y=brsin函数公式

hello， 各位同学，大家好，我是 tomas 小 火车。这个视频我们来讲一讲高考必考的一个知识点，正弦型函数，也就是 y 等于 a 倍的 sine， omega 加 f 这样的函数。 那咱们必须掌握的包括如何进行平移伸缩变换，呃，如何进行精准的作图，呃，如何研究这类函数的性质，以及给我一个图像，我能不能完整写出它的解析式来， 这些都是高考当中重点考察的内容。 ok， 废话不多说，咱准备开始。 首先我们要搞清楚正弦型函数当中 a， omega， five 这三个参数，它们是如何影响函数图像的。那先说这个 a， 原本啊，我们这个 sin 值只能在正一到负一之间取， 比如说这个样子，那如果成了一个 a 之后，你正负一这种点是不是就被拉到正负 a 这种地方了？但是前提是 a 是 一个正数啊，所以这个 a 字母啊，其实它起到的作用就是把函数图像进行一个纵向的伸缩。 第二个参数 omega， 它影响的是函数的周期，周期的表达式非常非常重要，是二派除以 omega 的 绝对值。当然一般情况下，咱们这个 omega 都是正数啊，如果 omega 绝对值越大，那么周期就会越小，整个这个函数啊，就会长的越紧。 如果 omega 越小呢，周期就会越大，整个这个函数呢，就会长得这么越松散一些。所以 omega 这个参数，它在图像上面造成的影响就是把函数图像进行了一个横向的伸缩。 那第三个参数，这个 f， 咱们之前学过左加右减这么一个说法，你看这个 f 啊，是不是加在了这个 x 这一坨东西的身上啊，所以这其实就是在把函数图像进行一个左右的平移， 呃，这就是三个参数的作用，把原本一个好好的 sin x， 通过上下左右平移伸缩之后，最终得成了一个新的形状，那这个过程光靠我说肯定很抽象，所以啊，这里面咱们得借助一些手段来更直观的去感受。 这里面呢，给大家介绍两个特别好用的画图 app， 一个叫做 mesmos， 一个叫做 geogebra， 这两个都可以在手机里面免费去下载，它们用来画函数图像啊，就特别方便。比如说，我给大家演示一下这个 mesmos， 大家看这个左上角我写了一个函数 a 倍的 sine omega x 加 t 啊，没有 f 我 就用 t 表示了。首先呢，我把这个 a 进行一个变化，你看 a 变大的时候，是不是整个图像就进行了一个纵向的伸缩呀，对吧？ a 变小它就缩起来， a 变大它就伸长了。 那第二个 omega， 如果我把它变大的话，整个图像是不是横向就被压缩了？如果 omega 减小呢，整个这个图像啊，横向就会伸长，周期就变大了。 第三个呢，这个 t， 也就是这个 f 啊，它的变化是不是就会影响到函数图像一个左右的平移啊，所以这就是这三个参数啊产生的影响。那大家如果有条件的话呢，我是推荐大家平时可以用一用这种软件的，因为对于你理解函数的话，会有一个特别大的帮助。 好，回过头来，我们做两道有关平移伸缩的小题。第一个说已知 f x 等于 sin 二 x 加三分之 pi 的 图像，有如下的两种办法， 第一个是先把这个图像向左平移多少，再把横坐标做一个变化。第二种呢，是先把横坐标做一个变化，再去向左平移。这两个呢，前后顺序不太一样，那他们的结果一不一样呢？那肯定不一样，要不然不能让你做两遍重复的呀 这类的问题啊，大家要记住核心的一句话，那就是所有的操作要针对 x 去进行。 那比如说第一种方法，原来是 sin x， 我 最终呢想加出一个新的三分之派来，那我左加右减，是不是向左平移三分之派，就可以得到 sin x 加三分之派这样的结果了？你看我这个三分之派是不是确确实实的加在了 x 身上呀？ 那第二步，我把横坐标要变为多少呢？这里的 omega 是 二，我们说 omega 越大，其实是把函数图像进行了一个压缩，所以这里边啊，要变成原来的 omega 分 之一倍，也就是二分之一倍，这样的话就能得到 sine 二 x 加三分之 pi 了。 你看这里边横坐标变为二分之一，也就是 omega 变成二这件事，我也是作用在了 x 的 身上，跟这个三分之派啊，没有半毛钱关系，这就叫做所有的操作都针对 x， 那 这个还比较好理解。我们再看第二种情况， 原本呢，它是 sin x， 我 现在想先把这个横坐标做一个变化，也就说我想先变成 sin 二 x 呗。那这个操作啊，跟刚才是一样的，横坐标变为原来的 omega 分 之一呗，也就是二分之一。 那接下来这一步就是最容易出错的点，我该向左平移多少才能从 sin 二 x 加三分之派的样子呢？我应该平移三分之派吗？ 你看，如果说我真的向左平移三分之派，根据咱们这个要求，你的操作呀，要针对 x 进行。也就是说这里边这个三分之派啊，你是加在了 x 的 身上，跟二没有关系， 所以你得到的东西并不是在二 x 身上加三分之派，而是在 x 的 身上去加，所以这样你就会得到一个塞二 x 加上三分之二派，这样是不是就不对了呀？ 所以这里边啊，我们该进行的操作应该是这样的一个想法，就是 x 加上某一个数之后，哎，我们打开完括号啊，变成了在二 x 加三分之派，那这个地方的值，其实你稍微算一算就知道应该是六分之派， 所以真正的操作应该是向左平移六分之派，这样的话，就在 x 身上添了六分之派上去，整理完就是我们最终的结果。所以这个呀，就是咱们在这种平移伸缩的题目里边最容易出错的环节。 好，下面第二道小题说，将这个函数 f x 等于二倍这一堆图像向右平移四分之派之后，得到一个奇函数问 omega 的 角值， 那他让咱们向右平移，那我就移吧。所以这个东西向右平移四分之派之后得到的样子应该是二倍的 size omega， 跟刚才一样，这个左加右减减四分之派，一定要减到 x 身上去，不要给 omega x 减四分之派啊。然后最终呢，还有一个减六分之派，应该是这样的一个样子， 也就是说这个 g x， 我 们打开括号之后，应该是二倍的 sine omega x 减去四分之 omega pi， 再减六分之 pi 这样的一个形式，哎呦，这么复杂，它可如何能成为奇函数呢？ 其实呢，道理很简单，你甭管这里边多复杂，这不还是 omega x 加 f 的 样子吗？所以这个东西啊，最终的图像呢，还是一个正弦型的样子，也就是说它是这种波浪线的形状。 既然你是一个波浪线，要想成为奇函数的话，是不是只要让它能过原点就可以了？这样的话，它一定是关于原点中心对称的图形。所以这里面啊，我们只要保证一件事，就是 g 零等于零，哎，就完事了， 那我们就把 g 零带进去呗，那 x 就 取成零了，这一堆就消掉了，就成了二倍的 size， 里边是负的四分之 omega pi， 再减去六分之 pi， 这个形式的东西等于零。哎呦，这该怎么去解呢？那还是刚才的道理啊，你甭管里面多复杂，这不还是一个 side 吗？ 作为一个 side， 我 们把这里边一大坨呀，当成是一个角阿尔法，其实就类似于换元的想法了。那 side 阿尔法等于零这事咱知道呀，哎，我可以随手画出一个正弦来， 它能够等于零的地方应该是零，呃， pi， 然后二 pi， 三 pi 等等等等等这些数对吧？也就是 pi 的 整数倍，所以里边这个 alpha 只要能够等于 pi 的 整数倍，那整个这个值不就成零了吗？ 所以我们列出来的式子就是让里边的这一大坨东西等于一个 pi 的 整数倍，哎，也就是 k pi 啊， k 属于 z， 这样的话，我是不是就可以解出这个 omega 具体的一个表达式了？那算出来应该是五四 k 减三分之二这样的一个结果，其中别忘了 k 属于 z， 那 题目当中又告诉我们说 omega 是 一个大于零的东西，那咱们就调一调这个 k 的 值，让它变成一个大于零的值就好了呗。呃，你可以取零的话，不行，这是负的值， 如果 k 取一的话，不行，更负了，所以 k 应该取个负值，那如果 k 取负一的话呢，这一部分就是四四，减去三分之二，这个值应该是等于三分之十，那应该没有比它更小的正数了，所以最终啊，这题我们选的就是三分之十。 那这个题啊，有的时候呢，人家也会问你说得到偶函数怎么办？那道理其实是一模一样的，作为一个塞， 你要想成为一个偶函数，那一定是经过平移之后啊，你这图像长成这个样子，呃，或者说呢，你这个图像呢，是长成这个样子，也就是说你在零处啊，一定是能取得最大值或者最小值的，所以我们依然对着零处的值去分析就好了。 那具体怎么求呢？等待会咱们说完换元的思路之后，你求起来会更加的顺利一些。好，那除了刚才说的这种比较简单的平移伸缩之外，近几年高考里面呢，又出现了这种让你精准画图的题。 比如说二四年一卷这道题，说 x 属于零，到二派的时候，让你去分析 y 等于 sine， x 和 y 等于这个东西，它的焦点个数。 哎，说起这题还挺有意思啊，二十四年呢，我也去考场上面考了吧。然后这道题其实第一遍做的时候就把我拦住了，我以为是要通过什么复杂的变形手段把这个焦点给算出来， 哎，一直卡到最后，交卷前剩五分钟，我说算了，要不然就画个图试试吧。哎，结果画完图瞬间就出来了，所以这个题啊，就是考的，你能不能把他俩完整的给他画出来？ 好，那我们怎么画呢？首先啊，这个散 x 非常的好画，零到二派正好是它的一个周期，那我先把它画出来， 那咱们先搞个坐标轴，然后零到二派的话呢，我分成两份，比如说这个地方是派，然后这个地方差不多是二派啊，考场上面吧，咱作图只能是草图，那散的图像大概就是，哎，上来这个样子，这边呢，哎，大概就是这样一个形状啊，这是零到二派了。 好，那接下来其实难点就在于这个破东西他该怎么画？其实当年在考场上面啊，我也是在这个地方卡了一下，后来呢，我想了一种办法，如果说你用五点法之类的作图，你会发现算出来的那个横坐标呀，都是一些特别烂的数，不太好往这个坐标轴上去标。 所以呢，我就采取了平移的思想，这个东西我不好画，我是不可以先画一个 sin 三 x 呀，然后呢，我把它平移成这个形状，这个呀，其实是比较好操作的。 那你看，我先把它整理一下，把这个 x 呢，给它提一下啊，变成三倍的 x， 减去十八分之派，哎，它其实就是它了。所以呢，这个东西啊，其实就是把二倍的三 a 三 x 左加向右平移了十八分之派之后，它的图像， 那十八分之派这个东西呢，这个数很小，所以啊，你只要把 sin 三 x 图先画出来，然后稍微往右挪那么一点点，哎，就成了它的图像了，这样的话，其实就可以看出来焦点的个数。好，那我们先画这个二倍的 sin 三 x， 嗯， sin 三 x 的 话，它的周期应该是二派除以三，也就是说在二派这里边啊，它是经过了三个周期的。好，那我们先画一下这个三分之二派的位置，那把这个派呢，分成三份，这个地方就是三分之二派，这里边呢，也分三份，这个地方是三分之四派。 所以到这啊，就是经过了一个周期，再到这个地方是经过第二个周期，然后呢，他的纵坐标是这个能到二啊，所以我们大概画出来应该是类似于这种感觉，那就是这是四分之一周期。上来，然后下去， 然后再下来，再上去，这里边上来再下去，下来再上去，上来再下去，下来再上去。哎，这就画好了，那接下来啊，把它往右挪那么一丢丢，哎，就能够得到结果了。所以这个东西你再往右挪一点点啊，那就是类似的 这样的一个形状。哎，我给大家重复画一下啊，稍微的往右挪一点点就够了。所以最终啊，你这样一画的话，这里边的焦点个数就能数出来了。 来，我们放大看一看，找这个蓝色和红色的焦点，这是第一个、第二个、第三个、第四个、第五个、第六个。哦，一共有六个焦点， 所以最终这题咱们选的就是六个。这个方法啊，我觉得是比较好处理，在考场上面也比较好执行的一种思路。那我们也可以和真实的这个图对比一下，你看咱画的是不是几乎一模一样呀，所以你看平移这个事还是很重要的。 好，接下来我们再看二三年假卷，他也出了一个这种画图的题，他说啊， f x 是 这样的一个函数向左平移六分之派之后得到的样子。那我们先给他移一下啊，这个 f x 呢，就应该等于 cosine 二倍的 在 x 身上左加一个六分之派，然后原本还有一个六分之派，应该是这样的一个形式，打开括号之后，这是 cosine 二 x 加上一个二分之派。 这个东西我们可以用诱导公式，首先既变偶不变，它肯定得变成一个 send 二 x， 然后把二 x 当成锐角去处理，加了它之后就成钝角了。 cosine 钝角，那应该是一个负值，所以最终啊， f x 的 表达式应该是负的 send 二 x。 好，接下来啊，他就问说负的 sine 二 x 和这样的一根直线，他俩有几个焦点？那这没办法，你不可能让他俩相等去算焦点吧，所以肯定还是得靠画图。那先搞一个坐标系出来， 这个直线呢比较好画，我们先留着，咱先把不太好画的线先给他画出来。这个负的 sine 二 x， 它的周期应该是 pi。 那说实在的，我也不知道应该画几个周期，咱就先在这个圆点左右各画一个周期出来吧，如果不够的话呢，我们再去延长， 所以我在右边找差不多，这是派，这是二分之派，左边呢，大概这是负的二分之派，然后这个地方是负的派。好，我们先把它画出来，由于它是一个负值，所以应该把 sin 的 图像上下颠倒一下， 他应该出门就是朝下的，对吧？应该是这个形状，然后这边呢是上来，左边呢应该是先上来，然后呢再这样一个形状，哎，大概是这么一个感觉啊， 接下来再去画这根直线，画直线的话，我们就去找一找和 x y 轴的交点就可以了。那如果让 x 等于零的话， y 的 值就是负二分之一，大概在这， 如果让 y 去等于零，那 x 的 值应该是取成正一，这个一大概在哪呢？而这是二分之派，这是一点五七，这个位置应该是，呃，四分之派，对吧，那就是零点几了，所以一的位置是不是应该比四分之派稍微靠右一点啊？ 大概可能在这么一个位置啊，所以呢，我们这根直线啊，大致画出来应该是长成这种感觉， 那如果我这么一画的话，结果就是三个焦点，非常显然，哎，直接就选 c 了，对吧？嗯，但是这真的靠谱吗？那可不好说啊，咱这画的都是草图，你怎么就保证这根直线真的是这么穿过来的呢？ 那可能有些同学这个正弦啊，画的比较矮，那你这根直线啊，就会在正弦上边飘过去，你就没有那么多焦点了。 那还有的时候呢，你可能这个正弦啊画的比较高，所以就会导致你左边还产生新的焦点来呢。 所以啊，像这种题，咱是不能说大概画一个草图就去决定最终的焦点个数了，这事必须得严格去算一算。那怎么算呢？哎，根据正弦的一个值域去想， 你看正弦这个东西，他是不是最多到正一，然后最少到负一啊？ 咱们这个直线呀，超过正一和超过负一的部分，那肯定是没焦点的，所以咱们关心的其实就是这根直线在正负一之间的这部分，会不会和他产生焦点， 那我们就去算一算，这根直线啥时候能取正一呢？哎，所以啊，我们在这里，如果说我让 y 等于一，那就是二分之一 x 减二分之一，让它等于一，这个 x 算出来应该是等于三。哦，也就说 x 等于三的时候， y 就 等于一了，这个三应该在哪啊？ 这个派是三点一四，所以三是不是就比他稍微小这么一点点，这就是三啊，所以他应该过三一这样的一个点。哎，这就好确定了。 你看啊，这个东西啊，他在很久之前就已经到一了，但是我们这根直线呢，在这个位置才取到一，所以你要画出来的话，那肯定是在这个正弦下边这样穿过去的，所以这样我们就能确定这肯定是有焦点的。 那同样左边也是一样的道理啊，我们去算一算，这根直线什么时候能取负一，所以我让这个二分之一 x 减二分之一等于负一，那 x 算出来就应该正好等于负一，对吧？ 那负一在哪呢？呃，这是正一来的，对吧？左边对称的地方啊，大概这就是负一，所以呢，他应该是过这样一个点，所以我们这根线画出来啊，大概应该是这样一个形状， 那负一这个地方，他就已经取得负一了，后边这些肯定比负一小，那就不可能和这边再产生新的焦点了。这样的话啊，我这个图像才算是比较标准的，那最终呢，你去数一数，一个，两个、三个，是不是这就有三个焦点啊， 所以结果呢，肯定就是选三了。那我们也可以把这个和标准的图像去对比一下，你会发现，哎，咱画的还挺像那么一回事的，确实是三个焦点，所以这类的画图需要我们考虑非常周全才行，不能说纯凭感觉去找。 哎呀，通过这俩题，大家可以发现，画图这个事啊，实在是没那么简单，比较费劲。那如果每个题咱们都靠画图去做，哇塞，那这卷子是不可能做完了，所以有没有什么更方便的能够研究这种正弦型函数性质的办法呢？哎，有的啊，兄弟，肯定是有的， 那就有请换元法登场这个东西，那可太好用了，要想学会换元法，咱们要做的第一件事就是必须要把 sin x 这个图像呀，牢牢的印在你的脑子里面，包括搭这些特殊的位置。 我们来快速复习一下，对于 sin x 来说，它的对称轴应该是这个，这个这类的地方，这是二分之派，这是二分之三派，这是二分之五派，也就是说它的对称轴啊，应该是在二分之派的基础上， 加上若干个整数倍的派，你看，这不就二分之派加一个派，加两个派，加三个派加四个派嘛，对吧？所以它表达出来应该是这样的一个形式。 第二个， sin x 对 称中心，那对称中心指的应该是零呀，然后派呀，二派呀，三派等等这些地方，换句话说就是派的整数倍，所以它的对称中心应该是 k 倍的派，然后这个纵坐标是零，这里边的 k 呢，也是属于 z 的。 第三个， sin x 的 单调增区间，那我们先找他的一个增区间啊，比如说我可以找到这个从负二分之派到正二分之派，这是他一段完整的增区间， 在这个基础上啊，我从这个点加上一个周期就到这了，从这个点呢加上一个周期就到这了，这样的话就会形成一个新的一段增区间。所以要想表示增区间的话啊，咱们最简单的办法就是从负二分之派和二分之派这个地方出发， 只要你左右两边同时加上一个若干个整周期，就会得到一组新的增区间。当然别忘了这里面的 k 也是属于 z 的， 这个都是咱们在前面学正弦的时候啊，所推导出来的一些结论。 那么我该如何去研究这种正弦型函数呢？其实道理是一模一样的，他呀，无非就是把正弦进行了一些伸缩平移之后得到的图像，所以这个波浪线里边，你要找他的对称轴，是不是依然是这些能够取得最值的地方呀？ 那好，请问这个东西什么时候能取得这些正负一呢？哎，我们就把里边这一大坨呀，当成是一个新的圆，相当于我去研究一个 c t， 请问 sin t 什么时候能取最值呢？那不就是相当于问你 sin x 什么时候能取最值吗？哎， x 呀，等于这些数 sin 就 能取最值了，那换句话说就是 t 只要能取这些数的话， sin t 不 就也取最值了吗？ t 是 啥呀？ t 就是 二 x 加三分之派，所以就是让二 x 加三分之派等于这样的数，那么你这个塞值就能取到最值。取到最值的地方就是我要找的对称轴， 所以这里边如果你要求对称轴的话，就是让二 x 加三分之派，这个整体啊去等于左边这个，呃，二分之派加 k 派这样的一个结果，这样的话，我可以解出来 x 的 值应该是二分之派加十二分之派这样的一个数， 那这个东西就是我们这个函数的对称轴了啊，这就是换元这个思路啊，最关键的一个地方，你只要把 sin x 的 东西记清楚啊，这个里边啊，你就让它去等于这些数就完事了。比如说你要求对称中心， 它的对称中心，那不就是这些能够取零的地方吗？那好，请问 sin 这一坨啥时候能取零啊？那不就是 t 等于 kpi 的 时候吗？ 也就是让这一坨东西去等于 k 派，那你这个塞就能取零了。所以我们要算的话，就是让二 x 加三分之派，让它去等于 k 派， 那解出来的这个 x 呢，应该是等于二分之 k 派减六分之派，所以它的对称中心就是二分之 k 派减六分之派，纵坐标是零，然后 k 属于 z 这样的一个结果了。 那第三个单调增区间也是一样的道理，这个 x 如果在这样的区间里边整体就会逆增，所以换到它之后啊，我就让这一坨东西属于这样一个区间，那就是这个东西的单调增区间了。 所以我们可以列出一个不等式，让二 x 加三分之派夹在这个区间里边，那把它解出来之后，应该是这样的一个结果，这个就是这个函数它的单调增区间，当然不要忘了 k 属于 z， 所以 这就是咱们换元法最基本的一个逻辑，你把散 x 这些值记下来，不管他让你求什么样的这个正弦函数啊。当然咱们前提是这个 omega 和这个 a 都得是正数，一般情况下也都是正的啊， 你只要把里边这一坨当做这里边的 x， 哎，给它换进去，就能够得到关于这个函数的信息了。 好，那我们就用这个方法来快速做一道小题，说 f x 等于 sine， 二 x 减六分之 pi， 让我们判断下边这些东西都对不对，那咱们就是换元啊，你甭管什么这里边是啥东西，我们就把这个东西当成 t， 所有的 x 怎么怎么样啊，咱都把它换成 t 怎么怎么样，然后你就研究 sin t 就 完事了。那 sin t 咱们是最熟悉的了， 所以对于 a 选项来说啊，他问的是 x 等于十二分之派， ok， 那 我们就换成 t 嘛， t 的 话是二 x 减六分之派，你把它带进去，这是二乘十二分之派，就是六分之派，减六分之派呢？哎，就等于零， 所以就相当于问你啊， t 等于零是不是 sin t 的 对称轴？那肯定不是啊，对不对？你画出来一个 sin t， 它是不是长这样啊？是不是在这啊？这是零啊，所以这肯定不是对称轴。那 a 选项就错了， 同样 b 选项，它说呀，六分之五派零是不是一个对称中心？那 x 如果是六分之五派的话，就相当于这个 t 值，此时此刻应该是多少啊？ 把六分之五派带进来，这是六分之十减六分之一就六分之九，六分之九的话就是二分之三派，那同样，我们画一个塞替的图像，这个二分之三派是不应该在这个位置啊？那这个点是对称中心吗？啊，不是啊，所以 b 选项也不对， 那 c 选项呢？换成了区间也是一样的道理。说 x 的 区间啊，是六分之派到这个四分之三派，同样，我们把它换成这个 t， t 的 范围，把这两头带进去，六分之派带进来，应该还是六分之派。把四分之三派带进来，这是二乘四分之三 就是二分之三派，减六分之派，这个二分之三就是六分之九，减六分之一就是六分之八，六分之八的话就是三分之四。哎，所以就是 t 属于六分之派到三分之四派之间， 也就说散 t 在 这个区间上是不是单调递减的呢？那你这个画一个图嘛，都是一样的道理啊，我们画的都是散 t 这个东西，六分之派在这个地方，三分之四派大概应该在这， 那这个区间上并不是一个单调递减的东西啊，所以就说明 c 选项也不对呗。那这么着肯定是选 d 了啊， d 选项呢？我们也来算一算，他说啊，在这个区间上最大值是二分之一，那我同样我给他带进去，说 x 呀，是属于负的四分之派到六分之派的，那我们来看看这个 t 属于啥呢？ 把负四分之派带进去，这是负的二分之派，再减去一个，它应该是负的三分之二派啊，这么一个数， 然后六分之派带进来呢，应该还是一个六分之派哦，也就是说呀，这个三 e t， 它在这个区间上边最大值， 那负的三分之二派大概是在这个位置，然后六分之派呢，大概是在这在这个区间里边问我们最大值，那就是六分之派，这取得，所以你把六分之派带进来， sin 六分之派啊，这不就是等于二分之一吗？所以这样的话呢， d 选项啊，确实是没问题的。 你看，这就是我们面对一个正弦型函数，你甭管它里面多复杂，你也甭管它问什么东西，咱们就把所有问的这些关于 x 的 事情，全都转化成这个整体关于 t 的 问题， 然后一切的问题，我们都在研究 sin t 这个函数，因为 sin t 实在是太简单了，实在是太熟悉了，所以根据这个方法，不管它出什么样的函数，咱都是同样的一套处理逻辑。 ok， 那 我们再看一个稍微复杂一点点的说， f x 啊，等于这么一个形式，把这个图像向左平移这么多，再向下平移这么多，能得到一个 g x， 那 我先把 g x 给算出来嘛， g x 根据左加右减，它应该是在 x 的 身上向左啊，也就是加上一个十二分之派，然后后面呢，还有一个六分之派在这啊，这么一个东西， 然后呢向下平移一个单位，那上加下减，所以整体这个函数啊，再给它减个一，这应该是 g x 的 形式，那我们把它整理出来，就是二倍的，在内边是二， x 加上一个六分之派，加六分之派，那就是三分之派，然后再减一 说，这个 g x 一 和 g x 二这么俩数啊，乘起来正好等于九，然后 x 一 x 二的范围告诉我们，让我们去求这样一个式子的最大值，咱一句话一句话来，这两个东西乘积等于九，这能告诉我们什么情况呢？ 这两个数分别是多少呢？呃，感觉好像看不出来，那我们研究一下这个 g x 啊，这个东西啊，咱可以看一看它的值域。你看 sin 原本的值，应该是负一到正一之间，成了一个二，就变成了负二到正二， 那负二到正二，如果我再减掉一个一呢？负二减一就是负三，正二减一就是正一，所以它的值域啊，应该是在负三到正一之间。 哎，现在啊，说有这么两个函数值，正好乘起来等于九，你说这俩数分别是多少呢？你想一想，这里边你要挑出俩数来，能够乘出来等于九的， 好像没别的路子，只能是负三乘负三吧，正的这边最多只能到一，你不可能乘出个九来啊。 那所以由此呀，通过这个条件，结合这个 g x 的 值域，咱可以推出来一个很重要的事，就这个式子，要想实现，那么 g x 一 和 g x 二的值啊，必须得是负三，没有任何其他的情况。 哎，这个条件呢，可有用了。你看啊，说这么一个式子啊，要想等于负三，那就是它取到了最小值。这个式子什么时候能取最小值呢？ 其实就是让里边的这个 sin 能取到最小值负一吧，对不对？它如果取负一，整体就能取负三了，只有这一种情况， 所以由这两个东西等于负三，我们就知道了。这个 x 一 啊，带到这个 sin 里边来， sin 二 x 一 加三分之派和这个 x 二带进来 sin 二， x 加三分之派，它俩实际上都是等于负一的， 这样的话，实际上 x 一 和 x 二的值我们就能求出来了。为什么这么说呢？你看还是换元的想法，咱先别管这么多啊，你就当成是 t 一， 当成是 t 二，请问一个 sin t 啥时候才能等于负一呢？ 你看啊，我们画一个这个 sin t 的 图像吧，对不对？画一个草图啊，要想等于负一，那就是这种位置，这种位置， 那这种最小值的位置怎么表示啊？左边这个是负二分之派，右边这个是二分之三派，其实就是在负二分之派的基础上，只要你加上二派，只要你加上一个二派，就能得到一个新的最小值。 所以这类的东西我们要表示出来，就是在负二分之派的基础上，加上若干个二派，就表达的是正弦能够取得负一的值。 那我们要想解这俩东西是不是就让它去等于这样的一个数，哎，就能让三 a 取负一了，哎，所以这样的话，我们就可以把这种 x 的 值算出来了，也就是说我让二 x 加三分之派去等于负的二分之派，加上二 k 派， 从这里面呀，把这种 x 的 值给它算出来，那算出来的结果应该是 x 等于 k 派减十二分之五派这样的数。 那接下来啊，他说 x 一 x 二呢，都在这个范围里，那咱们就在这个范围里找一找能满足这种式子的数不就可以了吗？那接下来就是把 k 取不同的整数，然后看一看谁能在这个范围里， 比如说 k 取零的话，这是负的十二分之五 pi， k 取一的话，就是在他的基础上是不是多了一个 pi 啊？ 随你往上加派就行了，这个东西加上一个派应该变成十二分之七派，再加一个派就是十二分之十九派，再加一个派呢，就是十二分之三十一派，这个就已经超出这个区间了啊，所以他就不要了啊。那我们再往左取啊，把这个东西剪掉一些派， 那就是负的十二分之十七派，呃，还没超，再减一个就是负的十二分之二十九派，这个东西是不是也超出负二派了？所以他就不要了啊？那就说明这种 x 一 和 x 二值啊，就是从这几个数里面去挑， 那我们要想让这个式子尽可能大的话，你就让前边尽可能大一些，这个东西尽可能小一些，这样的话，你减出来的不就是最大值了吗？ 所以啊，我们就把 x 一 弄成最大值，把这个 x 二弄成里边的最小值，这样的话，一算这个式子就好了，那二倍的它应该十二分之三十八，减去它就是加上一个十七啊，三十八加十七应该是五十五，所以最终应该是十二分之五十五派，哎，就选 a 了。 那这道题首先你得会函数的平移、伸缩这些变换，得到正确的 g、 x 的 式子，根据这样一个特殊的值，然后判断出来，这里边这两个函数值啊，都等于负三， 那函数等于负三，对应的就是散移值取最小值的时候，所以根据换元的这种想法，我们找到最小值这种位置，然后让里边的这一坨东西去等于这种能够取最小值的地方， 所以求出来的 x 值，再去这个区间里边找符合条件的数，然后就可以得到最终的结果了。 ok， 关于换元这部分，咱就先说这么多， 那接下来这类题各位一定不陌生，在你的卷子里边，练习册里边应该不少见，就是给我一部分函数的图像，让我们去写它的解析式。 我们以这俩题为例，跟大家说一说怎么样去做啊？说这个 f x 呢，等于 a 倍的 sine， 我 们 x 加 f 加 b， 然后呢，让我们去求解式，然后给了一个这样的图。首先咱们要看的就是这里边函数的最值， 这里面最大能取到三，最小能取到负一。好观察这个函数，请问它如何才能取到最大值呢？ 这个 a 和 b 都是定死的， a 又是一个正数，所以整体是不是当 sin 值能取到最大的一的时候，这整体就会最大？ sin 值如果取到最小的负一的时候，整体就会最小了。 所以啊，这个三的值其实就是 sin 取一，那就是 a 加 b， 这个负一的值呢，就是 sin 取负一，也就是负 a 加 b， 这样的话， a 和 b 的 值应该是等于二， b 的 值就等于一了。 接下来第二步，我们来找这个 omega， omega 咱知道它是和函数周期密切相连的，所以从这里面找一找周期，那周期的话，比如说从一个最大值到下一个最大值，这应该是一个完整的周期，但是这个地方我们不知道是几，所以啊，咱得利用题目当中给的这些数， 这个十二分之五派的地方对应的是最小值，那么从一个最小值到他下一个最大值之间，这个距离应该是半个周期。 哎，也就是说啊，这两段之间的长度就是半周期了。那由此我们就可以得到一个关于 omega 的 表达式。首先如何表示长度呢？永远是竖轴，右边的减去左边的数， 所以这里边就是十二分之十一派。减去十二分之五派，这个东西应该是十二分之六派就是二分之派。这个数啊，就是我们要找的二分之周期， 那周期的值啊，我们知道应该是二派除以 omega， 所以 由此呢，你就可以解出 omega 的 值了。这两个二约掉那二分之派等于 omega 分 之派，所以是不是 omega 的 值就正好等于二啊？ 那现在啊，关于这个函数，咱就已经求出很多东西来了，你可以写出来看一看，应该是二倍的 sine， 里边是二 x 加 f， 再加上一个一，最后呢，还剩下一个这个 f 值，咱们得去求一求。从哪求呢？找这种特殊点。 比如说我用这个十二分之五 pi 这个地方呀，整个函数取了最小值，就是因为里边这个 sin 值取了最小值负一， 那也就是说我把这个十二分之五派带进去呗，那就是塞二乘十二分之五派再加派，这个地方是不是应该正好等于负一啊？ 那这不就是咱刚才讲的换元的思路吗？你把这一大坨呀当成一个 t， 然后呢，你悄悄画一个 sin t 的 图像，请问作为一个 sin t， 他 啥时候能取负一呢？ 是不应该是二分之三派呀？或者是左边的这种负二分之派这种地方呀？哎，也就是说，这种负二分之派加上若干个整周期的地方， 所以里边这一坨呀，就应该等于这样的值，那我们把它写出来，就是二乘十二分之五派加派， 它的值就应该等于负二分之派加上一个整周期啊，若干个整周期，那由此呀，你就可以得到一个派的表达式，那我们算出来之后，应该是等于二 k 派减去一个三分之四派，当然这里边的 k 要属于 z。 那题目当中啊，给我们限定了这个斐的值呢，就是零到派之间，所以你就找一找啊，这个值啊，如何给它弄到零到派之间呢？那这个派的值啊，这个 k 的 值是不是取一就行了？当 k 取一的时候，这是二派，减三分之四派，那就等于三分之二派，这个数啊，就卡在这里了。 所以当 k 等于一的时候，我们让 f 取成三分之二 pi， 这样的话就是最终的结果了。这就是这类看图说话的题目最基本的一个方法， 通过最值去看里边的 ab， 通过周期，或者说通过周期的一部分去看这个 omega， 最后通过一些特殊点来计算这个 f 值。那我们再看后边的这道题，说这里边没有 b 了，就是 a 倍的 sine， omega， sine 加 f， 他的图像呢，长成这个样子。首先看最值，这里边的话，最小值是负三，那是不是说明 a 的 值肯定就是正三呀？哎，因为 a 是 大于零的嘛，所以由此直接就求出来了， a 等于三。 接下来呢，再来找周期，这里边的话，我们能给的条件，一个是这个地方叫负的三分之二派， 一个是这里叫做三分之七派，那我们换一换啊，从一个对称中心到下一个对称中心，这应该是半个周期，再从这呢又到了一个最小值，这一段长度是不应该是四分之一个周期啊？ 所以这是四分之一个周期，这是二分之一个周期，他俩加起来是不就是四分之三个周期啊？ 所以这两个数之间就包含了四分之三个周期，由此我们就可以列式了，右边的三分之七派，减去左边的注意符号啊，减去负的三分之二派，这个数应该是等于三分之九派，也就是三派 它的值啊，应该是等于四分之三个周期，那周期的表达式应该是二派除以 omega， 所以 由此我们就可以算出这个 omega 的 值来，应该等于二分之一。 那好，有了 omega 之后，我要想求派的话，是不是找一个特殊值带进去就好了？比如说我还是找这个最小值三分之七派，这， 那也就是说啊，我们把三分之七派带进去，因为 omega 已经等于二分之一了嘛，所以就是 sine 二分之一乘三分之七派，再加 f， 这个值对应的应该是负一，那跟刚才一样，等于负一的这种点，咱刚才写出来表达式是不是这个样子呀？ 所以就让里边这一坨去等于它就可以了。那你展开之后，应该是六分之七派加上派，正好等于负的二分之派加上二 k 派。由此我们可以解出一个派的表达式应该是二 k 派，减去一个三分之五派，其中 k 是 属于 z 的。 那题目当中又给我们限定了 f 的 绝对值是小于二分之派的，那这个数我们算一算，让 k 取正一的话，是不就可以了？就等于二派减三分之五派，那就等于三分之一派了，这个是能够满足他的要求的。 所以这样的话啊，我们让 k 取一 f 的 值，就是三分之派，那整个解析式也就确定了，怎么样这类的题还是比较简单的啊， 但是这个题到这还没完，哎，我还有一个小小的问题，各位，你看啊，咱们刚才在求这个斐的时候呢，用的是这个特数值带进来，然后再取负一，把这种值给他算出来了， 那有没有可能我用这个数去求呢？我觉得肯定会有同学是这么做的，因为你看，负三分之二派这个地方带进来等于零，也就是说啊，我写出来表达式就是在二分之二派再加派 这个东西啊，等于零嘛。 ok， 那 我还是用换元的想法，对于一个 side t 来说，它能等于零的地方，我也会写呀，那不就是零啊，派呀，二派三派四派这种地方嘛。 所以啊，我就让这一堆东西呢，去等于 k 派，对吧，整数倍的派。由此我也能解出来一个派的表达式，那得到的结果应该是， k 派加上三分之派，其中 k 属于 z， 哎，你看我让 k 取零，是不是也能得到三分之派的值啊？ 来，各位同学有没有这么做的，如果有的话，可以在弹幕里扣个一，我看一看啊，那这俩答案咱们仔细看一看啊， 好像有点儿区别，不知道你有没有发现。比如说，你看上面这个式子里边，我让 k 取零，它就能得到三分之派， k 取一，它就是三分之四派， k 取二，它就是三分之七派。 那下边这个答案呢？如果 k 取一的话，他是三分之派，哎，你看，对上了，如果 k 取二的话，这个地方就是四派，四派减他应该等于三分之七派，哎，能跟他对上，但是好像中间并没有三分之四派这个答案呀， 哎，为什么上面这种方法能得出一个三分之四派，而下边这个方法却没有这个数呢？这俩东西到底谁对谁错呀？ 那我告诉大家，上边这个答案是错的，下边这个应该是对的。哎，怎么回事呢？我这个式子我感觉没有任何毛病啊。 size 取零，能取零的地方就是对称中心嘛，对称中心不就是 kpi 吗？那我为什么求出来的不对呢？ 好，大家认真听啊，为什么这个不对？因为这个地方并不是一个简单的对称中心，他是一个增区间上边的对称中心， 所以这个点呀，他应该对应塞应 t 上的这些位置，也就是零呀，二派呀，四派之类的这种点才是增区间上的对称中心。所以你直接让他等于 k 派，这是不对的。 这些增区间上对称中心，我们要想表示应该是偶数倍的派，也就是让他去等于二 k 派，这才是正确的结果。 所以你刚才用 k 派求出来那个值，是不是有一个三分之四派来着？如果你把三分之四派带进去，你会发现他的图像啊，其实就长成了这样的一个形状， 和咱们题干里给的这个东西正好是上下颠倒的。因为三分之四派对应的是这种点，这种点是减去减等对称中心。 所以这道题里边啊，大家一定要小心，当你在求外角的时候，如果你用的不是这种最大值或者最小值的位置，如果你用的是这种对称中心的位置，你一定要区分清这个点到底对应的是什么样的对称中心， 可能是增的，也可能是减的，比如说这个题里面给了我们这个点的坐标，那你带进去之后，应该让他去等于这种减区间上的对称中心，也就是一个派啊，三个派啊，五个派之类的，所以他对应的点啊，应该叫做二 k 派，加上一个派， 也就是基数倍的派。所以对于这类题而言，要想求这个派值，给大家的建议就是，有最值你就用最值， 因为最值这个东西，最大值和最小值，这你一定不会混，对不对？但是对称中心这个东西，一定要区分清到底是什么样的对称中心，它是有两类不同的对称中心的， 这就是关于这一类题目里边很多同学会迷惑的一个点。哎，为什么我用对称中心算出来的答案不对呢？就是这样的原因。 好，那最后再给大家介绍一个秘籍，就是利用图像伸缩的想法，直接去求 omega。 这是二三年的一道填空题，我们来看，他说 f x 呀，等于这么一个塞，说 ab 俩点呢，是这个直线 y 等于二分之一和函数的俩交点，告诉我们 ab 这一段的长度是六分之派，让我们去求 f 派的值， 这里边咱 omega 和 f 都不知道，如果我能求出来，周期就能算 omega 了，有了 omega， 再利用这个点，是不就能求出 f 值来了？那关键就是这周期咋求呢？ 这个方法不为一，我就给大家介绍一个最简单的方法，你看啊，对于它而言，我并不知道到底咋回事，但是假如给我一个普普通通的三 x， 大家想一想， 它和 y 等于二分之一的两焦点，呃，你会不会算呢？那你肯定会算呀，你看我们画一下啊，三 x， 这是二派嘛，那么 y 等于二分之一呢，就是在这 这里边这个点肯定就是三三十度啊，六分之派，这边这个点呢，应该是六分之五派，那此时此刻呀，你是不是能算出来，这一段的长度应该是六分之五派，减去六分之派，也就等于六分之四派。 好，大家想一想啊，这个斐值会影响这个东西吗？并不会，因为斐值啊，就是把这个图像进行左右平移了，你这个图像不管平移到哪去，这一段的长度是不是始终都是六分之四派啊？ 所以这个斐值啊，对于我这段的长度是没有影响的。那谁有影响呢？当然是 omega 了， 我们说 omega 这个数，它的作用是把原来的这个图像进行一个横向的伸缩，呃， x 身上乘一个 omega， 就 会把整个的图像变成原来的 omega 分 之一倍，对不对？哎呦，你说这一段啊，它之前长度是六分之四派， 变了一下之后，就成了现在的这个六分之派了，请问它是变成了几分之一呢？哎呦，好难猜呀，六分之四派变成六分之派，当然是变成原来的四分之一了呗。 所以这样的话，是不是直接就把 omega 等于四这件事算出来了？不需要任何其他额外的计算了，我们就从图像伸缩这一个角度就可以得到这个 omega 的 值了。 那有了 omega 之后，这题可就太简单了，现在的函数呢，就等于 sine 四 x 加上一个 f， 那 我们再根据这个三分之二 pi 去求解就行了， 这个正好是咱们刚才说的这种增区间上的对称中心，对吧？所以呢，我把这个三分之二 pi 带进来，它对应的这种点啊，零呀，二 pi 呀，四 pi 啊六 pi 之类的，也就是二 k pi 的 值， 所以这样我们就能求出斐的值来，可以写成二 k pi 减去一个三分之八 pi， 那 这里边由于对 pi 没有限制，所以你随便取一个值就行了，比如说我们就取一个数稍微小一点的，让 k 取成一个一， 那这样的话就是二 pi 减它，那就可以等于一个这个斐的值，就是负的三分之二 pi， 哎，这个数还可以，所以最终呢，咱们这个 f x 的 值啊，就是 sin 四 x 减去三分之二 pi， 那他让我们求 fpi 的 值，你把 pi 垫起来，四 pi 减去三分之二 pi， 这应该是多少啊？这个四 pi 是 不是整周期啊，直接删掉就是 sum。 负的三分之二 pi， 那 这个值应该是等于负的二分之根号三，对吧？所以最终的结果啊，负的二分之根号三。 那这个题呢，你可能会在参考书里面看到很多其他的解法，那我这个解法呀，一定是里边最简单的一种，哎呀，多么美丽的图像伸缩呀。 好，最后我们来做一个简单的总结，首先关于这种正弦型函数，咱必须要掌握的就是他平移伸缩的一个规则，咱们需要注意所有的平移伸缩操作都要针对这个 x 去进行。 然后就是涉及到画图的题目，我们需要去比较精准的做图，那这里面呢，可以用这种平移的想法去画， 在涉及到和其他曲线的焦点的时候，必须要注意这些特殊值的位置。然后就是最重要的利用换元法去研究这种正弦型函数的特点， 只要你把 sin 的 图像装在脑子里边，那时时刻刻把这一坨东西当成这里边的 sin 去处理就 ok 了。 那最后呢，是关于这种看图说话的题目，整体来说还是比较简单的，大家需要注意的一个易错点就是有最直，优先用最直这种对称中心，我们得区分清它到底是增区间的还是减区间的，否则就会出现这种类似的错误。 ok， 那 关于更复杂的是一道求 omega 范围之类的问题，咱们后边的视频再给大家去详细讲解，这个视频的内容到这就没了，拜拜。

大家好，今天咱们来讲一讲高中数学高频考点正弦型函数。那么关于这个正弦型函数的话，咱们先讲讲正弦函数。 正弦函数之前已经讲过了，咱们复习一下图象，看到了吧，它的周期可以看出来最小正周期是多少啊？每一个波谷，或者说每相邻的两个波峰之间，它都是完整的一个最小正周期。二派 或者每相邻的两个零点之间，它距离是多少？都是呃，周最小正周期的一半吧，都是派，这个都能跟上啊。那么看了，那么现在它的值域呢？值域当然是负一到正一之间了，根据正弦函数它的定义就可以得出来。 那对称轴怎么找？其实很简单，你只需要考虑此时比如说 x 零所对应的，它就是对称轴啊， 它等于正一还是负一，那此时 x 零不就它的中边是在外轴上吗？那就写多少，那就写二分之派，再加上整数倍的派就行了。 k 是 整数，任意的整数， 那么对称中心的话，肯定每一个零点跟 x 轴的交点啊，它都是对称中心， 那么此时我们只需要让三 x 等于零，得这个 x 的 值就行，此时 x 在 哪？它当然是在 x 轴上了，这个中边，所以就是 k 倍的派，这个都好说。 函数当然是奇函数了，因为根据诱导公式，咱们也可以得出来，这个负号是可以提出来的呀，那就变成了负的三 x 自变量相反，函数值也相反，那当然就是奇函数了。 那至于这个单调增区间，单调减区间的话，咱们其实可以结合什么？可以结合三角函数的定义这样一个单位圆来做 看，从外周负半轴到外周正半轴，此时你看点 p 的 什么？ d m p 的 纵坐标变大，那不就是 sin 变大吗？所以你看二 k pi 减二分之 pi， 这是外周负半轴吧，后边是外周正半轴吧，这就是正区间，那减区间的话，当然就是外轴正半轴，再转到外轴负半轴了，这样一个逆时针方向为正啊，这个都是好得的。 那么现在我们来看看什么正弦型函数，这个正弦型函数的话，主要是有三个，三个量啊，你看 a 一个， omega 一个，然后 f 一个， 这个 a 的 话主要是影响什么？影响值域的，比如说咱们在图中画一个一开始的图像，是谁啊？一开始的图像，咱们看一下这个黑色的图像呢，那就是 y 等于三 x， 我 们可以发现它的值域是在负一到正一之间的， 那如果在原来基础上，咱们乘了一个 a， a 变成二呢？乘了一个二倍呢？那此时值域就所有横坐标其实都没有改变，但是对应的纵坐标都变成了原来的二倍，乘了一个系数二，对不对？所以它的值域就变成了 正二，就是负二到正二之间了。原来是这么回事，那么如果是乘一个二分之一呢？看图中虚线，看这个蓝笔部分啊， 蓝笔部分是谁？ y 等于二分之一，三 x 横坐标不变，然后呢， 跟 y 等于三 x 相比，纵坐标变成原来的二分之一。就这条图像看到了吧，它的值域就是负二分之一到哪到正二分之一之间。所以这个 a 主要是影响了什么？影响了函数的值域。 那所以啊，如果他这个 a 怎么样？如果这个 a 是 大于一的话，那这种情况下咱们就是乘原来的 a 倍，那如果小于一呢？啊，那就是压缩呗，压缩就可以了啊， 那么继续来看斐斐的话，主要是左右影响啊，比如还是一开始呢，咱们这个函数，我画了一个完整周期内的这样一个正弦函数，那现在先看红色部分的图像吧，红色部分的话，咱们是谁能看出来吧，减去二分之派，为什么左加右减 吗？哎，我们只需要把原来黑色的图像向右平移二分之派了， 那么另外看虚线，看蓝笔，蓝色部分的话，那肯定向左左加嘛，向左平几个单位，向左平一 pad 单位。所以总结的话就是，如果 five 大 于零， 那当然了，加嘛，左加向左平移，如果 far 小 于零，这不就是 far 等于负二分之派吗？那就是向右平移。原来 far 影响的是什么？影响的是左右平移。那么另外这个 omega 影响什么呢？这个 omega 的 话，咱们还是画一个图看好了啊， 它影响的是横向伸缩变化，那最初时的图像，咱们还是画一个完整的零到二派之间的 y 等于三 x 正弦函数的完整图像给画出来。这个呢，之前呢，可能讲过，都很熟悉了， 现在请大家告诉我一个点，那很多同学就说了，老师，红色的图像你不用说了，我们横坐标压缩为原来的啊，一半啊，那我们只需要怎么样？ 只需要把所有的 x 写成二分之一 x 好， 错了，大错特错了，我告诉你啊，应该是乘个二的正好，逻辑上是反过来的。左加右减是不是逻辑上反过来的？跟 x 有 关的都得反过来。 那为什么是这样呢？并不是说让你硬背的啊。咱们仔细来观察一下图中的黑色图像的 x 和红色图像的它这个 x， 红色的 x 和黑色的 x 肯定不是一回事啊，怎么回事呢？这两个画圈部分是一回事 因因为你红色 x 前头乘了一个是多少？不是二分之一，咱们是乘了一个二吧。所以说，这两个圈既然是一回事的话，红色的 x 只需要通过付出黑色 x 一 半的努力， 对吧？一半的努力就可以了啊，就可以达到原来相同的跟黑色 x 达到相同的效果了，能懂我的意思吗？乘个二，那反而这个红色的 x 只需要一半的努力，那如果乘的是个二分之一呢？ 哎，那此时红色的 x 就 需要付出原来二倍的努力了。所以，接下来如果让你看，现在 请你告诉我图中的红色的第二个图啊，他的图像应该是什么？他的图像，你看，应该就是你刚刚写的三二分之一 x， 懂了吧？因为这两个圈是一回事，是一个整体。 我这个红色的 x 因为前头负了一个系数二分之一，我需要付出二倍的努力，所以是横向拉伸为原来的二倍，逻辑上是反过来的， 你说对不对啊？ omega 大 于一的时候反而是压缩到原来的 omega 分 之一， omega 小 于一的时候反而是多少拉长，伸长，横向伸缩变化。原来是这么回事，逻辑上正好反过来，千万不要记错了。 那么学完了这些之后的话，接下来大家自己都可以总结出来吗？周期，周期正好是反过来的吧，原来的最小正周期乘 omega 分 之一，横向伸缩变化是 omega 的 倒数，正好反过来的 omega 是 二，反而是二分之一， omega 是 二分之一，反而是乘二，所以周期就是横向伸缩变换。理解 omega 的 影响 值域不用多说了吧？ a 影响的就是值域，原来的负一正一，这样一个值域相当成了一个 a 的 系数，那当然就变成了负 a 到正 a 之间了。那单调性的话，我们只需要结合复合函数同增异减。后边会有这样的题目，这个呢，咱一会遇到题目再说。 其实我也可以现在说一说，什么意思啊？你比如说举一个非常简单的例子啊，外头的话，比如说来一个三倍的 三多少三，二分之一 x 减去三分之 pi， 就 觉得还是挺复杂的，是吧？对于这样一个正弦函数，比如说我们求它的增区间， 嗯，那么如何求它的所有的增区间呢？其实很好说，我们只需要把这个函数分成内层函数和外层函数， 这个外层函数 y 等于三倍的三 t， 大家都知道没什么问题，它有的时候是单项递增，有的时候单项递减，跟 t 的 取值范围有关，这个很容易判断，对吧？那内层函数就是 t 等于二分之一 x 减三分之 pi， t 关于 x 是 一个单调递增的函数，因为二分之一斜率是个正数，所以我们只需要让外层单调递增就可以了吧？外层是个增，内层也是个，那外层什么时候增呢？那肯定是从负半轴，从这样一个外轴的负半轴 转到了多少？转到了 y 轴的正半轴位置啊。但是毕竟我们求的不是 t， 求的是什么？求的是 x， 所以 你写成二分之一 x 减三分之 pi 就 行了。所以其实单调性并不难的，你就只要知道负函数怎么判断。呃，这个单调性你就知道怎么来解决这种问题。 对称轴不用多说了吧？对称轴我们只需要，比如说 x 零，我们只需要让 omega x 零加 five， 这个整体落在哪？落在 y 轴上，那不就是 kpi 加上二分之 pi 吗？是不是？对啊，你把它理解成 t 嘛，当这个 t 在 哪的时候， t 在 外轴上的时候，此时三点 t 才等于正一或者等于负一啊，没问题，对称中心也不用多说了吧，只需要让画圈部分等于零就可以了。对称中心写成坐标点的形式。那么了解了这些之后，接下来咱们就先来做这个例一吧， 都非常简单啊。呃，来吧，请告诉最小正序多少 t 等于二派？除 omega omega 等于二，二派除二 多少派？最小正周期是派。看对称轴对称轴的话，我们让二 x 减去四分之派，等于在外周正半轴上吧。那 k 派 k 属于 z 啊，可以任意的整数。 k 派加上二分之派，那咱们算一下不就可以了吗？ 那此时 x 算出来是多少啊？那就是二分之 k 派对 k 是 任意的整数，再加上多少八分之三派。好，后边别忘了标 k 是 任意的整数哈，这个就是它的什么？它的对称轴 x 等于它是一条直线吗？ 那么对称中心的话，我们只需要让二 x 减四分之派等于多少等于 k 派就行了吧，没问题吧？那最后求出来这个 x 是 多少呢？是二分之 k 派再加上八分之派，这个很简单，但是对称中心的话，毕竟是坐标点，咱们写成坐标点的形式啊。 那单调区间，单调区间的话，我求一个增区间，然后减区间我就直接写了啊。增区间很好说呀，我们只需要让二 x 减四分之派，其实也就是那个 t 在 什么范围内？在二 k 派就外周负半周， 一直转到了二 k 派加二分之派。对啊，然后你顺便把 x 的 范围写出来不就行了吗？那 x 的 范围求出来的话，应该是一个。呃，一个是 k 派减八分之派，另外一个是 k 派加上八分之三派。但是毕竟我们要写成区间的形式嘛，那就写成 k 派减八分之派到 k 派加八分之三派，这样一个 b 区间就可以了。后面标上 k 属于 z， 行了吧。 那单调减区间我就不写过程了，我直接说。那减区间呢？单调减区间的话，那就是在 k 派加八分之三派，然后一直到 k 派加八分之七派之间， k 属于 z， 行了吧。这个是例一，很简单。 那么接下来还有这个五点作图法。怎么来作图呢？这样的啊，列表秒点连线，咱一步都不要少。 首先干嘛？你先把这个表格你得填出来吧。那具体这个表格怎么填，其实还是跟这个内层函数外层函数有关的，咱们分成两层， 内层函数，外层函数的话就是 y 等于三倍的三 t， 内层函数就是 t 等于二分之一， x 减去六分之派，那 t 怎么取？ t 的 话，我的建议就是，这就是 t 啊。那取什么？取零二分之派派二分之三派，二派正好转了完整的一圈不就可以了吗？完整的一周， 那 t 的 范围有了呢？对应的求出，当它等于零的时候， a x 等于它，当这个整体 t 等于二分之派时候， x 等于它。然后把这五个点求出来， 那对称的好说吧，三倍的三零，那不就是零吗？三倍的三二分之派，哎，那不就是三乘一对。那么接下来就是第一个点，注意啊，横坐标是它，纵坐标是它，三分之派都好，零。第二个点，三分之七派， 逗号零啊，三分之四派啊，那接下来这个呢？然后三分之七派逗号零，还有什么？那还有三分之十派逗号负三，行了吧，你都写上 这个是三分之十派，最后一个是三分之十三派逗号零。然后呢，你把这些一 二三四五，你把完整的一个周期内的图像用平滑的曲线连接起来，这不就结束了吗？因为他让你画的是一个周期内 b 曲线上的完整的图像，行了吧。 那么接下来他要说的是，请你复述一下，请你说一说，如何能从 y 等于三 x 经过怎样的图像变换，能变成 y 等于三倍的三二分之 x 减去六分之派，就是如何从最简单的正弦函数变成这样一个复杂的正弦型函数。 两种方法吧，你用哪种都行，看你先想怎么办嘛。那首先，我可以先平移，我先变出这个负的六分之派，可以吧？对啊，减六分之派。那你看左加右减向右平移六分之派的单位。 其次呢？其次，他接下来 x， 你 得变成二分之 x 吧。反过来的啊，横向拉伸为原来的二倍，就什么纵坐标不变，横坐标拉伸为原来的二倍。 那再接下来，前头还有个三吧。哎，对，前头乘个三，那就很简单了嘛，前头乘个三的话，这个三什么影响？直域，也就是横坐标无边，纵坐标伸长为原来的三倍，这是一种。那另外一种的话，咱们也可以先伸缩 x 变成二分之一哦，纵坐标不变，横坐标拉伸为原来的二倍吧。其次呢，其次的话，你一定要注意啊，咱这个东西其实是这样看出来的，你把二分之一先提出来，括号里头会变成 x 减去三分之派，懂了吗？ 也就是说原来 x 变成 x 减三派，是向右平移了负的三分之派的单位，这个地方是容易出错的， 就出血的。同学，懂了啊，这个地方一定要搞清楚，是吧？ x 这个逻辑位置变成了 x 减三分之派，是平移了三分之派个单位，后边就好说了啊，还是横坐标不变，纵坐标乘个三嘛。 那接下来看 b 三，它只给了一部分的图像。首先这个图像呢，比较核心的点就是，其实你九求出解数来，其他都有了，有个十二分之五派都号零吧。 对，还有个三分之二派逗号，负二吧，也没问题。所以你在做这个题的时候，咱们看哎，他的什么，他值域是负二，那这个地方肯定是负二到正二之间，我们首先可以得出来， a 就是 等于二的。对啊，横向 没有变，那纵向拉升原来的二百万 a 肯定是二，影响的是值域。那么继续吧，我问你一个问题啊，请你告诉我。 呃，就这两个点，十二分之五派和三分之二派之间，他的距离是几个周期？ 是四分之一个周期对不对？这个才是完整的一个周期吗？所以你画圈这一部分横向距离他是四分之一个周期， 那所以根据周期可以求什么？四分之一个周期，那不就是三分之二 pi 减去十二分之五 pi 吗？所以咱们求出来， t 等于 pi， t 等于 pi 相当于原来的最小正序二 pi 比乘 omega， 所以 咱们 omega 是 等于二的，你看 a 等于二， omega 等于二， 咱一下就把谁求出来了，一下就把解析式里头两个参数求出来了，对不对？二倍的 x 再加上 f， 那 最后就只剩下这个 f 了， 注意啊，怎么求派啊？求派的话肯定是要带这样的，多少？肯定是要带这样的特殊值的。我的建议什么呢？你带哪个都行，你带十二分之五派都好，零也行，带他也行。我的建议是带最小的那个值吗？那行， y 等于二倍的三二 x 加上 f， 那 三分之二的话，那，那带入哪个点？带入三分之二 pi， 然后逗号负二，对吧？那我们就得出来了，三二乘三，那就是三分之四派，再加派，他算出来是等于负一的。那你要这么写的话，那不就是三分之四派再加上派 等于多少？负半轴吧，外周负半轴上三才能等于一吧。他这个整体是这样，一个中边是在外周负半轴上。二 k 派 减去二分之派。注意， k 是 任意的整数啊。那好了，嗯，写到这儿以后的话，咱们还需要整理整理，那就是 five 等于二 k 派 减去二分之派，那就是六分之三派，再减去六分之八派，六分之十一派啊，所以它是二 k 派减去六分之十一派，你 k 的 话是取任意的整数， k 取哪个整数可以让斐的绝对值在？ 嗯，也就是说在 f 在 什么范围内？在负派到正派之间吗？那只能是当 k 等于一的时候，咱们算出来 f 正好是等于六分之派，符合要求吧？对，所以到现在为止，咱们算出来了什么？根据 值域算出来 a 等于二，根据周期算出来 omega 等于二，根据特殊的点，也就是三分之二 pi， 逗号负二算出来，咱们的 pi 是 等于六分之 pi， 所以 它的解析式应该是什么？所以它的解析式应该是 多少呢？呃，应该是二倍的三啊 x， 三二倍的 x 不是 减啊，是加上六分之 pi， 懂了吧？所以 a 就是 错了， b 呢？ b 也错了呀，最小正周期是 pi 吗？ c 呢？ c 是 对的，为什么？哎呀，你对称中心的话，你只需要带入里头，你试试带入啊， 代入负的十二分之派 x 啊。 x 等于负的十二分之派，那就变成了二乘负的十二分之派，咱们看一下啊，再加上六分之派等于零吧。零啊，此时零，你说三个零是不是等于零？对，所以它是对称中心啊。对，跟 x 的 交点就是对称中心， c 是 对的。 那么再来看另外求 omega 的 范围，或者说求 omega 最值，这个是比较难的。嗯，怎么办呢？将函数图像向左平移三分之派单位，得到了曲线 c， 那 行吧， 向左平移的话，咱们看曲线 c， 咱们就写成 g， x 啊，它是三 omega， 这个 x 的 话左加，那就加上三分之派，对吧。 把所有的把这个 x 变成 x 加三分之派，这就是向左平的三分之派的单位。那么经过处理之后呢，就是 omega， x 加上三分之， omega 再加上三分之派，目前就是这样。 他说 g x 这个函数呢，它是关于外轴对称的，如果说关于外轴对称，那么我们这样一个整体 对不对？这样一个整体，它呢？当 x 等于零的时候，对不对？当 x 等于零的时候，此时 它要么等于正一，要么等于负一，那这样的话， sine 这个值， 你把 x 等于零带入吗？要么等于正一，要么等于负一，那你要这样来的话，它等于正一或者负一。那此时的三分之 omega pi 再加上三分之 pi， 它这个中边位于哪个啊？位于 y 轴上吧。那此时不就把最后结果求出来了吗？经过运算，它等于 k 乘三三， k 再加上二分之一啊， 对了吧，那 k 的 范围是什么？ k 的 范围，注意啊，你要注意的是，虽然 k 是 任意的整数，但是 omega 人家是正数的啊， k 去零吧， k 去负一肯定不行。 k 去零的时候，此时 omega 最小的整数，它是等于二分之一的，所以 omega 的 最小的值就是二分之一。对啊， 没问题了吧。那好啊，那么来看力五，力五的话，他说零到一之间至少出现了五十次最大值， 那你要注意它这个 omega 是 干嘛的？横向压缩变化或者横向拉伸变化，是吧？那纵坐标是不变的，它这个直域的话，那，那，那不用多说什么，肯定都是正一啊，负一到正一之间，我们主要是看横坐标。 我画了不到五十个啊，不到五十个你就假装有五十个吗？中间是有省略号就行了对不对？来，注意，每一个相邻的波峰之间是不是都是完整的一个周期啊？一个周期，一个周期。那既然如此的话，咱假装你看到了五十个波峰，那么就是看了啊。 首先零到四分之派之间，这是从零点到了离他最近的波峰吧。五十次最大值吗？五十最大值，哎，这是第一次， 第二次，第三次，第四次，他巴拉巴拉巴拉，一直到第五十次，那中间出现了多少次周期啊？一个周期，两个周期， 三个周期，四个周期，吧啦吧啦，一直到多少？一直到四十九个周期。所以人家是完整的四十九个周期啊。四十九个周期，再加上最左边这一段，你别忘了人家还有四分之一个周期呢。四十九又四分之一个周期， 懂了吧？比如说最极端的情况，这就是一啊，这就是原点啊。零到一中间正好包含了五十次最大值，这是最简单的情况，所以此时四十九又四分之一个周期， 他必须是小于等于一的吧？对啊，你至少包含五十次吗？那咱们就写吧， 那不就是四十九又四分之一，那就是四分之一百九十七，这是括号里头算出来的啊。周期的话，你还记得用原来的二 pi 比上 omega 这个正数吧， 然后小于等于一，于是我们就算出来了， omega 大 于等于二分之一九七派，所以横线上的值最小值不就是二分之一百九十七派了吗？那么这节课大家应该学会了正弦型函数了吧？分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见。

hello， 大家好，我们今天来看函数 y 等于 a 乘以 c， omega x 加斐的图像。这是我们三角函数的最后一节，试的时候也比较常考，我们先来看一下。首先第一个我们来看怎么画这个函数图像的这个函数图像的图形。首先我们知道 y 等于 sin x， 我 们之前学这个函数图像的时候，我们知道它的五个点，对吧？分别是啊，零，零，二分之派一派零，二分之三派负一和二派零。那当后面 x 不 再是单独 x， 而是 omega x 加 five， 前面就成了个 a， 就 说明我们第一步可以把它看成一个整体，看它等于 t， 我 利用 t 等于它，那这个时候我的函数是不是变成了 y 等于 a 倍的 sin t 前面乘以 a， 只有最大值和最小值，受影响就是 y 值，所以受影响， 其他都不受影响。那当，那这个时候我就可以来看了啊，当这个函数为 a 倍的 x 以 t 的 时候，那我的 t 为零的时候，我的 y 就 等于零，我的 t 等于二分之 pi 的 时候，我的 y 就 等于了。本来是一，然后乘以 a 就 等于 a， 我 t 是 pi 的 时候，我的 y 就 等于零，我的 t 是 二分之三 pi 的 时候，我的 y 就 等于负 a， t 等于二， pi 的 时候， y 就 等于零。这是 sin t 的 一个图像， y 等于 a b sin t 的 图像，那我们的横轴肯定是 x， 对 吧？那我那我之后最后画出来，肯定是我令这个等于零，求出来 x 的 取值，令它等于二分之 pi 等于这些，然后我们都能把 x 的 值所对应的值求出来，所以最后最后我们肯定是对应的 这个 x 的 值和对应 y 的 值来画函数图像，其实比较简单啊。然后紧接着我们来看一下函数图像的变换，我们学这个函数图像变换之前，我们肯定都听过一个一句话，叫做左加右减，上加下减， 这个是什么意思呢？左加右减对，针对的就是 x， 我 只对 x 往左走是加，往右走是减，就比如说如果是 y 等于 c， x 加反，那肯定是往左走了，对吧？如果是减反，就是往右走了，它针对的只有 x， 所以 说左加右减， 然后你就可以看这个 find， 你 就可以知道它是往哪平移了。这个 omega 我 们知道有有一个 t 等于二 pi 比上一个 omega， 所以 这个 omega 其实是跟周期有关系的，跟周期有关系，那换个方向想，它其实就跟这个函数图像的什么横坐标的长还是短有关系，是伸长了还是缩短了？所以因为它是在 分母看二派比上欧米伽，所以所有的欧米伽它变成了。比如说这个函数原来是 y 等于 c x， 那 变成 y 等于 c， 欧米伽 x， 那 它的横坐标都变成原来的欧米伽分之一，乘以欧米伽分之一就可以了。这是第二个变化，乘以欧米伽分之一，意思是我们之前学过那个上加下减， 但是这个考的不是很多啊，就比较考的比较多的还是在整体的前面乘以一个数，整体前面乘以一个数，其实就是 y 轴，它升伸长和缩短啊，其实对 x 轴的横，对 x 轴的坐标没有任何影响，都是 y 轴的坐标，也就是最大值和最小值。 那这样子的话，其实我们函数三角函数的变化就有两个变化方法，我们先来看左边啊，来看左边，先动 five， 紧接着变成，然后向右或者向左平移，紧接着又动欧米伽，伸长或者缩短欧米伽分之一倍，然后变成，然后纵坐标变为原来的 a 倍，这是我按照我们正常的顺序，那我们考试的时候肯定不会考正常的顺序，因为太简单了。那这个时候就来看一下我们不太正常的顺序，它先动了谁？先动了欧米伽 表，它变成了 c omega x， 又动了 five， 那 这个时候我们刚刚说过， five 只能针对于 x 动，对不对？它不能针对于 omega x 动，那这个时候我只能首先我先把 omega 提出来，那这个 x 我 再去把它 就是加或者是减，哎 omega 分 之 five， 这个时候你再把 omega 乘进来的时候，是不是就是 five 了？就是你这个时候要把 omega 提出来，然后再对这个 x 进行一个呃左向左或者向右的一个平移，然后才能得到我们想要的这个，然后最后也是作作变变成原来的 a 倍。 这个变换是我们考试常考的变换，因为比较复杂一点，这边不怎么常考。然后第三个常考点就是根据图像求解式， 就是给你一个一半图像或者残缺的图像，然后你去抄这个图像的解析式。首先残缺的地方肯定是一个要求 omega， 一个要求 five 或者一个要求 a a 的 话，图像是肯定可以看出来的，然后如果是 omega 的 话，那就是用这个公式就可以求出来 omega five， 主要还是套入关键点，然后往里面找就可以了。我们还是具体来看题目啊， 我们先来看第一题，我们它要把这个函数的图像向右平于八分之派单位，然后得到几级式还是一样的，它已经把 omega 固定了，对不对？然后让我移 向左或向右移。那首先第一步我还是要先把 omega 提出来，那所以这个函数第一步先变成 sin， 先把三提出来，然后是 x 加上十二分之派， 好提出来了。第二步我就开始可以移了，我对 x 移左加右减，所以向右，所以 y 就 等于 sin 三倍的 x 是 向右移了八分之派，然后再加上原来的十二分之派，然后就等于 sin 三倍的 x 二十四分之派，那我再把三乘进来，就等于 sin 三 x 减八分之派。这个最后得到解析式就是它了， 就是这样子的一个算法，当我们得知 omega 是 已经固定的了，那往后再移的东西，我就想把 omega 提出来，然后再单独的移 x 了。 这道题就是它给了你图像，然后让你根据这个图像首先要求出 f x， 求了 f x 之后再经过不断的平移什么的，再求出 g x， 求出 g x 之后再求出它的一个单调递增区间。猜测的知识比较 多啊，那我们一个一个来看，首先根据这个图像它的最大值和最小值，我可以看出来这个 a 是 等于一的， 然后紧接着，那这个时候函数就 f x 就 等于 sin omega x 加 f， 那 紧接着就来看 omega 和 f 了，我们之前说过 omega 跟谁是有关系的？跟周期有关系。那题目上给它看，你看我们从六分之派到三分之二派来看，这是几个周期， 这是不是一半的周期？所以我可以得到二分之 t。 一 半周期是等于多长啊？是不等于这么长？等于三分之二 pi 减六分之 pi， 那 这个时候我其实可以算出来，我的 t 就 等于 等于 pi， 然后我那个公式是什么啊？ t 等于二分之 pi 比上一个 omega 的 绝对值，我的 pi， 我 的 t 等于 pi 了，那所以这个时候我可以得到我的 omega 绝对值肯定是等于二的。又因为 omega 是 大于零的， 欧米伽大于零，所以我可以得到我的 omega 一定是等于二的。好，现在这个函数函数变成了 sin 二 x 加斐， 那刚刚说斐怎么求呢？是不是找找什么？找特殊点就可以了？你就那我就可以把六分之派一代入，或者把三分之二派负一代入就可以，对吧？那所以这个时候就是 sin 二乘以六分之派加上斐等于一， 那这个时候我就是 sin 三分之派加 five 等于一，那所以我的三分之派加 five 就 等于二分之派，那所以我的 five 就 等于六分之派。 好，那所以到此为止，我的 f x 我 已经算出来了，就等于 sin 二 x 加六分之派。 好，那我就来开始看它移动了啊，把图像上所有的横坐标扩大到原来的四倍，我们刚刚说横坐标针对的是 omega， omega 变成原来的四倍，那也就要乘以它的四分之一，那所以二 x 乘以一个四分之一就等于二分之一 x， 那 这个时候函数就变成了 f， 那就把它变到第一个，第一步就把它变成了 sin 二分之一 x 加上六分之派。然后下一步就是要把图像向左平移三分之派的单位长度，那所以首先 sin， 我 先把二分之一提出来， x 加上一个三分之派， 然后左加再加上一个三分之派，所以最后我这个函数就变成了 sin 二分之一乘以 x 加上三分之二派，你就等于 sin 二分之一 x 加上三分之派， 这是我的 g x， 然后他让我求 g x 的 一个单调增区间，对吧？那我们还记不记得之前求单调增区间怎么求？第一步，把它看成一个整体上， t 等于二分之一， x 加上三分之派， t 眼看看着是一个增函数，所以我只需要找 二，找 sin t 的 增区间。所以 sin t 的 增区间是在 是不是从负二分之派到二分之派上，所以我的 t 的是大于等于负二分之派加二 k 派，小于等于二分之派加二 k 派。我把 t 代还回来，二分之一 x 加上三分之派，大于等于负二分之派加上二 k 派， 小于等于二分之派加上二 k 派。好，最后我可以得到我的 x 的 取值，就是大 x 的 值，就是 x 大 于等于 负三分之五派加上四 k 派，小于等于三分之派加上四 k 派。 然后他让我找其中一个增区间，那就来看一下 abcd 哪个满足这个式子就可以了。这道题是一个综合性比较强的题目，他既牵扯到了我们今天刚学到这个图像的变换，然后又牵扯到了我们之前讲过的什么单调增区间，还牵扯到了一个以用图像来看这个函数的解析式。 好，我们今天关于这个函数图像的这个题就讲到这里了，高中的必修一、这这一本书我们到目前为止就已经讲完了，后续我们还会出其他书的详细讲解，大家记得关注哦！

讲一下这个三角函数啊，就它的辅助角公式啊， 就说意思是什么呢？意思就是说这个函数，我假设你是了解的啊， y 等于上一起，对吧？还有一个是什么呢？还有一个就是 y 等于上 t 啊， 跟 y 等于上 h， 就 说把 h 字母换成 t 啊，它是一样的啊，它是一样的。就说 t 是 自变量，在这里嘛，对吧？上面是 h 是 自变量嘛，对吧？它是完全一样的啊。 你 h 是 二分之八的时候带你去算 y 嘛，跟这个 t 是 二分之八在这里算 y 是 一样的嘛，它的意思是什么呢？它的意思就说你了解这个函数，对吧？或者是这个函数， 然后如果他不是，然后因为你了解这两个函数，所以我要求他的值域嘛，最大值吧。 你了解这个函数啊，所以我要求他的最大值跟最小值嘛，对吧？那怎么求呢？对吧？ 它可以这样求。我们讲过放原哈，所以你回去看一下放原那一节数啊， 可以这样求。就令这个 t 是 等于 o h 加六分之拍嘛，就说它的意思是这样的，它的意思就说 你看这个 t y 的 关系，它是标准的正弦函数，那你看 h， t 的 关系呢？它也是很清楚的，对吧？ t 跟 h 的 关系是一元一次嘛，对吧？ 所以它的本节书的内容是什么意思呢？就是如果我能把 三角的东西化成这种模式，对吧？那他要求什么东西呢？都可以求的，是吧？都可以求的，你换人放到这里看就行了，对吧？也就说他不是这种模式，对吧？不是上面的模式， 我怎么画成画到上面的这种模式，对吧？但是画之前呢，我先做一下它的坠子，对吧？这道题的坠子那段时间就不做了哈，那段时间有空再做了哈， 做一下它最大跟最小值啊， 就是我 h 取值嘛，假设什么十二分之拍嘛，往这里再算 y 跟我这个放圆它是完全一样的啊。在前面讲过的哈， 通过 h 的 值先算 t， 对 吧？它这个它跟这个是完全一样的啊， 只不过经过你这么一算的话，它的这个经过你这么一晃的话，它这个 h t 的 关系是很清楚的嘛，一元一次嘛，是吧， 包括单调性都是很清楚的啊。但是我们这里的左中点是化解问题，对吧？是，它不是这种模式，我怎么化成这种模式啊？我们先取一个坠子吧， 通过这个 h 啊，先算 t， 再通过 t 算 y 啊，然后我要保证这个下面的 y 跟上面的 y 相等，那这是什么意思呢？那就是要保证下面的 h 是 来自于上面的 h， 对 吧？上面 h 是 十二分之拍到三分之拍嘛， 所以下面的 h 也是十二分之拍到三分之拍， 肯定不会一个个单去算 t 的 啊，所以它是反正 h 定了，对吧？这个 t 也会定 h 的 范围定的话呢，其实 t 的 范围也会定的啊， 那怎么去定它的范围？就是一堆一堆的算，整体的算啊，就靠单调性是吧？ t 跟 h 的 关系啊， 单调递增，对吧？而且是十二分之拍到三分之拍， 对吧？算这个 t 当真嘛？所以起越小它的 t 就 越小嘛，而且越大它的 t 就 越大，而且最小的时候，那 t 就 取到它的最小值了。可以这样算， h 最大的时候， h 最大是三分之拍， t 就 取到它最大值了， 就是六分之五拍，所以当 h 被给定在这个范围的时候，它算的所有的 t 就是 在三分之拍到三六分之五拍，对吧？ t 的 范围啊，所以它不是一个个算啊， 再通过算的所有的 t 一 起算出来，对吧？靠单调性算，算 t 出来之后呢，你就，你就再通过这个 t 的 直去算谁呢？算这个 y 啊， t 是 六分之五拍，三分之拍到六分之五拍啊， 上 t 的 图是知道的哈， 这是 t， 这是 y 零拍，横坐标是 t 啊， 反正你要保证 t 真的 等于它嘛，对吧？ t 的 真的等于 o x 加六分之拍是通过它算的，对吧？那这个 y 跟上面的 y 就是 一样的嘛，对吧？跟你原本要求的这个 y 的 最小跟最大值是一样的嘛？ y 点上 t 横坐标是 t 啊，六分之拍，三分之拍到六分之五拍，那你 t 最小是三分之拍， 然后这个 t 最大是六分之五拍， c 点是最高点， 就这一段是吧？左边的点不能取了，因为左边的点他的 t 是 比三分之八要小的啊， 然后你要找他这一段的最高跟最低点，对吧？最高是 c 嘛，点越高他的 y 越大啊。你现在是通过 t 算 y 的， 这是 t y 图的啊， 点越高，它的 y 越大，点越低，它的 y 越小，所以最高是 c， 最低是 b， 那 你就找到它的横坐标 t， 就 可以算它的重坐标 y 啊，就通过这四带到这里啊， 算 c 点，先把最高点 c 的 横是二分之一 y 的 最大值，那这里再算它的最低点，就 b 点 中最小值是二分之一啊，所以它的 y 的 范围就是什么呢？二分之一到一，对吧？它的值域就一起算，这个意思啊， 一个个带肯定是搞不定的嘛，对吧？所以反正就说这种这种函数可以被研究，对吧？它就是二分之一到一哈，如果它乘以一个 a 倍在前面呢，也没问题啊， 乘以 a 倍，比如乘以三倍嘛， 加一个四也没关系啊，然后这个你就另这个 y 是 等于 三 u 加四， u 就 另乘是上一个，然后这个 u 是 已经被算出来了，对吧？这个 u 是 就是刚才的这个 y 嘛，这个四值嘛，对吧？它算出来是二分之一嘛， 然后通过 u 的 这个起值， y 等于三 u 加四，算这个 y 嘛，对吧？ y 跟 u 的 关系就是单调递增嘛，对吧？就它它就跟 y 等于三一起加四是一样的，单调递增啊，那 u 最小的时候 y 就 最小 二分之十一， u 最大的时候 y 就 最大 七嘛，对吧？所以你就算就说你，你这个乘以常数啊，加减四啊，都没关系的啊，一般来说就是你搞定单调性就行了，所以这种模式我们都是知道的哈，这种模式乘以 a 倍加什么 b， 这些都知道啊， 关键就是这个上，这部分我们是知道的，对吧？通过换元嘛，所以我们看一下一道题啊， 这时候辅助角说什么先，我们先看一下啊， 反过来看啊， 这种模式可以研究啊，什么样的东西可以化成这种模式？我们讲这个问题嘛，对吧？还是用一起吧，反正没关系，都一样， 还用到一个公式，就是什么呢？就是同角的三角关系啊，平方相加等于一就发一角啊，读作发啊， 因为我们刚等一下要说的这个辅助角来的啊，什么样的东西可以化成这种模式对吧？这种形式啊， 倒过来推啊，我就看一下它是什么，对吧？它可以是什么啊？把它展开啊。展开要用到一个公式，塞扣扣塞 c 勾加勾 c， 对 吧？然后就是就是意思就是这样的模式，这样的东西可以画成下面的辅助角啊。如果你能画成这样，你套你用这公式， 这公式又会用啊？用这公式的逆用就把右边就写成左边嘛，这个意思嘛， 但是他也不会长这么好看给你，对吧？这明显是提醒你要把他右边一大堆的正义权相加嘛。变成左边嘛，对吧？那他是什么呢？对吧？他他是我再展开一下啊， 就看一下他最终给的东西大概长什么样他就可以化成他了吗？啊？如果长成这样的话呢也很少见是吧？很少见，很少给这么直接的东西给你做啊。考成六分之拍是三十度二分之根号三， 这个是二分之一，所以他给的东西长什么样呢？长上面啊，把四乘进去就是 y 等于四乘以二倍根号三也行。对， 就是长这样的，长这样东西你要画，你要画的话你就逆向过来画成这下面的东西啊，对吧？这怎么画这个意思啊，我们就教怎么画啊， 对吧。这个总结起来就是 a 倍，这是 a 哈，我们可能还要普遍化一点啊。就是这也不一定是什么数啊，这是常数啊，什么数都可以啊。他的意思就是说我要找的方法要做的事情是这样的。 只要是这种模式对吧？他都可以画成下面的这种啊，什么模式呢？就是只要你的 y 是 等于 a 倍的三 h 加上 b 倍的 cosh， 他 都可以，相当于。刚才是从下面到上面看嘛，现在是从上面到下面画啊，那上面是什么呢？上面就这种模型啊，不一定是二倍，根号三二，其他的数也行，三四也行，怎么样都行，对吧 对吧？都可以画到下面这个意思啊，辅角就讲这个事情嘛，就这种模式啊， a 倍三 h 加 b 倍 cosh 啊，或者是 a 倍的 cosh 法加 b 倍的 cosh 法，这个意思啊， 所以它用到这个公式呢？首先呢，对吧？还有用到平方相加等于一，它是 cos phi 跟 sin phi， 对 吧？这个这个优惠啊， 看一下这道题啊，看一下，我就直接给这个给你画啊， 求它的最值 对啊，求它的最大值啊，这种模型啊，我们曾经讲过这种模型啊，就是 当时说过不能这样做，就是 size 最大。确实知道啊，是一， cos 的 最大，也是什么呢？也是一，然后当它们到最大的时候，这两块相加就最大了。我们说过不能这样做， 对吧？不能这样做啊，如果这样做的话呢， 这样做肯定不行，对吧？因为当他最大的时候，他就不最大了，对吧？他最大，反正他等于一，他背后的 h 肯定是确定的了，对吧？ 但是这个 h 确定了，对吧？就它什么时候等于呢？ h 等于九十度，它等于，那当 h 等于九十度的时候，它不是等于一的，对吧？靠上九十其实是等于零的，所以它不能同时，它们不能同时取到最大。 我们曾经讲过这个问题，是吧？ 如果这样能做的话呢？什么都能做了，是吧？比如说 这个也能做了，对吧？这个也能做，对吧？这个最大，这个最大，对吧？这最大是一开口向下，这有最大，那最大加最大，那就是整个最大，是吧？整个 y 就 最大，对吧？但是其实原本他要做的事情我们 是讲过的哈，就是 h 的 曲值往这里带一串 y， 对 吧？就这个 h 跟这个 h 要相同，对吧？它要相同的话，那你就把比如说 h 零二分之拍的时候，这个确实最大了，但这个就不最大，没有那么巧这个意思啊， 所以你就这种这种想法就不对了，你就要把它变成这种模型，对吧？ y 等于四倍的三幺幺零一起加反 变成这种一个角的正弦，这个角是变数啊，一个角的正弦换成这种模型， 你可以换数字啊，反正用什么数字都可以啊。这里要求你对三角它的定义啊，最基本的东西要熟悉哈，要知道有这么一回事啊，否则也做不了嘛，对吧？换个数字也没关系， 求它的最值最大值， 对啊，把它画成大概长这样的啊，画成什么？ a 倍，它最后的答案是这样，五倍的三 h 加 f。 答案是这样啊，画成这样啊， f 是 一个定值啊，这里是九十度，它就是一，所以它最大值就是五啊，乘以常数没关系啊， 如果乘以乘以其他东西， h 的 四值就不行了，对吧？如果是这样， 对啊，你就不能说他最大，他也最大，是吧？的时候最大的是，然后整体乘起来就最大，不能有这种这种分析啊，乘整数没关系哈。 乘整数为什么没关系呢？ 因为当它最大的时候，我把它叫做 u， 对 吧？当它最大的时候，那 y 是 等于三， u 的 y 也会最大嘛？乘以常数嘛，就是一元一次的模型。这个意思啊， 那怎么变化呢，对吧？怎么变化？就说怎么变出这种。这种塞扣扣塞嘛，对吧？塞扣 扣塞，直接变。 如果你写写的是这个例子，你就把它的过程反过来写一下嘛，对吧？就把它往这边写，对吧？再往这边写啊，可以可以，模仿一下这个过程去他这样写的， 它提它是大大概这样写哈，它提了一个四，然后里面再除以四。这个除以四的话是什么呢？ over 的 根号三。 这个除以四是什么呢？二分之一，对吧？然后他这里就照这个东西出来嘛，然后我再模仿一下这过程先啊，就是从这一步到这一步，但这一步靠上六分之一拍，我先写成二分之一。二三啊， 然后接着就什么呢？接着他就又照什么呢？反正他又变成一个角的正弦嘛，对吧？就阿尔法加贝塔的三这个意思啊， 它是要照这种东西的塞。拷加什么呢？拷塞，对吧？ 那就等于上面 alt 加贝塔嘛。嗯，然后你 alt 法就是 h 的 意思嘛，然后上引 h 乘以的这个东西。跟靠山一起乘的这个东西，是吧？ 乘以四，除以四啊，我这样操作的。除以四你写清楚一点，对吧？就是你上 h 乘的这个东西呢，你要是 cosine 倍塔， 然后靠上一期乘的这个二分之一呢？你又是上一倍卡，对吧？就说他不是随便乘什么的，就有同学说我这样行不行，他说我乘以七，我再除以七，就这个式子啊， 乘以七，我再除以七，他说我这样搞行不行， 对吧？这样搞行不行啊？ 这样搞不行啊，等一下再说。为什么不行？因为它要求什么呢？因为它要求你上一起乘的又是靠上一倍塔， 靠上一起乘的是上一倍塔，这两个是同角来的啊，就说它这两个数就上一起乘的这个数，跟靠上一起乘的这个数， 他是有要求的。这两个数的平方相加要等多少呢？要等于一对吧。具体就不说了啊，同角的平方相加等于一啊，他是有这个要求的，所以下面就就是他本质上的操作呢，就是除以四再乘以四嘛， 除以一个数再乘以一个数嘛。但是他有一个要求，就是这两个数的平方相加要等于一。 简单一点说，就这样啊，对吧？这四分之三，四分之一，两个数的平方相加就等于一啊， 对吧？那其中一个数就是 cosine 贝塔了，另外一个数就是 cosine 贝塔了。只要是两个数的平方相加等于一，都是可以这样叫的啊，你把它记一下啊。 但这两个数很特殊嘛，所以他就是可以反过来知道他是三十度嘛，但有时候不特殊嘛，也不特殊哈，比如说，我举个例子哈 比如说我举个例子，如果你算出五分之三的平方，加上这二十五分之九 等于一嘛，直接用啊，如果它真的平方相加等于一嘛，那就是跟这个对应啊。 cosine 跟这个对应， cosine 贝塔，这是什么呢？五分之三，三与贝塔是什么呢？五分之四，对吧？就是就是这个意思嘛。九平方相加等于一啊，然后第一个数就是 cosine 贝塔，第二个数就是 cosine 贝塔啊， 对吧？所以你虽然是很等变形，是吧？肯定是要很等变形，但是你到底是乘以四再除以四还是乘以七再除以七嘛，你就要去找他的通法嘛，对吧？他的方法是什么嘛，对吧？ 如果这里是三四，那应该是应该是除以十一乘以十一呢？还是除以什么，对吧？那我们说直接说公式啊， 我要照这个哈塞靠加靠塞啊。对啊，我要照这个啊， 又可以粘到一块写成一个角的正弦啊，要分开相加，对吧？求，比如说求最值，那你不能说他最大，他也最大，他相加就最大了，不能这样说嘛，但是一旦我写成这样，那他就是一个角的正弦，对吧？你把这个 t 也行，什么都行， 而一个角的正弦最大就是一嘛。 我把三四再改一下吧，改成超像一点的东西直接推了。 你把 a 当做三，对吧，把 b 当做四啊，也不要太特殊啊，是吧？就是要找通法， ab 是 长处就行。 哎，我要照我要照的东西是长这样的嘛， 乘以 cosine 它，我要照这种结构出来嘛乘以 cosine 它嘛，我要照这种结构啊。你前面乘整数没关系啊，对吧？我的弯又长这样， 就说上 h 乘的东西跟 cosh 乘的东西的平方相加又等于一嘛。这是我的这个条件相当啊，做这个事情的条件啊， 那他的他的事情，他的变化是这样的啊，就是除以一个数了，对吧？再乘一个数了，要不这样子啊，对吧？那大概是这样的一个想法啊，那也就说 这里就写成三 h 乘以 r 分 之 a 加上 cosh 乘以 r 分 之 b 了，对吧？然后我需要这个结构的，这个结构是上面的对应的啊，所以就相当于 cosh 为常 是等于 r 分 之 a 上以贝塔呢？是等于 r 分 之 b 这个意思啊，因为它是同角嘛，三角关系嘛，对吧？ 这个是贝塔，这个也要是贝塔，哈，也要是贝塔，那所以它平方相加等于多少呢？等于一，要求哈， cosine 贝塔跟上，以贝塔的平方相加就等于一。 我现在我现在是知道 a b 的 啊，你把 a 当做三，把 b 当做四， 我要求要找这个 r 到底等于多少这个意思，对吧？它会使得这个数平方加这个数平方等于一，对吧？也就说我要我知道 a b， 我又解谁呢？我又解 r， 对 吧？要不你就把 a b 当做三四，对吧？ a 平方， a 平方除以这四十展开， r 平方， b 平方除以 r 平方，等于一嘛？解方程嘛， 那就解就解 r 出来了， r 平方移过去，所以 r 平方就等于什么呢？ a 平方加 b 平方，所以 r 就 等于根号的 a 平方加 b 平方，是吧？所以我就知道我要我要除的这个 r 或者我要乘的这个 r 是 什么吗？ 三 h 是 根号 a 平方加 b 平方，对吧？大概这个辅助角公式就这样子啊， 根号 a 平方加 b 平方，对吧？然后这里就是 cosine phi， cosine beta 吧，也行，没关系，这是 cosine beta， 对 吧？这公式就是根号的 a 平方加 b 平方吗？ cosine 加上 cosine， 那这里就是这样写，三 h 写对了是吧？写对了， h 加贝塔，贝塔有时候是特殊角，对吧？三十度，四十五度，六十度，但是有时候它是， 它是非特殊角是吧？不是三十度这种角啊，那也没关系。是没关系啊，反正你 对于脚来说呢，我们现在已经不追求知道他是多少度了，我只要知道他正弦跟倚弦就行了，对吧？我做事情的时候，只要是算他的正弦跟倚弦，通过正弦跟倚弦 去应用啊，或者是研究什么东西，比如说正弦定力，正弦定力，你说正弦定力，说你被打是六十度，对吧？倚弦定力吧。 那你写的那个 b 角吧，六十度，那你写公式就写成这样了，已知定率了， 高下六十度了，那如果我知道高下贝塔四等于五分之三，那我一样的，对吧？我的我的功能跟你是一样的，所以我只要知道它的正弦与弦值就行了，不一定要知道它的角度啊。 对啊，你知道角的度数是三四十度，不知道余弦，那也没用啊，对吧？解方程哈。对解方程来说啊啊，就是这样画啊。所以你的意思就说它如果是这种模式，那你除的这个 r 呢？就应该是 根号 a 平方加 b 平方，对吧？这乘以 r 这个意思吗？ 这种模型才行啊。所以你看一下这道题， 但你还有一个方法可以可以照平方相加等于一嘛。我主要是平方相加等于一嘛，加一下这个也行， 你要上一起乘的东西，是上一起乘的东西，乘的这个东西 加上靠上一起乘的东西，对吧？这个平方相加就等于一嘛。那本来是不一定等于一的嘛，但是你要造的是等于一的嘛，对吧？ 你可以除以一个数啊，再乘以这个数啊，就平方相加等于。刚才说了啊，现在我们换个方式照也行，它可以这样照，对吧？一啊， 用 a b 写这个，一啊，他就这样写啊，一就等于自己分子自己嘛，然后接着就把它写成靠上平方加上上一倍它的平方。这种模式啊，平方啊，两数的平方， 那你就先变加的感觉出来，先加的感觉啊， 这样子嘛，要加的感觉，对吧？再把平方对，把一个数的平方便出来，平方也好变啊，自己就根号平方，就是就是跟刚才相等的嘛，这个意思嘛？ 根号的平方，这也是根号的平方，你要去根进去嘛，那上面就是根号 a 平方，下面就根号 a 平方加 b 平方， 那下面是 b， 下面是根号 a 平方加 b 平方，这样子吧。这个是 cosine 贝塔，这个是三菱贝塔，对吧？这样的一个道理啊。 这你要你要是想成 cosine 贝塔，对吧？这 cosine 贝塔哈 要上一倍它，你要是想乘的是 cosine 它跟上一倍它，你就必须要把 a 变成 a 除以根号 a 平方加 b 平方。在这里除的东西就知道是除这个嘛，也可以这样嘛，那这个就是乘以这个嘛， 对吧？它就是辅助角公式这个意思啊。所以如果是三四的话，那我就三就是 a 了，然后四就是 b 了， 那就根号 a 平方加 b 平方，先算， 对吧？ 这是五了，算出来 y 就 等于五，乘以五分之三乘以五除以五啊， 加上 cosh 乘以五分之四，然后这个就是我的 cosh 等于 a。 可以 可以。是的啊，因为它平方相加等于一。刚已经说过了， 所以这里我写出来就是 y 就 等于五倍的三 h 乘以 cos 一 倍，它加上 cos 一 起乘以三倍它，那 y 就 等于五倍的 cos， 靠 cos， 这就是我要的东西，是吧？当它是九十度的时候，我就控制，我就可以控制它。这个三取到最大的 是一吗？三最大的话，那乘以五，那这个 y 就是 也是最大就五嘛，最大值，反正这种函数是可以研究的哈。一个角的正弦，是吧？一个变角的正弦是可以研究的啊。 这里，这里，如果是 o h 的 话，这里也要是 o h 才行啊。就它这个公式的应用，你还是要知道啊， 这个公式的利用啊， 比如说它这里是这样的，二十三度乘以 cosine 的 二十二度， 对吧？那就相当于是这个公式嘛。塞扣扣塞嘛，就是这个塞的二十三，这个扣也是二十三，对吧？十三吧，要不 这是十三，然后这里也是什么呢？也是十三，阿德法贝塔属于阿斗队嘛，对吧？但这个阿德法跟这个阿德法又相同啊， 十七，那这里又是什么呢？十七啊，这个意思， 那就可以把二维法等于十三，贝塔等于十七，往这里带。这个啊，去上的十三加十七，那就等于上三十度，这是二分之一啊， 如果不相同，那肯定就不行了，对吧？比如说你这个，我再具体说一下这个事情啊，这个你知道能画成这样啊？我再补一个小问啊， 就是他说什么呢？他说当 h 等于其他数 y 取到最大值， 对吧？ 那你求一个三以七，它等于多少啊？那反正它的意思就是什么呢？就是 y 最大，就是这个最大嘛，对吧？那也就说 h 等于七它的时候， 你的数学是这样的，数学要靠等式去解的啊，要靠方程解的啊， 当 h 等于西塔，它会起到最大嘛，带进去就是等于一嘛，也就说这里是等于多少呢？ h 等于西塔啊，这里等于一，所以它这个角大概就是什么呢？二分之拍加 k 倍后拍。那我就写这个就行了啊， 对吧。这个角是这么多啊，沿靠什么呢？沿靠这个 cosine 塔是 五分之三，三与贝塔是五分之四，然后我要我知道的角，我的已知角是贝塔，是吧？贝塔啊，要求的角是西塔山与西塔，所以我西塔就用贝塔表示，对吧？西塔用贝塔表示啊， 那我的三与七塔就等于多少呢？三的二分之八减贝塔，对吧。那你就塞扣扣三啊，就等于扣三，贝塔扣三，贝塔刚才说了五分之三，这样算啊， 可能进一步问你这个事情啊，那你就看你这个三角的计算有没有熟悉啊，包括后备角公式是吧，都是要用的啊， 脚不相同不行啊，后背脚公式也可以推一下啊。任意的阿鲁法贝塔吗？扣扣塞塞吗？ 减一下三，那如果我要任意的阿德法被他就对嘛，是吧。如果我要求 cos 阿德法，对吧，那就相当于被他取什么呢？阿德法往这里带嘛，那左边就是你要的东西了嘛，什么都对，取取阿德法肯定也对，是吧， 带进去啊， 这里就是 cosine 的 平方，减去三的平方，对吧？平方一般是写写到这边的，他这个一般是这样记啊，对吧， 这个角的意思就是什么呢？这公式的意思就是说 l 法的正移旋，对吧？的平方可以等于二 l 法的移旋的一次方，这个意思啊， 就是它有时候它会让你把二次方化成一次方，对吧？那你就可能要用上这个公式啊， 靠跟塞平方相加等于一嘛，那可以得到这个塞平方就等于一减，靠平方可以消掉它啊，消掉这个 一减靠平方，步步得正，对吧？就得到这个公式。第一个公式啊， 如果你消掉高平方呢？也行，是吧？那高平方就等于一减三平方往这里带嘛，对吧？找到第二公式，一减二变三平方， 是吧？就是就是，反正这个辅助角公式会用到它的啊，这意思就是一个角的一个角的余弦跟这个角的 o 倍角的余弦有关系，对吧？比如说我知道这个， 那我单去我就可以算这个，对吧？单去嘛， o 乘以零点一的平方减一嘛，对吧？ cosine 法知道 cosine 法也知道他是这个意思吗？或者是平方可以化成一次方，比如说我这个公式嘛，对吧？我这个公式的话，你看我这里配出来的话，这里是一次方，这里是一次方，这里也是一次方，对吧？ 所以你你碰到平方的话，肯定是要化成一次方的，对吧？才能用我刚才的这个过程，对吧？把它变成一个角的对称。 比如说你碰到平方，举个例子啊， 对吧？你这二倍就二倍了啊，不想要分数，四倍都行啊， 对吧？加二倍啊， 要求他的什么呢？最值？最大值，对吧？那你肯这个模式肯定不对嘛，是吧？肯定不对嘛， 起码你要把平方换成一次方，再看 三平方啊，大概就三。这种模式要变成一次方，对吧？ 用的就是它啊，平方变成一次方， 对吧？这平方变成一四方角就变成两倍，这个意思啊，那你现在你又变谁呢？你又变这个啊， 对吧？就相当于这个阿洛法，就这个公式中的这个阿洛法取的是 h 加十二分之八往这里带，他就有你想要的这个东西嘛。那就靠在后背的 平方嘛，对吧，这个东西是什么呢？是 cosine o 乘进去，对吧？这是一次方，平方变成一次方啊， 然后你就那你就写出它来了，对吧？ 等于 cosine 平方变成一次方，把它移过去啊，变成一次方， 对吧？ 你把二除过去啊， 这里我写成上一排都一样，这一圈都可以互换的，然后你就把这个往这里带，算这个 y 完就等于四倍的它 加上什么呢？二倍的它 四乘进去的话就是 o y 等于多少呢？先写正的吧， 再减去什么呢？减去二倍的 cosine 角啊，反正这里就不对了，是吧。就不对了啊，加减都可以的哈。因为因为你这个两角叉它也有一旋公式的， 对吧？它这个也可以写成下面的啊，一个角的正弦公式，两角叉的正 弦， 他的，他到这里哈，已经是一次方了，有平方先画成一次方形啊，但是还是不对。 对啊，为什么不对呢？因为他辅助角模型要这个模型呢，这是阿尔法，这个也是阿尔法才对这个意思啊， 是吧，所以你你大概要长这样才对吧，反正你要决定啊。这法是多少啊，有同学就看出来。它可以展开啊， 它可以展开这样一个圆形，这样可以展开啊， 就说我，我假设我决定这个是阿尔法， solo 一 起嘛。那这个阿尔法也要 solo 一 起啊。就这种模型啊，加减都可以 打开吧。塞抠加抠塞。减去什么呢？抠抠塞塞， 对吧？六分之拍，六分之拍，三分之拍，这个是六十度二分之一，这六十度二分之二，三 减二倍的它。 cosine 六十度三十度二分之二，然后二分之一加，就是减。 cosine 也有公式的 cosine 的 公式啊，这都要记的啊。 cosine 三三 再加，这是减，然后这里就一大堆的上 o h 靠上 o h 嘛，然后它就可以合并成这样， a b 是 随便的常数啊， 这样嘛，然后减不要太特殊啊，互负得正 对了，合并 y 就 等于二倍的三 o s 加我刚好剪掉刚好剪掉。剪掉虽然好，但是 不是我们想要的嘛，对吧？我们想要的就大概是这种模式，对吧。 a 倍的三 o h 加 b 倍的 cos 啊，是吧。这种模式我就可以用辅助角了嘛，对吧？就比如相当于是相当。这里是 o h 嘛， 这里也是 o h 嘛，那我这里拷拷拷就对了嘛，这都是 o h， 这个是 o h 嘛，对吧？ 十三， 这里也要是三四十七，对吧？如果这里不是三四十七，刚才说了就不行了，对吧？四十度就不行了， 那公式在这里嘛， 对吧？这就是，这个是贝塔，这个也是贝塔，这是奥利法的三，这个是 cos 的 三，对吧？如果这里是减的话，这也是减啊， 平方变成一四方，对吧？然后你如果脚不相同，像这样啊，如果这个脚跟这个脚不相同，那你就要知道你要往这边画，是吧？就是这个艾特法应该是取多少， 你把它的反应该是取多少啊，那我觉得是都化成 o 一 起好一点啊。把上 o 一 起加六分之拍写成上 o 一 起啊，跟 cosine o 一 起， cosine o 一 起加六分之拍也写成这个啊？ 把一个角的正弦写成另外的角的正弦，对吧？ 你比如说把这个角把正弦，对吧？那写成 o h 的 正弦嘛，就相当于阿根廷 o h 贝塔曲三分之八往这里带嘛，塞靠加靠塞嘛， 那它就二分之一嘛，对吧？反正多少倍多少倍了啊？这是什么？三加二倍， cos 再加五倍三 cos 这个没关系的，这个， 对吧？他这种东西他模他一合并他就是这种嘛，这种模式嘛， cosplay 他 跟他合并嘛，八倍嘛，他跟他合并六倍嘛，对吧？ a 就是 八， b 就是 六的意思嘛。 辅助角公式啊，他需要你熟悉定义啊。 定义是角的是中边跟单位圆半径等于一的圆的交点横坐标就是 h， 就 cos angle 反，重坐标是 cos angle 反，然后它的这个半径是一高角顶点嘛？ cos 平方加三平方等于一嘛， 对吧？同角都可以啊，同角这个角也是一样啊。

咱们来看第一题，为了得到函数 y 等于三 x 的 图像，只要把函数 y 等于三 x 的 图像所有点怎么移？现在就是想要通过三 x 变换得到三 x、 二 x 三角函数图像的变换，它都是从这个最基本的开始一直变到最后。就是最复杂的就是这种， 当你动 omega 和 five 的 时候，动的是横坐标，动 a 和 b 的 时候，动的是纵坐标，你现在想要从 x 到二 x， 所以 你现在动的就是 omega， 对 吧？所以你这样动的就是横坐标，然后纵坐标是不动的， 但是你现在横坐标动多少呢？它是有规律的， omega 大 于一的时候，横坐标缩短 omega 分 之一倍，纵坐标不变。 然后当 omega 大 于零小于一的时候，横坐标伸长 omega 分 之一倍，纵坐标不变， 然后现在你是三 x 到三二 x， 所以 横坐标应该是缩短二分之一倍，然后得到三二 x， 所以 选 a。 第二题要得到函数 y 等于根号三三二 x 减六分之派的图像，只需要将函数 y 等于根号三三二 x 的 图像怎么变换？ 三 x， 你 变的是 x， 你 将 x 减十二分之派，然后你再乘二二在括号外头，然后你打开就是二 x 减六分之派，所以你只需要将 x 左加右减向右移十二分之派，选二 b。 记得点赞评论关注呦！

接下来我们讲必修一第五章三角函数第六节 a， b， c in omega， x 加 five 的 图像，就是对三 x 图像进行图像变换。 首先我们看 a 对 a， b， c in omega， x 加 five 它的图像的影响。我们假设 a 大 于零， 我们用电脑画出精确的函数图像，先看上面这个红色的表示三 x， 蓝色的图像表示三倍的三 x。 我 们取一个特殊点来看，我们取 x 等于二分之 pi， 那三 x 就 等于 sine 二分之 pi 就 等于一，那三倍三 x 就 等于三倍， sine 二分之 pi 就 等于三， 那同一个 x 对 应的 y 值变大了，所以 a 大 于一的时候，就是把这个三 x 图像上下拉伸， x 是 不变的。再看下面这个图，我们还是取 x 等于二分之 pi， 那 sine x 就 等于 sine 二分之 pi 等于一，那零点三倍 sine x 就 等于零点三倍， sine 二分之 pi 等于零点三，那就是同一个 x 对 应的 y 值变成了原来的零点三倍。 所以 a 小 于 e 的 时候，就是把三 x 图像上下压缩。那我们从图像中可以看出来，这种上下的拉伸和压缩不会影响函数的周期， 周期还是二派，也不会影响单调区间，只会影响最大值和最小值。就是说 x 值不变， y 值变成了原来的 a 倍。 那 omega 对 这个图像有什么影响呢？我们先默认 omega 大 于零，我们看上面的三 x 和 sign x， 我 们取同一个 y 等于一， 那对于三 x， 当 x 等于二分之 pi 的 时候， sin 二分之 pi 等于一。但是对于 sin 二 x， 当 x 等于四分之 pi 的 时候， 那 sin 二 x 就 等于 sin 二，乘以四分之 pi 等于一，这就是说啊，取得相同的 y 值， sign 二 x， 它的红坐标的值是 sign x 红坐标值的一半，那就是 omega 大 于的时候，函数图像左右压缩， 那左右压缩会导致函数的周期发生变化。对于 sign x 来说， 零到二 pi 区间，山峰出现一次，山谷出现一次。但是现在对于 sine x 来说，在零到二 pi 区间内， 山峰出现了两次，山谷也出现了两次，图像已经开始重复出现了。那有图可知，此时的 sine x 最小正周期就是 pi， 那此时的周期可以这么计算，就是 t 除以欧米伽，那就等于 r， pi 除以 r 等于 pi， 也就是说， omega 大 于一，图像被压缩，重复出现的周期就是原来的 omega 分 之一，重复出现的周期变短了，那由图可以看出来，单调区间也被压缩了。 我们再看下面的这个， sine x 和 sine 二分之 x， 取同一个 y 等于一，对于 sine x 来说，当 x 等于二分之 pi 的 时候， sine 二分之 pi 等于一。但是对于 sine 二分之 x， 当 x 取 pi 的 时候， 那 sine 二分之 x 等于 sine 二分之 pi 等于一。这就说明啊，此时取相同的 y 值， sine 二分之 x， 它的红坐标的值是 sine x 红坐标值的两倍， 那就是 omega 等于二分之一的时候， y 值不变， x 值拉伸成原来的两倍， 那此时函数的周期就是 t 除以 omega 等于二， pi 除以 二分之一等于四， pi， 也就是 omega 小 与一。图像被左右拉伸了，重复出现的间隔变长了， 那函数单调区间也被拉伸了。那总结一下，这种左右的压缩和拉伸不会影响 y 的 最大值和最小值，但是会影响函数的周期，会影响单调区间。我们再来看 phi 对 图像的影响。 我们先对比上面的三 x 和三 x 加一，那三 x 加一就是把三 x 向左平移一个单位， 左加右减，函数的最值不会受到影响，函数的周期不会受到影响，但是函数的单调区间会发生变化，单调区间也相应地向左平移了。 再看下面的三 x 和三引 x 减一，三 x 减一就是把三 x 图像整体向右平移一个单位， 函数的最值不会受到影响，函数的周期不会受到影响，但函数单调区间也相应地被向右平移了，那 five 就是 对 x 的 左加右减。 同学们一定要注意，左加右减是针对 x 而言的，这一点特别重要。 知道了 a、 omega、 five 三个元素对函数图像的影响之后，我们再来看一下三角函数的图像变换。三角函数图像变换其实就两种，一种叫平移，一种叫伸缩。那伸缩又包括上下伸缩和左右伸缩。 如果我们先进行平移后进行伸缩，那从 sign x 到 sign x 加 five， 就是 对 x 的 左加右减， 然后我们再伸缩。我们先左右伸缩就是先看 omega， omega 大 于一就是左右压缩， omega 小 于一就是左右拉伸， 那左右伸缩之后，同一个纵坐标，它对应的红坐标变成了原来的 omega 分 之一。 那接下来我们再上下伸缩， a 大 于一就是上下拉伸， a 小 于一就是上下压缩，那上下伸缩之后，同一个红坐标，它对应的纵坐标就变成了原来的 a 倍。 看下面这个实际例子，由三 x 到三 x 加一，就是把三 x 图像向左平移一个单位。 由 sine x 加一到 sine r， x 加一，就是左右压缩，就是同一个 y 对 应的 x 变成了原来的二分之一。 那由 sine x 加一到三倍 sine x 加一，就是上下拉伸，同一个横坐标对应的纵坐标变成了原来的三倍。 但是如果先进行伸缩，后进行平移呢？那由 sine x 到 sine omega x 就是 左右伸缩，那就是同一个纵坐标对应的红坐标变成了原来的 omega 分 之一。 那由 sin omega， x 到 a 倍 sin omega， x 就是 上下伸缩，那同一个红坐标对应的纵坐标变成了原来的 a 倍。 那由 a 倍 sin omega x 到 a 倍 sin omega x 加 five。 同学们需要注意了，此时是左右平移，平移的大小是 five， 除以 omega， 因为这个 a b sign omega x 加 five， 它是等于 a b sign omega 括号 x 加上 five 比上 omega。 好，我们说左右平移是对 x 进行平移啊，这里 x 后面加上的是 five 比上 omega， 所以 我们就要平移 five 比上 omega， 这个是个易错点，同学们一定要掌握。 那看下面这个例子，还是刚刚那个例子，我们调整了图像变化的顺序，我们第一步由三 x 到三 x， 就是 把三 x 图像左右压缩，那同一个 y 值对应的 x 值变成了原来的一半。 那由 sine x 到三倍 sine x 就是 上下拉伸，就是同一个 x 对 应的 y 值变成了原来的三倍。 那由三倍 sine x 到三倍 sine x 加一，这里的 x 加一是等于二倍。括号 x 加二分之一， 所以要把三倍 sine 二 x 向左平移二分之一个单位。同学们看向左平移二分之一个单位， 我们刚刚先平移后压缩的时候，我们是先平移一个单位，再压缩一半， 所以实际上还是只平移了二分之一个单位。而现在我们先压缩最后一步平移，那我们只需要平移二分之一就行了，那最终的结果都是一样的。好，这样用图像解释是不是很直观？ 那此时我们用五点画图法的话，我们就是把 omega x 加 five 看成一个整体，再念这个整体等于三 x 五个特殊点的红坐标零二分之 pi pi， 二分之三 pi 二 pi， 然后解出 x 作为红坐标，那纵坐标还是三个零，以及最大值 a， 最小值负 a， 然后我们瞄点连线，画出一个最小重复片段的图像，然后再利用周期性进行拓展。 我们来总结一下 a 被 siing omega x 加 five， a 被 cosine omega x 加 five， a 被 tanning 的 omega x 加 five。 它们的性质。首先它们的最小正周期都是原来周期除以绝对值 omega， 那 对 tanning x 来说就是 pi 除以绝对值 omega omega 带个绝对值是保证最小正周期都是正的值。再看奇偶性，先看 sign， 当后面的 five 等于 kpi 的 时候， 那 abby sine omega x 加 five 用诱导公式化简之后，它要么等于 abby sine omega x， 要么等于负的 abby sine omega x， 反正都是跟 sine omega x 相关的，所以它是奇函数 啊。如果 f i 等于 k pi 加二分之 pi， 那 除了 k pi 之外多了一个二分之 pi， 那 在化简之后，三角函数名称需要改变，最后会化简成一个正负 a b cosine omega x， 那 就是偶函数。 那同理，对于 cosine， 当后面的 phi 是 k pi 的 时候，那 a 被 cosine omega x 加 phi 化简之后，就是等于 正负， a 被 cosine omega x， 反正都是跟 cosine omega x 相关的，所以它是偶函数。而如果 phi 等于 k pi 加二分之 pi， 那 除了 k pi 之外多了一个二分之 pi， 那化简之后，三角函数名称就要改变，最后会变成一个正负 a b sin omega x， 那 就是奇函数。 那对于 tangent x 来说，不管 five 等于 k pi 还是 five 等于 k pi 加二分之 pi， a b tangent omega x 加 pi 都是奇函数， 不可能是偶函数。再看单调性， a 大 于零， omega 大 于零的时候，我们将 omega x 加 five 看成一个整体，再利用 sine x， cosine x， tannein x 的 单调性进行求解， 那在 a 小 与零， omega 小 与零的时候，我们要注意此时单调区间会发生变化，那通常我们的处理方法是利用诱导公式把 a 小 与零， omega 小 与零转化成 a 大 于零， omega 大 于零这种情况进行求其， 那 a b sin omega x 加 five a b cosine omega x 加 five tan 的 定义域都是 r， 值域都是负绝对值 a 到绝对值 a。 而 a b tan 的 omega x 加 five， 它的定义域是 omega x 加 five， 这个整体不能等于二分之 pi 加 k pi， 它的值域是 r。 那对称性问题就是将 omega x 加 five 看作一个整体，然后利用 sine x， cosine x， tan x 的 对称性进行求解， 那总的思想就是将 omega x 加 five 看作一个整体，根据图像进行求解。 同学们尤其要注意这个单调性，这里的 a 小 于零， omega 小 于零的时候，我们一定要转化成 a 大 于零， omega 大 于零这种情况进行求结。 为什么？因为只有 a 大 于零， omega 大 于零，那 a 被 sine omega x 加 f i 和 a 被 sine x 才有相同的单调性，这是原理和本质。 好，接下来我们看例题。已知函数 f x 等于根号二倍 sin x 加四分之 pi 加 pi， 它是奇函数，则 pi 的 值可能是， 那我们就要将这个四分之 pi 加 pi 看作一个整体，这个整体只能等于 k pi， 因为只有这个整体等于 k pi， 那 f x 化简之后才有可能会等于正负根号二倍 sign x 此时才是奇函数。那如果这个整体是 k pi 加二分之 pi， 那 f x 化简之后就会变成 cosine 相关的了，就是偶函数了。那如果这个整体等于其他的，比如说等于三分之 pi， 那 f x 就是 非机非偶函数了。 好，那我们看四个选项， a 选项 pi 是 零，那这个四分之 pi 加 pi， 此时就等于四分之 pi， 那 此时 f x 是 非奇非偶函数， 那 b five 等于负四分之 pi， 那 此时四分之 pi 加 five 就 等于零，那此时 f x 就 等于根号二倍三 x， 它是奇函数。 那 c 选项 five 等于四分之 pi， 那 四分之 pi 加 five 就是 二分之 pi， 那 此时 f x 就是 根号二被 sine x 加二分之 pi， 那 它就等于根号二。被 cosine x， 那 它就是偶函数了。那如果 five 等于 pi 的 话， 那 f x 此时是等于根号二倍 sine x 加四分之 pi， 再加 pi 等于负根号二倍 sine x 加四分之 pi， 那 此时是非奇非偶函数。所以这道题答案选 b。 好，下一题求下列函数的单调递减区间。第一小题， f x 等于 sine， 括号 r x 减四分之 pi， 那 第一小题我们是将这个 r x 减四分之 pi 看成一个整体，然后我们来看一下 sine x 的 单调性。 我们选择零到二 pi 这个区间，那在 x 大 于等于二分之 pi 小 于等于二分之三 pi 的 时候，三 x 是 单调递减的。 也就是说，此时这个整体 r x 减四分之 pi 是 要小于等于二分之三 pi 大 于等于二分之 pi 的。 再加上一个周期， r k pi 加上 r k pi， 所以 r x 就 小于等于四分之七 pi 加 r k pi 大 于等于四分之三 pi 加 r k pi， 那 x 就 小于等于八分之七 pi 加 k pi 大 于等于八分之三 pi 加 k pi， 那 k 是 属于 z 的。 好。第二小题第二小题 cosine 里面是负二 x 加六分之 pi， 此时同学们要注意了，我们要把它转化成 a 大 于零， omega 大 于零这种情况进行求结， 因为只有 a 大 于零， omega 大 于零，这个时候 a 被 sine 加 five 和 a 被三 x 才有相同的单调性。 好，我们来看那 cosine 负二 x 加六分之 pi 有 个导公式，我知道它等于 cosine 二 x 减六分之 pi， 那 我再将二 x 减六分之 pi 看做一个整体，那我来看 cosine x 的 图像， 我们还是选择零到二 pi 这个区间，那在零到 pi 上， cos 是 单调递减的， 所以二 x 减六分之 pi 要小于等于 pi 加二 k pi 大 于等于二 k pi， 那我们就能解出来， x 小 于等于十二分之七 pi 加 k pi 大 于等于十二分之一 pi 加 k pi， k 是 属于 z 的。 再次提醒同学们，只有 a 大 于零， omega 大 于零的时候， a 被 sign omega x 加 five 才和 sign x 有 相同的单调性。 好，这一点特别重要。好，本节课内容就到此结束了，我们下节课再见。

三十秒带你秒杀一道单招考试三角函数题型来看这道提问，你求此三角函数的最大值！勤奋的你在草纸上像这样开始了变形，那我问你，绞尽脑汁转换为这种形式，你的对手是不是已经去大学报道了呢？ 今天我来教你用焚绝秒杀！遇到这样形式的三角函数，求最值问题，直接用辅助角公式，最值就等于正负根号下 a 方加 b 方代入数值得出为正负二，那么最大值就为二，你又学废了吗？记得点赞关注哦！

什么？你还不知道三角函数的神奇公式？今天旺仔用一个小时手把手教你学会正余弦平方差公式，从公式推导到高考解析应用，一网打尽！ 大家好，我已经加入抖音精选高考应用联盟，高考倒计时仅剩四十天，今天旺仔就从出题人的视角带你拆解三角函数公式的核心，也就是激化和差公式 与核差化学公式的联动应用，手把手教你学会正弦平衡差公式以及在三角函数中的应用。欢迎大家上抖音精选追更高考名师一百题！ hello， 大家好，今天呢，我们来分享一下正余弦平方差公式以及它在解析中的应用。什么是三角函数中的正余弦平方差公式呢？也就是下面我们所列出的这四组式子。 其实我们在初中呢学过这样一组式子，也就是 x 方减 y 方等于 x 加 y 乘以 x 减 y， 这是我们所熟知的平方差公式，对吧？ 下面我们所列举的这四组式子，比如说 sine alpha 平方减 sine beta 平方等于 sine alpha 加 beta 乘以 sine alpha 减 beta， 这两组式子是不是有一个结构上的相似性？ 是不是？所以我们给下面这几组式子也起了个名字，叫做郑于轩的平方差公式，便与同学们呢去对比记忆。 好，下面我们看一下这四组式子是如何推导出来的。在推导之前，我们需要回忆一下在三角函数中的一个拓展公式，也就是基化和差和和差化积公式，等会儿我们证明的话，需要用到 什么是基化和差公式呢？也就是把 sin alpha 乘 cosine beta 这种基式化成了和式 与差式的情况，与之对应呢，有和差化积公式，也就是把 sine alpha 加 sine beta 这种和式，或者说是 sine alpha 减 sine beta 这种差式 转化成积式的形式，就是我们说的和差化积公式。等会我们证明呢，主要利用这一个 cosine alpha 乘以 cosine beta， sin alpha 乘以 sin beta， sin alpha 加 sin beta， sin alpha 减 sin beta 这四组式子。 好在使用这几组式子之前，我们选一个式子去证明一下吧，对吧？比如我们选这个 sine alpha 乘以 sine beta 这组式子去证明一下，从代数的角度去证明，然后等会儿我们再推导的时候再去使用，大家就会容易接受。 sin alpha 乘以 sine beta， 这是一个基式，对吧？我们要让它与和式与差式产生联系。 首先我们要想，在三角函数的众多公式中，哪里出现了 sine alpha 乘以 sine beta 这个式子呢？ 是不是余弦的和差角公式呀？ 余弦的和角公式就是 cosine alpha 加 beta 就 等于 cosine alpha， cosine beta 减去 sine alpha， sine beta。 差角公式就是 cosine after 减 beta 等于 cosine after cosine beta 加上 sine after sine beta， 对 不对？ 那么另二十减一式就变成了二倍的 sine after sine beta， 就 等于这个 cosine alpha 减 beta 减去 cosine alpha 加 beta， 是 不是也就是说 sine alpha 乘以 sine beta 这样一个基数就变成了二分之一倍的 cosine alpha 减 beta 减去 cosine alpha 加 beta 这样一个差式。这样呢，我们的基式就与差式 产生了这样一个联系，也就是我们说的基化和差公式。好，下面我们推导一下与之相对应的和差化积公式，我们不妨进行一个换元令 c， 它等于什么呢？ alpha 加 beta， five 等于 alpha 减 beta。 现在 alpha 是 不等于二分之四，它加 five， beta 是 不等于二分之四，它减 five。 我 们回代刚刚这个推导出来的计划和差公式就变成了什么呢？这个 cosine phi 减 cosine theta 就 等于二倍的 sine， 二分之 theta 加 phi， sine 二分之 theta 减 phi， 对 吧？也就是 cosine theta 减 cosine phi 等于负二倍的 sine， 二分之 theta 加 phi， sine 二分之 theta 减 phi， 对 吧？ 这就是与刚刚我们推导出来的激化和差公式相对应的一组和差化积公式，其 余呢，还有几组。这个激化和差和差化积公式，大家可以自己按照郑于璇的这个和差角公式，先推导出来激化和差公式，再推导出对应的和差化积公式。这样呢，这组公式就变得易理解和记忆了。 好，下面我们看一下如何进行我们正余弦的平方差公式的推导。我们先看第一个和第二个式子，我们把它化成第一大类， 如何去证明呢？ sine alpha 平方减 sine beta 平方等于 sine alpha 加 beta， 乘以 sine alpha 减 beta。 在 具体的证明之前，我们知道对于三角恒等式的证明，我们有三种方法，第一种就是从左向右， 第二呢，就是从右向左，对吧？第三就是两这个左边和右边都行动向中间一种形式化，对不对？ 从左向右，就是说右边不动，去画左边，把左边画成和右边一样的形式，利用我们的三角的一些公式，对吧？右边也是一样，右从右向左，就是说右边这个左边不变，从右边开始画起，然后把右边画成左边的形式，这是我们三种证明方法， 下面呢我们尝试一下。首先尝试一下从左向右，那左边呢？就等于什么呢？ sin alpha 平方减 sine beta 的 平方。我们利用常规的平方差公式，也就是 sine alpha 加 sine beta 乘以 sine alpha 减 sine beta。 现在我们再利用这个和差化积公式，大家可以去看一眼，就是这两个式子，我们代入一下就变成了二倍的 sine 二分之 alpha 加 beta cosine 二分之 alpha 减 beta 再乘以二倍的 c 二分之 alpha 减 beta cosine 二分之 alpha 加 beta。 是 不是好？我们两两组合一下就变成了二倍的 c 二分之 alpha 加 beta cosine 二分之 alpha 加 beta 乘以二倍的 c 二分之 alpha 减 beta cosine alpha 二分之 alpha 减 beta。 到这呢，我们应该利用什么公式呀？是不是利用正弦的二倍角公式啊？去利用一下正弦的二倍角公式就变成了 sine alpha 加倍，再乘以 sine alpha 减倍，它是不是就等于这个这个右边的呀？对吧？这就是我们利用了什么呢？和差，换句公式去证明第二种，我们尝试一下这个从右向左行不行？ 从右向左，我们也直接利用这个。嗯，基化和差公式的话，就变成了我们刚刚推导出来的二分之一倍的什么呢？ cosine r beta 减 cosine r alpha， 是 吧？把这个角看成 a， 把这个角看成 b 的 话，对不对？就是利用我们刚刚推导出来的就是 sine a 乘以三 b 等于什么呢？二分之一倍的这个 cosine a 减 b 减去 cosine a 加 b 这样一组这个积化和差公式，它就变成了什么呢？ 它就变成了这个。我们再利用二倍角公式去展开二分之一倍的一减二倍的 same bit 的 平方，减一加二倍的 same after 的 平方就变成了 sin alpha 的 平方。减 sin beta 的 平方，是不是就等于这个左边了呀？这么说的第二种证明的方式，好，我们试试还有没有其他的方式，不妨我们试一下，直接利用这个 这个什么呢？正弦的和差角公式试一下， 也就是还是采用从向左的方式，右边等于 send alpha 加 beta 乘以 send alpha 减 beta。 你 直接利用这个，嗯，和差角公式就变成了 send alpha cosine beta 加上 cosine alpha， sine beta 再乘以 sine alpha， 这个 cosine beta 减去 cosine alpha， sine beta 也就等于 sine alpha 的 平方。 cosine beta 的 平方减去什么呢？ cosine alpha 的 平方， cosine beta 的 平方。 我们不妨把这个 cosine beta 的 平方去画一下，利用同角三角函数的基本关系式，就变成了 sine after 平方，乘以一减这个 same beta 的 平方，再减去 cosine after 的 平方， same beta 的 平方， 然后就变成了 same after 的 平方。把这个 same beta 的 平方提出来，减去 same beta 的 平方，乘以什么呢？ same after 的 平方加上 cosine after 的 平方， 这是不是我们说的这个同角三角函数的基本关系式啊？它是等于一的，也就是这个式子变成了 sine alpha 平方，减去 sine beta 的 平方，是不是等于左边的呀？ 这样我们就证明出来了。第一组式子，这个 sine alpha 平方减 sine beta 平方乘以 sine， 等于 sine alpha 加 beta 乘以 sine alpha 减 beta。 我 们利用三种方法，对吧？前两种呢是基于这个我们说的和差法及几何和差公式去变形，最后呢， 我们也可以直接利用正弦的和差角公式去推导，当然了前两种是比较简单比较容易的， 这个最后我们选择用这个正弦的和差角公式去推导的话，会比较麻烦，因为什么呢？因为这个激化和差和和差化器公式本身就是我们这个正余弦这个和差角公式的一种变形，对吧？ 好，我们看一下第二组式子，其实第二组式子是与第一组式子有联系的，我们首先看一下第一组式子的左边，我们再次利用同角三角形的基本关系式的话， sin alpha 的 平方 减去 sin beta 的 平方减去一减 cosine beta 的 平方， 是不是就等于这个 cos and beta 的 平方减去 cos and after 平方，也就说等于负的 cos and after 平方减去 cos and beta 的 平方吧，我们转化一下形式就是便于记忆，也就是说是吧， cosine alpha 平方减 cosine beta 平方是不是等于负的 sine alpha 加 beta 乘以 sine alpha 减 beta， 就 利用同角三角函数的基本关系去推导出来，去根据第一个式子去推导第二个式子， 这是我们说的这个前两组正弦的平方差公式，下面我们看一下后两组平方差公式， 这个该如何去推导呢？我们看一下这个形式如果从左到右的话，其实是不太好推导，因为从左到右我们没有这种这个那个什么和差公式，那我们不妨从右向左右 边，就等于我们直接利用这个积化和差公式的话，就变成了二分之一倍的什么呢？ cosine r 加 cosine r beta， 然后我们再利用这个二倍角公式去进行展开，因为出现了 cosine r 的 平方和 sine beta 的 平方，那么一个化成余弦，一个化成正弦 alpha， 一 倍的什么呢？二倍的 cosine r 的 平方减一，再加上一减 r 倍的 sine beta 的 平方，就等于是不是 cosine alpha 的 平方减 sine beta 的 平方是不是就等于左边了？这就是我们证明出来了，对吧？好，这是第一种方式，第二种方式我们也可以直接利用这个余弦的这个和差角公式。 cosine alpha 加 beta 乘以什么呢？ cosine alpha 减 beta 就 等于 cosine alpha， cosine beta 减去 cosine alpha， sine beta 再乘上 cosine alpha， cosine beta 加上 sine alpha， sine beta 就 等于 cosine alpha 的 平方 cosine beta 的 平方减去 sine alpha 的 平方。 sine beta 的 平方。 与刚刚一样，我们再次利用这个同角三角函数的基本关系式，把 cosine beta 的 平方去换下来。 cosine after 平方一减乘以一减 sine beta 平方，再减去 sine after 平方。 sine beta 平方就等于什么呢？这个 cosine after 平方减去，把这个 sine beta 平方提出来 cosine after 平方加上 sine after 平方，这是不是等于一啊，对吧？就等于 cosine after 平方减去 sine beta 平方，是不是就等于左边了， 对不对？这是我们利用这个余弦的和差角公式去直接展开，再证明好，这是我们说的第三组式。那第四组式是不是也容易理解，因为它与第三组式的有联系， 我们不妨看一下第三组式的左边，左边我们画一下就变成了一减这个 sin after 平方减去一减 cosine beta 平方，是不是就等于负的 sin after 平方减去 cosine beta 平方等于什么呢？等于 cosine after 加 beta， 再乘以什么呢？ 再乘以 cosine， 再乘以 cosine alpha 减 beta， 对 吧？所以说 sine alpha 的 平方减去 cosine beta 的 平方就等于负的 cosine alpha 加 beta， cosine alpha 减 beta 就是 还是利用我们这个同角三角函数的基本关系去证明就可以了。发现第三组式子和第四组式的这样一个联系，大家自己可以再看一下，这是我们四组公式的推导过程。 好，下面我们看一下这些式子具体应用。首先我们先看三道求值小题， 第一题，它让我们求这个式子积，其实这个式子 是非常好求的，因为十五度，七十五度，其实也是这个什么呢？也是特殊角度，大家自己可以运算一下记出来，对吧？嗯，或者说这个，嗯，还有其他的方法。但是今天呢，我们讲的是这个正义选平方差公式，我们要利用这个公式去解决。 首先把这个三十三十度计算出来，就是二分之一倍的三十五度，三乘以三七十五度，现在其实我们可以直接利用计划和差公式，对吧？但是我们不采用这种方式，我们看一下 其实十五是不十五度，是不是可以看成什么呢？这个四十五度减三十度呀，七十五度呢？是不是可以看成四十五度加三十度呀？对吧？这样呢，我们就找到一组平方差吧，对吧？就变成了二分之一倍的三 四十五度减三十度，三四十五度加三十度，是不是也就是三 in alpha 减 beta， 三 in alpha 加 beta 是 不是等于二分之一倍的 三四十五度的平方减去三三十度的平方呀？是不是等于二分之一倍的二分之一，减四分之一 就等于八分之一，对吧？这样呢，我们就是利用了我们今天所学的平方差公式，第二度 是三二十度乘以 cosine 七十度，加 cosine 五十度乘以 cosine 十度。首先呢，一般在三角函数的一些求值题中，我们可能要注意的一个思想就是要统一 统一角，统一函数的名字，对不对？现在呢，第二个式子，有正弦，有余弦，我们不妨都把它统一为正弦试一下。 这个第二个式子就变成了 sin 二十度平方加上 sin 四十度，乘以什么呢？ sin 八十度。好，我们看一下 这个四十度，八十度，四十度是不等于六十度减二十度呀？八十度是不等于六十度加二十度呀？是不是又找到了一组可以利用的这样一个式子，换一下形式，就变成了 sin 二十度的平方，加上 sin 六十度减二十度乘以 sin 六十度加二十度，对吧？就变成了 sin 二十度的平方加上三英六十度的平方，减去三英二十度的平方。这就利用了我们所学的这个正弦的平方它公式这个是不是就消掉了，就变成了三英六十度的平方，是不是等于 四分之三呀？对吧？这是第二个求值式子，第三个式子就变成了 cosine 十二分之 pi 减 cosine 十二分之五 pi， 这要利用我们哪个公式呢？是不是第二个式子呀？ cosine alpha 平方减去 cosine beta 的 平方是等于什么呢？等于负的 sine alpha 加 beta， sine alpha 减倍它的，对吧？也就等于这个负的 sin 二分 pi 乘以什么呢？ sin 负三分之 pi， 是 吧？就等于这个把符号提出来，就等于这个 二分之根号三，对不对？这就是我们利用这个平方差公式去求值的这样一些应用， 下面我们看一下求这个函数的最小正周期， 一般呢，我们要求这种形式的最小正周期，是不是通过一些三角公式把它化成我们最简单的什么呢？ sin 什么什么 x， 对 吧？ cosine 什么什么 x， 然后贪婪它什么什么 x 呀？然后再利用我们求最小正周期的公式去求它的这个正周期就可以了，对吧？ 那今天我们看到这样一种形式出现了，这个平方是不是想要我们利用我们的这个正余弦的平方差公式啊？我们看一下 cosine x 减十二分之 pi 的 平方减一， 利用同角三角函数的基本关系式，它是等于什么呢？ 它是不是等于负的 sine x 减十二分之 pi 的 平方呀？对吧？那这个函数就变成了 y， 等于 sine x 加十二分之 pi 减去 sine x 减十二分之 pi， 是 不是出现了这个 sin alpha 的 平方减 sin beta 的 平方，这样的形式等于什么呢？ sin alpha 加 beta 乘以 sin alpha 减 beta 正选平方差公式就等于什么呢？就等于 sin 二 x， 再乘以什么呢？再乘以这个三六分之派是不是等于二分之一倍的三二 x 呀？它的最小正周期 t 是 不是等于派呀？那这样我们就利用正弦的平方加公式去这个 快速的解决了这样一道求最小正周期的题目，对吧？当然这是第一个方式，第二个方式我们可以用这个二倍角的将面公式，对吧？ 也就是 sine x 加十二分之 pi 的 平方，它等于什么呢？二分之一一减 cosine 二 x 加六分之 pi， 对 吧？然后什么呢？ cosine x 减十二分之派的平方就等于什么呢？二分之一加 cosine 二 x 减六分之派，对吧？然后你再用什么这个这个这个什么呢？一些这个 二倍角公式去展开，用这个和差角公式去展开就可以了，应该就可以了，大家自己可以尝试一下。当然利用第一种平方差公式应该是比较快的，因为这算一个二级结论，是吧？ 好，下面我们继续看这样一道问题，问题说什么呢？三角形 a、 b、 c 中， c 方等于 a 方加 b 方加 ab， 让我们求这个 c 方分之 a 方减 b 方的曲值范围，对吧？ 一般在三角形中，我们是不是要运用到解三角形中的这个正余弦定律啊？ 好，那我们看一下条件是这个式子，对吧？让我们求它的取值范围。 那根据条件，你应该选用正弦定力还是余弦定力呢？ 出现了 c 方， a 方加 b 方和 ab， 是 不是我们应该选用余弦定律？余弦定律有这个式子是吧？ c 方等于什么呢？ a 方加 b 方减二 ab， cosin c， 或者说 cosin c 是 等于什么呢？二 ab 分 之什么呢？ a 方加 b 方减 c 方，那利用条件它是不是等于负二分之一啊？对吧？ 也就是说 c 是 等于什么呢？三分之二派的对不对？ c 等于三分之二派，这是我们根据条件得出来的，让我们求什么呢？ c 方分之， a 方减 b 方的取之范围。 我们利用正弦定力的话，因为它上下都有这个平方，你可以试一下，尝试运用正弦定力把边画角， 因为在这个介三角形中，边角互换是我们常用的接法，一般求取值范围呢，我们都把边画成角，因为边呢，它的范围不好，这个不好规定，但是角的范围呢，是不是比较好找一点？它就变成 sin c 的 平方，分之 sin a 的 平方减 sin b 的 平方。下面我们是不是可以利用我们刚刚说的平方差公式来 正弦平方差公式就变成了 sin c 的 平方，上边是 sin a 加 b 乘以什么呢？ sin a 减 b 是 不是又因为在三角形中， 在三角形中 a 加 b 加 c 是 不是等于 pi 啊？所以说这个 a 加 b 是 不是等于 pi 减 c 啊？所以 sin a 加 b 是 不是就等于 sin c 啊？也就是这个式子就变成了 sin c 分 之二 pi 的， 也就说根号三分之二倍的 sin a 减 b 吧，最后我们化成了这个式子。然后呢，又因为这个 c 是 等于三分之二 pi 的， 所以说 a 加 b 是 什么呢？ a 加 b 是 不是等于三分之 pi 呀？然后 ab a 的 范围是不是大于零，小于三分之 pi？ 我 们把 a 减 b 统一成 a 的 话，就变成了 根号三分之二 sin 这个什么呢？二 a 减三分之派，对吧？因为 b 等于三分之派减 a， 然后 a 的 范围是大于零，小于三分之派。二 a 减三分之派，我们也可以看一下它的范围 是不是大于负三分之派，小于三分之派呀，那 sin 二 a 减三分之派是不是也有一个范围啊？利用正弦的这个单调性和图像，它是大于负二分之根号三，小于二分之根号三的，所以说这个式的 根号三分之二倍的三阴二 a 减三分之派是不是就大于负一啊？小于一啊，对吧？所以说这个的取值范围就是负一到一。 其实这道题并不难，关键是这个利用什么呢？利用我们介绍的一个正弦的平方差公式，就是在如果在三角形中有这样的式子， c 方分之 a 方减 b 方的话，它是不是直接可以等于什么呢？ sin c 分 之 sin a 减 b 啊，其实这也是我们的一个正弦平方差公式的一个推论，对吧？ 然后再利用这个角的范围去解题就可以了。这是我们将利用这个正弦的平方差公式的应用的一道小题，大家自己可以再看一下啊。我们接着看一道题， 好，我们看一下， 然后看一下条件吧，条件说在锐角三角形 a、 b、 c 中，对吧？然后有 b 方减 a 方等于 a、 c， 让我们求这个式的取值范围， 其实主要条件有哪几个呢？主要条件有这个锐角三角形 a、 b、 c， 这是第一个条件，然后有这个等式成立，这是我们的第二个条件。然后这个让我们求弹针的 a 分 之一减弹针的 b 分 之一的取值范围，是吧？ 主要的条件其实是第二个等式。那第一个条件应该我们说在三角函数中一些角的范围，我们要缩小第二个，这个第一个条件主要是利用缩小，利用它来缩小这个角的范围，我们想应该是这样，是不是？ 好，我们着重看一下第二个条件， b 方减 a 方等于 a c， 而且又是在三角形中，是不是我们有正弦定力啊？ 现在我们就要选择了，因为没有出现 c 方，对吧？没有出现 c 方，是不是？我们可以试一下正确定义，把边画角就变成了 sin a 的 平方， sin b 的 平方 减 sin a 的 平方等于什么呢？ sin a 乘以 sin c 啊？哎，左边是不是我们可以利用平方差公式来，比如说， sin b 减 a 乘以三 a 加 a， 是 不是等于三 a 乘以三 a c 啊？三 b 加 a 是 不是就是三 a c 啊？也就是三 a b 减 a 等于什么呢？等于三 a 对 不对？三 a b 减 a 等于三 a， 是 吧？也就是说有两种可能了， 一是 b 减 a 等于，二是 b 减 a 等于什么？ pi 减 a， 对 吧？这是第一种可能，这是第二种可能，因为 b 减 a 等于 pi 减 a 的 话， b 就 等于 pi 了，它又在三角形中，所以说第二种不可能，所以说是不是 角 b 是 不是等于二倍的角 a 啊？对吧？这是由我们的第一个，这个就是第二个条件，这样一个等式推导出来的这样一个等价关系，对吧？角 b 等于二倍的角 a， 是 不是？ 所以说我们最后的这个目标，弹性的 a 分 之一，减弹性的 b 分 之一，是不是就变成了一个角，是吧？只有一个变量角 a 了，对不对？然后我们再看一下这个第一个条件，有时在锐角三角形 abc 中，其实这个条件是不是在缩小这个 a 的 范围啊？好，我们看一下。 首先锐角三角形 a 的 范围是不是大？零小于二分之派。另外呢，另外，是不是说这个 角 a 加加角 b 啊，是不是要大于二分之派啊？是吧？两个锐角相加，应该是大于这个二分之派的，是不是就是在锐角三角形中啊？ 也就是说，三 a 三倍的角 a 是 不是大于二分之 pi 呀？角 a 是 不是要大于六分之 pi 呀？对不对？ 另外呢，是不是 b 是 等于二倍的角 a 呀？ b 是 不是也大于零，小于二分之 pi 呀？所以二 a 是 不是大于零，小于 二分之派呀？是吧？ a 大 于零，小于四分之派。也就是推通过这样一组式子， 通过第一个条件得到这样一组式子， a 大 于零，小于二分之派，二 a 大 于零，小于二分之派 a 加 b， 因为它是锐角三角形，是必须要大于二分派，而且要小于派的，是吧？ 那么 a 的 范围就出来了， a 是 不是属于这个四分？这个什么呢？这个六分派到四分派之间呀？那我们最后看一下，我们要求的目标是， 弹正的 a 分 之一减弹正的 b 分 之一，就等于什么呢？就等于 弹正的 a 分 之一减弹正它二 a 分 之一，你再利用二倍角展开的话，它就变成了这个弹正的 a 分 之一， 再减去这个二倍的弹正 a， 一 减弹正 a 的 平方吧，对吧？也就是变成了什么呢？这个这个 二倍的弹性的 a 上边就变成了这个一加弹性的 a 方。好，我们列一下，它就变成了， 把二分之一提出来的话，就变成了这个弹性的 a， 再加弹性的 a 分 之一，是吧？然后 a 如果属于六分之派到四分之派的话， 弹性的 a 是 不是就属于什么呢？就属于三分之根号三到一之间了。现在我们是不是可以利用这个基本不等式了呀？ 或者说可以利用这个什么呢？对勾函数，也可以应该是利用对勾函数，因为，嗯，利用对勾函数吧，行吧， 什么时候取最值呢？弹针的 a 方等于一对吧？ a 是 等于什么呢？ a 是 等于这弹针的 a 是 等于一的时候，它是取这个最小值，对吧？也就是一。 呃，然后呢，在左边界三分之根号三的时候，是不是取最大值呀？把三分之根号三带入进去，也就是等于什么呢？带入进去的话，这是三分之弹性的 a 是 三分之根号三，弹性的 a 分 之一是根号三，也就是三分之四倍的根号三 乘以二分之一，是不是等于三分之二百的刚好三？所以说这个式子整体的范围是不是它是大于一，小于三分之二百的刚好三的，对吧？可以参考一下对勾函数的范围是不是？所以说最后它的范围是 弹性的 a 分 之一减弹性的 b 分 之一需要大一小于三分之二倍的钢号三。这样呢，我们就求出来了。 好，我们回顾一下这道问题。这道问题首先给了两个条件，锐角三角形和这个等式，我们利用这个等式呢，求出来了角 a 与角 b 的 关系。 在这个等式中，我们利用了这个，首先利用了正弦定力将边化角，然后呢，我们利用了我们说的这个平方差公式，因为我们直接用平方差公式的话， 可以直接将条件化简，得到 b 等于二 a， 是 吧？然后，然后利用这个条件 e 去缩小 a 的 范围， 再把 b 等于二 a 这个关系式带入到我们最后的目标式中，再利用这个不等式的或者说对勾函数的一些知识去求这个这个范围。 大家自己可以再看一下我们的这个正弦的平方乘公式，主要利用了，主要在这个条件的化解中运用了。 这是这道小题，下面接着看一道问题，问题说，在三角形 a、 b、 c 中 有这样一组关系式，让我们求这个弹性的 b 减 a， 这个三角函数取得最大值时角 a 的 值是多少？好，我们首先来分析一下， 其实三角形也是一个条件，对吧？这也是一个条件，最重要的条件是不是这个等式呀？然后目标是什么？目标是是我们这个弹性的 b 减 a， 它取得最大值时角 a 的 值是多少？ 首先我们是不是应该从这个等式着手呀？因为这个等式是最重要的条件。我们看一下二 b 方等于二 a 方 加 c 方，是吧？出现了什么呢？ a 方 b 方 c 方，但没有出现 a、 c、 ab 和 bc 这种式子，是不是我们可以选用这个正弦定力？ 选用正弦定力 将我们的边画角 就变成了二倍的 sin b 的 平方，等于二倍的 sin a 的 平方，加上 sin c 的 平方，对不对？ 好，把这个 sin a 的 平方移到左边的话，是不是我们就可以利用我们说的这个平方差公式了呀？也就是二倍的 sin b 的 平方减 sin a 的 平方等于 sin c 的 平方。你再利用平方加公式，也就是二倍的 sin b 减 a， 乘以 sin b 加 a 等于 sin c 的 平方，也就是 这个 sin b 加 a。 我 们刚刚推导了一下，这是不是在三角形中，它就是 sin c 啊？有二倍的 sin b 减 a 等于 sin c 吧，这样一组关系式，是不是 这个？另外呢， sin sin c 是 不是就是等于 sin b 加 a 啊？你再画一下， 也就是等于二倍的 c b 减 a 是 等于 c b 加 a 的。 其实到这步呢，也用到了我们三角函数中的一个统一的思想，把这个角化成统一的角，然后我们直接利用一下这个正弦的和差角公式，把这个展开的话，因为 现在这组式子是得到得不出来什么关系式的，是吧？我们再次利用正弦的和差角公式，把它展开，就变成了二倍的 sin b。 cosine a 减去 cosine b， cosine a 就 等于 cosine b， cosine a 加上 cosine b 乘以 cosine a， 是吧？我们两边画一下，就变成了 sine b， cosine a 等于三倍的 cosine b。 sine a， 也就是什么把 cosine b 除出除过来的话，就变成了弹性的 b 等于三倍的弹性 a， 是 不是，对吧？也就是由我们第二个等式，我们得到了这样一个关系式，弹性的 b 等于三倍的弹性的 a， 然后我们的目标式是弹性的 b 减 a， 对 吧？我们可以利用这个正切的这个差角公式，将它展开，就变成了 弹性的 b 减，弹性的 a 比上一减一加上弹性的 b 乘以弹性的 a， 是 吧？ 好，我们把它俩的关系代入进去，也就是上边这个变成了二倍的弹性的 a， 下边是一加三倍的弹性的平方。 好，这就利用到我们一个这个求这个值域的一些方法，对不对？求值域的一些方法，把这个弹性大 a 是 不是要除下来呀？ 二，比上什么呢？这个弹性大 a 分 之一，再加上三倍的弹性大 a， 然后对于分母，我们是不是可以利用这个基本不等式了呀？对吧？试一下，把分母摘出来，就变成了 弹性的 a 分 之一加三倍的弹性的 a， 它要求什么呢？它取得最大值，是不是分母要取得最小，整体是不是就取得最大了？它的最大也就是使得分母最小。 sum， 我 们利用一下基本不等式，看一下如何处理它是不是大于等于什么呢？这个二倍的根号三呀，是不是？所以说这个整体 弹性的 a 分 之一加三倍的弹性的 a 分 之二是不是小于等于二倍的刚好三分之二呀，是吧？这个也就是三分之刚好三。 什么时候取等呢？我们看取等条件能不能达到取等，是不是？这个我们是对这个式子利用的基本不等式，取等的话是不是什么呢？写一下，也就是这个 弹正的 a 分 之一等于三倍的弹正的 a 啊，就是弹正的 a 是 等于什么呢？ 正负三分之二三的，又因为什么呢？弹正的 b 是 等于三倍的弹正 a 的， 所以说如果弹正的 a 是 负值的话，这个 a 就是 一个钝角了，那弹正的 b 也是一个负值，所以说这个三角形中就出现两个钝角了，所以说 a 只能是一个正值，对不对？ 所以说它的 a 是 等于三分之根号三的，对吧？这时候 a 是 多少度呢？ a 是 不是等于这个六分之 pi 啊，对吧？ a 是 等于六分之 pi， 这样呢，这道题目就顺利解决了， 其实在三角形中，他给的这个条件是帮助我们限定角的范围，再加上这个关系式也限定了 a 的 范围，这是这道题， 这道题我们回顾一下，首先我们依据这个等式推出来了这个关系式，对吧？在推出关系式的过程中，我们用到了正弦的平方差公式去进一步去简化我们这个过程的推导， 是吧？要不然的话，我们可能推导出来最后的关系式的话，可能还要大费一番周折，是不是？ 然后呢，我们这个把这个关系式带入我们的目标式中，把这个 就变成了这个我们求函数值域的这样一个式子，然后我们再利用我们的基本不等式啊去求解这样一个式子，当这个式子取得最大值的时候，角 a 的 角度 大家自己可以再看一下，我们在这个正弦平方差公式的应用，主要是体现在这个式子的化解整理上。好，最后呢，我们看一道二零二二的真题， 首先我们分析一下，知道题目的条件，首先是三角形，对吧？另外是什么呢？有这样一个这个三角函数的等式，让我们第一题让我们证明这个式子， 首先这个式子是角的关系式，然后这个式子是什么呢？边的关系式，对吧？ 可能我们是需要运用这个正弦定律，对不对？我们看一下，其实啊，这个 这个我们直接看这个，这个什么呢？这个答案的话，其实他是不是要证明什么呢？写一下是不是二倍的 sin a 的 平方等于 sin b 的 平方加这个 sin c 的 平方呀，移一下是不是就是 sin a 的 平方减 sin b 的 平方 等于什么呢？ sin c 的 平方减 sin a 的 平方呀？是不是我们可以利用这个平方差公式，也就是 sin a 加 b， sin a 减 b 等于 sin c 减 a， sin c 加 a， 在 三角形中， sin a 加 b， 是 不是就是 sin c 啊？ sin c 加 a 是 不是就是 sin b 啊？对吧？其实这是不是就是我们给的这个这样一个条件中的关系式啊？ 如果我们直接就知道这个这样一个条件中的关系式啊，如果我们直接就知道，非常简单，非常容易就做出来了， 但是在考场上我们可能不知道，对吧？这是我们以结果导向看的，就是我们知道，知，知道这个正余弦的平方差公式之后，我们再回过来看这道题，是如此的简单， 但是如果你在考场上没有接触过郑宇轩平方差公式的话，那应该怎么做呀？是不是由这个条件，我们看能不能推出这个结果呀？好，我们看一下这个条件，条件，画一下这个是不是就变成了 画一条线，这个就变成了 sin， 我 们利用 sin c 等于 sin a 加 b 的 话，就变成 sin a 加 b， sin a 减 b 等于什么呢？ sin c 加 a， 三 c 减 a 啊，我们要由这样一个式子呃，得出来这个边的关系，是不是我们只能采用什么呢？这个你可以采用这个什么呢？ 正余弦的和差角公式，主要是正弦的和差角公式了，你看一下啊，其实就是把我们推导的过程再写一遍吧，对吧？ 你写一写。因为在考场上用这个计划和差公式的话，其实不太合适。嗯，用这个，这个什么呢？嗯，和差点公式吧，就变成了 sin a， cosine b， 加上 cosine a， sin b， sin a， cosine b， 减去 cosine a， cosine b， 这是左边，是吧？右边就变成了这个什么呢？ sin c， cosine a， 这个减去加上 cosine c， sin a， 再乘上什么呢？ 再乘上这个，这个 sin c， cosine a， 减去 cosine c， sine a， 对 吧？左边就变成了这个 sine a 的 平方， cosine b 的 平方减去 cosine a 的 平方， sine b 的 平方 就等于什么呢？ sin c 的 平方 cos and a 的 平方，再减去 cos and c 的 平方， sin a 的 平方，对吧？我们利用我们在推导过程中用到的同角三角函数的应用关系式，把这个换一下，就变成了 sin a 的 平方， 再减去什么呢？把这个 sin b 的 平方提出来，再乘以什么呢？ cosine a 的 平方加 cosine a 的 平方吧，对吧？右边就变成了 cosine c 的 平方，减去什么呢？ cosine a 的 平方， 这个 cosine c 的 平方加 cosine c 的 平方， 对吧？这是不是左边？这是不是都是一啊，对吧？最后画出来关系式，是不是三 a 的 平方减三 b 的 平方 等于什么？三 c 的 平方减三 a 的 平方。然后我们再利用这个正弦公式，正弦定理去角化边，就变成了 a 方减 b 方等于 c 方减 a 方，是不是就是二 a 方等于 b 方加 c 方呀？ 这样一个式子，对吧？所以说我们介绍正弦平方差公式，在这种大题的证明中，可能就是说不能直接用，但是呢？但是是什么呢？但是就是说我们熟悉这个推导过程之后， 是能够推导出来这样的关系式的，对吧？我们从结果导向来看，我们熟悉这样一组公式对我们是有用的，或者说如果你不熟悉这样一组公式的话，在考场上可能就有点困难，对不对？好， 这是第一小问，我们证明出来了，也就是二、 a 方等于 b 方加 c 方，这是第一小问，我们看一下第二问，第二问呢？说 a 等于五， cosa 等于三十一分之二五，让我们求三角形 abc 的 周长，也就是要求什么呢？ a 加 b 加 c， 是 不是？ 这是我们要求的目标是 a 的 值，其实已经给出来了， a 是 等于五，对吧？其实是让我们求 b 加 c 的 这个值，对不对？ 好，我们看一下第一小题，我们证明出来的这个结论是不是可以当我们第二小题的条件？所以说第一小题有这个关系式。二、 a 方等于 b 方加 c 方， a 在 三角形中，是不是我们还有余弦定律啊？也就是有这样一组关系式， a 方等于什么呢？ b 方加 c 方减二 b， c 扣三 a， 对 吧？ a 我 们是知道的，现在是吧， cosa 也知道了，只有这个 b 和 c 两个未知数了，两个方程，两个未知数，我们是一定能求出来 b 和 c 的 值的，也就是说，是吧，就是两个这个关系式，两个约束式，有两个未知数，我们一定能求出来这两个未知数的值，我们代入一下吧，对吧？ 首先这个代入第一个条件，这个也就是 b 方加 c 方等于谁呢？等于五十，第二个条件你代入其他，也就二五，等于什么呢？ b 方加 c 方减二 b、 c 再乘以什么呢？ 三十一分之二十五，对吧？ b 方加 c 方等于五十，把第一个关系式代入进去，也就是二 b、 c 乘以三十一分之二十五，等于谁呢？等于二十五。二 b、 c 是 不是等于三十一啊？好，由这两个关系式我们得到了下面这两组式子， 第一组式的就是 b 方加 c 方等于五十，第二组式的是不是二 b、 c 等于三十一啊？ 哎，我们要求什么？ b 加 c 的 值， b 加 c 是 不是和这两组式子有关系啊？就是 b 加 c 的 平方等于什么呢？等于 b 方加 c 方加二 b、 c 吧，是不是等于八十一啊？ b 加 c 是 不是就求出来了？是等于九的，所以说它的周长是不是等于 一加 b 加 c 是 等于五加九等于十四的，对吧？第二小题并不难，主要是要证明出来，第一小题，把第一小题的这个结论当成第二小题的这个条件，然后 再由这个在三角形中得到我们的这个余弦定律，由这两个关系式或者说是约束式得到这个 b 加 c 的 值就可以了。 关键还在于我们要证明第一小题，证明第一小题，可能你在考场上看到这个式子，其实你直接就是把它这个用和差点公式撑开的话，是比较困难的，但是你如果你熟悉了这个什么呢？我们正余弦乒乓差公式的推导过程 是非常容易把它做出来的。好，这就是我们这节课讲的这个三角函数中正余弦平方差公式以及它在解题中的应用。主要有这样四组式的， 我们主要讲了这个它的推导过程，它的一些这个在具体题目中，比如说求值呀， 在求这个三角变形，以及在大体中这个，嗯，给出条件，然后我们再推导这个条件最终的这个关系式中的应用。大家。

我发现一个很实用的公式，就是两个角加起来，它的贪婪值等于这一串。 呃，角阿尔法和角贝塔加起来，它的贪婪值等于贪婪阿尔法加上贪婪贝塔除以一减上贪婪阿尔法乘以贪婪贝塔。这个过程如下，做一个矩形， 这个角等于 r 法这九十度，这九十度这是贝塔，这个角设这个为一，然后我们可以求出来。呃，可以设出来这个这个边，这条边，它等于三 r 法这条边就等于 cosine 法。 然后就同样的方法可以证明出来，这个是 cosine 法乘以三贝塔，这边是 cosine 法乘以 cosine 贝塔。然后因为三角值吧，就是相似，所以说 这条边知道这条边，这两边也求出来，然后一减，我们可以求出来这个贪婪的阿尔法加贝塔的和，就等于等于 等于这条边除以这条边就等于这个萨尔法加扣萨贝塔加上扣萨尔法 乘以三倍，它除以这个，这个减去这个，然后用英文我们可以求出，我们知道这个贪婪拿法等于塞拿法除以 cosine 拿法带进去，咱们同时除以一个 cosine 拿法。 呃，抠蛋 alpha 乘以抠蛋贝塔，然后我们可以化简得出这个式子，这个式子我觉得非常实用，可以在那个考试的时候，或者是快速计算的时候用到，然后同理我们可以求出来贪婪阿尔法减贝塔，贪婪的阿尔法减贝塔 等于这个刚好跟它相反啊，我也不知道是不是巧合， 总之这两个公式我觉得考试时候可以用上。

如果逻辑已经跑通，现在考考你。求证。切，三十都是分子分母跟好里分别添加。

变换，先看这个哈数， y 等于三 e x， 画出图来就是这个样子。接下来再用五点法来画画 y 等于三 e 二 x 和 y 等于三 e 二分之一 x 图像。 先画 y 等于散引二 x。 用五点法画，咱得先列个表，分别找到当二 x 等于零二分之派、派二分之三派和二拍时所对应的 x 值和对应的散引二 x 值。把这个表列全了，咱把这些点描在图上，这样也就得到了散引二 x 的 图像。 画好了， y 等于散引二 x 图像，咱再来画画 y 等于散引二分之一砍死的图像。和刚才一样，咱先把表给列出来，分别找到当二分之一砍死等于零二分之派、派二分之三派二拍时所对应的 s 值是多少，对应的散引二 x 是 多少 列。除了这个表，咱还是把这些点标在图上，这样也就得到了散引二分之一砍死的图像。接下来咱仔细分析一下，看看这三个图像之间有啥关系。 现看 sin x 和 sin 二 x， 你 看 sin x 的 周期是二派， sin x 周期是派，判定为 x 前面乘个二周期变成了原来的一半。 因此，函数 y 等于 sin x 图像，可以看作是由 y 等于 sin x 变化而来。所以，要通过 sin x 得到 sin x 图像，只要把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的二分之一组成。 弄明白了这俩函数之间的关系，咱再来看看散以 x 和散以二分之一 x 之间是咋变化的，还是先分析周期一看，散以 x 周期是二排，散以二分之一 x 周期是四排，发觉没 x 前面成了二分之一，周期反而变成原来的两倍。 因此，函数 y 等于散以二分之一 x， 图像可以看作是由 y 等于散以 x 图像变化而来。 所以要通过三 e x 得到三 e 二分之一 x 的 图像，就把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的二倍就行。 看了这些个函数，找到啥规律没？一般的对于三 e 欧米大 x， 你 都可以把它的图像看作是由三 e x 变换而来。 x 前面乘了几，你就把图像上所有点的横坐标变为原来的几分之一，纵坐标不用变了，刚才是在 x 前面乘以一个数，你已经知道图像是怎么变化的了。那如果我在整个式子前面乘以一个数，你知道图像是咋变的吗？ 咱还是用 by 等于塞牙子来分析。当 x 等于零二分之派派二分之三派二派时，所对应的塞牙 x 分 别是零一零负一零。 如果在这前面乘以二，那这里的值就会变成零二零负二零。把这表中的点再画到图上，就是这些点，把这些点连起来，这个图就是二倍的三 e x 的 图像了。 仔细看一下三 e x 和二倍三 e x 的 图像，法举梅就是把这个图往上拉伸了一下，看来要通过三 e x 得到二倍三 e x 的 图像，你只要让图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变成原来的二倍就成。 所以从三 e x 到 a 倍的三 e x， 你 也是把图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 a 倍。 好了，图像的伸缩变换我就讲到这里。曾接下，对于散乙 x， 如果 x 前面乘以欧米伽，那就是把所有点的腾坐标变为原来的欧米伽分之一图像是横着拉伸或者压缩。 如果在 x 前面乘以 a， 那 就是把所有点的纵坐标变为原来的 a 倍图像竖着拉伸或者压缩。

已知函数 y 等于 sine 六分之八加二 x 减 cosine 二 x。 第一问，求最小正周期。首先它有加减法，划到同一个式子里就最小正周期了啊。这是 sine alpha 加 beta 的 形式啊。有一个公式， sine alpha 加 beta 就 等于 sine alpha cosine 贝塔加 cosine 阿尔法塞贝塔啊，这一公式，所以这是阿尔法的位置这是贝塔的位置啊。第一问，所以 y 等于塞阿尔法 cosine 贝塔加上 cosine 阿尔法塞贝塔啊。给它展开，再减去 cosine 阿尔法塞贝塔啊，给它展开，再减去 cosine 三十度，那就是塞三十度。二分之一 扣三三时是二分之根号三，再减扣三二 x， 然后就是二分之根号三塞二 x 啊，二分之一扣三二 x 减去扣三二 x 啊，那就相当于二分之一减一，那相当于负二分之一，然后扣三二 x 拉下来，对吧？紧接着， 按照 sine， cosine cosine sine 的 原则啊，看一下，摆正了，就是 sine 二 x。 cosine 多少都是二分之二三 三十度，然后六分之二减去 cosine 二 x 啊，写前面这减号啊， cosine 多少都是二分之一三十度啊，这就相当了 cosine 扣扣三阿尔法贝塔阿尔法贝塔，这是减号，所以就是阿尔法减贝塔。 画完了，画到一个式子里，最小正周期 t 等于二 pi 比上 omega， 二 pi 比上 omega 就是 它啊。 x 前面 n 后边的数二， 所以最小正周期就是 pi。 第二问， x 取什么值？是函数有最大值，最大值是多少？看这个式子啊， y 等于 sin 二 x 减六分之 pi 的 最大值就是一，这最大值是一 x 取什么值？就让这后边的括号里边的数 二 x 减六分之派啊，让它等于二分之派，加二 k 派，它就最大了，这是固定的啊， k 除以 z， 然后紧接着二 x 就 等于二分之派加六分之派，再加二 k 派，把这负六分之派往右移，这是六分之三派，这是六分之派，就是六分之四派，三分之二派，对吧？啊，把减去二就等于乘二分之一 啊，三分之二拍，乘二分之一写，这啊就等于三分之拍二 k 拍乘二分之一啊， 那就等于 k 拍看。所以啊， x 取和值时， x 取它的时候截成几何的形式， x 等于三分之拍加 k 拍 k 除以 c 的 时候就做完了。

hello， 同学们好，上节课学习了化解复杂的三角形函数，其中最后一步往往是使用辅助角公式。 哎，说到辅助角公式，就不得不提一个小问题，化解 a 倍的 cos x 加 b 倍的 cos x。 先提出系数根号下 a 方加 b 方， 然后括号中的两个系数要变成同一个角的正余弦。那问题来了，既可以把系数分别变成正弦、余弦，也可以分别变成余弦、正弦两种变法该如何选择呢？ 这节课就来聊一下这个问题。首先，不管怎么变，肯定都能答题，所以平时做题时建议大家都尝试一下，保证都能做对。 但是考试的时候肯定选择更稳妥的方法，尽可能保证拿分。那怎么判断哪种变法更稳妥呢？ 这就得知道不同的变法对解析会有什么影响。理解了这个，你就可以自己判断哪种方法对你来讲更稳妥了。 咱们通过两个例子来说明，先看例一，化解 f x 等于 cos x 加根号三倍的 cos， 那该用辅助角公式了吧。第一步，求系数根号下一的平方加根三的平方等于二。提出二 f x 等于二倍的二分之一 cos x 加二分之根三 cos x。 下一步呀，把两个系数写成同一个角的正余弦，这就有两种选择了。选择一，把二分之一看作三六分之派，二分之根三看作 cosine 六分之派， 然后反向使用正弦和角公式 f x 等于二倍的三 x 加六分之派，你看看对不对？ 选择二，把二分之一看作 cosine 三分之派，二分之根三看作 cosine 三分之派， 然后反向使用余弦差角公式 f x 等于二倍的 cosine x 减三分之派，你看完没有问题再继续吧。 所以呀，你发现了吗？对系数的两种变法区别是啥？这个例子的区别就是一个呢，得到正弦型函数，一个得到余弦型函数。那这对解题会造成什么影响呢？ 是这样的，解析时化简通常只是第一步，接下来会问你 f x 的 单调区间，对称轴，某个区间上的取值范围等等等等这些性质。 所以啊，如果你化简成正弦型函数，就得用 sin x 的 性质解题。化写成余弦型函数呢，就得用 cosine x 解题。 因此，这道题化简成哪种形式更稳妥，这就取决于你是更熟悉更喜欢算 x 还是口算 x 了。听懂了吗？像我呢，就更喜欢正弦，可能因为正弦好看吧，颜值就是正义嘛。 这个例子呢，演示的是两种变法的第一个区别，不过这只是个小区别，下个例子演示的第二个区别对解析的影响会更大。来看，例二， 化解 f x 等于 cos x 减三 x。 第一步依然是求系数 根号下一方加一方等于根号二，那提出根二， f x 等于根二倍的二分之根二， cos x 解二分之根二 sin x。 下面呀，两种选择走起。选择一看系数，这两个二分之根二分别看成三四分之派和 cosine 四分之派。那 f x 等于啥？ 应该是根号二倍的三四分之派减 x 吧。 注意，散四分之派在前，所以这里是四分之派减 x 好， 为了研究性质方便，让 x 的 系数为正，这里变成 x 减四分之派。前面加负号 f x 等于负的根号二倍的散 x 减四分之派。 选择二还是看系数？这两个二分之根二分别看成 cosine 四分之派和 sine 四分之派，那 f x 又等于啥？ 是根号二倍的 cosine x 加四分之派吧。两个结果你看懂没问题了，再继续吧。 好到这呢，你发现了吗？结果除了正与弦不一样之外，还有一个区别。第一个的结果，前面有符号。 注意了啊，带着符号研究单调区间最值这些性质时，都和没有符号的情况是反过来的吧？ 比如求 f x 的 增区间，反而要找算或 cosine 的 减区间， 这种小小的麻烦，一旦考试中没有注意到，那就是几分十几分的丢。虽说犯错的情况并不多，但咱们希望一次这样的错都不要犯，所以在这里严肃推荐大家考试时尽量变成不带符号的情况。 那问题来了，系数怎么变能保证不带负号呢？就拿 a 倍的算 x 加 b 倍的 cos x 来说，这就取决于 a 和 b 的 符号了。 如果 a 和 b 都是正的，就像 b 一 那两种变法都没有符号，此时你可以选择算和 cos 中更喜欢的去变。 如果像列二呢？ a 为负， b 为正，你看看是这样吧。那根据刚才的尝试，要把正数 b 变成余弦，这就可以保证嘴中的式子没有负号。 那如果 a 为正， b 为负呢？这个呢，大家可以自己试试，我直接说结论哈，此时把正数 a 变为余弦， 所以你发现了吗？系数 a 和 b 一 正一负时，永远是把正的那个系数变成余弦，这就能保证结果木有负号。那还有最后一种情况， a b 都为负呢， 比如负的三 x 减 cos x， 此时啊，小麻烦，常规变法最终都会有负号， 除非你用不太习惯的四分之五派或者别的什么角，就是把系数分别变成四分之五派的正余弦。 如果你确实不习惯，那有符号也无妨，只是求信之时特别小心，别出错就好。 说到底呀，不管怎么变，只要原理搞清楚了，别粗心大意，总是能做对的。要说的就这么多，这节课呢，就到这里，下节课就要带着你愉快的开始练习课喽，拜拜。

今天我们继续讲天行教育的一遍过，我们讲的是高中数学人教 a 版必修一。好，今天我们讲第五章第六节过基础， 我们讲的是图像变换，就这种图像怎么得来？我们知道三 x 考三 x， 它怎么变了，其实就是啥？就是伸缩平移， 其实就是伸缩加平移变形啊。好了，你看这个题啊，说这个函数向右平移四分之一个最小正周期所的图像对应的啥啊？这个比较简单啊，你看 四分之一个最小正周期。一个正周期是啥？一个周期是啥？是派，四分之一就四分之派。好，平移的时候一定要注意什么是把这个 x 加减，这是 x 加减，可不是直接是二 x， 有 的同学把它写成这样，说二 x 减去四分之派， 这是错的啊，这是错的啊，应该是 x 在 x 上加减平移，针对是 x 自变量平移啊，左右平移是自变量左右平移自变量，左加右减自变量啊， 口诀是左加右减自变量上加下减。常数项 已经是自变量上加减啊，记住，这就行了， 就在常数最后那个常数上面做个加减就行了啊。好了，第一题结束。好，第二题 他说把这个图像所有点横坐标变为原来的四倍，横坐标变为原来的四倍，纵坐标变为原来的二倍，得到函数图像啊，横坐标变二倍，横坐标变四倍是啥啊？你就记住，正好是相反啊。 啊，横坐标变，就是把欧米伽变四倍，欧米伽都变成原来的四分之一， 欧米伽原来变成四分之一啊，就是原来的四分之一，欧米伽变四分之一，这个纵坐标就是 a 变成原来的二倍，就这个意思。好，那这个题就解决了， 所以玄解，你看啊，欧米伽，欧米伽变四分之一，那就是二分之 x， 对 吧？二分之 x 才对，二分之 x 才对。好，这个在前面再加个二吧。哎，所以 the c 就是 它的反向变了啊。好了，这图像所有点横坐标伸长到原来的二倍， 伸长到原来的二倍啊，他说重坐标不变，再把所得到的图像向右平移三分，派个单位啊，然后得到啥图像？ 你看得到啥图像啊？首先变二倍的时候，这个啥，这个变二分之一，对不对啊？你看啊，变二倍，如果要伸长原来的二倍，就是变成这个了。 记住啊，这是二倍，这底下是二分之一，所以再把说到的图像向右平移，左加右减，在 x 上加减，是吧？一整理就出来了， a 变形，你只要知道法则啊，非常简单。好，下面四种变换，能将正弦图像变为它，将正弦。好，那你试一个就行了。 证券图像向左平移，你看啊，首先他说向左平移四分之派个单位， 好，第一个啊，向左平移， a 向左平移四分之派，个单位就变成啥了。 x 左加四分之派，对吧， c 就等于 y， 对 不对？第一个，再将横坐标变为原来的二分之一。横坐标原原来二分之一是不变二倍啊，是不是重坐标不变，是不变二倍啊？哎，所以这前面这个二变成二 x 就 行了，加四分派，对了吧， 是不对了，哎，所以 a 对 了啊。第二个，横坐标变为原来的二分之一， 横坐标变为原来的二分之一，横坐标变为原来二分之一，变成啥？是不是乘二倍， 对吧？然后再向左啊，我们先来看一下，这个咋变啊？横坐标变为原来的二分之一，那这个函数变成啥了啊？ y 等于 c in 的 几？二，二分之一就是二二 x， 然后向左平移八分之派个单位，它就等于几啊？向左平移就变成 c in 的 二括号 x 左加八分派， 是不是一整理，是不是？哎，是不是 c in 的 二 x 加四分派，对了吧？ 哎，把它一整理就对了啊，所以 b 也对。好，横坐标变为原来的二分之一，再向左平移，那这就不对吗？显然这就不对了，向左平移八分的派克单位，再二分之一也不对了，是吧？ ab 对 c 就 c 就 不对了。 好，下面啊，他说横坐标要得到这个图像， 就是把这个就。哎，谁是起点？这是起点啊，他变成他这个图像啊，所有点怎么变？横坐标缩短到原来的二分之一来，横坐标缩短原来二分之一是啥？缩短原来二分之一，其实就是啥变 二倍了，所以这是四 x， 所以 a 是 不对的，不用看了。横坐标缩到原来的二分之一啊，同样是不对的。 横坐标伸长到原来的二二倍，那啥，正好是来，我们把这个写啊， c 这个选项，横坐标变成原来的二倍，那就是二分之一。二分之一乘以二，那就是 x 再加四分派，第一步对吧？ 根号第一步就变成这个，对不对？然后再向左平移多少 四分派的单位，你看向左平移是不是？ y 等于根号二 sin 的 x 左加对不对？ 左加四分派，你就知道二分派对不对？二分派一诱导是变成 cosine 了，哎，所以选 c 啊，所以啊，被向右平移，这是错的，对吧？所以选 c 就 行了。 嗯，好了，下面是五点作图法啊，有同学列表如下，他把这个表列出来了啊，这个叫 omega x 加上 f， 这个是 x， 这个是 f x 啊，这个是二分之派，这是派二分之三派， 这是二派，然后把 x 求出来，叫十二分子派，这是四分派，这是十二分子五派， 这是十二分子七派，这是四分三派。 好对应的值都有了，对不对？这个位置是负二，好对应值有了，哎，这个值有的话，他说 f x 是 什么样的图像？嗯， f x 什么图像？那你好，首先你得算它的周期，对吧？ 它有这函数了，你算它的周期，你看周期怎么算？ a 等于二，它最大值，最小值吗？ a， 我 知道了，周期是啥？两个相邻距离，对吧？ 周期是这两个距离，然后这两个距离 omega， omega 等于这，所以得到 omega 等于几？等于三 啊，得到等于三，然后那你三乘以四分派，加上 f 等于它，所以能得到 f， 这个，所以就出来了啊，直接代值就行了。 f 代值啊，就是 a 看最大最小值， a 看最值， 然后啥？欧米伽找周期， f 找题目中带一个点， f 带点，哎，就这三招就 ok。 嗯，下面他让你画出来这个函数的图像，就是用五点法去做了啊，五点法，大家，哎，你下去要把这个好好做一下啊，要学，要学会这个做法。描点，描点就是把二 x， 你 看啊，把，你，把你算出来点，首先算这个点，把它填上去，填完了以后把这个点给它描出来就行了啊， 叫啥？第一个叫二 x， 再加上三分之派，我们把这个当成一个 t 啊，它就是三分之派的时候啊，叫二分之派的时候比较精确，然后派叫啥？叫二分之三派， 二派叫三分之七派，多画几个点是不是啊？关键点，所以 x 对 应了指数级， 你那个值有了，你能把 x 算出来？三分之派，十二分之七派，六分之五派， 哎，派，所以你 f x 就 知道了。等于四分之一啊，等于负二分之一 等于零，等于二分之一，等于四分之一。把这个点在这个竖轴上啊，直接给它描出来，哎，就得到这个图像了， 你看为什么要多算一个？这点来就是你得，因为它这个变形比较大，你得把这个与 x 轴的交点啊，给他画出来，对不对？根据题目啊，他是这样子，第二个用平移法去算啊，这个平移法其实不好算，就用五点法就行了 啊，然后让你写出 f x 大 于等于零的解集，那大于等于零，其实你看图就行了啊，如果大于等于零，那这个这个角呀，就得在这个范围之内，然后你把 x 解出来就行了。 大于等于零吗？你看，你看一下图，反派倒二分派，你看啊，找一个周期来写，看一下图 大于等于零， 你把它当成，你把它当成一个正弦函数就行了啊，我画一下，当成一个整体 正弦函数，是这样， 对吧？哎，你把这个那个整个那个括弧啊，啊，就是二 x， 千万不要，不要这个啥啊，千万不要把这个它大于等于零，千万不要把这个函数 用这个，你画好这个图像去做，用这个整体就相当于 t 啊，它就相当于 t 这个函数去做啊，用拷删 t 嘛，拷删啊。这不， 这不叫负二分子派，倒二分子派，再加上二开派，是不是一导就出来啊？不要用你画好了图像去做，画好了图像你去解这个比较麻烦，导致比较麻烦 好了，然后下面他说这个函数啊，这个函数知识点三， 这个函数的图像与性质，这函数向右平移二分派得到函数图像， g x 图像啊，哎，说这个函数是啥哦，函数问你 omega 的 最小值是几好，我们先平移一下， 向右平移，是不是得到 g x 好？ 向右平移是啥？左加右减对吧？二分态，然后把这个函数直接你看在这上面， omega x 对 吧？ x 减二分态嘛，你看把这个打开了啊，打开了以后它是偶函数，既然它是偶函数，你看后面这个角呀，就是加了这个角呀， 就减的这个角，对不对？就这个角，它一定得是啥？一定得是因为它是 sin 对 不对？它是偶函数，一定相当于往左移了二分之派啊。当然你再加个开派是可以的，所以你把 omega 都解出来了， omega 它告诉你个范围，所以你就得出来 omega 最小值是三分之一， ok， 选 a， 先平移后算值就行了。说它部分图像如图啊，则 将这个图像向右平移这么多，再将横坐标生成原来的二倍，再到函数图像，是这样啊，你看它对不对啊？ 首先你根据它这个图像，你看这个图像最高点，最低点，你把它函数图像给画出来，所以 a 是 二，所以周期是几？人家四分的周期，你看六分的 pi 减去十分 pi， 这周期也有了， omega 也有了， a 也有了，所以 f 带个值， 费代个值啊，也有了，所以这个函数都有了，你才能再做平移了。问题啊。 啊，所以你看这个题啊， 你看这个题啊， a 四等于二，这俩之间的距离是四分之个周期， 对吧？所以 t 就 等于 pi， omega 就 等于二，所以再带一个值，负二分之 pi 等于几？把它往这边一带，它等于二带最大值啊，一般都带最大值，不带零点啊，零点有问题，所以说有最大值带最大最小值 啊。好，哎，你就算出来这个函数值等于正 f 就 等于这个值，它又告诉你 f 的 范围，所以我能把 f 求出来，那你 f x 就 这样了啊，那你把这个函数平移，平移得到曲线，这个 对不对？再将图像伸长到原来的啥，伸长到原来的二倍就啥变它了。 所以 a 是 正确的，对于 b， 他 说，哎，让直接让你算这个值来，等不等于他不等于好。对于 c， 直接让你算这个值，再带进去 函数解析式出来，这就简单了啊。对于 d 这个范围之内的话，哎，我这整个这个范围是这个范围，所以他在这个范围里面单调 d 增还是 d 减，画个图就知道了，对不对？嗯，画图画啥图？就这图 对不对？三眼的图，三眼图，三分之五拍在哪来？这是三分之三拍对不对？三分三拍的拍吗？这是三分之几拍， 这三分六拍， 哎，所以你看三分之五拍到三分之七拍，是不是在递增去延来，哎，就 ok 了，画图找位置就行了。 好，第十题，直线 x 等于零与直线，它是图像相邻的两条对称轴，相邻对称轴好，那能不能求啊？相邻对称轴是啥？二分子个周期，所以欧米伽就出来了啊，然后他说啥？ f 零等于二，带进去， 对吧？ f 零等于二， f 零就是它等于二，所以它等于一。又告诉你 f 的 范围了，对吧？所以 f 就 等于二分派， 将它的图像向右平移六分派的单位后，得到图像，所有的横坐标都伸长了，原来的四倍， 伸长四倍，伸长四倍就乘以四分之一，对吧？啊，得到它的图像，求它最大值，最小值。先把解析式求出来， 你看啊，原来的函数是这样的，函数向右平移六分之派左加右减，对吧？变成这个图像，将它图像伸长到原来的四倍啊，得到啥？四倍就乘以四分之一，得到这个 你看就非常简单，非常流畅啊，所以说啥？哎，你就得到这个范围了。 x 这个范围，这个范围我也知道了 啊，所以它在上面单调递增啊，在这上面单调递减，所以这个值我也知道，对不对？所以 x 等于零的时候，它就得最小值啊，当它等于零的时候， x 啥范围呢？是这个范围它就得最大值。 函数图像做出来，一画函数图像就行了。把函数图像画出来就行了，因为我们做的是啥？ cosine 的 图，对吧？嗯， cosine， cosine 图啊， cosine 的 图，这个范围是确定的啊，画图 cosine 在 这， 对不对？负三分派到零，负三分派到零，负三分派到零，递增，对吧？在这啊，零到六分派递减， 对不对？哎，所以负三分派的值算出来，然后啥？把这个值算出来，看谁最大谁最小就行了啊，最大肯定是这个一嘛，他过这个范围， 对吧？好了，行啊，所以这个题啊，啊，其实就是平移，掌握着平移的规律，平移伸缩， 平移，伸缩，上啊，上下平移，左右平移，再加个伸缩就知道了啊，求解析式，这个题的核心是求解析式，你会把解析式求出来，那这个所有的题都能解决好，今天我们就讲到这里啊，希望大家一键三点点赞、转发加关注。