就等于三分之十六。搞定 好，来到我们第四题，二次函数的图像与性质啊。首先呢，我们给出一个非常标准的一般式啊，它的部分图像呢，如图所示啊，就是给的不全。好，现在我告诉你， a 点坐标三零，其实，呃，你可以看出来，对吧？对，准轴是 x 等于一啊，也可以看出来，它告诉我们了，好，下来说法也就是 错误的啊，就有三个对的啊，一个是错的，是吧？好，我们一个一个来判断啊。首先第一个， a、 b、 c， 小 林怎么判断呢？当然，如果你说你跟着亮学过，对吧？你知道左通右也，当然就更快。如果你说亮没有，那行， 没关系。首先它的开口向下 a， 很 明显小林没有问题吧？那我怎么去判断这个 b 呢？很明显，用对应轴嘛，我们知道对应轴负的二 a 分 之 b 等于几啊？ 对，正轴，我告诉你，是一对吧？哎，你知道对正轴，那如果你不知道对正轴具体几呢？你总得知道它是大于零或者小于零吧，你就列不等式也可以啊，在这里面我们知道是具体的一。 好，那接下来我们左右两边同时乘以负二 a， 左边乘以负二 a 呢就是 b， 右边乘以负二 a 呢就是负二 a， 是 吧？所以你看 a 小 于零的，因此 b 呢？ a 是 个负数嘛，你把一个负数带进去，所以我们知道 b 一定是个正数，对吧？哦，你说 b 呢？ 哎，大于零，好，你与外周呢，交于正半轴，所以我们知道 c 大 于零，因此呢， a 是 负的， bc 都是正的， 对吧？所以第一个怎么样呢？一个负数乘以两个正数，很明显小于零， a 是 正确的，那我们不要选它啊。 b 选项， b 方减 c， a、 c 怎么判断呢？整个函数里面， b 方减 c， a、 c， 我 们只要看焦点就可以了。 与 x 轴如果有两个交点， b 方减 c， c 大 于零，那如果与 x 轴只有一个交点呢？那 b 方减 c， c 等于零，那如果与 x 轴一个交点都没有呢？那 b 方减 c， c 呢？它就反过来小于零了，很明显。那你延长吧， 与 x 轴有没有交点？它有两个交点啊，所以你这个 b 方减 c， c 呢？大于零没有任何问题。好，接下来 c 选项， 他说这个方程的根是什么？其实你要知道，我们之前聊过很多次，你发现这个方程的表达式跟我们函数的表达式完全一样，如果表达式完全一样，那么你这个方程的解对吧？就是函数 与 x 轴交点的横坐标，我与 x 轴交点一个点在这，一个点在这，你其中一个横坐标是三，所以方程一定有一个解是三，也就 x 二。好理解。那 x 一 呢？很明显嘛， 那对中轴是一，也就是你这个这个长度几呢？两个单位吧。但我这个读可能会有一定误差啊，根据对中线吗？ a 点到对中轴，距离两个单位，那你这个点到对中轴呢，也是两个单位，对吧？一往左边走两个单位，所以这个横坐标呢，一定是负一的 啊。所以剩下的你有一个焦点，横坐标是负一，所以你这个方程一定有一个解啊，就是负一，所以你发现 c 选项也是对的。好，那接下来 d 选项它凭什么错了呢？啊？其实我个人觉得也比较简单啊，像这种解几 b 加 c 的， 我们都把它叫做固态表达式， 它往往是把 x 等于某一个数带进去来进求解的。嗯，带入哪个数呢？我们往往看 b 前面的数字嘛， b 前面的系数是负二，所以它就是把负二带到整个抛物线里面去，不信你试一下啊，你把 x 等于啊，就是它是什么呢？它就是 x 等于负二所对应的函数值，你把负二带进去，负二的平方四吗？不就 c 吗？你把负二带进去， 减二， b 啊，再加上 c， 对 吧？所以你把 c 减二， b 加 c 和它是完全一样，你会发现 c 减二， b 加 c 和它是不是完全一样？所以它就是负二所对应的函数值。那负二所对应函数值大于零吗？你把负二带进去， no， 你 会发现负二在哪儿？ 负二差不多在这里，对吧？他在负一的左边吧，对不对？哎，这个就相当于是这个点是负二，对吧？所以你发现所对应的函数值这个点，那很明显在 x 轴下方，负二所对应函数值小于零。哎，因此 d 选项错的，所以我们选 d 搞定。 那现在告诉你点， a 是 抛线与外周的交点，那这个交点你说我们能不能求出来？虽然不能求出具体坐标，但是咱们可以用 a 呀或者 k 呀来把它表示出来。好，现在过 a 点做一条平行线与抛线呢，交于 b 点。 好， c 是 整个抛线呢，怎么样啊？顶点对吧？嗯， c 是 顶点。好，现在我告诉你。哎，你连接 a、 b、 c， 我们形成一个什么？刚好是一个等边三角形，那请问整个二次函数的 k 不知道对吧？但我让你求 a 的 值等于多少，该怎么处理呢？首先， a 点坐标，我们刚才说可不可以求出来？你的横坐标是零嘛，对吧？纵坐标呢？你把零直接带进去， 那零带进去呢？负三对吧？负三的平方九就是九 a 嘛，再加上 k。 哦，就是，我们知道你是九， a 加 k 的， 对吧？哎，这是我们 a 点。好，现在我们知道那 c 是 顶点，那 c 点坐标可以表示出来吗？你是顶点？是了，所以我们可以看出来横坐标是三，纵坐标是 k， 对 吧？就是你呢，是三 k 的。 哎，其实我们知道那意味着什么，就意味着整个抛线的对称轴是几啊？ 顶点横坐标三吧，所以整个抛物线对称轴就是三了。那我想问一下，那你这个不就是三个单位吗？那我不也三个单位吗？对吧？所以因此 b 点的横坐标一定是六了，纵坐标怎么样也是九 a 加 k， 其实 b 点坐标你求与不求都可以啊。 好，那问题了，我怎么求 a 呢？你要注意啊，我们刚才说这条线段的长度是三吧，而且你是个什么？你这个等边三角形，说白了也就我们一个角等于多少度呢？这个角一定是六十度，对吧？啊，当然这个是直角， 对正轴呢，肯定垂直于水平的 ab。 那 所以你会发现我们可以得到一个什么，得到一个含有三十度和六十度的直角三角形呢？现在我想问一下啊， 那三十度六十度直角三角形三边比的关系，我们知道较长的直角边一定是较短直角边的根号三倍，也就是我们整个长度，这个一定要会啊，等于你的刚好三倍，也是三倍的根号三，对吧？ 我们能够应用的等边的性质，也就是求他们的边长比例，把这个长度求出来，那接下来怎么办？好，我想问一下啊，请问那这个点的高度咱们知道吗？就这个点的纵坐标， 很明显跟 a 点 b 点纵坐标是不是完全一样，是不是等于九 a 加 k 啊？就你这个点纵坐标呢？九 a 加 k 对 吧？而你这个点的纵坐标呢？不就是 k 吗？是不是？哎，你这个点的纵坐标，它就是 k 吗？哦，所以你会发现 这两个点的高度差，就是用这个东西减去它，对吧？你发现呢？ k 跟 k 一 样的，那得到不就是九 a 吗？所以九 a 等于几呢？用我减去你 k 抵消了，等于九 a 等于你这个三倍刚好三嘛，是吧？所以你会发现， no， 你 只要把题干中的条件用上 这里面，我们用到抛线的对称性，用到等边三角形的性质，用到你如何求顶点坐标与外周焦点坐标，对吧？所以你发现左右两边同时除以九 a 等于三分之刚好三，选哪个？选 a 搞定。 那么例六呢，就属于我们近几年中考的一个热门宠儿了，也就二三数的怎么样的诡计类的实际应用题。那么这个题呢，我们把这个题干稍微的简化一下啊，就大概长这个样子，对吧？那这是一座拱桥，那图二呢？是示意图，就这个拱桥呢，它长的就是一个抛物线，可看作抛物线的一部分。 好拱桥，这个抛物线径似满足函数关系式啊，你看，连这个表达式都告诉你，对吧？那毫无挑战性吧。据调查，龙舟最高处距离水面两米啊，就这个船放在水面上呢，它超出水面两米已经告诉你了， 当然，为了保障安全，通过拱桥时，龙舟最高处到拱桥的数值距离至少三米，就是你这个 龙舟这个船在这，对吧？你最高的这个顶点呢，距离我们这个，你上方抛物线，你这个高度最起码得三米， 对吧？不然你这个太兴奋，跳起来脑袋撞到这个桥上去，那不惨了。嗯，这是我们的要求。好，那么有以下结论，有一个，两个，三个，对吧？问正确的有哪一些了？好，那我们就一个一个来判断喽。 第一个，水面宽度呢？ o a 等于六十米，也就是其实我们只要把这个 a 点坐标求出来可以，那怎么求求它与 x 轴的交点坐标了？所以也就是我们只要令 y 等于零吧，把它拿出来，就是负的零点零一 x 平方加上零点六， x 等于零，对吧？ 我们左右两边同时乘以负一百，你乘以负一百呢， x 平方，你乘以负一百呢，减六十等于零。提个 x 了啊，所以 x 减六十，对吧？ 所以它与 x 只有两个焦点，一个焦点横坐标呢，零，另外一个焦点横坐标呢？六十，零指的是你的横坐标，六十呢，指的是我们 a 的 横坐标，所以它的横坐标呢，就是六十，因此整个 o a 的 长度呢？呃，六十，所以它是 对的。好，接下来我们看第二个拱桥的最大高度是九米，我们有两种方法，第一个方法呢，你把它配方变成一个顶点式，我们就会看出它的最大高度了。第二种方法干嘛呢？哎，我们知道 你可以求对正轴嘛，对吧？那根据对正性，一个是零，一个是六十，所以我们知道对正轴 x 等于三十了，你肯定在顶点对正轴这里取的最大值，对吧？你把三十直接带进去行不行？也就是负的零点零一乘以三十的平方呢？九百 加上零点六乘以三十呢，也就是十八，所以我们求出来，也就是负九加上十八等于几等于九哦，也就是横坐标三十的时候，我们圈顶点纵坐标呢，等于九，所以它的最大高度是九，完全没有问题。 如果每条龙舟赛道宽度是九米，那么最多可以设计龙舟赛道四条，这是什么意思呢？今天你要知道啊，我们这个龙舟赛跑呢，它有个要求，就是你这个船啊，就是到它的数值距离至少三米，你知道船高是两米吗？ 你到上面距离是三米，所以也就是龙舟它应该怎么样呢？龙舟你画一个高度为五米的一个线，对不对？ y 等于五嘛， 是这样的吧，那么此时在这一段肯定就不能比的，你比方你这个船在这是吧？你到上面这个距离肯定就小于三米了，对不对？因为你整个高度小于五吗？ 所以也就是我们把这个安全的范围找出来，也就是比方说这一段刚好是安全的，那这段刚好也是安全的，对吧？所以你把这两个安全点啊之间的距离求出来，也就是求他们横坐标，求他们的横坐标，所以很明显吧， 我们看看纵坐标什么时候等于五，我们令怎么样？令这个 y 它直接等于五就可以了。所以因此我们可以构造一个方程，也就是怎么样呢？负零点零一 x 平方，加上零点六 x 等于几呢？等于五，依然左右两边同时乘以负一百 x 平方， 哎，我们怎么样呢？减六十 x 乘以负一百等于负五百，好移过来 x 平方呢？减六十 x 加上五百，怎么样？等于零，十字相乘嘛，我们写这好不好？ x 减十乘以怎么样呢？ x 减五十等于零，所以我们求出来， x 一 呢，等于十， x 二呢，等于五十，对吧？ 所以也就是当你纵坐标等于五的时候，一个点的横坐标呢？十一个点的横坐标呢？五十，对吧？所以你会发现，那我们的安全距离是多少？是不是四十米啊？ 啊？就是，你可以怎么样呢？可劲儿比赛安全的范围总共有四十米宽，每条赛道的宽度是九米，那可以放几条赛道用四十除以九，对吧？哎，所以四十除以九，四九三十六嘛，所以它肯定大于四五九，四十五肯定小五，也就是你可以放四点几条赛道， 那不就是四条赛道吗？对吧？你不可能放四点二条吗？所以你放这里面全都是对的。回到我们最开始的部分，所以这个题正确的呢，选 d， 总共有三个搞定， 虽然我们不讲那种难的压轴题，但像这种简单的，我们还是需要哎，尝试一下的啊。好，那我们直接看一下这个题的前两小问，那么首先我们给出一个抛物线啊，这里面 a 不知道， c 不知道，但是 b 呢，我们知道，对吧？ x 前面系数是一， 好，经过 a 点跟 b 点，那我把这个 a 点坐标标出来就怎么样呢？它是负一零，而且我们知道 b 点坐标呢，是二 零，对吧？好，而，而且还经过 c 点啊，经过 c 点，在这里，好，现在有这么一条直线， y 等于 mx 加二分之一和抛物线呢，交于 a 点，交于 d 点， 也就是过 a 点画一条线啊，和我们抛物线呢，交于 d 点，当然了，它以 y 轴呢，交于点，记记点，在这里 记点坐标呢，我们根据这个二分之一也可以求出来，对吧？但我们先放下第一问，求抛物线表达式，那这个就不用说了，你把 a 点 b 点直接带进去，对吧？直接带进去，所以我们就直接写 y 等于负 x 平方加上 x， 再加上勾推，验证一下，我们求的是对的。 其实除了我们整个抛物线之外呢，你整个 e 三处的表达式也可以求出来，因为你这里只有一个未知的 m 嘛，你把这 a 点负一零带进去好不好？负一零 带进去啊，就是怎么样的？纵坐标零等于 m 乘以负一，就是负 m 加上二分之一，你可以求出 m 等于几。 m 等于二分之一，对吧？也就是我们整个直线的表达式是 y 等于二分之一， x 呢？再加上二分之一，好，第二个我告诉你点， p 是 直线 a d 上方，抛线上一点 啊，它又在这个直线 a d 的 上方，又要在这个抛物线上，对吧？啊？比方随便把 p 点放这里，好，现在我们永远过 p 点做垂线啊，垂是 x 轴，垂足呢是 f， 你 看过 p 点做垂线垂足， f 当然和我们整个直线呢，还交于 n 点。好，现在我告诉你啊， 哎，就交 n 点之后呢，你这个点 n， 你 这个点就这个点，干嘛？他把 p f 把整个线段 p f 分 成二比五的两部分，让我们求 p 点坐标，在这里我可以提前告诉你啊， n 点把整个线段分成二比五的两部分，那谁是二谁是五呢？ 有可能是二比五，对吧？有可能是二比五，是不是？哎，所以我们需要分类讨论。但不管怎么处理，我们也需要把这两条线段表示出来。比方说，在这里我设 p 的 横坐标是小 m， 那 中坐标呢？ 因为 p 点它在整个抛物线上，所以把 m 带进去，我们可以求出纵坐标是负 m 的 平方加上 m， 再加上二，对吧？好，那这个 n 点的横坐标呢？很明显， n 点横坐标是小 m， 对 吧？那纵坐标 点在这一条直线上，所以把这个 m 的 带进去，我们可以得到也就是二分之一 m， 再加上二分之一的。你用点 p 的 纵坐标减去这个点的纵坐标，也就二者相减，得到一定的线段 p n 的 长度。我们求一下，那么 p n 等于多少呢？就等于用我减去你了， 负 m 平方加上 m 加上二，对吧？我减去你，我直接写行不行？减二分之一， m， 再减二分之一，对吧？所以因此等于负 m 的 平方加上二分之一 m， 再加上二分之三 o， 这个就是我们线段 p n 它的长度了。我写哪比较好呢？我首先就写这里行不行？ p n 的 长度等于多少？等于负 m 的 平方加上二分之一 m 再加上二分之三。那 n、 f 的 长度怎么表示呢？非常简单，那不就是 n 的 纵坐标吗？所以也就是 n、 f 的 长度呢？等于多少？等于二分之一 m 加二分之一，对吧？好，那现在问题来了，你刚才说了分成二比五的两部分， 我比你有可能是二比五呀，你比我也有可能是二比五，对吧？所以接下来我们需要干嘛？需要分类讨论，还我们首先考虑第一种情况，干嘛 就是你比我是二比五，就像这个图一样好不好？用上面的比，下面的就是负 m 的 平方加上二分之一， m 加上二分之三，我比上谁呢？比上你这个 n f 二分之一， m 加上二分之一等于多少？哎，就等于二比五， 可以不了，所以接下来你会发现，我们把这种几何问题把它变成一个怎么样呢？代数，也就是解方程。好，我们对角相乘啊，对角用五乘以它 负五， m 的 平方加上二分之五， m 加上二分之十五，对吧？等于多少？对角相乘， 也就是用你这个二呢，乘以面每一项，也就是 m 加上一，我们可以得到负五， m 的 平方加上二分之三， m 再加上二分之十三等于零。 当然，在这里面你可以怎么样呢？你比方说这样呢？我用这个配方法，对吧？我用公式法，求解性都可以，但我可能习惯性的把 m 平方前面画成一，我左右两边同时除以负五啊，你除以负五呢， 也就是 m 的 平方，你除以负五呢？减十分之三倍的 m， 你 除以负五呢，也是减去十分之十三，等于零，对吧？那接下来你又犯，嗯，我们十字相乘，它相对是 m 减去十分之十三，然后乘以什么呢？ m 加一，那么这个十字相乘在我们自己内部系统班里面我们讲过很多次啊，所以你求出来也知道，怎么样，我们的 m 一 呢，等于 十分之十三，我们的 m 二呢，等于多少？等于负一，对吧？好，那这两个是不都可以呢？比方，首先考虑 m 能不能等于负一， 如果 m 等于负一，你要知道 m 指的是什么？ m 指的是 p 点的横坐标，对吧？如果这个横坐标是负一的话，你会发现整个抛物线上横坐标是负一的，点在哪呢？横坐标，走走走走走走走。哎， 负一，对吧？所以你的 p 点跟 a 点重合，你的 m 才能等于负一。那 p 点能跟 a 点重合吗？ p 点是直线上方的抛物线上一点，它在整个上方，对吧？而且你想想它就算包括那个直线上，那又能怎么样？你 p 点跑到这里去了， 你过它做 x 轴垂线咋做呀？你就发现此时 p 点， n 点、 f 点怎么样？全都重合在 a 点了，那肯定不符合 t， 对 吧？根本就没有线段这么一说啊。所以这个呢，我们直接舍掉， 因此我们第一种情况求出来，也就是怎么样 p 的 横坐标十分之十三，那我们可不可以求它的纵坐标呢？就是我们第一个 p 横坐标呢？十分之十三，纵坐标怎么办？好像没有减面积算的方法啊。把十分之十三直接带入到纵坐标里面，给我一点时间啊，把它 带进去。负的一百分之六十九，加上十分之十三，加上十分之。 呃，二十，十分之三十三，一百分之三百三，三百三，减去一百六十九，也就是三十一。一 百三，一百六十一，好，也就怎么样呢？啊？没有地方了啊。百分之一百六十一，好，这是我们求的第一个屁点。那我们刚才考虑了，你比我是二比五，对吧？那现在我能不能反过来呢？啊？比方说我比你是二比五，那你比我呢？啊？也就是我们接下来考虑第二种情况，对吧？ 哎，就是它是五比二的，哎，亮着偷个懒啊。好，我们对角相乘，你会发现一样的。嗯，也是，怎么样呢？负二， m 的 平方加上 m 加上三，对吧？好，对角相乘等于二分之五倍的 m， 再加上二分 之三倍的 m， 再怎么样？加上二分之一等于零。一样的，我们左右两边同时除以负二嘛， 你除以负二呢，也就是 m 的 平方，你除以负二加上四分之三 m， 对 吧？好，你除以负二呢，也就是减去四分之一等于零，所以因此一样的十字相， m 加一呢，乘以 m 减去四分之一啊，我们求出来怎么样呢？有两个对吧？一个呢， 一个不就是我们刚才舍弃掉的负一吗？对不对？屁点横坐标负一跑到一点这里，我们刚才已经舍弃掉了，所以这里面就不再多解释了啊，所以我们第二个 m 呢，也就是四分之一，对吧？哦，也就是我们这个屁点的横坐标，它等于四分之一，把这个四分之一呢， 把它我们直接带入纵坐标里面，所以我们可以求出来，怎么样呢？就是我们的第二个屁点横坐标四分之一，我们带进去 负十六分之一加四分之一加二，四分之九，十六分之三十六，三十六减一，也就是怎么样呢？十六分之三十五。好，也希望各位同学在考场里面呢，能够拥有量的这样的计算能力。从 p 点求出来呢啊， p 一 在这里， p 二呢在这里啊，总共有两个 p 点。搞定 好，接下来我们看最后一问，我个人觉得第三问他没有第二问难啊，现在 q 点是整个抛线对准轴上的任意点，什么叫任意点啊？说白了不就是动点吗？就 q 点在整个抛线上动来动去的啊，我打个箭头行不行？哎，就是动来动去的。 好，现在问题来了，那连接 a q 和 g q 啊？行，我连接 a q， 用一条红边把它给标出来，我再连接 g q， 用一条蓝边把它给标出来。好，干嘛？ 当 a q 加 g q， 也就是红边加蓝边两边这个取得最小值的时候，让我们求什么呢？求这个点 q 啊，它的坐标就是求它的坐标，其实这个就是非常具有代表性的将军印码，对吧？ a 点， g 点在这里， q 点在整个线上运动， 所以你只要做 a 关于它的对称点，或者 g 关于它的对称点啊，连接一下就可以了。当然在这里为了让大家听得更加清楚啊，所以我们把它讲慢一点，比方说呢， 首先做对称点啊，你做 a 点或者 g 点关于它的对称点，那我们做哪个？其实哪个都可以，但是呢，你要知道，整个抛物线它本身就是一个轴对称图形，它关于对称轴对称的，所以你这个 a 点啊，就是你这个点，对吧？ 它关于抛物线的对称点呢，就已经出现了，就是 b 点，是不是？哎，那我们找它对称点干嘛呢？ 其实正常情况下，我们只要连接 g 点跟 b 点，对吧？与对称轴的交点，就是我们要找到 q 点，那在这里呢，我们利用对称性，我们先把 q b 连接起来，好不好啊？就是这条红边一定等于这条红边吧？我本来要舍得这个红边加蓝边，两边这个最小，你等于我， 所以现在这个边我能不能把它给清掉拿走了呢？没问题吧？我只要舍得这个红边加蓝边，也就两边这个最小就可以了，那就相当于从 g 点出发，走走走走走，走到对正轴上的某一点， 再走走走走走，回到 b 点，对吧？从一个点到另外一点，我们知道两点之间线段最短，我们直接这么走嘛，你这个 q 点呢，也就是在 我与对正轴交点的位置，因为整个直线的表达式我们知道了，也就是他与 y 轴的交点啊，看这个屁股，对吧？所以很明显是零二分之一嘛。那现在我想问一下各位同学们，那知道 b 点坐标二零， 知道 g 点坐标零二分之一，我可不可以把整个 b 既的表达式求出来，百分百可以，对吧？好，我们求一下，也就是 y 等于 二分之一， far 负四分之一，负四分之一， x 加上二分之一，求一散数的过程我们就省略了。好，现在你这条直线呢？表达式出来了，那 q 点的坐标知道吗？横坐标我们知道呐，对准轴怎么求？ 你一个焦点横坐标负一，一个焦点横坐标二，所以把两个焦点横坐标相加，再除以二，所以对正轴呢，它是二分之一哦，就是 q 点，它的横坐标呢，是二分之一，那纵坐标呢？把二分之一带进去，对吧？所以我们求出来等于多少？哎，等于 八分之三，好，所以我们 q 点坐标就等于这么多啊，也就怎么样呢？求 q 点坐标，也就是二分之一，然后怎么样呢？哎，八分之三， 搞定好了，那么今天关于函数大盘点我们就讲解完毕了，考场上我们看到函数题直接拿分，那么下几个呢？我们三角形与四边形，我们不见不散，跟着亮亮无脑学习。

各位同学好，我们来看一下二三年河北中考整体解方程，三 x 减六等于零， x 等于多少？这个题呢，考的是一元一次方程，那我们知道说一项 b 编号， 所以三 x 等于六， x 等于六，除以三等于二，所以答案就是二，你会了吗？

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数学没有捷径，唯有坚持练习！七年级一定要练计算，千万不要让孩子在难题和压轴题上把时间都浪费掉。如果你能在期末之前让孩子吃透计算题，等到了考试，他的数学一定会给你惊喜。 推荐这本初中数学计算一百，它里面全是考试常考的计算题型，没有刁钻古怪的难题。先把每章节的核心知识点和公式都总结好，然后学习典型真题，掌握答题技巧， 扫码就有视频讲解，孩子自学无压力，搞懂后再去做练习，从基础练习到提升练习，再到拓展练习，由易到难，逐步提升孩子的计算能力。每天十五分钟练习一页，把计算能力过了关。 七年级下册识数要练，二元一次，方程组要练，不等式与不等式组也要练。 下册数学迎来了初中的关键时刻，计算想要不出错，唯有坚持不懈的练习。推荐就用这本初中数学计算一百，他与七年级下册课本同步， 包含了实数、二元一次方程组、不等式和不等式组。这本书最大的亮点在于先引导孩子进行知识积累，接着展示典型真题，帮助孩子掌握答题技巧，再让孩子每天抽出十五分钟进行练习，遇到难题不会做，还有视频讲解，不怕孩子学不会，只要计算能力过关！ 孩子在初二、初三学习数学时，七年级开学别心软，一定要狠抓计算，因为初一数学百分之九十都和计算相关，要想提高正确率和速度，唯有坚持不懈的练习。就帮孩子准备这套初中数学计算一百，完全同步新教材， 包含七年级下册所有的计算题型，每一课都会先带孩子预习，掌握基础知识，再学典型题型，掌握答题技巧，规范答题步骤，不理解的扫码还有视频讲解，学完后再去做练习，从基础到提升，再到拓展， 难度层层递进，每天十五分钟，练习一页计算能力过了关，初中数学也就七年级下册开始学二元一次方程了，计算步骤越来越多，寒假可以给孩子准备这本计算题训练，假期每天练一夜，等年后开学，你就知道他的计算有多扎实了。就是这本初中数学计算一百， 包含了常考的实数，二元一次方程组、不等式与不等式组，每一章节都总结了知识积累，帮孩子打牢基础。然后通过典型真题学习答题方法，规范答题步骤，看不懂的还能扫码看视频讲解，不怕孩子学不会，学完就做练习题，查漏补缺。包含基础练习、 提升练习和拓展练习难度，循序渐进，由浅入深，寒假坚持每天打卡一夜，提升孩子做题速度和准确率。数学越学越自信，快准备起来吧！ 七年级一定要练计算，千万不要让孩子在难题和压轴题上把时间都浪费掉，如果你能在期末之前让孩子吃透计算题，等到了考试，他的数学一定会给你惊喜。推荐这本初中数学计算一百，它里面全是考试常考的计算题型，没有刁钻古怪的难题。 七年级下册识数要练二元一次方程组要练，不等式与不等式组也要练。 下册数学迎来了初中的关键时刻，计算想要不出错，唯有坚持不懈的练习。推荐就用这本初中数学计算一百。他与七年级下册课本同步，包含了实数二元一次方程组、不等式和不等式组。 这本书最大的亮点在于先引导孩子进行知识积累，接着展示典型真题，帮助孩子掌握答题技巧。再让孩子每天抽出十五分钟进行练习，遇到难题不会做，还有视频讲解，不怕孩子学不会，只要计算能力过关。孩子在初二、初三学习数学时。