八下数学学林卷单元2026函数

最近有不少家长找林老师吐槽，说孩子八下数学学到一次函数之后就突然跟不上了。 原因呢是一次函数的图像变化多端，课本没有讲透，考试的题目却很灵活，孩子呢，是靠死记硬背记知识点的，结果呢，越学越懵。其实啊，这真不过孩子不够努力，而是他用错了方法。 今天这期视频呢，林老师将做一期盘点视频，帮助孩子们把依次函数的各种图像性质做一期盘点，帮助孩子们理解并记住依次函数的每一种图像的由来。只要把这个方法学会了，以后这种题就是送分题。 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去巩固练习一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分。好，我们来看一下这个表格。首先，我们得认识一下，所有的一次函数都可以写成 y 等于 k， x 加 b， 这个叫做标准式。 然后里面的这个 k 和这个 b 呢，它对图像是起到决定性的作用的。首先先来看一下 k 啊， 那么 k 在 一次函数里面呢，又叫做斜率，它决定了这个直线的倾斜程度。 什么意思呢？就是如果当 k 是 大于零的话，它这个图像一定是往右上方走的，也就说，它的变化趋势一定是这样子的一个形状啊，只要 k 大 于零，它就是往上走的。 然后呢，如果这个 k 是 小于零的啊，那它的图像一定是这样子的一个下降的趋势，明白吗？所以呢，你看， k 决定了上升或者是下降，然后呢， k 还决定了它的增减，是什么意思呢？你看我们作为一个平面直角坐标系， 往这边是不是 x 在 变大呀？对不对？然后你发现这个图像它是往上走的，所以越往右你会发现这个 y 它是不是往上走了呀？所以呢，我们这就叫做 y 会随着 x 的 增大而增大，这个就叫做增函数的性质。然后再来看下面这个还是一样，咱们往右看，会发现这个 x 在 变大的时候，这个 y 呢，它在往下掉，对不对？所以这个 y 呢，它会变小， 我们这种情况就叫做 y 随 x 的 增大而减小，所以现在大家有感觉了吧，就是这个 k 呢，它直接决定了它的倾斜的方向，变化的趋势，还有它的增减性。那接下来我们来看一下，这个 b 又决定了什么？ b 呢？在我们的一次函数里面，它有个专门的名字叫做截距，那么截距指的就是这个图像和 y 轴的交点，是什么意思呢？我来给大家讲一讲啊。 就像咱们以这个 k 大 于零，而且 b 大 于零的这个示意图，我们一画你就知道了。首先因为 k 是 大于零的，我们前面讨论过，它是往上走的，而且这个 b 呢，它是跟 y 轴的焦点啊，也就说它 b 大 于零的话，它的焦点一定就在这上面，所以我们就可以画出这种情况的这个大致的示意图， 又要往上走，又要过这个 b 点啊，这就是它的示意图了。好，那么经过什么象限呢？你看一二三，它经过了一二三象限，你看接下来再看这个题， b 是 小于零的，那么它与 y 轴的交点呢？就小于零，也就是它交 y 轴在下面， 我们又要往上走，又要交这里，所以它的图像呢，画出来是大概这样子的，对吧？所以它交一三四象限。好，再来看下面两种情况， k 小 于零，那它就往下走的喽，对不对？然后 b 是 大于零， b 大 于零的话，与 y 轴交点在上方，所以它的图像就会变成这个样子啊。经过一二四象限，再来看最后一种情况， k 小 于零 b a 小 于零，说明，首先你要往下走，而且你的焦点呢，要在下面啊，所以你只能怎么画，你只能这么画 好，那经过二三四象限，所以这就是我们全部的性质，你看，你学会了它的底层逻辑之后，根本就不需要死记硬背。 接下来，为了帮助大家理解，我再拿一道例题出来，请看这道题，若直线 y 等于 k 加 b， 经过了一二四象限，则这个直线是下列的哪个图呢？ 首先呢，咱们来画图解决，它说经过一二四象限，那么一二四它的图是长这样子的，对不对？那么根据我们前面学的性质，我们可以知道它是往下走的，那么 k 就 小于零，没毛病吧？然后呢，焦点在这里，说明这个 b 怎么样？ 是大于零的，是不是？好？再来看我的问题，现在的斜率变成了负 b， 然后呢，这个截距变成了负 k， 那 根据我们这里的 b 大 于零，那你的负 b 就 得干嘛？就得小于零，对不对？说明你的直线是得要 往下走的啊，往下走的，那是不是瞬间排除了这个 b， 它是往上的吗？还有这个 d 它也往上的吗？两个排除了。 再来看这个负 k， 我 们前面已经有了这个 k 是 小于零的，那么负 k 自然就是大于零了，所以负 k 大 于零，说明我们的这个焦点是不得在上面呢， 对不对？你看他这个焦点在下面，那他就不对了啊。所以你看这么一顿分析，答案是不是轻松选出来 a 啊？所以你看，只要有了方法技巧，这种题啊，秒变送分题，你学会了吗？

八年级的一次函数中，已知平行求解析式是期末高频的易错题型，但是呢，刚学一次函数的孩子，他根本就不理解在函数里面平行是什么意思， 他们的脑袋瓜里面在想说，哎，平行不是几何里面的事吗？怎么函数也关他事啊，然后也不懂得带变去求逼，所以呢，经常丢分，十分可惜。 而且我要告诉你，一次函数还只是个开头，后面我们还有二次函数，反比例函数都在等着他们呢， 所以呢，我们一定要开个好头，把基础学好，一点一点的进步。那今天林老师呢，就手把手带着大家把这类题型吃透， 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数八大题型拿去练习巩固一下，期末考可以多拿二十分。好，我们来看题，若一次函数 y 等于 x 加 b 的 图像 与直线 y 等于负二， x 加一平行，而且呢，过这个点三动，问这个一次函数的解析式是多少？ 那么在刚开始学一次函数的时候呢，孩子们对于平行这个几何的概念怎么用在函数里面还是不太熟练的。那么今天呢，我就给你讲清楚它的底层逻辑。 我们知道一次函数的解析式啊，它叫 y 等于 k， x 加 b， 然后呢，你得知道这个 k 和这个 b 分 别代表什么？那么今天呢，就来讲讲这个 k， 它有一个专门的名字，叫做斜率，那么大家可以想象一下，斜率是什么意思， 是不是代表它倾斜的这个程度啊，对不对？那么你想想看，当它跟另外一条直线平行的时候， 平行的时候，那是不是代表着它们的倾斜程度是一样的，对不对？所以呢，我们今天要教的方法，就像如果你看到平行，那就意味着它的斜率相等，也就是 k 相等， 所以呢，我们可以由这个平行条件直接得出它的 k 就 应该是这个负二，所以我们可以这样写， y 等于负二， x 加 v， 你 看我们已经解决了一半的内容啊，已经把这个 k 解决了。 好，那接下来我们再看第二个条件，他说过这个点三斗五，那过点又是什么意思呢？你看有这么一条直线，然后呢，里面过了这个点，这个点呢叫三斗五， 那说明什么呀？是不是说明这个点它得符合这条直线的算法呀？那现在我们知道这条直线它长，这个算法就是 y 等于负二， x 加 b， 所以呢，我们这个三动五是不是也带进去，它也得成立呢，对不对？所以呢，我们就可以啊，把它带进去， 三带进 x， y 带进五啊，那就得到了这个五等于负二乘以三，再来加个 b， 哎，那这个就轻松解的，把这个移过去， v 等于什么？十一，那至此 k 和 b 都被我们解决了，所以这道题的最后答案就是， y 等于负二， x 加上十一，搞定，你学会了吗？

好，我们继续来看坐标系的综合应用，关于一次函数与面积交点轨迹的问题。首先的话告诉的是如图一，直线 y 等于负二， x 加四与 x 轴 y 轴分别交于 a 点和 b 点。 好，那解析式的话还是在图中做上标记。解析式是用来求点或者是表示点，那这个地方与 x 轴 y 的 交点是两个确定的点， a 点和 b 点，那零 y 等于零，可以得到与 x 轴的交点应该是二零这个点。 然后呢，零 x 等于零，可以得到 b 点，坐标应该是零四，我们在图中把它标记出来啊， 好，然后呢，接下来的话， aob 这个图形的面积，它是一个横平竖直的直角三角形，二分之一底乘高，得到面积应该是等于四的。好，接着第二小题是如图二告诉的是有一条新的直线，那原本的 ab 这条直线仍然是 y 等于负二， x 加上四的 b 点，坐标还是零四， c 点坐标是二零，好，接下来有一条新的直线， y 是 等于 k， x 加一的。 好，这条直线目前注意观察它的解析式里面的 b 是 确定的，那表达式里面的 b 是 用来确定图像与 y 轴的交点，所以他让说的是与 y 轴交于这个 c 点，那就是零 x 等于零，可以得到 c 点的坐标应该是零一。 好，接下来的话就是与我们的 ab 的 这条直线交于点 d 点。好，那 d 点的这个点的坐标暂时目前是一个未知的点，如果说直接连立的话，那这个时候的表达式里面啊，坐标的表达式里面会带参数 k。 好， 接下来提供的信息是角 dbc 和我们的角 bcd 是 相等的好，这两个角在数量上相等，在位置上来看是同一个三角形。 dbc 这个三角形里面的两个角， 那这两个角相等，代表的是 d b 和 d c 这两条边是相等的，所以它是一个等腰三角形，那等腰三角形里面的话，这个 bc 是 确定的，而 bc 这条线段长度为三 啊，并且它是我们的等腰三角形的底边，那出现的等腰三角形的底边，实际上它会有一个三线合一的这样一种想法，也就是过地点做 bc 的 垂线， 我们最后要求 k 的 值，要求 k 的 值，也就是要求解析式好。用什么？求解析式，用点来求解析式好， c 点是由解析式得到的，肯定不能用它，那就用上面的有效的点。地点， 那要求地点，从几何的角度来看，因为这个地方啊，他是给出的是一个几何的信息，角度相等，所以我们借助几何的坐标转换成几何的横平竖直的线段 好，因为这个地方啊，往外轴做垂，理论上来讲，横或纵 x 轴外轴做垂，都可以去表示呃，这个点的坐标对应的线段长度，但是因为这个地方有一个特殊型等腰三角形，所以在把这个点的坐标转换成线段长度的时候，选择往外轴做垂线 好，那一旦往外走做垂线之后，那么在这个等腰三角形里面，它是充当三线合一的，所以代表的是 b h 和我们的 c h 是 相等的，并且都等于 bc 的 一半，也就是二分之三。好，从而得到这个 h 点的坐标。 h 点的坐标出来之后，就可以得到我们的 d 点的纵坐标， d 点的纵坐标得到之后，他是在我们的已知的 ab 这条直线上，进而得横坐标。好，后面得到点的坐标之后，求解去式。好，我们写一下他的一个分析过程。首先是过这个地方的地点做垂线， 一个是等腰三角形的三线合一啊，另外一个就是呃点的坐标转换成横平竖直的线段长度。 好，那这个时候借助我们的等腰三角形啊，借助角相等啊，因为此时的角题目条件提供的角 dbc 啊，是等于角 bcd 的， 那角相等的话，可以提供的是 d b 和 dc 的 边相等。然后呢，加上我们的垂直，也就可以得到 b h 是 等于 c h 都等于 bc 的 一半，也就等于二分之三。好，那进而也就可以得到 o h 的 长度，它就应该是等于 oc， 加上 c h 是 等于二分之五的，也就可以提供的是我们的地点的纵坐标 y d 就 应该是等于二分之五的好，那这个时候直接是令我们的 y 等于二分之五就可以了，也就是令 ab 这条直线的 y 等于二分之五 啊，也就可以得到啊，此时的这个二分之五啊，这一是带到 ab 这条直线里面来啊，也就等于负二 x， 然后呢，加上四的，从而解得。对呢， x 的 值应该是等于这个四分之三的 好，也就可以得到地点的坐标。横坐标是四分之三，纵坐标应该是二分之五。好，得到地点坐标之后，我们要求 k 的 值，就把这个地点坐标带入到我们的呃直线 c d 的 解析式， 那接下来的话就得到的是二分之五，它就应该是等于四分之三倍的 k， 然后加上一好解得对应的 k 的 值 好。这样的话，得到的对应的 k 的 值是等于二的好。也就题目要求 k 的 值，那我们就得到这个 k 的 值就可以了啊。呃，如果要求解析式，那解析式就是 y 等于二 x 加一啊。这是我们的第二问 好。接着我们来看第三问，他说的是如图三，那如图三的话题干条件仍然是成立的。 ab 这条直线。解析式 y 等于负二， x 加四， b 点坐标是零四 好， a 点坐标是二零好。接着他是把 ab 这条直线进行平移，平移后的这条直线与我们的 x 轴交于 m 点，与我们的 y 轴交于 n 点好。那既然是平移的，从函数的角度来看，平行得 k 相等， 所以这个时候的 m n 这条直线的解析式，我们可以表示为 y 等于负二 x 加上 b 好， 实际上就是与 y 轴的这个交点啊， n 点好。然后呢，接下来的话，与我们的 y 轴交于 n 点，与 x 轴交于 m 点，那这个时候根据解析式， m 点和 n 点这两个点我们都是可以表示的，用代参数 b 的 这个式子来表示。 接下来分别延长此时的 b m 以及 an 交于点 q 点，证明这个 q 点在一条定直线上在运动。那就要想办法先去把这个 q 点表示出来，横纵坐标，把它表示出来。 q 点，它是我们的 b m 和 a n 这两条直线的交点，那要求 q 点就需要知道 b m 和 a n 的 直线解歧式，然后连立求交点， b 点是已知的点， m 点是这个可以表示的，用我们的参数 b 来表示，所以 b m 这条直线也是带参数 b 的 一个表达式， 同样的 a n 这条直线也是代参数 b 的 这样的一个表达式，然后再连立求交点好，我们依次来看一下。首先第一个 b m 的 这条直线解歧式 好， b m 这条直线我们在表示的时候， y 等于 k， 代定系数法 k x 加 b 好， 因为是经过这个 b 点与 y 的 交点是呃零四，所以这个解歧式我们可以直接表示为 y 等于 k 一 x， 然后呢，加上四 好，因为它是过这个零四这个点的啊。那接下来的话，要求解析式就是把这个地方的 m 点这个表示出来，所以我们在求这个 bm 的 解析式之前，先要表示此时的 m 点和 n 点好，那这个时候，首先是 m n 这条直线我们表示为 y 等于负二 x 加上 b 的， 那另这个 y 点的坐标应该是 m 点的坐标应该是这个二分之一， b 零 好，二分之 b 零好。另外一个 n 点的话，那就是零 x 等于零，得到 n 点的坐标应该是零 b， 所以 接下来的话，我们要求 b m 的 解函数，那就把 m 点的坐标代入，也就可以得到的是零，应该是等于呃 k 一 乘以二分之 b， 然后呢加上四，那这样的话就可以得到对应的 k 一 的值一项和边同内项，也就可以得到的啊。就是 k 一 乘以两二分之一， b 应该是等于负四的， 那么 k 一 就应该是等于负四，然后乘以 b 分 之二，从而得到 k 一， 应该是等于负的 b 分 之八的好。得到这个 k 之后，接下来就是得我们的 b m 的 解歧式 好，这个解歧式应该是 y 等于负的 b 分 之八倍的 x， 然后再加上四，好，这是 b m 的 解歧式，那接下来的话就是我们的 a n 的 直线解歧式。 好， a n 这条直线我们可以假设为 y 等于 k 二倍的好，这一下它是经过这个二零这个点，我们还是通过过定点的方式来表示这条直线，那就应该是 k 二倍的 x 减二，这个表达式表示的就是经过二零的这样的一条直线。 好，接下来的话，要求这个 a n 的 减去式，就是把 n 点坐标带入 n 点的坐标应该是零 b， 那 就应该是 b 是 等于 k 二倍的零。减去二，也就是乘以负二，好，从而得到此时的这个 k 二的值应该是等于负的二分之一 b， 好， 进而也就可以得到我们的 a n 的 值。减去式，那就应该是 y 是 等于负的二分之一 b 倍的 x 减二。 好，大家如果要把它写成一般形式的话，就是把括号去掉，得到的结果应该是负的二分之一 b x， 然后呢再加上一个 b， 好， 这是我们的 a n 的 直线解歧式。 那接下来得到这个 b m 和 a n 的 直线解歧式之后，它们俩交于点 q 点，那接下来就是把这两条解歧式进行连立，也就是把我们的 y 等于负的 b 分 之八倍的 x， 然后呢加上四。 当然如果说大家写的时候容易把那个 b 看成是六的话，也可以把这个解析式参数换一个字幕啊。 好，另外一个 a n 的 直线解析式应该是负的二分之一 b 倍的 x， 然后呢加上 b， 好， 那接下来的话就可以得到我们的 q 点的坐标 啊，这个年底解的这个过程可以在草稿纸上进行啊，负的 b 分 之八倍的 x， 然后加上四，那另外一个就是负的二分之 b 倍的 x， 然后呢加上 b， 然后呢移项合并，那就是二分之一倍的 b， 二分之 b 啊，然后呢，减去 b 分 之八倍的 x， 应该是等于 b 减去四的，然后呢？左边的话这个运算，那就是两倍的 b， 然后呢分子的话就应该是 b 的 平方减去十六倍的 x， 等于 b 减去四， b 的 平方减十六，是可以进行因式分解的平方差公式， b 加四乘以 b 减四，好，除以两倍的 b， 结果是等于这个 b 减四的啊， b 是 不可能等于四的啊，否则的话，这个就和我们的 ab 这条直线是重合的，就不存在 b m 和 a n 这两条直线。 所以把这个地方的 b 减四这个消掉啊，约掉，最后得到 x 的 值，应该是等于 b 加四分之好， b 加四分之两倍的 b， 好， 那得到这个横坐标之后，我们还是写成 x y 吧。 好，这个地方解得 x， 因为最后找这个横纵坐标满足的是一个一次的表达式，还是要念它等于 x 啊，那我们就直接 x， 应该是等于 b 加四分之两倍的 b， 好， 那代入解析式可以得到对应的 y 的 值。随便带一个，比如说带到二里面来， y 就 应该是等于负的二分之 b， 然后呢，乘以这个 b 加四分之两倍的 b， 再加上 b 啊，二和二可以约掉一个啊，最后就可以得到啊，应该是这个呃， b 加四分之负 b 的 平方，然后呢，再加上一个 b， 好， 那就是通分 b 加四分之 b 的 平方，然后加上四倍的 b， 然后呢，这个作加法， b 加四分之四倍的 b， 好， 所以得到对应的 y 的 值应该是 b 加四分之四倍的 b， 那 这个时候要确定的 y 的 值应该是 b 加四分之四倍的 b， 那 这个时候要确定 q 点的一个横纵坐标， 那这个时候比较容易能够得到纵坐标是横坐标的两倍好，从而得到啊，此时的这个 y 就 应该是等于二 x 的 啊，也就可以得到啊， q 点，它是在一条确定的直线， y 等于二 x 上在运动啊， 所以这个地方还是根据点，然后呢，这个引入参数来表示这个解析式，表示出解析式之后，再来表示 m 点和 n 点，再根据 m 点和 n 点以及已知的 b 和 a 去求解析式带参数 b 的， 然后后面是连立求焦点，根据焦点的横纵坐标关系， 表达的都是这个 b 的 这样一个表达式，所以最后得到啊，它是在一条确定的直线上。

八项数学一、自然数求表达式最核心的方法就是待定系数法，但是很多的孩子呢，在一开始学待定系数法的时候，没有掌握它的标准步骤和方法，导致常常丢分，还影响了后续小题的得分，非常可惜。 那今天呢，林老师就会给大家展示待定系数法的标准三个步骤，只要把林老师给大家整理的 依次函数十大题型拿去巩固练习一下，只要把里面的题型搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题， 已知 y 是 关于 x 的 依次函数，且点 a， b 的 坐标都给你了，它都在函数图像上，求这个依次函数的表达式，这种已知两个点要你求表达式，就是最经典的待定系数法的题目。那么它一共分为三个步骤啊，请大家记住， 第一个步骤呢，叫做设框架，第二个步骤带两点，第三个步骤解方程，那我来操作一遍给你看。首先第一步设框架，我们知道一自然数的框架呢，就是 y 等于 k， x 加 b， 这个是它的标准式。然后呢，我们把这两个点分别带进去，就可以得到两个方程， 分别是来把这个零带入 x， 四带入 y， 我 们就可以得到四等于零乘以 k 加 b， 然后呢，再把这个负二和零带进去，那么就是零等于负二， k 加 b。 好， 接下来第三步 解方程，我们把这个方程解一下，就可以得到，这个是零， k 加 b， 所以 b 就 等于四啊， b 等于四， 然后呢，负二 k 移过去变成正二 k， 正二 k 等于四，那 k 就是 二，所以呢，你看 k 和 b 我 们都有了，然后再带回这里面，它的表达式就出来了，我们写一下啊， y 是 等于二， x 加四。好，那这就是第一个小问，我们轻松拿下第二小题， 当 y 大 于等于负一时，求 x 的 取值范围。那么这道题我们需要用画图的方法来辅助解决。咱们先画出一个平面直角坐标系来 好，然后根据第一个问的表达是 y 等于二， x 加四，我们可以画出它的草图来，你看 k 是 大于零的，所以它的图像是往上走的， 然后这个 b 呢，是截距是四，所以它 b 过这个点，四在这里，然后呢，斜率是往上走，所以它大致是长这样子的一个图出来。然后呢，当 y 大 于等于负一在哪里呢？我们不妨假设这个 y， 这个负一它就在这里， 那么此时我们只要把这个负一带进这个表达式，是不是就能求出它对应的 x 在 哪里啊？哎，我们这里先画一个草图来找一下，你看我们这边做个辅助线过来， 对应的这个 x 是 不是在这个位置，这个我们是可以求出来的吗？对吧？把这个 y 等于负一带进去，就可以求出这个 x 出来了，我们求一下啊，我们令 y 等于负一啊，就是这个带进去就可以得到负一，是等于二， x 加四的，所以呢，此时解一下，得到 x 是 等于负的二分之五，把这个四移过去除以二嘛，所以呢，这个地方呢，它其实就是二分之五啊，负的。 好，那接下来我们通过画图就能解决了，你看 y 要大于等于负一，说明 y 要取上面的这个部分，那么对应的这个函数是不是要取这一个线段呢？ 这边这一段对不对？那么你这段过去呢？ y 就 能取到上面了是不是？那么与此同时 x 在 哪里呢？ x 是 不是相当于这个负的二分之五的右边都是符合这个直线的？ 所以呢，我们就由图可知，直接得到 x 呢，就是大于等于负的二分之五，轻松搞定，你学会了吗？

初中阶段一共有三大函数，一次函数，二次函数，反比例函数，而其中我们最早接触的就是一次函数，可以说，一次函数学的好不好，会直接影响另外两个函数的学习，最后直接影响中考分数。 所以啊，一次函数我们一定要学的扎实，明白，那孩子们刚开始接触一次函数的时候呢，碰到的第一个坑就是这种平移的题目了。 很多时候呢，孩子一看到题目里面啊，说图像去进行平移，然后就开始吭哧吭哧的画图了。但是这种题啊，恰不是用画图的方法做的，而是用一个方法大招，哎，今天我会把这个大招教给你，并且带着你把这道题给他搞定。 学完这道题之后，再把林老师给你整理的依次函数的八大题型拿去练习巩固一下。平时做题没有思路，你只要对着老师给你的解析，一步一步按步就把它练习，考试能多拿二十分。好，那我们来看题， 将 y 等于三， x 减二的图像向左平移五个单位，再向下平移三个单位，然后求平移之后的图像解析式是多少。 那这种题呢，千万不要去画图解决，因为我们有方法大招啊，叫做左加右减自变量，上加下减常数项，老师来教你怎么操作。咱们呢，先把这个原式给他写下来， y 等于三， x 减二， 好来第一个左加右减自变量啊，那他这里是左五对不对啊？所以呢，我们要进行一个左五的变形，我们呢，就对自变量向左进行加五 啊，那就是 y 等于三，自变量是谁？自变量就是这个 x， 所以呢，我们给它括个号啊，变成 x 加五，其他照抄啊，其他照抄。这样子呢，我们的左五就变形完毕了， 接下来再来变这个向下移三。哎，那么这个口诀的后半句，上加下减长竖项，我们呢长竖项就是这个，后面这个减二，所以呢，我们只要给它变成一个啊，下三啊，那就是 y 等于三， 其他不变啊， x 加五，然后呢，减二的基础上，我们再来减个三啊，那最后把这个答案给它化简一下就出来了，我们来化简一下啊， 三， x 加上十五，然后呢再减二减三，也就是减五，那加十五减五，最后就变成了加十啊，这个也就从最后的答案 y 等于三， x 加十。好，你学会了吗？

咱们看一下这道题，给了一个反比例函数，这个是 y 等于 x 四分之四，这个属于是贺行仿自己的题，第一次是五十二，贺行在二四年， 在二四年考了这么一道，今年他改吧，他又考了这么一道，他又考了这么一道，路子都差不多。 看它这条线，它是过 a 点做 y 轴的垂线。 a 的 这个坐标是啥？ a 的 这个坐标，横坐标是 m， 横坐标是 m， 那 因为它在这个上边，所以它的纵坐标就是 m 分 之四，它说是 b 点到 y 轴的距离， b 点到 x 轴的距离，等于 a 点到 y 轴的距离， a 点到 y 轴的距离，那它这个是它的纵坐标，这个是它的横坐标，所以说 b 点的坐标就是负的 m 分 之四， 逗号负 m， 这条直线是 y 等于 m， 给它写近点，是不是这条直线是 y 等于 m？ 第一问，他让求 k 的 值，但 k 的 值不用带 m， k 的 值带 m 就 费劲了。那直接咱们就设 a 点，坐标是 a， 逗号 b， 那 b 点坐标就是负 b， 逗号负 a， 它们俩都在这个上边，在相乘都得 k， 相乘都得 k， 是 不是还都在这个上边？那就是 y 等于 k， s 加 b， 那 把它们俩都带入 y 等于这条线， y 等于 k， x 加 b， 把 a 点 b 点都带进来， 那就先把 a 带进来，是不是他就等于不用 b 了？这块有个 b， 那 块有个 b， 字母就重复了，是不是？那直接就 x y 得了，对不对？那这个就是负 y， 负 x 往里带第一个，那就是 y 等于 k， x 加 b， 第二个是负 x 等于负 y， k 加 b， 它们两个做差，那这边是 x 加 y， 这边是 x 加 y， 括号 k 对 一， 第一问就完事了。第一问 k 得一好，再来第二问，第二问。他说的是这条线用上了过点 a， 在 这做了一个垂线， 使他部分把这个上方的 l 上方的，那也就是这一段给他翻折下来，又不像了，是不是？重新画一个给他翻折下来 y 等于八。 好一样的。这根蓝的，上边的不看，就看下边的这一段就行，就看的下边的这一段，就看下边这一段。瞄一下，好，别的不用管了。是不是别的不用管了 啊？看着有点乱，是不是给他藏一下？好，就是这根红的显示就是这根，行，就在这上放着，对不对？他说当 m 等于一的时候，求 g 图像，这个 g 是 啥？包括这个和他这是构成了图像 g 与 x 轴的交点坐标，那实际上就是求这个求 m 等于一，那一 a 点的坐标 就是一逗号四，他到这边是四，是不是他到这边也是四？他到这边是四，他到这边也是四，那他到这边他到哪，他就到八， 实际上这边别这么来，实际上就是求它纵坐标是八的时候，这个横坐标是几？纵坐标是八的时候，这个横坐标是几。那就直接来呗，对不对？直接把八带进去就行了。 那就是第二问，八等于 x 分 之四，推出 x 等于二分之一， x 等于二分之一，那这个点就是二分之一，交点就是二分之一。 第二问的圈一也完事了，第二问，圈二，他说了过点 b 做 y 轴的垂线，然后与 g 交于 n、 c 两点， nc 两点。这块我觉得它是个错，为啥？看它体例描述，它是过点 b 做了个垂线，垂直于 y 轴的垂线，它垂到这是不是？那它垂到这，它说的是和 g， 也就是和这一撇，或者是这一撇相交于那个 n c 两点，那这里边和这只有一点，那这点是 c n， 没有 n， 没有 n， 除非是和 b 点重合，但是他要和 b 点重合，那他不符合题，那他就得零了，那 c n， c n 或者说 bc 怎么能得零？是不是？所以说我觉得他这个点是啥？他 n 应该是在这，为啥？因为二四年他个型考的，他说的是一个 e f， e f 和 y 轴的交点是个 n， 所以说它这块我觉得它是个比物题出错了，但是咱们给这按照 n 在 这算，那么这时候圈二是啥？是 b n 等于二倍的 c n， 也就是 n 点不是和它这个 g 的 交点，它是和这个 y 轴的交点， n 在 这，那咱们就分别表示出来这个 b n 和 c n 就 ok 了。咋表示？那就来呗。还是那个套路。 a 点的这个纵坐标是 m 分 之四， c 点，那这条它过的是 b， b 是 多少？它是 y， 等于负 m， 那从 m 分 之四到负 m， 这个距离是多少？这个距离是多少？是 m 分 之四减 m， 那 也就是减 加减，负 m 就是 加 m， 那 也就是这个点的从这到这的距离。什么距离？这个距离？ 那在这边也得找这个距离，是不是好？能找着他的纵坐标，也能找着这个距离，那这个距离还得加上一个几，还得加上一个 m 分 之四， 那也就是在这边这个点的距离。在这点他对应的这个纵坐标，那就应该是他后边再加上一个 m 分 之四，那这边这个纵坐标是 m， 他的纵坐标 把他的纵坐标进他的解析式里，带到这里，那就是 m 分 之八加上 m 等于 x 分 之四，整理一下这块是多少？ m 分 之八加 m 方 等于 x 分 之四，交叉相乘的，不用了，直接给四乘过去就行了。那 x 等于啥？ m 方加八分之 四 m 算的这个东西，它是 c 点的横坐标， c 点的横坐标等于 m 方加八分之四 m， c 点的横坐标， c 点的横坐标。弄出来了，那 c n 是 多少？ b n 是 多少就 ok 了， 咱继续，咱继续。那 c n 是 多少？来，直接咱就用这个等式了，那就是这个 b n 等于二倍的 c n， b n 从 n 到这，从 n 到这，也就是 b 点的这个横坐标的绝对值，那就是 m 分 之四 c n 这一堆对不对？他在正的没啥说的，那他就等于 m 方 加八分之四 m， 但是他还得乘个二，对不对？他等于二倍的，他 那就弄一下呗，是不是？弄一下在这是不是直接就可以掉个四？先约掉个四， 那就是 m 分 之一等于 m 方加上八分之二 m 交叉相乘二， m 方等于 m 方加八， m 方等于八 m 等于二倍根号二， m 等于二倍根号二。算出一个是不是括号，这一问，他就是问 m 得几？那 m 的 值 m 等于二倍根号二，圈圈三圈三。还有一个他是想问咱们从 a 从 a 到 bc 的 最小值是多少？也就是说这个意思， a 到 bc 的 最小值是多少？ 那么这个 bc 所在的那个直线， bc 所在的直线就是 y 等于负 m， y 等于负 m， 那 这块我就直接就给做了个垂直，那就来呗，是不是？ 来呗，那它的垂直了之后，那咱直接就是纵坐标减负 m， m 分 之四减负 m 等于 m 分 之四加上 m。 如果要是会基本不等式，这个就是高中必修一了，那就直接出答案了，是不是 基本不等式？是啥？是 a 加 b 大 于等于二倍的根号 a b， 那 在这他加他，那就大于等于二倍的根号 m 分 之四加上 m， 中间这乘一约分等于几？等于四，那也就是他的这个最小值就是等于四，最小值就是等于四。那咱没学过这个，那咋整？没学过这个，那就直接给他化解化解。咋弄 通？分 m 分 之四加 m 方，这第一种方法直接用不基本不等式，第二种方法， 那么他等于了之后给上边配方，那我就配了一个加减二 m 减四 m， 那 就是 m 分 之四减四 m 加上 m 方，再加四 m 前面一个完全平方， m 分 之二减 m， 括号的平方再加四 m， 然后等于 m 分 之二减 m 括号的平方再加四。 想要让它最小，那得零，前面这一堆得零，那就是当 m 等于二的时候，它最小最小值是几？是四。

好，我们继续来学习坐标系中的综合题。关于一次函数与平行四边形。首先题目条件提供的是如图一，在平面直角坐标系中给出的直线 a、 b、 c 的 解析式， y 等于二分之一 x 减三。解析式是用来求点和表示点的， 它说的是直线与 x 轴交于 b 点，与 y 轴交于点 c 点的坐标应该是零负三， 然后另外点零可以得到与 x 轴的交点 b 点坐标应该是六零啊。第一个直接写出点的坐标，那这个我们就不板输了啊。好，接着第二小题， 第二小题他说的是如图二， a 点的坐标是负二零。好，那 a 点点的坐标还是用来这个？从函数的角度来看求解析式。从几何的角度来看， o a 的 长度好， b 点坐标是已知的，是六零， c 点的坐标是零负三。 好，解析式。还是已知的 y 是 等于这个二分之一 x 减三。接下来说的是过 a 点的直线 a、 d 与我们的 y 轴交于 f 点，与这个地方的 b、 c 交于点 d 点 啊，那这个时候过 a 点的这条直线，我们可以引入参数来表示这条直线的解析式，比如说我们可以把它表示为 y 是 等于 k 倍的 x 加二， 这个表示的就是过负二零的这样的一条直线，这条直线与 y 轴交于点 f 点，那么 f 点的坐标就是可以表示的令 x 等于零， y 是 等于二 k。 另外它由直线 bc 的 交点是 d 点，那么这个 d 点也可以用我们的含有 k 的 式子来表示。然后接着给的信息的话是 f、 c、 d 这个角和 f、 d 是 相等的。 最后让我们求的是 a、 d 的 解析式，用点来求解析式找 f 点或者是 d 点好，那这个时候根据等腰三角形 f c 和 f d 相等，然后呢， f 点是用参数 k 表示， d 也可以用参数这个 k 来表示，那就建立 f c 和 f d 的 等量关系。 f d 是 一条竖线，上纵减下纵，用 k 来表示， f d 是 一条斜线，勾股定律表示 f d 的 平方， 但是因为这些啊，这些边的话都是带参数的，而且这个求出来之后，可以演示给大家看一下啊，也就是 k x， 然后呢，加上二 k 是 等于二分之一 x 减三，那移项合并，也就是 k 减去二分之一倍的 x 应该是等于三减去二 k 的 系数化一，那就是这个三减去二 k， 然后呢，除以 k 减去二分之一上下，同时乘以二，那就是六减去四 k， 除以这个二 k 减一。 这个时候就会发现这个地点的坐标相对比较复杂，所以这种方法虽然说是可行的，但是计算量会比较大，所以这个方法我们就这个不建议大家这样去用啊。主要原因是因为只有 c 点是知道的， d 点和 f 点都是未知的，所以都用参数来表示，计算量会比较大。 那另外一个想法的话，就是呃这个地方呢？因为呃 c 点的这个角度， f c d 这个角是在 c 点， c 点是一个已知的点，而这个地方的 f d c 这个角，它是在我们目标待求的地点的位置，它是一个未知的点， 所以这个角它如果放在一个不确定的点的位置上面的话，相对而言就不太好用，所以我们就有一种想法，就是把这个角想办法把它转移到已知点的位置，那已知的点就是 a 点、 b 点和 c 点，因为最终还是要跟我们的这个地方的这个呃 角， f、 c、 d 这个角去产生联系，所以这个地方呢，这个角在转移的时候是通过平行转移的，还是要提供角度的等量关系。那如果说移到这个地方，比如说 c 点的话，那就是这个内错角， 那内错角的话，实际上这个地方有相等的关系，那后续的话，实际上就是有一个这个角相等对称的这种想法 啊，这个方法在我们前面的题目里面是有出现过的，我们可以找到此时的 o 点关于 bc 的 对称点，然后呢，借助 c 和这个对称点，然后求出对应的解析式，再平移到这个 a 点，这种方法是可行的，但是也是有一些计算量的啊，因为 bc 它并不是一个比较特殊的直线。 好，然后呢，接着也可以把它平移到那 a 点，就不考虑了，因为本身就是共线的，移到这个地方的 b 点好，平移到 b 点啊，那平移到 b 点的话，可以得到 f、 d、 c 的 一个同位角，也就是 c、 b 毛毛的这个角，那这个时候就是跟我们的 f、 c、 d 这个角可以把它集中到同一个心里面， 也就是，呃，这个得到 bc。 猫猫应该是有一个等腰三角形，所以我们的这条平行线和我们的外肘形成一个交点，比如说这个交点我们记作 p 点的话，那就可以得到的是 bcp， 应该是一个等腰三角形， b 点是确定的， c 点是确定的，那么 p 点也是可以确定下来的。 好，那接下来如何来求这个地方的 p 点的坐标啊？求点的坐标一个是求解析式，但是我们是要根据点的坐标来求解析式，所以没有办法通过函数的方法来求 p 点。那就从几何的角度来分析， 因为刚刚得到的这个角度得到等腰本身就是一个几何的信息，那从几何的角度来看， p 点的坐标就是求 o p 的 长度 啊，求 o p 的 长度，那 o p 找寻的话，应该是 o p b 这样一个直角三角形，那就是一个勾股方程的想法，我们假设这个 o p 的 长度假设为 t 的 话，那这个时候就可以得到等腰三角形的腰 p c 和 p b 相等，应该是等于 t 加上 o c 的 三， 所以 p b 的 长度就应该等于 t 加三的好，那这样的话，在我们的 o b p 这样一个直角三角形里面建立勾股的方程，求出 t 的 值，进而得 p 点坐标，也就可以得 p b 的 解析式，再找到我们的目标带求的 ad 值这条直线上来。 好，那我们写一下他对的一个分析过程，先是平移倒角，也就是过这个地方的 b 点去做 b p 啊，是平行于 a d 的， 然后是交外周于 p 点。 好，那这样的话，接下来平行倒角就可以得到的已知条件里面的 f d， c 这个角同位角到我们的角 p b c 的 位置， 进而也就和我们的角 f c、 d 是 相等的，那 f d， 呃，这个 p b c 和我们的角 f c、 d 相等，就可以得到等腰三角形也就可以得到的是我们的 p b 和我们的 p c 是 有相等的关系啊，是等于 t 加三的， 那接下来就是在我们的 r t 三角形 b o p 中建立勾股的方程啊，也就是六的平方加上 t 的 平方，应该是等于 t 加三的平方。 好，把括号去掉，得到的是关于 t 的 一个一元一次方程啊，解这个方程得到 t 的 值应该是等于二分之九的，也就得到我们的 p 点的坐标，横坐标是零，纵坐标就是二分之九，那根据 b 点和我们的 p 点这样的两个点是可以得到对应的 p b 的 一个直线解函数。 好，那这个带电系数法求直线解析式，那这个过程我们就不板出了。好，从而得到 b p 的 一个直线解析式，应该是 y 是 等于负的四分之三 x 加上二分之九。好，那 p b 的 直线解析式出来之后，因为 p b 和我们的 a d 是 平行的 啊，这是和 a d 平行啊。啊，从而就可以得到我们的 a d 的 这条直线解析式，应该是 y 是 等于负的四分之三 x， 然后呢，加上啊，这个 b 目前不知道，那我们就加上 b 吧。那接下来的话，就是将我们的 a 点的坐标代入，也就是把负二零这个点直接把它代入。啊，好，那代入的话，就可以得到对应的 b 的 值，应该是等于负的二分之三。 好，从而也就可以得到 a d 的 直线解其式应该是 y 是 等于负的四分之三 x， 然后呢，减去二分之三。 好，当然也可以用过定点的方式啊，比如说表示为 k 倍的这个啊， k 是 已知的啊，是负四分之三，也就是负四分之三倍的 x 加二，表示的就是过负二零的这条直线，然后把括号去掉，整理成一般形式也是可以的啊。 好，接下来我们来看第二小题，他说的是一点，是直线 a、 d 上的一个动点啊，直线 a、 d 的 解析式已经表示出来了，是 y 是 等于负的四分之三， x 减三， 那这个时候的解析式是用来求点以及引入参数来表示点一点，它既然是 a、 d 这条直线上的一个动点，我们就可以引入参数来表示这个地方的一点的坐标。 好，那可以表示为一点的横坐标，假设为小 e， 那 根据这个解析式得到重坐标是负的四分之三倍的 e， 然后呢？减去二分之三。 好，接下来这个说的是外轴上是否存在 g 点，使得 g、 e、 b、 d 这样的四个点为顶点的四边形，刚好是一个平行四边形。那这个存在性的问题，我们都是先假设它是顶点的四边形，刚好是一个平行四边形，那这个存在性的问题，我们都是先假设它是零，因为是外轴上的点 纵坐标，我们就用 g 来表示吧。啊，因为是直接写答案的，所以我们写一下分析的一个过程就可以了啊。好，那这个时候他注意他是给的是四个点， 四个点啊，那这里面有一些点是能够确定的， b 点和 d 点这两个点是确定的，那么 b、 d 这条线段在我们目标的这个平行四边形里面，他是作为边还是作为对角线，我们是不确定的，所以他实际上会涉及到一个分类讨论的问题。 好，当然这个地方的做法，这个不为一啊，我们提供一个想法啊，就是啊，因为是直线上的点，我们把直线稍微画长一点啊， 好，那这个时候的这个 b g 这条线段，它有可能是这个平行四边形的一条边 啊，那这个时候如果是边的话，那就用我们的对边的平行且相等，那就相当于是平行且相等，就是一种平移的方法。其中有一个点是在外轴上，有一个点是在我们的已知的直线上，所以这个时候大概是在这样一个位置啊， 稍微好像跟这个点有点重合的啊，当然这个地方我们先还是正常的去算啊，也就这边是 g 点，然后呢这个位置是 e 点，好，那这个时候借助点的这样的一个平行且相等，当然这个地方因为相对位置是不确定的，所以这个地方在分析的时候，他还有可能会出现在大概这样一个位置啊， 我们把外轴也延长一下 啊，也就是，呃，此时的这个 e 点， 然后呢，这边是几点啊？ 好，我们必做，呃，换个颜色吧。 啊，这是第二种情况啊，就是，呃，首先这个地方满足的就是一个呃对边的平行且相等，所以相当于是一种平移的想法，那此时这个借助点的这样一个平移。 好，借助点的这样一个平移啊，就是 b 点和 d 点这两个点的一个相对位置，实际上对的就是我们的 e 点和 g 点的一个相对位置， b 点是已知的，是六零，那我们还需要知道这个地方的地点， 而 d 点这个点它是可以看作是 a d 这条直线和我们的 bc 的 交点，所以是需要把这个地方的 a d 的 这条直线减去式， y 是 等于负的四分之三 x， 然后呢，减去二分之三和我们的 bc 的 直线减去式进行连力，也就是二分之一 x 减三进行连力。 年利是可以得到对应的地点的坐标，那地点的横坐标是等于这个，嗯啊，地点的横坐标应该是五分之六，好，重坐标得到结果是负的五分之十二，这是我们的地点的坐标啊。 好，那接下来的话就是分情况来进行讨论。那第一种情况的话，就是这个 b、 d 为边。 好， b d 为边，那这个时候得到的这样一个平行四边形，呃，也是要分情况来进行讨论的啊。第一个就是我们的平行四边形应该是 b、 d、 e、 g 的， 因为体干条件提供的是四个点，没有上对位置啊，没有顺序，所以这是第一种情况。好，那这个地方在计算的时候方法是不为一的啊。第一个可以通过点的平移， 从 b 点到 d 点，那就相当于是，呃，往左，那就应该是五六，减去五分之六，也就是往左五分之十二个单位长度啊，五分之二十四个单位长度，向下五分之十二个单位长度， 所以 g 点到 e 点也是往左五分之二十四个单位长度，往下五分之十二个单位长度，所以借助点的平移来得到对应的这种关系 啊。另外一种想法的话就是，呃，这个对角线互相平分，所以会提供啊，就是 b 点和一点两个点的，呃，中点和我们的 b 点和 g 点和 d 点两个点的中点是同一个点，所以就借助中点公式的这样一种想法也是可行的啊，那我们这个地方就用点的平移。 好，那这个时候就可以得到的是这个 x b， 然后呢，减去 x d， 应该是等于 x g 减去 x e， 好点的一个平移，横纵坐标分别进行平移好，那这样的话，因为 g 点的横坐标是零， b 点和 d 点又都是已知的点，那这样的话，我们就可以得到此时的一点的横坐标，那一点的横坐标就是负的五分之二十四，也就是我们的小 e 是 等于负的五分之二十四 啊，这个一点的坐标，横坐标知道之后，带入解析式，我们就可以得到一点的纵坐标，好，那此时得到啊，这个横坐标的话是，呃，负的五分之二十四，带入解析式得到对应的纵坐标，应该是等于十分之二十一的。 好，那一点的坐标出来之后，然后呢就可以得到我们的 g 点的坐标，那就是这个把一点的这个点的纵坐标向上加上五分之十二，好，向上加上五分之十二就可以了啊，从而得到我们目标所需要的这个 g 点的坐标，我们写在下面吧。 啊， g 点的横坐标是零 g 点的纵坐标十分之二十一，然后呢加上这个五分之十二，然后计算得到结果应该是等于二分之九的，实际上就跟我们刚刚第二问得到的那个 p 点是重合的一个点。啊， 好，这是第一个 b g 为边的时候，然后呢，第二个也是以这个 b d 为边好，但是这个时候的这个平行四边形应该对的是 b d g e 的 好，那这个时候还是借助点的这样的一个平移啊，也就是 x b 减去 x d， 那 此时就应该是等于 x e， 然后呢减去 x g， 好， 从而得到此时的这个一点的横坐标，就应该是五分之二十四， 好，一点的横坐标是五分之二十四，那就代入解析式，得到一点的坐标，横坐标的话是五分之二十四，好，代入得到它的纵坐标，应该是等于这个应该是呃，负的五分之 呃十的十分之五是一样。好，那接下来的话，就是这个根据我们的 e 点得到对 g 点的坐标，那这个 g 点的坐标就用 e 点的纵坐标，然后呢减去这个五分之十二 啊，从而得到此时的这个 g 点的坐标，横坐标是零，然后呢，纵坐标应该是负的二分之十五啊，这是 b d 为边的时候，那此时 e、 d 和 g 点的相对位置会发生改变啊，啊，然后呢，第三种情况的话，就是 b d 还可以是对角线 啊， b d 如果是对角线的话，我们也把这个图大概给大家画一下啊， 它如果是对角线的话，那这个 e g 就 会经过 b d 的 终点，那经过终点的话，就是画出来大概的是这样的一个位，大概是这样一种情况啊，啊， 实际上最后得到的结果也是在这个位置啊，就是会经过这个终点，然后呢，一个在我们的直线 a d 上，一个在我们的外轴上，当然我们这个地方还是建立这样的一个对应的等量关系啊，这个是 e 点， 然后呢，这边是 g 点啊，好，那这个时候满足的等量关系就是还是根据点的坐标的一个特点啊，也就是 x， 好， 这个地方我们先写一下平行四边形啊，此时就应该是 b g d e 还是通过点的这样一个平移，但这个地方啊，就是边已经变了，就是 b g 和我们的 d e 平行且相等，那在表示关系式的时候，就是点的平移，那就是 x b， 减去 x g， 好，应该是等于 x e， 然后呢减去 x d， 好， 那这个时候 b 点， d 点以及 g 点的横坐标都是知道的，我们还是代入得到 e 点的一个横坐标啊， 此时得到这个时候的 e 点的横坐标应该是五分之三十六。好， e 点的横坐标出来之后，进而我们就可以得到 e 点的坐标，横坐标的话是五分之三十六十九。 好，那一点出来之后，接着得这个地方的 g 点，好，那这个时候就是根据重坐标啊，重坐标啊，他一个相对关系，那从 b 点到 g 点，就是从一点到 d 点， 那就是这个，呃，纵向的这个长度，负的五分之十二，然后呢减去负的六十分之六十九，然后呢再把 b 点向上进行一个平移，好，从而得到此时的 g 点的坐标应该是零二分之九。 好，大家也可以根据这个中点坐标公式的这种想法， b 和 d 的 纵坐标相加是 e 和 g 的 两个点的纵坐标相加也是可行的啊。然后后面的话就是一个综上作总结 啊，这个地方最后得到有两种情况的，这个记点的坐标是同一个点重合的，所以最后得到的符合要求的这个记点的坐标应该是有两个，一个是零二分之九啊，另外一个的话就是零，然后呢负的二分之十五，从而得到目标的结果 啊，当然这个地方的方法是不为一的啊，另外一个我们也可以去这个啊，比如说这个地方 abcd， 他如果说是一个平行四边形的话，呃，可以用对角线的这种想法，就是有一个对角线互相平分，然后呢，那对角线的这个中点就是同一个点，那就可以得到的就是我们的 x a， 然后呢加上 x c， 应该是等于 x b， 然后呢加上 x d， 包括他们的总坐标也是一样的，也就是 y a， 加上这个 y c， 应该是等于 y b， 然后呢加上 y d， y b 加上外地啊，因为同时如果说除以二的话，都是我们对应的是中点的这个横坐标以及中点的纵坐标，所以这个地方啊，就可以去通过对角线的这个方式来分析，就是有可能是 b g 是 对角线 啊，比如说这个情况下啊，下面的这种情况就是 b g 是 对角线，有可能是 b e 是 对角线，也有可能是 b d 是 对角线， 然后呢，按照从 b 点出发的三条线段，都有可能是对角线的方式，然后利用对角线建立等量关系，进行点的坐标的一个求解也是可行的啊。

哈喽，各位同学，大家好，我是吴老师，今天呢，有一个同学点播了一下北塔刚刚考完的八下的亚洲题，这道题呢，我看完以后，我感觉难度不是那么大，因为他考的是一个构造全等的方法，叫截长不断。 为什么难度不是那么大呢？因为他把这个方法用材料给你陈述了一遍。那接下来你要做的就是模仿吧，如果你这个模仿能力还可以，那你这道题呢，做起来应该是比较轻松的，我们一块来看一下，难还是不难的， 整体看的时候呢，他长这个样子，文字比较多，图形也有，好像比较难，但是具体分析分析呢？来先看一眼第一小问，他说三角形 abc 呢，是一个等边三角形， 如果他是等边三角形，那这个角呢，就是六十度点， d 呢是下方的一个点，并且告诉你这个地方是多少一百二十度。现在呢，要探索这三个线段之间的关系， 要怎么去做呢？开始给你演示截长不断的方法了，我们把 dc 延长，延长的这个 c、 e 的 长度和 b、 d 的 长度相等，然后把 a、 e 连接就可以，连接完以后想干什么？想挣两个三角形拳头， 那这两个三角形全等还是不全等呢？肯定全等，为什么？因为我们三角形 abc， 它是一个等边三角形，所以这条边和这条边的长度啥关系相等。 然后呢，我们四边形 abc 内角和是三百六啊，那你这个地方六十和一百二加起来是多少？一百八，所以剩下的两个内角加起来也是多少一百八吗？ 那你看我这个角加旁边是不是也是一百八，所以旁边这个角和我们这边的这个角啥关系啊？相等，那这样的话，我们 abd 这个三角形和我们这边的 ace 这个三角形就怎么样？边角边是不是就全到 ok 吗？他们全等以后我们能得到什么东西呢？我们能得到这条边 和这条边作为对应边怎么样相等？我们能得到这个角和这个角作为对应角怎么样相等？那你看这个点加上旁边的这个叉叉是不是六十多？那旁边的点加这个叉叉也是多少？六十度？ 所以我们三角形 a、 d、 e 是 两个边相等，加一个六十度。等边等，边三角形的话，那这条边和 a、 d 的 长度啥关系？相等， 那这样的话我不就轻松得到 a、 d 等于 dc 加 c， e， c， e 其实就是谁呀？ b d 吗？所以这根三的关系我就知道了。来写到这 d a 等于 db 加上个谁呀？ d， c 吗？接下来看一下第二小问， 如图啊，在 r t 三角形里面，这个角呢是个九十度，并且它告诉你这两条边向的 o 等腰直角三角形 b， d， c 呢？这个地方也是多少？九十度？哎，这个地方你读到这有没有点感觉跟前疑问有点相似啊？ 这个角加这个角还是多少度？一百八，那你看前面呢，这个六十加这个一百二也是多少度？一百八这种东西我们就叫什么对角互补，那对角互补怎么用呢？第一小问，其实已经给你了，倒两个角相等， 来，我们这道题往后做的时候我们再倒一下试试啊。好，这两个角都是九十度， 现在他要干什么？探索三个线段之间的数量关系，并说明理由吧。那模仿模仿他延长谁跟谁相等，我再来一遍不就行了吗？所以我也模仿他将这条线段延长， 延长到某一个地方，你比如说我延长到这吧，这个地方呢？我取一个谁呢？点 e， 然后让他跟这个长度啥关系啊？相等，那现在呢？你只要把这个点和这个点干什么连起来不就行了吗？ 接下来模仿第一问，证明这两个三角形干什么？全等，来看一下现在的条件有哪些？ 一条边，一条边相等，再来一条边，再来一条边相等，所以我再有一个夹角相等是不就行了？夹角相等怎么办呢？第一个对角互补得相等四边形 a、 b、 d、 c 内角和是不是三百六？那这个地方九十加上下面这个地方的九十已经是多少了？一百八，所以这个圈加上这个叉也是多少？一百八，而叉加上旁边也是一百八，所以旁边就是一个圈。那这样的话我们这两个三角形就怎么样了？ 边角边，边角边是不是就全等？全等以后能得到什么？来我们标一下，我是不是得到这个角和这个角怎么样相等，而这个角加上旁边这个三角是多少？ 九十度，所以呢，我们这个点加上这个三角也是多少？九十度。 所以我们 a、 d、 e 是 一个等腰直角三角形来。为什么是等腰直呢？因为我刚刚全等的时候，这条边和这条边的作为对应边长度相等， 如果是等腰直的话，我们知道等腰直角三角形斜边是直角边的根号二倍吗？那不就这个东西吗？一一根号二吗？ 所以它的斜边也就是这个东西其实就等于根号二个直角边，它要的是 a， d 还是 a e 这条直角边呢？要的是 a、 d 这条直角它的字母顺序是 d a， 我 也写成 d a 吧。 所以我们 d， e 呢，就是等于根号二个 d a 吗？而 d， e 又是谁呢？不就是 dc 加 c e， c， e 是 谁啊？ b d 吗？所以这根三之间的数量关系叫根号二倍的 d， a 等于 dc 加上一个 b， d 高低， 这就可以了。其实呢，我们第二小问的这个图还是直角三角形共斜边模型，那你看上面这个角是九十度， abc 是 不是直角三以下，下面这个角是九十度 bdc 是 不是直角三以下？那 bc 这条边是不是他们公用的一个斜边？ 所以它就叫直角三角形公用斜边的模型，它里面也有考点，只不过这个地方没考到而已。 好，接下来我们再看一眼第三角窝吧，第三角窝两块斜边长都是两厘米的，一副三角板把斜边 摆在一起。哎，三角板，那不就是等腰直角三角板和三十、六十、九十的三角板吗？那肯定小的这个角是多少？三十度呗， ok 吧，大的这边这个角肯定就是六十度。那我读完第三问，我好像感觉这个头跟第二问有区别吗？也是两个直角三角形共用一个斜边吗？ 对吧？他现在求的是谁呢？这个东西，这个东西不就是连接以后的这个东西的长度吗？那不就是我第二个图里面的谁啊？ ad 吗？ 哎，我一看你这第三小问还是个填空，那我第二小问证明的这个过程我是不是就可以省掉了，直接用这个结论不就行了吗？用什么结论呢？来这边呢，我随便写一个字母吧， m n。 好 吧，那这样的话，我直接用结论不就是这个东西等于。哦，这个前面有个根号等于谁呢？这个东西加上这个东西， 这不就我第二问的结论吗？不就是 a d 等于这个东西加这个东西给 a d 乘根号二吗？那我直接用是不就可以了？所以我现在的目的是什么？想办法算出来这两条边的长度即可吗？ 而又告诉我们，斜边，也就是这里的 m n 是 几二？又有三十度，又有直角三十度角，所对直角边斜边一半，这个地方自然是根号三嘛，所以我立马得到根号二个，它等于谁呀？ 等于这边的根号三加上一，所以它是多少？把根号三除过，把根号二除过去不就行了吗？ 那么你除过来以后不就是根号三加一吗？接下来分母有理化，上下同时乘个根号二，所以变成根号六加谁啊？根号二搞定， 那你搞定以后，填到这个地方不就可以了吗？ ok， 来我们填到这吧，这就是根号六加上一个根号二，再除以减二。好，这道题呢，难度应该没那么大吧，大家听完以后感觉 好，如果大家还想讲哪个题呢？你可以点拨一下发给我。好，这道题就讲到这，拜拜。

刚做完了市中区八年级下册的期中考试，不过今年市中好像不是同考。我做的这套卷子有预秀和实验，同考的其他学校育婴有没有参加我还真不知道。先说一说这套卷子吧，感觉还是同考的卷子，虽然也会有一些槽点，但是不 至于到这个地步。整套卷子做下来的感受是什么呢？就感觉后边大题特别像拼好卷，然后前面的选择和填空的压轴的难度又有点大 啊。先来说选择哈，选择的最后一个题呢，考的是个手拉手，这个题呢，是借由手拉手的一个背景考到了这个。 嗯，瓜豆的最值，然后还考到了面积的最值。这个题四个圈选项，我觉得圈四这个面积的最值对于初二的小孩来说，难度稍微有点大。嗯，他甚至用到了初三的这种配方法，求最值的这么一个。这个思想。嗯， 如果真的靠就是实力去做的话，未必真的能做出来。但是前三个还算是还算是比较简单。十五题的这个题呢，虽然考的是瓜豆，但这个瓜豆难爆了， 属于程度好一点的小孩，能看出来是挂动物园里的模型，但是他找不到轨迹啊，就别说找到轨迹以后去计算问题了，就是能做出来这个题的同学，实力还是杠杠的啊。最后三道大题呢，二十三题是一个新定义的题，但是这个题是参考的二五年的高新一模的倒数第三题啊， 这不能说完全一样吧，稍微换了换数，思想是一样的。这个题的第三问还是非常难的，不太好做。然后二十四题呢，是平行四边形，存在性是完全照搬的。二五年的怀阴，其中 的这个函数压轴连数都没有改，问法稍微换了换，这不，这真的是拼好卷。二十五题呢，倒不是一个原题了，或者说我没有看出来他是哪个题原题，但是这个题呢，他是把三种旋转模型全都拼到了这一个题里。但题的质量还是挺好的啊，就是 很少能在一个题里见到三个旋转模型。手拉手的旋转，等腰加一点 p 的 奔驰模型旋转，然后以及等腰对五角的旋转，我觉得也挺难为出题人的哈。能够把这三个模型全都凑到一个题里，如果要是放到复习课里来讲，哎，一个题把三个模型全都复习了，还挺好的。 第三个的难度会稍微有点大啊。就是即便能够想到啊，这学期我们学了平底旋转，见到等腰，可以考虑用旋转模型去解决这个题，也未必能想到会有第二种情况啊。他有俩答案，还是期待最终去能同考吧。

好了，各位同学大家中午好，今天中午的新老师给大家介绍一下这次咸阳实验中学八项期中考试数学的倒数第二题，也是一个这个一函数以一元一次不等式的结合的问题。咱们看题啊，可知直线 y 等于 k， x 加 b， 它经过点 c 和点 b， 哎，点 c 和点 b 都告诉你了， 那你这个 k 和 b 肯定能求出来嘛？这不用代入细说，这是上学期的知识，对不对？好，再看，他说是若直线 y 等于二， x 减四，那就是这个，哎，是向上的这条直线，它与直线 ab 相交于点 a， 对 吧？ 求点 a 的 坐标呢？那直线 ab 不 就是和直线 c b 是 一条直线啊，只不过这个直线 b 就是 y 等于 k， x 加 b 和 y 等于二， x 减四，它相交于点 a， 求的是个焦点。那这个思路就是我们先 用点 c 和点 b 这两个点的坐标，把 k 和 b 求出来，然后呢，再把 y 能 k， x 加 b 和 y 等于二减四，连立成一个二次方程组，求它的解，它的解就是点 b 的 横纵坐标，对不对？好，说干就干，咱们看一下， 那你看第一个，第一个，嗯，我们把这个点 c 和点 b 代进， y 等于 k， x 加 b 里面去代进来，是多少？是零等于一个多少？负 k 加 b， 然后呢，三等于一个 负三， k 加 b， 我 们解解这个二 s 方程组怎么解呢？是不是我们这是一，这是我们用二减一吧， 二减一的话，就是一个三，就等于一个 b 和 b 减没了负三， k 减负 k 就是 负三， k 加 k 是 个负二 k， 那 k 是 多少？两边同时除以负二，就是一个负的二分之三，对吧？因为这个直线 bc 斜向下嘛， k 是 肯定是负的，然后你再带到一里面去，那零就负的负，负的二分就负。二分之三加个符号不是变成相反数，变成二分之三吗？二分之三加 b 等于零，那 b 就是 二分之三相反数呀， b 是 不是也是一个负的二分之三，对不对？ 好，那 y 是 不是等于多少呢？负的二分之三啊，对不对？好，那 y 是 不是等于多少呢？负的二分之三啊，对不对？好，那 y 是 不是等于多少呢？负的二分之三啊，对不对？好，那 y 是 不是等于多少呢？负的二分之三啊，对不对？好，那 y 是 不是等于多少呢？负的二分之三呢？负的负数。 这题我一个同学特别可惜啊，他就第一问，他把 k 算对了， b 算错， b 算错，整个 y k x 加 b， 这个解析式是一算错，你焦点肯定错了，焦点一错，你二 x 减四小于 k， x 加 b， 这第二问也错了，第二问一错，你第三问全没了，就第一问，就那么一个小数字一错，后面全全部就没了，对吧？好， 那我们再看一下第二问，对不对？我给各位同学，你可以把这个负三负三，你带到这个 y 的 负的二分之三， x 减二分之三去，你看这个检验一下结果，对吧？你看，负的二分之三乘以一个负三，就是一个二分之九，减二分之三是二分之六，二分之六是个几，是个三，没问题吧，对吧？第二问，你看 啊，第一问还没求完呢，对吧？还把那个焦点没求出来了，那我们再把这个和 y 等于一个二， x 减四，给它连起来以后解解 x 和 y， 那就是二， x 减四就等于负的二分之三， x 减二分之三，然后呢？二 x 加上一个就是二 x 加二分之三， x 就 等于一个四减二分之三，二 x 加个一点五是个三点五，就是二分之七 x， 对 吧？ 二分之七， x 四减二分之三呢？二分之相当于是个二分之八减二分之三，是不是一个二分之几，二分之八减二分之三，二分之五， x 等于几呢？ x 等于几就是 x 等于二分之五。除以二分之七乘以七分之二，就等于一个七分之五， x 是 七分之五， x 是 七分之五的话，你再带到这里面去，那 y 是 不是就等于一个七分之十减四减去七分之几，减 去一个七分之二十八，就等于负的七分之十八？那这个点 a 的 坐标是不是七分之五到负的七分之十八，对不对？ 是不是你可以带到带到一里面去算一下？负的二分之三乘以七分之五，是一个这个负的十四分之十五，负的十四分之十五减去一个十四分之负的十四分之十五，负的十四分之十五减去一个十四分之二十一， 是不是就是一个负的十四分之三十六？约个二是负的七分之十八，没问题吧？对吧？这个算的话，大家一定要仔细认真一点，这块稍一不注意就出错了，对吧？你把七分之五你再带到这里面去，七分之十七分之十减去一个七分之二十八，七分之负的七分之十八也没问题。 第二个，让我们直接写出二 x 减四小于 k， x 小 于等于零的上方，那你看上方是哪呀？ 肯定是这一块，对不对？这一块肯定是在焦点 a 的 哪边， a 的 左边，对不对？因为你红色要在黑色上方的，对吧？ 好，再看一个，这个还小于等于零呢，还小，也就说你这个红色图像还在什么呀？在这个 x 轴的下方，下方的话，那你肯定是要 如果点 c 做一个 x 的 垂线，那肯定是在这两个红色的这个竖线之间，你才能保证这个 k s 加 b 是 一个小于等于零的。然后呢， 在 a 点 a 的 左侧，你要保才能保证这个 k s 加 b 在 二 x 点四上方，那它的这个范围是多少呢？是不是就是 x 要比点 c 的 横坐标要 大，而且可以等于就是 x 大 于等于一个负一，小于谁呢？小于 a 的 横坐标小于七分之五，对不对？你直接观察出来是这样的，如果说你不会的话，那你咋办啊？ 那也就是说是一个，首先二 x 减四是要小于一个多少呢？负的二分之三， x 减二分之三，还要小于等于零呢？你解这一个就行了，你把这两个解出来， 对吧？那有些人说二 x 减四小于等于零，可不可以也并进去了，也行也行。最后，但是最后你肯定是是二选一嘛，对吧？那我们看一下这个，把这个解除，二 x 减四小 小于负的二分之三， x 减二分之三，我们解出来应该是一个多少呢？是一个 x 小 于它推出的 x 小 于一个七分之五，对吧？然后这个推出来是多少呢？负的二分之三， x 小 于等于二分之三，那 x 肯定是一个大，两边同时除以一个负的二分之三， x 要除以负数的编号， x 大 于等于负一，那我比负一 要我在负一的右侧，在积分至宝左侧，是不全他俩之间呀，对吧？这就是个题的，就是你看图如果看不会的话，你就直接硬解硬算呗，把这个不等式组解出来就行了， 对吧？第三个点 p 在 x 轴上， a c p 的 面积是九点 p 的 坐标，一般这种题点 p 可能也是有两个坐标的，对吧？好，我把这个题这个全擦掉。 点 p 在 哪呢？点 p 在 x 轴上， a c p 的 面积，那假设点 p 在 这，我们就是点 p 是 一个。嗯， m 点 p 在 s 轴上，点 p 是 m 勾零，对不对？那 c p 呢？ c p， c p 的 长我们不知道，因为点 p 有 可能在 c 的 右边，有可能在 c 的 左边呀，对不对？那用绝对值表示就是一个 m 减去一个几？ m 减去一个点 c 的 左边啊，对不对？那用绝对值表示就是 m 减去一个减 m 减去一，就是 c p 是 m 加一的绝对值。然后你看 s 三角形 a c p， 它不就是二分之一乘以一个 c p 吗？再乘以谁再乘以？点 a 到 x 轴的距离是不是纵坐标的绝对值，对吧？点 a 咱们算出来是多少呢？ 是不是？嗯，算出点 a 是 一个七分之五到负的七分之十八，对吧？也就是说点 a 到这个 x 轴的距离就是负的七分之十八的绝对值。乘以一个这个七分之十八， 他等于几？等于九，也就是说二分之一乘以一个这个 m 加一的绝对值，乘以七分之十八就等于一个九，也就说 m 加一 乘以一个这个二七十四，十四分之十八，十四分之十八就等于九。那这个绝对值自己是多少呢？ m 加一就等于九，除以十四分之十八乘以十八分之十四，就等于九和十八约是七。 m 加一绝对值是七， m 加一，自己要么是七，要么是 一个负七。那 m 加一等于七的时候呢？ m 是 不是一个六？ m 加一等于负七的时候， m 是 一个负八，也就是说 p 有 两个点，一个是六斗，零在正半轴上，一个是负八斗零在什么呀？ 负半，对吧？那你看，负八到负一，他的距离是个几？是个七，然后六六到负一也是个七，没问题吧？底都是七，对吧？高是个几？高是一个七分之十八，那七乘以七分之十八，再乘以二分之一，是不是九，对吧？好的，那各位同学，这道题咱们今天就到这，好不好？各位同学再见。

好，我们来看题，在三角形 a、 b、 c 中， ab 的 长度是四， bc 的 长度是三， d 点在 ab 边上， e 点在 bc 边上，若角 c、 d、 b 等于三十度， 并且 a、 e 和 c、 d 相等，然后让我们求 c、 f 减 a、 f 的 值是多少？ 好，首先来说，如果你想直接从这个结果下手的话，那我想可能绝大部分同学想的都是在 c、 f 上截取出一段长度等于 af， 但之后你就会发现上面这一段的长度你很难去处理它，所以说想要从结果着手可能有些困难了，那我们就只能从条件着手了。 先来看第一个条件，也就是这两条线段的长度了。由于 d 点和 e 点的位置都不是确定的，所以我们要尽量保持 ab 和 bc 长度的完整性。 酷哥，那该如何保持它们的完整性呢？哎，这个问题问的好，我们的一般方法是把 d 点和 e 点移到两端去，通常是用的平移法，比如我们可以把 a 一 向上平移， 把 c、 d 向左平移，这样就得到了两个平行四边形。好，我们再来看第二个条件，他说这个角 c、 d、 b 是 三十度的，那说到三十度这个特殊角，我想大家的第一想法应该都是做垂直，构造直角三角形。 但是如果你是直接过 b 点这样做垂直的话，或者是过 c 点向下做垂直的话，那这两种情况显然是不是都用处不大呀？ 这个时候你就要注意到， h、 a 和 c、 d 是 平行的，这个是我们刚做出来的，所以角 h、 a、 d 也是三十度的。由于 ab 的 长度是知道的，所以我们可以过 b 点向 a、 h 做一个垂线， 那这样一来， b m 的 长度就是二， a m 的 长度就是二倍根三了。好，我们再来看第三个条件，他说 a、 e 和 c、 d 是 相等的。那说到相等线段，对于咱们八年级的同学来说，是不是第一想法都是去构造全等三角形啊？ 我相信大家肯定都做过那种两条交叉线段相等，然后通过构造旋转、手拉手全等来解决的题。 但是那种情况，一般这两条交叉线段的夹角会是一个特殊值，比如是四十度或者是六十度这种。 所以说今天这道题想这样做可能是不太行的。兔哥，那相等线段还有别的处理方法吗？哎，这个问题问的好，其实它有一个很容易被忽视的点，那就是等面积法。 注意看了啊，如果我们连接 b、 g 和 b h 的 话，不难发现，三角形 b、 g、 c 和三角形 b、 a、 h， 它俩的面积是相等的，这个应该能看明白吧？它就是一个拉窗帘的知识。 所以说，如果我们过 b 点向 c、 g 做一个垂线的话，因为 c、 g 和 a、 h 是 相等的，现在它们俩的面积又相等了，所以它们的高自然也是相等的，也就是 b n 和 b m 相等。 好，那走到了这一步之后，答案是不是已经呼之欲出了呀？我们令中间这个焦点为 o， 然后再连接 o b。 显而易见，三角形 b、 o m 和三角形 b、 o、 n 是 全等的，所以 o m 和 o n 相等。 因为四边形 o a、 f、 c 是 平行四边形，所以 o a 和 c f 相等， o c 和 af 相等，那这个时候 c f 减 af 就 等于 o a 减 o c 了， 而其中 o a 是 等于 am 加 o m 的， o c 又是等于 c n 加 o n 的， 之后我们代入化简一下，这就等于 a m 减 c n 了。又因为三角形 b c n 是 一个直角三角形，所以 c n 的 长度是等于根号五的，所以 a m 减 c n 就 等于二倍根三减根五了。你学会了吗？

教材不读，稀里糊涂！哈喽，可爱的熊孩子们，我们终于是来到了第九章的代数部分。英式分解。提到这个名词，大家可能比较陌生，但是我写几个数字看一看熟不熟悉。比如说， 二乘以七加上三乘以七，会等于什么呢？我可以提取公音式吧，把七提出来，再乘以括号二加三。好，这其实就是音式分解的全称了。接下来我用字母来替换刚才的数字， 用 a 替换二，用 b 替换七，用 c 替换三。好，这边的七还是 b 就 会等于什么呢？七就是字母 b 呗。乘以括号二就是 a 吧，三就是 c 吧， 也就是 a 乘以 b 加上 c 乘以 b 等于 b， 乘以 a 加 c。 那 我写到这里来， a， b 加上 c， b 等于 b 乘以 a 加 c。 其实这就是一个因式分解，从左边的多项式变成了右边两个式子的乘积，就叫因式分解。 其中 b 和 a 加 c 呢，就称之为这个式子当中的因式。 音就是因为的意思，因为 b 乘以 a 加 c， 可以 得到 a， b 加 c b， 所以呢，就把它称为音式。这么一看，其实音式分解还蛮简单的。没错，它的确不难，因为我刚才用了一个大招，瞬间帮你打通了人读二脉。这个大招叫什么呢？我们会经常用的叫从 特殊到一般数字。哎，你很熟悉，换成字母之后，你可能有点蒙了，怎么办呢？我先用数字帮你理解清楚了，再换成字母，你不就瞬间明白了吗？好，还有第二个大招叫做数形 结合，也就是代数和几何结合在一起的吧。 那么这三个小句型的面积分别是多少呀？ m a， 然后这边是 m b， 这边是 m， c 加在一起之后就是整个句型的面积， 那这个大的句型宽是 m 吧，长是 a 加 b 加 c， 也就是 m 乘以 a 加 b 加 c， 中间是一个等于号，因为面积是相等的呀，那从左边的过程到右边的过程，也是一个因式 分解的过程？好，通过数形结合的方式帮你去理解因式分解，那其中 m 和 a 加 b 加 c 就是 两个 因式了，那因式分解有什么用呢？这是我们学习任何知识之前应该搞明白的一点，它是后续学习分式、解方程等相关内容的基础。 举个例子， x 的 平方加三， x 加二等于零，现在要你求 x 会等于多少？嗯，瞬间把你整不会了吧？那怎么办呢？如果你学了英式分解之后，你就知道 把这个式子变成 x 加二，再乘以 x 加一，它会等于零，那 x 就 会等于多少？负二或者是 x 等于负一吧。 ok， 这个就是音式分解其中的一个小作用了，后面我们还会发现更多的音式分解它的宝藏作用。然后这个例子呢，同样的还是利用数形结合的方式，帮你建立起对音式分解的理解，大家可以自己尝试一下。 第二个例子，等我们完整的学完了因式分解之后，回过头来再证明，那我们正式开启大餐九点一因式分解的概念。先来看个问题，我们曾经学过数的整除问题，比如说七加七的平方能被八整除吗？ 你问我两个数的和能不能被八整除？不好意思，我也不知道，但是我可以先对它进行一个变形，变成七乘以一，加上七乘以七吧， 等于什么呢？提取共音式七乘以一加七等于七乘以八，哎，这个时候我就知道了，它能被八整除。同理，九十九加上九十九的平方，能被一百整除吗？ 我可以把它变成九十九乘以一加九十九等于九十九乘以一百，哎，也能被一百整除。那这个时候呢，我们就可以开启大招了，从特殊到一般用字母 a 表示九十九，可以吧，加上 a 的 平方吧，等于 九十九就是 a 嘛，那一百呢？是什么？ a 加一，左边的过程到右边的过程，就是因式分解的过程。那我们先把定义搞清楚， 一般的如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积，比如说多项式 a 加 a 的 平方可以表示成 a 乘以 a 加 e 的 话，那么其中的每一个整式都叫做这个多项式的因式，也就是 a 是 这个多项式的因式， a 加一呢，也是这个多项式的因式。比如说多项式 m a 加 mb， 怎么把它表示成正式的乘积形式呢？其实答案已经告诉你了，就是 m 乘以括号 a 加 b， 因为 m 乘以 a 加 b 啊，就会等于 m a 加 mb， 因此多项式 m a 加 mb 的 两个因式就是 m 和 a 加 b。 同理，多项式 x 的 平方加三， x 加二，它的整式乘积的形式呢，就是 x 加一乘以 x 加二，因为它就会等于 x 的 平方加三， x 加二，因此多项式 x 的 平方加三， x 加二，它的两个音式分别就是 x 加一和 x 加二。具体怎么把它分解到 x 加一和 x 加二的，我们后面会去学到。 我们的小哥哥也提出了这个过程啊，有点类似于质因子的分解，比如说二十一分解成三乘以七，就是变成乘积的形式吧。还有像十八变成了二乘以三，乘以三。 上述两组等式表达了不同的意义。第一组等式呢，表示了两个整式的乘法运算。第二组等式呢，是把一个多项式表示成两个整式的乘积形式。 那我们总结一下，把一个多项式表示成几个整式的乘积形式。比如说我们刚才的第二组， x 的 平方加三， x 加二，把它分解成 x 加二，乘以 x 加一，这样的变形过程就叫做多项式的因式分解。 其中 x 加二和 x 加一就是这个多项式的两个因式。因式分解也可以称之为分解因式。讨论，判断下列从左到右的变形中，哪些是正式乘法，哪些是多项式的因式分解。第一个呢，很明显是正式 乘法。第二个呢，一个多项式变成了两个整式的乘积，是因式分解。其中五 x、 y 和三加五 y 都是这个多项式的因式吧。第三个，也是整式 乘法。好，这个呢，也是因式分解。不过呢，它的因式就一个了， a 加二 b。 看到例题部分，检验下列因式分解是否正确。第一个，那你就逆向运算一下呗， x 的 平方乘以 x 加上根号二，是否等于左边的多项式呀？哎，正确的。 第二个呢，也是同样的逆向运算一下，发现呢，不成立，所以是错误的。第三个，第四个，都是正确。好，接着看一个活动，观察下面图形的剪拼过程，写出相应的等式。 谈谈英式分解与整式乘法有什么联系。来，看到这个句型，它的面积我就可以写成长乘以宽的形式吧，也就是 x 加二，乘以 x 加三。 同时呢，它又是由这四个小的句型构成的，也就是会等于 x 的 平方加上三， x 再加上这个二， x 再加上二，乘以三，等于六吧。来，左边到右边的过程就叫什么正式的 乘法，那右边到左边的过程呢，叫做因式分解。 所以啊，整式乘法和因式分解呢，就是一个互逆的过程。我们上面的例子有很多啦，对不对？ x 加二，乘以 x 加一，用整式的乘法就会等于 x 的 平方加三， x 加二吧。好，然后反过来呢，就是我们的因式分解， 探求写出整式 a 与 b， 使得 a 等于 b 乘以 a 加三，满足条件的整式 a， b 可以 写出多少个？ 那这不能写到天荒地老吗？无数个呀。比如说这个 b 我 取 a 吧，那这个呢，就会等于 a 的 平方加上三， a 好， 比如说这个 b 我 取 a 加一，那么左边的运算就会等于 a 的 平方加上四， a 加上三。 好，大家也可以自己尝试写几个来看。练习一，判断向量从左到右的变形中，哪些是因式分解， 反正最终因式分解的结果一定是整式的乘积形式吧。你想第一个这边有个加不对，第二个呢，是两个整式的乘积正确，第三个呢，是一个减不对，第四个呢，是加不对。 第二题，在下列式子的左边和右边的括号中各填入一个整式，是这个式子的左边与右边相等。好，那随便填一个，比如这边填 a 吧，那左边就是二 a 的 平方加上 a。 最后我们看到题型部分，第一，判断下列从左到右的变形中，哪些是因式分解来看，第一个肯定不是第二个，是的，第三个呢？也不是第四个，是的。第二题检验下列因式分解是否正确。 那我们就可以逆向运算一下呀，三 x 的 平方乘以四 x 减三就会等于十二 x 的 三次方减去九 x 的 平方，那么这个等号就不成立吧。好，同理可以验证一下，第二个应该是成立的，第三个第四个不成立，也就是只有二符合 第三题。已知多项式可以分解为 a 加二与 a 加四的乘积，求 k 的 值。那我们就可以把 a 加二乘以 a 加四，给他运算出来会等于 a 的 平方加上六， a 加上八吧，那么 k 就 会等于多少呀？八喽！ 最后一题，十九点三乘以九分之一能被二整除吗？这个题是也太明显了吧，直接提取公因式，九分之一乘以 十九点三加上十六点七，就会等于九分之一乘以三十六会等于四，那肯定能被二整除了。好，这节课的内容就到此结束，我们下节再见。

今天讲一下前两天西工大的期中考试，八年级下册的填空压轴题，各个学校的期中考试都也基本结束了，所以我们要发现问题，解决问题， 有什么不清楚的也可以找我，我是在西安高新讲解数学知识点的张老师，每天三分钟，数学更轻松。大家先一起看看这道八年级的填空题，说如图，正方形。我们要明白正方形的性质有 四边相等四个角九十度，对角线互相垂直且相等且平分，对角就是一个正方形 a、 b、 c、 d 我 们得到的所有信息，然后说 ab 等于六，所以这几条边长都是六 点， e 是 线段上一点，而且这个角 a、 d、 e 是 二十二点五度，当我们看到二十二点五度的时候，要去想， 二十二点五度乘以二就等于四十五度，所以其实我们会得到两个角相等的。刚才说过，正方形的对角线是平分对角的， 所以我们连接一下 b、 d， 那 么这个角肯定是四十五度，而 a、 d、 e 是 二十二点五度，之后剩下的这边也肯定是二十二点五度。 角 a、 d、 e 是 等于角， b、 d、 e 都等于二十二点五的。好继续看，点 f 是 一个动点，点 m 也是一个动点， f， m 垂直于 d， e 垂直符号点 n 是 c， f 的 终点，连接 m， n， 问 m， n 的 最小值， 我们看到点 n 为 c、 f 的 终点。在结合我们八年级最近所学的知识点，八年级最近所学的有平行四边形，特殊的平行四边形等等。所以看到终点我们要想到的一个知识点就是 中规限定里 n 为 c、 f 的 终点，但是最后我要求的是 m n 的 最小值，所以我想一想，能不能把 m 也变成一个线段的终点，那么 m n 肯定等于 他所在的三角形的第三条边的一半，对不对？所以我们要去往这一方面去考虑一下，好，接下来该怎么去做呢？我要求 m n 的 最小值，刚才说过，这两个角现在都是二十二点五度，那么 我的 f m 竟然是垂直于 d e， 我 可以延长我的 f m 交 b d 于点 j， 因为这两个角都是二十二点五度，所以点 f。 关于 d e 的 对称点肯定是在 b d 上的， 而且 f m 还是等于 g m 的， 所以我的 m 就是 f g 的 终点，那么我的 n 为 c f 终点， m 为 f g 终点，所以我的 m n 肯定是等于我所在的这个三角形的第三边的一半。那么所在的这个三角形就是连接 c g 时， 它就等于二分之一的 c g， 所以 我要求 m n 的 最小值，无非就是求 c g 的 最小值。讲到这里时，我相信大部分小伙伴已经会了，因为 g 这个点它是在 b d 上，而我的 c g 要最小， 那么 c g 肯定是垂直于 b d 上，所以当 c d 垂直 b d 时，那么 c g 它就等于二分之一的 b d。 因为正方形对角线是相等的，且互相垂直，所以 c g 就是 对角线的一半，所以它等于二分之一 b d。 而给的边长 ab 是 六，所以 b d 其实就等于六倍根号二， 所以最终 c g 就 等于二分之一。乘以六倍根号二，就等于三倍根号二，这就是我 c g 的 最小值，所以最终 m n 的 最小值 就等于二分之一的 c j， 所以 最后答案是二分之三倍的根号。二这道题也就做完了，我们总结一下这道题考察的方向。第一，它是一个正方形，我们对于正方形的性质一定要全部都记住，而且看到一个点为其中一个边的终点时，我们要去联想到中位线定的。 这是对于我们初二下册的学生来说经常会考的一个知识点。好，今天的讲解就先到此结束，希望各位能够继续多多点赞，多多支持，把这些有用的知识分享给身边的每一个人。

来看第五题啊，问题已知梯形 a， b， c， d， a， b 平行于 c d 啊，然后他说，呃，那么 e， f， e、 f 都是终点，那么 e f 有 什么性质？不妨设 c d 和 ab 的 差为 m， ad 为 x， 它为 y。 那 么第一个，当角 d 为九十度的时候，就是直角三角形，直角梯形的时候，求 e f 的 长，这边直接一个直角三角形就行了啊。我们发现 a e 等于二分之一的 ab， 那 个 d f 等于二分之一的 bc， 所以 h f 就 应该等于什么 h f。 我 这边多写一波， h f 应该是等于 d f 减去一个 d h 也就等于 d f 减去一个 ab， 也就等于二分之一 m， 所以 最后 ef 的 平方应该等于什么？这个是 x， 这个应该是二分之一 m， 最后 x 的 平方加上四分之一 m 的 平方。 那第二个，在一般梯形中， ab 平行于 cd， ab 小 于 cd， 直接写出 ef 和梯形边 a， b， c， d 和 bc 之间的一个 呃，几个关系啊？好，我们还是一样，他是 x， 他 是 y， 然后他们的 x， v m， 那 你这边还是一样，你一定要把这个 m 啊， cd 减 ab， 把它画出来。 那么怎么画呀？这边做了个垂直，你这边呢？你发现这边做垂直啊，其实第一个这个方向可以是垂直，也可以是什么，也可以是平行，所以你看，你要把这个给显现出来，你怎么画？画平行也行啊，画平行更好，好一点啊，画个平行，然后这边呢？再做个平行 啊，哦，你一换你就知道了，那么它等于它，它等于它，所以这两段应该是相等的啊，并且都是二分之一 m 啊，对吧？那么这段就是一个 m 啊，它是 x， 它是 y， 它是什么中点？那我们用什么叫中线场定力 不会正的？去搜一下抖音啊，用勾股定力去正的啊，过 a， 过 e 点向下做一个垂直就行了啊。定义的条件是它的结论是什么呢？就是你如果把这个背做这个啊，背长一半的话，你把它背长过来， 然后这样子一连，他是不是一个平行四边形，是不是那么四条边的平方和等于对角线的平方和，用这个就很快结束了，所以第二本的话，他就一个什么结论呢？就是四条边平方，就是 x 平方加 y 平方，再加 x 平方，再加 y 平方， 对吧？四条边平方应该等于这条边，这条边是什么？ m 平方， 所以最后 e、 f 的 一个平方，它就应该等于二分之一 x 平方，加上二分之一 y 平方，减去一个四分之一 m 的 平方，这什么啊？ 好吧，就这个结论啊，就这个结论，那 好，那么中性函数定义一步就结束了，它上面有第三问，他说，呃，第三问，他说点 a、 b， 在 这个有 a、 b 和直线 l， c、 d 的 终点是在 l 上，那么且满足 c、 d 等于两倍的 a、 b 啊，然后 要满足 a 地方加 b， c 方最小。那我们先把这个图画出来啊，一定是先画草图啊，这样子，大概这样子啊，那你肯定要把这个连起来，对吧？那我们发现这个 a、 d， a、 b、 c、 d， 就是这个是 x， 这个是 y， 那 所以我们其实就要求什么 x y 啊， x 方加 y 方最小，那我们知道 x 方加 y 方，它应该等于两倍的一个 e、 f 的 平方，加上一个二分之一 m 的 平方，把它移过来 啊，怎样？所以我要求的他最小就是什么？这个最小，突然发现 c d 是 等于两倍的， ab 的 ab 是 固定的，你发现了吗？ a 点 b 点固定的，所以 c d 也是固定的，所以二分之一 m 这个东西是什么？他是固定的啊，他是固定的， 所以我要求它最小，实际上就求谁啊？ e f 最小，所以 e f。 你 只要画 e f 最小就行了，所以你会画了吗？ e f 什么时候最小？垂线段最小，所以这个时候怎么画？我先取 ab 的 一个总点， 把 e 点找到啊，这个中点， e 点找到，然后过 e 点做垂线，做 l 的 一个垂线，那么我就可以把 f 点找到啊，过这个点往这边做一个， 做一条平行线哇，这边做一个平行线，然后使得谁呢？然后在在这条线上面取它左边取一个与 ab 相等的，右边取一个与 ab 相等的，然后这样子一连，这个 t 谐音，它就出来了，你看到了吧？ cd 就 应该是 ab 的 两倍了啊，这个就是 c 点， 这个就是 d 点啊，好吧，他是对他的两倍，那就是他是他的两倍，并且这边是垂直的，好吧，就这样画啊， 好。第四个啊，他说对 e f 又判又有一些新的结论，我们看一下是否正确。第一个， e f 平分梯形的面积啊，这个是对的，为什么呢？因为左右两个梯形，你看上底加下底，上底加下底，是不是相等啊？上底加下底，上底加下底是相等，高也是相等，所以面积一定相等。 第二个， ef 垂直平分中位线，这肯定不对，你画一个图就知道了，中位线在这不垂直。好，下面一个 ef 大 于二分之 y 减 x， 小 于二分之 y 加 x， 怎么样得到 y 加 x 和 y 角 y 减 x 啊，你只要把这个一连就行了啊。好，这样子 你把，你看，二分之 y， 二分之 y 和二分之 x 怎么来？二分之 y 和二分之 x， 你 这样子，哎，这个点画不到一点嘛， 你只要连接这个中点，然后和这个 e 点一联合，这个 f 点一连，你看它就是什么二分之 x， 它就是二分之 y， 所以 e f 是 大于两边之差，小于两边之和， 并且不能相等，因为如果他相等的话，就意味着这三点共线，也就意味着他和他共线，也就意味着他和他平行，而梯形是不可能平行的啊，所以第三个是对的啊，只能大于和小于，取不到等号啊，放到这个三角形里面去算就行了啊，这个是二分之一 x 啊，这个是二分之一 y 啊，好，下面一个 e f 经过对角线的一个焦点，哎，这个呢，目前来说不太好正啊，你如果非要正的话，我可以给大家看一下一个简单相似啊，你连接它， 你连接它，我们说 ac 与 ef 的 交点，我们记住 o 点，那么因为上下相似，对吧？相似就是 af 比 c， e f 应该等于 e， o 比 o f， 然后我们再连接 b d， 哎，我们发现这个它比它又等于 e， 这个点叫做 换个点，叫重新写一下啊，这个重新理一下啊，比如说第一个焦点，我们记成起来，这个点叫 m 点啊，然后呢， 我们把这个和这个这个一连，那么这个焦点呢，我们记住啊， n 点啊，这个点呢，叫做 m 点。我们发现啊，这个 b e 比 d f 啊，应该等于 e m 比上 m f， 就 d d e 四个的第三个啊， 就是用相似呢？ b e 比上一个 d f， 它应该是等于 e m 比上一个 m f 了。同样的，这个 a e 比上一个 c f 啊，它也等于什么？ e n 比上一个 n f， 对 吧？就他比，他就是这边一个八字形，这边一个八字形，学过相似，听一下没？学过就算了啊。然后呢，你发现 m n 啊， m n 啊，你看这边两个是相等的，就是 b e 和 c f 的 比值和 a e 与 c f 的 比值是相等的，因为都是中点，对吧？这两个比值相等，所以这两个就相等了， 所以我们可以得到什么呢？是这个 e m 比上一个 m f， 就 等于 e n 比上一个 n f 啊，其实这个呢，它就可以转换成谁呢？ e m 比 m f 就 可以转换成 e m 比上一个 e f 啊，它应该等于 e n 比上一个 e f， 所以 我们就可以得到 e m 等于 e n， 也就是什么 m n 怎么样啊？同一个点 啊，那么就意味着什么？ a c 和 b d 的 交点都在 e f 上，并且是同一个点啊，所以第四个是对的啊，所以一二一三四啊，一三四。好吧，这是第五题啊，最后一本需要用到相似啊。

八、下数学的一次函数，求参数的取值范围，是一种必考的题型，很多孩子呢，明明图绘画也会分析图像，却还是丢分了，原因就是他们在做分类讨论的时候啊，少考虑了一种远点的情况。 那究竟当时是怎么回事呢？我们还原一下案发现场，来给大家避避坑。学完这道题之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去练习巩固一下， 只要把里面的题搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题。那现在呢，我们就假设今天做错这道题的同学的名字叫做小明同学， 那么带入他的视角，看他从哪一步开始犯错的。若一次函数 y 等于括号内 k 减二， x 加 k 的 图像不经过第三象限，然后呢，要求 k 的 取值范围。小明同学说，老师，这道题要画图啊，好，咱们把图画起来，第三象限在这个位置， 所以呢，不经过第三象限，他就说这样画好。接下来呢，小明同学又说，老师，这个图像往右下方走，说明他的斜率啊，这个 k 减二啊， 必须小于零啊，这是他找到的第一个关系。接下来他又说，老师，后面这个常数，这个加 k 指的是这个图像和 y 轴的这个交点啊，我用红色标起来啊，表示这个交点， 他说这个焦点呢，从图可知，他在 y 轴的上面，所以说明这个 k 啊，他要大于零，对吧？啊，就是这个点。所以呢，他要列出第二个式子，他说 k 要大于零哎，所以他是这样列的， k 大 于零。好，然后呢，他就把这两个不等式给他结合起来解了一下，解得这个 k 呢，是大于零小于二啊，然后呢，他看了一下选项，就很快乐的选了这个 a 选项啊，结果就丢分了， 你们知道问题出在哪里吗？其实问题就出在啊，这个不经过第三象限，除了他画了这种情况之外， 还有一种什么情况呢？我是不是这条直线还可以往下继续移啊？我最低最低，我是不是可以移到我刚好过圆点，这样子也叫做不经过第三象限呢，对不对？所以也就说我的这个斜率的分析，这一步没问题， 但是呢，关于这个截距这个点呢，我不一定是在 y 轴的上面的，我最低最低最低可以去到 圆点，这里也是符合题意的。所以呢，这一步呢，我们就是说 k 大 于零，要变成 k 大 于等于零都是可以的。所以最后呢，我们的答案呢，就跟小明同学的答案就差一点点，就是这个地方要补个等于号 啊，所以最后答案呢，不应该是选 a， 而应该是选 b 啊，这里呢，要加一个等于号好，是不是很坑呢？你学会了吗？

行，那我稍微的先讲一下吧。啊？呃，这个一次函数图像与性质。啥叫一次函数啊？一次函数它的解析式就是 y 等于 k， x 加 b 嘛。 呃，这儿你已经有一个知识点了，没讲没讲是吧？这里边这个 k 一定不能等于零啊。如果你有一个表达式，它形如 y 等于 k， x 加 b 括号，这个 k 如果不等于零，那它就是一个一次函数，这就是一次函数最最基本的一个形式。 这个里边它只有两个未知数，一个是 k， 一个 b， 这个 k 和 b 的 正负就会影响你这个函数长什么样子。 简单的说就是这个 k 和 b 会影响你图像。那首先你就要知道 k 大 于零怎么怎么样？ k 小 于 k 小 于零怎么样？这个 k 它影响的是函数的上升或者是下降，影响的是上升或者是下降， 什么意思啊？就是如果这个 k 是 大于零的，那你整个函数图像就是向上走的，就是这么这么一个图像，所有的一次函数，它的图像首先都是一条直线。 你先把这个记住啊，所有的一次函数图像都是一条直线，那这条直线你想嘛？一条直线要么就是向下走的，对吧？没有平着的啊。这个一次函数图像没有平着的， 那你要么向上，要么向下。如果这个 k 大 于零，它整个图像就是向上走的，那就是这种往上哎，往上的这种感觉。如果这个 k 是 小于零的话， 那它整个图像就是向下走的，就是往下走，这就是 k 对 你图像的一个影响。这好理解吧？ k 大 于零，整个图像向上走， k 小 于零，整个图像向下走，这是 k， 那 这个 b 是 什么意思？这个 b 其实好理解啊，对吧？你 y 等于 k， x 加 b， 那 如果 x 等于零，你会发现这个 y 它就等于 b。 如果令 x 等于零，那这个 y 就 等于 b， 也就是说，你这个一次函数 经过零逗号 b 这个点，对吧？当你横坐标是零的时候，它的纵坐标就是小 b， 所以 依次函数会经过零逗号 b。 那 你如果画一个平面直角坐标系， 你经过零逗号 b， 那 零逗号 b 就是 在外轴上边。如果这个 b 大 于零，那你就是经过外轴正半轴上某一个点，如果你这个 b 小 于零， 那你就经过图像这个外轴负半轴的一个点，能理解吗？ 因为你一定经过零逗号 b 嘛。如果 b 大 于零，我画一个图啊，如果 b 大 于零，它，哎，就经过外周正半轴的一个点，如果这个 b 是 小于零的，那它就经过外周负半轴一个点，这就是你 k 和 b 对 这个函数图像的一个影响。 一次函数的图像是非常非常好画的，因为你一次函数，它就是一条直线嘛，对吧？你这直线非常好画呀。两，咱们说两点就能确定一条直线，你只要知道这个直线是向上走还是向下走， 或者是说我知道它经过外轴正半轴还是负半轴，我这两个同时知道，我就能把它大概图像画出来啊。举个例子，比如说啊，咱们画几个图，你试一试，如果 k 大 于零， b 也大于零，那这个函数图像长什么呀？ 你可以自己试着画一画啊。 k 大 于零必大于零， k 大 于零必小于零， k 小 于零必大于零， k 小 于零必小于零。 如果你的 k 和 b 同时大于零， 如果你的 k 和 b 同时大于零，那就说明你这条线它既要向上走，又要跟外轴的正半轴有一个交点，对吧？那你画出来之后就这样的嘛。 既要向上走，又要和外轴的正半轴有一个交点，这就是那个交点零多号 b。 如果 k 大 于零， b 小 于零，那说明你这个图像向上走，但是焦点在外轴的负半轴，那画出来就这样啊，这也是零。逗号 b， 如果你 k 小 于零， b 大 于零，说明你图像向下走，然后与外轴正半轴有一个交点，这是零。逗号 b， 如果你 k 和 b 都小于零，那你这个图像既向下走，交点又在外轴的负半轴，那画出来就这样。 这是一次函数最基本的四个种情况，就是你 k 和 b 的 正负会影响你这个图像。 你学一次函数之前，你要把这四个图记得特别特别清楚才行。不是不是死记硬背啊，你理解着去记，就是， k 大 于零，我就向上走，小于零往下走， b 大 于零，我就在外周正半轴有交点， b 小 于零，我就在外周负半轴有交点。 你先把这个记住，咱们才能做题呢， 可以吧？好， k 和 b 的 正负对图像的影响啊，你，咱们一会做的所有的题都是建立在你对这四个图特别熟悉的基础之上，而且也不需要你用到什么别的知识点啊，这四个就够了， 来吧，开始开始试着做一做。那这第一个，第一个，这是基本概念啊，你每次学完一个新的东西，都会有这种基本概念，是吧？这，这非常简单，基础题中的基础题， 他说这里面 y 是 x 的 正比例函数，那正比例函数就是 y 等于 k， x 括号 k 不 能等于零， 那这里边你就选四 d 呗。你 a 选项，这是 y 等于 k， x 加 b， 它是一次函数。二 b 选项，它也是 y 等于 k， x 加 b 的 形式。一次函数 c 选项，这玩意，它是二次的，这是二次函数，咱们九年级才选啊。四 d 选项， y 等于 x， 这是正比例函数，没问题。 第二题，第二题，他说这是正比例函数，你是正比例函数，所以你的形式就应该符合 y 等于 k， x 的 形式。但是你现在这里边有一个 x 方这一项， 那你是正比例函数，你怎么能出现这一项呢？你怎么办？你只能把这一项消掉，那怎么消？那就是二 m 加一等于零呗。所以 m 就 等于负的二分之一。 搞定了。选四 d。 第三题，第三题，八年级的一次函数，这第三题更简单，你看第三题，他也是说这这里面是一次函数的事，他问一次函数，你就找 y 等于 k， x 加 b， 括号 k 不 等于零的形式就可以了。 这里边选谁呀？那就选二 b 呗，是吧？ y 等于负二， x 加一，这不就是 y 等于 k， x 加 b 的 形式吗？这个 c c 虽然长得非常像，或者说一模一样，它就是 y 等于 k， x 加 b， 但是它不行，因为它并没有说这个 k 不 能等于零，它少了一个条件啊， 必须要说 k 不 能等于零才行。私立选项，私立选项，这玩意，它是反比例函数，这是九年级才学的啊，有的版本可能呃，八下也学了。这不是，这是反比例。第四题，第四题，他说这是关于 x， 又是一次函数， 又是一次函数，那一次函数你这个一眼望过去，它只有一个 x， 那 这个 x 它必须得是一次项， 对吧？他的次数必须是一，所以二，他的指数位置二减 m 的 绝对值就只能等于一，所以 m 的 绝对值等于一， m 等于正负一。这种题你先别着急选，你看看他有没有其他的位置出现这个 m， 你 前面有这有一个 m 加一， 那你既然是一个一次函数，你这个 k 不 能等于零，所以 m 加一不能等于零， m 就 不能等于负一，他就只能等于一，所以选 a 啊，基础题啊。好，然后第五题，第六题，你你我我把这两个题同时放出来，你就看吧，这个题型二，它就叫一次函数的图像和性质，也是咱们今天主讲的一个内容啊。 这题都是长这样的，你，你看吧，这五六七或者是第八题是吧？包括后面的九十、十一、十二，都都差不多，你只要会画图，那这个题就好解决，你当然也得稍微会一点什么这种平移的基础知识啊。你比如说这个第五题吧， 他说 y 等于二， x 减八，问我下列结论正确的是？你先别管那么多呢，你，初学者，你，你只要看见一个一次函数解析是，你就画图，你把自己这个画图能力锻炼锻炼， 你熟悉了之后，在脑子里边自动就会浮现出来这个图， y 等于二， x 减八，它是不是 k 大 于零， b 小 于零，所以它整个函数图像怎么走啊？ k 大 于零，他整个图像向上走， b 小 于零，交点在外轴的负半轴，所以他画出来之后就大概就这样呗，这就是 y 等于二 x 减八。哎呀，你做这种题不用给他画的特别像啊，我还得量一量，拿尺子量一量，我给他画标准一点没有用。 他不是考你做图呢，你画个，你只要能画出来他在第几象限就可以了。然后你就看选项吧， a 选项说他经过一逗号负四， 那你就把 x 等于一带进去， x 等于一的时候带进去， y 是 等于二减八等于负六的，那也不是负四啊。所以 a 就 不对 二 b 选项他说与 y 轴的交点是零，逗号八，那你令 x 等于零，那 y 不是 等于负八吗？是吧。所以二 b 选项也不对， c 选项他说不经过第一项线， 这是第一项线吧，这不是已经经过了吗？所以 c 也不对。那这个时候选正确的就是四 d 呗。他说向左平移，呃，你现在如果不会左右平移的话，这个四 d 你 还真做不了啊。左右平移这个你 学了吗？肯，如果你一次函数图像和性质没学这个平移，肯定也是没来得及学。 你记住啊，这个平移是左加右减， 他跟你之前学的那玩意可不一样，你之前学的是点的平移，这个点向左走，哎，他横坐标就向减，向右走，横坐标就加，这是图像的加减。他的解析式是左加右减。 你把 y 等于二 x， 我 给你写一遍啊，你本来是 y 等于二 x 减八，对吧？他如果向 左平移四个单位长度，那就会变成 y 等于二倍的括号， x 加四再减八化减后就是等 y 等于二 x， 你 这个左右左加右减是对 x 进行加减，所以你如果原来是二 x， 那 这个二就先要提出来，给这个 x 加一个括号啊，在括号里面给这个 x 去加四，再化减 y 等于二 x 没问题，所以四 d 选项是正确的。 这就是考察一三数的图像和性质啊。当然，这种题是基础题中的基础题啊。你，你真正的考试，这种也就能就是炮灰题的位置， 出个前几道选择题，后面就考不了了。后面的大题，第一问第二问简单一些，第三问都是综合题。 嗯，然后你可以试着做一做这个第六题，你看这个第六题选什么呀？你做选择题不用四个都会，你会三个你就能把这个题做对。 你们看这第六题选什么啊？你可以跟着做一做，哪怕你学校里没完全学，你可能做几道自己就能悟出来。这个规律比较简单， 开到几点讲着看吧， 这准备的题也不多，我估计讲不到十点就讲完了。这第六题选什么呀？ y 等于三， x 减二，你先把它大概图像画一画吧。 还是那句话啊，你只要关注 k 和 b 就 行， k 和 b 的 正负你不用管他。呃，我，我跟 x 轴交于哪， b 轴交于哪，你画出来再说啊，你让他在哪他就在哪， k 大 于零，往上走的， b 是 负二小于零，焦点在负半轴，所以他图像就这么画 啊。这就是 y 等于三， x 减二，我说他是，他就是。那你就看呗。 a 选项，他说 y 随 x 的 增大而减小，那很明显不对嘛，你 k 大 于零，应该是随增大而增大，所以 a 不 对 二， b 选项，他说这个函数图像经过一二三，那很明显也不对呀，应该是一三四啊，二 b 也不对。 c 选项，他说这个点一定在函数图像上没问题，你把 x 等于负一往里一带，那 y 就是 负五，所以 c 选项没没问题 啊，四 d 选项，他说什么？这两个点是图像上的两个点，则 y 大 于 y。 二，咱们说了，你 y 随 x 的 增大而增大，你 x 越大，那 y 就 越大，你这负三和二谁大呀？二大，所以 y 二就大于 y 一， 那四 d 选项也不对。 简单吧，非常非常基础的题目啊，就是反复的考你一次函数的图像和性质，初学阶段别管你看到解析式你就画图就行啊，多重复重复来。第七题， 然后你顺便可以把错的改对 steele 对四 d。 啊， a 选项那一眼就不对，人家 k 小 于零嘛。所以咱们画画图像啊， k 小 于零， b 小 于零，所以画出来之后就这样呗，它就是 y 等于负二分之一， x 减三， 然后二 b 选项，他说经过这个点，你往里一带，那很明显也不对啊， c 选项，他说不经过第二，应该是不经过第一，所以 c 也不对，所以就选四 d。 还是那句话啊，你四个选项只要会仨，你就能选对你别管你会哪仨，你都能选对来。第八题， 他说关于 y 等于 k， x 加三括号 k 不 等于零的说法 啊，其中正确的是八年级的一次函数图像与性质， a 选圈一对不对，他说函数图像与外轴的交点，你求它与外轴交点的坐标，你就令 x 等于零就行了。 令 x 等于零， y 就 等于三，所以焦点坐标就是零。逗号三，圈一没问题，圈二他说，如当 k 大 于零的时候， y 随 x 的 增大而增大，这没问题啊，是吧？圈二也对，圈三，他说如果 k 小 于零，经过的是二三四，哎，你画画嘛，哎，咱们画草一点啊， k 小 于零， b 大 于零，那他就是这么这么走的呗。哎，整个图像向下走是吧？然后焦点在外轴的正半轴上，经过的明明是一二四，所以圈三不对，这个题就选 a， 可以吧？再重复一遍啊，你如果想学好一次函数，你在初识的阶段必须要搞定一次函数的图像与性质，慢慢熟悉， 只要给你解析式，你就能立马在脑子里面想出来他长大概长什么样就可以了啊。题型三题型三叫做根据一次函数解析式判断其经过的象限，说白了也是画图嘛。你比如说第九题啊， 他说这个点在第二象限内，第二象限内的点就是横坐标是负的，纵坐标是正的，对吧？ 那就说明 a 小 于零， b 大 于零，你现在是 y 等于 k， ax 加 b， a 是 小于零的，所以整个函数图像向下走，焦点又在外轴的正半轴，所以它就这么画， 怎么可能会是不经过第四呢？这不是不经过第三吗？ 你画出来再说啊， a 小 于零， b 大 于零， k 是 小于零的向下走， b 大 于零的，焦点在外轴正半轴就画出来了 啊。这题都一样，你再比如说第十题吧，他说 k 乘 b 小 于零， y 随 x 的 增大而增大， k 乘 b 小 于零，说明 k 和 b 是 一号的，这知道吧？这七年级学的啊，两个数相乘小于零，说明这两个数是一号的， y 随 x 的 增大而增大，那说明 k 是 大于零的，那所以 b 就是 小于零的。 k 大 于零， b 小 于零，它长什么样？这么长这样吧， 所以一定不经过第二项线搞定，简单不？ 那这个第十一题你要是不会的话，说明你，说明你七年级下册二元一次方程组没学好啊。这个方程组什么时候无解啊？会吗？有同学估计早就忘了，或者是当时就没学会。 这方方程组怎么会无解呢？是吧？一个二元一次方程组什么时候会无解呢？ 好，你要不知道我开奖了，如果你 这个二元一次方程组无解，说明什么？说明 y 的 系数之比等于 x 的 系数之比，不等于那个常数项的系数之比。 也就是说你这个目测啊，你看它的 y 和它的 y 系数都是一，如果你没有解，就说明这个 x 的 系数是一样的啊。 x 的 系数是一样的，那就是负四等于 k 加二，所以 k 就 等于负六， k 等于负六，那负二 k 加一这玩意它就是十三，那就是 y 等于十三， x 减二，它不经过第几项线，你整个函数图像向上走，对吧？然后 b 又小于零，所以它这么这么来的嘛，就不经过第二呗。 到现在为止，几乎每一个题都要你画出来图像，然后判断它不经过或者是经过哪几个项线 好。第十二题你要是二元一次方程组没学好，那没办法啊，这个又是跟二元一次方程组结合的，他说 p 是 坐标系内的一个点，横纵坐标是这个玩意二元一次方程的解， a 为任意实数，当 a 变化的时候，这个点 p 一定不在第几象限， 一定不再低级象限。这个姐，你是不是得先算一下再说？你别管他能不能求出来，具体的你带着 a 你 也得先算一下。呃，咱们试试啊。哎，好像他俩好像他俩一， 这俩这俩一，这俩一减，好像能能消掉，是吧？你看啊，它俩一加啊，它俩一加，你让圈一加圈二，圈一加圈二，那是不是就是三 x 减去三 y 右边是个负一， 那也就是说这个点，这个屁点，它满足三 x 减三 y 等于负一，那也就是说三 y 等于三 x 加一，那也就是说 y 等于 x 加上三分之一， 你说这玩意一定不在第几项线？你 y 等于 x 加三分之一， k 大 于零， b 大 于零，所以他肯定这么走呗，就不一定不经过第四项线。有九年级的课， 暑假八年级、九年级都有，不经过第四是吧？正上英语课呢。这个点它的坐标是 x， 逗号 y， 那它的坐标就满足 y 等于，又经过提个 e 分 析之后啊。满足 y 等于 x 加三分之一，那也就是说你这个点在这条直线上，那条直线是咱们如图所示经过一二三的，所以不在第四吗？ 你其实要是学会了这些题，你会觉得这些题做着非常非常的无聊啊，不过马上题型四里面有有难有这个易错题，你们注点意啊，如果你手里有这个电子版的话， 这个易错题易错到什么程度？就是一个班里面刚开始学的时候，如果有五十个人做这个题，错的就得有四十往上 啊。前提是这个老师从来没讲过啊，绝对有四十往上，而且每个人写的时候都觉得自己写的是对的。这个第十三题 我好像已经看到错误答案了。这个一人浅笑最长安说是大于号，小于号， 他不经过第二项线，哎，然后你觉得自己特别聪明啊，就这么一划，不经过第二吗？哎，就这么一划，所以 k 是 大于零的， b 是 小于零的，就这么写上了。好，你不觉得你这么做有什么问题吗？ k 大 于零， b 小 于零，我画出来是这样的，但是他只是说不经过第二象限呢，我给你画一个，我这条红色的过原点的，他经过第二象限吗？经过吗？我这条红色的 他过原点，如果他过原点的话，他也不经过第二象限，但是他是，他是那个正比例函数，他也是一次函数， 这个时候我画的红色的线是不是满足题干里面的要求？此时这个 b 是 不是等于零的？所以这种题你千万小心啊，这个 b 可不一定就是你想的那么简单，就是大于零，就是小于零，在这个题里面， b 是 小于等于零的， 你看刚才有多少人错了，是吧？哎， k 大 于零， b 小 于零，这个题做出来了， 这个题只要考就会有人错啊，你说三遍，你说五遍，还是会有人错的。 好。第十四题，第十四题，这，这种题简单，这个 k 没事，他说这个直线不经过第四象限，那不经过第四象限，他就就，他就是经过一二三呗，一二三，你就按你随便这么一划， 那我这个函数图像得是向上走的，对吧？向上走，向上走说明 k 减二要大于零，所以 k 就 大于二嘛。 我这么写对吗？ 哎，如果觉得我这么写对的，你扣个一啊，如果觉得不对的，你就扣个二，这个答案对的，你扣一， 你觉得你不是这个答案的，你扣个二， 这个答案对不对？ 我如果要是不问，你们是不是就觉得是对的啊？我一问就就觉得是不对的是吗？ 哎呀，我，我要是让你们做这个题，你们多数人都得写 k 大 于二啊。现在我一问，你们又说觉得不对了，为什么呀？ 为什么不对呀？你先入为主了。什么叫先入为主啊？你总觉得我在做一次函数的题是吧？这个 k k x 的 这个系数不能等于零，你读题，他说的是直线， 整个题就没有出现一次函数这几个字，看到没？没有出现，你凭什么你上来就 k 减二大于零， 那我 k 减二等于零不行吗？可以啊，我如果 k 减二等于零，那说明 k 等于二嘛？ k 等于二，它就变成了 y 等于一，这个图像长什么样呀？ y 等于一，就说明你这条直线上所有点的纵坐标都是一，那它就长这样啊。这就是 y 等于一， 这是跟 x 轴平行的，在一二象限也不经过第四象限，所以 k 等于二也可以。如果 k 不 等于二，那它就是一三数， k 就是 大于大于二的。所以最后综上，在这个题里面，答案应该是 k 大 于等于二才对， 你看你是不是又错了， 长点记性啊。连着两道易错题，再来一个第十五题，这个题还是不是易错题？ 首先看题啊，一参数有了，一参数经过第三项线，经过第三项线，让我求 k 的 取值范围。 这个题不是易错题了，是，是难题，又不会了，什么都注意到了，但是又不会了，我等你们的答案啊，我看你们说什么的应该都有。 前面明明都是不经过为什么他突然来了一个经过第三项线我又要怎么办。 一会我给你们讲一个好玩的啊。你先做吧我看你们能做做做对吗。 经过第三项线 k 的 取值范围是多少。 呃另外直播间如果有学生啊 明天是母亲节你明天表现好一点哎平常表现如果就不错的话明天说点好听的 准备个小礼物。 k 大 于二或什么 k 可以 等于任。怎么可能呢怎么可能呢怎么可能是任意的时数呢 这能对吗那 k 要是任意时候你怎么保证他经过第三项线 动脑筋想一想如果你觉得难的话你大不了你就把那四种情况你都试三种情况你都试一下呗。他要么过一二三要么过二三四 对吧要么过一三四。 k 大 于二那 k 大 于你你这么说本身就是有问题的什么叫 k 大 于二并不等于二你 k 大 于二它本来就不等二 能理解吗。你说了 k 大 于二了那都没有等于二你为什么后面还要再跟一个不等于二也不对也不对 k 小 于负二 也不对都不行了是吧。那这个题你们你们是要听 正常方法步骤多的呢你们还是要听带技巧的减步骤少的呢。 两种方法都能做啊。正常方法就是你分类讨论分类讨论的话情况就比较多算起来麻烦一点带技巧的就是换一种思维不需要分类讨论了。 都需要都需要 啊。那这个不用留这么多位置啊。啊那这边是正常的做法吧 这边是偏向技巧性一些的。那你想一个问题他经过第三象限有几种情况呀？有三种呗，要么就是经过一二三，要么就是经过一三四， 要么就是经过二三四， 对吧？那是不是就这三种可能呢？没别的了吧？ 你要么一二三，要么一二四，要么一三四，要么二三四，这四种他现在已经说了经过第三项线，所以就这三种情况，你一个一个算呗。第一种，如果他是一二三，那说明 k 减二。哎，一二三，你可以画个草图啊，一二三就长这样， 对吧？一二三长这样，那就是说明 k 减二大于零，并且这个 k 还得大于零，你这两个要求要同时满足，那大大取大，所以算出来之后就是 k 大 于二。哦，这是第一种情况，你再来第二种，一三四， 一三四，一三四，一三四，一三四，这么画是吧？不经过第二，那一三四的话，不就是 k 减二大于零， k 小 于零吗？ 这玩意是怎么可能呢？对吧？你 k 减二又大，你 k 又大于二又小于零，所以这是无解的， 这是无解的第三种。第三种，过二三四 二三四，那就是这么画呗。那这么画的话，说明 k 减二，它整个图像是向下的，那 k 减二就小于零， k 也小于零，小小取小，所以所以 k 就 小于二。 那现在你想啊，是不是是什么呀？是是，这个也可以，这个也可。哎。哦，这写错了，小小取小啊， k 小 于零，小小取小，那你 k 大 于二也行， k 小 于零也行，是不是这两个都可以啊？综上所述， k 大 于二或 k 小 于零 就搞定了吗？ 你先把这个笨的方法理解了啊。 你说经过第三项线，那我就分类讨论一下，要么是一二三，要么是一三四，要么是二三四，然后我分别给你去列啊，求解。解出来之后啊，第一个情况可以的， k 大 于二，第二个情况它是无解的，不存在。第三种情况， k 小 于零， 那你这个情况也可以，这个情况也可以，两种情况都可以。所以最后综上他或他这个题搞定， 这是你也不能说他笨啊，这就是正常一点的做法，只不过是需要分类的讨论的情况比较多而已。然后什么叫技巧性的方法呢？我就问你一个问题啊， 他说他经过第三项线，让咱们求取值范围，咱们是不是可以去算一下他不经过第三项线的范围呢？哎，不经过第三项线， 你不经过第三象限，你是不是就是经过一二四，那就你就是这么画的，对吧？你不经过第三象限，你这么画，那就是说明 k 减二要小于零，这个 k 要大于零，你这么一算就是零到二， 对不对？ 忽略了什么了啊？对对对，什么对不对啊？不对， 你 k 是 可以等于零的，又错了又错了，他说不经过第三项线，我过原点也是不经过第三项线，所以这个 k 是 大于等于零的，那算出来之后就是 k 大 于等于零小于二， 那也就是说你不经过第三项线，这个 k， 他 算出来的范围是这玩意，那你现在经过第三项线， 你经过的你这个一次函数，你要么就经过，要么就不经过，不经过的时候算出来是这个结果，那你经过的时候就是他的反面，就是他剩下的情况，那就是 k 小 于零 或 k 大 于二啊。当然你这个 k 不 能等于二啊，因为你本身这个这个题干里面就隐藏的一个就是 k 不 能等二，这个结果就出来了， 这个不需要你分类讨论，你看你能不能理解这个思路啊？ 好云好云，说明你没没有这个，没有这个思维。 再重复一遍，你是一个一次函数啊，一次函数要么就经过第三项线，要么就不经过第三项线， 你现在让我去算他经过第三项线的范围。第三项线，我一想啊，有三种情况，情况太多了，我不考虑我，我去考虑考虑那个不经过第三项线的，这不就只有一种情况吗？我把这种情况算出来，这个情况剩下的就是我题里面要的， 能理解吗？我虽然题干里面要的是经过第三项线，但是他情况太多了，我不想一个一个的去讨论，我反过来去求一下他不经过第三项线的情况，那剩下的就是他经过第三项线的吗？ 这也是你数学或者说概率题里面经常用的一个思路，就是正南则反， 你正着想不好，想你就想他倒着的过了啊。这个题我我觉得这两种方法，呃，你老老实实的，你能使这个正常的方法平稳着陆也行。然后第十六题，第十六题 经过一三四 a 的 取值范围 经过一三四。 你这么画呗，是吧？那这么画的话，就说明二减 a 大 于零，二 a 加一小于零，所以就是 这是 a 小 于二，这是 a 小 于负二分之一，小小取小嘛，所以就是 a 小 于负二分之一。哎，搞定了啊， 为啥这个题就不用考虑过原点呢？因为人家说好了过一三四的，过一三四的， 你只有做那种不经过第几象限的，你才需要考虑过原点呢。好吧，你说这个题为什么咱不考虑 a 等于二呢？你 a 等于二，他怎么可能过三个象限？你 a 等于二，他是一条啊，这样的直线，他只经过一二象限，对吧？所以就算出来就是 a 小 于负二分之一啊。 呃，这四道题吧，前三道题都是重点易错的。第十五题是 不太容易想到的，或者刚开始学啊，容易容易想不到，你自己可以可加一会，你再重新做一遍这个题型五就比较简单了。题型五是一次函数图像与坐标轴交点的问题。那这随便随便做吗？ 你求 y 轴交点，你就令 x 等于零，你求 x 轴交点，你就令 y 等于零，你把它往里一带，那剩下那个自然而然就出来了。你比如说这个 d 是 七题啊，他说与 x 轴交点，你脑子里面一想， x 轴，那就是 y 等于零，那 y 等于零， x 就 等于负三， 所以焦点坐标就是负三，多少零？怎么是三呢？什么玩意？就是三 与 x 轴交点，坐标 y 是 零 啊， y 是 零。 那你再看第十八题吧， 又与 x 又与 y 轴了，那你与 y 轴交点，你就令 x 等于零，那就是零多少二啊，就这么简单，零多少二。 好，然后第十九题，嗯，第十九题，发现没有图，没有图，你就自己画一画吧。啊，这个，这个直线它也是固定的，图像也是固定的，你自己画一画， 你八年级，下次马上升九年级的同学了，你自己画个图应该没什么问题吧。 y 等于负四分之三， x 加六 试一试啊。第十九题， 我也我也画画 啊，你这个题就得稍微画的准一点，不能太，不能太偏，因为你后边要还要折叠，你画太偏的话，你折不过去了。 这条直线它是一个确定的，那你可以算一算，它跟 x 轴交点是多少啊？跟 y 轴交点是多少啊？ 呃，算完之后啊，这个点它的坐标就是零点 b， 它的坐标就是零多少。六、 原点是 o 吗？他说 m 是 线段 o b 上的一个点， m 在 这个上面不知道在哪啊，您随便吧。你比如说我就在这， 他说把三角形 a b m 沿着 a m 折叠，使这个点 b 恰好落在 x 轴上的 b 撇的位置，问这个 m 的 坐标是多少？ 能想象一下子不？想像想象，你把这个玩意儿沿着 a m 一 折，它不就变成这样的了， 对吧？这不就是那个 b 它所谓的 b 撇的位置吗？这能想到吧？把上边这个三角形 abm 沿着 a m 一 折，夸，这个 b 落在 b 撇，正好在 x 轴上，就是这么一个图形。他现在问我这个 m 的 坐标是多少， 怎么整啊？这里边啊，是有勾股定律的，咱们先瞅一瞅这个 ab 是 几， 你要对三、四五六八十这种数特别特别的了解啊，看到六八就想十，看到三四就想五，这是六，这是八。勾股定律，这就是十，它是十，你翻过来之后，这也是十， 它们俩是一般长的啊，这也是十，那你 o a 是 个八，所以左边这个 o b 它就 o b 撇，它就是个二嘛。 我 m 坐标，我不就纵坐标不知道吗？我是它纵坐标是小 m 啊，那这就是 m， 上边是不是就是八减 m， 你 折过来之后，这也是八减 m， 所以 勾股定律整上了。在这个小的直角三角形当中啊， m 方加上二的平方等于八减 m， 括起来平方， 那算被 m 方加四等于八，八六十四减二，八十六加 m 方，所以十六 m 等于六十，那 m 就 等于个 算错了吗？哦，怎么是八减六减 m？ 我 说这个数咋没见过呢？六减 m， 那就是三十六减去十二 m 加上 m 方，所以十二 m 等于三十二，那 m 就 等于个三分之八，所以点 m 的 坐标就是零。头号三分之八 搞定了。是，是六减 m， 刚才我算出来那个数，觉得以前没见过，我就意识到自己应该是写错了。这种勾股定律不会算出来那种数的 对吧？折叠就是全等，全等就容易出勾股定律，勾股定律去解这种三角形，所以 m 的 坐标就有了。 这个题你说难吗？也不难啊，就是得自己先画个图，如果你前面那些折叠勾股定律学的好的话，这个非常非常简单，如果给给出来你图让你直接去做， 这就是最基本的一个折叠。好，这是第十九题啊，自己画图，然后咱们再翻回来看第二十题。 第二是题，这也是一类题，就是横过什么什么定点，这种题出现频率非常高啊，横过什么？什么定点？高中也考。 什么叫横过一个定点？就是不管你这个 m 取什么值，我这条直线永远都经过这个点，那也就是说 我这个点的坐标带到这个式子里边，永远成立他跟 m 是 没有关系的。这是人教版八下一次函数， 对吧？你跟 m 没有关系，咱们是不是七年级的时候做过这种题？ 你跟 m 没有关系，那我就把所有 m 的 给你整出来就可以了。来，咱们把它乘出来啊。那就是 y 等于 mx 加上四， x 加上二， m 加二， 你说 m 取什么值的时候都不影响，那就是说明与 m 无关，与 m 无关，我就找到所有的 m 这一个，这一个，你把它俩合起来，那就是 m 倍的括号， x 加二加上四， x 加二，对吧？你不是与 m 无关吗？ 那我怎么才能与 m 无关呢？我要把 m 给消掉，那怎么消呢？就是 x 加二必须得等于零，所以 x 等于负二，你把 x 等于负二往里面一带，那 y 就 等于个负六， 是吧？所以这个点它永远都经过负二多或负六这个点。 你之前学的某种题，就很有可能会在你未来的某一天又碰到一个熟悉的。如果你当时偷懒了，你早晚会遭报应的。 这个报应就是若干天后你做的某一道题，发现啊，就是那个回旋镖击中你自己了，当时我偷懒了，我清楚的记得老师讲过这个题，但是我当时没搞懂，现在又考到了，我又，我又在这个问题上丢了分。 这不就是你初一时候学的那种题吗？是吧？啊，这个整数的加减里边算着算着，他说，嗯，这个整数的值结果与 m 无关，然后问怎么怎么样，不就一样的吗？ 你 m 取任何值我都过这个点，那就说明我过的这个点跟你 m 没有关系，跟 m 没有关系我就把你 m 消掉。哎，我就把所有带 m 的 给算出来，再合并到一起，最后就可以了， ok 吧？这已经二十道题了，你这二十道题做到这，应该对一次函数的图像和性质掌握的差不多了。还有多少题？ 我的乖乖哦，还有，也不多也不多，来吧。题型六，利用一次函数比较函数值的大小。那这种题就简单了嘛， y 随如果 k 大 于零， y 随 x 的 增大是增大，如果 k 小 于零， y 随 x 的 增大是减小啊，就。就利用这两句话就都能做了，现在来吧。第二十一题，他说这两个点在这个图像上问 y 减小啊，就就利用这两句话就都能做了， 现在来吧。第二十一题，他说这两个点在这个图像上问 y 怎么办？我一瞅， k 是 等于负二的， 那你 x 越大， y 就 越小，所以这个五大，那 y 二就小小余号就这么写呗。啊，其实就是大于号呗，对吧？ y 也就大于 y 二嘛。你再看二十二题， 二十二题，虽然我不知道 k 是 谁，但是它是 a 方加二， a 方加二肯定是大于零的，那你大于零， y 就 越大，所以 x 一 大于 x 二，那 y 一 就大于 y 二， 是不是搞定你？再包括二十三题，一函数都给我了，这个 k 等于负二，那就说明他的图像是向下走的，你 x 越小， y 越大，他问我， y 最大是几啊？那你就找 x 最小的时候，最小是负二， 你把福尔往里边一带，那就是七，所以最大就是七，简单吧。好，然后这个二十四题啊，我考考你们吧，二十四题你们来做，你告诉我最后这个题的结果是多少 啊？这个题要是会了，那这一类题你就都会了啊，无所谓，别的题也就这样了，以函数的基本图像和性质，考不了什么难题的。 最近这天气比较赶早，你们多喝点水，别再生病了。 let's do it。 能行吗？再做不出来，做不出来我，我要睡着了， 不知道 k 是 几？他问我，他，他说这个 x 在 这个范围之内， y 的 最小值是负六， 六，嗯，六只有六。 行了，行了，不等了啊，再再再再等，不行了，再等一会都讲不完了。这种题他还是在考，你分类讨论。 分类讨论的这个思想在数学题里面无处不在啊。你不是不知道 k 是 几吗？你就讨论呗，对吧？你这个一次函数，它有可能是往上走的，也有可能是往下走的， 所以分两种情况，第一种， k 减一大于零。第二种， k 减一小于零， g k 大 于一， g k 小 于一，那如果你这个 k 减一大于零，说明你图像是向上走的，这个图像是向下走的，那你图像向上走什么时候有最小值啊？ 是不是 x 越小， y 越小？那也就是说 x 等于负三的时候， y 是 等于负六的，那你往里带，你就会发现负三倍的括号， k 减一加上二， k 减三等于负六， 那就是负三， k 加三加二， k 减三等于负六，所以 k 就 等于六， 你算出来之后千万别着急，你算出来这个 k 等于六，你跟前面这个 k 等于 k 大 于，一定要去对比一下，看他符不符合这个前提啊。这是你的前提， 前提是 k 大 于一，那我算出来 k 等于六，就是符合要求的。第二种情况，如果你这个图像是向下走的，你什么时候取最小值？是不是 x 越大越小？也就是 x 等于二的时候， y 等于负六，那你把它一带就是二倍的 k 减一加上二， k 减三等于负六啊，这一算就是 四， k 等于负一，所以 k 就 等于负的四分之一， 那你 k 等于负四分之一，跟这个前提还是要比较一下，前提是 k 小 于一，你算出来是 k 等于负四分之一，那也是符合要求的，它也可以。最后综上就是两个结果，一个是六，一个是负的四分之一。 这种题就是考一个分类讨论啊，他最后你分的是两种情况，但是最后真不一定算出来是两个结果，有的时候有一个结果要舍掉的， 过了啊。第二十四，这是二十四题了，来二十五题。 二十五题， y 随 x 的 增大而增大， y 随 x 的 增大而增大，那说明 m 加二大于零啊，所以 m 大 于负二。 简单，二十六、二十六，他说 y 一 小于 y 二 x 一 是小于 x 二的，现在你说 y 一 也小于 y 二啊，它们的这个大小是一样的嘛。所以说明这个一函数，它是向上走的， y 随 x 的 增大而增大，它向上走，向上走，那 a 减三就是大于零的， 所以 a 就 大于三。 二十七题又来了，二十七题，你们做吧，好吗？ 你们做二十七题， y 等于 a， x 减四， a 有 最大值，八 正负八，是吧？这个题还是跟刚才那个题一样的，你不知道 a 是 正是负，所以你可以分两种情况去讨论。 第一种，如果 a 是 大于零的，那它向上走，向上走， x 越大， y 越大，那就是五。 a 减四， a 等于八，非常好算啊，那 a 就 等于八，可以要第二种情况，如果 a 小 于零， a 小 于零， y 随 x 的 增大而减小，所以当 x 最小的时候， y 最大，那就是三。 a 减四， a 等于八， a 等于负八，哎，也可以要，所以 a 就是 正负八 是吧？下面这个第八题跟刚才还是一样的，你看你能不能算快一点，一分钟时间算一下二十八题， 加快你的运算速度，这种题你得把时间压缩到一分钟。 let's go， 我写完了啊，你可以自己对对答案，咱们就不讲了。一个是 k 等于一，或者是 k 等于负的三分之二，两种情况， k 大 于零走一个， k 小 于零走一个。 你只要保证你思路清楚，计算功底扎实，学什么都简单。 计算不行的，你先练练计算吧，然后这二十九题还有这么多， 然后题型八是一次函数的平移问题。呃，平移问题呢？你们可能还没学是吧？没学我给你们先讲讲知识点吧。好吧， 一次函数的平移问题，咱们以一个具体的为例，比如说啊，现在有一个 y 等于二 x 减一，它的平移，咱们向上两个向下三个向左两个向右 一个，分别去表示一下，它的这个函数表达式会怎么变啊？或者是咱们可以用 ab 来表示，用 ab 吧， 这样的啊，用 ab 向上， a 向下， a 向左， a 向右， a 帮助你理解。 如果是向上或者是向下，这俩这哥俩是一组的，上和下就是直接在这个表达式的后面加或者是减，你向上平移 a， 那 就是 y 等于二 x 减一，再加上 a 啊，就是上加 向下，那就是减，你向下平移 a， 那 就是 y 等于二， x 减一，再减 a， 所以 就是下减。 容易搞混的是下面这个左右，如果你向左平移 a 个单位长度，它会变成 这是左加。向左平移就是对 x 进行一个加，你向左平移 a， 我 就让 x 加 a， 那 举一反三啊，向右的话就是减呗， 这就是一次函数图像平移跟它这个表达式之间的一个关系，上加下减，左加右减上和下是在整个函数表达式最后进行加减，左加右减是对这个 x 进行加减，你看能不能区分 左和右是对这个 x 进行加减。而且你加减的时候，要把这个二先给它提出来啊，把它的系数先提出来，然后写个括号，在括号里面去给它加减 啊，你可以记住这个口诀，上加下减，左加右减，记得差不多之后咱们来做几道题，你试试。试试啊，你比如说这个二十九吧， 他把这个一次函数向上平移了四个单位，那上简单的上就是直接加呗，那就是 y 等于三， x 加 b 再加四，是吧？那他平移完之后表达是长。这样说，这个一次函数图像经过原点， 经过原点，那你就把 x 等于零带进去， x 等于零的时候， y 等于 b， 就 等于负四， 看能理解不啊？我先让他向上平移四个单位，表达式变成 y 等于三， x 加 b 加四，他说经过原点，那我把零零带进去，就是成立的，所以算出来 b 等于负四。 第二个第三式题其实也是一样的思路，你把他的图像向下平移两个单位长度，那向下就是减二，就是 y 等于三， x 加 b 再减二，他说平移之后经过点负一，逗号二，那你就往里带，那就是二等于负三加 b 减二，所以 b 就 等于个七。 好，然后第三十一题啊， 第三十一题，你看清楚人家问什么，他说把这个直线向沿外轴向上平移两个单位长度之后，新的直线与坐标轴为成三角形的，面积增加了多少？注意是增加了多少？ 你两个思路嘛，对吧？你要么就把这两个图画在同一个图里边，你要么就分开画，分别去求，然后再相减，你怎么做都行。你可以先画一画它最开始的，它没平一之前， y 等于负 x 加一，它图像就长这样 啊，这边交点是一，逗号零，这边的交点呢，是零逗号一，这是你没平移之前的，你沿着外轴向上平移了三两个单位长度之后，它的表达式就变成了 y 等于负 x 加三， 那平移完之后就变成了这样 啊，整个坐标变成了三逗号零，这个坐标变成了零逗号三。 他问你面积增加了多少，这不很明显吗？你里边这个面积，这是一乘一乘二分之一，这是二分之一，这个是三乘三乘二分之一，这是二分之九，所以面积就增加了四。 ok 了啊，面积增加了四， 好。然后第三十二题，第三十二题，他说把这个一次函数图像向上平移，得到了直线 ab， 这个直线 ab 是 经过二逗号十一的。问 ab 的 函数表达式是多少？ 我管你是多少，你原来是 y 等于二， x 加三是吧？你不知道怎么的，向上平移之后变成了 ab， 那 ab 肯定也是 y 等于二， x 加一个，呃，小 b 的 形式嘛， 对吧？你上和下只是对这个三进行加减。我设 ab 是 y 等于二， x 加 b， 那 你经过二十多号十一，我把它往里一带入，那就变成了十一等于四加 b， 所以 b 就 等于七，那 ab 的 表达式就是 y 等于二， x 加七， 你都不用设什么二 x 加三加多少。那没没必要啊，因为他也没问你，你只需要知道我向上平移，向下平移，我这个 k 是 不变的，我还是 y 等于二 x 就 可以了。 这个位置你给他的待定个系数嘛，对吧？待定个 b 就 可以了 啊。快了快了快了，还有两个啊。第第三十三题也比较简单，三十三和三十四是题型，求一次函数的表达式。 你三十三题，这个，这个白给的吧。 x 等于二， y 等于负三，你就往里带嘛。那就是说明负三等于二， k 减四，那 k 就 等于个二分之一，所以就是 y 等于二分之一， x 减四。 第一问啊，第二问，他说求这个一函数图像与 y 轴啊，与 x 轴交点坐标，与 x 轴交点坐标，那就另外等于零，另外等于零，咵一算，这个 x 就是 八，所以交点坐标就是八，逗号零。 搞定了啊，最后一道了，最后一道了，最后一道了。三十四题， 他说已知这条直线与这条两条直线相交于 a， 逗号一，而且与 x 轴交于点 b， 咋办咋办呢？哎，你这两条直线相交于这个点，那这个点既在这条直线上，也在这条直线上，那我怎么求这个小 a 呢？我得找一个没有未知数的。那谁没有未知数啊？这没有未知数是吧？ 所以把它带入到这个解析式里面，那就是一等于负二分之一 a， 所以呢， a 就 等于负二， 你算出来 a 等于负二之后，这不就简单了吗？ a 等于负二，那 a 点的坐标就是负二，逗号一， b 点的坐标是负三，逗号零，他让我求直线 bc 的 解析式，你们现在会求吗？我问问，我问一下啊， 如果你已经知道这条直线经过两个点，这两个点的坐标也都告诉你了，你会求它的解析式吗？ 它这个题干里面已经给我设好了啊，就是直线 y 等于 k， x 加 b 嘛，对吧？那你这条直线 y 等于 k， x 加 b， 我 现在又经过 a 点，又经过 b 点，我可以代入，代入进去你就能得到一等于负二， k 加 b， 零等于负三， k 加 b， 所以 k 等于多少， b 等于多少，就能算出来。也就是说，如果我知道一条直线经过哪两个点，任意的两个点啊，我把这两个点的坐标往里一带，就能得到一个关于 k 和 b 的 二元一次方程组， 我就能解这个方程组，那算出来之后就是 k 等于一， b 等于三，所以 bc 这条直线，它的表达式就是 y 等于 x 加三， 明白吗？因为两点确定一条直线，所以只要知道经过两个点的坐标，咱们代入就能求这条直线的解析式。 基，基本操作啊这是。然后第二问，让我求三角形 a， o， c 的 面积， 那 c 点的坐标是多少啊？ c 点的坐标，它是 bc 这条线跟 y 轴的交点，所以是 x 等于零一带，那 c 座坐标就是零。逗号三， 那你看第二问，三角形 a， o， c 的 面积是不是就是二分之一乘上 o， c 乘上二，那就得 o， c 是 三嘛？所以最后面积就是三嘛， 没问题吧？这个三角形的面积，我让 o c 当底，高就是这么高嘛？ 高就是 a 点横坐标的绝对值啊，就是二，所以二分之一乘 o， c 乘二， o c 是 三，最后结果就是三。第三。 这个也跟咱们录制的那个存在性问题的专题课里面面积问题是同一类题型啊，非常非常喜欢考这种，属于初级题目。就是如果这个 p 是 直线 b、 c 上的一个动点，如果三角形 p、 o、 b 的 面积等于二倍的三角形 a、 o、 c 的 面积，让我求这个点 p 的 坐标， 这种题统一都是这么做啊。我们先观察一下，我们在第二问求了三角形 a、 o、 c 的 面积是个三，他这说二倍的三角形 a、 o、 c 的 面积，那就是六吗？ 对吧？这就是六啊，你就不用管这个东西了，也就是说，你要在直线 bc 上找到这么一个点屁，让三角形 bo、 b 的 面积是六，哎，这是那个直线 bc， 这是 bo， 这两个点 bo 的 面积是个六， 我是不是可以让 ob 当底啊？让这个屁点的纵坐标的绝对值去当高， 因为你屁还有可能在第三象限，所以这种题啊，它是让咱们求点屁的坐标，你得有对应的步骤才行。我们设屁点坐标，设它的横坐标是小 m， 因为它在 bc 上动，所以 它是不是就在这条直线上？ y 等于 x 加三上，它在这条直线上动，如果横坐标是小 m， 那 纵坐标就是 m 加三吗？ 这是人教八下的一次函数，那 p 点坐标就是 m， 逗号 m 加三，你就表示呗。三角形 p、 o、 b 的 面积就等于二分之一乘上 ob， 是 吧？乘上这个 m 加三的绝对值， 那其实就等于二分之一乘三乘 m 加三的绝对值。现在他说这个三角形 p、 o、 b 的 面积是六 啊，所以它等于六，那你会算不？那这个 m 加三的绝对值，它不就等于四吗？所以 m 加三等于正负四，所以 m 等于一或者是负七。 那所以 p 点的坐标就是一逗号四或负七。逗号负四 这个题就搞定了。 讲完了，一共三十四道题，还可以吗？