长春八下数学几何题型

好兄弟们，想不想一道题，我们今天来看的是八下期中考试极大惠顾的一到二十四题的一个动点问题啊。我觉得这道题也是蛮不错的啊，直接说在一个平行四边形 a、 b、 c 中，平行符号给出角， abc 为锐角，那我们给出一个图，哎，这个 ab 等于五，然后九 p 点从 a 出发，我们写出 p 点的运动状态， p 点从 a 出发，到 b 到 c 到 d 到 a， 这里边我们率先写出来，它的速度是二，那么在 a、 b 的 时候用了二点五秒，在这个 b、 c 的 时候呢，是用了四点五秒，同理，在 c 的 时候依旧二点五，在 d、 a 的 时候依旧四点五，它整个全程是从五九五，这样 一共是二十八个这个长，所以它最后用的就是十四秒，是我们的 p 点的时间。那么 q 点是从 a 出发，到 d 到 c 到 b 到 a， 那 也就是这个 q 点搁这啊点在这走，从 a 到 d 到 d 到 c 到 b 到 a， 那 么 q 点它走的是多长时间呢？它速度是三， 那么第一次他走的就是从 a 到 d 走了三秒，从 d 到 c 走了三分之五秒， 从 c 到 b 依旧走三秒。然后呢，我们来看最后这句话很重要，当其中一个点到达终点的时候，另一个点也随之停止。那我们来算一下，整个他从 a 到 d 到 c 到 b 到 a， 他 也走了二十八个单位长度，但是他用的是三分之二十八秒， 那我们来看一下谁的时间比较短呢？三分之二十八铁定要小于十四秒，所以整体这道题是 q 点先到的，所以这道题听 q 的， 因此我们把这算出来，这是三的话，从 a 到 b 也是三分之五，这道题可以根据 q 点的速度加上 p 点的个别速度去进行分讨。 然后了第三个问说，当直线 p q 平分平行四边形 a、 b、 c 的 面积时候，那我们都知道想要平分平行四边形，必须过平行四边形的中点，对吧？那么一开始我们来看一下，我们从哪开始分堂呢？这种情况下 t 大 小于等于，比如说第一个 p 点是二分之五，这个时候 p 点在 a b 上， 点在一地上，那这个时候同学们想想这么一连，他会不会过这个点？不会，所以这种情况下，也就是 p 跟 q 他 们两个在林边上的时候，在这个平色林边上是不会产生平分面积的。什么时候呢？随着 p 点在动， q 点在动，那也就是这种情况下画出来对应图， 也就是当 q 点往前再走一点的时候， a 点往下走一点的时候，那这种情况下很有可能过这个点，对吧？哎，那这种情况下是 t 点从大于谁开始呢？也就是 t 得大于你至少得让 p 下来，所以也就得大于二分之五，小于等于啥呢？让 q 点在 a d 上运动， q 点在 a d 上运动，小于等于三， 这种情况下会有一个值。那我们根据平行四边形的特征，也就是上下两个三角形，由于内错角相等，由于对顶角相等，又由于平行四的这个 对角线平分这两个上下这俩小四钝角三角形全等，所以这里边我们找的关系就是 d q 等于 b p， 那 我们列出 d q 和 b p 的 长 d q， q 点从 这边走到这 d q 是 九，减去三 t 啊，就等于 b p， b p 是 它从这走走走，走到这，那它应该等于的是二 t 减 五，我们经过计算，也就是五 t 等于十四， t 等于五分之十四。好了，五分之十四正好是小于五分之十五的，在这个之间，那我们第一种情况就要了， 就是第一种分叉形式，那么二种同学们想一想，第二种 q 点应该是这种啊，掉了，这种不可能有。那么第三种情况，同学们来看一下，那就是 t 点大于这个三的时候是什么意思呢？ t 点大于三，也就是这个 q 点要下来到这里， 而 p 点还没下到 b c 这呢，就是下一段在 b c 这，这是二点五，这是四点五加一起，是啊，七，所以在七之间，这是不可能成立的，七之间，这整个都 pass 掉了，然后交换位置，同学们想想，然后点又上去了， q 点又下来了，那这种情况也不行， 什么时候行呢？是 p 点上去， q 点得过来的时候，得在这种对边上才可以，对不对？那这种情况下的时间应该是第四段，我们想一想， q 点一定得超过 b， 这所以 q 点到 b 的 时候是几呢？我们来看一下，他从这是九五十四，再加上 九二十三，所以他应该得大于三分之二十三才好啊。于三分之二十三，然后呢，小于等于最后的三分之二十八 这样的一个过程，那么这段我们依旧用 d p 等于的是 b q， 所以 这种情况列式就是 d p 等于 b q， 同理，根据全等可知。那么 d p 等于啥呢？我们来看，从这走走走走走走走走，那么 p 应该等于就是这段加上这段，加上这段减去 p 点走的路程，那也就是十九减去 二 t， 然后再来看这个 b q 啊 q q 点是从这走，一定要看着它的起点，九五九走了二十三，二十三，那这块是它走剩下的，那也就是它一共走了三 t， 所以 是三 t 减去二十三， 所以最后应该是五 t 等于的是多少呢？我们来看一下，五 t 等于的是四十二，所以 t 应该等于五分之四十二，对吧？四十二在不在我们这个范围内呢？我来算一下，五分之四十二大概是八点多，对吧？八点四， 然后这个呢，三分之二十八是九点多，三分之二十三呢，这个七点多，所以八点多夹在这个范围内，就要综上所述，这道题是五分之二或者是五分之四十二啊，这种题大家一定要注意他的分类讨论的这个时间啊，时间去控制你的这个结果， 你才能得到这个结果，不会遗漏。好吧，要想练这种的名校的题和好题的，可以进主任的粉丝群，好吧，跟着主任走，当满分选手。

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几何压轴比，你家孩子是不是也会出现这样的情况？辅助线他看答案能看懂，但是自己做的时候就想不起来怎么做。那这个问题主要产生的原因是有两个，第一个是孩子们他对八下的几何模型辅助线根本没有系统的概念，他可能零散的都知道，但是他穿不起来。 那第二个问题就是他不知道什么情况下该用哪个辅助线。那从今天开始，我将用四期视频把八下的几何模型辅助线从头去捋一下，那这四期视频每一期会讲这一块的内容，这四块内容分别是这四大模块， 然后这四大模块里面其中第三个是属于最难的，我这块已经标注出来了，它是属于高分一个选学内容。这高分指的是什么？指的是如果孩子你能数学稳定在幺幺五以上，你想去冲一百二满分的，我指的是一百二满分啊， 你想去冲满分的，那你就需要知道这两个，因为你在初三包括压轴题里面，他会经常出现倒角的问题，那倒角的话这些都是非常常用的。 看完这四期视频，孩子至少能建立一个完整的几何向量的体系，那孩子拿到题至少能知道往哪个方向去想，需要电子版资料，以及想进资料分享群的评论区留言。 因为内容很多，所以我不会像讲新课一样非常详细的去讲，我只是把这几个去梳理一下，把他们重要的程度以及特点去说明一下，那孩子们可以去依照这个去进行深入的去学习啊。 那首先第一个就是购物与解三角形，那这个的话它重要程度肯定非常高，也是最容易忽略的，因为孩子们都觉得购物理解三角形特别简单，他们理解的解三角形就是在直角三角形里求变长。但实际上解三角形是现在中考几何压轴最热门的考点之一， 就可以说最热门啊。那这里面的话，那解三角形指的是在三角形中求边长角度或者面积都算解三角形，这个三角形指的不是直角三角形，你任意的三角形都可以，那它的基本原则是三角形里面是有六个条件的， 那三边三角，那三边三角的话，已知任意三个条件我们都可以解除。其余的条件，比如说已知两角一边，那 a、 s 或 a s、 h 都属于两角一边啊。可是你不用去分顺序，你只要知道两角一边都可以，或者是两边一角也可以， 或者是一边一角加上另外两边的数量关系，这个是比较特殊的。那另两边数量关系指的是你这两个边能知道他们的加减数量关系。比如说举个例子啊， 你像这种呢， a、 b、 c， 比如说这是三，然后这个是三十度，你另外两边知道一个是 x， 一个是 x 加八，那像这种另外两边是能用同一个位数表示的，那他们俩放到一起就可以算一个条件， 所以加到一起三三十度和另两边关系，它也算三个条件。那接下来每种情况咱们分别去说一下。第一种，两边一角，两边一角指的是已知两边长和一个角，这个角是任意的角啊，那我们在求边长的时候，永远是做这个特殊角所对的高，你直接过 a 做这特殊角所对的高就可以了。然后尽量不要把已知的条件去拆开，你像这里给的是 ab 是 二， bc 是 四，如果你做的是过点 b 做垂的话，你把这特殊角就拆开了就不行了。那这里面咱们既然说做特殊角所对的高，所以你过 c 去做垂也是可以的。 然后第二个情况是两角一边，两角一边指的是已知任意两个角和一个对角，那像这里面角 b 是 六十角， c 是 四十五，然后你要求 a、 c 的 值的话，那咱们涉及到角肯定是一定做特殊角所对的高，所以这里面就是做这个角所对的高，直接这样做垂就可以。那这里面是有一个比较特殊的，就是如果这个角它是钝角怎么办？那咱们钝角这个角 不管两角一边还是两边一角里，这个角指的是这三角形的内角或者外角都可以，那你要找的特殊角就是三十、六十、四十五，那包括他们的一百二、一百、一百、三十五，这都属于特殊角。 你像这种呢，比如说他这个角 c 是 一百二，那你没法做一百二左右的高啊。那你就如果是钝角的话，你就做他的临补角，这时候你就把这个四十五和六十当成特殊角了，那你做他们俩的高就是过 a 座，而不是要过 c 座。有好多同学是过 c 座，你过 c 的 话，你把这特殊角一百二拆下去就没有用了， 所以一定是找到你最终要求的那三个特殊角，三十、四十五和六十。咱们出种只有这三个特殊角啊，其他的全通过他们去推出来的，所以你在求上弦的时候都是用他们三个所对的高。然后我们再看下一种情况，下一种情况一边一角及另外两边的数量关系， 一边角及另外两边乘法关系。我刚才简单提了一下，比如说这里面它角 b 给你一百五，然后 bc 是 三 ab 加 bc 是 十二，那咱是不是就可以设 ac 是 x， ab 是 x， ac 是 十二减 x， 你 设谁都可以啊，那这里面咱们是不是就要找一百五所对的特殊角，它的特殊角是不是三十？所以你要做它所对的高，那此时这个 a、 e 是 不是就二分之一 x， b e 就是 二分之三 x， 然后你在大的三角形 a、 c、 e 里面是不是就可以勾股定的方程去解 x 了？ x 求完 a、 b 就 知道。那第三种情况是已知三边关系， 已知三边关系的时候，我们可以求三边的高以及三角形的面积，那这时候咱们用的就是双勾股的一个方程，比如说你现在已知这个三边长分别是三、六、五，那你就可以做任意一个变成高，比如说我做的是 b、 c 变成高，说这是 e， 那此时咱们就以这个公共的高 a、 e 为等量关系列方程。你设 b， e 是 x， c， e 是 不是六减 x？ 那 么在 a、 b、 e 这个直角三角形里，是不是就有 a e 方是等于三方减 x 方，同时在 a、 c、 e 里面 a、 e 方是不是也等于五方减去六减 x 平方，咱是不是就可以去求出 x 了？ x 值求完之后你是不是就能求出 a、 e 的 值？那这时候三角形 a、 b、 c 面积是不是可以求了？ 那刚才咱们说的是常规的减三角形，那接下来说的是你需要用勾股定底的地方。用勾股定底，咱们常用的就是勾股方程，尤其是在像什么翻折呀或那正方形计算里，经常需要勾股方程。那勾股方程咱们分成以下几个。第一个是单勾股方程，这个比较简单， 单勾股方程指的是你就找一个直角三角形，然后你去列一个勾股定的方程就行了。那这种单勾股方程的特点就是这个三角形里一定是有一边长是你已知的，并且另外两边你是知道它们是等关系。比如说这里面 a、 c 的 值是五，你能知道那 ab 加 bc 是 十，那你就可以设 abc 是 x， a c， ab 就是 十减 x， 然后在这里列个勾股方程，咱们通常是出现在三折的问题里。 那第二种的话就是双股五方程，双股五方程也是比较隐晦，好多孩子在压轴图里看不出来的。双股五方程它的特点就是只要两个直角三角形有公共边， 你就可以以这个公共边为等正关系确定方程。那比如说像下面我出的这个情况，那这时候它既然有 a、 b 加 c， d 是 等于十的，那 b、 c 是 等于八，我们是不是就可以设 c， d 是 x， 那 ab 就是 十减 x。 你设个未知数之后，把其余的边表示出来，是不是就能以 a、 c 为等量关系去列和各五以内方程？ a、 c 方，你在 a、 c、 d 里面 a、 c 方是不是八方减 x 方，然后在 a、 b、 c 里面 a、 c 方，是不是就等于十减 x 的 平方，减六的平方。 那双股五方程的情况很多啊，只要俩三角形是有公共边，你都可以考虑是不是能用双股五。那我刚才列的这个是直角边，是公共的，它是不也有可能是斜边，是有公共边这种的？那你这时候是不是就以这个斜边为等量关系，去列个双股五方程？ 或者是这种情况是不也行？也是两个直角三角形 a、 b、 c 格，你可以以 a、 b、 c 为等量关系，是不是列个方程在 abd 里是不是就是 abd 方减去 b、 d 方，这都可以 勾股里的。第二个结论是这个勾股与旋转，那勾股与旋转的话，咱们主要是分成两大类啊，一是绊脚模型，第二个手拉手。那至于其他的，其实你都可以近似的给它看成是构造手拉手。那这里面有个选学的内容是飞马点，咱们放在最后说。 首先第一个半角模型，半角模型的话也是在正方形里经常会出现的半角模型，我后面的正方形里就不会再重新去详细的去讲这个了。然后我们看啊，那在半角模型里面它常见的情况，第一个就是二倍角与 这个半角是有公共顶点的，那二倍角与半角有公共顶点的话，那此时你看这个情况，这时候就是这个二倍角是在这个半角的外面，或者是说这个半角完全在二倍角的里面。 那第二个情况是这个半角在二倍角的外面一部分，那不管是哪种情况，咱们半角模型旋转的原则都一样，大家就记住一点啊，半角模型是需要挣两个全等的，第一个是你最开始做的辅助线，这个旋转全等，因为咱们旋转是不能做说你把那个三角旋转到哪的， 所以你需要通过什么延长啊，做角啊，先去把这个全等方程做出来，做完之后先正这个旋转的全等。第二个是以半角的一边为角平分线，去证明那个翻折的全等，那这个是什么意思呢？大家这些题可以自己去正啊，然后如果有不明白的可以评论区留言。 我们看这里面，比如说以他第一个举例子，我们半角模型刚才说了核心是什么核心？你要确定你旋转的是谁，对吧？他有两个重要的地方，第一个你需要确定什么东西是半角模型那半角模型的特点，第一个就是只要有一个二倍角和一个半角，他俩是有共同顶点的，这就属于半角模型。那 分情况你就可以分成这个半角在二倍角里面，也可以在这二倍角外面，但不管哪个，接下来就是第二个原则，你旋转的时候你识别出来半角模型，你接下来你要旋转，那你旋转的是谁？ 记着旋转的时候你先把这个半角和二倍角找到，你找到之后，你把这个半角它是不是有两条边，一个边，咱们给它看成左侧的边，看左边右侧边，那二倍角是不是也有两个边，一个是左侧边，一个是右侧边， 那所以咱们旋转的时候，旋转的就是半角有二倍二倍角，这个两个左所围的三角形，或者是两个右所围的三角形。也就是说你旋转的是可以是这两个左侧边所围的三角形， 或者是这两个右侧边所围的三角形，那在第二个图里面，你看左是不是这个，那 这个半角的左是这个，然后二倍角和半角的右是这个，那你旋转的左是不就是他俩所围的三角形，或者是旋转的右所围的三角形？是不？这个，那对于我给的这两个例子里面，那也是咱们经常需要证明的东西。那像这里旋转，那咱们比如说举个例子，你找一下啊，这是左， 这个是右，然后 a、 d 是 左， a、 e 是 右，所以你旋转的是 a、 b、 d 这个三角形，或者是 a、 c、 e 这个三角形，那对于下面这个图，左侧是 ab， 右侧是 a、 c， 左侧是 a、 d， 右侧是 a、 e， 那 这时候你旋转的是不就是两个左 a、 b、 d 所围的三角形，或者是两个右 a、 c、 e 所围的三角形？那不管哪种情况，旋转的原则，所有的旋转啊，包括手拉手啥的都是一样原则，就是绕着相等边重合，那比如说第一个， 那相等边指的是不是 a、 b 和 a、 c， 你 绕到相等边重合，重合顶点 a 旋转，使相等边重合，所以比如说你转的是 a、 b、 d， 那 是不是就把 a、 b 转到 a、 c 上了？是不是相当于旋转九十度，所以 a、 d 就 转到这了。 那第二个图，比如说你旋转的右侧这个这个三角形啊，那咱们使相等边重合，然后绕重合顶点旋转，把相等边转到重合的位置，把 a、 c 转到 ab 上来。所以那这时候是不就是相当于你逆时针、顺时针转了九十度，顺时针转九十度，那这个 a、 e 是 不是也是转九十度往下，对吧？是这样的， 所以半角模型它的两个重点，一，你要识别半角模型，第二个你要知道旋转的问题，你旋转的是谁， 然后下面这一点是属于半角模型里的特殊结论，他这里没有半角，但是也是给他归属到半角模型这旋转里的啊，那方法是一样的，就是对于等腰直角三角形 abc 来说，你在底边 bc 上 任意取点 d， 那 这两两个是不都是这个点 d， 一个是在 bc 的 线段上，一个是在 bc 的 延长线上，那你不管这个点 d 在 哪，只要在 bc 上你取完之后你就能发现这里这三个线段 d a d b， d c， 下面也是 d a d b， d c， 它们三是有数量关系的，是能组成直角三角形的，不是说是能正常组成直角三角形啊，是一个边能组成直角三角形，然后另外一个边是当另一个 直角三角形的斜边，就是他们三是存在这种数量关系的，我们要知道，那这里面的特点是指的是等腰直角三角形，你在底边上任意取一个点，可以在延长线上，也可以在这边上，然后你取的这个点到这个等边三角形，到这个等腰直角三角形三个顶点 到他三个顶点，这三条边是有数量关系的，我们知道这个就行。然后正法的话还是旋转还是一样的，有不明白的可以评论区连。然后我们看下一个就手拉手 那共舞里面的第二个旋转，就手拉手，那对于手拉手的旋转的话，我们看手拉手的旋转，就是分为对角互补，还有 对角互余这种的，还有同方等角，他的核心都是要构造手拉手，我这个指的不是已知手拉手的情况下，你去正是。你什么时候需要去构造手拉手？因为你已知手拉手去正了，大家都知道这八上学的，那你什么情况需要构造手拉手？那常见的就是这三个情况。 第一个那是对角互补，那比如说像我这里面，咱们上学期也学过对角互补四边形，对吧？那对角互补四边形其实是不是勾到个手拉手等等， 那这里面你看有一个 a、 b 等于 a、 c， 然后 a 和 b 这两个角是互补的，当出现邻边相等， a、 b 等于 a、 c， 并且对角互补的四边形的时候，我们一定用的是旋转，那旋转原则是一样的，矢量的面成盒，所以你可以把这个 a、 c、 d 往这边转， 也可以把这个 a、 b、 d 往上面转，都可以的。那第二个是对角互余，对角互余是大家比较容易忽略的，那这时候对角互余的话，咱们是通过构造手拉手，把，你要把这里面互余的两个角转化到同一个直角上去， 这里面你看 a、 b、 c 等腰值，所以这个角 b 是 不是四十五，那 a、 d、 c 也是四十五，你发现这个四边形是不对角互余呢？对角互余，那咱们思路就是我可以通过旋转，比如说我可以在以 a、 d 为边，在上面构造一个等腰值，那构造等腰值之后，是不是两个等腰值？手拉手全等 就有 a、 b、 d 和 a、 c、 e 是 全等的，全等之后咱是不是就能得到这里？哎，你发现这个角是不是四十五了？所以此时 c、 d、 e 是 不是就九十了？这个咱就是通过勾到手拉手，把多余的两个角转化到同一个直角，那后面这个结就可以正了。 第三个是同方等角，也是正方形里非常容易出现的。那正方形也因为大家都学到正方形啊。咱们简单说一下，你像这种的哎，然后我再取一个直角，这个是不是就是这种情况下？那你怎么去看？大家可能都看不出来啊？你看如果我把这里面连上， 你就看这个三角形，这个等腰值看到了吧？这个等腰值他是不是一个等腰值？同时这块是不是有一个直角？ 你发现这个图，我现在拿红色笔画这个，它是不是就是我这种画的同旁同角？同旁同角什么意思？指的是两个直角， 他们或者说两个相等的角，他们对着一条公共的边，你像这里面 a， 这是不是直角？ b， a， c， 然后 b， d， c 是 不是也是直角？它俩所对的一条公共的边， bc 斜边，对吧？ 这个就属于同旁等角，指的是在这公共边同一侧的两相等角。那还有跟他类似的是不是等边？上学的手拉手大家是比较熟悉的，这有一个等边，然后我这块再有一个六十，哎，他是不是就同旁等角？那此时我一把它一连，是不是可以勾到手拉手了？那同旁等角的时候还有一个名叫角分角等幺，这个也是上学期学的。 然后第四个情况的话，就是常见的勾动力旋转的一个题型，已知一个点与三个顶点相连，然后 他这里是有一个点到三个顶点的距离，以及这三条边中其中两个边夹角，指的是点到三个顶点的距离以及夹角的问题。那这时候咱们也是通过旋转，他也会在正方形里面出，他是一样的啊， 就是不只是在那个三角形里，他可以这样，比如说这是一二，然后这是根号五，他让你求这个角的度数。像这种类似的题，那这里面咱的方法还是旋转 那像我以这个图举例子，那既然是有等腰值，所以咱是不是旋转的方式一样的绕相等边重合顶点，那这里相等边是不 a b 和 a c 重合顶点是不 a， 绕这个重合顶点旋转，那是不就是把相当于把 ab 六转到这块了，对吧？转到这了，然后再一连就可以了。 那对于最后一个费马点的旋转，这个是选学的内容啊。对于高分段的内容，你高分段的孩子，比如说一百一以上的，你为了拓展你的题型，你为了拓展你的积累度，你可以去看看这个。那咱们辽宁呢，很少是考这种费马点的，尤其是大连费马点考的非常非常非常少。 然后我们看啊，这费马点什么意思？他和刚才的这个题型是非常像的，这里面是一个点到三个顶点的距离，然后求度数， 那费马点是求一个点到三个顶点距离和的最小值，它的特点就是求一个点到三个顶点距离和最小值，一定这种的才是属于费马点。那费马点的原则，咱们是旋转，你是绕着这个相等边重复顶点旋转，对吧？那只不过这时候费马点它是没有相等边了，要任意的三角形都是可以的。 不管什么图的非马点，比如说最初时有个三角形 a、 b、 c， 你 这里要找点 d 在 哪的时候，求这个 d， a 加 d， b 加 d、 c 最小方法都是一样的，非马点方法都是一样的啊，就是绕这个三角形的顶点， 你绕这个顶点向外侧旋转六十度，它不是向内，不是向同侧，向外侧指的是你要旋转这个 a、 b、 d， 你就要往这边旋转，你如果旋转的是 b、 d、 c 这三个旋，就要往下旋转，如果旋转的是 a、 b、 c， 就 要往左面旋转，一定是这样的。旋转的话，不管是给的是什么图，给的是三十度、六十度或正方形等，腰直什么都是一样的，永远是旋转六十度啊，一定是旋转六十度的，你看为什么要旋转六十度？比如说咱们这里面， 比如说我后面右面画的这个图啊，那假如说现在咱们旋转的就是 a、 b、 d 这个三角形，那你把它向外侧旋转六十度，你是不是就能构造出一个等边三角形 a、 d、 e 啊？那 a、 d、 e 是 等边，那所以这里的 a、 d 是不是就转化成 d、 e？ 同时咱们最开始要求的这个 b、 d 是 不是现在变成了 e、 f， 对 吧？那我们要求的这三边现在是不就转化成了 e、 f 加 e、 d 加 d、 c， 它们三值和最小值，那其中咱们因为旋转是六十度的，所以 f 是 不定值固定的点， c 也是固定的点，那什么时候值和最小啊？是不是两点之间旋转最短，直接连就可以了？那有同学就想，老师，那我那是不是只要说点 p 在 这个直线上都可以啊？ 理论上是只要在这个直线都可以，对吧？我旋转 a、 b、 d 的 时候，你发现点 p 只要在这个直线上都可以，这块就属于一个拓展啊，基本上不会问你这点 p 具体在哪，它最多让求最小值。那咱们拓展一下，你看咱们研究一下这个点 p 具体在哪 啊？是这个点 d 啊，具体在哪？如果我旋转 a、 b、 d 的 话，就会发现这个点 d 需要在 f、 c 这个线上是不是才能有最小的？如果旋转的是黄色这个 b、 d、 c， 你是不就发现这个点 d 需要在这个 a、 h 这个线上它才能最小的？那如果咱们旋转的是蓝色的这个 a、 d、 c 的 话，你发现这里的点 d 是不就要在这里 b、 j 这条线上它才是最短的，所以点 b 你 想既点 d 啊，既在这上，也在这上，也在这上，那所以点 d 是 不就是他们三的交点？这里面他们三一定是交于同一点，所以最后点 d 一定是在这个点的位置上的时候，它才是最小的，而不是在整个线上运动都可以。 第三个部分，勾股与翻折，勾股与翻折不是说一个简单的一个翻折的问题，那这里面咱们会把涉及到翻折的问题都会总结一下。其实八上咱们也说过，那翻折的问题的常见思路的话，是需要找到直角三角形去列勾股定律方程，就前面我说那个单勾股方程或双勾股方程， 那翻折的思想，就你涉及到翻折思想的辅助线都有哪些？有以下这几个。第一个，角平行线，这是大家最熟悉的，只要涉及到角平行线都是属于翻折的。 你看不管角平分线里的双垂还是这里的单垂，还是截相等线段，对吧？他都是相当于以角平分线为对称轴构造的两个三角形全等，这三个是不都是相当于角平分线为对称轴构造的翻折全等？ 所以角平分线你学好了之后，你就会明白，他其实就是翻折，你就不用记那个单垂、双垂和截相等了，根据不同的题就完事了。那第二个翻折是等腰对称，从这块开始， 基本上百分之九十的孩子就没接触过了，这个就属于很难的，在亚洲如果他作为亚洲题出现的话，基本大部分孩子就是做不出来的。那这里面等于二对称，指的是只要有两个相等的边，你就可以去考虑构造反折，因为他的应用性太广了，所以孩子们你根本想不起来用。 那什么意思。比如说啊，我以下面这两个图举例的，以这两个图吧，先咱们先看后面这俩图啊， 你看这里面都有 a、 b 等于 a、 c， 那 是不说明 a、 b、 c 的。 等腰出现等腰三角形的时候，咱们就可以以这个等腰三角形的角平分线，就是以以这个等腰三角形的对称轴，以它的对称轴为新的对称轴， 把这个图形进行左右翻折对称对称之后构造成一个新的轴对称图形。那比如说现在这里的原图是不有一个 a、 b、 c， 然后左面还有一个 a、 d， 那 我以这个对称轴 af 为对称轴，我把它翻折左右进行翻折对称，是不就能把左面这个绿色三角形对称到右面来？ 那对称之后是不是也变成一个新的轴对称图形了？那也可以像右面这种情况吧，如果原图是 e、 a、 c 是 在外右面的，那你以这个原来的对称轴 af 为对称轴，把那个右面的三角形 e、 a、 c 是 不是也能对称到左面去？这个就是翻折对称的一个思路， 那有一个比较特殊的，你像这种的就是它没有三角形，它可以只要给你 a、 b 等于 a、 c 有 俩相同的边就可以了，那你就可以以它的对称轴为对称轴进行反折对称。那这里面如果圆图这种的，这是 a、 b、 c、 e 是 这样，那你翻折之后是不是左右进行翻折对线，是不就相当于这样了，对吧？那他常见的，你比如说像这种图，以前大连的期末考试考过好多回这种类似的，比如说这有个 a、 b、 c， 然后这个 d 已知这里呢是 b、 d 等于 bc， 那 这时候是不是相当于出现的等腰三角形 b、 d、 c， 那 你就可以以它的对称轴，以这个角 b 的 角平行线为对称轴进行翻折。那翻完之后我是不是就能把这个图，哎，我用黑色笔画啊，就能把这里的 b、 a 是 不是翻折到右面来， 对吧？那就变成这样。所以这时候是不是就相当于把这个三角形 b、 c、 a 把它进行左右翻折对折，翻折成了这个 b、 d、 e 上了，对不对？第三种翻折就是属于这个背半角的翻折构造的问题，那因为出现二倍角的时候， 咱们的思路有一种也是需要去翻折，比如说出现二倍角，你可以做这个二倍角的角平分线就能勾到出单倍的小角了。那如果出现题里出现了二倍角和单倍角，比如说我举个例子啊，像这种的， 这儿这个是 a、 b、 c， 这是阿尔法，这是阿尔，那出现二倍角了，我是不是就可以去构造这个二倍角的角平分线？那二倍角角平分线出现角平分线是不是相当于翻折的辅助线，对吧？那第二种，我是不是也可以把这个单倍小角把它往上翻， 把它往上翻过来，这时候就也出现一个 r 反，也出现了二倍角，所以出现二倍角的时候也有一个辅助线翻折。那第四个翻折的思想就是这个直角三角形的翻折，比如说出现 abc 这种直角三角形， 那咱就可以以 a、 c 为边，把 abc 翻到左边来，或者以 bc 为边，把 abc 翻到下面，这都是可以的。那咱们看一个立体啊， 这里面你看这个题，它首先它给的这个角 c 是 九十度的，然后这里有一个条件是 a、 d 等于 b、 d， 咱们画一下， 那 a、 d 等于 b， d 是 个等腰三角形，对吧？然后再看它，这里面说角 b、 e、 d 是 四十五度的， b、 d 这个角四十五度，然后其中 c、 d 是 等于五， a、 e 是 等于六，要求这里的 a、 c， 那 我们等 冷静一瞅，啥速度没有啊？有四十五度，肯定好多孩子想着勾到勾到等，那勾到等号值，这你发现没有用吧？你过 d 做也不行，你这样做垂也不行，那你这里你就看啊，这里是不是有一个等腰三角形 d， a 等于 d、 b， 所以 咱是不是可以以它的角平分线为对称进行左右翻转对称，我可以把这个左面三角形 a、 c、 d， 我 是不是翻到右面？ 所以这里的辅助线咱们可以说延长 a、 d 至点 f， 使 b、 f 等于 dc， 那 现在咱是不就能推出三角形 a、 d、 c 全等于三角形 b、 d、 f， 那 b、 d、 f 的 边 d、 f 是 不是五？ 那我们还能得到啥？那因为咱现在全等之后，原来角 c 九十度，所以这个角 f 是 不是也是等于九十度的？那说明这里再加上这四十五度，说明这个 b、 f 是 不是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形的话，那我们能得到什么呢？ 这里面你看那等效值是不是就有这里的 b f 等于 e f， 那 b f 等于 e f 之后呢？我们是不是就可以设个未知数？你设这里的 d e 是 x， 那 你发现这个 a、 d 是 不就等于六加 x， 所以 这个 b、 d 是 不是也是六加？ 那此时你发现这里的 b、 f 是 不是就是五加 f？ 因为 b f 等于 e f 嘛？所以接下来是不是就是用的前面咱们说的勾股方程，你在 b、 d、 f 里面沟通里去解出这个 x 值 x 求完，那 a、 c 的 值是不就等于 b、 f 就 等于这个五加 x 就 完事了？

你家孩子是不是也存在这样的问题，几何压轴题，辅助线不知道往哪个方向想，或者看答案能看懂，但是不知道辅助线怎么来的，为什么这么做？那这个视频你一定要看完，我正在用四期视频梳理整个八下的几何模型辅助线，帮助孩子建立完整的知识体系， 他看完这个至少能拿到题，知道往哪个方向去想。那咱们前面第一期已经讲过了勾股动力的三大应用，今天是第二期，讲的是四边形的一个变换，需要电子版资料的评论区留言。 咱们今天讲的是这个第二块的内容，主要是包括了这四个部分，那其中这个边角构造的话，边角构造其实咱们学全等的时候就已经学过了，那这些部分里面这四个都是特别特别重要的， 那像这个四六七都是属于你必会的内容，那这个平移构造的这个问题， 他是属于压轴题里，如果出现的话，他一定是难度是很高的，所以这个你可以是高分段同学，你是选学的，如果你能到一百以上，我就建议你一定是要学这个，如果你是刚刚过一百分，那你这个就是可学可不学，因为你刚过一百分呢，这个难度压轴题你做起来是比较吃力的。那我们先看第一个边角构造， 边角构造的核心特点啊，只要出现一组角相等或互补，那这组角的邻边也相等的话，那咱们就可以去构造全等三角形。所以它的特点是非常明显的，就只要有一组角是相等的，并且这组角的邻边也相等，那你就可以去构造角的另一边相等， 这样就能出来 s s a s 的 全等。或者是如果出现了一组角和这个角的对边相等的话，你也可以选择去构造这个边角构造全等，只不过这时候你构造的方式稍微变化了一下。 至于互补的情况，其实就是相等的一个特殊情况，就是相等的一个变形。我们先看这里的第一个，就是一边一角的一个基本图，那对于一边角构造的话，你像这里面比如说有 a、 b 等于 d e 体体出现这个条件了。其次还有这个角 b 等于角 e， 你 只要推边推角，发现了一组角是相等的， 并且角的邻边这里的 a、 b 和 d、 e 是 不是相等的，那你就可以去选择构造角的另一边，让角的另一边相等，他们俩是不是能组成全等三角形？ 那所以构造的方式有下面的第一种，比如说你可以把这里的 b、 c 延长，使这里的 b、 g， 咱们这里你可以做一个 b g 等于 e、 f， 那 现在是不是就能构造出这个三角形 a、 b、 g 和三角形 e、 f 全等了？ 或者是你可以在这个长边 e、 f 上截取一段，比如说你可以截取这个 e、 h 等于 b、 c， 那 这时候这个三角形 d、 e、 h 和这个三角形 a、 b、 c 是 不是也全等了？ 所以角和角的一边相等，你只要截取角的另一边相等，是不是能构造出 s a、 s 全等？那它的应用条件是非常非常广的，也是现在重点出现的一个类型。第二个就是我刚才说的一边一角互补，如果出现角互补的话，那其实咱们就给它还原成角相等就行， 因为两个角互补，那指着这个角的邻补角是不相等的，那以这里面举例子，你先角 b 和角 e 是 互补的，那并且这组互补的角，它的邻边你看是不是有 ab 和 d、 e 是 相等的？那咱们的构造方式，你第一种可以是把这个小，把这个 d、 e、 f 延长，延长出来之后它这个补角是不是和角 b 就 相等了？那现在是不就变成了刚才咱们说的一边一角相等的，邻边是相等的， 那咱们截取角的另一边 b、 c 等于 e、 m， 是 不就能得到这两个绿色的三角形等？那第二种形式你可以把这里的 c、 b 延长，那是不是就能得到这两个叉角是相等角 e 和这个角 abm 相等， 那这时候也是一边一角相等，两个叉角相等，以及叉角的邻边 a、 b 和 d、 e 相等，那再截取角的另一边，使 b、 m 等于 e、 f， 是 不就能构造出这两个绿色的三角形相等？这个就是属于一边一角相等它的一种变形，属于给你的一个角互补和邻边相等的情况。 那我们再看下一个，下一个部分是平移，那对于平移的问题，咱们说适合高分段，你选学的一百一以上的，我建议你一定是要研究这个东西。像这回大连三十四中的月考题，那个期中考试的题就出现了，最后压轴题就是出现了一个平移的问题， 这个题的得分率就非常低，很多孩子都是不会做的。那我们看啊，就是什么时候你适合用平移，比如说你题里遇到这种 x 型线段的时候，你就可以去平移，既有两条 x 型线段，比如说有一个 a、 b 和 c、 d 给你它俩相等了，或者让你求这个角，比如说这种角让你求这个角的数量关系， 或者角的位置关系，它俩它俩的假角多少度这种，那再比如说在正方形里经常出现的，你像这种， 比如说是这样的，这给你一个四十五度，那咱们通常也是通过平移的方式去解决，我这里面通过平移我就可以把他们这两个线段的端点转化到同一条边上去，那比如说咱们看啊， 你比如说是在这种情况下，那现在已知的是 ab 和 cd 这两个边相等，那咱们通过平移，比如说第一个里面我是不是可以把 ab 往这平移， 使平移之后这个点 a 和点 d 重合，那这样你一定要记着平移的话，一是会出来平行四边形，第二个是出会出来等腰三角形，你看这里面是不就出现了 a、 b、 b 撇 d 撇是个等腰，是个平行四边形。 同时那因为原来的 a、 b 和 c、 d 相等，现在是不是就变成了 a、 c、 d 和这个 b 撇、 d， 它们俩相等，就变成了一个等腰三角形？ 那这里平移方式很多，我只要平移之后使这个相等边的端点重合就都可以，那所以这个二、三、四这几个方式都可以。那对于平移的问题，咱们常见的是在正方形里的这种十字架结构， 比如说咱们正方形里是不是有一个圆图的十字架，比如说正方形里现在有两个线，它俩相等的相等是不是能得到垂直？那通常它的变形的话是有这种形式的，比如说现在是有两个线是这样垂直的， 这样那咱们就可以通过把这两个线平移回初，使的这种把它俩顶点平移回正方形的顶点，是不是能变成最初的十字架的结构？比如说我把这个线往上平移，把它平移到这了， 然后再把这条线往这平，把它平移到这来，你看是不是就变成了最初始的十字架里头？那把它变个形，是不就是咱们学的正方形的半角模型？咱们正方形的学完半角模型之后，你看如果现在是有两条线是这样的，我给大家画一下，有一条线是在这， 然后另一条线是在这，那我是不是可以通过平移？我把这两条线，比如说我把这个线往这平移，是不是就能把它的端点平移回正方形的顶点， 然后第二个线往上平移，是不就能把它的端点平移到这了？那现在这个角是不就变成了一个四十五度的一个半角模型？假如说已知这个角是四十五度啊，你平移完事之后，是不就平移回半角模型的情况了？所以在正方形里面咱们用平移的方式是非常多的啊。 下面这两个图就是我给他一个正方形的常见的平移的结构。那咱们通过这道题来看一下平移的问题你该怎么去解决？ 你看这里面他给了角十九度，又给了这里的 b、 d 和 c、 e 相等，有他们俩相等，还有一个 b、 c 和 a、 e 相等， 现在要求这个角度数，求这个角度数，指着我们是不是要求 a、 d 与 b、 e 的 夹角，那像这种交叉型的线段求夹角，那是不是可以通过平移的方式？所以我第一种方式，我可以把这里的 a、 d 往上平移，把这个 d 平移到 b 的 位置上。平移之后， 那咱的辅助线的话，因为平行之后你是勾到平行四边形的，所以你可以说做 a m 平行 bc， 且 a m 等于 b d， 那 现在这个 a m、 b d 是 不就是一个平行四边形？平行四边形对边平行相等，是不就能得到 a、 d 和 b m？ 他俩是平行相等的，那咱们想求这个 a、 f、 e 的 度数，现在是不只要求这个 m、 b、 e 的 度数就行，那我们再看他给的条件里，那对于这题给的条件，你看他是不是给了一个 b、 d 是等于 c、 e 的？ 那咱们平移之后，现在是不是就有 a m 等于 c e 有 这俩边相等，同时还有这个 a、 e 和 b c 相等，所以咱们怎么办？是不就连接 em， 构造这组一线三垂的全等？连完 em 之后，它俩是不是就直接 s s 全等了？ 全等之后是不就能推出三角形 b e m？ 它是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形，它的角 m、 b、 e 是 不就是四十五度？所以它的同位角这个角 a、 f、 e 是 不也四十五？最后答案就是 四十五度，那咱们再来看下一种，下一种就是四边形旋转，旋转和翻折绝对是几何压轴里面出现频率最高的这个问题， 那图形的三大运动，平移、旋转、翻折，其中平移出现的相对来说少一点，因为跟他相关的辅助线既灵活，相对来说也比较少一点，但是旋转和翻折里面就非常多，所以旋转和翻折他的出题频率绝对是远高于平移的问题。 那我们看平旋转的问题通常用用了什么方法？那常见的题型，我们先看四边形的旋转，通常在菱形、矩形和正方形里面， 其中菱形和矩形里面只要出现三十六十了，是不就一定会出现等腰或者是等边三角形，那有等边三角形旋转，咱是不通常都是构造手拉手， 所以旋转的话，手拉手绝对是最常用的题型之一。其次正方形里面是不也会出现半角和手拉手的旋转？然后正方形里其实还有一个比较特殊的啊，叫对角互补四边形，对互四的话，你可以把它看成是构造一个手拉手的问题。 那最常见的旋转是在菱形和正方形中出现的旋转，那我们看旋转的原则，不管是哪种旋转，旋转的方法其实跟咱们上上期视频讲的购物工具旋转其实是一样的啊。旋转就几类方法，第一个是构造手拉手， 第二个是半角模型，第三个是对角互补四边形，那第四个像飞马点什么在四边形就比较少了，那对于这三个，他不管哪种方式旋转，只要难一点的题，都是你自己需要去构造辅助线旋转， 那你就要需要记住辅助线旋转，你识别出旋转之后，你你就要知道旋转的原则是什么。不管哪种旋转，你都是先找到一组公共边的顶点，那比如说有一组相等边，他俩有公共顶点，那咱们就绕着这个相等边的重合顶点旋转。旋转多少度呢？就是把这个相等边转到另一个相等边上， 就这样旋转，比如说在这个图里边，那这时候我是不是可以把这 a、 b、 e 绕点 b 旋转，把这个 b、 a 是 不能转到 b、 c 这条线上来，是不就能把 b、 a、 e 转成了 b、 a、 f 上？那比如说第二个图里是不也可以是一样的方式， 那这里面我是不是就可以把这里的 e、 c 往上转，转到这个 e、 f 上来，对吧？这里面相当于其实咱是不就是构造的一个手拉手的全等，这里面你可以把三角形 a、 b、 c 看成一个等边，然后 f、 e、 c 也是一个等边，两个等边，然后通过旋转去构造手拉手的全等。 最后就是这种的绊脚模型旋转，绊脚模型旋转的话咱们在第一期视频里已经讲了，所以咱们不再去多说他的原则什么的，你就看一下在常见的正方形的绊脚模型旋转，他通常是什么样就可以，如果有绊脚模型旋转不太清楚的，可以去看一下第一期的视频。 最后就是这个四边形的翻折，那四边形的翻折，其实关于翻折的问题，他的辅助线的话，比如说像角平分线的翻折，或者是等腰对称的翻折，他是都是属于翻折。但咱们今天只说这个关于四边形翻折， 那四边形翻折的话，通常出现在矩形、菱形、正方形里面，那我们要注意的是以下几个点，第一个 辅助线，常见的翻折的辅助线的思路是连接对应点的连线，这个是同学们最容易忽略的，因为只要是翻折就是轴对称，那轴对称咱们在八上学全能上学的时候学过在轴对称的那一章，如果是北师大版的，他们是在旗下学的， 那关于轴对称里面有一解释说轴对称的性质，对应点的连线是不一定是被这个对称轴垂直平分的。 比如说以这个图一第一个图举例子，我把这个小的四边形 a、 b、 f、 e 翻到了上面来，翻完之后你看这里对应点是不是 a 和 g， 咱们对应点的连线是不一定被这个对称轴 e、 f 是 垂直平分的， 那这个是非常有用的一个条件，或者是你要连接 b、 h、 b、 h 是 不是也是被 e、 f 垂直平分？那第二个就是找直角三角形，因为翻折，尤其是矩形或菱形的翻折，咱们通常的方法是你要找一个直角三角形去列勾股盈利方程，所以这里的核心你是要找到哪个直角三角形去列勾股盈利方程， 有时候是需要双钩五分是比较麻烦的。然后第三个就是在翻折问题里，我们通常会出现等腰三角形，大家一定要注意你翻折之后是否存在等腰三角形，还是以这个头举例的。你比如说翻折之后，那翻折的对应角，这俩角是不相等，所以这个对称轴是不相当于这个大角的角平行 那角平分线再加上平行这俩角相等，是不就能出现直角三角形？也就是说这里的 i、 f 和这个 i、 e， 它俩是不是一个等腰？那对于第二个图里，你看翻折对应角相等，然后等于它的内错角是不是也是有 i f 等于 i e， 那 后面图也是翻折这俩角相等，然后等于它的内错角是不是也是有 i f 和 i e？ 后面每个图都是，所以对于翻折的问题的话，如果是四边形翻折，我们要记得那个辅助线连接对应点的连线， 以及去找它是否存在直角三角形，然后如果求边长的话，你就可能是需要用到找个直角三角形去列勾股定律的方程。

八、下期中必考的填空题，压轴题，就这道题，整个班级全军覆没，他是直接把全等三角形和平行四边形的几何模型辅助线构造来了一个大综合，很有难度，但是别担心，一分钟带你彻底学透，我们一起来看题。 说如图呢，给了我们一个直角三角形 a、 b、 c 角 b 的 度数为九十度，然后又告诉我们 dc 和 bc 是 垂直的，这个呢，也是直角角 d、 f、 c 的 度数为四十五度。我们简单去标注一下，又告诉我们 a、 c 这个线段长度，这一段为二倍，根号十五， c、 e 的 这一段等的是三倍，根号三，若 b、 e 等于的是 d、 c， 也就意味着这一段和这一段是相等的。问 a、 e 这个线段长度， 他的线段长度应该是多少？首先呢，我们拿到这道题啊，你看这道题长得像不像我们曾经学过的一个模型，叫做一线三垂直全等，但是他又不完全是，只是长得比较像而已。一线三垂直模型，我们要求的是这一条线当中应该有三个垂直，但我们现在发现这有一个垂直， 这也有个垂直，你说这个地方是垂直吗？没告诉我们，实际上这个地方呢，其实给了是一个大钝角，他并不是垂直的。 那咋办呢？其实我们数学当中啊，一个难点就是看似比较熟悉，但又不是那个东西的话，我们该怎么办？想办法进行构造。所以这道题的话，我就直接可以过点 e 去做一个这样的垂直。然后呢，交 b、 a 的 延长线于一个点，这个点呢就是我们的点 m， 此时它是垂直的，不就出现了一条线当中一二三三个垂直了吗？所以说在这我就能够立马得到三角形 m b， e 和三角形 e、 c、 d 它们两个呢是全等的，那么全等之后是不是就会有对应的边是相等的，对角也是相等的，那么对应的边 ce 这段是三倍根号三，所以说呢，我们 mb 这段呢，也是三倍根号三，那么我们再来看 e d 这段，是不是和 e m 它俩呢也是相等的？好，那你来看啊， e d 既然和 e m 相等，这个地方又是个直角，你能够去想到啥？ 我们在学习一线三垂直模型全等的时候，是不是一开始它应该是个等腰值，然后呢不断的把它去扩展成了一个一线三垂直全等？所以这道题呢，其实正好是反过来来的，你是不是可以直接把我们的 m d 去经连接，连完 m d 之后， m， e、 d 这个三角形不就是个等腰直角三角形了吗？那它这个等腰直角三角形的话，你说这个角度数是多少度？ 是不是也为四十五度？那么它为四十五度的话，这个角也是四十五度内错角相等，两直线平行，所以说在这里面我们就会有 a c 这一段和我们 m d 这一段，它俩呢应该是平行的。而 新条件又告诉我们这个是垂直的，这个也是垂直的，是不也就意味着我 am 这一段和 cd 这一段，它呢也是平行的，所以说这个地方呢，它就变成了一个平行四边形， 那平行四边形对边相等吧。条件当中告诉我们 a c 这一段，这个部分，它的长度呢为二倍，刚好十五， 所以说 md 这个线段长度为多少？是不是也为二倍根号十五？又意味着等腰直角三角形的那个斜边是二倍根号十五，那这个直角边是多少呢？是不是我用斜边直接除以根号二就可以了？ 二倍根号十五去除以根号二，这个结果呢，也就变成了根号三十。 m、 e 这个线段长度为根号三十。那 b、 e 这个线段长度是不是就可求了？ 在 m、 b、 e 这个直角三角形当中，利用勾股定律嘛，根号三十的平方减去三倍根号三的平方开根号，这个结果呢，也就变成了根号三。那 b、 e 为根号三的话，是不是 c、 d 它也为根号三？然后这又是个平行四边形，它是根号三，是不是 am 的 这段也为根号三？ 那刚才我们又知道 b、 m 这个总长为三倍根号三。所以说 ab 的 这段长度为多少为二倍根号三。我们一口气 把所有能够表示的线段长度全部的都表示了出来。最后让我们求啥？求的是 a、 e 这一段， a e 在 这，你看 a、 e 是 不是也是直角三角形的一个斜边呀？这个直角三角形两个直角边，一个是二倍根号三， 一个是根号三。直接利用勾股定律呗，二倍根号三的平方加上根号三的平方开根号，结果是多少？根号十五这道题就结束了。关于全等和平四边形的一道综合的问题，很有难度，你学会了吗？搞定。

今天给大家讲勾股定律的正定律和逆定律它的实际应用，我们来看一下这道题，他说如图，我的 a、 b 等于十三，那么这类题我们肯定就是有条件，我们在题目上我就把这些条件可以给它标上， ab 等于十三，然后我的 bc 呢？等于三啊，这个图不是很标准啊，但是没关系，我们只要知道数值就可以了，那么我们的 cd 等于四，然后我们的 ad 等于十二，然后呢角 a、 d、 b 等于什么？九十度，然后呢去求四边形 abcd 的 面积， 那这道题我们看一下，求面积的话，我们通常是知道比较规则的，四边形的面积我们会可以用公式去求，那么这个呢？我们看一下 abcd 这个 四边形呢，它其实是个不规则的，所以我们肯定是想着说把它怎么样拆分一下，对吧？那么是否可以把它拆分成这两个三角形的和呢？那么我们这题既然讲到的是勾股定律，那么我们立马想到，哎， 这个角 a、 d、 b 等于九十度，那么这个 a、 d、 b 就是 一个直角三角形，那我就可以把利用勾股定律把 b、 d 这边求出来，是不是？那我们根据勾股数是不是五 十二，十三勾股数哈，大家可以去看一下老师的作品里面的视频，对五，那么我们会发现，哎，那么我们放到这个三角形 b、 c、 d 这个三角形面，如果算出这个等于五的话，那我就是三四五，是不是又是一组勾股数啊？ 那么我们是不是可以用勾股定律的逆力来证明它是一个直角三角形，那么直角三角形它的 两直角边都知道，你看这条直角边，这条直角边，还有这条直角边和这条直角边，我都知道的话，那它的面积是不是自然就求出来了？所以这道题呢，其实不难，那么我们正确的过程该如何去书写？那么就应该写 减，那么写减，我们是不是先把 b、 d 的 边长求出来？所以我们因为那么角 a、 d、 b 等于九十度，那就说明我们这个就是个直角三角形，可以用勾股定律，那么我们呢？可，所以我就可以求出 b、 d 是 不是应该等于根号下斜边的平方， 就是 ab 的 平方减去直角边 a、 d 的 平方啊？那么就应该等于根号下十三的平方减去十二的平方，那之前说了是五十二十三，对不对？ 那我们就求出我的 b、 d 是 不是就等于五，那么 b、 d 等于我们这个 a、 d、 b 的 三角形的面积就可以算。现在我们是不是说，哎，三四、五好像又是一组勾股数了，那所以我就要用在这个三角形面，用我们勾股定的逆地里， 把它正出这个角是九十度，那么如何书写逆定义？那么就是说要把三条边的平方分别求出来，因为我们 bc 它的平方等于多少？是不是等于三的平方等于九，然后我 c、 d 的 平方等于四的平方等于多少？十六，然后我 b、 d 的 平方 等于多少呢？等于五的平方等于二十五。那么我们把三条平方写下来，我们会发现，如果两直两条边的平方和刚好等于第三边的平方，那么这就是一个直角三角形，对吧？所以 bc 方 加上我的 cd 的 平方就应该等于 bd 的 平方，那这样子的话，我们就可以用勾股定力地那么正出，所以我们的角什么角？ c 啊？ 那么就等于九十度，那这个时候那我们就可以求出整个大的四边形的面积，那就等于这两个三角形面积加起来啊，这个我给大家标个九十度是不是可正出来的？那所以 s 四边形 abcd 就 应该等于什么呢？等于我们的 s 三角形 abcd， 那等于多少呢？他是不是等于二分之一乘以底和高，所以二分之一乘以十二乘以五，加上二分之一也是乘以底和高，四和三， 那么这个是六五六三十，然后这个是二二三得六，所以最后等于多少呢？加起来等于三十六，那么这就是我们常见的啊，就是这道题里面同时考了勾股定律，也考了逆定律，那么这个题型比较常见，也比较简单。

最值问题始终是我们整个初中数学当中非常重要的一个压轴题，很多同学对于这个地方手足无措，今天呢，我们通过一个典型的例题给大家讲解一下拼接最值的问题，如何去求解好？如图，矩形 abc 当中 ab 等于根号三这样确定， 然后 bc 等于一，也确定好，通过这个根号三和一的特殊的数量关系，我们可以知道这个角是等于三十，这个角是不是也等于三十？ 好，我们知道了 a 一 等于 c， f 这个边边等于这个边边，然后让你求 b 一 加上 b f 的 最小值， b 一 和 b f 的 最小值怎么来看？ 很显然啊，求 b 一 和 b f 都是从 b 点开发，这两个点是一个动点，很显然我们要通过全等也好，平移也好，把 b 一 和 b f 给它挪到一起，进而来求出它的最小值。 好，那这个地方我们已经给了一个边，是 c f 是 等于一，这有一个特殊角，那么我们来构造出来我们的角角 f c t 等于三十度， c t 等于 ab 等于杠三，然后再连接我的这个地方，是不是就可以勾出来了？这是不是就是我们的梯点 是吧？好，那么接下来这个角是三十，我的 c f 等于 a 一， ab 等于 cd 是 等于杠三，那接下来的三角形是 b a 一 乘以三角形 t c f， 然后得到 b e 是 等于 tf， 那 接下来是不是把 b e 加上 tf 的 最小值，是不是转化成 tf 加 tf 最小值，是不是最小值就是我们的线段 b t 的 长度。那这个拼接求最值的话，其实核心点就在于 go， 三角形 b a 一 全等于三角形啊， i tc f 是 s a s 的 判定，没问题吧？ 它俩是不是全等？那么在这个过程当中呢？我们是不是就得到了我的 b 一， 是不是就等于 tf？ 所以 说是 b 一 加上 b f 的 最小值，就等于 b f 加上 tf 的 最小值，它最小值就是它 b t 的 最小值。接下来怎么办？那接下来是这个地方往下放。好，这个地方你放个垂。好，那你这个地方是不是 b t 这个地方是相当于是一点 m？ 好， 那这个角是不是六十？那这个角是等于三，这是二分之二，它是三倍，它是三倍，这是二分之三。所以说接下来 b t， 它结果就等于我们 b m 的 平方加上 t m 的 平方，结果是等于根号线啊，一加上二分之根号三括号的平方，再加上二分之三括号的平方。 好，那接下来这个地方是不是变成了根号线？一加上四分之三加上根号三，再加上四分之九，四分九加上四分之三，四分之十二，四分之十二是三，三加一等于四，等于根号下四加上根号三。 好，根号下四加根号三。不能再开放了啊，在根号里面套根号不能再开放了啊，根号下四加上根号三。好，这个地方就给大家简单的说到这啊，好，同学们拜拜啊。

各位同学好，我们来看一下八下期末提升专题一的第十八题啊。十八题说，呃，这是一个正方形，正方形是期末非常常考的，而且是会做最后一道答题啊，因为正方形的性质特别多，它现在呢，屁点是在对角线 b d 上一个动点。第一小题连接我们的这个 ap 和 c p， 让你证明这个三角形的 apd 和三角形的 c p d 是 全等的。那么我们在第一小题，其实这个东西对称他不就全等吗？但是证明全等，你可不能说对称， 那这个证明全等的依据，首先一个是 a d 等于 c d 啊，然后 dp 等于 dp 是 不是公共边？还有就是正方形的对角线是 平分你的九十的，所以是不是两个四十五度呀，那么这个是性质啊。好，所以第一小题得真。那第二小题，如果学校没有上正方形的同学，各位同学自己先把这个正方形的性质给他背掉，嗯，我们说从边角对角线出发啊， 好，来第二小题。第二小题就我屁点还在动啊，我在这上面做了一个 p e 和 p 和 c p 啊，这两个应该是垂直的，那么直角。好，那么这个第二小题在正方形里面，各位同学来标注一下，这是非常典型的，而且到九年级也会经常考的，叫做化写为直题型啊， 所以我们先标注题型叫化写为直。那就是你的 p e 和 p f 呃，和 pc 啊，它两不都是斜的吗？而且都是在对角线上，所以在这里面我们就来做垂线。好，做垂线来看一下第二小题。 那第二小题做了垂线的话，首先，呃，我们的这个，你要想说明 pce 的 度数其实很简单，我只要说明这是一个等腰直角就可以了。 其实第二小题总思路呢，我们就是想证明这个三角形的 pge 呢？它是全等于这个三角形的 phc 的。 呃，当然这个是在写题过程当中，我没有给你写详细，我只给大家写了一个思路啊，哪里来的依据？ 好，首先一开始的时候，我们的这个 p g b 还有 g b h 就 这四个角，各位是不是直角，那么四个都是直角，可以说明我是一个矩形，那为什么这又是一个正方形当中的？呃，就是 p g 和 p h 为什么又相等？呃，那么，呃，在这里面是不是因为 我们一开始应该是有这个平分的呀？大家看这个 b d 不是 平分这个角 abc 吗？好，然后 p g 和它垂直， p h 不 也和它垂直吗？ 那么这里面是不是有个角平分线？这个角不是四十五度吗？这个角不也是四十五度吗？我们说角平分线上的点到线段两边的距离是相等的，对吧？这个这个 b d 是 整个 abc 的 一个角平分线啊。啊，所以在这里面，首先我们四个九十先推出你的矩形 矩形 p g， 呃，在前面，我给你稍微在这个点我给你写一下啊， 就你这一题，稍微难一点的就是那个 p g 为什么等于 p h？ 好， 首先是因为我四个角啊， p g b 和我们的角 g b h 还有这个角 p h b 啊， 还有一个角是 g p h， 那 四个角是九十，那我们首先先推出这是一个矩形， 矩矩形的 gph。 啊，好，那为什么又是一个正方形，就是 p g 和 ph 为什么相等？那么在这里你要注意我们刚刚说，呃，正方形的对角线啊，这个 b p 应该是为角 a b c 的 一个角平分线， 那既然是角平分线，那就说明角平分线上的点到线段两边的距离相等，所以 p g 和我们的 p h 应该是相等的。好，那么这个三角形全等的话，那就会有一个边的一个条件啊， 然后各位再看，其实其他条件就结束了，这不是九十吗？这中间 gph 不 也是九十吗？那所以导致我们角一和角二应该是拿九十减公共角，除了这个之外呢，还有 p g 和 ph 刚正的和一个九十度，所以这个全等用到的应该是我们的 a s a。 呃，这里面我只给你写一个分析啊， a s a 第一个是角一等于角二。 好，除了这个之外，还有就是我们的，呃，中间的这个 p g 会等于 p h 啊啊，还有一个是角 p g e， 我 们会等于这个角 p h c， 那 么它应该是等于九十，那结束过后啊，所以我们的 p e 不 就等于 p c 吗？ 然后再加上我们的 p e 是 垂直于 p c 的， 所以等腰直角，那我们就可以推出我们的角 p c e， 那 么等腰直角，它应该是四十五度啊， 好，那这个是我们的第二小题啊，然后再来看我们的第三题啊，啊，第三题要说明什么呢？他说，他说我们去 还是动点，然后呢？做一个 p e 是 垂直于这个 c b 还是垂直啊？在 p 点运动的过程当中，请你直接写出 p b， 还有我们的 p d 和 b e b e 在 这它们三者的之间的这个关系，各位同学一定一定要注意，这种题是常出的，而且这个东西你是要当做这种常规题型去做啊。 好，那么在这里面首先还是会用到前面的这个化简为直的基础啊，因为有第二小题，所以我在这里就不讲那么多了，我就给你简单的去给个思路。那在这里面一开始是不是肯定会有个圈的啊，就三角形的 p g e 啊，跟刚刚一样啊，三角形的 p g e 呢？我是会全等于这个三角形的 p h c 的 好，这个全等说明什么？说明 p g 和 p h 是 不是应该是相等，当然你不全等正方形也能出啊啊，你再来看啊，我们的 b e 好哎， b e 我 可没有办法单独出啊，他只能把这个 g e 给他加上。那各位，我是不是就等于我们的 b g 啊？ 你现在关键就是 b e， g e 还有 b g， 你 要找到和题目当中 p b 以及 p d 的 关系啊，那我们再来啊， p e 是 题目要的，这个东西我不要动啊， g e， 各位，根据全等，哎， 我能不能够把 b g e 根据全等转成 h c 啊，全等就是在这用到了，而 h c， 各位，这里是不是出现了一个矩形呀，那 h c 根据转化，我能不能转化成 p f 啊？完全可以， 但是 p f 跟我的 p d 还是挂不上关系哦，那各位，这是一个什么样的三角形？ 这不但是一个直角三角形，而且我们说正方形的对角线是不是角平分线，所以它是一个等腰直角三角形。那么在这个等腰直角三角形当中，你我们说斜边为直角边的根号二倍吧，所以 p f 和 p d 什么关系啊？ 是不是直角边占了整个斜边的二分之根号二倍这个笔记本笔啊，笔记本上有啊，斜边是直角边的根二倍，那么直角边是斜边的二分之根二倍啊。好， 那接下来我们再来看这个 b g 啊， b g 请问和我们题目的 p b 是 什么关系呢？那它这这是不是又出现了一个等腰直角三角形在这里吗？ b g b 当中啊，那么这个 b g， 各位我能不能转化为是二分之根号二倍的 p b 啊，这不是一样的吗？ 所以在这里面来，你会发现呦，我的这个 g e 转掉了，转成了是二分之根号二倍的这个 p d 啊。然后这个 b g 呢？我是二分之根二倍的 p d， 所以 整体如果说，呃，你想写好看一点，同乘二，同乘二的话， 同乘根二会好一点，会好看一点啊，同乘根二的话，那就是根号二倍的 b e， 再加上一个呃， p d， 右边同乘根二的话，刚刚好是 p b 啊。 那么这个时候你可以呃一个项，一个项的话，那我最终答案可以写成是 p b， 减去一个 p d， 它会等于根号二倍的 b e 啊。好，那综上所述，这一题采用了正方形的画斜为直模型。好，那这是我们的第十八题啊。

举行折叠问题始终是我们八年级下学期几何压轴考试当中一个非常重要的知识点，今天呢，我们再来通过一个例题，给大家详细的解决这样的问题。你如果说想突破这种题，其实本质上就要学会建立我们的勾股方程，我们来一起看一下啊。如图，点一是 c、 d 的 终点，这点是终点 b、 c 等于八。我将这个三角形 b、 e、 c、 e 沿 b、 e 折叠，得到我们的三角形 b、 q、 e 好，那么 c、 d 等于十二，那这是六，这是六，这个地方就是十。折叠过程中这辆就是等于八，好，注意它是中点，那这个地方是垂直，这辆是垂直。我们要求的是线段 a、 f 的 长度， 而线段 a、 f 的 长度接下来该怎么办呢？由这个折叠可以知道，我们的 q 一 是等于 q、 d 再加结合它是一个九十度，我们连接它连接 e、 f， 是 不是全等上 e、 q、 f、 e、 f 全减三， e、 q、 f 这两个边边是相等的，如果说我设这个量为 x， 这边是不是八减 x， 这个量是不是也是八减 x 啊？这个量是不等于十二？好，如图 啊，设圆设 a、 f 等于 x， 则 我们的 q、 f 等于 df 等于八减。这里面会有一个非常重要的购物方程，就是 b、 a 的 平方，它加上我 a、 f 的 平方，结果是等于 b、 f 的 平方，那所以说就是十二的平方，加上 x 的 平方，等于十六减 x 或的平方。 解这个方程一下就可以口算 x 等于二分之七，好，那这里就讲到这啊，同学们拜拜啊！

八下难度的天花板就是一次函数和几何的综合，特别是和几何最值问题的结合， 一旦考出来，百分之九十八的学生都只能是干瞪眼。今天这道题呢，更是结合了三种辅助线技巧，他把 t 字形最直，还有构造八字权等，还有构造中位线进行了非常好的结合。 今天这个题呢，它更是结合了三种辅助线技巧。那咱们来具体看一下， a o c b， 它是一个矩形点， b 的 坐标是一个六四 点， g 呢，是 o c 的 中点， n 和 m 分 别是 o， a 和 cb 上面的动点，且保持 o n 等于 b， m 过点 c 做 m n 的 垂线 c h 连接 g h， 让咱们求 g h 的 最大值是多少？ 首先呢，这个 o n 和 b m 平行且相等，那平行且相等嘛，很明显就是八字全等嘛， 连接 o b 就 有一对儿八字全等，三角形 n， d， o 全等三角形 b， d， m， 那 全等之后呢，这个点 d 哈，它既是 o b 的 中点， 还是 m n 的 终点，那就说明哈，这个 m n， 它虽然是一条动线段，但是它的终点 d 是 不动的，它的终点 d 就是 o b 的 终点。那你看哈，这个 c h 呢，它是垂直于 m n 的 点 c 和点 d 呢，都是固定点。 咱们把 c d 一 连，就有了 t 字模型。这个直角三角形 d， h， c 啊，它的直角会动，但是斜边保持不变， 并且呢， c d 是 可以算出来的哈，它就等于 o b 的 一半。根据点 b 的 坐标可以算出 o b 是 个二倍根号十三，所以呢，这个 c d 哈，就是根号十三。有了 t 字模型，咱们就取斜边的中点，就可以得到斜边的中线 点 h 虽然是个动点，但是 h e 是 固定不变的，就等于 c， d 的 一半， 是个二分之根号十三。然后呢，点 d 是 终点，点， g 也是终点。那 d g 呢，就是三角形 o， c， b 的 中位线 d， g 它就平行 bc， 所以呢，三角形 d， g， c， 它也是一个直角三角形。那点 e 呢？它也是三角形 d， g， c 斜边的终点， 那连接 g， e 又会得到一个斜边中线，这个 g， e 呢，也是等于 d， c 的 一半，等于二分之根号十三。那 g， h 怎么样才最大呢？也就是当 g， e， h 三点共线时，它的最大值就等于 g e 加 e h， 等于根号十三。

这道题你需要几分钟？角 abc 为一百度 c， b 等于 ab 是 一个等腰三角形， a、 c 等于 db。 最后问你角 d 的 度数， 很明显，这是一个角格点问题，所以我们可以考虑等腰和等边。此题我们可以尝试构造等边，我们发现角 k， a、 b 等于角 b， 并且 a、 k 等于 a， c 等于 d b。 那 么四边形 k、 a、 b、 d 就是 一个等腰梯形， 因此很容易想到连接 d， k。 我 们稍微倒一下角，容易发现角 k， d， c 等于角 k、 c、 d 是 一个等幺三角形，那么 d， k 等于 c k。 标记一下 可以发现图中现在有很多等幺三角形。利用这些倒一下角，得到最终答案。三十度，你学会了吗？