八下数学一次函数校本作业答案

一次函数这章节是我们八下数学最有难度的一个章节，因为它涉及的知识面比较广，既涉及到几何，也涉及到代数，而且它衔接了我们初三的二次函数，它也会出现在压轴题里面，所以接下来的话，我会为大家陆续的去制作 从一次函数从基础的综合题到压轴的综合题，并且像以前一样制作成合集，大家可以持续的关注 啊。如果说大家在县级段学习一次函数，有什么样的疑问都可以在评论区留言，我会一一的回复大家。那今天的话我们来讲解讲解。第一个啊，就是一次函数的解析式求解，加上去判断这个点是否在图像上，我们现在看一下题目， 他说已知一次函数的图像呢，经过 a 点和 b 点两个点，第一问要求这个一次函数的解析，那这是我们呃包，无论你是 我们一呃八下数学期末考试的压轴题的第一问，还是我们中考的呃函数压轴题的第一问都是求结式，那这个结式呢，是一定要会的， 那求这个结式呢？我们用的方法叫待定系数法啊，它的步骤呢，接下来我会为大家一一展示啊。首先第一步要设结式，设结式呢，它是一函数的话，我们就可以设为呃 y 等于 k 加 b， 这里加个小括号， k 等于零。 接下来呢就是如果我要求的是 k 或者是 b 其中一个，我们只需要带入一个点的坐标就可以了，那如果说这 k 和 b 都不知道有两个参数的话，我们需要带入两个点的坐标去建立方程组啊，比如说这个我们就两个都不知道，那么就分别把这两个点带进去， 接下来呢，就把每一个点里面的，比如说这个是 x， 这是 y 分 别带进去啊，那这个看到 x 呢，就换成零，零乘 k 等于零，加上 b， 那 就相当于零加上 b 啊，它等于多少呢？ y 是 一。 第二个呢，就是看到 x 就 换成一啊，一乘 k 就是 k， k 加 b 等于多少呢？ y 是 对的，是零，那么就建立了一个二元次方程组，接下来我们就把 k 和 b 解出来， 这地方 k 的 话啊， b 知道是等于一的， k 的 话就是负一，那求出来 k 和 b 之后，我们就可以下结论了，一次函数就是 y 等于，看到 k 就 换成什么样的负一，那 k 就是 负的 x 一 要省略掉，加上我们的 b 是 一啊，这是我们的待定系数法的一个解答过程。 好，第二个问，判断这个点 p 是 否在一次函数图像上，我们可以怎么办呢？我们可以把这里的 x 带进去，就是当 x 等于负一时啊，我们指出 y 等于多少呢？可以把它带进去啊，就是负的负一加上一等于多少呢？一加一等于二。 好，那这时候我们来对比一下，这个对求出来的二和这里坐标的一相不相等呢？不相等，因为二不等于一，所以呢，我们下个结论，这个点 p 呢啊，负一到一不在图像上，不在图像上 啊，不在图像上，所以这个地方呢啊，如果它相等的话，就是在图像上，不不相等，那就不在啊。那这是我们今天讲的第一个技术知识点啊，用待定系数法求结式判断这个点是否在函数图像上。

一次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题，今天我们来学习它其中内容费用最低的问题， 下面来看一下这个题目啊，这是我们珠海去年的期末考试题，那他说去年有个热播电视剧长安的荔枝啊，你看这个东西就每年都会出现一些与热点的内容相结合的题目啊，这个这题出的挺好的啊，这个珠海， 那么现在看一下，他现在要运荔枝啊，运这个荔枝，现在呢有两种的方式，一种是走水路，一种呢是路路， 那走水路的时候呢，有百分之三的损耗，走路路的时候呢，有百分之五的损耗来，他现在说如果要用五艘船，十辆马车来运输这两百筐的荔枝，中间不改不改变这个运输方式，最终的损耗是八，呃，八筐， 我们看第一问啊，他说问每艘大船是多少筐啊？每辆马车可以运多少筐。那看到这个问题呢，那就是问什么就设什么就可以了啊， x 筐， y 筐啊，我们要设未知数啊，设， 那接下来呢，我们就列方程啊，那有两个未知数就要列什么样呢？两个方程啊，我们要找到两种关系，这种关系呢就是要总共要运两百筐啊，五辆的这个五艘船，那就是五 x， 加上十辆车，十 y， 最终等于两百筐。 第二个呢就是它的损耗，总共损耗了八筐哎，那这个水路呢，损耗百分之三，那就在这个基础上乘以百分之三。 那露露呢，损耗百分之五，那就在这个的框数基础上乘以百分之五，最终刚好等于八框。损耗。好，方程列出来，了解得 最终减出来 x 和 y 分 别等于多少呢？你像这种啊，非常大的时候，我们在运算的时候，我们可以有点小技巧，我们可以怎么样啊？两边同时乘以一百，把它改变一下，里面乘以一百啊，那就是这里剩三三五就是十五， x 加上啊，五乘十就是五十，等于多少呢？等于八百对不对？ 然后我们再同时呃约小一点，同时除以多少乘以五，呃，大家去算一下对吧？ 应该是一百六，对不对？好，那接下来你看这个和这个就可以直接相减相加，对吧？所以这地方我们就过程就不再详细讲啊，最终啊， x 等于二十， y 呢？是等于十的啊，等于十的。 好，那接下来呢，我们来看一下啊，打这个自己去打啊，那就说我们每辆大，每艘大船呢，能够运二十筐，每辆马车呢可以运十筐啊，这我们的第一问，那第二问就是我们今天重点了啊， 他说水路运输啊，每艘大船需要一千两百文，山路运输呢，每辆马车的费用是八百文，为了控制成本， 总的运输费用不能超过一万四。看到这个不能超过，要注意啊，我们给他标注一下啊，不能超过的意思怎么样啊？就是小于等于的意思，小于等于一万四千文，而且大船的数量不超过，你看又有不超过了，这又是一个不等关系啊，就小于等于 吸收啊，那么恰好运完了这两百筐的荔枝啊，而且不考虑损耗的情况下，该如何安排大船和马车的数量才能使得这个费用最低。 那这个时候呢，我们一定要有函数的思维啊，既然有函数，我们就要去，怎么样呢？就要去列关系式了啊，然后列了关系式，要探讨最值的话，那也求范围呀，所以第一步我们先去啊，设未知数啊，列关系式，那设谁呢？既然安排大车大船和马车的数量，我们肯定要设未知数啊， 那么可以设大船，大船是多少呢？因为前面用了 x y 啊，我们用 m 啊，然后这个马车呢？ 马车这个地方要注意啊，因为他这个题稍微的哎，难度增加了一点，他不像以前啊，说这两个相加总共有多少多少收，对吧？多少量，他没有这样子，他什么都没给，只是给了一个， 给了一个怎么样呢？恰好是两百筐，给了一个总的筐数，所以这个地方我们必须得通过这个筐数要再去表示我们马车的数量。这马车数量怎么表达呢？就是我总共两百筐， 我马这个大船呢，有 m 艘，它运了多少筐呢？我们知道大船一艘是二十筐嘛，所以它运了二十 m 筐一剪呢，剩下的就是马车的这个运的筐数，那再用这个总的马车的筐数除以它每一车能运的 啊，运的是多少呢？是十筐。那这个时候呢，我们就可以表示出马车的数量了，我们可以化简一下，它得多少呢？就是二十，减去二 m 啊，我们可以要打上这个小框，哎，这个是量对吧？ 那个是收，那还有一个呢，就是费用啊，说他的费用为多少元呢？费用为 w 元，一般是这样啊，收尾数我们就收完了啊，这个地方相对于他增加的一个难点，我们要注意一下啊， 那接下来呢，我们叫列关系式， w 等于什么样呢？费用分成了两个部分啊，大船的费用和马车的费用。呃，每收呢是一千二，那就是一千二百 m， 这个马车呢，每每一辆是八百八百乘以二十减去二 m。 那 么接下来化简一下啊， 一千二啊，我们这里减去一千六，对不对？负的四百啊，四百 m， 再加上一个一万六 啊，一万六。好，这个关系式出来之后呢，我们探讨他的最大值或者最小值得求范围范围在哪里呢？就是刚刚我们标出来的这两个啊， 那接下来求范围范围的话，有两个，一个是他的费用，费用实际上就是这个啊，负的四百 m 加上一千啊，一万六，要小于等于一万四。还有一个呢，这个大船的数量，大船就是我们的 m 啊， m 要小于等于七。 好，那接下来呢，我们就把这边擦一下啊， 那接下来我们就解得把这个解出来， 解得我们的 m 呢应该在哪里呢？是大于等于五，小于等于七的。好，有了不等关系，接下来我们就要通过函数的性质来求对值啊。接下来我们要这是一个固定的模板，因为怎么样呢？先说一下这个前面的系数， 负的四百是小于零的，所以当我们的 m 等于多少呢？那么要知道啊，在这个一算数里面，我们这个系数小于零的时候，那这个 w， 也就是我们的 y 会随 x 的 增大而减小，对吧？那在这个里面就相当于说是 w 随着 m 的 增大而减小， 你想啊，增大而减小，我 m 取多少的时候他会最小呢？肯定是取的是最大的那个，对吧？在这个范围内最大的那一个，那么就肯定取是七啊，当 m 等于七的时候，这个 w 啊，有怎么样呢？有最大值 啊，最大值，那既然要求最低费用是多少，我们就得为多少呢？那么就需要把这个 m 等于七啊，带到我们这个表达式里面去，那这个求出来的就是负的四百乘以七，哎，再加上我们的一万六，最终是一万三千两百。 好，那接下来我们就要打，对吧？他说怎么运输啊？啊，怎么安排啊？就是当这个大船有多少收嘞啊？为七收 啊，为七收，那我们的马车有多少呢？多少辆啊？相当于是二十，减去二乘七啊，就是六辆，对不对？有六辆是费用呢？最低啊，有最低费用， 有最低的费用，费用多少呢？一万三千二百文啊，这里是文， ok， 所以 这里的话我们要，哎有怎么样呢？依次函数的这种探讨的意识啊，要知道是怎么探讨的，大家反复看一下这个过程和解析的一个思路。

这种一次函数和几何综合的大题，一定会在我们八下期末出一道压轴题，那这种题目他解析的方法非常固定，今天啊，依依老师就教大家三步法，轻松搞定这类题目的答案。 那有关于一次函数的综合大题啊，我们常见一共有十大类题型，老师都给大家总结出来了，而且每一类题型它的方法都非常固定， 所以我们现在学题不应该是单单的刷题了，而是应该养成题目题型化的思维，逐个突破，你后面在考试当中遇见这类题目，才能举一反三好不好？下面咱们就来一起看看这道题。 说已知函数，它的图像与 y 轴交于 a 点，这是 y 等于 x 加一啊，那 a 点不就是零一了，对不对？这就是零负一了。好了，依次函数 y 等于 k， x 加 b 过点， b 零负一，哦，这是零负一呗。标图 与 x 轴以及 y 等于 x 加一的图像哦，交于 c 和 d 两点。好了，现在说 d 点的坐标告诉你了，是 e， n， 让你求 n 的 值 来看地点，地点是两个函数图像的焦点。第一个问很简单，由于它既在 y 等于 x 加一上，又在 y 等于 k， x 加 b 上，所以我直接把它带入这个已知的解析式去求 n 就 行了。 所以带进去咱们就有 n 等于一加一也就等于二，所以地点的坐标就是一二了，对不对？哎，第一个问白给分的，咱们就求出来了， 求出来之后呢，咱们去看第二个问，让你求 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。由于我们想求这个解析式，得知道两点的坐标，咱在这已知了一个地点，在这已知了一个 b 点，所以直接代入，我们就可以求第二个的函数解析式了， 求出 y 等于三， x 减一就是这个函数的解析式了。接下来我们来看第三个问，也是我这个视频要主要讲解的求四边形 a、 o、 c、 d 的 面积。这个四边形是个不规则的四边形，那该怎么求呢？ 所以在这我们要借助一个方法，叫做割补的方法。哎，咱们要把它分成两部分去求面积，那怎么分呢？你会发现啊，在这这一段已知是一对吧？这一段我能求出来，因为它就是这个函数图像与 x 轴的焦点嘛， 所以我得分三角形的时候，分成两个面积已知的三角形，所以在这啊，我就连接 o、 d 这么去分。 所以第三个问啊， s 四边形 a、 o、 c、 d 的 面积就等于三角形 a、 o、 d 的 面积， a、 o、 d 的 面积是啥呀？二分之一以 a、 o 为底，以谁为高啊？ 以地点横坐标的绝对值为高，是一对不对。同样 c、 o、 d 的 面积怎么求呢？二分之一底乘高，我们可以选择 c、 o 为底。 哎，以地点纵坐标的绝对值为高，那 c、 o 的 长度是多少啊？来在这求一下。哎，我们直接令什么 y 等于零，那三 x 减一等于零， x 求出来，不就等于三分之一了吗？ 所以这一段的长度，它就是三分之一，也就是二分之一乘三分之一，再乘以它的高高，不就是二吗？ 所以我们很容易可以求出最终的答案，就是六分之五，它的面积也就求出来了。所以遇到这种题，咱们一定要巧用面积公式，选择合适的方法再来求解。

这类题的一个做法，今天给大家讲的呢，是我们依次函数里面它图像的位置关系。那么大家在学依次函数的时候，肯定都遇到过这样的题， 他说直线 y 等于 k x 减 k 与直线 y 等于负 k x 在 同一个直角坐标系中的大致图像，可能是，对吧？那也有种另外一种题型是什么呢？它是给你一个已知的图像 带上这个参数，然后给你另一个已知函数，让你去找他的大致图像，对吧？那么我们来说一下这类题该如何去做的问题， 这类题呢稍微要复杂一点点，为什么呢？因为我们要去确定，就说他为什么问两个函数在同一个直角坐标系里面的大致图像可能是什么呢？就说明在同一个直角坐标系里面，他的参数的取值范围肯定是要相同的。那遇到这种的题呢，我们的方法是什么呢？ 是以其中一条直线，或者说以其中一个解析式为准，然后呢，以我们确定的参数的大小去推理我们另一个解析式，它在直角坐标线里面的图像，它是否正确啊？就是这么一个方法。 那么来看一下这道题是一个呢，是直线 y 等于 k x 减 k， 一个呢是 y 等于负 k x， 那 么我们看得出来一个是什么？一个是一次函数，一个是正比函数，那我们肯定是以这个正比函数为准来去判断 k 的 大小，会比较好判断，对吧？因为它的参数也相对比较简单，解析式也比较简单。 那所以我们来看，假设在 a 选项里面，我们以这个正比例函数这个为准，那就是说正比例函数肯定过圆点，所以这条直线它过圆点，所以这个是 y 等于什么？这个是 y 等于负 k， x 这一条就应该是 y 等于 k， s 减 k 啊，到底对与不对？我们要看一下，那它的正比点函数是从左往右是在下降，所以它是增大而减小，或者说我们过了二次项线，它也是 y x 增大减小，那 y x 增大减小看的是什么？看的是我们 整个依次就是 x 前面的系数，记住是系数，所以是负 k 的 位置，但它 y x 那 减小，那就是负 k 小 于零，所以这里得到什么？负 k 应该是小于零呢？所以得到我的 k 大 于零。好，那么就说以我们的这个整数为准， 那么来判断出我的 k 大 于零，然后以这个 k k 大 于零这样的一个 k 的 大小，去判断我的 y 等于 k， x 减 k 的 图像是否跟图 里面一致啊？那么 k 大 于零以后，我们放进去看，那是 y 等于 k， x 减 k， 那 这个 x 的 前面的系数是 k 大 于零，所以应该是过一三项线，对吧？ 然后呢，是看清楚这里的符号是减 k， 对 吧？所以我的 k 大 于零减 k， 那 么负 k 就 应该是小于零，得向下平移，对不对？所以过了一三，然后向下平移，是不是刚好就是这样子过了一三四项线，所以我的 a 选项其实就是对的，对不对？ 然后呢，我们来看一下 b 选项， b 选项它的正比例函数是不是和 a 选项的正比例函数是一样的？所以其分析下来，肯定 k 还是大于零，然后呢，它是向上平移了，那但是我们的负 k 是 小零的，所以向下平移，所以我们的 b 选项自然就错，对吧？然后我们来看一下 c 和 d 选项， 那么 c 和 d 选项呢？它其实正比例函数，这比如说这个是 y 等于负 k， x 啊，那么它是过了一三项线，说明我的 x 前面这个系数是怎么样？ 是不是大于零的，对吧？负 k 是 大于零的啊，这个负 k 肯定是大于零的。推出我们的 k 小 零，那么 k 小 于零以后，我们来看一下这条直线是 y 等于 k， x 减 k， 那 么它是既然我的 k 是 小于零的，它必须得过什么？必须得过二四象限啊。这个 k 我们推出来，比如说这放到这个一次函数里面去，那么他的 k 是 小零的，他必须过二次项线来看一下他是不是都只过了一三二项线，没过这道这个也是一样的，他过了一三，他没有过二四，所以这两个 c 和 d 其实直接都可以判断他是个错误啊。 所以那么这类题就是给大家讲，肯定还会出现一些比这道题更复杂的题型，所以我们就以比较简单那个的图像 为准，然后呢去判断出我们参数的大小，然后再以这个大小去推论我们另一个解析式，它的图像是否正确，就可以判断出我们正确的答案来。那么这就是我们。

要想写题会方法要选对，欢迎收看宋老师的方法课。我们来看这道题后，科技研发中心有五十名工作人员，其中技术员二十名，操作员三十名。 现将这五十名工作人员派往 ab 两个公司去研发产品。两个公司的月工资情况如下， 这是一个表格，分别是 a 公司和 b 公司的技术员和操作员的月工资。我们来看第一问，若派往 a 公司 x 名技术员以下的工作人员全部派往 b 公司， 求出这五十名工作人员的月工资总额， y 与 x 之间的函数表达式，并写出 x 去的范围。在这里 y 单位万元和表格里面的单位万元都一样，所以我们不需要担心。我们接下来看这道题， 他让求五十名工作人员的月工资总额， y 与 x 之间的函数表达式。那我们都知道月工资总额是所有人加到一起的， 但是在这里我们要分别对应技术员的工资和操作员的工资，或者说 a 公司和 b 公司每一类工作人员的工资。所以说我们让 y 等于 等于什么？等于 a 公司的工资总和和 b 公司的公司总和。但是 a 又包含两个部分，技术员工资和操作员工资。同理， b 也是包括技术员工资和操作员工资， 就是分为这四个小类。下面我们把这四个小类表示出来，我们就可以求出 y 与 x 之间的函数表达式。现在我们来求一下公司 x 名技术员。公司的技术员对应的工资是一点八万，所以是一点八 x， a 公司操作员的工资是一点六万。那 a 公司的操作员有多少人呢？我们来看一下 题目中说派往 a 公司 x 名技术员，其余的工作人员。工作人员包含两个部分，也就是剩下的所有人全部派往 b， 所以 派往 a 公司的 工作人员只有 x 名技术员，所以说这个操作员的工资是为零的。我们再来看公司的技术员的工资，一共有二十名技术员，其中有 x 名派往了 a， 所以 还剩下二十减 x 名技术工作人员。 那 b 公司的技术员工资是一点六万，所以乘一点六。接下来我们再看一下，一共五十名工作人员，有 x 名派往了 a 公司， 还剩下五十减 x 人，剩下的这些人，其中有二十是减 x 名工作人员，所以说我们要减去工作人员就可以求出操作人员的 就是三十人，所以说这三十名操作人员全部派往了 b 公司。好，最终我们求出来了， 我们化简一下， y 等于一点八， x 加上一点六乘二十，减 x 加上一点二乘三十， 最终我们化简为零点二， x 加六十八。第一问，我们求出来 y 与 x 之间的函数表达式是， y 等于零点二， x 加上六十八。 好，我们再来看一下写出 x 的 取值范围。我们都知道 x 是 技术员，技术员一共有二十名，所以说你派往 a 公司的技术员最多不能超过二十名，所以 x 的 取值范围就是 x 大 于等于零，小于等于二十。好，第一问，我们就求出来了，我们再来看一下第二问，根据研发需要，五十名工作人员派往 a 公司四十名派往 b 公司十名请求出 月工资总额的最小值。同样的道理，要想求出月工资最小值，我们必须知道月工资总额是多少。同理，月工资总额和第一问一样，也是这四类人员的工资总和，我们来求一下，要想求出 四类工作人员的工资总和，我们必须用对应的单价乘数量，也就是他们的工资乘以对应的数量。但是这一问里面他说了派往 a 公司四十名，派往 b 公司十名。 这四十名说实话，我们不知道具体有多少技术人员，有多少操作人员，很多同学就不会了。 所以说这里我要提醒一点，你要大胆的去设未知数。比如说我设派往 a 公司技术人员 m 名， 一共有技术人员二十名，所以你派往 b 公司的技术人员就是二十减 m。 好， 已知派往 a 公司的技术人员 m 名， 派往 a 公司呢，总共人员是四十名，那剩下的就是操作人员，所以说操作人员呢，数量就是四十减 m 公里。我们推一下 b 派往 b 公司十名， 但是其中有技术人员二十减 m， 那 剩下的就是操作人员，用总数减去技术人员，也就是十减去二十减 m， 我 们化简之后是 m 减十。 所以说我们现在已经求出来了对应的公司技术人员、操作人员和 b 公司对应的技术人员人数和操作人员人数，我们分别去乘以他们对应的工资，然后再把他们加起来就行了。我们设总的工资为 w， 这里 w 就 等于一点八 m， 一 点八乘以 m 和一点六乘以四十减 m， 以及 b 公司的一点六乘二十减 m 和 b 公司的一点二乘 m 减十。这里我们基本上就把月工资总额表示出来了，下面我们也需要化简一下， 最终结果是 w 等于负零点二， m 加上十四。好！学过一次函数的我们都知道，过一次函数里面的 y 等于 k， x 加 b， b 如果大于零， y 就 会随 x 的 增加而增加， b 如果小于零， y 就 会随 x 的 增加而减少。 在这里 k 是 负零点二，所以说 m 越大， w 就 会越小，那想求 w 的 最小值，所以在这里 m 我 们就要取最大值。我们求一下 m 的 取值范围， 派往 a 公司的技术人员 m 名，在这里 a 公司一共有四十人，所以 m 理论上可以达到最大，也就是二十名技术人员全部派往 a 公司，所以 m 的 取值范围是大于等于 零，小于等于十。如果我们要参考操作人员三十名的话，其实 m 在 这里的取值范围可以更精确，要大于等于十，小于等于二十。 因为如果你不派技术人员的话，只派操作员， a 公司四十名人员将达不到要求。我们要想使 w 达到最小值，在这里 m 要取最大值二十。所以说我们把 m 等于二十去代入这个解析式，所以我们求得 w 的 最小值 是等于负零点二乘二十，加上八十四等于八十万元。到这里我们这个题就求出来了。

如图，直线 ab 的 解析式是 y 等于四， x 加四。好，所以这里 b 就是 四， a 应该就是负一 ac 的 x 上解 b 在 外轴上，且 o a 等于 o c， 这就是一。第一个让我们写出 abc 的 坐标，所以 a 点坐标是负一斗零， b 点坐标是零斗四， c 点坐标是一斗零。 如图，一 p 在 b a 的 延长线上，且 a p c 等于四十五度啊，且 a p c 等于四十五度。求 p 的 坐标啊，求 p 的 坐标。那么这个 两种方法要么用刚才说的这种方程组，是不是这 p 的 坐标和 q 点坐标用三垂直数方程组 没错吧，对吧？没错，那现在是不是你做是不是还会有另外一种方法啊？这是方法一写一下， 把一 做 c q 垂直于 cp， 设 p 点坐标 四 x 加四啊，所以 m 的 四， m 加四， q 点坐标 n 的 四， n 加四，然后三垂直加方程组。 好吧，三垂直加方正数来算出什么呢？ m 等于十七分之二十四。我把大家写一下， n 等于十七分之四十啊， n 等于这个七分之。 哎，不对， 直接给个结果吧，应该算出来，应该这个 m 也说 p 的 横坐标应该是等于负的是七分之二十三啊。 b 点坐标 p 的 横坐标应该是负的，是七分之二十三，所以 p 的 坐标应该就是负的，是七分之二十三度，负的是七分之二十四啊，这个计算可能数字不是特别好 啊，但是我想说是不是还有第二种方法？这是第一种方法，就是前面说的啊，方正阻和三垂直，那么第二种方法对吧？怎么办？ 我是不是可以平移？你 p 点不知道吗？对吧？那你 p 点不知道，我就可以做出与它这个是平行的直线啊。做出与它平行的直线，加减四数， 这里是 g v q， 哎，我做出它的平行线，你看这里是零斗四，这里是负一斗零， 所以是做什么呢？这个 a q 平行于 p c， 好 吧， a q 平行于 p c 之后，这是四，这是一，这是四，这是一，然后三垂直 得到 q 点坐标应该是四度，横坐标是四啊，横坐标是四，纵坐标四点一十三， q 点坐标四度三，所以 k a q 就 等于 k p c k a q 就 等于 k p c 等于多少呢？纵坐标三减零三，然后横坐标四减负一十五，所以是等于五分之三 啊，五分之三，所以 l p c 的 解析式应该就是 y 等于五分之三 x 因为还经过什么一斗零了，经过一斗零，所以减去五分之三，这就是 p c 的 解析式，然后连立 啊，连立什么呢？ y 等于五分之三， x 减去五分之三和 ab 式， y 等于四， x 加四， 然后解这个方程组，直接算出 p 点坐标负的十七分之二十三，度负的十七分之二十四。 就是两种思路啊，你看你自己去体会，对吧？你自己去体会。第一种方法也是我们前面一直在讲的两，讲的是两个题啊，就是这个四十五度的顶点坐标，未知它 ab 所在直线的解析事实知道的， 所以划了等腰直角三角形之后， a p q 的 坐标可以同时射出来，建立方程组解决问题。 那么第二种思路就是类比刚才这个题。好，刚才这个题它是直接那个。第一种方法做不了啊，需要平移，那么类比这个方法，那么这个题也同样可以平移，我把你平移到顶点坐标已知的位置上，先把你的直线的比例系数可以算出来，通过平行转化啊，来最后给出答案。 那所以这个两种方法就看大家自己的这个体会，有的题你要注意啊，它是只能用什么第一种方法，有的题还只能用第二种方法，那我们就要学会判断啊，要学会正确的判断，使用哪一种，具体使用哪一种方法来解决问题。 那么第三问说是如图啊，若点 p 在 线段 a b 上啊，且 a p c 等于四十五度， a p c 等于四十五度， 那是不就是刚才的把下面的挪上去了吗？你看刚才我们去做这个的时候，是不是刚才我们做了这个？刚才上面下面刚才是不是做了这个 p e， 现在这个四十五度吗？那么就把刚才的四十五度换了上去了， 是不就是我们刚才如果是用第一种方法，是不是刚才求出来的这个 q 点，是不就用就用第一种方法这个求出来这个 q 点， 是不是是不是就可以得到这个 p 点？但是你用第二种方法的话就不行啊，你用第二种方法的话，你就还得重新去算，但是你要知道一个结论，如果两条直线垂直的时候，它们的比例系数可以互为负倒数啊，你也可以快速算啊，但是这个 t 如果是 r 三文结合在一起去做 啊，那肯定是建议使用这个方法一，因为方法一你会发现第三步就不用做了，因为刚才算出来这个是多少呢？负的十七分之二十三度，负的十七分之二十四，那其实你解那个方程组的时候，你自然就把这个 p 做出来了好吧 啊，你要是解第一个方程组的时候，你自然就把这个 p 做出来了啊，所以由二的方法一， 对吧，以二的方法 e 可得四十， p 的 坐标应该就是负的十七分之七的十七分之四十， 这个其实可能数据不是特别好算啊，好吧，因为你前面再去解这个方程组的时候啊，利用构造的等量，这个利用构造的这个三处值，你列出这个方程组，列出方程组之后，你其实不仅可以算 m 啊，你同时就把这个 n 也算出来了啊，把 n 算出来，应该负的是七分之七 啊，只不过刚才这个题目没写，但是你要是当时把方程组解出来，对吧？你把 p n 坐标写出来，那你看一看下一个，那刚好就是对应的就上方那个点，所以直接就把这个上面的 n 直接写过来就行了。 好，这就是关于这个四十五度加角的问题。呃，抓住最重要的东西， 那么凡是四十五度问题，就是等腰直角三角形，利用三垂直求坐标来解决的，只不过就是简单题，那就是直角顶点和一个四十五度的顶点坐标已知 啊，我们就直接三除以求坐标，求直线解七十就行了。哪一点的，那就是顶点坐标未知值，那个四十五度的顶点坐标未知。那么两种处理方法，要么就是构造等腰直角三角形之后，在一条已知表达式的直线上设两个点的坐标连立方程组， 要么就是把这条直线平移到顶点坐标已知的位置上，通过平行去求出它们的比例系数，相同的 k 啊，再拽求解系数，哇，大概就这几种思路， ok， 那 么今天我们内容就讲到这里。

依次函数与不等式的结合，这样的题型是我们期末每年必考的题型，记住啊，是必考的题型， 那到目前为止，我还看到相当一部分同学啊，对这种题啊，还进行大量的进行计算才得出结果，那实际上这样的题型只需要看图就可以得出答案。今天我们通过去年的两道期末的真题，给大家讲一讲这种单求函数怎么来求范围。 我来看一下第一道题啊，他说这里有一个函数的结式， y 等于 x 加 b， 图像给到了，还有两个交点，我们把这个坐标标一下，二斗零和零斗三 啊，然后他要求这个 x 加 b 大 于等于零的时候， x 的 这个取的范围啊。第一步呢，我们通常来讲啊，会对它进行一个转化，把这个 x 加 b 呢变成 y， 因为 y 本身就等于它嘛，大于等于零。 好，那么知道这个之后呢，第一步要干什么呢？就是无论你是大于还是小于，我们都找到等于的时候，那这地方呢，我们就找到 y 等于零的地方， 那找到 y 等于零的地方，我们看这条函数图像上，哪一个点的 y 是 等于零的呢？很明显就是二这个位置好。找到它之后呢，我们从这个地方画一条竖线，画这条竖线呢，就相当于把我们这个图形啊分成了两个部分，左边部分和右边部分。好，那接下来我们来找一找啊， 第二步啊，就去找他的这个符合条件的啊，这个图像在哪里？那这里有个口诀，就是大鱼的时候，我们就往上面走，小鱼的时候呢，就往下面走，那你看这里是大鱼啊， 大鱼呢，因为这地方 y 等于零吗？大于零我们就往上面跑，那符合要求呢，就是这一段，这一段呢，在我们这条线的左边，我们来看一下，图象，找到了之后呢，就看 x 在 哪个范围， 这条竖线对应的是二，也就是说一开始是二，而往左边走的话，那我这个图像往左边走啊，我这 x 呢，也是越来越向左的，那就是越来越小了。 好，那这个时候呢，我们的 x 呢，就是小于二的啊，当然这个时候呢，原本啊，我们是有等号的，要保持一致，所以 x 呢，也是要等于二的，所以这种结果呢，我们就选择 c， 答案 x 小 于二。 好，第二种呢，它就是不与零进行比较了，与另外的一个数比较，这个地方呢，它就与四进行比较。我们看一下啊，这也是它的图像，而且给出了一个点的坐标， a 是 负二负四， 然后呢，他要求 k x 加 b 大 于四，那我们转换一下，就是 y 大 于四的时候，我们说了，无论大于还是小于，先找到等于的时候，那我们看 y 等于四在哪个点呢？很明显在 a 点，因为 a 点的 y 是 等于四的，依然是通过一点做一条竖直的线， 整个平面呢，分成了左边和右边部分。那么现在要找这个符合要求的图像在哪里呢？ 上大下小哈，既然又是大于，我们就往上面跑，哎，就是这段符合要求，那对应的 x 在 哪里呢？这条竖线一开始对应的是负二， 既然是右边的图像，就是往右边是越走越远的，那我的 x 也会往右边移动，那就说比负二越来越大，那所以我们 x 呢，是大于负二的，因为它没有等号，所以我这里也没有等号， x 大 于负二就可以了。

八、下数学的一次函数，求参数的取值范围，是一种必考的题型，很多孩子呢，明明图绘画也会分析图像，却还是丢分了，原因就是他们在做分类讨论的时候啊，少考虑了一种远点的情况。 那究竟当时是怎么回事呢？我们还原一下案发现场，来给大家避避坑。学完这道题之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去练习巩固一下， 只要把里面的题搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题。那现在呢，我们就假设今天做错这道题的同学的名字叫做小明同学， 那么带入他的视角，看他从哪一步开始犯错的。若一次函数 y 等于括号内 k 减二， x 加 k 的 图像不经过第三象限，然后呢，要求 k 的 取值范围。小明同学说，老师，这道题要画图啊，好，咱们把图画起来，第三象限在这个位置， 所以呢，不经过第三象限，他就说这样画好。接下来呢，小明同学又说，老师，这个图像往右下方走，说明他的斜率啊，这个 k 减二啊， 必须小于零啊，这是他找到的第一个关系。接下来他又说，老师，后面这个常数，这个加 k 指的是这个图像和 y 轴的这个交点啊，我用红色标起来啊，表示这个交点， 他说这个焦点呢，从图可知，他在 y 轴的上面，所以说明这个 k 啊，他要大于零，对吧？啊，就是这个点。所以呢，他要列出第二个式子，他说 k 要大于零哎，所以他是这样列的， k 大 于零。好，然后呢，他就把这两个不等式给他结合起来解了一下，解得这个 k 呢，是大于零小于二啊，然后呢，他看了一下选项，就很快乐的选了这个 a 选项啊，结果就丢分了， 你们知道问题出在哪里吗？其实问题就出在啊，这个不经过第三象限，除了他画了这种情况之外， 还有一种什么情况呢？我是不是这条直线还可以往下继续移啊？我最低最低，我是不是可以移到我刚好过圆点，这样子也叫做不经过第三象限呢，对不对？所以也就说我的这个斜率的分析，这一步没问题， 但是呢，关于这个截距这个点呢，我不一定是在 y 轴的上面的，我最低最低最低可以去到 圆点，这里也是符合题意的。所以呢，这一步呢，我们就是说 k 大 于零，要变成 k 大 于等于零都是可以的。所以最后呢，我们的答案呢，就跟小明同学的答案就差一点点，就是这个地方要补个等于号 啊，所以最后答案呢，不应该是选 a， 而应该是选 b 啊，这里呢，要加一个等于号好，是不是很坑呢？你学会了吗？

依次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题啊，今天我们来讲利润最大问题，哎，这一道题也是之前的一个期末考试真题，你看，他也是结合了当年的一个热点啊，冰墩墩，雪融融。哎，上一个我们讲的是 另外一个热点啊，荔枝，那今年大家也要关注一下，今年我们有没有后续有没有一些热点的新闻啊，也有可能结合来考，然后看一下啊，这道题， 他说啊，在三月呢，购进一批冰墩墩，雪绒绒，已知呢，一个冰墩墩啊，进价比一个雪绒绒要多七十块钱啊，这是一个关系。然后购买八个冰墩墩和十五个雪绒绒，金额一样啊，这是一个等量关系。那下面看第一问啊，第一问， 选啊，第一问，他说求冰墩墩和雪融融两种玩具的进价分别是多少？按道理来讲呢，我们可以算 x， y 也是可以的，但这个地方呢，我们实际上用一元方程会更简单，因为他题目当中明确了这个啊，冰墩墩、雪融融之间是有关系的。而且呢，你看啊，这里 说冰墩墩进价比这个什么样啊？雪绒绒多七十块钱，那我们可以选择设其中一个为未知数，而且通常我们设的是后面那个量为 x， 比如这里面我们设的是雪绒绒为 x， 那 这时候我们的冰墩墩呢，就是 x 加上七十。 好，这里是未知数啊，接下来我们就列方程啊，未知数呢，只有一个，我们只需要一个方程就可以解决了，所以这里有一个关系式可以列方程啊，八个冰墩墩，八个冰墩墩，就是八乘以多少呢？ x 加上七十等于十五个，雪绒绒就十五 x， 那这个呢，很好解决啊， x 就 等于八十啊，这是我们的雪绒绒的啊，八十，那所以呢，这个八十加上七十呢，等于一百五啊，这是我们什么样呢？这是我们冰墩墩的钱，对吧？一百五十 啊，答，我们要答啊，冰墩墩一百五十块啊，雪绒绒八十块啊。第二问，我们的最大利润啊，来了， 那依然是啊，我们第一步设未知数，列关系式啊，列不等式，求范围，我们现在设未知数，他说两者完全共四十只，哎，这比上一个题呢，哎，就上上题要简单一些啊，我们就可以设其中一个啊，我们可以设冰墩墩 m o， 许蓉蓉呢，四十减去 m o， 依然要设未知数啊 啊，四十减 m 个，然后还要还要特别要设一个。什么样呢？设它的利润啊，利润，设它的利润为 w 元啊，设利润为 w 元。好，接下来我们就先列这个关系式， 这个总的利润应该等于怎么样呢？两个部分啊，冰墩墩的钱，雪绒绒的钱。冰墩墩，他的进价是多少呢？哎，是一百五，卖多少钱呢？卖两百块，所以他一个的利润就是两百元，一百五就是五十块钱，有 m 个五十 m， 再加上呢雪绒绒，哎，卖呢一百块，进呢八十块，每一个就是二十块钱的利润，四十减去 m， 最终化简一下啊，化简一下应该是三十 m 加上八百，哎，不等这个关系式呢，我们就列出来了啊，接下来我们去找不等式，求 啊，范围不等式哪里呢？你看这里有不超过这个字样？没有哎，不超过就是小于等于的意思，但是够进这个，那就是进价喽啊，总共不能超过三千五， 那么看啊，冰墩墩进价是一百五，那是一百五十， m 加上，哎，雪绒八十块钱的进价有四十，减去 m 个，最终要小于等于三千五，那最终 m 算出来应该是怎么样子的呢？ 小于等于七分之三十，好，有了关系式，有了范围，接下来我们就要通过函数的性质求对值，那么因为 m 什么样呢？ 呃，这个地方啊，因为我们的三十是怎么样呢？大于零的，而且 m 为什么啊？为整数啊，为整数。 那所以呢，我这个当怎么样呢？当 m 等于多少的时候啊，我这个 w 会有最大值啊，它有最大利润嘛，对吧？那么要知道，当这个前面这个系数啊，我们 y 等于 x 加 b 里面啊， 我这个系数大于零的时候， y 随 x 增大而增大吗？那在这个题里面，就是 w 会随会随着 m 的 增大而增大，所以 m 越大，我的利润越大，那所以在这个范围内，我要取到的 m 应该是这个范围内的最大值， 那么呢，先估一下，七分之三十应该是多少呢？应该是四点几，对吧？四点几的话，在这个范围内的最大值应该是谁呢？是四啊，所以当 m 等于四的时候呢，我这个 w 就 什么样呢？有最大值啦 啊，有最大值，那最大值的话，他并没有让我们求这个最大率是多少，所以在这里就可以结束了啊，所以打打这时候我们的 m 是 谁呢？ m 是 冰墩墩啊，等于四个，那雪绒绒呢，一减就到了三十六个的时候 啊，那我们的这个利润就会最大，哎，所以依然是这个格式啊，就先列关系式啊，求范围，然后通过函数的性质来探讨最值。

依次函数的应用题是我们八下期末常考的题型，而且像这个数形结合的应用题是我们依次函数的应用题中最有难度的题型。他要求我们对这个运动的状态和图形要能够一一匹配，而且又要求我们从这个复杂的图形里面去探讨多种的情况， 所以今天的话，我们通过一个视频把它完全搞清楚。现在读一下题目，他说这里有两个人约好去爬山，那么甲和乙呢？他们攀爬的高度就是距离地面的高度和他们攀爬的时间的图像是这样子的，那一看这个图像就非常的复杂啊， 那么现在初步的分析一下，这个甲和乙他分别是怎么爬的啊？可以看到这一条已经标出来了，他是甲的一个呃，图像，甲的图像呢？他一开始这里从一百开始的，说明了什么？他一开始爬的时候就已经距离地面是一百米了， 他整个过程当中都是一条直线，说明他的速度啊，都是保持一致的。然后呢，我们可以看啊， 以呢就分成两段了，一开始 o a 这一段他是从零开始爬的，就说距离地面从最底下开始爬的啊，爬到这个地方他的速度啊，你看这个图像啊，变抖了，说明他的速度变快了。 哎，这是第二段，他有两段的一个过程啊，而且这两条 ab 这段和 cd 这段有交点，说明此时啊，他们在统一高度上啊，同样的一个高度上。 好，这是大概的我们图形的一个解答啊，接下来我们看一下，第一问他求什么呢？ t t 在 哪里呢？是 a 点对应的时间，就说我的这个乙啊，从零走到了三十米的地方，然后他用了多少时间？ 那这个很简单啊，我们知道在一段上他的这个变化啊，速度变化是一样的，所以他们速度一样，速度怎么求呢？速度是通过路程除以时间得到的，所以我们可以看到这里有一个标了，一和十五的啊，一个点， 也就说他从零走到十五用了多少分钟啊？用了一分钟，所以他的速度就可以怎么样呢？用十五除以一就等于十五 米每分钟，这是他的速度。那现在我要求这段里面，他走了三十米的情况下，用了多少时间呢？就用三十这个这个路程除以他的速度就三十除以啊，十五就等于两分钟了，所以说 t 等于二。好，第二个问的第一个呢，他说 如果一提速之后，乙提速就是指 a、 b 这一段他的速度将是谁呢？甲的三倍，他就会问甲的上升速度是多少？ 那甲的这段只有一个数据，要算他的速度还是比较难的啊。那我们可以通过先算乙这段的速度来求，对吧？那乙这段怎么办呢？依然是用怎么样啊？速度等于路程除以时间，路程是怎么样看的呢？ a 点到 b 点，从三十到三百，他走了多远呢？走到二百七十米， 然后他用了多少时间呢？这里是二刚我们已经算出来的，两分钟的时候，到十一分钟的时候，一共用了十一减二，用了九分钟，那就用二百七除以九等于三十米每分钟， 这是谁呢？这是乙的速度，那乙呢？又是甲的三倍，那除以三，那甲的速度就是十米每分钟。好，第二问他求什么样呢？甲，在登山的过程当中，他的这个函数表达式，这个也很简单啊，我们已经知道了什么样呢？ 知道他是一条一次函数，而且没有过圆点，所以他是啊，一次函数，我们可以设来解数， y 等于多少呢啊？ y 等于 k， x 加上 b， 接下来我们代入两个点的坐标就可以了，就是零到一百和我们这个点到三百，但这个点呢，没有，我们可以也可以计算啊， 因为我们已经知道假的速度了，速度就是三百减一百，这个路程除以这里的时间就是这个减去零嘛，就是这个 t 啊， 那我们速度已经知道十了，他走的路程是两百，那我们就可以求出他的时间啊，就是两百 除以十就等于二十，比如说用了二十分钟，所以这个地方就是二十啊。现在我们就可以把这两个点啊，二十到三百，零到一百带进去，就可以求出他截式，这个求出来是多少呢？ y 就 等于呃，十， x 加上一百加一百， 那你说这个有没有更快的方法呢？有，首先我们要知道啊，这个 b 是 什么？是函数与 y 值的焦点，它已经是一百了，所以我们直接可以得到 b 是 等于一百的。第二个呢，这个 k 是 什么？是变化的趋势，在这个图形里面，变化的趋势就是速度的变化， 这个速度是等同于 k 的， 我们已经算出速度是十，所以它 k 就是 等于十的，直接可以得出它几个式也是可以的啊。好，第三问 啊，这是 y 甲的，然后现在他说甲乙两个啊，距离高度差为五十米，那么请写出满足条件的这个时间 x 的 值。那这个是我们这个题当中最有难度的部分， 那怎么来探讨是最好呢？他的情况到底有多少种？我们通常是找到这个拐点和交点，比如说这个是拐点，这是交点，这也是拐点，用线啊，把它画下来。整个过程呢，我们就分成了四个部分，这条线左边的，两条线之间，两条线之间，这条线右边的。 那每一种，每一个区域呢，都有可能相差五十，那这个五十，所有的五十，就是说要么假在前面啊，假在上边或者移在上边，他们一减就等于多少呢？等于五十在图像上表示。为什么样呢？在这个区域内，上面的这个 y 减去下面的这个 y， 刚好等于五十啊。 那么先初步从左边这个部分开始出发，看判断一下他否不符合要求啊。那很明显第一个阶段是不符合要求的，为什么呢？ 第一个阶段，我的这个乙啊，爬到最高的地方才是三十，这个甲一开始就是一百了，所以说我的最高和他的最低都相差七十了，所以在后面的过程当中肯定会越来越大啊，所以不可能相差五十。第一个阶段呢就排除掉。 那第二个阶段呢，那就是甲是在上面的，也就是说甲还是爬爬的比较高的，乙呢，要矮一点，他们两个一减呢，等于五十是有可能的啊，有可能。所以这个时候我们怎么来列式呢？就用甲的这个，呃， 我们的这个结式减去怎么样呢？乙的结式，那这个时候呢？乙的结式我们要去求啊，乙的结式呢，这里有两段啊， 第一段我们就判断它已经不成立，我们就不用求了，我们求出啊， a y a b 这一段， y b 呢，两个点都知道了，我们就直接设结式啊，带两个点的坐标进去就可以了啊，这个算出来呢，就是 y 等于三十， x 减去三百啊，三百 啊，减去三十啊，这个等于三十。好，接下来我们就可以探讨这种情况了啊，哎，上面减，下面就属于呢，甲减去乙，哎，甲的在这里啊，十 x 加上一百，减去我们的三十， x 减三十，最终相差五十， 哎，相差五十，这个是可以算出来的， x 等于多少呢？ x 等于四啊，这是一种情况。第二种呢，哎，他跑到哪里呢？经过这个交点处啊，他们相等了，然后已跑到前面去了，这个时候也有可能已减角是可能的啊，已减角就反过来了， 哎，三十 x 减三十，减去十， x 加一百，哎，加一百等于五十，最终算出来 x 呢，是等于九的，这也可以， 还有一种呢，是怎么样呢啊，来到这里呢，这个乙呀，已经爬到三百米，他就不爬了，接下来就是甲一直在爬，对吧， 哎，一直在爬呢，他们的距离啊，逐步在缩小，也有可能是相差五十的情况，那这时候呢，我们就怎么列式呢啊？第三个式子啊，我们写这里就是用上面的三百，哎，减去我们甲的这个关系式啊，就是 十 x 加上一百等于五十，那这个也能算出来是等于多少呢啊，这个 y 是 等于 x 等于十五的，那所以总的来讲呢，我们这里啊，所有的 x 的 值呢，就有三个 x 就 等于四或者九或者是十五。

今天教大家一个求一战术解析式的斜修大法，尖子生都在用，不需要待定系数法，只要瞪眼法，三秒钟出答案，有手就行，马上开始给你一个图像如何快速的求出他的解析式。分三步骤，第一步，确定 k 的 符号， k 往上走为正，往上走为正，往下走为负。第二步，求 k 的 数值，只要用纵截距的绝对值除以横截距的绝对值就搞定了。这里纵截距是四，横截距是二，所以呢，四除以二， 绝对值为二，横截距为二，绝对值为二，二除以二等于一，所以 k 等于一。最后一个纵截距为四，横截距为二，所以呢， k 的 大小为二。 第三步，确定 b， b 的 话看重叠句，重叠句是四，所以这里是加四，这里是负二，所以这里是减二，这里是正四，所以是加四。搞定，你学会了吗？

尖子生本都在悄悄用的一次函数大招，居然这么好用，不用列方程，只用瞪眼法，就能直接写出一次函数的表达式来。今天林老师就教会你这五种一次函数的常用解析式，只要你学会了，轻松成为一次函数的高手， 学完之后，再把林老师给大家整理的依次函数拔高练习，拿去给孩子巩固一下，只要把里面的题目搞定，期末轻松多拿二十分。依次函数一共有五种表达方法，而我们的课本里呢，只有第一种， 其他四种隐藏款课本里面没有出现。那么今天呢，一个视频给你讲明白。先来看第一种，第一种呢，是我们课本里面的， 如果知道了斜率 k 和截距 b， 那 么它的表达式我们就可以写成 y 等于 k， x 加 b。 举个例子，例如说斜率 k 等于二，而截距 b 等于三，那么它的表达式呢，就会变成 y 等于二， x 加三。 那么这种方法呢，因为你有了斜率，也有了截距，所以它有一个名字叫做斜截式。第二，如果我们知道了一个点的坐标加上斜率 k， 那 么如何直接写出它的表达式呢？ 这个时候啊，林老师要教会你一个公式，叫做 k 的 几何意义。那么我们在函数里面， k 呢，可以写成 delta y， 比上 delta x 这个公式任何时候都能用，那是什么意思呢？它指的就是这个 delta y 呢，指的是 y 的 差，所以你可以把它写成我们的表达式里面的 y， 减去这个第一个点的坐标 y 一， 然后呢，去除于这个 x， 减去这个 a 点的坐标 x 一 好，然后就写完了，把头和尾我们把它连在一起，把这个 x 减 x 一 移过来，就直接写出来，它表达是 y 减去 y 一， 等于 k 倍的 x 减 x 一。 好，我们来举个例子，例如说 k 等于二，然后这个 x 呢，它等于一，这个 y 它等于二，那么结果会怎么样呢？你看，我们带进去直接变成了 y 减去二，等于 k 是 二，那就是二倍的 x 减一，然后化解就直接得到解析式啦。这种方法呢，由于我们是知道了一个点加上斜率，所以它有个专门的名字叫做点斜式。好，那这是第二种，第三种情况，如果你知道的是两点坐标，该如何写它的表达式呢？ 我们课本里的方法是待定系数法，但是呢，你需要去解方程，那今天林老师教给你的方法是直接套的，具体怎么做呢？你看好了啊，首先我们的依据还是这个 k 等于 delta y， 比上 delta x 这个 k 的 几何意义？记住，这个公式任何时候都能用好，接下来我们来构造它， 你看 delta y 就是 指 y 的 差，所以呢，我们可以写出 y 减 y 一 啊，然后呢， delta x 是 指 x 的 差，我们可以写出 x 减 x 一 出来。 然后呢，再看到我们的已知条件里面，我们知道的是两个点，所以我也可以直接用两个点来写出 y 出来啊，所以我们直接写出 y 一 减 y 二，然后呢， delta x， 我 们就用 x 一 减 x 二就搞定了。 好，接下来我们做点小小的变形，我们把这个 y 一 减 y 二，因为它是常数，和这个 x 减 x 一 呢，我们交换一下位置，就可以得到一个全新的表达式了， 就变成了 y 减 y 一 除以，把这个 y 一 减 y 二放下来， y 一 减 y 二等于 x 减 x 一 除以 x 一 减 x 二。 搞定好。来举个例子，例如说 a 点的坐标 x 是 二， y 是 四，然后呢，这个 b 的 坐标呢？ x 是 负一，然后 y 呢是负二？好，我们直接套这个公式，看能得到什么结果。直接写出， y 减去 y 一， 那就是四咯啊。 y 减四除以 y 一 减 y 二，那就是四减去负二，那就是四加二好，然后呢， x 减 x 一， 那就是 x 减二。米上 x 一 减 x 二，那就是二减去负一啊，那就二加一 好，然后去化简，就直接出答案了。这种知道两个点直接写出解析式的方法呢，也有一个专门的名词，叫做两点式。 第四种情况，如果给你两个截距，就像这个直线一样，给你一个 x 轴的截距 a 和 y 轴的截距 b， 那 么我们可以直接套公式， x 除以 a， 加上 y 除以 b 等于一， 这个公式就是鼎鼎大名的截距式。给你举个例子，例如说 a 是 二， b 是 负三，那么我们代进去，可以直接得到 x 除以二，加上 y 除以负三，等于一。 搞定。这些公式虽然好用，但是有注意事项，那就是当分母出现参数的时候呢，我们一定要记得这些分母是不能为零的，就像这个结句式， a 和 b 不 能为零。还有前面咱们的两点是， y 一 减 y 二作为分母， x 一 减 x 二作为分母，都不能为零。那有没有一个六边形的公式没有这些限制的呢？ 有，还真有啊！所以我们今天的终极 boss 就是 这个通用表达式，那么一切的一次函数到最后都能化成这个式子？ a x 加 b， y 加 c 等于零， 这个式子没有任何限制，堪称六边形战士请膜拜！好，我们总结一下，如果知道斜率 k 和截距 b， 那 么可以写成 y 等于 k， 我 们可以写成这个点斜式。 如果知道两个点的坐标，我们可以写成这个两点式。如果知道两个截距，我们可以写成截距式，但是要注意这里呢，你分母不能为零。最后六边形占是 a x 加 b， y 加 c 等于零，这个就是我们依次函数的全部表达式，你都学会了吗？

八年级的一次函数中，已知平行求解析式是期末高频的易错题型，但是呢，刚学一次函数的孩子，他根本就不理解在函数里面平行是什么意思， 他们的脑袋瓜里面在想说，哎，平行不是几何里面的事吗？怎么函数也关他事啊，然后也不懂得带变去求逼，所以呢，经常丢分，十分可惜。 而且我要告诉你，一次函数还只是个开头，后面我们还有二次函数，反比例函数都在等着他们呢， 所以呢，我们一定要开个好头，把基础学好，一点一点的进步。那今天林老师呢，就手把手带着大家把这类题型吃透， 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数八大题型拿去练习巩固一下，期末考可以多拿二十分。好，我们来看题，若一次函数 y 等于 x 加 b 的 图像 与直线 y 等于负二， x 加一平行，而且呢，过这个点三动，问这个一次函数的解析式是多少？ 那么在刚开始学一次函数的时候呢，孩子们对于平行这个几何的概念怎么用在函数里面还是不太熟练的。那么今天呢，我就给你讲清楚它的底层逻辑。 我们知道一次函数的解析式啊，它叫 y 等于 k， x 加 b， 然后呢，你得知道这个 k 和这个 b 分 别代表什么？那么今天呢，就来讲讲这个 k， 它有一个专门的名字，叫做斜率，那么大家可以想象一下，斜率是什么意思， 是不是代表它倾斜的这个程度啊，对不对？那么你想想看，当它跟另外一条直线平行的时候， 平行的时候，那是不是代表着它们的倾斜程度是一样的，对不对？所以呢，我们今天要教的方法，就像如果你看到平行，那就意味着它的斜率相等，也就是 k 相等， 所以呢，我们可以由这个平行条件直接得出它的 k 就 应该是这个负二，所以我们可以这样写， y 等于负二， x 加 v， 你 看我们已经解决了一半的内容啊，已经把这个 k 解决了。 好，那接下来我们再看第二个条件，他说过这个点三斗五，那过点又是什么意思呢？你看有这么一条直线，然后呢，里面过了这个点，这个点呢叫三斗五， 那说明什么呀？是不是说明这个点它得符合这条直线的算法呀？那现在我们知道这条直线它长，这个算法就是 y 等于负二， x 加 b， 所以呢，我们这个三动五是不是也带进去，它也得成立呢，对不对？所以呢，我们就可以啊，把它带进去， 三带进 x， y 带进五啊，那就得到了这个五等于负二乘以三，再来加个 b， 哎，那这个就轻松解的，把这个移过去， v 等于什么？十一，那至此 k 和 b 都被我们解决了，所以这道题的最后答案就是， y 等于负二， x 加上十一，搞定，你学会了吗？

一次函数与不等式结合的题目是八项数学的必考题型，里面最大的考点就是塑形结合，很多的孩子没有这样子的思维，直接白白丢分，十分可惜。那今天学完这道题之后，再把林老师给你整理的一次函数十大题型拿去整理巩固一下， 只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题，如图，函数 y 等于三， x 就是 这一条 和 y 等于 k， x 加 b 就是 这一条，它的图像呢，相交于点 a 一 逗三，好在这里， 然后让你求这个不等式三 x 小 于 k， x 加 b 的 解集。那这道题如果你把它当成当成一道不等式的题去解，是没办法解的，所以我们得要用到一自然数里面的常用做法。 数形结合什么意思呢？你看，我们看这个 y 等于三 x， 把它叫做 y 一 吧，啊，也就说这条它是 y 一， 那这条呢？我们叫它做 y 二。然后这道题目呢，你看三 x 我 们写成 y 一 了， x 加 b， 我 们写成 y 二了，那它不就变成了当 y 一 小于 y 二时， 对吧？因为它就是它，它就是它吗？ x 的 曲值范围是多少？那好，整道题我们就翻译成了这个意思。然后呢，我们就去看图，从图里面你看，很容易就可以找到 y 一 要比 y 二小在哪里啊？ 是不是 y 一 是这条，那它比 y 二小的地方就是在这一段，你看这一段呢，就永远比这段 y 二要小了，也就说在这个一的左边啊， y 一 无论怎么取，它都会比 y 二要小啊。所以这道题直接看图出答案，那就是 x 小 于一搞定，你学会了吗？

利用一次函数的性质求参数的范围，是我们八下数学常考的填空题，那这种题呢，需要我们对于函数的趋势以及两点坐标，或者是多个点坐标之间的一个关系要非常的熟练。 那今天我们来看一下这种题怎么做。现在看一下题目，这里有两个点， a b 两个点是关于我们这个函数图像上的两个点，而且当 x 一 小于 x 二的时候，对应的 y 一 也会小于 y 二，让我们求 m 的 取值范围。 那解决这种问题呢？首先第一步要通过他给出来的两个点， x 和 y 之间的关系，得出他这个图像的一个趋势。 那么现在看一下啊，回顾一下这个依次函数的图像趋势是什么东西呢？实际上就两种，一种呢，从左往右就是上坡的趋势，像这样子呢，就是 y 会随着 x 的 增大而增大， 那这个时候是有什么决定的呢？就是我们前面我们依次函数里面的 y 等于 k， x 加 b， 这里面的 k 就是 x 前面的系数决定的 啊，那这个时候 k 就是 大于零的好。第二种呢，就是从左往右是下坡的趋势啊，这个时候呢， y 会随着 x 的 增大反而变得越来越小，那这个时候我们的 k 啊，它是小于零的 好，那所以通过这个我们就可以得到啊，哎，这个它的趋势是怎样子的，我们来看一下啊。他说 x 一 小于 x 二，那那就是 x 一 到 x 二的时候变大了， 那对应的 y 一 也小于 y 二，那也就说我的 y 一 从 y 啊，从 y 一 变到了 y 二，它也变大了，那也就说 x 变大的同时， y 也变大了，那就是 y 随 x 增大而增大。 哎，那我们就得到了这个趋势啊，增大二，增大就意味着 k 大 于零，那在我们这个节制里面啊，啊， y 等于 k x， 我 这个 k 是 什么东西呢？对应的就是这里的 m 加上一， 那也就意味着我 k 大 于零， m 加一这个整体呢，也是大于零的， m 就 会怎么样呢？大于负一，所以我们这个的范围啊，就是 m 大 于负一就可以了。

一次函数是八项数学的重中之重，而其中三角形的面积问题是必考题型，百分之九十的孩子都会在这里丢分，原因是他们找不到做辅助线的方法，结果硬算白白丢分。 那今天呢，林老师就教大家这一道题目，如何用一道关键的辅助线化腐朽为神奇，然后轻松破解出来。 学完之后，再把林老师给大家整理的依次函数拔高训练，拿去给孩子巩固练习一下，只要把里面的题目搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题，如图，已知点 a 三斗零啊，点 a 在 这里，点 b， 零斗二在这里， 点 p 呢，是 m 到一在这里，然后呢，面积 s 三角形 a， b， p 啊，中间这个红色的三角形面积是四，要我们求 m 的 值，就是求这个 p 的 坐标，那这道题的核心呢，肯定就是把这个 s a、 b p 等于四给它用起来，然后去解方程嘛，对吧？ 所以呢，我们要把这个三角形想办法表示出来。最常用的两个主流方法呢，第一个就是我们去构造一个大型的割补法，对吧？我们来一个这样子啊，这个一割三啊，就是一个大的矩形， 减掉三个直角三角形，这是第一种方法。第二种方法呢，我们也可以用牵垂法的面积公式，就是水平宽乘以牵垂高除以二也可以。但这两个方法呢，都有个弊端，那就是计算量非常的大，而且费时间，又容易算错，所以它不是最优解。 那这道题呢，究竟什么是最优解呢？我告诉你，只需要一条关键辅助线，那就是连接 p o， 你 看整个 s 三角形 a b p， 它是不是整个大的四边形去减去底下的 a p o 呢？对不对？等于 s 四边形 a o p b， 减去 s 三角形，底下的 a o p， 对 不对？好，然后呢，这个大的 四边形呢？你观察一下，它是不是又可以分成左边的这个三角形，加上右边的这个三角形呢？对不对啊？所以它又可以变成 s 三角形 bpo 加上 s 三角形 abo， 再来减去 s 三角形 aop。 那当你能想到这一步了，那这道题其实就离做出来不远了，我们只需要把数值带进去就拿下了。好，我们一个个来。 v p o 是 这边的这个三角形，那它的底呢？是这一段，对吧？ v o 啊，那就是乘以二， 高呢？是这一段啊，也就是 m 的 相反数啊，乘以负 m， 好， a b o 是 谁？ a b o 是 右边这个直角三角形，那 底高我们都有啊，就是加上二分之一乘以二，乘以三，好，减个 a o p， 那 a o p 是 谁？ a o p 是 底下这个三角形，对吧？底下这个蓝色的三角形，所以它等于二分之一，底是 a o 啊，那就是二分之一乘以三， 高呢？是这个 p， 这里可以做个虚线下来，得到这一段高，也就是一好。那么这是一个关于 m 的 表达式，我们整理一下，等于负 m 加上二分之三，然后呢，根据已知条件，它等于四。好，这里等于四， 所以轻松解得，我们的 m 就 等于负的二分之五。好，最后答案，负的二分之五。所以呢，有没有发现，只要做对辅助线，这种题目我们能轻松解决，你学会了吗？

八下的期末数学想冲高分，只要搞定一次函数，这一张你就稳了很多。孩子呢，一次函数的基础题会做，但是考试一碰到中档题、压轴题就很容易掉链子。那究其原因是什么呢？那是因为中档题和压轴题啊，他根本就不是考单独的一次函数， 而是把一次函数跟其他的考点融合在一起了。我给你举个例子你就知道了，压轴题里面常考一次函数，跟三角形的结合，跟面积的结合， 跟最值的结合，跟动点的结合等等等等，所以孩子就容易掉坑里了。但其实啊，一次函数的综合题根本没你想的那么难， 前提是你得首先知道有哪些常考的考法，而且最好在考试前就先练习过。好消息是，我已经把常考的题型整理出来了，一共八个，从基础到压轴全面覆盖， 每一种题型我都给你配备了解题大招，只要孩子把这些题目彻底吃透，期末考试就能轻松的弯道超车。

八下数学一共有两大亚洲难点，一个是平行四边形，一个就是一次函数。这道题好了，他把平行四边形和函数结合在了一起，下面我将会用两句口诀，轻松的带着大家秒出这类选填亚洲题的答案。 那有 v i p 向量数与几何图形这类综合题，老师特别给大家做了一个专题，就是考验大家知识综合和复合压轴题型答题能力。如果咱们孩子现在做这种题目，还经常有困难， 没有思路，家长们一定要打印出来，逐个题型的，咱们来进行练习。下面呢，咱们就来一起看看这道题啊！说平行四边形的一边在坐标轴上， b 的 坐标已经知道了是哪个二 直线 f n 呢？它是 y 的 k x 加 b， 把平行四边形的面积分成相等的两部分，这是不是考察平行四边形的基础性质？什么性质啊？之前老师就给大家总结过，哎，过平行四边形 对角线交点的直线，可以任意把平行四边形分成面积相等的两部分，无论你怎么分怎么分，左右两边都是相等的。 所以你明白这个道理，你就知道，他既然能把平行四边形面积分成相等两部分，那就说明这条线一定过一点，这一点就是什么。 对了，平行四边形对角线的焦点了，而对角线的焦点是什么？是不是两条对角线互相平分呢？ 他是不是一定是任意一条对角线的终点呀？所以求出我们对应这一点的坐标就比较容易了。这是六二，这是零零 终点坐标公式，终点求平距，我们很容易可以求出终点坐标为三 e 终点的坐标已经有了，你又知道他与 x 轴的交汇点，这点是六零，已知两点。想求直线的解析式容不容易？ 非常容易，叫做待定系数法，直接待定就可以了。设 y 等于 k， x 加 b 一 就等于三 k 再加 b 了。来，同样零就等于六 k 再加 b 了。哎，我们解这个关于 k 和 b 的 方程就可以求出答案了。 在这里啊，我们可以解出来 k 啊，不是负的三分之一，当然 b 点呢？求出来 a 的 二，而这道题直接问你 k 的 值，那你就可以直接求答案了，也就是负的三分之一。